Carpeta de evidencia
Nombre del alumno
Jesús Manuel Solórzano López
Salina Cruz, Oaxaca, febrero febrero de 2015
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SALINA S ALINA CRUZ INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
ASIGNATURA
CALCULO DIFERENCIAL
UNIDAD 1 a 4
NOMBRE DEL ALUMNO JESÚS MANUEL SOLÓRZANO LÓPEZ
PROFESOR ING. JOSÉ RAFAEL RAFAEL DORREGO PORTELA
SEMESTRE: 2
GRUPO: C
SALINA CRUZ, OAXACA, OAXACA, FEBRERO DE 2015
Tea!"# 1 TEOREMA TEOREM A FUNDAMENTAL FUNDAMENTAL DEL C$LCULO% 1.1 Medició !"#$%i&!d! de 'i()#!* !&$#'!*. 1.2 N$+!ció *)&!+$#i!. 1., S)&!* de Rie&!. 1.- De'iició de i+e(#! de'iid!. 1./ Te$#e&! de e%i*+eci!. 1.0 P#$"ied!de* de ! i+e(#! de'iid!. 1. F)ció "#i&i+i!. 1.3 Te$#e&! ')d!&e+! de c4c)$. 1.5 C4c)$ de i+e(#!e* i +e(#!e* de'iid!*. 1.16 I+e(#!e* I&"#$"i!*.
2 INTEGRAL INDEFINIDA & MÉTODOS DE INTEGRACIÓN% 2.1 De'iició de i+e(#! ide'iid!. 2.2 P#$"ied!de* de i+e(#!e* ide'iid!*. 2., C4c)$ de i+e(#!e* i +e(#!e* ide'iid!*. 2.,.1 Di#ec+!*. 2.,.2 C$ c!&7i$ de !#i!7e. 2.,., T#i($$&8+#ic!*. 2.,.- P$# "!#+e*. 2.,./ P$# *)*+i+)ció +#i($$&8+#ic!. 2.,.0 P$# '#!cci$e* "!#ci!e*.
' APLICACIONES DE LA INTEGRAL% ,.1 9#e!*. ,.1.1 9#e! 7!:$ ! (#4'ic! de )! ')ció. ,.1.2 9#e! e+#e !* (#4'ic!* de ')ci$e*. ,.2 L$(i+)d de c)#!*. ,., C4c)$ de $;&ee* de *óid$* de *óid$* de #e$)ció. ,.- C4c)$ de ce+#$ide*. ,./ O+#!* !"ic!ci$e*.
4 SERIES% -.1 De'iició de *e#i!. -.1.1 Fii+!. -.1.2 I'ii+!.
-.2 Se#ie )&8#ic! < c$e#(eci! P#)e7! de ! #!=ó >c#i+e#i$ de D?Ae&7e#+@ < P#)e7! de ! #!= >c#i+e#i$ de C!)cB<@. -., Se#ie de "$+eci!*. -.- R!di$ de c$e#(eci!. -./ Se#ie de T!<$#. -.0 Re"#e*e+!ció de ')ci$e* &edi!+e ! *e#ie de T!<$#. -. C4c)$ de I+e(#!e* de ')ci$e* e%"#e*!d!* c$&$ *e#ie de T!<$#.
UNIDA D 1: TEORE MA FUNDA MENTA L DEL C$LCU LO%
1%1 MEDICIÓN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS% E !* &!+e&4+ic!* e%i*+e d$* +i"$* de 'i()#!* !* #e()!#e* < !* $ #e()!#e* &!<$#&e+e c$$cid! c$&$ 'i()#! !&$#'! dicB!* 'i()#!* *$ &)< c$&"e:!* "!#! #e*$e#!* de )! &!e#! *eci! "e#$ e%i*+e '$#&!* "!#! #e*$e#!*. L!* i+e(#!e* $* ")ede !<)d!# "!#! #e*$e# e*+$* "#$7e&!* e%i*+e c)!+#$ c!*$* "$*i7e* "!#! !* c)!e* e 4#e! ece*i+! *e# e!)!d!. C!*$ 1 c)!d$ e 4#e! e*+4 i&i+!d! "$# ! c)#! '>%@ e e:e < !* $#de!d!* ! < 7. P!#! e*+i&!# e 4#e! de +! 'i()#! c$*ide#e H)e e 4#e! 7!:$ ! c)#! e*+4 c$&")e*+! "$# ) (#! ;&e#$ de de(!d!* +i#!* e#+ic!e*.
S)"$ied$ H)e B!< )! +i#! !#7i+#!#i! < "!#! ! !+)#! < )! d% "!#! ! !cB)#!. E 4#e! de e*+! +i#! ee&e+! *e#! dA < d% d$de < '>%@
E 4#e! +$+! A de ! #e(ió e+#e e e:e % ! $#de!d! % ! < % 7 < ! c)#! < ' >%@ *e#4 ! *)&!+$#i! de !* 4#e!* de +$d!* !* +i#!* ee&e+!e* e +$d! ! #e(ió $ ! =$! i&i+!d!. E*+$ "#$d)ce ! 'ó#&)! A dA < d% '>%@ d% L! i+e(#! !+e#i$# ")ede *e# e!)!d! &edi!+e "$e# ! ')ció e *) )(!# e i+e(#4d$!.
C!*$ 2 L! *e()d! *i+)!ció e* c)!d$ e 4#e! e*+4 dei&i+!d! "$# ! c)#! % (><@ e e:e < < !* $#de!d!* < <1 < <2 <. L! (#4'ic! de ! ')ció *e &)e*+#! ! c$+i)!ció. A*)&! H)e e 4#e! 7!:$ ! c)#! e*+4 c$&")e*+! de ) (#! ;&e#$ de +i#!* de(!d!* B$#i=$+!e*. Se! )! +i#! !#7i+#!#i! d< "!#! ! !+)#! < % "!#! ! $(i+)d. E 4#e! de e*+! +i#! ee&e+! *e#! dA % d< d$de % (><@ E 4#e! +$+! A de ! #e(ió e+#e e e:e % ! $#de!d! < <1 < <2 < < ! c)#! % (><@ *e#4 ! *)&!+$#i! de !* 4#e!* de +$d!* !* +i#!* ee&e+!e* e +$d! ! #e(ió $ e 4#e! i&i+!d!. E*+$ "#$d)ce ! 'ó#&)!
A dA % d< (><@ d<
C!*$ , Se "#e*e+! )! +e#ce#! *i+)!ció c)!d$ ! c)#! e c)e*+ió *e ec)e+#! "$# de7!:$ de e:e % e+$ce* '>%@ e* &e$# H)e ce#$ de*de % ! B!*+! % 7 e 4#e! i&i+!d! "$# ! c)#! < '>%@ < !* $#de!d!* % ! < % 7 < e e:e % e* e(!+i$. Pe#$ e !$# )&8#ic$ de 4#e! de7e *e# +$&!d$ e c$*ide#!ció e+$ce* A '>%@ d% C!*$ - U! ;+i&! "$*i7iid!d *e#! H)e )! "!#+e de ! c)#! e*+8 "$# eci&! de e:e % < $+#! "!#+e e*+8 "$# de7!:$ de e:e %. Se! A1 e 4#e! de7!:$ de e:e % < A2 e 4#e! "$# eci&! de e:e %. P$# $ +!+$ e 4#e! i&i+!d! "$# ! c)#! < '>%@ e e:e % < !* $#de!d!* % ! < % 7 *e#4 A A1 A2
Ki7i$(#!'! 1. Israel E. Drabkin. Aristotle’s Wheel: Notes on the History of a Paradox. Osiris http://www.jstor.org/stable/301848?origin=JSTORp!" , 9:1! " 19#, 19$%.
!. A&tor. #roble$Sol%ing Strategies. Proble' (ooks in )athe'ati*s. +rin-er/erla-, Ne0 ork, 199# 3. 2io3anni 4erraro. The Rise an! &e%elop$ent o" the Theor' o" Series (p to the )arl' 18*0s . +o&r*es and +t&dies in the History of )athe'ati*s and Physi*al +*ien*es. +rin-er, Ne0 ork, !%%#..
