UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS MATEMATICO APLICADO I (CIV300) A R TI C UL O A C A D E MIC MI C O TERCER SEMESTRE “A”
TEMA: “ Aplicaciones Aplicaciones de la Integral en el Cálculo Cálc ulo del Centro de Masa ”
INTEGRANTES: Sanchez Jilmar
o
Lozada Sebastiano
o
Samaniego Marlon
o
Mendoza Mishell
o
FECHA DE PRESENTACION:
23/02/2018
Aplicaciones de la Integral en el cálculo del centro de masa Sanchez, Lozada, Samaniego, Mendoza
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F ebrero 2018
Aplicaciones de la Integral en el Cálculo del Centro de Masa Jilmar Andrés Sanchez Salazar
[email protected]
Marlon Guillermo Samaniego Guamán
[email protected]
Bryan Sebastian Lozada Quisnancela
[email protected]
Karen Mishell Mendoza Cargua
[email protected]
.
question is found are constant. But, when the density of the object is not constant, the work becomes more difficult, this being the main problem of our research we want to find the most appropriate way to find the center of mass that is applying the double integrals. The main objective of this article is to explain the process and deduction of the formulas to be able to apply double integrals in the centers of mass, in the same way, the knowledge can be extended, since by the same definition of centers of mass, and the application of double integrals, you can find the moments produced with respect to the axes "x", "and" and the origin, arriving to obtain as a result the parameters and formulas that we will need in our professional life to solve problems with the same context.
R E S U M E N El centro de masas de un sistema discreto
o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema, es decir, es el punto en donde se concentra la masa de un sólido o sistema material de puntos. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Se sabe que el centro de masa, centroide y centro gravitatorio coinciden siempre y cuando su densidad y el campo gravitatorio en el que el objeto en cuestión se encuentra, sean constantes. Pero, cuando la densidad del objeto no es constante, el trabajo se torna más difícil, siendo este el principal problema del presente texto, se desea buscar la forma más eficiente para poder encontrar el centro de masa que es aplicando las integrales dobles. El objetivo principal de este artículo es explicar el p roceso y deducción de las fórmulas para poder aplicar integrales dobles en los centros de masa, de la misma manera, el conocimiento se lo puede ampliar, ya que por la misma definición de centros de masa, y la aplicación de las integrales dobles, se puede hallar los momentos que produce con respecto a los ej es “x”, “y” y al origen, llegando a obtener como resultado los parámetros y fórmulas que necesitaremos en nuestra vida profesional para resolver problemas con el mismo contexto.
KEY WORDS. Dough center, Geometric point, Resultant, Centroid, Double integral, Moment
1. INTRODUCCIÓN El principal problema que da origen a este trabajo de investigación, es el hecho de que los estudiantes constantemente piensan que el aprendizaje sobre cálculo y análisis matemático nunca se lo pondrá en práctica en la vida profesional. Pero lo cierto es que las aplicaciones que las integrales tienen en el campo de la ingeniería civil son muy diversas dentro del campo de Construcción de Vías, vivienda, y una de ellas se dará conocer. Por ejemplo según (Varberg, 2007 ) El análisis matemático aplicado en el cálculo de los centros de masas, que dado por un volumen no constante, la forma más fácil de hallar su centro de masa es aplicando integrales dobles, su explicación es la siguiente.
PALABRAS CLAVE. Centro de masa, Punto geométrico, Resultante, Centroide, Integral doble, Momento
ABSTRACT. The center of mass of a discrete or continuous system is the geometrical point that dynamically behaves as if the resultant forces external to the system were applied to it, that is, it is the point where the mass of a solid or system is concentrated. point material. Similarly, it can be said that the system formed by all the mass concentrated in the center of masses is a system equivalent to the original. It is known that the center of mass, centroid and gravitational center coincide as long as their density and the gravitational field in which the object in
2. MARCO TEORICO 2.1 MASA: Partiendo de una superficie “D”, que s e sabe que en cada punto tiene diferente densidad, es decir qué; si se quiere saber la densidad en un punto determinado de la superficie que se encuentra en el punto (x,y), como se muestra en la figura:
2
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Entonces calcular el área del cuadrado va a ser más fácil, porque la formula viene dada por
.
