Analiza-Matematica-2-Costache-Luminita.pdf

˘ MATEMATICA ˘ 2 CURS DE ANALIZ A TANIA-LUMINIT ¸ A COSTACHE

2 *

Prefat¸˘ a Lucrarea este recomandat˘a student¸ilor anilor ˆıntˆ ai ai Facult˘a¸t ii de Electronic˘a , Telecomunicat¸ii ¸si Tehnologia Informat¸iei din Universitatea Politehnic˘a Bucure¸sti. Cartea este structurat˘a ˆın unsprezece capitole cont¸inˆ and o parte teoretic˘a ˆın care sunt prezentate not¸iunile fundamentale ¸si demonstrate principalele rezultate conform programei cursului de Analiz˘a Matematic˘a 2, precum ¸si numeroase exemple ce ajut˘a la o fixare mai bun˘a a cuno¸stint¸elor.

3

4 *

Cuprins Prefat ¸˘ a

3

1 Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinulˆıntˆ ai 9 1.1 Ecuat¸ii cu variabile separabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Ecuat¸ii diferent¸iale omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul ˆıntˆ ai . . . . . . . . . . . 13 1.4 Ecuat¸ii diferent¸iale reductibile la ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul ˆıntˆ ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Ecuat¸ii Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.2 Ecuat¸ii Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Ecuat¸ii cu diferent¸ial˘ a exact˘a . Factor integrant . . . . . . . . 18 1.6 Ecuat¸ii diferent¸iale pentru care solut¸iile sunt date parametric 21 1.6.1 Ecuat¸ii Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6.2 Ecuat¸ii Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 . . . . . . . . . . . 24 1.6.3 Ecuat¸ii de forma x = f (y  ), f 1 . . . . . . . . . . . 24 1.6.4 Ecuat¸ii de forma y = f (y  ), f 1 1.6.5 Ecuat¸ii de forma y = f (x, y  ), f . . . . . . . . . 25 1 . . . . . . . . . 25 1.6.6 Ecuat¸ii de forma x = f (y, y  ), f

∈C ∈C ∈C ∈C

2 Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale 2.1 Sisteme diferent¸iale liniare cu coeficient¸i variabili . . . . . . . 2.2 Sisteme diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i . . . . . . 2.3 Stabilitatea solut¸iilor sistemelor diferent¸iale . . . . . . . . . .

27 28 32 37

3 Ecuat¸ii diferent¸iale de ordin superior 40 3.1 Ecuat¸ii diferent¸iale de ordin n rezolvabile prin cuadraturi . . 41 0 (I ), n > 1 . . . 41 3.1.1 Ecuat¸ii de forma y (n) = f (x), f 3.1.2 Ecuat¸ii de forma f (x, y (n) ) = 0 . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.3 Ecuat¸ii diferent¸iale de forma f (y (n−1) , y (n) ) = 0 . . . . 42 3.1.4 Ecuat¸ii diferent¸iale de forma f (y (n−2) , y (n) ) = 0 . . . . 43 3.1.5 Ecuat¸ii diferent¸iale de forma f (x, y (k) ,...,y (n) ) = 0 . . 44 3.1.6 Ecuat¸ii diferent¸iale de forma f (y  , y  ,...,y (n) ) = 0 (ce nu cont¸in pe y) . . . . . . . . ......... . . . . . 45

∈C

5

6

CUPRINS

Ecuat¸ii diferent¸iale de forma f (y, y  , y  ,...,y (n) ) = 0 (ce nu cont¸in pe x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.8 Ecuat¸ii de forma f (x,y,y  ,...,y (n) ) = 0, omogene ˆın y, y  ,...,y (n) . . . . . . . . . ......... . . . . . 46 3.2 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.7

3.2.1

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n cu coeficient¸i variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Aplicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 60 3.3.1 Ecuat¸ii Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2 Metoda elimin˘arii p entru sisteme diferent¸iale liniare . 61

4 Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul ˆıntˆ ai 64 4.1 Integrale prime pentru sisteme diferent¸iale . . . . . . . . . . . 64 4.2 Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul ˆıntˆ ai . . . . . . . . . . 66 5 Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul doi 72 5.1 Clasificarea si aducerea la forma canonic˘a a ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de ordinul doi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.2 Problema luid’Alembert Cau chy asupra zolvare a lui . . . coardei . . . . . infinite. . . . . . . Metoda . . . . . de . .re-77 5.3 Problema lui Cauchy asupra coardei finite. Metoda separ˘arii variabilelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4 Rezolvarea problemei Dirichlet pentru discul unitate . . . . . 88 5.5 Rezolvarea problemei lui Neumann pentru disc . . . . . . . . 91 5.6 Ecuat¸ia c˘aldurii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6 Funct¸iicomplexe 104 6.1 Funct¸ii olomorfe. Condit¸iile Cauchy-Riemann. Funct¸ii elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.2 Integrala complex˘a . Teorema lui Cauchy. Formula integrala Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 16 6.3 Funct¸ii analitice complexe . Dezvolt˘ari ˆın serie Laurent . . . . 121 6.4 Puncte singulare. Rez iduuri. Teorema reziduurilor . . . . . . 127 6.5 Calculul unor integrale reale folosind teorema reziduurilor . . 134 7 Serii Fourier. Integrala Fourier 139 7.1 Serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.2 Integrala Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 0

8 TransformareaFourier 164 8.1 Transformarea Fourier a funct¸iilor integrabile pe IR . . . . . . 164 8.2 Propriet˘a¸tile transform˘arii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 165

7

CUPRINS

8.3 Distribut¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.4 Transformarea Fourier a distribut¸iilor . . . . . . . . . . . . . 17 5

9 TransformataLaplace 178 9.1 Definit¸ie ¸si formule de inversare . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 9.2 Propriet˘a¸t iile transform˘arii Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 181 10TransformareaZ

189

11 Funct ¸iispeciale 195 11.1 Polinoame ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 11.1.1 Funct¸ii ¸si polinoame ortogonale . . . . . . . . . . . . . 195 11.1.2 Polinoamele lui Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 196 11.1.3 Polinoamele lui Cebˆı¸sev . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 11.1.4 Polinoamele lui Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 11.2 Funct¸iile lui Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 11.2.1 Ecuat¸ia lui Bessel. Funct¸iile lui Bessel de prima spet¸˘ a ¸si de spet¸a a doua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 11.2.2 Relat¸ii de recurent¸˘ a ................. . . 2 13 11.2.3 Reprezent˘ari integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.2.4 Funct¸iile lui Bessel modificate . . . . . . . . . . . . . . 218 Bibliografie

224

8

CUPRINS

*

Capitolul 1

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul ˆıntˆ ai Definit ¸ia 1.1. Fie D IR2 un domeniu (o mult¸ime deschis˘a ¸si conex˘ a ). Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a scris˘a sub forma normal˘ a definit˘a ˆın D este

⊂

y  = f (x, y), f

∈ C 0(D). ⊂

Definit ¸ie a acestei ecuat¸ii pe intervalul I IR este o funct ¸ie 1 ¸ia 1.2. Solut g (I ) astfel ˆıncˆ at g  (x) = f (x, g(x)), x I . 2 Curba din IR definit˘a prin ecuat¸ia y = g(x) se nume¸ste curb˘ a integral˘ a a ecuat¸iei date, iar graficul ei se mai nume¸ste traiectorie (sau orbit˘ a ). Teoria ecuat¸iilor diferent¸iale se ocup˘a cu g˘asirea solut¸iilor acestora, precum ¸si cu studiul propriet˘ a¸t ilor acestor solut¸ii; procesul prin care se deduc solut¸iile unei ecuat¸ii diferent¸iale se nume¸ste integrare. Definit ¸ia 1.3. Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei diferent¸iale y  = f (x, y) este o solut¸ie ce depinde de un parametru real arbitrar c Ic IR, Ic fiind un interval sau o mult¸ime oarecare. Solut¸ia general˘a se va putea scrie sub una din formele : y = g(x, c), x = h(y, c), G(x,y,c ) = 0.

∈C

∈

∈ ⊂

Definit ¸ia 1.4. Solut¸ia particular˘ a a ecuat¸iei diferent¸iale y  = f (x, y) este orice solut¸ie obt¸inut˘ a din solut¸ia ei general˘a G(x,y,c ) = 0, dând lui c o valoare oarecare din Ic , iar dac˘a o solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale ˆın cauz˘ a nu se poate obt¸ine prin particularizarea lui c din solut¸ia general˘a , atunci aceast˘a solut¸ie se va numi singular˘ a . In aplicat¸ii se cer uneori solut¸ii care trebuie s˘a verifice anumite condit¸ii suplimentare. Prin rezolvarea problemei Cauchy y(x0 ) = y 0 , (x0 , y0 ) D 0 (D) se ˆ pentru ecuat¸ia diferent¸ial˘ a y  = f (x, y), f ınt¸elege determinarea solut¸iei y = g(x) cu proprietatea g(x0 ) = y 0 . Din punc t de vedere geometric aceasta revine la determinarea traiectoriei ecuat ¸iei date care trece prin punctul (x0 , y0 ).

∈C

9

∈

10

ˆ CAPITOLUL 1. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE DE ORDINUL ÎNTAI

Definit ¸ia 1.5. Dac˘a solut¸ia general˘a a ecuat¸iei diferent¸iale y  = f (x, y) se poate calcula cu ajutorul primitivelor funct ¸iilor elementare, atunci aceast˘a ecuat¸ie diferent¸ial˘ a se nume¸ste integrabil˘ a prin cvadraturi.

1.1

Ecuat¸ii cu variabile separabile

Definit ¸ia 1.6. Se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ial˘ a cu variabile separabile o ecuat¸ie de forma y  = f (x)g(y) (1.1) sau X (x)Y (y)dx + X1 (x)Y1 (y)dy = 0,

(1.2)

unde funct¸iile f , g,X , X1 ,Y,Y 1 sunt date , iar funct¸ia necunoscut˘a este y de clas˘a 1 . Pentru valori ale lui y pentru care g(y) = 0, ecuat¸ia cu variabile separabile poate fi scris˘ a astfel dy = f (x)dx. g(y)

C



Integrˆ and ambii membri ai acestei egalit˘at¸i se obt¸ine



dy = g(y)



f (x)dx + c, c

∈ IR

care este o familie de curbe ce depinde de constanta arbitrar˘ a c, familie ce se nume¸ste solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei (1.1). Analog la ecuat¸ia (1.2) ˆın domeniul ˆın care X1 (x)Y (y) = 0, integrând termen cu termen se obt¸ine





X (x) dx + X1 (x)



Y1 (y) dy = c, c Y (y)

∈ IR

ceea reprezint˘a solut¸ia general˘a a ecuat¸iei (1.2). Dac˘a pentru o valoare y = y 0 avem g(y0 ) = 0, atunci funct¸ia constant˘a y = y0 este o solut¸ie a ecuat¸iei (1.1), fapt ce se poate verifica direct ˆın ecuat¸ia (1.1). De asemenea, dac˘a a este o r˘ad˘acin˘a a ecuat¸iei X1 (x) = 0 ¸si b a ecuat¸iei Y 1 (y) = 0, atunci dreptele x = a, y = b sunt curbe integrale ale ecuat¸iei (1.2). Aceste solut¸ii se numesc solut¸ii singulare ale ecuat¸iei cu variabile separabile. Observat ¸ia 1.1. Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a de forma y  = f (ax+by +c),a,b,c IR, b = 0 se reduce la o ecuat ¸ie cu variabile separabile prin substitut ¸ia u = ax + by + c. Exemplul 1.1. (1 + y 2 ) + xyy  = 0, x0 = 1, y0 = 0



∈

11

1.2. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE OMOGENE

Demonstrat¸ie. Imp˘art¸ind cu x(1+y 2 ), ˆın ipoteza x = 0, g˘asim De aici rezult˘a solut¸ia general˘a



ydy dx x + 1+y 2

= 0.

2 ln x + ln(1 + y 2 ) = c1 sau x2 (1 + y 2 ) = c, c > 0.

||

Scriind c˘a x 0 = 1, y0 = 0 verific˘a solut¸ia general˘a , deducem c = 1 ¸si solut¸ia problemei Cauchy este x 2 (1 + y 2 ) = 1. Exemplul 1.2. y  = 1 + x1 y21+2

−

− x(y 1+2) 2

Demonstrat¸ie. Grup˘am termenii convenabil ¸si scriem y  = (1 + Rezult˘a

y 2 +1 y 2 +2 dy

1 y 2 +1 x ) y 2 +2 .

= (1 + x1 )dx. Prin integrare obt¸inem solut¸ia general˘a

||

y + arctg y = ln x + x + c.

1.2

Ecuat¸ii diferent¸iale omogene

Definit ¸ia 1.7. Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

⊂

2

→

P, Q : D IR IR fiind date se nume¸ste omogen˘ a dac˘a funct¸iile P ¸si Q sunt funct¸ii omogene de acela¸si grad de omogenitate. O ecuat¸ie diferent¸ial˘ a omogen˘a poate fi scris˘a ˆıntotdeauna sub forma y y  = f ( ), x = 0. (1.3) x



Prin substitut¸ia z(x) = y(x) a , x , unde z(x) este noua funct ¸ie necunoscut˘ ecuat¸ia (1.3) se reduce la urm˘atoarea ecuat¸ie cu variabile separabile : xz  = f (z)

−z

care se va rezolva ca ˆın Sect¸iunea 1.1. Observat ¸ia 1.2. Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a y = f



ax + by + c a1 x + b 1 y + c1



,a,b,c,a

1 , b1 , c1

∈ IR

se poate transforma printr-o schimbare de variabil˘a ˆıntr-o ecuat¸ie omogen˘a 1) Dac˘a aa1 = bb1 , facem schimbarea de variabile x = u + x0 , y = v + y0 , unde ax0 + by0 + c = 0, a1 x0 + b1 y0 + c1 = 0. 2) Dac˘a aa1 = bb1 , facem schimbarea de funct¸ie u(x) = a 1 x + b1 y(x), u(x) fiind noua funct¸ie necunoscut˘a . Unele ecuat¸ii diferent¸iale neomogene devin omogene dac˘a facem substitut¸iile x = u r , y = v s cu r ¸si s convenabil ale¸si. 2 +x2 Exemplul 1.3. y  = y xy , x0 = 1, y0 = 0



−

12


Demonstrat¸ie. Facem schimbarea z(x) = y(x) si obt¸inem z  x + z = z1 + z. x ¸ dz 1 2 Rezult˘ a dx x = z . Separând obt¸inem zdz = dx x . Deci z = 2ln x + c, respectiv y 2 = 2x2 ln x + cx2 . Pentru condit¸iile init¸iale g˘asim c = 0. Deci solut¸ia problemei Cauchy este y 2 = 2x2 ln x .

||

||

||

√ − x)dy = 0

Exemplul 1.4. ydx + (2 xy

Demonstrat¸ie. Cu schimbarea de funct¸ie z (x) =

y(x) x

obt¸inem

√ z + (2 z − 1)(z  x + z) = 0. Desfacem parantezele ¸si ˆımp˘ art¸im prin z s¸i ecuat¸ia devine dz dx Separˆ and variabilele obt¸inem

−  −  1 z

2z 2

1

1 z

1 3 2z 2

3

=

− x1 .

dz =

− dxx . Deci

| | √1z = − ln |x| + c.

ln z +

  y x

+

x y



x y

− ln |x| + c echivalent cu ye = c, xy ≥ 0. Exemplul 1.5. (3x − 7y − 3)y  + 7x − 3y − 7 = 0 Demonstrat¸ie. Dreptele de ecuat¸ii 3x − 7y − 3 = 0 ¸si 7x − 3y − 7 = 0 sunt concurente ˆın punctul x0 = 1, y0 = 0. Facem translat¸ia x = u + 1, y = v ¸si ecuat¸ia diferent¸ial˘ a devine (3 u − 7v)v  + 7u − 3v = 0. Noua ecuat¸ie este omogen˘a ¸si facem schimbarea de funct¸ie z(u) = v(u) ¸inˆ and o ecuat¸ie u obt cu variabile separabile a c˘arei solut¸ie general˘a este ( z − 1)2 (z + 1)5 u7 = c echivalent cu (v − u)2 (v + u)5 = c sau ( y − x − 1)2 (y + x − 1)5 = c. R˘ad˘acinilor z = 1 ¸si z = −1 ale funct¸iei f (z) − z le corespund solut¸iile particulare y = x − 1 ¸si y = −x + 1. Exemplul 1.6. (3x + 3y − 1)dx + (x + y + 1)dy = 0 Demonstrat¸ie. Dreptele 3x+ 3y − 1 = 0 ¸si x +y +1 = 0 sunt paralele. Facem A¸sadar, ln

=

schimbarea de funct¸ie x + y = u(x) ¸si ecuat¸ia diferent¸ial˘ a devine 2dx + du + 2

du

− 1 = 0. Solut¸ia ei general˘a este 2 x + u + 2ln |u − 1| = c1 , respectiv 3x + y + ln(x + y − 1)2 = c1 u

ˆ 1.3. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE LINIARE DE ORDINUL ÎNTAI

13

sau (x + y 1)2 = ce−(3x+y) . S˘a vedem dac˘a prin separarea variabilelor nu am pierdut solut¸ii. Factorul cu care am ˆımp˘ art¸it, egalat cu 0, u 1 = 0, ne d˘a solut¸ia particular˘a y = 1 x (c = 0); deci nu s-au pierdut solut¸ii.

−

−

−

y 2 + 2xyy  = 0

Exemplul 1.7. x

−

Demonstrat¸ie. Transform˘ am ecuat¸ia diferent¸ial˘ a dat˘a punˆ and x = u r , y = s v . Obt¸inem sv 2s−1 ur v 2s + 2ur r−1 v  = 0. ru Ea va fi omogen˘a dac˘a putem determina numerele r ¸si s astfel ˆıncât s˘a avem r = 2s = r + 2s 1 r + 1. Astfel putem lua r = 1, s = 12 . Deci dac˘a lu˘am 1 x = u, y = v 2 , ecuat¸ia diferent¸ial˘ a dat˘a se transform˘a ˆın ecuat ¸ia omogen˘a v −u  v = u . Se va obt¸ine solut¸ia general˘a y 2 = x(c ln x ).

−

− −

− ||

1.3

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul ˆ ıntˆ ai

Definit ¸ia 1.8. Se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul ˆıntˆ ai o ecuat¸ie de forma

∈C

⊂

0 (I ), I y  = p(x)y + q (x), p,q IR. (1.4) Dac˘a funct¸ia q (x) = 0, ecuat¸ia (1.4) se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘ a neomogen˘ a de ordinul ˆıntˆ ai. Dac˘a funct¸ia q(x) 0, ecuat¸ia y  = p(x)y se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘ a omogen˘ a de ordinul ˆıntˆ ai. In acest caz variabilele se separ˘ a ¸si solut¸ia general˘a e ecuat¸iei liniare omogene este  x p(s)ds y(x) = ce x0 .

 ≡

Solut¸ia general˘a y(x) a ecuat¸iei neomogene (1.4) este egal˘a cu solut¸ia general˘a y(x) a ecuat¸iei diferent¸iale liniare omogene plus o solut¸ie particular˘a yp (x) a ecuat¸iei diferent¸iale neomogene (1.4): y(x) = y(x) + yp (x). Pentru determinarea unei solut¸ii particulare a ecuat ¸iei liniare neomogene (1.4) se folose¸ste metoda variat¸iei constantelor sau metoda lui Lagrange ce const˘a ˆın urm˘ atoarele: se caut˘a o solut¸ie a ecuat¸iei neomogene sub forma  x p(s)ds yp (x) = c(x)e x0 , funct¸ia c(x) fiind necunoscut˘a . Derivând ¸si ˆınlocuind ˆın ecuat ¸ia liniar˘a neomogen˘a (1.4) se obt¸ine c (x)e



x x0

p(s)ds

+ c(x)p(x)e



x x0

p(s)ds

= p(x)c(x)e



x x0

p(s)ds

+ q (x)

14


− xx0 p(s)ds.

¸si rezult˘ a c (x) = q (x)e solut¸ia particular˘a este

yp (x) =



 

Deci c(x) =

x x0

− xt0 p(s)dsdt

e

x

q (t)e x0



q (t)e

x x0

− xt0 p(s)ds dt.

p(s)ds

Adic˘a

.

A¸sadar, solut¸ia general˘a a ecuat¸iei (1.4) este y(x) = e



x x0

p(s)ds

 

x

c+

q (t)e

− xt0 p(s)ds dt

x0



.

Exemplul 1.8. y  + y cos x = sin x cos x, x0 = 0, y0 = 1 Demonstrat¸ie. Ata¸s˘am ecuat¸ia liniar˘a omogen˘a y  + y cos x = 0. Separ˘am dy varabilele ¸si obt¸inem dx +y cos x = 0, adic˘a dy a y = cos xdx. Solut¸ia general˘ − sin x este y(x) = ce . Lu˘am yp (x) = c(x)e− sin x ¸si punem condit¸ia ca yp s˘a verifice ecuat¸ia diferent¸ial˘ a neomogen˘a ¸si obt ¸inem

−

c (x)e− sin x + c(x)e− sin x ( cos x) + c(x)e− sin x cos x = sin x cos x.

−

Rezult˘ a c  (x) = sin x cos xesin x . Deci prin integrare obt¸inem c(x) = esin x (sin x

− 1).

A¸sadar y p (x) = sin x 1 ¸si solut¸ia general˘a este y (x) = sin x 1 + ce− sin x . Scriem c˘a x0 = 0, y0 = 1 verific˘a ecuat¸ia dat˘a ¸si obt ¸inem c = 2. Deci solut¸ia problemei Cauchy este y (x) = sin x 1 + 2e − sin x .

−

−

−

Exemplul 1.9. y  +

arcsin x 1 x2

√−

=

√1−x2yarcsin x

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia omogen˘a asociat˘a este y  =

√1−x2yarcsin x .

√ dx Rezult˘a dy ¸i are solut¸ia general˘a y (x) = c arcsin x. y = 1−x2 arcsin x s O solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei liniare neomogene o afl˘am prin metoda variat¸iei constantelor. Consider˘am solut¸ia particular˘a de forma

·

yp (x) = c(x) arcsin x. Obt¸inem c  (x) arcsin x + c(x) √11−x2 + Rezult˘a c (x) =

− √11−x , deci 2

este y p (x) = arcsin2 x. Solut¸ia general˘a este y(x) =

−

Exemplul 1.10.

arcsin x 1 x2

√−

c(x) =

=

arcsin x √c(x) . 1−x2 arcsin x

− arcsin x si¸ solut¸ia particular˘a

−(arcsin x − c) arcsin x. y 2 dx + (x − 2xy − y 2 )dy = 0

ˆ 1.3. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE LINIARE DE ORDINUL ÎNTAI

15

Demonstrat¸ie. Lu˘am pe y drept variabil˘a independent˘a ¸si obt ¸inem ecuat¸ia liniar˘a pentru funct¸ia necunoscut˘a x(y): x +

(1

− 2y)x = 1. y2

2 Ecuat¸ia omogen˘a ata¸sat˘ a este x + (1−y2y)x = 0 s¸i solut¸ia sa general˘a este 1 x(y) = ce y y 2 . Observ˘am c˘ a o solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei diferent¸iale liniare neomogene este x p (y) = y 2 . Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei date va fi 1

x(y) = x(y) + xp (y) = ce y y 2 + y 2 .

Exemplul 1.11. y  = 1 + e x+2y Demonstrat¸ie. Facem schimbarea de funct¸ie z (x) = e −(x+2y) ¸si obt¸inem y =



− 2zz − 12 ,

respectiv ecuat¸ia diferent¸ial˘ a z  + 3z = 2. Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene ata¸sate este z(x) = ce−3x ¸si o solut ¸ie particular˘a a ecuat¸iei liniare neomogene este zp (x) = 23 . Atunci solut¸ia general˘a este z(x) = ce−3x 23 , adic˘a e−(x+2y) = ce−3x 23 , de unde se poate scoate y.

−

−

Exemplul 1.12. y 2 (y 

− −

− 1) = (2 − y)2

Demonstrat¸ie. Facem schimbarea de funct¸ie 2

− y (x) = y(x)t(x),

(1.5)

t(x) fiind noua funct¸ie necunoscut˘a . Ecuat¸ia dat˘a devine

1 t (1.6) t Calculând din (1.6) pe y  si ¸ ˆınlocuind ˆın (1.5), atˆ at pe y cât ¸si pe y  , y=

−

obt¸inem ecuat¸ia diferent¸ial˘ a ˆın t :

t = t2

Solut¸ia general˘a este

−1.

1 (1.7) x+c Având ˆın vedere (1.7) ¸si (1.6), solut¸ia general˘a a ecuat¸iei diferent¸iale date 1 se scrie y (x) = x + c x+c . t(x) =

−


16

Exemplul 1.13. xy  + y =

1 xy 2

Demonstrat¸ie. Imp˘art¸ind cu x, multiplicând cu 3 y 2 ¸si notˆ and y 3 = Y (x), obt¸inem Y 3 Y+3 = (1.8) x x2 Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene corespunz˘atoare ecuat¸iei diferent¸iale (1.8) este Y (x) = xc3 . Pentru determinarea unei solut¸ii particulare folosim 3 metoda lui Lagrange ¸si g˘asim Yp (x) = 2x . Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei 3 3 diferent¸iale (1.8) va fi Y (x) = xc3 + 2x , adic˘a y 3 = xc3 + 2x .

1.4 1.4.1

Ecuat¸ii diferent¸iale reductibile la ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul ˆıntˆ ai Ecuat¸ii Bernoulli

Definit¸ia 1.9. O ecuat¸ie diferent¸ial˘ a de ordinul ˆıntˆ ai de forma y  + p(x)y = q (x)y α , α

∈ IR \

0, 1 , unde p, q

∈ C 0(I )



sunt funct¸ii date se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ial˘ a Bernoulli. Prin substitut¸ia z = y 1−α , ecuat¸ia Bernoulli se reduce la urm˘ atoarea ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘a ˆın necunoscuta z : z  + (1

Exemplul 1.14.

− α)p(x)z = (1 − α)q(x). √ y  − 4y =0 x = x y, y ≥ 0, x  1

Demonstrat¸ie. α = 12 s¸i facem schimbarea z(x) = y 2 . Obt¸inem ecuat¸ia 2 liniar˘a z  2 xz = x2 a c˘arei solut¸ie general˘a este z(x) = cx2 + x2 ln x . x2 2 Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei diferent¸iale date este y = cx + 2 ln x . y = 0 este solut¸ia singular˘a .

−

√

Exemplul 1.15. xy  + y =

−x2y2,

||

||

x0 = 1, y0 = 1

Demonstrat¸ie. α = 2 ¸si facem schimbarea z(x) = y1 . Obt¸inem ecuat¸ia liniar˘a z  x2 = x cu solut¸ia general˘a z(x) = cx + x2 . Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei 1 diferent¸iale date este y (x) = cx+x 2. 1 Scriem c˘a x0 = 1, y0 = 1 verific˘a ecuat¸ia 1 = y(1) = c·1+1 ¸ obt¸inem 2 si 1 c = 0. Deci solut¸ia problemei Cauchy este y = x2 .

−

Exemplul 1.16. y  =

2y 4 x(x2 +2y 3 )

1.4. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE REDUCTIBILE LA ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE LINIARE DE ORDIN

Demonstrat¸ie. Luând pe x drept funct¸ie de y obt¸inem ecuat¸ia Bernoulli cu α = 3, x x3 x = + 4 , y 2y care prin schimbarea de funct¸ie z(y) = x 2 se transform˘a ˆın ecuat¸ia diferent¸ial˘ a 1 . Aceast˘ − solut¸ia general˘a z(y) = cy+1 liniar˘a z  + 2z = a ecuat ¸ ie are . Deci 4 3 y y y solut¸ia general˘a a ecuat¸iei diferent¸iale date este y 3 = x 3 (1 + cy).

−

Exemplul 1.17. y  =

(1+y)2 (1+y)x x2

−

Demonstrat¸ie. Scriem ecuat¸ia astfel : dx x = dy 1+y

2

− (1 +x y)2

¸si rezult˘ a o ecuat¸ie Bernoulli cu α = 2. Facem schimbarea de func t¸ie z 1 z(y) = x−1 ¸si obt¸inem ecuat¸ia diferent¸ial˘ a liniar˘a z  + 1+y = (1+y) 2 cu

1 solut¸ia general˘a z(y) = 1+y (ln 1 + y c). De ai ci de ducem c˘a ecuat¸ia diferent¸ial˘ a dat˘a va avea solut¸ia general˘a 1 + y = x ln 1 + y cx.

|

1.4.2

|−

|

Ecuat¸ii Riccati

|−

Definit ¸ia 1.10. O ecuat¸ie diferent¸ial˘ a de ordinul ˆıntˆ ai de forma y  = p(x)y 2 + q (x)y + r(x), unde p,q,r

∈ C 0(I )

sunt funct¸ii date, iar funct¸ia y este necunoscut˘a se nume¸ste ecuat ¸ie diferent¸ial˘ a Riccati. In general ecuat¸ia Riccati nu se poate integra prin cvadraturi. Dac˘a se cunoa¸ste o solut¸ie particular˘a y p (x) a ecuat¸iei, integrala sa general˘a se determin˘a prin cvadraturi, cu schimbarea de funct ¸ie y(x) = y p (x) +

1 . z(x)

Introducˆ and ˆın ecuat¸ie avem yp



− zz2 = p(x)(yp2 + 2yp · 1z + z12 ) + q(x)(yp + 1z ) + r(x).

Cum yp = p(x)yp2 +q (x)yp +r(x), rezult˘a c˘a z  = (2p(x)yp (x)+q (x))z p(x), adic˘a o ecuat¸ie liniar˘a neomogen˘a . Exemplul 1.18. 2(x x2 x)y  + 2 xy 2 y x = 0, yp (x) = x

− √

− √ − −

−

18


Demonstrat¸ie. Facem substitut¸ia y (x) = x +

1 z(x)

si¸ g˘asim ecuat¸ia liniar˘a

√ √x 1 − 4x x √ √ z + z = 2(x − x2 x) x − x2 x

(1.9)

Facem schimbarea de variabil˘a independent˘a x = t2 ; deoarece dx = 2tdt, dac˘a not˘am z (x(t)) = η(t), ecuat¸ia (1.9) devine dη 1 + dt t

− 4t3 η = 2t . − t4 t − t4

Solut¸ia general˘a a acestei ecuat¸ii diferent¸iale liniare este η(t) = (c + t2 ) t−1t4 sau z (x) =

1.5

√c+x . Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei date va fi x−x2

y(x) = x +

√x−x2 c+x

.

Ecuat¸ii cu diferent¸ial˘ a exact˘ a . Factor integrant

Definit ¸ia 1.11. Fie D IR2 un domeniu ¸si P, Q : D IR continue. Se nume¸ste form˘ a diferent¸ial˘ a expresia ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Definit¸ia 1.12. Form˘ a diferent¸ial˘ a ω se nume¸ste exact˘ a pe D dac˘a 1 (D) cu proprietatea dU = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. exist˘ a o funct¸ie U Definit¸ia 1.13. Presupunem c˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘ a de ordinul ˆıntˆ ai

⊂

→

∈C

y  = f (x, y),

→

∈C −

(1.10)

0 (D)

∈

unde f : D IR, f are proprietatea ca pentru orice punct ( x, y) (x,y) D avem f (x, y) = PQ(x,y) cu P, Q : D IR continue ¸si Q = 0 pe D. Dac˘a forma diferent¸ial˘ a ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy este exact˘a pe D, ecuat¸ia diferent¸ial˘ a (1.10), adic˘a P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 se nume¸ste ecuat ¸ie cu diferent¸ial˘ a exact˘ a.

→



Teorema 1.1. Dac˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘ a (1.10) este o ecuat¸ie cu diferent¸ial˘ a exact˘a , atunci o funct¸ie y = ϕ(x) definit˘ a pe un interval oarecare este solut¸ie a ecuat¸iei (1.10) dac˘a ¸si numai dac˘ a verific˘a ecuat¸ia implicit˘ a U (x, y) = c , cu c constant˘ a real˘ a oarecare.

→

Demonstrat¸ie. Fie ϕ : I IR o solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale (1.10), unde I = (a, b) R I . Atunci pentru orice x I punctul ( x, ϕ(x)) D si¸ se verific˘ a egalitatea P (x, ϕ(x)) ϕ (x) = , Q(x, ϕ(x))

⊂

∈

∈

−

care se poate scrie sub forma P (x, ϕ(x)) + Q(x, ϕ(x)) ϕ (x) = 0 sau

·

∂U ∂U (x, ϕ(x)) + (x, ϕ(x)) ϕ (x) = 0. ∂x ∂y

·

˘ EXACTA ˘ . FACTOR INTEGRANT19 1.5. ECUAT ¸ II CU DIFERENT ¸ IALA d Pentru orice x I avem egalitatea dx (U (x, ϕ(x))) = 0, de unde rezult˘a c˘a U (x, ϕ(x)) = c, x I . Reciproc, fie y = ϕ(x), ϕ : I IR o solut ¸ie a ecuat¸iei implicite U (x, y) = c. Pentru orice x I avem (x, ϕ(x)) D ¸si U (x, ϕ(x)) = c, de unde derivând P (x,ϕ(x)) ∂U  obt¸inem ∂U ϕ (x) = Q(x,ϕ(x)) = ∂x (x, ϕ(x)) + ∂y (x, ϕ(x)) ϕ (x) = 0 sau

∈ ∀ ∈ ∈

→

∈ ·

−

f (x, ϕ(x)), deci y = ϕ(x) este o solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale (1.10).

Definit ¸ia 1.14. Forma diferent¸ial˘ a ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy cu P, Q ∂Q dac˘a ∂P ∂y = ∂x pe D.

C 1(D) se nume¸ste ˆınchis˘a

∈

Teorema 1.2. Presupunem c˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘ a (1.10) se scrie sub forma dy = dx

(x, y) − PQ(x, , y)

1 (D) cu D unde P, Q IR2 un domeniu simplu conex ¸si Q = 0 pe D astfel ˆıncˆ at forma diferent¸ial˘ a ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy s˘ a fie o form˘ a diferent¸ial˘ a ˆınchis˘ a . Atunci orice solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale (1.10) se obt¸ine din ecuat¸ia implicit˘ a U (x, y) = c, unde

∈C

⊂



x

U (x, y) =

y

Q(x, t)dt, cu (x0 , y0 )

P (t, y0 )dt +



x0



D fixat.

∈

y0

Uneori forma diferent¸ial˘ a ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy nu este ˆınchis˘a ˆın D, dar prin ˆınmult¸ire cu o funct¸ie µ(x, y), µ : D IR de clas˘a 1 , numit˘a factor integrant, forma diferent¸ial˘ a

→

C

µω = µPdx + µQdy ∂ ∂ devine ˆınchis˘ a ¸si se verific˘ a ecuat¸ia ∂y (µP ) = ∂x (µQ), numit˘a ecuat¸ia factorului integrant. Dac˘a 1 ∂Q ∂ P = g(x) Q ∂x ∂y

−





−

este o funct¸ie numai de variabil˘a x, atunci factorul integrant µ este o funct¸ie numai de x s¸i se determin˘a din ecuat¸ia diferent¸ial˘ a dµ µ = g(x)dx. Dac˘a 1 ∂Q ∂ P = h(y) P ∂x ∂y





−

este o funct¸ie numai de variabil˘a y, atunci factorul integrant µ este o funct¸ie numai de y s¸i se determin˘a din ecuat¸ia diferent¸ial˘ a dµ µ = h(y)dy. xy xy 2 Exemplul 1.19. (ye 4xy)dx + (xe 2x )dy = 0

−

−

Demonstrat¸ie. Avem P (x, y) = yexy 4xy ¸si Q(x, y) = xexy 2x2 . Deci ∂P xy xy xy xy 4x ¸si ∂Q 4x. Atunci forma diferent¸ial˘ a ∂y = e + xye ∂x = e + xye

−

−

−

−

20


ω = (yexy 4xy)dx+(xexy 2x2 )dy este ˆınchis˘a . A¸sadar, conform Teoremei 1.2, solut¸ia ecuat¸iei date este U (x, y) = c, unde

−



U (x, y) =

−

x

(y0 ety0

x0

− 4ty0)dt+

xy



y y0

(xext 2x2 )dt = exy 2x2 y ex0 y0 +2x20 y0

−

−

−

2

−

Deci solut¸ia este e 2x y = c. Exemplul 1.20. (x sin y + y cos y)dx + (x cos y

− y sin y)dy = 0

Demonstrat¸ie. Avem P (x, y) = x sin y + y cos y ¸si Q(x, y) = x cos y Atunci ∂P y sin y ¸si ∂Q ∂y = x cos y + cos y ∂x = cos y. Cum

− Q1



∂Q ∂x



− ∂∂yP

−

=

− y sin y.

− x cos y −1 y sin y (cos y − x cos y − cos y + y sin y) = 1,

se caut˘a factorul integrant µ funct¸ie numai de x din ecuat¸ia dµ µ = dx. Deci ln µ = x sau µ = ex . Inmult¸im ecuat¸ia init¸ial˘ a cu µ = ex ¸si obt¸inem ecuat¸ia cu diferent¸ial˘ a exact˘a : ex (x sin y + y cos y)dx + ex (x cos y y sin y)dy = 0

−

¸si conform Teoremei 1.2, x

U (x, y) =



x0

y

et (t sin y0 + y0 cos y0 )dt +

= ex (x sin y



y0

ex (x cos t

− t sin t)dt =

− sin y + y cos y) − ex (x0 sin y0 − sin y0 + y0 cos y0) Solut¸ia general˘a este e x (x sin y − sin y + y cos y) = c. Exemplul 1.21. (1 + 3 x2 sin y)dx − xctg ydy = 0 Demonstrat¸ie. Avem P (x, y) = 1 + 3 x2 sin y ¸si Q(x, y) = −xctg y. Atunci ∂P 2 si ∂Q ∂y = 3x cos y ¸ ∂x = −ctg y. Cum 1 ∂Q ∂ P − ∂y = 1 + 3x12 sin y (−ctg y − 3x2 cos y) = −ctg y, P ∂x se caut˘a factorul integrant µ funct¸ie numai de y din ecuat¸ia dµ µ = −ctg ydy. Deci ln |µ| = − ln | sin y | sau µ = sin1 y .



0



Inmult¸im ecuat¸ia init¸ial˘ a cu µ = sin1 y si¸ obt¸inem ecuat¸ia cu diferent¸ial˘ a exact˘a este 1 cos y + 3x2 dx x 2 dy = 0 sin y sin y ¸si conform Teoremei 1.2,



 x

U (x, y) =

x0

  −

1 + 3t2 dt sin y0

Solut¸ia general˘a este

x sin y

−

y

y0

+ x3 = c.

x

cos t x dt = +x3 sin y sin2 t

−





x0 + x30 . sin y0

1.6. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE PENTRU CARE SOLUT ¸ IILE SUNT DATE PARAMETRIC21

1.6

Ecuat¸ii diferent¸iale pentru care solut¸iile sunt date parametric

1.6.1

Ecuat¸ii Lagrange

Definit ¸ia 1.15. O ecuat¸ie diferent¸ial˘ a de forma y = xϕ(y  ) + ψ(y  ),

(1.11)

1 (I ), I = (a, b) unde ϕ, ψ IR ¸si ϕ = 1 se nume¸ste ecuat¸ie Lagrange. Ecuat¸ie Lagrange nu este o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a de form˘a normal˘a . Pentru rezolvarea ei se deriveaz˘a ecuat¸ia (1.11) ¸si se face substitut¸ia y  = p. Rezult˘a p = ϕ(p) + xϕ (p)p + ψ  (p)p .

∈C

⊂



Avem p = p(x) ¸si invers˘ am local aceast˘a funct¸ie, adic˘a schimb˘ am rolul dp 1 variabilelor x = x(p). Atunci p  = dx = dp = x1 si¸ obt¸inem dx

x (p − ϕ(p)) = xϕ  (p) + ψ  (p). Cum p

− ϕ(p) = 0, obt¸inem o ecuat¸ie liniar˘a neomogen˘a x =

p

ϕ (p)

ψ (p)

− ϕ(p) x + p − ϕ(p)

⊂

∈

definit˘a pe un interval J IR. Deci o solut¸ie a sa este x = x(p, c), c IR. Din ecuat¸ia (1.11) deducem y = x(p, c)ϕ(p) + ψ(p) ¸si solut¸ia ecuat¸iei Lagrange este dat˘a sub forma parametric˘a x = x(p, c) y = x(p, c)ϕ(p) + ψ(p), p

Exemplul 1.22. y = 2xy  − y 2

∈ J.

Demonstrat¸ie. Facem substitut¸ia y  = p si¸ obt¸inem y = 2xp

− p2 .

(1.12)

Deriv˘ am ecuat¸ia ˆın raport cu x si ¸ obt¸inem p = 2p + 2xp

− 2pp.

dp dp Rezult˘a p (2p 2x) = p sau dx (2p 2x) = p sau dx = 2p−p 2x = 2 dx p dp = 2x + 2p. Solut¸ia general˘a a acestei ecuat¸ii liniare este x = 23 p + pc2 .

−

−

−

Inlocuind pe x ˆın (1.12) obt¸inem y =

p2 3

+

2c p.

− 2 xp sau

22


Solut¸ia general˘a parametric˘a a ecuat¸iei date este 2 c p+ 2 3 p

x=

p2

y=

+

3

Exemplul 1.23. x + y =

2c p

   · − − −  − y +1 y 1

2

−

Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p ˆın ecuat¸ie ¸si deriv˘ am ˆın raport cu x. Avem 1+p= 2 Ecuat¸ia se mai scrie dx =

4dp (p 1)3

− −

p+1 p 1

(p

2 dp . 1)2 dx

·

¸si are solut¸ia general˘a x = c + p+1 p 1

Din ecuat¸ia dat˘a deducem y =

2

2 (p 1)2

2 (p 1)2 .

−

− c.

− −  2  2 Exemplul 1.24. y = xy + y Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p ˆın ecuat¸ie ¸si deriv˘ am ˆın raport cu x. Avem p = p 2 + (2xp + 2p)

dp . dx

Pentru p = 0 g˘asim solut¸ia y = 0. Egalând cu zero al doilea factor rezult˘a dx 2x + = dp p 1

−

− p −2 1 .

Integrala general˘a a acestei ecuat¸ii liniare este x = Din ecuat¸ia dat˘a obt¸inem y =

1.6.2

cp2

. (p−1)2

c (p 1)2

−

− 1.

Ecuat¸ii Clairaut

Ecuat¸ia Clairaut este o form˘ a particular˘a a ecuat¸iei Lagrange. Dac˘a ϕ(y  )

≡ y, ecuat¸ia Lagrange devine 

y = xy + ψ(y  ).

Not˘am y  = p si ¸ derivând ˆın raport cu x obt¸inem p = p + xp + ϕ (p)p sau p (x + ψ  (p)) = 0


Avem de tratat dou˘a cazuri: p = 0 ¸si x + ψ  (p) = 0. In cazul p = 0 avem p = c s¸i ˆınlocuind ˆın ecuat ¸ia dat˘a , avem integrala general˘a y = cx + ψ(c). Observ˘am c˘ a integrala general˘a a ecuat¸iei Clairaut se obt¸ine ˆınlocuind pe p cu constanta arbitrar˘a c ıˆn 2ecuat¸ie; de exemplu, ecuat¸ia y = px + p2 are integrala general˘a y = cx + c . Studiem a doua posibilitate x + ψ  (p) = 0 sau x = ψ  (p) ¸si din ecuat¸ia init¸ial˘ a obt¸inem solut¸ia parametric˘a

−

x=

−ψ(p),

y=

−pψ (p) + ψ(p)

care este solut¸ie singular˘a a ecuat¸iei Clairaut. Exemplul 1.25. y = xy  + y n

Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p si ¸ deriv˘am ecuat¸ia : p = xp  + p + npn−1 p . n 1

n

 (xgeneral˘ Rezult˘ a ¸pia + np − este solut a .) = 0. In cazul p = 0 avem p = c, deci y = cx + c Integrala singular˘a se obt¸ine din x = npn−1 , y = (1 n)pn .

−

Ecuat¸ia cartezian˘a a solut¸iei singulare este ˆınf˘a¸sur˘atoarea familiei de drepte y = cx + cn .

Exemplul 1.26. y = xy  +



  − x

n

−n

=

y 1 n

−

n 1

−

¸si reprezint˘ a

1 + y 2

Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p si ¸ deriv˘am ecuat¸ia : p = p + xp +

√1+p p p sau dxdp 2



x+

√1+p p

2



=0

√ In cazul = 0 avem p = c, deci y = cx + 1 + c2 este solut¸ia general˘a . Integrala singular˘a este x = − √ p , y = √ 1 , adic˘a x 2 +y 2 = 1. 1+p 1+p dp dx

2

2

Exemplul 1.27. y = xy  + y1 Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p si ¸ deriv˘am ecuat¸ia : dp p = p + x dx

 

− p1 dxdp sau dxdp x − p1 2

2

= 0.

dp In cazul dx = 0 avem p = c, deci y = cx + 1c este solut¸ia general˘a . Integrala singular˘a este x = p12 , y = 2p , adic˘a y 2 = 4x.

24


1.6.3

Ecuat¸ii de forma x = f (y  ), f

∈C

1

Pentru o astfel de ecuat¸ie, not˘am y  = p s¸i rezolv˘am x = f (p). dy Cum y  = dx = p, rezult˘a dy = pdx = pf  (p)dp s¸i solut¸ia este dat˘a de x = f (p)



y=

Exemplul 1.28. x = 2y  + ey

pf  (p)dp + c



Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p, deci dy = pdx, dar dx = (2 + e p )dp. A¸sadar, y = (2 + ep )pdp = p 2 + ep (p 1) + c. Solut¸ia general˘a este x = 2p + ep , y = p 2 + ep (p 1) + c.



1.6.4

−

−

Ecuat¸ii de forma y = f (y  ), f

∈C

1

Not˘am y  = p s¸i rezult˘a y = f (p). f  (p) dy Cum y  = dx = p, rezult˘a dx = dy p = p dp, de unde f  (p) dp + c p

x=



y = f (p)

Exemplul 1.29. y  y − (y  )2 = 1 Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p s¸i rezult˘a py − p2 = 1, deci y = − p12 +1 dy −1+p2 Cum dx =

p

, rezult˘a dx = x=

−

p

dp =

p3

1 p

+ p.

dp, deci

1 + p2 1 dp = ln p + 2 + c. p3 2p

Exemplul 1.30. y = ln(1 + y 2 ) Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p s¸i rezult˘a y = ln(1 + p2 ). Cum dx = dy , rezult˘a dx = 1 2p 2 dp, deci x = 2arctg p + c. p

p

Exemplul 1.31. y = y 2 + 2y 3

· 1+p

Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p s¸i rezult˘a y = p 2 + 2p3 . Cum dx = dy a dx = 1p (2p + 6p2 )dp = (2 + 6 p)dp, deci p , rezult˘

·

x = 2p + 3p2 + c.


Ecuat¸ii de forma y = f (x, y  ), f

1.6.5

∈C

1

Not˘am y  = p si ¸ derivând ˆın raport cu x obt¸inem p=

∂f ∂f + ∂x ∂p

dp · dx

(1.13)

dp Ecuat¸ia astfel rezultat˘a o rezolv˘am ˆın raport cu dx . Dac˘a putem integra ecuat¸ia (1.13) avem p = ϕ(x, c) ¸si y = f (x, ϕ(x, c)) solut¸ia general˘a . Exemplul 1.32. y 2 + xy  + 3y + x2 = 0

Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p si ¸ deriv˘am ecuat¸ia ˆın raport cu x : dp dp dp dp 2p dx + p+x dx +3 p+2x = 0 sau dx (2p+x)+4 p+2x = (2p+x) dx + 2 = 0.

 

dp Din dx = 2 rezult˘a p = 2x + c, deci y = 13 [x2 + x(c 2x) + (c este solut¸ia general˘a . Avem x = 2p care ˆımpreun˘a cu y = 13 (x2 + xp + p2 ) ne d˘a x = 2p, y = p2 .

−

− −

−

−

−

− 2x)2]

−

−

Exemplul 1.33. y = 12 xy  +

1 2 y x2



Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p si ¸ deriv˘am ecuat¸ia ˆın raport cu x: dp sau ( x3 + 4p)(xdp p = 12 p x23 p2 + x2 + x2p2 dx pdx) = 0.

−

 

−

dx Dac˘a xdp pdx = 0, avem dp ¸ia general˘a va fi p = x , deci p = cx s¸i solut y = 12 cx2 + c2 . 1 4 1 4 Pentru x3 + 4p = 0 avem x = ( 4p) 3 ¸si y = (2− 3 2 − 3 )p 3 solut¸ia singular˘a .

−

−

−

Ecuat¸ii de forma x = f (y, y  ), f

1.6.6

∈C

1

Not˘am y  = p si ¸ rezult˘a x = f (y, p). Deriv˘am ecuat¸ia ˆın raport cu y considerˆ and x ¸si p ca funct¸ii de y : 1 ∂f ∂f = + p ∂y ∂p

dp · dy

(1.14)

Dac˘a putem integra (1.14), care este o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a ˆın p ¸si y explicitat˘a ˆın raport cu

dp dy ,

obt¸inem

p = ϕ(y, c).

(1.15)

Dac˘a introducem pe (1.15) ˆın (1.14) obt¸inem solut¸ia general˘a x = f (y, ϕ(y, c)). Exemplul 1.34. x = y1 y + y n

Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p s¸i rezult˘a x = 1p y + pn . Deriv˘am ˆın raport cu y si¸ obt¸inem : dp dp y 1 1 n−1 y p12 dy + npn−1 dp p = p dy sau dy (np p2 ) = 0.

−

−

26


dp Din dy = 0 avem p = c, deci solut¸ia general˘a x = 1c y + cn . n Din np −1 py2 = 0, avem y = npn+1 ¸si x = (n + 1) pn obt¸inˆ and astfel solut¸ia singular˘a .

−

Exemplul 1.35. x =

√y y

− 2yy 1

Demonstrat¸ie. Not˘am y  = p(y) ¸si obt ¸inem x = y 2 1p 2y 1p . Deriv˘am ˆın raport cu : √ y si¸ obt¸inem dp √6 y−1√ y(2 y 1)2 = cp. 2 y(2y − y) dy = p sau Inlocuind p cu relat¸ia ce exprim˘a ecuat¸ia, obt¸inem : 1 x = ( y 2y)cy − 2 (2 y 1)−2 echivalent cu (x c)2 = 4x2 y.

√ −

√ √ − √ −

· − · −

Capitolul 2

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale Definit ¸ia 2.1. Sistemul de n ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul ˆıntˆ ai x1 = f 1 (t, x1 , x2 ,...,x

n)

x2 = f 2 (t, x1 , x2 ,...,x

n)

(2.1)

........................ xn = f n (t, x1 , x2 ,...,x

⊂

n+1

n)

∀

cu fi continue pe un domeniu D IR , i = 1, n se nume¸ste sistem sub forma normal˘ a. Definit¸ia 2.2. Se nume¸ste solut¸ie a sistemului (2.1), solut¸ie pe un interval I = (a, b), orice sistem de funct¸ii reale ( ϕ1 , ϕ2 ,..., n ) definite pe I ce satisface urm˘atoarele condit¸ii:

∀

1. ϕi sunt derivabile pe I , i = 1, n; 2. (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t),...,

n (t))

∈ D pentru ∀t ∈ I ;

3. (ϕ1 , ϕ2 ,..., n ) verific˘a ecuat¸ia ϕi (t) = f1 (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t),..., t I ¸si i = 1, n.

n (t)),

∀∈

∈

Definit ¸ia 2.3. Fie ( t0 , α1 , α2 ,..., n ) D arbitrar. Problema deter min˘arii unei solut¸ii a sistemului (2.1) pe un interval I IR, t0 I care s˘a verifice condit¸ia

ϕi (t0 ) = α i , i = 1, n

⊂

∈

(2.2)

se nume¸ste problema Cauchy cu datele t0 , α1 ,..., n . Condit¸ia (2.2) se nume¸ste condit¸ia init¸ial˘ a. Solut¸iile unui sistem diferent¸ial se numesc curbe integrale ale sistemului. Se nume¸ste solut¸ie general˘ a a sistemului (2.1) o solut¸ie a sistemului depinzând de n constante reale arbitrare. 27

28

CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE

Se nume¸ste solut¸ie particular˘ a a sistemului, orice solut¸ie obt¸inut˘ a din solut¸ia general˘a prin particularizarea constantelor.

Teorema 2.1. (de existent¸˘ a ¸si unicitate a solut ¸iei problemei Cauchy) Presupunem c˘ a funct¸ia f = (f1 , f2 ,...,f n ) din sistemul diferent¸ial (2.1) este de clas˘a 1 (D). Atunci exis t˘a o solut¸ie x = ϕ(t) a sistemului diferent¸ial (2.1), definit˘a ˆın vecin˘ atatea V a lui t0 care verific˘a (2.2). Orice dou˘a solut¸ii ale sistemului diferent¸ial (2.1) care verific˘ a condit¸iile init¸iale Cauchy (2.2) coincid ˆıntr-o vecin˘ atate a lui t0 .

C

2.1

Sisteme diferent¸iale liniare cu coeficient¸i variabili

⊂

Definit ¸ia 2.4. Fie I = (a, b) IR, A(t) = (aij (t))1≤i,j ≤n o matrice cu aij : I IR funct¸ii continue ¸si b(t) = (bi (t))1≤i≤n , unde bi : I IR sunt funct¸ii continue. Sistemul diferent¸ial

→

→

x = A(t)x + b(t)

(2.3)

se nume¸ste sistem diferent¸ial liniar neomogen (de ordinul ˆ ıntˆ ai) cu

≡

coeficient¸i variabili. Dac˘a b(t) 0, sistemul diferent¸ial x = A(t)x

(2.4)

ai) cu se nume¸ste sistem diferent¸ial liniar omogen (de ordinul ˆıntˆ coeficient¸i variabili. Teorema 2.2. Pentru sistemul diferent¸ial (2.3) exist˘a ¸si este unic˘ a o solut¸ie ϕ: I IRn care verific˘ a condit¸iile init¸iale

→

x(t0 ) = x 0

cu t0

(2.5)

∈ I ¸si x0 ∈ IRn fixate arbitrar.

Teorema 2.3. Fie x = A(t)x un sistem diferent¸ial liniar omogen cu coeficient¸i variabili, A(t) = (aij (t))1≤i,j ≤n , unde a ij : I IR sunt funct¸ii continue. Fie ¸iilor S= x:I IRn x solut¸ie a sistemului x = A(t)x mult¸imea solut sistemului diferent¸ial liniar omogen. Atunci :

→



−→

|

1. S este spat¸iu vectorial peste IR; 2. Fie t0

 ≡ 

∈ I fixat ¸si x ∈ S cu x(t0) = 0. Rezult˘a x (k) ∈ S ¸ si t 0 ∈ I fixat. Solut¸iile

x (1) , x(2) ,...,x

0.



3. Fie x(1) , x(2) ,...,x (k) sunt liniar independente dac˘a ¸si numai dac˘ a vectorii x(1) (t0 ), x(2) (t0 ),...,x sunt liniar independent¸i ˆın IRn .

(k) (t



0)

2.1. SISTEME DIFERENT ¸ IALE LINIARE CU COEFICIENT ¸ I VARIABILI29

4. dimIR S = n . Definit ¸ia 2.5. Orice baz˘a a spat¸iului S al solut¸iilor sistemului diferent¸ial liniar omogen x  = A(t)x se nume¸ste sistem fundamental de solut¸ii. Definit ¸ia 2.6. Fie x (1) , x(2) ,...,x (n) S un sistem fundamental de solut¸ii

∈

x(j) (t) =

(j)

→

 

(j) x1(j) (t)

x2 (t) .. . (j)

xn (t)

unde xk : I IR sunt funct ¸ii de clas˘a Matricea de funct¸ii

| |

, j = 1, n,

C1 .

X (t) = (x(1) (t) x(2) (t) . . . x(n) (t)) =

|

 

 

(1)

(2)

(n)

 

x1 (t) x1 (t) .. . x 1 (t) (1) (2) (n) x2 (t) x2 (t) .. . x 2 (t) ... ... ... ... (1) (2) (n) xn (t) xn (t) .. . x n (t)

se nume¸ste matrice fundamental˘ a a sistemului diferent¸ial ¸si determinantul ei, det X (t) = W (t), se nume¸ste wronskianul sistemului fundamental x(1) , x(2) ,...,x (n) .





Corolarul 2.1. Fie X (t) Mn ( 1 (I )) o matrice fundamental˘a a sistemului diferent¸ial liniar omogen x = A(t)x. Atunci orice solut¸ie x S are forma c1 c2 x(t) = X (t) C , unde C = M n,1 (IR). Solut¸ia problemei Cauchy ... cn x = A(t)x, x(t0 ) = x 0 IRn are forma x(t) = X (t) (X (t0 ))−1 x0 .

∈

·

∈

C

 

∈

 ∈

·

Demonstrat¸ie. Deoarece coloanele matricei fundamentale X (t), x(1) , x(2) ,...,x (n) S formeaz˘a o baz˘a a lui S , pentru orice x constantele reale c 1 , c2 ,...,c n IR astfel ˆıncˆ at



⊂

∈

∈ S exist˘a

x = c 1 x(1) + c2 x(2) + . . . + cn x(n) .

∀ ∈

·

∈

Rezult˘a c˘a t I avem x(t) = X (t) C , unde C Mn,1 (IR). Impunând condit¸ia x(t0 ) = x 0 solut¸iei oarecare x(t) = X (t) C obt¸inem sistemul algebric liniar X (t0 ) C = x 0 . (2.6)





·

·

Deoarece x(1) , x(2) ,...,x (n) este un sistem fundamental de solut¸ii, coloanele matricei X (t0 ) sunt liniar independente, deci rang X (t0 ) = n, adic˘a



W (t0 ) = det X (t0 ) = 0. Atunci sistemul algebric liniar (2.6) are solut ¸ia unic˘a C = (X (t0 ))−1 x0 , deci solut¸ia problemei Cauchy este x(t) = X (t) (X (t0 ))−1 x0 .

·

·

·

30


·

Observat ¸ia 2.1. Solut¸ia x(t) = X (t) C , cu C solut¸ia general˘ a a sistemului diferent¸ial omogen.

∈ Mn,1(IR) se nume¸ste

Teorema 2.4. (Liouville) Dac˘a W (t) este wronskianul sistemului fundamental de solut¸ii x(1) , x(2) ,...,x (n) al sistemului diferent¸ial liniar omogen (2.4), atunci



·

W (t) = W (t0 ) e



t TrA(τ )dτ t0

,

unde TrA(t) = a 11 (t) +a22 (t) + . . . +ann (t) este urma matricei A(t) ¸si t 0 este fixat.

∈I

Demonstrat¸ie. Fie W (t) = det X (t). Scriind W (t) cu ajutorul definit ¸iei determinantului ¸si derivˆ and ˆın raport cu t, obt¸inem c˘a W (t) = W 1 (t) + W2 (t) + . . . + Wn (t), unde

  

Wi (t) =

(1)

(2)

x1 (t) x1 (t) . . . ... ... ... (1) (2) (xi ) (t) (xi ) (t) . . . ... ... ... (1) (2) xn (t) xn (t) . . .

