Calculo II Derivadas e Aplicacoes

Cálculo II - Derivadas e Aplicações

0

Faculdade de Tecnologia de Tatuí “Prof. Wilson Roberto Ribeiro de Camargo”

Calculo II

Sumário

1. Derivação Implícita .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ................................ ......... 1 2. Taxas Relacionadas Relacionadas .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ................................ ......... 7 3. Estudos da função ............................................................... ..................................................................................... ............................................ ..................................... ............... 15 15 3.1. Análise do Comportamento das Funções ............................ .................................................. ............................................. .......................... ... 15 15 3.2. Valor funcional Máximo ............................................................ .................................................................................. ......................................... ................... 15 15 3.3. Valor máximo e mínimo mí nimo absoluto num intervalo p(220) ......................................... ........................................................ ............... 20 3.4. Extremo absoluto .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. .............................. ....... 21 3.5. Teorema do valor Extremo .......................................... ................................................................ ............................................ ..................................... ............... 22 3.6. Concavidade e pontos de inflexão (p241) .......................................... ................................................................. ..................................... .............. 23 3.7. Pontos de inflexão ............................. .................................................... ............................................. ............................................. ......................................... .................. 24 24 3.8. Teste da derivada segunda para extremos relativos r elativos .......................................... ................................................................ ...................... 26 4. Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio (p.231) ............................................ .................................................................. ...................... 31 5. Aplicações Envolvendo extremos absolutos num intervalo i ntervalo fechado .......................................... ............................................. ... 35


1

1. Derivação Implícita

A equação x 2  y 2  1  0 como sabemos, é a equação da circunferência de centro na origem C (0,0) e raio r = 1. y P(x,y) b

C

r ( x  a ) 2  ( y  b) 2  r 2

x

a

Tal circunferência não é gráfico de uma função, pois existe uma reta vertical que encontra a circunferência em dois pontos. Isto fica também evidente se explicitarmos y: x 2  y 2  1  0 y 2

 1

x2

y   1  x 2

Podemos obter uma função g escolhendo escolhendo um arco da circunferência acima do eixo O x, caso em que ela tem por expressão: y  g ( x)  1  x 2

Escolhendo um arco abaixo do eixo O x, obteremos uma função h, que tem por expressão: y  h( x)   1  x 2

Note que: x 2  ( g ( x)) 2  1  0 e x 2  (h( x)) 2  1  0 Chamando F ( x, y)  x 2  y 2  1 , essas relações ficam: F ( x, g ( x))  0 e F ( x, h( x))  0 Com os exemplos introduzidos, acreditamos que fica inteligível a seguinte definição: Definição: Seja F ( x, y)  0 uma equação em x e y. Se existir uma função f tal tal que para todo x do seu domínio se tenha F ( x, f ( x))  0 , diz-se que f é é dada implicitamente por essa equação. De acordo com essa definição, as funções g e h vistas são dadas implicitamente pela equação x 2  y 2

1

Observação: No exemplo que vimos para motivar a definição acima, pudemos explicitar g e e h em termos de x. Mas isto não ocorre em geral.


1

1. Derivação Implícita

A equação x 2  y 2  1  0 como sabemos, é a equação da circunferência de centro na origem C (0,0) e raio r = 1. y P(x,y) b

C

r ( x  a ) 2  ( y  b) 2  r 2

x

a

Tal circunferência não é gráfico de uma função, pois existe uma reta vertical que encontra a circunferência em dois pontos. Isto fica também evidente se explicitarmos y: x 2  y 2  1  0 y 2

 1

x2

y   1  x 2

Podemos obter uma função g escolhendo escolhendo um arco da circunferência acima do eixo O x, caso em que ela tem por expressão: y  g ( x)  1  x 2

Escolhendo um arco abaixo do eixo O x, obteremos uma função h, que tem por expressão: y  h( x)   1  x 2

Note que: x 2  ( g ( x)) 2  1  0 e x 2  (h( x)) 2  1  0 Chamando F ( x, y)  x 2  y 2  1 , essas relações ficam: F ( x, g ( x))  0 e F ( x, h( x))  0 Com os exemplos introduzidos, acreditamos que fica inteligível a seguinte definição: Definição: Seja F ( x, y)  0 uma equação em x e y. Se existir uma função f tal tal que para todo x do seu domínio se tenha F ( x, f ( x))  0 , diz-se que f é é dada implicitamente por essa equação. De acordo com essa definição, as funções g e h vistas são dadas implicitamente pela equação x 2  y 2

1

Observação: No exemplo que vimos para motivar a definição acima, pudemos explicitar g e e h em termos de x. Mas isto não ocorre em geral.


2

Por exemplo: Sendo F ( x, y)  x 4  y 4  x 2  y 2  x  y  1 , A equação F ( x, y)  0 é: x 4  y 4  x 2  y 2  x  y  1  0 , E neste caso não há como explicitar y em termos de x. f que “ satisfaz ” a equação, no sentido que: Mas pode suceder que exista uma função f que x 4  ( f ( x)) 4  x 2  ( f ( x)) 2  x  f ( x)  1 para todo x do domínio. Alias, o nosso interesse é que exista tal função com a qualidade de ser derivável, pois queremos calcular sua derivada. Isto de fato ocorre, porém não temos meios no momento para justificar a afirmação, pois usa conceitos relativos a funções de duas variáveis, e por isso não será dado no momento. Nos exemplos e exercícios, será sempre admitida a existência de uma tal função. f unção.

Exemplos: 1) Dada à equação abaixo, derive implicitamente. Ache

dy . dx

a) x 2  y 2  1 d 2 d ( x  y 2 )  (1) dx dx dy 2 x  2 y 0 dx dy  2 x 

dx dy dx

2 y 

x y

b) x 4  y 4  x 2  y 2  x  y  1 d 4 d ( x  y 4  x 2  y 2  x  y )  (1) dx dx dy dy dy  2 x  2 y 1 0 4 x 3  4 y 3 dx dx dx dy dy dy  2 y  0 4 x 3  2 x  1  4 y 3 dx dx dx

c) x 2 y 5

y3 d 2 5 d ( x y )  ( y  3) dx dx dy 2 dy 2 xy 5  5 y 4  x  1  dx dx dy dy 2 xy 5   5 x 2 y 4 dx dx dy 2 xy 5  1  5 x 2 y 4  dx dy 2 xy 5  dx 1  5 x 2 y 4 

