Algebra Lineal y Teoria Matricial

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

RED NACIONAL UNIVERSITARIA

SYLLABUS

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA Carrera Ingeniería de Sistemas, Telecomunicaciones, Gas y Petróleo y Comercial

ALGEBRA LINEAL

SEGUNDO SEMESTRE

Lic. ADM. Edgar Martínez Calderón Ing. Kasandra Julie Vargas Rocha

U N I V E R S I D A D

D E

A Q U I N O

B O L I V I A


Gestión Académica I/2010

UDABOL UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01

VISION DE LA UNIVERSIDAD Ser la Universidad líder en calidad educativa.

MISION DE LA UNIVERSIDAD Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad. Estimado(a) estudiante: El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho más productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo. U N I V E R S I D A D

D E

A Q U I N O

B O L I V I A


I.

SYLLABUS Asignatura: Código: Requisito: Carga Horaria: Créditos:

Álgebra Lineal MAT – 111A MAT – 101A 80 8

II. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA. Conocer e inferir soluciones a través de la aplicación de las ciencias exactas, específicamente en el área de conocimiento relacionado con el cálculo matricial y su uso en el estudio de los espacios vectoriales, aplicaciones lineales, formas cuadráticas y la geometría afín. El álgebra Lineal se constituye en uno de los pilares fundamentales del desarrollo del pensamiento y razonamiento abstracto, la búsqueda de soluciones a problemas de carácter profesional a través de las diferencias técnicas, que permitirán el desarrollo del pensamiento alternativo, reflexivo e interpretativo del objeto de estudio que en particular aborda cada especialidad.

III. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA. UNIDAD 1: SISTEMAS DE ECUACIONES, MATRICES Y DETERMINANTES. Tema 1. SISTEMAS LINEALES. 1.1 Definiciones 1.2 Sistemas compatibles e incompatibles 1.3 Representación matricial 1.4 Métodos de solución 1.5 Sistemas homogéneos

Tema 2. MATRICES 2.1 Definiciones básicas. 2.2 Operaciones algebraicas y propiedades de matrices. 2.3 Matrices especiales: Matriz nula, matriz transpuesta, matriz identidad, matriz diagonal, matriz escalar, matriz triangular superior e inferior, matriz simétrica y antisimétrica, matriz idempotente, matriz involutiva, matriz nilpotente, matriz permutable, matriz ortogonal, matriz periódica. 2.4 Operaciones elementales de fila y columna. 2.4.1 Eliminación de Gauss. 2.4.2 Eliminación de Gauss - Jordán. 2.4.3 Rango o característica de una matriz. 2.4.4 Matriz inversa. 2.5 Matrices elementales: Matriz regular, matriz singular. U N I V E R S I D A D

D E

A Q U I N O

B O L I V I A


2.6 Ecuaciones matriciales.

Tema 3. DETERMINANTES 3.1 Definiciones 3.2 Propiedades 3.3 Determinante del producto de dos matrices 3.4 Métodos de solución. 3.4.1 Desarrollo de cofactores. 3.4.2 Método de línea. 3.4.3 Desarrollo de La Place. 3.4.4 Regla de Chio 3.5 Regla de Cramer. Matriz adjunta e inversión de matrices

UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES, TRANSFORMACIONES LINEALES. Tema 4. ESPACIOS VECTORIALES 4.1 Vectores en el plano y en el espacio, operaciones con vectores. 4.2 Espacio Euclidiano. Definición y propiedades básicas. 4.3 Subespacios. 4.4 Combinación lineal y espacio generado. 4.5 Dependencia e Independencia lineal. 4.6 Bases y dimensión.

Tema 5. TRANSFORMACIONES LINEALES 5.1 Definiciones. Propiedades 5.2 Núcleo e imagen. 5.3 Dimensión del núcleo y de la imagen. 5.4 Transformaciones lineales inversas. 5.5 Representación matricial de una T.L.

UNIDAD 3: VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS. FORMAS CANONICAS. FORMAS CUADRATICAS Tema 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS. 6.1 Valores, vectores y espacios propios. 6.2 Polinomio característico de una matriz. 6.3 Matrices semejantes: diagonalización de matrices. 6.4 Matrices simétricas: diagonalización de matrices.

