ANÁLISIS ANÁLISIS MA MATRICIAL USANDO EL MÉTODO DE RIGIDEZ Eugenio R. Gajardo Ponce 2014
VENTAJAS VENTAJAS Y DESVENT DESVENTAJAS DEL ANÁLISIS ANÁLISIS MATRICIAL MATRICIAL Ventajas: Permite utilizar métodos de cálculo en forma compacta, precisa y general, facilita el tratamiento tratamiento de la teoría de estructuras como unidad. Proporciona un sistema apropiado de análisis de estructuras y determina una base muy conveniente conveniente para el desarrollo de programas de computación.
Desventajas: Los métodos matriciales se caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático
VENTAJAS VENTAJAS Y DESVENT DESVENTAJAS DEL ANÁLISIS ANÁLISIS MATRICIAL MATRICIAL Ventajas: Permite utilizar métodos de cálculo en forma compacta, precisa y general, facilita el tratamiento tratamiento de la teoría de estructuras como unidad. Proporciona un sistema apropiado de análisis de estructuras y determina una base muy conveniente conveniente para el desarrollo de programas de computación.
Desventajas: Los métodos matriciales se caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático
MÉTODO DE LA RIGIDEZ Estructura lineal: Todos los movimientos y esfuerzos son funciones lineales de las cargas- pequeñas deformaciones (ecuaciones de equilibrio en la estructura no distorsionada sea por desplazamientos de la estructura o deformaciones de los elementos). Las barras son rectas y de sección constante. Se disponemos de tres conjuntos de ecuaciones que deben cumplirse. –
Compatibilidad de los desplazamientos
–
Relaciones Fuerza – Desplazamientos
–
Ecuaciones de equilibrio
CONJUNTOS DE ECUACIONES •
•
•
Las ecuaciones de compatibilidad relacionan las deformaciones de barras con los desplazamientos nodales. Introduciendo estas relaciones en las ecuaciones constitutivas, relacionamos las fuerzas en los extremos de barras con los desplazamientos nodales Introduciendo estas últimas relaciones en las ecuaciones de equilibrio se obtiene un conjunto de ecuaciones de fuerzas nodales en función de desplazamientos nodales, que pueden ser consideradas como Ecuaciones de Equilibrio de la estructura en función de desplazamientos. La resolución de este sistema de ecuaciones permite obtener el valor de las incógnitas (desplazamientos nodales), a partir de los cuales se obtienen las solicitaciones de las barras de la estructura, así como las
TIPO DE ESTRUCTURAS SEGÚN ESFUERZOS Y DEFORMACIÓN EN LOS EXTREMOS DE LAS BARRAS CASOS SÓLO CON ESFUERZOS NORMALES. Reticulado Plano: tendremos dos desplazamientos por nudo Reticulado Espacial: tres desplazamientos por nudo.
CASOS EN LOS CUALES SE PUEDEN INCLUIR ADEMÁS LOS ESFUERZOS DE CORTE, FLECTOR Y TORSOR: Pórtico Plano: tres desplazamientos por nudo. (una rotación en el plano del pórtico y dos traslaciones), como solicitaciones de extremo de barra una fuerza axial, un esfuerzo de corte y un momento flector.
Pórtico Espacial: seis desplazamientos por nudo, tres traslaciones y tres rotaciones. Como solicitaciones de extremo de barra una fuerza axial, dos esfuerzos de corte dos momentos flectores y un momento torsor.
Emparrillado de vigas: tres desplazamientos nodales (un corrimiento normal al plano de la grilla) y dos rotaciones alrededor de los ejes contenidos en el plano mencionado). Los esfuerzos son un cortante y dos momentos (un torsor y un flector).
ANÁLISIS DE UNA ARMADURA ESTÁTICAMENTE DETERMINADA
COMPATIBILIDAD •
•
Las deformaciones q de los elementos se deben compatibilizar con los desplazamientos nodales r. Sea qi el valor de la deformación del elemento producida por un desplazamiento nodal unitario r j, el valor total de la deformación de cada elemento es:
COMPATIBILIDAD q1 = qia, q2 = q ja ........ etc. Conjunto de total de las deformaciones en los elementos.
r1, r2
, …….