(4)
Ahora teniendo ya las dos partes de la ecuación, se procede a reemplazar la fórmula de densidad y la fórmula del área: entonces se coloca el asterisco porque significa que puede estar en cualquier punto de la superficie marcada por las particiones. Para obtener la masa to tal que se encuentra en esa zona, se debe realizar la sumatoria de todos estos puntos, que s e representa de la siguiente forma
∗,∗.∆
Figura 1: Explicación grafica centro de masa,
(Granville, 1963) La fórmula para calcular la densidad es la siguiente que se indica:
,
∗ , ∗.∆ ≈ ∑. ∑. = =
(1)
Ahora para que sea igual debemos aplicar el limite cuando la norma de los delta tiende a cero, lo que va a ser igual a la doble integral de Riemann
Entonces, sabiendo que existe una ecuación que nos relaciona la densidad con la masa y con el área, entonces procedemos a expresar que la densidad es igual a la masa sobre el volumen, y en el caso como este, que estamos tratando de una superficie, la densidad será igual a la masa sobre el volumen, lo que es igual a:
∗ , ∗.∆ ≈ ∆⇢ → ∑. ∑. = =
(2)
(6)
Por lo tanto, la doble integral es la siguiente:
∬− ,.
Se tiene en cuenta que para aplicar estas fórmulas, el espesor es despreciable. Entonces mediante un despeje obtenemos que
.
(5)
(7)
Lo cual viene a ser, la doble integral de Riemann sobre la región " " , de la función densidad por el diferencial de área.
(3)
Ahora, si se delimita la zona de la superficie expuesta, esto define un intervalo para x y otro intervalo para y si a esto se le divide en pedazos de intervalo se tendría lo siguiente
2.2 CENTRO DE MASA Según (Granville, 1963) Con la masa y los momentos definidos, el centro de masa es fácil de deducir, ya que son las coordenadas del punto central de la masa, y con los momentos encontramos la distancia “X” y también las distancia “Y”. Por lo tanto,
los centros de masa quedan expresados como, el momento sobre la masa, de la siguiente manera.
Figura 1.1: División en intervalos
(Granville, 1963) Ahora, con la superficie hecha las particiones, 1” y de los puntos en los que va a e star son “ ” y “ “ ” e “ 1 ”, igual forma para y estas particiones son las que contienen al punto en cuestión.
+
+
3
(8)
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2.3 CENTROS DE GRAVEDAD DEFINICIÓN (Granville, 1963) El centro de gravedad es “El punto donde incide la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan en las diferentes partes del cuerpo” Figura 2: Diseño de construcción sismo
Dicho de otro modo es el punto de equilibrio del sistema de Fuerzas, es decir que la Fuerza Resultante realizará un Momento Resultante Nulo en dicho punto. Está propiamente ligado al campo gravitatorio que se ejerce sobre él.
resistente (Johnston, (1998). )
CONSTRUCCIÓN DE COMPUERTAS, DIQUES, PRESAS Según (Johnston, (1998). ) Otro tema muy importante es la construcción de compuertas, diques y presas; el centro de gravedad ocupa un lugar fundamental en este tema, ya que a partir de la determinación de él se podrá analizar la forma de la presa a construir e implementar los refuerzos necesarios para que soporte la carga del agua. Las presas y muros de contención están sometidos a cargas principales, secundarias y excepcionales; las cuales ejercen una presión o empuje sobre la presa, dique o compuerta. He aquí la aplicación del centro de gravedad ya que a partir de él, se puede determinar el análisis correcto para los aspectos de diseño estructural, manteniendo así las propiedades necesarias para que la obra se mantenga estable.
