UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABI FACULTAD DE I NGENIERIA Carrera de Ingeniería Civil
ANALISIS MATRICIAL ASIGNATURA: CURSO: ESTUDIANTES:
ANALISIS MATRICIAL MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS
NIVEL VII “B”.
BARCIA DELGADO PEDRO JUNIOR.
DOCENTE:
ING. FERNANDO DEL CASTILLO
A. CATEDRA:
ING. AGUSTIN ZAMBRANO
Manta – Manabí – Ecuador 23 de Noviembre de 2017.
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TECEDENTES TEORICOS Los métodos básicos del análisis estructural conducen a la formulación de sistemas de ecuaciones simultaneas que, para estructuras de regular tamaño llegan a ser muy tedioso resolverlos por sus dimensiones de grado elevado, por lo que su resolución por métodos manuales consume demasiado tiempo. Para solucionar este problema, se desarrollaron métodos numéricos aproximados, pero aun así seguían siendo laboriosos y propensos a que se cometan errores en el proceso. El método de Cross es un ejemplo típico. Entonces llegaron las computadoras y junto con ellas la resolución de grandes sistemas de ecuaciones simultaneas dejo de ser un problema, y se regresó a los métodos fundamentales, como el de las fuerzas y el de las deformaciones o desplazamientos. Pero estos métodos se replantearon con un enfoque matricial más adecuado a la utilización de programas de computadoras. En este informe se mostrará el análisis matricial de estructuras, con un enfoque explicativo. En el cual realizare dos ejercicios planteados por nuestro ayudante de catedra.
TEORÍA BÁSICA ELEMENTO En estructuras se estudia solo elementos lineales, un elemento lineal es generado por un área plana, cuyo centro de gravedad denominamos directriz o eje. Las dimensiones del área transversal deben ser pequeñas en comparación c on la longitud de la directriz.
Fig1. Diferentes tipos de elementos ( extraído del libro análisis matricial de estructuras escrito por el Dr. Roberto Aguiar Falconí.)
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NUDOS O JUNTAS Se denomina nudo a los puntos de conexión de varios elementos, pueden estar unidos entre sí dos o mas elementos. Otra definición de nudo es un punto el mismo que varios elementos Inter seccionados los cuales concurren a él.
Fig2. Representación de nudos en pórticos planos ( extraído del libro análisis matricial de estructuras escrito por el Dr. Roberto Aguiar Falconí.)
Es importante notar, que, si bien un nudo se representa como un punto, en la realidad esto no es así, ya que es un elemento físico que tiene dimensiones como lo semana la fig. 3., el cual se pude desplazar y girar. Por lo tanto, los códigos de ACI 318, le dan cada vez mas importancia al diseño de nudos. En estructuras construidas en zonas de alto riesgo sísmico se diseñan los nudos haciendo que sea fuerte.
Fig3. NUDO TIPICO ( extraído del libro análisis matricial de estructuras escrito por el Dr. Roberto Aguiar Falconí.)
ESTRUCTURA Una estructura es una cadena elástica estable, la cual esta compuesta por un numro finito de elementos unidos entre si mediante nudos o juntas.
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COORDENADAS GENERALIZADAS Para determinar la configuración de un sistema se emplean sistemas de coordenadas, en el análisis estructural conocemos tres clases de coordenadas, están las coordenadas globales las cuales se emplean para referenciar a toda la estructura, coordenadas locales estas se usan en los elementos para dar sentido correspondiente a su eje, coordenadas de nudo las cuales son en eje (x) y eje (y). Como se muestra en la fig.4.
NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD Se denomina número de grados de libertad al número de coordenadas generalizadas que se emplean para definir la configuración del sistema estructural. Como se muestra en la fig.4.
Fig. 4. Coordenadas generalizadas y numero de grados de libertad.
