Ejercicios resultos de Derivadas para Analisis Matematico en el CBC
Descripción: Ejercicios Resueltos Derivadas Parciales de cálculo integral
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Ejercicios Resueltos para el calculo VectorialDescripción completa
Descripción: Ejercicios propuestos de derivadas parciales
Ejercicios de DerivadasDescripción completa
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I.E.S. HUERTA ALTA. DPTO. MATEMÁTICAS
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS. 2º BACH CIENCIAS
CÁLCULO DE DERIVADAS 1) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) y = ln
4 − 5x 2x + 3
b) y =
senx x2
Solución: a) y = ln
y' =
b) y' =
4 − 5x = ln( 4 − 5x) − ln( 2x + 3) 2x + 3
−5 2 − 5( 2x + 3) − 2( 4 − 5x) − 23 − = = ( 4 − 5x) · ( 2x + 3) ( 4 − 5x) · ( 2x + 3) 4 − 5x 2x + 3 cos x · x 2 − sen x · 2x cos x · x − 2sen x = x4 x3
2) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) y =
35x 2x − 1
(
)
b) y = 3x · cos x 2 − 1
Solución: a) y' =
5 · 35x · ln3 ( 2x − 1) − 2 · 35x
( 2x − 1)
2
=
35x · [ 5( 2x − 1) · ln3 − 2]
( 2x − 1) 2
b) y ' = 3x · ln 3 · cos (x2 − 1) − 3x · sen (x2 − 1) · 2x = = 3x · [ln 3 · cos (x2 − 1) − 2x · sen (x2 − 1)] 3) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) y = ln
1− e x 1+ ex
(
)
b) y = 3 cos x 3 − 1
Solución: a) y = ln (1 − ex) − ln (1 + ex) y' =
b) y' =
− ex ex − e x · (1+ e x ) − e x · (1− e x ) − 2e x − = = x x 1− e 1+ e (1− e x ) · (1+ e x ) 1− e 2x
− sen(x3 − 1) · 3x 2 3 3 cos2 (x3 − 1)
=
− x 2 · sen(x3 − 1) 3
cos2 (x3 − 1)
1
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4) Calcula la derivada de las siguientes funciones:
(
a) y = 4 · arccos x
)
b) y = log3 x 2 − 4
Solución: 1
−4·
−2
a) y' =
2 x = 1− x
b) y' =
2x ln3 · x 2 − 4
(
x · 1− x
)
5) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) y = 5 · arctg( 2x − 1)
b) y = 3 x 5 + 2
Solución: a) y' =
b) y' =
5· 2
1+ ( 2x − 1)
=
2
5x 4
(
)
3 · 3 x5 + 2
10
1+ ( 2x − 1)
2
2
6) Aplica la derivación logarítmica para derivar
y= x
cos x
Solución: f (x) = x
cos x
ln f (x) = cos x · ln x f ' ( x) 1 = −sen x · ln x + cos x · f ( x) x cos x cos x f '( x) = f ( x) · − sen x · ln x + = xcos x · − sen x · ln x + x x
7) Deriva logarítmicamente la siguiente función y = (cos x)x Solución: f (x) =(cos x)x ln f (x) = x · ln cos x 2
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f ' ( x) − sen x = lncos x + x · = lncos x − x · tg x f ( x) cos x
f' (x) = f (x) · (ln cos x − x tg x) = (cos x)x · (ln cos x − x tg x) 8) Aplica la derivación logarítmica para derivar y = (x + 1)x 2 Solución: f (x) = (x + 1)x 2 ln f (x) = x2 · ln (x + 1) f '( x) 1 = 2x · ln( x + 1) + x 2 · f ( x) x +1 2 x2 = ( x + 1) x f '( x) = f ( x) · 2x · ln( x + 1) + x + 1
x2 · 2x · ln( x + 1) + x + 1
9) Mediante la derivación logarítmica, calcula la derivada de y = (ln x)x. Solución: f (x) = (ln x)x ln f (x) = x · ln (ln x) 1 f '( x) 1 = ln( ln x) + x · x = ln( ln x) + f ( x) ln x ln x 1 = ( ln x) x f '( x) = f ( x) · ln( ln x) + ln x
1 · ln( ln x) + ln x
10)Aplica la derivación logarítmica para derivar: 2 y= x
x
Solución: 2 f ( x) = x
x
2 → lnf ( x) = x · ln x
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−2 2 f '( x) 2 2 = ln + x · x = ln − 1 2 f ( x) x x x x
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2yy ' · (1 − x2) = 2x · (y2 − 1) y' =
x · (y 2 − 1) y · (1− x 2 )
15)Calcula la derivada de la siguiente función implícita: 4x2 + 9y2 = 36. Solución: 8x + 18yy ' = 0 y' =
−8x 18y
16)Sabiendo que la derivada de f (x) = cos x es f' (x) = −sen x, calcula la derivada de f− 1 (x) = arc cos x. Solución: f' (x) = −sen x 1 (f ) '( x) = f '(f 1(x)) = − sen(arc = cos x) −1
−1
−1 1− x2
17)Teniendo en cuenta que la derivada de la función f (x) = tg x es f' (x) = 1 + tg2x, halla la derivada de f− 1 (x) = arc tg x. Solución: 1 (f ) '( x) = f '(f 1(x)) = 1+ (tg(arc tg x)) −1
−1
2
=
1 1+ x2
18)Conocida la función f(x) = ln x y su derivada f'(x) = derivada de f −1(x) = ex Solución:
(f ) '( x) = f '(f 1(x)) = −1
−1
1 = ex 1 ex
5
1 , calcula la x
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19)Dada la función f (x) = ex y conocida su derivada f' (x) = ex. Halla la derivada de la función f − 1 (x) = ln x. Solución:
(f ) '( x) = f '(f 1(x)) = e1 −1
−1
ln x
=
1 x
20)Conocida la función f (x) = x5 y su derivada f' (x) = 5x4. Calcula la derivada de f −1(x) = 5 x Solución:
(f ) '( x) = f '(f 1(x)) = −1
−1
1 5 · 5 x4
21)Demuestra que todas las derivadas de orden para de la función x f(x) = cos se anulan para el valor x = π. 2 Solución: f I ( x) =
−1 x sen 2 2
f II ( x) =
−1 x cos 4 2
f III ( x) =
+1 x sen 8 2
f IV ( x) =
+1 x cos 16 2
... En general, las derivadas de orden par son de la forma: x f 2n ( x) = k · cos , donde k es unaconstante. 2 π Por tanto,se anulantodasen x = π, pues cos = 0. 2
22)Prueba que la función f (x) = ln cos x, verifica la siguiente igualdad:
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f '' ( x ) =
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