(n)

x 1 (t) ... (n) (xi ) (t) ... (n) x n (t)

  

(i = 1, 2,...,n ) are acelea¸si linii ca ¸si W (t) cu except¸ia liniei i, ˆın care apar (1) (2) (n) derivatele funct¸iilor xi , xi ,...,x i . Deoarece coloanele matricei X (t) sunt solut¸ii ale sistemului (2.4), obt¸inem relat¸iile n

(j)

(xi ) (t) =



k=1

(j) xi (t))

(j)

·

aik (t) xk (t), i,j = 1, 2,...,n.



Inlocuind pe ( ˆın Wi (t) obt¸inem c˘a Wi (t) este egal cu suma a n determinant¸i, dintre care n 1 au câte dou˘a coloane proport¸ionale, deci

−

·

Wi (t) = a ii (t) W (t),

∀t ∈ I.

Atunci rezult˘a c˘ a W  (t) = TrA(t) W (t), t I , adic˘a funct¸ia W (t) satisface o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘a omogen˘a . A¸sadar,

·

∈

t

·

 0 TrA(τ )dτ

W (t) = C e

t

, cu C

∈ IR constant˘a .

Lema 2.1. Fie S mult¸imea solut¸iilor sistemului diferent¸ial liniar omogen (2.4) ¸si mult¸imea solut¸iilor sistemului diferent¸ial liniar neomogen (2.3). Dac˘ a xp este o solut¸ie fixat˘ a (particular˘ a ), atunci avem

S ∈S

S = S + xp =



| ∈S

x + xp x



.

2.1. SISTEME DIFERENT ¸ IALE LINIARE CU COEFICIENT ¸ I VARIABILI31

S

Demonstrat¸ie. Atˆ at solut¸iile din S cˆ at ¸si solut¸iile din sunt definite pe tot intervalul real I = (a, b), deci ˆın egalitatea = S + xp adunarea funct¸iilor ¸si egalitatea funct¸iilor se consider˘a tot pe intervalul I . Pentru orice x S avem x (t) = A(t)x(t) ¸si adunˆ and cu xp (t) = A(t)xp (t) + b(t) obt¸inem ( x + x p ) (t) = A(t)(x + x p )(t) + b(t), t I,

S

∈

−⊂ S ∈

deci S +(xyp x .)Reciproc, pentrux orice de unde p (t) = A(t)(y p )(t), y = x + xp S + xp ¸si S + xp .

S⊂

−

∀ ∈  y∀t∈∈SI avem , adic˘ay y(t)−=xpA(t)y(t) = x ∈ S+, b(t), deci

Teorema 2.5. (Lagrange) Fie X (t) Mn ( 1 (I )) o matrice fundamental˘a a sistemului diferent¸ial liniar omogen (2.4). Atunci orice solut¸ie x are forma

∈

 

t

x(t) = X (t) C +

unde t0

C

∈S

X −1 (τ )b(τ )dτ

t0



,

∈ I este fixat ¸si C ∈ Mn,1(IR). Solut¸ia problemei Cauchy x = A(t)x + b(t), x(t0 ) = x 0 ∈ IRn

are forma t



x(t) = X (t) X −1 (t0 )x0 +



t0

X −1 (τ )b(τ )dτ



.

Demonstrat¸ie. Din Lema 2.1 rezult˘a c˘a e suficient s˘a afl˘am o solut¸ie particular˘a x p . Vom aplica metoda variat¸iei constantelor, adic˘a vom c˘auta o solut¸ie particular˘a de forma

∈S

xp (t) = c 1 (t) x(1) (t) + c2 (t) x(2) (t) + . . . + cn (t) x(n) (t),

·

·

·

unde constantele c1 , c2 ,...,c n din solut¸ia general˘a a sistemului omogen au fost ˆınlocuite cu funct¸iile necunoscute de clas˘a 1 , c i : I IR, i = 1, 2,...,n . Calcul˘am derivata

C

→

xp (t) = c 1 (t)x(1) (t) + . . . + cn (t)x(n) (t) + c1 (t)(x(1) ) (t) + . . . + cn (t)(x(n) ) (t). Punem condit¸ia ca xp s˘ a fie solut¸ie a sistemului diferent¸ial neomogen (2.3) ¸si ¸inem t seama de faptul c˘a x(j) , j = 1, 2,...,n sunt solut¸ii ale sistemului diferent¸ial omogen (2.4), adic˘a (x(j) ) (t) = A(t)x(j) (t), jj = 1, 2,...,n . Rezult˘a egalitatea: c1 (t)x(1) (t) + . . . + cn (t)x(n) (t) + c1 (t)(x(1) ) (t) + . . . + cn (t)(x(n) ) (t) = A(t)(c1 (t) x(1) (t) + c2 (t) x(2) (t) + . . . + cn (t) x(n) (t)) + b(t),

·

·

deci c 1 (t)x(1) (t) + . . . + cn (t)x(n) (t) = b(t),

·

∀t ∈ I .

32


Putem scrie egalitatea de mai sus sub forma X (t) C  (t) = b(t), unde c1 (t) ..  C (t) = . Deoarece rang X (t) = n, rezult˘a c˘a W (t) = det X (t) = .  cn (t) 0, deci X (t) este inversabil˘a . Atunci C  (t) = X −1 (t) b(t), t I . Integrând pe fiecare component˘a obt¸inem ˆın scriere vectorial˘ a

·

   



C (t) =



t

·

∀∈

X −1 (τ ) b(τ )dτ,

·

t0

deci solut¸ia particular˘a are forma xp (t) = X (t)

·



X −1 (τ ) b(τ )dτ,

·

t0

∈ S

Atunci o solut¸ie oarecare x

t

∀t ∈ I.

are forma t

x(t) = X (t) C +

X −1 (τ ) b(τ )dτ

·

t0



∀t ∈ I.

,

Impunând condit¸ia x(t0 ) = x 0 obt¸inem ca ¸si ˆın demonstrat¸ia Corolarului 1

2.1, sistemul algebric liniar X (t0 )C = x 0 , cu solut¸ia unic˘a C = X − (t0 )x0 . Atunci solut¸ia problemei Cauchy are forma



x(t) = X (t) X −1 (t0 )x0 +

2.2



t

X −1 (τ ) b(τ )dτ

t0

·

 ∀∈ ,

t

I.

Sisteme diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i

Definit ¸ia 2.7. diferent¸ial

Fie matricea A = (aij )1≤i,j ≤n

∈

x = Ax

Mn (IR).

Sistemul (2.7)

se nume¸ste sistem diferent¸ial liniar omogen cu coeficient¸i constant¸i. Observat ¸ia 2.2. Deoarece elementele aij (1 i, j n) sunt constante, din Teorema 2.2 rezult˘a c˘a solut¸iile sistemului (2.7) sunt definite pe IR.

≤

≤

Teorema 2.6. Fie S spat¸iul vectorial real al solut¸iilor sistemului (2.7).

∈ S , atunci x ∈ S . 2. Fie λ ∈ σ(A), λ ∈ IR ¸si x0 ∈ Vλ . Fie t0 ∈ IR fixat ¸si fie x ∈ S solut¸ia care verific˘ a condit¸ia init¸ial˘ a x(t0 ) = x0 . Atunci x(t) ∈ Vλ pentru orice t ∈ IR. 1. Dac˘a x

2.2. SISTEME DIFERENT ¸ IALE LINIARE CU COEFICIENT ¸ I CONSTANT ¸ I33

3. Fie λ σ(A), λ IR ¸si u V λ . Atunci funct¸ia x(t) = eλt u, t este solut¸ie a sistemului (2.7).

∈

∈

∈

·

∈ IR

Demonstrat¸ie. 1. Fie x S . Atunci x = Ax si ¸ deoarece x este funct¸ie de clas˘a ∞ putem deriva relat¸ia anterioar˘a : x = Ax  + A x sau ( x ) = Ax  , deci x  S . 2. Dac˘a x0 = 0, atunci x(t) = 0, t IR (Teorema 2.3, punctul 2), deci x(t) Vλ . Fie x0 = 0. Din x0 Vλ rezult˘a c˘a Ax0 = λx0 . Funct¸ia y = Ax λx = x  λx S ¸si y(t0 ) = Ax 0 λx0 = 0, deci y(t) = 0, t IR, adic˘a Ax(t) = λx(t), de unde rezult˘a c˘a x(t) Vλ , t IR. 3. Avem x (t) = λeλt u; Ax(t) = eλt Au = λeλt u, deci x (t) = Ax(t), t IR, adic˘a x S .

∈

C

∈ ∈ −

 − ∈

∀∈

∈

∈

·

∀ ∈ −

∈

∈

∀∈

∀∈

·

1.Cazul cˆ and A Mn (IR) este matrice diagonalizabil˘ a Fie λ1 ,..., n σ(A) valori proprii reale ¸si u1 ,...,u n o baz˘a ˆın IRn format˘a din vectorii proprii corspunz˘atori valorilor proprii λ 1 ,..., n . Conform Teoremei 2.6, rezult˘a c˘a funct¸iile

∈





x(1) (t) = eλ1 t u1 , x(2) (t) = eλ2 t u2 , x(n) (t) = eλn t un ,

·

·

sunt solut¸ii ale sistemului (2.7). Pentru t = 0 obt¸inem x(i) (0) = u i ,



·

∀i n= 1, n, deci

⊂

∀t ∈ IR

u1 , u2 ,...,u



n

este

 

sistem liniar independent vectori ın IR . Conform Teoremei 2.3, punc-. (n) ˆ tul 3, mult¸imea x(1) , x(2)de ,...,x S este sistem liniar independent Deoarece dimIR S = n (Teorema 2.3, punctul 4), rezult˘a c˘a x(1) , x(2) ,...,x (n) este baz˘a ˆın S , deci este sistem fundamental de solut¸ii. Prin urmare o matrice fundamental˘a de solut¸ii pentru sistemul (2.7) este X (t) = (e λ1 t u1 eλ2 t u2 . . . eλn t un )

· |

· | |

·

∈

2.Cazul cˆ and A Mn (IR) nu se diagonalizeaz˘ a peste IR, dar polinomul ei caracteristic admite r˘ad˘ acinile reale λ1 ,..., k cu ordinul de multiplicitate n1 ,...,n k (n1 + . . . + nk = n ) x1 .. Putem c˘auta solut¸ii pentru sistemul (2.7) de forma x = cu . xn

   

n

Pij (t)eλi t , j = 1, n cu P ij (t) polinoame de grad mai mic sau egal

xj (t) =



=1 Punˆ cu ni i1. and condit¸ia ca aceast˘a funct¸ie s˘a fie solut¸ie a sistemului, se determin˘a coeficient¸ii polinoamelor Pij (t). Aceast˘a metod˘a se nume¸ste metoda coeficient¸ilor nedeterminat¸i. 3.Cazul cˆ and A Mn (IR) nu se diagonalizeaz˘ a peste IR, iar polinomul ei caracteristic admite ¸si r˘ ad˘ acinile complexe Polinomul caracteristic al lui A avˆ and ¸si solut¸ii complexe λ, rezult˘a c˘a el are ca solut¸ie ¸si pe λ. Pentru a indica un sistem funda mental de solut¸ii reale pentru sistemul (2.7) se procedeaz˘a astfel :

−

∈

34


∈

⊂

Se consider˘a A Mn (IR) Mn (C) ¸si se rezolv˘ a sistemul ca fiind cu coeficient¸i din C. Solut¸iile corespunz˘atoare lui λ sunt conjugatele solut¸iilor corespunz˘ atoare lui λ.

∈

Propozit¸ia 2.1. Fie sistemul (2.7) cu A Mn (IR) ¸si z(t) = P (t) + iQ(t) o funct¸ie z : IR C n derivabil˘a . Privind sistemul diferent¸ial (2.7) ca fiind

→

un sistem cu A din Mn (C) avem : 1. z este solut¸ie a sistemului dac˘a ¸si numai dac˘ a P ¸si Q sunt solut¸ii reale ale sistemului dac˘a ¸si numai dac˘ a z = P iQ solut¸ie a sistemului.

−

2. dac˘a z,z,y = y sunt solut¸ii liniar independente peste C, rezult˘ a P = Rez, Q = Im z , y sunt solut¸ii liniar independente peste IR. Observat ¸ia 2.3. Un sistem fundamental de solut¸ii pentru sistemul diferent¸ial liniar real (2.7) este dat de

unde



x(1) ,...,x



(s)



, Rex(s+1) ,..., Rex(s+k) , Imx(s+1),..., Imx(s+k) ,

x(1) ,...,x

(s)

, x(s+1),...,x

(s+k)

, x(s+1) ,...,x

(s+k)



este un sistem fundamental de solut¸ii pentru sistemul (2.7), cu A considerat˘a din M n (C).

Exemplul 2.1. S˘a se rezolve sistemul liniar omogen cu coeficient¸i constant¸i: x1 = x 1 x2 x3 x2 = 3x1 + x2 3x3 x3 = 4x1 2x2 + x3

− − − − −

Demonstrat¸ie. Scriem ecuat¸ia caracteristic˘a a sistemului

 − −

 

−1 −1 3 1 − λ −3 = −λ3 + 3λ2 + 4λ − 12 = 0 −2 1 − λ 4 Ea are r˘ad˘acinile λ1 = 2, λ2 = −2, λ3 = 3. Vectorii proprii corespun z˘atori −1 1 1 −9 , acestor valori proprii sunt u1 = 3 , u2 = 1 , u3 = −2 2 7 1

λ

      −− − 

deci matricea A este diagonalizabil˘a . A¸sadar, o matrice fundamental˘a a e2t e−2t e3t 2t − 2t sistemului este X (t) = 3e e 9e3t . Atunci solut¸ia general˘a a 2e2t 2e−2t 7e3t sistemului este

−c1e2t + c2e−2t + c3e3t x2 (t) = 3c1 e2t + c2 e−2t − 9c3 e3t x3 (t) = −2c1 e2t + 2c2 e−2t + 7c3 e3t x1 (t) =

2.2. SISTEME DIFERENT ¸ IALE LINIARE CU COEFICIENT ¸ I CONSTANT ¸ I35

Exemplul 2.2. S˘a se rezolve sistemul liniar omogen cu coeficient¸i constant¸i: x1 =

−9x1 − 12x2 − 5x3

x2 = 5x1 + 6x2 + 3x3 x3 = x 1 + 4x2 + x3


 − −  9

5 1

λ

   − −

−12 −5 6−λ 3 4 1−λ

= (λ

− 2)(λ + 2)2 = 0

Ea are r˘ad˘acinile λ1 = 2, λ2 = λ3 = 2. Vectorul propriu corespunz˘ator 2 1 valorii proprii λ1 este u1 = 1 . Avem Vλ2 = sp 1 , deci 2 1 dim Vλ2 = 1 = 2 care este ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ2 , deci matricea A nu este diagonalizabil˘a . Suntem ˆın cazul 2, deoarece valorile proprii sunt reale, deci vom determina solut ¸ia general˘a a sistemului cu metoda coeficient¸ilor nedeterminat¸i. C˘aut˘am solut¸ia de forma



  −  

x1 (t) = e −2t (a1 t + b1 ) x2 (t) = e −2t (a2 t + b2 ) x3 (t) = e −2t (a3 t + b3 ) Punând condit¸ia ca aceste funct¸ii sa verifice sistemul dat se determin˘a coeficient¸ii ai ¸si b i , i = 1, 3. Solut¸ia general˘a a sistemului va fi : x1 (t) =

−2c1e2t + c2a1e−2tt + c3b1e−2t

x2 (t) = c 1 e2t + c2 a2 e−2t t + c3 b2 e−2t x3 (t) = 2c1 e2t + c2 a3 e−2t t + c3 b3 e−2t unde ai ¸si b i , i = 1, 3 sunt coeficient¸ii determinat¸i anterior.

Exemplul 2.3. S˘a se rezolve sistemul liniar omogen cu coeficient¸i constant¸i: 1 + 2x2 + 2x3 −−2x 10x1 + 6x2 + 8x3 x3 = 3x1 − x2 − 2x3

x1 = x2 =


 − − − 2

10 3

λ

2 6

2 8

−λ −1 −2 − λ

 

=0

36


−

Ea are r˘ad˘acinile λ1 = 0, λ2 = 1+i, λ3 = 1 i. Vectorii proprii corespunz˘atori fiec˘ arei valori proprii sunt :

  − − −     −   − −  − −  − −

u1 =

1 1 2

 − −   −    −   −  − −  

1+i 2i i

, u2 =

, u3 =

1 i 2i i

.

1 1+i 1 , x(2) = e(1+i)t 2i , x(3) = x (2) vom 2 i et ( cos t sin t) et (cos t sin t) avea x(2) = 2et cos t +i 2et sin t . O matrice et sin t et cos t fundamental˘ a a sistemului este X (t) = (x(1) Rex(2) Imx(2) ) ¸si ˆınlocuind 1 et ( cos t sin t) et (cos t sin t) obt¸inem X (t) = 1 2et cos t 2et sin t . t 2 e sin t et cos t Deci solut¸ia general˘a a sistemului este : Notând cu x(1) = e0·t

−

− −

x1 (t) = c 1 + c2 et ( cos t

−

−

− sin t) + c3et(cos t − sin t) t

t

− − −

−

x2 (t) = c1 2c2 e cos t 2c3 e sin t x3 (t) = 2c1 c2 et sin t + c3 et cos t

Exemplul 2.4. S˘a se rezolve sistemul determinând o solut¸ie particular˘a prin metoda variat¸iei constantelor :

− x2 = t 2 2 + x1 = 2t − 1

x1 + 2x1 x

Demonstrat¸ie. Asociem sistemul omogen x1 + 2x1

− x2 = 0

x2 + x1 = 0 Ecuat¸ia caracteristic˘ a este

 − −− −     2 1λ

1λ

= (λ + 1)2 = 0. R˘ad˘acinile

1 , deci dim Vλ1 = 1 = 1 2 care este ordinul de multiplicitate a lui λ1 , deci matricea sistemului nu este diagonalizabil˘a . A¸sadar se caut˘a solut¸ie prin metoda coeficient¸ilor nedeterminat¸i de forma ei sunt λ1 = λ2 =

−1.

Avem Vλ1 = sp

x1 (t) = e −t (a1 t + b1 )



2.3. STABILITATEA SOLUT ¸ IILOR SISTEMELOR DIFERENT ¸ IALE 37

x2 (t) = e−t (a2 t + b2 ) ¸si punˆ and condit¸ia ca aceasta s˘a verifice sistemul omogen obt¸inem a 1 = a 2 , a1 = b 2 b1 . Deci solut¸ia general˘a a sistemului omogen se poate scrie astfel

−

x1 (t) = c1 e−t + c2 te−t x2 (t) = c 1 e−t + c2 (e−t + te−t ) Se caut˘a o solut¸ie particular˘a a sistemului neomogen de forma x1p (t) = c1 (t)e−t + c2 (t)te−t x2p (t) = c 1 (t)e−t + c2 (t)(e−t + te−t ) Determin˘am funct¸iile c 1 (t) ¸si c 2 (t) din sistemul c1 (t)e−t + c2 (t)te−t = t 2 c1 (t)e−t + c2 (t)(e−t + te−t ) = 2t

−1

Apoi solut¸ia general˘a a sistemului diferent¸ial neomogen se va scrie x1 (t) = x 1 (t) + x1p (t) x2 (t) = x 2 (t) + x2p (t)

2.3

Stabilitatea solut¸iilor sistemelor diferent¸iale

Fie sistemul diferent¸ial x = v(t, x). Presupunem c˘a sunt ˆındeplinite condit¸iile teoremei fundamentale de existent¸a˘ ¸si unicitate a solut¸iei problemei Cauchy pentru t [t0 , ) ¸si x U , U IRn deschis. Deci pentru orice a o solut¸ie x = ϕ(t), ϕ : [t0 , ) x0 U exist˘a ¸si este unic˘ U astfel ˆıncât ϕ(t0 ) = x 0 . Definit ¸ia 2.8. O solut¸ie x = ϕ(t), ϕ : [t0 , ) U se nume¸ste stabil˘ a spre + ˆ ın sens Poincar´ e-Liapunov (sau echivalent x0 = ϕ(t0 ) este o pozit¸ie de echilibru) dac˘a variind ”suficient de put¸in” data init¸ial˘ a x0 , solut¸ia corespunz˘atoare se dep˘arteaz˘a ¸si ea ”put¸in”, i.e. pentru orice ε > 0 exist˘a δ(ε) > 0 astfel ˆıncât de ˆındat˘ a ce x0 IRn ¸si x0 x 0 < δ (ε), solut¸iile ϕ(t) ¸si ϕ(t) care la momentul t0 , iar respectiv valorile x0 ¸si x0 satisfac inegalitatea ϕ(t) ϕ(t) < ε pentru orice t [t0 , + ). Cazul stabilit˘a¸t ii spre se studiaz˘a analog (sau se face schimbarea de variabil˘ a independent˘ a t = τ ). Consider˘ am sistemul diferent¸ial autonom x = v(x), x U IRn , unde r v este un câmp de vectori de clas˘a , r 3 ˆın domeniul U . Presupunem c˘a sistemul are o singur˘a pozit¸ie de echilibru x0 ˆın U (v(x0 ) = 0, x0 U )

∈ ∞

∈

∈

⊂

∞ →

∞



∞ →

|



∈

− | −∞ −

C ≥

 −  ∈ ∞

  ∈ ⊂

∈

38


¸si s˘ a alegem coordonatele xi astfel ˆıncât x0 = 0 (efectu˘am o translat¸ie). Atunci solut¸ia cu condit¸ia init¸ial˘ a ϕ(t0 ) = 0 este ϕ(t) = 0, t IR. Putem presupune c˘a t 0 = 0 IR. Definit ¸ia 2.9. Pozit¸ia de echilibru x = 0 a sistemului diferent¸ial autonom se nume¸ste stabil˘ a ˆın sens Poincar´ e-Liapunov dac˘a pentru orice ε > 0

∀∈

∈

∈  

exist˘ a δcare > 0 (care de ε) astfel ˆıncˆ at pentru orice x0 = xU pentru x0 0 s¸i satisface inegalitatea ϕ(t) < ε pentru orice t > 0. Definit¸ia 2.10. Pozit¸ia de echilibru x = 0 a sistemului diferent¸ial autonom se nume¸ste asimptotic stabil˘ a dac˘a ea este stabil˘a ¸si ˆın plus, pentru solut¸ia ϕ(t) din Definit¸ia 2.9 avem

 

ϕ(t) = 0. →lim +∞

t

Consider˘ am mai ˆıntˆ ai cazul sistemelor liniare omogene x = Ax , A: IRn

→ IRn, x ∈ IRn,

(2.8)

¸si presupunem c˘ a A este un izomorfism. Atunci x = 0 este singurul punct singular al câ(2.8). mpului v(x) = Ax, deci x = 0 este singura pozit¸ie de echilibru a sistemului

Teorema 2.7. (Poincar´ e-Liapunov) Dac˘a toate valorile proprii ale operatorului liniar A : IRn IRn au partea real˘a negativ˘a , atunci pozit¸ia de echilibru x = 0 a sistemului diferent¸ial liniar omogen (2.8) este stabil˘a asimptotic. Dac˘a exist˘a λ σ(A) cu Re λ > 0 , atunci x = 0 este instabil˘a .

→ ∈ Fie A ∈ Mn (IR) o matrice cu spectrulσ(A) =





Observat ¸ia 2.4. λ1 ,..., p . Not˘am γ = max (Reλi ). Conform Teoremei 2.7 rezult˘a c˘a dac˘a γ < 0,

≤≤

1 i p

atunci solut¸ia x = 0 a sistemului x = Ax este asimptotic stabil˘a . Orice alt˘a solut¸ie are aceea¸si proprietate: dac˘a x p este o solut¸ie, atunci x p = Ax p ¸si punˆ and x = xp + y, rezult˘a y  = Ay, iar solut¸ia x = xp corespunde cu y = 0. Dac˘a γ > 0, atunci solut¸ia x = 0 este instabil˘a ¸si se poate ar˘ata c˘a dac˘a γ = 0 ¸si valorile proprii cu partea real˘a nul˘a sunt simple, atunci

solutproprii ¸ia banal˘ este stabil˘ a (dar Dac˘asolut¸ia γ = 0 ¸sixvalorile cua partea real˘a nul˘anu nuasimptotic sunt toatestabil˘a simple,).atunci =0 este instabil˘a . Exemplul 2.5. S˘a se studieze stabilitatea pozit¸iei de echilibru x = 0 a 4 1 sistemului x  = Ax, unde A = . 1 2

−  − −

Demonstrat¸ie. Valorile proprii sunt λ1 = λ 2 = tive, solut¸ia este asimptotic stabil˘a .

−3, deci fiind reale ¸si nega-

2.3. STABILITATEA SOLUT ¸ IILOR SISTEMELOR DIFERENT ¸ IALE 39

Exemplul 2.6. Se consider˘a sistemul diferent¸ial x =

−x + z

y  = −2y − z

−

z = y z S˘a se studieze stabilitatea punctului de echilibru (0 , 0, 0).

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a ata¸sat˘ a

 − −  1

λ

0

1 1

 

−2 − λ − = 0 −1 − λ 1 √ are r˘ad˘acinile λ1 = −1, λ2,3 = − 32 ± i 23. Cum toate au partea real˘a negativ˘a 0 0

rezult˘ a c˘a punctul de echilibru al sistemului considerat este asimptotic stabil.

Exemplul 2.7.

S˘a se studieze stabilitatea pozit¸iei de echilibru x = 0 a 0 2 , a IR. 1 a

sistemului x  = Ax, unde A =

∈

 

Demonstrat¸ie. Valorile proprii sunt λ1,2 = ¸si λ 1 λ2 < 0, solut¸ia este instabil˘a .

a

±√a2 +8, deci fiind reale distincte 2

Teorema 2.8. (Liapunov) Dac˘a toate valorile proprii ale operatorului liniar A sunt situate ˆın semiplanul stâng (Reλk < 0, k = 1, 2,...,n ). Atunci pozit¸ia de echilibru x = 0 a sistemului neliniar x = v(x) este asimptotic stabil˘a . Exemplul 2.8. S˘a se studieze stabilitatea solut¸iei banale a sistemului

−x − y + x2 y  = 2 sin x − 3y + y 4 x =

Demonstrat¸ie. Sistemul liniar asociat este

−x − y y  = 2x − 3y −1 −1 A= 2 −3 x =

iar matricea sistemului este

 

. Valorile proprii sunt λ1,2 =

−2 ± i, deci solut¸ia banal˘a este asimptotic stabil˘a .

Capitolul 3

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordin superior Definit ¸ia 3.1. Fie D IRn+1 un domeniu ¸si f : D IR o funct¸ie r diferent¸iabil˘ a (de clas˘a , r 1) pe D. Se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ial˘ a de ordinul n orice ecuat¸ie de forma

C

⊂ ≥

→

x(n) = f (t,x,x  , x ,...,x

(n 1)

−

)

(3.1)

Forma (3.1) se mai nume¸ste ¸si forma normal˘ a a ecuat¸iei diferent¸iale. Uneori se consider˘a ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul n si¸ sub form˘ a implicit˘ a adic˘a F (t,x,x  , x ,...,x (n−1) , x(n) ) = 0, (3.2) unde F : U IR este o funct¸ie diferent¸iabil˘ a (de clas˘a r , r 1) pe un n+2 domeniu U IR . Definit ¸ia 3.2. Se nume¸ste solut¸ie a ecuat¸iei (3.1) o aplicat¸ie de clas˘a n , ϕ: I IR definit˘ a pe un interval I = (a, b) IR astfel ˆıncˆ at :

→ ⊂

C

→

1. punctul (t, ϕ(t), ϕ (t),..., 2. pentru orice t

≥

C

⊂ (n−1) (t)) ∈ D, ∀t ∈ I ;

∈ I , ϕ (n)(t) = f (t, ϕ(t), ϕ(t),...,

(n 1)

−

(t)).

Definit ¸ia 3.3. Se nume¸ste dat˘ a init¸ial˘ a orice punct ( t0 , α0 ,...,

n 1)

−

∈

D. corespunz˘ const˘ aaˆtın determinarea unei solut¸ii ϕ(t)Problema definit˘a peCauchy o vecin˘ atate a luiatoare t 0 astfel ˆıncˆ ϕ(t0 ) = α 0 , ϕ (t0 ) = α 1 ,...,

−

(n 1)

(t0 ) = αn−1 .

Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei (3.1) este o solut¸ie a ecuat¸iei ce depinde de n constante reale arbitrare. Solut¸ia particular˘ a a ecuat¸iei (3.1) este o solut ¸ie a ecuat¸iei ce se obt¸ine din cea general˘a prin particularizarea constantelor. 40

3.1. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE DE ORDIN N REZOLVABILE PRIN CUADRATURI 41

3.1

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordin n rezolvabile prin cuadraturi Ecuat¸ii de forma y (n) = f (x), f

3.1.1

0

∈ C (I ),

n>1

¸ia se rezolv˘ a prin n integr˘ari succesive ¸si solut¸ia general˘a depinde de nEcuat constante arbitrare. Exemplul 3.1. y  = arcsin x + √1x−x2 π6

−

Demonstrat¸ie. Integr˘am succesiv ¸si obt¸inem y =



arcsin x +

√1 x− x2 − π6



− π6 x + c1

dx = x arcsin x

(am integrat prin p˘art¸i) Aplicând din nou formula de integrare prin p˘art¸i obt¸inem y(x) =

 −

x arcsin x

x2 1 arcsin x + x 1 2 4

Exemplul 3.2. y  =

= =

2

dy dx

ln vdv = v ln v

−xe−

2 x

dx =

− 14 arcsin x − 12π x2 + c1x + c2

, x

y(0) = 1 , y  (0) = 0

∈ [0, ∞),

− x4 e−

2

2 x

2 e x2

− x2 dx. Atunci y  = 2 2 2 v + c1 = e− x e− x + c1 . x 2 2 2 e− x e− x + c1 dx =

2 x

=

2 Not˘am v = e− x , deci dv =

Deci y(x) =

2 x



−       −  − · −  − · −  −  − − 

Demonstrat¸ie. Scriem



− x4 e−

x2

− π6 x + c1

2

x

, deci dy  =

2 x2 e

x

− x2

− x2 x

2 e x2

+ c1 x + c2

Determin˘ am constantele c 1 ¸si c 2 : y(0) = 1 = y  (0) = 0 =

⇒ c2 = 1

 

⇒ 0 = lim − x2 x→0

Deci curba c˘autat˘a este y = 1

− xe−

2 x

, x

2

e− x

− e−

∈ [0, ∞).

2 x

+ c1 = c 1

dx.

2 x2 e

− x2 2

dx =

e− x + c1 dx =

42 CAPITOLUL 3. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE DE ORDIN SUPERIOR

3.1.2

Ecuat¸ii de forma f (x, y (n) ) = 0





a) Dac˘a ecuat¸ia poate fi rezolvat˘a ˆın raport cu y (n) ∂y∂f(n) = 0 , atunci obt¸inem una sau mai multe ecuat¸ii de forma 3.1.1. b) Dac˘a ecuat¸ia f (x, y (n) ) = 0 nu este rezolvabil˘a (cu ajutorul funct¸iilor



(n) 0 , t parametric˘ elementare) ˆın=raport cu y u, = dar cunoa¸1s,tem reprezentare aa curbei f (u, v) 0, ¸si anume g(t) v =o h(t) [α, β ], atunci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei 3.2.1 se obt¸ine sub forma parametric˘a

∈C

∈C

∈

x = g(t), dy (n−1) = y (n) dx = h(t)g  (t)dt, de unde rezult˘a y (n−1) = h 1 (t, c1 ) .. . y(t) = h n (t, c1 ,...,c

Exemplul 3.3. x

−

 ey

n)

+ y  = 0

Demonstrat¸ie. Not˘am y  = t si¸ obt¸inem x(t) = et t. Cum dy  = y  dx, 2 obt¸inem dy  = t(et 1)dt, respectiv y  = t2 + tet et + c1 . Dar dy = y  dx,

−

deci dy =

− −   − − − t22

+ tet

y(t) = e2t

3.1.3

et + c1 (et

t 2

3 4

+ et

−

−

−

1)dt. A¸sadar,



t2 t3 + 1 + c1 + 2 6

− c1 t + c2

Ecuat¸ii diferent¸iale de forma f (y (n−1) , y (n) ) = 0

a) Dac˘a ecuat¸ia este rezolvabil˘a prin funct¸ii elementare ˆın raport cu y (n) , punând z = y (n−1) , obt¸inem z  = f (z). Aceast˘a ecuat¸ie este cu variabile separabile ¸si conduce la ecuat¸ia z = y (n−1) = f1 (x, c1 ), care este de tipul anterior. b) Dac˘a ecuat¸ia 3.1.3 nu este rezolvabil˘a prin funct¸ii elementare ˆın raport cu y (n) , dar cunoa¸stem o reprezentare parametric˘a y (n−1) = h(t), y (n) = g(t), t

∈ [α, β],

atunci folosind relat¸ia dy (n−1) = y (n) dx, putem obt¸ine solut¸ia sub form˘a parametric˘ a h x= dt + c1 , y (n−1) = h(t) g



dy (n−2) = h(t)dx =

hh dt g


y (n−2) =

y=




hh dt + c2 g .. .

y  dx + cn

 

− 1 − y 2

Demonstrat¸ie. Facem schimbarea de funct¸ie z(x) = y  si¸ ecuat¸ia diferent¸ial˘ a devine dz = dx, z < 1. 1 z2

−√ −

||

Ea are solut¸ia general˘a arccos z = x + c 1 sau z = cos( x + c 1 ) sau y  = cos(x + c1 ), de unde deducem y(x) = sin(x + c1 ) + c2 . Solut¸ii sunt ¸si dreptele y = x + c3 ¸si y = x + c4 .

−

Exemplul 3.5. y 2 = y  Demonstrat¸ie. Rezolv˘am ecuat¸ia ˆın raport cu y  si¸ obt¸inem

±√y = 1 (x + c1), deci y  = 1 (x + c1)2. 2

y  ±2√y

=

1 2

sau

4

1 Integrˆ and obt¸inem y (x) = 12 (x + c1 )3 + c2 . Ecuat¸ia are ¸si solut¸iile y(x) = c 3 .

3.1.4

Ecuat¸ii diferent¸iale de forma f (y (n−2) , y (n) ) = 0

a) Dac˘a ecuat¸ia se poate rezolva (prin funct¸ii elementare) ˆın raport cu y (n) , prin schimbarea de funct¸ie z = y (n−2) , z fiind noua funct¸ie necunoscut˘a obt¸inem z  = f (z). Prin multiplicare cu 2 z  , z  = f (z) se scrie d(z  )2 = 2f (z)dz s¸i prin integrare ne d˘a z  =



2 f (z)dz + c1 , apoi printr-o nou˘a

cuadratur˘a obt¸inem F 1 (z,x,c 1 , c2 ) = 0 sau F 1 (y (n−2) ,x,c 1 , c2 ) = 0 care este o ecuat¸ie de tipul 3.1.2. b) Dac˘a ecuat¸ia nu se poate rezolva prin funct¸ii elementare ˆın raport cu y (n) , dar cunoa¸stem o reprezentare parametric˘ a y (n−2) = h(t) ¸si y (n) = g(t), (n−1) (n−2) t [α, β ], din dyy(n) = dy = dx obt ¸ inem pe y (n−1) y (n−1)

∈

(n 1) 2

(y

−

) =2



g(t)h (t)dt + c

¸si problema s-a redus la una deja ˆıntˆ alnit˘a . 1 Exemplul 3.6. y  = 4√ y

Demonstrat¸ie. Multiplic˘am cu 2 y  si ¸ integr˘am. Obt¸inem y 2 = aici deducem dy = dx. y + c1

√

±

√y + c1 si¸ de


√

2

−

Notând y + c1 = t 2 , avem y = (t2 c1 )2 ¸si ecuat¸ia devine 4t(t t c1 )dt = ¸si integrˆ and obt¸inem 43 t3 4c1 t + c2 = x. Deci x = 43 y + c1 ( y 2c1 ) + c2 , y 0, y + c1 0.

−√

√

±


− y1 , 3

−

−

±

≥ √

±dx

≥

y(2) = 1 , y  (2) = 1

Demonstrat¸ie. Inmult¸im ecuat¸ia cu y  si¸ integr˘am y 2 = 2c1 +

1 . y2

Acum folosind condit¸iile init¸iale date, deducem c 1 = 0, deoarece y  (2) = 1 ¸si y 2 = y12 , adic˘a y  = y1 . Mai integr˘am o dat˘a ¸si g˘ asim y 2 = 2x + 2c2 . Având 3 ˆın vedere c˘ a y(2) = 1, rezult˘a c˘ a c 2 = 2 . Deci solut¸ia particular˘a c˘autat˘ a

−

este y =



3.1.5

Ecuat¸ii diferent¸iale de forma f (x, y (k) ,...,y

2(x

− 32 ).

Ecuat¸ia se rezolv˘a f˘acând schimbarea de funct¸ie ecuat¸ia de ordinul n k,

y (k)

(n)

)=0

= z(x) ¸si obt ¸inem

−

(n k)

− ) = 0. f (x,z,z  ,...,z (3.3) Integrˆ and (3.3) g˘asim z = g(x, c1 , c2 ,...,c n−k ) ¸si astfel obt¸inem o ecuat¸ie ˆıntâlnit˘a y (k) = g(x, c1 , c2 ,...,c n−k ). Dac˘a (3.3) are integrale singulare, atunci ˆınlocuindu-le ˆın y (k) = z(x) obt¸inem integralele singulare ale ecuat¸iei 3.1.5. Exemplul 3.8. (1 + x2 )y  = 2xy  Demonstrat¸ie. Dac˘a facem schimbarea de funct¸ie y  = z(x) obt¸inem ecuat¸ia z 2x si prin integrare avem z = y  = c1 (1 + x2 ). Rezult˘a z = 1+x2 ¸ y(x) = c1 x + c1

x3 + c2 . 3



Exemplul 3.9. xy  = y  ln yx

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia se mai scrie ¸si astfel xy  y

− ln y = − ln x

Luând pe z = ln y  ca funct¸ie necunoscut˘a , ecuat¸ia devine liniar˘a z

− xz = − lnxx


Aceast˘a ecuat¸ie liniar˘a are solut¸ia general˘a z = c1 x + ln x + 1, deci ln y  = 1 + c1 x + ln x sau y  = xe1+c1 x , de unde y(x) =

3.1.6

− x c1

1 c21

e1+c1 x + c2 .

(n)

Ecuat¸ii diferent¸iale de forma f (y  , y  ,...,y cont¸in pe y )

) = 0 (ce nu

Se integreaz˘a luând pe y  drept variabil˘a independent˘a ¸si pe y  drept funct¸ie de y  , y  = y  (y  ). Exemplul 3.10. x2 y  = y 2 2xy  + 2x2

−

Demonstrat¸ie. Facem schimbarea de funct¸ie y  = z(x) ¸si obt ¸inem o ecuat¸ie Riccati z2 z z  = 2 2 + 2. x x Aceast˘a ecuat¸ie are solut¸ia particular˘a evident˘ a zp = x si ¸ se integraz˘a 1 punând z = x + u(x) , u(x) fiind noua funct¸ie necunoscut˘a . Obt¸inem z(x) =

−

c1 x c1 x x+ x+c , deci y  (x) = x+ x+c , de unde y(x) = 1 1

Exemplul 3.11. 1 + y 2 + xy  y  = ay 



x2 2 +c1 x

−c21 ln |x+c1|+c2.

1 + y 2

Demonstrat¸ie. Imp˘art¸im cu 1 + y 2 , not˘am y  = z si¸ lu˘am pe x ca funct¸ie, iar pe z ca variabil˘a independent˘a . Obt¸inem ecuat¸ia diferent¸ial˘ a liniar˘a dx xz + = dz 1 + z2

√1 a+ z 2

c1 az √1+z care are integrala general˘a x = √1+z 2 + 2.  Dac˘a not˘am z = y = tg t, obt¸inem x(t) = c 1 cos t + a sin t. Pe y ıˆl afl˘am din relat¸ia dy = y  dx care ne d˘a

y(t) =

  

−a cos t + c1 sin t − c1 ln tg

t π + 2 4

+ c2 .

Astfel solut¸ia general˘a a fost dat˘a sub form˘a parametric˘a .

3.1.7

Ecuat¸ii diferent¸iale de forma f (y, y  , y  ,...,y nu cont¸in pe x)

(n) )

= 0 (ce

Aceste ecuat¸ii admit miçsorarea ordinului cu o unitate dac˘a lu˘am pe y  = p drept nou˘a funct¸ie ¸si pe y drept variabil˘a independent˘a . Procedând a¸sa este posibil s˘ a pierdem solut¸ii de forma y = b. Inlocuind y = b ıˆn ecuat¸ia de forma 3.1.7 putem decide dac˘ a s-au pierdut sau nu solut¸ii. Exemplul 3.12. 1 + y 2 = 2yy 


Demonstrat¸ie. Luând pe y  = p drept funct¸ie ¸si pe y drept variabil˘a indedy dy dp d d pendent˘ a , obt¸inem y  = dx ¸ ecuat¸ia dat˘a devine dx = dy (p) dx = p dy si



2pdp 1+p2

2 = dy y ce are drept solut¸ie y = c 1 (1 + p ). Calcul˘am acum pe x ca funct¸ie de p ¸si c1 . Cum dx = 1p dy ¸si dy = 2c1 pdp, rezult˘a dx = 2c1 dp. Deci x = 2c1 p + c 2 si¸ solut¸ia general˘a este c2 )2 x(p) = 2c1 p + c2 , y (p) = c 1 (1 + p2 ) sau y = c1 + (x− (parabole). 4c1

Exemplul 3.13. y 

2

− yy − yy  = 0

Demonstrat¸ie. Proced˘ am ca la exemplul precedent ¸si avem p



dp dy

− py − y



= 0.

Ea ne d˘a i. p = 0, deci y = c1 dp p ii. dy y =y

−

Aceast˘a ecuat¸ie are solut¸ia general˘a p = y(y + c2 ). Deci deosebim cazurile : 1. c2 = 0 ¸si rezult˘ a y1 + x = c 3



= dx ¸si

− y+cdy = c2dx, deci y+cy = c4ec x. 2y 2 = y  (y − 1), x0 = 2, y0 = 2, y0 = −1

2. c2 = 0 ¸si rezult˘ a

Exemplul 3.14.

dy y(y+c2 )

dy y

2

2

2

Demonstrat¸ie. Procedˆ and ca mai ˆınainte avem 2p2 = p

dp (y dy

dp − 1) sau y2dy −1 = p .

Solut¸ia general˘a a acestei ecuat¸ii este p = c 1 (y 1)2 . Condit¸iile init¸iale ne dau c 1 = 1. Deci solut¸ia general˘a devine

−

−

− (y −dy1)2 = dx, ecuat¸ie care se integreaz˘a obt¸inˆ and

1 y 1

−

Aplicˆ nd condit¸iile init¸iale g˘asim curbei c˘aautate.

3.1.8

c2

= x + c2 . =

Ecuat¸ii de forma f (x,y,y  ,...,y

−1, deci (n)

y =

x x 1

−

este ecuat¸ia

) = 0, omogene ˆın y, y  ,...,y

Aceste ecuat¸ii admit miçsorarea ordinului cu o unitate dac˘ a facem schim barea de funct¸ie z(x) = yy . Determinând solut¸ia general˘a a noii ecuat¸ii pentru z (x), y rezult˘a printr-o cuadratur˘a . Exemplul 3.15. xyy  + xy 2 yy  = 0

−

(n)

3.2. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE LINIARE DE ORDINUL N

47

Demonstrat¸ie. Lu˘am drept nou˘a funct¸ie necunoscut˘a , funct¸ia z (x) = obt¸inem y  = zy, y  = z  y + z 2 y = y(z  + z 2 )

y y

¸si

iar ecuat¸ia dat˘a devine 2

2

2 2

xy (z  + z ) + xz y Deci obt¸inem ecuat¸ia Bernoulli z  + 2z 2

2

− zy

= 0.

− xz = 0

care se integreaz˘a luând u = z −1 . Astfel obt¸inem o ecuat¸ie liniar˘a ˆın u(x) cu solut¸ia general˘a u(x) =  x x Deci z = x2 +c ¸si yy = x2 +c , de unde rezult˘a y 2 = c2 (x2 + c1 ). 1 1

Exemplul 3.16. x2 yy  = (y

x2 +c1 x .

− xy)2

Demonstrat¸ie. Procedˆ and la fel ca la exemplul anterior obt ¸inem x2 (z  + z 2 ) = 1

− 2xz + x2z2 sauz + 2zx = x12 .

Aceast˘a ecuat¸ie liniar˘ a are solut¸ia general˘a z = c1 de aici y (x) = c2 xe− x .

3.2 3.2.1

1 x

+

c12 . x

Deci

yy

=

1 x

+

c12 x

¸si

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n cu coeficient¸i variabili

Definit ¸ia 3.4. O ecuat¸ie de forma a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an (x)y = f (x)

(3.4)

cu a 0 , a1 ,...,a n , f funct¸ii continue pe un interval (a, b) se nume¸ste ecuat¸ie diferent ¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul n cu coeficient¸i variabili. Dac˘a f (x) 0, se spune c˘a ecuat¸ia (3.4) este omogen˘ a , iar dac˘a f (x) nu este identic nul˘a , se spune c˘a ecuat¸ia este neomogen˘ a . Definit ¸ia 3.5. Punctele ˆın care se anuleaz˘a a0 (x) ˆın (a, b) se numesc puncte singulare ale ecuat¸iei (3.4). Not˘am cu L[y] = a 0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an (x)y numit operator diferent ¸ial liniar. Ecuat¸ia (3.4) devine L[y] = f (x). n ((a, b)) avem Operatorul L are proprietatea c˘a α, β IR¸si ϕ, ψ L[αϕ + βψ] = αL[ϕ] + βL[ψ]. Dac˘a not˘am cu ker L nucleul operatorului diferent¸ial L (i.e. y ker L, n dac˘a L[y] = 0), avem ker L ((a, b)) dac˘a se presupune c˘a a 0 (x) = 0, x

≡

∀

⊂C

∈

∈C

∈ 

∈

48 CAPITOLUL 3. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE DE ORDIN SUPERIOR (a, b), iar dim ker L = n, o baz˘a a spat¸iului vectorial finit dimensional ker L fiind constituit˘a din orice n solut¸ii particulare liniar independente ˆın (a, b) ale ecuat¸iei diferent¸iale L[y] = 0 ¸si care vor forma un sistem fundamental de solut¸ii pentru ecuat¸ia omogen˘a L[y] = 0. n ((a, b)) formeaz˘ ¸iile y1 , y2 ,...,y n a un sistem funTeorema 3.1. Funct damental de solut¸ii pentru ecuat¸ia diferent¸ial˘ a L[y] = 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a y1 y2 . . . y n y1 y2 . . . y n wronskianul W (y1 , y2 ,...,y n ) = este nenul ... ... ... ... (n−1) (n−1) (n−1) y1 y2 .. . y n pe (a, b).

∈C

 

 

n Demonstrat¸ie. Dac˘a funct¸iile y1 , y2 ,...,y n ((a, b)) formeaz˘a un sistem fundamental de solut¸ii, adic˘a y 1 , y2 ,...,y n sunt solut¸ii particulare liniar independente ce formeaz˘a o baz˘a ˆın ker L, ar˘at˘am c˘a ˆıntr-un punct x 0 (a, b) avem W (y1 , y2 ,...,y n )(x0 ) = 0. Intr-adev˘ ar, y 1 , y2 ,...,y n formând o baz˘a ˆın kerL, pentru orice y ker L exist˘ a un sistem unic de constante c 1 , c2 ,...,c n astfel ˆıncât

∈C

∈ ∈



y = c 1 y 1 + . . . + cn y n

(3.5)

de constante este unic pentru c˘ a , dac˘a ar(cmai exista d1 , dSistemul d1 )y1 + d2 )y2 +altul ...+ 2 ,...,d n diferit de c 1 , c2 ,...,c n , atunci ( c1 2 (cn dn )yn = 0 ceea ce nu ar fi posibil deoarece y1 , y2 ,...,y n sunt liniar independente. Din (3.5) obt¸inem pentru punctul x 0 :

−

−

−

y(x0 ) = c1 y1 (x0 ) + . . . + cn yn (x0 ) y  (x0 ) = c1 y1 (x0 ) + . . . + cn yn (x0 ) .. . (n 1)

y (n−1) (x0 ) = c 1 y1

−

(3.6)

(x0 ) + . . . + cn yn(n−1) (x0 )

Ar˘at˘am c˘a acest sistem de ecuat ¸ii ˆın c1 , c2 ,...,c n are solut¸ia unic˘a ¸si anume pe c 1 , c2 ,...,c n din (3.5), care e definit pe y ker L. Dac˘a sistemul ar mai avea o alt˘a solut¸ie d1 , d2 ,...,d n diferit˘a de c1 , c2 ,...,c ea ar defini un alt element Y ker L :

∈

∈

Y = d 1 y1 + d2 y2 + . . . + dn yn ceea ce ˆınseamn˘ a c˘ a avem Y (x0 ) = d 1 y1 (x0 ) + . . . + dn yn (x0 ) Y  (x0 ) = d 1 y1 (x0 ) + . . . + dn yn (x0 ) .. . (n 1)

Y (n−1) (x0 ) = d 1 y1

−

(x0 ) + . . . + dn yn(n−1) (x0 )

(3.7)

n,


Tinˆ and seama c˘a d 1 , d2 ,...,d

n

49

este o solut¸ie a sistemului (3.6), rezult˘a

Y (x0 ) = y(x0 ), Y  (x0 ) = y  (x0 ), Y (n−1) (x0 ) = y (n−1) (x0 )

(3.8)

Ins˘ a y ¸si Y fiind solut¸ii ale ecuat¸iei diferent¸iale L[y] = 0 ¸si verificˆ and acelea¸si condit¸ii ale lui Cauchy (3.8) ˆın punctul x0 , ˆın baza teoremei de existent¸a˘ ¸si unicitate a solut¸iei problemei Cauchy, ele sunt identice. Deci y = Y ker L s¸i deoarece y 1 , y2 ,...,y n formeaz˘a o baz˘a ˆın kerL, vom avea di = ci , i = 1, n. Astfel am demonstrat c˘a sistemul (3.6) are o solut¸ie unic˘a , deci W (y1 , y2 ,...,y n )(x0 ) = 0. Reciproc, dac˘a y1 , y2 ,...,y n ker L sunt astfel ˆıncˆ at W (y1 , y2 ,...,y n )(x0 ) = 0, atunci ar˘at˘ am c˘a y 1 , y2 ,...,y n formeaz˘a un sistem fundamental de solut¸ii pe (a, b). Presupunem contrariul, adic˘a y1 , y2 ,...,y n sunt liniar dependente pe (a, b). Atunci exist˘a constantele c 1 , c2 ,...,c n nu toate nule astfel ˆıncât

∈

∀



∈



c1 y1 + . . . + cn yn = 0. Pentru orice x

∈ (a, b) avem c1 y1 (x) + . . . + cn yn (x) = 0 c1 y1 (x) + . . . + cn yn (x) = 0 .. . (n 1)

c1 y 1

−

(3.9)

(x) + . . . + cn yn(n−1) (x) = 0

¸si ˆın particular sistemul este verificat ¸si pentru x 0 . Ins˘ a determinantul sistemuluiˆın c1 , c2 ,...,c n este W (y1 , y2 ,...,y n )(x0 ) = 0 ¸si prin urmare sistemul are doar solut¸ia banal˘a c1 = 0,...,c n = 0, contradict¸ie cu presupunerea f˘acut˘a . Deci y1 , y2 ,...,y n sunt liniar independente ¸si formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii pe ( a, b).



In ipoteza c˘a y1 , y2 ,...,y n formeaz˘a un sistem fundamental de solut ¸ii pentru ecuat¸ia diferent¸ial˘ a L[y] = 0, orice solut¸ie a sa se va scrie y = c 1 y1 + . . . + cn yn , c1 , c2 ,...,c

Observat ¸ia 3.1.

IR.

n

∈

1. Dac˘a se cunoa¸ste o solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei L[y] = 0, fie aceea y1 (x), atunci, prin schimbarea de funct¸ie y(x) = y 1 (x) z(x), z(x) fiind noua funct¸ie necunoscut˘a , ordinul ei poate fi miçsorat cu o unitate.

·

2. Dac˘a a 0 (x) + a1 (x) + . . . + an (x) = 0, atunci ecuat¸ia L[y] = 0 admite solut¸ia particular˘a y 1 (x) = e x .

50 CAPITOLUL 3. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE DE ORDIN SUPERIOR 3. Dac˘a a n−1 (x) + xan (x) = 0, atunci L[y] = 0 admite solut¸ia particular˘a y1 (x) = x. 4. Ecuat¸iile de forma a0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n−1) + . . . + a n (x)y = 0, unde a0 ,...,a n sunt polinoame, pot admite ca integrale particulare polinoame. Orice solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale L[y] = 0 va fi de forma y = y + yp , unde L[y] = 0, iar L[yp ] = f (deci yp este o solut¸e particular˘a a ecuat¸iei diferent¸iale L[y] = f ). Solut¸ia particular˘a yp se poate obt¸ine cu ajutorul metodei lui Lagrange, fiind de forma yp (x) = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) + . . . + cn (x)yn (x), unde c 1 (x), c2 (x),...,c

n(x) verific˘a sistemul c1 (x)y1 (x) + . . . + cn (x)yn (x) = 0 c (x)y  (x) + . . . + c (x)y  (x) = 0 1

1

n

n

.. .

(3.10) (n 1)

c1 (x)y1

−

(x) + . . . + cn (x)yn(n−1) (x) =

f (x) a0 (x)

Exemplul 3.17. S˘a se construiasc˘a ecuat¸iile diferent¸iale liniare care admit solut¸iile particulare indicate: a) y1 = cos 2 x, y2 = sin 2 x x

b) y1 = e− 2 , y2 = ex , y3 = xex

Demonstrat¸ie. a) Wronskianul este W (y1 , y2 ) =



In ipoteza sin 2x = 0, ecuat¸ia c˘autat˘a va fi W (y1 , y2 , y) = deci y  sin2 x

  −−

b) Avem W (y1 , y2 , y3 ) =

W (y1 , y2 , y3 , y) =

deci 2y 

− 3y + y = 0.

cos2 x sin2 x sin2 x sin2 x

cos2 x sin2 x y sin2 x sin2 x y  2cos2 x 2cos2 x y 

− 2y cos2 x = 0.

Atunci ecuat¸ia c˘autat˘a va fi

 −

x

e− 2 1 − x2 2e 1 e− x2 4

−

 − −

x

e− 2 1 − x2 2e 1 − x2 4e x 1 −2 8e

 

ex xex ex ex + xex ex 2ex + xex



= sin 2x.

= 0,

1 32 x 4e

=



−

 

ex xex y x x e e + xex y  = 0, ex 2ex + xex y  ex 3ex + xex y 

= 0.




51

Exemplul 3.18. S˘a se g˘aseasc˘ a solut¸ia general˘a a ecuat¸iei 1

y  +

x2 ln x

y = ex

 

2 + ln x , x > 0, x

¸stiind c˘ a o solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei omogene este y 1 = ln x.

·

· − · · · −

Demonstrat¸ie. Facem substitut¸ia y = y1 z = ln x z. Derivând succesiv g˘asim y  = x1 z+ln x ¸si y  = x12 z+ x1 z  + x1 z  +ln x z  = x12 z+ x2 z  +ln x z  . Ecuat¸ia devine x12 z + x2 z  + ln x z  + x2 1ln x ln x z = ex x2 + ln x sau ln x z  + 2x z  ex x2 + ln x = 0. Pentru a reduce ordinu l acestei ecuat¸ii vom 2 2 face substitut¸ia z  = u si ¸ ecuat¸ia devine u + x·ln ex x·ln x u x + 1 = 0. Aceasta este o ecuat¸ie liniar˘a de ordinul ˆıntˆ ai a c˘arei solut¸ie general˘a este dz u(x) = ln12 x (c2 + ex ln 2 x) = lnc22 x + ex = z  = dx . Integrând obt¸inem

· − −

 

·

z = c2

·

dx ln2 x

+

ex

−

·

·

·

+ c1 , deci y = ln x

·

 · c2

dx ln2 x

+ ex + c1 .

− 1)y − xy + y = (x − 1)3e2x Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia omogen˘a este ( x − 1)y  − xy  + y Exemplul 3.19. (x

 ·   

= 0 ¸si admite solut¸ia particular˘a y1 (x) = x, conform Observat¸iei 3.1, punctul 3 ¸si solut¸ia particular˘a y 1 (x) = ex , conform Observat¸iei 3.1, punctul 2. x

Atunci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este y (x) = c1 x + c2 e . Pentru a determina o solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei neomogene folosim metoda lui Lagrange ¸si c˘ aut˘am solut¸ia yp de forma y p (x) = c1 (x)x+ c2 (x)ex , funct¸iile c 1 (x) ¸si c 2 (x) determinându-se din sistemul c1 (x)x + c2 (x)ex = 0 c1 (x) + c2 (x)ex =

(x

Din sistemul (3.11) obt¸inem c 1 (x) = (1 x)e2x , deci c 1 (x) = 34 e2x c2 (x) = (x2 x)ex , deci c 2 (x) = 3e x 3xex + x2 ex .

−

(3.11)

− 1)3e2x x−1

−

− x2 e2x ¸si

− − 94 x + 3 , iar solut¸ia general˘a a ecuat¸iei date este y (x) = c1 x + c2 ex + e2x x2 − 94 x + 3 . A¸sadar yp (x) = e2x



x2 2



2





Exemplul 3.20. (x3 x2 + 7x + 9)y  2x2 2x 16, x0 = 0, y0 = 0, y  (0) = 0

− −

−

−

4(x2

x + 4)y  + (6x

−

Demonstrat¸ie. C˘aut˘am pentru ecuat¸ia omogen˘a asociat˘ a (x3

− x2 + 7x + 9)y − 4(x2 − x + 4)y + (6x − 6)y = 0

o solut¸ie de forma y 1 = x 2 + a1 xn−1 + . . . + an . Obt¸inem n(n

− 1)xn+1 + . . . − 4nxn+1 + . . . + 6xn+1 + . . . = 0.

6)y =

−

52 CAPITOLUL 3. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE DE ORDIN SUPERIOR De aici, prin identificare g˘asim ecuat¸ia n 2 n 4n+6 = 0 care are r˘ad˘acinile n1 = 2, n2 = 3. Notând y 1 = x 2 + a1 x + a2 ¸si y 2 = x 3 + b1 x2 + b2 x + b3 si ¸ punând condit¸ia sa verifice ecuat¸ia omogen˘a obt¸inem a 1 = 0, a2 = 3, b1 = 0, b2 = 3, b3 = 8. Deci am g˘asit dou˘a solut¸ii particulare y 1 = x 2 + 3, y 2 = x 3 + 3x 8.

− −

−

−

Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene asociate este y(x) = c1 (x2 + 3) + c2 (x3 + 3x 8).

−

C˘aut˘am o solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei neomogene de forma yp (x) = Ax + B si¸ g˘asim A = 1, B = 0. Astfel y p (x) = x ¸si y (x) = c1 (x2 + 3) + c2 (x3 + 3x 8) + x. Impunând condit¸iile Cauchy, obt¸inem sistemul

−

3c1

− 8c2 = 0

3c2 + 1 = 0 care are solut¸ia c1 = 89 , c2 = c˘autat˘a y (x) = 19 x2 (3x + 8).

