Métodos cuantitativos en las Finanzas Ing. William Mendoza
APLICACIONES DE LAS MATRICES
1. Matriz Matriz de invent inventari arios os (Suma (Suma de matric matrices) es) El inventario (en galones) de una pequeña tienda de pinturas al inicio de una semana está dado por la matriz A. egro !lanco "o#o A
80 = 50
72 58
45
Re gular
60 De lujo
$us ventas durante la semana están dadas d adas por la matriz $. egro !lanco "o#o S =
65 27
70 47
39
Re gular
35 De lujo
Escri%a el inventario al término de la semana. 2. Matriz Matriz de producción producción (Suma de matrices matrices y producto producto por un escalar) escalar) &na empresa produce dos tipos de ca'é en tres tamaños distintos. a produccin (en miles de unidades) en su planta de d e la locaclidad A está dada por* +amaño , +amaño - +amaño
Tipo1 Tipo 2
20 16
28
30
22
20
Mientras que la produccin (en miles) en su planta de la localidad ! está dada por* +amaño , +amaño - +amaño
Tipo1 Tipo 2
20 16
28
30
22
20
El gerente de la empresa planea a%rir una tercera planta en una localidad /0 la cual tendr1a una capacidad de un -23 más que la localizada en !. /uál será la produccin total en las tres localidades4 3. Trabajo Trabajo e ingresos ingresos (producto de matrices) $usana gana 56 en una 7ora como institutriz0 institutriz0 58 la 7ora como mecangra'a mecangra'a 9 5,.62 en una 7ora como niñera. El n:mero de 7oras que tra%a# en cada tipo de tra%a#o en un periodo de ; semanas está dado por la matriz A.
$emana I
II
III
I<
15 10 16 12 #n$%i%u%ri " A = 6 4 2 3 Mecangra! a 2 7 0 4 Niñera
$i ' = [ 5 6 sus elementos.
1&5 ]
denota su matriz matriz de ingresos0 determine determine la patriz =A e interprete
,
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. !n"lisis #nsumo$%roducto& Matriz de 'eontie (matriz inversa& sistemas de ecuaciones lineales) El modelo insumo>producto 'ue introducido por primera vez a 'inales de los cuarenta por eontie'0 el ganador del premio o%el en ,?@0 en un estudio de la econom1a de Estados &nidos. a principal caracter1stica de este modelo es que incorpora las interacciones entre di'erentes industrias o sectores que integran la econom1a. El o%#etivo del modelo es permitir a los economistas predecir los niveles de produccin 'uturos de cada industria (vector ) a 'in de satis'acer demandas 'uturas para diversos productos (vector *). +al prediccin se complica por las interacciones entre las di'erentes industrias0 a causa de las cuales un cam%io en la demanda de un producto de una industria puede modi'icar los niveles de produccin de otras industrias. =or e#emplo0 un incremento en la demanda de automviles no solo conducirá a un aumento en los niveles de produccin de los 'a%ricantes de automviles0 sino tam%ién en los niveles de una variedad de otras industrias en la econom1a0 tales como la industria del acero0 la industria de los neumáticos0 etc. En el modelo original de eontie'0 la econom1a de Estados &nidos aparece dividida en 622 sectores de este tipo que interact:an entre s1.
$upngase que una econom1a se divide en n industrias0 9 cada industria produce solamente un tipo de producto 'inal. &sualmente las industrias están relacionadas en el sentido de que cada una de ellas de%e usar algunos de los productos de las otras para poder 'uncionar. Además0 una econom1a de%e producir generalmente algunos productos terminados para la demanda 'inal. El análisis de insumo>producto determina la produccin de cada una de las industrias si cam%ia la demanda 'inal0 suponiendo que la estructura de la econom1a no var1a. Es conveniente ta%ular los datos para el análisis insumo>producto0 como se muestra en la ta%la siguiente*
=roduc> tor , . . . n
,
&suario -
...
n
%,, %-, . . . %n,
%, %-. . . %n-
... ... . . . ...