Tema 7. FORMAS CANONICAS. 7.1 Formas Triangulares 7.2 Invariancia – Descomposiciones en suma directa invariante 7.3 Descomposición primaria 7.4 Operadores nilpotentes 7.5 Formas canónicas de Jordán – Subespacios cíclicos U N I V E R S I D A D

D E

A Q U I N O

B O L I V I A


7.6 Forma canónica racional – Espacio cociente

Tema 8. FORMAS CUADRATICAS. 8.1 Formas bilineales – Formas bilineales y matrices 8.2 Formas bilineales alternadas – Formas bilineales simétricas – Formas cuadráticas 8.3 Formas bilineales simétricas reales. Ley de inercia – Formas herméticas

IV. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES. EVALUACIÖN PROCESUAL (50%)

EVALUACIÓN DE RESULTADOS (50%)

Se tomara en cuenta el promedio de los Se tomara en cuenta los siguientes ítems para siguientes ítems para cada evaluación parcial: cada evaluación parcial y evaluación final: -

Resolución y entrega practicas Resolución y entrega de Work Paper’s Trabajo con Dif’s

Participación en clases Presentación de archivador materia



Examen de la materia

de la

Nota: El estudiante debe de tener el 80 % de asistencia durante el semestre para estar debidamente habilitado a rendir su evaluación final

V. BIBLIOGRAFÍA.      

LISPCHUTZ, SEYMOUR, "Algebra lineal“ , 2da. Ed., Edit. McGraw – Hill, (Serie Schaum), España, 1998 VEGA B. F. CHUNGARA C. V., “ Álgebra Lineal” , 5ta. Ed., Editorial, U.M.S.A., La Paz – Bolivia, 2001. SOTO M., VICENTE J. Prentice Hall, “ Algebra Lineal con MATLAB y MAPLE ”. HERNÁNDEZ, E., “ Álgebra y Geometría", Addison-Wesley Iberoamericana. ROJO, J. Y MARTÍN, I. McGraw-Hill, “Ejercicios y Problemas de Álgebra Lineal” , ROJO ARMANDO, “ Álgebra I” , 10ma Ed. Editorial El Ateneo 398 p, Buenos Aires, 1986


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


VI. CONTROL DE EVALUACIONES El seguimiento y evaluación a los estudiantes de la asignatura se regirá en las metodologías de diagnóstica, procesal y de resultados; cada una de las cuales se regirá en normas y reglamentos establecidos por la Universidad a fin de garantizar al aprendizaje de los estudiantes. 1° evaluación parcial Fecha Nota 2° evaluación parcial Fecha Nota Examen final Fecha Nota

APUNTES


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


VII. PLAN CALENDARIO.

SEMANA

DEL

AL

1ra.

05-abr

10-abr

2da.

12-abr

17-abr

3ra.

19-abr

24-abr

4ta.

26-abr

01-may

5ta.

03-may

08-may

6ta.

10-may

15-may

7ma.

17-may

22-may

8va.

24-may

29-may

9na.

31-may

05-jun

10ma.

07-jun

12-jun

11ra.

14-jun

19-jun

12da.

21-jun

26-jun

13ra.

28-jun

03-jul

14ta.

05-jul

10-jul

15ta.

12-jul

17-jul

16ta.

19-jul

24-jul

17ma.

26-jul

31-jul

18va. 19na. 20va.

02-ago 09-ago 16-ago

07-ago 14-ago 21-ago

2 de abril 1º de mayo 3 de junio

ACTIVIDADES

Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia

OBSERVACIONES

TEMA 1. SISTEMAS LINEALES. TEMA 1. SISTEMAS LINEALES. TEMA 2. MATRICES TEMA 2. MATRICES TEMA 3. DETERMINANTES TEMA 3. DETERMINANTES

Presentación de Notas

Inicio Primera Evaluación Parcial


Conclusión Primera Evaluación Parcial

TEMA 4. ESPACIOS VECTORIALES TEMA 4. ESPACIOS VECTORIALES TEMA 5. TRANSFORMACIONES LINEALES Inicio Segunda Evaluación Parcial


Conclusión Segunda Evaluación Parcial Presentación de Notas

TEMA 5. TRANSFORMACIONES LINEALES TEMA 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS. TEMA 7. FORMAS CANONICAS. TEMA 8. FORMAS CUADRATICAS Inicio Evaluación Final Conclusión Evaluación Final Evaluación del segundo turno

Presentación de Notas Transcripción de Notas Presentación de Notas

FERIADOS Viernes Santo Día del trabajo Corpus Cristi


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


VIII. PLANIFICACIÓN DE ACTIVIDADES. CONTENIDO MÍNIMO MATEMATICAS Y LA INFORMATICA

CONTENIDO ANALÍTICO

   

VECTORES Y MATRICES

 