−

−

3.2.2

− 13 si¸ care determin˘a solut¸ia particular˘a

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i

Definit¸ia 3.6. O ecuat¸ie de forma L[y] = a 0 y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an y = f (x)

(3.12)

cu a 0 , a1 ,...,a n constante se nume¸ste ecuat¸ii diferent¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i. Dac˘a f (x) 0, se spune c˘a ecuat¸ia (3.4) este omogen˘ a , iar dac˘a f (x) nu este identic nul˘a , se spune c˘a ecuat¸ia este neomogen˘ a . Definit ¸ia 3.7. Se nume¸ste polinomul caracteristic ata¸ sat ecuat¸iei omogene L[y] = 0, polinomul F (r) = a 0 r n +a1 r n−1 +. . .+an , iar F (r) = 0 se nume¸ste ecuat¸ia caracteristic˘ a ata¸sat˘a ecuat¸iei L[y] = 0.

≡

Teorema 3.2. 1. Dac˘a ecuat¸ia caracteristic˘ a F (r) = 0 are r˘ ad˘acini reale ¸si distincte r 1 , r2 ,...,r n , atunci un sistem fundamental de solut ¸ii pentru ecuat¸ia diferent¸ial˘ a liniar˘a cu coeficient¸i constant¸i L[y] = 0 este y1 (x) = e r1 x , y2 (x) = e r2 x ,...,y

n (x)

= e rn x .

2. Dac˘a printre r˘ad˘acinile ecuat¸iei caracteristiceF (r) = 0 exist˘ a ¸si r˘ ad˘acini reale multiple, de exemplu r1 este r˘ad˘ acin˘a cu ordinul de multiplicitate p, atunci ei ˆıi corespund p solut¸ii liniar independente ale ecuat¸iei L[y] = 0 : y1 (x) = er1 x , y2 (x) = xer1 x ,...,y

p (x)

= x p−1 er1 x .


53

3. Dac˘a printre r˘ad˘ acinile ecuat¸iei caracteristiceF (r) = 0 exist˘ a ¸si r˘ ad˘acini complexe, de exemplu r = a + ib, r = a ib, atunci fiec˘arei perechi de r˘ ad˘acini complexe conjugate ˆıi corespund dou˘ a solut¸ii liniar independente y1 (x) = e ax cos bx,y 2 (x) = eax sin bx.

−

4. Dac˘a ecuat¸ia caracteristic˘ a F (r) = 0 are printre solut¸iile ei r˘ad˘acini complexe r = a + ib, r = a ib cu ordinul de multiplicitate p, atunci lor le corespund 2p solut¸ii liniar independente

−

y1 (x) = eax cos bx,y 2 (x) = xeax cos bx,...,y yp+1 (x) = eax sin bx,y p+2 (x) = xeax sin bx,...,y

p (x)

= x p−1 eax cos bx

2p (x)

= x p−1 eax sin bx.

Demonstrat¸ie. 1. Verific˘am c˘a yk (x) = erk x este solut¸ia ecuat¸iei L[y] = 0 pentru k = 1, n. Avem L[yk ] = erk x (a0 rkn + a 1 rkn−1 + . . . + a n ) = 0, deoarece rk este r˘ad˘acina ecuat¸iei caract eristice. Deci yk (x) = erk x este solut¸ia ecuat¸iei L[y] = 0 pentru k = 1, n. Solut¸iile y1 , y2 ,...,y n formeaz˘a un sistem fundamental, deoarece wronskianul lor este egal cu produsul dintre e(r1 +...+rn )x ¸si determinantul Vandermonde al numerelor distincte r 1 ,...,r n s¸i deci este diferit de zero. A¸sadar,

∀

∀

r1 x

r2 x

1 2 solut . . . +¸ia cngeneral˘ ern x . a a ecuat¸iei diferent¸iale omogene este y = c e + c e + 2. Dac˘a r 1 este r˘ad˘acin˘a ecuat¸iei caracteristice cu ordinul de multiplicitate p, atunci

F (r1 ) = 0, F  (r1 ) = 0, F  (r1 ) = 0,...,F

(p 1)

−

(r1 ) = 0, F (p) (r1 ) = 0.



Pentru y = erx z, calcul˘am derivatele cu ajutorul formulei lui Leibniz ¸si obt¸inem y  = erx (rz + z  ) y  = erx (r 2 z + 2rz + z  ) ...

(3.13)

y (n) = e rx (r n z + Cn1 rn−1 z  + Cn2 r n−2 z  + . . . + Cnn z (n) ), de unde rezult˘a c˘a L[erx z] = e rx (bn z + bn−1 z  +. . .+b0 z (n) ), unde coeficient¸ii se determin˘a cu formulele (3.13). Avem bn = a 0 r n + a1 r n−1 + . . . + an = F (r) ¸si ˆın general bn−j = C nj r n−j + a1 Cnj −1 rn−j −1 + . . . + an−j Cjj =

F (j)(r) , j = 1, n j!

54 CAPITOLUL 3. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE DE ORDIN SUPERIOR De unde rezult˘a c˘a rx

rx

L[e z] = e



F  (r)  F  (r)  F (n)(r) (n) F (r)z + z + z + ... + z 1! 2! n! (p)(r1 )



(n)(r )

A¸sadar, L[er1 x z] = er1 x F p! z (p) + . . . + F n! z (n) . Dac˘a z este ˆınlocuit cu 1,x,...,x p−1 , paranteza din membrul al doilea este nul˘a ¸si, prin urmare, avem





L[er1 x ] = 0, L[er2 x ] = 0,...,L [ern x ] = 0, ceea ce ˆınseamn˘ a c˘a er1 x , xer1 x ,...,x p−1 er1 x sunt solut¸iile ecuat¸iei diferent¸iale L[y] = 0. Inmult¸ind aceste solut¸ii cu constante oarecare ¸si adunˆ and deducem c˘a la r˘ ad˘acina r1 cu ordinul de multiplicitate p a ecuat¸iei caracteristice corespunde solut¸ia y = er1 x (c0 xp−1 + c 1 xp−2 + . . . + c p−1 ) ce depinde de p constante oarecare c 0 , c1 ,...,c p−1 . 3. Fie r = a + ib r˘ad˘acin˘a complex˘a a ecuat¸iei caracteristice. Aceasta ˆınseamn˘a c˘a funct¸ia y = e(a+ib)x = eax eibx = eax cos bx + ieax sin bx este o solut¸ie complex˘a a ecuat¸iei L[y] = 0. Deoarece L[eax cos bx + ieax sin bx] = 0 este echivalent cuL[eax cos bx]+iL[eax sin bx] = 0, ˆınseamn˘ a c˘a L[eax cos bx] = 0 ¸si L[eax sin bx] = 0, deci e ax cos bx si¸ e ax sin bx sunt solut¸ii ale ecuat¸iei L[y] = 0 ce corespund oric˘ arei r˘ad˘acini complexe r = a + ib a ecuat¸iei caracteristice. 4. Rezult˘a din 2 ¸si 3.


− y = 0,

y(0) = 2 , y  (0) = 0

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a este r 2 1 = 0 ¸si are r˘ ad˘acinile r1 = 1, r2 = 1. Deci un sistem fundamental de solut¸ii este y 1 (x) = e −x , y2 (x) = ex , iar solut¸ia general˘a va fi y (x) = c1 e−x + c2 ex . Impunem solut¸iei ¸si derivatei ei condit¸iile Cauchy date ¸si obt¸inem sistemul c 1 + c2 = 2, c1 + c2 = 0 care are solut¸ia c 1 = c2 = 1. A¸ sadar, solut¸ia particular˘ a este y(x) = e −x + ex .

−

−

−

Exemplul 3.22. y  + 2y  + y = 0, y(0) = 0 , y  (0) = 1 Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a este r2 + 2r + 1 = 0 ¸si are r˘ad˘acinile r1 = r 2 = 1. Deci un sistem fundamental de solut¸ii este y1 (x) = e−x , y2 (x) = xe−x , iar solut¸ia general˘a va fi y (x) = c1 e−x + c2 xe−x . Impunem solut¸iei ¸si derivatei ei condit¸iile Cauchy date ¸si obt¸inem c1 = 0, c2 = 1, deci solut¸ia particular˘a este y(x) = xe−x .

−

Exemplul 3.23. y  + y  + y = 0


55

2 Demonstrat¸ie.√ Ecuat¸ia caracteristic˘ √3 a este r + r + 1 = 0 ¸si are r˘ad˘acinile 3 1 1 r1 = 2 + i 2 , r2 =√ 2 i 2 . Deci un √sistem fundamental de solut¸ii x x este y1 (x) = e− 2√cos 23 x, y2 (x) = e− 2 sin 23 x, iar solut¸ia general˘a va fi √ x x y(x) = c 1 e− 2 cos 23 x + c2 e− 2 sin 23 x.

−

− −

IV

Exemplul 3.24. y + 2y  + y = 0 Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a este r4 + r 2 + 1 = 0 ¸si are r˘ ad˘acinile r1 = r2 = i, r3 = r4 = i. Deci un sistem fun damental de solut¸ii este y1 (x) = cos x, y2 (x) = x cos x, y3 (x) = sin x, y4 (x) = x sin x, iar solut¸ia general˘a va fi y (x) = c1 cos x + c2 x cos x + c3 sin x + c4 x sin x

−

Teorema 3.3. Fie y solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei diferent¸iale liniare omogene cu coeficient¸i constant¸i ¸si yp o solut¸ie particular˘ a a ecuat¸iei neomogene L[y] = f . Atunci solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei liniare neomogene este andu-se determina ˆıntotdeauna prin metoda variat¸iei cony = y + yp , y p putˆ stantelor. In anumite cazuri se poate determina forma solut ¸iei particulare y p dup˘a forma funct¸iei f (x). Indic˘am ˆın continuare câteva astfel de cazuri: 1. Dac˘a f = c, F (0) = 0, atunci



yp (x) =

c an

2. Dac˘a f = c, F (0) = 0 , F  (0) = 0 ,...,F atunci cxp yp (x) = p!an−p

−

(p 1) (0)

= 0 , F (p) (0) = 0,



3. Dac˘a f = ceαx , F (α) = 0, atunci



yp (x) =

ceαx F (α)

4. Dac˘a f = ceαx , F (α) = 0, F  (α) = 0,...,F atunci ceαx xp yp (x) = F (p) (α)

(p 1) (α)

−

= 0, F (p) (α) = 0,



Prin schimbarea de funct¸ie y(x) = eαx z(x), z(x) fiind noua funct¸ie necunoscut˘ a reg˘asim cazurile 1,2.



5. Dac˘a f = P m (x) ¸si F (0) = 0, P m (x) fiind un polinom ˆın x de grad m, atunci yp (x) = Q m (x), unde Qm (x) este un polinom ˆın x de grad m

56 CAPITOLUL 3. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE DE ORDIN SUPERIOR 6. Dac˘a f = Pm (x) ¸si F (0) = 0 , F  (0) = 0 ,...,F 0, atunci yp (x) = x p Qm (x)

(p 1) (0) =

−

0 , F (p) (0) =



7. Dac˘a f = eαx Pm (x) ¸si F (α) = 0, P m (x) fiind un polinom ˆın x de grad



m, atunci yp (x) = e αx Qm (x), unde Qm (x) este un polinom ˆın x de grad m 8. Dac˘a f = e αx Pm (x), F (α) = 0, F  (α) = 0,...,F 0, atunci yp (x) = x p eαx Qm (x)

(p 1) (α)

−

= 0, F (p) (α) =



In cazurile 7 ¸si 8 punând y(x) = eαx z(x), z(x) fiind noua funct ¸ie necunoscut˘ a , reg˘asim rezultatele de la punctele 5 ¸si 6. 1 2 9. Dac˘a f = e αx Pm (x)cos βx +eαx Pm (x)sin βx, iar F (α+iβ ) = 0, atunci



yp (x) = eαx [Q1m (x)cos βx + Q1m (x)sin βx] 10. Dac˘a f = eαx Pm (x) ¸si α + iβ este o r˘ad˘acin˘a multipl˘a de ordinul p a lui F (r), atunci yp (x) = e αx xp [Q1m (x)cos βx + Q1m (x)sin βx] Folosind formulele lui Euler cos βx =

eiβx + eiβx eiβx e−iβx ¸si sin βx = , 2 2i

−

cazurile 9 ¸si 10 se reduc la cele de la punctele 7 ¸si 8.

Exemplul 3.25. y  + 3y  + 2y =

1 1+ex

Demonstrat¸ie. Asociem ecuat¸ia omogen˘a y  + 3y  + 2y = 0. Ecuat¸ia sa caracteristic˘ a este r 2 + 3r + 2 = 0 ¸si are r˘ad˘ acinile r1 = 1, r2 = 2. Deci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este y (x) = c1 e−x + c2 e−2x . Vom determina o solut¸ie particular˘a y p (x) a ecuat¸iei neomogene cu aju-

−

−

x

2x

torul metodei variat¸iei constantelor, de forma y p (x) = c1 (x)e− + c2 (x)e− . Sistemul c1 (x)e−x + c2 (x)e−2x = 0

−c1(x)e−x − 2c2(x)e−2x = 1 +1 ex e e are solut¸ia c 1 (x) = 1+e ¸si c 2 (x) = − 1+e , de unde deducem x c1 (x) = ln(1 + e ), c(x) = −ex + ln(1 + e x ), 2x

x

x

x


57

deci y p (x) = e−x + (e−x + e−2x ) ln(1 + e x ). A¸sadar, solut¸ia general˘a este

−

y(x) = y(x) + yp (x) = x

2x

= c1 e− + c2 e−

x

− e−

x

2x

x

+ (e− + e− ) ln(1 + e ).

Exemplul 3.26. y  + y  = 3 Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a ecuat¸iei omogene este r 2 +r = 0 ¸si are r˘ ad˘acinile r 1 = 0, r2 = 1. Deci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este y(x) = c1 + c2 e−x . O solut¸ie particular˘a yp (x) a ecuat¸iei neomogene este de forma y p (x) = 1!3x·1 = 3x, deci solut¸ia general˘a este

−

y(x) = c1 + c2 e−x + 3x.

Exemplul 3.27. y  + y =

ex 2

+

e−x 2

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a ecuat¸iei omogene este F (r) = r 2 + 1 = 0 ¸si are r˘ ad˘acinile r 1 = i, r2 = i. Deci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este y (x) = c1 cos x + c2 sin x. O solut¸ie particular˘a y p (x) a ecuat¸iei neomogene este de forma

−

yp (x) = y p1 (x) + yp2 (x), unde L[yp1 (x)] = yp1 (x)

=

ex 2

ex 2 2 , L[yp (x)]

=

e−x 2 .

ex 2 F (1) = 4 . Analog y p (x) x − x y p (x) = e4 + e 4 = chx 2 .

=



Deoarece F (1) = 0, avem e−x 2

F ( 1)

−

=

e−x 4 .

Deci Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei date este y (x) = c1 cos x + c2 sin x +


chx 2 .

− 4y + 4y = e2x

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a ecuat¸iei omogene este F (r) = r 2 4r + 4 = 0 ¸si are r˘ad˘ acinile r 1 = r 2 = 2. Deci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este y (x) = c1 e2x + c2 xe2x . Cum F (2) = 0 , F  (2) = 0 , F  (2) = 2 = 0, o solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei 2x x2 2x 2 neomogene se caut˘a de forma y p (x) = Fe  (2) = e 2x .

−



Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei date este y (x) = c1 e2x + c2 xe2x +


− 9y + 20y = 4000x2

e2x x2 2 .


Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a ecuat¸iei omogene este F (r) = r2 9r + 20 = 0 ¸si are r˘ad˘acinile r1 = 4, r2 = 5. Deci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este y(x) = c 1 e4x + c2 e5x . Cum F (0) = 0, o solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei neomogene se caut˘a de forma y p (x) = ax2 + bx + c. Din L[ax2 + bx + c] = 4000x2 , prin identificarea

−



coeficient¸ilor, deducem c˘a a = 200, b = 180, c = 61, deci yp (x) = 200 x2 + 180x + 61. Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei date este y(x) = c 1 e4x + c2 e5x + 200x2 + 180x + 61.


− 5y = −5x2 + 2x,

y(0) = 0 , y  (0) = 0

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a ecuat¸iei omogene este F (r) = r2 5r = 0 ¸si are r˘ ad˘acinile r1 = 0, r2 = 5. Deci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este y(x) = c 1 + c2 e5x . Cum F (0) = 0 , F  (0) = 2 = 0, o solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei neomogene se caut˘a de forma yp (x) = x(ax2 +bx+c). Din L[x(ax2 +bx+c)] = 5x2 +2x, 3 g˘asim a = 13 , b = 0, c = 0, deci y p (x) = x3 . 3 Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei neomogene este y(x) = c 1 + c2 e5x + x3 .  5x Pentru rezolvarea problemei Cauchy calcul˘am y (x) = 5c2 e + x 2 ¸si obt¸inem 0 = y(0) = c1 + c2 si ¸ 0 = y  (0) = 5 c2 , deci c1 = c2 = 0. A¸sadar, 3 solut¸ia particular˘a c˘autat˘a este y (x) = x3 .

−



−


− 3y + 2y = e3x(x2 + x)

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a ecuat¸iei omogene este F (r) = r2 3r + 2 = 0 ¸si are r˘ad˘acinile r1 = 1, r2 = 2. Deci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este y(x) = c 1 ex + c2 e2x . Cum F (3) = 2 = 0, o solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei neomogene se caut˘a de forma y p (x) = (ax2 + bx + c)e3x . Avem

−



yp (x) = 3e 3x (ax2 + bx + c) + e3x (2ax + b) yp (x) = 9e 3x (ax2 + bx + c) + 6e3x (2ax + b) + e3x 2a Inlocuind yp , yp , yp ın ˆ ecuat¸ia neomogen˘a dat˘a ¸si identificˆ and coeficientii 2 obt¸inem a = 12 , b = 1, c = 1. Deci y p (x) = x −2x+2 . 2 2 Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei neomogene este y(x) = c1 ex +c2 e2x + x −2x+2 . 2

−


− y = xex + x3e−x


59

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a ecuat¸iei omogene este F (r) = r 2 1 = 0 ¸si are r˘ ad˘acinile r 1 = 1, r2 = 1. Deci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este y (x) = c1 ex + c2 e−x . C˘aut˘am solut¸ia particular˘a a ecuat¸iei neomogene de forma yp (x) = yp1 (x) + yp2 (x), unde L[yp1 (x)] = xex ¸si L[yp2 (x)] = x 3 e−x .

−

−

1

x



Cum F (1) = 0 , F  (1) = 0,2 vom lua yp (x) = x(ax + b)e ¸si obt¸inem a = 14 , b = 14 . Deci y p1 (x) = x 4−x ex . Cum F ( 1) = 0 , F  ( 1) = 0, vom lua yp2 (x) = x(cx3 +dx2 +ex+f )e−x ¸si

− − −  obt¸inem c = − 18 , d = − 14 , e = f = − 38 . Deci yp2 (x) = e −x − x8 − x4 − 38 x2 − 38 x Atunci y p (x) = x 4−x ex + e−x − x8 − x4 − 38 x2 − 38 x .



2

4

 

3

Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei neomogene este y(x) = c 1 ex + c2 e−x +


x2

4



3



− x ex + e−x − x4 − x 3 − 3 x2 − 3 x 4 8 4 8 8

.

− y = xex sin x

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a ecuat¸iei omogene este F (r) = r 2 1 = 0 ¸si are r˘ ad˘acinile r 1 = 1, r2 = 1. Deci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este y (x) = c1 ex + c2 e−x . Pentru a calcula mai u¸sor pe y p (x) facem schimbarea de funct¸ie y(x) = u(x)ex ¸si obt¸inem u + 2u = x sin x. Pentru aceast˘a ecuat¸ie c˘aut˘am up (x) de forma u p (x) = (ax+ b)sin x +(cx+ d)cos x. Obt¸inem a = 13 , b = 10 9,c= 2 14 2 14 si u p (x) = x3 10 3, d = 9 ¸ 9 sin x + 3 x + 9 cos x. Solut¸ia y p (x) va fi yp (x) = u p (x)ex . Atunci

−

−

 −  −   −  −

−

y(x) = c1 ex + c2 e−x + ex


x 3

10 9

sin x +

−

2 14 x+ 3 9

 

cos x .

− 2y + 2y = 2ex cos x − 4xex sin x

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a ecuat¸iei omogene este F (r) = r 2 2r + 2 = 0 ¸si are r˘ ad˘acinile r 1 = 1 + i, r2 = 1 i. Deci solut¸ia general˘a

−

−

a ecuat¸iei omogene este y (x) = c1 exx cos x + c2 ex sin x. Facem substitut¸ia y(x) = u(x)e ¸si ecuat¸ia dat˘a devine L[u] = u  + u = 2 cos x

− 4x sin x.

C˘aut˘am up (x) = u1p (x) + u 2p (x), unde L[u1p (x)] = 2cos x ¸si L[u2p (x)] =

−4x sin x.

Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a ecuat¸iei omogene ˆın u este r 2 +1 = 0 ¸si are r˘ad˘acinile simple r 1 = i, r2 = i. Atunci c˘aut˘am u 1p (x) = x(a cos x + b sin x)

−



.

60 CAPITOLUL 3. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE DE ORDIN SUPERIOR ¸si u2p (x) = x[(cx+d)cos x+(ex+f )sin x]. Introducând ˆın ecuat¸ia neomogen˘a ˆın u determin˘am coeficient¸ii a = c = 1, b = d = e = f = 0, deci up (x) = x2 cos x ¸si yp (x) = x 2 cos xex . A¸sadar, solut¸ia general˘a a ecuat¸iei date este y(x) = c 1 ex cos x + c2 ex sin x + x2 cos xex .

3.3

Aplicat¸ii

3.3.1

Ecuat¸ii Euler

Definit¸ia 3.8. Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a liniar˘a de ordinul n de forma L[y] = a 0 xn y (n) + a1 xn−1 y (n−1) + . . . + an y = f (x)

(3.14)

1 (I ) se nume¸ cu a 0 , a1 ,...,a n constante ¸si f ste ecuat¸ie Euler. Dac˘a f (x) 0, ecuat¸ia (3.14) se nume¸ste omogen˘ a , iar dac˘a f (x) = 0, ecuat¸ia (3.14) se nume¸ste neomogen˘ a . O ecuat¸ie Euler se poate transforma ˆıntr-o ecut¸ie cu coeficient¸i constant¸i prin schimbarea de variabil˘a x = et . Vom analiza cazul x > 0, cazul x < 0 tratându-se analog. Avem :

∈C

≡



||

y  (x) = dy = dy dt = y  (t) e−t dx dt dx

·

y  (x) =

·

dy  dy  dt d(y  (t) e−t ) = = e−t = e −2t (y  (t) dx dt dx dt

·

·

·

·

− y (t))

Derivata de ordinul k va fi





y (k) = e −kt y (k) (t) + α1 y (k−1) (t) + . . . + αk−1 y  (t) , unde α 1 ,..., k−1 sunt constante. Exemplul 3.35. x2 y  xy  + y = x

−

Demonstrat¸ie. Cu substitut¸ia de mai sus, ecuat¸ia devine 2t

2t

t

t

· e− · (y (t) − y(t)) − e · y (t) · e− +y(t) = e

t

t

− Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a ecuat¸iei omogene y  (t) − 2y  (t) + y(t) = 0 este F (r) = r 2 − 2r + 1 = ( r − 1)2 = 0 ¸si are r˘ ad˘acinile r 1 = r 2 = 1. Atunci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este y (t) = c 1 et + c2 tet . O solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei neomogene ˆın y  (t) − 2y  (t) + y(t) = et e

2 t

este de forma y p (t) = Fte(1) = Deci y (t) = c1 et + c2 tet +

sau y  (t) 2y  (t)+y(t) = e

t2 et 2 .

t2 et 2

¸si y (x) = c 1 x + c2 x ln x +

x ln2 x 2 .

61

3.3. APLICAT ¸ II

3.3.2

Metoda elimin˘ arii pentru sisteme diferent ¸iale liniare

Metoda deriv˘arii ¸si elimin˘ arii permite reducerea sistemelor de ordinul I la ecuat¸ii de ordin superior. Exemplul 3.36. tx x 3y = t ty 

−− x −+ y = 0

Demonstrat¸ie. Pentru a reduce sistemul la o ecuat¸ie cu coeficient¸i constant¸i trebuie s˘a facem schimbarea de variabil˘a independent˘a t = eτ . Vom avea 1 1 dx dx dτ 1 dx dy 1 dy dt = eτ dτ ; dτ dt = eτ = t ; dt = dτ dt = t dτ ; dt = t dτ . Sistemul devine

·

dx dτ dy dτ

·

·

− x − 3y = eτ −x+y= 0

(3.15)

Vom deriva ˆın raport cu τ prima ecuat¸ie ¸si obt¸inem x

− x − 3y = eτ . (3.16) Din ecuat¸ia a doua a sistemului avem y  = x − y. Introducând expresia lui y  ıˆn ecuat¸ia (3.16), obt¸inem x

− x − 3x + 3y = eτ .

(3.17)

Din prima ecuat¸ie a sistemului (3.15) avem 3y = x 

− x − eτ .

(3.18)

Introducând expresia lui y din (3.18), ecuat¸ia (3.17) devine x

− x − 3x + x − x − eτ = e τ

sau x

− 4x = 2eτ .

Aceast˘a ecuat¸ie cu coeficient¸i constant¸i este echivalent˘a cu sistemul (3.15). Ecuat¸ia caracteristic˘ a asociat˘ a ecuat¸iei omogene este F (r) = r 2 4 = 0 ¸si are r˘ad˘acinile r 1 = 2, r2 = 2. Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este

−

−

x(τ ) = c1 e2τ + c2 e−2τ . O solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei neomogene este de forma xp (τ ) =

2eτ = F (1)

− 23 eτ .

Deci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei neomogene este x(τ ) = c1 e2τ + c2 e−2τ

− 23 eτ .

62 CAPITOLUL 3. ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE DE ORDIN SUPERIOR Revenind la variabila t avem x(t) = c1 t2 + c2 t−2 determin˘ am y : 1 3

y= 1 3

·



2c1 t2

·



dx dτ

− x − eτ

 · · =

1 3

t

dx dt

− 2c2t−2 − 23 t − c1t2 − c2t−2 + 23 t − t

− 23 t. Din ecuat¸ia (3.18) −x−t

 · =1 3



=

c1 t2

− 3c2t−2 − t



Exemplul 3.37. x + 5x + y = 7et

− 27

y  − 2x + 3y = −3et + 12

Demonstrat¸ie. Din prima ecuat¸ie scoatem y si ¸ deriv˘am : y = 7et

− 27 − 5x − x; y = 7et − 5 − x .

Inlocuim ˆın a doua ecuat¸ie a sistemului ¸si obt¸inem x + 8x + 17x = 31e t

− 93.

Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a ecuat¸iei omogene este F (r) = r 2 +8r+17 = 0 ¸si are r˘ ad˘acinile r1 = 4+i, r2 = 4 i. Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene este x(t) = e −4t (c1 cos t + c2 sin t). C˘aut˘am o solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei neomogene cu ajutorul metodei lui Lagrange, de forma x p (t) = e−4t (c1 (t)cos t + c2 (t)sin t). Funct ¸iile c 1 (t) ¸si c2 (t) le determin˘am din sistemul :

−

−−

c1 (t)cos te−4t + c2 (t)sin te−4t = 0 c1 (t)( sin te−4t

− 4cos te−4t) + c2(t)(cos te−4t − 4sin te−4t) = 31e t − 93 Obt¸inem c1 (t) = −31sin te5t +93sin te4t ¸si c2 (t) = 31 cos te5t − 93cos te4t . −

Atunci

c1 (t) =

93 − 31 e5t (5 sin t − cos t) + e4t (4sin t − cos t), 26 17

− 93 e4t (4sin t + cos t). 17 93 t Deci x(t) = e −4t (c1 cos t + c2 sin t) + 31 26 e − 17 . 2 t 6 Rezult˘a y(t) = e−4t [(c1 − c2 )sin t − (c1 (t) − c2 )cos t) − 13 e + 17 . c2 (t) = 31 e5t (5sin t + cos t) 26

Exemplul 3.38. y1 = x

2

y

2

=

−y 2 + 1

−2y1 + x2 ln x

63

3.3. APLICAT ¸ II

Demonstrat¸ie. Deriv˘am prima ecuat¸ie ¸si obt¸inem y 2 = y1 . Inlocuind ˆın a doua ecuat¸ie obt¸inem x 2 y1 2y1 = x2 ln x care este o ecuat¸ie Euler. Ecuat¸ia omogen˘a ata¸sat˘ a este x 2 y1 2y1 = 0. Facem schimbarea x = et   ¸si obt ¸inem y1 y1 2y1 = 0. Ecuat¸ia caracteristic˘a asociat˘a este r 2 r 2 = 0 ¸si are r˘ ad˘acinile r 1 = 2, r2 = 1. Atunci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei omogene

−

− − 2t

−

t

−

−

−

−−

1

2

− ¸si y 1 (x) = c1 x +c2 x . C˘aut˘am o solut¸ie particular˘a este y 1¸(t) c1 e +c2 ecu a ecuat iei = neomogene metoda lui Lagrange, de forma : y1p (x) = c 1 (x)x2 + c2 (x)

1 x

¸si determin˘ am funct¸iile c 1 (x), c2 (x) din sistemul : c1 (x)x2 + c2 (x) 2xc1 (x)

1 =0 x 2

− c2(x) x12 = −xx2ln x = − ln x

x  1 Atunci c1 (x) = ln (x) = ln3x . Deci c1 (x) = 6x12 ln x + 6x ln x + 3x3 , c2 c2 (x) = 13 (x ln x x). Atunci y 1p (x) = 16 x ln x + 12 ln x + x6 13 . Avem y 1 (x) = c1 x2 + c2 1 + 1 x ln x + 1 ln x + x 1 . 1 2. Din prima ecuat¸ie avem yx2 (x)6 = 1 y1 2= 16 ln x 6 2c13x c2 x12 + 2x 3

−

−

−

−

−− −

−

1 6x ,

Capitolul 4

Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul ˆıntˆ ai 4.1

Integrale prime pentru sisteme diferent¸iale

Definit¸ia 4.1. Un sistem diferent¸ial de forma xj = v j (x1 ,...,x

n ),

j = 1, 2,...,n,

(4.1)

−⊂→

C

≥

unde v = (v1 ,...,v n ) : U IRn este un câmp de vectori de clas˘a r (r 1) definit ˆıntr-un domeniu U IRn se nume¸ste sistem diferent¸ial autonom. Sistemul (4.1) se poate scrie ¸si ”sub form˘a simetric˘a ” astfel dx1 dxn = ... = (= dt) v1 vn Câmpul v asociaz˘a fiec˘arui punct x U un vector tangent v(x) Tx U IRn . Dac˘a f : U IR este o funct¸ie de clas˘a 1 (U ), atunci pentru orice x U se poate considera derivata lui f ıˆn punctul x si ¸ ˆın direct¸ia vectorului n ∂f df df v(x), notat˘a dv (x) ¸si definit˘ a prin dv (x) = vi (x) (a¸sa cum se ¸stie de ∂x i i=1 la cursul de analiz˘a ). Definit ¸ia 4.2. Fie v : U IRn un câmp de vectori ¸si f : U IR o funct ¸ie de clas˘a 1 (U ). Funct¸ia f se nume¸ste o integral˘ a prim˘ a a sistemului diferent ¸ial x = v(x), x U , dac˘a derivata sa ˆın direct¸ia câmpului de

∈

→

∈

C



·

→ ∈

C

 ∈

→

df

vectori v este nul˘ a ˆın funct fiecare U , adic˘ a dv a=se0.poate enunt¸a echivaProprietatea unei ¸ii fpunct de a fidin integral˘ a prim˘ lent ¸si astfel : o funct¸ie diferent¸iabil˘ a f: U IR este o integral˘a prim˘a pentru sistemul diferent¸ial autonom x  = v(x) dac˘a ¸si numai dac˘ a oricare ar fi solut¸ia x = ϕ(t), ϕ : I U , funct¸ia f ϕ este constant˘a pe I . Intr-adev˘ar, t I, dϕ si dt = v(ϕ(t)) ¸

→

→

∀∈

d (f ϕ) t=t0 = dt

◦ |

n

 i=1

∂f ∂x i

◦

|ϕ(t ) · dϕdti |t=t 0

n

0

=

 i=1

64

∂f ∂x i

df |ϕ(t ) · vi(ϕ(t0)) = dv (ϕ(t0 )). 0

65

4.1. INTEGRALE PRIME PENTRU SISTEME DIFERENT ¸ IALE

Uneori se mai scrie f (x1 ,...,x n ) = c constant. De aceea se mai spune c˘a integralele prime reprezint˘a legi de conservare. In exercit¸ii, pentru determinarea integralelor prime ale unor sisteme condxn 1 crete se recomand˘a scrierea lor sub forma simetric˘a dx si g˘ asirea v1 = . . . = vn ¸ (prin aplicarea propriet˘a¸t ilor rapoartelor egale) unui raport de forma df0 egal cu rapoartele precedente. Atunci f va fi o integral˘a prim˘a , deoarece df = 0, deci f =constant ˆın lungul curbelor integrale. Exemplul 4.1. S˘a se g˘aseasc˘a integrale prime ale sistemului simetric : dx z

dy

dz

− y = x − z = y − x.

Demonstrat¸ie. Folosind propriet˘a¸t ile proport¸iilor, putem scrie sistemul dat astfel : dx dy dz dx + dy + dz dx + dy + dz = = = = z y x z y x z x+x z+y x 0

−

¸si dx z

−

dy

−

dz

−

−

−

xdx + ydy + zdz

− y = x − z = y − x = x(z − x) + y(x − z) + z(y − x) =

xdx + ydy + zdz 0

De aici rezult˘a dou˘a ecuat¸ii diferent¸iale, dac˘a egal˘am cu zero num˘ar˘atorii ultimelor rapoarte din cele dou˘a ¸siruri de rapoarte egale : dx + dy + dz = 0 ¸si xdx + ydy + zdz = 0 Ele ne dau dou˘a integrale prime x + y + z = c 1 ¸si x 2 + y 2 + z 2 = c 2 . In general, pentru un sistem diferent ¸ial autonom pot s˘a nu existe integrale prime globale, adic˘a definite pe ˆıntreg domeniul U IRn . Exist˘a ˆıns˘a integrale prime locale (adic˘a definite ˆıntr-o vecin˘ atate a oric˘arui punct x0 U ), fapt enunt¸at ˆın teorema urm˘ atoare; demonstrat¸ia poate fi g˘asit˘a ˆın [5], pg. 305.

⊂

∈

Teorema 4.1. Fie v : U IRn un câmp de vectori de clas˘a r (U ) ( r 2)pe domeniul U IRn ¸si fie x 0 U un punct nesingular al câmpului (v(x0 ) = 0) . Atunci exist˘a o vecin˘atate W a lui x0 ˆın U astfel ˆıncât sistemul diferent¸ial autonom x = v(x), x W are, ˆın domeniul W , n 1 integrale prime funct¸ional independente f 1 ,...,f n−1 s¸i orice integral˘ a prim˘a a sistemului ˆın

⊂

→ ∈ ∈

C

≥ 

−

domeniul W este funct¸ie de f1 ,...,f n−1 . Observat ¸ia 4.1. Pentru sistemele diferent¸iale neautonome x = v(x, t), t IR, x U , o funct¸ie f : U IR IR diferent ¸iabil˘ a va fi integral˘ a prim˘ a dependent˘ a de timp dac˘a ea este integral˘a prim˘a pentru sistemul autonom care se obt¸ine din sistemul precedent prin ad˘augarea ecuat¸iei t  = 1:

∈

∈

× →

X  = V (X ), X

∈ U × IR,

X = (x, t), V (X ) = (v(x, t), 1).

Câmpul de vectori V nu se anuleaz˘a ¸si i se poate aplica Teorema 4.1.

ˆ 66CAPITOLUL 4. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL ÎNTAI

4.2

Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul ˆıntˆ ai

Definit ¸ia 4.3. Fie v : U IRn un câmp de vectori de clas˘a r (U ) (r 2) ¸si v 1 ,...,v n : U IR componentele sale. Se nume¸ste ecuat¸ie cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆ ai liniar˘ a omogen˘ a pentru funct¸ia necunoscut˘a u: U IR de clas˘ a 1 , egalitatea

→

→

→n



C

vi (x1 ,...,x

n)

i=1

C

∂u (x1 ,...,x ∂x i

n)

= 0, x = (x1 ,...,x

n)

∈U

≥

(4.2)

Definit ¸ia 4.4. Funct ¸ia u : U IR de clas˘a 1 care verific˘a relat¸ia (4.2) pentru x U se nume¸ste solut¸ie a ecuat¸iei (4.2) pe domeniul U .

→

∀ ∈

C

Teorema 4.2. Orice integral˘ a prim˘a pe U a sistemului autonom x = v(x) este solut¸ie pe U a ecuat¸iei (4.2) ¸si, reciproc, orice solut¸ie pe U a ecuat¸iei (4.2) este integral˘ a prim˘a pe U a sistemului x = v(x). Demonstrat¸ie. Fie u : U IR o funct ¸ie de clas˘a 1 care este integral˘a prim˘a  a sistemului diferent¸ial x = v(x), x U . n ∂u Atunci 0 = du (x) = vi (x), x U , deci funct¸ia u este solut¸ie a dv ∂x i

→

C

∈

·

i=1

 

∀ ∈

ecuat¸iei (4.2). Reciproc, fie u : U IR o solut ¸ie a ecuat¸iei (4.2) ¸si fie ϕ : I U o solut¸ie oarecare a sistemului diferent¸ial x  = v(x). Pentru t I avem din (4.2) :

→

∀∈

n

vi (ϕ(t))

i=1

n

Dar

dϕ dt

= v(ϕ(t)), deci rezult˘a

 i=1

→

∂u (ϕ(t)) = 0 . ∂x i

∂u dϕi (ϕ(t)) = 0, t ∂x i dt

∀ ∈ I sau echivalent

d(u◦ϕ) = 0, t I , adic˘a u ϕ = constant˘a pe I , deci funct¸ia u este integral˘a dt prim˘ a a sistemului autonom.

∀∈

◦

Observat ¸ia 4.2. Sistemul diferent¸ial autonom dx1 v1 (x1 ,...,x

n)

dx2 = v2 (x1 ,...,x

n)

dxn = . . . = vn (x1 ,...,x

n)

se nume¸ste sistemul caracteristic asociat ecuat¸iei (4.2). Exemplul 4.2. xy ∂u y 1 y 2 ∂u y 2 axy) ∂u ∂x ∂y + (z 1 ∂z = 0

−

−

−

−

Demonstrat¸ie. Sistemul caracteristic asociat este dx = xy

dy





dz

−y 1 − y2 = z 1 − y2 − axy

ˆ 4.2. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL ÎNTAI dx x

Din primele dou˘a rapoarte obt¸inem

=

67

√dy

− 1−y2 si¸ integrând avem

||

ln x + arcsin y = c, dy y 1 y2

√

deci xearcsin y = c1 . Din

−

obt¸inut˘ a avem

dz dy

−

=

z

√1 dzy

2

¸si din prima integral˘ a prim˘a

axy

− −

−

e− arcsin y z = ac1 y 1 y2

−

care este o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘a ˆın z. Atunci solut¸ia sa general˘a este − arcsin y z = cy2 ac1 e 2y (y + 1 y 2 ) sau 2 yz + ax(y + 1 y 2 ) = 2c2 , care este cea de-a doua integral˘a prim˘a . Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei date este

−

·

u(x,y,z ) =

(xearcsin y , 2yz + ax(y +

−

− 1

y 2 )), Φ

∈ C1.

Definit ¸ia 4.5. Se nume¸ste ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul ˆıntˆ ai cvasiliniar˘ a egalitatea n



gi (x1 ,...,x

n , u)

i=1

∂u = g(x1 ,...,x ∂x i

n , u),

(4.3)

unde gi (i = 1,...,n ), g : D IR sunt de clas˘a 1 pe domeniul D IRn+1 . Definit ¸ia 4.6. Se nume¸ste solut¸ie a ecuat¸iei (4.3) orice funct¸ie de clas˘a 1 definit˘a pe un domeniu U IRn , u : U IR astfel ˆıncˆ at x U s˘a avem n ∂u (x, u(x)) D ¸si gi (x, u(x)) )(x) = g(x, u(x)), x U . ∂x i i=1 Pentru rezolvarea ecuat¸iei (4.3) vom proced a astfel: c˘aut˘am solut¸ia u sub form˘a implicit˘a F (x1 ,...,x n , u) = 0, unde F : D IR este de clas˘a 1 ¸si ∂F = 0 pe D. Atunci rezult˘ a ∂u

C

∈



→ ⊂

C

⊂

→

∀ ∈

∀ ∈ →



∂u = ∂x i

C

∂F

− ∂x∂F , i

i = 1,...,n

∂u

¸si ecuat¸ia (4.3) devine n

 i=1

gi (x1 ,...,x

n , u)

∂u (x1 ,...,x ∂x i

n , u)+g(x1 ,...,x

n , u)

∂F (x1 ,...,x ∂u

n , u)

= 0,

adic˘a o ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul ˆıntˆ ai liniar˘a omogen˘ a , care se poate rezolva ca mai ˆınainte. ∂z ∂z Exemplul 4.3. (1 + z x y) ∂x + ∂y =2

√ − −


Demonstrat¸ie. Sistemul caracteristic este 1+

√zdx− x − y = dy1 = dz2

Din ultimele dou˘a rapoarte rezult˘a z

2y = c1 o integral˘a prim˘a .

− − dx − dy dy = √ − z − x − y, √ de unde rezult˘a y + 2 z − x − y = c 2 o alt˘a integral˘a prim˘a . Folosind propriet˘a¸t ile rapoartelor egale avem dz

Deci solut¸ia general˘a sub form˘a implicit˘a este Φ(z

− 2y, y + 2√z − x − y) = 0.

Definit¸ia 4.7. Fie U ⊂ IR3 un domeniu ¸si v : U → IR un cˆ amp de clas˘a C 1 f˘ar˘a puncte singulare pe U (v nu se anuleaz˘a pe U ), unde v = P (x,y,z )i + Q(x,y,z )j + R(x,y,z )k. Orbitele solut¸iilor sistemului diferent¸ial autonom dx dy dz = = , (x,y,z ) P (x,y,z ) Q(x,y,z ) R(x,y,z )

∈U

(4.4)

amp pentru v. se numesc linii de cˆ Liniile de câmp ale unui câmp vectorial v sunt suporturi de curbe γ : x = x(t), t I , ˆın lungul c˘ arora vectorul tangent ˆın fiecare punct t coincide cu v(x(t)). In unele cazuri concrete (de exemplu, câmpul electromagnetic), liniile de câmp sunt numite ¸si linii de fort¸˘ a. Exemplul 4.4. S˘a se determine liniile de câmp ale câmpului vectorial

∈

v=

x2 + y 2 + z 2 i x2 z

2

−x 2y − xz j+

+ y2 xz 2

− z2 .

Demonstrat¸ie. Sistemul simetric asociat este x2 echivalent cu sau

x2 zdx xzdy = = + y2 + z2 2y

−

2xdx = x2 + y 2 + z 2

−dy = y

2xdx 2ydy = = x2 + y 2 + z 2 2y 2

−

−

x2

xz 2 dz + y2 z 2

−

2zdz

−x2 + y2 − z2 2zdz

−x2 + y2 − z2 =

ˆ 4.2. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL ÎNTAI

2xdx + 2ydy + 2zdz x2 + y 2 + z 2 2y 2 x2 + y 2

=

−

−

− z2 =

69

2xdx + 2ydy + 2zdz 0

Deci 2xdx+2ydy +2zdz = 0. Atunci o integral˘a prim˘a este x2 +y 2 +z 2 = c1 . 2ydy 2xdx Primele dou˘a rapoarte x2 +y 2 +z 2 = −2y 2 , pe baza integralei prime aflate x2 c2

dy

2xdx

−

ne dau c21 = y , deci y = c 2 e− Liniile de câmp au ecuat¸iile

1

.

x2 + y 2 + z 2 = c 1

− xc22

y = c2e

1

¸si sunt curbe situate pe sfera de raz˘ a c 1 si ¸ centru 0.

Definit ¸ia 4.8. O suprafat¸˘ a S U de clas˘a 1 , f˘ar˘a puncte singulare (adic˘a cu plan tangent ˆın fiecare punct) se nume¸ste suprafat¸a ˘ de cˆ amp pentru v dac˘a ˆın orice punct P S , vectorul v(M ) este tangent suprafet¸ei. Observat ¸ia 4.3. Fie S dat˘a de ecuat¸ia F (x,y,z ) = 0 ˆın U , unde F : U IR este de clas˘a 1 . Deoarece S nu are puncte singulare are normal˘a ˆın orice punct M S ¸si un vector director al normalei ˆın P este dat de

⊂

C

∈

∈

→

C

gradM F =

∂F ∂F ∂F (M )i + (M )j + (M )k = 0 ∂x ∂y ∂z



Atunci v(M ) este tangent la S dac˘a ¸si numai dac˘a v(M ) este ortogonal vectorului gradM F , adic˘a dac˘a ¸si numai dac˘ a are loc egalitatea

·

v(M ) gradM F = P (x,y,z )

∂F ∂F ∂F + Q(x,y,z ) + R(x,y,z ) = 0, (4.5) ∂x ∂y ∂z

∀

pentru M = (x,y,z ). Rezult˘a c˘ a S este o suprafat¸˘ a de câmp p entru v dac˘a ¸si numai dac˘ a este dat˘a de o ecuat¸ie F (x,y,z ) = 0, unde funct¸ia F : U IR, de clas˘a 1 , cu grad F = 0, este solut ¸ie a ecuat¸iei cu derivate part¸iale de ordinul ˆıntˆ ai liniar˘a (4.5), numit˘a ecuat¸ia suprafet¸elor de câmp ale lui v. Sistemul diferent¸ial (4.4) se mai nume¸ste ¸si sistem caracteristic al

C

→



ecuat ¸iei (4.5), iar liniile câmp numesc i curbe caracteristice .a Determinarea unei de suprafet ¸e se de mai câmp care ¸strece printr-o curb˘a dat˘ Γ U de ecuat¸ii ϕ1 (x,y,z ) = 0, ϕ2 (x,y,z ) = 0, (x,y,z ) U se nume¸ste problem˘ a Cauchy pentru ecuat¸ia (4.5). Fie f 1 , f2 : U IR dou˘ a integrale prime funct¸ional independente pentru sistemul (4.4). Dac˘a ϕ : I U este o solut¸ie a sistemului, atunci orice punct ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)) al liniei de câmp corespunz˘atoare verific˘a relat¸iile

⊂

∈

→

→

f1 (x(t), y(t), z(t)) = c 1 , f2 (x(t), y(t), z(t)) = c 2 cu c1 , c2

∈ IR.


Aplicând teorema funct¸iilor implicite sistemului f1 (x,y,z ) = c1 , f2 (x,y,z ) = c2 rezult˘a c˘a , cel put ¸in local, orice linie de cˆ amp este dat˘a de ecuat¸iile f1 (x,y,z ) = c1 , f2 (x,y,z ) = c2 . Dac˘a nu este o linie de câmp, atunci ea va intersecta o linie de câmp dac˘a ¸si numai dac˘ a constantele c 1 , c2 verific˘ ao relat¸ie de compatibilitate (c1 , c2 ) = 0 ( funct¸ie de clas˘a 1 ), obt¸inut˘ a din

C

1 , f2 = c 2 . sistemul algebric ϕa 1de = ecuat¸ia ϕ2 = 0, f1 = Suprafat ¸a dat˘ (f1c(x,y,z ), f2 (x,y,z )) = 0 este (conform Teoremei 4.2) o suprafat¸a˘ de câmp ce trece prin curba Dac˘a este o linie de câmp ea este dat˘a , cel put¸in local, de ecuat¸ii de forma f1 (x,y,z ) = c1 , f2 (x,y,z ) = c2 , deci exist˘a o infinitate de suprafet ¸e de câmp α(f1 (x,y,z ) c1 ) + β (f2 (x,y,z ) c2 ) = 0, , IR care trec prin , adic˘ a problema Cauchy p entru curbe caracteris tice este nedeterminat˘a . ∂z ∂z Exemplul 4.5. S˘a se determine solut¸ia ecuat¸iei x ∂x + y ∂y = z ce trece 2 2 prin curba x + y = 1, z = 2.

−

−

∈

dy dz Demonstrat¸ie. Sistemul caracteristic asociat este dx x = y = z . Integralele prime se obt¸in din egalarea primelor dou˘a rapoarte ¸si a ultimelor dou˘a : x x y = c1 , z = c2 . Din sistemul xy = c1 , xz = c2 , x2 + y 2 = 1, z = 2 elimin˘am variabilele

x,y,z si ¸ obt¸inem c 21 c22 + c22 = x2 + y 2 =

z2 4

c21 4

¸si revenind avem

x2 y2

x2 z2

x2 z2

+

x2 z2

x2 4y 2

=

sau

· ·

(con cu vârful ˆın origine).

−

Exemplul 4.6. Se d˘a câmpul vectorial v = (x + y)i + (y x)j se determine: a) liniile de câmp; b) linia de câmp ce trece prin punctul M (1, 0, 1); c) suprafat¸a de câmp; d) suprafat¸a de câmp ce cont¸ine dreapta z = 1, y 3x = 0.

− 2zk. S˘a

−√

Demonstrat¸ie. a) Sistemul caracteristic asociat este xdx+ydy x2 +y 2

dz 2z ,

1 2

·

d(x2 +y 2 ) x2 +y 2

1 2

− ·

Rezult˘ a = − deci = este o integral˘a prim˘a . Din primele dou˘a rapoarte obt¸inem dx dy = omogen˘a dx x

dz z .

dx x+y

dy y x

= 2

−

= 2

dz

−2z .

Atunci ( x + y )z = c 1

x+y ¸ie diferent¸ial˘ a y x , care este o ecuat dt t 1 dt 1+t2 ¸si facem substitut¸ia y = tx. Avem x dx + t = t+1 sau x dx = t+1 y t+1 2 2 t2 +1 dt, care are solut¸ia ln(x + y )+2arctg x = c 2 , fiind cea de-a

−

−

−

−

sau = doua integral˘a prim˘a . Liniile de câmp sunt

(x2 + y 2 )z = c1 ln(x2 + y 2 ) + 2arctg

y = c2 x

b) Cum M (1, 0, 1) apart¸ine liniei de câmp, din sistemul de mai sus afl˘am constantele c1 , c2 : c1 = 0, c2 = 0. Deci linia de câmp ce trece prin punctul

ˆ 4.2. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL ÎNTAI

71

M (1, 0, 1) este (x2 + y 2 )z = 0 ln(x2 + y 2 ) + 2arctg

y =0 x

c) Ecuat¸ia suprafet¸ei de câmp este y Φ((x2 + y 2 )z, ln(x2 + y 2 ) + 2arctg ) = 0. x d) Suprafat¸a de câmp ce cont¸ine dreapta z = 1, y eliminarea variabilelor x ,y, z din sistemul

− √3x = 0 rezult˘a din

(x2 + y 2 )z = c 1 ln(x2 + y 2 ) + 2arctg

y = c2 x

z=1

√

y

− √3x = 0

y

π

¸si se obt ¸ine ln c1 +2arctg 3 = c2 , deci z = earctg x − 3 este ecuat¸ia suprafet¸ei de câmp ce trece prin dreapta dat˘a .

Capitolul 5

Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul doi 5.1

Clasificarea si aducerea la forma canonic˘ a a ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de ordinul doi

Definit ¸ia 5.1. Se nume¸ste ecuat¸ie cvasiliniar˘ a cu derivate part¸iale de ordinul II (cu dou˘a variabile independente) o ecuat¸ie de forma A(x, y)



∂2z ∂2z ∂2z ∂z ∂z + 2B(x, y) + C (x, y) 2 + D x,y,z, , ∂x 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y



= 0 (5.1)

unde A , B,C sunt funct¸ii reale continue pe un deschis din IR 2 ¸si funct¸ia D este continu˘a ˆın argumentele ei. Definit ¸ia 5.2. Se numesc curbe caracteristice pentru ecuat¸ia (5.1), curbele aflate pe suprafat¸ele integrale ale acestei ecuat¸ii, ale c˘aror proiect¸ii ˆın planul xOy verific˘a ecuat¸ia caracteristic˘a : A(x, y)dy 2

− 2B(x, y)dxdy + C (x, y)dx2 =0

(5.2)

Clasificare: 1) Dac˘a B 2 AC > 0, cele dou˘a familii de caracteristice sunt reale ¸si distincte ¸si ecuat¸ia este de tip hiperbolic . 2) Dac˘a B 2 AC = 0, avem o singur˘a familie de caracteristice reale ¸si ecuat¸ia este de tip parabolic. 3) Dac˘a B 2 AC < 0, cele dou˘a familii de caracteristice sunt complex conjugate ¸si ecuat¸ia este de tip eliptic . Exemple clasice

−

− −

1. Ecuat¸ia omogen˘a a coardei vibrante sau ecuat¸ia undelor plane ∂ 2u ∂x 2

2

− a12 · ∂∂tu2 = 0, 72

a2 =

ρ , T0

(5.3)

˘ A ECUAT 5.1. CLASIFICAREA SI ADUCEREA LA FORMA CANONIC A ¸ IILOR CU DERIVATE PAR

unde ρ este masa specific˘a liniar˘a a coardei, T0 este tensiunea la care e supus˘a coarda ˆın pozit¸ia de repaus este o ecuat¸ie de tip hiperbolic. 2. Ecuat¸ia c˘ aldurii ∂2u 1 ∂u k 2 ∂x 2 = a2 ∂t , a = cρ ,

·

(5.4)

unde k este coeficientul de conductibilitate termic˘a , c c˘aldura specific˘a ρ densitatea este o ecuat¸ie de tip parabolic. 3. Ecuat¸ia Laplace ∂2u ∂ 2u + = 0 ∂x 2 ∂y 2

(5.5)

este o ecuat¸ie de tip eliptic.

Definit ¸ia 5.3. Direct¸iile dy dy = µ 1 (x, y), = µ 2 (x, y) dx dx

(5.6)

determinate de ecuat¸ia (5.2) se numesc direct¸ii caracteristice ale ecuat¸iei (5.1). Prin integrarea ecuat¸iilor (5.6) se obt¸in dou˘a familii de curbe ˆın planul xOy, ϕ 1 (x, y) = c1 , ϕ2 (x, y) = c 2 (c1 , c2 constante arbitrare), curbe care sunt proiect¸iile pe planul xOy ale curbelor caracteristice. Dac˘a ecuat¸ia este de tip hiperbolic, cu schimbarea de variabile ξ = ϕ 1 (x, y), η = ϕ 2 (x, y), ecuat¸ia (5.1) se aduce la prima form˘a canonic˘a ∂2z + G1 ∂ ∂



,

∂z ∂z ,z, , ∂ξ ∂η



=0

Dac˘a se efectueaz˘a acum transformarea ξ = x + y, η = x (5.7) rezult˘a ∂2z ∂2z ∂z ∂z + G1 =0 , ,z, , 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y



−



(5.7)

− y, din ecuat¸ia (5.8)

care este a doua form˘a canonic˘a pentru ecuat¸ia cvasiliniar˘a de tip hiperbolic. Dac˘a ecuat¸ia este de tip parabolic, ϕ1 (x, y) = ϕ2 (x, y) = ϕ(x, y), cu schimbarea de variabile ξ = ϕ(x, y), η = x, ajungem la forma canonic˘ a a ecuat¸iei (5.1) ∂2z ∂z ∂z + G2 , ,z, , =0 (5.9) ∂η 2 ∂ξ ∂η





Dac˘a ecuat¸ia este de tip eliptic, funct¸iile ϕ1 (x, y) ¸si ϕ2 (x, y) sunt complex conjugate ¸si not˘am α(x, y) = Re ϕ1 (x, y), β (x, y) = Im ϕ1 (x, y). Cu

74CAPITOLUL 5. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL DOI schimbarea de variabile ξ = α(x, y), η = β (x, y) se ajunge la forma canonic˘a a ecuat¸iei (5.1) ∂ 2z ∂ 2z + + G3 ∂ξ 2 ∂η 2



,

∂z ∂z ,z, , ∂ξ ∂η



=0

(5.10)

In cazul ecuat¸iilor liniare ¸si omogene ˆın raport cu derivatele part ¸iale de ordinul II cu coeficient¸i constant¸i A

∂ 2z ∂2z ∂2z + 2B + C =20 2 ∂x ∂x∂y ∂y

(5.11)

A,B,C constante, ecuat¸ia diferent¸ial˘ a a proiect¸iilor curbelor caracteristice pe planul xOy este Ady 2

− 2Bdxdy + Cdx2 = 0.

(5.12)

Direct¸iile caracteristice sunt

− µ1dx = 0, dy − µ2dx =0 ¸si ne dau y − µ1 x = c 1 , y − µ2 x = c 2 , c 1 , c2 constante. dy

(5.13)

Dac˘a ecuat¸ia este de tip hiperbolic, cu schimbarea de variabile

− µ1x, η = y − µ2x,

ξ=y ecuat¸ia (5.11) devine

∂ 2z = 0 ∂ ∂

(5.14)

cu solut¸ia general˘a z = f (ξ )+g(η), unde f, g sunt funct¸ii arbitrare. Revenind la vechile variabile z (x, y) = f (y µ1 x) + g(y µ2 x) Dac˘a ecuat¸ia este de tip parabolic, µ1 = µ2 = B ¸ ecuat¸ia (5.12) se A si reduce la Ady Bdx = 0, cu integrala general˘a Ay Bx = c, c constant˘a Schimbarea de variabile ξ = Ax By, = x aduce ecuat¸ia (5.11) la forma canonic˘a ∂ 2z = 0 (5.15) ∂η 2

−

−

−

−

−

Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei (5.15) este z = ηf (ξ )+g(ξ ), unde f, g sunt funct¸ii arbitrare. Dac˘a ecuat¸ia este de tip eliptic, forma sa canonic˘a este ecuat¸ia Laplace ∂ 2z ∂2z + =0 ∂ξ 2 ∂η 2

Exemplul 5.1. S˘a se aduc˘a la forma canonic˘a ecuat¸ia ∂ 2u ∂2u +2 2 ∂x ∂x∂y

2

∂u − 3 ∂∂yu2 + 2 ∂u +6 = 0. ∂x ∂y

(5.16)

˘ A ECUAT 5.1. CLASIFICAREA SI ADUCEREA LA FORMA CANONIC A ¸ IILOR CU DERIVATE PAR

Demonstrat¸ie. A = 1, B = 1, C = este de tip hiperbolic Ecuat¸ia caracteristic˘a este :

 − dy dx

2

−3 =⇒ B2 − AC = 4 > 0, deci ecuat¸ia

dy dy dy 2 dx 3 = 0 = dx = 3, dx = 1 = y 3x = c 1 , y + x = c2 Facem schimbarea de variabile ξ = y 3x, η = y + x si¸ obt¸inem

−

⇒

− ⇒ −

∂u = ∂x

− ∂u −3 ∂u + ∂ξ ∂η

∂u ∂u ∂ u = + ∂y ∂ξ ∂η ∂2u ∂ 2u =9 2 2 ∂x ∂ξ ∂2u = ∂x∂y

2

2

− 6 ∂∂ u∂ + ∂∂ηu2

2

2

2

−3 ∂∂ξu2 − 2 ∂∂ u∂ + ∂∂ηu2

∂2u ∂2u ∂2u ∂ 2u = +2 + 2 ∂y 2 ∂ξ 2 ∂ ∂ ∂η Forma canonic˘a este : ∂2u

16

−

∂

+8

∂

∂u

=0=

∂2u

⇒∂

∂η

∂

1 ∂u

= 0.