1%2 NOTACIÓN SUMATORIA% En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difcil escri!ir la e"presión que representa este tipo de operación. El pro!lema empeora a &edid! H)e ic#e&e+! $* ;&e#$* e !
*e#ie. U! *$)ció e* )+ii=!# $* "#i&e#$* ;&e#$* de ! *e#ie )e($ ")+$* *)*"e*i$* < 'i!&e+e $* ;+i&$* ;&e#$* de ! *e#ie c$&$ *e &)e*+#! ! c$+i)!ció 1 2, 166 E*+! e%"#e*ió #e"#e*e+! )! $"e#!ció H)e ic)
AH) *e #e"#e*e+! ! !#i!7e $ $* +8#&i$* e ! *e#ie. E $"e#!d$# *i(&! e* ) *&7$$ de ! G#eci! !+i()! d$de ')e )+ii=!d$ c$&$ e+#! &!<;*c)! de !'!7e+$ S. U! #e"#e*e+!ció +"ic! de ! $"e#!ció *)&!+$#i! )+ii=!d$ e *&7$$ *)&!+$#i$ *e #e"#e*e+!
L! !#i!7e H)e !"!#ece e ! "!#+e de#ecB! de *&7$$ e* e Ee&e+$ T"ic$ e c)! *e#4 *)&!d$ c$ ! $"e#!ció *)&!+$#i!. Sie&"#e e%i*+e ) &i+e i'e#i$# < ) &i+e *)"e#i$# de ! $"e#!ció $* c)!e* e*+4 #e"#e*e+!d$* "$# de7!:$ < "$# eci&! de *&7$$ *)&!+$#i$. L! !#i!7e #e"#e*e+!d$ e &i+e de ! $"e#!ció *e e*c#i7e de7!:$ de *&7$$ *)&!+$#i$ B!ci! ! i=H)ie#d! de &i+e i'e#i$#. E &i+e de ! $"e#!ció *e iici! ! "!#+i# de !$# B!ci! e !d$ de#ecB$ de dice de ! !#i!7e < +e#&i! e e !$# e*c#i+$ *$7#e e *&7$$ *)&!+$#i$. E &i+e i'e#i$# de ! $"e#!ció e* !&!d$ e $c!*i$e* ")+$ de "!#+id! "$# $ +!+$ e &i+e *)"e#i$# e* !&!d$ ")+$ 'i!. Ki7i$(#!'!
1. 5oren 6. 5arson. #roble$Sol%ing Tro(gh #roble$s. Proble' (ooks in )athe'ati*s. +rin-er /erla-, Ne0 ork, 19#7
!. )i*hael +i3ak. S(ple$ento !el +,l-(lo n"initesi$al ++S . Editorial 8e3ert, +.A., (ar*elona, 19;. 7. )i*hael +i3ak. +,l-(lo n"initesi$al . 8e3ert Edi*iones +.A., )xi*o D.4., ! aed. 7 < 8ei'resi=n edition, 199.
1%' SUMAS DE RIEMANN E &8+$d$ de Rie&! dice E:e&"$ !!# e 4#e! de ! #e(ió i&i+!d! "$# !* (#4'ic!* de f ( x )=2 X + 1 [1,3 ] < e e:e &edi!+e e &8+$d$ de &i+e de !* *)&!* de Rie&! 1,Q → nintervalos
∆ x=
b −a 3−1 2 = = n n n 2
∆ x = estoesel ancho delos n intervalos n
C!c)!&$* e i+e#!$ de Xi >i e* c)!H)ie# #ec+4()$ H)e *e ec)e+#e e e i+e#!$ de
a y b H)e +$H)e ) ")+$ de ! (#4'ic!@
Xi =a + i .∆ x Xi =1 + i . Xi =1 +
2
n
2i
n
L! 8*i&! *)&! de Rie&! dice n
f ( xi ) . ∆ x ∑ = i
1
2i 2 f (1 + ) . ∑ n n = n
i
1
U+ii=!d$ ! ec)!ció d!d! "$# ! (#4'ic! H)e e*
f ( x ) =2 X + 1
( )
n
∑ =
2 1+
i 1
2i
n
n
2
[
+1 . =∑ 2+ n
i= 1
4 i
n
]
2
n
( )
+ 1 . =∑ 3 + n
i=1
4 i 2
∑( n
4i . = 3+ n n n i=1 n 2
)
S)&!+$#i! de +8#&i$* "$# !* '$#&)!*
n
i 1
i 1
n ( n+1 ) k = k . n ∑ i = ∑ 2 = =
2
n
(
n
n
4i
3 +∑ ∑ = = n i
i
1
1
) (
2
=
2
n
n
n
) (
2 3 + . ∑ i = ∑ n = n = i
4
i
1
1
3. n +
4
n
.
n ( n +1 ) 2
)=
2
n
( 3 n + 2 n +2 )
4
. ( 5 n + 2 ) =10 + la n−esima suma deriemann n n
O7+ee&$* e &i+e
(
10 +
4
n
)
6
=10 + 4
∞
¿=10 lim ¿ n→ ∞
E 4#e! de ! (#4'ic! e* 16 ) 2
1%4 De(")"*"+) e ")-e.!a/ e(")"a%
P!#! e*+! "!#+e *e#4 e &i*&$ e:e&"$ "e#$ e*+$ e* "!#! c$&"#$7!# H)e e &8+$d$ de Rie&! e*+4 c$##ec+$. 3
∫ (2 x +1 ) . dx
A =
1
2
2 X A = 2
+ X = X 2+ X
A =( 3 + 3 )−( 1 + 1 ) =( 9 +3 )−( 2 )=( 12 )−( 2 ) 2
2
2
A =10 U
P#$"ied!de* de ! i+e(#! de'iid! E !$# de ! " +e(#! de'iid! c!&7i! de *i($ *i *e "e#&)+! $* &i+e* de i+e(#!ció.
E!)8 ! *)&! de Rie&! "!#! '>%@% , +$&!d$ $* ")+$* e%+#e&$ de ! de#ecB! !6 7, < 0 ∆ x=
∆ x=
∆ x=
b −a n 3− 0
n 3
n
xi=a + i ∙ ∆ x
3
xi= 0 + i ∙
xi=
n
3i
n
n
f ( xi ) ∙ ∆ x ∑ = i 1
3i 3 f ( ) ∙ ∑ n n = n
i 1
f ( x ) = x n
3
f ( ) ∑ n = i
3
3i
∙
1
n
∑ = i 1
3
n
3
n
3
n
3
n
3
n 3
n
( ) 27 i
n
n
∙
3
3
27 i
∑=
3
n
3
∙
n
3
3
n
1 1
)]
∙
[ (
n ( n +1 )
∙
[ (
n ( n +2 n +1)
∙
(
∙
(
(
6.75 n + 13.5 +
27 3
n
27 3
n
∙
∙
27
2
2
4
2
2
4
( n +2 n+1 ) 2
4n
)
( 27 n + 54 n + 27 ) 2
4n
27 4n
)
)
)]
(
)(
( 3 ) ( 6.75 n ) n
20.25 n
n
20.25 +
+
40.5
n
40.5
n
lim 20.25 + n →∞
A = 20.25 u
( 3 ) ( 13.5 )
+
n
+
)( +
( 3 ) ( 27 ) n (4n )
81 2
4n
81
+
2
4n
40.5
n
+
81 2
4n
2
De'ii# ! i+e(#! 3
∫
3
x
A = x ∙ dx = 0
x
A =
3 +1
4
4
1 4
4
A = x −
A =
3 +1
3 4 x 4
1 4 3 ( 3 ) − ( 0 )4 4 4 1
A = ( 81 ) 4
A =
81 =20.25 u2 4
x
4
1
4
= = ( x ) 4
4
)
Ki7i$(#!'! 1. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic"!di!"(!7#ie!ei=!7e+B)id!d1+e$#e&! ')d!&e+!dec!c)$1-de'iici$i+e(#!de'iid! 2. B++"*e*.*c#i7d.c$&d$c165,650-De'iici$dei+e(#!de'iid! ,. B++"*e*.*c#i7d.c$&d$c165,650-De'iici$dei+e(#!de'iid!