4 x 3  2 x  1  (4 y 3  2 y  1)

dy dx



4 y 3  2 y  1 4 x 3  2 x  1

dy dx

0


d) x 6  2 x  3 y 6  y 5  y 2 dy dx



6 x 5  2 18 y 5  5 y 4  2 y

3[3´∙  7  =´44∙ 8] 7´ ∙   ´ ∙  = 4´  88´ 34  2   7   3  =0  8  12  6   7  21  = 8  6   21   8  = 7  12  66 21  8 = 7  12  = 67  2112   8 2 −−  ´ ´ =2 −−´  ´ = ´  ´ 2   1     2   1    = 4   4   ÷ 2    (1  )    (1 ) = 2  2                   = 2  2  2  2 =2 2  ÷ 2    =        =         =     =    [´ ∙ cos   cos´ ∙ ]  [´∙ cos   cos´ ∙ ] = 1´ 1∙1 ∙ cosos  sen sen  ∙    ∙ coscos  sen ∙  = 0 cos    sen    coscos    sen  = 0 cos    sen  = se senn   coscos  g) x cos cos y  y cos cos x  1

3


 = cossensencos

4

2) Dada à equação x 2  y 2  9 ache: a)

b) As duas funções definidas pela equação; x 2  y 2  9

dy por derivação implícita; dx

Vamos derivar implicitamente. 2 x  2 y 2 y

dy dx

dy dx 

dy dx

y   9  x 2

0

Sejam f 1 e f 2 as duas funções para as quais: f 1 ( x)  9  x 2 e f 2 ( x)   9  x 2

 2 x x y

c) A derivada de cada função obtida na parte; 2

f 1 ( x)  (9  x )

1 2



f 1´( x) 

1

f 2 ( x)  (9  x 2 ) 2



1 2

(9  x 2 )

f 2 ´( x)  

1 2

 21

(2 x)  

(9  x 2 )

 12

2 x

2 9  x 2  2 x

(2 x) 

x



9  x 2 x



 2 9  x

9  x 2

2

d) Comprove que o resultado obtido na parte (a) esta de acordo com os resultados obtidos na parte (c). - Para y  f 1 ( x)  9  x 2 , segue da parte (c) que: f 1´( x)   - Para y  f 2 ( x)   9  x 2 , segue da parte (c) que: f 2 ´( x) 

x 9  x 2 x 9  x 2



x



x

y

 y



x y

O que também esta de acordo com o resultado obtido na parte (a). 3) Ache uma equação da reta tangente e normal à curva inclinação da reta tangente e normal. Vamos derivar implicitamente em relação a x.

3 3  = 0 3  =33  ==  3     =   =  12 =  14 Logo, no ponto (1,2),

   = 9

no ponto (1,2) e o ângulo de


5

A equação da reta tangente no ponto ( xo , yo ) é, então: dy ( x  xo ) dx 1 y  2   ( x  1) 4 4 y  2  ( x  1) 4 y  8   x  1 x  4 y  9  0 y  y o 

(Guidorizzi, 204)

A equação da reta normal no ponto ( xo , yo ) é, então: y  y o  

y  2  

1 ( x  x o ) dy

(Guidorizzi, 204)

dx 1 ( x  1) 1



4

y  2  4( x  1) y  2  4 x  4 y  4 x  2  4  0 y  4 x  2  0

 = () = ( 14) = 165,96  =   1  =  11 = 4 = 75,96 4 16   = 32 16 ∙ 4 64 4∙   = 0  ==  164     =  162∙1 =  168  = 2 1  =        == 116,5(7 ) = 2 =  ( 1 ) 2 1  = (2) = 26,56       3 = 10 O ângulo de inclinação da reta tangente.

O ângulo de inclinação da reta normal.

4) Ache uma equação e função da reta tangente e normal à curva no ponto (1;2) e o ângulo de inclinação da reta tangente e normal. Equação da reta tangente A equação da reta normal y  y o 

Logo, no ponto (1,2),

dy dx

( x  x o )

y  2  2( x  1) y  2  2 x  2 y  2 x  4  0

Função da reta tangente y  2 x  4

Ângulo da normal.

Angulo da tangente

y  y o  

dx 1 y  2   ( x  1) 2 1 y  2  ( x  1) 2 2( y  2)  x  1 2 y  4  x  1 2 y  x  3  0

Função da reta normal y 

5) Ache uma equação da reta tangente e normal à curva

1 ( x  x o ) dy

x

2



3 2


2´ 11´  2´  3´  =30´ = 10´     2    23  = 2    =  2   3  =  ()==125,54( 75) no ponto (2;3).

 =  2 ∙23∙ 2 2 3 3 =  64 2 3 3  =  75 Logo, no ponto (2,3),

O ângulo de inclinação da reta Equação da reta tangente tangente. dy y  y o 

O ângulo de inclinação da reta normal.

 =  175 == 35,(5457)

( x  x o )

dx 7 y  3   ( x  2) 5 5 y  3  7( x  2) 5 y  15  7 x  14

5 y  7 x  15  14  0 5 y  7 x  29  0

Em função y 

 7 x  29

5 7 x 29 y    5 5

A equação da reta normal y  y o  

1 ( x  x o ) dy

dx 1 y  3   ( x  2) 7  5 5 y  3  ( x  2) 7 7 y  3  5( x  2) 7 y  21  5x  10 7 y  5x  10  21  0 7 y  5x  11  0

Em função y 

5 x 11  7 7

6) Ache uma equação da reta tangente e normal à curva 9 x 3  y 3  1 no ponto (1,2). Respostas: A equação da reta tangente no ponto ( xo , yo ) é, então: 4 y  9 x  1  0 A equação da reta normal no ponto ( xo , yo ) é, então: 9 y  4 x  22  0

6


7

2. Taxas Relacionadas

Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema de taxas relacionadas. Os passos a seguir representam um procedimento possível para resolver problemas envolvendo taxas relacionadas. 1 – Faça uma figura, se isso for possível; 2 – Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t , pois as outras variáveis usualmente dependem de t . 3 – Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação à t . 4 – Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t . 5 – Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa 4. 6 – Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos da quantidade desejada. Começaremos nossa discussão com um exemplo que descreve uma situação real. Exemplos: 1) Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé esta a 15 unidades de comprimento da parede? - Figura (desenho esquemático) - Definição das variáveis: - Fatos numéricos t  tempo decorrido desde que a conhecidos: escala começou a deslizar pela parede em segundos. 2 5 y  distância do chão ao topo da y Quando x = 15 escada. x  distância do pé da escada ate a parede. z  comprimento da escada. x

 = 3  =?  = 0

 =       =  2   =2 = 2  ÷ 2 =   =  =  25  15 = √ 400     = 0  = 20   15   =    =    =  20 ∙ 3 = 2,25 - Equação envolvendo variáveis que dependem de t: Teorema de Pitágoras: - Derivando em relação a t:

as

- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Devemos encontrar y para x = 15, substituindo na equação:

Logo o topo da escada esta deslizando a uma taxa de 2,25 unidades de comprimento por segundo. O sinal negativo significa que y é decrescente, quanto t cresce.