Donde a
rn Conjunto de los desplazamientos nodales
es conocida como la matriz de transformación de desplazamientos que relaciona las deformaciones internas de los elementos con los desplazamientos nodales externos
EJEMPLO COMPATIBILIDAD
MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS
RELACIÓN FUERZA-DEFORMACIÓN
*
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS k
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA K
Donde: R: Fuerzas Nodales Externas r: Desplazamientos Nodales Q: Fuerzas internas en cada elemento
EJEMPLO 1
DATOS BÁSICOS Matriz de transformación de desplazamientos
R1 = R2 = 0 y R3 = -8 Klbs Suponer A/L = 1 ka = kb =kc = E = 30000 Klbs/in2
La Matriz Diagonal queda :
La Matriz Total de Rigidez es:
La Matriz Total de Rigidez inversa es :
Los desplazamientos nodales son r= K-1 R :
Los desplazamientos nodales son:
Los esfuerzos en las barras quedan:
ANÁLISIS DE UNA ARMADURA INDETERMINADA
ARMADURA DE REFERENCIA
DESPLAZAMIENTOS NODALES
COMPATIBILIDAD ENTRE DESPLAZAMIENTOS Y DEFORMACIONES
GENERALIZACIÓN DE LA COMPATIBILIDAD
APLICACIÓN EN EL EJEMPLO
RELACIONES CONSTITUTIVAS s= Esfuerzos en las barras k= Matriz de rigidez de las barras e= Deformaciones de las barras
MATRIZ GLOBAL DE RIGIDEZ
PASOS DE UNA SOLUCION GENERAL 1.
Definir matriz de compatibilidad [a] y de rigidez de las barras [k ].
2.
Obtener la Matriz Global de Rigidez: [K] = [a]T [k ] [a]
3.
Obtener los vectores de desplazamientos de los nodos, usando la relación: {F} = [K] {u}
4.
Determinar las deformaciones de las barras, usando las ecuaciones de compatibilidad: {e} = [a] {u}
5.
Obtener los esfuerzos en las barras: {s} = [k ] {e}
5.
Comprobar que la solución sea la correcta:
RESOLUCIÓN DEL EJEMPLO
VECTOR DE FUERZA Y MATRIZ DE COMPATIBILIDAD
MATRIZ GLOBAL DE RIGIDEZ
VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS
VECTOR DE DEFORMACIONES DE LAS BARRAS
VECTOR DE ESFUERZOS DE LAS BARRAS
VERIFICACIÓN
ANÁLISIS DE MARCOS
ELEMENTOS DE SECCION CONSTANTES Y VARIABLES
ELEMENTO BIDIMENSIONAL
ELEMENTO TRIDIMENSIONAL
JUNTA TÍPICA
PÓRTICO COMPUESTOS POR TRES MIEMBROS Y 4 JUNTAS
PORTICO PLANO CON ELEMENTOS TOTALMENTE FLEXIBLES
PORTICO PLANO CON ELEMENTOS TOTALMENTE FLEXIBLES (2)
PORTICO PLANO CON VIGA AXIALMENTE RIGIDA
MARCO PLANO CON VIGAS AXIALMENTE RIGIDAS
PORTICO CON VIGA TRANSVERSALMENTE RIGIDA
PORTICO CON VIGA TRANSVERSALMENTE RIGIDA
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS PRISMATICOS EN COORDENADAS LOCALES
MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA BIDIMENSIONAL
MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA-COLUMNA BIDIMENSIONAL
Desplazamientos Unitarios Viga Empotrada
Matriz de Giro Donde:
Matriz de Giro T
Matriz de Giro T
ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ (1)
ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ (2)
EJEMPLO DE MARCOS
GRADOS DE LIBERTAD
DIVISIÓN DE SUB-MATRICES
COMPOSICIÓN DE LAS SUB-MATRICES
ANALISIS DE LOS ELEMENTOS 1 Y 2
SUB-MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES DE LOS ELEMENTOS 1 Y 2
SUB-MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES DE LOS ELEMENTOS 1 Y 2 Sólo contribuyen las sub-matrices de los nodos libres no empotrados, el ángulo de giro es 90° en ambos casos.
