Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica
Cálculo Vectorial
“Aplicaciones” Integrantes:
Hernánde !ópe "mar #uillermo $ico %&elar 'enisse Mic(elle
Grupo:
)CM*+
Profesor:
%llan ,a-es(i de la Cru "li&a
Fecha de entrega: ). de Maro del )/*0
ÍNDICE Introducción..........................................................................................................3 %plicaciones del cálculo &ectorial..............................................................................3 Cálculo vectorial ...............................................................................................3 Vectores...........................................................................................................3
$epresentación cartesiana de &ectores ...............................................................4 %plicaciones del cálculo &ectorial en la aeronáutica.....................................................4 Breve reseña de los orígenes de la aviación .......................................................4 Ee!plos donde se aplica el cálculo vectorial: "a to#era convencional $ vectorial 6
%plicaciones del cálculo &ectorial en la astronomía .....................................................8 %efinición de astrono!ía: ..................................................................................8 Breve reseña de los orígenes de la astrono!ía ...................................................8 Ee!plos de aplicación vectorial a los !ovi!ientos de un planeta ......................9
%plicaciones del cálculo &ectorial en ingeniería ci&il...................................................10 %efinición de ingeniería civil ............................................................................10 Breve reseña de los orígenes de la ingeniería Civil ............................................10 Ee!plos donde se aplica el cálculo vectorial en la ingeniería civil ....................11
%plicaciones del Calculo 1ectorial en la Ingeniería Mecánica2..................................13 %efinición de Ingeniería &ecánica' ...................................................................13 Breve reseña de los orígenes de la Ingeniera &ecánica .....................................14 Ee!plos donde se aplica el Cálculo Vectorial en la Ingeniería &ecánica ............15
%plicaciones del cálculo &ectorial en la Ingeniería Electrónica ..................................15 %efinición de Ingeniería Electrónica .................................................................15 Breve reseña del origen de la Ingeniería Electrónica' ........................................15 Ee!plos donde se aplica el Cálculo Vectorial en la Ingeniería Electrónica .........16
Introducción
!as aplicaciones del Calculo 1ectorial en la ingeniería son di&ersas ya 3ue prácticamente a un Ingeniero no importando la especialidad en la 3ue se desempe4e5 le incum6e sa6er un poco de este tema5 así 3ue para poder destacar la importancia de este tema nos dimos a la tarea de realiar una in&estigación en donde mencionaremos las principales aplicaciones del Calculo 1ectorial en particular los temas &istos durante el primer parcial de nuestro curso de esta asignatura2
(plicaciones del cálculo vectorial Cálculo vectorial
El desarrollo cientí7ico de la 7ísica se (a sustentado modernamente en los principios de las matemáticas2 Uno de los conceptos 6ásicos para la de7inición de las magnitudes 7ísicas es el &ector5 una entidad dotada de módulo5 dirección y sentido en la 3ue se inspira la ela6oración de los modelos y postulados más elementales de la 7ísica teórica2 Magnitudes &ectoriales5 para las 3ue se precisa un &alor numérico5 una dirección y un sentido de aplicación5 tal como sucede con la &elocidad5 la aceleración o la 7uera2 Vectores