1%5 -e#!ea e e"-e)*"a Se! )! ')ció #e! < ' >%@ H)e e* c$+i)! e ) i+e#!$ ! 7Q. E+$ce* *e ")ede !'i#&!# H)e e%i*+e ! &e$* ) ")+$ c "e#+eecie+e ! dicB$ i+e#!$ "!#! e H)e *e e#i'ic! E !$# ' *e c$$ce c$&$ e !$# &edi$ de ! ')ció ' >%@ e e i+e#!$ ! 7Q. )i=4 *e! i+e#e*!+e B!ce# !#i!* $7*e#!ci$e* 1@ E ")+$ c ")ede $ *e# ;ic$. E +e$#e&! !*e()#! ! e%i*+eci! de "$# $ &e$* ) ")+$ c$ e*! "#$"ied!d. 2@ E !$# &edi$ de ! ')ció ' >%@ $ *e #e'ie#e ! ! +!*! de !#i!ció &edi! e e
i+e#!$ c$*ide#!d$. Se +#!+! de ) c$ce"+$ di'e#e+e. ,@ E c4c)$ de dicB$ !$# &edi$ < e de ")+$ c e e H)e *e !c!=! "#e*)"$e e c4c)$ de )! i+e(#! de'iid!. DicB$ c4c)$ ")ede B!ce#*e "$# ! Re(! de K!##$V >H)e *e *)"$e c$$cid!@ $ 7ie e e c!*$ de ')ci$e* c$&"ic!d!* )+ii=!d$ &8+$d$* )&8#ic$* c$&$ ! Re(! de Si&"*$ "$# e:e&"$. E e*+! )id!d )+ii=!#e&$* ')ci$e* de i+e(#!ció *eci!.
2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA W!&$* ! e*+)di!# ! !"ic!ció de +e$#e&! ! )! ')ció c$c#e+!. P!#! )! "#i&e#! !"#$%i&!ció !&$* ! e*c$(e# )! ')ció H)e *e! c$+i)! e c)!H)ie# i+e#!$ de ! #ec+! #e! "!#! H)e +e(!&$* ! *e()#id!d de H)e *e c)&"e ! Bi"ó+e*i* de )e*+#$ +e$#e&!. L! ')ció $7:e+$ de )e*+#$ e*+)di$ ! ! *e# ! *i()ie+e L$* c$+#$e* ! < 7 *$ $* e%+#e&$* de i+e#!$. A c!&7i!# *)* !$#e* *e ")ede $7*e#!# c$&$ !#! e !$# &edi$ de ! ')ció < e ")+$ $ ")+$* e H)e *e !c!=! dicB$ !$#. L! ')ció c$ ! H)e e*+!&$* +#!7!:!d$ e* *i&8+#ic! < e*$ "#$$c! H)e e !()$* i+e#!$* e ")+$ c $ *e! ;ic$. E +#!=$ !=) idic! e c$:)+$ de !$#e* H)e +$&! ! ')ció e e i+e#!$ !7Q c)<$ !$# &edi$ H)e#e&$* c!c)!#. Te e c)e+! H)e e e%+#e&$ de i+e#!$ ! de7e *e# &4* "eH)eX$ H)e e e%+#e&$ 7. E c)!H)ie# c!*$ *i +e eH)i$c!*e* !"!#ece#! ) &e*!:e de e##$#. ,. EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONES W!&$* ! c$*ide#!# !B$#! ! !"ic!ció de +e$#e&! ! ) +i"$ di'e#e+e de ')ci$e*. AH) e ")+$ e e H)e *e !c!=! e !$# &edi$ e* ;ic$
Ki7i$(#!'! 1. B++"**i+e*.($$(e.c$&!+ec+i:)!!.ed).&%cic\#)i=:)!*!7e#i$1+e$#e&! ')d!&e+!dec!c)$1/+e$#e&!dee%i*+eci! 2. B++"i+e(#!+e*+.ViYi*"!ce*.c$&1./TEOREMADEEISTENCIA ,. B++"e*.*c#i7d.c$&d$c/,/0,361/Te$#e&!dee%i*+eci!]*c#i7d -. B++"e*.ViYi"edi!.$#(ViYiTe$#e&!\de\e%i*+eci!
1% P!#3"eae e /a ")-e.!a/ e(")"a%
Ki7i$(#!'! 1. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic$"e=$"e=&i#i!&:1+e$#e&!')d!&e+!de c!c)$10"#$"ied!de*de!i+e(#!de'iid! 2. B++"e*.*c#i7d.c$&d$c2,16/0110P#$"ied!de*deL!I+e(#! De'iid!]*c#i7d ,. B++"i+e(#!+e*+.ViYi*"!ce*.c$&1.0PROPIEDADESDELAINTEGRALDE FINIDA -. B++"VVV.ViYie#!+$.$#(P#$"ied!de*\de\!\i+e(#!\de'iid!.B+& /.
1% F)*"+) 3!""-"6a% U! ')ció
F ( x ) e* )! "#i&i+i! de f ( x ) c)!d$ F ( x )
+iee "$#
de# i2!d! .!
' )ció '>%@
F ( x ) es primitivade f ( x ) g F ( x )= f ( x ) 1
EJEMPLOS a ¿ !a funci"n F ( x )= x 3 es una primitiva def ( x )=3 x 2
7@ L! ')ció F ( x )=√ X e* )! "#i&i+i2! de
f ( x )=
1 2 x
E. c4.c).$ de "#i&i+i2!* *e 7!*! e e. *i()ie+e +e$#e&! ' )d!&e+!. de c4c)$ i+e(#!.
TEOREMA #i F ( x ) y $ ( x ) s o n do s pr imi t i v a s d e l a f un c i " n f ( x ) %en t once s F ( x )−$ ( x )=& % si e ndo & una consta De&$*+#!ció
'efinamosla funci"n ( ( x )= F ( x )− $ ( x ) y hallemos su derivada : ( ( x )= F ( x )− $ ( x )
P$# Bi"ó+e*i* *e e#i'ic! F ( x )=$ ( x )= f ( x ) L)e($D
( ( x )= f ( x )− f ( x )= 0
P$# +!+$
( ( x )= F ( x )−$ ( x )=&
C$&$ c$*ec)eci! de e*+e +e$#e&! *e ded)ce H)e "!#! c!.c).!# +$d!* .!* "#i&i+i2!* de )! ' )ció '>%@ e* *)' icie+e c$ c!.c).!# )! de e..!* F>%@ %@ *e#4 de ! '$#&! F>%@ C *ied$ C )! c$*+!+e.
2
EJEMPLO C!.c).!# !* "#i&i+i!* de ! ')ció f ( x )=2 x .
L! ')ció
F ( x )= x 2
L!* i'ii+!* "#i&i+i!* de c$*+!+e.
x
e* )! "#i&i+i! de f ( x )=2 x ")e* F ( x )=2 x = f ¿ f ( x )=2 x
*$ de ! '$#&!
$ ( x )= x 2 + & % *ied$ C )!
E. c4.c).$ de "#i&i+i2!* e* ")e* e. "#$ce*$ i2e# *$ !. de de# i2!ció c$ .! di' e# eci! de H)e *i )! ' )ció '>%@ +iee de# i2!d! 8*+! e* ;ic ! &ie+# !* H)e *i )! ')ció '>%@ +iee )! "#i&i+i! +iee i'ii+!* "#i&i+i!*.
Ki7i$(#!'!*
1. http&''(((.sr!arreiro.es')puntes'**++,2!to'-eoria'-eoriaro!lem as/ntegracion.pdf 2. https&''sites.google.com'site'ciclope0lope0miriam'1teorema fundamentaldelcalculo'17funcionprimiti
3.
