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APLICACIÓN DE RECTAS EN CIENCIAS ECONOMICAS. Son Son mucha muchass las las situ situac acio ione ness relaci relaciona onada dass con con fenó fenóme meno noss econó económi mico coss que que requieren ser expresados a través de una relación funcional entre dos variables. En part partic icul ular ar la func funció ión n line lineal al pose posee e un elev elevad ado o núme número ro de apli aplica caci cion ones es econ econó ómica micass que que debe deben n ser ser expl explic icad adas as en su may mayorí oría en las clas clases es de matemáticas matemáticas.. Las carreras carreras de Licenciatura Licenciatura en Economía Economía !ontabilidad !ontabilidad y "urismo "urismo tienen dentro de la asi#natura $atemática Superior un tema relacionado con funciones y sus aplicaciones a la economía. Es por ello que este traba%o tiene como ob%etivo presentar &' problemas económicos que requieren para su solución la utili(ación de la función lineal y de conceptos como #anancia costo in#reso oferta demanda precio equilibrio de mercado. )alabras claves* función lineal problemas económicos.
Introducción. La ense+an(a de la matemática en carreras de !iencias Económicas debe estar su%eta a la utili(ación en las clases de e%emplos de aplicaciones económicas concretos. ,e esta manera los contenidos impartidos estimulan y propician la motivación y la independencia en el pensamiento creador del estudiante. -,el#ado y $arrero ''/0 En particular el tema de funciones funciones pues constituye una herramienta herramienta fundamental fundamental para el análisis la cuantificación y la modeli(ación de fenómenos económicos y sociales. Esta Esta pone ponenc ncia ia tien tiene e como como ob%e ob%etitivo vo #ene #enera rall most mostrar rar dive diverso rsoss e%em e%empl plos os de aplica aplicacio ciones nes económ económica icass de la funció función n lineal lineal.. Se traba%a traba%an n fundame fundamenta ntalme lmente nte funciones de demanda oferta costo in#reso #anancia. Se hacen análisis del punto de equilibrio de mercado -intersección entre dos funciones0 interpretación de la pendiente obtención de la ecuación de demanda -ecuación de la recta0 representación y análisis de #ráficos.
Las carreras de !iencias Económicas tales como Licenciatura en Economía Licenciatura en !ontabilidad y 1inan(as y Licenciatura en "urismo contemplan dentro de la asi#natura $atemática Superior un tema sobre funciones y sus aplicaciones económicas. 2o es un secreto que los estudiantes terminan la ense+an(a media sin apropiarse adecuadamente del concepto función. Es por ello que cuando inician sus estudios universitarios presentan serias dificultades al respecto. "al y como plantea 3lvare( -'&&0 la comprensión del concepto función no se reduce a la reproducción de su definición ni tampoco a la reali(ación de una serie de procedimientos para calcular el valor de una función para un ar#umento dado para determinar sus ceros o la monotonía de la función. Este reduccionismo puede llevar a que los estudiantes no comprendan que el ob%eto función ha sido construido de manera expresa para el estudio de los fenómenos su%etos a cambio y que en lu#ar de traba%ar con variables lo ha#an con incó#nitas. El concepto función es uno de los más básicos en matemáticas y resulta esencial para el estudio del cálculo. )or ello se debe insistir en la importancia de las funciones en la Economía. En especial el estudio de la función lineal dado su #ran aplicación a situaciones económicas. La función lineal debe anali(arse dándole interpretación económica a la pendiente y la intersección en las distintas funciones lineales económicas que se utili(an tales como oferta demanda costos in#reso #anancia y producción. -4aeussler &5567 )indyc8 y 9ubinfeld &5560 )ara el buen desarrollo de las clases es importante una selección adecuada de los métodos a utili(ar. !omo es conocido en cualquier contenido matemático que sea ob%eto de estudio cuando se introducen problemas de aplicación aumenta la dificultad en cuanto a la comprensión por parte de los estudiantes. )or esa ra(ón en las conferencias se utili(a preferentemente la exposición problémica y la conversación heurística en dependencia de la comple%idad del problema que se esté resolviendo. Si el problema es de difícil comprensión se utili(a la exposición
problémica en los otros casos se emplea la conversación heurística. -,el#ado y 4ernánde( ''50. Se debe tener en cuenta que la habilidad para resolver problemas matemáticos vinculados con situaciones económicas de aplicación de la función lineal no se forma a partir de la repetición de acciones ya elaboradas previamente sin atender a cómo se han asimilado y el nivel de si#nificación que éstas tienen para los estudiantes atendiendo a sus experiencias su disposición hacia la actividad7 de ahí la necesidad de enfocar como parte de la formación de habilidades el sistema de conocimientos -conceptos teoremas y procedimientos matemáticos0 a partir de situaciones problémicas. Esta habilidad implica también las habilidades docentes ló#icas o intelectuales7 que #uían el proceso de búsqueda y planteamiento de la solución. :sí se destacan habilidades como identificar observar describir denotar interpretar anali(ar modelar calcular fundamentar valorar etc. que están presentes en la comprensión y búsqueda de vías de solución en su descripción y en la valoración de los resultados.
