APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES “Universidad
mayor de san andrés”
Facultad de ingeniería Curso Básico
Univ. Violeta quisber chuca Docente: ing. Carlos Fernández Mariño Materia de cálculo ii (mat-102)
Lapaz-bolivia
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES
PRIMERA PARTE Aplicaciones de las derivadas parciales
TEORIA DE LA PRIMERA PARTE 1.- Aplicaciones para encontrar planos tangentes y recta normal
Si 𝑧 = 𝑓(𝑥. 𝑦) es una función diferenciable en (𝑎, 𝑏) con, 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑐 podemos aproximar el incremento ∇𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑧 − 𝑐 por medio del diferencial d𝑧 = 𝑓𝑧 (𝑎, 𝑏)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)𝑑𝑦 Como 𝑑𝑧 = 𝑧 − 𝑎 y , 𝑑𝑦 = 𝑦 − 𝑏 podemos reescribir z − c = 𝑓𝑧 (𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏)
Que resulta ser la ecuación de un plano que pasa por el punto (𝑎, 𝑏, 𝑐)con vector normal 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝑁=( , ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦
Este plano se conoce como plano tangente a la superficie en el punto. (𝑎, 𝑏, 𝑐) y la recta perpendicular a N es la recta normal
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES Extremos relativos de una función
Definición. Una función tiene un máximo (mínimo) en un punto si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P. Condiciones necesarias de extremo. Si una función diferenciable extremo en el punto son iguales a cero, o sea:
alcanza un
entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto
; Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo. Condiciones suficientes para la existencia de extremos. (a) Caso de dos variables. Sea
un punto crítico de una función
derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea matriz hessiana, entonces:
con las
el determinante de su
Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método) (b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes:
;
i. ii. iii.
;
;...;
Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un mínimo en Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo ), entonces la función tiene un máximo en En cualquier otro caso hay duda.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES Extremos condicionados multiplicadores de LaGrange En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de LaGrange, llamados así en honor a Joseph Louis LaGrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de LaGrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores. La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero. Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:
Se procede a buscar un extremo para h
lo que es equivalente a
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES EJEMPLOS DE CADA UNA DE LAS APLICACIONES
1.- Aplicaciones para encontrar planos tangentes y recta normal Ejemplos 1.- Demostrar que explano tangente a la superficie 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪𝒛𝟐 = 𝑫 en el punto 𝑷(𝒂, 𝒃, 𝒄) es 𝑨𝒂𝒙𝟐 + 𝑩𝒃𝒚𝟐 + 𝑪𝒄𝒛𝟐 = 𝑫 Solución: El vector normal al plano tangente, es paralelo a ∆𝐹, donde 𝐹 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑧 2 − 𝐷 Luego: ∆𝐹 = (
𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 , , ) = (2𝐴𝑥, 2𝐵𝑦, 2𝐶𝑧) → 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
En el punto 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐), es ∆𝐹 = (2𝐴𝑎, 2𝐵𝑏, 2𝐶𝑐)
∆𝐹 = (2𝐴𝑥, 2𝐵𝑦, 2𝐶𝑧)
→ ⃑⃑⃑⃑ 𝑁 = (2𝐴𝑎, 2𝐵𝑏, 2𝐶𝑐)
⃑⃑⃑⃑ = 0 Reemplazando en la ecuación del plano: (𝑃⃑ − ⃑⃑⃑ 𝑃𝑜 )° 𝑁 [(𝑥, 𝑦, 𝑧) − (𝑎, 𝑏, 𝑐)]° (2𝐴𝑎, 2𝐵𝑏, 2𝐶𝑐) = 0 2𝐴𝑎(𝑥 − 𝑎) + 2𝐵𝑏(𝑦 − 𝑏) + 2𝐶𝑐(𝑧 − 𝑐) = 0 𝐴𝑎𝑥 + 𝐵𝑏𝑦 + 𝐶𝑐𝑧 − 𝐴𝑎2 − 𝐵𝑏 2 − 𝐶𝑐 2 = 0 𝐴𝑎𝑥 + 𝐵𝑏𝑦 + 𝐶𝑐𝑧 = 𝐴𝑎2 + 𝐵𝑏 2 + 𝐶𝑐 2
(1)
Pero 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) se halla sobre 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑧 2 = 𝐷 al reemplazar este punto se tiene 𝐴𝑎2 + 𝐵𝑏 2 + 𝐶𝑐 2 = 𝐷 reemplazando en (1) llegamos a demostrar que:
𝑨𝒂𝒙𝟐 + 𝑩𝒃𝒚𝟐 + 𝑪𝒄𝒛𝟐 = 𝑫
2.- Dada la superficie 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒛𝟐 = 𝟐 hallar la ecuacion de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie con el plano 𝒙 + 𝒚 = 𝟐 en el punto 𝑷(𝟏, 𝟏, 𝟏) Solución: para cada superficie de vemos hallar su gradiente en el punto dado, tenemos 𝐹 = 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒛𝟐 − 𝟐
𝐺 = 𝒙+𝒚 −2
→
𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 ∆𝐹 = ( , , ) = (2𝑥, −2𝑦, 4𝑧) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
→
𝜕𝐺 𝜕𝐺 𝜕𝐺 ∆𝐺 = ( , , ) = (1,1,0) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES En el punto 𝑃(1,1,1) se tienen ∆𝐹 = (2, −2,4) , ∆𝐺 = (1,1,0) la dirección de la recta tangente a la curva de intersección, será paralela a ∆𝐹 × ∆𝐺, luego: 𝑖 ∆𝐹 × ∆𝐺 = [2 1
𝑗 −2 1
𝑘 4] = (−4,4,4) = 4(−1,1,1) 0
Y podemos tomar 𝑢 ⃑ = (−1,1,1) como vector direccional de la recta buscada, como pasa por el punto (1,1,1)tenemos
𝒙−𝟏 𝒚−𝟏 𝒛−𝟏 = = −𝟏 𝟏 𝟏
Extremos relativos de una función Ejemplos 1.- Hallar los máximos y mínimos de 𝒇(𝒙,𝒚) = 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 Solución: en los puntos extremos debe cumplirse: 𝜕𝑓 =0 𝜕𝑥
𝜕𝑓 =0 𝜕𝑦
𝜕𝑓 = 3𝑥 2 + 2𝑥 = 0 𝜕𝑥
𝜕𝑓 = −3𝑦 2 + 2𝑦 = 0 𝜕𝑦
Resolviendo el sistema tenemos los puntos 𝑥2 = 0 2 𝑃2 : 𝑦2 = 3
𝑥 =0 𝑃1 : 1 𝑦1 = 0
𝑃3 :
2 3 𝑦3 = 0
𝑥3 = −
𝑃4 :
2 3 2 𝑦4 = 3
𝑥4 = −
Para reconocer el carácter de los puntos necesitamos las segundas derivadas 𝑓𝑥𝑥 = 6𝑥 + 2 ∆= |
𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑦𝑥
𝑓𝑥𝑦 6𝑥 + 2 |=| 0 𝑓𝑦𝑦
𝑓𝑥𝑦 = 0
𝑓𝑦𝑦 = −6𝑦 + 2
0 | = (6𝑥 + 2)(−6𝑦 + 2) −6𝑦 + 2
→
∆= 4(3𝑥 + 1)(1 − 3𝑦)
Al reemplazar los puntos en el Hessiano ∆ si ∆< 0 tenemos uin punto de ensilladura, si ∆> 0 tendremos máximo o mínimo según 𝑓𝑥𝑥 sea negativo o positivo respectivamente 𝑃1 : 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 𝑃2 : 𝑥 = 0, 𝑦 =
→ 2 3
2 𝑃3 : 𝑥 = − , 𝑦 = 0 3
∆= 4 > 0 → →
∧
𝑓𝑥𝑥 = 2 > 0
∆= −4 < 0 ∆= −4 < 0
→
𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜
→ 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 → 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES 2 2 𝑃4 : 𝑥 = − , 𝑦 = 3 3
→
∆= 4 > 0
∧
𝑓𝑥𝑥 = −2 < 0
→
𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜
Para hallar los valores de los extremos, reemplazamos las coordenadas de los puntos en 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑃1 : 𝑓(0,0) = 0
𝑃2 : 𝑓(1,2) = 3