!as magnitudes &ectoriales se especi7ican mediante entidades matemáticas llamadas &ectores5 3ue se caracterian por tres propiedades8 •
&ódulo' Cantidad numérica siempre positi&a 3ue e9presa la intensidad de la magnitud2 Para el
•
&ector 5 su módulo se e9presa : : o5 simplemente5 a2 %irección' $ecta 3ue contiene al segmento 3ue mide la magnitud &ectorial2 )entido' "rientación de la magnitud dentro del segmento de dirección2
•
$epresentación cartesiana de &ectores !as magnitudes &ectoriales pueden representarse en el plano o en el espacio de7iniendo un sistema de re7erencia con un origen " y dos ;en representación plana< o tres ;en el espacio< e=es mutuamente perpendiculares de re7erencia5 llamados cartesianos y denotados com>nmente por las letras ?5 @5 Z2
So6re cada uno de estos e=es se de7ine un &ector unitario sim6oliado por com>nmente
5 respecti&amente ;o
<2
Componentes de un &ector en un sistema de re7erencia tridimensional2 En 7unción de su representación cartesiana5 un &ector se e9presa como8
(plicaciones del cálculo vectorial en la aeronáutica Breve
'ura so6re
reseña de los orígenes de la aviación *
nte miles de a4os5 la tercera dimensión5 el espacio la super7icie terrestre5 pareció &edada al (om6re2 Nacido sin alas5 encadenado a la tierra5 este e9traordinario mamí7ero5 3ue sa6ía (acer 7uego y camina6a erecto5 comprendió5 sin em6argo5 3ue precisamente
esas
regiones
inalcana6les
determina6an su &ida8 allá arri6a en el espacio recorría su ruta el glo6o ígneo5 cuyos rayos enti6ia6an el aire y (acían 6rotar la &egetación5 allá en a3uella región misteriosa (a6itada la luna de cam6iante 7orma y resplandecían las estrellas5 7lota6an las nue&es y 7ulgían los relámpagos2 'esde el espacio caían la llu&ia5 la nie&e5 el granio destructor o los &i&i7icantes rayos solares2 Parece e&idente 3ue esa c>pula aul oculta6a un in&isi6le reino po6lado por espíritus5 demonios5 dioses y otros seres 3ue go6erna6an el destino (umano2 El AcieloB de anta4o no es más 3ue esa tercera dimensión a>n ine9plorada 3ue (oy llamamos AespacioB 1 Ideas retomadas en la Revista Sucesos No. 16. Historia de la Aviación. as !roe"as de los a#os $istóricos de la aeron%utica. &resentado !or 'entile"a de Ser(io )arros * &atricio )arros. +++.li,ros maravillosos.com.
Para la Cristiandad medie&al5 el cielo es 'ominio de 'ios y cual3uier intento de e9plorar sus espacios representa una (ere=ía 3ue sólo merece la muerte en la (oguera2 Será necesaria la aparición de Copérnico5 #alileo y NeDton para 3ue sur=a una nue&a cosmogonía y nue&os conocimientos acerca del espacio5 del sistema solar y de las inmensas distancias interplanetarias2
En *0+. el "6ispo de C(ester5 o(n Fil-ins5 secretario
y co7undador de la
muy cientí7ica $oyal Society5 pu6lica un li6ro en 3ue
declara 3ue llegará
el día en 3ue el (om6re podrá &olar2 No con alas 7i=as a
su
gracias al sucesor de todos a3uellos imaginarios carros
&olantes
pue6lan la mitología8 un &e(ículo impulsado por una
7uera deri&ada de
cuerpo5
sino 3ue
un aire etéreo similar al 7uego2 El 6uen o6ispo a4ade8 ,anto me=or será el carro &olante como lo es la na&egación en un 6arco5 comparada con los es7ueros de 3uien nada sostenido sólo por sus mo&imientos2
En el siglo ?1I5 Nostradamus (a6ía anunciado8 carros 3ue ruidosamente &ia=arán por los aires y serán esperados por muc(as gen tes5 tal como (oy se espera en los puertos el arri6o de las na&es2 !a idea de &olar apasiona a un mundo 3ue a>n no (a descu6ierto la manera de (acerlo2 En *0). se pu6lica en %lemania 'el %rte de 1olar5 un tratado en idioma latino5