− 2 ∂η

Exemplul 5.2. S˘a se aduc˘a la forma canonic˘a ecuat¸ia (1 + x2 )

∂2u ∂2u ∂u ∂u + (1 + y 2 ) 2 + x +y = 0. 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

Demonstrat¸ie. B 2 AC = (1 + x2 )(1 + y 2 ) < 0, deci ecuat¸ia este de tip eliptic Din ecuat¸ia caracteristic˘a

−

−

(1 + x2 )dy 2 + (1 + y 2 )dx2 = 0 rezult˘ a 1 + x2 dy =

 

±i

deci familiile de caracteristice sunt ln(y + ln(y +

1 + y 2 dx,

 

1 + y 2 ) + i ln(x +

1 + x2 ) = c1 ,

1 + y2 )

1 + x2 ) = c 2

− iln( x +

Facem schimbarea de variabile ξ = ln(y + 1 + y 2 ), η = ln(x + obt¸inem ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u 1 = + = ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂η 1 + x2

·

·

·√

√1 + x2) ¸si

76CAPITOLUL 5. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL DOI ∂ 2u 1 ∂ 2u = ∂x 2 1 + x2 ∂η 2

·

∂u = ∂y

−

x 3

(1 + x2 ) 2

1 1 + y2



∂ 2u = 1 ∂ 2u ∂y 2 1 + y 2 ∂ξ 2

·

−

· ∂∂ξu

y 3 (1 + y 2 ) 2

∂ 2u ∂η 2

Ecuat¸ia se reduce la forma canonic˘a

· ∂∂ηu

+

∂2u ∂ξ 2

· ∂∂ξu

= 0.

Exemplul 5.3. S˘a se aduc˘a la forma canonic˘a ¸si s˘ a se determine solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei x2

2

2

2

∂ u ∂ u ∂u ∂u · ∂∂xu2 − 2xy · ∂x∂y + y2 · 2 + x · +y· = 0. ∂y ∂x ∂y

Demonstrat¸ie. A = x2 , B = xy,C = y 2 = este de tip parabolic Ecuat¸ia caracteristic˘a este :

⇒ B2 − AC = 0, deci ecuat¸ia

−

x2

·

2

dy dx

+ 2xy

· dxdy + y2 = 0 =⇒ dxdy = − xy =⇒ xy = c



Facem schimbarea de variabile ξ = xy , = x si ¸ obt¸inem ∂u ∂u ∂u =y + ∂x ∂ξ ∂η

·

∂u ∂u =x ∂y ∂ξ

·

∂2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = y2 + 2y + 2 ∂x 2 ∂ξ 2 ∂ ∂ ∂η

·

·

∂2u ∂ 2u = x2 2 ∂y ∂ξ 2

·

∂2u ∂u ∂ 2u ∂ 2u = + xy +x 2 ∂x∂y ∂ξ ∂ξ ∂ ∂

·

Ecuat¸ia devine : ∂ 2 u + 1 ∂u = 0 = η ∂η ∂η 2

 

⇒ η · ∂u∂η = f (ξ) =⇒ ∂u∂η = η1 · f (ξ). Integr˘ am ˆın raport cu η si ¸ obt¸inem u(ξ, η) + g(ξ ) = f (ξ ) ln η =⇒ =⇒ u(x, y) = f (xy) ln x + g(xy) ·

⇒ ∂η∂ η · ∂u∂η

·

=0 =

Exemplul 5.4. S˘a se rezolve problema Cauchy 3

∂ 2u ∂2u ∂2u ∂u +7 + 2 2 = 0, u(x, 0) = x 3 , (x, 0) = 2 x2 . 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y

5.2. PROBLEMA LUI CAUCHY ASUPRA COARDEI INFINITE. METODA DE REZOLVARE A LUI D

Demonstrat¸ie. A = 3, B = 72 , C = 2 = este de tip hiperbolic Ecuat¸ia caracteristic˘a este :

⇒ B2 − AC = 255 > 0, deci ecuat¸ia

 − 2

dy dy dy dy 3dy 2 7dxdy + 2dx2 = 0 = 3 dx 7 dx +2 = 0 = si dx = 13 . dx = 2 ¸ Atunci familiile de curbe caracteristice sunt : 2x y = c 1 x 3y = c 2 Cu schimbarea de variabile ξ = 2x y, η = x 3y, ecuat¸ia se reduce la 2 forma canonic˘a ∂∂ u∂ = 0, de unde rezult˘a solut¸ia general˘a

−

⇒

− −

−

u(x, y) = ϕ(2x

⇒

−

− y) + ψ(x − 3y).

Condit¸iile problemei Cauchy sunt : ϕ(2x) + ψ(x) = x 3 ϕ (2x) 3ψ (x) = 2x2 Integrˆ and a doua relat¸ie obt¸inem 12 ϕ(2x) 3ψ(x) = 23 x3 + k 7 3 3 Atunci ϕ(2x) = 19 si ψ(x) = 12 x c1 , deci solut¸ia problemei 96 (2x) +c1 ¸ Cauchy este 19 7 u(x, y) = (2x y)3 (x 3y)3 . 96 12

−

5.2

¸si t

−

−

−

− −

− −

−

Problema lui Cauchy asupra coardei infin ite. Metoda de rezolvare a lui d’Alembert

Problema presupune determinarea funct¸iei u(x, t) definit˘a pentru x 0 ce satisface urm˘atoarele condit¸ii

≥

a2

∂2u ∂2u = 2, 2 ∂x ∂t

∀x ∈ IR,

∈ IR

t>0

∂u (x, 0) = ψ(x), pentru x IR, ∂t unde ϕ ¸si ψ sunt dou˘a funct¸ii precizate pe toat˘a axa Ox. Funct¸ia ϕ(x) reprezint˘ a profilul coardei vibrante ˆın momentul init¸ial t = 0, iar ψ(x) reprezint˘ a viteza punctelor coardei ˆın momentul init¸ial t = 0. Ecuat¸ia caracteristic˘a ata¸sat˘ a este

∀ ∈

u(x, 0) = ϕ(x) ¸si

a2 dt2 din care obt¸inem

− dx2 = 0

dt = dx dt = dx

1 a 1 a

−

78CAPITOLUL 5. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL DOI Atunci familiile de curbe caracteristice sunt : x

− at = c1

x + at = c2 Deoarece este o ecuat¸ie de tip hiperbolic, facem schimbarea de variabile ξ = x at, η = x + at si¸ obt¸inem

−

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = 2 +2 + 2 2 ∂x ∂ξ ∂ ∂ ∂η ∂2u ∂ 2u = a2 2 2 ∂t ∂ξ Deci forma canonic˘a devine

2

2

− 2a2 ∂∂ u∂ + a2 ∂∂ηu2

∂ 2u = 0. ∂ ∂



∂ ∂u Putem scrie ecuat¸ie astfel ∂η = 0, de unde rezult˘ a c˘a ∂ξ Integrˆ and ˆın raport cu ξ , deducem c˘a

u(ξ, η) =

∂u ∂ξ

= f (ξ ).

f (ξ )dξ + θ2 (η) sau u(ξ, η) = θ1 (ξ ) + θ2 (η).



Revenind la variabilele x ¸si t, solut¸ia general˘a este u(x, t) = θ 1 (x + at) + θ2 (x

− at).

Tinând seama de condit¸iile init¸iale avem : θ1 (x) + θ2 (x) = ϕ(x) aθ1 (x)

− aθ2 (x) = ψ(x)

Integrˆ and a doua ecuat¸ie ˆın raport cu x obt¸inem : θ1 (x) + θ2 (x) = ϕ(x) x

aθ1 (x)

− aθ2(x) =

ψ(τ )dτ + c, unde c este o constant˘a oarecare . 0



Adunând aceste identit˘a¸t i g˘asim θ1 (x) =

ϕ(x) 1 + 2 2a

 

x

ψ(τ )dτ + 0

c , 2a

iar dac˘a sc˘adem a doua identitate din prima rezult˘a c˘a θ2 (x) =

ϕ(x) 2

− 2a1

x

ψ(τ )dτ 0

− 2ac ,

5.2. PROBLEMA LUI CAUCHY ASUPRA COARDEI INFINITE. METODA DE REZOLVARE A LUI D

adic˘a

ϕ(x + at) 1 + 2 2a

θ1 (x + at) = ¸si θ2 (x

at) =

ϕ(x

− at)

−



ψ(τ )dτ + 0

−



− at) + ϕ(x + at)] + 2a1

c

ψ(τ )dτ



,

− 2a

2 2a 0 deci solut¸ia problemei Cauchy se poate scrie sub forma 1 u(x, t) = [ϕ(x 2

c 2a

x at

1

−

x+at

x+at

ψ(τ )dτ

(5.17)

x at

−

numit˘ a formula lui d’Alembert. Din formula lui d’Alembert se poate trage concluzia c˘ a , dac˘a exist˘a solut¸ia problemei Cauchy a coardei vibrante aceasta este unic˘ a . Intr-adev˘ ar, s˘a presupunem c˘a problema Cauchy ar avea dou˘a solut¸ii u 1 (x, t) ¸si u 2 (x, t). Not˘am u(x, t) = u 1 (x, t) u2 (x, t). Funct¸ia u(x, t) satisface ecuat¸ia coardei vibrante, deoarece este o combinat¸ie liniar˘a de solut¸iile u 1 ¸si u 2 . Observ˘am c˘a u(x, 0) = u 1 (x, 0) u2 (x, 0) = ϕ(x) ϕ(x) = 0

−

∂u

∂u 1

−

−

∂ u2

−

−

∂t (x, 0) = ∂t (x, 0) ∂t (x, 0) = ψ(x) ψ(x) = 0 Rezult˘a c˘a funct¸ia u(x, t) este solut¸ia unei probleme Cauchy având condit¸iile init¸iale identic nule. In acest caz, formula lui d’Alembert ne d˘ a u(x, t) = 0, deci u 1 (x, t) = u 2 (x, t), adic˘a solut¸ia problemei Cauchy este unic˘a . Pentru a demonstra existent¸a solut¸iei problemei Cauchy a coardei vibrante, vom ar˘ata c˘a funct¸ia u(x, t) dat˘a de formula (5.17) este tocmai solut¸ia acestei probleme. Deci vom demonstra c˘a aceast˘a funct¸ie satisface ecuat¸ia coardei vibrante ¸si condit¸iile init¸iale. Intr-adev˘ar, avem ∂u ϕ (x + at) + ϕ (x = ∂x 2

− at) +

1 [ψ(x + at) 2a

∂u aϕ (x + at) aϕ (x = ∂t 2

− at) +

1 [aψ(x + at) + aψ(x 2a

−

∂ 2u ∂x 2

=

ϕ (x + at) + ϕ (x

2 ∂ 2u a2 ϕ (x + at) + a2 ϕ (x = ∂t 2 2 de unde rezult˘a

− at) + −

− ψ(x − at)] − at)]

1

[ψ (x + at) ψ  (x at)] 2a at) 1 + [a2 ψ  (x + at) a2 ψ  (x at)] 2a

−

−

−

−

∂2u ∂2u = 2 2 ∂x ∂t ceea ce arat˘a c˘a funct¸ia dat˘a de formula (5.17) satisface ecuat¸ia coardei vibrante. a2

80CAPITOLUL 5. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL DOI F˘acând ˆın egalitatea (5.17) t = 0, avem u(x, 0) = ϕ(x) ¸si de asemenea, ∂u ˆınlocuind t = 0 ˆın ∂u ∂t (x, 0), obt¸inem ∂t (x, 0) = ψ(x). Deci problema Cauchy a coardei infinite are ˆıntotdeauna o solut¸ie unic˘a ¸si aceasta este dat˘ a de formula (5.17). Exemplul 5.5. S˘a se g˘aseasc˘ a solut¸ia ecuat¸iei coardei vibrante ∂ 2u ∂x 2 cu condit¸iile init¸iale u(x, 0) =

2

− ∂∂tu2 = 0

x , ∂u (x, 0) 1+x2 ∂t

= sin x.

Demonstrat¸ie. Cf. formulei lui d’Alembert avem u(x, t) = 1 2 1 2

 ·

·



1 2

·



− −

− −

x t x+t + 1 + (x t)2 1 + (x + t)2

 5.3

−− − ·−

x t x+t + 1 + (x t)2 1 + (x + t)2

− −

 

x t x+t 1 + + 1 + (x t)2 1 + (x + t)2 2

1 2

x+t

sin ydy = x t

−

1 [cos(x + t) 2

− cos(x − t)] = x+t+x−t x+t−x+t 2sin sin 2

2



=

x t x+t 1 + (x t)2 + 1 + (x + t)2 + sin x sin t

−−



Problema lui Cauchy asupra coardei finite. Metoda separ˘ arii variabilelor

In studiul vibrat¸iilor coardei finite nu este suficient s˘a se cunoasc˘a numai profilul ¸si vitezele punctelor coardei ˆın momentul init¸ial t = 0, ci trebuie sı se precizeze ¸si comportarea coardei la capetele ei. Cel mai simplu caz ese acela când ambele capete ale coardei sunt fixate. Pentru rezolvarea acestei probleme vom folosi o metod˘a general˘a numit˘ a metoda separ˘arii variabilelor, atribuit˘a lui Fourier. Consider˘ am o coard˘a de lungime l. Presupunem c˘a ˆın pozit ¸ie de repaus ea este situat˘a de-a lungul intervalului 0 x l de pe axa Ox. Formul˘ am urm˘ atoarea problem˘a Cauchy asupra coardei finite: S˘a se determine funct¸ia u(x, t) definit˘a pentru 0 x l ¸si t 0 ¸si care satisface urm˘atoarele condit¸ii :

≤ ≤

1. a2

≤ ≤

≥

∂2u ∂2u = 2 pentru 0 < x < l ¸si t > 0 2 ∂x ∂t

2. u(x, 0) = ϕ(x) ¸si

∂u (x, 0) = ψ(x), pentru 0 ∂t

≤x≤l

˘ 5.3. PROBLEMA LUI CAUCHY ASUPRA COARDEI FINITE. METODA SEPARARII VARIABILELO

3. u(0, t) = u(l, t) = 0 pentru t

≥0

Condit¸iile 3, care precizeaz˘a comportarea celor dou˘a capete ale coardei se numesc condit¸ii la limit˘ a. Metoda separ˘arii variabilelor const˘a ˆın g˘ asirea unui ¸sir infinit de solut¸ii de form˘a particular˘a ale ecuat¸iei considerate, iar apoi, cu ajutorul acestor solut¸ii, se formeaz˘a o serie ai c˘arei coeficient¸i se determin˘a astfel ˆıncˆ at suma seriei s˘a ne dea tocmai solut¸ia problemei tratate. Se caut˘a solut¸iile coardei vibrante de forma u(x, t) = X (x)T (t)

(5.18)

¸si astfel ˆıncˆ at s˘a satisfac˘a condit¸iile la limit˘a u(0, t) = X (0)T (t) = 0 ¸si u(l, t) = X (l)T (t) = 0. De aici rezult˘a c˘ a trebuie s˘a avem X (0) = 0 , X (l) = 0,

(5.19)

ˆın caz contrar am avea T (t) = 0 ceea ce ar conduce la solut¸ia banal˘a u(x, t) = 0, pe care o excludem din considerat¸iile noastre. Inlocuind funct¸ia (5.18) ˆın ecuat¸ia coardei vibrante obt¸inem XT  = a 2 X  T. imp˘art¸im aceast˘a egalitate cu a 2 XT si ¸ obt¸inem 1 T  X  = , a2 T X

·

unde ˆın membrul stâng avem o funct ¸ie care depinde numai de variabila t, iar ˆın membrul drept o funct¸ie care depinde numai de variabila x. Egalitatea ˆıntre aceste funct¸ii pentru orice x ¸si t nu este posibil˘a decât atunci când ele sunt egale cu o constant˘ a . Notând aceast˘a constant˘a cu λ, obt¸inem urm˘atoarele ecuat¸ii diferent¸iale

−

X  + = λX 0

(5.20)

T  + a2= λT 0

(5.21)

Pentru a determina solut¸iile de forma (5.18) ale ecuat ¸iei coardei vibrante ¸si care verific˘ a condit¸iile la limit˘a indicate, determin˘am mai ˆıntˆ ai solut¸iile ecuat¸iei (5.20), care satisfac condit¸iile (5.19), iar apoi integr˘am ecuat¸ia (5.21). Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a (5.20) este de ordinul doi, liniar˘a cu coeficient¸i constant¸i. Solut¸ia ei general˘a este :

82CAPITOLUL 5. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL DOI

√

√

a) Dac˘a λ < 0, X (x) = c 1 e −λx + c2 e− −λx , unde c 1 ¸si c2 sunt constante arbitrare. Condit¸iile (5.19) ne conduc la urm˘atorul sistem liniar omogen ˆın c1 ¸si c 2 : c1 + c2 = 0

√−λl

c1 e

+ c2 e−

√−λl

=0

Având ˆın vedere c˘ a funct¸ia exponent¸√ ial˘ a nu se anuleaz˘a pentru nicio valoare, putem ˆımp˘ art¸i a doua ecuat¸ie cu e − −λl ¸si g˘ asim urm˘atorul sistem : c1 + c2 = 0 c1 e



√−λl + c2 = 0

2



√ 1 = 1 e2 −λl = 0, deoarece l = 0 e 1 ¸si λ = 0. Cum determinantul sistemului este diferit de 0, atunci sistemul are numai solut¸ia banal˘a c1 = 0, c2 = 0. In consecint¸˘ a , pentru λ < 0, ecuat¸ia (5.20) nu admite nicio solut¸ie nebanal˘a care s˘a satisfac˘a condit¸iile (5.19). b) Dac˘a λ = 0, X (x) = c 1 x + c2 , unde c1 ¸si c 2 sunt constante arbitrare. Condit¸iile (5.19) ne dau X (0) = c2 = 0, X (l) = c1 l = 0, de unde rezult˘a c1 = 0, c2 = 0. Astfel ajunge m din nou la solut¸ia banal˘a , care nu serve¸ste la nimic. Determinantul sistemului este



√1 2 −λl

√

−





√

c) Dac˘a λ > 0, X (x) = c1 cos λx + c2 sin λx. Condit¸iile (5.19) ne conduc la urm˘atoarele egalit˘a¸t i : X (0) = c 1 = 0

√

X (l) = c2 sin λl = 0.

√

Ultimul produs se anuleaz˘a dac˘a c 2 = 0 sau dac˘a sin λl = 0. Primul caz ne conduce din nou la solut¸ia banal˘a . Accept˘am deci c˘a c 2 = 0 ¸si sin λl = 0. 2 Aceast˘a egalitate este satisf˘acut˘a pentru λl = nπ sau λ = nπ , unde l n = 1, 2,.... 2 Solut¸ia ecuat¸iei (5.20) corespunz˘atoare lui λ = nπ o scriem astfel : l



√

Xn = c n sin

nπ x, l



 √

unde c n este o constant˘a arbitrar˘a . In concluzie, ecuat¸ia (5.20) admite un ¸sir infinit de solut¸ii nebanale care satisfac ¸si condit¸iile (5.19). 2 Urmeaz˘a s˘ a integr˘am ecuat¸ia (5.21). Corespunz˘ator lui λ = nπ avem l ecuat¸ia diferent¸ial˘ a nπ 2 T  + a2 =0T (5.22) l a c˘arei solut¸ie general˘a T n (t) este



Tn (t) = α n cos

nπ nπ at + βn sin at. l l




Astfel ecuat¸ia (5.21) (respectiv (5.22)) ne conduce de asemenea la un ¸sir infinit de funct¸ii. Not˘am nπ nπ nπ un (x, t) = X n (x)Tn (t) = an cos at + bn sin at sin x (5.23) l l l





unde a n , bn sunt constante oarecare ce provin din constantele αn , βn , cn . Din felul cum au fost g˘asite funct¸iile Xn (x) ¸si Tn (t) rezult˘a c˘a funct¸ia un (x, t) satisface atât ecuat¸ia coardei vibrante cât ¸si condit¸iile la limit˘a din problema Cauchy. Am obt¸inutˆın acest fel un ¸sir infinit de solut ¸ii de forma particular˘a (5.18) a coardei vibrante ¸si care satisface condit¸iile la limit˘a din problema Cauchy: u1 (x, t), u2 (x, t),...,u

n (x, t),...

(5.24)

Trecem la a doua etap˘a a metodei lui Fourier, la determinarea solut¸iei problemei Cauchy cu ajutorul funct¸iilor un (x, t). Consider˘am seria

an cos

 

nπ

at + bn sin

nπ

l

n=1

at sin

l

Presupunem c˘ a exist˘a u(x, t) suma seriei (5.25) u(x, t) =

un (x, t)

n=1

sau mai explicit, seria

∞

∞



∞

an cos

n=1



nπ

x.

(5.25)

l



nπ nπ nπ at + bn sin at sin x. l l l

(5.26)

Admitem de asemenea c˘a funct¸ia u(x, t) este solut¸ia problemei Cauchy, deci sunt satisf˘acute condit¸iile init¸iale ale problemei u(x, 0) =

∞



an sin

n=1

¸si

nπ x = ϕ(x), 0 l

≤x≤l

∂u nπ nπ (x, 0) = abn sin x = ψ(x), 0 ∂t l l

≤ x ≤ l.

(5.27)

(5.28)

Aceste egalit˘a¸t i reprezint˘a dezvoltarea funct¸iilor ϕ(x) ¸si ψ(x) ˆın serie Fourier de sinusuri. Prin urmare, coeficient¸ii acestor serii se exprim˘a cu formulele cunoscute din teoria seriilor Fourier (a¸sa cum vom vedea ˆın Capitolul 7) : an = bn =

2 l



2 nπa

l

ϕ(x)sin 0



nπ xdx l

l

ψ(x)sin 0

nπ xdx l

(5.29) (5.30)

84CAPITOLUL 5. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL DOI Invers, s˘a presupunem c˘a an ¸si bn din seria (5.26) sunt determinat¸i cu ajutorul formulelor (5.29) ¸si (5.30). Vom demonstra c˘a seria (5.26) cu coeficient¸ii astfel determinat¸i ne d˘a tocmai solut¸ia problemei Cauchy, dac˘a funct¸iile ϕ ¸si ψ din condit¸iile init¸iale ale problemei ˆındeplinesc anumite cerint¸e pe care urmeaz˘a s˘ a le preciz˘am ˆın continuare. Reamintim un rezultat care se demonstreaz˘a ˆın teoria seriilor Fourier: Dac˘a o funct¸ie p eriodic˘a f , având perioada 2 l, admite toate derivatele pân˘a la ordinul k inclusiv ¸si acestea sunt continue pe axa Ox, ¸si dac˘ a derivata de ordinul k + 1 este continu˘a pe port¸iuni, atunci seria numeric˘a

∞



n k ( αn +

n=1

| |

|βn|) este convergent˘a . Am notat cu αn ¸si βn coeficient¸ii Fourier ai funct¸iei f.

Pornind de la acest rezultat ar˘at˘am c˘a seria

∞

|| n2 an

(5.31)

n=1

este convergent˘a dac˘a funct¸ia ϕ satisface urm˘atoarele condit¸ii: 1. admite derivatele ϕ  ¸si ϕ  care sunt continue pe intervalul 0 x l; 2. admite ¸si derivata ϕ care este continu˘a pe port¸iuni pe intervalul 0 x l; 3. ϕ(0) = ϕ(l) = 0 ¸si ϕ  (0) = ϕ  (l) = 0. Din ϕ(0) = ϕ(l) = 0 rezult˘a c˘a ϕ se poate prelungi impar pe [ l, 0] ¸si dup˘a acesta pe toat˘a axa Ox ca o funct¸ie periodic˘a ¸si continu˘ a. Ar˘at˘am c˘a derivatele ϕ ¸si ϕ prelungite pe toat˘a axa Ox sunt, de asemenea, continue. Derivatele ϕ ¸si ϕ fiind continue pe intervalul (0 , l), vor fi continue pe orice interval de forma ( nl, (n + 1)l), unde n este un num˘ar ˆıntreg oarecare. Deci continuitatea funct¸iilor ϕ  ¸si ϕ  trebuie verificat˘a doar ˆın punctele x = nl , n = 0, 1, 2,... ale axei Ox. S˘a alegem arbitrar punctul x = nl. Funct¸ia ϕ este impar˘a , deci avem identitatea ϕ(nl+x) = ϕ(nl x) pentru orice x. Derivând ambii membri ai egalt˘at¸ii obt¸inem ϕ (nl + x) = ϕ (nl x). Dac˘a x 0, atunci ϕ (nl+x) ϕ (nl) ¸si ϕ (nl x) ϕ (nl) ceea ce demonstreaz˘a continuitatea lui ϕ ˆın x = nl. Analog obt¸inem ϕ (nl + x) = ϕ (nl x). Tinând seama de ϕ (0) = ϕ (l) = 0, avem ϕ (nl + x) 0 ¸si ϕ (nl x) 0 cˆ and x 0. Prin urmare ¸si funct¸ia ϕ este continu˘a ˆın x = nl. Având ˆın vedere c˘ a ϕ este evident continu˘a pe orice interval de forma ( nl, (n + 1)l), n = 0, 1, 2,... , am demonstrat continuitatea funct¸iei ϕ  pe toat˘a axa Ox. In sfâr¸sit, funct¸ia ϕ  prelungit˘a pe toat˘a axa Ox va r˘ amâne continu˘a pe port¸iuni, deoarece eventuala discontinuitate a funct¸iei ϕ ˆın punctele x = nl nu are important¸a˘ la continuitatea pe port¸iuni. Astfel, din rezultatul pe care l-am amintit mai sus, rezult˘a c˘a seria numeric˘ a (5.31) este convergent˘a .

≤ ≤

≤ ≤

−

± ±

−

−→

− −→

−→

−

− −→

−→ ± ±

− − − −→


Formul˘ am acele condit¸ii asupra lui ψ care ne asigur˘a convergent¸a seriei

∞

||

n2 bn .

(5.32)

n=1

Dac˘a

≤ ≤

1. ψ  exist˘a ¸si este continu˘ a pe 0 x l, 2. ψ  exist˘a ¸si este continu˘ a pe port¸iuni pe 0 x l, 3. ψ(0) = ψ(l) = 0, atunci seria (5.32) este convergent˘a . Demonstrat¸ia acestei afirmat¸ii se face analog cu cea anterioar˘a . Demonstr˘ am acum c˘a seria (5.26), unde coeficient¸ii an ¸si bn sunt calculat¸i cu a jutorul formulelor (5.29) ¸si (5.30) ne d˘a solut¸ia problemei Cauchy, dac˘a funct¸iile ϕ ¸si ψ satisfac condit¸iile 1,2,3 de mai sus. Ar˘ at˘am mai ˆıntˆ ai c˘a seria (5.26) este uniform ¸si absolut convergent˘a pentru 0 x l ¸si t 0. Intr-adev˘ar, sunt evidente urm˘atoarele inegalit˘a¸t i

  ∞

≤ ≤

an cos

n=1

≥

nπ nπ at + bn sin at l l

≤ ≤

·  ≤ | | | | ≤  | | | |  sin

nπ x l

∞

∞

an + bn

n=1

n2 ( an + bn )

n=1

Cum seriile (5.31) ¸si (5.32) sunt convergente, din inegalitatea de mai sus ¸si din criteriul lui Weierstrass, rezult˘a ca seria (5.26) este uniform ¸si absolut convergent˘ a . Not˘am cu u(x, t) suma seriei (5.26), deci u(x, t) =

∞

un (x, t).

n=1

Vom demonstra c˘a funct¸ia u(x, t) satisface ecuat¸ia coardei vibrante ¸si condit¸iile init¸iale. Funct ¸ia u(x, t) satisface ecuat¸ia coardei vibrante, dac˘a seriile

∞

 

∂ 2 un ∂x 2 n=1 ¸si

(5.33)

∞

∂ 2 un ∂t 2 n=1

(5.34)

sunt uniform convergente. Intr-adev˘ar, avem urm˘atoarele inegalit˘a¸ti

∞

∞

∂ 2 un n2 π 2 nπ nπ 2 ∂x = n=1 l2 an cos l at + bn sin l at

   

n=1

2

≤ πl2

¸si

   ∞

n=1

∂ 2 un = ∂t 2

∞

n=1

∞



n2 ( an + bn )

n=1

| | | |

nπ sin l x

·  ≤  ·   ≤

n2 π 2 a2 nπ nπ an cos at + bn sin at l2 l l

sin

nπ x l

86CAPITOLUL 5. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL DOI 2 2

≤ πl2a

∞



n2 ( an + b n )

n=1

| | | |

de unde va rezulta absolut ¸si uniform convergent¸a seriilor (5.33) ¸si (5.34). Din calculul diferent¸ial ¸si integral, din uniform convergent ¸a seriilor (5.33) ¸si ∂2u

∂ 2u

(5.34) rezult˘a existent¸a derivatelor part¸iale ∂x 2 ¸si ∂t 2 ¸si egalit˘a¸t ile ∞ ∂ 2u ∞ ∂2u ∂2u ∂2u n n = ¸ s i = . ∂x 2 n=1 ∂x 2 ∂t 2 ∂t 2 n=1

  ∞

  −

∂ 2 un ∂ 2 u = 0, deoarece funct¸iile ∂x 2 ∂t 2 n=1 un (x, t) satisfac ecuat¸ia coardei vibrante. Aceast˘a egalitate arat˘a c˘ a u(x, t) este o solut¸ie a ecuat¸iei coardei vibrante. Verific˘ am condit¸iile init¸iale. Pentru t = 0, din seria (5.26) g˘asim u(x, 0) = ∞ nπ an sin x. Ins˘a , deoarece an sunt coeficient¸ii Fourier calculat¸i cu forl n=1 2

2

Prin urmare a2 ∂∂xu2

− ∂∂t u



∞

mula (5.29), avem

2

=

a2

  − an sin

n=1

nπ x = ϕ(x), deci u(x, 0) = ϕ(x). l

Pentru verificarea celei de-a doua condit¸ii init¸iale, calcul˘am ∞ nπa ∂u nπ nπ nπ (x, t) = an sin at + bn cos at sin x. ∂t l l l l



n=1

La fel ca mai ˆınainte se poate demonstra c˘a ¸si aceast˘a serie este uniform ¸si absolut convergent˘ a pentru 0 x l ¸si t 0. Putem deci s˘a ˆınlocuim t = 0 ∞ nπa nπ ∂u ¸si obt¸inem ∂t (x, 0) = bn sin x. Formula (5.30) arat˘a c˘ a membrul l l n=1



≤ ≤

≥

drept este exact seria Fourier a funct¸iei ψ , deci ∂u ∂t (x, 0) = ψ(x). Cum u n (x, t) satisfac condit¸iile la limit˘a rezult˘a evident c˘a u(x, t) satisface aceste condit¸ii. Exemplul 5.6. S˘ a se determine vibrat¸iile unei coarde de lungime l, avˆ and capetele fixate, când forma init¸ial˘ a a coardei e dat˘a de funct¸ia ϕ(x) = x2 4 x a este 0. l , iar viteza init¸ial˘

− 

Demonstrat¸ie. Avem de rezolvat urm˘atoarea problem˘a : ∂ 2u ∂ 2u = 2 , 0 0 2 ∂x ∂t ∂u (x, 0) = 0 pentru 0 ∂t u(0, t) = u(l, t) = 0 pentru t 0

u(x, 0) = ϕ(x) ¸si

≥

≤x≤l


Conform (5.30), b n = 0. Conform (5.29) avem an = Dar

2 l

 −   l

x2 l

4 x

0

l

x sin

0

nπ 8 xdx = l l

sin

nπ xdx = l



l

x sin 0

nπ xdx l

− nπl x cos nπl x/l0 + nπl

2



− l82

l

cos 0



l

x2 sin

0

nπ xdx l

nπ xdx = l

2

2

l l nπ l l − nπ (−1)n + 2 2 sin x/0 = (−1)n+1 n π l nπ ¸si



l

x2 sin

0

nπ xdx = l

2l − nπl x2 cos nπl x/l0 + nπ



2l l nπ l x sin x/0 nπ nπ l

− nπl



l

sin 0

( 1)n+1



u(x, t) =

l3

+

2l 3 3

−− −

Exemplul 5.7. finite :

32l π3



n 0

≥

l

x cos 0

nπ l3 xdx = ( 1)n+1 + l nπ

−

nπ l3 2l nπ l xdx = ( 1)n+1 + 3 3 cos x/0 = l nπ n π l

−

[( 1)n + 1]

− n16−π [(−1)n − 1].

nπ 8l n π 8l Deci a n = ( 1)n+1 nπ ( 1)n+1 nπ 32l Atunci a 2n = 0, a2n+1 = (2n+1)3 π3 . A¸sadar, conform (5.26),

−



3 3

1 (2n + 1)π (2n + 1)π cos t sin x. (2n + 1)3 l l

S˘a se rezolve problema Cauchy asupra coardei vibrante ∂ 2u ∂ 2u =4 , 0
·

u(x, 0) = sin 3x

4sin10 x,

−

,t > 0

∂u

(x, 0) = 2 sin4 x + sin 6x, 0 ∂t u(0, t) = u(π, t) = 0, t 0.

≥

x

π

≤ ≤

Demonstrat¸ie. Vom determina coeficient¸ii a n ¸si b n prin identificare folosind formula (5.26) ¸si condit¸iile init¸iale ale problemei date. Din u(x, 0) = sin 3x

− 4sin10 x =⇒

Egalând coeficient¸ii obt¸inem a 3 =

∞



− 4sin10 x. = −4, an = 0, pentru n  = 3, 10.

an sin nx = si n 3x

n=1 1, a10

88CAPITOLUL 5. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL DOI Din

∂u ∂t (x, 0)

⇒

= 2sin4 x + si n 6x =

Egalând coeficient¸ii obt¸inem b 4 = Deci

∞



2nbn sin nx = 2 sin 4x + si n 6x.

n=1 1 1 4 , b6 = 12 , bn



= 0, pentru n = 4, 6.

1 1 u(x, t) = cos 6t sin3 x 4cos20 t sin 10x+ 4 si n sin 8t sin4 x + 12 sin 12t sin6 x.

−

5.4

Rezolvarea problemei Dirichlet pentru discul unitate

Consider˘ am discul unitate raportat la reperul ortogonal xOy. Fie D = x2 + y 2 < 1 si¸ =D D frontiera orientat˘a pozitiv a lui D. Problema Dirichlet const˘a ˆın determinarea unei funct¸ii continue u : D IR care s˘a 2 2 fie armonic˘a ˆın D (i.e. ∆ u = ∂∂xu2 + ∂∂yu2 = 0) ¸si astfel ˆıncˆ at u Γ s˘a ia valori prescrise. Ar˘at˘am c˘a aceast˘a problem˘a admite o solut ¸ie unic˘a . Intr-adev˘ar, fie u1 , u2 dou˘a solut¸ii ¸si v = u 1 u2 . Atunci ∆ v = 0 ˆın D ¸si v Γ = 0. Aplicând formula Green-Riemann, rezult˘a





\

→ |

−

|

     − −         |         

−

( v

Γ

∂v ∂v dx + v dy) = ∂y ∂x

D

∂v ∂x

v∆v +

D

Tinând cont c˘a v

Γ

∂v 2 ∂x

+

∂v ∂y

v

∂v ∂x

2

∂ ∂y

∂v ∂y

+

v

∂v ∂x

dxdy =

2

dxdy

= 0 ¸si ∆v = 0 ˆın D, rezult˘a ∂v ∂x

D

deci

∂ ∂x

2

= 0. Atunci

2

+

∂v ∂x

∂v ∂y

2

dxdy = 0,

= 0, ∂v a ˆın ∂y = 0, deci v este constant˘

D, v = k. Fiind continu˘a ˆın D, v va fi egal˘a cu k s¸i ˆın punctele lui k = 0, deci v = 0 ¸si ca atare u 1 = u 2 ˆın D.

, deci

Se trece la coordonate polare ¸si problema se reformuleaz˘a astfel : trebuie determinat˘ a o funct¸ie u(ρ, θ), (ρ, θ) [0, 1] IR astfel ˆıncˆ at

∈

ρ2

∈

∈

×

∂ 2u ∂u ∂ 2 u +ρ + =02 ∂ρ 2 ∂ρ ∂θ

|

(5.35)

→

pentru ρ [0, 1], θ IR ¸si ˆın plus u(ρ, 0) ρ=1 = f (θ) cu f : IR IR cunoscut˘ a presupus˘ a continu˘a , nenul˘a , periodic˘a de perioad˘a 2π. (Dac˘a f 0, atunci u 0).

≡

≡

5.4. REZOLVAREA PROBLEMEI DIRICHLET PENTRU DISCUL UNITATE89

Aplic˘am metoda separ˘ arii variabilelor ¸si c˘ aut˘am solut¸ii de forma u(ρ, θ) = X (ρ)Y (θ) cu X, Y funct¸ii de clas˘a

(5.36)

C 2 (¸si Y neap˘arat periodic˘a de perioad˘a 2π). Atunci 2

2

∂u = X  (ρ)Y (θ), ∂ u2 = X  (ρ)Y (θ), ∂ u2 = X (ρ)Y  (θ) ∂ρ ∂ρ ∂θ ¸si ˆınlocuind ˆın ecuat ¸ia dat˘a , rezult˘a ρ2 X  (ρ)Y (θ) + ρX  (ρ)Y (θ) + X (ρ)Y  (θ) = 0 sau separând variabilele avem ρ2 X  (ρ) + ρX  (ρ) = X (ρ)



(θ) − YY (θ)

(5.37)

Atunci ambii membri vor fi egali cu aceea¸si constant˘ a real˘a k, deci ρ2 X  (ρ) + ρX  (ρ)

− kX (ρ) = 0

¸si Y  (θ) + kY (θ) = 0 pentru ρ

[0, 1), θ

∈ Pentru k < 0, solut¸ia general˘a a ecuat¸iei ˆın Y Y (θ) = c 1 eθ

IR.

∈ este

√−k √ + c2 e−θ −k

cu c1 , c2 constante ¸si aceasta este periodic˘a doar dac˘a c1 = c2 = 0, adic˘a Y = 0 ¸si f ar rezulta nul˘a , din nou caz exclus. R˘amâne ca unic˘a posibilitate k 0, k = ω 2 (ω 0) ¸si ecuat¸ia

≥

≥

Y  (θ) + ω 2 Y (θ) = 0 are o solut¸ie Y (θ) = A cos ωθ + B sin ωθ cu A, B constante. Funct¸ia Y (θ) fiind periodic˘a de perioad˘a 2π rezult˘a ˆın mod necesar c˘ a ω = n ˆıntreg (n 0). Atunci Y (θ) = A cos nθ + B sin nθ. Pe de alt˘a parte, rezult˘a k = n 2 ¸si

≥

ρ2 X  (ρ) + ρX  (ρ)

− n2X (ρ) = 0.

Aceasta este o ecuat¸ie Euler ¸si solut¸ia ei general˘a este de forma X (ρ) = Cρn + Dρ −n ,



−→

cu C, D constante. Dac˘a D = 0, atunci fac ând ρ 0 ar rezulta c˘a X (ρ) s¸i ar rezulta c˘a funct¸ia armonic˘a u(ρ, θ) ar tinde c˘atre infinit spre centrul discului, ceea ce este exclus. A¸sadar, D = 0 ¸si X (ρ) = Cρn .

−→ ±∞


≥ 0 am pus ˆın evident¸a˘ câte o solut¸ie (5.36)

Astfel, pentru orice ˆıntreg n a ecuat¸iei (5.35), anume

un (ρ, θ) = ρ n (An cos nθ + Bn sin nθ) Aplic˘am ”principiul suprapunerii efectelor” care afirm˘a c˘a suma seriei

∞

un (ρ, θ)



n=0

este de asemenea solut¸ie (ˆın ipoteza convergent ¸ei). A¸sadar, funct¸ia u(ρ, θ) =

∞



ρn (An cos nθ + Bn sin nθ)

(5.38)

n=0

este solut¸ie ¸si r˘ amâne s˘a determin˘am constantele An , Bn , din condit¸ia la frontier˘ a u(ρ, θ) ρ=1 = f (θ), adic˘a

|

f (θ) =

∞



(An cos nθ + Bn sin nθ)

n=0

Aceasta este de fapt dezvoltarea Fourier a lui f , rezult˘a 1 2π

A0 =



π

f (τ )d

−π

Inlocuind ˆın (5.38), rezult˘ a

Dar 1+2

∞





n=1



f (τ )sin n

π

f (τ )cos n

d

,

(5.39)

−π d

≥

, n1

−π

(5.40)

   −      − π

f (τ ) 1 + 2

−π

∞

ρn cos n(θ

τ ) dτ

n=1

∞

ρn cos n(θ τ ) = Re 1 + 2

−

1 π

π

Bn = 1 π 1 u(ρ, θ) = 2π

, An =

ρn ein(θ−τ ) = Re 1 + 2

n=1

ρei(θ−τ ) 1 ρei(θ−τ )

=

1 + ρei(θ−τ ) 1 ρ2 = 1 2ρ cos(θ τ ) + ρ2 1 ρei(θ−τ ) ¸si solut¸ia explicit˘a a problemei Dirichlet pentru discul unitate este Re

1 u(ρ, θ) =

ρ2 2π

−

−

−

π

−

−

f (τ )

−π 1 − 2ρ cos(θ − τ ) + ρ2 dτ (formula clasic˘a a lui Poisson )



In cazul discului x2 + y 2 analog, formula devine u(ρ, θ) =

≤ R2

R 2 ρ2 2π

−





de raz˘a R > 0, dup˘a un rat¸ionament

π

−π

f (τ )

R2

− 2Rρ cos(θ − τ ) + ρ2 dτ

Exemplul 5.8. S˘a se g˘aseasc˘ a solut¸ia problemei Dirichlet ˆın cazul discului unitate când condit¸ia la limit˘a este u(1, θ) = sin θ + c os 2θ + 6si n 3θ.

5.5. REZOLVAREA PROBLEMEI LUI NEUMANN PENTRU DISC

91

Demonstrat¸ie. Solut¸ia problemei este de forma (5.38) ¸si scriind condit¸ia la limit˘a obt¸inem u(1, θ) =

∞



An cos nθ + Bn sin nθ = sin θ + cos 2θ + 6 sin3 θ,

n=0

de unde, prin identificarea coeficient¸ilor rezult˘a A2 = 1 ¸si Ai = 0, ¸si B 1 = 1, B3 = 6, Bi = 0, i = 1, 3. Deci u(ρ, θ) = ρ sin θ + ρ2 cos2 θ + 6ρ3 sin3 θ.

∀ 

5.5

∀ i = 1

Rezolvarea problemei lui Neumann pentru disc

Problema lui Neumann pentru disc o putem formula astfel: S˘a se g˘aseasc˘a funct¸ia u(ρ, θ) continu˘a ˆımpreun˘a cu derivatele sale pat¸iale de ordinul ˆıntˆ ai ˆın domeniul ˆınchis D R = D R + , unde D R = x2 + y 2 < R ¸si =D R DR , care satisface urm˘atoarele condit¸ii :



\

1.

∂ 2u ∂ρ 2

2.

∂u ∂ρ (R, θ)

+

1 ρ



2

· ∂u∂ρ + ρ1 · ∂∂θu = 0 ˆın punctele din D R 2

2

= f (θ) pe

unde f (θ) este o funct¸ie dat˘a , continu˘a ˆımpreun˘ a cu derivata sa de ordinul ˆıntâi ¸si avˆ and derivata a doua continu˘a pe port¸iuni. Presupunem de asemnea 2π c˘a 0 f (θ)dθ = 0. Solut¸ia acestei probleme o putem g˘ asi aplicând metoda separ˘arii variabilelor care ne conduce la seria



u(ρ, θ) =

  ∞

A0 ρ + 2 R n=1

n

(An cos nθ + Bn sin nθ)

(5.41)

Coeficient¸ii A n ¸si B n ıî determin˘am din condit¸ia la limit˘a . In acest scop s˘a deriv˘ am pe u ˆın raport cu ρ

∞



∂u ρn−1 = n n (An cos nθ + Bn sin nθ). ∂ρ R n=1 Condit¸ia la limit˘a este exprimat˘a astfel :

∞



n(An cos nθ + Bn sin nθ) = f (θ).

n=1

Am ajuns din nou la o serie Fourier, deci An =

1 nπ



2π

f (θ)cos n 0

d ¸si Bn =

1 nπ



2π

f (θ)sin n 0

d

(5.42)

92CAPITOLUL 5. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL DOI Coeficientul A0 r˘ amâne o constant˘a arbitrar˘a , deoarece solut¸ia problemei lui Neumann nu este unic˘a , ea depinde de o constant˘a aditiv˘a . Se poate demonstra c˘a seria (5.41) ˆın care coeficient¸ii sunt calculat¸i cu ajutorul formulelor (5.42) esre absolut ¸si uniform convergent˘a , iar suma ei ne d˘a solut¸ia problemei lui Neumann, dac˘a funct¸ia f satisface condit¸iile specificate ˆın5.9. formularea acestei probleme. Exemplul S˘a se determine solut¸ia problemei lui Neumann definit˘a pe discul D R cu condit¸ia la limit˘a ∂u ∂ρ (R, θ) = cos θ + sin 5θ.

Demonstrat¸ie. Solut¸ia problemei este de forma u(ρ, θ) =

A0 + 2

  ∞

n=1

ρ R

n

(An cos nθ + Bn sin nθ).

Coeficient¸ii acestei serii ˆıi vom determina direct folosind condit¸ia la limit˘a :

∞



n(An cos nθ + Bn sin nθ) = cos θ + sin 5θ,

n=1

de unde rezult˘a c˘ a A 1 = 1, An = 0, n 2 ¸si B 5 = 15 , Bn = 0, n = 5. Deci 5 solut¸ia c˘atat˘a este u(ρ, θ) = A20 + Rρ cos θ + 15 Rρ sin5 θ.

∀ ≥

5.6

Ecuat¸ia c˘ aldurii

∀ 



Vom trata problema asupra ecuat¸iei c˘aldurii : S˘a se g˘aseasc˘a funct¸ia continu˘a u(x, t) pentru 0 satisface urm˘atoarele condit¸ii : 1.

∂u ∂t

≤ x ≤ l, t ≥ 0 ¸si care

2

= a 2 ∂∂xu2 pentru 0 < x < l , t > 0

2. u(x, 0) = ϕ(x) pentru 0

≤x≤l

3. u(0, t) = ψ1 (t), u(l, t) = ψ2 (t) pentru t

≥0

unde ϕ(x), ψ1 (t), ψ2 (t) sunt funct¸ii date. Aceast˘a problem˘a se nume¸ste problema lui Cauchy pentru ecuat¸ia c˘ aldurii. Aceasta se ˆıntâlne¸ste des la studierea fenomenelor de fizic˘a ¸si tehnic˘ a legate de propagarea c˘aldurii ¸si la fenomene chimice cu caracter de difuzie. Condit¸ia 2 se nume¸ste condit¸ia init¸ial˘ a , iar condit¸iile 3 se numesc condit ¸ii la limit˘a . Cazul 1. Vom rezolva mai ˆıntâi problema lui Cauchy pentru cazul particular când condit¸iile la limit˘a sunt u(0, t) = 0, u(l, t) = 0. In acest caz spunem c˘a avem condit¸ii la limit˘ a omogene. La rezolvarea acestei probleme vom aplica metoda epar˘arii variabilelor.

˘ 5.6. ECUAT ¸ IA CALDURII

93

La ˆınceput c˘ aut˘am un ¸sir infinit de solut¸ii ale ecuat¸iei c˘aldurii, care s˘a satisfac˘a ¸si condit¸ia la limit˘a omogen˘a . In acest scop vom determina solut¸iile de forma u(x, t) = X (x)T (t) ale ecuat¸iei c˘aldurii. obt¸inem

Dup˘a ˆınlocuirea acestei funct¸ii ˆın ecuat¸ia c˘aldurii XT  = a 2 X  T

sau, ˆımp˘ art¸ind cu a 2 XT , ajungem la 1 T X  = . 2 a T X

·

Observ˘ am c˘a ˆın prima parte a acestei egalit˘a¸t i a ap˘arut o funct¸ie care depinde numai de variabila t, iar ˆın partea a doua o funct¸ie care depinde numai de variabila x. Repetând rat¸ionamentul aplicat la ecuat¸ia coardei vibrante, ajungem la concluzia c˘a egalitatea ˆıntre aceste dou˘a funct¸ii este posibil˘a numai dac˘a ele sunt identice cu o constant˘a . Obt¸inem astfel urm˘atoarele ecuat¸ii diferent¸iale : X  + = λX 0 (5.43) ¸si T  + λa=02 T

(5.44)

Deoarece c˘aut˘am acele solut¸ii ale ecuat¸iei c˘aldurii care satisfac condit¸iile la limit˘a omogene, avem u(0, t) = X (0)T (t) = 0, u(l, t) = X (l)T (t) = 0 de unde rezult˘a X (0) = 0 ¸si X (l)=0

(5.45)

Deci c˘aut˘am acele solut¸ii ale ecuat¸iei (5.43) care satisfac ¸si condit¸iile la limit˘a (5.45). Aceast˘a problem˘a am ˆıntˆ alnit-o la rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuat¸ia coardei vibrante unde am v˘ azut c˘a are solut¸ii numai dac˘a 2 λ = nπ , n = 1, 2,... , iar solut¸iile corespunz˘atoare acestor valori sunt l Xn (x) = sin nπ l x. 2 Trecem la rezolvarea ecuat¸iei (5.44) pentru λ = nπ . Deci vom integra l ecuat¸ia (5.44) care este o ecuat ¸ie diferent¸ial˘ a de ordinul ˆıntˆ ai cu variabile separabile. O scriem sub forma



T = T

−a2

 nπ l

2

¸si rezult˘ a c˘ a solut¸ia ei general˘a ete dat˘a de T (t) = cn e−(

nπ 2 2 a t l

)



94CAPITOLUL 5. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL DOI unde c n este o constant˘a arbitrar˘a . A¸sadar, solut¸iile particulare ale ecuat¸iei c˘aldurii, care satisfac ¸si condit¸iile la limit˘a omogene sunt un (x, t) = cn e−(

nπ 2 2 a t l

)

sin

nπ x, n = 1, 2, 3,... l

Solut¸ia problemei Cauchy o obt¸inem cu ajutorul seriei

∞



cn e−(

nπ l

2 2 a t

)

sin

n=1

nπ x l

(5.46)

format˘a din solut¸iile particulare ale ecuat¸iei c˘aldurii obt¸inute mai sus. Pentru a g˘asi formulele care s˘a ne permit˘a calcularea co eficient¸ilor c n s˘a presupunem c˘a solut¸ia problemei Cauchy este dat˘a de seria (5.46), adic˘a u(x, t) =

∞



cn e−(

nπ l

2 2 a t

)

n=1

sin

nπ x l

(5.47)

F˘acând t = 0 ¸si ¸tinˆ and seama de condit¸ia init¸ial˘ a trebuie s˘a avem u(x, 0) =



∞ cn sin nπ x = ϕ(x).

n=1

l

Observ˘ am c˘a aceast˘a formul˘a reprezint˘a dezvoltarea funct¸iei ϕ(x) ˆın serie Fourier, deci c n sunt coeficient¸ii Fourier s¸i se calculeaz˘ a cu ajutorul formulei cunoscute din teoria seriilor Fourier: cn =

2 l



0

l

ϕ(x)sin

nπ xdx. l

(5.48)

In urm˘atoarea teorem˘a vom ar˘ata ¸si invers, calculˆ and coeficient¸ii cn cu formula (5.48), seria (5.46) va fi convergent˘a ¸si c˘ a suma ei d˘a tocmai solut¸ia problemei Cauchy.

≤ ≤

a funct¸ia ϕ(x) definit˘ a pe intervalul 0 Teorema 5.1. Dac˘ x l este continu˘ a ¸si are derivata continu˘ a pe segmente ¸si dac˘ a satisface condit¸iile la limit˘a

ϕ(0) = ϕ(l) = 0,

(5.49)

atunci seria (5.46), ˆın care coeficient ¸ii sunt calculat¸i cu formula (5.48), este absolut convergent˘ a ¸si uniform convergent˘ a , iar suma ei pe care o not˘am cu u(x, t) este solut¸ia problemei Cauchy. Demonstrat¸ie. Vom ar˘ata mai ˆıntˆ ai c˘a seria (5.46) este absolut convergent˘a ¸si uniform convergent˘ a pentru 0 x l, t 0.

≤ ≤ ≥


95

Datorit˘a condit¸iilor la limit˘a (5.49), funct¸ia ϕ(x) se poate prelungi pe toat˘a axa Ox astfel ˆıncât s˘a obt¸inem o funct¸ie periodic˘a ¸si impar˘ a cu perioada 2l. Funct¸ia astfel prelungit˘a r˘ amâne continu˘a ¸si cu derivata continu˘ a pe port¸iuni. Atunci, rezult˘a c˘a seria numeric˘a

∞

| | cn

(5.50)

n=1

este convergent˘a . Pe de alt˘a parte,

|cne−(

nπ l

2 2 a t

)

sin

nπ x l

| ≤ |cn| dac˘a t ≥ 0.

Conform criteriului lui Weierstrass rezult˘a c˘a seria (5.46) este absolut convergent˘ a ¸si uniform convergent˘ a pentru 0 x l, t 0. Not˘am cu u(x, t) suma acestei serii. In particular obt¸inem

≤ ≤

u(x, 0) =

∞



cn sin

n=1

≥

nπ x = ϕ(x) l

ceea ce ˆınseamn˘ a c˘a funct¸ia u(x, t) satisface condit¸ia init¸ial˘ a a problemei Cauchy. R˘amâne s˘a ar˘at˘am c˘a funct ¸ia u(x, t) satisface ecuat¸ia c˘aldurii ˆın punctele de coordonate t > 0 ¸si 0 < x < l . In acest scop este suficient s˘a demonstr˘am c˘a seriile ∞ ∂u ∞ ∂2u n n , (5.51) ∂t n=1 ∂x 2 n=1

  ≥

≤ ≤

converg absolut ¸si uniform pentru t t0 > 0 ¸si 0 x l, unde t0 > 0 este un num˘ar fixat oricât de mic. Intr-adev˘ar, din convergent¸a uniform˘a a acestor serii, dup˘a cum se ¸stie din calculul diferent¸ial ¸si integral, rezult˘ a 2 existent¸a derivatelor part¸iale ∂u si ∂∂xu2 s¸i valabilitatea urm˘atoarelor egalit˘a¸t i: ∂t ¸

∞

∞





∂u ∂u n ∂2u ∂ 2 un = ¸si = . 2 ∂t ∂t ∂x ∂x 2 n=1 n=1 Deci putem scrie ∂u ∂t

2

− a2 ∂∂xu2 =

 ∞

n=1

∂u n ∂t

2

− a2 ∂∂xu2n



=0

ceea ce arat˘a c˘a funct¸ia u(x, t) satisface ecuat¸ia c˘aldurii ˆın punctele de coordonate t t 0 si¸ 0 x l. Num˘arul t 0 > 0 fiind ales arbitrar, rezult˘a c˘a u(x, t) satisface ecuat¸ia c˘aldurii pentru orice punct ( x, t) astfel ˆıncˆ at t > 0 ¸si 0 x l.

≥

≤ ≤

≤ ≤


≥

Demonstr˘am acum converget¸a uniform˘a a seriilor (5.51) pentru t t0 > 0 ¸si 0 x l. Din convergent¸a seriei (5.50) rezult˘a c˘a cn sunt m˘arginit¸i, adic˘a exist˘a o constant˘a k > 0 astfel ˆıncˆ at

≤ ≤

|cn| ≤ k, ∀n. −( nπl )2 a2 t sin nπ x deducem c˘a ∂u n ≤ n2 k1 e−( nπl )2 a2 t0 l ∂t nπ 2 2 pentru t ≥ t0 > 0, deoarece funct¸ia e−( l ) a t este descresc˘atoare. Am notat Din

∂u n ∂t

k1 =

−

=

π2 2 l2 a k.



 

nπ 2 2 a cn e l

Aplicând criteriul de convergent¸˘ a al lui d’Alembert, se poate

ar˘ata c˘a seria numeric˘a k1

∞



n2 e−(

nπ 2 2 a t0 l

)

este convergent˘a . Intr-adev˘ar,

n=1

avem lim

n

(n + 1)2 e

(

−

n 2 e−(

→∞

nπ l

n+1)π l

2

a2 t0

= lim

2 2 a t0

)

n

→∞

   n+1 n

Din criteriul lui Weierstrass rezult˘a c˘a seria uniform pentru t

≥ t0 > 0 ¸si 0 ≤ x ≤ l.

2

π2

e−(2n+1) l2 a

2t 0

=0

∞

∂u n converge absolut ¸si ∂t n=1

∞

∂ 2 un Demonstr˘am acum uniform convergent¸a seriei ∂x 2 . n=1 Din

∂ 2 un ∂x 2

=

−   nπ 2 cn e l

−( nπl )2 a2 t sin nπ x g˘asim l

π 2 k. l

≥

  ≤ ∂ 2 un ∂x 2

k2 n 2 e − (

nπ l

2 2 a t0

)

,

pentru t t0 > 0, unde k 2 = Aplicând din nou criteriul de convergent¸˘ a al lui d’Alembert seriei

∞



k2 n2 e−(

n=1

c˘a seria 0

≤x≤

nπ l

2 2 a t0

)

converge. Deci, conform criteriul lui Weierstrass rezult˘a

∞



∂ 2 un este absolut ¸si uniform convergent˘a pentru t ∂x 2 n=1 l.