Objetivos Importancia Rol Limitaciones Matrices Determinantes


ACTIVIDAD

CLASE MAGISTRAL

PERIODOS ACADÉMICOS

8 PERIODOS

RECURSOS DIDACTICOS   

CLASE MAGISTRAL

6 PERIODOS

  

D E

A Q U I N O

Material de apunte Computador Proyector Pizarra Material de apunte Computado

B O L I V I A


WORK PAPER # 1

PROGRAMA ALGEBRA LINEAL No. DE PROCEDIMIENTO: APRO – 07

No. DE HOJAS: 2

ELABORÓ: Ing. Eloy Terceros Urquieta

CÓDIGO: MAT – 111A

TÍTULO DEL WORK PAPER: Sistemas de Ecuaciones Lineales DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnología DESTINADO A: DOCENT

ALUMNOS

X

ADMINIST.

OTROS

OBSERVACIONES: Carrera Ingeniería de Sistemas, Telecomunicaciones, Comercial y Gas y Petróleo.

Asignatura: Algebra Lineal FECHA DE DIFUSIÓN: marzo del 2010

FECHA DE ENTREGA: marzo del 2010


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se pretende que el alumno, que ya sabe resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, pueda mejorar su comprensión del significado de las operaciones algebraicas que realiza para resolverlas y relacione los aspectos algebraicos con los geométricos, de forma que le facilite el aprendizaje de sistemas con más ecuaciones y con más incógnitas. Se pretende también que se familiarice con la terminología utilizada en este campo y la emplee adecuadamente: ecuación, grado, incógnita, resolución, solución, ecuaciones equivalentes, sistema, sistema compatible, sistema compatible indeterminado, sistema incompatible, número de soluciones, etc.

OBJETIVOS Identificar y obtener las graficas de las ecuaciones lineales con dos incógnitas. Identificar y resolver gráficamente sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Analizar e identificar las posibilidades que pueden presentarse al resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Determinar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y e interpretarlo geométricamente. Analizar y resolver sistemas de ecuaciones lineales con parámetros. 1.- Cambia los valores de a, b y c y observa que el conjunto de soluciones (x,y) de la ecuación lineal con dos incógnitas es una recta. 2.- Contesta en el cuaderno a las siguientes preguntas: a) ¿Habrá alguna ecuación lineal con dos incógnitas que no tenga por solución los puntos de una recta? b) ¿Cualquier recta del plano tendrá asociada siempre una ecuación lineal?

RECTAS Y ECUACIONES LINEALES 1.- Vamos a ver en esta escena que cualquier recta siempre tiene una ecuación lineal asociada. 2.- Puedes desplazar los puntos A y B arrastrándolos con el ratón. El parámetro coord. enteras permite alternar entre moverse por coordenadas enteras o decimales. 3.-Mueve los puntos a cualquier posición y observa que para cada recta se obtiene una ecuación. 4.- Escribe en el cuaderno cómo son las ecuaciones de las rectas horizontales, las ecuaciones de las rectas verticales, las que pasan por el origen y las que cumplen dos de estas cosas a la vez. 5.- Analiza si existirá más de una ecuación para cada recta o, por el contrario, cada recta tiene asociada una sola ecuación. Sistemas de ecuaciones Comprender el concepto de ecuación como una igualdad en la que hay que hallar el valor de la incógnita que la hace verdadera. Identificar la transposición de términos en una ecuación como método para transformar una ecuación en otra equivalente más sencilla. Reconocer un sistema de ecuaciones como dos ecuaciones con dos incógnitas relacionadas entre sí. Conocer los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Aplicaciones. Resolución de problemas de la vida real mediante el uso de rectas, sus ecuaciones y sus posiciones relativas. Incorporación del lenguaje algebraico a la forma de proceder habitual. Al implantar aplicaciones respecto a las ecuaciones lineales podremos tener la confianza de los alumnos en sus propias capacidades, fomentando la autonomía de pensamiento. Curiosidad del alumno por el planteamiento y resolución de problemas. Gusto por la sistematización y secuenciación de la resolución de un problema. U N I V E R S I D A D

D E

A Q U I N O

B O L I V I A


PREGUNTAS: 1.- ¿Podría describir si es posible resolver sistemas de ecuaciones lineales, aplicando el tema anterior y para que tipos de ecuaciones es posible? …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………….

2.- ¿A parte de los métodos tradicionales de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, existen otros, en función a este tema podría describir? …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………….


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


WORK PAPER # 2


No. DE HOJAS: 2



TÍTULO DEL WORK PAPER:

Vectores y Matrices

DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnología DESTINADO A: DOCENTES

ALUMNOS

X

ADMINIST.

