UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Mecánica Calidad Universitaria y Acreditación FIM
SÍLABO CURSO: CÁLCULO VECTORIAL I.
INFORMACIÓN GENERAL CODIGO : MB148 Cálculo Vectorial CICLO :3 CREDITOS :5 HORAS POR SEMANA : 6 (Teoría – Práctica) PRERREQUISITOS PRERREQUISITOS : Cálculo Integral CONDICION : Obligatorio ÁREA ACADÉMICA : Ciencias Básicas y Humanidades PROFESOR : Rosa Ñique Alvarez E-MAIL: E-MAIL:
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II.
SUMILLA DEL CURSO El curso es de carácter teórico-práctico y tiene el propósito de brindar a los estudiantes de la Facultad de Ingeniería Mecánica, los conceptos matemáticos para resolver problemas de Ingeniería relacionados con la geometría y longitud de una curva, área de una región plana, volumen de un sólido, trabajo de un campo de fuerzas, flujo volumétrico a través de un superficie. Comprende el estudio de: Función vectorial de una variable real, Función real de varias variables, Integración múltiple, Campos vectoriales, Integrales de línea e Integrales de superficie.
III.
COMPETENCIAS El estudiante: 1. Grafica curvas en el espacio tridimensional usando la definición de curvatura, torsión. 2. Entiende y aplica la derivada parcial y direccional a problemas de razón de cambio 3. Organiza datos para su adecuada interpretación y calcula los valores extremos de una función. 4. Entiende, calcula y aplica la integral doble en el cálculo de área de regiones planas y volumen de sólidos 5. Entiende, calcula y aplica la integral triple en el cálculo de volumen de sólidos. 6. Entiende, calcula y aplica la integral de línea en el cálculo de masa y trabajo
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IV.
7. Entiende, calcula y aplica la integral de superficie en el cálculo del flujo volumétrico. UNIDADES DE APRENDIZAJE 1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL / 18 HORAS Definición/ Gráfica de curvas en el espacio./ Algebra de las funciones vectoriales./ Límite: definición y propiedades./ Continuidad: definición y propiedades./ Derivada: definición y propiedades./ Diferencial: definición y propiedades./Integración: definición y propiedades./ Primer y Segundo Teorema Fundamental del Cálculo./ Longitud de arco./ Función longitud de arco./ Parametrización de una curva. Curva regular./ Curva regular orientada./ Reparametrización de una curva regular./ Parametrización de una curva regular por la longitud de arco./Vectores unitarios: tangente, normal principal y binormal./ Triedro móvil./Componente tangencial y normal de la aceleración./Planos: osculador, normal principal y rectificante./ Curvatura: definición y teoremas. Radio y centro de la circunferencia de curvatura./ Torsión: definición y teoremas./ Fórmulas de Frenet-Serret para curvas de rapidez unitaria y arbitraria./ Aplicaciones. 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES / 24 HORAS Definición./ Curvas y superficies de nivel/. Gráfica de superficies./ Algebra de las funciones de varias variables./ Conjunto abierto y cerrado./ Punto de acumulación./ Límite: definición y propiedades./ Continuidad: definición y propiedades./Derivadas parciales: definición./ Interpretación Geométrica para una función de dos variables/.Derivada parcial de orden superior: definición./ Teoremas./ Incrementos./ Diferenciales y teoremas./ Diferencial Total./Regla de la cadena: teorema./Derivación parcial implícita: Teorema./Derivada Direccional: definición./ Interpretación geométrica./ Teoremas./Gradiente: definición y teoremas./Planos tangentes y rectas normales a una superficie./Valores extremos relativos y extremos absolutos./ Criterio de la segunda derivada y Aplicaciones./Valores extremos con una o dos condiciones: Método de Multiplicadores de Lagrange./ Aplicaciones. 3. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE / 20 HORAS Integrales iteradas/ Áreas de regiones planas./ Integrales dobles: definición y propiedades./ Evaluación de integrales dobles. Teorema de Fubini./ Volumen de sólido y áreas de regiones planas./ Integrales dobles en coordenadas polares: definición y evaluación./ Integral doble en coordenadas polares./ Aplicaciones: densidad, masa, momentos y centros de masa./ Área de una superficie./ Jacobiano de una transformación de dos variables./ Cambio de variables en una integral doble./ Integrales triples: definición y evaluación./