4% 1%7 Te#!ea ()ae)-a/ e/ *8/*/#% /. E Te$#e&! ')d!&e+! de c4c)$ i+e(#! dice H)e ! i+e(#! de )! ')ció e* ! ie#*! de ! de#i!d! e* deci# ! de#i!d! de ! i+e(#! de ! ')ció e* i()! ! ! ')ció. 0. Si ' e* c$+i)! e !7Q ! ')ció F e*+4 de'iid! "$# b
.
∫
F ( x )= f ( x ) dx a) x) b escontinua en[ a % b ] a
3. de#i!7e e >!7@ 5.
F * ( x )= f ( x )
16.Si ' e* c$+i)! e* !7Q e+$ce* b
11.
∫ f ( x ) dx= F ( b )− F (a ) a
12.E d$de F e* c)!H)ie# !+i de#i!d! de ' e*+$ e* F? ' x
1,.Se! g ( x ) =∫a f ( x ) dx 1-.S!7e&$* H)e g * ( x )= f ( x ) 1/.Si F? e* c)!H)ie# !+i de#i!d! de ' e !7Q d$de F < ( di'ie#e e )! c$*+!+e 10.Deci&$* H)e 1. F ( x )= g ( x )+ c a ) x ) b 13.Se()d$ +e$#e&! ')d!&e+! de c4c)$ i'ii+e*i&! 15.Si f e* i+e(#!7e *$7#e a, bQ < f = F' "!#! !()! ')ció F e+$ce* b
26.
∫ f ( x ) dx= F ( b )− F (a ) a
21. E*+! i()!d!d e* ! '!&$*! 'ó#&)! de NeV+$ < Lei7i+= H)e #ed)ce e "#$7e&! de c!c)!# ! i+e(#! de'iid! de )! ')ció ! ! $7+eció de )!
"#i&i+i! de ! &i*&! < c$*+i+)
22. 2,. M)cB$* de $* "#$7e&!* c$c#e+$* e*+)di!d$* "$# $* &4* (#!de* &!+e&4+ic$* *e #e*)ee !)+$&4+ic!&e+e c$ e*+! 'ó#&)! H)e e*+!7ece *eci!&e+e H)e ! i+e(#! de'iid! de ! ')ció f > x @ e e i+e#!$ a, bQ e* i()! ! ! di'e#eci! e+#e $* !$#e* de c)!H)ie#! de *)* "#i&i+i!* e $* e%+#e&$* *)"e#i$# e i'e#i$# de i+e#!$. L! di'e#eci! >,6@ *e !c$*+)&7#! ! e*c#i7i# !* F ( x ) l b =f ( b ) −( a) 2-. a
2/.Ki7i$(#!'! 1. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic$"e=$"e=&i#i!&:1+e$#e&!')d!&e+! dec!c)$13Te$#e&!')d!&e+! 2. B++"**i+e*.($$(e.c$&!+ec+i:)!!.ed).&%cic\#)i=:)!*!7e#i$1+e$#e&! ')d!&e+!dec!c)$13+e$#e&!')d!&e+!dec!c)$ ,. B++"VVV.'c!.).ed).!#I+de'Te$#e&!')d!&e+!.B+& 20. 2. 23. 25. ,6. ,1. ,2. ,,. ,-. ,/. ,0. ,. ,3. ,5. -6. -1. -2. -,. --. -/. -0. -. -3. -5. /6. /1. /2.
/,. /-. //. /0. /. /3. /5. 06. 01. 02.
'% 1%9 C8/*/# e ")-e.!a/e e(")"a% 0-. 0/.Se $7+iee ! i+e(#! F>%@ < *e e!;! e $* &i+e* F ( x ) l b = F ( b ) − F ( a) 00. a a
0.
3
3
3
X a 0 a x dx = l a= − =
∫
2
3
0
0
3
3
3
03.E:e&"$* 05. 1. Se! ' >%@ c )! c$*+!+e < ' >%@ c%^ +ed#e&$* b
6.
∫ c dx =&xl ba= c ( b −a ) a
1
f ( x )= x y f ( x ) = x 2
2. Se!
2
^ +ed#e&$*
5
1.
∫ xdx= 12 x l 50 = 252 − 0= 252 2
0
f ( x )= x 3 y f ( x )=
, . Se! 3
2.
∫ x
3
dx =
1
1 x4 4
^ +ed#e&$*
1 4 3 81 1 x l = − =20 4 4 1 4
,.Ki7i$(#!'! 1. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic$"e=$"e=&i#i!&:1+e$#e&!')d!&e+! dec!c)$15c!c)$dei+e(#!e*de'iid!* 2. B++"**i+e*.($$(e.c$&!+ec+i:)!!.ed).&%cic\#)i=:)!*!7e#i$1+e$#e&! ')d!&e+!dec!c)$15c!c)$dei+e(#!e*de'iid!* ,. B++"*e*.*c#i7d.c$&d$c165,6505C!c)$dei+e(#!e*de'iid -. /.
0. . 3. 5. 36. 31. 32. 3,. 3-. 3/.
7% 1%10 I)-e.!a/e I3!#3"a% 7% 33.L! i+e(#! de'iid! de ! < 7 35. b
56.
∫ f ( x ) dx sellamaintegralimpropia% si ocurre alguna deestas circustancias a
51. 1. E i+e(#!d$ '>%@ +iee )$ $ &4* ")+$* de di*c$+i)id!d e e i+e#!$ d$de ! _ % _ 7 2. A &e$* )$ de $* &i+e* de i+e(#!ció e* i'ii+$ 52. 5,.I+e(#!d$ di*c$+i)$. 5-.Si '>%@ e* c$+i)! e e i+e#!$ d$de 7 _ % _ ! "e#$ di*c$+i)! e % 7 *e +iee 5/. f ( x ) dx = lim ¿ b
+ → 0+¿
50.
∫ f ( x ) dx a
b
∫¿ a
5. 53.E e *)")e*+$ H)e e i&i+e e%i*+! 55.Si '>%@ e* c$+i)! e i+e#!$ ! ` % ` 7 < *e +iee H)e e* )! di*c$+i)! e % !
f ( x ) dx =
¿
lim b
+ → 0+¿
∫ f ( x ) dx
a+ +
166.
b
∫¿ a
161. 162. Li&i+e* i'ii+$* de i+e(#!ció 16,. 16-. Si '>%@ e* c$+i)! e +$d$ e i+e#!$ ! _ % _ ) *e de'ie c$&$ 16/. 160.
∞
u
a
u→∞ a
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx
16. 163. Si '>%@ e* c$+i)! e e i+e#!$ ) _ % _ 7 ! de'ii&$* c$&$ b
165.
b
∫ f ( x ) dx= lim ∫ f ( x ) dx
−∞
x → ∞ u
116. 111. Ki7i$(#!'! 112. 1. B++"**i+e*.($$(e.c$&!+ec+i:)!!.ed).&%cic\#)i=:)!*!7e#i$1 +e$#e&!')d!&e+!dec!c)$116i+e(#!e*i&"#$"i!* 2. B++"&i+ec$$(ic$.c$&i(e*+i$M!iI+e(#!e*I&"#$"i!* ,. B++"VVV2.)c!.e*'!c)+!di$!e&"#e*!#i!e*7e($&!+$iei+ i&"#$"i!*.B+& 11,.
114. PRIMER EXAMEN CALCULO INTEGRAL 115.
esús anuel +olor0ano ópe0 116. NOMBRE: ___________________________________________________________________ 2*
11.
Electrónica
GRUPO: _________ CARRERA: >>>>>>>>>> 118. 119. Tema 1. Teorema funamen!a" e" #$"#u"o. 1!%. 1. E3al?e la s&'a de 8ie'ann, to'ando los &ntos '&estrales *o'o &ntos extre'os dere*hos y
a = 0 , b =3 y n =6 .
121.
122.
2. @se la 8e-la del &nto 'edio *on n =5 ara aroxi'ar: 1!7.
3. @se las roiedades de inte-rales ara e3al& ar las si-&ientes inte-rales:
1!;.
125. 4. E3al& &tiliando la re-la de la s&stit&*i=n las si-&ientes inte-rales: 1!.
5. Deter'ine y exliB&e si la si-&iente inte-ral es *o n3er-ente o di3er-ente: 1!.
1!#. 1!9.