OTROS


Asignatura: Algebra Lineal FECHA DE DIFUSIÓN: abril del 2010

FECHA DE ENTREGA: abril del 2010


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


VECTORES Y MATRICES Introducir el concepto de tipos de datos estructurados. Conocer la representación de datos mediante vectores y matrices. Conocer la representación de datos mediante strings y su adecuación al tratamiento de texto. Desarrollo: Al desarrollar este tema observamos que se presentan los tipos estructurados de datos justificando su utilidad y describiendo las clases de tipos de datos estructurados que vamos a utilizar. Se pasa después a hablar de los vectores, presentándolos como una agrupación de datos homogéneos. Se explica la forma de acceder a los elementos justificando el concepto de índice. Después se empieza con las matrices viendo su definición y se continúa con la explicación del modo de acceso a los elementos y el paso de matrices a subprogramas. Se justificará después la necesidad de los vectores multidimensionales. Se presentan a continuación las cadenas de caracteres como un tipo nuevo de datos. Este tipo de datos introduce un literal nuevo y un identificador de tipo. Se hará ver que los strings pueden ser vistos como cadenas de caracteres cuyo último elemento tiene el valor 0. Se explicará que la forma de trabajar con strings puede ser la convencional de cualquier vector o bien con primitivas básicas de copia, concatenación y longitud que ofrecen los distintos lenguajes de programación. Para finalizar se muestra la correspondencia entre el lenguaje algorítmico y el lenguaje C en lo que respecta a los vectores y strings. Características

Las matrices regulares se caracterizan por tener el mismo número de elementos en cada una de sus dimensiones. Una matriz bidimensional de 10 elementos tendrá similar número en cada una de sus filas. Basta con saber la cantidad de los mismos de una de ellas para conocer la cantidad de elementos de las demás. Existe un tipo adicional de matrices llamadas irregulares o dentadas las cuales no cumplen la regla anterior. Ellas se caracterizan porque cada fila puede contener u numero diferente de elementos. Una matriz irregular bidimensional, por ejemplo podría contener 3 elementos en la primera fila, 10 elementos en la segunda y 6 elementos en la tercera, moldeando así una figura irregular, aunque podría ser más compleja. Una declaración de estructuras empieza con la instrucción estructura y finaliza con la instrucción y estructura. Entre estas dos instrucciones debe declararse por lo menos un miembro.

Similitudes Existen similitudes entre vectores y matrices las estructuras y las clases son similares en los siguientes aspectos: Ambas tienen miembros, incluyendo constructores, métodos, propiedades, campos, constantes, enumeraciones y eventos. Ambas pueden implementar interfaces. Ambas pueden tener constructores compartidos, con o sin parámetros. Diferencias Se observan también diferencias entre las estructuras y las clases difieren en los siguientes aspectos: Las estructuras son tipos de valor, las clases son tipos de referencia. Las estructuras utilizan asignación de pila y las clases utilizan asignación del montón. Las estructuras sólo pueden tener constructores no compartidos si pueden tomar parámetros; sin embargo las clases pueden tener constructores con o sin parámetros. Cada estructura tiene un constructor público implícito sin parámetros. El constructor inicializa todos los miembros de datos de estructura con sus valores predeterminados. Este comportamiento no puede redefinirse. U N I V E R S I D A D

D E

A Q U I N O

B O L I V I A


Instancias y variables Puesto que las estructuras son tipos de valor, cada variable de estructura está enlazada de forma permanente a una instancia de estructura individual. Por otro lado, las clases son tipos de referencia y una variable de objeto puede hacer referencia a varias instancias de clase. Esta distinción afecta al uso de estructuras y clases de las siguientes formas: Al asignar una variable de estructura a otra o pasar una instancia de estructura a un argumento de procedimiento, se copian los valores actuales de todos los miembros de variable en la nueva estructura. Al asignar una variable de objeto a otra o pasar una variable de objeto a un procedimiento, sólo se copia el puntero de referencia. Una variable de objeto puede tener asignadas distintas instancias de clase en momentos distintos y varias variables de objeto pueden hacer referencia a la misma instancia de clase al mismo tiempo. Los cambios que realice a los valores de los miembros de clase afectan a dichos miembros cuando se tiene acceso a estos mediante otra variable que apunta a la misma instancia. Los miembros de estructura, sin embargo, están aislados dentro de su propia instancia. La comprobación de igualdad de dos estructuras debe realizarse mediante una prueba miembro a miembro.