Ejemplos de plicción de l !unción linel situciones económics )ara aplicar la función lineal a fenómenos económicos el estudiante tiene que ser capa( de mane%ar conceptos como demanda y oferta precio por unidad relación entre precio y cantidad de producto entender el si#nificado de costo in#reso #anancia producción consumo entre otros. El profesor debe hacer un resumen de los principales aspectos teóricos necesarios para la ense+an(a de la función lineal aplicada a la economía. : continuación se exponen &' e%emplos de aplicación de la función lineal a situaciones económicas. Estos problemas resultan de mucha utilidad para los estudiantes de las Licenciaturas en Economía !ontabilidad y "urismo. Este es el momento en que los estudiantes aplican sus conocimientos precedentes a
situaciones nuevas para ellos pero sin dudas interesantes pues están vinculadas con sus especialidades.
". Determinción de l ecución de demnd Supon#a que la demanda por semana de un producto es de &'' unidades cuando el precio es de ;
Solución# : partir de esta situación el estudiante para darle solución debe combinar elementos de economía con matemática. "iene que percibir que la cantidad q y el precio p están relacionados linealmente de modo que p=
$. Determinción de l ecución de o!ert % del tipo de relción entre el precio p % l cntidd & Supon#a que un fabricante de (apatos colocará en el mercado <' pares cuando el precio es de ;><'' -pesos por par0 y >< pares cuando el precio es de ;>'''. a0 ,eterminar la ecuación de oferta suponiendo que el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente. b0 !uando se incrementa el precio ?qué le ocurre a las cantidades ofrecidas@
Solución# a0 )ara determinar la ecuación de oferta el al#oritmo es similar al del e%ercicio anterior.
-<'7><0 y -><7>'0
m=
p 2 − p 1 q 2 −q 1
p A p& = m -qAq&0
=
30− 35 35−50
=
−5 −15
=1 / 3
p−35 =1 / 3 ( q −50 )
1
50
3
3
p= q −
+ 35
1
155
3
3
p ( q )= q−
Ecuación de oferta b0 : medida que el precio se incrementa las cantidades ofrecidas también aumentan pues tienen una relación directamente proporcional.
'. Determinción de l ecución de costo % determinción del (lor del costo totl )(ri*le dependiente+ dd un cntidd espec,!ics de uniddes )(ri*le independiente+ Supon#a que el costo para producir &' unidades de un producto es de ;B' pesos y el de ' unidades es ;6'. Si el costo ! está relacionado linealmente con el producto q determine una ecuación lineal que relacione p con q. Encuentre el costo de producir >< unidades.
Solución# -&'7B'0 y -'76'0 pAp& = m-qAq&0 pAB' = >-qA&'0 p = >qA>'CB' c-50= >qC&' c-><0 = >-><0C&'
m=
p 2 − p 1 70− 40 30 − = =3 q 2 −q 1 20 −10 10
c-><0= &&< El costo de producir >< unidades es de ;&&<''.