4 27
𝑃3 : 𝑓(−2,0) = 3
4 27
𝑃4 : 𝑓(−2,2) = 33
8 27
2 2 𝟖 𝒆𝒏 (𝟎, 𝟎) 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒖𝒏 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟎 𝒆𝒏 (− , ) 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒖𝒏 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 3 3 𝟐𝟕 𝒇(𝒙,𝒚) = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 + 𝟑
2.- hallar los extremos locales (relativos) de la función Solución: en los puntos extremos se debe cumplir 𝜕𝑓 =0 𝜕𝑥
𝜕𝑓 =0 𝜕𝑦
𝜕𝑓 = 4𝑥 3 − 4𝑥 = 0 𝜕𝑥
𝜕𝑓 = 2𝑦 + 4 = 0 𝜕𝑦
Resolviendo el sistema tenemos los puntos 𝑃1 :
𝑥1 = 0 𝑦1 = −2
𝑃2 :
𝑥2 = 1 𝑦2 = −2
𝑥3 = −1 𝑦3 = −2
𝑃3 :
Para reconocer el carácter de los puntos necesitamos las segundas derivadas 𝑓𝑥𝑥 = 12𝑥 2 − 4 ∆= |
𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑦𝑥
2 𝑓𝑥𝑦 | = |12𝑥 − 4 𝑓𝑦𝑦 0
𝑓𝑥𝑦 = 0
𝑓𝑦𝑦 = 2
0| = (12𝑥 2 − 4) − 2 2
→
∆= 8(3𝑥 2 − 1)
Al reemplazar los puntos en el Hessiano ∆ si ∆< 0 tenemos uin punto de ensilladura, si ∆> 0 tendremos máximo o mínimo según 𝑓𝑥𝑥 sea negativo o positivo respectivamente 𝑃1 : 𝑥 = 0, 𝑦 = −2
→
∆= −8 < 0
→ 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎
𝑃2 : 𝑥 = 1, 𝑦 = −2
→
∆= 16 > 0
∧
𝑓𝑥𝑥 = 8 > 0
→ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑃3 : 𝑥 = 0, 𝑦 = −2
→
∆= 16 > 0
∧
𝑓𝑥𝑥 = 8 > 0
→ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜
Para hallar los valores de los extremos, reemplazamos las coordenadas de los puntos en 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑃1 : 𝑓(0,−2) = −1
𝑃2 : 𝑓(1,−2) = −2
𝑃3 : 𝑓(−1,−2) = −2
𝒆𝒏 𝒆𝒍𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑃1 (𝟎, −𝟐) 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒔𝒊𝒍𝒍𝒂𝒅𝒖𝒓𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 − 𝟏 𝒚 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝑃2 (𝟏, −𝟐) 𝒚 𝑃3 (−𝟏, −𝟐) 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏 𝒅𝒐𝒔 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒂 − 𝟐
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES Extremos condicionados multiplicadores de LaGrange Ejemplos 1.- hallar las dimensiones del paralelepípedo de mayor volumen posible que tiene tres caras 𝒙 𝒚 𝒛 en los planos coordenados y un vértice en el plano + + = 𝟏 𝟔
𝟒
𝟐
Solución: designando 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) al vértice opuesto, el volumen del paralelepípedo será 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐
→
𝑉 = 𝑥𝑦𝑧
(𝑎 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟)
Como el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) se halla sobre el plano se cumple: 𝑥 𝑦 𝑧 + + =1 6 4 2
(𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛)
Formamos la función de LaGrange 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,𝜆) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝜆 ( + + − 1) 6 4 2 𝜆 =0 6 𝜆 𝑓𝑦 = 𝑥𝑧 + = 0 4 𝜆 𝑓𝑧 = 𝑥𝑦 + = 0 2 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓𝜆 = + + − 1 = 0 6 4 2 𝑓𝑥 = 𝑦𝑧 +
𝑥=2 4 𝑦= 3 2 → 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑧= 3 16 𝜆=− 3
Los lados del paralelogramo son x,y,z:
𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒆𝒑𝒊𝒑𝒆𝒅𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝟐,
2.-. Hallar los puntos de
𝒙𝟐
𝟒 𝟐 , 𝟑 𝟑
+ 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏 que sean a) más cercano. b) más lejano respecto al
𝟗𝟔
plano 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟏𝟐𝒛 = 𝟐𝟖𝟖 Solución: sean 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) un punto sobre el elipsoide y 𝑄(𝑢, 𝑣, 𝑤) un punto sobre el plano 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 1 96 3𝑢 + 4𝑣 + 12𝑤 − 288 = 0
(𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)
El cuadrado de la distancia entre 𝑃 𝑦 𝑄 es 𝐷2 = (𝑎 − 𝑢)2 + (𝑏 − 𝑣)2 + (𝑐 − 𝑤)2
𝑎 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑦 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟
Formamos la función de LaGrange, con dos multiplicadores
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES
𝑓 = (𝑎 − 𝑢)2 + (𝑏 − 𝑣)2 + (𝑐 − 𝑤)2 + 𝜆 (
𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 1) + 𝑢(3𝑢 + 4𝑣 + 12𝑤 − 288) 96
Derivando respecto a las variables e igualando a cero 𝑎1 = 9 𝑎2 = −9 𝑎 =0 1 1 96 𝑏1 = 𝑏2 = − 8 8 𝑓𝑏 = 2(𝑏 − 𝑣) + 2𝜆𝑏 = 0 3 3 𝑓𝑐 = 2(𝑐 − 𝑤) + 2𝜆𝑐 = 0 𝑐1 = 𝑐2 = − 8 8 𝑓𝑢 = −2(𝑎 − 𝑢) + 3𝑢 = 0 2385 569 → 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑣 = −2(𝑏 − 𝑣) + 4𝑢 = 0 𝑢1 = 𝑢2 = − 169 169 𝑓𝑤 = −2(𝑐 − 𝑤) + 12𝑢 = 0 5385 30551 2 𝑎 𝑣1 = 𝑣2 = 169 1352 𝑓𝜆 = + 𝑏2 + 𝑐2 − 1 = 0 96 30213 28155 𝑓𝑢 = 3𝑢 + 4𝑣 + 12𝑤 − 288 = 0 𝑤2 = 𝑤1 = 1352 1352 𝑓𝑎 = 2(𝑎 − 𝑢) + 2𝜆
Reemplazando las soluciones en 𝐷2 tenemos 𝐷1 = 22.15 y 𝐷2 = 32.63
𝟏 𝟑 𝒑𝒂𝒓𝒂 (𝟗, , ) 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒂 𝟖 𝟖 𝟏 𝟑 𝒑𝒂𝒓𝒂 (−𝟗, − , − ) 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒂 𝟖 𝟖
EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA PRIMERA PARTE 1.- Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝟑𝒛𝟐 = 𝟐𝟏paralelo al plano 𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟎 Rpta: 𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 ± 21 = 0 2.- Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie 𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 + 𝟒𝒛𝟐 = 𝟒 que sea paralelo a la recta
𝒙−𝟓 𝟐
𝒛
= 𝒚 + 𝟔 = y perpendicular al plano 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟎 𝟑
Rpta: 3𝑥 − 2𝑧 = ±2√10 3.- Demostrar que el plano tangente al paraboloide 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 en el punto 𝑷(𝒂, 𝒃, 𝒄) intersecta en la recta con ecuación: 2 2 {2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 = 𝑎 + 𝑏 𝑧=0
4.- Dada la superficie 𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒛𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 = 𝟏𝟐hallar las ecuaciones de los planos tangentes a ella tal que sean perpendiculares a la recta Rpta: 4𝑦 + 16𝑧 ± 7 = 0
𝒙−𝟏 𝟎
= 𝒚 − √𝒆 =
𝒛−𝝅 𝟒
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES 5.- Para la superficie 𝒛 = √𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 𝒚 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟕 encontrar el coseno del angulo que forman las gradientes de las superficies en el mismo punto Rpta: 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −
5 √294
6.- Hallar los planos tangentes a la superficie
𝒙𝟐
+
𝟒
𝒚𝟐 𝟗
+
𝒛𝟐 𝟏𝟔
= 𝟏 que sean para lelos al plano XZ.