PREGUNTAS: 1.- ¿Podría Ud. describir las características existentes entre una matriz y un determinante? ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………

............................................................................ 2.- ¿Existen operaciones entre matrices, además será posible realizar operaciones internas de la matriz?, ¿Cuándo?. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


WORK PAPER # 3


No. DE HOJAS: 5



TÍTULO DEL WORK PAPER:

Formas cuadráticas

DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnología DESTINADO A: DOCENTES

ALUMNOS

X

ADMINIST.

OTROS


Asignatura: Algebra Lineal - UNIDAD 3 FECHA DE DIFUSIÓN: mayo del 2010

FECHA DE ENTREGA: mayo del 2010


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


DESCRIPCIÓN

FORMAS CUADRATICAS

Las aplicaciones del Álgebra Lineal en la ciencia y en la vida real son numerosas. Las soluciones de muchos problemas en física, ingeniería, biología, química, medicina, gráficas computarizadas, procesamiento de imágenes, economía y sociología requieren de métodos del álgebra lineal. También los requieren las principales ramas de las matemáticas modernas. El Álgebra Lineal no es solamente un cúmulo de técnicas de cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales, cómo hallar bases de espacios vectoriales, cómo determinar los valores y vectores propios de una matriz, etc. Los problemas numéricos tienen muchas veces la intención de reforzar este aspecto operativo. Sin embargo un curso de álgebra lineal va más lejos del carácter operativo, tratando de instalar en el estudiante una serie de conocimientos que, por una parte, le dan formación dentro del tipo de razonamiento analítico propio de la matemática, y además, le sirven de base para futuros estudios de ésta u otra parte del conocimiento científico. La matemática en general, ayuda a pensar, a inducir y deducir, a analizar y sintetizar, a generalizar y abstraer, y a realizar otras operaciones mentales que contribuyen al desarrollo de la inteligencia. Al mismo tiempo, promueve la intuición, es imaginativa y encierra una gran potencialidad creadora. Por todo ello, la matemática contribuye poderosamente al desarrollo de las ciencias y de la tecnología: impulsa el progreso de los pueblos a o largo de la historia y proporciona a quienes la elaboran, la enseñan o la aprenden, la estudia o la aplican, el placer en sus trabajos, la gratificación en sus descubrimientos, la maduración en su concepción y el éxito en sus proyectos. Recuerde: que se hace muy importante tomar en cuenta los temas estudiados anteriormente, ya que sin la base, nos será imposible comprender, que se pretende con este tema de la Formas Cuadráticas

Es necesario hacer conocer los objetivos que representa este tema, respecto a las formas cuadráticas, para una mejor comprensión. A través de esta asignatura en general y en especial del tema Formas Cuadráticas poder proporcionar las herramientas básicas del Álgebra Lineal, para que en base a ellas y se logre: a) capacidad de abstracción y razonamiento lógico; b) comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemáticas que le permitan desarrollar estudios posteriores más específicos; c) adquirir una formación científica e integral como Ingenieros de sistemas y Tecnológicos.

Se pretende también usar el lenguaje matemático para expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticos. Una vez aprobada la asignatura: Efectuar correctamente las operaciones vectoriales básicas sobre vectores en Rn, aplicar sus propiedades y conocer sus interpretaciones geométricas. Comprender las nociones de dependencia e independencia lineal de vectores. Caracterizar mediante sus diferentes ecuaciones rectas en R2, rectas y planos en R3. Aplicar el álgebra vectorial a la resolución una gran variedad de problemas geométricos en los que intervienen puntos, rectas y planos. U N I V E R S I D A D

