www.mateinfo.ro
Elemente de analiză Criteriul cleºtelui. Fie (an)matematică , (bn)n , (xn)n ºiruri de numere reale. n Dacã (xn)n este majorat de (b n)n ºi minorat de (an)n ºi dacã j lim an = lim bn = x iZ, atunci lim x n = x .
n→∞
n→∞
n→∞
Operaþii cu ºiruri Fie (an)n ºi (bn)n ºiruri convergente. Atunci: J (an + bn)n este convergent ºi lim ( an + bn ) = lim a n + lim bn . n→∞
n→∞
n→∞
J Dacã α i Z, atunci (α · an)n e convergent ºi lim αa n = α lim a n . n→∞
n→∞
J (anbn)n este convergent ºi lim (an ⋅ bn ) = lim an ⋅ lim bn . n→∞
n→∞
n→∞
lim an a a J Dacã bn ≠ 0 , µ n i q ºi lim bn ≠ 0 , atunci n e convergent ºi lim n = n→∞ . n →∞ n→∞ b lim bn bn n n n→∞
Suma ºirurilor care au limitã Proprietatea cunoscutã: Suma a douã ºiruri convergente este un ºir convergent ºi limita sumei este egalã cu suma limitelor se extinde, în cazul în care unul cel puþin din cele douã ºiruri are limita infinitã, în felul urmãtor: I) Dacã an U α, α i Z ºi bn → +∞, atunci an + bn → +∞. II) Dacã an T α, α i Z ºi bn → ∞, atunci an + bn → ∞. Dacã (an) este convergent sau dacã an → +∞, atunci existã α i Z astfel ca an U α, pentru orice n i q. De asemenea, dacã (an) este convergent, sau dacã an → ∞, existã α i Z astfel ca an T α pentru orice n i q. Din cele douã proprietãþi de mai sus rezultã urmãtoarele patru propoziþii: 1) Dacã an → +∞ ºi bn → +∞, atunci an + bn → +∞. 2) Dacã an → a ºi bn → +∞, atunci an + bn → +∞. 3) Dacã an → a ºi bn → ∞, atunci an + bn → ∞. 4) Dacã an → ∞ ºi bn → ∞, atunci an + bn → ∞. Pentru a putea afirma ºi în aceste cazuri cã limita sumei este egalã cu suma limitelor, convenim ca: ∞+∞=∞ a+∞=∞+a=∞ oricare ar fi a i Z; a + (∞) = ∞ + a = ∞ oricare ar fi a i Z; ∞ + (∞) = ∞. Nu se acordã nici un sens scrierii ∞ ∞. Pentru a putea afirma în general cã limita produsului a douã ºiruri este egalã cu produsul limitelor, convenim cã: ∞ · ∞ = ∞; ∞(∞) = (∞)∞ = ∞; (∞)(∞) = ∞. Nu se acordã nici un sens scrierilor 0 · ∞ sau 0 · (∞). Dacã ºirurile (an) ºi (bn) au limitã (finitã sau infinitã) ºi dacã produsul limitelor are sens, atunci ºirul produs (anbn) are limitã ºi lim(an bn ) = lim an ⋅ lim bn . n →∞
n →∞
n→∞
Cazuri exceptate: lim an = 0 ºi lim bn = +∞ ; lim an = 0 ºi lim bn = −∞ . n →∞
n →∞
n →∞
43
n →∞
Fiecare din aceste douã cazuri va fi denumit mai departe cazul 0 · ∞. Pentru a putea afirma în general cã limita raportului a douã ºiruri este egalã cu a a raportul limitelor, convenim cã: = 0 ºi = 0 , oricare ar fi a i Z. +∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ 0 ±∞ , , , , Nu se acordã nici un sens scrierilor , . ∞ ∞ −∞ −∞ 0 0 Dacã ºirurile (an) ºi (bn) au limitã ºi dacã raportul limitelor are sens, atunci ºirul
an an nlim an = →∞ . b are limitã ºi nlim →∞ bn lim bn n n →∞ Pentru a putea calcula limite de tip lim(an ) bn , µ n i q, convenim cã: n→∞