Rpta.: 𝑦 − 3 = 0 ; 𝑦 + 3 = 0 7.- ¿En qué puntos de la superficie 𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒛𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 = 𝟏𝟐 los planos tangentes son paralelos al planoXZ? Rpta: 𝑃0 (2,2,0)
;
𝑃1 (−2, −2,0)
8.- Hallar el plano tangente al paraboloide 𝒛 = −(𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) paralelo al plano 𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟐 Rpta: 96𝑥 + 96𝑦 + 128𝑧 − 27 = 0 9.- probar que todo plano tangente a la superficie 𝒙𝒚𝒛 = 𝒂𝟑 forma con los ejes de coordenadas un tetraedro de volumen constante. Hallar dicha constante 3
Rpta: 𝑉 = 𝑎3 2
10.- Hallar las proyecciones del elipsoide 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝒙𝒚 − 𝟏 = 𝟎 sobre los planos coordenados 2 2 Rpta: {3𝑦 + 4𝑧 = 4 𝑥=0
11.- Estudiar los extremos de: 𝒇(𝒙,𝒚) = 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 𝒚 + 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑 Rpta: No existe extremo 𝟐 +𝒚𝟐 )
12.- Hallar los extremos de 𝒇(𝒙,𝒚) = (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )𝒆−(𝒙
Rpta: en 𝑃(0,0) se tiene un mínimo igual a 0 ; 𝑃(𝑥, 𝑦) tal que 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 existen máximos de valor 𝑒 −1 13.- Hallar los extremos de 𝒖 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟔𝒛 Rpta: En 𝑃(24, −144, −1)tenemos un mínimo 𝑢 = −6913 14.- Hallar los extremos relativos si existen de la función 𝒇(𝒙,𝒚,𝒛) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + 𝒙𝒚 − 𝟐𝒛 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 Rpta.: en 𝑃(4, −1,1) existe un mínimo igual a -2 𝒚
𝒛
𝟏𝟔
𝒙
𝒚
𝒛
15.- Hallar los extremos de la función 𝒖 = 𝒙 + + +
Rpta: En 𝑃(2,4,8) existe un mínimo relativo de valor igual a 𝑢 = 8 ; en 𝑃(−2,4, −8) existe un máximo relativo de valor igual a 𝑢 = −8
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES 16.- Determinar la distancia mínima que existe entre la recta 𝒙 = 𝟐 + 𝟑𝒕 {𝒚 = −𝟏 + 𝟐𝒕 𝒛 =𝟐−𝒕
Y la recta que une los puntos donde el plano tangente a la superficie
𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒛𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 = 𝟏𝟐 Es paralelo al plano XZ 5
Rpta: 𝑑 = √3 3 17.- De una lámina rectangular de 𝟐𝟒 × 𝟏𝟐𝟎 se quiere construir un canal, para lo cual se doblara a lo largo de la lámina un longitud x y un Angulo 𝜽 hallar 𝒙, 𝜽 para que el canal conduzca el volumen máximo Rpta: 𝜃 =
𝜋 3
; 𝑥 = 8[𝑐𝑚]
18.- Calcule el área máxima del triángulo cuyo perímetro es de 𝟐 + √𝟐 unidades Rpta: 𝐴𝑚𝑎𝑥 =
1 2
19.- Una ventana rectangular esta coronada por una semicircunferencia, si el área total de la ventana debe ser 𝟔[`𝒎𝟐 ] hallar la relación entre la base y la altura del rectángulo para que el perímetro sea mínimo Rpta: 𝑏 = 2ℎ 20.- Un cuadrado de altura 𝒂 = 𝟏. 𝟐[𝒎] cuelga de la pared de modo que el borde inferior esta a 𝟏. 𝟖[𝒎] por encima del radio de la vista del observador. A que distancia de la pared debe situarse el observador para que su posición sea la más ventajosa para contemplar el cuadro Rpta: El observador debe ubicarse a 2.4[m] de la pared 21.- Cuales deben ser las dimensiones de la bañera cilíndrica abierta con una sección transversal semicircular, cuya superficie sea igual a 𝟏𝟎𝟖𝝅 parta que su capacidad sea máxima? Rpta: 𝑅 = 6 ; 𝐻 = 12 22.- Hallar el máximo volumen de una caja si la suma de las longitudes de sus aristas es a Rpta: 𝑉 =
𝑎3 1728
23.- Un envase cilíndrico debe contener 𝟒𝟎𝟎𝟎𝝅[𝒄𝒎𝟑 ] de agua. Si el costo por [𝒄𝒎𝟐 ] del metal para la construcción de la parte lateral es el doble del costo por [𝒄𝒎𝟐 ] de la tapa y base hallar las dimensiones del envase más económico 3
3
Rpta: ℎ = √4000[𝑐𝑚]; 𝑟 = √4000[𝑐𝑚]
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES 24.- Una empresa naviera requiere que las dimensiones de un contenedor rectangular sea tal que la longitud, más el doble del ancho más el doble de la altura, no sean mayor a 𝟐𝟒[𝒄𝒎] ¿Cuál es el contenedor de mayor volumen que podrá enviar la empresa naviera? Rpta: Las dimensiones son: longitud 8 metros y alto 4 metros 25.- Hallar el volumen máximo de un paralelepípedo, sabiendo que la suma de sus aristas es 2p Rpta: 𝑉 =
𝑝6 216
26.- Inscribir en un a semiesfera de radio R un paralelepípedo rectangular de volumen máximo Rpta: Las dimensiones son: (
2𝑅 2𝑅
,
,
𝑅
√3 √3 √3
)
27.- Determinar el tetraedro de volumen mínimo, formado por un plano que se encuentra a tres unidades del origen y lo planos coordenados en el primer octante Rpta: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3√3 28.- Hallar a) la distancia mínima b) el punto de la superficie donde ocurre dicha distancia entre el punto 𝑷(𝟑, 𝟎, 𝟎) y el paraboloide 𝒛 = 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 Rpta:
𝑎) la distancia minima es 𝐷 = √5 𝑏) el punto de minima distancia es 𝑃(1,0,1)
29.- Hallar los semiejes de la curva 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝟓𝒚𝟐 = 𝟏 4+√2 𝑎) semieje menor √ 14
Rpta:
4−√2
𝑏) semieje mayor √
14
30.- El plano 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟐 intercepta al paraboloide 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 según una elipse. Encontrar los puntos más bajos y más alto de esta elipse y determinar la longitud de los semiejes Rpta:
𝑎) semieje menor 5√2 𝑏) semieje mayor 5√6
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES
SEGUNDA PARTE Aplicaciones de las integrales múltiples
Áreas de figuras planas la integral doble de una función f positiva en una región bidimensional D, f x, y dA , como el volumen del sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora si se considera que ∬ 𝑓 (𝑥 , 𝑦 ) = 1, entonces la integral anterior queda como: ∬ 𝒇 (𝒙, 𝒚 ) = ∬ 𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝑨 Volúmenes por integrales dobles
La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales
Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir
Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como
Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos dA= dxdy Situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES
Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales. Áreas de superficies Si f: R ∈ R2 → R y sus primera derivadas parciales son continuas en la regi´on cerrada y acotada R, el a´rea de la superficie (S) dada por z = f (x, y) sobre R es:
𝑆 = ∬ √1 + 𝑧𝑥 2 + 𝑧𝑦 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 Volúmenes por integrales triples El problema de hallar el área comprendida entre la gráfica de una función positiva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a, x =b.