2⁄

8

2) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de . Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5m? 1- Figura (desenho esquemático)

2- Definição das variáveis: t  tempo em (min) com que a água “flui” no

4m

tanque. V  volume em m 3 de água. h  nível em (m) com que a água esta se elevando no tanque. r  raio em (m) do nível da água no tanque. 3- Fatos numéricos conhecidos: dV 16 m

r m

dt dh dt

3

 2 mmin m  ? min

h m

4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: h  16m para r  4m V 



3

h  4r  r 

V 

 r 2  h

  h 

2

h 4 

   h   h3 3  4  3 16

5- Derivando em relação a t: V 

dV

3 16



dt

dh





dt

 h3



2

3 16

16   h

2

3 h  

dh dt



  h 2 dh

16

dt

dV dt

6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Encontrando agora dh 

16

dV

dh 

dt  h 5

16

32

m    2  dt  5   h 2 dt   5 2 25   min

dz 

 0,407 mmin  dt  5

quando h  5m

9


3) Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está 0,2km do cruzamento e o segundo a 0,15km? Resolução: 1- Figura (desenho esquemático) Norte direção ) m k ( z

x

(km)

sul

y (km)

Oeste

P

Leste

Sul

direção leste

2- Definição das variáveis: t  tempo em (h) desde que os carros começaram a se aproximar. x  distância em (km) do primeiro carro em relação a P (direção leste). y  distância em (km) do segundo carro em relação a P (direção sul). z  distância em (km) entre os dois carros.

 = 90  = 60  = ? 

3- Fatos numéricos conhecidos: x = 0,2km

4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: Pelo teorema de Pitágoras temos:

y = 0,15km

- Encontrando z:

 =     == 0, 25   =  0,2  0,15 =  0,0625 2  =2   2  = ÷2  = 0,2900,20,5 1560  =       = 108/ℎ z = (?) km

5- Derivando em relação a t:

6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas:

4) Um avião voa a 152,4m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220m no sentido oeste, tomando como referência um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610m?


1- Figura (desenho esquemático) Direção oeste

P (avião)

10

2- Definição das variáveis: t  tempo em (s) com que o avião se desloca na direção oeste.  

ângulo de elevação (em radianos) do feixe luminoso emitido pelo holofote em relação ao solo. x  distância em (m) medida horizontalmente entre o holofote e a projeção vertical do avião em relação ao solo. y = 1220m

y  distância em (m) medida verticalmente entre o holofote e a projeção vertical do avião no solo.

 = 152,4  = 0  = ?  

3- Fatos numéricos conhecidos: x = 610m

 y = 1220km

holofote x = 610m

 = (?) km

tan =    = 1    tan ´ = 1220−´ −−    ∙  = 1220 ∙ 1 ∙  −    ∙  = 1220 ∙     ∙  1220=  1220   =     

4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t:

5- Derivando em relação a t:

6- Substituindo os valores das grandezas conhecidas temos:

tan = 1220 = 1220610 = 2   = 1 2 = 1  4 = 5  =  610 1220 ∙ 5 152,4  = 0,1

5) Um tanque cúbico horizontal tem aresta medindo 2m, e a vazão de água é constante, valendo 0,5m3/s. Determine a velocidade de subida do nível da água. 1- Figura (desenho esquemático)

2- Definição das variáveis: t  tempo em (s) com que a água esta sendo vazada no tanque. h  altura em (m) do tanque cúbico (aresta vertical). V  volume do tanque cúbico.


11

3- Fatos numéricos conhecidos: dV dt dh

V  Ab  h  22  h

3

 0,5 m s

h  2m

 (?) sm

dt

4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: V  4  h

5- Derivando em relação a t: dV dt

 4 

dh

dh

dt

dt



1 dV



4 dt

6- Substituindo os valores das grandezas conhecidas temos: dh dt

1



 0,5 

4

0,5 4

 0,125 sm

6) Uma pipa esta voando a uma altura de 40m. Uma criança esta empinando-a de tal forma que ela se mova horizontalmente, a uma velocidade de 3m/s. Se a linha estiver esticada, com que velocidade a linha estará sendo “dada”, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m?

1- Figura (desenho esquemático) P

2- Definição das variáveis: t  tempo em (s) com que a criança empina a pipa x  distância em (m) medida horizontalmente entre a criança e a projeção vertical da pipa no solo.

z

y

y  distância em (m) medida verticalmente entre a pipa e o solo. z  distância em (m) medida entre a pipa e a criança.

x

3- Fatos numéricos conhecidos: dx dt dy dt dz dt

 3 sm

x  (?)m

 0 sm

y  40m

 (?)

m

z  50m

s

4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: Pelo teorema de Pitágoras temos: 2

z

2

 x  y

2

5- Derivando em relação a t: 2 z dz dt

dz dt



 2 x

x

dx dt

 2 y

dx dy  y dt dt z

dy dt


12

6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Devemos encontrar z, substituindo na equação: z 2  x 2  y 2 x  z 2  y 2  50 2  40 2 

2500  1600  900

x  30 dz 

Encontrando agora dz dt dz dt

 

30  3  40  0 50 9



dt  z 50

90 50

m s

5

7) Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taxa de 5m3/min. Qual a taxa de crescimento do diâmetro quando ele mede 12m? 1- Figura (desenho esquemático)

2- Definição das variáveis: t  tempo (em min.) com que o balão esta sendo inflado. d  diâmetro (em m) do balão esférico. V  volume (em m 3) do balão esférico.

d

3- Fatos numéricos conhecidos: d d

d  12m

 (?) mmin.

dt d Ve

3

V e  (?)m

m  5 min .

dt

4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 3

3

4 d   d    d 3 V e    r         3 3  2  3 8 6 4

4

3

d  2r  r 

d 2

5- Derivando em relação a t: V e 



dV e



dt

 d 3

6



6

 3  d 2 

d d dt





2

 d 2 

d d

d d

dt

dt



6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: d d 

Encontrando agora d d dt



2



1 2



dV e



2

dt  d 12



1 2

dt  12  d d d 5 m   0,022 mmin. m in . dt 72

5 

10 144



5 72

m min.

2



1

 d 2



dV e dt


13

8) Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8cm 3/min. Ache a taxa segundo a qual o raio esta crescendo quando a bola de neve tiver 4cm de diâmetro. 1- Figura (desenho esquemático)

d

2- Definição das variáveis: t  tempo (em min.) com que a bola de neve esta se formando. r  raio (em cm) com que a bola de neve esta crescendo. V  volume (em cm 3) da bola de neve que esta se formando.