!eonardo da 1inci ;%nc(iano*G) %m6oise5 Jrancia **K< 7ue un polímata 7lorentino del $enacimiento italiano2 Jue a la &e pintor5 anatomista5 ar3uitecto5
paleontólogo5
artista5 6otánico5 cientí7ico5 escritor5 escultor5 7ilóso7o5
ingeniero5 in&entor5
m>sico5 poeta y ur6anista2 !eonardo conci6ió multitud de má3uinas 3ue la técnica (a
aca6ado
por
con&ertir en realidad siglos más tarde8 aparatos de na&egación ;como un su6marino5 una campana de 6uceo y un sal&a&idas<5 má3uinas &oladoras ;como el paracaídas5 una especie de (elicóptero y unas alas
inspiradas en las de las a&es para (acer &olar a un (om6re<5 má3uinas de guerra ;como un puente portátil y un anticipo del carro de com6ate del siglo ??<2 Ee!plos donde se aplica el cálculo vectorial: "a to#era convencional $ vectorial
El punto de interés para la aplicación de las representaciones &ectoriales en la aeronáutica5 siendo de7inida como Ala ciencia o disciplina cuyo ám6ito es el estudio5 dise4o y manu7actura de aparatos mecánicos capaces de ele&arse en &ueloB5 así como el con=unto de las técnicas 3ue permiten el control de aerona&es y mantiene en 6uen estado productos como los a&iones5 misiles y satélites espaciales2 !a aeronáutica tam6ién englo6a la aerodinámica5 3ue estudia el mo&imiento y el comportamiento del aire cuando un o6=eto se desplaa en su interior5 como sucede con los a&iones2 Estas dos ramas son parte de la ciencia 7ísica2 El empu=e &ectorial es una tecnología aeronáutica relati&amente reciente 3ue permite al a&ión mo&erse &ectorialmente ;(acia arri6aLa6a=o5 derec(aLi3uierda5 etc2< sin cam6iar la orientación longitudinal y así poder (acer manio6ras más a6ruptas2 %l proporcionar empu=e &ectorial (acia arri6a5 principalmente durante el despegue y aterria=e5 se dota a la aerona&e de actuaciones características de 1,"! ;1ertical ,a-e"77 and !anding< y S,"! ;S(ort ,a-e"77 and !anding< longitudes cortas de aterria=e y despegue 2)
&anio#ra#ilidad de e!pue con to#era convencional $ to#era vectorial
- a. /lena ó!e" N#e". ise#o de una instalación !ara la caracteri"ación del com!ortamiento 2uido din%mico de una to,era de em!ue vectorial * de su estela. niversidad &olitcnica de alencia. -011.
% continuación se presenta la di7erencia entre la to6era con&encional y la to6era &ectorial2 Para re7erirnos a la primera5 se presenta un e=emplo de una tur6ina de gas + 3ue es una má3uina motri 3ue con&ierte la energía deri&ada de la com6ustión de un elemento5 normalmente 3ueroseno5 en energía mecánica en 7orma de c(orro de aire de alta presión y ele&ada temperatura2 Esta energía mecánica puede ser apro&ec(ada para mo&er un mecanismo propulsor tal como la (élice de un aeroplano o el rotor de un (elicóptero5 o para generar el empu=e 3ue impulsa a un a&ión2 Estas má3uinas constan 6ásicamente de cuatro partes8 compresor5 cámaras de com6ustión5 tur6ina y to6era de salida2 Su 7uncionamiento se lle&a a ca6o de la siguiente manera8 El aire entre por un conducto de entrada a la toma de compresores en esa ona5 un primer rotor con ala6es comprime el aire5 un segundo rotor lo comprime a>n más5 y así sucesi&amente (asta alcanar de */ a G/ &eces la presión del aire de entrada este aire pasa mediante di7usores a las cámaras de com6ustión5
donde un 7lu=o
constante de com6usti6le en 7orma de spray5 &apor o am6as cosas5 es 3uemado a una presión casi constante2
+o#era vectorial
+ur#ina de gas
(plicaciones del cálculo vectorial en la astrono!ía %efinición de astrono!ía:
Ciencia 3ue estudia la estructura y composición de los localiación y las leyes de sus mo&imientos2 !a astronomía grandes ramas8 la astronomía 7undamental5 la astro7ísica y
astros5 su se di&ide en tres la cosmología G
3 $tt!7+++.manualvuelo.comSISI31.$tml Sistemas :uncionales. ;ur,inas de (as.