MATERIALES Y EQUIPOS UTILIZADOS
Cuaderno de apuntes
Copias de las clases
Computadora
Programa de Excel
Programa de etabs 2016
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PROCEDIMIENTO EN EXCEL EJERCICIO 1 Planteamos el ejercicio de la siguiente forma, colocándole los grados de libertad enumerados desde el punto de apoyo o estacionamiento, pasando por los puntos intermedios en los cuales la sección transversal varia y en aquellos puntos se aplicó una carga, las cargas están representadas con flechas de color rojo y encima esta la carga teórica. La estructura esta compuesta por varias secciones, la cuales dividiremos cada sección, y a cada sección diferente la enumeramos. También planteamos un cuadro donde estarán los datos requeridos para iniciar el análisis matricial.
2.- después de tener el planteamiento del ejercicio, empezamos calculando la matriz de rigidez A∗ E
del elemento en coordenadas. Con la siguiente formula ki = L forma de matriz. Y sacaremos una matriz (kei) por cada elemento.
la cual plantearemos en
MATRIZ DE RIGIDEZ Se enumera cada matriz con los grados de libertad de cada elemento, tomando en cuenta el nudo inicial y nudo final de cada elemento, es decir donde comienza y donde termina.
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3.-Despues de eso, realizamos un ensamblaje para determinar la matriz de rigideces de la estructura, la cual denominamos KE, en esta matriz se enumera de acuerdo a la cantidad de grados de libertad, en este caso son 4. Cada fila y cada columna están sumados los valores de acuerdo a la intersección de los grados de libertad (números en color rojo). Esta sumatoria se da a partir de la unión de los elemento que forman la estructura y esta suma se da de la matriz de rigidez de cada elemento.
4.-Calculo de desplazamiento, se da a partir de la formula
U=Ku¯¹*P
La cual es la multiplicación de la matriz KU inversa, correspondiente a los grados libres que pueden desplazarse excluyendo a los grados de libertad restringidos.
Y esto se multiplica por el vector de cargas P el cual tendrá una dimensión vertical igual a los grados de libertad libres. El vector P colocamos las cargas correspondientes a los puntos 2,3,4 que son los grados donde se aplican dichas cargas de 1tn, 2tn y 3tn, pero las colocamos en kg. Se realiza la multiplicación y los resultados están en U unidades en cm.
5.-calcular la reacción correspondiente al empotramiento el cual esta enumerado con el grado de libertad uno. Se emplea la formula
R=kr*U en el cual kr se encuentra en la matriz de la
estructura KE en color verde.
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PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS EN ETABS EJERCICIO 1 1.-Abrir etabs 2.-Crear un modelo sistemático de líneas de grid 3.-Colocarle las secciones. 4.-En cada sección tendrá una cota. 5.-Le agregamos nuestras cotas en la siguiente ventana. 6.- Nos aparecerá una pestaña colocaremos
donde las
dimensiones, despues de eso
se
crea
nuestro
modelo de grid. Debemos crear el material
7.-Para eso nos vamos define, clicamos en la pestañan propiedades. 8.- Elegimos el que dice 4000psi, le damos doble clic
para
que
nos
aparezca este ventanita. 9.- Debemos cambiarle el nombre al material, yo le puse material XD, en la misma ventanita vamos a quitarte el peso, así que volumen” ponemos cero.
donde dice “weight per unit en la misma ventana nos vamos a cambiar el módulo de elasticidad de nuestro material, pero debemos tomar en cuenta que tenemos unidades diferentes, por lo tanto debemos usar la calculadora interna del programa, seleccionamos la casilla, apretamos la tecla shift seguido de dos clic dentro de la casilla. Nos aparecerá la ventanita llama “CSI calculator”. Donde podremos cambiar unidades. 10.-Cambiamos las unidades de “mm” a “cm” 11.-Y escribimos el módulo que tenemos de 210000 , le damos a calcular y después ok. 12.-Nos aparece cambiado el módulo de elasticidad, en la ventana anterior. Le damos ok en esta ventana, nuevamente en ok. 13.-Guardamos, después de eso definimos la sección, vamos a “define”, después “section
propertis” y vamos a seleccionar “frame sections”, para definir la sección. Le damos ok.