D E

A Q U I N O

B O L I V I A


Conocer el concepto de matriz y estar familiarizado con la terminología coloquial y simbólica del álgebra matricial. Efectuar correctamente las operaciones del álgebra matricial básica y conocer sus propiedades. Definir matriz inversa, hallarla si fuere posible y reconocer las diferentes caracterizaciones de las matrices invertibles. Identificar matrices triangulares, escalares, diagonales, simétricas, y antisimétricas y conocer sus propiedades más importantes. Evaluar determinantes por definición, reducción por filas y desarrollo por cofactores. Enunciar y demostrar las propiedades básicas de los determinantes. La capacidad de determinar la naturaleza de la solución de un sistema de ecuaciones lineales y resolver el sistema utilizando diferentes metodologías. Caracterizar paramétricamente el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales, mediante una base y como un objeto geométrico del espacio n-dimensional. Relacionar los conceptos de: una matriz A invertible, el det(A), solución del sistema AX=0, rango de A y las filas (columnas) de A linealmente independientes. Comprender el concepto de espacio vectorial a partir de ideas geométricas sencillas y apreciar la potencialidad que la abstracción de dicho concepto tiene. Determinar si un conjunto dado con operaciones dadas constituyen un espacio vectorial. Reconocer y caracterizar subespacios vectoriales. Comprender las nociones de conjunto generador, base y dimensión: conocer algunas propiedades relacionadas con estos conceptos. Determinar la base y la dimensión de un subespacio generado por un conjunto de vectores. Aplicar los conceptos de independencia lineal y sistema generador para encontrar una base de un espacio vectorial. Ortonormalizar bases mediante el proceso de Gram-Schmidt. Apreciar cómo ideas geométricas tales como ángulo y longitud pueden ser introducidas en situaciones aparentemente no geométricas a través de las herramientas del álgebra lineal. Conocer y aplicar los conceptos de norma de un espacio vectorial y producto interior, así como también sus propiedades. Identificar las transformaciones lineales de las no lineales. Operar con transformaciones lineales ya sea dada por su fórmula o mediante su representación matricial con respecto a bases del dominio y rango. Comprender el concepto de núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación y las relaciones entre ellos. Encontrar la expresión matricial de una transformación lineal con respecto a dos bases ordenadas dadas. U N I V E R S I D A D

D E

A Q U I N O

B O L I V I A


Describir geométricamente el efecto de algunas transformaciones lineales. Calcular los autovalores de una matriz, hallar una base de los correspondientes exigen espacios y si fuera posible, diagonalizar la matriz. Reconocer una forma cuadrática y determinar si su matriz asociada está o no definida en signo. Definir las cónicas, conocer sus ecuaciones canónicas e identificar sus elementos principales. Identificar una cónica mediante el estudio de los invariantes de la ecuación general de segundo grado y reducir su ecuación a la forma canónica mediante traslaciones y rotaciones. Además de lo expresado anteriormente, el alumno deberá ser capaz de: Expresar pensamientos, sentimientos e ideas en forma clara y precisa. Realizar pequeñas demostraciones con las técnicas y conceptos de la asignatura. Mejorar su capacidad en la resolución de problemas y el pensamiento crítico. Aprender en una manera autónoma y trabajar como miembro de un equipo. Mejorar su capacidad para resolver problemas complejos de múltiples pasos. Aplicar los conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos en la interpretación de las ciencias, en la actividad tecnológica y en las actividades cotidianas. Analizar y valorar la información proveniente de diferentes fuentes, utilizando las herramientas y el lenguaje matemático, para formarse una opinión propia que le permita expresarse críticamente sobre problemas actuales. Utilizar, con autonomía y eficacia, las estrategias características de la investigación científica y los procedimientos propios de las matemáticas (plantear problemas, formular y contrastar hipótesis, planificar, manipular y experimentar) para investigar y, en general, explorar y abordar con mentalidad abierta los problemas que la continua evolución científica y tecnológica plantea a la sociedad. Desarrollar actitudes asociadas al trabajo científico y a la investigación tecnológica, tales como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas, la apertura a nuevas ideas. Apreciar el contexto global y social de la ingeniería. Comprender los usos de la ingeniería moderna. Aplicar los métodos y herramientas de la ingeniería moderna. Apreciar la necesidad de un aprendizaje continuo a lo largo de toda la vida profesional. Conducirse ética y profesionalmente.

PREGUNTAS: 1.- ¿Encuentra relación e importancia para el estudio de este temas y que aplicaciones podemos darle, como? …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………….

