1MAT04-Algebra matricial y geometría analítica

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.




´ ´ PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS Algebra Matricial y Geometr´ıa Anal´ıtica Segunda Pr´ actica Calificada

(2017-1) Indicaciones:

* No se permite el uso de apuntes de clase ni libros. * Explique detalladamente las soluciones. * Duración: 1 hora y 50 minutos.

1. Considere la elipse 2

2

E : 4x + y − 24x − 8y + 48 = 0. Halle la ecuación de la hipérbola H que pasa por el punto A (3, 5) y que tiene como focos a los vértices de E . (4 pts) 2. Sea H una hipérbola tal que el punto F (8, 7) es uno de sus focos y el punto V (8, −1) es uno de sus vértices. Sabiendo que su centro C se ubica en la recta L : 3x − 2y − 20 = 0, halle la ecuaci´ on de H. (4 pts) 3. El punto C (2, 1) es el centro de una elipse E y el punto A(−2, 4) es uno de los extremos √ de su eje menor. Sabiendo que la distancia de A a uno de los vértices de E es 5 3, halle las coordenadas de los focos de E . (4 pts) 4. Halle la longitud del lado recto de la c´ onica C con ecuaci´ on 5x − 4xy + 8 y − 36 = 0. (4 pts) 2

2

5. Considere la familia de cónicas

C con par´ ametro k =

 ±1.

k

:

x2 k + 1

+

y2 k

− 1 = 1,

a )

¿Cuáles son los valores de k para los cuales la cónica vac´ıo?

b)

Halle todos los valores de k para los cuales la cónica k es una elipse. ¿Es cierto que todas estas elipses tienen los mismos focos? Justifique.

c )

C

C

k

resulta ser un conjunto (1 pt) (1,5 pts)

Halle todos los valores de k para los cuales la cónica k es una hipérbola. ¿Es cierto que todas estas hipérbolas tienen los mismos focos? Justifique. (1,5 pts)

C

Pr´ actica elaborada por los coordinadores del curso. Turno: 15:00 - 17:00

San Miguel, 11 de mayo de 2017.



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1. Considere la hipérbola H :

4x2 − y 2 − 24x + 8 y + 16 = 0.

Halle la ecuación de la elipse E que pasa por el punto A(3, 5) y que tiene como focos a los vértices de H. (4 pts) 2. Sea H una hipérbola tal que el punto F (−3, 8) es uno de sus focos y tal que la recta L : 4x − 3y + 16 = 0 es una de sus as´ıntotas. Sabiendo que su centro C se ubica en la recta L : 2x − 3y + 20 = 0, halle la ecuación de H. (4 pts) 

3. El eje focal de una elipse E es la recta L : x − 2y + 4 = 0, un extremo de su eje menor es el punto M (3, 6) y la distancia de dicho punto a uno de los vértices de la elipse es 5, halle las coordenadas de los focos de E . (4 pts) 4. Halle la longitud del lado recto de la c´ onica C con ecuaci´ on 4x2 + 4xy + y 2 − 2x + 4 y + 40 = 0.

(4 pts)

5. Considere la familia de cónicas C k

: (9 − k )x2 + (16 − k )y 2 = 1.

a )

Halle las condiciones que k debe cumplir para que la cónica C k no sea el conjunto vac´ıo. (1 pts)

b)

Halle todos los valores de k para los cuales C k es una elipse.

(1 pts)

c )

Halle todos los valores de k para los cuales C k es una hipérbola.

(1 pts)

d )

¿Será cierto que las cónicas C k halladas en (b) y (c) tienen todas los mismos focos? Justifique. (1 pts)

Pr´ actica elaborada por los coordinadores del curso.

San Miguel, 11 de mayo de 2017. 19:00 - 21:0 0 h


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1. Considere los puntos A(1, 1, 4) y B (3, 1, 2). a )

Halle la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos P (x , y , z) que equidistan de A y B . (1,5 pts)

b)

Demuestre que el lugar geom´ etrico obtenido en el item anterior es un plano P que pasa por el punto medio de AB y es perpendicular a AB . (2,5 pts)

→ 2. Sea L la recta que pasa por el punto A(5, −2, 1) y tiene vector direcci´ on − u = (4, −3, 0). a )

Calcule las coordenadas del punto B que es intersección de la recta L con el plano P : 3x + 4y − 5z = 2. (1,5 pts)

b)

Halle la ecuación vectorial de la recta L contenida en P que pasa por el punto B y es perpendicular a L. (2,5 pts) 

3. Sea P el plano cuya ecuaci´ on vectorial es (x , y , z) = (−2, 3, −1) + t(4, 3, 1) + s(2, −3, 2), con t, s ∈ R. a )

Encuentre las coordenadas de los puntos A , B y C que se obtienen al intersectar el plano P con los ejes de coordenadas X , Y y Z respectivamente. (2 pts)

b)

Calcule las coordenadas del pie de la altura del tri´ angulo ABC trazada desde el punto B . (2 pts)

4. Sea P el plano que pasa por los puntos A (0, 1, 3), B (2, 0, 6) y C (1, 3, 4). Halle la distancia del punto D(−4, 3, 12) al plano P . (4 pts) ´ CONTINUA...


5. Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta. − − → → → → u y → v son vectores en R tales que − u +− v 2 = − u  2 + − v 2 , entonces los Si → vectores u y v son perpendiculares. (1 pt) → − − on lineal de los vectores → u = (1, −1, 2) y b ) El vector w = (4, 2, −1) es combinaci´ → − v = (2, 1, 3). (1 pt)

a )

n

c )

Si la recta L pasa por el punto A(1, 0, 2) y tiene vector direcci´ on entonces L es paralela al plano P : 2x − y + z = 1. → − − → → − d ) Si u y v son vectores no nulos en R tales que Proy v  = Proy → → − u  =  − v . n

→ − u

→ − u = (1, 4, 2), (1 pt) → − u , entonces

→ − v

(1 pt)

Pr´ actica elaborada por los coordinadores del curso. Turno: 15:00 - 17:00.

San Miguel, 1 de junio de 2017.




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1. Los puntos A(2, 7, 0), B (0, 4, 4) y C (1, 1, 2) son los v´ ertices de un trapecio is´ osceles ABCD tal que AB es una de sus bases. a )

Halle el pie de la altura CH que cae sobre AB .

(1, 5 pts)

b)

Determine las coordenadas del vértice D.

(1, 5 pts)

c )

Si V (7, 4, 3) es el vértice de una pir´ amide cuya base es el triángulo formado por los puntos ABC , halle el volumen de dicha pir´ amide. (2 pts)

− − − 2. Sean → u, → v y→ w vectores en R3 que cumplen las siguientes condiciones: → − − − w es perpendicular a → u y→ v , − − el ańgulo formado por → u y→ v es igual a π6 , y → → → − u  = 4, − v  = 5 y − w  = 3, − → → halle → u · (− v ×− w ). 3. Sean L : P = (1, 1, 4) + t(2, 3, 2), t ∈

(4 pts) R,

un recta y A(a1 , a2 , 0) un punto en L.

a )

Halle la ecuación de la recta que L que pasa por A y es paralela al eje Y . (1, 5 pts)

b)

Halle la ecuación cartesiana del plano que contine a L y L .



(1, 5 pts)



4. Sean P : 2x − 3y + 4z − 6 = 0 un plano y L : P = (2, 2, 3) + t(1, 0, −1), t ∈

R,

una recta.

a )

Halle el punto en el que la recta L corta al plano P .

b)

Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, 2, 3) y es ortogonal al plano P . (1, 5 pts)

c )

Halle la distancia del punto B (2, 1, 3) al pano P .

(1 pt)

(1, 5 pts)

Contin´ ua . . .


5. Analice la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.

− → → Sean → x ,− y vectores en R3 y α, β ∈ R − {0}. Si Proyα x − y = (2, 1, 1) y → − → − → − Proyβ y x = (1, 1, 2) entonces  x  =  y  . (1 pt) → − − on lineal de los vectores → y = (2, −1, 3) y b ) El vector x = (−6, 1, 5) es combinaci´ → − (1 pt) z = (1, 2, 1).

a )

→ −

→ −

− − u y → v , no ortogonales, entonces Si θ es el á ngulo formado por los vectores → → − → −  u × v  tan(θ) = − . (1 pt) → → u ·− v on M : P = (1, 0, 3) + t(−1, 2, 1) + r (4, −8, −4), t , r ∈ R, representa a la d ) La ecuaci´ ecuación vectorial de un plano. (1 pt) c )

Pr´ actica elaborada por los coordinadores del curso. Turno: 19:00- 21:00



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1.

a )

¿Para qué valores de k

∈ R los

vectores

v1 = (k, 1 − k, 1 − k ) , v2 = (1 − 2k, 2 − 2k, 3 − k ) y v3 = (0, 2, −1)

b)

son linealmente independientes?

(3 pts)

Sea A = (aij )3 3 una matriz simétrica tal que aij = 3i − 2 j si i ≤ j . Halle la matriz X tal que 2(X T − 3A) + 5 I = 0.

(2 pts)

×

2. Sean a, b ∈ R. Demuestre que los vectores u1 = (1, a , b), u2 = (1, a , b + 1) y u3 = (1, a + 1 , b + 1)

forman una base de 3. Dados a, b, c

∈ R,

3

R

.

(3 pts)

considere la matriz A

4.

1 = 

a b

 

0 1

0 0 c −2

.

a )

Demuestre que A3 + 2I = 3A.