Dicha área se representaba como Vimos que este problema estaba relacionado con el cálculo de una primitiva de f(x). El Teorema de Barrow nos asegura que si F(x) es tal que F0(x) = f(x) entonces
Nuestro problema es el cálculo del volumen de un prisma de base rectangular R = [a, b] ã- [c, d] y limitado superiormente por la grafica de una función z = f(x, y) Positiva.
A este volumen lo denotaremos por Difiere del problema anterior en que no se resuelve encontrando una primitiva de f(x, y) (no tiene sentido), sino por el calculo de volúmenes por secciones. El volumen vendrá dado por la suma infinita de las áreas de las secciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano XZ, o también sumando las áreas de las infinitas secciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano Y Z.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES
Donde
Considerando en cada caso la x o la y fija. Así
El problema se convierte en el cálculo de una integral reiterada que ya sabemos resolver. Integral triple En el caso de las integrales triples se siguen los mismos pasos que en las integrales dobles Sea el paralelepípedo R z) una función continua sobre R
Sea f(x, y,
Definimos
Definición
Si f es una función acotada y, existe el
y no depende de la elección de
Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral triple sobre R, y se representa
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES
Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces
= V representa el volumen.
Propiedades. Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble.
1. Toda función continua es integrable 2. Linealidad, monotonía y aditividad 3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integración reiterada.
Integrales triples sobre regiones más generales Se repite el mismo proceso que en las integrales dobles. Se consideran los siguientes tipos de regiones: Tipo I: frontal y posterior rectas).
(paralelepípedo con paredes
Las regiones del tipo II son aquellas en las que y derecha planas).
(paralelepípedos con paredes izquierda
Las regiones del tipo III son aquellas en las que e planas).
(paralelepípedos con fondo y tapa
Sus integrales triples se resuelven de manera análoga. Las regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I, II o III. Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1 y W es una región acotada de
Cambio de variables en integrales triples Es parecido al cambio de variables en integrales dobles.
entonces
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES A dxdydz se le llama elemento de volumen. Representa el volumen de un paralelepípedo infinitesimal dxdydz = dV. Sabemos que el volumen de un paralelepípedo en
cuyos vectores
son
En valor absoluto Por consideraciones análogas a las que hicimos para integrales dobles, el elemento de Volumen dV = dxdydz, resultado de transformar mediante T el elemento de volumen dudvdw es:
Podemos, pues, enunciar el siguiente resultado Centros de masa y momentos de inercia Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región A del plano xy, un elemento dm de masa será dm= (x, y)dydx= (x, y)=dA (11) en donde = (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A (figura 6), en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calcular a) la masa M="" (x, y)dA; (12) b) el primer momento de la masa respecto al eje x Mx="" y (x, y)dA (13a) c) su primer momento respecto al eje y, My="" x(x, y)dA (13b) de 12 y 13 se deduce las coordenadas del centro de masa
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. Así el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por
y el momento de inercia respecto al eje y es
Tiene también interés el momento de inercia polar respecto al origen dado por
Esta última formula r2=x2+y2 es el cuadrado de la distancian desde el origen al punto representativo (x, y) En todas estas integrales deben ponerse los mismos límites de integración que si se tratara solo de calcular el área de A.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES EJEMPLOS DE LA SEGUNDA PARTE Áreas de figuras planas Ejemplos 1.- calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre dos círculos concéntricos de radios 2 y 4 Solución: considere una corona circular con centro en el origen del sistema de coordenadas tal como se observa a continuación.