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Aplicaciones: volumen, masa, momentos y centros de masa./ Sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas./ Integral triple en coordenadas cilíndricas./.Integral triple en coordenadas esféricas./ Jacobiano de una transformación de tres variables./ Cambio de variables en una integral triples./ Integrales iteradas y Áreas de regiones planas./ Integrales dobles: definición y propiedades./ Evaluación de integrales dobles. Teorema de Fubini./ Volumen de sólido y áreas de regiones planas./Integrales dobles en coordenadas polares: definición y evaluación./ Integral doble en coordenadas polares./ Aplicaciones: densidad, masa, momentos y centros de masa./ Área de una superficie./ Jacobiano de una transformación de dos variables./ Cambio de variables en una integral doble./ Integrales triples: definición y evaluación./ Aplicaciones: volumen, masa, momentos y centros de masa./ Sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas./ Integral triple en coordenadas cilíndricas./ Integral triple en coordenadas esféricas./ Jacobiano de una transformación de tres variables./ Cambio de variables en una integral triples. 4. INTEGRALES DE LÍNEA / 12 HORAS Campos vectoriales./ Campos escalares y Campo vectorial conservativo./ Operadores diferenciales: rotacional, gradiente, divergencia y Propiedades./ Integrales de línea de campos escalares: definición y propiedades./ Evaluación de la integral de línea de campos escalares./ Evaluación de la integral de línea de campos vectoriales./ Teorema fundamental para integrales de línea./ Independencia de trayectoria para integrales de línea./ Aplicaciones: área de una superficie lateral, trabajo a lo largo de una curva, circulación de un fluido, pérdida o ganancia de un fluido./Regiones simplemente conexas y múltiplemente conexas./ Teorema de Green para regiones simplemente y doblemente conexa./ Integral de línea para el área. 5. INTEGRALES DE SUPERFICIE / 10 HORAS Superficies paramétricas: definición./ Vectores normales y planos tangentes./ Área de una superficie paramétrica./ Integrales de superficie: definición./ Evaluación de la integral de superficie./ Superficies Orientadas./ Integrales de flujo: definición./ Evaluación de la integral de flujo./ Aplicaciones: flujo eléctrico, flujo térmico./ Teorema de Stokes./ Teorema de la divergencia./ Aplicaciones: ley de Gauss y Coulomb. V.
METODOLOGÍA El curso se desarrolla en sesiones de teorías y práctica. En las sesiones de teoría, el docente presenta los conceptos, teoremas y aplicaciones; se usa Matlab para la gráfica de curvas, superficies y aplicaciones. En las sesiones prácticas, se hace trabajo de grupo, los alumnos resuelven diversos problemas y un alumno por 3/4
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grupo expone y analiza su solución. En todas las sesiones se promueve la participación activa del alumno. Además el curso tiene el aula virtual: CALCULO VECTORIAL, código: ylcdsli VI.
FÓRMULA DE EVALUACIÓN El curso se evaluará de acuerdo al sistema "F" Promedio de prácticas calificadas (P.P.) Examen parcial (E.P.) Examen final (E.F.) Examen de subsanación (ES), es de carácter opcional. Número de Prácticas calificadas: 04 cuatro y el promedio de prácticas calificadas (P.P.) es el promedio aritmético de las 03 nota más altas de las prácticas calificadas. 1P.P. 1E.P. 2E.F. La nota final (NF) N.F. 4
VII.
BIBLIOGRAFÍA 1. Finney Thomas. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA (Volumen 2), 6ta. Edición Addison Wesley. Iberoamericana. 1987. 2. Larson Ronald, Hostetler Robert, Edwards Bruce. CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. 5ta. Edición. Mc Graw Hill. 1995. 3. Leithold Louis. EL CÁLCULO. 7ma Edición: Oxford, 1998. 4. Marsden Jeviold , Tromba Anthony. CÁLCULO VECTORIAL. 4ta Edición. Addison-Wesley Iberoamericana, 1998. 5. Purcell Edwin, Varberg Dale. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. 6ta Edición. Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. 1995. 6. Seeley Robert, CÁLCULO DE UNA Y VARIAS VARIABLES. 2da. Edición. Trillas S.A. 1990. 7. Stein Sherman, Barcellos Anthony. CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (Volumen 2), 5ta Edición. Mc Graw Hill. 1994. 8. Stewart James. CÁLCULO. 4 ta Edición. Thomson. 2004. 9. Swokowski, Earl. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. 2da. Edición. Grupo Editorial Iberoamericana. S.A. 1988. 10. Zill Dennis, Wright Warren. CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES. Cuarta Edición. Mc Graw Hill, 2011.
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