(2 pts)

b)

Calcule det(A6 − 4I ).

(2 pts)

a )

Considere las matrices A =



a11 a12 a13 a21 a22 a23



y B

 =

b11 b12 b21 b22 b31 b32

 

.

Sabiendo que la traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal, demuestre que tr(AB ) = tr(BA ). (2 pts) b)

Sea A = (aij )2 2 una matriz tal que ×

A

Calcule A

1 3

.

1 4 2

=

5

y A

3 7 1

=

5

.

(2 pts) ´ CONTINUA...


5. Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta. a )

Si A es una matriz cuadrada de orden 2, la matriz AA T resulta ser simétrica. (1 pt)

b)

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces det(A − B ) = detA − detB .

(1 pt)

c )

Si A es una matriz cuadrada de orden 3 tal que A T = −A, se cumple que detA = 0. (1 pt)

d )

Si A y B son matrices triangulares superiores de orden 3, la matriz AB también es triangular superior. (1 pt)






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1. Sea A una matriz simétrica de orden 3 × 3, definida por aij = 2i + j, i ≥ j . a )

Halle la matriz X tal que

1 (X − 2A) = A t − 2A 5 (2 pts)

b)

Halle el determinante de At X .

2 2. Dada la matriz A = 1

(2 pts)

 

4 3 −1 −2 . 0 0 4

a )

b

3.

Determine los valores de λ ∈ de orden 3 × 3.

 ) Sea la matriz X = x

R

 2

2 Θ, siendo Θ la matriz nula.

tal que det(A − λI ) = 0, siendo I la matriz identidad (2 pts)

1×3

, determine los valores de x ∈

R

tal que X · A · X t = (3 pts)

a )

¿Para qué valores de k los vectores (1, 3, −1), (2k, k + 1, k ) y (1 + k,k, 1) son linealmente independientes? (3 pts)

b)

¿El conjunto S = { (1, 2, 3), (2, 0, 1), (0, 0, 0)} forma una base de

c )

Encuentre una base de su respuesta.

R

3

3

R

?

(2 pts)

que contenga a los vectores (1, 0, 2) y (0, 1, 1). Jutifique (2 pts)

4. Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justifique sus respuestas. a )

Si A es una matriz simétrica de orden p × p y B es una matriz de orden p × q entonces B t AB es simétrica. (1 pt)

b)

Sean A, B y C matrices de orden 2 × 2. Si AC = B C y C =  0 entonces A = B . (1 pt) ´ CONTINUA...


c )

Si A = I − 2(B · B t ), donde B es una matriz de orden 3 × 1 e I la matriz identidad de orden 3 × 3, entonces A · A = I . (1 pt)

d )

Si u, v ∈ R2 son vectores ortogonales, entonces el conjunto S = {u − v, u + v } es linealmente independiente. (1 pt)




PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS EXAMEN PARCIAL ÁLGEBRA MATRICIAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Semestre académico 2017-1

Elaborado por los(as) profesores(as) del curso. Indicaciones: Resuelva las cinco preguntas de acuerdo a la siguiente distribución: Pregunta Páginas

1

2

3

4

5

1y2

3y4

5y6

7y8

9 y 10

No está permitido el uso de corre ctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.

1.

Un segmento  de 10 cm de longitud se mueve apoyando sus extremos en los ejes de un sistema de coordenadas. El lugar geométrico descrito por un punto

(,) situado sobre

el segmento  a 4 cm del extremo que se apoya sobre el eje , describe una elipse. Halle la distancia focal de dicha elipse. 2.

(4 ptos.)

Halle la ecuación de la circunferencia de radio 5 que es tangente exterior a la circunferencia :   +   = 4 y tangente a la recta : 4 − 3 + 46 = 0 , sabiendo que las coordenadas de su centro son enteras.

3.

(4 ptos.)

Sea (1,1) el centro de una hipérbola ℋ con eje conjugado de longitud 2√ 5 cm. Si uno de los extremos del eje conjugado se encuentra en el eje Y (parte positiva) y una de sus asíntotas es vertical, halle los focos de ℋ .

4.

Sean⃗,  y⃗  tres vectores en  tales que⃗ =

(4 ptos.)

( ⃗ − ) × ( ⃗ + )

. Sabiendo que⃗  y



son perpendiculares y unitarios, halle: a.

El área del paralelogramo formado por⃗  y  .

b. El valor del producto escalar (2 ⃗ × 3 ) ⃗∙  5.

(2 ptos.) (2 ptos.)

Los puntos 

= (3,7), ,  y  son los vértices del cuadrado  (sentido antihorario). ⃗ = (−7,1), halle las coordenadas de los otros vértices. Si  (4 ptos.) San Miguel, 16 de mayo de 2017















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