1. Teor Teorema ema de Green Green
Aplicaci´ on on 1
Se desea calcular la siguiente integral 2π
I =
∫
(cos4 (t) + sin4 (t))dt ))dt
0
La misma puede resolverse mediante t´ ecnicas ecnicas de c´alculo alculo de integrales, pero se buscar´a algo menos cuentoso y recurriendo a teoremas conocidos de c´alculo vectorial. Por ejemplo, el teorema de Green(bidimensional) establece que la circulaci´on de un campo X = (L, ( L, M ) M ) a trav´ t rav´ es es de d e una u na curva cerrada cerr ada C = P ( P (t) = (α(t), β (t)) est´ a vinculada mediante la siguiente ecuaci´on on
∫ C
Ldx + M dy =
∫ ( ∂M ∂D
∂x
−
∂L ∂y
)
dxdy
Donde D es el recinto cerrado que define la curva cerrada en el plano, y donde est´a orientada en sentido anti-horario
C
Us´ emos emos este teorema para calcular la integral deseada. Para ello es necesario notar que la integral de una uno forma a trav´ es es de una curva puede escribirse como una integral en una variable b
dα dβ L(α(t), β (t)) + M ( M (α(t), β (t)) dt dt
∫ ( a
) ∫ dt =
Ldx + M dy
C
El proceso de c´alculo alculo es el mismo. La pregunta ha plantearse es: ¿Qu´ e campo X y qu´ qu ´e curv cu rvaa P ( P (t) sirven para que se cumpla b
∫ ( a
dα dβ L(α(t), β (t)) + M (α(t), β (t)) dt dt
2π
) ∫ dt =
(cos4 (t) + sin4 (t))dt ))dt
0
Una elecci´on on adecuada, y sencilla de dichas inc´ognitas ognitas pueden simplificar los c´alculos. alculos. Los senos y cosenos deber´an an estar involucrados como es evidente. El campo vectorial es
X = (L(x, y), M ( M (x, y)) 1
2
Una simplificaci´on que puede pensarse es considerar como curva cerrada, la m´as sencilla posible: un c´ırculo. P (t) = (α(t), β(t) = (cos(t),sin(t)). Con estas consideraciones tenemos que el vector tangente de la curva dada por P (t) es ⃗ = ( −sin(t),cos(t)) dt Por lo tanto, la circulaci´on del campo X a trav´es de esa curva es
∫
2π
⃗ X · dtdt =
∫
−L(α(t), β(t)) · sin(t)dt + M (α(t), β(t))cos(t)dt
0
C
Lo u ´ nico que necesitamos ahora es que al evaluar las expresiones L y M para las componentes de P (t) se obtenga L(t) = −sin3 (t)
M (t) = cos3 (t)
Por lo tanto es ahora m´as sencillo dar el campo X , puesto que si consideramos X = (−y3 , x3 ) Se cumple perfectamente que X (α(t), β(t)) = X (sin(t),cos(t)) = (−sin3 (t),cos3 (t)) Y luego la integral pedida I se reduce a obtener la circulaci´on de X a lo largo de la curva P (t). Ahora que transformamos I en una integral de l´ınea podemos usar el teorema de Green para transformarla a una integral doble calculada en un recinto cerrado, que adem´as es sencillo, pues es un c´ırculo de radio uno. Por el teorema de Green
I =
∫ ∫ ( ∂M ∂D
∂x
−
∂L ∂y
)
dxdy =
∫ ∫
(3x2 + 3y2 )dxdy
Si se utilizan coordenadas cil´ındricas 2π
1
I =
∫ ∫ 0
Luego, se tiene el valor pedido.
0
3r2 · rdrdθ =
3π 2
3
Aplicaci´ on 2
Utilic´emos el resultado de la parte anterior para ver otra posible aplicaci´on de los teoremas. Supongamos que tenemos la curva dada por
P (t) = (t, cos4 (t) + sin‘ 4(t)) Y el campo
X = (0, x) Se desea hallar la circulaci´on C de X a trav´es de P (t). Si plant´ earamos el problema para usar la definici´on de integral de l´ınea tendr´ıamos
2π
C =
∫
[4(−cos3 (t)sin(t) + sin3 (t)cos(t))t]dt
0
El aspecto de la integral no invita a hacer ninguna cuenta, y aunque puede calcularse mediante t´ecnicas de c´alculo integral, se puede resolver en forma mucho m´ as pr´actica pensando un poco m´as detenidamente. El valor obtenido I anteriormente, corresponde al ´area bajo la curva f (x) = cos4 (x) + sin4 (x) en el intervalo (0, 2π)
Notar que si se toma la curva cerrada por tramos AB,BC,CD y DA (que es la frontera del recinto cerrado pintado), y se aplica el teorema de Green, lo que se obtiene es
4
∫
Ldx+Mdy =
C
∫ ∫ ( ∂M ∂x
∂D
−
∂L ∂y
)
dxdy =
∫ ∫
1·dxdy = a´rea del recinto D = I
∂D
Adem´ as, sabemos que la integral de l´ınea a lo largo de la frontera de D puede separarse en cuatro por propiedad asociativa:
∫
Ldx+Mdy =
C
∫
Ldx+M dy+
AB
∫
Ldx+Mdy+
BC
∫
Ldx+M dy+
CD
∫
Ldx+Mdy
DA
La integral buscada es la del tramo CD, que est´a dada por la funci´on f (x). Las otras tres integrales pueden hallarse sin problemas
∫
Ldx + M dy =
AB
∫
Ldx + M dy = 0
DA
∫
1
Ldx + Mdy =
BC
∫
2πdt = 2π
0
Luego
I = 2π +
∫
Ldx + Mdy = 3π/2
CD
De donde
∫
CD
Ldx + Mdy = −π/2