∞∞ = ∞, ∞∞ = 0, 0∞ = 0. Nu se acordã nici un sens scrierilor: ∞0, 1∞, 00. Limita unui polinom P(n) având gradul k U 1 ∞, ak > 0 l = lim( ak nk + ak −1nk −1 + ... + a1n + a0 ) = . n→∞ −∞, ak < 0 Limita unui raport de polinoame
ak b , k =l l k k −1 a n + ak −1n + ... + a1n + a0 lim k l 0, k
l bl
Limita unui ºir al cãrui termen general conþine puteri a >1 ∞, 1, a =1 lim an = . n →∞ −1< a < 1 0, nu existã, aT − 1 n
1 ªirul en = 1 + , n U 1 este convergent. Limita sa, notatã cu e, aparþine n intervalului (2, 3). an 1 Dacã (an)n este un ºir cu lim an = ∞ , atunci lim 1 + = e . n→∞ n →∞ an 1
Dacã (an)n este un ºir nenul cu lim an = 0 , atunci lim (1 + an ) an = e . n →∞
n →∞
44
Limite de funcþii Punctul a i Z este punct de acumulare la dreapta (la stânga) pentru D ⊆ Z dacã, µ V i V(a), V O D O (a, +∞) @ l (respectiv V O D O (∞, a) @ l). Un punct de acumulare la stânga ºi la dreapta pentru D se numeºte punct de acumulare (bilateral). Fie f : D → Z , a un punct de acumulare al lui D ºi l ∈Z . Funcþia f are limita l în punctul a dacã este îndeplinitã una dintre urmãtoarele condiþii echivalente: 1) (Definiþia cu vecinãtãþi) Pentru orice vecinãtate U a lui l, existã o vecinãtate V a lui a astfel încât, oricare ar fi x i V O D, x ≠ a, sã avem f (x) i U. 2) (Definiþii cu ε ºi δ) În cazul a iZ ºi l = ∞: µ ε i Z, j Ô > 0, µx i D \ {a}, x − a < δ ⇒ f ( x ) > ε . În cazul a = ∞ ºi l iZ: µ ε > 0, j Ô i Z, µx i D \ {a}, x < δ ⇒ f ( x ) − l < ε . În cazul a iZ ºi l iZ: µ ε > 0, j Ô > 0, astfel încât µx i D \ {a} cu x − a < δ , rezultã f ( x ) − l < ε . În cazul a = ∞ ºi l = ∞: µ ε > 0, j Ô > 0, astfel încât µx i D, x > δ, rezultã f (x) > ε. 3) (Definiþia cu ºiruri) µ (an)n, an i D \ {a}, an → a ⇒ f ( an ) → l . Vom scrie lim f ( x ) = l . x →a
Fie f : D → Z o funcþie ºi a un punct de acumulare la stânga pentru D. Spunem cã ls ∈Z este limita la stânga a funcþiei f în punctul a, dacã pentru orice vecinãtate U a lui l, existã o vecinãtate V a lui a astfel încât, oricare ar fi x < a din V O D sã avem f (x) i U. Se folosesc urmãtoarele notaþii: ls = lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( a − 0) . xZa
x→a x
x → a−
Fie f : D → Z o funcþie ºi a un punct de acumulare la dreapta pentru D. Spunem cã ld ∈Z este limita la dreapta a funcþiei f în punctul a, dacã pentru orice vecinãtate U a lui ld, existã o vecinãtate V a lui a, astfel încât, oricare ar fi x > a din V O D, sã avem f (x) i U. Se folosesc urmãtoarele notaþii: ld = lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( a + 0) . x]a
x →a x >a
x →a+
Fie f : D → Z ºi a un punct de acumulare bilateral pentru D. Funcþia f are limitã în a dacã ºi numai dacã f are limitã la dreapta ºi la stânga în a ºi aceste limite sunt egale.