2.- ¿A través de esta asignatura en general y en especial del tema Formas Cuadráticas es poder proporcionar las herramientas básicas del Álgebra Lineal?, ¿esta de acuerdo con esta afirmación? …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF – 001 1/2008 VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES Los determinantes resulta ser parte complementaria de lo estudiado con matrices. Su tratamiento y operaciones son más simples como sus aplicaciones en diferentes partes de las matemáticas y en especial en las ecuaciones particularmente en los sistemas de ecuaciones. Como ya se ha definido los determinantes no es otra cosa que una matriz cuadrada o rectangular por la forma que presenta de igual filas y columnas (n x n). La función determinante apareció por primera vez en las investigaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Tomamos como herramienta indispensable en el estudio y la obtención de propiedades de las matrices cuadradas. La definición de determinante y muchas de sus propiedades siguen siendo validas cuando las entradas de la matriz proceden de un anillo. Conllevan una clasificación de órdenes en función de sus filas y columnas. Por ejemplo un determinante de orden uno es aquella que posee una fila y columna, el de orden dos, dos filas y columnas, así sucesivamente. Esta definición general vendrá precedida por una discusión de las permutaciones necesarias para la misma. A diferencia de las matrices, los determinantes poseen operaciones internas, tomando en cuenta principalmente los signos que se disponen en forma de un tablero de ajedrez con signos positivos en su diagonal principal e intercalada en las otras diagonales secundarias o paralelas a la principal. Dentro de las operaciones internas, se observa diferentes métodos, como; cofactores y menores, adjunto clásico, inversas por el adjunto, que son aplicables a las ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales, (Regla de Cramer) Cuando se tiene un determinante de orden arbitrario de n filas y columnas, se puede aplicar el método de formación de bloques. El estudiante podrá investigar algunas otras propiedades, para poder posteriormente aplicarlos en sus operaciones, buscar formas adecuadas que le sea más fácil su manejo. Tanto los vectores como las matrices son un conjunto de datos de un mismo tipo, para muchos al escribir sobre matrices se refieren tanto a matrices de 2 dimensiones como de una dimensión. Aunque sea lo mismo prefiero decir que un vector tiene una dimensión y una matriz más de una dimensión. TOME EN CUENTA: Las matrices regulares se caracterizan por tener el mismo número de elementos en cada una de sus dimensiones. Una matriz bidimensional de 10 elementos tendrá similar número en cada una de sus filas. Basta con saber la cantidad de los mismos de una de ellas para conocer la cantidad de elementos de las demás.

Existe un tipo adicional de matrices llamadas irregulares o dentadas las cuales no cumplen la regla anterior. Ellas se caracterizan porque cada fila puede contener u numero diferente de elementos. Una matriz irregular bidimensional, por ejemplo podría contener 3 elementos en la primera fila, 10 elementos en la segunda y 6 elementos en la tercera, moldeando así una figura irregular, aunque podría se más compleja. Las estructuras son parecidas que las enumeraciones pero con muchas ventajas, entre ellas que cada elemento de la estructura puede ser de cualquier tipo, además, se pueden declaran funciones dentro de la estructura, constructores, ámbito de variables independientes. Etc.


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


Similitudes: Existen similitudes entre las estructuras y las clases son similares entre matriz y determinantes en los siguientes aspectos: En ambos tienen miembros, incluyendo constructores, métodos, propiedades, campos, constantes, enumeraciones y eventos. Diferencias: También existen diferencias entre las estructuras y las clases difieren en los siguientes aspectos: Las estructuras son tipos de valor, las clases son tipos de referencia. Las estructuras utilizan asignación de pila y las clases utilizan asignación del montón.

Es posible asignar una variable de estructura a otra o pasar una instancia de estructura a un argumento de procedimiento, se copian los valores actuales de todos los miembros de variable en la nueva estructura. Al asignar una variable de objeto a otra o pasar una variable de objeto a un procedimiento, sólo se copia el puntero de referencia. Una variable de objeto puede tener asignadas distintas instancias de clase en momentos distintos y varias variables de objeto pueden hacer referencia a la misma instancia de clase al mismo tiempo. Los cambios que realice a los valores de los miembros de clase afectan a dichos miembros cuando se tiene acceso a estos mediante otra variable que apunta a la misma instancia. Los miembros de estructura, sin embargo, están aislados dentro de su propia instancia.


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF – 002 1/2008 SISTEMAS LINEALES Los sistemas de ecuaciones lineales juegan un papel importante el álgebra lineal si bien existen varios métodos de resolución pero al estudiar matrices y determinantes facilitamos las soluciones de cierta manera las operaciones significa ahorro de tiempo. Aquí se investiga, sistemas de ecuaciones lineales y se describen detalladamente el algoritmo de eliminación por la Regla de Gauss, llamado eliminación gaussiano, que nos facilita hallar su solución con determinantes junto a ciertas operaciones entre ellas se introducen y están estrechamente relacionados con los sistemas de ecuaciones lineales y su solución. Todas las ecuaciones involucran números específicos denominados constantes o escalares. Que para simplificar en este asumiremos a todos nuestro escalares, un cuerpo de números reales ℝ. En el primer semestre de la carrera de Ingeniería de Sistemas, se ha tomado diferentes métodos para la solución de los sistemas de ecuaciones lineales, mientras que en segundo semestre, nos basamos específicamente al estudio de las soluciones por determinantes y matrices, con características de operaciones que se ejercita en capítulos anteriores, como ser los cofactores, adjunto, inversa, etc. en muchos casos el estudiante observa que es mucho más fácil su aplicación en la solución de ecuaciones. El estudiante observa la compatibilidad e incompatibilidad en la solución de un sistema de ecuaciones, según el sistema que se presenta a continuación.

