Colégio Luterano Santíssima Trindade / Joaçaba - SC
Turma: 220 REVISÃO GEOMETRIA ESPACIAL
Profº: Alexandre Veiga
LISTA DE EXERCÍCIOS DE POLIEDROS - GABARITO 1) Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces têm de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos?
Solução. Encontramos o número de vértices pela fórmula da soma dos ângulos das faces: S = (V – 2).360º S (V 2).360º 2880º V 2 V 2 8 10 S 32 ( 90 º ) 2880 º 360 º Utilizando a relação de Euler A + 2 = F + V e, substituindo pelos valores , calculamos o número de vértices. A 15 F 15 2 10 7 V 10 Considerando “x” o número de faces quadrangulares e “y” o de faces pentagonais forma-se
um sistema
onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces. x y 7 x y 7 (4) 4 x 4 y 28 y 2 4 x 5 y 4 x 5 y 30 4 x 5 y 30 15 x 7 2 5 2 2 Logo possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais. 2) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um: a) tetraedro
b) hexaedro
c) octaedro
d) dodecaedro
e) icosaedro
Solução. Em cada caso utiliza-se a fórmula S: (V – 2).360º a) tetraedro possui 4 vértices. Logo, S (V 2).360º S (4 2).360º S 2.(360º ) 720º . b) hexaedro possui 8 vértices. Logo, S (V 2).360º S (8 2).360º S 6.(360º ) 2160º . c) octaedro possui 6 vértices. Logo, S (V 2).360º S (6 2).360º S 4.(360º ) 1440º . d) dodecaedro possui 20 vértices. Logo, S (V 2).360º S (20 2).360º S 18.(360º ) 6480º . e) icosaedro possui 12 vértices. Logo, S (V 2).360º S (12 2).360º S 10.(360º ) 3600º . 3) Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas têm de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?
Solução. Problema semelhante ao número (1). i)
S (V 2).360º 5760º V 2 V 2 16 18 S 64 ( 90 º ) 5760 º 360 º
A 28 F 28 2 18 12 ii) V 18
ii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces heptagonais forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces. x y 12 x y 12 (3) 3 x 3 y 36 4 y 20 y 5 3 x 7 y 3 x 7 y 56 3 x 7 y 56 28 x 12 5 7 2 2 iii) Logo possui 7 faces triangulares e 5 heptagonais. 4) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcule o número de faces, sabendo que é 2/3 do número de arestas?
Solução. Calculando o número de vértices, temos: 720º (V 2).360º V 2
720º 360º
V 2 2 4 .
Pela relação de Euler, A + 2 = V + F. Substituindo pelas informações, vem: V 4 A 6 2 . Logo, F = 4. 2 A 2 4 . A 3 A 6 12 2 A 3 A 2 A 12 6 2 3 F . A F ( 6 ) 4 3 3 5) Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2160°. Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas.
Solução. Problema semelhante ao número (3). S (V 2).360º 2160º V 2 V 2 6 8 i) S 2160 º 360 º
A 15 F 15 2 8 9 ii) V 8
iii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces quadrangulares forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces. x y 9 x y 9 (3) 3 x 3 y 27 y 3 3 x 4 y 3 4 30 3 4 30 x y x y 15 x 9 3 6 2 2 Logo possui 6 faces triangulares e 3 quadrangulares. 6) Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica que resta.
Solução. O poliedro em questão é o dodecaedro. Repare que nas 3 faces retiradas, na verdade, só são suprimidos 1 vértice e as três arestas internas. A superfície poliédrica restante ainda possui os limites com “novas” arestas.
i) O número inicial de faces é 12. O final será 12 – 3 = 9. ii) O número inicial de arestas é dado por: A
nF 2
5(12) 2
30 . O final será 30 – 3 = 27.
ii) O número inicial de vértices é: V A 2 F 30 2 12 20 . O final será 20 – 1 = 19.
7) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos? nF 5(12) 6(20) 90 . Solução. O nº de faces é F = 12 + 20 = 32 faces. Logo o número arestas será A 2
2
O número de vértices é dado por V A 2 F 90 2 32 60 . Logo há 60 átomos ligados entre si por 90 arestas (ligações). 8) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares , 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.
Solução. O número total de faces do poliedro é F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7. Calculando o número de arestas em função das faces, temos: A
nF 2
3(3) 4(1) 5(1) 6(2) 2
30 2
15. Substituindo os valores na relação
de Euler vem: V A 2 F 15 2 7 10 . Logo há 10 vértices. 9) Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro?
Solução. Pelas informações, F = V. Utilizando a relação de Euler, temos: 10 + 2 = 2V. Logo V = 6. Logo o número de faces é o mesmo. Isto é, há 6 faces. 10) Num 10) Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces desse poliedro? A 2 V F V 6 2 V F F 8. Solução. De acordo com as informações, temos: A V 6 11) Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5.
