Relación de Problemas:
DIMAMICA DEL SÓLIDO RIGIDO. RIGIDO.
1) Tres Tres masas puntuales puntuale s de 3 kg, 1 kg y 1 kg están localizadas locali zadas en el plano xy en los puntos (2, 2), (1, 1) y (3, 0) respectivamente. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de masas?. 2) Calcule el centro de masas de la superficie homogénea limitada por la curva plana y = x3, el eje y = 0 y la recta x = 3. 3) Calcule el centro de masas de una placa circular de radio R que tiene un orific orificio io circular de radio radi o r = R/2 situado tal como indica indica la figura. figura. Sugerencia: el sistema puede representarse por dos discos superpuestos uno de masa masa m y el otro pequeño de masa - m. 4) Una varilla delgada no uniforme de longitud L está sobre el eje x con un extremo en el origen. Tiene Tiene una densidad de masa lineal line al ? (kg/m) dada por ? = ? 0(1 + x/L). La densidad es por tanto doble en el punto x = L que en el extremo que está en el origen. a) Utilice la expresión M = ∫ dm dm para hallar la masa total. b) Cal Calcu cule le el centro centro de masas masas de la var varill illa. a. 5) Calcule el momento de inercia de una varilla uniforme y delgada de masa M y longitud L, respecto de: a) Un eje perpendicular a la varilla y que pase por su centro de masas. b) Un Un eje eje perp perpend endicu icular lar a la varil varilla la y que que pase pase por por uno uno de de sus sus extre extremo mos. s. c) Un eje coincidente con la varilla. 6) Calcule el momento de inercia de un anillo uniforme de masa M y radio R respecto de un eje perpen perpendi dicu cular lar al plan plano o del del mism mismo o y que que pase pase por por su centro centro.. 7) Calcule el momento de inercia de un disco circular y uniforme de masa M y radio R, respecto de un eje perpendicular al plano del mismo y que pase por su centro. 8) Calcule el momento de inercia de un cilindro macizo y uniforme, de masa M y radio R, respecto de su eje de simetría. 9) Determine el momento de inercia de un cilindro macizo de radio R y masa M, respecto de su eje de simetría, suponiendo que su densidad de masa es directamente proporcional a la distancia a este eje. 10) Un cilindro macizo y homogéneo de 20 Kg de masa y 15 cm de radio, en posición horizontal y apoyado sin rozamiento sobre su eje, lleva enrollada una cuerda inextensible y sin masa de cuyo extremo pende un cuerpo de 1 Kg. Al dejar en libertad el sistema la masa desciende, haciendo girar el cilindro. Calcule: a) La aceleración lineal del sistema. b) La La velo velocid cidad ad ang angul ular ar del del cili cilind ndro ro al cabo cabo de 10 s. 11) Consideremos la máquina de Atwood de la figura 11 donde m 1=10 Kg, m 2=8 Kg, M polea=4 Kg. Determine la aceleración lineal del sistema.