ANALISIS DE LOS ELEMENTOS 3 Y 4
SUB-MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES DE LOS ELEMENTOS 3 Y 4
SUB-MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES DE LOS ELEMENTOS 3 Y 4
ANALISIS DE LOS ELEMENTOS 5 Y 6
SUB-MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES DE LOS ELEMENTOS 5 Y 6
SUB-MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES DE LOS ELEMENTOS 5 Y 6
ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ GLOBAL DE RIGIDEZ K
RESULTADO DE LA MATRIZ GLOBAL DE RIGIDEZ K
OBTENCION DE GIROS Y DESPLAZAMIENTOS GLOBALES
CALCULO DE DEFORMACIONES Y ESFUERZOS DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS LOCALES
CALCULO DE DEFORMACIONES DEL ELEMENTO 1 EN COORDENADAS LOCALES
CALCULO DE ESFUERZOS DEL ELEMENTO 1 EN COORDENADAS LOCALES
EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Elementos 6 y 9
Elementos 6 y 9
Elemento 8
Elemento 8
APLICACIÓN DE FUERZAS Y MOMENTOS
ENSAMBLAJE MATRIZ DE RIGIDEZ
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
DESPLAZAMIENTOS NODALES
EJEMPLO TRATAMIENTO ELEMENTO VIGA 8
VERIFICACIÓN EQUILIBRIO ELEMNTO 8
VERIFICACIÓN DEL EQUILIBRIO (MOMENTOS)
Ensamblaje Directo
Matriz de Rigidez Directa
Matriz de Rigidez Directa
CARGAS EN LAS ESTRUCTURAS Clasificación Cargas muertas. Cargas vivas estáticas. Cargas vivas móviles. Impacto. Nieve. Viento. Sismos. Otros
Normativa Chilena NCh 1537.of1986 (2009):
Cargas permanentes y sobrecargas de uso.
NCh 431.of1977 (2009):
Sobrecarga de nieve
NCh 432.of1971 (2009):
Sobrecarga de viento
NCh 433.of1996 (2008):
Diseño sísmico de edificios
NCh 2369.of2003:
Diseño sísmico de estructuras e instalaciones industriales
NCh 3171.of2008:
Diseño estructural – Disposiciones generales y combinaciones de cargas
NOTACIÓN Y SIMBOLOGIA SEGÚN NCh 1537
NOTACIÓN Y SIMBOLOGIA SEGÚN NCh 1537
METODOS DE DISEÑO POR RESISTENCIA SEGÚN NCh 1537
INTEGRIDAD ESTRUCTURAL GENERAL
COMBINACIONES DE CARGA
EJEMPLO DE COMBINACIONES DE CARGAS SEGÚN NCh1537 DISEÑO POR RESISTENCIA
DISEÑO POR TENSIONES ADMISIBLES
EJEMPLO DE COMBINACIONES DE CARGA NORMAS INTERNACIONALES Estados límite de Resistencia I. II. III. IV. V.
Uso vehicular normal, sin viento. Uso vehicular especial, sin viento. Presencia extrema de viento (90 km/h). Fuertes cargas permanentes. Uso vehicular con viento.
Estados límite de Eventos Extremos I. II.
Sismo. Cargas de hielo, choques de barcos o vehículos, otros eventos hidráulicos.
Estados límite de Servicio I.
Operación normal del puente, con cargas nominales, incluye viento. Para control de compresiones en elementos pretensados. II. Combinación para controlar la fluencia en estructuras de acero. III. Combinación para control de agrietamiento y tracciones en elementos pretensados. Fatiga- por cargas repetitivas producidas por vehículos.
CARGAS PERMANENTES, CARGAS DE SUELO Y PRESIÓN HIDROSTÁTICA.
CARGAS PERMANENTES, CARGAS DE SUELO Y PRESIÓN HIDROSTÁTICA.
CARGAS DE USO
EJEMPLOS DE SOBRECARGAS SOBRECARGAS DE USO DE PISO Y TECHOS TABLA 4 - NCh 1537
REDUCCION CARGA DE USO DE PISO
REDUCCION CARGA DE USO DE PISO
FACTOR DE REDUCCION KLL POR TIPO DE ELEMENTO
REDUCCION CARGA DE USO DE TECHO (SÓLO MANTENCION)
SOBRECARGA NIEVE
SOBRECARGA DE VIENTO
CARGA SISMICA (MÉTODO ELASTICO)