≥ t0 > 0 ¸si

Observat ¸ia 5.1. Vom demonstra unicitatea solut¸iei problemei Cauchy considerate. Fie u ¸si v dou˘a solut¸ii ale aceleia¸si probleme Cauchy. Atunci, ˆın particular, avem u(x, 0) = ϕ(x) ¸si v(x, 0) = ϕ(x)

∞



− v si¸ fie w = αne−( ) a t sin nπl x. Evident w(x, 0) = 0. n=1 Deci rezult˘a c˘ a α n = 0, ∀n. Deci am demonstrat c˘a w = 0, de unde rezult˘a Not˘am w = u

nπ l

2 2

u = v, deci unicitatea solut¸iei. Cazul 2. Vom rezolva problema Cauchy formulat˘a la ˆınceputul sect¸iunii. Vom transforma mai ˆıntˆ ai problema Cauchy ˆıntr-o alt˘a problem˘a Cauchy ˆın


97

care condit¸ia init¸ial˘ a ¸si condit¸iile la limit˘a sunt omogene. Va trebui deci s˘a omogeniz˘am condit¸ia init¸ial˘ a ¸si condit¸iile la limit˘a prin considerarea unei funct¸ii ajut˘atoare U (x, t) = ψ 1 (t) +

x [ψ2 (t) l

− ψ1(t)]

(5.52)

Evident aceast˘ a funct¸ie satisface condit¸iile la limit˘a ale problemei Cauchy, adic˘a U (0, t) = ψ1 (t) ¸si U (l, t) = ψ 2 (t). In locul funct¸iei necunoscute u introducem alt˘a funct¸ie necunoscut˘a v astfel v = u U. (5.53)

−

Preciz˘ am acum condit¸iile pe care trebuie s˘a le verifice funct¸ia v. Avem ∂v ∂t

2

2

2

∂ v ∂u − a2 ∂x − a2 ∂∂xu2 − ∂∂tU − a2 ∂∂xU2 = −[ψ1 (t) + xl (ψ2 (t) − ψ1 (t))] = 2 ∂t

(5.54)

Funct¸ia v trebuie s˘a satisfac˘a ˆın mod evident condit¸ia init¸ial˘ a v(x, 0) = ϕ(x)

− [ψ1(0) + xl (ψ2(0) − ψ1(0))]

(5.55)

¸si condit¸iile la limit˘a omogene v(0, t) = 0 ¸si v(l, t)=0 Notând f (x, t) =

(5.56)

−[ψ1 (t) + xl (ψ2 (t) − ψ1 (t))]

¸si

− [ψ1(0) + xl (ψ2(0) − ψ1(0))] obt¸inem c˘a funct¸ia v(x, t) trebuie s˘a continu˘a pentru 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0 ¸si care Φ(x) = ϕ(x)

satisface urm˘atoarele condit¸ii :

∂v ∂ 2v = a 2 2 + f (x, t) pentru 0 < x < l ¸si t >0 ∂t ∂x v(x, 0) =

≤x≤l v(l, t) = 0 pentru t ≥ 0

(x) pentru 0

(5.57) (5.58)

v(0, t) = 0 ¸si (5.59) unde f (x, t) ¸si x ( ) sunt funct¸ii date. Aceast˘a problem˘a se nume¸ste problema Cauchy asupra ecuat¸iei c˘ aldurii neomogene cu condit¸ii la limit˘ a omogene. Aceast˘a problem˘ a se mai poate simplifica astfel ˆıncˆ at ¸si condit¸ia init¸ial˘ a s˘a devin˘a omogen˘a . Intr-adev˘ar, dac˘a z (x, t) este solut¸ia urm˘atoarei probleme Cauchy pe care am rezolvat-o la cazul 1: 2 ∂ 2z 1. ∂z si t > 0 ∂t = a ∂x 2 pentru 0 < x < l ¸


≤ ≤

2. z(x, 0) = (x) pentru 0 x l 3. z(0, t) = 0 ¸si z (l, t) = 0 pentru t 0 ¸si dac˘ a not˘am w = v z, atunci g˘asirea funct¸iei w revine la rezolvarea urm˘atoarei probleme Cauchy : S˘a se determine funct¸ia w(x, t) continu˘a pentru 0 x l, t 0 ¸si care satisface urm˘ atoarele condit¸ii :

≥

−

≤ ≤ ≥

∂w = a 2 ∂ 2 w + f (x, t) pentru 0 < x < l ¸si t >0 ∂t ∂x 2

≤x≤l

w(x, 0) = 0 pentru 0

(5.60) (5.61)

w(0, t) = 0 ¸si w(l, t) = 0 pentru t

≥0

(5.62)

Am ajuns a¸sadar la o problem˘ a Cauchy ˆın care atˆ at condit¸ia init¸ial˘ a cˆ at ¸si condit¸iile la limit˘a sunt omogene. C˘aut˘am solut¸ia aceste probleme ca suma urm˘atoarei serii

∞



cn (t)sin

n=1

nπ x l

(5.63)

unde cn (t) sunt funct¸ii de varibil˘a t. Pentru a determina aceste func t¸ii presupunem c˘a seria (5.63) este convergent˘a ¸si c˘ a suma ei este solut¸ia w(x, t) a problemei Cauchy, adic˘a w(x, t) =

  ∞

cn (t)sin nπ x. l

(5.64)

n=1

S˘a admitem de asemenea c˘a funct¸ia f (x, t) se poate dezvolta ˆın serie Fourier astfel ∞ nπ f (x, t) = fn (t)sin x, (5.65) l n=1 unde fn (t) =

2 l



l

f (x, t)sin 0

nπ xdx. l

Inlocuind ˆın ecuat¸ia (5.60) funct¸iile w ¸si f obt¸inem identitatea

    ∞

n=1

cn (t) +

nπ l

2

a2 cn (t)



− fn(t)

sin

nπ x = 0. l

Din teoria seriilor Fourier ¸si identitatea (5.66) rezult˘ a nπ 2 2  cn (t) + a cn (t) = f n (t) l

(5.66)

(5.67)

La aceast˘a ecuat¸ie diferent¸ial˘ a putem ata¸sa o condit¸ie Cauchy dac˘a lu˘ am ˆın considerare ¸si condit¸ia init¸ial˘ a pe care o satisface funct¸ia w, adic˘a w(x, 0) =

∞



cn (0) sin

n=1

nπ x = 0. l


99

De aici rezult˘a c˘ a cn (0) = 0 .

(5.68)

Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a (5.67) este o ecuat ¸ie liniar˘a de ordinul ˆıntˆ ai. Astfel, solut¸ia ei ce satisface condit¸ia (5.68) este cn (t) =



l

e−(

nπ l

)2 a2 (t−τ ) fn (τ )dτ

(5.69)

0

Invers, dac˘a cn (t), coeficient¸ii seriei (5.63) sunt calculat¸i cu formula (5.69) ¸si dac˘ a funct¸ia f (x, t) se poate reprezenta cu ajutorul seriei (5.65), atunci seria (5.63) este uniform convergent˘a ¸si suma ei, pe care o not˘am cu w(x, t), este solut¸ia problemei Cauchy dat˘a de condit¸iile (5.60), (5.61), (5.62). Rezumˆ and cele de mai sus, putem spune c˘ a solut¸ia u(x, t) a problemei Cauchy formulat˘a la ˆınceputul sect¸iunii este u=U+w+z

(5.70)

unde U este funct¸ia (5.52), w satisface ecuat¸ia (5.60), condit¸ia init¸ial˘ a omogen˘a ¸si condit¸iile la limit˘a omogene (5.61) ¸si (5.62), iar z satisface ecuat¸ia omogen˘a a c˘aldurii, condit¸ia init¸ial˘ a neomogen˘a dat˘a de funct¸ia (x) ¸si condit¸iile la limit˘a omogene.

Exemplul 5.10. ecuat¸iei c˘aldurii :

S˘a se rezolve urm˘atoarea problem˘a Cauchy asupra ∂u ∂2u = , 0 < x < 1, t > 0 ∂t ∂x 2 u(x, 0) = x 2

− x, 0 ≤ x ≤ 1 u(0, t) = u(1, t) = 0, t ≥ 0

Demonstrat¸ie. Solut¸ia problemei are forma (5.47) : u(x, t) =

∞



2

cn e−(nπ) t sin(nπx),

n=1

unde cn se calculeaz˘a cu ajutorul formulei (5.48) : 1

− cos(nπx) 1+ nπ − − |0 1 1 cos(nπx) 2 sin(nπx) 1 |0 − 2 sin(nπx) (2x−1) dx = (2x − 1) dx nπ nπ nπ nπ 0 0 1 4 4 − cos(nπx) 1 |= =− sin(nπx)dx = − cn = 2

+2





(x2

(nπ)2

=

x) sin(nπx)dx = 2(x2

x)

0





0

4 [cos(nπ) (nπ)3





(nπ)2

nπ

0

4 − cos 0] = (nπ) [(−1)n − 1]. 3

=

100CAPITOLUL 5. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL DOI A¸sadar solut¸ia problemei Cauchy este u(x, t) =


∞



4 [( 1)n 3 (nπ) n=1

2

− − 1]e−(nπ) t sin(nπx).

S˘a se rezolve urm˘atoarea problem˘a Cauchy asupra

∂u ∂2u = 9 2 + t sin x, 0 < x < ∂t ∂x

, t>0

u(x, 0) = sin x + 2si n 2x + 3si n 3x, 0 u(0, t) = u(π, t) = 0, t

≥0

≤x≤π

−

Demonstrat¸ie. Not˘am v(x, t) = u(x, t) z(x, t), unde z(x, t) este solut¸ia problemei : ∂z ∂2z = 9 2, 0 < x< , t>0 ∂t ∂x z(x, 0) = sin x + 2 sin 2x + 3 sin 3x, 0 x π

≤ ≤

adic˘a z (x, t) =

∞

 

n=1

Cum z(x, 0) =

z(0, t) = z(π, t) = 0, t

2 cn e−9n t sin(nx).

∞

≥0

cn sin(nx) = sin x+2sin2 x+3sin3 x, prin identificarea

n=1

∀ ≥

coeficient¸ilor obt¸inem c 1 = 1, c2 = 2, c3 = 3, cn = 0, n 4. Deci z (x, t) = e −9t sin x + 2e−39t sin2 x + 3e−81t sin3 x. Cu notat¸ia f˘acut˘a la ˆınceput obt¸inem o nou˘a problem˘a Cauchy : ∂v ∂t

2

2

∂ v ∂u − 9 ∂x − 9 ∂∂xu2 − = 2 ∂t



∂z ∂t

2

∂ z − 9 ∂x 2



= t sin x, 0 < x <

, t>0

− z(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ π v(0, t) = u(0, t) − z(0, t) = 0, v(π, t) = u(π, t) − z(π, t) = 0, t ≥ 0 v(x, 0) = u(x, 0)

Aceasta este o problem˘a Cauchy cu condit¸ia init¸ial˘ a ¸si condit¸iile∞la limit˘a omogene. Solut¸ia acestei probleme va fi de forma (5.64), v(x, t) =



cn (t)sin( nx)

n=1

calculând cn (t) cu ajutorul formulelor (5.69) ¸si (5.65). Coeficient¸ii Fourier fn (t) ai funct¸iei f (x, t) = t sin x se obt¸in prin identificare : t sin x =

∞



fn (t) sin(nx),

n=1


101

∀ ≥ 2. Atunci

deci f 1 (t) = t, f n (t) = 0, n c1 (t) =



t



τ e−9(t−τ ) dτ = e −9t τ

0

e9τ 9

e −9t e 9τ

t t 0= 9 9 9 1 Deci v(x, t) = 9t 81 (1 e−9t ) sin x. A¸sadar, u(x, t) = v(x, t) + z(x, t) = 9t +e−9t sin x + 2e−39t sin2 x + 3e−81t sin3 x =

t

 −−


 

[1

e−9t ]

1

−· |

 − −

9

|t0 −

81 1 81 (1

t

0

e9τ dτ 9

− − e−9t)



=

sin x+

S˘a se rezolve urm˘atoarea problem˘a Cauchy asupra ∂u ∂2u = , 0 < x < 1, t > 0 ∂t ∂x 2 u(x, 0) = 6 sin(3πx), 0 x 1

≤ ≤ u(1, t) = t , t ≥ 0 2

u(0, t) = t,

Demonstrat¸ie. Vom omogeniza condit¸ia init¸ial˘ a ¸si condit¸iile la limit˘a . Vom considera funct¸ia U (x, t) din formula (5.52) : U (x, t) = t + x(t2

t).

−

Deci U (0, t) = t, U (1, t) = t 2 . Introducem funct¸ia necunoscut˘a v(x, t) = u(x, t) urm˘atoarea problem˘a Cauchy : ∂v ∂t

2

2

− ∂∂xv2 = ∂u −∂ u− ∂t ∂x 2



∂U ∂t

2

− ∂∂xU2



− U (x, t) ¸si obt¸inem

−t + x(2t − 1), 0 < x < 1, t > 0 v(x, 0) = u(x, 0) − U (x, 0) = 6 sin(3πx), 0 ≤ x ≤ 1 v(0, t) = u(0, t)−U (0, t) = t −t = 0, v(1, t) = u(1, t)−U (1, t) = t 2 −t2 = 0, t ≥ 0 Rezolv˘am problema ca ˆın exemplul 5.11. Not˘am w(x, t) = v(x, t) − z(x, t), =

unde z(x, t) este solut¸ia problemei Cauchy :

∂z ∂2z = , 0 < x < 1, t > 0 ∂t ∂x 2 z(x, 0) = 6 sin(3πx), 0

x

1

≤ ≥≤0

z(0, t) = 0, z(1, t) = 0, t avˆ and forma z(x, t) =

∞



2

cn e−(nπ) t sin(nπx). Cum z(x, 0) =

n=1

cn sin(nπx) = n=1 (3π)2 t sin(3πx).

6 sin(3πx), rezult˘a c3 = 3, cn = 0, n = 3. Deci z(x, t) = 3e − Funct¸ia w(x, t) verific˘a problema Cauchy : ∂w ∂ 2w = ∂t ∂x 2

∀ 

− t + x(2t − 1),

0 < x < 1, t > 0

∞



102CAPITOLUL 5. ECUAT ¸ II CU DERIVATE PART ¸ IALE DE ORDINUL DOI w(x, 0) = 0 , 0

≤x≤1

w(0, t) = 0, w(1, t) = 0, t

∞

¸si se caut˘ a de forma w(x, t) =

≥0

cn (t)sin( nπx).

n=1



−t + x(2t − 1) =

Presupunem c˘ a f (x, t) =

fn (t) = 2



1

f (x, t) sin(nπx)dx = 2 0



 ∞

fn (t)sin( nπx), unde

n=1

1

−

[ t + x(2t 0



− 1)] sin(nπx)dx =

1

− 1)] − cos(nπx) |10 + 2 0 (2t − 1) cos(nπx) dx = nπ nπ − cos(nπ) − 2(−t) · − cos0 + 2 · 2t − 1 · sin(nπx) |1 = = 2(t − 1) · −

= 2[ t + x(2t

nπ

nπ

−

n+1

2( 1) nπ Conform formulei (5.69) avem : =

− −  t

cn (t) =

0

= e−(nπ)

2t

2( 1)n+1 (τ nπ t

2( 1)n+1 nπ

= e −(nπ)

−

2t

 

−

− 1) − 2τ · nπ1

− · (t

2

n+1 2 2(−1) = e −(nπ) t

− · (t

e−(nπ) 2

(nπ)2 τ

(nπ)2 τ

 |− t 0

t 0



t 0

t

2

−



2

−

1 e (nπ) τ (nπ)2 (nπ)2

·

−



| t 0

=

1 2 1 e(nπ) t + (nπ)4 (nπ)4

·

1 2 1 e(nπ) t + (nπ)4 (nπ)4

·

=

τ e(nπ) τ dτ =

0 2

2

2

−



1 · e (nπ) τ |t − (nπ) 2 (nπ)2 0

e(nπ) t 1 1) + (nπ)2 (nπ)2 2

−τ ) dτ

e(nπ) τ dτ (nπ)2

2

e 1 1) + (nπ)2 (nπ)2

2 −(nπ)2 t e (nπ) t e t nπ (nπ)2

2 (t

e(nπ) τ dτ = (nπ)2

(nπ)2 t

(nπ)2 t t e (nπ)2

− nπ2 e−(nπ) t



− 1) e(nπ)2 |t0 −

2 −(nπ)2 t e e τ nπ (nπ)2

nπ

−

− 1) − 2t · nπ1 .

2

2( 1)n+1 (τ nπ

0

nπ

− 1)e(nπ) τ dτ − nπ2 e−(nπ) t

(τ

0

n+1 2 2(−1) = e −(nπ) t

nπ

(t

nπ



=

−


=

103

2 2 e−(nπ) t [( 1)n+1(t (nπ)3

−

+

( 1)n+1 (nπ)2

−

n+1

1) − 1)e(nπ) t + (−1)n+1 − ( −(nπ) · e(nπ) t+ 2 2

2

1 1 − t · e(nπ) t + (nπ) · e(nπ) t − (nπ) ] 2 2 2

2

n+1

Deci w(x, t) = 2

e(nπ) t +

(

−

1)n+1

(nπ)2 A¸sadar,

−

−

−

−−

2 e−(nπ)2 t [( 1)n+1(t 1)e(nπ)2 t +( 1)n+1 ( 1) 2 (nπ)3 (nπ) n=1

 ∞

1 1 − t · e(nπ) t + (nπ) · e(nπ) t − (nπ) ] sin(nπx). 2 2 2

2

u(x, t) = w(x, t) + z(x, t) + U (x, t) = =

∞



n=1

2 2 e−(nπ) t [( 1)n+1 (t (nπ)3

−

+

( 1)n+1 (nπ)2

−

n+1

1) − 1)e(nπ) t + (−1)n+1 − ( −(nπ) · e(nπ) t+ 2 2

1 1 − t · e(nπ) t + (nπ) · e(nπ) t − (nπ) ]sin( nπx)+ 2 2 +3e−(3π) t sin(3πx) + t + x(t2 − t). 2

2

2

2

·

Capitolul 6

Funct ¸ii complexe 6.1

Funct¸ii olomorfe. Condit¸iile Cauchy-Riemann. Funct ¸ii elementare

⊂

Definit ¸ia 6.1. Fie A C. Se nume¸ste funct¸ie complex˘ a orice funct¸ie f: A C (deci o funct¸ie cu valori complexe de variabil˘ a complex˘a ). Dac˘a not˘am w = f (z) cu z A ¸si z = x + iy, w = u +iv, unde x, y,u,v

→

∈

∈

IR, iar =: PA+iQIR, (adic˘ a Pam = Ref, Q = Imf evident a funct ¸ii reale P,f Q unde considerat A ), Ise R2pun ca oˆınmult ¸ime¸a˘dedou˘ perechi de numere reale. Atunci egalitatea w = f (z) este echivalent˘a cu dou˘a egalit˘a¸t i reale u = P (x, y) ¸si v = Q(x, y) ¸si funct¸ia f : A C este echivalent˘ a cu o transformare punctual˘a A IR2 , (x, y) (P (x, y), Q(x, y)). Definit ¸ia 6.2. Dac˘a A C este o mult¸ime deschis˘a , funct¸ia complex˘a f a ˆıntr-un punct z 0 = x 0 + iy0 A dac˘a ¸si numai dac˘ este continu˘ a P ¸si Q sunt simultan continue ˆın punctul (x0 , y0 ). Definit ¸ia 6.3. Fie A C o mult¸ime deschis˘ a ¸si f : A C o funct¸ie complex˘ a . Funct¸ia f se nume¸ste olomorf˘ a ˆıntr-un punct z0 A (sau C- derivabil˘ a ˆın z0 sau monogen˘ a ˆın z0 ) dac˘a exist˘a ¸si este finit˘ a (adic˘a f (z) f (z0)  apart¸ine lui C) limita l = lim . Not˘am l cu f (z0 ) ¸si se z →z0 ,z  =z 0 z z0 nume¸ste derivata complex˘ a a lui f ˆın z0 . Observat ¸ia 6.1. Dac˘a funct¸ia f : A C este olomorf˘a ˆ ın z 0 A, atunci

→

⊂

−→ ⊂

−→ ∈

⊂

→

→

∈

− −

→

∈

ea este continu˘ z 0 . ¸ia f : A Definit ¸ia 6.4.a ˆınFunct C se nume¸ ste olomorf˘a pe deschisul A dac˘a ea este olomorf˘a ˆın orice punct z 0 A. Observat ¸ia 6.2. Suma, produsul, câtul ¸si compunerea a dou˘a funct¸ii olomorfe pe un deschis A sunt funct¸ii olomorfe. Fie w = f (z), f : A C definit˘ a pe un deschis A C ¸si z0 A, z0 = x 0 + iy0 . f (z0 + h) f (z0 ) Dac˘a f este olomorf˘a ˆın z0 , atunci f  (z0 ) = lim . In h→ 0 h

→

∈

→

⊂

∈

−

104

6.1. FUNCT ¸ II OLOMORFE. CONDIT ¸ IILE CAUCHY-RIEMANN. FUNCT ¸ II ELEMENTARE105

particular, pentru h real va rezulta c˘a lim

h

→0

− f (z0=) lim

f (z0 + h) h

h

→0

f (z0 + ih) ih

− f (z0) = f  (z0)

¸si ¸inˆ t and cont c˘a f = P + iQ se obt¸ine lim

h

→0

P (x0 + h, y0 ) h

− P (x0, y+0)i lim

h

→0

Q(x0 + h, y0 ) h

−

− Q(x0, y0) = −

P (x0 , y0 + h) P (x0 , y0 ) Q(x0 , y0 + h) Q(x0 , y0 ) + i lim h→ 0 ih ih Dac˘a funct¸iile P ¸si Q au derivate part¸iale ˆın raport cu x ¸si y ˆın punctul (x0 , y0 ), atunci lim

h

→0

∂P ∂Q 1 ∂P ∂Q (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) + (x0 , y0 ) ∂x ∂x i ∂y ∂y de unde deducem

∂P = ∂x ∂Q = ∂x

∂Q ∂y ∂P ∂y

−

numite condit¸iile Cauchy-Riemann.

⊂

→ →

Teorema 6.1. Fie A C o mult¸ime deschis˘ a . Funct¸ia f : A C, f = P + iQ este olomorf˘a ˆın z0 A dac˘ a ¸si numai dac˘a P, Q : A R sunt diferent¸iabile ˆın z0 = (x0 , y0 ) s¸i derivatele lor part¸iale ˆın (x0 , y0 ) verific˘ a condit¸iile Cauchy-Riemann.

∈

Demonstrat¸ie. Presupunem c˘ a f este olomorf˘a ˆın z0 Definim β (z) =



f (z) f (z0 ) z z0

− −

0,

− f (z0),

∈ A ¸si fie f  (z0) = a+ib. ∈



pentru z A, z = z 0 pentru z = z 0

Evident lim β (z) = 0. z

→z0

Definim

α(z) =

→z0 |

|



β (z) z −z0 , pentru z A, z = z 0 0, |z −z0 | pentru z = z 0

∈

→z0 |

|



Atunci lim α(z) = lim β (z) = 0, deci lim α(z) = 0. Putem scrie z

f (z)

z

z

→z0

− f (z0) = c(z − z0) + (z − z0)β(z) = c(z − z0) + α(z)|z − z0|.

Dar f (z) = P (x, y) + iQ(x, y), c = a + ib, z

− z0 = (x − x0) + i(y − y0)

(6.1)

106

CAPITOLUL 6. FUNCT ¸ II COMPLEXE

deci

− P (x0, y0) + i(Q(x, y) − Q(x0, y0)) = = a(x − x0 ) − b(y − y0 ) + Reα(x, y) (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + +i[b(x − x0 ) + a(y − y0 ) + Imα(x, y) (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ] P (x, y)

Rezult˘ a formulele P (x, y)

  − −

− P (x0, y0) = a(x x0) b(y − y0)+ − x0)2 + (y − y0)2 Q(x, y) − Q(x0 , y0 ) = b(x − x0 ) + a(y − y0 )+ + Imα(x, y) (x − x0 )2 + (y − y0 )2

 

+ Reα(x, y) (x

unde

lim

(x,y)

→(x0 ,y0 )

Reα(x, y) = 0,

(x,y)

lim

→(x0 ,y0 )

(6.2)

(6.3)

Imα(x, y) = 0, deci funct¸iile P ¸si

Q sunt diferent¸iabile ˆın z 0 = (x0 , y0 ) ¸si atunci α=

∂P ∂Q (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ), b = ∂x ∂y

∂Q − ∂P (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂y ∂x

adic˘a am obt¸inut condit¸iile Cauchy-Riemann. Reciproc, dac˘a P ¸si Q sunt diferent¸iabile ˆın z0 = (x0 , y0 ) ¸si au loc condit¸iile Cauchy-Riemann, atunci avem ∂P − P (x0, y0) = ∂P (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 )+ ∂x ∂y + α1 (x, y) (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ∂Q ∂Q Q(x, y) − Q(x0 , y0 ) = (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 )+ ∂x ∂y + α2 (x, y) (x − x0 )2 + (y − y0 )2 P (x, y)

unde

lim

(x,y)

 

α1 (x, y) = 0,

→(x0 ,y0 )

lim α2 (x, y) = 0. (x,y) (x0 ,y0 ) ∂Q = ∂y (x0 , y0 ), b = ∂P ∂y (x0 , y0 )

→

(6.4)

(6.5)

Notând a = (x0 , y0 ) = ∂Q si ∂x (x0 , y0 ) ¸ = + iα , obt ¸inem din relat¸iile (6.4) ¸ s i (6.5), relat ¸ iile (6.2) ¸si (6.3), α α1 2 iar acestea sunt echivalente cu (6.1) dac˘a not˘am f  (z0 ) = a + ib. Din f (z0 ) (6.1) obt¸inem f (z)z− f  (z0 ) = β (z z0 ), pentru z = z0 si¸ atunci − z0 f (z) f (z0 ) ∂P ∂x

−

−

zlim z0

→



−

z z0 In plus, avem

−



 ∈    −   −    = f  (z0 )

f  (z0 ) =

∂P ∂x

C, deci f este olomorf˘a ˆın z 0

∂P ∂Q +i ∂x ∂x i

∂P ∂y

(z0 ) =

(z0 ) =

∂Q ∂y

i

∂Q ∂Q +i ∂y ∂x

∂P ∂y

∈ C.

(z0 ) =

(z0 )


⊂

→

Corolarul 6.1. Fie A C o mult¸ime deschis˘ a ¸si f : A C, f = P + iQ. 1 (A) s¸i dac˘ Dac˘ a P, Q a pentru z A au loc condit¸iile Cauchy-Riemann, atunci f este olomorf˘a pe A.

∈C

∀ ∈

1 (A), atunci Demonstrat¸ie. Dac˘a P, Q P, Q sunt diferent¸iabile ˆın orice punct z0 A. Având loc ¸si condit¸iile Cauchy-Riemann ˆın orice punct z0 A afirmat¸ia rezult˘a din Teorema 6.1.

∈C

∈

∂f ∂z

1 2



∂f ∂x

−

Not˘am = olar˘ a a lui f ˆın z0 ).

i ∂f ∂y



¸si

∂f ∂z

=

1 2



∂f ∂x

+ i ∂f ∂y

∈



(numit˘a derivata are-

⊂

→

Corolarul 6.2. Fie A C o mult¸ime deschis˘ a ¸si f : A C, f = P + iQ. 1 (A) ¸ Dac˘ a P, Q si ∂f pe , atunci funct ¸ia este olomorf˘ a pe A. = 0 A f ∂z

∈C

Demonstrat¸ie. Vom ar˘ ata c˘a relat¸ia ∂f a cu condit¸iile ∂z = 0 pe A este echivalent˘ Cauchy-Riemann ¸si apoi aplic˘ am Corolarul 6.1. Intr-adev˘ar, ∂f 1 = ∂z 2



1 2 deci

     −   

∂f ∂f +i ∂x ∂y

=

∂P ∂x

∂f =0 ∂z

1 2

∂Q ∂y

∂P ∂Q +i ∂x ∂x +

i 2

∂Q ⇐⇒ ∂P = ∂x ∂y

+i

1 2

∂Q ∂ P + ∂x ∂y ∂Q = ∂x

¸si

Exemplul 6.1. S˘a se arate c˘a funct¸ia f : ˆın nici un punct din C.

C

∂P ∂Q +i ∂y ∂y



=

,

− ∂P . ∂y

→ C, f (z) = |z | nu e olomorf˘a



Demonstrat¸ie. Funct ¸ia f se scrie f = P + iQ, unde P (x, y) = x2 + y 2 ¸si Q = 0. y x Avem ∂P , ∂P = , ∂ Q = ∂Q ∂x = ∂y = 0 pentru z = 0. 2 2 ∂y 2 2 ∂x

√x +y

√x +y

Din condit¸iile Cauchy-Riemann obt¸inem

√

x x2 +y 2

= 0 ¸si



y x2 +y 2

√

= 0, deci

x = y = 0, adic˘a z = 0. Dar, ˆın punctul z = 0 funct¸ia P nu are derivate part¸iale, deci conform Teoremei 6.1, funct¸ia f nu poate fi olomorf˘a ˆın acest punct.

|

Exemplul 6.2. S˘a se arate c˘a funct¸ia f : C C, f (z) = z 2 z 2 este continu˘ a ˆın z = 0, satisface condit¸iile Cauchy-Riemann ˆın acest punct, dar nu este olomorf˘a .

→

− |

Demonstrat¸ie. lim f (z) = 0 = f (0), deci f este continu˘a ˆın z = 0 z

→0

| |

Dac˘a z = x + iy, avem f (z) = 2 xy , deci P (x, y) = 2 P (x, 0) P (0, 0) ∂Q ∂P =0 = (0, 0) ∂x (0, 0) = lim x→0 x 0 ∂y

− −

| |

xy ¸si Q = 0.

108


(0, 0) = lim

− −

P (x, y)

P (0, 0) = 0 (x

P (0, y) P (0, 0) ∂Q =0= (0, 0) y 0 ∂x Totu¸si f nu este olomorf˘a ˆın z = 0, deoarece P nu e diferent¸iabil˘ a ˆın acest punct. Presupunem c˘a P ar fi diferent¸iabil˘ a , deci ∂P ∂y

y

→0

− unde lim P (z) = 0. z

→0

−

0) + 0 (y

· −

1



P (z) z i n1 , n

Pentru z = 0 avem P 1 (z) = Luând z = n1 , zn = n1 + P1 (zn ) = 0 0, P1 (zn ) = 2

||

0) + P1 (z) z

· −

=

√ xy| √2 x |+y 2

0,

| −|

2

∈ IN∗ avem zn −→ 0, zn −→ 0, dar √ √ −→ −→ 2, deci P 1 nu are limit˘a ˆın (0, 0). Definit¸ia 6.5. Fie u : A → IR o funct ¸ie de clas˘a C 2 pe deschisul A. Funct¸ia u se nume¸ste armonic˘ a dac˘a pentru ∀a ∈ A avem ∂∂xu (a) + ∂∂yu (a) = 0, 2

2

2

2

adic˘a ∆u = 0 ˆın orice punct din A.

⊂

→

Corolarul 6.3. Fie A C o mult¸ime deschis˘ a ¸si f : A C, f = P + iQ ¸si 2 P, Q (A). Dac˘a f este olomorf˘a pe A , atunci P, Q sunt funct¸ii armonice pe A.

∈C

Demonstrat¸ie. Din condit¸iile Cauchy-Riemann ¸si Teorema lui Schwartz avem

      −  −

∂2P ∂ 2P ∂ + = 2 ∂x ∂y 2 ∂x =

∂ ∂x

∂Q ∂y

+

∂ ∂y

∂P ∂x

∂Q ∂x

⊂

+

=

∂ ∂y

∂2Q ∂x∂y

∂P ∂y

=

∂2Q =0 ∂y∂x

Definit ¸ia 6.6. Un deschis D C este conex (deci un domeniu) dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice dou˘a puncte z 1 , z2 D exist˘a un drum γ : [a, b] D astfel ca γ (a) = z 1 ¸si γ (b) = z 2 . Un domeniu D se nume¸ste simplu conex dac˘a frontiera lui D este conex˘a , adic˘a orice curb˘a ˆınchis˘ a cu suportul ˆın D se poate deforma continuu c˘atre un punct. Observat ¸ia 6.3. Se poate ar˘a ta c˘a aceasta este echivalent cu faptul c˘a orice curb˘a ˆınchis˘ a cu suportul ˆın D se poate deforma continuu c˘ atre un

∈

→

punct. Coroana K (z0 ; r, R) nu este un domeniu simplu conex.

Teorema 6.2. Fie D IR2 un dom eniu sim plu conex. Dac˘a funct¸ia P:D IR este armonic˘a pe D , atunci exist˘a funct¸ia Q : D IR armonic˘ a pe D astfel ˆıncât funct¸ia f : D C, f = P + iQ s˘ a fie olomorf˘a .

⊂

→

→

→

Demonstrat¸ie. Dac˘a ar exista funct¸ia Q armonic˘a pe D astfel ˆıncât f = P + iQ s˘a fie olomorf˘a pe D, atunci Q ar verifica relat¸iile Cauchy-Riemann ∂Q ∂Q ∂Q ∂P ∂P ∂P ∂P si ∂Q ∂x = ∂y ¸ ∂x = ∂y , deci dQ = ∂x dx + ∂y dy = ∂y dx + ∂x dy.

−

−

6.1. FUNCT ¸ II OLOMORFE. CONDIT ¸ IILE CAUCHY-RIEMANN. FUNCT ¸ II ELEMENTARE109 ∂P ∂P ∂y dx + ∂x dy = P 1 dx + Q1 dy. 2 2 ∂Q 1 ∂P 1 ∂ 2P , deci ∂y = ∂x , deoarece ∂∂xP2 + ∂∂yP2 = ∂x 2

Consider˘ am forma diferent¸ial˘ aω= ∂P 1 ∂y

−

∂ 2 P ∂Q 1 , ∂y 2 ∂x

−

Avem = = 0, P fiind armonic˘a pe D. A¸sadar, forma ω este ˆınchis˘a , deci ω este exact˘a 2 deoarece D este simplu conex. Atunci exist˘a funct¸ia Q pe D, Q (D) ∂Q ∂Q ∂P ∂Q ∂P astfel ˆıncˆ at ω = ∂Q dx + dy = dQ. Rezult˘ a relat ¸ iile = , = ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ,

∈C

−

adic˘a tocmai condit¸iile Cauchy-Riemann. Aplicând Corolarul 6.1, rezult˘a c˘a f = P + iQ este olomorf˘a pe D.

Observat ¸ia 6.4. Din relat¸ia ω = dQ rezult˘a c˘a funct¸ia Q este unic˘a pân˘ a la ad˘augarea unei constante reale, deci f este unic˘a pân˘a la ad˘augarea unei constante pur imaginare. Exemplul 6.3. S˘a se determine funct¸ia olomorf˘a f = P + iQ pe C, unde 2. Q(x, y) = ϕ(x2 y 2 ), ϕ

−

∈C

Demonstrat¸ie. Not˘am α = x 2 y 2 . ∂Q   Avem ∂Q ∂x = 2xϕ (α), ∂y = 2yϕ (α), deci ∂ 2Q ∂y 2

− −

∂2Q ∂x 2

= 2ϕ (α) + 4x2 ϕ (α),

= 2ϕ (α) + 4y 2 ϕ (α) Cum Q este armonic˘a rezult˘a c˘a ∆Q = 0, deci

−

∂ 2Q ∂ 2Q + = 4(x2 + y 2 )ϕ (α) = 0 = ∂x 2 ∂y 2

⇒ ϕ (α) = 0 = ⇒ ϕ (α) = c =⇒

⇒ ϕ(α) = cα + c1 =⇒ Q(x, y) = c(x2 − y2) + c1,c,c 1 ∈ IR

=

Din condit¸iile Cauchy-Riemann obt¸inem ∂P ∂Q = = ∂x ∂y ∂P = ∂y

−2cy

− ∂Q = −2cx ∂x

Integrˆ and a doua ecuat¸ie ¸si ˆınlocuind ˆın prima obt ¸inem

−2cxy + k, deci f (z) = −2cxy + k + i(c(x2 − y 2 ) + c1 ) =⇒ f (z) = ciz 2 + d,c,d ∈ IR Exemplul 6.4. Fie P (x, y) = e2x cos2 y + y 2 − x2 . S˘a se determine funct¸ia P (x, y) =

olomorf˘a f = P + iQ pe C astfel ˆıncât f (0) = 1. Demonstrat¸ie. Verific˘ am c˘a funct¸ia P este armonic˘a . Aplic˘am condit¸iile Cauchy-Riemann ¸si obt¸inem ∂P ∂Q = = 2e 2x cos2 y ∂x ∂y

− ∂P ∂y

=

− 2x

∂Q = 2e2x sin2 y ∂x

− 2y

110


Integr˘ am a doua ecuat¸ie ˆın raport cu x si ¸ obt¸inem Q(x, y) = e 2x sin2 y

− 2xy + c(y).

Inlocuind apoi ˆın prima ecuat¸ie avem c  (y) = 0, deci c(y) = k. Atunci

− x2 + i(e2x sin2 y − 2xy + k) = = e2x (cos2 y + isi n 2y) − (x + iy)2 + ki =⇒ f (z) = e 2z − z 2 + ki. Din condit¸ia din enunt¸ obt¸inem constanta k : f (0) = 1 =⇒ k = 0. A¸sadar, f (z) = e 2z − z 2 . f (z) = e2x cos2 y + y 2

Exemplul 6.5. S˘a se arate c˘a dac˘a u ¸si v sunt dou˘a funct¸ii armonice ˆıntr-un domeniu D, condit¸ia necesar˘a ¸si suficient˘ a ca funct¸ia f (z) = u + iv s˘ a fie o funct¸ie olomorf˘a este ca funct¸ia ϕ(x, y) = ln[(u + λ)2 + (v + µ)2 ] s˘a fie armonic˘a oricare ar fi constantele λ ¸si µ. Demonstrat¸ie. Calcul˘am derivatele part¸iale de ordinul doi ale funct ¸iei ϕ. Avem 2 2 ∂u 2 ∂ 2v + ∂u + (u + λ) ∂∂xu2 + (v + µ) ∂x ∂2ϕ 2 ∂x = 2 ∂x 2 2 2 ∂x (u + λ) + (v + µ)

−

 −       − 4

∂2ϕ =2 ∂y 2

∂u ∂y

2

∂v (u + λ) ∂u ∂x + (v + µ) ∂x (u + λ)2 + (v + µ)2

+

∂u ∂y

2

2

2

+ (u + λ) ∂∂yu2 + (v + µ) ∂∂y v2

(u + λ)2 + (v + µ)2

∂v (u + λ) ∂u ∂y + (v + µ) ∂y

4

(u + λ)2 + (v + µ)2

Cum funct¸iile u ¸si v sunt armonice, adic˘a ∆u = ∆v =

∂ 2v ∂x 2

∂2v ∂y 2

+

∗

4

∂ 2u ∂x 2

+

∂ 2u ∂y 2

+

∂v 2 ∂x

= 0,

∂u 2 ∂x

+

∂u ∂y

2

+

2

∂v ∂y

(u + λ)2 + (v + µ)2

2

∂v + (u + λ) ∂u ∂y + (v + µ) ∂y

[(u + λ)2 + (v + µ)2 ]2

[ (u + λ)2 + (v + µ)2 ] =2



         −      −   −   

∂v (u + λ) ∂u ∂x + (v + µ) ∂x

−

−

= 0, rezult˘a

∂ 2ϕ ∂ 2 ϕ ( ) ∆ϕ = ∂x 2 + ∂y 2 = 2

−



∂u 2 ∂x

+

∂u ∂y

2

[(u + λ)2 + (v + µ)2 ]2

∂v 2 ∂x

∂v ∂y

2

=

2

−


−4



(u + λ)(v + µ)

∂u ∂x

· ∂x∂v + ∂u∂y · ∂v∂y

[(u + λ)2 + (v + µ)2 ]2



.

∂v ∂u ∂v Dac˘a funct¸ia f este olomorf˘a avem ∂u ∂x = ∂y , ∂y = ∂x , deci ∆ ϕ = 0, adic˘a funct¸ia ϕ este armonic˘a oricare ar fi λ ¸si µ constante.

−

Dac˘a funct (*) rezult˘ a ¸ia ϕ este armonic˘a oricare ar fi λ ¸si µ constante, din relat¸ia

    2

∂u ∂x

2

∂u ∂y

+

2

∂v ∂x

=

∂v ∂y

+

2

,

∂u ∂v ∂ u ∂ v + = 0, ∂x ∂x ∂y ∂y

·

·

de unde deducem condit¸iile Cauchy-Riemann.

Funct ¸ia exponent¸ial˘ a Definit ¸ia 6.7. Se nume¸ste exponent¸iala complex˘ a funct¸ia exp: C ∞ zn z z C, z e , unde exp z = e = . n! n=0 Propriet˘ a¸ti :



−→

→

a) e0 = 1; b) ez1 +z2 = e z1 ez2 , c) e

iy

z1 , z2

C;

∀ ∈ = cos y + i sin y, ∀ y ∈ IR (formula lui Euler);

d) funct¸ia exponent¸ial˘ a este olomorf˘a ¸si periodic˘ a de perioad˘a 2π.

Demonstrat¸ie. b) Consider˘am seriile n

wn =

 p=0

un =

n 0

n

≥ −

n 0

≥

z1n , n!

vn =

n 0

up vn−p =

1

p=0

p!(n

wn =

≥

n 0

≥

n 0

≥

vq , avem

≥

q 0

≥

p 0

y2 y4 + 2! 4!

z1p p!

≥

q 0

z1q q!

.

( 1)n y 2n + ...+ (2n)!

y3 ( 1)n y 2n+1 +...+ + ... 3! (2n + 1)!

= cos y + i sin y

n 0

+i y

up

≥

p 0

(z1 + z2 )n = n!

(iy)n =1 n!

(z1 + z2 )n = . n!

z2n . Atunci n!

... +

eiy =

≥

p)!

z1p z2n p

n 0

≥

 −        ·  −  −  −  − − 

Cum seria produs

c) Avem

   

folosind dezvolt˘arile ˆın serie ale funct¸iilor reale cos ¸si sin.

112


d) Pentru orice z C ave e z = ex+iy = ex eiy = ex (cos y + i sin y), deci Reexp = P (x, y) = ex cos y s¸i Im exp = Q(x, y) = ex sin y. Funct¸iile P ¸si Q ∂Q x sunt de clas˘a 1 ¸si ∂P si ∂P ex sin y = ∂Q ∂x = e cos y = ∂y ¸ ∂y = ∂x . Atunci conform Corolarului 6.1, funct¸ia exp este olomorf˘a pe C. Pentru orice z C avem

∈

C

−

−

∈

ez+2πi = e x+iy+2πi = e x ei(y+2π) = e x (cos(y + 2π) + i sin(y + 2π)) = = e x (cos y + i sin y) = ez , deci funct¸ia exp este periodic˘a de perioad˘a 2π.

Funct ¸ia logaritm Pentru orice z C∗ fixat ne punem problema s˘ a afl˘am toate solut¸iile w = u + iv C ale ecuat¸iei e w = z. Folosind scrierea trigonometric˘a a unui complex, z = reiθ , unde r = z , iar θ = arg z, obt¸inem e u = z , de unde rezult˘ a u = ln z ¸si ¸inˆ t and cont c˘a funct¸ia exp este periodic˘a de perioad˘ a 2π, avem v = arg z + 2k , k ZZ. A¸sadar, toate solut¸iile ecuat¸iei sunt e w = z, z C∗ sunt w = ln z + i(arg z + 2kπ), k ZZ. Definit ¸ia 6.8. Se nume¸ste logaritmul num˘ arului complex z C∗ , mult¸imea de numere complexe Ln z = ln z + i(arg z + 2kπ) k ZZ . Funct¸ia Lnz este o funct¸ie multiform˘a (care asociaz˘a unei valori z mai

∈

∈

||

||

∈

||

∈

||



∈ ||

| ∈

∈



multe valori numerice). Funct¸ia logaritm are o infinitate de ramuri. Pentru k = 0 obt¸inem valoarea princpal˘ a a logaritmului

||

ln z = ln z + i arg z.

Exemplul 6.6. Fie z = ew = z.

−2i. S˘a se determine solut¸iile w ∈ C ale ecuat¸iei

Demonstrat¸ie. Cum z = 2, |zz| = i, rezult˘a c˘a arg z = ecuat¸iei sunt Ln( 2i) = ln 2 + i( 3π k ZZ . 2 + 2kπ)

−

||

 

−

| ∈

Funct ¸ia putere Este o funct¸ie multiform˘a z m = emLnz = em(ln |z|+i(arg z+2kπ))

Exemplul 6.7. Calculat¸i



| ∈

 

 ∈ 

| k ∈ ZZ

ii .

Demonstrat ¸ie. ii = e iLni = ei(ln |i|+i(arg(i)+2kπ)) π = e− 2 −2kπ k ZZ .



|k

3π 2 ,

, m

deci solut¸iile

∈ C.

ZZ =

Funct ¸ia radical Este o funct¸ie multiform˘a n z = w C wn = z , n IN, n 2. iθ Dac˘a z = 0, z = re , funct¸ia radical o definim cu ajutorul funct¸iei putere ¸si scriem



√z = z n

1 n

1



1

√



= e n Lnz = e n (ln |z|+i(arg z+2kπ))

∈ |

| k ∈ ZZ





1

∈

= e n ln |z| ei

·

≥

θ +2kπ n

| k ∈ ZZ



=


√

rei

 √

θ +2kπ n

n

| k ∈ ZZ

rei

θ +2kπ n



| k = 0, 1, 2,...,n − 1 √ √ √ Dac˘a n = 2, z are dou˘a valori z1 = rei ¸si z2 = − rei ce sunt =

n

=

θ

θ

2

2

funct¸ii multiforme, numite ramurile funct¸iei. Valorile ramurilor z 1 ¸si z 2 se schimb˘ a ˆıntre ele ori de cˆ ate ori argumentul lui z cre¸ste cu 2π, adic˘a atunci când z descrie o curb˘a ce ˆınconjoar˘a srcinea. Din aceast˘a cauz˘a z = 0 se nume¸ste punctul critic sau punctul de ramificat¸ie al funct¸iei z. Prin urmare, funct¸iile z1 ¸si z2 devin uniforme f˘acând ˆın planul z o t˘aietur˘a de-a lungul unei semidrepte care pleac˘a din srcine, de exemplu semiaxa pozitiv˘a . Aceasta ˆınseamn˘ a c˘ a variabila z este supus˘a restrict¸iei de a nu putea traversa aceast˘a semidreapt˘ a . In felul acesta argumentul variabilei z nu poate s˘a creasc˘a cu un multiplu de 2 π s¸i, prin urmare, z1 ¸si z2 au o valoare unic˘a ˆın fiecare punct al planului z. S˘a presupunem c˘a am f˘acut t˘aietura de-a lungul unei semidrepte care face cu axa Ox unghiul θ. Pe o θ +2π parte a t˘aieturii, ˆın punctul z = reiθ , funct¸ia z1 = rei 2 , iar pe cea lalt˘a θ θ parte, ˆın acela¸si punct, valoarea rei 2 = rei 2 , deoarece argumentul lui z a crescut cu 2 π. Aceea¸si observat¸ie pentru funct¸ia z2 . Funct¸iile z1 ¸si z2 nu sunt continue ˆın punctele t˘ aieturii. Se poate imagina, dup˘a Riemann, o suprafat¸a˘ pe care cele dou˘a ramuri z1 ¸si z2 s˘a formeze o singur˘a funct¸ie uniform˘a . Pentru aceasta consider˘ am dou˘a

√

√

√

−√

planeastfel complexe aiate de-ainferioar˘ lungul asemiaxei pozitive ¸si a¸ sezate unul s˘ peste altul ˆıncˆ att˘marginea a t˘aieturii planului de deasupra a coincid˘a cu marginea superioar˘a a t˘aieturii planului de dedesubt, iar marginea inferioar˘a a acestuia din urm˘a s˘a coincid˘a cu marginea superioar˘a a t˘aieturii celuilalt. Se obt¸ine astfel o suprafat¸˘ a cu dou˘a foi, numit˘a suprafat¸a lui Riemann. Pentru valorile variabilei z de pe prima foaie, unde argumentul lui z variaz˘ a de la 0 la 2 π, obt¸inem valorile funct¸iei z1 , iar pentru cele de pe a doua foaie, unde argumentul lui z variaz˘ a de la 2 π la 4π, valorile funct¸iei z 2 . Pe aceast˘a suprafat¸a˘ funct¸iile z1 ¸si z2 formeaz˘a o singur˘a funct¸ie uniform˘a Corespondent¸a dintre punctele suprafet¸ei lui Riemann ¸si valorile funct¸iei z este biunivoc˘a . Pentru funct¸ia n z, n > 2, suprafat¸a lui Riemann este analoag˘a ce aceea a funct¸iei z ıns˘ ˆ a are n foi. Exemplul 6.8. S˘a se rezolve ecuat¸ia z 3 + 2 2i = 0 .

√

√

√

−

Demonstrat¸ie. Avem ecuat¸ia z 3 = 2( 1 + i). Cum w = |ww| = √12 + i √12 , rezult˘a arg w = 3π4 . 3π +2kπ 2kπ π 4 Deci z = 2ei 3 k = 0, 1, 2 = 2ei( 3 + 4 )

−

− | | √ √    √    |  |  2 cos

2kπ 3

+

π 4

+ i sin

A¸sadar, z 1 = 1 + i , z2 =

2kπ 3

−

π 4 3+1 2

+

√

k = 0, 1, 2 .

+i

√3−1 2

, z3 =

√3+1 2

−i

1+i =

√2 ¸si

|− | | k = 0, 1, 2 √3−1 2

.



=

114


Funct ¸iile trigonometrice complexe Pentru orice C, definim funct¸iile cos ¸si sin prin

∈

cos z =

eiz + e−iz eiz e−iz , sin z = . 2 2i

Se verific˘a relat¸iile

−

eiz = cos z + i sin z cos2 z + sin2 = 1

Definim tg : C

\

ctg : C

π 2

\

+k



∈

k

→

∈

, k ZZ

→

, k ZZ

C, tg z =

−i ee

C, ctg z = i

iz e−iz iz +e−iz

−

¸si

eiz + e−iz eiz e−iz

−

Funct¸iile sin, cos, tg , ctg sunt funct¸ii uniforme (nu sunt multiforme) ¸si toate formulele trigonometrice din cazul real ramân valabile. Se definesc ¸si funct¸iile hiperbolice complexe shz =

ez

− e−z , 2

chz =

ez + e −z shz , thz = (pentru ch= 0 2 chz



Se observ˘a c˘a shz = i sin(iz), ch = cos(iz). Inversarea funct¸ilor trigonometrice complexe conduce la alte funct¸ii multiforme. Astfel, rezolvând ecuat¸ia z = sin w, rezult˘a :

−

eiw

− e−iwsau e

− 2izeiw − 1 = 0, √ √ de unde e iw = iz ± 1 − z 2 ¸si iw = Ln(iz ± 1 − z 2 ). Atunci se define¸ste Arcsinz = −iLn(iz ± 1 − z 2 ). z=

2iw

2i

  ± −

Analog se definesc

−iLn(z z2 1), i i−z Arctgz = − Ln etc. 2 i+z

Arccosz =

Exemplul 6.9. S˘a se calculeze z 1 = sin(1 + i). Demonstrat¸ie. Avem z1 = s in1 cosi+si n i cos 1 = sin 1 1 = 2e [(e2 + 1) sin 1 + i(e 2 1)cos1]

−

Exemplul 6.10. S˘a se calculeze z 2 = sh(1

−

e1−i

Demonstrat¸ie. z2 = sh(1 i) = 1 = 2e [(e2 1)cos1 i(e2 + 1) sin 1]

−

−

− 2

ei−1

=

1

1

· e−2i−e + e+e2− cos 1 =

− i).

e(cos 1+isin 1)

−e−1 (cos 1−isin1) 2

=


−  π 4

Exemplul 6.11. S˘a se calculeze z 3 = ctg i( π

i( π

−iln3 )

−

iln3 .

−iln3 )

Demonstrat¸ie. Avem z 3 = i ei( π4 −iln3 ) +e−i( π4 −iln3 ) . e

√−2 e

4

πi

Cum e i( 4 −iln3 ) = e ln 3 e 4 = 3 π

Atunci z 3 =



11+7i 7+11i

=

−

+i

2

√

3 2 2 2 (1+i)+ 3√2(1+i) √ 3 2 2 √ 2 (1+i) 3 2(1+i)

4

√2

=

√

3 2 2 (1

=

2

   77 36i . 85

−

πi 4

Exemplul 6.12. S˘a se calculeze z 4 = th ln2 + Demonstrat¸ie. Avem z 4 = =2



√2

+i

2

√2 2



=

eln2+

πi

eln2+

πi

√2(1 + i).

4

4

−e−(

ln2+ π i 4

+ i).

)

−(ln2+ π4i )

+e

Atunci z4 =

. πi

, dar e ln2+

4

πi

= e ln 2 e 4 =

√2(1+i)− √ 1 √2(1+i)+ √2(1+i) 1

=

2(1+i)

4i 1 4i+1

−

=

15+8i 17 .

Exemplul 6.13. S˘a se rezolve ecuat¸ia sin z = 2.

− √ √ − √ − ± −√ ± ± −√ arg[i(2 ± √3)] = π2 .

±√ − ± √√3) = √ | ± | ± 3 ¸si

−

Demonstrat¸ie. Avem z = iLn(2i + 1 4) = iLn(2i i 3) = = iLn[i(2 3)] = i[ln(2 3)+i( π2 + 2kπ)] = π2 + 2kπ i ln(2 π = 2 + 2kπ i ln(2 + 3), deoarece 2 3 = 2 1√3 , i(2 3) = 2

−

√

Exemplul 6.14. S˘a se calculeze z 5 = Arccos(i 3).

√

−

Demonstrat¸ie. Avem z 5 = iLn(i 3 + = i[ln( 3 + 2) + i(2kπ + π2 )] = 4k+1 2 π

− √

√

− iln(

Exemplul 6.15. S˘a se calculeze z 6 = Arctg √ √ i− 3+i 5 i Ln √ 2 √

−2

Demonstrat¸ie. Avem z 6 = Cum A¸sadar,



  −

−1+i√√3

3+ 5 z 6 = 2i

2 3+ 5 2 + 3+ 5

= ln

√

√

¸si i



i+

√ − 1 = −iLn(i 3 + 2i) = √

(i 3)2

3+i 5 2

=

3 + 2).

  √3+i√5 2

.

√

− 2i Ln −3+1+i√53 . √

√

− 12 + i 23 , rezult˘a arg√−3+1+i√53 i 3− 5 2kπ + 2π = 3k+1 3 3 π − 2 ln 2 . z

|z |

=



=

2π 3 .

Exemplul sesh demonstreze egalit˘at¸ile : 2 a) sin z 26.16. = sin 2S˘ xa + y b) cos z 2 = cos 2 x + sh2 y unde z = x + iy.

| |

| |

Demonstrat¸ie. a) Avem sin z = sin(x + iy) = sin x cosi y + si n iy cos x. Dar cosi y = chy, sini y = i shy, deci sin z = sin x chy + i cos x shy. De aici deducem sin z 2 = sin 2 x ch2 y + cos2 x sh2 y. Tinˆ and cont c˘a ch2 y sh2 y = 1, rezult˘a sin z 2 = sin 2 x + sh2 y.

|

·

−

|

·

·

|

|

·

·

116


b) Analog avem

− sin x sini y = cos x · chy − isin x · shy, deci | cos z |2 = cos 2 x · ch2 + sin2 x · sh2 y, adic˘a | cos z |2 = cos 2 x + sh2 y. cos z = cos(x + iy) = cos x cosi y

6.2

Integrala complex˘ a . Teorema lui Cauchy. Formula integrala Cauchy

Fie A ⊂ C o mult¸ime deschis˘a ¸si γ : [a, b] → A un drum (curb˘a ) de clas˘a C 1 pe port¸iuni. Fie f : A → C o funct¸ie complex˘a continu˘a , f = P + iQ. Not˘am γ (t) = z(t) = x(t) + iy(t), deci x, y : [a, b] → IR sunt funct¸ii de clas˘a C 1 pe port¸iuni. Drumul γ − : [a, b] → IR este drumul opus lui γ , γ − = γ (a + b − t). Fie  n : a = t0 < t1 < ... < t n = b o diviziune a intervalului [ a, b] care ˆımparte drumul γ ˆın n arce l0 , l1 ,...,l n−1 . Inceputul arcului lk este punctul zk = γ (tk ) ¸si sfˆ ar¸situl lui lk este punctul zk+1 = γ (tk+1 ). Alegem τk [tk , tk+1 ] o valoare arbitrar˘a ¸si scriem ζ k = γ (τk ) = ξ k + iηk .

∈

n 1

Definit ¸ia 6.9.

−

Suma

f (ζk )(zk+1

 − k=0

complex˘ a (relaiv la ,f, n , ζk ). Not˘am cu ν ( n ) = max t1 t0 , t2 n.





− zk ) se nume¸ste sum˘a integral˘a

− t1,...,t n − tn−1



norma diviziunii

Lema 6.1. In condit¸iile anterioare, pentru orice alegere a punctelor ζk , exist˘a limita

−

n 1 ν(



lim

n )→0k=0

f (ζk )(zk+1

− zk ) =



− Qdy + i

P dx γ



Qdx + P dy γ

(dou˘ a integrale curbilinii reale). Demonstrat¸ie. Avem f (ζk ) = P (ξk , ηk ) + iQ(ξk , ηk ) ¸si zk+1

−

Deci

−

n 1



zk = (xk+1

−

xk ) + i(yk+1

−

−

n 1

f (ζk )(zk+1

k=0

− zk ) =



−



k=0

k=0

Q(ξk , ηk )(xk+1

−

n 1

P (ξk , ηk )(xk+1

n 1

+i

yk ).

− xk ) −



Q(ξk , ηk )(yk+1

k=0

n 1

− xk ) + i

−



k=0

P (ξk , ηk )(yk+1

− yk )

− yk )+

˘ . TEOREMA LUI CAUCHY. FORMULA INTEGRALA CAUCHY117 6.2. INTEGRALA COMPLEXA

Din ipotez˘a f este continu˘a , deci P ¸si Q sunt continue, iar x ¸si y sunt funct¸ii de clas˘a C 1 pe port¸iuni. Rezult˘a c˘a n 1

−

− −→

P (ξk , ηk )(xk+1 xk )

k=0



n 1

−

P dx ¸si γ

− −→

Q(ξk , ηk )(yk+1 yk )

k=0



Definit ¸ia 6.10. Limita

 



Qdy, etc. γ

n 1 ν(

−

lim

n )→0(orice

ζk )

f (ζk )(zk+1

k=0

− zk )

se nume¸ste integrala complex˘ a a funct¸iei f de-a lungul curbei γ si¸ se noteaz˘a cu γ f (z)dz.



Corolarul 6.4. Avem



f (z)dz =

γ



b a f (z(t))

γ : z = z(t), t

· z(t)dt, unde

∈ [a, b].

Demonstrat¸ie. Din Lema 6.1 avem



Dar

 

P dx γ

f (z)dz = γ

− Qdy =

Qdx + P dy =

γ

 

b



P dx γ

[P (x(t), y(t)) x (t)

·

a b

− Qdy + i



Qdx + Pdy. γ

− Q(x(t), y(t)) · y(t)]dt

[Q(x(t), y(t)) x (t) + P (x(t), y(t)) y  (t)]dt,

·

a

·

deci



f (z)dz = γ



b

[P (x(t), y(t))+iQ(x(t), y(t))](x (t)+iy  (t))dt =

a



b a

f (z(t)) z  (t)dt.

·

A¸sadar, o integral˘ a complex˘a revine la o pereche de integrale Riemann reale.

Propriet˘ a¸tile integralei complexe : 1. (schimbarea sensului)

∀

2. (liniaritatea) λ, µ



γ

∈



γ−

f (z)dz =

→

C ¸si f , g : A

λf (z) + µg(z)dz = λ

−



γ

f (z)dz

C continu˘a ,

f (z)dz + µ

γ



g(z)dz γ

118


→

→

3. (aditivitatea) Fie γ1 : [a, b] A, γ2 : [b, c] A drumuri de clas˘a pe port¸iuni cu γ 1 (b) = γ2 (b) ¸si γ = γ1 γ2 . Atunci

 4.

  ≤  | γ

f (z)dz

γ

f (z)dz = γ



∪

f (z)dz + γ1



C1

f (z)dz. γ2

|

f (z) dz .