3- Fatos numéricos conhecidos: d r

r 

cm  (?) min .

dt d Ve dt

3

4 2

 2cm

V e  (?)cm

cm  8 min .

4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: V e 

4 3

  r 3

5- Derivando em relação a t: V e 

4

dV e



dt

d r

3

  r 3

4 3

1



dt

 3  r 2  2

4  r



d r dt

 4  r 2 

d r dt

dV e dt

6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: Encontrando agora d r

1



2

dt

8 

4  2 d r 1 cm   dt 2 min .

8 4  4

d r 

dt  r  2 

8 16



1 2

9) Suponha que quando o diâmetro da bola de neve do exercício anterior (exercício 8) for de 6cm, ela pare de crescer e comece a derreter a uma taxa de 1/4cm 3/min. Ache a taxa segundo a qual o raio estará variando, quando o raio for de 2cm. d r dt



1



cm

64 min .

10) Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m 3/min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura? 11) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante?

Cálculo II - Derivadas e Aplicações dV dt

14

3

 0,001 cm dia

12) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de crescimento da sua área? dA dt

2

 0,004 cm dia

13) Uma pedra é jogada em um lago, provocando uma onde circular de raio r, o qual varia com o tempo a uma taxa constante de 3cm/s. Calcule a taxa de variação, com o tempo, da área do circulo limitado pela onda, no instante em que o raio vale 20cm. {PB e9.6} dA dt

 2  20  3  120 cm s

2

14) Um balão esférico, que esta sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio aumenta a uma taxa constante de 0,05m/s. Calcule a taxa da variação do seu volume, no instante em que seu raio vale 2m. dV dt

3

 0,8 m s

15) Um cubo de metal, que esta sendo aquecido, mantém sua forma. Uma aresta aumenta a uma taxa que, no instante t 0, vale 0,05cm/s, instante no qual a aresta mede 10cm. Calcule a taxa de expansão do volume do cubo no instante t 0. dV dt

 15 cm s

3

16) Uma moeda que esta sendo aquecida, mantém sua forma. Calcule o quociente entre a taxa de variação com o tempo da área de uma face e a taxa de variação com o tempo do diâmetro, num instante em que o diâmetro mede 1cm. dA dt dd





2

cm

dt

17) Uma escada, de comprimento 2m, desliza no chão, mantendo-se apoiada em uma parede. Em um determinado instante, sua base dista 0,6m da parede e se afasta da mesma à razão de 0,3m/s. Calcule a velocidade com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em questão. dy dt

 0,094m / s

18) Uma escada, 6m de comprimento, apóia-se durante seu movimento, no chão e na parede vertical. Em um instante t 0, o seu topo dista 3,6m do chão, e a sua base afasta-se da parede vertical à taxa de 1m/s. Calcule a velocidade escalar do topo no instante t 0. dy dt



4 3

m / s


15

3. Estudos da função 3.1. Análise do Comportamento das Funções

Dada uma curva y = f(x) usaremos a derivada para obter alguns dados acerca da curva. Discutiremos os pontos de máximos e mínimos, os intervalos onde a curva é crescente ou decrescente. A interpretação geométrica da derivada de uma função é a inclinação da reta tangente no gráfico da função em um ponto. Esse fato possibilita aplicar derivadas como recurso auxiliar no esboço de gráficos. Por exemplo, podemos usar a derivada para determinar os pontos onde a reta tangente é horizontal, ou seja, onde a derivada é zero. Antes de empregar a derivada para fazer esboços de gráficos, precisamos de algumas definições e teoremas.

s

B

y



y0

A

t

C 





x0

x

Figura 1 – Interpretação geométrica da derivada de uma função. 3.2. Valor funcional Máximo

Definição 1 A função f terá um valor máximo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual f(x) esteja definida, tal que f (c)  f ( x) para todo x nesse intervalo. As Figuras 2 e 3 mostram o esboço de parte do gráfico de uma função, tendo um valor máximo relativo em c.

Figura 2 – Valor máximo relativo para f´(c) = 0.

Figura 3 – Valor máximo relativo para o qual f´(c) não existe.


16

Definição 2 A função f terá um valor mínimo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual f(x) esteja definida, tal que f (c)  f ( x) para todo x nesse intervalo. As Figuras 4 e 5 mostram o esboço de parte do gráfico de uma função, tendo um valor mínimo relativo em c.

Figura 4 – Valor mínimo relativo para f´(c) = 0.

Figura 5 – Valor mínimo relativo para o qual f´(c) não existe.

Se a função f tiver um máximo relativo em c ou um mínimo relativo então diz que f tem um extremo relativo em c. O seguinte teorema será usado para localizar os valores possíveis de c para os quais existe um extremo relativo. Observação: c → numero critico → esta no domínio da função → f´(c) = 0 ou f´(c ) não existe f(c) → extremo relativo → esta na imagem da função → valor máximo ou mínimo

Teorema Se f(x) foi definida para todos os valores de x no intervalo aberto (a,b) e se f tiver um extremo relativo em c, onde a < c

Figura 6 – Esboço de uma função com pontos de extremo relativo. Exemplos: 1) Consideremos a função definida por f ( x)  ( x  1) 3 . Um esboço da função esta na figura 7.

Figura 7 – Esboço de f(x) = (x-1) f ´( x)  3( x  1) 2 , e sendo assim,

f ´( x)  3( x  1)

2

0

Somente quando: 3( x  1) x  1

2

0

Ou seja:

f ´(1)  0

Mas:

f ( x)  0 se x  1 e f ( x)  0 se x  1 .

Sendo assim, f não tem um extremo relativo em 1, apesar da derivada primeira ser igual a zero.

17


18

2 x  1 se x  3 8 - x se x  3

2) Seja a função definida por: f ( x)  

A função f tem um valor máximo relativo em 3. Apesar de não ser derivável em 3. A derivada à esquerda em 3 é dada por: f ´ (3)  2 A derivada à direita em 3 é dada por: f ´ (3)  1 Logo concluímos que f´(3) não existe.

2 x  1 se x  3 8 - x se x  3

Figura 8 – Esboço da função f ( x)  

Definição Se c for um número do domínio da função f e se f ´(c)  0 ou f ´(c) não existir, então c será chamada de número cr íti co de f . Dessa definição e da discussão anterior, um condição necessária (mas não suficiente) à existência de um extremo relativo em c é que c seja um número crítico de f . Exemplo: 1) Ache os números críticos extremos relativos da função f definida por:

 =   4√  

´ == 4  4√ = = 4  =                   +  +             4   4   4   4          ´ = 4 13 = 3 = 3 = 3 ´ = 3√  Solução:


Quando Quando

19

43√  =10 =⟹0 ⟹ =0= 1´ ´ = 0 ,

,

não existe.

