ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO FACUL FACU L T AD DE MECÁNICA MECÁNICA INGENIERÍA AUTOMOTRZ
TRABAJO TRAB AJO INVESTIGATIVO INVESTIGATIVO SOBRE LAS APLICACIONES AP LICACIONES DE LAS INTEGRALES INTEGRALES DOBLES
NOMBRE: Quishpe Toapanta Daniel Wladimir CODIGO: 2128
Riobamba-Ecuador 2017
Objetivo general:
Aprender sobres las diferentes aplicaciones de las integrales dobles en el campo de la ingeniería automotriz, aplicando conocimientos aprendidos en clase.
Objetivos específicos
Aplicar conocimientos aprendidos en clases para poder encontrar las diferentes aplicaciones de las integrales dobles y las funciones en el campo de la ingeniería automotriz
Conocer mucho más a fondo el campo de nuestra carrera en las diferentes aplicaciones del cálculo en la carrera de ingeniería automotriz teniendo en cuenta las diferentes funciones.
Reconocer las diferentes superficies encontradas en las aplicaciones de las integrales dobles aplicadas en la carrera de ingeniería automotriz.
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES INTEGRAL MÚLTIPLE Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, La doble integral como el volumen bajo una superficie. La región rectangular abajo de la figura es el dominio de integración, mientras que la superficie es la gráfica de la función de dos variables de la integral.
La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área está dada por una cualquiera de las integrales
Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir
Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.
Integrales dobles como volúmenes Cuando f (x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) "Ak en la suma Sn = "Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES PROCESOS MECANIZADOS Una aplicación importante de la integral, la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción
como
lo
son
en
procesos
de
mecanizado, tales como el torneado en donde se usa mucho el concepto de volumen por revolució n. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. Se denomina torno a un conjunto de máquinas herramienta que permiten mecanizar piezas de forma geométrica de revolución.
Estas máquinas -
herramienta operan haciendo girar la pieza a mecanizar (sujeta en el cabezal o
fijada entre los puntos de chale quede fuera contraje) mientras una o varias herramientas de corte son empujadas en un movimiento regulado de avance contra la superficie de la pieza, cortando la viruta de acuerdo con las condiciones
tecnológicas
de
mecanizado
adecuadas. Desde el inicio de la Revolución industrial, el torno se ha convertid o en una máquina básica en el proceso industrial de mecanizado. El mecanizado es un proceso de fabricación que comprende un conjunto de operaciones de conformación de piezas mediante la eliminación de material, ya sea por arranque de viruta o por abrasión. También en algunas zonas de América del Sur es utilizado el término maquinado, aunque debido al doble sentido que puede tener este término (urdir o tramar algo) convendría usar el primero.
Se
realiza
a
partir
de productos
semielaborados como lingotes, tochos u otras piezas previamente conformadas por otros procesos como moldeo o forja. Los productos obtenidos pueden ser finales o semielaborados que requieran operaciones posteriores.
Procesos de Fabricación Extrusión Definición Conformado consistente en hacer fluir un material a través del orificio de una matriz, con una sustancial reducción de sección, mediante algún sistema que le transmita gran cantidad de energía en poco tiempo.
Características:
Buenos acabados superficiales y tolerancias
Altas resistencias mecánicas
Permite obtener perfiles de geometría compleja
En
el
mecanizado o arranque de virutas se obtienen las piezas separando partes del material (virutas) por medios mecánicos y con herramientas de filo
El filo de la herramienta realiza el arranque de viruta y según sea éste tenemos:
Arranque co n filo geométricamen te determinado (cepillado, fresado, etc.)
Arranque (rectificado)
co n
filo
no
determinado
MASA TOTAL EN PLACAS
RESORTES SUSPENSIÓN DE LOS VEHICULOS Cuando un objeto de someter a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de forma, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material. Cuando un peso jala y estira a otro y cuando se le quita este peso y regresa a su tamaño normal decimos que es un cuerpo elástico.
Elasticidad: Propiedad de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto, y el objeto regresa a su forma original cuando cesa la deformación. Los materiales no deformables se les llama inelásticos (arcilla, plastilina) y masa de repostería). El plomo también es inelástico, porque se deforma con facilidad de manera permanente. Si se estira o se comprime más allá de cierta cantidad, ya no regresa a su estado original, y permanece deformado, a esto se le llama límite elástico.
Tema de aplicación Aplicación
a
resortes
en física la fuerza F(x)
(Trabajo):
necesaria
De
acuerdo
para mantener
con
la ley de
un resorte
Hooke
estirado (o
comprimido) x unidades alargado (o acortado) de su longitud natural está dada por F(x) = kx.
Aquí la contante k, es la constante del resorte y es positiva y depende del resorte particular bajo consideración, entre más rígido sea el resorte mayor será el valor de k.
MOMENTO DE INERCIA DE UNA REGIÓN PLANA.