Figura 2: Centro de gravedad (ThomaPurcell, 1993)
FÓRMULAS PARA CALCULAR CENTROS DE GRAVEDAD LÍNEAS Y ÁREAS
⃗ ∫
⃗∫
(9)
VOLÚMENES
⃗ ∫
⃗
⃗ ∫
(10) Figura 3: Compuertas en hidroeléctricas (Johnston, (1998). )
APLICACIONES DISEÑOS SISMORRESISTENTES PARA EDIFICIOS
OPERACIONES CON GRÚAS
Una de las principales aplicaciones que tienen los centros de gravedad, está en la construcción de edificios, estos elementos son de mucha importancia ya que nos permiten conocer el comportamiento que tendrá la estructura al estar sometida a distintos factores como la presión, viento, choques, entre otros. Es importante recalcar también que a medida que el centro de gravedad esté cercano a la superficie del suelo mayor será su estabilidad, proporcionándole así la mayor seguridad a la estructura.
Las operaciones con grúas son una parte fundamental en los procesos de construcción, es por tal motivo que se incluyen dentro de las aplicaciones inherentes al tema. En todo trabajo de construcción hay cargas pesadas que transportarse, para realizar este proceso se necesita de un grúa, consecuentemente para el manejo de la misma se necesitan ciertos conceptos básicos; es aquí donde el centro de gravedad juega un papel fundamental.
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2.4 CENTROIDES
Al levantarse una carga, estará sometida a torsión es por lo tanto que para su transporte es necesario conocer un punto de equilibrio y garantizar que la carga esté lo más nivelada posible, ese punto necesario es el centro de gravedad del cuerpo, logrando que el balanceo sea mínimo.
2.4.1 DEFINICIÓN DE CENTROIDES Según (Hispanoamericana.s, (1959) ) El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de fórmulas semejantes utilizadas en el centro de gravedad o centro de masa. Está ligado básicamente a la forma de dicho cuerpo ( ver en ilustración 3). 2.4.2 Fórmulas para calcular Centroides 2.4.3 Centroide de una línea
(11)
Figura 4: Operaciones con grúa (Jhonson, 2005)
CONCENTRACIÓN DE PESOS EN ELEMENTOS Como aplicación general tenemos que para cualquier elemento utilizado en la construcción, podemos deducir la concentración de peso en objetos con distintos tamaños y formas. Cabe recalcar que el punto de concentración del elemento será el centro de gravedad. (Johnston, (1998). )
Figura 6: Centroide de una línea (Granville, 1963) .
El conocer las distintas propiedades de los cuerpos, nos dará una mejor idea para diseñar el concepto estructural de lo que estemos construyendo y ver las alternativas estructurales más viables para el proyecto u obra implementado.
2.4.4 Centroide de un área
∫
Figura 5: Centro de gravedad en cuerpo dinámico (Johnston, (1998). )
Figura 7: Centroide de un área (Jhonson, 2005)
5
(12)
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2.4.5 Centroide de un volumen 2.4.6.3 Movimiento de objetos
∫ ∫ ∫
Otra aplicación que se le pueda dar a los centroides es para el movimiento de objetos, hay cuerpos que se comportan de manera muy distinta al ser arrojados, por ejemplo una varilla; al lanzarse tendrá un sinnúmero de rotaciones antes de llegar al suelo, pero si solo se analiza la trayectoria que hace su centro de gravedad, podemos tener una idea más práctica, en este caso una parábola. (Granville, 1963)
(13)
Figura 8: Centroide de un volumen y centroide de un cuerpo de revolución (Hispanoamericana.s, (1959) )
Figura 10: Movimiento de objetos (Granville, 1963)
2.4.6 APLICACIONES Así también desde el mismo concepto se pueden analizar la trayectoria de distintos cuerpos basándose específicamente en sus centros de gravedad, siendo de mucha utilidad para cuerpos con trayectorias y comportamientos complejos.
2.4.6.1 Momento resistente en columnas Los centroides son utilizados muy a menudo a la resistencia o mecánica de los materiales. Su aplicación específica en este caso será el momento resistente en vigas verticales o columnas. Las columnas que se encuentran en obras civiles se encuentran sometidas a flexo-compresión, el centroide nos permite calcular este momento y así evitar que la compresión ejercida provoque un fracturamiento. (ThomaPurcell, 1993)
Tanto para líneas, áreas y volúmenes, el centroide y el centro de gravedad coincidirán solo si el cuerpo es homogéneo y uniforme. En caso que no lo sea, las ecuaciones mostradas anteriormente solo servirán para determinar el centroide del cuerpo.