-. Determinción del punto de e&uili*rio entre el inreso % el costo. Representción r/!ic !uando en una industria se producen x toneladas de producto al día 'DxD& el costo total de producción y el in#reso total en cientos de pesos están dados respectivamente por las ecuaciones !-x0= >xC& y F-x0=
Solución# El estudiante debe percibir que el punto de equilibrio se determina i#ualando las dos funciones. a0 F-x0= !-x0 xC& x=
! -0= >-0C& ! -0= &/C& ! -0= >'
El punto de equilibrio es -7 >'0 si#nifica que cuando se produce y vende la tonelada número el costo y el in#reso son exactamente i#uales -;>'''0. En este momento la #anancia es cero. b0 )ara representar en un mismo #ráfico ambas funciones lineales muchos estudiantes determinan los ceros sin embar#o el cero de la función de costo es ne#ativo. Este #ráfico solo tiene sentido para las xG' por lo que los estudiantes
representa solo en el primer cuadrante. ,ándole valores a las x pueden determinar al menos dos pares ordenados suficiente para representar una línea recta.
c0 El estudiante debe relacionar estas dos funciones con la #anancia de manera que* H-x0= F-x0A!-x0 es fácil concluir a través de una inecuación* F-x0A!-x0Io que se producen #anancias cuando la producción del producto es mayor que toneladas -xI0 y se producen pérdidas cuando es menor que . El análisis #ráfico también lo demuestra pues la recta que representa el in#reso -la de color a(ul0 se encuentra por encima de la de costo -la de color ro%o0 a partir del nivel de producción i#ual a toneladas
0. Determinción de (lores en el punto de e&uili*rio % de l nnci ddo un cntidd espec,!ic de uniddes Jn fabricante vende un producto a ;/ por unidad vendiendo todo lo que produce. La función de costo total es* ! -q0= -K50 qC<'''. a0 Encuentre la producción y el in#reso total en el punto de equilibrio. b0 Encuentre la #anancia cuando son producidas &/'' unidades.
Solución# a0 Es necesario determinar el in#reso total que sería* F=pq donde p* precio unitario q* cantidad de unidades del producto. Sustituyendo quedaría*
F -q0=/q. Lue#o se i#ualan las funciones de in#reso y costo resultando* 8q
=
22 9
q + 5000
desarrollando la ecuación se obtiene el valor de q=5'' y evaluando en la función de in#reso#
I )122+ 3 4 5 122 3 6$22
Se concluye que en el punto de equilibrio la producción es de 5'' productos y el in#reso total es de ;6''''. En este momento el fabricante no obtiene ni #anancias ni perdidas -la #anancia es cero0. b0 Es necesario determinar la función de #anancia total para lue#o evaluar en el valor de q dado. ,onde H"* Hanancia total F"* Fn#reso total !"* !osto total. H" = F" M !" H" = /N M K5N M <''' H"-&/''0=<'K5-&/''0A<'''=<''' !uando son producidas &/'' unidades la #anancia es de ;<'''''
7. E&uili*rio de mercdo Supon#a que para un producto O:P las ecuaciones de demanda y oferta son las si#uientes*
P=
−1 180
Q + 12 Y P =
1 300
Q +8
,etermina #ráfica y analíticamente el equilibrio de mercado e interprete.
Solución# El equilibrio de mercado ocurre cuando la demanda y la oferta son i#uales. , -q0= Q -q0
−1 180
Q + 12=
1 300
Q +8
Si q=B<' entonces
El punto de equilibrio es -B<'7 5<0 si#nifica que cuando el precio del producto : es de ;5<' las cantidades ofrecidas y las demandadas son exactamente i#uales o sea B<' unidades del producto :. Esta cantidad vacía el mercado. )ues todo lo que los consumidores están dispuestos a comprar es exactamente i#ual a las cantidades de producto que los vendedores están dispuesto a ofrecer.
6. Determinción del precio de mercdo de un producto Se conocen las curvas de oferta y de demanda de tri#o* NQ= &/''CB'p N,= ><<'Ap donde el precio se expresa en pesos por paquete y las cantidades en millones de paquetes al a+o. ?!uál es el precio del paquete de tri#o que vacía el mercado@
Solución# )ara determinar el precio del paquete de tri#o que vacía el mercado el estudiante debe recordar que el mercado se vacía cuando la demanda es i#ual a la oferta o sea cuando todo lo que los consumidores están dispuestos a comprar es exactamente i#ual a las cantidades de producto que los vendedores están dispuestos a ofrecer. Lue#o de i#ualar ambas funciones se resuelve la ecuación y se obtiene el valor de p que es precisamente el precio del producto.
NQ= N, R &/''CB'p= ><<'Ap B'pCp= ><<'A&/'' <'p= &6<' ) = &6<'K<' ) = >B El precio por paquete de tri#o que vacía el mercado es de ;>B.