Ambos -1 e 0 estão no domínio de f ; Logo os pontos críticos de f são -1 e 0. 5 4 3 2 1 0 -2

-1

-1

0

1

-2 -3

 = √   4√  -4

Figura 9 – Esboço da função

2) Ache os números críticos da função g definida por g ( x)  senx cos x 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1

0

90

180

270

360

450

540

630

720

-0,2 -0,3 -0,4 -0,5

Figura 10 – Esboço da função g ( x)  senx cos x Resolução: Como: sen2 x  2 senx cosx g ( x)  12 sen2 x g ´( x)  12 (cos 2 x)  2  cos 2 x

Desde que g ´( x) exista para todo x, os únicos números críticos são aqueles para ao quais g ´( x)  0 . Como cos 2 x  0 , quando: 2 x  12   k  onde k é um inteiro qualquer. Os números críticos de g(x) são: x 

1  2

 k  2

 14   12 k 


20

3.3. Valor máximo e mínimo absoluto num intervalo p(220)

Seja uma função dada num certo intervalo, onde queremos encontrar o maior ou o menor valor da função. O maior valor da função no intervalo é chamado de valor máximo absoluto. O menor valor da função é chamado de valor mínimo absoluto. Definição 1 A função f terá um valor máximo absoluto num intervalo , se existir algum número c no intervalo, tal que f (c)  f ( x) para todo x no intervalo. Em tal caso, f(c) será o valor máximo absoluto de f no intervalo. Definição 2 A função f terá um valor mínimo absoluto num intervalo , se existir algum número c no intervalo, tal que f (c)  f ( x) para todo x no intervalo. Em tal caso, f(c) será o valor mínimo absoluto de f no intervalo. Um extremo absoluto de uma função num intervalo é um valor máximo ou mínimo absoluto da função no intervalo. Uma função pode ou não ter um extremo absoluto num intervalo dado. Exemplos: 1) Suponha que f seja a função definida por f ( x)  2 x no intervalo [1,4) . Um esboço gráfico da função: Não há valor máximo absoluto de f em [1,4) , pois lim f ( x)  8 , mas f(x) é sempre menor x4

do que 8 no intervalo dado. A função tem um valor mínimo absoluto de 2 em f em [1,4).

2) Consideremos a função definida por f ( x)   x 2 no intervalo (3,2] Um esboço do gráfico:


21

f ´( x)  2 x  0  x  0

Portanto a função tem um valor máximo absoluto em 0. Não há valor mínimo absoluto pois lim  f ( x)  9 , mas f(x) é sempre maior x 3

do que – 9 no intervalo dado.

3.4. Extremo absoluto

Podemos falar de um extremo absoluto de uma função, mesmo que não seja especificado o intervalo. Em tal caso, estamos nos referindo ao extremo absoluto da função em todo o seu intervalo. Definição 1 f(c) será o valor máximo absoluto da função f se c estiver no domínio de f e se f (c)  f ( x) para todos os valores de x no domínio de f . Definição 2 f(c) será o valor mínimo absoluto da função f se c estiver no domínio de f e se f (c)  f ( x) para todos os valores de x no domínio de f . Exemplo: 1) Seja o gráfico da função f definida por f ( x)  x 2  4 x  8 : É uma parábola, e o ponto mais baixo da parábola esta em (2,4) e a parábola abre-se para cima. f ´( x)  2 x  4  0 2 x  4  x  2 e f (2)  x 2  4 x  8  2 2  4  2  8  4

A função tem um valor mínimo absoluto em x =2. Não há valor máximo absoluto em f .


22

3.5. Teorema do valor Extremo

Se a função f for contínua no intervalo fechado [a, b] , então f terá um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em [a, b] O teorema assegura que a continuidade de uma função em um intervalo fechado é condição suficiente para garantir que a função tenha no intervalo ambos os valores, máximo e mínimo, absolutos. Um extremo absoluto de uma função contínua num intervalo fechado deve ser um extremo relativo, ou um valor de função num extremo do intervalo. Como uma condição necessária para que uma função tenha um extremo relativo num número c é que c seja um número critico o valor máximo absoluto e o mínimo absoluto de uma função contínua f num intervalo fechado [a, b] podem ser determinados pelo seguinte procedimento: 1 – Ache os valores da função nos números críticos de f em . 2 – Ache os valores de f(a) e f(b). 3 – O maior dentre os valores das etapas 1 e 2 será o valor máximo absoluto e o menor será o valor mínimo absoluto.

,

2,   =       1

Exemplo: 1) Ache os extremos absolutos de f em se Solução: Como f é continua em  2, 12  , o teorema do valor extremo pode ser aplicado. Para achar os números críticos de f , vamos calcular primeiro f´ :

´ = 3  2  1

  b 2  4ac  (2) 2  4  3  (1)  4  12  16 24 6  x1    1   b    2  16  2  4 6 6 x     2a 23 6  x   2  4  2  1 2 6 6 3 

´ = 0

Como f ´( x) existe para todos os números reais, os únicos números críticos de f serão os valores de x para os quais f ´( x)  3 x 2  2 x  1  (3 x  1)( x  1)  0 c1  13 e c2  1 Os valores nos extremos são: f ( x)  x 3  x 2  x  1 f (2)  (2)3  (2)2  (2)  1  8  4  2  1  1 f (1)  (1)3  (1)2  (1)  1  1  1  1  1  2 f 13   13   13   13   1  3

2

1 27

 19  13  1  1 3279 27 

f  12    12    12    12   1  18  14  12  1  1 2 8 4 8  3

2

22 27 7 8

 0,81

 0,875

- O valor máximo absoluto de f em  2, 12  é 2 ,que ocorre no número crítico c = -1. - O valor mínimo absoluto de f em  2, 12  é -1, que ocorre no número crítico c = 2. x -2 -1 1/3 1/2 f(x) -1 2 0,81 0,875


23

3.6. Concavidade e pontos de inflexão (p241)

O conceito de concavidade é muito útil no esboço de uma curva. Analisando geometricamente a figura 1, e figura 2 observamos que dada um ponto qualquer c no intervalo (a,b) o gráfico de f esta acima da tangente à curva no ponto P(c,f(c)). Dizemos que a curva tem concavidade voltada para cima no intervalo (a,b). Geometricamente, isto significa que a reta tangente gira no sentido anti-horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita. y

=f x

=f x

P

a

b

Figura 1 – concavidade voltada para cima.

x

a b x Figura 2 – reta tangente gira no sentido antihorário.