2.4.6.2 Análisis de choques Los centroides son de gran utilidad en el análisis de choques ya que simplifican el mismo. La ubicación del centroide en un sistema de n partículas está dado por:
++.……
2.5 PRIMER MOMENTO 2.5.1 MOMENTOS:
(14) Ahora que se conoce la masa, es más fácil encontrar el momento. Partiendo desde un momento que se quiere encontrar, el cual es “ ”, y “ " es el
Al moverse las partículas bajo la acción ya sean de fuerzas internas o externas, la posición del centroide también lo hará. Por lo tanto si no hay fuerzas que intervengan en dicho cuerpo, el centroide del sistema permanece en reposo, y viceversa.
momento con respecto al eje “Y”, esto es la distancia a la que se encuentra la masa del eje “Y” (ver en
.
ilustración 2) , en la que d= distancia y m= masa, entonces la distancia a la que se encuentra la masa con respecto al eje “Y” es a distancia “X”. Por lo
tanto, al reemplazar los datos conocidos en la ecuación daría lo siguiente:
Figura 9: Análisis de choques (Varberg, 2007)
.( , ).∆ 6
(15)
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la siguiente manera. Ya estando en este punto, debemos realizar los dos pasos aplicados en centros de masa, los cuales eran aplicar la sumatoria y después el límite cuando tiende a 0, y al final tendremos de nuevo la doble integral de Riemann, la cual es:
√ +.,.
∆
(19)
APLICACIONES
.,.
Diagrama de Desviación Tangencial
(16)
Según (Granville, 1963) Esta aplicación está relacionada al Diagrama de Áreas-Momentos. La ordenada B respecto a su tangente en A, será igual al momento estático con respecto a B.
.,.
Es uno de los teoremas de Mohry es utilizado generalmente para el cálculo de momentos en vigas. Es importante recalcar que solo es aplicable a ciertos tipos de estructuras.
A más de tener estos dos momentos, se puede calcular un tercer momento, el cual es el momento con respecto al origen “ ”, y se denota de
Calculo de la Tensión Cortante La principal aplicación del Primer Momento o Momento Estático está relacionado al cálculo de la tensión cortante respecto a un punto en específico, esto normalmente suele suceder en el cálculo de vigas. Para esto se utiliza la Formula de Collignon que se expresa mediante la relación:
Figura 11: Desviación Tangencial. Diagrama área- momento. (ThomaPurcell, 1993)
Donde Vy es la fuerza cortante, Qy es el primer momento de área z(y) es el momento de inercia y tz el espesor.
Donde √ +
no viene a ser más que la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman entre las distancias “X” e “Y”
En el campo de la construcción esto tiene suma importancia, ya que con el cálculo de la tensión cortante podemos obtener el esfuerzo cortante, y en base a estos datos elegir o proporcionar los materiales necesarios para que no se produzca el corte. Por
DEFINICION Según: (ThomaPurcell, 1993) El primer momento es “una magnitud geométrica para áreas y volúmenes, se lo conoce también como Momento de Primer Orden o como Momento Estático”. FORMULAS MOMENTO
PARA
CALCULAR
EL
consiguiente garantizar la estabilidad e la estructura.
(Granville, 1963)
PRIMER
Líneas Y Áreas
∫
∫
(17)
Volúmenes
∫ ∫ ∫
(20)
Figura 12: T ensión cortante. (Granville, 1963)
(18)
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3.6.2.1 Áreas
(24)
Momento polar de inercia
+
(25)
Figura 13: T ensión cortante. (Granville, 1963)
Teorema de los ejes paralelos o Teorema de Stelner
+
2.6 INERCIA Para calcular la inercia, se conoce que es la integral doble de las distancias al cuadrado, por lo tanto, la deducción de los momentos son indispensables para aplicar la inercia. Se representa de la siguiente manera:
.,,
Con los temas mencionados y explicados, se procede a realizar un análisis de los puntos más relevantes, y se concluye que:
(22)
Una de las aplicaciones principales del centro de gravedad es en la construcción de compuertas en hidroeléctricas, ya que a partir del cálculo de este punto, se determinará la capacidad máxima que puede soportar cada compuerta y de esto dependerá todo el sistema.