Solução. Considerando o número de faces quadrangulares e “y” o de triangulares concluímos, de acordo com as informações que A = 4x e y = 5. Temos: A 4 y 5(4) 3 y 8 y 20 3 y 5 y 20 y 4 . Logo há 5 + 4 = 9 faces. y 4 2 2 12) Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por 5 ângulos triedros, sete ângulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos.
Solução. Um ângulo triédrico contém um vértice onde concorrem 3 arestas. Da mesma forma o tetraédrico contém um vértice onde concorrem 4 arestas, o mesmo ocorrendo com os pentaédricos (5 arestas) e hexaédricos (6 arestas). De acordo com a expressão para o total de arestas em função do número de arestas que concorrem a um vértice, temos: V 5 7 9 8 29 F A 2 V F 68 2 29 41 nV 5(3) 7(4) 9(5) 8(6) 136 A 68 . 2 2 2 Logo há 29 vértices, 68 arestas e 41 faces. 13) Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais triédricos. Sabendo que o poliedro tem: número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no total 21 faces, calcule o número de vértices do poliedro convexo. convexo.
Solução. Considerando V o número total de vértices e o número de arestas concorrendo a cada vértice, temos: A
nV 2
1(5) 10(4) (V 11)(3) 2
5 40 3V 33 2
3V 12 2
.
Aplicando a relação de Euler sabendo o número de faces e utilizando a expressão do número de arestas, A 2 V F 3V 12 2 V 21 3V 12 4 2V 42 V 42 16 26. vem: F 21 2
14) Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que o número de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro. Solução. Considerando “k” a constante de proporcionalidade, podemos escrever:
- número de faces triangulares = 2k - número de faces quadrangulares = 3k Como cada face triangular possui 3 arestas e cada face quadrangular possui possui 4 arestas, o número total de arestas é A
nF 2
2k (3) 3k (4) 2
6k 12k 2
9k . Aplicando a relação de Euler A + 2 = V + F, vem:
F 2k 3k 5k 9k 5k 18k 4 9k 10k 19k 18k 4 k 4 . Substituindo o 9k 9k 2 2 A 9 k V 2 valor de “k” no número de faces, temos: F = 5(k) = 5(4) = 20.
LISTA DE EXERCÍCIOS: PRISMAS - GABARITO 1) Calcule o volume de um cubo que tem 10cm de aresta.
Solução. O cubo possui todas as dimensões com mesma medida. Seu volume é calculado pela fórmula: V = a3 . Logo V = (10)3 = 1000cm3.
2) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base mede 4cm. Determine sua área lateral.
Solução. A área lateral é a soma das cinco áreas dos retângulos que são as faces laterais. Como a base é regular, todas as arestas possuem a mesma medida. Logo, temos: i) Área de uma face: 4 x 20 = 80cm2 ii) Área lateral: 5 x (80cm2) = 400cm2. 3) Um prisma quadrangular regular tem sua aresta da base medindo 6m. Sabendo que a área lateral do prisma mede 216m², calcule sua altura.
Solução. Se o prisma é regular então suas bases são quadradas. A área lateral é a soma das áreas das quatro faces. Temos: Al 4 (6h) 24h 216 24h 216 h 9m A 216 24 l 4) Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a
1 3
do perímetro da base, calcule sua superfície total.
Solução. No triângulo isósceles a altura também é mediana. i) Pela relação de Pitágoras temos: a 3 2 4 2 25 5cm ii) O perímetro da base vale: 5cm + 5cm + 8cm = 18cm iii) A altura do prisma vale
1 3
(18cm) 6cm
Al (8 6) 2 (5 6) 108cm 2 AT 108 2 12 132cm 2 iv) Área total: 8 3 2 12cm Ab 2 5) Calcule a área total de um prisma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de 6cm de lado.
Solução. A área total de um hexágono regular vale o sêxtuplo da área do triângulo eqüilátero. 62 3 54 3 93,5 Ab 6 AT 2(93,5) 360 547cm2 . Temos: 4 Al 6 (6 10) 360 6) As dimensões a, b e c de um paralelogramo são proporcionais aos números 2,4 e 7. Determine essas dimensões sabendo que a área total desse sólido é de 900cm².
Solução. A área total é calculada como A t = 2 x (ab + ac + bc). Logo, temos: AT 2 [(2k ).(4k ) (2k ).(7k ) (4k ).(7k ) 2 (8k 2 14k 2 28k 2 )] 100k 2 Al 900 k 3 900 100k 2 900 k 2 k 9 100 k 3 (inválida )
Logo, a = 2(3) = 6cm; b = 4(3) = 12cm e c = 7(3) = 21cm. 7) Um armário, com a forma de um paralelepípedo de dimensões 0,5m, 2,5m e 4m, deve ser pintado. O rendimento da tinta empregada é de 5m² por litro. Determine a quantidade de tinta necessária para pintar toda a parte interna do armário. Solução. Calculando a área total, temos: AT 2 [(0,5).(2,5) (0,5).(4) (2,5).(4)] 26,5m 2 . 26,5m 2
2
Logo, empregando 5m por litro, serão gastos
5m 2 / litro
5,3 litros.