4. Modelción de !unción de costo % determinción de l cntidd de uniddes producids ddo un (lor del costo En la fabricación de un componente para una máquina el costo inicial de un troquel es de ;/<''' y todos los otros costos adicionales son de ;>'' por unidad producida. a0 Exprese el !osto "otal ! como una función lineal del número q de unidades producidas. b0 ?!uántas unidades son producidas si el costo total es ;&''@ Solución* El estudiante debe modelar definiendo primeramente la variable independiente q como la cantidad de unidades producidas. a0 !" -q0= /<'C>q b0 1i%an el costo total y piden las cantidades producidas por tanto es necesario sustituir en la función anterior para obtener el valor de q. !" -q0= /<'C>q &''= /<'C>q ''A/<'K> = N
N=<' El !osto total es de ;&'''' cuando son producidas <' unidades.
1. Interpretción de l pendiente La recta muestra la relación entre el precio p de un artículo -en pesos0 y la cantidad q de artículos -en miles0 que los consumidores comprarán a ese precio. ,etermina e interprete la pendiente.
La recta desciende de i(quierda a derecha. La pendiente es ne#ativa. Si#nifica que por cada unidad que aumenta la cantidad de artículos -miles de artículos0 habrá una disminución en el precio de ;'<' -&K0 por artículo.
"2. L pendiente como ts de cm*io Supon#a que un fabricante utili(a &'' lbs de materiales para hacer los productos : y que requieren de B y lbs de materiales por unidad respectivamente entonces todos los niveles de producción están dados por las combinaciones de x e y que satisfacen la ecuación BxCy= &'' donde x yG '. ,etermine la tasa de
cambio del nivel de producción con respecto al de : y represente mediante un #ráfico.
Solución# Se necesita despe%ar a y R BxCy= &'' y= &''ABx y =
100− 4 x 2
y =50 −2 x
La pendiente es A. 9efle%a la tasa de cambio del nivel de producción con respecto al de :. E%emplo* Si se produce una unidad adicional de : se requerirán B lbs más de material resultando BK= unidades menos de . )ara #raficar y = <' A x se puede utili(ar la intersección -'7 <'0 y el hecho de que cuando x=&' y=>' también se debe determinar el cero o sea el intersecto con el e%e x. '= AxC<' J de x= <' x= <
Los niveles de producción están relacionados linealmente.
Conclusiones.
La ense+an(a de la matemática en las licenciaturas en Economía !ontabilidad y "urismo debe estar enfocada fundamentalmente a la resolución de problemas económicos. $uchas situaciones relacionadas con fenómenos económicos tienen un comportamiento lineal de ahí que existan diversas aplicaciones económicas de la función lineal.
L !unción linel puede ser plicd pr* Θ
,eterminar ecuaciones de demanda oferta y costo que ten#an un comportamiento lineal.
Θ
,eterminar el punto de equilibrio entre el in#reso y el costo y entre la oferta y la demanda así como el precio de mercado.
Θ
Θ
,eterminar la tasa de cambio del nivel de producción de dos productos. :nali(ar #ráficamente el comportamiento de funciones de in#reso costo #anancia producción oferta y demanda.
8i*lior!,. 3lvare( -'&&0. El desarrollo de la comprensión matemática* el caso del concepto función. !onferencia impartida en el marco del TFFF Evento !ientífico Fnternacional La ense+an(a de la matemática la estadística y la computación $:"E!Q$)J '&& y FFF con#reso internacional :L:$$F '&&. ,el#ado y 4ernánde( -'&&0. Las ,iferencias 1initas como herramienta para la resolución de problemas. !onvención Fnternacional de la Jniversidad de $atan(as !amilo !ienfue#os. "aller !Q$:" FS256/A5<5A&A&>55A/ ,el#ado y $arrero -''/0. La ense+an(a de la matemática F en carreras de ciencias económicas. Evento !ientífico Fnternacional OLa ense+an(a de la $atemática y la computaciónP $:"E!Q$)J ''/. Edición Especial de la 9evista :tenas. FS2 56/A5<5A&/A'B'A/ 4aeussler -&5560. $atemáticas para administración economía ciencias sociales y de la vida. /va.ed. )indyc8 y 9ubinfeld -&55/0. $icroeconomía F. !uarta Edición. Editorial 1élix Uarela. La 4abana !uba