45
Limitele funcþiilor elementare f : Z → Z, f (x) = c, c i Z; lim f ( x ) = c , µ α i Z . x→α
lim f ( x ) = lim x = α = f (α ) , µ α i Z ºi lim x = ∞ ,
f : Z → Z, f (x) = x;
x →α
x →∞
x →α
lim x = −∞ .
x →−∞
lim a x = a α , µ α i Z;
f : Z → (0, +∞), f (x) = ax, a i (0, +∞) \ {1};
lim a x
x →∞
R∞ , dacã a > 1 ºi lim a = RS0 , dacã a > 1 . =S T0 , dacã 0 < a < 1 T∞ , dacã 0 < a < 1 x →α
x
x →−∞
f : Z → [1, 1], f (x) = sinx; lim sin x = sin α , ∀ α ∈Z; nu existã lim sin x ºi x→α
x →∞
lim sin x .
x →−∞
f : Z → [1, 1], f (x) = cosx, lim cos x = cos α , ∀ α ∈Z ; nu existã lim cos x ºi x →∞
x→α
lim cos x .
x → −∞
g
f : Z → 0 , + ∞ , f ( x) = lim f ( x ) = lim x = ¥ ; x ®¥
x ®¥
RSx , dacã x U0 ; T− x , dacã x < 0
lim f ( x ) = lim x = a = f (a ) ; x ®a
x ®a
lim f ( x ) = lim (− x ) = ∞ .
x →−∞
x →−∞
Funcþia putere cu exponent natural: f : Z → Z, f ( x ) = x n , n ∈ q, nU 2 ; lim x n = (lim x )n = α n = f (α ), µ α i Z; lim x n = (lim x )n = ∞ ; x→α
x→α
lim x n = ( lim x )n
x →−∞
x →−∞
R∞ , n par . =S T−∞ , n impar
x →∞
x →∞
Funcþiile radical: f :[0, ∞ ) → [0, ∞ ), f ( x ) = k x , k ∈q, k U 2 , k par;
lim k x = k α , µ α i [0, ∞); lim k x = ¥ . x →α
x ®¥
f : Z → Z, f ( x ) = k x , k ∈ q, k U 2 , k impar;
lim k x = k α , µ α i Z; lim k x = ∞ ; lim x →∞
x →α
k
x →−∞
x = −∞ .
Funcþia logaritmicã: f : [0, + ∞ ) → Z, f ( x ) = log a x , a ∈ (0, + ∞ ) \{1} ; lim log a x = log a α , µ α i (0, +∞); x→α
dacã a > 1, atunci lim log a x = ∞ ºi lim log a x = −∞ ; x →∞
x →0 x >0
dacã 0 < a < 1, atunci lim log a x = −∞ ºi lim log a x = +∞ . x →∞
x →0 x >0
46
Funcþia putere cu exponent real: f : (0, + ∞ ) → (0, + ∞ ), f ( x ) = x a , a ∈Z * . 0, a > 0 ∞ , a > 0 lim f ( x ) = α a = f (α ) ; lim f ( x ) = ; lim f ( x ) = . x →∞ x →α ∞ , a < 0 0, a < 0 x ] 0
{
Funcþia tangentã: f : Z \ k π +
RS T
Pentru α i Z \ kp +
UV W
}
π | k ∈ m → Z , f (x) = tgx. 2
p | k Îm , lim tgx = tgα ; x →α 2
lim π tg x = ∞ ºi lim tg x = −∞ ; nu existã lim tg x ºi lim tg x . π
xZk π+
x] kπ+
2
x →∞
2
x →−∞
Funcþia cotangentã: f : Z \ {k π | k ∈ m} → Z, f ( x ) = ctg x .
"a ÎZ \ {kπ | k i m}, lim ctgx = ctgα ; lim ctgx = −∞ ; lim ctg x = +∞ ; nu existã xZk π
x→α
x ]kπ
lim ctgx ºi lim ctgx .