●
La inercia tiene aplicaciones muy importantes, y es las que se aplica directamente a la carrera de ingeniería civil, porque a partir de esta deducción y cálculos, se puede obtener la resistencia de vigas asociadas al momento flector.
DISCUSION El presente artículo, trata de dar a conocer las principales aplicaciones que tiene las matemáticas, en la ingeniería civil. Concientiza a los estudiantes, para que asuman la catedra como enseñanzas indispensables para su vida como expertos, estos conocimientos serán puntos cruciales en obras como profesionales.
Aquí se deduce que la inercia con respecto al origen está dada por la suma de las inercias con respecto a “X” e “Y”
+
●
(21)
Y la inercia con respecto al origen está dada de la siguiente manera:
( +).,.
(26)
CONCLUSIONES
.,.
(23)
También cabe recalcar, que las estructuras sismo resistentes son un tema innovador hoy en día, debido a los desastres naturales que puede ocurrir. Con la aplicación del análisis matemático ligado a los centros de gravedad, y su debido calculo correcto, dará como resultado un tipo de estructuras que serán totalmente eficientes, y ayudará a construcciones a nivel mundial.
DEFINICION DE MOMENTO DE INERCIA Según: (Varberg, 2007) El momento de inercia se define como “La oposición que tiene un cuerpo a ser rotado” está especialmente ligado a la forma geométrica de dicho cuerpo.. FORMULAS PARA CALCULAR EL MOMENTO DE INERCIA
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REFERENCIAS [1] Granville, W. A., Smith, P. F., Longley, W. R., Byington, S. T., Juárez, A. R., & Sors, M. S. (1963). Cálculo diferencial e integral . Uteha. [2] ThomaPurcell, E. J., & Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica . Prentice-Hall La masa de la lámina es:
[3] Hispanoamericana.s, G. B. (1959). Cálculo infinitesimal y geometría analítica. Aguilar.
, 0 0−1+3+ =− 0 +3+ 2 =0 8 40 1 4 3 0 3
[4] Thomas, G. B. (1959). Cálculo infinitesimal y geometría analítica. Aguilar. [5] Varberg, E. J. P. D. (2007). Cálculo diferencial e integral. Pearson Educación. [6] Johnston, E. R., & Beer, F. P. (1998). Mecanica vectorial para ingenieros: Estatica . McGraw-Hill. [7] Anónimo. (s.f) Cálculos de Centros de Masa, Momentos de Inercia utilizando Integrales Múltiples y sus Aplicaciones en el área de ingeniería.
Así que las fórmulas de las coordenadas dan:
̅ ∬ , ∫0 ∫0−1+3+ =− ̅ ∫0 [+3 + ]=0
https://es.scribd.com/doc/52086214/Calculos-deCentros-de-Masa-Momentos-de-Inercia-utilizandoIntegrales-Multiples-y-sus-Aplicaciones-en-el-area-deingenieria
=− ̅ ∫0[+3 + ]=0 ̅ ∫0 [ + ]0 ∬ , ∫0 ∫0−+3+ =− 38 0 2 +3 2 + 3=0 +5 14 793 0 14 79 2 + +5 40 1116
Anexos Encontrar la masa y el centro de masa de una lámina triangular (D o R) con vértices (0,0), (1,0) y (0,2), si la función de densidad es sabiendo que las coordenadas ( del centro de masa de una lámina que ocupa la región D y que tiene como función densidad p(x,y) son:
, 1+3+ ̅,
̅ ∬ , ∫ ∫ , ∬ , ∫ ∫ , Donde la masa es: , Si es la masa de la lámina, entonces el centro de masa es: ̅, ,
El centro de masa en el punto
Observe que la ecuación de la frontera superior es:
22 9
+