Como 𝐴 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 y la región es simétrica respecto al origen entonces para simplificar el cálculo de área, solo se evaluara 𝐴 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 para la región del primer cuadrante de manera que 𝐴 = 4𝐴1 Entonces tenemos: luego : 𝐴1 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 Donde 𝐷1 = {(𝑥, 𝑦)/0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ∧ √4 − 𝑥 2 ≤ 𝑦 ≤ √16 − 𝑥 2 } 𝐷2 = {(𝑥, 𝑦)/2 ≤ 𝑥 ≤ 4 ∧ 0 ≤ 𝑦 ≤ √16 − 𝑥 2 } El área queda: √16−𝑥 2
2
𝐴1 = ∫ ∫ 0 2
√4−𝑥 2
√16−𝑥 2
4
𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∫ ∫ 2
𝑑𝑥𝑑𝑦
0 4
𝐴1 = ∫ (√16 − 𝑥 2 − √4 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑦 + ∫ √16 − 𝑥 2 𝑑𝑦 0
2
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES 𝜋 8𝜋 𝐴1 = (2√3 + ) + (−2√3 + ) = 3𝜋 3 3
𝑨 = 𝟏𝟐 𝝅
2.- dibuje la región D y calcule su área, empleando las intgrales dobles ∬𝑫 𝒅𝒙𝒅𝒚,
𝑫 = {(𝒙, 𝒚)/𝒙 ≥ 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 ∧ 𝒙 ≤ 𝟒 − 𝒚𝟐 }
Solución: La región D se encuentra acotada por las gráficas de las parábolas horizontales 𝑥 = 𝑦 2 − 2𝑦 ∧ 𝑥 = 4 − 𝑦 2 Para calcular el área de la región por medio de la integral doble es necesario definir los límites de integración Por tanto se obtiene como: 2
4−𝑦 2
𝐴=∫ ∫
2
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [4 − 2𝑦 2 + 2𝑦]𝑑𝑦 = 9
−1 𝑦 2 −2
−1
𝑨 = ∬ 𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝟗
Volúmenes por integrales dobles Ejemplos 1.- calcular el volumen del solido encerrado por las superficies 𝒛 = 𝟒 − 𝒙𝟐 , 𝒚 = 𝟒 − 𝒙𝟐 (primer octante) Solución: si el volumen se halla en el primer octante, los planos 𝑥 = 0 𝑦 = 0 𝑧 = 0 lo limitan
Aplicamos: 𝑉 = ∬(𝑧𝑠𝑢𝑝 − 𝑧𝑖𝑛𝑓 )𝑑𝐴 Según el grafico 𝑧𝑠𝑢𝑝 = 4 − 𝑥 2
𝑧𝑖𝑛𝑓 = 0
𝑉 = ∬(4 − 𝑥 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES La región de integración la da 𝑦 = 4 − 𝑥 2 en elprimer cuadrante dicha curva se intersecta con el eje x si 0 = 4 − 𝑥 2 → 𝑥 = ±2 El volumen queda: 4−𝑥 2
2 0
4
2
4
(4 − 𝑥 2 )𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ (4 − 𝑥 2 )𝑦|4−𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (4 − 𝑥 2 )2 𝑑𝑥 0
𝑉=∫ ∫ 0
0
0
2 4 8 1 8 1 𝑉 = ∫ (16 − 8𝑥 2 + 𝑥 4 )𝑑𝑥 = (16𝑥 − 𝑥 3 + 𝑥 5 ) = 32 − 23 + 25 3 5 3 5 0 0
𝑽=
𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟓
2.- Hallar el volumen encerrado por la superficie cilíndrica 𝒙𝟐 + 𝟐𝒛 = 𝟒 y los planos 𝒙 + 𝒚 = 𝟐 𝒚=𝟎 𝒛=𝟎 Solución: el volumen se da por
𝑉 = ∬(𝑧𝑠𝑢𝑝 − 𝑧𝑖𝑛𝑓 )𝑑𝐴 La superficie superior es 𝑧 =
4−𝑥 2 2
y la inferior es 𝑧 = 0 la región de
integración coincide con la intersección de la región con el plano XY es decir cuando 𝑧 = 0 𝑥 2 = 4, 𝑥 + 𝑦 = 2, 𝑦 = 0
→ 𝑥 = ±2,
𝑥+𝑦 =2 𝑦 =0
Colocando los límites de integración en el orden 𝑑𝑦𝑑𝑥 2
2−𝑥
𝑉=∫ ∫ −2 0
(
2 2 4 − 𝑥2 4 − 𝑥2 4 − 𝑥2 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ( ) 𝑦|2−𝑥 𝑑𝑥 = ∫ ( ) (2 − 𝑥)𝑑𝑥 0 2 2 2 −2 −2 2
𝑥3 𝑥3 𝑥4 𝑉 = ∫ (4 − 2𝑥 − 𝑥 + ) 𝑑𝑥 = (4𝑥 − 𝑥 2 − + ) 2 3 8 −2 −2 2
2
𝑉 = (4 ∗ 2 − 22 −
(−2)3 (−2)4 23 24 + ) − (4(−2) − (−2)2 − + ) 3 8 3 8
𝑽=
𝟑𝟐 𝟑
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES Áreas de superficies Ejemplos 1.- hallar el área de la parte del cilindro 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 que esta entre el plano 𝒛 = 𝒎𝒙 y elplano XOY Solución: en este caso no se puede despejar z de la superficie de la cual queremos conocer el área (es 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ) por lo cual usemos la formula equivalente 𝑆 = ∬ √1 + 𝑦𝑥 2 + 𝑦𝑧 2 𝑑𝑧𝑑𝑥 Como 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2
→ 𝑦 = √𝑟 2 − 𝑥 2 𝑦𝑥 = −
𝑥 √𝑟 2
− 𝑥2
(𝑦 > 0) luego
;
𝑦𝑧 = 0
Reemplazando tenemos
𝑆 = ∬ √1 + (−
𝑆=∬
2
𝑥 √𝑟 2 − 𝑥 2 𝑟
√𝑟 2 − 𝑥 2
) 𝑑𝑧𝑑𝑥
𝑑𝑧𝑑𝑥
Pero ahora R es la proyección de S sobre el plano XY es decir 𝑧 = 𝑚𝑥 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ; 𝑦 = 0 entonces 𝑥 = ±𝑟 Observe que vamos a calcular solo para 𝑥 > 0, 𝑧 > 0 como la superficie se repite en 𝑧 > 0 (pero al otro lado) luego multiplicamos por cuatro 𝑟
𝑚𝑥
𝑆1 = ∫ ∫ 0
0
𝑟 𝑟 𝑚𝑥 𝑟 𝑟𝑧 𝑟𝑚𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑥 = ∫ ( ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = (−𝑟𝑚 √𝑟 2 − 𝑥 2 ) 2 2 2 2 0 √𝑟 2 − 𝑥 2 0 √𝑟 − 𝑥 0 0 √𝑟 − 𝑥
𝑟
𝑆1 = 𝑟𝑚𝑟 = 𝑚𝑟 2
𝑝𝑒𝑟𝑜
𝑆 = 4𝑆1
𝑺 = 𝟒𝒎𝒓𝟐
2.- hallar el área de la superficie dada por 𝒛 = √𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 sobre la región 𝑹 = {(𝒙, 𝒚)\𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝒃, 𝒂 > 𝒃} Solución: el área de la superficie se calcula mediante 𝑆 = ∬ √1 + 𝑧𝑥 2 + 𝑧𝑦 2 𝑑𝑦𝑑𝑥
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES Donde R es la proyección de S sobre el plano XY, en este caso será 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑏2 De la superficie tenemos 𝑧 = √𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 entonces 𝑧𝑥 = −
𝑥 √𝑎2
−
𝑥2
−
𝑦2
;
𝑧𝑦 = −
𝑦 √𝑎2
− 𝑥 2 − 𝑦2
Reemplazando (solo calcularemos 𝑆1 para 𝑧 > 0) 𝑆1 = ∬ √1 + (−
2
𝑥 √𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑆1 = ∬
) + (− 𝑎
√𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2
𝑦 √𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2
2
) 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑥
Usando coordenadas polares 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 , 𝐽 = 𝑟 la región de integración se transforma en 𝑟 2 = 𝑏 2 luego 2𝜋
𝑏
𝑆1 = ∫
∫
0
0
2𝜋
𝑎 √𝑎2
−
𝑟2
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = ∫
𝑏
(−𝑎√𝑎2 − 𝑏 2 + 𝑎 √𝑎2 ) 𝑑𝜃 = 2𝜋𝑎 (𝑎 − √𝑎2 − 𝑏 2 ) 0
0
Pero 𝑆 = 2𝑆1
𝑺 = 𝟒𝝅𝒂 (𝒂 − √𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 )