x →∞
x → −∞
π π Funcþia arcsinus: f :[−1, 1] → − , , f ( x ) = arcsin x . 2 2 lim arcsin x = arcsin α , ∀α ∈[−1 , 1] . x →α
Funcþia arccosinus: f :[−1, 1] → [0, π], f ( x ) = arccos x . lim arccos x = arccos α , ∀α ∈[−1 , 1] . x →α
π π Funcþia arctangentã: f : Z → − , , f ( x ) = arctg x . 2 2 π π µ α i Z, lim arctg x = arctg α ; lim arctg x = , lim arctg x = − . x →α x →∞ 2 x →−∞ 2 Operaþii cu limite de funcþii Fie f, g : D → Z, a punct de acumulare pentru D. Presupunem cã f ºi g au limite în a. 1) Dacã suma limitelor are sens, atunci f + g are limitã în a ºi lim( f ( x ) + g ( x )) = lim f ( x ) + lim g ( x ) . x→a x→a x→ a Propoziþia se pãstreazã pentru p termeni, p i q*. 2) Dacã produsul limitelor are sens, atunci fg are limitã în a ºi lim( f ( x ) ⋅ g ( x )) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) . x→a
x→a
x→ a
Propoziþia se pãstreazã pentru p factori, p i q*, prin urmare lim( f ( x )) p = (lim f ( x )) p . x →a
x →a
În particular, lim αf ( x ) = α lim f ( x ) , α i Z. x →a
x →a
3) Dacã raportul limitelor nu este un caz de nedeterminare, atunci funcþia
f (x) f ( x ) lim = x →a . x →a g ( x ) lim g ( x )
limitã în a ºi lim
x →a
47
f are g
lim g ( x )
4) Dacã f > 0 ºi dacã puterea lim f ( x ) x→a x→a
nu este un caz de nedeterminare, lim g ( x )
x→a atunci funcþia f g are limitã în a ºi lim f ( x) g ( x ) = lim f ( x) x →a x→a
.
Fie douã funcþii u : A → B, f : B → Z. Fie a ∈Z un punct de acumulare al mulþimii A ºi b ∈Z punct de acumulare al mulþimii B. Dacã 1) lim u( x ) = b ºi lim f ( y ) = l ; 2) u( x ) ≠ b pentru x ≠ a , y →b
x→a
atunci funcþia compusã f o u are limitã în punctul a ºi lim f (u( x )) = lim f ( y ) = l . x →a
y →b
Criteriul majorãrii. Fie f, g : D → Z ºi a un punct de acumulare pentru mulþimea D. i) Dacã lim g ( x ) = 0 , ∃l iZ , j V i V(a) cu f ( x ) − l T g ( x ) , ∀x iV ∩ D \ {a} , x→a
atunci ∃ lim f ( x ) = l . x →a
ii) Dacã lim f ( x ) = ∞ ºi j V i V(a), cu f ( x )T g ( x ) , ∀ x ∈ V ∩ D \ {a} , atunci x→a
∃ lim g ( x ) = ∞ . x →a
iii) Dacã lim g ( x ) = −∞ ºi j V i V(a) cu f ( x )T g ( x ) , ∀ x iV ∩ D \ {a} , atunci x →a
∃ lim f ( x ) = −∞ . x →a
Criteriul cleºtelui. Fie f, g, h : D → Z, a un punct de acumulare pentru D ºi V o f ( x )T g ( x )T h ( x ), ∀ x ∈ VI D\{a} vecinãtate a lui a. Dacã , atunci ∃ lim g ( x ) = l . x→a f ( x ) = lim h( x ) = l ∈ Z lim x →a x →a Limitele funcþiilor polinomiale. Fie f : Z → Z, f (x) = anxn + an1xn1 + ... + a1x + a0, ak i Z, k = 0, n , an ≠ 0 (funcþia polinomialã). 1 1 ∞ , dacã an > 0 n J lim f ( x ) = lim x an + an−1 + ... + a0 n = x →∞ x→∞ x x −∞ , dacã an < 0
∞ , dacã n par ºi an > 0 sau n impar ºi an < 0 f (x) = . J xlim →−∞ −∞ , dacã n impar ºi an > 0 sau n par ºi an < 0 Limitele funcþiilor raþionale Fie f1, f2 : Z → Z, f1(x) = anxn + an1xn1 + ... + a0, an @ 0 ºi f2(x) = bmxm + bm1xm1 + ... + b0, bm @ 0. Funcþia f : D → Z, f = D = {x i Z | f2(x) @ 0} se numeºte funcþie raþionalã.
