Práctica No. 1: Implementación desde la consola de Arduino de un control PID digital (en diferencias hacia atrás,numérico,estandar y de velocidad) aplicado a una planta analógica.
Armando Zavala Benítez jMarcos Infante Jacobo
Diseño de Sistemas Mecatrónicos II j Departamento de Mecatrónica
Resumen
En esta práctica realizaremos el control de una planta analógica mediante controladores PID: en diferencias hacia atrás, numérico, de velocidad y tipo estandar programados en la consola Arduino TM , el programa se descargara a la tarjeta ArduinoTM y este será conectado a la planta analógica; para monitorear la repuesta de la planta al controlador se conectara otro ArduinoTM y mediante simulink obtendremos la respuesta del sistema.
1.
Intr Introd oduc ucci ción ón
Gracias a ArduinoTM y su consola de programación muy parecida a lenguaje C nos ayudara a realizar y aprender una nueva forma de aplicar control a nuestros sistemas. Para ello en este caso programaremos en 4 diferentes formas al controlador PID, las cuales son: numérico, diferencias hacia atras(programacion directa), programación estandar y PID de velocidad. Todos estas formas de programar el PID en general son efectivas, salvo que algunas poseen ciertas ventajas que las otras no. Por ejemplo, en el Control de PID en la forma de velocidad no es necesaria la inicializacion cuando se conmuta de operacion manual a automatica. De este modo, si existen cambios subitos grandes(como una entrada escalón) en el punto de ajuste o en el inicio de la puesta en operacion del proceso, el sistema presenta mejores caracteristicas de respuesta que aquel en la forma posicional mostrado en la ecuación 2. Por otro lado, el controlador en programación estandar utiliza el menor numero de retrazos, al contrario de la programacion directa, con lo cual, se puede decir que trabaja en un tiempo mas aproximado al real que el segundo.
1
2.
Objetivo
El objetivo de esta práctica es la de conocer como se realiza la programación de un controlador PID en un lenguaje de programación, que en este caso fué mediante la consola de ArduinoTM , así como tambien conocer las ventajas y desventajas al usar las distintas formas de programación.
3.
Desarrollo y análisis de resultados
La planta a controlar es la que se muestra en la …gura 1, dado que el proposito de esta practica no es el modelar la el sistema, a continuacion se presenta el modelo obtenido en cursos anteriores, el cual queda expresado en la ecuación 1 :
Figura 1: Planta de Ampli…cadores Operacionales que simula el comportamiento de un sistema dinamico.
() =
1 00148 + 02015 + 1
(1)
2
De igual forma en el curso pasado se obtuvieron las ganancias del controlador en tiempo continuo que satisfacieran el comportamiento de nuestra función de transferencia de la planta analógica ( 1), como se sabe el controlador PID en tiempo continuo tiene la siguiente forma:
() = () +
Z
() +
0
Las ganancias obtenidas del controlador PID en tiempo continuo son las siguientes:
( )
= 0525 ( ) = 5 ( ) = 00048 2
(2)
Figura 2: Diagrama a bloques de adquisición con Simulink-Arduino
Dado que los controladores digitales son en tiempo discreto, se necesitan las ganancias del controlador discretizadas, para ello se tienen ecuaciones (3), (4 ) y (5) que relacionan las ganancias continuas con las discretas. Como ya se tienen las ganancias continuas, bastará con vaciarlas en las ecuaciones y así obtener las ganancias discretas. Ademas se necesita un tiempo de muestreo el cual será de 10 milisegundos, i.e. = 10 .
= ¡
=
=
( ) = 05 2
( ) = 0 05 ( ) = 048
(3) (4) (5)
Ya que tenemos las ganancias del controlador PID en tiempo continuo y discreto pasaremos a realizar la programación desde la consola de Arduino. Como se comentó anteriormente para esta práctica necesitaremos 2 tarjetas Arduino, una de ellas fungira el papel de controlador digital, el cual llevara programado el algoritmo del PID, mientras que la otra adquirirá la referencia y la respuesta de la planta para visualizar el comportamiento del sistema. Esta adquisición se realizara con la ayuda de Simulink. La programación de los bloques se muestra en la Figura 2.
