Análi An áliss i s Mat Matrr i ci cial al de Estructuras Ing. Juan Manuel Urteaga García García
ANÁLISIS ANÁL ISIS ESTRUCTURAL Universidad Privada Antenor Antenor Orrego
¿Que vamos a hacer? • Introducción al Álgebra Matricial. • Matrices, tipos operaciones matriciales y su uso en el Análisis Est. • Introducción al Análisis Matricial Matricial de Estructuras. Básicas para el Análisis de Est. • Herramientas Básicas l as relaciones estudiadas. • Redefinición de las
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Álgebra Matricial Breve Introducción • Se presenta una introducción a las reglas básicas del
Álgebra Matricial. • Con la finalidad de hacer recordar a los alumnos las herramientas con las que se cuenta para poder realizar un correcto Análisis Estructural.
Definición
• Se llama matriz a un arreglo ordenado de números en
filas y columnas.
a1,1 a2,1 . . am,1
{A} =
a1,2 a2,2 . . am,2
. . . . .
. . . . .
a1,n a2,n . . am,n
Esta es una matriz de m filas y n columnas El orden de la matriz es m x n Sus elementos de los identifica como a i,j
i = identificador de filas j = identificador de columnas
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Matriz Vector
• A la matriz que consta únicamente
con valores arreglados en una fila se le llama matriz fila (m = 1) {A}
a1,1
a1,2
.
.
a1,n
En cambio a la matriz únicamente con valores en una columna se le llama matriz Columna (n = 1)
{A}
=
=
a1,1 a2,1 . . am,1
A estas matrices se las conoce también como vectores
TIPOS ESPECIALES DE MATRICES
{M} 3
Matriz Cuadrada • Se conoce así a la matriz donde el números de filas es
igual al número de columnas, m = n
{A} =
a1,1 a2,1 a3,1 a4,1 a5,1
a1,2 a2,2 a3,2 a4,2 a5,2
a1,3 a2,3 a3,3 a4,3 a5,3
a1,4 a2,4 a3,4 a4,4 a5,4
a1,5 a2,5 a3,5 a4,5 a5,5
El orden de la matriz es de 5 X 5
Matriz Simétrica • Se conoce así a la matriz donde los elementos a i,j = a j,i
{A} =
1 -8 5 -2 0
-8 45 -6 4 3
5 -6 7 6 -4
-2 4 6 -1 20
0 3 -4 20 28
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Matriz Identidad • Se conoce así a la matriz cuadrada donde todos los
elementos de la diagonal principal son igual a 1 y los restantes son iguales a 0 se la denota como { I } 1 0 0 0 0
{I}=
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
Matriz Transpuesta • Si a una matriz se la reordena de manera tal que las
columnas de la original resultan en las filas de la segunda, a esta se la conoce como matriz transpuesta. A la transpuesta de {A} se la denota como ´{A} T
{A} =
1 -8 9
2 4 7
5 -6 6
{A}T =
1 2 5
-8 4 -6
9 7 6
La transpuesta de un vector columna es un vector fila y vs.
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ARITMÉTICA MATRICIAL
{M}
Suma y Resta de Matrices • Dos matrices pueden sumarse o restarse únicamente si las dos matrices son del mismo orden y se denotan {A}+{B}={C}
1 3
2 4
+
5 7
6 8
=
6 10
8 12
La ley conmutativa y la ley asociativa cumplen para la resta y suma de matrices {A}+{B}={B}+{A} {A}+({B}+{C})=({A}+{B})+{C}
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Multiplicación Escalar de Matrices • Una matriz queda multiplicada por un escalar cuando
todos los elementos de esta se multiplican por el escalar.
e{A} =
ea1,1 ea1,2 ea2,1 ea2,2 . . . eam,1 eam,2
. . . . .
. . . . .
ea1,n ea2,n . . . eam,n
Multiplicación de Matrices • Dos matrices pueden multiplicarse solamente si son
conformables. • Esto es si queremos multiplicar {A} {B} el número de columnas de {A} es igual al número de filas de {B}
{A}mxl {B}lxn = {C}mxn l
ci,j = S ai,k bk,j K=1
7
1 3 5
2 4 6
5 7
6 8
2x2
3x2
(1)(5)+(2)(7) (1)(6)+(2)(8) (3)(5)+(4)(7) (3)(6)+(4)(8) (5)(5)+(6)(7) (5)(6)+(6)(8)
19 43 67
24 50 78
3x2
Determinante de una Matriz • Es un único valor que adquiere toda una matriz Cuadrada • Este valor se encuentra fácilmente para una matriz de
orden 2 x 2 5 |A|
=
6 = (5 x 3) - (6 x 2) = 3
2 3 • Para desarrollar determinantes de orden mayor se acude al método de los menores
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Desarrollo por Menores • Un menor cualquiera de una matriz {A} que corresponde a un elemento ai,j. es el determinante de la matriz reducida que se logra eliminando la fila(i) y la columna(j). 1 3 2 {A} = 5 4 3 -2 3 1 - 1 x ((4 x 1) - (3 x 3)) + … …+ 3 x ((5 x 1) - (-2 x 3)) + … = -8 … - 2 x ((5 x 3) - (-2 x 4))
Cada elemento tiene un menor, y este por lo tanto llegara a tener un valor Si a este valor se le multiplica por (-1)i+jse le llama cofactor
Matriz Adjunta • Si al conjunto de cofactores se la ordena bajo el mismo arreglo de la matriz original y se la transpone a la matriz resultante se le llama matriz Adjunta 1 2 3 {A} = 2 3 4 1 5 3 A1,1= -11 A1,2= -2 A1,3= 7 A2,1= 9 A2,2= 0 A2,3= -3 A3,1= -1 A3,2= 2 A3,3= -1 -11 -2 7 T -11 9 -1 Adj{A} = 9 0 -3 = -2 0 2 -1 2 -1 7 -3 -1
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Matriz Inversa • Hemos visto que las matrices pueden sumarse, restarse y
multiplicarse, pero no hemos vista que se puedan dividir, lo mas cercano a esto es la inversa de la matriz inversa y se define de la siguiente manera. {A} -1 {A}{A}-1 = {A} -1{A} = {I}
• Una manera de encontrar una matriz inversa es la
siguiente
{A} -1= Adj {A} |A|
Aplicación de la Matriz Inversa • Un sistema de ecuaciones puede ser representado
mediante una ecuación matricial de la siguiente manera.
{A} {X} = {B} • Las incógnitas contenidas en el vector {X} se pueden encontrar premultiplicando ambos lados de la ecuación matricial por la inversa de {A} {A}-1{A} {X} = {A}-1{B} {I}{X} = {A}-1{B} {X} = {A}-1{B}
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