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14.-Despues nos aparece una ventana, donde debemos borrar todos las propiedades.. le damos
clic en “delete multiple properties” le damos ok. 15.-Nos aparece otra ventana donde seleccionamos todo para borrar. 16.-Seguimos en la misma ventana, y eliminamos todo nuevamente. 17.-Despues de darle “delete selected frama sections” nos parace un aviso, le vamos a dar aceptar. Y después ok. 18.-Nos quedara así, ahora podemos crear nuestra sección. Pero como son secciones diferentes, vamos a crear 3 secciones, una por cada sección. 19.-Le damos clic en “add new property”, nos aparecerá la ventana donde podremos escoger nuestra sección y modificarla. Elijo la sección rectangular.
Elección de la sección a crear para nuestros distintos elementos.
20.-Despues de seleccionar aparecerá esta ventana donde podremos modificar nuestras secciones.
21.-Damos
clic
en
“modify/show modifiers”, nos aparecerá esta ventana, en la cual vamos a colocar ceros a cinco de los casilleros. Después de haberlo hecho le damos ok, y otra vez ok
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22.-Despues del paso anterior le damos clic “draw beams” 23.- Nos aparece una ventanita en el lado infeior izquierdo, dodne elegiremos materia,
nuestro y
nuestra
seccion. 24.-Seleccionando en el pinto 1 A vamos a colocar nuestro elemento de izquierda a derecha. 25.-Seleccionamos el nudo donde queremos ponerle el empotramiento, despues vamos a
“assign”, le damos en “joint”, y “restraints”, le damos clic a esta última. 26.-Al darle clic nos aparece esta ventanita donde escogeremos el empotramiento perfecto. Y le damos ok. 27.-Despues de darle ok nos aparece el empotramiento de lado izquierdo. 28.- Vamos a dividir el tres elementos de secciones diferentes.
Para dividir damos clic derecho en la ventanita, nos saldrá esto. Y clicamos en “add/modify grid” 29.-Nos aparecerá esta ventana, donde le daremos clic en “modify/show grid system”. 30.-Nos aparecerá la siguiente ventana, donde podemos modificar dimensiones, entonces;
añadimos líneas de grid en el eje X. vamos a “display grid data as spacing” donde podremos colocar los espacios que necesitemos, le daremos en ADD. 31.-Despues de darle en “add” nos aparecerá más líneas de grid en el eje X, solo necesitamos añadir dos más. Y pondremos
las
medidas de cotas que necesitamos nuestro
para análisis.
Hecho eso tendremos lo siguiente. 32.-Despues le damos ok, ok. Nos regresara a la ventana, pero añadido las líneas de grid que necesitamos. 33.-En el siguiente paso, introducimos nuestras secciones con sus respectivas cotas. 34.-Seleccionamos la propiedad VIGA1 35.-seguimos con la siguiente viga.
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36.- continuamos eligiendo la viga. 37.-vamos aplicar las cargas en los nudos, pero primero las creamos como carga axil
en FX. Vamos a “Define”, “Load Patterns”, clicamos en este último. 38.-Despues de clicar en
“load patterns”, nos aparece la siguiente ventana, donde cramos nuestra hipótesis de carga, y la llamaemos FXX, en la siguiente pestaña colocamos que es otro tipo de carga, le damos clic en “ADD NEW LOAD”, se va añadir como vemos en la figura. Le damos OK. 39.-despues de darle ok. Vuelve
a
la
ventana
principal. 40.-despues de dar clic, nos aparece
esta
ventanita.
Donde colocaremos el vamos de las cargas aplicadas en cada punto. Pero antes debemos elegir el punto de aplicación de la carga. 41.-selecionamos el punto de aplicación, donde dice “load pattern name”, elegimos FXX la cual es nuestra hipótesis de carga.
42.- como las carga se da en el eje X, le colocamos la carga en este caso 1 tonelada. Le damos ok. 43.-despues de darle ok, nos aparece la carga aplicada en su punto de selección. 44.-despues
hacemos
lo
mismo para cada punto en los cuales aplicamos las cargas. Ahora tenemos las tres cargas en su punto de aplicación.