Volúmenes por integrales triples Ejemplos 1.-. Hallar el volumen encerrado por (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 )𝟐 = 𝒂𝟐 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) 𝒂 > 𝟎 Solución: Pasemos a coordenadas esféricas 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛∅, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛∅ , 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠∅ ,
𝐽 = 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛∅
El sólido se transforma en: (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )2 = 𝑎2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) (𝑟 2 )2 = 𝑎2 (𝑟 2 𝑠𝑒𝑛2 ∅𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛2 ∅𝑠𝑒𝑛2 𝜃)2 𝑟 2 = 𝑎2 𝑠𝑒𝑛2 ∅
→
𝑟 = |𝑎𝑠𝑒𝑛∅|
El valor absoluto desaparece puesto que 0 ≤ ∅ ≤ 𝜋 y en ese rango
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES 𝑠𝑒𝑛∅ ≥ 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛∅ representa la revolución de una circunferencia alrededor del eje z (tiroide) los límites de los ángulos van en todo el rango 2𝜋
𝑉1 = ∫
𝜋
0 2𝜋
𝜋
𝑉1 = ∫
∫
0
0
𝑎𝑠𝑒𝑛∅
∫ ∫ 0
0
𝑎𝑠𝑒𝑛∅ 𝛼 𝜋 1 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝜃 = ∫ ∫ ( 𝑟 3 ) 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑑∅𝑑𝜃 3 0 0 0
𝜋 2𝜋 2𝜋 1 3 1 3 1 4 4 𝑎 𝑠𝑒𝑛3 ∅𝑑∅𝑑𝜃 = ∫ 𝑎 ( 𝑐𝑜𝑠 3 ∅ − 𝑐𝑜𝑠∅) 𝑑𝜃 = 𝑎3 ∫ 𝑑𝜃 = 𝑎3 2𝜋 3 3 3 9 9 0 0 0
𝑽=
𝟖 𝟑 𝒂 𝝅 𝟗
2.- Mediante una integral, calcular el volumen del solido encerrado por las superficies 𝒛 − 𝟔 = −(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒 ; 𝒛 + 𝟒 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 Solución: El volumen por integrales triples se calcula 𝑉 = ∭ 𝑑𝑣 en nuestro caso es preferible pasar a coordenadas cilíndricas: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 , 𝑧 = 𝑧 , 𝐽 = 𝑟 𝑉 = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑 𝑧 𝑧 − 6 = −(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑥 2 + 𝑦2 = 4
𝑧 = 6 − 𝑟2 𝑟=2 𝑧 =𝑟−4
→
𝑧 + 4 = √𝑥 2 + 𝑦 2 Colocando los limites en la integral 2𝜋
𝑉=∫ 0 2𝜋
2
𝑉=∫
∫
0
0
6−𝑟 2
2
∫ ∫ 0
2 (𝑟𝑧)6−𝑟 𝑟−4
𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑 𝜃
𝑟−4 2𝜋
𝑑𝑟𝑑𝜃 = ∫ 0
2
2𝜋 𝑟3 𝑟4 40 40 2𝜋 (5𝑟 − − ) 𝑑𝜃 = ∫ 𝑑𝜃 = ( 𝜃) 3 4 0 3 3 0 0 2
𝑽=
𝟖𝟎 𝝅 𝟑
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES Centros de masa y momentos de inercia por integrales multiples Ejemplo 1.- calcular el centro de masa de la figura plana limitada por 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏, 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝟏, 𝒚 = 𝟎 si su densidad es 𝜹(𝒙, 𝒚) = 𝒌𝒙 donde 𝒌 es una constante Solución: el centro de masa es el punto dado por: 𝑀𝑦 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑦 = 𝑚 𝑚𝑎𝑠𝑎 (𝑥̅ , 𝑦̅) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: { 𝑀𝑥 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥 𝑦̅ = = 𝑚 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑥̅ =
Primero calculemos la masa de la región: 𝑚 = ∬ 𝜹(𝒙, 𝒚) 𝑑𝑥𝑑𝑦 2
1 1 𝑥 1 1 𝑘 𝑘 2 𝑚 = ∫ ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ (𝑘𝑥𝑦)0𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = ( 𝑥 4 ) = 4 4 0 0 0 0 0
→
𝑚=
𝑘 4
También necesitamos los momentos estáticos 𝑀𝑥 = ∬ 𝑦𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
∧
𝑀𝑦 = ∬ 𝑥𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
Para 𝑀𝑥 𝑥2
𝑥2
1 𝑦2 𝑘 1 𝑘 𝑘 𝑀𝑥 = ∫ ∫ 𝑘𝑥 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ (𝑘𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 5 𝑑𝑥 = ( 𝑥 6 ) = 2 0 2 0 12 12 0 0 0 0 1
1
→
𝑀𝑥 =
𝑘 12
Para 𝑀𝑦 𝑥2
1 1 1 𝑘 𝑘 2 𝑀𝑦 = ∫ ∫ 𝑘𝑥 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ (𝑥 2 𝑦)0𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 = ( 𝑥 5 ) = 5 5 0 0 0 0 0 1
Luego las coordenadas del centro de gravedad son:
𝒌 𝑴𝒚 𝟓 ̅= 𝒙 = 𝒌 𝒎 𝟒 𝒌 𝑴𝒙 𝟏𝟐 ̅= 𝒚 = 𝒌 𝒎 𝟒 }
𝟒 𝟏 (𝒙 ̅, 𝒚 ̅) = ( , ) 𝟓 𝟑
→
𝑀𝑦 =
𝑘 5
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES 2.- calcule la masa, y el centroide del solido hemisferio superior de radio a, si la densidad es proporcional a 𝒙(𝒑 = 𝒌𝒛)
Solución: el centro de masa es el punto dado por: 𝑀𝑦𝑧 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑦𝑧 = 𝑚 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑀𝑥𝑧 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥𝑧 (𝑥̅ , 𝑦, ̅ 𝑧̅) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑦̅ = = 𝑚 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑀𝑥𝑦 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥𝑦 {𝑧̅ = 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑥̅ =
En nuestro caso el hemisferio tiene por ecuación 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒂𝟐 será conveniente pasar a coordenadas esféricas 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛∅, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛∅ , 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠∅ , La región se tomara en 𝑟 = 𝑎
𝜋
0≤∅≤
2
𝐽 = 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛∅
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
𝑚 = ∭ 𝜹(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ 𝒌𝒓𝒓𝒔𝒆𝒏𝟐 ∅ 𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝜃 2𝜋
𝑚=∫ 0 2𝜋
𝑚=∫ 0
𝜋 2
𝑎
2𝜋 2
∫ ∫ 𝑘𝑐𝑜𝑠∅𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝜃 = ∫ 0
0
∫
0
𝜋 4 2𝑎
0
𝜋
4
𝑘𝑠𝑒𝑛∅𝑐𝑜𝑠∅ 𝑑∅𝑑𝜃
2𝜋
2𝜋 4 2 𝑎4 𝑎 𝑎4 𝑎4 ( 𝑘𝑠𝑒𝑛2 ∅) 𝑑𝜃 = ∫ 𝑘 𝑑𝜃 = ( 𝑘𝜃) = 𝑘2𝜋 4 8 8 8 0 0 0
→
𝑚=
𝑎4 𝑘𝜋 4
Para hallar el centroide necesitamos lo, momentos estáticos respecto de los planos coordenados (note que la densidad en coordenadas esféricas es 𝛿 = 𝑧𝑘 = 𝑘𝑟𝑐𝑜𝑠∅ ) 𝜋 2
2𝜋