48
f1 , unde f2
∞ , dacã n > m ºi an ⋅ bm > 0 n −∞ , dacã n > m ºi an ⋅ bm < 0 a a y ... a y + + + m− n n 0 n −1 . J lim f ( x ) = lim y = a x →∞ y ]0 bm + bm−1 y + ... + b0 y m n , dacã n = m b m 0, dacã n < m Asemãnãtor se procedeazã pentru lim f ( x ) . 1 y= x
x →−∞
J Fie a i Z cu proprietatea f1(a) = f2(a) = 0. Atunci existã g1, g2 : Z → Z, g1(a) @ 0 ºi g2(a) @ 0 ºi i, j i q* astfel încât f1(x) = (x a)ig1(x) ºi f2(x) = (x a)jg2(x). Astfel g (a) lim f ( x ) = 1 ⋅ lim( x − a)i − j . x →a g 2 (a) x → a Nedeterminãrile care apar în studiul limitelor funcþiilor iraþionale se înlãturã, de regulã, folosind factorul comun forþat sau raþionalizarea. Limita funcþiilor de forma f ( x ) g ( x ) Fie f : D → (0, +∞), g : D → Z, a iD′ , lim f (x) = l1 , lim g(x) = l2 . x→a
x→a
Dacã ∃ lim g ( x ) ln f ( x ) = b ºi ∃V ∈V (a) astfel încât x →a
µ
x i V O D \ {a}, g(x)lnf (x) @ b, atunci lim f ( x ) g ( x ) x →a
b
lim g ( x ) f ( x )−1
lim f ( x ) g ( x ) = e x→a x→a
g
e b , dacã b ∈ Z = ∞ , dacã b = ∞ . 0, dacã b = −∞
.
Funcþii continue Fie D ⊂ Z, f : D→ Z o funcþie numericã ºi a i D. Dacã a este punct izolat al domeniului D, funcþia se numeºte continuã în a. Dacã a este punct de acumulare al domeniului D, funcþia f se numeºte continuã în a, dacã pentru orice ºir (an) cu termeni din D, convergent la a, ºirul ( f (an))n este convergent la f (a). Dacã a este punct de acumulare pentru D, continuitatea lui f în a este echivalentã cu oricare dintre urmãtoarele propoziþii: 1) j lim f ( x ) = f (a) ; x →a
2) Pentru orice ε > 0, existã δε > 0, µ x i E, x − a < δε ± f ( x ) − f (a) < ε . a se numeºte punct de discontinuitate dacã f nu e continuã în a. Punctele de discontinuitate ale unei funcþii f se împart în douã categorii (speþe): J a se numeºte punct de discontinuitate de prima speþã al funcþiei f dacã limitele laterale ale funcþiei f în punctul a existã ºi sunt ambele finite. J a se numeºte punct de discontinuitate de speþa a doua dacã nu este punct de discontinuitate de prima speþã. 49
Spunem cã o funcþie f este continuã pe o submulþime a domeniului, dacã este continuã în fiecare punct al acesteia. Mulþimea punctelor din domeniul de definiþie pe care o funcþie este continuã se numeºte domeniul de continuitate al funcþiei. Funcþiile elementare sunt funcþii continue pe întreg domeniul lor de definiþie. Dacã funcþiile f, g : D → Z (D _ Z) sunt continue în punctul a i D, atunci funcþiile af + bg (cu a, b i Z) ºi f · g sunt continue în a. Dacã, în plus, g(a) @ 0, atunci existã f V ∈V (a) astfel încât g ( x ) ≠ 0, ∀x ∈V I D ºi este continuã în a. g Fie f : E1 → E2 ºi g: E2 → Z (E1, E2 _ Z) ºi h = g o f :E1 → Z funcþia compusã. Dacã f este continuã în a i E1 ºi g este continuã în f (a) i E2, atunci h este continuã în a. Teorema de mãrginire a lui Weierstrass Dacã f : [a, b] → Z este o funcþie continuã, atunci: 1) f este mãrginitã; 2) f îºi atinge marginile, adicã j α, β i [a, b] cu f (α) = min f ( x ) ºi f (β) = max f ( x ). x∈[a , b]
x ∈[a , b]
Dacã f : [a, b] → Z este funcþie continuã ºi f (a) ºi f (b) au semne contrare, atunci existã c i [a, b] astfel încât f (c) = 0. Dacã o funcþie continuã nu se anuleazã pe un interval, atunci funcþia pãstreazã acelaºi semn pe acel interval. Fie f o funcþie continuã pe intervalul I ºi J = f (I). Funcþia f : I → J este bijectivã dacã ºi numai dacã f este strict monotonã ºi, în acest caz, funcþia inversã f 1 : J → I este continuã ºi strict monotonã. Dacã f :[a ; b ) → Z , b i Z ºi existã lim f ( x ) = l ∈ Z , atunci funcþia g :[ a ; b] → Z , xZ b