Breve reseña de los orígenes de la astrono!ía
!a %stronomía nació casi al mismo tiempo 3ue la (umanidad2 !os (om6res primiti&os ya se mara&illaron con el espectáculo 3ue o7recía el 7irmamento y los 7enómenos 3ue allí se presenta6an2
!a e&olución y di7usión de las teorías cientí7icas (an lle&ado a la de7initi&a separación entre la superstición ;astrología< y la ciencia ;%stronomía<2
1s
Ee!plos de aplicación vectorial a los !ovi!ientos de un planeta
El mo&imiento de un planeta o de un cometa alrededor del Sol5 en primera apro9imación5 depende de seis constantes 3ue pueden ser las coordenadas rectangulares del cuerpo en el tiempo t y las deri&adas primeras de estas coordenadas
3
( r , r ) o tam6ién cantidades ligadas a las precedentes como son los ⃗
⃗
seis elementos 3ue de7inen la ór6ita ; Ω5ω i, a, e, T <5 las constantes gaussianas %5 B, C, a, b, c 5 o los elementos &ectoriales
P , ⃗
Q, ⃗
R ⃗
,al solución de una representación satis7actoria del mo&imiento real del cuerpo en cuestión durante un inter&alo lo su7icientemente corto de tiempo para 3ue se pueda despreciar la acción de otros planetas2 Es 7ácil &er 3ue tres o6ser&aciones &eri7icadas en tres instantes distintos t 1 t 2 t 3 son teóricamente su7icientes para encontrar los seis elementos de la ór6ita2 Estas tres o6ser&aciones dan seis cantidades independientes5 por e=emplo las coordinadas ecuatoriales geocéntricas del cuerpo A1, D1 (i=*5 )5+ ), 3ue relacionamos con dic(os seis elementos2 Sean5 en e7ecto5 S 4 $tt!s7+++.(oo(le.com.m=searc$> ?@denicionBdeBastronomia?Co?@denicionBdeBastronomia?Ca?s@c$rome...69i5
el Sol5 T centro de la ,ierra y P el cuerpo celeste ;planeta5 cometa5 etc2< del cual 3ueremos determinar su ór6ita2 !lamemos p a la distancia del centro de la ,ierra a dic(o cuerpo celeste5 dirección TP con origen en T 5 R
R
p ⃗
al &ector unitario en la
al &ector de posición geocéntrico del Sol2
1iene ta6ulado en los anuarios y
p ⃗
se o6tiene por o6ser&ación5 de tal manera 3ue5
si suponemos5 como se (a dic(o5 3ue tra6a=emos en coordenadas ecuatoriales geocéntricas5 es8
(plicaciones del cálculo vectorial en ingeniería civil %efinición de ingeniería civil
!a ingeniería ci&il es la disciplina de la ingeniería pro7esional 3ue emplea conocimientos de cálculo5 mecánica5 (idráulica y 7ísica para encargarse del dise4o5 construcción
y
mantenimiento
de
las
in7raestructuras
emplaadas en el entorno5 incluyendo carreteras5 7errocarriles5 puentes5 canales5 presas5 puertos5 etc2
Breve reseña de los orígenes de la ingeniería Civil
!a ingeniería es tan antigua como la ci&iliación5 pero el concepto de ingeniero es relati&amente moderno en comparación al de ar3uitecto o al de especialista en construcción2 Esto no signi7ica 3ue no e9istieran ingenieros en el Egipto5 #recia y $oma de la antigOedad2