13%. . E3al?e la si-&iente inte-ral i'roia 'ediante el &so de la 8e-la de l’Hosital 171.
1,2.
1,,. 1,-. 1,/. 1,0. 1,. 13#. 13$. 14%. 141. 142. 143. 144. 145.
2 INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. 146. 147. 14#. 14$. 15%. 151. 152. 153. 154. 155. 156. 157. 15#. 15$. 16%. 161. 162.
1'%2%1 De(")"*"+) e ")-e.!a/ e(")"a% 10-. 10/. P!#! e*+! "!#+e *e#4 e &i*&$ e:e&"$ "e#$ e*+$ e* "!#! c$&"#$7!# H)e e &8+$d$ de Rie&! e*+4 c$##ec+$. 100. 3
∫ (2 x +1 ) . dx
A=
10.
1
103. 2
105.
2 X A= 2
+ X = X 2+ X
16.
11. 12. A =( 3 + 3 )−( 1 + 1 ) =( 9 + 3 )−( 2 )=( 12 )−( 2 ) 2
1,.
2
2
A =10 U
1-. 1/. P#$"ied!de* de ! i+e(#! de'iid! 10. 1. E !$# de ! ")-e.!a/ e(")"a c! &7 i! de *i( $ *i *e "e#&)+! $* &i+e* de i+e(#!ció.
13.
15. E!)8 ! *)&! de Rie&! "!#! '>%@%, +$&!d$ $* ")+$* e%+#e&$ de ! de#ecB! !6 7, < 0 136.
131.
132. 13,. 13-.
∆ x=
∆ x=
∆ x=
b −a n 3− 0
n 3
n
xi =a + i ∙ ∆ x xi=0 + i ∙
3
n
13/.
xi=
3i
n
n
130.
f ( xi ) ∙ ∆ x ∑ =
13.
3i 3 f ( ) ∙ ∑ n n =
133.
f ( x )= x
i
1
n
i 1
n
135.
f ( ) ∑ n = i
151.
152.
15,.
15-.
15/.
∙
1
∑ = i 1
3
n
3
n
3
n
3
n
3
n 3
150.
3
3i
n
156.
3
n
( ) 27 i
n
n
∙
3
3
27 i
∑=
n
1 1
∙
3
n
3
n
3
3
∙
[ (
n ( n +1 )
∙
[ (
n ( n +2 n + 1 )
∙
(
∙
(
(
6.75 n + 13.5 +
27
n
3
27 3
n
∙
∙
27
2
2
4
2
)]
2
4
( n + 2 n +1 ) 2
4n
)
( 27 n + 54 n + 27 ) 2
4n
27 4n
)
)
)]
15.
153.
155.
(
)(
( 3 ) ( 6.75 n )
+
n
20.25 n
n
20.25 +
+
40.5
n
40.5
n
( 3 ) ( 13.5 ) n
+
)( +
( 3 ) ( 27 ) n (4 n)
81 2
4n
81
+
2
4n
266. lim 20.25 +
261.
n →∞
262.
A = 20.25 u
40.5
n
+
81 2
4n
2
26,. De'ii# ! i+e(#! 3
∫
3
x
26-.
A = x ∙ dx =
26/.
A=
260.
26.
0
x
3 +1
4
4
1 4
4
A = x −
A=
3 +1
3 4 x 4
1 4 3 ( 3 ) − ( 0 )4 4 4 1
263.
265. 216. 211.
A = ( 81 ) 4
A=
81 =20.25 u2 4
x
4
1
4
= = ( x ) 4
4
)
212.
21,. Ki7i$(#!'! -. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic"!di!"(!7#ie!ei=!7e+B)id!d1+e$#e&! ')d!&e+!dec!c)$1-de'iici$i+e(#!de'iid! /. B++"*e*.*c#i7d.c$&d$c165,650-De'iici$dei+e(#!de'iid! 0. B++"*e*.*c#i7d.c$&d$c165,650-De'iici$dei+e(#!de'iid!
214% 215% 21% 21%
217% 219% 220% 221. 2%2 P!#3"eae e /a ")-e.!a/ ")e(")"a 1. L! i+e(#! de )! *)&! de ')ci$e* e* i()! ! ! *)&! de !* i+e(#!e* de e*!* ')ci$e*. , [ f ( x )+ g ( x )] dx = , f ( x ) dx + , g( x ) dx
2. L! i+e(#! de "#$d)c+$ de )! c$*+!+e "$# )! ')ció e* i()! ! ! c$*+!+e "$# ! i+e(#! de ! ')ció. , k f ( x ) dx = k , f ( x ) dx
222. L")ea/"a e /a ")-e.!a/ ")e(")"a 22,. L! "#i&i+i! e* ie! e* deci# 1. Si f e* )! ')ció H)e !d&i+e )! "#i&i+i! F *$7#e ) i+e#!$ I e+$ce* "!#! +$d$ #e! k )! "#i&i+i! de kf *$7#e e i+e#!$ I e* kF . 2. Si F < G *$ "#i&i+i!* #e*"ec+i!* de d$* ')ci$e* f < g e+$ce* )! "#i&i+i! de f g e* F G. 22-. L! ie!id!d *e ")ede e%"#e*!# c$&$ *i()e ∫ ( k ∙ f ( x ) +l ∙ g ( x )) =k ∙∫ f ( x )+ l∙∫ g ( x ) 225.
22% L! "#i&i+i! de )! ')ció i&"!# e* *ie&"#e "!# 22. E e'ec+$ c$&$ *e e e ! 'i()#! *i()ie+e !* 4#e!* !+e* < de*")8* de ce#$ *$ $")e*+!* $ H)e i&"ic! H)e ! i+e(#! e+#e ! < ! e* )! $ H)e *e e*c#i7e !* F>!@ F>!@ 6 F *ied$ )! "#i&i+i! de ' i&"!#. P$# $ +!+$ *ie&"#e +ee&$* F>!@ F>!@ F e* "!#.
22#.
229% L! "#i&i+i! F de )! ')ció ' "!# e* i&"!# c$ +! de i&"$e#*e F>6@ 6 2,6. E e'ec+$ *e(; ! 'i()#! !* 4#e!* !+e* < de*")8* de ce#$ *$ i()!e* $ H)e *e e*c#i7e c$ ! *i()ie+e i()!d!d de i+e(#!e*
2,1. 2,2. E e*"! F0; < F< a; = Fa; < F0;% S" F0; = 0, F< a; = < Fa;: F e "3a!%
2''% L! "#i&i+i! de )! ')ció "e#iódic! e* ! *)&! de )! ')ció ie! < de )! ')ció "e#iódic!
2,-. 2,/. P!#! "#$7!#$ B!< H)e c$*+!+!# H)e e 4#e! 7!:$ )! c)#! de )! ')ció "e#iódic! e+#e !* !7ci*!* % < % T >T e* e "e#$d$@ e* c$*+!+e e* deci# $ de"ede de %. L! 'i()#! *i()ie+e &)e*+#! +#e* 4#e!* i()!e*. Se ")ede &$*+#!# )+ii=!d$ ! "e#i$dicid!d < ! #e!ció de CB!*e* $ *eci!&e+e ac$ )!* +i:e#!*b >c$#+!d$ < *)"e#"$ied$ !* 4#e!* de c$$#@. E +8#&i$ de "#i&i+i! *i(i'ic! H)e F>% T@ F>%@ e* )! c$*+!+e H)e *e ")ede !&!# A. E+$ce* ! ')ció G>%@ F>%@ A%T e* "e#iódic! de "e#$d$ T. E e'ec+$ G>% T@ F>% T@ A>% T@T F>%@ A A%T ATT F>%@ A%T G>%@. P$# c$*i()ie+e F>%@ G>%@ A%T e* ! *)&! de G "e#iódic! < de A%T ie!.