𝑀𝑥𝑦 = ∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 0 2𝜋
𝜋 2𝑘
𝑀𝑥𝑦 = ∫
∫
0
0
5
2𝜋 5
2
𝑎 𝑐𝑜𝑠 ∅𝑠𝑒𝑛∅ 𝑑∅𝑑𝜃 = ∫ 0
𝑎
∫ ∫ 𝑘𝑟 4 𝑐𝑜𝑠 2 ∅𝑠𝑒𝑛∅ 𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝜃 0
0 𝜋
2𝜋 2 𝑘 𝑘 5 𝑘 5 (− 𝑎5 𝑐𝑜𝑠 2 ∅) 𝑑𝜃 = ∫ 𝑎 𝑑𝜃 = 𝑎 2𝜋 15 15 0 0 15
Para 𝑀𝑦𝑧 2𝜋
𝑀𝑦𝑧 = ∭ 𝜹(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒙 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 0 2𝜋
𝑀𝑦𝑧 = ∫ 0
𝑎
𝑎
𝜋 2
∫ ∫ 𝑘𝑟 4 𝑐𝑜𝑠 2 ∅𝑠𝑒𝑛∅ 𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝜃 0
0 𝜋
∫ (𝑘𝑟 4 𝑐𝑜𝑠∅𝑠𝑒𝑛2 ∅𝑠𝑒𝑛∅)02 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0 0
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES Para 𝑀𝑥𝑧 2𝜋
𝑀𝑥𝑧 = ∭ 𝜹(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒚 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫
∫ ∫ 𝑘𝑟 4 𝑐𝑜𝑠 2 ∅𝑠𝑒𝑛∅ 𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝜃
0 2𝜋
𝑀𝑦𝑧 = ∫ 0
𝜋 2
𝑎 0
0 𝜋
𝑎
∫ (−𝑘𝑟 4 𝑐𝑜𝑠∅𝑠𝑒𝑛2 ∅𝑠𝑒𝑛∅)02 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0 0
Note que en 𝑀𝑦𝑧 𝑦 𝑀𝑥𝑧 se calculó la integral en el orden 𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝜃 con el fin de acelerar el cálculo y como todos los limites eran constantes, dicho cambio no presentó ninguna dificultad
𝑴𝒚 =𝟎 𝒎 𝑴𝒙 ̅= 𝒚 =𝟎 𝒎 𝒌 𝟓 𝑴𝒙𝒚 𝟏𝟓 𝒂 𝟐𝝅 𝒛̅ = = 𝟒 𝒂 𝒎 𝒌𝝅 } 𝟒 ̅= 𝒙
(𝒙 ̅, 𝒚 ̅, 𝒛̅) = (𝟎, 𝟎,
𝟖 𝒂) 𝟏𝟓
3.- Sea el paralelogramo acotado por 𝒚 = 𝟐𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟐, 𝒚 = 𝒙, 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 calcule su movimiento de inercia respecto al eje x, asumir densidad constante y unitaria Solución: el momento de inercia respecto al eje X es 𝐼𝑥 = ∬ 𝑦 2 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∬ 𝑦 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 Pues 𝛿(𝑥, 𝑦) = 1 dadas las ecuaciones de las curvas que limitan R es conveniente una transformación sean: 𝑢 =𝑦−𝑥 𝑣 = 2𝑥 − 𝑦
𝑥 =𝑢+𝑣 → 𝑦 = 2𝑢 + 𝑣
→
𝑥, 𝑦 𝑥𝑢 𝐽( ) = |𝑦 𝑢 𝑢, 𝑣
𝑥𝑣 1 𝑦𝑣 | = |2
1 | = −1 1
La integral se transforma en 𝐼𝑥 = ∬(2𝑢 + 𝑣)2 |𝐽| 𝑑𝑢𝑑𝑣 = ∬(2𝑢 + 𝑣)2 |−1| 𝑑𝑢𝑑𝑣 Hallamos la nueva región R´ 𝑦−𝑥 =0 2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑦−𝑥 =1 → 2𝑥 − 𝑦 = 2
𝑅´:
𝑢=0 𝑣=0
𝑢=1 𝑣=2
Colocamos los límites de integración a (2) 1 2 1 2 2 1 1 𝐼𝑥 = ∫ ∫ (2𝑢 + 𝑣)2 𝑑𝑢𝑑𝑣 = ∫ ( (2𝑢 + 𝑣)3 ) 𝑑𝑣 = ∫ [(1 + 𝑣)3 − 𝑣 3 ] 𝑑𝑣 0 0 0 0 6 0 6
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES 2
1 2 1 3𝑣 2 𝐼𝑥 = ∫ (1 + 3𝑣 + 3𝑣 2 ) 𝑑𝑣 = (𝑣 + + 𝑣3) 6 0 6 2 0
𝑰𝒙 =
𝟖 𝟑
4.- Hallar el momento de inercia polar de una lámina uniforme elíptica 𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 ≤ 𝟒 Solución: Supongamos 𝛿(𝑥, 𝑦) = 𝑘, el momento polar de inercia es 𝐼0 = ∬(𝑦 2 + 𝑥 2 )𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∬ 𝑘(𝑦 2 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥 Pasamos a coordenadas polares 𝑥 = 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 , 𝐽 = 2𝑟 𝑅: 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4
(2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + 4(𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)2 = 4
→
La integral queda: 2𝜋
𝐼0 = ∫ 0
1
2𝜋
∫ 𝑘[(2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)2 ] 2𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = ∫ 0
𝐼0 =
0
1
∫ 2𝑘𝑟 3 [4𝑐𝑜𝑠𝜃 2 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 ] 𝑑𝑟𝑑𝜃 0
2𝜋 𝑘 2𝜋 𝑘 3 𝑘 ∫ (4𝑐𝑜𝑠𝜃 2 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 ) 𝑑𝜃 = (5𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 10𝜋 2 0 4 2 4 0
𝑰𝟎 =
𝟓 𝒌𝝅 𝟐
→𝑟=1
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA SEGUNDA PARTE 1.- Hallar el área de la figura plana limitada por 𝒙𝒚 = 𝟒 , 𝒙 + 𝒚 = 𝟓 Rpta: 𝐴 =
15 2
− 8𝑙𝑛2
2.- Hallar el área de la figura limitada por 𝒚𝟐 = 𝟒𝒂𝒙 + 𝟒𝒂𝟐 , 𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝒂 (𝒂 > 𝟎) Rpta: 𝐴 =
64 3
𝑎2
3.- calcular el área de la figura limitada por las parábolas 𝒚 = 𝟔𝒙 − 𝒙𝟐 , 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 Rpta: 𝐴 =
64 3
4.- Hallar el área de la figura interior a 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟔𝒙 y exterior a 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙 Rpta: 𝐴 = 8𝜋 5.- Calcular el área comprendida entre las curvas 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 , 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝒚 Rpta: 𝐴 = 2(𝜋 − 2) 6.-Hallar el área encerrada por las curvas 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒂𝟐 , 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝒂𝒙 , (𝒂 > 𝟎) Rpta: 𝐴 =
4𝜋−3√3 6
𝑎2
7.- calcular el área de (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )𝟐 = 𝟒(𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 ) Rpta: 𝐴 = 4 8.- calcular el área interior a 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔 que sea exterior a la lemniscata(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )𝟐 = 𝟒(𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 ) Rpta: 𝐴 = 2𝜋 9.- calcular el área común a 𝒓 = 𝟒𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒚 𝒓𝟐 = 𝟖𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 Rpta: 𝐴 =
4𝜋 3
− 4√3 + 4
10.-calcular el área interior a 𝒓 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽 y exterior a 𝒓 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 Rpta: 𝐴 = 𝜋 11.- calcular el área encerrada por las curvas 𝒚 = 𝟐𝒙, 𝒚 = 𝟒𝒙, 𝒙𝒚 = 𝟐, 𝒙𝒚 = 𝟒 (𝒙 > 𝟎, 𝒚 > 𝟎) Rpta: 𝐴 = 𝑙𝑛2 12.-calcular el área dela figura plana limitada por 𝒙𝒚 = 𝟏, 𝒙 − 𝒙𝒚 = 𝟑, 𝒙 − 𝒙𝒚 = 𝟒 Rpta: 𝐴 = 7𝑙𝑛7 + 3𝑙𝑛3 − 10𝑙𝑛5