En el siglo ?1II5 los ingenieros militares en Jrancia esta6an organiados como el Corps des Jorti7ications5 tam6ién conocido como Corps du #enie2 Esta era una organiación de élite5 con la mayoría de sus miem6ros pertenecientes a la no6lea 7rancesa2 % un ingeniero militar 3ue tam6ién esta6a in&olucrado con los proyectos de o6ra ci&il se le llama6a #énie Ci&il2 !a transición del én7asis militar al ci&il se completó en *)/ cuando 7ue 7ormado el Corps des Ingenieurs des Ponts et C(aussées5 dedicado especialmente a la construcción de puentes y carreteras2 Para mediados del siglo ?1III5 se esta6leció la Qcole Nationale des Ponts et C(aussées5 la cual es generalmente considerada como la primera escuela
de
Ingeniería
Ci&il en el mundo2
o(n Smeaton 7ue el primer ingeniero en descri6irse
a sí mismo como
Aci&ilB5 para di7erenciarse de los ingenieros militares2
,am6ién
7ue
punto cla&e para esta6lecer en ** la Sociedad de Ingenieros Ci&iles en !ondres2
Ee!plos donde se aplica el cálculo vectorial en la ingeniería civil ,
El cálculo &ectorial es un campo de las matemáticas cuya especialidad es el análisis real multi&aria6le de los &ectores ya sea en ) o más dimensiones2 Es la 7acilitación de la solución de pro6lemas 7ísicos reales5 presentando en modelos matemáticos2 Un e=emplo donde se aplica el cálculo &ectorial es el dise4o de carreteras y &ías5 determinación de super7icies mínimas5 &ol>menes má9imos5 costos mínimos5 loa construcción de caminos por lugares complicados5 entre otros2 Una de las aplicaciones principales del cálculo &ectorial es el dise4o de &ías y carreteras5 el cálculo de la cur&atura 3ue una carretera de6e tener dependiendo de las condiciones 7ísicas en donde se planea construir2 Se componen de tres tipos de cur&aturas8 *2 !as rectas5 en donde la cur&atura R / )2 !as cur&as de transición5 en donde su cur&atura es &aria6le2 5 $tt!s7!re"i.comm1o==idEsd1calculoDvectorialDa!licadoDaDlaDin(enieriaDcivil
+2 !a cur&a5 en donde esta depende de una sola constante2 Centrémonos en la cur&a de transición5 misma 3ue presenta tres características8
!ongitud mínima8 !imitación de la &ariación de la aceleración centrí7uga en el plano (oriontal2 !imitación de la &ariación de la pendiente trans&ersal2 Condiciones de percepción &isual2
Uno de los o6=eti&os principales de la cur&a de
transición
e&itar las discontinuidades dentro de la cur&atura de la
carretera2
es
Una de las cur&as más utiliadas y aceptadas para el dise4o de las carreteras es la clotoide2 !a e9presión matemática usual es8 P9sRC ) ∧
P
el radio de la cur&atura
s
desarrollo del arco
C
la constante de la espiral
'onde8 $ $adio R !R !ongitud desde el punto de in7le9ión y el punto de radio $ % Parámetro de la clotoide R
!a clotoide es una cur&a tangente al e=e de las a6scisas en el origen y cuyo radio de cur&atura disminuye de manera in&ersamente proporcional a la distancia recorrida so6re ella2 Es por ello 3ue en el punto de origen de la cur&a5 el radio es in7inito2 Es la cur&a cuyas ecuaciones paramétricas &ienen dadas por S (t) y C (t).