Na figura 3 e 4 descrevemos uma função que tem concavidade voltada para baixo no intervalo (a,b). Neste caso vemos que a tangente gira no sentido horário quando deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita.


24

y

P

a

c

=f x

y = f(x)

b

Figura 3 – concavidade voltada para baixo.

x

a b x Figura 4 – reta tangente gira no sentido horário.

Observando as figuras podemos propor as seguintes definições: Definição 1: Uma função f é dita côncova para cima no intervalo (a,b) se f´(x) é crescente neste intervalo. Definição 2: Uma função f é dita côncova para baixo no intervalo (a,b) se f´(x) é decrescente neste intervalo.

Podemos determinar a concavidade de uma curva analisando o sinal da derivada segunda f´´(x). Teorema: Seja f uma

função diferenciavel até segunda ordem em algum intervalo aberto contendo c.

Então: (i) se f ´´(c)  0 , o gráfico de f é côncavo para cima em ( c,f(c)) (ii) se f ´´(c)  0 , o gráfico de f é côncavo para baixo em ( c,f(c)) 3.7. Pontos de inflexão

Podem existir pontos no gráfico de uma função nos quais a concavidade muda de sentido. Esses pontos são chamados pontos de inflexão. Definição: O ponto (c, f (c)) será um ponto de inflexão do gráfico da função f se o gráfico tiver nele uma reta tangente e se existir um intervalo aberto I contendo c, tal que se x estiver em I , então: (i) f ´´( x)  0 se x  c e f ´´( x)  0 se x  c , ou (ii) f ´´( x)  0 se x  c e f ´´( x)  0 se x  c . Teorema: Se a função f for derivável em algum intervalo aberto contendo c e se (c, f (c)) for um ponto de inflexão do gráfico de f , então f ´´(c)  0 ou f ´´(c) não existe. Exemplos: 1) Dada a função.

 =   6  9  1


a) Ache os máximos e mínimos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda; b) Ache os pontos de inflexão do gráfico de f; c) Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; d) Faça um esboço do gráfico; Solução:

´´ = =36 1212 9    ´  = 0 3´  =1239  12= 0 9÷3= 0 ∆=   4 = 4  4 ∙ 1∙ 3 = 16  12 = 4   4 ± 3∆= 0 4± 4 4 ± 2  = 4  2 = 2 = 1  = 2√ = 2 ∙ 1 √ = 2 = { = 4 22 2 = 622 = 3    ´  = 0 6´ =12 = 6  12 = 0  = 162 = 2 Encontrando os números críticos, ou seja,

Encontrando o ponto de inflexão, ou seja,

x = 1 x = 2 x = 3

f ( x)

f ´( x)

f ´´( x)

5 3 1

0

0 +

0

Conclusão Côncavo para baixo, ponto de máximo. Ponto de inflexão Côncavo para cima, ponto de mínimo.

4

2

Gráfico da função

 =   6  9  1 2

1

 = √ 

3

.

2) Dada à função . Ache o ponto de inflexão do gráfico de f . Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico. Solução: f ´( x)  12 x

 32

f ´´( x)   29 x

  53

1 2

1

 3

x 2 2 1

  9

3

x 5

25


f ( x) x  0 x  0 x  0

0

26

Conclusão f é crescente e côncava para cima + + não existe não existe Ponto de inflexão f é crescente côncava para baixo + f ´´( x)

f ´( x)

Na figura mostramos que o eixo y é a reta tangente ao gráfico da função em (0,0) e um ponto de inflexão. A concavidade do gráfico é determinada pelo sinal de f ´´( x) .

1

-2

2

-1

Grafico da função

 = √ 

.

3.8. Teste da derivada segunda para extremos relativos

Teorema Seja c um número critico de uma função f , no qual f ´(c)  0 e suponhamos que f ´ exista para todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c. Se f ´´(c) existe e: i) Se f ´´(c)  0 , então f tem um valor máximo relativo em c; ii) Se f ´´(c)  0 , então f tem um valor mínimo relativo em c; Exemplo: 1) Dada à função f ( x)  x 4  43 x 3  4 x 2 : a) Ache os máximos e mínimos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda; b) Ache os pontos de inflexão do gráfico de f; c) Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; d) Faça um esboço do gráfico; Solução: Calculando as derivadas primeira e segunda de f . f ´( x)  4 x3  4 x 2  8 x f ´´( x)  12 x 2  8x  8 Equacionando f ´( x)  0 temos: 2 f ´( x)  4 x( x x  2)  0  

0

x  x  2  0   b2  4ac  12  4  1  (2)  1  8  9 2


1  3  x  1 1  1  9  1  3  2 x    2 1 2  x2   1  3  2  2

27

 x  0  f ´( x)  4 x( x  2)( x  1)  0   x  2  x  1 

Sendo assim os números críticos de f são -2, 0, 1. Vamos determinar os pontos de inflexão f ´´( x)  12 x 2  8x  8  0

  b 2  4ac  82  4  12  (8)  64  384  448  x1  1,215  8  26  7  8  8 7  1  7    x  2  12 83 3  x2  0,548

Vamos determinar os extremos relativos entre estes números críticos, encontrando o sinal de derivada segunda neles. x Conclusão f ( x) f ´( x) f ´´( x) 32 -2 0 + Valor mínimo relativo  3  10,67 -1,215 -6,12 8,4 0 Ponto de inflexão 0 0 0 Valor máximo relativo 0,548 -0,89 -2,5 0 Ponto de inflexão 5 1 0 + Valor mínimo relativo  3  1,67

2

1

2) Dada à função f ( x)  x 3  2 x 3  3 x 2  23 x : Ache os extremos relativos de f , aplicando o teste da derivada segunda, quando possível; Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico de f e; Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; Faça um esboço gráfico de f . Solução: Calculando as derivadas de primeira e segunda de f . f ´( x)  23 x

 13

 23 x

 32



2 3  3 x



2 3  3 x 2


f ´´( x)  29 x

 43

 94 x

 35



2 9  3 x 4



28

4 9  3 x 5

Como f ´(0) não existe, 0 é um número critico de f . Encontramos os demais números críticos equacionando f ´( x)  0 

2 1 3 x 3

2 x 3

x

0

2 2 3 x 3

 13  23 

 13  23

 x

x

 23 x  23  23

 23  23 

 13  23

 x 0  0

1

x 3  1  0

0

1

x 3

0

1

x  1

Assim 1 é ponto critico também. Podemos determinar se há um extremo relativo em 1 aplicando o teste da derivada segunda. Como f ´´(0) não existe, (0,0) é um possível ponto de inflexão. Para achar outras possibilidades equacionamos f ´´(0)  0 . 2 3 x 9 4

2 x

 94 x

 43  53

 53

 4 x

1

0

 53  35

x 3 

0

4 2

x  23 x  8

1

2 x 3  4 x 0  0 1

2 x 3  4

A tabela abaixo resume nossos resultados. f(x) f´(x) f´´(x) Conclusão x<0 decrescente; côncavo para baixo. x = 0 0 não existe não existe f não tem extremo relativo; ponto de inflexão. 08 + crescente; côncava para baixo.