5. (limitarea modulului integralei) Fie L lungimea drumului γ si¸ fie M = sup f (z) < . Atunci γ f (z)dz M L.

| z ∈A

  ≤

| ∞





| |

| |

Exemplul 6.17. S˘a se calculeze integralele I 1 = |z|=1 z dz , I2 = S z dz , unde cercul unitate este parcurs pozitiv o singur˘ a dat˘a , iar S e segmentul care une¸ste 0 ¸si i. Demonstrat¸ie. z = eit , t [0, 2π] = dz = ieit dt = dz = dt = I1 = 2π = 0 eit dt = 1i eit /2π 0 =0 Segmentul S are reprezentarea parametric˘a z = ti, t [0, 1] = dz = 1 = idt = dz = dt = I2 = 0 tidt = 2i



∈

⇒| |

⇒

⇒| | ∈

⇒

Exemplul 6.18. S˘a se calculeze integrala complex˘a e semidiscul z C/ z r, Imz 0 cu r > 1.

 ≥



⇒ ⇒

γ (z 2

+ 1)dz, unde γ

Demonstrat¸ie. γ este reuniunea curbelor δ , unde δ (t) = (2 t ¸si σ, unde σ(t) = reit , t [0, π] Atunci γ (z 2 + 1)dz = δ (z 2 + 1)dz + σ (z 2 + 1)dz =

− 1)r, t ∈ [0, 1]

∈

=

∈

 − 1 0 (2t

| |≤

1)2 r 2 2rtdt +



π 2 2it it 0 r e rie dt



etc.

→

Definit ¸ia 6.11. Fie γ1 , γ2 : [a, b] C dou˘ a drumuri parametrizate continue, care au acelea¸si capete c = γ1 (a) = γ2 (a), d = γ1 (b) = γ2 (b). Vom spune c˘a γ1 este omotop cu γ2 dac˘a exist˘a o funct¸ie continu˘a ϕ : [a, b] [0, 1] C cu propriet˘ a¸t ile:

×

→

∀ ∈ [a, b];

1. ϕ(t, 0) = γ 1 (t); ϕ(t, 1) = γ2 (t), t

∀ ∈

2. ϕ(a, u) = c; ϕ(b, u) = d, u [0, 1] ¸si vom scrie γ 1 γ2 . Funct¸ia ϕ se nume¸ste deformare continu˘ a a lui γ1 ˆın γ2 . Definit ¸ia 6.12. Dac˘a α C este un punct fixat vom numi drumul nul (zero) al lui α, drumul 0: [ a, b] C, 0(t) = α, t [a, b]. Dac˘a γ : [a, b] C este un drum ˆ ınchis ( continuu) de cap˘at α (γ (a) = γ (b) = α), vom spune c˘a drumul γ este omotop cu zero si ¸ vom scrie γ 0, dac˘a exist˘ a o deformare continu˘a a lui γ ıˆn 0.

∼

∈

→

→

∀ ∈

∼

˘ . TEOREMA LUI CAUCHY. FORMULA INTEGRALA CAUCHY119 6.2. INTEGRALA COMPLEXA

⊂

→

Teorema 6.3. (Cauchy) Fie D C un domeniu simplu conex ¸si f : D C o funct¸ie olomorf˘a pe D astfel ˆıncât P = Ref, Q = Imf s˘ a fie de clas˘ a 1 (D). Dac˘ a γ : [a, b] a jordanian˘a (i. e. o curb˘a D este o curb˘a ˆınchis˘ f˘ar˘ a autointersect¸ii ˆın IR2 = C ) de clas˘a 1 pe port¸iuni astfel ˆıncˆ at compactul Intγ s˘ a verifice condit¸iile formulei Green-Riemann, atunci γ f (z)dz = 0.

C

→

C

Demonstrat¸ie. Aplicând formula Green-Riemann obt¸inem



f (z)dz =

γ

=

  − K

∂Q ∂x

− ∂∂yP



P dx γ

− Qdy + i

   dxdy +

K

∂P ∂x





Qdx + P dy =

γ

− ∂∂yQ



dxdy, unde K = Intγ.

Cum f este olomorf˘a au loc condit¸iile Cauchy-Riemann, deci cele dou˘a integrale duble sunt nule. Teorema 6.3 se poate enunt¸a ¸si demonstra ¸si ˆın condit ¸ii mai generale.

→

Teorema 6.4. Dac˘ a f: D C este o funct¸ie olomorf˘a pe un deschis D ¸si γ este un drum ˆınchis jordanian de clas˘a 1 pe port¸iuni, situat ˆın D ¸si omotop cu zero, atunci γ f (z)dz = 0.



C

Corolarul 6.5. Fie f : D C o funct¸ie olomorf˘a pe un domeniu simplu conex D C si¸ fie γ 1 , γ2 dou˘ a drumuri de clas˘a 1 avˆ and acelea¸si capete ¸si situate ˆın D . Atunci γ1 f (z)dz = γ2 f (z)dz .

⊂

 

→

 

C

Demonstrat¸ie. Fie γ = γ2 γ1−. Drumul γ este ˆınchis ¸si aplic˘am Teorema 6.3. Rezult˘a 0 = f (z)dz = f (z)dz f (z)dz

∪

γ

−

γ1

Exemplul 6.19. S˘a se calculeze integrala





γ2

ez sin z

|z |=r 1−z3

dz.

Demonstrat¸ie. Conform Teoremei lui Cauchy rezult˘a c˘a



|z |=r

∈

ez sin z dz = 0. 1 z3

−



|| − | C

Fie C = z C z a = r > 0 un cerc considerat ca un drum ˆınchis jordanian de clas˘ a 1 , orientat pozitiv (parcurs o singur˘a dat˘a ˆın sens trigonometric direct).

∈ ZZ avem (z − a)n dz = C

Lema 6.2. Pentru orice n





 −1 −1

0, n= 2πi, n =

120


Demonstrat¸ie. Fie z (t) = a + reit , t Avem z  (t) = rieit . Deci



(z C

− a)ndz =

 −1, atunci



π

∈ [−π, π] parametrizarea cercului.

(reit )n rieit dt = r n+1 i

−π



π

ei(n+1)t dt.

−π

Dac˘a n =



π

ei(n+1)t dt =

−π

Dac˘a n =

−1, atunci



π



π

cos(n + 1)tdt + i

−π

−π e

i0t

dt = 2π, deci





π

sin(n + 1)tdt = 0.

−π

dz C z a

−

= 2πi.

⊂

Teorema 6.5. (formula integral˘ a a lui Cauchy ) Fie D C un domeniu ¸si f : D C o funct¸ie olomorf˘ a pe D . Fie D , unde este un domeniu simplu conex, m˘arginit cu frontiera γ o curb˘a ˆınchis˘ a jordanian˘ a , de clas˘a 1 pe port ¸iuni, orientat˘ a pozitiv. Atunci, pentru orice punct a fixat, are formula 1 f (z) f (a) = dz 2πi γ z a

→

⊂



C

∈



− Demonstrat¸ie. Alegem dou˘a discuri B(a; r0 ) ⊂ B(a; ρ) ⊂  ¸si fie C frontiera (z) discului B (a; ρ) orientat˘a pozitiv. In domeniul D \ B(a; ρ) funct¸ia fz − a este

   



(z) f (z) olomorf˘a . Deci γ fz − a dz = C z −a dz. Acum putem scrie f (z) f (z)−f (a) (a) dz + C fz− C z −a dz = C z −a a dz = I +f (a) f (z) f (a) dz. z a C

− −





1 C z a dz

−

= I +2πif (a),

unde I = Vom ar˘ata c˘a I = 0. Funct¸ia f este olomorf˘a ˆın a, deci continu˘a ˆın a. Pentru ε > 0, δ > 0 astfel ˆıncât

∀

∃ |z − a| < δ =⇒ |f (z) − f (a)| < 2πε .

Deoarece discurile erau alese arbitrar, vom lua ρ < δ si ¸ atunci rezult˘a

 

  



− f (a) dz ≤ |f (z) − f (a)| ds < ε ds = ε −a |z − a | 2πρ C C C Dar ε este arbitrar ( ε −→ 0), deci obt¸inem I = 0 ¸si atunci |I | =

f (z) z

f (a) =

1 2πi

C

f (z) 1 dz = z a 2πi

−






γ

f (z) dz z a

−

1

|z−2i|=1 z 2 +4 dz.

˘ ˆ 6.3. FUNCT ¸ II ANALITICE COMPLEXE. DEZVOLTARI IN SERIE LAURENT121

Demonstrat¸ie. Scriem integrala astfel



|z−2i|=1

1 dz = z2 + 4



1 z+2i

|z−2i|=1 z − 2i

dz =



f (z)

|z −2i|=1 z − 2i

,

1 z+2i unde f (z)am = formula Aplic˘ integral˘ a a lui Cauchy ¸si obt¸inem :

f (2i) =

1 2πi



|z−2i|=1

f (z) = z 2i

⇒

−



|z−2i|=1

f (z) 1 π = 2πif (2i) = 2πi = . z 2i 4i 2

·

−




zez

|z |=r (z−1)3 dz, pentru r > 1.

Demonstrat¸ie. Din formula integral˘a a lui Cauchy obt¸inem f (n) (a) = Atunci

6.3



zez

|z |=r (z−1)3 dz =

2! 2πi f



n! 2πi

f (z)

C

− a)n+1 dz.

(z

 (1) = 3 πie, unde f (z) = zez .

Funct¸ii analitice complexe. Dezvolt˘ ari ˆın serie Laurent

Definit ¸ia 6.13. Seria



an (z

n 0

≥

− z0)n, unde z ∈ C, z0 ∈ C fixat, a n ∈ C se

a ˆın punctul z0 . nume¸ste serie de puteri centrat˘ Definit ¸ia 6.14. Fie R = sup r IR/r 0, seria

∈

 ||

≥



an r n convergent˘ a .

n 0

≥

a de convergent¸a ˘ , iar discul B (z0 , R) = Num˘arul R se nume¸ste raz˘ = z C z z0 < R se nume¸ste discul de convergent¸a ˘ . Convent¸ie : pentru R = 0, B(z0 , R) = z0 , iar pentru R = , B(z0 , R) = C.

∈

| − |



∞

Teorema 6.6. (Cauchy- Hadamard) Fie o serie de puteri cu raza de 1 convergent¸˘ a R. Atunci R = . lim n an n

| |

→∞



Teorema 6.7. (Teorema lui Abel) Fie seria de puteri de convergent¸˘ a R. Atunci



an z n cu raza

n 0

≥

||

1. seria este absolut conv ergent˘a dac˘a z < R ;

||

2. seria este divergent˘a z > R ;

| | ≤ ρ, oricare ar fi ρ < R .

3. seria este uniform conver gent˘a pe z

122


Teorema 6.8. Fie z 0

∈ C fixat ¸si S (z) =



− z0)n, ∀z cu |z − z0| < R

an (z

n≥ 0

suma seriei centrate ˆın punctul z 0 , unde R este raza de convergent¸˘ a . Atunci funct¸ia S (z) este olomorf˘a ˆın orice punct z B(z0 , R) ¸si

∈

S  (z) =

z0 )n−1 , z

nan (z

−



n 0

≥

Corolarul 6.6. Fie z 0

B(z0 , R).

∀ ∈

∈ C fixat ¸si S (z) =



an (z

n 0

≥

− z0)n, ∀z cu |z − z0| < R

suma seriei centrate ˆın punctul z 0 , unde R este raza de convergent¸˘ a . Atunci funct¸ia S (z) are derivate complexe de orice ordin ˆın orice punct z B(z0 , R) (k ) ¸si ak = S k!(z0 ) , k IN.

∈

∀ ∈

⊂

→

Definit ¸ia 6.15. Fie A C o mult¸ime deschis˘a . Funct¸ia f : A C se nume¸ste analitic˘ a pe A dac˘a z0 A, exist˘a o serie formal˘a an X n

∀ ∈

n 0

≥

convergent˘ a ˆıntr-un disc de raz˘ a R > 0 astfel ˆıncât exist˘a discul B(z0 , r) 0 < r R cu proprietatea

≤

f (z) =

⊂ A,

− z0)n, ∀z ∈ B(z0; r).

an (z n 0

 ≥

⊂

→

Propozit¸ia 6.1. Fie A C o mult¸ime deschis˘a ¸si f : A C o funct¸ie analitic˘a pe A . Atunci exist˘a derivatele complexe de orice ordin ale lui f ˆın A s¸i ˆıntr-o vecin˘ atate a oric˘arui punct z0 A avem

∈

f (z) =



n 0

≥

f (n) (z0 ) (z n!

− z0)n.

Not¸iunile de analiticitate ¸si olomorfie sunt echivalente ¸si vom evident¸ia acest fapt ˆın urm˘ atoarea teorem˘a :

⊂

Teorema 6.9. (Weierstrass-Riemann-Cauchy) Fie A C o mult¸ime deschis˘a ¸si f : A C o funct¸ie complex˘ a . Atunc f este analitic˘a pe A dac˘ a ¸si numai dac˘ a f este olomorf˘a pe A.

→

Demonstrat¸ie. Presupunem c˘a f este analitic˘a pe A. Fie z0

⊂ A (r > 0) astfel ˆıncât cn (z − z0 )n , ∀ z ∈ B(z0 ; r).

oarecare. Atunci exist˘a B (z0 ; r) f (z) =

 ≥

A un punct

∈

n 0

Deoarece f (z0 ) = c0 putem scrie z0 , z

f (z) f (z0 ) z z0

− −

=



cn (z

n 1

≥

f (z) − f (z0 ) ∈ B(z0; r) ¸si atunci zlim →z z − z0 = c 1 ∈ C. 0

− z0)n−1 pentru z =


∈

Reciproc, presupunem c˘a f este olomorf˘a pe A si¸ fie z0 A un punct fixat oarecare. Fie ρ = d(z0 , FrA) ¸si fie B(z0 ; r) A cu 0 < r < . Fie C = FrB(z0 ; r), circumferint¸a parcurs˘a ˆın sens trigonometric direct. Atunci, din formula integral˘a a lui Cauchy, rezult˘a

⊂

1

f (u)



f (z) = 2πi Scriem

C

u

− z du, ∀ z ∈ B(z0; r).

1 1 1 1 − z = (u − z0) − (z − z0) = u − z0 · 1 − uz−−zz z z ¸si notˆ and w = uz− = z0 ) avem |w| = uz − −z (u ∈ C, deci u  −z u

0 0



Atunci seria

0 0

n

w este convergent˘a ¸si

n 0

1

· u − z0

  −−  z u

z0 z0

w =

|z −z0 | r

< 1.

− w , deci obt¸inem f (u) (z − z0 )n = f (u) . u−z (u − z0 )n+1 n≥ 0

≥

n

1

n

=

1



; −z n≥0 Pentru z ∈ B(z0 ; r) fixat putem scrie |z − z0|n = M |z − z0|n , (z − z0 )n f (u) sup f (u) n+1 (u z ) rn+1 r n+1 0 u∈C | − ≤ | · · deoarece |f | este o funct¸ie continu˘a pe compactul C ⊂ A. Rezult˘a c˘a seria (z − z0 )n de funct¸ii f (u) este majorat˘a (ˆın modul) de seria numeric˘ a (u − z0 )n+1 n≥ 0 |z − z0|n (o progresie geometric˘a cu rat¸ia |z−z | < convergent˘ a M u

=

0 0

n 0

≥

1



 





r





rn

n 0

≥

0

r

1). Atunci, conform criteriului lui Weierstrass, seria de funct¸ii converge uniform ˆın raport cu u C (C compact) ¸si poate fi integrat˘a termen cu termen (p˘art¸ile real˘a ¸si imaginar˘ a converg uniform ¸si aplic˘ am rezultatele de la integrale reale). A¸sadar obt¸inem

∈

f (z) =

=

1

1 2πi



f (u)

Cn 0

≥

f (u)

du

  −   ·

2πi n≥0

unde

C

(u

z0 )n+1

(z z0 )n du = (u z0 )n+1

− −

z )n =

(z

−

0

z )n ,

c (z



n 0 n

≥

−

0

1 f (u) du, n IN. 2πi C (u z0 )n+1 Deoarece cn nu depinde de punctul z, ci numai de f si¸ de z0 s¸i cum seria cn (z z0 )n ese convergent˘a pentru orice z B(z0 ; r), rezult˘a c˘a funct¸ia cn =



n 0

≥

−

f este analitic˘a pe A.

∀ ∈

−

∈

124


Observat ¸ia 6.5. Din demonstrat¸ie rezult˘a c˘a , pentru o funct¸ie olomorf˘a f pe A, seria cn (z z0 )n este convergent˘a la f (z) ˆın discul B(z0 ; ρ) (



−

n 0

≥

0 < r < , cu r arbitrar), unde ρ este distant¸a de la punctul z 0 la frontiera deschisului A). 0 Definit ¸iade 6.16. Se de nume¸ ste serie orice serie funct¸ii forma anLaurent (z z0 )n , centrat˘ an C. a ˆın punctul z

 − ∈  − ∈  −  −  −  −  − | | ∈ ≤ \  −  −  −  ∈ || − | 

∈C

n

Definit ¸ia 6.17.

dac˘a seriile

∈Z

Seria

an (z

z 0 ) n , an

an (z

n n

∈Z

z0 ) ¸si

n 0

C

se nume¸ste convergent˘ a

z0 )−n sunt simultan convergente.

a−n (z

n 1

≥

≥

Definit ¸ia 6.18. Seria

a−n (z

aa z0 )−n se nume¸ste partea principal˘

an (z

z0 )n nume¸ste partea Taylor a seriei

n 1

seriei Laurent, iar seria

≥

≥

n 0

Laurent.

an (z z0 )n ¸si fie r = lim

Teorema 6.10. Fie seria Laurent

n

= lim n

→∞

n

a ; presupunem c˘a 0

n

∈Z

n

→∞

r < R . Atunci :

n

|

| − |

|

a−n ,

1 = R



a) In coroana circular˘a B(z0 ; r, R) = z C/r < z z0 < R seria Laurent converge absolut ¸si uniform pe compact ¸i. b) In mult¸imea C B(z0 ; r, R) seria Laurent diverge. c) Suma seriei Laurent S (z) = an (z z0 )n este o funct¸ie olomorf˘a n

pe coroana B(z0 ; r, R).

Demonstrat¸ie. a) Seria de puteri

∈Z

an (z

z0 )n are raza de convergent¸˘ aR

n 0

≥

¸si converge absolut ¸si uniform convergent pe compact¸i ˆın discul B (z0 ; R) = z C z z0 < R . Seria de puteri a−n (z z0 )−n = a−n w n (am



≥

≥

n 0

n 0

notat w = z−1z0 ) are raza de converent¸˘ a 1r , deci converge absolut ¸si uniform 1 pe compact¸iˆın discul B(0, r ) = w C w < 1r , deci ˆın exteriorul discului B(z , r) ( w < 1 z z > r). Deci, seria Laur ent (ca sum˘a a celor r 0 dou˘a0 serii de funct¸ii) converge absolut ¸si uniform pe compact¸i ˆın coroana circular˘ a B (z0 ; r, R). b) In C B(z0 ; r, R) seria Laurent este suma a dou˘a serii, dintre care una este convergent˘a ¸si cealalt˘a divergent˘ a , deci este divergent˘a . c) Conform Teoremei 6.8, funct¸ia S 1 (z) = an (z z0 )n este olomorf˘a

∈ || |

| | \

⇐⇒ | − |



 

n 0

pentru orice z

≥

∈ C cu |z −z0| < R ¸si funct¸ia S2(w) =

−

a−n wn este olomorf˘a

n 0

≥


C cu w < 1r . C z z0 > r

 ∈∈ | | |−| |  −→  ∈ | | | 

pentru orice w Funct ¸ia z

C

w

w <

1 r

,z

a−n (z − z0 )−n

este olomorf˘a , deci compunerea S2 (z) =

−→ w = z−1z

0

este o funct¸ie

n 0

≥

∈ C cu |z − z0| > r. Atunci S (z) = S1(z) + S2(z) este o funct¸ie olomorf˘ a pentru orice z ∈ B(z0 ; r; R). Mai mult, S  (z) = nan (z − z0 )n−1 . olomorf˘a pentru orice z



n ZZ

∈

→

Teorema 6.11. Fie f : B (z0 ; r, R) C o funct¸ie olomorf˘ a pe coroana circular˘ a D = B(z0 ; r, R)(0 r < R). Atunci exis t˘a o unic˘a serie Laurent arei coroan˘ a de convergent¸˘ a include coroana D astfel ˆıncât an (z z0 )n a c˘



n

∈Z

≤

−



ˆın D avem f (z) =

n

an (z

∈Z

− z0)n.

Exemplul 6.22. S˘a se dezvolte ˆın serie de puteri ale lui z funct¸ia f (z) =

1 z3

− 6z2 + 11z − 6

ˆın urm˘ a) aztoarele < 1; domenii: b) 1 < z < 2; c) 2 < z < 3; d) z > 3.

||

||

|| ||

Demonstrat¸ie. Funct ¸ia f are ca poli r˘ad˘acinile ecuat¸iei z 3 6z 2 +11z 6 = 0, adic˘a punctele z 1 = 1, z2 = 2, z3 = 3. a) In cercul z < 1, funct¸ia f este olomorf˘a , deci dezvoltabil˘a ˆın serie Taylor ˆın acest domeniu. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f (z) = (z−1)(z − 2 1−z + 2 1− z 6 1− z 2)(z −3) = 2(z −1) z −2 + 2(z −3) =

−

−

||

−

−·

      − −

In acest domeniu avem z < 1, z2 < 1, 1 zn 1 Atunci f (z) = 12 zn + 2 2n 6

||

n 0

n 0

≥

z 3

n 0

≥

≥

·

< 1. zn 3n

2

−·

3

b) In coroana circular˘a 1 < z < 2, funct¸ia f este dezvoltabil˘a ˆın serie Laurent. 1 1 1 1 f (z) = 2z + 12 1−1 z 6 1− z 1− 1

·

·

|| − ·

      z

2

3

 

z z || 2 < 1, 3 − n≥ 0 n≥ 0 n≥ 0 1 f (z) = 2z · 1−1 − z1 · 1−1 − 16 · 1−1 c) In domeniul 2 < |z | < 3 avem 1z < 1,

In domeniul 1 < z < 2 avem 1 1 zn 1 zn 1 = 2z + zn 2 2n 6 3n 1

2

z

z

z

3

< 1,

z 3

  1 z

< 1,

< 1, deci f (z) =

2 z

< 1.

126

CAPITOLUL 6. FUNCT ¸ II COMPLEXE 1 2z

Atunci f (z) =

 − −

n 0

≥

1 2z

d) f (z) =

1 zn

1 z

· 1−1 − z1 · 1−1 1

z

1 z

In acest domeniu

1 2z

Atunci f (z) =

n 0

≥

1 2z

+

2

2n zn

z

1 6

· 1−1

n 0

≥

zn . 3n+1

3 z

< 1, 2z < 1, 3z < 1. 1 1 2n 1 3n n n + z z z 2z zn .

  −     

n 0

≥

n 0

n 0

≥

≥

2z 2 +3z 1 z 3 +z 2 z 1

− −−

Exemplul 6.23. S˘a se dezvolte funct¸ia f (z) = ¸si ˆın jurul lui z = 1.

±

ıˆn jurul originii

Demonstrat¸ie. z 3 + z 2 z 1 = 0 = simplu, iar z = 1 e pol dublu 1 1 Scriem f (z) = z−1 1 + z+1 + (z+1) 2 Cum

1 z+1

⇒ (z − 1)(z + 1)2 = 0, deci z = 1 e pol

− −

−

− −

( 1)n z n , prin derivare obt¸inem

=

n 0

1 − (z+1)

2

=

≥

−

( 1)n nz n−1 =

( 1)n+1 (n + 1)z n .

≥

≥

n 1

n 0

||

In cercul z < 1, f este olomorf˘a ¸si f (z) = +

−

−

zn + n 0

( 1)n z n + n 0

≥

≥

−

  − − ·   | |   − | − |  −  − · ·  − −

( 1)n (n + 1)z n

≥

n 0

Pentru a dezvolta ˆın jurul punctului z = 1 1 1 1 f (z) = (z+1) 2 + z+1 2 1− z +1 .

1 scriem

2

In cercul z + 1 < 2 avem Deci f (z) =

1 (z+1)2

1

1

−

1 z+1

+

=

z +1

2

n 0

≥

1 2

n 0

Avem f (z) = 1 1 1+ z − 2

=

1 z 1

+

−

z

( 1)n

1 2

n

1

≥

1 z 1

−

1 1 1+ z− 2

¸si

2

n 0

Atunci f (z) =

≥

1

n 0

z+1 2

n

1 4

1

2

−

n

.

.

2

(1+ z−2 1 )

(1+ z−2 1 )

( 1)n

+

+

z+1 2

. In cercul z

( 1)n

=

≥

n 0

n+3 (z 2n+2

 ≥

sin z−1 1 =

−

( 1)n

n 0

≥

z z 1

−

 

= sin 1 +

1 (2n + 1)!(z

.

− 1)n.

Exemplul 6.24. S˘a se dezvolte funct¸ia f (z) = sin z = 1. Demonstrat¸ie. Avem sin Se ¸stie c˘ a

(n + 1)(z 2n

1 < 2,

1)n

1 z 1

−

− 1)2n+1

z z 1

−

= sin1cos

ˆın jurul punctului 1 z 1

−

+ c os 1 sin z−1 1 .

6.4. PUNCTE SINGULARE. REZIDUURI. TEOREMA REZIDUURILOR127 1 cos z − 1 =

−

( 1)n

n 0

≥

Atunci f (z) = sin 1

1 (2n)!(z 1)2n

· − − ( 1)n

n 0

≥

6.4

1 +cos 1 (2n)!(z 1)2n

−

·

−

( 1)n

n 0

≥

1 (2n + 1)!(z

− 1)2n+1

Puncte singulare. Reziduuri. Teorema reziduurilor

⊂

→

Definit ¸ia 6.19. Fie A C o mult¸ime deschis˘a nevid˘a ¸si fie f : A C o funct¸ie olomorf˘a pe A. Un punct z 0 C se nume¸ste punct singular izolat al lui f dac˘a exist˘a un disc B (z0 , r)(r > 0) astfel ˆıncıt B (z0 , r) z0 A (adic˘a funct¸ia f este olomorf˘a pe discul punctat B(z0 ; 0, r) = B(z0 , r) z0 ). Pe coroana B(z0 ; 0, r) funct¸ia olomorf˘a f are o dezvoltare ˆın serie Laurent f (z) =

∞



n=

an (z

−∞

∈

\

  ⊂ \

− z0 ) n .

Exemplul 6.25.

Punctul z = 2 este un punct singular izolat pentru 1

2

sin πz

fiecare din funct¸iile f (z) = z−2 , f (z) = z ,f (z) = z−2 . Exemplul 6.26. Punctele z = 0, i sunt puncte singulare izolate ale 1 C, f (z) = z 3 +z . funct¸iei f : C 0, i Definit ¸ia 6.20. Fie f : A C o funct¸ie olomorf˘ a , unde A C o mult¸ime deschis˘ a nevid˘a ¸si fie z0 C un punct singular izolat al lui f . Punctul singular izolat z 0 se nume¸ste punct singular aparent dac˘a seria Laurent

 

±

\ ± →

f (z) =

∞



n=

an (z

−∞

∈

→

⊂

− z0)n are partea principal ˘a nul˘a , adic˘a an = 0, ∀n < 0.

Definit ¸ia 6.21. Punctul singular izolat z0 se num¸ste pol dac˘a ˆın seria

∞



− z0)n partea principal˘a are un num˘ar finit de termeni nenuli, adic˘a exist˘a m ∈ ZZ, m < 0 astfel ˆıncât am  = 0 ¸si an = 0, ∀n ∈ ZZ cu n < m. Num˘arul natural −m se nume¸ste ordinul polului z0 . Laurent f (z) =

n=

an (z

−∞

Polii de ordinul ˆıntˆ ai se mai numesc simpli.

∞ singular Definit¸ia 6.22. Punctul singular izolat z0 se num¸ste punct esent¸ial dac˘a partea principal˘a a seriei Laurent f (z) = an (z z0 )n



n=

are o infinitate de termeni nenuli.

→

−∞

−

Lema 6.3. Fie f : B (z0 ; 0, r) C o funct¸ie olomorf˘ a pe coroana B (z0 ; 0, r). Dac˘ a f (z) M , pentru orice z B(z0 ; 0, r), atunci z0 este punct singular aparent al lui f .

|

|≤

∈

128


Demonstrat¸ie. In coroana B (z0 ; 0, r) avem seria Laurent f (z) =

∞



n=

unde

1 2πi

an =



C

(t

∈ ||− |   | | | |≤ |− | | |≤  −

¸si C = t

C

t

an

z0 = ρ (0 < 1 2π

ZZ, n < 0, deci f (z) =

− z0)n,

f (t) − z0)n+1 dt, ∀n ∈ ZZ < r). Putem scrie: M ≤ 2π1 · ρM 2πρ = n n+1 ρ

M ρ−n ¸si cˆ and ρ

Pentru n < 0 avem an

∞

−∞

f (t) ds z0 n+1

t

C

an (z

−→ 0 obt¸inem an = 0, ∀n ∈

z0 )n , adic˘a z0 este punct singular aparent

an (z

n=0

al lui f .

→

Propozit¸ia 6.2. Fie f : B(z0 ; 0, r) a pe coroana C o funct¸ie olomorf˘ B(z0 ; 0, r). Atunci punctul z0 este punct singular aparent pentru f dac˘ a

→z0 f (z). ¸si numai dac˘ a exist˘a ¸si este finit˘ a zlim Demonstrat¸ie. Fie z0 punct singular aparent al lui B(z0 ; 0, r) avem dezvoltarea Laurent f (z) = a0

∞



f . Atunci ˆın coroana

an (z

n=0

∈ C.

− z0)n ¸si zlim →z f (z) = 0

Reciproc, fie a0 = lim f (z) ∈ C. Pentru ε = 1 ∃ δ > 0 astfel ˆıncât z →z |z − z0| < < r (z = z0) rezult˘a |f (z) − a0| < 1. Atunci rezult˘a |f (z)| ≤ |a0|+1, ∀z ∈ B(z0; 0, r). Conform Lemei 6.3 rezult˘a c˘a z0 este punct singular 0

aparent al lui f .

Exemplul 6.27. Punctul z = 0 este o singularitate apare nt˘a pentru f (z) = sinz z , deoarece lim f (z) = 1. z

→0

Propozit¸ia 6.3. Fie f : B(z0 ; 0, r) B(z0 ; 0, r).

Atunci punctul

z0

→

C

o funct¸ie olomorf˘a pe coroana

este pol pentru f dac˘ a ¸si numai dac˘ a lim f (z) =

z

→z0

−

∞.

Demonstrat¸ie. Fie z 0 pol de ordinul m = k al lui f . Deci f (z) = (z−z10 )−m [am + a m−1 (z z0 ) + . . . + a 0 (z

− z0)−m + . . .] = unde h(z) = am + a m−1 (z − z0 ) + . . . + a 0 (z − z0 )−m + . . . este − olomorf˘a ˆın discul B (z0 , r) ¸si h(z0 )  = 0. Atunci lim f (z) = ∞. z →z h(z) (z z0 )−m ,

−

0

6.4. PUNCTE SINGULARE. REZIDUURI. TEOREMA REZIDUURILOR129

∞. Pentru ε = 1 ∃δ > 0 astfel ˆıncât |z − z0| < 1  z0) rezult˘a |f (z)| > 1. Notând g(z) = f (z) δ < r (z = avem |g(z)| < 1 pentru 1 orice z ∈ B(z0 ; 0, δ). Funct¸ia g (z) = f (z) este definit˘a ˆın coroana B (z0 ; 0, δ ) (f (z)  = 0), este olomorf˘a ˆın aceast˘ a coroan˘a (ca inversa funct¸iei olomorfe Reciproc, fie lim f (z) = z

→z0

nenule f ) ¸si m˘ arginit˘a . Aplicând Lema 6.3 rezult˘a c˘a z 0 este punct singular aparent pentru g. Mai mult, lim g(z) = 0, deci seria Laurent pentru g este g(z) =

∞



z

an (z

n=1

→z0

n

− z0) , z ∈ B(z0, δ). Putem scrie

g(z) = (z

− z0)k

∞



an (z

n=k

− z0)n−k , k > 0, ak = 0,

deoarece z 0 este zerou al funct¸iei olomorfe g. Atunci f (z) =

cu 0 < δ1 <

(z

1 − z0)k ϕ(z) , ∀z ∈ B(z0, δ1),

< r ¸si ϕ(z) =

∞



an (z

n=k

− z0)n−k = 0 ˆın B(z0, δ1) (fapt ce 

rezult˘ a din continuitatea funct¸iei olomorfe ϕ si¸ din ϕ(z0 ) = 0). Rezult˘a c˘ a 1 a ˆın discul B(z0 , δ1 ) ¸si are o dezvoltare Taylor ˆın acest disc: ϕ(z) este olomorf˘

∞



1 = αn (z ϕ(z) n=0

− z0)n,



α0 = 0.

Pentru funct¸ia f obt¸inem ˆın coroana B (z0 ; 0, δ1 ) seria f (z) =

1

(z

− z0)k [α0 + α1(z − z0) + . . . + αn(z − z0)

n

+ . . .],

adic˘a o serie Laurent cu un num˘ ar finit de termeni nenuliˆın partea principal˘a deci z 0 este pol pentru f .

Exemplul 6.28. Punctul z = 1 este un pol simplu pentru f (z) = z −z 1 . Intr-adev˘ ar, lim f (z) = , iar dezvoltarea Laurent a lui f ˆın jurul lui z = 1 z

1

1+z z 11

∞

este f (z) = = − + 1, cu partea principal˘a z−1 1 . Exemplul 6.29. Punctul z = 2 este pol dublu pentru Pentru orice z C avem sin πz = a0 + a 1 (z 2) + a 2 (z 3 a0 = 0, a1 = π, a2 = 0, a3 = π6 etc., deci f (z) = (z −π2)2

→−−

z11

∈

−

−

→

f (z) = (zsin−πz 2)3 . 2)2 + . . ., unde π3 6 + ...

− −

Propozit¸ia 6.4. Fie f : B(z0 ; 0, r) C o funct¸ie olomorf˘ a pe coroana B(z0 ; 0, r). Atunci pun ctul z0 este punct singular esent¸ial pentru f dac˘ a ¸si numai dac˘ a nu exist˘a lim f (z). z

→z0

130


Demonstrat¸ie. Rezult˘a din Propozit¸ia 6.2 ¸si Propozit¸ia 6.3. Exemplul 6.30. Pentru funct¸ia f (z) = ez punctul z = 0 este punct 1 1 singular esent¸ial, deoarece e z = 1 + 1!z + 2!z1 2 + . . . s¸i partea principal˘a are 1 og(z) infinitate term = enicos nenuli. Analog, z = 0 este singular esent ¸ial pentru = sin 1z de ¸si h(z) z. Cazul punctului de la infinit Fie f : B(0; r, ) C o funct¸ie olomorf˘a pe coroana B(0; r, ) (exteriorul unui disc). Vom spune c˘a punctul este punct singular izolat al lui f . Funct¸ia ( t z = 1t ) : B(0;0 , 1r ) B(0; r, ) este olomorf˘a ; compunând cu f obt¸inem funct¸ia olomorf˘a f ∗ : B(0;0 , 1r ) C, f ∗ (t) = f ( 1t ), t B(0;0 , 1r ) care are punctul t = 0 ca punct singular izolat. Vom spune c˘a z = este un punct singular aparent al lui f (sau c˘a funct¸ia f este olomorf˘a ˆın z = ) dac˘a funct¸ia f ∗ are t = 0 ca punct singular aparent. Vom spune c˘a z = este pol al lui f dac˘a funct¸ia f ∗ are t = 0 ca pol. Vom spune c˘ a z = este punctul singular esent¸ial al lui f dac˘a funct¸ia f ∗ are t = 0 ca punct singular esent¸ial.

∞ →

→

∀∈

∞

∞

∞

→

∞

→

∞ ∞ ∞

Observat ¸ia 6.6. Fie f (z) =

∞

an z n dezvoltarea ˆın serie Laurent a lui

n=



−∞

f ıˆn coroana z > r. Atunci f ∗ (t) = f ( 1t ) =

||

∞



n= B(0;0 , 1r ).

an t−n este dezvoltarea

−∞

ˆın serie Laurent a funct¸iei f ∗ ıˆn coroana Rezult˘a c˘a z = este punct singular aparent al lui f dac˘a an = 0, n 1; z = este pol al lui f dac˘a a n = 0, n 1, cu except¸ia unui num˘ar finit de valori ¸si z = este punct singular esent¸ial al lui f dac˘a a n = 0 pentru o infinitate de valori ale lui n 1. Definit¸ia 6.23. Fie A C o mult¸ime deschis˘a nevid˘a , fie f : A C o funct¸ie olomorf˘a ¸si fie discul punctat (coroana) B(z0 ; 0, r) A(z0 C, r > 0) astfel ˆıncˆ at punctul z 0 s˘a fie punct singular izolat al funct¸iei f .

∀ ≥

∀ ≥



≥

⊂

Fie f (z) =

∞



n=

an (z

−∞

∞ ∞

∞

⊂

∈

→

− z0)n dezvoltarea ˆın serie Laurent a funct¸iei f ˆın

coroana B(z0 ; 0, r). Coeficientul a−1 se nume¸ste reziduul funct¸iei f ˆın punctul singular z 0 si ¸ se noteaz˘a Rez(f, z0 ). Exemplul 6.31. S˘a se calculeze reziduul funct¸iei f (z) = z sin1 z2 ˆın punctul z = 0. z 1! 3 z

z3 3!

 − −

Demonstrat¸ie. Avem sin z = =z



z2 1!

z6

z 10

− 3! + 5! − . . .

⇒ f (z) = z 1−

=

3

z4

1

z8 3! + 5!

=



−...

1

z5 5!

− . . . =⇒ z sin z2 = − . . . =⇒ 3! +

+ z4

z8 5!






Exist˘a o serie de puteri

an z n astfel ˆıncˆ at

n≥ 0

− 1

z4 z8 + 3! 5!

·



− . . . · (a0 + a1z + a2z2 + . . .) = 1,

·

·

·

·

⇒

deci a 0 = 1, a0 0 + a1 1 = 0, a0 0 + a1 0 + a2 1 = 0 = a2 = 0. a0 a 1 a 2 Atunci f (z) = z13 an z n = 3 + 2 + + a3 + . . ., deci Rez( f, 0) = z z z n 0

≥

= a2 = 0

∈



| − |

Propozit¸ia 6.5. Fie C = z C/ z z0 = ρ < r un cerc de raz˘a ρ > 0 parcurs ˆın sens trigonometric direct (orientat pozitiv). Atunci a−1 =

1 2πi



f (z)dz

C

∈

Observat ¸ia 6.7. Dac˘a z0 C este un punct singular aparent pentru funct¸ia f , atunci Rez( f, z0 ) = a 1 = 0.

→

Propozit¸ia 6.6. Fie f : B(z0 ; 0, r) C o funct¸ie olomorf˘ a pe coroana ¸ fie z0 C un pol de ordinul k > 0 pentru f . Atunci B(z0 ; 0, r) si

∈

Rez(f, z0 ) =

1

(k

k

→z [(z − z0 ) f (z)] − 1)! zlim

(k 1)

0

−

Demonstrat¸ie. In coroana B (z0 ; 0, r) avem dezvoltarea ˆın serie Laurent f (z) =

(z

a−k

a−1

n

− z0)k + . . . + z − z0 + a0 + a1(z − z0) + . . . + an(z − z0)

+ ...



cu a −k = 0. Atunci funct¸ia

− z0)k f (z) = a−k + a−k+1(z − z0) + . . . + a−1(z − z0)k−1 + a0(z − z0)k + . . . este o funct¸ie olomorf˘a ˆın tot discul B(z0 ; 0, r), deoarece lim (z − z0 )k f (z) = z →z a−k ∈ C. Derivând de k − 1 ori funct¸ia obt¸inut˘ a rezult˘a (z

0

z0 )k f (z)](k−1) = (k

[(z

−

1)!a−1 + k(k

−

¸si atunci obt¸inem lim [(z

z

→z0

1) . . . 2a0 (z

−

z0 ) + . . .

−

− z0)k f (z)](k−1) = (k − 1)!a−1

Exemplul 6.32. S˘a se calculeze reziduul funct¸iei f (z) = la polii ei.

1 (z 2 +1)n

relativ

132


±i sunt poli de ordin n 1 [(z − i)n · ](n−1) = (n−1)! lim z →i (z − i)n (z + i) n (n−1) 1 n(n + 1) . . . (2n − 2) = ( −1)n−1 (2i)−2n+1 = (z + i) n (n − 1)!

Demonstrat¸ie. z = 1

Rez(f, i) = =

1

(n−1)! lim z

n(n+1)...(2n 2)

i

=

→i

 

2 − · (n−1)! − . −Analog calcul˘am Rez(f, −i). 2n 1

→

a pe coroana B(z0 ; 0, r) Corolarul 6.7. Fie f : B (z0 ; 0, r) C o funct¸ie olomorf˘ P (z) astfel ˆıncˆ at f (z) = Q(z) , z B (z0 ; 0, r), cu P, Q funct¸ii olomorfe ˆın discul B(z0 ; r), P (z0 ) = 0, Q(z0 ) = 0, Q (z0 ) = 0. Atunci punctul z0 C este un 0) pol de ordinul ˆıntˆ ai pentru f si¸ Rez (f, z0 ) = QP(z (z0 ) .

∀ ∈





∈

(z) Demonstrat¸ie. Punctul z0 este zerou de ordinul ˆıntâi pentru funct¸ia PQ(z) , deci pol de ordinul ˆıntˆ ai pentru f . Aplicând Propozit¸ia 6.6 pentru k = 1 obt¸inem

Rez(f, z0 ) = lim [(z z

→z0

− z0)f (z)] = lim z →z

P (z) 0

Q(z) Q(z0 ) z z0

− −

=

P (z0 ) . Q (z0 )

∞ →

Definit ¸ia 6.24. Fie f : B(0; r, ) C o funct¸ie olomorf˘a ˆ ın exteriorul discului B(0, r) (deci z = este punct singular izolat pentru funct¸ia f ). Se nume¸ste reziduul funct¸iei f ıˆn punctul , reziduul funct¸iei ( t12 )f ( 1t ) ˆın punctul t = 0.

∞

∞

∈

−



||

Propozit¸ia 6.7. Fie C = z C/ z = ρ > r un cerc de raz˘a ρ parcurs ˆın sens trigonometric direct (orientat pozitiv). Atunci Rez(f,

1 ∞) = − 2πi



f (z)dz. C

⊂

Teorema 6.12. (teorema reziduurilor) Fie D C un domeniu ¸si a pentru care α1 , α2 ,..., k f: D α1 , α2 ,..., k C o funct¸ie olomorf˘ sunt puncte singulare izolate. Fie K D un compact cu frontiera Γ = FrK curb˘ a de clas˘a 1 pe port¸iuni, jordanian˘ a , orientat˘a pozitiv astfel ˆıncˆ at αj IntK, j = 1, k . Atunci

\

∈



C

→ 

⊂

f (z)dz = 2πi Γ

 k

Rez(f, αj )

j=1

Demonstrat¸ie. Fie γ 1 , γ2 ,..., k frontierele orientate pozitiv ale unor discuri centrate ˆın α1 , α2 ,..., k disjuncte dou˘a câte dou˘a ¸si cont¸inute ˆın IntK . Rezult˘ a



 k

f (z)dz = Γ

j=1

f (z)dz. γj


Atunci, din Propozit¸ia 6.5, obt¸inem



k

f (z)dz = 2πi Γ

k





Rez(f, αj ) + Rez(f,

j=1

Rez(f, αj ).

j=1

Corolarul 6.8. Fie α1 , α2 ,..., funct¸ii f : C α1 , α2 ,..., k

\



→

k C,

∈

C punctele singulare izolate ale unei olomorfe pe C α1 , α2 ,..., k . Atunci

\





∞) = 0 (suma tuturor reziduurilor este nul˘a ˆın cazul

unui num˘ ar finit de puncte singulare izolate).

∈

Demonstrat¸ie. Alegem r > 0 astfel ˆıncât αj B (0, r), j = 1, k. Rezult˘a c˘a funct¸ia este olomorf˘a ˆın exteriorul discului B (0, r), deci punctul z = este punct singular izolat pentru f . Fie = FrB(0, r )(r  > r) frontiera orientat˘a pozitiv a discului B (0, r ) ¸si aplicˆ and Teorema 6.12,



∞

k

f (z)dz = 2πi Γ

−2πiRez(f, ∞), deci Rez(f, αj ) + Rez(f, ∞) = 0.

  j=1

Rez(f, αj ).

j=1

Din Propozit¸ia 6.7 rezult˘a c˘a k



Γ f (z)dz

=

Exemplul 6.33. S˘a se rezolve integrala



ez

|z|=r

(z

− i)(z − 2) dz, r > 0, r = 1, r = 2.

Demonstrat¸ie. 1) Dac˘a 0 < r < 1, aplic˘am teorema lui Cauchy ¸si obt¸inem ez |z |=r (z−i)(z−2) dz = 0. 2) Dac˘a 1 < r < 2, aplic˘am formula integral˘a a lui Cauchy ¸si obt¸inem



ez −2

ez

f (z)

z

ez

|z|=r (z −i)(z −2) dz = |z|=r z −i dz = |z|=r z −i dz, unde f (z) = z −2 . ei

f (z)

 





|z|=r z−i dz = Atunci (i) = 2reziduurilor. πi i−2 . 3) Dac˘a r > 2, aplic˘ am2πif teorema i ¸si 2 sunt poli simpli ez ei Calcul˘am Rez(f, i) = lim (z i) = z →i (z i)(z 2) i 2 ez e2 Rez(f, 2) = lim (z 2) = z →2 (z i)(z 2) 2 i ez ei e2 ei −e2 Atunci |z|=r (z −i)(z dz = 2πi + i−2 2−i = i−2 . −2)



−

−

−

−

−

− −



−

134


6.5

Calculul unor integrale reale folosind teorema reziduurilor



2π

Tipul I : I = 0 R(sin t, cos t)dt, unde R(x, y) este o funct¸ie rat¸ional˘ a al c˘arei numitor nu se anuleaz˘a pe cercul unitate. it

∈

Aceste integrale se calculeaz˘a f˘acând schimbarea z = e , t [0, 2π]. Atunci z va parcurge cercul unitate, adic˘a z = 1. Avem dz = ieit dt = izdt, deci dt =

devine I =



Exemplul

||

−1

−it −it it it z Cum sin t = e 2ie = 2iz , cos t = e +e 2 1 z+1 z 1 z z z =1 iz R( 2i , 2 )dz. 2π 1 6.34. S˘a se calculeze 0 (2+cos dt. t)2

dz iz .

−

−

||



it

z+ 1z 2 ,

=

integrala

−it

Demonstrat¸ie. Deoarece cos t = e +e vom face schimbarea de variabil˘a 2 z = eit , t [0, 2π], deci dz = ieit dt ¸si z = 1. Integrala devine

∈

||

     1 iz dz

|z |=1

2+

Funct¸ia f (z) =

−±

√

1 2

z+

1 z

z ,z (z 2 +4z+1)2

2

=

4 i

z

|z |=1 (z 2 + 4z + 1) 2

∈ C \ − 2 ± √3



dz.

e olomorf˘a ¸si are polii



dubli 2 am teorema 3. Aplic˘ reziduurilor, t¸inˆ and cont de faptul c˘a doar afl˘a ˆın interiorul cercului de centru 0 ¸si raz˘ a 1 ¸si rezult˘ a c˘a



z

|z|=1 (z 2 + 4z + 1) 2

−2 + √3 se

− √3).

dz = 2πiRez(f, 2 +

− √3) = z→−lim2+√3[(z + 2 − √3)2f (z)] = 6√1 3 =⇒ z 1 4π √3 =⇒ 02π (2+cos √ =⇒ |z|=1 (z +4z+1) dz = 3πi t) dt = 3 3 Calcul˘am Rez(f, 2 +



2



2



2

∞ Tipul II : I = −∞ R(x)dx, unde R(x) este o funct ¸ie f˘ar˘a poli reali cu proprietatea c˘a lim xR(x) = 0 (condit¸ie suficient˘a ca integrala s˘a fie |x|→∞

convergent˘ a ). Consider˘ am extinderea R(z), z C ¸si o integr˘am pe un semicerc γr = [ r, r] δ(r) de raz˘a r cu centrul ˆın O. Obt¸inem γr R(z)dz = 2πi Rez(R, αk ),

∈

− ∪

unde α k sunt polii din semidisc. Deci





r

R(x)dx +

−r



R(z)dz = 2πi δ(r)



 k

Rez(R, αk ).

k

r



→∞ −r R(x)dx = I , vom ar˘ata c˘a δ(r) R(z)dz −→ 0 când r −→ ∞ ¸si ∞ vom obt¸ine c˘a −∞ R(x)dx = 2πi Rez(R, αk ), unde suma se ia dup˘a tot¸i Cum lim r



 k

6.5. CALCULUL UNOR INTEGRALE REALE FOLOSIND TEOREMA REZIDUURILOR135

polii lui R(z) din semiplanul y > 0 (funct¸ia rat¸ional˘ a R(z) are un num˘ar finit de poli, deci pentru r suficient de mare tot¸i polii din semiplanul y > 0 se afl˘a ˆın semidiscul de raz˘a r). Pentru a ar˘ata c˘a δ(r) R(z)dz 0 când r , vom folosi lema urm˘atoare :



−→ ∞

−→

o funct a definit˘ sectorul θ 1 ≤ θ ≤ ≤Lema θ2 (z6.4. = re(itJordan ). Dac˘a) Fie limf zf (z) =¸ie0 continu˘ (θ1 ≤ arg z ≤ θ2a),ˆınatunci |z|→∞



f (z)dz δ(r)

−→ 0 când r −→ ∞,

unde δ (r) este arcul de cerc centrat ˆın srcine de raz˘a r cont¸inut ˆın sectorul θ1 θ θ2 .

≤ ≤

|

|

Demonstrat¸ie. Fie M (r) = sup f (z) . Atunci avem

|z |=r

 

f (z)dz

δ(r)

 ≤     −→ M (r)

ds = M (r)r(θ2

δ(r)

→∞rM (r) = 0, rezult˘a c˘a ¸si cum rlim

δ(r) f (z)dz

∞

Exemplul 6.35. S˘a se calculeze integrala Demonstrat¸ie. lim xα



→∞

x

∞

0

x2 dx (1+x2 )3

0

− θ1),

0, când r

x2 (1+x2 )3

dx.

2

· (1 +x x2)3

= 1 pentru α = 4 > 1, deci integrala

este convergent˘a .

Funct ¸ia f (x) =

x2 (1+x2 )3

2

−→ ∞.

 \± 

este par˘a , deci

x2 (1+x2 )3 dx

∞

0

=

1 2



∞ x2 −∞ (1+x2 )3 dx.

z Fie f (z) = (1+z C i olomorf˘a . 2 )3 ,z i sunt poli de ordinul 3 pentru f Fie r > 1 ¸si γ r = [ r, r] δr , unde δ r = reit , t [0, π]. Aplic˘am teorema reziduurilor ¸si obt ¸inem γr f (z)dz = 2πiRez(f, i)

±

Rez(f, i) =

1

−

∪

lim (z

i)3

Dar

z2

   −  2! z

Deci

∈

γr

π 8

→i

f (z)dz =

=

γr

π 8.

f (z)dz =

trecem la limit˘a cˆ and r

r

(1 +

z 2 )3

x2



∈



i

=

  −

−r (1+x2 )3 dx +

δr

−→ ∞ si¸ obt¸inem π8

16

f (z)dz. In aceast˘a relat¸ie



∞ x2 −∞ (1+x2 )3 dx,

deoarece z2 lim f (z)dz = 0 conform Lemei 6.4 ( lim zf (z) = lim z = 0). r →∞ δ z →∞ z →∞ (1 + z 2 )3 r ∞ x2 π A¸sadar, 0 (1+x2 )3 dx = 16 .





=

·

136


Lema 6.5. (Jordan) Fie f o funct¸ie continu˘ a definit˘a ˆın sectorul θ 1 θ2 (z = reit ). Dac˘a lim zf (z) = 0 (θ1 arg z θ2 ), atunci

≤

≤

|z |→0

≤

≤θ ≤

−→ 0 când r −→ 0,

f (z)dz δ(r)

 


≤ ≤

∞

Tipul III : I = −∞ f (x)eix dx, unde f (z) este olomorf˘a ˆın semiplanul y > 0 cu except¸ia, eventual, a unei mult¸imi finite de puncte. Cazul 1). Presupunem c˘a punctele singulare nu sunt pe axa real˘ a . r r Atunci integrala −r f (x)eix dx are sens (sunt dou˘a integrale reale −r f (x)cos xdx r ∞ ix ¸si −r f (x)sin xdx) ¸si cˆ and r , tinde la −∞ f (x)e dx, dac˘a acest˘a integral˘a converge.





−→ ∞

a lim f (z) = 0 pentru y Lema 6.6. Dac˘

|z|→∞

lim

r



r

→∞ −r f (x)e

ix





dx = 2πi

≥ 0, atunci



Rez(f (z)eiz , αk ),

k

unde suma se ia dup˘a toate punctele singulare ale lui f (z) situate ˆın semiplanul y > 0 . Demonstrat¸ie. Pentru y 0 avem eiz = e−y 1 ¸si vom aplica aceea¸si ca la integralele de tip II. Cu acelea¸si notat¸ii vom ar˘ata c˘ a δ(r) f (z)eiz dz 0 când r s¸i rezult˘a lema.

≥

| |

≤



−→ ∞

Lema 6.7. Fie f o funct¸ie continu˘ a definit˘a ˆın sectorul θ1 semiplanul y 0. Dac˘a lim f (z) = 0, atunci

≥

−→

≤ θ ≤ θ2 din

|z|→∞



f (z)eiz dz

δ(r)

−→ 0 când r −→ ∞,


≤ ≤

Demonstrat¸ie. Fie z = eiθ , M (r) = sup

  ≤ 

Avem Dar atunci π2

δ(r) f (z)e

π 0

iz

dz

M (r)

|

|.

f (reiθ ) θ1 θ θ2 π r sin θ rdθ. 0 e

 ≤    ≤

≤≤ −

π

e−r sin θ rdθ = 2 02 e−r sin θ rdθ si, ¸ deoarece, dac˘a 0 sin θ 1, rezult˘ a c˘ a θ

≤

π

2

0

π

2

e−r sin θ rdθ

0

2

e− π rθ rdθ

≤



∞ 0

2

e− π rθ rdθ =

π , 2

≤θ≤

π 2,

6.5. CALCULUL UNOR INTEGRALE REALE FOLOSIND TEOREMA REZIDUURILOR137

deci

   π 0

e−r sin θ rdθ

Obt¸inem ipotez˘a .

≤ π.

iz δ(r) f (z)e dz

 ≤

−→ ∞, M (r) −→ 0 prin

M (r)π si ¸ pentru r

Exemplul 6.36. S˘a se calculeze

∞

0

cos x (x2 +1)(x4 +4) dx.

 

iz

e Demonstrat¸ie. Consider˘am integrala I = γr (z2 +1)(z 2 +4) dz, unde γr = [ r, r] δr , r > 2 eiz Funct ¸ia f (z) = (z2 +1)(z a cu polii simpli i, 2i. 2 +4) este olomorf˘ Cum polii i ¸si 2i sunt in interiorul conturului γr , aplic˘am teorema reziduurilor ¸si avem I = 2πi(Rez(f, i) + Rez(f, 2i)). eiz e−1 1 Calcul˘am Rez(f, i) = lim (z i)f (z) = lim 2 = = . z →i z →i (z + 4)(z + i) 6i 6ie eiz 1 Rez(f, 2i) = lim (z 2i)f (z) = lim 2 = z →2i z →i (z + 1)(z + 2i) 12ie2 −1)π . Deci I = (2e6e 2 r eix eiz Pe de alt˘a parte I = −r (x2 +1)(x a 4 +4) dx + δr (z 2 +1)(z 2 +4) dz. In aceast˘

− ∪

±±

−

−

−



relat¸ie trecem la limit˘a cˆ and r =

(2e 1)π

−

2

 | |  

= 0 ( zf (z) =

=

−

−→ ∞ si¸ obt¸inem

∞ eix −∞ (x2 +1)(x4 +4) dx = eiz

, deoarece, conform lemei lui Jordan, lim

6e

Dar



0

zeiz (z 2 +1)(z 2 +4) eix

  <

−∞ (x2 +1)(x4 +4) dx =

(2e 1)π 12e2 .

r e−y z 3 (y

|| ∞

0

|

γr

⇒ |z|→∞ dx =⇒ (x +1)(x +4) 2

> 0) = e−ix

dz =

(z 2 + 1)(z 2 + 4) lim zf (z) = 0)

→∞

4



|

∞

0

cos x dx (x2 +1)(x4 +4)

=

Cazul 2) . Consider˘am cazul ˆın care f (z) are ¸si puncte singulare pe axa real˘a ¸si ne limit˘ am la cazul când f (z) are un pol simplu ˆın 0. Alegem drumul γr,ε = [ r, ε] γε [ε, r] γr−, unde γ ε ¸si γ r sunt semicercuri ˆın semiplanul superior cu ε < r.

− − ∪ ∪

∪

Lema 6.8. (a semireziduurilor) Dac˘a ˆın z = 0 funct¸ia g(z) are un pol simplu, atunci lim

ε

→0



g(z)dz = πiRez(g, 0) γε

(γε parcurs ıˆn sens trigonometric direct). Demonstrat¸ie. In vecin˘atatea lui 0 avem g(z) = Atunci γε h(z)dz 0, când ε 0 ¸si z = εeit ).



−→

−→

a z



+ h(z), cu h(z) olomorf˘a = πia (cu calculul

a γε 2 dz

Folosind acest˘a lem˘ a pentru funct¸ia g(z) = f (z)eiz ¸si metoda anterioar˘ a ∞ din cazul 1) putem calcula integrala −∞ f (x)eix dx. ∞ Exemplul 6.37. S˘a se calculeze I = 0 sinx x dx.



138


Demonstrat¸ie. I= 1 1 = 2 2i

1 2



∞

sin x 1 dx = x 2

−∞ ∞ eix



∞

−

−∞ ∞ e−ix

∞

1 x dx = 2i

eix x dx.

  ·     −  −        −→ −   −  −→

Dar

∞

−∞ =

¸si

r



−∞

eix dx= x

lim →∞ ,ε→0

γr,ε

γε

deci I =

1 2i

x dx

r

lim

− 

eix eix dx = 2ix

−∞

x

→∞,ε→0 −r γr,ε

eiz dz z

eiz dz = 2πi z

eiz dz z

−ε eix

πiRez

γε

eiz ,0 z

r

dx +

ε

eiz dz z

Rez

=

−∞

eix dx = x

γr

eiz dz z

eiz , αk z

= 0,

πi,

eiz dz z

γr

0,

πi = π2 .