El &ector tangente tiene longitud y unidad t es la longitud de arco5 medida a partir de ;/5/<
!a cur&a 3ue une la recta y la circun7erencia es la clotoide5 se
caracteria
por
&ariar su cur&atura desde la recta ;cur&atura R/< (asta la
circun7erencia
con
cur&atura dada2 %plicaciones del Calculo 1ectorial en la Ingeniería Mecánica2 %efinición de Ingeniería &ecánica'
!a ingeniería mecánica es una rama de la ingeniería 3ue aplica5 especí7icamente5 los principios de la termodinámica5 la mecánica5
la mecánica
de 7luidos y el análisis estructural5 para el dise4o y análisis de di&ersos elementos usados en la actualidad5 tales como ma3uinaria con
di&ersos
7ines ;térmicos5 (idráulicos5 de transporte5 de manu7actura<5 así
como
tam6ién
terrestres5
de sistemas de &entilación5 &e(ículos motoriados
aéreos y marítimos5 entre otras aplicaciones2 Breve reseña de los orígenes de la Ingeniera &ecánica
%ntes de mediados del siglo ?1III los tra6a=os de construcción a gran escala se ponían en manos de los ingenieros militares2 !a ingeniería militar englo6a6a tareas tales como la preparación de mapas topográ7icos5 la u6icación5 dise4o y construcción de carreteras y puentes5 y la construcción de 7uertes y muelles2 Sin em6argo5 en el siglo ?1III se empeó a utiliar el término ingeniería ci&il o de caminos para designar a los tra6a=os de ingeniería e7ectuados con propósitos no militares2 'e6ido al aumento de la utiliación de ma3uinaria en el siglo ?I? como consecuencia de la $e&olución Industrial5 la ingeniera mecánica se consolido como rama independiente de la ingeniera5 posteriormente ocurrió lo mismo con la ingeniera de minas2 !a Ingeniería Mecánica propiamente dic(a re>na todos los conocimientos cientí7icos y técnicos para la dirección de la producción5 la conser&ación y la reparación de ma3uinaria e instalaciones5 e3uipos y sistemas de producción industrial5 así como el estudio tecnológico especialiado de di7erentes materiales5
productos o procesos la proyección de má3uinas (erramientas para la industria manu7acturera5 minera y construcción y otras con 7ines no industriales como la agricultura2
Ee!plos donde se aplica el Cálculo Vectorial en la Ingeniería &ecánica
El cálculo &ectorial como es aplicado al espacio
tridimensional5
tiene
un
aplicati&o en la mecánica5 ya 3ue todos los 7enómenos
mecánicos ya sean estáticos o dinámicos
son &ectores5 como la 7uera5 la aceleración5 la &elocidad5
el tra6a=o5 la energía
%plicaciones del cálculo &ectorial en la Ingeniería
gran
campo
Electrónica
%efinición de Ingeniería Electrónica
!a in
geniería electrónica es una rama de la ingeniería5 6asada en la electrónica5 3ue se encarga de resol&er pro6lemas de la ingeniería tales como el control de procesos industriales y la trans7ormación de electricidad para el 7uncionamiento de di&ersos aparatos eléctricos2 ,iene aplicación en la industria5 en las telecomunicaciones5 en el dise4o y análisis de instrumentación electrónica5 micro controladores y microprocesadores2 Breve reseña del origen de la Ingeniería Electrónica'
!os e9perimentos lle&ados a ca6o por di7erentes cientí7icos a 7inales del siglo ?I? y principios del ?? en cuanto a los 7enómenos eléctricos y electromagnéticos 7ueron asentando las 6ases para lo 3ue poco tiempo después sería una nue&a especialidad5 primero de la 7ísica5 y seguidamente de la ingeniería2 En *..G ,(omas %l&a Edison en sus tra6a=os para me=orar la lámpara incandescente detecto el 7enómeno termoiónico5 7enómeno 3ue lle&a su nom6re2 Este (ec(o daría lugar a la primera &ál&ula electrónica ;ul6o electrónico< y al nacimiento de la nue&a ingeniería2
Ee!plos donde se aplica el Cálculo Vectorial en la Ingeniería Electrónica
En el campo de la electrónica se usa en el comportamiento de se4ales eléctricas5 y el comportamiento de las ondas como suma de 7asores ;&ectores 3ue dependen más del tiempo 3ue del espacio<