, donde es la masa de la partícula y la distancia desde el eje; denominándose primer Definir el momento de una partícula con respecto a un eje como
momento (o momento de primer orden), nos permite de igual manera hacerlo
con otros momentos utilizando diferentes potencias de , así tendríamos:
y
, como segundo momento y tercer momento respectivamente. Especialmente para en dinámica le denominan momento de inercia y se le asigna el símbolo especial . Como en el caso del primer momento (o momento estático), siempre que el cuerpo es homogéneo, es constate y es conveniente considerar que = 1. A continuación, veamos el momento de inercia de una lamina homogénea plana (región plana con densidad superficial = 1). Definición:
ℜ con respecto a los ejes y son: Ι = c y l(y)dy
Los momentos de inercia de la región
Ι =
b a x h(x)dx
En el momento de inercia la ubicación donde se concentra la materia depende del eje en el que se trabaja. Pero con respecto a un eje fijo es posible definir una
tal que = Ι, a la que se llama radio de giro (radio de inercia). En una región plana de área (con p=1), los dos radios de giro con respecto a los ejes y , están definidos por las ecuaciones = Ι y = Ι , es decir: = √ A , = √ A distancia
Momentos y centros de masa. Entendamos antes el concepto de masa.
= = ∫ ∫ = ∫ ∫
Densidad constante
Se supone que una lámina tiene densidad constante, ( lamina abarca placas delgadas de densidad variable). Las integrales dobles pueden usarse para calcular la masa de una lámina de densidad variable, donde la densidad
(,) está dada por la función de densidad . Definición de masa de una lámina plana de densidad variable: Si p es una función de densidad continua sobre la lámina que corresponde a una región plana
( ), entonces la masa m de la lámina está dada por: = (,)
La densidad se expresa normalmente como masa por unidad de volumen. Pero en una lámina plana, la densidad es masa por unidad de área de superficie.
Ejemplo 4: hallar la masa de una lámina plana triangular con vértices
(0,0),(0,3) y (2,3), dado que la densidad en (,) es (,)=2+
(Figura 3)
Solución: como se muestra en la figura, la región R tiene como fronteras
0,=3 y = =
=
( = 2/3). Entonces la lámina tiene la siguiente masa:
/ = (2+) = (2+) / ∫ [ +] = 9 ∫ = 9 = 10
Aplicac iones del Centro d e Masa. El centro de masa casi siempre se refiere a cuerpos que constan de 2 dimensiones o, es decir son figuras que tienen características de ser finas es der no tienen profundidad, entonces el CM, nos sirve para, para determinar en esos cuerpos el punto donde se concentra toda la masa, y esto nos ayuda a determinar el punto en el que si aplicamos una fuerza no nos dará torque alguno.
3 = / 1 = −2 ,3 /.é, 1 = 2 = (100 /) 30º = 86.6 / Por tanto, 3 = −86.6 / Otras aplicaciones Las integrales dobles tienen múltiples aplicaciones en física y en geometría. A continuación, damos una relación de alguna de ellas.
1. El ´área de una región plana R en el plano xy viene dada por una integral doble.
2. El volumen V encerrado entre una superficie z = f (x; y )(> 0) y una regi´on R en el plano x,y
3. Sea f (x; y ) la función de densidad (=masa por unidad de ´área) de una distribución de masa en el plano xy . Entonces la masa total de un trozo plano R es
4. El centro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x , y
Donde
5. Los momentos de inercia Ix e Iy de la masa de R con respecto a los ejes x e y respectivamente son:
EJEMPLO: Encontrar el trabajo realizado al bombear agua hasta el borde superior de s depósito, que es de 50 pies de largo y tiene extremos semicirculares de radio = 10 pies, si el depósito está lleno hasta una profundidad de 7 pies.
Colocamos un extremo del tanque en un sistema de coordenadas, como se muestra en la última figura. Una rebanada horizontal representativa se muestra en ambas figuras de éste ejemplo; esta rebanada es aproximadamente una caja delgada, de modo que calculamos su volumen multiplicando su largo, ancho y grosor, su peso es su densidad, P = 62.4, por su volumen. Finalmente, notamos que la rebanada debe elevarse una distancia de –y (el signo menos es porque en la figura y es negativa).
CONCLUSIONES
Las integrales dobles son muy utilizadas en la ingeniería mecánica, todo fenómeno por más sencillo que se mantiene compatibilidad con las integrales más aun en el campo de la ingeniería automotriz.
Las integrales dobles o múltiples son de mucha ayuda para la realización de piezas con revoluciones son más utilizadas en el campo de los tornos para fabricar piezas cilíndricas, piezas que van más acorde con el automóvil
Nos conocimientos aprendidos en clase nos ayudado mucho más para la finalización de este informe, ya que se aplicó todo las funciones y aplicaciones de la rama de la ingeniería automotriz teniendo en cuenta áreas y volumen
BIOGRAFIA
Bibliografía Blogger., L. i. (s.f.). Aplicaciones de la Integral Doble - Problemas Resueltos. Obtenido de Aplicaciones de la Integral Doble - Problemas Resueltos: http://profealexz.blogspot.com/2011/12/aplicaciones-de-la-integral-doble.html ELECTRICIDAD, A. D. (s.f.). Transcripción de APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN LA ELECTRICIDAD . Obtenido de Transcripción de APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN LA ELECTRICIDAD: https://prezi.com/4gwo8fkt35ur/aplicacion-de-la-integral-en-la-electricidad/ HOOKE. (s.f.). APLICACIONES EN LA INGENIERIA MECANICA . Obtenido de Plantilla Sencillo. Con la tecnología de Blogger.: http://jdnemed.blogspot.com/2012/06/aplicaciones-en-laingenieria-mecanica.html