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45.-despues de esto podemos iniciar el análisis. Pero antes guardamos 46.-y después de eso le damos en “run analysis” o también podemos apretar F5. 47.-despues de eso podemos darle a “show deformed shape” o F6. 48.-nos aparece esta venta donde debemos elegir nuestra hipótesis de carga, y le damos ok. 49.-despues de eso ya podemos apreciar nuestras deformaciones en los puntos, pero antes debemos cambiar las unidades y la cantidad de decimales, que en este caso le puse 9, después de esto vemos que, las deformaciones concuerdan con exactitud con los valores del excell.
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PROCEDIMIENTO EN EXCEL EJERCICIO 2 El procedimiento es muy similar que al del ejercicio numero 1, planteamos el ejercicio con sus respectivas coordenadas y grados de l ibertad.
CALCULO Y RESULTADOS EN EXCELL.
Creamos nuestros cuadros para empezar el calculo mediante matrices. datos:
base (cm)
altura(cm)
áreas cm^2
a1
40
40
1600
a2
40
40
1600
a3
20
20
400
a4
30
30
900
a5
25
25
625
Elemento
L (cm)
A(cm^2)
E(t/cm^2)
k(t/cm)
1
600
1600
2,10E+05
560000,00
2
700
1600
2,10E+05
480000,00
3
800
400
2,10E+05
105000,00
4
1000
900
2,10E+05
189000,00
5
1063,01458127346
625
2,10E+05
123469,61
Para este ejercicio nuestra matriz kei se formará de la siguiente manera. La cual definiremos por cada elemento que conforma nuestro sistema estructural.
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Después de eso calculamos nuestra matriz de rotación por cada elemento, donde el ángulo se forma con coordenadas locales del elemento con respecto al eje global en X.
ϴ
Ángulos ϴ enumerados por el numero de elementos. ʘ1=
0
ʘ2=
0
ʘ3=
90
ʘ4= 53,1301024 ʘ5= 131,185925
Multiplicación de matrices para encontrar la matriz K mayúscula, la c ual es la matriz de rigidez del elemento en coordenadas de nudo.
A continuación, buscamos los desplazamientos, la matriz KU se forma sumando los valores que corresponden a los grados de libertad libres. Sacando la inversa de KU multiplicando por el vector de cargas, obtendremos U los desplazamientos. 1
Después para encontrar las reacciones se realiza la multiplicación entre KR matriz de los grados restringidos, tomando como referencia los grados de libertad. Multiplicados por nuestros desplazamientos donde R=KR*U.
Final mente calculamos las fuerzas internas de los elementos en coordenadas locales.
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CALCULO Y RESULTADOS EN ETABS. Se realiza el mismo proceso que en el primer ejercicio, con la diferencia de la creación del sistema de líneas de grid empleados en el análisis del sistema estructural. Al final nuestros resultados en etabs concuerdan al cien por ciento con los resultados obtenidos en Excel.
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CONCLUSIONES Podemos decir que los resultados tanto en excel como en etabs son al cien por ciento iguales en todo sentido. Es importante saber cómo actúan estos programas que se utilizan para el modelado, análisis y diseño de una estructura. El análisis matricial que nosotros realizamos se llama método de rigideces y nos ayuda a comprender el comportamiento de un sistema, con los cuales podemos intuir un comportamiento cercano a la realidad. Y es eso lo que se hace en análisis matricial, a través de matrices podemos deducir estos comportamientos ante un sismo. Los programas como etabs utilizan el mismo mecanismo, que empleamos para la resol ución de estos dos problemas, con la diferencia que en etabs se creo para realizar cálculos precisos en muy poco tiempo, en comparación a que lo hagamos manualmente lo cual seria muy tedioso y propenso a cometer errores. Por eso en etabs, estos procesos están mecanizados y lo que se hace es un tanteo, jugando con las dimensiones, módulos de elasticidad y verificando que cumplan con los requerimientos específicos mínimos que están en los códigos de la construcción.
Bibliografía AGUIAR, D. R. (2014). ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS. QUITO: UNIVERSIDAD ESPE. CUEVAS, O. G. (s.f.). ANALISIS ESTRUCTURAL. MEXICO: LIMUSA. ZAMBRANO, I. A. (2017). ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS. METODO DE RIGIDEZ. MANTA: ING. AGUSTIN ZAMBRANO.
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