3.1.
PID Numerico
Al decir PID Numerico, no solo nos referimos a que el sistema sera digital, sino que la ecuación del PID continuo se aproximara mediante metodos numericos para poder asi llevarlo a un algoritmo programable, es decir mediante la aproximacion de la parte integral la cual se hace por una sumatoria del error y la derivativa por una diferencia de errores sobre un delta de tiempo. Un punto a resaltar en este metodo es que, dado que el PID que se programara es una aproximación de las partes continuas del controlador, sera necesario utilizar las ganancias en tiempo continuo previamente obtenidas. 3
La ecuación que se utilizará para esta programacion será la ec. 6
() = () +
X
() +
=0
µ
¡
¶
(6)
Las aproximaciones de las dos partes(Integral y derivativa) y la forma del control se programaron en la consola Arduino y se muestra en la Figura 3.
Figura 3: PID en forma Numerica Ahora para probar nuestro programa procedemos a conectar nuestra planta con la tarjeta Arduino y metemos una referencia variable para veri…car si nuestro controlador esta funcionando como debe y lleve a nuestro sistema a la referncia. La respuesta de nuestro sistema a una trayectoria dada se muestra en la Figura 4. Otra forma de corroborar que nuestro controlador realmente funciona es aplicar perturbación a nuestra planta y observar como el controlador elimina dicha perturbación. La respuesta a esta perturbación la cual en este caso es negativa se muestra en la Figura 5.
4
RESPUESTA DEL SISTEMA CONTROLADO VIA PID NUMERICO 3.5
TRAYECTORIA RESPUESTA DEL SISTEMA
3 2.5 ] V [
2
e j a t l o V1.5
1 0.5 0 10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Tiempo [s]
Figura 4: Respuesta del sistema a una trayecroria dada.
RESPUESTA DEL SISTEMA A UNA PERTURBACIÓN 3.5 3 2.5 ] v [
2
e j a t l o V1.5
1 PERTURBACION DE -1V 0.5 0
5
10
15
20 Tiempo [s]
25
30
35
Figura 5: Respuesta del sistema con PID numerico ante perturbaciones negativas
5
3.2.
PID Diferencias hacia atras
El PID en diferencias hacia atras resulta de la discretización del PID en forma posicional de la ecuación 2, y su obtención se muestra a continuación.
( )
=
( ) = + + (1 ¡ ¡1) 1 ¡ ( ) 1 ¡
(7)
( + + ) ¡ ( + 2 ) ¡1 + ¡2 1 ¡ ¡1 = ¡1 0 = + + 1 = ¡( + 2 ) 2 = ( ) = 0 ( ) + 1 ¡1 ( ) + 2 ¡2 ( ) ¡ 1 ¡1 ( )
( ) ( ) 1
=
(8)
(9)
Despues de obtener la ecuación 9, se procede a pasarlo en diferencias o retardos, donde ¡1 ( ) = ( ¡ 1) ( ) = 0 () + 1 ( ¡ 1) + 2 ( ¡ 2) ¡ 1 ( ¡ 1)
(10)
Ahora basandonos en la ecuación 10, pasamos a realizar la programación en la consola de Arduino de nuestro controlador PID en diferencias hacia atras, para visualizar así la respuesta de nuestro sistema. La programación se muestra en la Figura 6 .