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES 13.- Calcular el volumen encerrado por 𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟎, 𝒛 = 𝟒 y los planos coordenados 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟎 Rpta: 𝑉 =
32 3
14.- calcular el volumen del solido limitado por las superficies 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 , 𝒚 = 𝒙𝟐 , 𝒛 = 𝟎 Rpta: 𝑉 =
88 105
15.- calcular el volumen del cuerpo limitado por 𝒚𝟐 = 𝟒𝒎𝟐 − 𝟑𝒎𝒙, 𝒚𝟐 = 𝒎𝒙, 𝒛 = ±𝝅 Rpta: 𝑉 =
32 9
𝜋𝑚2
16.- hallar el volumen encerrado por la superficie cilíndrica 𝒙𝟐 + 𝟐𝒛 = 𝟒 y los planos 𝒙 + 𝒚 = 𝟐, 𝒚 = 𝟎, 𝒛 = 𝟎 Rpta: 𝑉 =
32 3
17.- calcular el volumen acotado superiormente por el plano 𝒛 = 𝟐𝒙 e inferiormente por el paraboloide 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 Rpta: 𝑉 =
𝜋 2
18.- calcular el volumen interior a la esfera 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒 y al cilindro 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 = 𝟎 Rpta: 𝑉 =
16 3
𝜋
19.- calcular el volumen interior a 𝒙𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟐 y exterior a 𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒛𝟐 = 𝟐 8
Rpta: 𝑉 = (4 − √2)𝜋 3
20.- Calcular el volumen encerrado por
𝒙𝟐 𝟏𝟔
+
𝒚𝟐 𝟗
− 𝒛𝟐 = −𝟏,
𝒙𝟐 𝟏𝟔
+
𝒚𝟐 𝟗
=𝟏
Rpta: 𝑉 = 16𝜋(√8 − 1) 21.- sea S el trozo del cono 𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 interior al cilindro 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒂𝟐 y situado en el primer octante calcular S Rpta: 𝑆 = 𝜋𝑎2 22.-hallar el área de la parte del cilindro 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 que esta entre el plano 𝒛 = 𝒎𝒙 y el plano XOY Rpta: 𝑆 = 4𝑚𝑟 2 23.- hallar el área de la superficie de intersección de los tres cilindros 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒂𝟐 , 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒂 𝟐 , 𝒛𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝒂 𝟐 Rpta: 𝑆 = 24𝑎(2 − √2)
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES 24.- hallar el área de la porción del cilindro 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟔𝒚 que cae dentro de la esfera 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟑𝟔 Rpta: 𝑆 = 144 25.- Hallar el área de la parte del cono 𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 cortada por el cilindro (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )𝟐 = 𝒂𝟐 (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 ) Rpta: 𝑆 = 2√2𝑎2 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒𝒛
26.-hallar el volumen interior a las superficies 𝒛 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 , Rpta: 𝑉 = 8𝜋
27.- calcular el volumen encerrado por 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟎, 𝟒𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 , 𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 Rpta: 𝑉 =
32 9
3
− 𝜋 8
28.- Hallar el volumen encerrado por los paraboloides 𝒛 = 𝒓𝟐 𝒚
𝒛 = 𝟖 − 𝟑𝒓𝟐
Rpta: 𝑉 = 8𝜋 29.- hallar el volumen encerrado por (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 )𝟑 = 𝟏𝟔(𝒛𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝟐 Rpta: 𝑉 = (
4096 105
√2 −
768 35
)𝜋
30.- calcular el volumen del elipsoide
𝒙𝟐 𝒂𝟐
+
𝒚𝟐 𝒃𝟐
+
𝒛𝟐 𝒄𝟐
=𝟏
4
Rpta: 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐𝜋 3
𝒙
31.- calcular el volumen encerrado por ( ) 𝒂
Rpta: 𝑉 =
4 35
𝟐⁄ 𝟑
𝒚
+( ) 𝒃
𝟐⁄ 𝟑
𝒛
+( ) 𝒄
𝟐⁄ 𝟑
=𝟏
𝑎𝑏𝑐𝜋
32.- encuentre el volumen limitado por los cilindros hiperbólicos 𝒙𝒚 = 𝟏, 𝒙𝒚 = 𝟒, 𝒙𝒛 = 𝟏, 𝒙𝒛 = 𝟗, 𝒚𝒛 = 𝟒, 𝒀𝒛 = 𝟗, 𝒙 > 𝟎, 𝒚 > 𝟎, 𝒛 > 𝟎 Rpta: 𝑉 = 8 33.- encuentre la masa y el centroide de una lámina plana limitada por 𝒚 = 𝒙𝟐 , 𝒚 = 𝟐 − 𝒙𝟐 densidad superficial 𝝆(𝒙, 𝒚) = 𝒚
Rpta: {
𝑚=
8 3 79
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 (0, ) 70
34.- hallar el centroide de la placa plana homogénea limitada por las curvas 𝒚 = 𝟔𝒙 − 𝒙𝟐 , 𝒚 = 𝒙
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Y LAS INTEGRALES MULTIPLES 5
Rpta: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 ( , 5) 2
35.- Una lámina tiene forma de la región limitada por
𝒙𝟐 𝟒
+
𝒚𝟐 𝟏𝟔
= 𝟏, 𝒚 ≥ 𝟎 hallar el centro de
masa si 𝝆(𝒙, 𝒚) = |𝒙|𝒚 8
Rpta: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 (0, ) 15
36.- una lamina tiene forma de la región del primer cuadrante limitada por las graficas de 𝝅 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒙, 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒙, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ hallar su centro de masa si 𝝆(𝒙, 𝒚) = 𝒚 𝟐
𝜋 4(8−5√2)
Rpta: ( , 4
9(𝜋−2)
)
37.- Hallar el momento de inercia de una lamina plana homogénea limitada por 𝒚 = 𝒙𝟐 , 𝒚 = 𝒙 respecto de los ejes OX,OY (densidad constante k) Rpta: 𝐼𝑥 =
𝑘 28
; 𝐼𝑥 =
𝑘 20
38.- Mediante integración múltiple, calcular la masa de un cono de base de radio R y altura H si su densidad es constante e igual a k 𝜋
Rpta: 𝑚 = 𝑘𝐻𝑅2 3
39.- Calcule el centroide del solido hemisferio superios de radio a si la densidad es proporcional a 𝒛 (𝝆 = 𝒌𝒛) Rpta: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 (0,0,
8 15
𝑎)
40.- hallar el momento de inercia de una esfera de radio R y masa m 1
Rpta: 𝐼 = 𝑚𝑅2 3
BIBLIOGRAFIA Lliulli Villanueva, Edgar. CALCULO II PROBLEMAS RESUELTOS. Editorial Watalo’z 2011 Purcell, Varberg, Rigdon CALCULO NOVENA EDICION. Editorial Prentice Hall 2007 Larson, Hotetler. CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA VOLUMEN 2 (sexta edición) Editorial McGrawHill Villena Moises INTEGRACION MULTIPLE (pdf) Cabello Piñar, Juan Carlos APUNTES DE CALCULO (2) Universidad de granada Departamento de análisis matemático