f ( x ), x ∈ [a ; b) g (x) = se numeºte prelungirea prin continuitate a lui f la [a; b]. x=b l ,
Funcþii derivabile Fie D _ Z, f : D → Z o funcþie ºi a un punct de acumulare din D. Se numeºte
f ( x ) − f ( a) , în cazul în care aceastã limitã existã (finitã x→a x−a f ( x ) − f (a) . Spunem cã funcþia f este sau infinitã). În acest caz, notãm: f ′(a) = lim x →a x−a derivabilã în a dacã, în plus, f ′(a) i Z. derivata funcþiei f în a, lim
Considerãm funcþia f : D → Z . Mulþimea punctelor în care funcþia f este derivabilã se numeºte domeniul de derivabilitate al funcþiei.
50
Fie f : D → Z o funcþie ºi a un punct de acumulare din D; atunci urmãtoarele afirmaþii sunt echivalente: f ( x ) − f (a ) = f ′(a) ∈ Z . 1) ∃ lim x →a x−a f ( xn ) − f ( a ) 2) µ (xn)n ⊂ D \ {a}, lim xn = a ⇒ lim = f ′(a) . →∞ n n→∞ xn − a Fie f : D → Z o funcþie derivabilã pe submulþimea S a lui D. Se numeºte derivata funcþiei f funcþia care asociazã a i S cu f ′(a) i Z. df sau cu Df. Derivata unei funcþii f pe domeniul de derivabilitate se noteazã cu f ′ sau dx Derivate laterale Fie f : D → Z ºi a i D. Spunem cã f are derivatã la stânga în a, dacã a este punct de acumulare al f ( x ) − f ( a) = f s′(a) ∈ Z . mulþimii D O (∞, a) ºi existã lim xZa x−a Spunem cã f are derivatã la dreapta în a, dacã a este punct de acumulare al f ( x ) − f ( a) = f d′ (a) ∈ Z . mulþimii D O (a, ∞) ºi existã lim x] a x−a Fie I _ Z un interval, o funcþie f : I → Z ºi a i I un punct interior al lui I. Atunci f are derivatã în a dacã ºi numai dacã are derivate laterale egale în a. În acest caz, f ′(a) = f s′(a) = f d′(a) . Operaþii cu funcþii derivabile Fie funcþiile f, g : D → Z derivabile în a. J Funcþia f + g este derivabilã în a ºi ( f + g )′( a) = f ′( a) + g ′( a ) . J Funcþia c · f este derivabilã în a ºi (c ⋅ f )′(a) = c ⋅ f ′(a) . J Funcþia f E g : D « Z este derivabilã în a ºi (f E g)′(a) = f ′(a)E g(a) + f (a)E g′(a). f f ′(a) ⋅ g (a) − f (a) ⋅ g ′(a) f ′ este derivabilã în x0 ºi (a) = . J Dacã g(a) @ 0, funcþia g g g 2 (a) J Se considerã funcþiile f : D → E, g : E → Z, a punct de acumulare din D, y0 = f ( a) punct de acumulare din E. Dacã f este derivabilã în a ºi g este derivabilã în y0, atunci funcþia g o f :D → Z este derivabilã în a ºi ( g o f )′( a) = g ′( f (a)) ⋅ f ′(a) . Derivabilitatea funcþiei inverse Fie I , J ⊂ Z douã intervale ºi f : I → J o funcþie strict monotonã cu f (I) = J. Dacã f este derivabilã în a i I ºi f ′(a) ≠ 0 , atunci funcþia inversã f −1 : J → I este 1 derivabilã în y0 = f (a) ºi ( f −1 )′( y0 ) = . f ′(a) Fie f : D → Z o funcþie ºi a un punct de acumulare din D. Funcþia f este derivabilã de douã ori în a dacã: 51
1) f este derivabilã pe o vecinãtate V a lui a. 2) funcþia derivatã f ′ este derivabilã în a, adicã existã lim x →a
f ′( x ) − f ′(a) ºi este finitã. x−a
d 2 f ( a) sau D 2 f (a) ) ºi se numeºte 2 dx derivata a doua (sau derivata de ordinul 2) a funcþiei f în punctul a. În acest caz, limita se noteazã cu f ′′( a) (sau
Funcþia f : D → Z este de (n + 1) ori derivabilã în a, dacã: 1) f este de n ori derivabilã pe o vecinãtate a lui a; 2) funcþia derivatã f este finitã.