Figura 6: Algoritmo del PID en diferencias hacia atras
6
Para veri…car la efectividad del controlador se introdujo una trayectoria variable de voltaje a la planta de ampli…cadores, que es la referencia a la cual deseamos llegue la planta analógica. Los resultados medidos desde Simulink se muestran la Figura 7. RESPUESTA DEL SISTEMA A UNA REFERENCIA, CONTROLADA VIA PID EN DIFRENCIAS HACIA ATRÁS REFERENCIA RESPUESTA DEL SISTEMA
4 3.5 3 ] 2.5 V [ e j a t l o V
2
1.5 1 0.5 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Tiempo [s]
Figura 7: Respuesta del sistema con controlador en diferencias hacia atras ante respuesta escalon
Ahora para forzar un poco mas a nuestro controlador aplicamos una perturbación negativa y asi observar si nuestro controlador PID puede eliminarla. El resulatado se muestra en la Figura 8. RESPUESTA DE LA PLANTA ANLÓGICA A PERTURBACIONES NEGATIVAS 3.5
3
2.5 ] V [
2
e j a t l o V1.5
1
PERTURBACION DE -1V
0.5
0
REFERENCIA RESPUESTA DEL SISTEMA 10
15
20
25
30
Tiempo [s]
Figura 8: Respuesta del sistema con controlador en diferencias hacia atras ante perturbaciones negativas
7
3.3.
PID de Velocidad
En este apartado veremos otro método para aplicar un controlador PID a nuestro sistema, el cual tiene por nombre PID de velocidad. Anteriormente se explico sobre sus caracteristicas y ahora nos interesa programarlo desde la consola de Arduino para comprobar su forma de trabajar, para ello necesitamos la ecuación que lo describe, la cual se muestra a continuación:
( )
( ) ( ) ( )
= ¡ ( ) + : : :
( ) ¡ ( ) ¡ (1 ¡ ¡1 ) ( ) 1 ¡ 1 ¡
donde Esfuezo de control Referencia del sistema Salida de la planta
(11) (12)
Posterior a esto, es posible agrupar los terminos de la ecuación 11 para poder programarla en forma de algoritmo computacional, la ecuación a programar es la numero 13, y el codigo utilizado se muestra en la imagen 9.
( )(1 ¡ ¡1 )
= ¡ ( )(1 ¡ ¡1 ) + (( ) ¡ ( )) ¡ (1 ¡ ¡1 )2 ( ) ¡ ¡1 = ¡( + + ) + ( + 2 ) ¡1 ¡ ¡2 + () = ¡( + + ) ( ) + ( + 2 ) ( ¡ 1) ¡ ( ¡ 2) + ( ) + ( ¡ 1) (13)
Figura 9: Algoritmo del PID en forma de velocidad.
8
Una vez programado el arduino, se procedió a realizar la pruebas pertinentes (seguimiento de trayectorias y compensación de perturbaciones), las cuales se muestran en las …guras 10 y 11.
RESPUESTA DE LA PLANTA ANALÓGICA , CONTROLADA VIA PID DE VELOCIDAD 3.5
REFERENCIA RESPUESTA DEL SISTEMA
3
2.5
] 2 V [ e j a t l o V1.5
1
0.5
0
5
10
15
20
25 Tiempo [s]
30
35
40
45
Figura 10: Respuesta del sistema con controlador PID en la forma de velocidad ante una referencia variable
RESPUESTA DE LA PLANTA ANALÓGICA A PERTURBACIONES NEGATIVAS 3.5
3
2.5 ] 2 V [ e j a t l o V1.5
1 PERTURBACION DE -1V 0.5
0
REFERENCIA RESPUESTA DEL SISTEMA 5
10
15
20 Tiempo [s]
25
30
35
Figura 11: Respuesta del sistema con controlador PID en forma de velocidad ante perturbaciones negativas
3.4.