%,n %-n . . . %nn
emanda 'inal d, d. . . dn
=roduccin +otal B, B. . . Bn
En donde %i # es el valor o importe (en unidades monetarias) de los productos producidos por la industria i0 consumidos o empleados por la industria #0 di es la demanda 'inal para los productos de la industria i 0 9 Bi es la produccin total de la industria i (es decir0 BiC %i,D%i-D...D%inDdi). $ea !C%i #nBn 0 CdinB, (vector demanda) 0 GCBinB, (matriz de produccin). a estructura econmica se puede descri%ir a7ora mediante la matriz insumo$producto !+,ai j-nn0 en donde ai #C(%i #HB #) representa la proporcin de los insumos consumidos
-
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por la industria #0 provenientes de la industria i. =or lo tanto0 como %i #Cai # .Bi 0 entonces la i>ésima industria de%e producir aB,Dai-B-D...DainBn para satis'acer las demandas de todas las industrias. =or tanto0 el vector demanda interindustrial puede plantearse como AG. Además0 como la produccin de la econom1a de%e a#ustarse para satis'acer tanto las necesidades interindustriales como la demanda 'inal0 entonces de%erá ser* GC AGD =or lo cual* G>AGC (I>A)GC 90 'inalmente* GC(I>A) >, En donde (I>A) se conoce como matriz de eontie'. =or e#emplo0 considérese una econom1a 7ipotética mu9 sencilla de dos industrias I 9 II0 representadas en la ta%la siguiente* &suario =roductor Ind. I Ind. II emanda =roduccin Final +otal Industria I 622 62 ,62 ,222 Industria II -2 82 ,-2 22 En donde las ci'ras corresponden a millones de dlares. $e desea determinar cuál de%erá ser el vector produccin (G) de tal econom1a0 si luego de un estudio de mercado se espera que la demanda 'inal cam%ie a -22 en el caso de la industria I 9 a ,22 en caso de la industria II. $olucin* 1000 500 350 150 !C 0 GC 0 nueva C 800 320 360 120 &&&&&&&&&& &&&&& ai #C(%i #HB #)0 entonces AC &&&&&&&&&& &&&&& &&&&&&&&&& &&&&& &&&&&&&&&& &&&&&& I>AC &&&&&&&&&& &&&&& &&&&&&&&&& &&&&&&
/omo
(I>A)>,C
&&&&&&&&&& &&&&& &&&&&&&&&& &&&&&
&&&&&&&&&& &&&&&& &&&&&&&&&& &&&&&&
&&&&&&&&&& &&&&&& &&&&&&&&&& &&&&&&
&&&&&&&&&& &&&&& Entonces0 GC(I>A)>,C &&&&&&&&&& &&&&&
&&&&&&&&&& &&&&&&
200 &&&&&&&&&& &&&&&&& C . &&&&&&&&&& &&&&&& 100 &&&&&&&&&& &&&&&&
conom/a 0ipottica con dos industrias &na econom1a 7ipotética simple de dos industrias0 I 9 II0 está representada en la siguiente ta%la (las ci'ras son millones de unidades monetarias de productos). &suario
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=roductor
Ind. I
Ind. II
Industria I Industria II
,62 -22
-;2 ,-2
emanda Final -,2 ,82
=roduccin +otal 822 ;2
eterminar el vector produccin que corresponde a la econom1a0 si la demanda 'inal cam%ia a (a) ,22 para I 9 -22 para II J (%) 62 para I 9 82 para II. "espuestas* a) ;;-.,, para I 9 ;8.,8 para II. !) ,@2.6 para I 9 ,66.@? para II. Trabajo grupal esuelva el problema siguiente.
&na econom1a 7ipotética simple de tres industrias0 A0 ! 9 /0 está representada en la siguiente ta%la (las ci'ras son millones de unidades monetarias de productos). &suario =roductor A ! / emanda =roduccin Final +otal A 2 ,22 ,22 ;2 -2 ! 2 -22 82 82 ;22 / 2 ,22 ,22 -2 22 eterminar el vector produccin que corresponde a la econom1a0 si la demanda 'inal cam%ia a (a) ,-2 para A0 ;2 para ! 9 ,2 para /J (%) 82 para A0 82 para ! 9 82 para /. "espuestas* (a) ;,.@; para A0 ;8?.6@ para !0 9 @,.@; para /. 6;-.8, para ! 9;8?.6@2 para /.
(%) ;8?.6@ para A0
4. %unto de e5uilibrio del mercado a ecuacin de demanda de cierto producto es pD-BC-6 9 la ecuacin de o'erta es p>BC60 en donde p es el precio 9 B es la cantidad demandada o suministrada (o'recida)0 seg:n el caso. /alcule los valores de B 9 p en el punto de equili%rio. &tilice técnicas matriciales. "espuesta* BC;0 pC,@. 6. !signación de ma5uinaria &na empresa produce tres productos0 A0 ! 9 /0 los que procesa en tres máquinas. El tiempo (en 7oras) requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres máquinas está dado por la matriz*
A ! / ()*uina # 3
1 2 ()*uina ## 1 2 4 ()*uina ### 2 1 1
$i dispone de la máquina I por 62 7oras0 de la máquina II por ,-22 7oras 9 de la máquina III por 662 7oras0 cuántas unidades de cada producto de%er1an producirse con o%#eto de emplear todo el tiempo disponi%le las máquinas4 "espuesta* ,220 ,62 9 -22 unidades de A0 !0 /.
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