(n)
este derivabilã în a, adicã existã lim x →a
f ( n ) ( x ) − f ( n ) ( a) ºi x−a
d n+1 f (a) sau D n +1 f ( a) ) ºi se dx n +1 numeºte derivata de ordin (n + 1) a funcþiei f în punctul a. Prin convenþie, f (0) = f. În acest caz, limita se noteazã cu f ( n+1) (a) (sau
O funcþie f : D → Z este indefinit derivabilã pe D dacã, µ n i q, f este derivabilã de n ori în orice punct al lui D. Regula lui Leibniz. Fiind date funcþiile f , g : D → Z de n ori derivabile, n
( fg )( n ) = ∑ Cnk f ( n− k ) g ( k ) . k =0
Diferenþiala Fie I _ Z un interval ºi x0 i I. Funcþia f : I → Z este diferenþiabilã în x0 dacã existã A i Z ºi α: I → Z o funcþie continuã ºi nulã în x0 (adicã lim α ( x ) = α ( x0 ) = 0 ) astfel încât: x → x0
f (x) f (x0) = A(x x0) + α(x)(x x0), µ x i I. Cu notaþiile anterioare, funcþia liniarã h a A · h, µ h i Z se numeºte diferenþiala funcþiei f în punctul x0 ºi se noteazã df (x0). Dacã f este diferenþiabilã în x0, atunci df (x0) : Z → Z, df ( x0 )( h) = f ′( x0 ) ⋅ h, µ h i Z. O funcþie f : I → Z este diferenþiabilã pe I dacã este diferenþiabilã în orice punct din I. Proprietãþi generale ale funcþiilor derivabile Fie f : D → Z o funcþie; a i D se numeºte punct de minim absolut (sau global) al funcþiei f dacã: f (a) T f (x), µ x i D. a i D se numeºte punct de maxim absolut (sau global) al funcþiei f dacã: f (x) T f (a), µ x i D. Fie f : I → Z o funcþie ºi a i I. a se numeºte punct de maxim relativ (sau local) al funcþiei f, dacã existã o vecinãtate V a lui a astfel încât f (x) T f (a), µ x i V O I; f (a) se numeºte maxim relativ al funcþiei.