2

1

2

-1

4

6

8


29

3) Dada à função f ( x)  (1  2 x)3 . Ache o ponto de inflexão do gráfico de f . Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico. Solução: f ´( x)  6(1  2 x) 2 f ´´( x)  24(1  2 x) Como f ´´( x) existe para todos os valores de x, o único ponto de inflexão possível é onde f ´´( x)  0 . Ou seja: f ´´( x)  24(1  2 x)  0

1  2x  0



x 

1 2

O gráfico tem uma reta tangente horizontal no ponto de inflexão pois f ´12   0 . Conclusão f ( x) f ´( x) f ´´( x) + côncavo para cima x  12 0 0 0 Ponto de inflexão x  12 côncava para baixo x  12

1

0,5

1

-1

4) Ache os pontos de inflexão do gráfico da função seno. Ache as inclinações das tangentes nos pontos de inflexão. Faça o gráfico da função seno num intervalo de 2 de comprimento, contendo o ponto de inflexão com menor abscissa positiva. Mostre um segmento da tangente nesse ponto de inflexão. Solução: f ( x)  senx f ´( x)  cos x f ´´( x)   senx

f ´´( x) existe para todo x. Para determinar os pontos de inflexão, equacionamos f ´´( x)  0  senx  0 Pontos de inflexão: x  k  onde k é um inteiro qualquer.

Inclinação dos pontos de inflexão:  1 se k inteiro par  1 se k inteiro impar

f ´(k  )  cos k   

Logo, as inclinações das tangentes nos pontos de inflexão são +1 ou -1.


1



-1

2

30

31


4. Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio (p.231)

Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b], derivável no intervalo aberto (a,b) e tal que f (a)  0 e f (b)  0 . O matemático francês Michel Rolle (1652-1719) provou que se uma função satisfaz essas condições, existe pelo menos um número c entre a e b para o qual f ´(c)  0 . Vejamos o significado geométrico disto: A figura 1 mostra um esboço do gráfico de uma função f que satisfaz as condições do parágrafo precedente. Vemos intuitivamente, que existe pelo menos um ponto P sobre a curva entre os pontos (a,0) e (b,0), onde a reta tangente é paralela ao eixo x; isto é, a inclinação da reta tangente é zero. Neste ponto P a abscissa é c, tal que f ´(c)  0 . y

P

a

b

c

x

Figura 1 A figura 2 mostra o esboço gráfico de uma função que não é derivável em um extremo, no caso o extremo b, contudo existe uma reta tangente no ponto x = c no intervalo (a,b). No entanto, é necessário que a função seja continua no intervalo [a,b] para garantir a existência dessa tangente, conforme o esboço da figura 3. y

y

P

a

c

Figura 2

b

x

a

b

Figura 3

Teorema de Rolle

Seja f uma função, tal que: i) ela seja contínua no intervalo fechado [a,b]; ii) ela seja derivável no intervalo aberto (a,b); iii) f (a)  0 e f (b)  0 . Então existe pelo menos um ponto c no intervalo (a,b), tal que f ´(c)  0

x


32

Exemplo: 1) Dada à função f ( x)  4 x 3  9 x comprove que as condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle estão satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos:  32 ,0 , 0, 32  e  32 , 32 . Ache então um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f ´( x)  0 . Solução: f ´( x)  12x 2  9 Como f ´( x) existe para todos os valores de x, f é derivável em (,)

Sendo assim, as condições (i) e (ii) do teorema de Rolle são válidas em qualquer intervalo. Para determinar em quais intervalos a condição (iii) se verifica, encontramos os valores para os quais f ( x)  0 .  x   32  f ( x)  4 x( x 2  94 )  0   x  0     x  3 0 2   32 ,0  Sendo assim o teorema de Rolle é valido nos seguintes intervalos: 0, 32   3 3  2 , 2 

Os valores adequados de c são os que satisfazem à equação f ´( x)  0 .  x   3 2 12 x  9  0    x  23 2

Portanto, para os intervalos encontrados pelo Teorema de Rolle os valores adequados para c são:  3 ,0  c    2  3 3 0, 2   c  2  3 3  2 , 2   c  

3 2

3 2

ou  c 

3 2

y 6 4

c -2



3 2

3

2

c

2

-1

2 1

-2 -4 -6

Figura 4

3 3 2

2

x


33

Teorema do Valor Médio

Seja f uma função, tal que: i) ela seja contínua no intervalo fechado [a,b]; ii) ela seja derivável no intervalo aberto (a,b); Então, existirá um número c no intervalo aberto (a,b), tal que f ´(c) 

f (b)  f (a) ba

Geometricamente, o teorema do valor médio estabelece que se a função y  f ( x) é continua em [a,b] e derivável em (a,b), então existe pelo menos um ponto c entre a e b onde a tangente à curva é paralela à corda que une os pontos P (a, f (a)) e Q(b, f (b)) conforme figura 5. y

Q

f(b)

R

P

f(a)

a

b

c

x

Figura 5 Exemplo: 2) Dada f ( x) 

x 3

2

 2 x  3 x

comprove que as hipóteses do teorema do valor médio estão

3 satisfeitas para a=3 e b=6 . Então, encontre todos os números c no intervalo aberto (3,6), tais que: f (6)  f (3) . f ´(c)  63

Solução: Como f é uma função polinomial, ela será continua e derivável para todos os valores de x. Logo, as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para todo a e b. f ´( x)  x 2  4 x  3 Calculando: f (3) 

f (6) 

33 3

63

 2  32  3  3  3

 2  62  3  6  12

3 f (6)  f (3) 12  (3) 15 f ´(c)    5 63 63 3


Equacionando f ´(c)  5 , obtemos: f ´(c)  c 2  4c  3  5 c 2  4c  3  5 c 2  4c  2  0

  b 2  4ac  (4) 2  4  2  (2)  16  16  32  25 c

4  25 2 1



44 2 2

c  0,828  2  2 2  2(1  2 )   1 c2  4,828

Como -0,828 não esta no intervalo aberto (3,6), o único valor possível é c  4,828

Figura 6 – Gráfico de f ( x) 

x 3 3

2

 2 x  3 x e

f ´( x)  x 2  4 x  3 .