PID en la forma estandar
En este apartado programaremos y observaremos resultados de un controlador PID programado en la forma estandar. Como ya se mencionó anteriormente, la principal diferencia con los anteriores metodos, es que este hace uso del menor numero de retardos posible, que el caso de nuestro sistema son 2. 9
El metodo estandar parte de lo siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
( + + ) ¡ ( + 2 ) ¡1 + ¡2 1 1 1 ¡ ¡1
= ( + + ) ¡ ( + 2 ) ¡1 + ¡2
1 1 ¡ ¡1 ( ) = ( ) ¡ ¡1 ( ) ( ) = ( + + ) ( ) ¡ ( + 2 ) ¡1 ( ) + ¡2 ( )
(14)
=
(15)
(16) (17)
con lo que ya es posible pasar la ecuaciones 16 y 17 a la forma de retardos de muestras como se muestra a continuación. ( )
= ( ) ¡ ( ¡ 1) ( ) = ( + + ) () ¡ ( + 2 ) ( ¡ 1) + ( ¡ 2)
(18) (19)
El algoritmo del PID de en su forma estandar se muestra en la …gura 12, y los resultados experimentales (seguimiento de trayectorias y compensación de perturbaciones) en las …guras 13 y 14.
Figura 12: Programación del PID tipo estandar desde la consola Arduino.
10
RESPUESTA DE LA PLANTA ANALÓGICA,CONTROLADA VIA PID TIPO ESTANDAR 4.5 REFERENCIA RESPUESTA DEL SISTEMA
4 3.5 3 ] V [ 2.5 e j a t l o 2 V
1.5 1 0.5 0
5
10
15
20
25 Tiempo [s]
30
35
40
45
Figura 13: Respuesta del sistema con controlador en forma estadar ante una trayectoria variable.
RESPUESTA DE LA PLANTA ANALÓGICA A PERTURBACIONES NEGATIVAS 3.5
3
2.5 ] 2 V [ e j a t l o V1.5
1
PERTURBACIÓN DE -1V
0.5 REFERENCIA RESPUESTA DEL SISTEMA 0
5
10
15
20
25
30
Tiempo [s]
Figura 14: Respuesta del sistema con controlador en forma estandar ante perturbaciones negativas.
11
4.
Conclusiones generales AUTOR:ARMANDO ZAVALA BENITEZ
Una práctica muy nutritiva en cuanto a conocimientos, con temas nuevos y que ayudan en la experiencia de la Ingenieria de Control que venimos tratando. Observamos los diferentes tipos de programación de PID, que si bien no se ve mucho la diferencia, si nos sirven para diferentes casos de sistemas que queremos controlar, ya que sus caracteristicas se adaptan a casos especi…cos. Tambien interactuamos un poco mas con la consola de Arduino y el uso de dos tarjetas de la misma. En resumen se gano experiencia en el tema de controladores programados. AUTOR:MARCOS INFANTE JACOBO En conclusión se logro el objetivo de controlar la planta de ampli…cadores operacionales en forma experimental y utilizando controladores en tiempo discreto programados haciendo uso del lenguaje de programación que maneja la plataforma de Arduino, asi pues, podria ser programado en cualquier otro tipo de microcontrolador o microprocesador el cual cuente con memoria y recursos su…cientes para el muestreo y salida de la señal. Ademas, fue posible observar las diferentes maneras que hay para programar un Controlador PID Digital, y la efectividad de cada una para controlar el sistema.
5.
Observaciones
Como se podra recordar, la planta presentaba un …ltro RC junto con un transistor en la entrada del sistema para poder convertir la salida PWM del arduino(controlador) a voltaje analogico, esta vez se sustituyó dicho transistor por un seguidor de voltaje (hecho con un apli…cador operacional) a la salida del …ltro RC, para asi eliminar el o¤set que generaba el transistor, que era de aproximadamente 0.7 volts y que no permitia que la respuesta controlada del sistema llegara a cero. Otra observación que si bien se sobreentiende, es el uso de saturadores en los algoritmos de control, los cuales son presentados como condiciones IF{ }Else{} en los cuales se le indica al sistema que el controlador no puede dar una señal mas allá de 5 Volts (PWM de 255 en el sistema de 8 bits), y asi evitar que el sistema de inestabilice o presente eventos extraños.
Referencias [1] OGATA: Sistemas de control en tiempo discreto 2a edición.
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