2,0. 2,. "$# ;+i&$ )! #e!ció e+#e ! i+e(#! de )! ')ció < ! de *) #ec"#$c!. P!#! *i&"i'ic!# *e i&"$e '>6@ 6^ a e* ) ;&e#$ c)!H)ie#! de d$&ii$ de '. E+$ce* +ee&$* ! #e!ció
2,3. 2,5. E 4#e! &$#!d! e* ! i+e(#! de ' e 4#e! !&!#i! e* ! de ' 1 < ! *)&! e* e #ec+4()$ c)<$* c$*+!d$* &ide a < f(a) >!$#e* !(e7#!ic$*@. 2-6. Se "!*! de ! "#i&e#! c)#! ! de ' ! ! *e()d! ! de ' 1 !"ic!d$ ! *i&e+#! !%i! !#eded$# de ! di!($! y = x . 2-1. E i+e#8* de e*+! 'ó#&)! e* "e#&i+i# e c4c)$ de ! i+e(#! de ' 1 *i c$$ce# )! "#i&i+i!^ de BecB$ i B!ce '!+! c$$ce# ! e%"#e*ió de ! #ec"#$c!. 2-2. Ki7i$(#!'! 1. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic"!di!"(!7#ie!ei=!7e+B)id!d2i+e(#! ide'iid!<&e+$d$*dei+e(#!ci$22"#$"ied!de*dei+e(#!e*de'iid!* 2. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic&$i!Bei#!)id!diii+e(#!ide'iid!< &e+$d$*dei+e(#!ci$22"#$"ied!de*dei+e(#!e*ide'iid!* ,. B++"*e*.*c#i7d.c$&d$c165,65012PROPIEDADESDEINTEGRALES INDEFINIDAS
2-,.2., C!c)$ de i+e(#!e* ide'iid!* 2--.
245% INTEGRALES INDEFINIDAS
246.
2-. 2-3. 2-5. 2/6. 2/1. 2/2. 2/,. 2/-. 2//. 2/0. 2/. 2/3.
2/5. 206. 201. 202.
20,. Ki7i$(#!'! 1. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic"!di!"(!7#ie!ei=!7e+B)id!d2i+e(#! ide'iid!<&e+$d$*dei+e(#!ci$2,c!c)$dei+e(#!e*de'iid!* 2. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic&$i!Bei#!)id!diii+e(#!ide'iid!< &e+$d$*dei+e(#!ci$2,c!c)$dei+e(#!e*ide'iid!* ,. B++"*VVV.($$(e.c$&.&%]H2.,C C,A1c)$dei+e(#!e*ide'iid!* 20-. 20/. 200. 20. 203. 205. 26. 21. 22. 2,.
2-. 2.,.1 Di#ec+!* 2/. En ocasiones es posi!le aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es si se conoce de antemano una función cu8a deriada sea igual a f 9 x : 98a sea por disponer de una ta!la de integrales o por ha!erse calculado preiamente: entonces tal función es el resultado de la antideriada.
276.
277. 278.
Eemplo Calcular la integral indenida
∫ sec ( x ) dx 2
25.
2#%. En una ta!la de deriadas se puede compro!ar que la deriada de tan9 x : es sec 29 x :. or tanto&
∫ sec ( x ) dx = tan ( x ) +c 2
2#1. 282. 283. 284.
Eemplo Calcular la integral indenida.
∫ x1 dx
2#5. ;na fórmula estándar so!re deriadas esta!lece que
230.
d ∈( x ) 1 = dx x
23. Ki7i$(#!'! 1. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic&$i!Bei#!)id!diii+e(#!ide'iid!< &e+$d$*dei+e(#!ci$2,1di#ec+!* 2. B++"*VVV.($$(e.c$&.&%]H2.,.1di#ec+!*c!c)$i+e(#! ,. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic&$i!Bei#!)id!diii+e(#!ide'iid!< &e+$d$*dei+e(#!ci$ 233. 235. 256. 251.
252.
25,.2.,.2 C$ c!&7i$ de W!#i!7e* $ S)*+i+)ció 25-. E*+e &8+$d$ c$*i*+e e +#!*'$#&!# ! i+e(#! d!d! e $+#! &4* *eci! &edi!+e ) c!&7i$ de ! !#i!7e ide"edie+e. A)H)e !()$* c!*$* +iee ) &8+$d$ "#eci*$ e* ! "#4c+ic! e (ee#! ! H)e "#$"$#ci$! ! eecció de c!&7i$ de !#i!7e &4* c$eie+e. 25/. Se c$&e=!#4 "$# e*+)di!# !H)e!* i+e(#!e* H)e *$ c!*i i&edi!+!*. 250. Si e )(!# de x *e +)ie*e )! ')ció u> x @ % u> x @ u> x @ & ! #e(! de ! c!de!. 297.
∫ sec 5 x tan 5 x dx
253. U /% 255. d) / d% ,66.
1 5
∫ sec 5 x ( 5 ) tan5 x dx= 15 sec u +c = 15 sec 5 x +c
,61. ,62. Ki7i$(#!'! 1. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic&$i!Bei#!)id!diii+e(#!ide'iid!< &e+$d$*dei+e(#!ci$2,2c$c!&7i$de!#i!7e*$*)*+i+)ci$ 2. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic&$i!Bei#!)id!diii+e(#!ide'iid!< &e+$d$*dei+e(#!ci$ ,. B++"*VVV.($$(e.c$&.&%]H2.,.1di#ec+!*c!c)$i+e(#! ,6,. ,6-. ,6/. ,60. ,6. ,63. ,65.
,16.
,11. 2.,., T#i($$&8+#ic! ,12. ,1,. Se de7e +ee# &)< c!#$ c)4 e* ! de#i!d! de c!d! )! de !* ')ci$e* +#i($$&8+#ic!* e*+)di!d!*. ,1-.
∫ sin x cos x dx m
n
,1/. C!*$ 1 & $ e* i&"!# "$*i+i$ >@ ,10. &2 Y 1 ,1. E:e&"$ x
1−cos
,13.
2
¿ sin x cos x dx =−∫ cos 6 x sin x dx −∫ cos3 x sin x dx ¿ ¿ ¿ ¿ x =∫ ¿ x cos6 ¿ 2 si n x sin ¿ x dx =∫ ¿ 3 6 sin x cos ¿ ∫¿ 6
,15. U c$* % ,26. d) *i % d% ,21.
−cos 7 x 7
9
cos x + + & 9
,22. C!*$ 2 & < "$# e+e#$ >e e%"$e+e i&"!# *e +#!*'$#&! e )$ "!# < $+#$ i&"!# ,2,.
,2-.
2
1 −cos x
¿ ¿ ¿
x x
∫ cos x sin x −2cos x sinx +cos x sin ¿ dx= −31 cos x + 25 cos x− 71 cos x +c 2
4
6
3
5
7
¿ ¿ ¿ x =¿ 2
x cos ¿ 4
+ cos ¿ sin ¿ −2cos ¿ ¿ 2
2
(¿¿¿¿¿)
sin
2
∫
x cos x dx = ¿
∫
x dx = ¿ 2
x cos ¿ 4 x sin ¿ sin ¿
∫
x dx = ¿ 2
x cos ¿ 5
¿ ∫¿
sin
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esus anuel +olor0ano ópe0 %68. NOMBRE: ___________________________________________________________________ Electrónica 2*
79. GRUPO: _________ CARRERA: >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
%*+. Tema ,. In!e-ra" nefna / m0!oo e n!e-ra#2n. 71. 7!. !.1 Defini*i=n de inte-ral indefinida. aC ExliB&e el *on*eto de inte-ral indefinida e indiB&e s&s artes o *o'onentes. 77. 5as inte-rales indefinidas son todas aB&ellas f&n*iones o ri'iti3as B&e no tiene li'ites bC Es*riba &n ee'lo de inte-ral indefinida. 7;.
7$. !.! Proiedades de inte-rales indefinidas. aC )en*ione *on f=r'&lasC las roiedades de las inte-rales indefinidas. 7.
7. !.7 6Fl*&lo de inte-rales indefinidas. aC Es*riba y res&el3a ! ee'los de inte-rales indefinidas &tiliando s&s roiedades.
7#.