·



∞

Observat ¸ia 6.8. a) Pentru integrala −∞ f (x)e−ix dx se alege drumul din semiplanul inferior y 0. ∞ b) Pentru integrala −∞ f (x)eax dx, unde a C se alege semiplanul ˆın care eax 1.

| |≤

≤



∈

Capitolul 7

Serii Fourier. Integrala Fourier 7.1

Serii Fourier

In ¸stiint¸a˘ ¸siˆın tehnic˘ a ˆıntâlnim deseori fenomene periodice, adic˘a fenomene care se reproduc la un anumit interval de timp T , numit perioad˘a . Diferitele m˘arimi ˆın leg˘ atur˘a cu fenomenul periodic considerat, dup˘ a scurgerea perioadei T revin la valorile lor anterioare ¸si reprezint˘a funct¸ii periodice de timpul t, caracterizate prin ϕ(t + T ) = ϕ(t) (de exemplu, intensitatea ¸si tensiunea curentului alternativ). Cea mai simpl˘a funct¸ie periodic˘a este funct¸ia sinusoidal˘ a A sin(ωt + α), unde ω este frecvent¸a, ω = 2π T . Dac˘a se adun˘a mai multe m˘arimi sinusoidale de forma y0 = A 0 , y1 = A 1 sin(ωt + α1 ), y2 = A 2 sin(2ωt + α2 ),...

(7.1)

se obt¸ine o funct¸ie periodic˘a (cu perioada T ) diferit˘a de m˘arimile de tipul (7.1). Acum se pune probl ema dac˘a o funct¸ie periodic˘a ϕ(t) dat˘a de perioad˘a T se poate reprezenta sub form˘a de sum˘a a unei mult¸imi finite sau infinite de m˘arimi sinusoidale (7.1). Vom vedea c˘a se poate da un raspuns afirmativ dar dac˘a se ia ˆın considerare tot ¸sirul infinit de m˘arimi (7.1). Deci este posibil˘a urm˘ atoarea dezvoltare ˆın serie trigonometric˘a

∞ ϕ(t) =

A0

+



An sin(nωt + αn ),

n=1

(7.2)

unde A0 , A1 , A2 ,..., 1 , α2 ,... sunt constante având valori speciale pentru fiecare funct¸ie de acest fel, iar frecvent¸a ω este dat˘a de ω = 2π T . Geometric acesta ˆınseamn˘ a c˘a diagrama unei funct¸ii periodice se obt¸ine prin suprapunerea unei serii de sinusoide. In studiul acusticii, ˆıntˆ alnim not¸iunea de armonice. O coard˘a fixat˘a la ambele capete poate vibra cu un num˘ar de frecvent¸e diferite. Cea mai joas˘a 139

140

CAPITOLUL 7. SERII FOURIER. INTEGRALA FOURIER

dintre ele, ω, se nume¸ste frecvent ¸a fundamental˘ a . Celelalte vor avea valorile 2ω, 3 s¸i se numesc armonice. Aceste armonice pot fi excitate simultan, iar vibrat¸ia rezultat˘a are o form˘a de und˘a complex˘a . Aceasta va fi ¸si ea periodic˘a cu o perioad˘a T = ω1 . Observ˘am c˘a prin compunerea unui num˘ar de frecvent¸e ˆın relat¸ie armonic˘a se obt¸ine o form˘a de und˘a periodic˘ a complex˘ a . Reciproc, form˘a de und˘ a periodic˘ a complex˘ poate fi descompus˘ a ˆıntr-un num˘ ar de ocomponente sinusoidale, care sunt ˆınarelat ¸ie armonic˘a . In acest capitol ne vom ocupa de cel de-al doil ea proces. Graficul amplitudinii ˆın raport cu frecvent¸a, care ˆın cazul de fat¸a˘ este format dintrun num˘ar de linii discrete corespunz˘atoare frecvent¸elor ω, 2 ,... se nume¸ste spectrul formei de und˘a . Dac˘a se alege ca variabil˘a independent˘a x = ωt = 2πt ¸ia T se obt¸ine funct f (x) = ϕ ωx , periodic˘a de perioad˘a 2π. Dezvoltarea (7.2) devine :



∞



f (x) = A0 +

An sin(nx + αn ).

(7.3)

n=1

Dac˘a desf˘a¸sur˘am termenii seriei (7.3) dup˘ a formula sinusului de sum˘ a ¸si punând A0 = a 0 , An sin αn = a n , An cos αn = b n , n 1

∀ ≥

obt¸inem dezvoltarea trigonometric˘a f (x) = a 0 +

∞



(an cos nx + bn sin nx)

(7.4)

n=1

Vom ar˘ata metoda determin˘arii coeficient¸ilor an ¸si bn , aplicat˘a ˆın a doua jum˘atate a secolului XVIII de Euler ¸si independent de el la ˆınceputul secolului XIX de Fourier. Presupunem c˘ a funct¸ia f este integrabil˘a pe intervalul [ π, π] ¸si c˘ a dezvoltarea (7.4) se poate scrie. O vom integra termen cu termen de la π la π si ¸ obt¸inem :

−



π

f (x)dx = 2πa 0 +

−π

  ∞

π

an

n=1

cos nxdx + bn

−π

Deci



π

−



sin nxdx = 2πa 0

−π

π

a0 = 2π 1



−π f (x)dx

(7.5)

Inmult¸im ambii membri ai egalit˘at¸ii (7.4) cu cos mx si ¸ integr˘am de la π: π π f (x)cos mxdx = a 0 cos mxdx+ +

   ∞

n=1

−π



π

an

cos nx cos mxdx + bn

−π

−π



π



sin nx cos mxdx =

−π

−π la

141

7.1. SERII FOURIER

=

    ∞

[an

n=1

π

π

+bn

−π

= am

π

1

−π 2

(cos(n + m)x + cos(n

1 (sin(n + m)x + sin(n 2

cos2 mxdx = a m

−π

deoarece







−π 1 π



1 + cos 2mx dx = a m π, 2

·

sin nx cos mxdx = 0

−π

cos nx cos mxdx =

am =

−π

− m)x)dx =

π

π

Deci

π

− m)x)dx+



0, π,



pentru n = m pentru n = m

π

f (x)cos mxdx, m = 1, 2,....

In mod similar ˆınmult¸ind (7.4) cu sin mx si ¸ integrând de la bm =

−π la π obt¸inem

π

1 π

(7.6)

−π f (x)sin mxdx, m = 1, 2,....



(7.7)

−π

Formulele (7.5), (7.6), (7.7) se numesc formulele lui Euler-Fourier; coeficient¸ii calculat¸i cu ajutorul acestora se numesc coeficient¸ii Fourier ai funct¸iei respective, iar seria trigonometric˘a (7.4) format˘a cu ajutorul lor se nume¸ste seria Fourier. Am folosit anterior integrarea termen cu termen, dar condit¸ia suficient˘a a aplic˘arii ei este convergent¸a uniform˘a a seriei (7.4). Pân˘ a nu vom demonstra riguros acest lucru vom considera numai formal seria Fourier a funct ¸iei f date ¸si not˘ am f (x)

∼ a0 +

∞



(an cos nx + bn sin nx).

(7.8)

n=1

Tinând cont de formulele (7.5) ¸si (7.8) putem scrie f (x) ¸si

∼ a20 +



∞ (an cos nx + bn sin nx).

(7.9)

n=1

a0 =

1 π



π

f (x)dx.

−π



α+2π

Observ˘ am c˘a pentru funct¸ia F (u) cu perioada 2π, valoarea integralei α F (u)du ˆıntr-un interval cu lungimea 2π nu depinde de α. De aceea, ¸si ˆın formulele

142


(7.6) ¸si (7.7) integralele pot fi luate pe orice interval de lungime 2 π; de exemplu, putem scrie :

 

2π

1 π

am =

f (x)cos mxdx, m = 0, 1, 2,...

(7.10)

0

2π

bm = 1 f (x)sin mxdx, m = 1, 2,... (7.11) π 0 Pentru a studia comportarea seriei (7.9) ˆıntr-un anumit punct x = x 0 , scriem urm˘ atoarea expresie a sumei part¸iale n

sn (x0 ) =



a0 + (am cos mx0 + bm sin mx0 ) 2 m=1

Inlocuim am ¸si bm cu expresiile lor din (7.6) ¸si (7.7) (ˆın variabil˘a u) ¸si obt¸inem: sn (x0 ) =

1 2π



    −  n

π

f (u)du+

−π =

1 π

Stim c˘a

π

1 π m=1

π

f (u)[cos mu cos mx0 +sin mu sin mx0 ]du =

−π

1 + 2

f (u)

−π

n

cos m(u

m=1

n

1 + cos m(u 2 m=1 deci

sn (x0 ) =

1 π

x0 ) =

π

f (u)

−π



− x0)

du

sin(2n + 1) u−2x0 , 2sin u−2x0

sin(2n + 1) u−2x0 du. 2sin u−2x0

Aceast˘a integral˘a se nume¸ste integrala lui Dirichlet. Cum funct¸iile de variabil˘a u care apar aici sunt de perioad˘ a 2π, intervalul de integrare [ π, π] se poate ˆınlocui, conform observat¸iei anterioare cu intervalul [x0 π, x0 + π]

−

−

sn (x0 ) = Prin substitut¸ia t = u

1 π



x0 +π

f (u) x0 π

−

sin(2n + 1) u−2x0 du. 2sin u−2x0

− x0 integrala devine

sn (x0 ) =

1 π



π

−π

f (x0 + t)

sin(n + 12 )t dt. 2sin 2t

−

Descompunˆ and integrala ˆın dou˘ a integrale una de la 0 la π s¸i alta de la π la 0 ¸si reducˆ and ¸si a doua integral˘ a , prin schimbarea semnului variabilei, tot la intervalul [0 , π], obt¸inem sn (x0 ) =

1 π



1

π

[f (x0 + t) + f (x0 0

+ 2 )t − t)] sin(n dt 2sin t 2

(7.12)

143

7.1. SERII FOURIER

A¸sadar, problema se reduce la studiul comport˘arii acestei integrale care cont¸ine parametrul n.

Lema 7.1. (Riemann) Dac˘a g este o funct¸ie absolut integrabil˘a ˆıntr-un interval oarecare finit [a, b], atunci b

lim

p

  

→∞

¸si lim

p

→∞

g(t)sin ptdt = 0 a b

g(t)cos ptdt = 0.

a

Demonstrat¸ie. Oricare ar fi intervalul [ α, β ] avem



β

sin ptdt = α



cos pα



− cos pβ ≤ 2 . p p

Presupunem c˘a funct¸ia g este integrabil˘a ˆın sens propriu. Descompunem intervalul [a, b] ˆın n p˘art¸i prin punctele a = t 0 < t1 < .. . < t i < ti+1 < .. . < t n = b ¸si astfel descompunem integrala

Notând m i=





b



n 1

g(t)sin ptdt = a

−

i=0

inf

∈

t [ti ,ti+1 ]

g(t) scriem

 −

n 1

b

g(t)sin ptdt = a

i=0

ti+1

g(t)sin ptdt. ti

 −

n 1

ti+1

[g(t)

ti

− mi]sin ptdt +

ti+1

mi

i=0

sin ptdt. ti

Dac˘a ωi este oscilat¸ia funct¸iei g ˆın intervalul [ti , ti+1 ], atunci ˆın acest interval g(t) mi ωi . Atunci

− ≤



 ≤ 

n 1

b

g(t)sin ptdt a

−

ωi ∆ti +

i=0

2 p

n 1

−

| i=0

|

mi .

Pentru ε > 0 arbitrar alegem diviziunea intervalului [a, b] astfel ˆıncˆ at s˘a avem



n 1

−

i=0

ωi ∆ti <

ε . Acest lucru este posibil deoarece func t¸ia g este integrabil˘a . 2 n 1

Cum numerele mi sunt definite, putem lua p >

4 ε

−

| i=0

valori ale lui p vom obt¸ine



b



g(t)sin ptdt < ε, a

|

mi , iar pentru aceste

144


ceea ce demonstreaz˘a afirmat¸ia din enunt¸ . Dac˘a funct¸ia g este absolut integrabil˘a este suficient s˘a ne m˘arginim la ipoteza c˘a ˆın intervalul [a, b] exist˘a un singur punct singular, de exemplu b. Altfel, s-ar putea descompune intervalul ˆıntr-un num˘ ar finit de termeni de p˘art¸i cuprinzând numai câte un punct singular ¸si aplic˘ am rat¸ionamentul

  

b−η b lab fiec Fie 0 < = are separat. + , avem a

a

−

b η



− a.

Descompunând integrala ˆın dou˘a

 ≤  

b

g(t)sin ptdt

−

b η

b

|g(t)|dt < ε

2 − b−η g(t)sin ptdt tinde c˘atre 0 dac˘a

b η

dac˘a se alege η destul de mic. Integrala a p , conform celor demonstrate anterior, deoarece pe intervalul [a, b η] b−η funct¸ia g este integrabil˘a (ˆın sensul propriu), deci a g(t)sin ptdt < 2ε . Atunci rezult˘a ceea ce trebuia demonstrat.

−→ ∞

 −



Corolarul 7.1. Coeficient¸ii Fourier am , bm ai unei funct¸ii absolut integrabile tind c˘atre 0 când m .

−→ ∞

ˆ Teorema 7.1. (Riemann) Natura seriei Fourier a unei funct ¸ii f ıntrun punct x0 depinde exclus iv de valorile luate de funct¸ie ˆıntr-o vecin˘ atate oarecare a acestuia. Observat ¸ia 7.1. Dac˘a se iau dou˘a funct¸ii ale c˘aror valoriˆıntr-o vecin˘ atate a punctului x0 coincid, atunci, oricât ar fi ele de diferite ˆın afara acestei vecin˘ at˘a¸t i, seriile Fourier corespunz˘atoare acestor funct¸ii se comport˘a ˆın mod identic ˆın punctul x0 , ele sunt fie ambele convergente ¸si anume c˘atre aceea¸si sum˘a , fie ambele divergente. Demonstrat¸ie. Fie 0 < ˆın sum˘ a



π

−

[f (x0 +t)+f (x0 t)] 0

<

arbitrar. Descompunem integrala din (7.12)

sin(n + 12 )t dt = 2sin 2t



δ

−

[f (x0 +t)+f (x0 t)] 0

π

+



π

−

−

δ

[f (x0 +t)+f (x0 t)] δ

rezult˘ a c˘a

t)]

sin(n + 12 )t

dt t 2sin 2 Dac˘a transcriem cea de-a doua integral˘a din membrul al doilea sub forma



[f (x0 + t) + f (x0

sin(n + 12 )t dt+ 2sin 2t

sin(n + 12 )t dt = 2sin 2t

f (x0 +t)+f (x0 t) 2sin 2t

−



π δ

f (x0 + t) + f (x0 2sin 2t

− t) sin(n+ 1 )tdt 2

este o funct¸ie absolut integrabil˘a de variabil˘a t ˆın

intervalul [δ, π]. Conform Lemei 7.1 , aceast˘a integral˘a tinde câtre 0 când

145

7.1. SERII FOURIER

−→ ∞

n , deci existent¸a limitei sumei part¸iale a seriei Fourier, sn (x0 ) este determinat˘a de comportarea integralei 1 π

ρn (x0 ) =



1

δ

[f (x0 + t) + f (x0 0

+ 2 )t − t)] sin(n dt. 2sin t

(7.13)

2

Aceast˘a integral˘a cont¸ine numai valorile funct¸iei f care corespund variat¸iei argumentului ˆın intervalul (x0 δ, x0 + δ ).

−

Revenim la studiul comport˘arii sumei part¸iale sn (x0 ) a seriei Fourier pentru care am obt¸inut expresia integral˘a (7.12). Dac˘a se ia f (x) = 1, atunci s n (x0 ) = 1, iar din (7.12) rezult˘a 1=

2 π



0

π

sin(n + 12 )t dt. 2sin 2t

Inmult¸im ambii membri ai egalit˘a¸t ii cu S0 , suma presupus˘a a seriei ¸si sc˘ azând rezultatul din (7.12) rezult˘a sn (x0 )

− S0 = π1



1

π

[f (x0 + t) + f (x0 0

+ 2 )t − t) − 2S0] sin(n dt. 2sin t

(7.14)

2

Dac˘a vrem s˘a stabilim c˘a S 0 este suma seriei trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a integrala (7.14) tinde la 0 când n .

−→ ∞

Criteriul 7.1. (Criteriul lui Dini ) Seria Fourier a funct¸iei f ıˆn punctul x0 converge c˘ atre suma S0 dac˘a pentru un h > 0 oarecare, integrala



h

|f (x0 + t) + f (x0 − t) − 2S0| dt t

0

exist˘a . Demonstrat¸ie. In aceast˘a ipotez˘a exist˘a ¸si integrala Dac˘a se poate transcrie expresia (7.14) sub forma π

1



|f (x0 + t) + f (x0 − t) − 2S0|

− −

t 2

π f (x0 +t)+f (x0 t) 2S0 t 0

|

− − | dt.

1 sin(n + )tdt

2 · sin −→ ∞, ea tinde la 0, deoarece funct ¸iile −t)−2S · ¸si f (x +t)+f (x sunt absolut convergente. t sin

π 0 t rezult˘ a din Lema 7.1 c˘ a , dac˘a n f (x0 +t)+f (x0 t) 2S0 t

t 2



0

0

0

t

2

t

2

Observat ¸ia 7.2. Dac˘a funct¸ia f este continu˘a ˆın x 0 , atunci integrala lui Dini se scrie h f (x0 + t) + f (x0 t) 2f (x0 ) dt, t 0



|

− −

|

146


iar dac˘a f are ˆın x0 doar discontinuit˘a¸t i de prima spet¸˘ a , atunci integrala lui Dini se scrie

 

h

|f (x0 + t) + f (x0 − t) − f (x0 + 0) − f (x0 − 0)| dt. t

0

Evident, este suficient s˘a se presupun˘a existent¸a separat˘a a integralelor h h f (x0 + t) + f (x0 ) f (x0 t) + f (x0 ) dt ¸si dt t t 0 0 sau



h

|

|

|f (x0 + t) + f (x0 + 0)| dt ¸si t

0

| | h

−

f (x0

|

− t) + f (x0 − 0)| dt. t

0

Criteriul 7.2. (Criteriul lui Lipschitz) Seria Fourier a funct¸iei f converge ˆın punctul x0 , unde este continu˘a , c˘atre suma f (x0 ), dac˘a pentru valori t suficient de mici, este satisf˘acut˘ a inegalitatea

|f (x0 ± t) + f (x0)| ≤ Ltα, unde L ¸si α sunt constante pozitive ( α ≤ 1). Corolarul 7.2. f areˆın punctul x 0 o discontinuitate de prima spet ¸˘ a ¸si exist˘ a ¸si Dac˘ sunta funct finite¸ia limitele lim → +0

t

f (x0 + t) + f (x0 + 0) f (x0 , lim t→+0 t

− t) + f (x0 − 0) , −t

(x0 −0) atunci seria Fourier a lui f este convergent˘a ¸si suma sa este f (x0 +0)+f . 2

a funct¸ia g este monoton cresc˘atoare, r˘ amˆ anˆ and m˘arginit˘ a Lema 7.2. Dac˘ ˆın intervalul [0, h], atunci lim

p

→∞



h

g(t) 0

sin pt π dt = g(+0). t 2

Demonstrat¸ie. Scriem intgrala ca sum˘a de dou˘a integrale h

g(t) 0



h

sin pt dt = g(+0) t

0



Dac˘a p



h 0

[g(t) 0

 

Facem substitut¸ia pt = z si ¸ obt¸inem g(+0)

h

sin pt dt + t

sin pt dt = g(+0) t

ph 0

− g(+0)] sint pt dt.

sin z dz. z

−→ ∞, atunci integrala tinde c˘atre π2 g(+0), deoarece



∞ sin z 0

z

dz =

π . 2

147

7.1. SERII FOURIER



h

A¸sadar, problema se reduce la a demonstra c˘ a integrala 0 [g(t) g(+0)] sint pt dt tinde c˘atre 0. Pentru orice ε > 0 arbitrar, exist˘a δ > 0 (se poate considera δ < h) astfel ˆıncât 0 g(t) g(+0) < ε pentru 0 < t δ. Descompunem integrala

≤

−

h

 

0

≤

−

−

sin pt dt = [g(δ ) g(+0)] t

Avem δ

[g(t) g(+0)] 0

δ

sin pt t dt =

[g(t) g(+0)]

−



0

−

[g(t) g(+0)]

−



sin pt t dt+

δ η

h



δ

−

[g(t) g(+0)]

sin pt dt = [g(δ ) g(+0)] t

−

sin pt t dt.



pδ pη

sin z dz z

(conform formulelor lui Bonnet- a doua teorem˘a de medie). Primul termen este mai mic decât ε, iar cel de-al doilea este uniform m˘arginit pentru toate ∞ valorile lui p. Intr-adev˘ar, din convergent¸a integralei improprii 0 sinz z dz z sin z rezult˘ a c˘a funct¸ia continu˘a de variabil˘a z 0 z dz, având o limit˘a finit˘a când z , va fi m˘arginit˘a pentru toate valorile lui z

−→ ∞



deci A¸sadar,

pδ pη

   

sin z dz = z

h δ [g(t)

z 0

δ

−

pδ

0

η







sin z dz z

 ≤ −

L,

sin z dz z



pη

0

sin z dz z

sin pt dt < 2Lε. t

g(+0)] sint pt dt

 ≤

2L.

−→ ∞

Integrala tinde câtre 0 când p conform Lemei 7.1, deoarece factorul cu care este ˆınmult¸it sin pt este o funct¸ie integrabil˘a (t δ ).

≥

Criteriul 7.3. (Criteriul lui Dirichlet-Jordan) Seria Fourier a funct¸iei f converge c˘atre suma S 0 ˆın punctul x 0 dac˘ a ˆın orice interval [x0 h, x0 + h] funct¸ia are valori m˘arginite.

−

Demonstrat¸ie. Am v˘azut c˘a suma part¸ial˘ a s n (x0 ) când n a de comportarea ˆminat˘ ın particular h. Atunci integralei ρn (h) =

1 π



ρn (x0 )

(vezi (7.13)) unde δ se poate lua t

h

[f (x0 + t) + f (x0 0

−→ ∞ este deter-

− t)] · sin2 t sin(n + 12 )tdt. 2

t

− t) este prin ipotez˘a o funct¸ie m˘arginit˘a , iar sin este o funct¸ie cresc˘atoare. A¸sadar ¸si produsul [f (x0 + t) + f (x0 − t)] · sin Suma f (x0 + t) + f (x0

2 t

2

t

2 t

2

148


este o funct¸ie cu variat¸ie m˘arginit˘a ¸si prin urmare, se prezint˘ a sub form˘a de diferent¸a˘ de dou˘a funct¸ii monoton cresc˘atoare. Cum Lema 7.2 este aplicabil˘a la fiecare dintre ele, ea este aplicabil˘a ¸si diferent¸ei lor ¸si obt¸inem lim ρn (h) =

n

1 π [f (x0 + 0) + f (x0 π 2

·

− 0)] = f (x0 + 0) +2 f (x0 − 0) .

→∞ Criteriul 7.4. (Criteriul lui Dirichlet) Dac˘a funct¸ia f cu perioada 2π este monoton˘a pe port¸iuni ˆın intervalul [ π, π] (adic˘ a intervalul se poate descompune ˆıntr-un num˘ ar finit de intervale part ¸iale ˆın interiorul c˘ arora funct¸ia este monoton˘ a ˆın fiecareˆın parte) ¸si are ˆın el cel mult un num˘ ar finit de puncte de discontinuitate, seria ei Fourier converge c˘ atre suma f (x0 ) ˆın (x0 −0) fiecare punct de continuitate ¸si c˘atre suma f (x0 +0)+f ˆın fiecare punct 2 de discontinuitate.

−

Cazul unui interval arbitrar In cazul ˆın care funct¸ia f are perioada T = 2, ( > 0), atunci toate rezultatele de mai sus sunt ˆın continuare adev˘arate, cu adapt˘arile corespunz˘ atoare. Coeficient¸ii Fourier sunt: an

1 =  bn =

seria Fourier fiind : f (x) =

2

 1 

2 0

nπx  dx,

∀ n = 0, 1, 2, ..., nπx f (x)sin , ∀ n = 1, 2,... 

f (x)cos

0





∞

a0 nπx nπx + an cos + bn sin . 2   n=1

Dezvoltarea ˆ ın serie de cosinusuri ¸si de sinusuri Dac˘a funct¸ia f dat˘a ˆın intervalul [ π, π] integrabil˘a este impar˘a , tot impar˘ a va fi ¸si funct ¸ia f (x)cos nx, deci a n = 0, n 0 ¸si

−

bn =

2 π



π

f (x)sin nxdx, 0

∀ ≥ ∀n ≥ 1.

A¸sadar, seria Fourier a unei funct¸ii impare cont¸ine numai sinusuri f (x)

∼

∞



bn sin nx.

n=1

−

Dac˘a funct¸ia f dat˘a ˆın intervalul [ π, π] absolut integrabil˘a este par˘a , atunci f (x)sin nx este impar˘a , deci b n = 0, n 1 ¸si an =

2 π



0

π

∀ ≥ f (x)cos nxdx, ∀n ≥ 0.

149

7.1. SERII FOURIER

A¸sadar, seria Fourier a unei funct¸ii pare cont¸ine numai cosinusuri f (x)

∞



∼ a20 +

an cos nx.

n=1

Observat 7.3. O ¸sfunct ie este a ˆın intervalul ˆın serie de¸ia cosinusuri i ˆın ¸serie dedat˘ sinusuri astfel : [0, π] poate fi dezvoltat˘a Vom defini funct¸ia ˆın intervalul [ π, 0] punând f (x) = f ( x) ¸si obt ¸inem o funct¸ie par˘a ˆın intervalul [ π, π], deci dezvoltarea ei va fi ˆın serie de cosinusuri, sau punând f (x) = f ( x), ea devenind impar˘a , deci dezvoltarea este ˆın serie de sinusuri. Fie f : [0, ] IR, o funct¸ie integrabil˘a ¸si fie f˜ : IR IR, periodic˘a de perioad˘a 2, definit˘a prin:

−

− − −

−

→

→



f˜(x) =

f (x) , x f ( x) , x

−

∈ [0, ] ∈ (−, 0)

Dac˘a funct¸ia f˜ satisface condit¸iile criteriului lui Dirichlet, atunci, dezvoltând f˜ ıˆn serie Fourier, rezult˘a : 1

(f (x + 0) + f (x

0)) =

−

2 f (0 + 0) =

a0 + 2

a0 2

∞



∞

+

an cos



n=1

,

x

− 0) = a20 +

(0, ),

∀ ∈



n=1

an , f (

πnx

∞

−

( 1)n an ,

n=1

coeficient¸ii a n fiind coeficient¸ii Fourier reali asociat¸i funct¸iei f˜. Formula de mai sus se nume¸ste dezvoltarea ˆın serie de cosinusuri a lui f . Analog, dac˘a funct¸ia (impar˘a ): f˜(x) =



∈ [0, ] ∈ (−, 0)

f (x) , x , x

−f (−x)

satisface condit¸iile criteriului lui Dirichlet, atunci dezvoltarea ˆın serie de sinusuri a funct¸iei f este: 1 2 (f (x + 0) + f (x

∞

− 0)) = n=1 bn sin



πnx  ,

∀ x ∈ (0, ),

coeficient¸ii b n fiind coeficient¸ii Fourier reali asociat¸i funct¸iei f˜.

Teorema 7.2. (Identitatea lui Parseval) a20 + 2

   a2n + b2n =

n 1

≥

1 

2 0

f (t)2 dt.

150


Puterea undelor nesinusiodale Consider˘ am termenul an cos nt. Puterea medie act iv˘a corespunz˘atoare π 1 2 acestei oscilat¸ii este 2π −π (an cos nt) dt. De exemplu, dac ˘a an reprezint˘a o tensiune, aceast˘a expresie d˘a puterea activ˘a care ar fi dezvoltat˘a ˆıntr-o rezistent¸a˘ de valoare egal˘a cu unitatea.



π

1

1 2

2



Ins˘a 2π −π (an cos nt) dt = 2 an . Similar, puterea pentru componenta b n sin nt este dat˘a de 12 b2n . Puterea π 1 2 unui semnal nesinusoidal f (t) este dat˘a de 2π −π [f (t)] dt, care, conform

∞





1 2 (a + b2n ). 2 n n=1 In consecint¸a˘ , puterea unei unde nesinusoidale este egal˘ a cu suma puterilor, componentele lor Fourier. identit˘ a¸t ii lui Parseval, este egal˘a cu 14 a20 +

Teorema 7.3. (Convergent ¸a uniform˘ a a seriei Fourier ) Dac˘ af :R C este o funct¸ie continu˘ a , de clas˘a 1 pe port¸iuni ¸si periodic˘a de perioad˘ a 2π , atunci seria sa Fourier este absolut ¸si uniform convergent˘ a iar suma este f .

→

C

Exemplul 7.1. S˘a se demonstreze formula:

−x =

π

sin nx

∈

n 1

≥

2

Demonstrat¸ie. Fie f (x) = π−2 x , x IR; calcul˘ am coeficient¸ii Fourier: a0 =

1 π



2π

an = =

(π

2

0

− x)sin nx 2nπ

1 π



2π

1 π

1 2nπ

2π

π

− x2



2π

= 0.

0

2π

∀ ≥ 1.

sin nxdx = 0, n 0

− x sin nxdx = 2

0

x)cos nx 1 −(π −2nπ − 2nπ 0



2

πx

2

2π

=



− x cos nxdx =

0

0

bn =

π

1 2π

 −   2π

(0, 2π).

∀ ∈

[0, 2π), prelungit˘a prin periodicitate la

− x dx =

π

, x

n



0

2nπ

∀ ≥ 1.

cos nxdx = 1 , n n

Aplicând criteriul lui Dirichlet, rezult˘a : π

−x = 2



n 1

≥

sin nx , x n

∀ ∈ (0, 2π).

In punctele x = 0 ¸si x = 2π funct¸ia f nu este continu˘a ; ˆın aceste puncte seria trigonometric˘a asociat˘a ei are suma 0.

151

7.1. SERII FOURIER

Exemplul 7.2. S˘a se demonstreze egalitatea:



n 1

≥

sin2 nx π = 2n 4

Demonstrat¸ie. Din formula: π x = 2

−



− x2 , ∀ x ∈ (0, π).

sin nx , x n

∀ ∈ (0, 2π),

n 1

≥

demonstrat˘a ˆın exemplul 7.1, ˆınlocuind pe x cu 2x, rezult˘a identitatea:

− 2x =

π

2



n 1

≥

sin2 nx , n

∀ x ∈ (0, π).

Imp˘art¸ind acum cu 2, rezult˘a egalitatea cerut˘a .

Exemplul 7.3. S˘a se demonstreze identit˘at¸ile:

−

sin(2n 1)x π = , x 2n 1 4

− − −



n 1

≥

n 1

≥

∀ ∈ (0, π)

sin(2n 1)x = 2n 1

− π4 , ∀x ∈ (−π, 0).

S˘a se calculeze apoi suma seriei: 1

− 15 + 17 − 111 + 131 − ...

Demonstrat¸ie. Pentru prima identitate se scad membru cu membru cele dou˘a egalit˘a¸t i demonstrate ˆın exemplele precedente; a doua identitate rezult˘a din prima ¸si din imparitatea funct¸iei sinus. Pentru a calcula suma seriei numerice date, se ia x = π3 ˆın prima egalitate ¸si obt¸inem: π 4 de unde rezult˘a : 1

−

sin (2n 3 1)π

=



n 1

≥

2n

,

−1 √

− 15 + 17 − 111 + 131 − ... = π 6 3 .

Fenomenul Gibbs In jurul unui punct de discontinuitate al unei funct ¸ii date, seria Fourier asociat˘a ei converge doar punctual (nu neap˘arat uniform). Acest fapt conduce la un defect de convergent¸a˘ (aparent paradox) al ¸sirului sumelor part ¸iale

152


asociat seriei trigonometrice date, numit fenomenul Gibbs. D˘ am ˆın continuare un exemplu ˆın acest sens. Consider˘ am restrict¸ia funct¸iei signum la intervalul ( π, π), sgn : ( π, π)

−1

IR, sgn(x) =

−

→

− x ∈ (−π, 0) x=0 x ∈ (0, π)

, 0 , 1 ,



In exemplul 7.3 s-a demonstrat egalitatea: 4 π

sgn(x) =



n 1

≥

− −

∀ x ∈ (−π, π).

− −

∀ x ∈ (−π, π).

sin(2n 1)x , 2n 1

Not˘am cu S n sirul ¸ sumelor part¸iale: 4 π

Sn (x) =

n



k=1

sin(2k 1)x , 2k 1

In punctul x = 0 funct¸ia sgn nu este continu˘a ; seria sa Fourier converge (conform criteriului lui Dirichlet) la 12 ( 1 + 1) = 0 = sgn(0); convergent¸a lim Sn (x) = sgn( x), x ( π, π) este punctual˘a , nu ¸si uniform˘ a. n→∞ a. S˘a se demonstreze egalitatea:

−

∀ ∈−

      −

Sn (x) =

2 π

x

0

sin2 nt dt, sin t

∀ x ∈ (−π, π).

b. S˘a se arate c˘a funct¸ia S n are un maxim ˆın punctul x = lim Sn

n

→∞

c. S˘a se calculeze

π 2 = 2n π

lim Sn

n

→∞

π 2n

π

0

sin t dt t

π ¸ 2n si:

≈ 1, 1789.



sgn(0+) .

Demonstrat¸ie. a. Calcul˘am mai ˆıntˆ ai suma A = cos x + cos 3x + ... + cos(2n

− 1)x, ∀ x = k

,k

∈ Z.

Pentru aceasta, consider˘am ¸si suma B = sin x +sin3 x + ... + sin(2n calcul˘am: A + iB = = (cos x + i sin x)+(cos3 x + i sin3 x) + ... + (cos(2n

− 1)x + i sin(2n − 1)x) =

z 2n 1 = z2 2 , z 1 unde am notat z = cos x + i sin x. Dup˘a calcule, rezult˘a :

− −

A + iB =

− 1)x ¸si

sin nx (cos nx + i sin nx), sin x

153

7.1. SERII FOURIER

¸si deci: cos x + cos 3x + ... + cos(2n

nx − 1)x = sin2 , ∀x  =k 2sin x

,k

∈ Z.

Integrˆ and de la 0 la x, rezult˘a :

 n

k=1

4 π:

sau, ˆınmult¸ind cu

− −

sin(2k 1)x = 2k 1

2 π

Sn (x) =



x 0



x 0

sin2 nt dt, sin t

sin2 nt dt, 2sin t

∀ x ∈ (−π, π).

b. Din cele demonstrate la punctul precedent rezult˘ a c˘a Sn (x) = ¸si deci

π 2n

π 2n

este punct critic al lui S n ; ˆıntr-o vecin˘ atate a lui Sn (x) =

 

2 sin 2nx π > 0, x < , π sin x 2n

         −  −  − − −   −− −  ≈    −  ≈

π 2 = 2n π

Rezult˘a :

avem:

2 sin 2nx π Sn (x) = π sin x < 0, x > 2n . este punct de maxim al funct¸iei S n .

π Rezult˘a c˘a x = 2n Calcul˘am acum:

Sn

2 sin 2nx π sin x

π

2n

0

π

sin2 nt 2 dt = sin t π

0

sin u du 1 = u 2n n sin 2n

π

0

sin u u du. sin 2n

π 2 π sin u = du. n→∞ 2n π 0 u Ultima integral˘a se aproximeaz˘a dezvoltând funct¸ia sinus ˆın serie de puteri: lim Sn

π

0

sin u du = u

π

0

n 1

≥

( 1)n x 2n−2 (2n 1)! π

n

=

n 1

≥

( 1) (2n 1)!(2n

1)

x2n−1

n 2n 1

=

0

du =

n 1

≥

( 1) π − . (2n 1)!(2n 1)

Seria fiind alternat˘a , eroarea este mai mic˘a decât primul termen neglijat. Cu o eroare mai mic˘a decât 10 −3 , se obt¸ine π 2n

1, 1789.

sgn(0+)

0, 1789.

lim Sn

n

c. Rezult˘a : lim Sn n

→∞

π 2n

→∞

154


Exemplul 7.4. ( π, π).

S˘a se dezvolte ˆın serie Fourier funct¸ia f (x) = x, pe

−

Demonstrat¸ie. Intrucât funct¸ia f e impar˘a avem: ak = 0, k



π

≥

k+1

−

0,

iar bk = π2 0 x sin kxdx = 2( 1) , k > 0 (am integrat prin p˘art¸i, t¸inˆ and k cont c˘a sin kπ = 0 ¸si cos kπ = ( 1)k ) ∞ ( 1)k+1 Prin urmare, x R avem x = 2 sin kx. k

−

−

∀ ∈

π 2

Pentru x =

π 4

se obt¸ine

k=1

− 13 + 15 − 17 + . . ..

=1

Exemplul 7.5. S˘a se dezvolte ˆın serie Fourier funct¸ia f (x) = π 2 1 2 ( π, π) ¸si s˘ a se demonstreze c˘a π6 = . n2



−

− x2, pe

n 1

≥

Demonstrat¸ie. Deoarece funct¸ia e par˘a b k = 0, k 2 π

a0 = ak =

2 π



π

(π 2

0



π

≥1

− x2)dx = 4π3

(π 2

0

2

− x2)cos kxdx = 4(−k1)2

(am integrat prin p˘art¸i)

k 1

−

≥1

,k

∞

−     

( 1)k−1 cos kx. k2 k=1 Sunt ˆındeplinite condit¸iile criteriului lui Dirichlet, deci dezvoltarea e valabil˘a pentru x [ π, π]. ∞ 1 π2 Pentru x = π se obt¸ine = . k2 6

− x2 = 2π3

Atunci π 2

2

+4

∈−

k=1

Exemplul 7.6. S˘a se dezvolte ˆın serie Fourier funct¸ia ax, dac˘a x bx, dac˘a x

f (x) =

Demonstrat¸ie. a0 = an =

 

1 π

1 bn = π

π

1 π

π

f (x)dx =

−π

f (x)cos nxdx =

−π π

1 π

1 f (x)sin nxdx = π −π

∈ (−π, 0) ∈ [0, π) π (b 2

− a)

0

ax cos nxdx +

−π

0

 

1 ax sin nxdx + π −π

π

 

bx cos nxdx

0 π

ax sin nxdx 0

155

7.1. SERII FOURIER

Calculând prin p˘art¸i urm˘atoarele dou˘a integrale obt¸inem

 

1 1 x sin nx + 2 cos nx + c1 n n

x cos nxdx =

1 x sin nxdx =

1

− n x cos nx + n2 sin nx + c2

unde c1 , c2 sunt constante de integrare. Avem



0

t cos ktdt =

−π



1 [1 k2

0

− (−1)k ], k

t sin ktdt =

−π ak =

a

−π (−k1)

 

π

t cos ktdt =

0

− k12 [1 − (−1)k ]

π

,

t sin ktdt = 0

−π (−k1)

k

− b · 1 − (−1)k , bk = (a + b) (−1)k−1 k2

π

k

Se observ˘a c˘a avem

− ·

a2n−1 = 2(aπ b) (2n 1 1)2 , a2n = 0, n = 1, 2, 3,...

−

Seria Fourier a funct¸iei f (t) este f (t) =

− a −4 b π + 2(aπ− b)

∞



∞

−

− −

cos(2n 1)t sin nt + (a + b) ( 1)n−1 2 (2n 1) n n=1 n=1

Observat ¸ia 7.4. Din aceast˘a dezvoltare putem calcula suma seriei nu∞ 1 merice care este convergent˘a . Intr-adev˘ar, funct¸ia f (t) este (2n 1)2 n=1 continu˘ a ˆın punctul t = 0 ¸si, conform criteriului lui Dirichlet, suma seriei Fourier ˆın punctul t = 0 este egal˘a cu f (0). Avem astfel



−

a

0 = f (0) =

− de unde

∞



n=1

1 (2n

−

1)2

=

π2 . 8

− b π + 2(a − b) ∞ 4

π



n=1 (2n

1

,

− 1)2

Exemplul 7.7. S˘a se dezvolte ˆın serie de sinusuri funct¸ia f (x) = definit˘a ˆın intervalul (0,l).

|x| x

156


Demonstrat¸ie. Prelungim funct¸ia f impar fat¸a˘ de srcine f (x) =

 −  1, 0,

dac˘a 0 < x < l dac˘a x = 0 1, dac˘a l < x < 0

−

Calcul˘am coeficient¸ii Fourier ai acestei funct¸ii periodice impare definite pe intervalul (-l,l): an = 0, n 0 bn =

2 l



l 0

∀ ≥ nπx 2 1 − (−1)n 1 · sin dx = · = l

Atunci f (x) =

4 π

π

n

∞



4 1 π 2n+1 ,

dac˘a n = 2k + 1 dac˘a n = 2k

0,



1 πx sin(2n + 1) . 2n + 1 l n=0

Exemplul 7.8. S˘a se dezvolte ˆın serie de cosinusuri funct¸ia f (x) =



sin x + cos x, dac˘a 0 < x sin x cos x, dac˘a π2 < x

−

≤ π2 ≤π

Demonstrat¸ie. Observ˘am c˘a

√2sin x + π4 √ π f2 (x) = sin x − cos x = 2sin x − 4

 

f1 (x) = sin x + cos x =

 

Deci f 1 (x) = f 2 x + π2 . De aceea dezvoltarea ˆın serie de cosinusuri a funct¸iei f coincide cu dezvoltarea ˆın serie de cosinusuri a funct¸iei f 1 definit˘a pe intervalul (0, π2 ). Prelungim funct¸ia f 1 par fat¸a˘ de srcine ¸si obt¸inem coeficient¸ii Fourier:

∀ ≥1

bn = 0, n a0 = an =

√

2

+

8 π



π

2

0

sin(x +

 − =

4 π

π

π

4 2 π 0

Atunci f (x) =

√ 2 2

π 4 )dx = 4 π

π 4 ( 1)n + 1 )cos2 nxdx = = 4 π 1 4n2

8 1 π 1 4n2 ,

0,

sin(x +

−

−

dac˘a n = 2k dac˘a n = 2k + 1

−

∞

cos4 nx . 1 16n2 n=1

Exemplul 7.9. S˘a se dezvolte funct¸ia f (x) = cos ax dup˘a sinusuri ˆın intervalul [0, π], a = 0.



157

7.1. SERII FOURIER

−

Demonstrat¸ie. Se prelunge¸ste prin imparitate ˆın intervalul ( π, 0). π π Avem b n = π2 0 cos ax sin nxdx = π1 0 [sin(a + n)x + sin(n a)x]dx Pentru a = n = bn = 0. 1 Pentru a = n = bn = 2n [1 ( 1)n cos aπ] π n2 −a2 Dac˘a a nu este natural, atunci



|| | | ||

⇒ ⇒



·

b2k−1 =

−

· −−

− − −

2(2k 1) (1 + cos aπ) π[(2k 1)2 a2 ]

¸si b2k = astfel c˘a cos ax = + π2 (1

2 π (1 +

− cos aπ)

∞

k=1

∞

k=1

−



cos aπ)



4k (1 π(4k2 a2 )

(2k

2k

2k − 1 − 1)2 − a2 sin(2k − 1)x+

− a2 sin2 kx

4k2

Dac˘a a = 2m, atunci b 2k−1 = cos2 mx =

∞

4 π

cos(2m

4(2k 1) ,b π[(2k 1)2 4m2 ] 2k

− − −

− 

1, atunci b 2k−1 = 0, b2k =

− 1)x = π8

= 0 ¸si

− 1 sin(2k 1)x, x [0, π]. − 1)2 − 4m2 − ∈ 8k 2k

k=1 (2k

Dac˘a a = 2m

− cos aπ), k ∈ IN

∞

k=1

4k 2

−

k (2m

π[4k2 (2m 1)2 ]

−

−

¸si

− 1)2 sin 2kx,x ∈ [0, π].

Exemplul 7.10. S˘a se dezvolte ˆın serie Fourier f (x) = 10 1 5

Demonstrat¸ie. a0 =

+

    1 5

an =

1 nπ

bn =

1 5

− nπ1



15 5 (10

15

(10 5 15

− x)dx = 0

1 nπx 15 − x)cos nπx dx = (10 − x)sin / + 5 nπ 5 5

sin

nπx dx = 0 5

(10

1 nπx 15 − x)sin nπx dx = − (10 − x)cos / − 5 nπ 5 5

cos

10 nπx dx = ( 1)n 5 nπ

5

15

5 15

5

Atunci f (x) =

− x ˆın (5, 15).

10 π

−

−

( 1)n

n 1

≥

1 nπx sin . n 5

158


Exemplul 7.11. S˘a se dezvolte ˆın serie Fourier funct¸ia f (x) = IR.

2

a = 0

π



0

dx

(s-a f˘acut schimbarea de variabil˘a tg Fie f (x) =

a0 2

+

∞



2

=

√3

2 + cos x x 2

pe

≥ 1.

Demonstrat¸ie. f e par˘a , deci b k = 0, k π

1 2+cos x

= t)

an cos nx (1)

n=1

Inmult¸im ambii membri ai egalit˘a¸tii (1) cu 2(2 + cos x) ¸si obt ¸inem: 2 = 2a0 + a0 cos x + 4

∞



∞



an cos nx +

n=1

⇒ 2 = 2a0 + a0 cos x + 4

= +

∞



∞



an cos nx+

n=1

an [cos(n + 1)x + cos(n

n=1

⇒

2an cos x cos nx =

n=1

− 1)x]

Funct¸ia g(x) = 2 poate fi considerat˘a ca o funct¸ie par˘a , deci dezvoltabil˘a ˆın serie Fourier de cosinusuri pe toat˘ a axa real˘a . Tinând seama de egalitatea a dou˘a serii Fourier obt¸inem: 2 = 2a0 + a1 0 = a 0 + 4a1 + a2 0 = 4ak + ak+1 + ak−1 (k = 1, 2,... ) Sirul a k este un ¸sir ce verific˘ a relat¸ia de recurent¸˘ a liniar˘a ak =

√ 2 3

−4ak−1 − ak−2 √

cu a 0 = √23 = 3 ¸si a 1 = 2 2a0 = 6−43 3 Ecuat¸ia caracteristic˘a ata¸sat˘ a este r 2 + 4r + 1 = 0 cu solut¸iile r1 = 2 + 3, r2 = 2 3. Atunci ak = c1 ( 2 3)k + c 2 ( 2 + 3)k , constantele c1 , c2 determinându-se din a 0 ¸si a 1 . Deci obt¸inem sistemul:

− √

−

− − √√ − −

√

−

c1 + c2 =

√

2 3 3

√ − − √3) + c2(−2 + √3) = 6 −34 3

c1 ( 2

159

7.1. SERII FOURIER

√

2 3 3 .

A¸sadar, c 1 = 0 ¸si c 2 =

Deci f (x) =

√3 3

+

√

2 3 3

·

∞

√3 − 2)k .

√

2 3 3 (

Obt¸inem a k de forma a k =

√ −  

2)n cos nx.

( 3

n=1

Exemplul 7.12. S˘a se calculeze:

n

lim n2

n

→∞

sin x dx. n3 + x3

0

Demonstrat¸ie. Facem schimbarea de variabil˘a x = nt ˆın integrala n 1 x nt bn = n 2 0 nsin ¸ obt¸inem b n = 0 sin dt. 3 +x3 dx si 1+t3 1 Funct ¸ia f (t) = 1+t3 e continu˘a pe [0,1] ¸si b n fiind coeficientul ei Fourier ¸si seria Fourier fiind convergent˘ a , rezult˘a b n 0, când n .



−→

−→ ∞

Exemplul 7.13. Fie f ¸si F dou˘a funct¸ii de p˘atrat integrabile definite pe [ π, π] ¸si ∞ a0 + (an cos nx + bn sin nx) f (x) = 2 n=1

−

  ∞

A0 F (x) = 2 + (An cos nx + Bn sin nx) n=1 seriile Fourier ata¸sate lor. S˘ a se arate c˘a 1 π



∞



π

a 0 A0 + (an An + bn Bn ). 2 n=1

f (x)F (x)dx =

−π

Demonstrat¸ie. Seriile Fourier ata¸sate funct¸iilor f + F ¸si f f (x) + F (x) =

f (x)

f

− F sunt

∞

 

a0 + A0 + [(an + An )cos nx + (bn + Bn )sin nx] 2 n=1

− F (x) = a0 −2 A0 +

∞

[(an

n=1

− An)cos nx + (bn − Bn)sin nx]

f ¸s¸iii Fdesunt funct ¸ii de p˘atrat integrabile, atunci ¸si f + F −Deoarece F sunt funct p˘atrat integrabile. Egalitatea lui Parseval ne conduce la: 1 π 1 π

 

π

−π [f (x) + F (x)] π π [f (x)

−

2

dx =

(a0 +A0 )2 2

+

∞

 

[(an + An )2 + (bn + Bn )2 ]

n=1

− F (x)]2dx = (a −2A ) 0

0

2

+

∞

[(an

n=1

Sc˘azând cele dou˘a egalit˘ a¸t i obt¸inem:

− An)2 + (bn − Bn)2]

¸si

160


4 π



⇒

∞

a 0 Ao f (x)F (x)dx = 4 + (an An + bn Bn ) = 2 −π n=1 π

1

⇒π

=

7.2

  

π



a 0 A0

−π f (x)F (x)dx =

2

∞

+ n=1(an An + bn Bn )

Integrala Fourier

In aceast˘a sect¸iune vom prezenta ˆın liniile esent¸iale considerat¸iile remarcabile, de¸si lipsite de rigurozitate, care au condus pe Fourier la formula sa integral˘ a . Vom demonstra form ula inte gralei Fourier ca un caz limit ˘a al seriei Fourier. Parametrul m ce lua valori naturale va fi ˆınlocuit aici cu un parametru z variind continuu, iar seria infinit˘a va devini o integral˘a . Dac˘a funct¸ia f este dat˘a ˆın intervalul [ l, l], ea poate fi reprezentat˘a , ˆın anumite condit¸ii care nu ne intereseaz˘a aici, ˆın acest interval, prin seria trigonometric˘ a

−



∞ a cos mπx + b sin mπx , 0 f (x) = a + m m 2 l l m=1 unde am =

1 l

¸si bm = Atunci putem scrie f (x) =

1 2l



 

1 l

l

l

f (u)sin

−l

l

f (u)du +

−l

mπu du, m = 0, 1, 2,... l

f (u)cos

−l

mπu du, m = 1, 2,... l

 ∞

1 l m=1

l

f (u)cos

−l

mπ (u l

− x)du.

(7.15)

Presupunem acum c˘a funct¸ia f este definit˘a ˆın tot intervalul ( , ). In acest caz, oricare ar fi x, valoarea corespunz˘atoare a lui f se exprim˘a prin dezvoltarea (7.15), pentru orice l > x . Trecând aici la limit˘a când l , vom ˆıncerca s˘ a stabilim forma limit˘a a acestei dezvolt˘ari. Primul termen al membrului drept al egalit˘ at¸ii (7.15) este natural s˘ a se considere c˘a tinde c˘atre 0 (lucru evide nt, dac˘a se presupune c˘a inte∞ grala −∞ f (u)du este convergent˘a ). In seria infinit˘a putem privi mπu l mπ drept valori discrete z1 = πl , z2 = 2π ale unei varil ,...,z m = l ,... abile oarecare z, variind continuu de la 0 la . In acest caz, cre¸sterea

−∞ ∞ −→ ∞

||



∞

161

7.2. INTEGRALA FOURIER

− zm∞= πl tinde c˘atre 0 când l −→ ∞. Cu aceste notat¸ii sel ria se transcrie π1 ∆zm−1 f (u)cos zm (u − x)du. Ea aminte¸ste de suma −l m=1 ∞ Riemann a funct¸iei π1 −∞ f (u)cos z(u − x)du de variabil˘a z ˆın intervalul [0, ]. Trecând la limit˘a când l , ˆın locul seriei obt¸inem o integral˘a ¸si astfel ∞ a jungem la formula integral˘ −→ ∞a a lui Fourier ∞ 1 ∞ f (x) = dz f (u)cos z(u − x)du. (7.16) π ∆zm = zm+1

 

   0

−∞

Dezvoltˆ and cosinusul diferent¸ei obt¸inem

∞

f (x) =

[a(z)cos zx + b(z)sin zx]dz,

0





∞

∞

unde a(z) = π1 −∞ f (u)cos zudu, b(z) = π1 −∞ f (u)sin zudu. Coeficient¸ii a(z) ¸si b(z) amintesc prin structura lor de coeficient¸ii Fourier. Toate aceste considerat¸ii au numai un caracter de induct ¸ie, condit¸iile reale de valabilitate a formulei lui Fourier vor fi stabilite, urmând principalele etape ale rat¸ionamentelor ˆın leg˘ atur˘a cu seriile Fourier. Presupunem c˘ a funct¸ia f este absolut integrabil˘a ˆın intervalul ( , )

−∞ ∞

¸si consider˘ am integrala 1 π

J (A) =

 

∞

A

dz

0

f (u)cos z(u

−∞

− x0)du,

unde A este un num˘ar pozitiv arbitrar, iar x 0 o valoare oarecare fixat˘a a lui x. Aceast˘a integral˘a reprezint˘a un analog al sumei part¸iale a seriei Fourier; integrala Fourier 1 π

  ∞

∞

dz

0

f (u)cos z(u

−∞

−→ ∞

− x0)du

(7.17)

se obt¸ine când A . Cum f este absolut integrabil˘a ¸si pe [ B, B], B > 0, schimb˘am ordinea de intregare ¸si obt¸inem A

B

   dz

0

B

f (u)cos z(u

−B

− x0)du =

A

f (u)du

−B

−

cos z(u 0

− x0)dz =



B

f (u)

−B

−

sin A(u x0 ) du u x0

−

(7.18)

Dar



∞ −∞

f (u)cos z(u

 

− x0)du ≤

∞

|f (u)cos z(u − x0)|du ≤ −∞



∞ −∞

|f (u)|du,

162


 | |  −→ ∞  ∞

−

deci integrala −∞ f (u)cos z(u x0 )du este majorat˘a de integrala conver∞ gent˘ a −∞ f (u) du si ¸ prin urmare este uniform convergent˘ a ˆın raport cu z. B

− −

−→ ∞

A¸sadar, integrala −B f (u)cos z(u x0 )du ˆın care B , va tinde uniform ∞ c˘atre limita sa −∞ f (u)cos z(u x0 )du. De aceea, trecând la limit˘a cˆ and B ˆın egalitatea (7.16), se poate efectua ˆın prima integral˘ a trecerea la limit˘a sub semnul integral ¸si obt¸inem J (A) =

1 π

 

∞

f (u)

−∞

−

sin A(u x0 ) du u x0

−

Integrala se poate aduce la forma



1 π

∞

sin At dt = t ∞ 1 sin At [f (x0 + t) + f (x0 t)] dt π 0 t

J (A) =

f (x0 + t)

−∞

(7.19)

−

Avem un rezultat analog Lemei 7.1 :

Lema 7.3. Dac˘ a g este absolut integrabil˘ a ˆın intervalul [a,

∞), atunci

∞ plim

 

→∞

¸si lim

p

→∞

g(t)sin ptdt = 0

a

∞

g(t)cos ptdt = 0.

a

Inmult¸im ambii membri ai egalit˘a¸tii 1=

2 π



∞ sin At 0

t

dt

cu num˘arul S0 , valoarea presupus˘a a integralei (7.17), ¸si sc˘adem rezultatul membru cu membru din egalitatea (7.19) ¸si obt¸inem J (A)

− S0 = π1



∞ 0

[f (x0 + t) + f (x0

− t) − 2S0] sintAt dt

(7.20)

Dac˘a funct¸ia f este continu˘a ˆın punctul x0 , atunci S0 = f (x0 ), iar dac˘a f (x0 −t) are ˆın x 0 dicontinuitate de prima spet¸˘ a , atunci S 0 = f (x0 +t)+f . 2

Criteriul 7.5. (Criteriul lui Dini) Integrala Fourier a funct¸iei f ˆın punctul x 0 este convergent˘ a ¸si are valoarea S 0 , dac˘a pentru h > 0 oarecare, integrala h f (x0 + t) + f (x0 t) 2S0 dt t 0 este convergent˘ a.



|

− − |

163

7.2. INTEGRALA FOURIER

Scriem integrala (7.20) sub forma 1 π



∞

− −

[f (x0 +t)+f (x0 t) 2S0 ]

0

1 +π

sin At 1 dt = t π



h

− −

[f (x0 +t)+f (x0 t) 2S0 ] 0

∞

sin At dt+ t

sin At

− t) − 2S0] t dt. Prima integral˘ a tinde c˘atre 0 când A −→ ∞ conform Lemei 7.1. Cea de-a



[f (x0 + t) + f (x0

h

doua integral˘a o descompunem astfel 1 π =

1 π





∞

[f (x0 + t) + f (x0

h

∞ f (x0 + t) + f (x0 − t) t

h

− t) − 2S0] sintAt dt = sin Atdt

− π2 S0



∞ sin At h

t

dt.

(x0 −t) Cum funct¸ia f este absolut integrabil˘a , atunci f (x0 +t)+f este absolut t ∞ f (x0 +t)+f (x0 −t) integrabil˘ a ¸si conform Lemei 7.3, integrala h sin Atdt tinde t ∞ ∞ câtre 0 când A . Integrala h sintAt dt = Ah sinz z dz tinde câtre 0, din definit¸ia integralei improprii. De aici putem obt¸ine ca ¸si ˆın cazul seriilor Fourier criterii mai simple:





−→ ∞

Criteriul 7.6. (Criteriul lui Dirichlet-Jordan) Integrala Fourier a funct¸iei f ıˆn punctul x0 este convergent˘a ¸si are valoarea S0 , dac˘a ˆıntr-un interval oarecare [x0 h, x0 + h], funct¸ia f are variat¸ie m˘ arginit˘ a.

−

Demonstrat¸ie. Dac˘a scriem integrala J (A) = ca sum˘a de dou˘a integrale 1 π



h



∞



∞ [f (x

0

0 +t)+f (x0

−t)] sintAt dt

− t)] sintAt dt, am stabilit anterior c˘a cea de-a doua integral˘a tinde câtre 0 când A −→ ∞. Prima integral˘ a tinde c˘atre π1 · π2 [f (x0 +0)+ f (x0 − 0)] = S 0 conform Lemei 7.2. Intr-adev˘ar, funct¸ia f (x0 + t) + f (x0 − t) are ˆın intervalul [0, h] variat¸ie [f (x0 + t) + f (x0

0

− t)] sintAt dt + 1π

1 π

[f (x0 + t) + f (x0

h

m˘arginit˘a , deci ea se reprezint˘ a ca diferent¸a a dou˘a funct¸ii cresc˘atoare, fiec˘areia aplicându-i-se separat Lema 7.2. Având ˆın vedere c˘ a integrala interioar˘a din (7.17) este o funct¸ie par˘a de variabil˘ a z , aceast˘a formul˘a se poate transcrie astfel : f (x) =

1 2π

  ∞

−∞

dz

∞ −∞

f (u)cos z(u

− x)du.

(7.21)

Capitolul 8

Transformarea Fourier 8.1

Transformarea Fourier a funct¸iilor integrabile pe IR

In cele ce urmeaz˘a se va nota cu L1 (IR) mult ¸imea funct¸iilor f : IR C ∞ pentru care −∞ f (t) dt < Definit ¸ia 8.1. Se nume¸ste transformarea Fouriera funct¸iei f L1 (IR) o funct¸ie [f ]: IR C definit˘a prin



F

| |

→

∞

→

∈

F [f ](ω) =



∞

f (t)e−iωt dt

(8.1)

−∞

F

Funct¸ia [f ](ω) se mai nume¸ste funct¸ia spectral˘ a sau spectrul (ˆın frecvent ¸˘ a) al semnalului f (t); prin transformarea Fourier semnalelor ˆın timp le corespund spectrele lor. Dac˘a f este o funct¸ie par˘a , atunci (8.1) se scrie sub forma:

F [f ](ω) = 2



∞

f (t)cos

tdt,

0

∈ IR

(8.2)

¸si se nume¸ste transformarea Fourier prin cosinus a funct¸iei f , iar dac˘a f este impar˘a , atunci:

∞

F [f ](w) = −2i

f (t)sin

0



t,

∈ IR

(8.3)

¸si se nume¸ste transformarea Fourier prin sinus a funct¸iei f .