8) A garagem subterrânea de um edifício tem 18 boxes retangulares, cada um com 3,5m de largura e 5m de comprimento. O piso da garagem é de concreto e tem 20cm de espessura. Calcule o volume de concreto utilizado para o piso da garagem.
Solução. O piso terá a forma de um paralelepípedo muito fino, já que sua espessura é de 0,20m. Esse piso entrará em cada box. O volume de cada piso é V = (3,5) x (5) x (0,20) = 3,5m 3. O volume total utilizado nos 18 boxes será V = (18) x (3,5) = 63m3. 9) Dispondo-se de uma folha de cartolina, de 70cm de comprimento por 50cm de largura, pode – se construir uma caixa, sem tampa, cortando-se um quadrado de 8cm de lado em cada lado. Determine o volume desta caixa.
Solução. O desenho mostra a parte retirada de cada lado e a caixa construída na forma de um paralelepípedo.
O volume será V = (54) x (34) x (8) = 14688cm 3.
10) Em um paralelepípedo retângulo, de 15 cm de altura o comprimento da base mede o dobro da largura. Sabendo que a área total desse sólido mede 424cm², calcule as dimensões da base.
Solução. Substituindo os valores temos: AT 2 [(2 x).( x) (2 x).(15) ( x).(15)] 2 (2 x 2 30 x 15 x) 4 x 2 90 x Al 424 4 x 2 90 x 424 0 2 x 2 45 x 212 0 x x
45 (45) 2 4(4)(212) 2(2)
45 61 4
x
45 61 4
45 1325 1696 4
45 3721 4
4 ( x 0)
Logo, as dimensões são 4cm e 2 x (4cm) = 8cm. 11) Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo de lados 0,8m por 1,2m e esta parcialmente cheio de água. Um objeto maciço, de formato indeterminado, ao ser mergulhado completamente no tanque, faz o nível da água subir 7,5cm. Determine, em m³, o volume desse objeto.
Solução. Comparando os volumes observamos que o aumento na altura de 7,5cm = 0,075m deve-se ao objeto mergulhado. A diferença entre os volumes antes de após o mergulho refere-se ao volume do objeto. i) Volume inicial: V i (1,2).(0,8).(h) 0,96h ii) Volume final: V f (1,2).(0,8).(h 0,075) 0,96h 0,072 iii) Volume do objeto: V f V i 0,96h 0,072 0,96h 0,072m 3 12) Uma caixa de fósforos tem a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões 4,5cm, 3,2cm e 1,2cm. Na caixa há em média, 40 palitos. a) Qual é, aproximadamente, o volume ocupado por um palito de fósforos? (R: 432mm³) b) Quantos cm² de papel serão serão necessários para forrar forrar todas as faces internas da caixa caixa (sem a tampa)? (R: 32,88 cm²)
Solução. a) O volume da caixa é calculado pelo produto V (4,5)(3,2)(1,2) 17,28cm 3 17280mm3 . Como cabem 40 palitos, cada palito possui V
17280 40
432mm 3 .
b) Forrar a caixa sem a tampa é calcular a área total sem a base superior. Temos: AT (4,5).(3,2) 2 [(4,5).(1,2) (3,2).(1,2)] 32,88cm 2
13) À razão de 25 litros de água por minuto, quanto tempo será necessário para o enchimento de uma piscina de 7m de comprimento, 4m de largura e 1,5m de profundidade? Solução. O volume total da piscina é de V (7)(4)(1,5) 42m 3 42000dm 3 42000(litros ) . Se em 1 minuto
caem 25 litros de água, 42000 litros cairão c airão em t
42000 25
min 28horas 1680 min
14) Uma barra de chocolate tem a forma de um prisma quadrangular reto de 12cm de altura. A base tem a forma de um trapézio isósceles na qual os lados paralelos medem 2,5cm e 1,5cm e os lados não paralelos medem, cada um, 2cm. Qual o volume do chocolate?
Solução. O volume será igual ao produto área da base pela altura. i) Área do trapézio: É necessário calcular a altura do trapézio. Pelo desenho temos: h 2 2 (0,5) 2 4 0,25 1,93 . Logo a área é: Ab
2,5 1,5 2
1,93 3,86cm 2
ii) O volume do chocolate será: V (3,86)(12) 46,32cm 3 15) Calcule o volume de um prisma quadrangular regular de 25cm² de base sabendo que a medida de sua altura é igual igua l ao dobro da medida da aresta da base.
Solução. Se o prisma é quadrangular regular então suas bases são quadradas. Se a área da base vale 25cm 2, então a aresta da base será 5cm. Logo a altura será o dobro. Isto é 10cm. O volume será o produto da área da base pela altura: V = 25 x 10 = 250cm3.