52
x0 se numeºte punct de minim relativ (sau local) al funcþiei f, dacã existã V o vecinãtate a lui x0 astfel încât f (x0) T f (x), µ x i V O I; f (x0) se numeºte minim relativ al funcþiei. x0 i I este punct de extrem relativ (sau local) al lui f dacã este punct de minim sau de maxim relativ (sau local). Teorema lui Fermat. Fie I ⊂ Z un interval ºi f : I → Z o funcþie derivabilã într-un punct de extrem local x0 din interiorul intervalului I (x0 i I ºi nu este capãt al intervalului); atunci f ′(x0) = 0. Teorema lui Rolle. Fie f : [a, b] → Z o funcþie cu urmãtoarele proprietãþi: 1) f este continuã pe [a, b]. 2) f este derivabilã pe (a, b) 3) f (a) = f (b). Atunci jc i (a, b) astfel încât f ′ ( c ) = 0 . Teorema lui Lagrange. Fie f : [a, b] → Z o funcþie cu proprietãþile: 1) f continuã pe [a, b]; 2) f derivabilã pe (a, b). f ( b) − f ( a) = f ′(c ) . Atunci existã c i (a, b) astfel încât b−a Teorema lui Cauchy. Dacã funcþiile f, g : [a, b] → Z îndeplinesc condiþiile: 1) f ºi g sunt continue pe intervalul închis [a, b] ; 2) f ºi g sunt derivabile pe intervalul deschis (a, b) ; 3) g ′( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ( a , b) ; f (b) − f (a) f ′(c ) = . atunci g(a) @ g(b) ºi existã c i (a, b) astfel încât g (b) − g (a) g ′(c ) Teorema lHospital. Fie a , b ∈ Z , a < b ºi I ⊂ Z un interval cu (a , b) ⊂ I ⊂ [a , b] . Dacã x0 i [a, b] ºi f, g : I \ {x0} → Z sunt funcþii cu proprietãþile: 1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 (respectiv lim g ( x ) = +∞) ; x → x0
x → x0
x → x0
2) f ºi g sunt derivabile ºi g ′( x ) ≠ 0, ∀x ∈ I \{ x0 } ; f ′( x ) ∈ Z finitã sau infinitã; 3) existã lim x → x0 g ′( x ) atunci existã o vecinãtate V a lui x0, astfel încât g(x) @ 0, µ x i I O V \ {x0}) ºi existã f (x) f ′( x ) = lim lim . x → x0 g ( x ) x → x0 g ′( x ) Consecinþã a teoremei lui Lagrange. Fie f : I → Z o funcþie derivabilã pe intervalul I. a) Dacã f ′(x) > 0, µ x i I, atunci f este strict crescãtoare pe I. b) Dacã f ′(x) < 0, µ x i I, atunci f este strict descrescãtoare pe I. 53
Convexitate Fie funcþia f : I → Z, unde I ⊂ Z este un interval. Funcþia f se numeºte convexã pe I, dacã µ x1, x2 i I ºi µ λ i [0, 1] f ((1 λ)x1 + λx2) T (1 λ)f (x1) + λEf (x2). Funcþia f se numeºte concavã pe I dacã, µ x1, x2 i I ºi µ λ i [0, 1] f ((1 λ)x1 + λx2) U (1 λ)f (x1) + λEf (x2) Fie x0 punct interior intervalului I. Spunem cã x0 este punct de inflexiune al funcþiei f dacã f are derivatã în x0 (finitã sau infinitã) ºi dacã pe o vecinãtate a lui x0, funcþia îºi schimbã convexitatea în x0, adicã, de o parte a lui x0 funcþia este convexã, iar de cealaltã parte a lui x0 funcþia este concavã. Asimptote Fie D _ Z ºi x0 i Z un punct de acumulare al lui D; fie f : D « Z o funcþie. Dreapta de ecuaþie x = x0 este asimptota verticalã la graficul funcþiei f, dacã cel puþin una dintre limitele laterale: lim f ( x ) sau lim f ( x ) existã ºi este infinitã. x Z x0
x ] x0
Fie o funcþie f : D « Z. Dacã D este o mulþime nemãrginitã la dreapta (∞ este punct de acumulare al mulþimii D), atunci dreapta de ecuaþie y = mx + n este asimptotã oblicã spre +∞ a graficului dacã lim [ f ( x ) − mx − n] = 0 , m, n ∈Z fixate. x →+∞
Dacã D este o mulþime nemãrginitã la stânga (∞ este punct de acumulare al mulþimii D), atunci dreapta de ecuaþie y = m′x + n′ este asimptotã oblicã spre ∞ a graficului dacã lim [ f ( x ) − m′x − n′] = 0 , m′, n′ ∈Z fixate. x →−∞
Dreapta de ecuaþie y = a este asimptotã orizontalã spre ±∞ la graficul funcþiei f dacã existã lim f ( x ) ºi este egalã cu a. x →±∞
54