79. 7#%. 7#1. 7#!. 7#7. 7#;. 7#$. 7#. 7#. !.7.1 Dire*tas. 7##. 8es&el3a las si-&ientes inte-rales indefinidas dire*tas
7#9. !.7.! 6on *a'bio de 3ariable. 79%.
791. 79!. !.7.7 Gri-ono'tri*as.
797. 79;.
!.7.;
79$. 79. 79. 79#. 799. ;%%. ;%1. ;%!. ;%7. Por artes. ;%;.
;%$. ;%. ;%. ;%#. ;%9. ;1%. ;11. ;1!. ;17. ;1;. ;1$. ;1. ;1.
;1#. ;19. ;!%. ;!1. ;!!. ;!7. ;!;. ;!$. ;!. !.7.$
Por s&stit&*i=n tri-ono'tri*a.
-2.
42#. 42$. 43%. 431. 432. 433. 434. 435. 436.
' APLICACIONES DE LA INTEGRAL%
437. 43#. 43$. 44%. 441. 442. 443. 444. 445.
446. 447. 44#. 44$. 45%. 451. 452. 453. 454. 455.
45%'%1 $!ea -/. De+#$ de $* "#$7e&!* +"ic$* H)e *e ")ede e%"#e*!# de &!e#! di#ec+! &edi!+e i+e(#!e* < c$&"e&e+!#i$* ! "#$7e&! 74*ic$ de 4#e! 7!:$ ! c)#! *e +iee -/3. 9#e! e+#e c)#!*. -/5. Sóid$* de #e$)ció. >W$)&e@ -06. fDi*c$* -01. fA#!de!* -02. fC!*H)i$* -0,. L$(i+)d de c)#!* $ !#c$. -0-. E $7:e+i$ de ! "#e*e+e *ecció e* e*+)di!# c!d! )! de e*!* di'e#e+e* !"ic!ci$e* < *e c$&e=!#4 c$ ! !"ic!ció &4* c$&; < H)e ! *) e= &$+ió $* c$ce"+$* 74*ic$* de ! i+e(#! e 4#e! 7!:$ ! c)#!.
465.
Página we!
". #ttps!$$sites.google.co%$site$cic%olina#elvira$unida d&iii&aplicaciones&de&la&integral$'&area 466. 46(. 46). 46*. 4(+.
4(". 4(,. 4('. 4(4. 4(5. -0. -. -3. -5. -36.
471%'%1%1 $!ea a># /a .!8("*a e )a ()*"+)% En matemática la integración de una función no negatia en el caso más simple puede ser mirada como el área !ao la grá
cnicas de apro"imación de la región a tra>s de rectángulos o polgonos. ?e todas maneras como se necesita!a considerar funciones más irregulares 9por eemplo como resultado de los limitados procesos del *álculo o de la -eora de ro!a!ilidades: se hi0o eidente que una apro"imación más cuidadosa era necesaria para de
482.
a integral de e!esgue tiene un importante rol en el )nálisis @eal 8 en muchas otras ramas de la atemática. +u nom!re es en honor a su creador =enri e!esgue 91#75A1$41:.
483.
4#4. a integral de una función f entre los lmites de integración a 8 ! pueden ser interpretados como el área !ao la grá quiere decir para funciones un poco más e"óticas o con comportamiento erráticoD En general Ccuál es la clase de funciones para las cuales el concepto de área !ao la curaF
tiene sentidoD a respuesta a esta interrogante importancia teórica 8 práctica fundamental.
tiene
485.
4)6. 4)(.
Página we!
". #ttps!$$sites.google.co%$site$cic%olina#elvira$unida d&iii&aplicaciones&de&la&integral$'&"&"&area&a-o&la& gaca&de&una&/uncion 4)).
4)*. 4*+. 4*". 4*,. 4*'. 4*4. 4*5. 4*6. 4*(. 4*). 4**. 5++. 5+". 5+,. 5+'. 5+4. 5+5. 5+6. 5+(. 5+). 5+*. 5"+. 5"". 5",. 5"'. 5"4. 5"5. 5"6. 5"(.
517%'%1%2 $!ea e)-!e /a .!8("*a e ()*"#)e
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540%'%2 L#)."- e *!6a% 541. Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una cura o dimensión lineal. =istóricamente ha sido difcil determinar esta longitud en segmentos irregularesG aunque fueron usados arios m>todos para curas espec
545% 54% P8.")a e: 54% 1% --3:"-e%.##./e%*#"-e*"*#/")ae/6"!a)"a<"""< a3/"*a*"#)e<e
/01.,., C4c)$ de $;&ee* de *óid$* de #e$)ció. 56,. /0,. M-## e/ "*#: Si (i#!&$* )! #e(ió de "!$ !#eded$# de ) e:e $7+ee&$* ) *óid$ de #e$)ció.
54%
/0/. /00.
M1todo de la arandela! 568. Este m>todo consiste en hallar el olumen de un sólido generado al girar una región @ que se encuentra entre 2 curas como se muestra& 569. +i la región que giramos para formar un sólido no toca o cru0a el ee de rotaciones solido generado tendrá un hueco o aguero. as secciones transersales que tam!i>n son perpendiculares al ee de rotación son arandelas en lugar de discos. 567.
/6.
/1.
52% P8.")a e 1. B++"**i+e*.($$(e.c$&*i+ecic&$i!Bei#!)id!diii!"ic!ci$e*de! i+e(#!,,c!c)$de$)&ee*de*$id$*de#e$)ci$
5'% 54% 55% 5% '%4 C8/*/# e *e)-!#"e% /. E ce+#$ide de ) c)e#"$ e* e ")+$ #e*"ec+$ ! c)! !* ')e#=!* H)e ! (#!ed!d e:e#ce *$7#e $* di'e#e+e* ")+$* &!+e#i!e* H)e c$*+i+)
59% E*+! 'ó#&)! e* "!#! de+e#&i!# e 4#e! de ! 'i()#! ! ! H)e *e e ! ! b
*!c!# e ce+#$ide. A =
∫ [ f ( x )− g ( x ) ] dx a
570% E*+! 'ó#&)! e* "!#! de+e#&i!# ! c$$#de!d! de ce+#$ide e e e:e de !* %. b
571% =
∫ x [ f ( x )− g ( x ) ] dx a
A
572% E*+! 'ó#&)! e* "!#! de+e#&i!# ! c$$#de!d! de ce+#$ide e e e:e de !* <. 1 2
57'% =
b
∫ x [ f ( x ) ² − g ( x ) ² ] dx a
A
574% E>e3/#: /3/. C!c)!# e ce+#$ide de ! 'i()#! H)e '$#&! !* ')ci$e* '>%@ % < (>%@ %g e e i+e#!$ 61Q. /30. S$)ció /3. P#i&e#$ *e (#!'ic! !* ')ci$e*.
/33. /35. De*")8* *e de+e#&i! e 4#e! e ")+$ e < e ")+$ e %
590%
1
"
591% A = ∫ [ x − x ² ] dx0 = 0
x ² x ³ 2
−
3
= "
1 u ² 6
(
)
( 1 ) ² ( 1) ³ − −0 2
3
=
1 1 − 2 3
=
1
∫ x [ x − x ² ] dx
1
0
592% =
∫ [ x +− x ] dx
=
1
2
6
3
0
=
6
[
x ³ 3
− x
⁴
4
]
=
6
[( 6
(1 ) ³ (1 ) − 3
)]−
⁴
4
0
[ ( − )] = ( ) = 6
59'% =
1 2
594% =
1
1
3
4
6
1 2
1 12
1
1
∫ x [( x ) ² −( x ² ) ² ] dx 0
2
=
1
1
∫ x [ x ²− x
(
595% =+ =
=
1
1 (6 ) 2
1
∫ [ x ² − x 0
⁴
] dx =
6
)
"
6 15
] dx
0
6
6 x ³ x ⁵ − 2 3 5
⁴
3
(
)
x ³ x ⁵ 3
−
5
=
3
(
)
(1 ) ³ (1 ) − −0 ⁵
3
5
=
3
( ) 1 1 − 3 5
=
3
( ) 2
15
=
2 5
59% /5.