34


35

5. Aplicações Envolvendo extremos absolutos num intervalo fechado

Exemplos: 1) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a partir de pedaços de papelão com 12 cm 2 cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Queremos encontrar o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o maior volume possível. V ( x )  x (12  2 x) (12  2 x) 

altura

      

largura profundidade

V ( x)  x(12  2 x)(12  2 x) V ( x)  144 x  48 x 2  4 x 3 V ´( x)  144  96 x  12x 2 V ´( x) existe para todos os valores de x. Fazendo V ´( x)  0 temos: 2 V ´( x)  12( x  8 x  12)  0 

0

 x1  2 x 2  8 x  12  0    x 2  6

O domínio de V(x) será o intervalo fechado [0,6]. Como V(x) é contínua em [0,6], segue do teorema do valor extremo que V(x) tem um valor máximo absoluto nesse intervalo.

Os número críticos de V são 2 e 6, ambos pertencentes ao intervalo fechado [0,6]. O valor máximo absoluto de V em [0,6] precisa ocorrer num número crítico ou num extremo do intervalo. V ( x)  144 x  48 x 2  4 x 3 V (0)  144  0  48  0 2  4  03  0 V (2)  144  2  48  2 2  4  2 3  128 V (6)  144  6  48  6 2  4  63  0

O valor máximo absoluto de V em [0,6] é 128, ocorrendo quando x = 2. Logo, o maior volume possível é de 128cm 3 , obtido quando o comprimento do lado do quadrado a ser cortado é de 2cm.


36

2) Os pontos A e B estão em lados opostos de um rio reto com 3km de largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas 2km rio abaixo. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A até C. Se o custo por quilômetro do cabo é 25% maior sobre a água do que em terra, como deve ser estendido o cabo, de forma que o custo seja o menor para a companhia? Solução: Seja: k – custo por quilometro em terra 5 k – custo por quilometro sob água 4 C ( x) – custo total da ligação.

Então: C ( x) 

5 k 4 

32  x 2 

   

distância custo sob água sob água

k 

custo sob terra

(2  x )   

distância sob terra

Como C é contínua em [0,2], o teorema do valor extremo pode ser aplicado. Queremos encontrar o valor mínimo absoluto. Derivando em relação à x temos: 1 2

C ( x)  k (3  x )  k (2  x) 5 4

2

2

1 2 2

C ´( x)  54 k 12 (3  x ) 2

1 2 2

C ´( x)  kx(3  x ) 5 4

C ´( x)  C ´( x) 

2

5kx 4 9  x 2 5kx 4 9  x 2

 2 x  k (0  1)  k

 k

5kx 4 9  x 5 x

2

4 9  x 5 x

2

4 9  x

2

 k  0 1  0 1

5 x  4 9  x 2

25 x 2  16(9  x 2 )

 k  0

9 x 2  16  9 x 2  16 x  4

37


Como -4 e 4 não estão no intervalo [0,2]. Logo não existem números críticos de C em [0,2]. O valor mínimo absoluto de C em [0,2] deve ocorrer num dos extremos do intervalo. Calculando obtemos: C ( x)  54 k 32

 x

2

 k (2  x)

C (0)  54 k 32  0 2  k (2  0) 

23 k 4

C (2)  54 k 3 2

5 4

2

2

 k (2  2) 

k 13

Logo o valor mínimo absoluto de C em [0,2] é 54 k 13 , ocorrendo quando x = 2. Logo, para minimizar o custo do cabo, devemos estendê-lo diretamente de A até C sob a água. 3) (p266) Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado com exceção do lado ao longo do rio. Se o custo do material for de $12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de $8,00 por metro linear nos dois extremos, ache o campo de maior área possível que possa ser cercado com $3.600,00 de material. Solução: Seja: x (m) – o comprimento de cada extremo do campo; y (m) – o comprimento do lado paralelo ao rio; A (m2) – a área do campo.  A  xy (1)  8 x  8 x  12 y  3.600 (2)

Isolando y de (2)

A(x)

16 x  12 y  3.600 3.600  16 x 4 y   300  x 12 3

16875

Substituindo em (1) obtemos: A  xy  x300  43 x 

A( x)  x300  43 x  (3)

Se y= 0, x = 225 e se x = 0, y = 300. Como ambos não deverem ser negativos, o valor de x ira tornar A um máximo absoluto esta entre [0, 225]. A( x)  300 x  43 x 2 A´( x)  300  83 x

Fazendo A´( x)  0 , temos: 0  300  83 x

8 x 3

 300

y  300  43 x  300  43  112,5  300  150  150

x  300  83  112,5

112,5

225

x


38

A( x)  300 x  43 x 2 A(112,5)  300  112,5  43  112,5 2

A(112,5)  16.875m 2

Assim sendo, a maior área possível que poderá ser cercada com $3.600,00 de material será A = 16.875m2, e isto acontece quando o lado paralelo ao rio tiver y = 150m e os extremos tiverem cada um x = 112,5m. 4) Ao planejar um restaurante, estima-se que se houver de 40 a 80 lugares, o lucro bruto diário será $16,00 por lugar. Se, contudo, o número de assentos for acima de 80 lugares, o lucro diário por lugar decrescerá de $0,08 vezes o número de lugares acima de 80. Qual deverá ser o número de assentos para que o lucro diário seja máximo? Resolução: Seja: - x o número de lugares; - P(x) o lucro bruto diário ($16,00 por lugar); Quando 40  x  80 , calculamos o lucro da seguinte forma: O lucro por lugar será: $16,00 P(x) é obtido ao multiplicarmos por x pelo lucro por lugar, ou seja: P ( x)  16 x

Quando 80  x  280 , calculamos o lucro da seguinte forma: O lucro por lugar será: 16 – 0,08(x – 80) O lucro será obtido se multiplicarmos por x pelo lucro por lugar, ou seja: P ( x)  [16 - 0,08(x - 80)] x P ( x)  [16 - 0,08x  6,40)] x P ( x)  [2 2,40 - 0,08x] x

P ( x)  22,40 x - 0,08x 2

Logo: 16 x P ( x)   2 22,40 x  0,08 x

se 40  x  80 se 80  x  280

Mesmo que x, por definição, seja um inteiro, para ter uma função contínua, vamos supor que x possa assumir todos os valores reais no intervalo [40, 280].

Calculo II Derivadas e Aplicacoes

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