SISTEMA DE ECUACIONES

Incompatible

Ninguna Solución

Compatible

Solución Única

Número Infinito de soluciones

También es posible que una matriz con ciertas operaciones, se pueda transformar en una matriz escalonada triangular superior o inferior de esta manera llegar a la solución de los sistemas de ecuaciones. (Operaciones entre columnas y filas)


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF – 003 1/2008 ESPACIOS VECTORIALES Para introducirnos en el tema de los espacios vectoriales, es necesario previamente estudiar los vectores, desde la percepción de la geometría. Cosa que se ve muchas aplicaciones en la física, donde aparecen ciertas cantidades, como la representación de la temperatura, rapidez (modulo de velocidad), que posee solo magnitud. Estas pueden representarse por números reales llamados escalares. Como parte de la geometría el estudiante deberá estar familiarizado con la representación de puntos en el plano como en el espacio, eligiendo el origen del vector en el origen del par de coordenadas rectangulares como referencia o punto O. Donde todo vector queda unívocamente determinado por las coordenadas de su extremo, existen relaciones, propiedades y operaciones entre vectores. Matemáticamente identificamos a un vector con sus extremos, presumimos que el estudiante debe estar familiarizado con las propiedades más elementales del cuerpo de los números reales que denotamos por, por su número de elementos que componen el extremo del vector si esta en el plano o en el espacio u otra dimensión, así R2 para el plano, R3 para el espacio, en general R n en un espacio finito, con la norma de un vector podemos definir su magnitud. Conociendo el concepto mismo que es un vector, podemos entrar y comprender sin dificultades los espacios vectoriales de dimensión finita. Por definición un espacio vectorial involucra u cuerpo arbitrario cuyos elementos se denomina escalares. En este capitulo no se abarca conceptos de longitud y ortogonalidad, puesto que no se consideran parte de la estructura fundamental de un espacio vectorial. Se concluirá como estructura adicional en capítulos posteriores. Se tomaran ejemplos de espacios vectoriales considerando cuerpo elemento, espacio matriz, espacio polinomio, espacio de funciones, subespacios, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, bases y dimensiones etc. Estos dos temas serán base fundamental para entrar al estudio de las transformaciones lineales, los valores y vectores propios.


D E

A Q U I N O

B O L I V I A


PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF – 004 1/2008 VALORES Y VECTORES PROPIOS En este tema se describe un procedimiento para la obtención de los valores y vectores propios dominantes de una matriz. El método se apoya en los conceptos de matriz, matriz propia. El proceso seguido es tal que la matriz propia contiene los vectores propios asociados a los valores propios dominantes de la matriz objeto del problema. Muchos problemas prácticos de determinación de vectores y valores propios de una matriz de orden n solo requieren el conocimiento de un número limitado de dichos pares; por ejemplo, aquellos cuyos p valores propios (p < n) son los de mayor módulo. Cuando p = 1 y se trata de obtener el valor propio de mayor módulo o valor propio dominante de una matriz general y su vector propio asociado, puede citarse como más adecuado el método de la potencia, el cual, a partir de una aproximación arbitraria del vector propio buscado, obtiene iterativamente la aproximación deseada en función de la precisión requerida. La localización de otros valores propios se puede realizar utilizando técnicas de deflación, pudiéndose obtener de esta forma los valores propios dominantes y sus correspondientes vectores propios. Otros métodos de obtención del valor propio dominante de una matriz se basan en el concepto en construirse algoritmos iterativos que convergen cuadrática mente al valor propio dominante. Los métodos de Iteración Simultánea constituyen una generalización del método de la potencia. Se basan en el procesamiento simultáneo de un subconjunto inicial de n vectores ortogonales a los que se trata dé modo que en cada paso del proceso iterativo se mantenga entre ellos la relación de ortogonalidad y no converjan al mismo vector propio. Estos procedimientos son más eficaces que las técnicas de deflación. De aplicación a matrices simétricas definido-positivas, desarrollando un algoritmo para matrices reales simétricas y no simétricas. El método que presentamos en el desarrollo del tema es válido para matrices finitas de cualquier tipo. Si bien constituye una generalización del método de la potencia, difiere de los métodos de iteración simultánea en los siguientes aspectos. Desde un punto de vista computacional, no es necesario ortogonal izar los vectores de iteración según las técnicas desarrolladas ni resolver en cada ciclo el problema de valores y vectores propios.


D E

A Q U I N O

B O L I V I A

Algebra Lineal y Teoria Matricial

Recommend Documents