( ) 1 2
%
2 5
E ce+#$ide de !* ')ci$e* '>%@ % < (>%@ %g e e i+e#!$ 61Q e*
/53. /55. 066. E*+e e ce+#$ide
e*
061. 062. 06,. 06-. 06/. 060. 06. 063. 065. 016. .
11% Pa.")a e 1. --3:e%*!"%*##*9549'007'<4
1'%'%5 O-!a a3/"*a*"#)e 01-. A"ic!ci$e* de ! I+e(#! 01/. De+#$ de $* "#$7e&!* +"ic$* H)e *e ")ede e%"#e*!# de &!e#! di#ec+! &edi!+e i+e(#!e* < c$&"e&e+!#i$* ! "#$7e&! 74*ic$ de 4#e! 7!:$ ! c)#! *e +iee 010. 9#e! e+#e c)#!*. · 01. Sóid$* de #e$)ció. · 013. L$(i+)d de c)#!*. · 015. Ce+#$ide* de 'i()#!* "!!*. · 026. M$&e+$* de Ie#ci! de c)e#"$* "!$*. · 021.
022. E $7:e+i$ de ! "#e*e+e *ecció e* e*+)di!# c!d! )! de e*!* di'e#e+e* !"ic!ci$e* < *e c$&e=!#4 c$ ! !"ic!ció &4* c$&; < H)e ! *) e= &$+ió $* c$ce"+$* 74*ic$* de ! i+e(#! e 4#e! 7!:$ ! c)#!. 02,. 02-.
9#e! e+#e ! c)#! < e e:e % 02/. E e'ec+$
$7*e#e&$* !B$#! d$* c$ce"+$* '*ic$* ece*!#i$* "!#! e e*+)di$ de c!+id!de* '*ic!* c$&$ !* &eci$!d!*. 0,0. M$&e+$* de Ie#ci! 0,. L!* !"ic!ci$e* de ! i+e(#! *$ &)< !&"i!* < e e*+e !"!#+!d$ *e B! "#e*e+!d$ !()!* de !* &4* c$&)e* < c$ e*+e e*+)di$ *e !&"i! e "!$#!&! "!#! H)e e )e*+#! i*ió de ! !+)#!e=! e $* !c+$* H)e $* #$de! +$d$* $* d!* $7*e#e&$* c$&$ ! !c)&)!ció e* ) BecB$ c$+idi!$. 0,3.
'9% P8.")a e 1% --3:a."/a!e!!a)#%/#.3#-%20110'5<#-!a
645.
646.
4% 47%
49% 50% 51% 52% 5'% 54% 55% 5% 5% 57% 59%
U)"a 4: SERIE S%
006. 4%1 De(")"*"+) e e!"e% 001. E &!+e&4+ic!* &!+e&4+ic!* )! *e#ie *e#ie e* ! *)&! de de $* +8#&i$* +8#&i$* de )! *)ce*ió. Se #e"#e*e+! )! *e#ie c$ +8#&i$* !B c$&$ d$de N e* e dice 'i! de ! Se#ie.
662.
00,. 4%1%1 F")"-a% 00-. C)!d$ N e* 'ii+! B!ce #e'e#eci! #e'e#eci! ! )! *e#ie 'ii+!. 'ii+!.
4%1%2 4%1 %2 I)(") I)(")"-a "-a%% 00/. L!* *e#ie* i'ii+!* *$ !H)e!* d$de i +$&! e !$# de !7*$)+!&e+e +$d$* $* ;&e#$* !+)#!e*. 666. 667.
4%2
Se!"e e e 3# 3#-e)*"a% 003. U! *e#ie de "$+eci!* !#eded$# de %6 e* )! *e#ie de ! '$#&!
66$.
06. 06. E e c)! e ce+ ce+#$ #$ e* c < $* c$e'ic c$e'icie+ ie+e* e* a n *$ $* +8#&i$* de )! *)ce*ió 01. 4%4 Ra"# e *#)6e!.e)*"a% 02. Si $* i&i i&i+!& +!&$* $* ! c$:) c$:)+$ +$ de $* $* ;&e#$* ;&e#$* #e!e #e!e* * )! )! *e#ie *e#ie de ! '$#&!
0,. 0-. C$ #eci7e e $&7#e de *e#ie de "$+eci!* ce+#!d! e x 0. L! *e#ie c$e#(e !7*$)+!&e+e "!#! ) c$:)+$ de !$#e* de x H)e e#i'ic! H)e 0/. x H x 0 r
676. 677. 03.D$de ! e* ) ;&e#$ #e! !&!d$ !a"# e *#)6e!.e)*"a de ! *e#ie. E*+! c$e#(e ")e* ! &e$* "!#! $* !$#e* de x "e#+eecie+e* ! i+e#!$ 05. x x 0 H r , x 0 J r ;
4%5 Se!"e e Ta/#!%
031.
032. 032. E &!+e &!+e&4 &4+i+ic! c!* * )! )! e!"e e Ta/#! de )! ')ció f(x) i'ii+!&e+e de#i!7e >#e! $ c$&"e:!@ de'iid! e ) i+e#!$ !7ie#+$ > a-r, a+r @ *e de'ie c$&$ ! *i()ie+e *)&! 03,. L! ')ció ')ció e%"$e e%"$eci! ci! >e !=)@ !=)@ < ! ! *)&! de $* "#i&e#$* "#i&e#$* n1 +8#&i$* de *) *e#ie de T!<$# e +$#$ ! ce#$ >e #$:$@.
6#4. 6#5.
030. 4% Re3!e1e)-a*"+) e (5)*"#)e1 e,"a)-e /a e!"e e Ta/#!% 03. 3. A c$+ c$+ii)!c )!ció ió *e *e e)& e)&e# e#! ! !() !()! !** *e# *e#ie ie** de de T!< T!<$# $# de ') ')ci ci$ $e* e* 74*ic!*. T$d$* $* de*!##$$* *$ +!&7i8 4id$* "!#! !$#e* c$&"e:$* de x . F5)*"+) e03#)e)*"a/ /#.a!"-# )a-!a/
033. 6#$. 6$%. 6$1. 6$2.
05,.
Se!"e .e#-!"*a
6$4. 6$5.
6$6.
Te#!ea e/ ")#"#
05. 6$#.
6$$. 7%%.
7%1. 7%2. F5)*"#)e1 -!".#)#-!"*a
6,. 7%4.
7%5.
7%6.
*+*.
CUAR TO EXAMEN (E C)LCULO INTEGRAL *+8. 7%$.
esús anuel +olor0ano ópe0 *1+. NOMBRE: ____________________________________________________________________ 11.
Electrónica
2* GRUPO: _________ CARRERA: >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 1!. 1. Defina *on s&s roias alabras &na serie 'ate'Fti*a 17. @na serie 'ate'Fti*a solo es &na s&'a 'Fs si'lifi*ada !. Defina lo B&e es &na serie finita y es*riba &n ee'lo 1;. @na serie finita es B&e tiene final 7. Defina lo B&e es &na serie infinita y es*riba &n ee'lo 1$. @na serie infinita no tiene final y se-&irF la s&'atoria hasta el infinito ;. E3al&ar or el *riterio de DAle'bert la si-&iente exresi=n ara deter'inar si *on3er-e o di3er-e.
1.
1.
∑ 3n
n
n 2
Deter'inar si la si-&iente f&n*i=n *on3er-e o di3er-e or el *riterio de 6a&*hy.
1#.
∑ ( ln1n ) n 2
n
$. Desarrollar la si-&iente serie de oten*ias: 19. 4
( x −2 ) 4 ( x −3 )6 ( x −4 )8 ( x −2 )4 ( x −2 )2 ( x − 4 )8 & n ( x −n ) =& 0 + ( x −1 ) + + + =( x −1 ) + + + ∑ 1∗2 1∗2∗3 1∗2∗3∗4 2 6 24 n=0 2n
2
. Deter'ine el inter3alo de *on3er-en*ia de la si-&iente serie: ∞
!%.
∑
n= 1
( x −3 )n n