12) Determine la aceleración del sistema representado en la figura 12, si m1=10 Kg, m2=8 Kg, M polea=4 Kg en los dos siguientes casos: a) No existe rozamiento. b) El El coe coefi ficie cient ntee de de roz rozam amie ient nto o ent entre re m2 y la superficie en la que se apoya vale µ=0.5. 13) Un disco uniforme de radio 0.12 m y masa 5 Kg puede girar libremente alrededor de un eje perpen perpendic dicula ularr que que pasa pasa por por su su centr centro. o. Se enro enrolla lla una cuerda cuerda alrede alrededor dor del disco disco y se tira tira de de ella ella con con una fuerza de 20 N, estando el disco en reposo. Al cabo de 3 s de iniciarse el movimiento, determine: a) El momento ejercido sobre el disco. b) La aceleración angular. angular. c) La velocidad angular. d) El ángulo girado por el disco. e) La energía cinética. f) El momento momento angular. angular. 14) Dos cilindros macizos y uniformes tienen igual radio R pero uno tiene doble masa que el otro (M y 2M). 2M) . Se dejan deja n rodar sin deslizar sobre un plano inclinado que forma un ángulo a con la horizontal y tiene una altura H. Determine la relación existente entre las velocidades de ambos cilindros en la base del plano inclinado. 15) Un patinador presenta en un cierto instante un momento de inercia I1 = 20 Kg⋅m2 y una velocidad angular w1 = 2 p rad⋅s-1. Si el patinador extiende sus brazos modificando su momento de inercia al valor I2 = 16 Kg⋅m2, ¿Cuál es la nueva velocidad angular?. 16) Una esfera de 1 Kg rueda sobre una superficie horizontal a una velocidad de 20 m⋅s-1 y llega a un plano inclinado que forma un ángulo de 30 ° con la horizontal. Calcule: a) La energía cinética de la bola antes de iniciar la subida por el plano. b) La La distan distancia cia que que reco recorrer rreráá sobre sobre el pla plano no incl inclin inad ado. o. 17) Una barra delgada de lgada y homogénea, homogénea , de masa mas a m y longitud ongitud L, está articulada arti culada por su su extremo inferior en una superficie horizontal, manteniéndose verticalmente sobre ella. Si se la deja en libertad, calcule la velocidad angular cuando llegue a tocar la superficie. 18) Un cilindro uniforme de masa M y radio R se encuentra arrollado a una cuerda. Esta cuerda está fuertemente sujeta, y el cilindro cae verticalmente. Calcule: a) La aceleración del cilindro. b) La tensión de la cuerda. 19) Una varilla homogénea de masa M y longitud L se suspende del techo por uno de sus extremos, de manera que puede girar libremente en torno a él. Si la varilla se desplaza un ángulo ϕ respecto de la vertical, determine su velocidad angular al pasar por la posición de equilibrio. 20) Una esfera de masa m y radio r se encuentra inicialmente en reposo en la cima de de otra esfera de radio R, como se muestra en la figura 20. Al desplazarla ligeramente de su posición de equilibrio, comienza a rodar sin deslizar por la superficie de la semiesfera. Determine la posición en la que deja de tocar la superficie y su velocidad en ese instante. 21) Dos poleas de masas 5 y 1 Kg y radios 1 y 0.25 m, respectivamente, están soldadas de forma que tengan el mismo eje de giro (figura 21). De ellas penden cuerpos de 30 y 200 Kg, respectivamente, suspendidos de cuerdas enrolladas en sentidos inversos. Dejando el sistema en libertad y despreciando rozamientos, calcúlese: a) aceleración angular del sistema. b) velocid velocidade adess de las masas masas y velocid velocidad ad angu angular lar de las las polea poleass al cabo de de 10 s. de de ini inici ciar arse se el movimiento.
Figura 11
Figura 12
Figura 20
Figura 21
SOLUCIONES
1) R centro de masas (2, 7/5) m
2) R centro de masas (12/5, 54/7) m
3) Y cm = R/6
4) a) 3 λ0 L / 2; b) X cm = 5 L / 9 m
5) a) ML²/12
b) ML²/3
c) 0
6) MR² MR²
7) MR²/2
8) MR²/2
9) 3MR²/5
10) a) 0.89 m/s²
b) 59.4 rad/s
11) 0.98 m/s² 13) a) 2.4 N⋅m d) 300 rad
12) a) 4.9 m/s² b) 66.67 rad/s² c) 200 rad/s e) 720 J f) 7.2 Kg⋅m²/s
14) 1; v = (4 g h/3)1/2
15) 2.5 p rad/s
16) a) 280 J
b) 57.2 m
17) w = (3g/L)1/2
18) a) 2g/3
b) Mg/3
19) w = (3g(1-cos ϕ)/L)
20) 54º; v = (10g(R+r)/17) 21) a) 4.35 rad/s² rad/s ² poleas: poleas: w = 43.5 43.5 rad/s
b) veloci velocidade dades: s: 43.5 m/s; 10.9 m/s
b) 2.94 m/s²