→

Teorema 8.1. (formula Fourier de inversare) Fie f : IR IR o funct¸ie ∞ din L1 (IR). Notând cu [f ](ω) = −∞ f (t)e−iωt dt transformata Fourier a ∞ lui f s¸i presupunând c˘a −∞ [f ](ω) < , rezult˘ a

F

f (t) =

1 2π





∞

−∞

|F



| ∞

F [f ](ω)eitω dω, 164

pentru orice t

∈ IR

(8.4)

˘ ¸ ILE TRANSFORMARII ˘ 8.2. PROPRIETAT FOURIER

8.2

165

Propriet˘ a¸tile transform˘ arii Fourier

↔ F (ω), g(t) ↔ G(ω) , iar α, β ∈ C, atunci αf (t) + βg(t) ↔ αF (ω) + βG(ω). 2. (Simetria) Dac˘a f (t) ↔ F (ω), atunci F (t) ↔ 2πf (−ω). 3. (Schimbarea de scal˘ a) Pentru α ∈ C ¸si f (t) ↔ F (ω) avem 1 ω f (αt) ↔ |α| F ( α ). 1. (Liniaritatea) Dac˘a f (t)

Exemplul 8.1. S˘a se calculeze transformata Fourier a funct¸iei f (t) = e −a|t| , a > 0. Demonstrat¸ie. Avem F (ω) =

∞

=2



0



e−t cos

∞

e−|t| e−iωt dt =

−∞ ∞

tdt=





∞

e−|t| (cos ωt

−∞

 ω a

=

4. (Translat ¸ia timpului) Dac˘a f (t)

+

− iω − 1

Conform schimb˘arii de scal˘a obt¸inem :

f (t

1

e−t (eiωt +e−iωt )dt =

0

F [f ](ω) = a1 F

− isin ωt)dt =

2 2 a( ωa2

+ 1)

=

1 iω + 1

2

= ω2

2a ω 2 + a2

↔ F (ω) ¸si t 0 ∈ IR, atunci

− t0) ↔ F (ω)e−it ω . 0

Exemplul 8.2. S˘a se calculeze transformata Fourier a funct¸iei f (t) = e −7|t+4| , a > 0. Demonstrat¸ie. Conform teoremei de translat¸ie a timpului ¸si exemplului 8.1 avem: 14e4iω F (ω) = 2 ω + 49

↔ F (ω) ¸si ω 0 ∈ IR, atunci eiω t f (t) ↔ F (ω − ω0 ).

¸ia frecvent ¸ei) Dac˘a f (t) 5. (Translat 0

+1

.

166

CAPITOLUL 8. TRANSFORMAREA FOURIER

6. (Derivarea ıˆn raport cu timpul) Dac˘a f (t) n ori derivabil˘a, atunci ddtnf (iω)n F (ω).

↔

↔ F (ω) ¸si f este de n

7. (Derivarea ˆ ın raport cu frecvent¸a) n f (t)

Dac˘a funct¸iile f (t), tf (t),... t f (t)

↔ F (ω), atunci ( it)n f (t)

−

sunt integrabile pe IR, iar n

↔ d dωF (ω) . n

Exemplul 8.3. S˘a se calculeze transformata Fourier a funct¸iei 2 f (t) = te−αt , α > 0. Demonstrat¸ie. Calcul˘am transformata Fourier a semnalului gaussian 2

f1 (t) = e −t . F1 (ω) = =2



∞



∞

2

e−t e−iωt dt =

−∞ 2 e−t cos



∞

2

e−t cos

−∞

⇒ F1 (ω) =

tdt=

0

 −

−

tdt i

∞

2



∞

2

e−t sin

−∞

2

e−t t sin

tdt=

0

tdt=

− 12 ωF1(ω)

(s-a integrat prin p˘art¸i) S-a obt¸inut o ecuat¸ie cu variabile separabile a c˘arei solut¸ie este: F1 (ω) = ce− c = F 1 (0) = 2

Scriem e −αt = e −(



∞

2

e−t dt =

−∞

√αt)2

ω2

4

√π =⇒ F (ω) = √πe− 1

ω2

4

¸si folosind schimbarea de scal˘ a obt¸inem:

 

F [e−αt ](ω) = √1α F1 √ωα 2

=

√1α √πe−

ω2 4α

Conform teoremei de derivare ˆın raport cu frecvent¸a avem:

F [f ](ω) = i

π α

− 2αω

 

ω2

e − 4α =

− 2i

π − ω2 ωe 4α α3



8. (Transformata complex conjugatei)Dac˘a f ∗ (t) este complex conjugata funct¸iei f ¸si f (t) F (ω), atunci f ∗ (t) F ∗ ( ω).

↔

↔

−

↔

↔

9. (Teorema de convolut¸ie ˆın timp) Dac˘a f (t) F (ω) ¸si g(t) ∞ G(ω), iar h(t) = f g(t) = −∞ f (τ )g(t τ )dτ este produsul de convolut¸ie al funct¸iilor f ¸si g, atunci f g(t) F (ω)G(ω).

∗



− ∗ ↔

˘ ¸ ILE TRANSFORMARII ˘ 8.2. PROPRIETAT FOURIER

167

10. (Teorema de convolut¸ie ˆın frecvent ¸a) In condit¸iile propriet˘a¸t ii ∞ 1 precedente avem f (t)g(t) y)dy. 2π −∞ F (y)G(ω



↔

↔ |

−

11. Dac˘a f (t) F (ω), atunci F este uniform continu˘a pe IR ¸si, ˆın plus, lim F (ω) = 0.

| |ω|→∞

12. Dac˘a fn : IR funct¸ia f : IR

→ IR, n ∈ IN∗ este un ¸sir de funct¸ii convergent c˘atre → IR, ˆın spat¸iul L 1(IR), adic˘a



∞ →∞ −∞ |fn (t) − f (t)|dt = 0,

lim

n

↔

↔

iar fn (t) Fn (ω), f (t) F (ω), atunci ¸sirul Fn converge c˘atre F uniform pe IR, adic˘a lim sup Fn (ω) F (ω) = 0.

→∞ω∈IR|

−

n

|

Exemplul 8.4. S˘a se calculeze transformata Fourier a funct ¸iei



qT (t) =

− |Tt| ,

1 0,

adc˘a ac˘ad

|t| ≤ T |t| > T

(impulsul triunghiular de lungime 2 T )

Demonstrat¸ie. Cum q T e funct¸ie par˘a , atunci

 −  T

F (ω) = 2 =2



1 Tω

t T

1

0 T

sin

tdt=

cos

2(1

tdt= 2



T 0

sin ωt dt = Tω

− cos ωT ) = 4sin 2 T2ω T ω2

0

T ω2

(integrala s-a rezolvat prin p˘art¸i)

Exemplul 8.5. S˘a se calculeze transformata Fourier a funct ¸iei sin t (sinusul cardinal) . t

sin c(t) =

Demonstrat¸ie. Cum sin c(t) e funct¸ie par˘a avem

∞ sin t

F (ω) = 2



cos

0 t π = [sgn (1 + ω) + sgn (1 2

(am folosit relat¸ia



t



0

t

− ω)]

∞ sin at dt =

0

∞ sin t(1 + ω) + sin t(1 − ω)

tdt=

π 2 sgn a)

Exemplul 8.6. S˘a se rezolve ecuat¸ia integral˘a :



∞ 0

y(t)cos txdt =

1 . x2 + 1

dt =

168


Demonstrat¸ie. Prelungim y(t) prin paritate la (



Cum



∞

y(t)cos txdt =

−∞ ∞ y(t)sin txdt = 0 avem: −∞ 1 ∞ 2



y(t)eitx dt =

−∞ 1 π

Inmult¸im aceast˘a egalitate cu c˘a y (t) =

  F 1 π(x2 +1)

−∞, ∞) ¸si obt¸inem:

2 x2 + 1

1 2 2 x2 + 1

s¸i conform formulei de inversare obt¸inem

(t), adic˘a y (t) =

1 π



∞ 1 −itx −∞ x2 +1 e dx

Rezolv˘am integrala cu teorema reziduurilor ¸si avem: y(t) = e −|t| Utilizând definit¸ia transform˘arii Fourier ¸si propriet˘a¸tile precedente se pot deduce transformatele Fourier ale unor funct ¸ii remarcabile, pe care le d˘am ˆın tabelul 8.1. Tabelul 8.1 f (t)

Nr. 1

h(t + t0 )

− h(t − t0), t0 > 0

ω0 Sa (ω0 t), ω0 > 0 π

2

h(t)

3

− h(t0), t0 > 0

4

e−ω0 t , ω0 > 0

5

−h(t + t0) + 2h(t) − h(t − t0), t0 > 0

6

e−ω0 t h(t), ω0 > 0 e−ω0 |t| sgn t, ω0 > 0

7 8 9

 − | | 1

t t0

F [f ](ω)

− −

(h(t+t0 ) h(t t0 )), t0 > 0 2 2

e−ω0 t , ω0 > 0

2t0 Sa (ωt0 )

−

− ω0)

h(ω + ω0 ) h(ω t0 Sa (ωt 0 )+

 

1 2 2 ωt S 2i 0 a

ωt0 2

2ω0 ω02 + ω 2 1 2 2 ωt S i 0 a ω0 2 ω0

2

+

  ωt 0 2

1

ω 2 ω0 +

+ω i 2 ω i ω02 + ω 2 t0 Sa2

√π ω0

  ωt 0 2

e−ω

2 /4ω 2 0

2

ω

169

8.3. DISTRIBUT ¸ II

a) Funct¸ia lui Heaviside h : IR

→ IR

h(t) =



0, dac˘a t < 0 1, dac˘a t 0

≥

→

b) Funct¸ia ”sinus atenuat” S a : IR Sa (t) = c) Funct¸ia semn sgn : IR

→ IR

sgn t =

8.3

Distribut¸ii

IR

sin t t ,

1,



dac˘a t = 0 dac˘a t = 0

 − 

1, dac˘a t < 0 0, dac˘a t = 0 1, dac˘a t > 0

Definit ¸ia 8.2. Se nume¸ste funct¸ie test o funct¸ie ϕ : IR derivabil˘ a ¸si nul˘ a ˆın afara unui interval compact.

D

→ IR indefinit

Not˘am cu mult¸imea funct¸iilor test. Exemplul 8.7. Funct ¸ia ϕ : IR IR ϕε (x) =



→ exp(− ε ε−x ), 2

2

0,

2

|| | |≥

pentru x < ε pentru x ε

definit˘a pentru orice ε > 0 este o funct¸ie test. Definit ¸ia 8.3. Spunem c˘a ¸sirul (ϕn )n≥1 de funct¸ii test converge c˘ atre zero, dac˘a acest ¸sir se anuleaz˘ a ˆın afara unui compact (acela¸si pentru toate) ¸si dac˘ a el converge uniform c˘atre zero ˆımpreun˘ a cu ¸sirul derivatelor de orice ordin. Definit ¸ia 8.4. Se nume¸ste distribut¸ie o aplicat¸ie liniar˘a f : IR cu proprietatea c˘a dac˘a un ¸sir de funct¸ii test ( ϕn )n≥1 converge c˘atre zero, atunci lim f (ϕn ) = 0.

D→

n

→∞

Mult¸imea distribut¸iilor pe

.

se noteaz˘a

D

D

Un spat¸iu de distribut¸ii cu valori reale este un spat¸iu vectorial peste IR dac˘a se definesc operat¸iile: 1. (adunarea) Fiind date distribut¸iile f ¸si g se define¸ste distribut¸ia sum˘a f + g prin relat¸ia: (f + g)(ϕ) = f (ϕ) + g(ϕ) pentru orice funct¸ie test ϕ.

170


∈ IR, distribut¸ia

2. (ˆ ınmult¸irea cu scalari) Fiind dat˘a distribut¸ia f ¸si α αf se define¸ste prin relat¸ia: (αf )(ϕ) = f (αϕ) = αf (ϕ) pentru orice funct¸ie test ϕ.

Exemplul 8.8. Distribut¸ia Dirac ˆın punctul a este funct¸ionala δa : IR, δa (ϕ) = ϕ(a). Dac˘a a = 0, atunci se scrie simplu δ ın ˆ loc de δ 0 .

D→

∀

∈ D ¸si ∀λ, µ ∈ IR,

Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia δa este IR-liniar˘ a , deoarece ϕ, ψ

δa (λϕ + µψ) = λϕ(a) + µψ(a) = λδa (ϕ) + µδa (ψ).

−→

D

⊂

Dac˘a ϕn 0 (ˆın ), atunci exist˘a un interval m˘arginit I IR astfel ˆıncât toate ϕn se anuleaz˘a ˆın afar˘ a lui I , ϕn converg uniform (ˆımpreun˘a cu toate derivatele) c˘atre 0 pentru n . Dac˘a a I rezult˘a c˘a ϕn (a) 0, adic˘a δa (ϕn ) 0, iar dac˘a a nu apart¸ine lui I , atunci ϕ n (a) = 0 ¸si δ a (ϕn ) 0.

−→ ∞ −→

∈

−→

−→

Exemplul 8.9. Distribut¸ia lui O. Heaviside H:

D → IR, ϕ − →



0

∞ ϕ(x)dx

Demonstrat¸ie. Evident H este IR-liniar˘ a. Dac˘a ϕ n 0 (ˆın ), atunci ¸sirul (ϕn )n≥1 converge uniform c˘atre 0 pe un interval compact I ˆın afara c˘aruia funct¸iile ϕ n se anuleaz˘a , deci

−→

D

lim H (ϕn ) = lim

n

n

→∞

→∞



ϕn (x)dx = I



lim ϕn (x)dx =

In

→∞



0dx = 0. I

Exemplul 8.10. Distribut¸ia f = V P 1t , numit˘a valoarea principal˘ a a lui 1t definit˘a prin f (ϕ) = v.p.



∞ −∞

1 ϕ(t)dt = lim ε→0,ε>0 t



    −  − 

−ε ϕ(t) −∞

t

∞ ϕ(t)

dt +

t

ε

dt , pentru orice ϕ

Demonstrat¸ie. Deoarece ϕ este nul˘a ˆım afara unui interval [ R, R], iar

ε

lim

→0,ε>0



−ε ϕ(0) −R

t

R

dt +

rezult˘ a c˘a f (ϕ) =

ε

lim

→0,ε>0



−ε ϕ(t) − ϕ(0) −R

t

ε

ϕ(0) dt t

R

dt +

ε

=0

ϕ(t)

ϕ(0)

t

dt

(8.5)

∈ D.

171


→ IR este o funct¸ie de clas˘a Ck , k ≥ 1, funct¸ia u(x)−u(0) 0 , dac˘a x = v(x) =  x

In general, dac˘a u : IR



u (0),

k

C

1 x

dac˘a x = 0

x

1





= 0 u|v(x) (xτ )dτ ∈ 0[−uR,(t)dt R] avem | ≤. Inx∈plus, sup pentru |u(x)|. [−R,R] Folosind aceast˘a observat¸ie, deoarece ϕ ∈ D , rezult˘a c˘a funct¸ia ϕ(t)−ϕ(0) 0 , dac˘a t = ψ(t) =  x este de fapt orice v(x) = oricedeRclas˘ > a0 ¸si ; pentru x



ϕ (0),

|

dac˘a t = 0

|≤

∈ −

este continu˘ a ¸si satisface condit¸ia ψ(t) M pentru orice t [ R, R], −ε R unde M = sup ϕ (t) . Atunci −R ψ(t)dt + ε ψ(t)dt 2RM si ¸ limita t [ R,R]

∈−

|

|

 ≤



(8.5) exist˘a ¸si define¸ste un num˘ ar real f (ϕ) bine det erminat. Asocierea R ϕ f (ϕ) = v.p. −R ψ(t)dt dat˘a de (8.5) este evident liniar˘ a . In plus, dac˘a ϕn 0 (ˆın ), atunci toate ϕn sunt nuleˆın afara unui interval [ R, R] ¸si avem f (ϕn ) 2RMn , unde M n = sup ϕn (t) . Dar ϕ n 0 uniform



−→

−→ D | |≤

∈−

t [ R,R]

−

|

|

−→

−

−→

→∞f (ϕn ) = 0. A¸sadar, funct¸ionala pe [ R, 1R], deci Mn 0 s¸i atunci nlim f = V P t este o distribut¸ie.

→

Definit¸ia 8.5. O funct¸ie f : IR a dac˘a C se nume¸ste local integrabil˘ este m˘arginit˘a ¸si integrabil˘ a pe orice compact. Mult¸imea acestor funct¸ii se noteaz˘a cu L 1loc . In exemplul urm˘ator vom da un procedeu de fabricare a distribut ¸iilor. Exemplul 8.11. Fie u : IR IR o funct ¸ie local integrabil˘a . Pentru orice funct¸ie test ϕ lu˘am

→

∈D

u(ϕ) =



∞

u(x)ϕ(x)dx.

−∞

Atunci u este o distribut¸ie. O distribut¸ie definit˘a ˆın acest fel este numit˘ a distribut ¸ie regulat˘ a (asociat˘a funct¸iei local integrabile u) (sau de tip funct¸ie).

Demonstrat¸ie. Deoarece ϕ este continu˘a ¸si se anuleaz˘ a ˆın afara unui interval compact J , integrala se calculeaz˘a de fapt pe J . Obt¸inem astfel o aplicat¸ie IR-liniar˘ a u: IR asociat˘a funct¸iei u. Dac˘a ϕn 0 (ˆın ), atunci ϕn = 0 ıˆn afara unui interval compact I ¸si ϕ n 0 converge uniform pe I , deci

D→

lim u(ϕn ) = lim

n

→∞

−→

−→

n



∞

→∞ −∞

u(x)ϕn (x)dx = lim n

→∞



D

u(x)ϕn (x)dx = I

172


=



u(x) lim ϕn (x)dx = n

I

→∞

Deci u este o distribut¸ie.



·

u(x) 0dx = 0. I

Definit ¸ia 8.6. O distribut¸ie care nu este regulat˘a este numit˘a singular˘ a. Observat ¸ia 8.1. Distribut¸ia δ a lui Dirac este singular˘a . Demonstrat¸ie. Presupunem c˘a δ ar fi o distribut ¸ie regulat˘a asociat˘a unei funct¸ii u L1loc . Deci δ = u, adic˘a

∈

δ(ϕ) = u(ϕ) = ϕ(0) = Fie ϕn (x) =





− n2 xε22 −1 ,

∞

∀ ∈D

u(x)ϕ(x)dx, ( )ϕ

−∞

 

∈ − n1 , n1

cn e

pentru x ˆın rest

0,

≥1



∞ −∞ ϕn (x)dx = 1, 1 cn e = −1 u(x)ϕn (x)dx, M = sup |u(x)|, deci t∈[−1,1]

unde cn sunt constante care pot fi alese astfel ˆıncât



,n

∞ −∞ u(x)ϕn (x)dx, adic˘a

≥ 1. Rezult˘a ϕn(0) = ∀ ≥ 1. Cum u este m˘arginit˘a pe [ −1, 1], fie 1 c e ≤ M −1 ϕn (x)dx = M . Ar rezulta c n ≤ M e, dar nlim cn = ∞, deoarece − − ≤ 1 , deci →∞ pentru orice x ∈ − n1 , n1 avem e e n n n

    

1=

∞

ϕn (x)dx =

−∞

adic˘a c n

≥

ε2 n2 x2

1 n

1

cn e

−n

1

− n2 xε22 −1 dx ≤ c

n



1 n

1

−n

1 2cn dx = , e ne

ne 2.

Alte operat¸ii cu distribut¸ii mai sunt : 1. (produsul cu o funct¸ie din C ∞ (IR)) Dac˘a f este o distribut¸ie ¸si a C ∞ (IR), atunci af este distribut¸ia definit˘a prin:

∈

·

(a f )(ϕ) = f (aϕ) pentru orice funct¸ie test ϕ. 2. (derivarea distribut¸iilor) Pentru orice distribut¸ie f derivatele f  , f  ,...,f (n) ,... (care sunt distribut¸ii) prin f  (ϕ) =

−f (ϕ), f  (ϕ) = f ϕ ),...,f pentru orice n ≥ 1 ¸si ϕ ∈ D .

se definesc

∈ D (n) (ϕ) = ( −1)n f (ϕ(n) )

A¸sadar, orice distribut¸ie este indefinit derivabil˘a .

Exemplul 8.12. Derivata distribut¸iei Heaviside este distribut¸ia δ a lui Dirac : H  = δ .

173


Demonstrat¸ie. Ar˘ at˘am c˘a H  (ϕ) = δ (ϕ), adic˘a

−H (ϕ) = −



∞

H (x)ϕ (x)dx =

−∞ deci rezult˘a c˘a H  = δ .

−



∞

−H (ϕ) = δ (ϕ). Dar

ϕ (x)dx =

0

Exemplul 8.13. S˘a se arate c˘a dac˘a α

−ϕ(x)|∞0 = ϕ(0) = δ (ϕ),

∈ C ∞(IR), atunci

(αδ ) = α(0)δ  .

∈ D. Ar˘at˘am (αδ)(ϕ) = α(0)δ(ϕ) : (αδ ) (ϕ) = −(αδ )(ϕ ) = −δ (αϕ ) = −(αϕ )(0) = = −α(0)ϕ (0) = α(0)(−δ (ϕ )) = α(0)δ  (ϕ)

Demonstrat¸ie. Fie ϕ

Exemplul 8.14. S˘a se calculeze αH  , unde α(x) = x 2 . Demonstrat¸ie. Conform formulei Leibniz-Newton avem: (x2 H ) = C20 H 2 + C21 H  2x + C20 H  x2 = 2H + 4δx + δ  x2 = 2H,

·

·

·

deoarece : (4xδ )(ϕ) = δ (4xϕ) = (4 xϕ)(0) = 0 (δ  x2 )(ϕ) = δ  (x2 ϕ) = −δ((x2 ϕ) ) = −δ (2xϕ + x2 ϕ ) = = −[(2xϕ)(0) + (x2 ϕ )(0)] = 0 , pentru ϕ

∈D

Exemplul 8.15. S˘a se calculeze urm˘atoarele derivate distribut¸ionale: a) sgn x ; b) x  ;

||

c) x sin x(3)

||

Demonstrat¸ie. a)sgn x (ϕ) = +



0

−∞

−sgn x(ϕ ) = −

ϕ (x)dx =

∀ ∈D

= 2δ (ϕ), ϕ



∞ −∞

sgn x ϕ (x)dx =

·

−



∞

ϕ (x)dx+

0

−ϕ(x)/∞0 + ϕ(x)/0−∞ = ϕ(0) + ϕ(0) = 2 ϕ(0) =

174


||

·

b) Putem scrie x = x sgn x

|x| = (x · sgn x) = (x · sgn x) = C10sgn x · x + C11sgn x · x = = sgn x + sgn x · x = sgn x + 2xδ = sgn x C30 x cos x + C31 x  ( sin x)+

c) x sin x(3) = (sin x x )(3) =

|||| · ·|| || · − −|| x| |· cos x − 3sin| x| · sgn − x+  + 6δ · cos x + (2δ) · sin x = −|x| cos x − 3sin x · sgn x + 4δ + C32 x  cos x + C33 x  sin x =

∈ IR fixat, f : IR → IR o funct¸ie continu˘a pe −∞, a) ¸si pe (a, ∞). Fie sa = f (a + 0) − f (a − 0)

Exemplul 8.16. Fie a port¸iuni, de clas˘a 1 pe (

C

saltul lui f ıˆn punctul a. S˘a se arate c˘a (f ) = f  + sa δa .

Demonstrat¸ie. (f ) (ϕ) =

∀ ϕ ∈ D,

−f (ϕ) = −

a



∞

f (x)ϕ (x)dx =

−∞

∞  = − −∞ f (x)ϕ (x)dx + a f (x)ϕ (x)dx = a ∞ = −f ϕ/a−∞ − f  ϕ + f ϕ/∞ f ϕ = a − −∞ a ∞ ∞ = −f (a − 0)ϕ(a) + f (a + 0)ϕ(a) + f  ϕ = sa ϕ(a) + f ϕ = −∞ −∞ = sa δa (ϕ) + f  (ϕ)

 

   



 se anuleaz˘a pe Definit ¸ia 8.7. Se spune c˘a o distribut¸ie f un deschis U IR dac˘ a f (ϕ) = 0 pentru orice funct ¸ie test ϕ care se anuleaz˘a ˆın afara lui U . Suportul lui f este mult¸imea ˆınchis˘ a Suppf =complementara celui mai mare deschis pe care f se anuleaz˘a .

∈D

⊂

3. (produsul de convolut¸ie) Fie f, g

∈D

∈ D dou˘a distribut¸ii, una având

suport compact Suppf K este deschis compact). o funct¸ie test α (de : IR exemplu, IR egal˘ a cu 1=ˆıntr-un care Alegem cont¸ine K . Atunci convolut ¸ia h = f g este o distribut¸ie definit˘a prin h(ϕ) = f (ψ), unde ψ este funct¸ia definit˘a prin aplicarea distribut¸iei g pe funct¸ia y α(y)ϕ(x + y), adic˘a ψ (x) = g(y)(α(y)(ϕ(x + y))).

→

∗

−→

Propriet˘ a¸t i ale produsului de convolut¸ie a) f b) f

∗ g = g ∗ f pentru f , g distribut¸ii ∗ δ = δ ∗ f = f pentru f distribut¸ie

175

8.4. TRANSFORMAREA FOURIER A DISTRIBUT ¸ IILOR



∀ ∈D ·

Demonstrat¸ie. Cum δ are suport compact K = 0 rezult˘ a c˘a ϕ , (f δ )(ϕ) = f (ψ), unde ψ(x) = δ (y)(α(y) ϕ(x + y)) = α(0) ϕ(x) = ϕ(x), deci ( f δ )(ϕ) = f (ϕ), adic˘a f δ = f .

∗

∗

∗

c) f (m) g = (f

∗

·

∗ g)(m) = f ∗ g(m), ∀m ≥ 1 pentru f , g distribut¸ii

Demonstrat¸ie. Demonstr˘am prin induct¸ie ¸si e suficient s˘ a consider˘am cazul m = 1. Din de finit¸ie rezult˘a c˘ a (f g) = f  g s¸i aplicând a), rezult˘ a f g  = g  f = (g f ) = (f g) .

∗

∗

∗

∗

∗

∗

d) f (m) = f

∗ δ(m), ∀m ≥ 1 pentru orice distribut¸ie f Demonstrat¸ie. Avem f (m) = (δ ∗ f )(m) = δ (m) ∗ f = f ∗ δ (m) Observat ¸ia 8.2. Asociativitatea convolut¸iei distribut¸iilor nu are loc ˆıntotdeauna. De exemplu, luˆ and f = 1, g = δ  , h = H , rezult˘a (f

∗ g) ∗ h = (1 ∗ δ ) ∗ H = 1 ∗ H = 0 ∗ H = 0,

f

∗ (g ∗ h) = 1 ∗ (δ ∗ H ) = 1 ∗ H  = 1 ∗ δ = 1.

ˆın timp ce

e) Fie f , g

∈ D astfel ˆıncât s˘a existe f ∗ g. Atunci ∀a, b ∈ IR, f (t − a) ∗ g(t − b) = f (t − a − b) ∗ g.

In particular, au loc formulele de ˆıntˆ arziere δ(t

− a) ∗ f = f (t − a)

¸si δ (t

8.4

− a) ∗ δ(t − b) = δ (t − a − b).

Transformarea Fourier a distribut¸iilor

→

Definit ¸ia 8.8. Se nume¸ste funct¸ie rapid cresc˘ atoare o funct¸ie f : IR C de clas˘a ∞ ¸si pentru care toate produsele x i f (k) (x) de puteri naturale ale lui x si ¸ derivate ale lui f sunt funct¸ii m˘arginite. Not˘am cu mult¸imea acestor funct¸ii. Definit ¸ia 8.9. Un ¸sir (ψn )n≥1 de funct¸ii din este convergent c˘ atre zero (¸ si se scrie ψn 0 ˆın ) dac˘a pentru orice ˆıntregi j, k 0 ¸sirul de (k) funct¸ii (xj ψn )n≥1 converge uniform c˘atre zero pe IR.

C

S

−→

S

S

≥

176


Definit ¸ia 8.10. Se nume¸ste distribut¸ie temperat˘ a orice aplicat¸ie C-liniar˘ a f: C astfel ˆıncât ori de cˆ ate ori ψn 0 ˆın , rezult˘a lim f (ψn ) = 0. Se noteaz˘a cu  spat¸iul tuturor distribut¸iilor temperate.

S→

n

−→

S

→∞

S

∈ S  . Se nume¸ste transformata Fourier a distribut¸iei f , distribut¸ia Ff : S → C definit˘a prin Definit ¸ia 8.11.

Fie o distribut¸ie f

Ff (ψ) = f (F (ψ)),

∀ψ ∈ S

(8.6)

Exemplul 8.17. S˘a se determine transformata Fourier a distribut ¸iei δ .

Demonstrat¸ie. Conform (8.6) avem :

|

Fδ (ψ) = δ (F (ψ)) = F (ω) ω=0 =

pentru orice ψ



∞ −∞

ψ(t)e−iωt dt ω=0 =

|



∞

ψ(t)dt = 1(ψ)

−∞

∈ S . Deci F δ = 1. = (iω)k , ∀k ≥ 1.

Analog F δ (k)

Transformatele Fourier ale unor distribut¸ii sunt date ˆın tabelul 8.2 :

Tabelul 8.2

177

8.4. TRANSFORMAREA FOURIER A DISTRIBUT ¸ IILOR

Nr.

f (t)

1

eiω0 t , ω0 > 0

2

1

3

cos ω0 t, ω0 > 0

π[δ (ω

4

sin ω0 t, ω0 > 0

iπ[δ (ω + ω0 )

5

sgn t

6

h(t)

7

eiω0 t h(t), ω0 > 0

8

h(t)cos ω0 t, ω0 > 0

9

h(t)sin ω0 t, ω0 > 0

10

tn

F [f ] 2πδ (ω

− ω0)

2πδ (ω)

− ω0) + δ(ω + ω0)] − (ω − ω0)]

2 iω πδ (ω) +

1 iω 1

πδ (ω ω0 )+

−

−

i(ω ω0 ) π iω [δ (ω ω0 )+δ (ω+ω0 )]+ 2 2 ω0 ω 2

−

−

π ω0 [δ (ω ω0 )+δ(ω+ω0 )]+ 2 2i ω0 ω 2

−

−

2πin

dn δ (ω) dω n

Capitolul 9

Transformata Laplace 9.1

Definit¸ie ¸si formule de inversare

Definit ¸ia 9.1. Se nume¸ ste funct¸ie srcinal Laplace f : IR C cu urm˘atoarele propriet˘a¸t i:

orice funct¸ie

→

a) f (t) = 0 pentru t < 0; b) f este derivabil˘a pe port¸iuni pe intervalul [0,

∞);

≥ 0 astfel ˆıncât |f (t)| ≤ M es t, ∀t ≥ 0.

c) exist˘a constantele M > 0 ¸si s 0

(9.1)

0

stere exponent ¸ial˘ a (cu s0 Condit¸ia c) se nume¸ste condit¸ia de cre¸ indicele de cre¸ stere al funct ¸iei f ). Exemplul 9.1. Cea mai simpl˘a funct¸ie srcinal este funct ¸ia unitate u definit˘a prin 0, pentru t ( , 0) 1 u(t) = , pentru t = 0 2 1, pentru t (0, )

 

∈ −∞ ∈ ∞

Funct¸ia unitate joac˘a un rol important ˆın cele ce urmeaz˘ a datorit˘a faptului c˘a , dat˘a fiind o funct¸ie ϕ care ˆındepline¸ste numai condit¸iile b) ¸si c), prin ˆınmult¸irea cu u devine o funct¸ie srcinal, cu p˘ astrarea valorilor sale p e (0, ). Definit ¸ia 9.2. Transformata Laplace (sau funct¸ia imagine) a unei funct¸ii srcinal f este funct¸ia complex˘a F : s0 C Rep > s 0 C:

∞

F (p) =



∞

∈ |

f (t)e−pt dt

→

(9.2)

0

adic˘a F (p) = lim ε 0 R



 ∞



R ε

178

f (t)e−pt dt

(9.3)

179

9.1. DEFINIT ¸ IE S¸I FORMULE DE INVERSARE

Se demonstreaz˘a c˘ a funct¸ia imagine F este olomorf˘a (analitic˘a) ˆın semiplanul Re p > s 0 s¸i vom nota F = [f ].

L

Teorema 9.1. (formula de inversare Mellin-Fourier) Fie f o funct¸ie srcinal, F = [f ] ¸si s0 indicele de cre¸stere al funct¸iei f , atunci are loc egalitatea α+i∞ 1 F (p)ept dp = f (t), (9.4) 2πi α−i∞

L



∈ ∞

cu α > s0 arbitrar, oricare t (0, ) ıˆn care f este continu˘a . In orice punct de discontinuitate al funct¸iei f , valoarea funct¸iei din membrul stâng este egal˘a cu media limitelor laterale ale funct ¸iei f ıˆn acel punct. Demonstrat¸ie. Consider˘am funct¸ia ϕ definit˘a pe IR prin ϕ(t) =

1 −αt e [f (t 2

− 0) + f (t + 0)], ∀t ∈ IR,

> s0 .

(9.5)

Evident, ϕ(t) = e −αt f (t), ˆın orice punct t ˆın care f este continu˘a . Aceast˘a funct¸ie are urm˘atoarele propriet˘a¸t i evidente: 1) este derivabil˘a pe port¸iuni; 2) are acelea¸si puncte de discontinuitate ca funct¸ia f s¸i ˆın orice punct c de discontinuitate ϕ(c) = 12 [ϕ(c 0) + ϕ(c + 0)]; 3) este absolut integrabil˘a pe [0 , ) ¸si fiind nul˘ a pe ( , 0) este absolut integrabil˘ a pe IR. Intr-adev˘ ar, t¸inˆ and seama de (9.1), ϕ(t) e−αt M es0 t = M e−(α−s0 )t , t [0, ] cu α > s0 , prin ipotez˘a . Funct¸ia t e−(α−s0 )t fiind integrabil˘a pe [0 , ), ϕ(t) este absolut integrabil˘a pe acest interval. Funct ¸ia ϕ poate fi reprezentat˘a printr-o integral˘a Fourier,

−

∞

−∞ | |≤ −→

∀ ∈ ∞ ∞ ϕ(t) =

  ∞

1 2π

∞

dσ

−∞

f (τ )e−ατ eiσ(t−τ ) dτ.

0

Am putut ˆınlocui ˆın integral˘ a ϕ(τ ) cu e −ατ f (τ ) b 1 −ατ in loc de 2 e [t(τ 0)+f (τ +0)], deoarece integrala Riemann a g(τ )dτ , pe un interval m˘arginit [a, b], nu-¸si schimb˘ a valoarea dac˘a se modific˘ a valorile funct¸iei g ıˆntr-un num˘ar finit de puncte din acest interval. Din ultima egalitate rezult˘a



−

eατ ϕ(t) =



1 2π

∞

e(α+iσ)t dσ

−∞



∞

f (τ )e−(α+iσ)τ dτ.

0

Inlocuind α + iσ = p, integrala din stânga se transform˘a ˆıntr-o integral˘ a pe dreapta s = α, 1 2πi



α+i

∞

−∞

α i

ept dp



∞ 0

f (τ )epτ dτ = eαt ϕ(t)

180

CAPITOLUL 9. TRANSFORMATA LAPLACE

sau, t¸inˆ and seama de (9.2) ¸si de (9.5), 1 2πi



α+i

∞

F (p)ept dp =

−∞

α i

1 [f (t 2

− 0) + f (t + 0)], ∀t ∈ (0, ∞).

(9.6)

Presupunem c˘a transformata Laplace F admite o prelungire ˆın C cu except¸ia unui num˘ar finit de puncte singulare izolate p1 , p2 ,...p n si¸ c˘a lim sup F (p) = 0. n

→∞ |p|≤n |

|

Dac˘a sunt ˆındeplinite condit¸iile ˆın care relat¸ia (9.6) este adev˘arat˘a, atunci: n

f (t) =



Rez(F (p)ept , pk )

(9.7)

k=1

In particular, dac˘a p 1 , p2 ,... sunt poli de ordin n 1 , n2 ,... respectiv, atunci (9.7) devine: n

f (t) =



k=1

1 (nk

− 1)!

d nk − 1 nk pt →pk dpnk −1 [F (p)(p − pk ) e ]

lim

p

(9.8)

In cazul particular, deosebit de frecvent ˆın aplicat¸ii, al funct¸iei F (p) = A(p) si B(p) sunt polinoame cu coeficient¸i reali, iar gradul B(p) , unde A(p) ¸ num˘ ar˘atorului este mai mic decât gradul numitorului, formula (9.7) se mai scrie f (t) =

  Rez

k

A(p) pt e , pk B(p)

  +

2ReRez

k

A(p) pt e , pk B(p)



(9.9)

A(p) Prima sum˘a din formula (9.9) se refer˘a la tot¸i polii reali ai funct¸iei B( p) , cea de-a doua la tot¸i polii compleçsi cu partea imginar˘a pozitiv˘a . A(p) Când tot¸i polii funct¸iei F (p) = B( p) sunt de ordinul unu formula (9.9) devine: A(pk ) p t A(pk ) p t e k + 2Re  e k (9.10) f (t) = B  (pk ) B (pk )

 k

 k

˘ ¸ IILE TRANSFORMARII ˘ 9.2. PROPRIETAT LAPLACE

181

Tabelul 9.1 Nr.

f (t)

1

h(t)

F (p) 1

2

tn

p n! pn+1

3

eωt

p

1

−ω

4

sin

t,

>0

ω p2 + ω 2

5

cos

t,

>0

p p2 + ω 2 ω

6

sh

t,

> 0

p2

7

ch

t,

> 0

p2

− ω2 p

8

Jn (t), (funct¸ie Bessel)

9

sin t t

10

1 (sin t t cos t) 2

− ω2 p2 + 1 − p)n



(

p2 + 1

arcctgp

−

1 (p2 + 1)2

Funct ¸iile de la nr. 2-10 care apar ˆın tabelul 9.1. sunt subˆınt¸elese a fi ˆınmult¸ite cu u(t), pentru c˘a , ˆın caz contrar, nu ar fi funct¸ii srcinal; astfel, de exemplu, prin t n se ˆınt¸elege t n u(t). Aceast˘a convent¸ie va fi utilizat˘a ¸si ˆın continuare.

9.2

Propriet˘ a¸tiile transform˘ arii Laplace

In continuare sunt date propriet˘a¸t iile transform˘arii Laplace cu denumirile uzuale.

∈ IR atunci: L[αf + βg] = αL[f ] + βL[g]

1. (liniaritatea) Dac˘a α, β

182


Demonstrat¸ie.

L[αf + βg](p) = ∞

=

 0

∞

[αf (t) + βg(t)]e−pt dt =

0

∞

αf (t)e−pt dt +

∞

=α





f (t)e−pt dt + β

0

L

0

βg(t)e−pt dt =

∞

f (t)e−pt dt =

0

L

= α [f ](p) + β [g](p)

Exemplul 9.2. S˘a se determine transformata Laplace a funct ¸iei f (t) = 3t4 2t3 + 4e−3t 2sin5 t.

−

−

Demonstrat¸ie.

L[f (t)](p) = 3 L[t4](p) − 2L[t3](p) + 4L[e−3t](p) − 2L[sin 5t](p) = 4! 3! 1 − 2 · p2 +5 25 =3 · 5 −2· 4 +4· p p p+3 (conform linearit˘a¸t ii ¸si tabelului 9.1)

L

2. (teorema asem˘ an˘ arii) Dac˘a a > 0 ¸si F (p) = [f (t)](p), atunci:

L[f (at)](p) = a1 F L

Demonstrat¸ie. Avem [f (at)](p) = de variabil˘a at = τ , obt¸inem

L[f (at)](p) = a1



∞



p a

∞ f (at)e−ptdt.

0

p

f (τ )e− a dτ =

0

1 F a

Cu schimbarea

 p a

L L[f (t − τ )](p) = e−pτ F (p)

3. (teorema ˆıntârzierii) Dac˘a τ > 0 ¸si F (p) = [f (t)](p), atunci:

Demonstrat¸ie. Cum f (t) = 0, orice t < τ . Avem

t < 0, rezult˘a c˘a f (t

τ ) = 0 pentru

∀ − ∞ ∞ − pt L[f (t − τ )](p) = f (t − τ )e dt = f (t − τ )e−ptdt. 0 τ Cu schimbarea de variabil˘a t − τ = θ, integrala devine ∞ ∞ L[f (t−τ )](p) = 0 f (θ)e−p(τ +θ)dθ = e−pτ 0 f (θ)e−pθ dθ = e−pτ F (p).










183

L

4. (teorema deplas˘ arii) Dac˘a F (p) = [f (t)](p), atunci

L[e−λtf (t)](p) = F (p + λ) Demonstrat¸ie.



L[e−λtf (t)](p) = =

Exemplul 9.3. f (t) = sh2t sin5 t.



∞

∞

f (t)e−λt e−pt dt =

0

f (t)e−(λ+p)t dt = F (λ + p).

0

S˘a se determine transformata Laplace a funct ¸iei

Demonstrat¸ie. Scriem f (t) =

e2t e−2t 2

−

sin5 t

Atunci, conform liniarit˘a¸t ii ¸si teoremei deplas˘ arii avem: 1

1

2t

2t

L[f1(t)](p) = 2 L[e1 sin5 t](p) −1 2 L[e−5 sin5 t](p)1 = 5 − = F (p − 2) − F (p + 2) = , 2 2 2 (p − 2)2 + 25 2 (p + 2)2 + 25 L

unde F (p) = [sin5 t](p) =

5 p2 +25

L

5. (derivarea imaginii) Dac˘a F (p) = [f (t)](p) ¸si n

∈ IN∗, atunci:

n

L[tnf (t)] = ( −1)n ddpFn Demonstrat¸ie. Demonstrat¸ia se face prin induct¸ie. Exemplul 9.4. S˘a se determine transformata Laplace a funct ¸iei f (t) = (t 1)2 et−1 .

−

Demonstrat¸ie. Conform teoremeiˆıntˆ arzierii avem [f (t)](p) = e −p F (p), unde

L

F (p) = [t2 et ](p) =

L

2

(p

− 1)3 ,

conform teoremei deriv˘arii imaginii ¸si ¸tinˆ and cont c˘a

L[et](p) = p−1 1 .

184


6. (derivarea srcinalului) Dac˘a f este o funct¸ie srcinal ¸si presupunem c˘ a exist˘a f  , f  ,...,f (n) pe (0 , ), f (n) este o funct¸ie original ¸si f (k) (0 + 0) = lim f (k) (t), 0 k n, iar F (p) = [f (t)](p), atunci:

∞ ≤ ≤

t

dn f (t) n

L

→0,t>0

L

(p) = p n F (p) (pn−1 f (0+0)+pn−2 f  (0+0)+. . .+f (n−1) (0+0))

  dt

−

 

∞

Demonstrat¸ie. Avem [f  (t)](p) = 0 f  (t)e−pt dt. Integr˘am prin p˘art¸i ∞ −ptdt. [f  (t)](p) = [f (t)e−pt ]/∞ 0 + p 0 f (t)e

L

L

Tinˆ and seama de (9.1), f (t)e−pt = f (t) e−st deci lim [f (t)e−pt ] = 0. Atunci

|

| | |

≤ M e−(s−s )t,s > s 0

0,

t

→∞

L[f (t)](p) = pF (p) − f (0).

(9.11) (n) ,

Inlocuim ˆın (9.11) pe f  , succesiv cu f  , f  ,...,f

L[f  (t)](p) = pL[f (t)](p) − f (0) L[f  (t)](p) = pL[f  (t)](p) − f  (0) ...

L[f (n)(t)](p) = pL[f (n−1)(t)](p) − f (n−1)(0) Inmult¸im egalitatea (9.11) cu pn−1 , prima egalitate din ¸sirul de mai sus cu pn−2 , a doua cu pn−3 etc. , ultima cu p0 = 1. Prin adunare obt¸inem egalitatea din teorem˘a .

L

7. (integrarea srcinalului) Dac˘a F (p) = [f (t)](p), atunci:

 L



t

f (τ )dτ (p) = 0



F (p) p

t

Demonstrat¸ie. Not˘am g(t) = 0 f (τ )dτ. Evident g este funct¸ie srcinal ¸si g  = f aproape peste tot, deci [g  (t)] = F (p). Adic˘a F (p) =



0

L

∞ g  (t)e−ptdt = g(t)e−pt |∞ ∞ g(t)e−ptdt = 0 +p

L

= p [g(t)](p)



0

− g(0 + 0) = pL[g(t)](p),

deoarece g (0 + 0) = 0.

Exemplul 9.5. t f (t) = 0 τ e−τ dτ .





185

L

Demonstrat¸ie. Conform teoremei integr˘arii srcinalului avem [f (t)] = F (p) [te−t ] = ( 1)F1 (p)(conform teoremei deriv˘arii p , unde F (p) = 1 1 imaginii), unde F 1 (p) = [e−t ] = p+1 . Atunci F (p) = (p+1) ¸ rezult˘a 2 si 1 [f (t)] = p(p+1)2 .

L

−

L

L

8. (integrarea imaginii) Dac˘a f (t) t este funct¸ie original, iar F este transformata Laplace a funct¸iei f , atunci

L

   f (t) (p) = t

∞

F (v)dv

p

Demonstrat¸ie. Fie g(t) = f (t) si cont , t > 0, deci f (t) = t g(t) ¸ form teoremei deriv˘arii imaginii rezult˘a F (p) = G (p), unde G(p) =  [g(t)](p). Dac˘a [ f (t) t ](p) = H (p), atunci H (p) = F (p), deci H +G = c constant. Dar G( ) = 0 ¸si H ( ) = 0, deci c = 0 ¸si ca atare H = G, deci [ f (t) t ](p) = G(p) = H (p).

L

L

L

Exemplul 9.6. f (t) = shωt .

·

−

∞

∞

−


t

Demonstrat¸ie. Conform teoremei integr˘arii imaginii avem

L[f (t)](p) = =ω



∞ p

ω q2

−

−

ω2

dq = ω

−

1 q ω ∞ 1 p ω ln / = ln 2ω q + ω p 2 p+ω



∞

1

(q

p

− ω)(q + ω) dq =

∗ −

9. (teorema de convolut¸ie) Fie h = f g produsul de convolut¸ie al t funct¸iilor f ¸si g , i.e. h(t) = 0 f (τ )g(t τ )dτ si¸ fie F (p) = [f (t)](p), G(p) = [g(t)](p) transformatele Laplace ale funct¸iilor srcinal f ¸si g, atunci H (p) = F (p)G(p),



L

L

L

unde H (p) = [h(t)](p).

Demonstrat¸ie. Se poate verifica u¸sor c˘a funct¸ia h este funct¸ie srcinal.

  − ∞

Cum F (p) = [f (t)](p), adic˘a F (p) = 0 f (τ )e−pτ dτ . Inmult¸im ˆın ∞ ambii membri cu G(p), F (p)G(p) = 0 f (τ )e−pτ G(p)dτ . Conform ∞ − pτ teoremei ˆıntˆ arzierii, e G(p) = [g(t τ )](p) = 0 g(t τ )e−pt dt, deci ∞ ∞ F (p)G(p) = 0 f (τ )dτ 0 g(t τ )e−pt dt. Se poate schimba ordinea

L





L −

−

186






∞

∞

de interare ¸si rezult˘ a F (p)G(p) = 0 e−pt dt 0 f (τ )g(t g este funct¸ie srcinal, g(t τ ) = 0 pentru τ > t, deci



−

∞

f (τ )g(t

0

Rezult˘ a F (p)G(p) =

− τ )dτ =





− τ )dτ . Cum

τ

f (τ )g(t 0

− τ )dτ = (f ∗ g)(t).

∞ (f ∗ g)(t)e−ptdt.

0

Exemplul 9.7. S˘a se rezolve urm˘atoarea ecuat¸ie diferent¸ial˘ a x

− x = tht, x(0) = 1 , x (0) = −1. Demonstrat¸ie. Fie X (p) = L[x(t)](p). Conform teoremei der iv˘arii srcinalului avem:

L[x(t)](p) = p2X (p) − px(0) − x(0) = p2X (p) + 1. Ecuat¸ia devine:

p2 X (p) + 1 X (p) = [tht](p) = X (p)(p2 1) + 1 = [tht](p) = 1 = X (p) = p21−1 [tht](p) ¸ atunci, conform teoremei de p2 −1 si convolut¸ie obt¸inem

−

⇒

L ·L

−

⇒

−

L

⇒

t

x(t) =



0

sh(t

− τ )thτ dτ − sht

10. (formula lui Duhamel) Fie f ¸si g funct¸ii srcinal cu g derivabil˘ a ¸si g  funct¸ie srcinal. Fie F (p) ¸si G(p) transformatele Laplace ale funct¸iilor f ¸si g. Atunci

L



f (t)g(0) +



t

f (τ )g  (t

0

− τ )dτ



(p) = pF (p)G(p)



Demonstrat¸ie. Lu˘am h = f g. Cum h(t) = 0t f (τ )g(t τ )dτ rezult˘a conform formulei de derivare a integralelor cu parametru,

∗

t

h (t) = f (t)g(0) +



0

Deoarece h(0 + 0) = 0, rezult˘a

−

f (τ )g  (t

τ )dτ.

−

L[h (t)](p) = pL[h(t)](p) − h(0 + 0) = pF (p)G(p), conform teoremei de derivare a srcinalului ¸si teoremei de convolut¸ie. t Pe de alt˘a parte, [h (t)](p) = f (t)g(0) + 0 f (τ )g  (t τ )dτ (p), deci exact ceea ce trebuia demonstrat.

L

L





−




187

Exemplul 9.8. S˘a se calculeze ecuat¸ia integral˘a sin t = t +



t

0

dx(τ ) (t dτ

− τ )dτ.

Demonstrat¸ie. Din formula lui Duhamel avem



L

t 0

dx(τ ) (t dτ

− τ )dτ



= pX (p)

· p12 = Xp(p) .

Aplicând transformata Laplace ecuat¸iei integrale obt¸inem 1 p2 +1

=

1 p2

+

X (p) p

⇒ X (p) = p p+1 − p1 =⇒ x(t) = cos t − 1

=

2

Exemplul 9.9. S˘a se determine funct¸ia srcinal a c˘ arei imagine 2 +p+4 Laplace este F (p) = p4 +2p3p+2 . p2 −p+3 Demonstrat¸ie. 1

1

1

1

− p + 1 + p√2 + 2p + 3 = (p − 12 )2 + 34 + (p + 1)2 + 2 =⇒ √ 2 3 1 =⇒ f (t) = √ e sin t + √ e−t sin 2t 2 3 2

F (p) =

p2

t

2

(conform teoremei deplas˘arii)

Exemplul 9.10. S˘a se determine funct¸ia srcinal a c˘ arei imagine p Laplace este F (p) = (p2 +4)( . p2 +1) Demonstrat¸ie. p 1 = [cos 2t](p) [sin t](p) = [cos 2t sin t](p) = p2 + 4 p2 + 1 t 1 f (t) = cos2 τ sin(t τ )dτ = (cos t cos2 t) 3 0

L

F (p) =

⇒

=



L

−

L

∗

⇒

−

(conform teoremei de convolut¸ie)

Exemplul 9.11. S˘a se determine funct¸ia srcinal a c˘ arei imagine Laplace este F (p) = p23−p−p−4 6 . Demonstrat¸ie. Vom folosi formula (9.7). p1 = 3, p2 =

−2 sunt poli simpli

Atunci f (t) = Rez



3p 4 pt p2 p 6 e , 3

− −−



3p 4 pt p2 p 6 e , 3

− −− 3p−4 , −2 p2 −p−4

Calcul˘am Rez Analog Rez







 

3p 4 pt p2 p 6 e ,

− −−



−2 . 3p − 4 pt = lim 2 e (p − 3) = e 3t . p→3 p − p − 6 + Rez

= 2e−2 . Deci f (t) = e 3t + 2e−2t .

188


Exemplul 9.12. S˘a se rezolve ecuat¸ia integrodiferent¸ial˘ a y  (t) = cu condit¸ia y(0) = 1.



t

y(τ )cos( t 0

− τ )dτ

Demonstrat¸ie. Conform teoremei deriv˘arii srcinalului avem

L[y (t)](p) = pY (p) − 1. Membrul drept al ecuat¸iei este produsul de convolut¸ie y(t) aplicând transformata Laplace ecuat¸iei obt¸inem: p pY (p) 1 = Y (p) 2 . p +1 Atunci Y (p) =

p2 p3

1 p

=

+

1 p3

∗ cos t;

− =⇒ y(t) = 1 + t2 . 2

Exemplul 9.13. Cu ajutorul transfor matei Laplace s˘a se determine solut¸ia ecuat¸iei cu argumente ˆıntˆ arziate

− 4y(t − 1) + y(t − 2) = t, dac˘a Demonstrat¸ie. Not˘am L[y(t)](p) = Y (p) 3y(t)

y = 0 pentru t < 0.

Conform teoremei ˆıntˆ arzierii avem:

L[y(t − 1)] = e −pY (p) L[y(t − 2)] = e −2pY (p)

Dup˘a ce aplic˘am transformata Laplace, ecuat¸ia devine:

(3

− 4e−p + e−2p)Y (p) = p12 =⇒ (1 − ep)(3 − e−p )Y (p) = p12 =⇒

⇒

=

1 Y (p) = 2 2p



1 1 e−p

−

1 3 e−p

− −

  1 = 2 2p

1 1 e−p

−

1 1 3 1 e−3 p

− −



1 1 e −p e −2p [1 + e −p + e−2p + . . . + e−np + . . . (1 + + 2 + ...+ 2 2p 3 3 3 e −np 1 2 1 1 − p − 2p + n + . . .)] = 2 [ + 1 e + 1 e + ...+ 2 3 3 2p 3 3 3 ∞ 1 1 1 1 e−np + 1 e−np + . . .] = 2 + 1 = n+1 n+1 3 3p 2 n=1 3 p2

−

=

− 

⇒ y(t) = 3t + 12

=

 −   −−   −  − ∞

n=1

1

1 3n+1

(am folosit teorema ˆıntˆ arzierii)

(t

n)

⇒

=

Capitolul 10

Transformarea Z →

→

Definit ¸ia 10.1. Se nume¸ste semnal discret o funct¸ie x : ZZ C, n xn (sau x(n) sau x[n]). Mult¸imea semnalelelor discrete se va nota cu S d . Dac˘a xn = 0 pentru orice n < 0, se spune c˘a semnalul x este cu suport pozitiv , iar mult¸imea acestor semnale se noteaz˘a cu S d+. Exemplul 10.1. Se noteaz˘a cu δ k , k ZZ fixat, semnalul definit prin:

∈

1, dac˘a n = k

δk (n) =





0, dac˘a n = k ¸si numit impulsul unitar discret la momentul k s¸i vom pune δ 0 = δ . Definit ¸ia 10.2. Dac˘a x S d , atunci pentru orice k ZZ fixat, semnalul y = (xn−k )n∈ZZ se nume¸ste ˆıntˆ arziatul lui x cu k momente. Dac˘a x, y Sd

∈

¸si seria

∞



k=

−∞

∈

xn−k yk este convergent˘a pentru orice n

∈

∈ ZZ cu suma zn, atunci

semnalul z = (zn )n∈ZZ se nume¸ste convolut ¸ia semnalelor x ¸si y si ¸ se noteaz˘a z = x y. Dac˘a x, y Sd+ , atunci x y exist˘a ¸si avem x y = y x, de asemenea: x δ = x si¸ (x δk )(n) = x(n k) Pentru orice funct¸ie f : IR C ¸si T > 0(pas de e¸santionare) se poate obt¸ine un semnal discret punând x n = f (nT ), n ZZ. Definit ¸ia 10.3. Fie s S d , s = (an )n∈ZZ . Se nume¸ste transformata Z (sau transformata Laplace discreta) a acestui semnal, funct¸ia complex˘a

∗

∈

∗

∗

→

∗ − ∈

∗

∈

Ls definit˘a prin: Ls (z) =

∞



n=

∗

an z −n

−∞

definit˘a ˆın domeniul de convergent ¸˘ a al seriei Laurent respective. Indic˘ am principalele propriet˘a¸ti ale transform˘arii Z: 1. Exist˘a R, r > 0 astfel ˆıncât seria care define¸ste transformarea Z converge ˆın coroana r < z < R.

||

189

190

CAPITOLUL 10. TRANSFORMAREA Z

→ Ls este C-liniar˘a ¸si injectiv˘a , a¸sadar: Lα s +α s (z) = α 1 Ls (z) + α2 Ls (z), α1 , α2 ∈ C, s1 , s2 ∈ Sd . 3. Dac˘a s ∈ Sd+, s = (an )n∈IN , atunci lim Ls (z) = a0 , iar dac˘a exist˘a z →∞ z 1 lim an = l, atunci lim − Ls (z) = 1. n→∞ z →1 z 4. (Inversarea transform˘arii Z) Fie s ∈ Sd+, s = (an )n∈IN s¸i se presupune c˘ a funct¸ia L s (z) este olomorf˘a ˆın domeniul r < |z | < R. Pentru orice r < < R, fie γρ frontiera discului |z | ≤ ρ parcurs˘a ˆın sens pozitiv o 2. (Liniaritatea) Asocierea s 1 1

2 2

1

2

singur˘ a dat˘a. Atunci avem: an =

1 2πi



z n−1 Ls (z)dz, n γρ

5. (Teorema de convolut¸ie) Dac˘a s, t

∈ IN

∈ Sd+, atunci s ∗ t ∈ Sd+ si¸ avem:

Ls∗t = L s Lt In particular, k

Ls∗δk (z) = z − Ls (z),

k

∈ ZZ

In tabelul 10.1 sunt date transformatele Z ale semnalelor uzuale.

191 Tabelul 10.1. s

Nr.

Ls

h = (hn )n∈ZZ unde h n = 0

z

pentru n < 0n ¸si h0n = 1 pentru

1

z

≥

2

δk , k

−1 1 zk

∈ ZZ

z

3

s = (n)n∈IN

(z

4

s = (n2 )n∈IN

z(z + 1) (z 1)3

− 1)2 −

z

5

s = (an )n∈IN , a

∈C

z

−a

6

s = (ean )n∈IN , a

∈ IR

z

− ea

7

s = (sin ωn)n∈IN , ω

∈ IR

8

s = (cos ωn)n∈IN , ω

∈ IR

z z sin ω z2

− 2z cos ω + 1 z(z − cos ω) z 2 − 2z cos ω + 1

Exemplul 10.2. S˘a se arate c˘ a urm˘atorul semnal nu admite transformat˘a Z: 2 x Sd+, xn = 2n h(n).

∈

Demonstrat¸ie. Raza de convergent¸a˘ a seriei R=

lim

n

→∞

n

2

2n z −n este

n=0

1



∞



2n2

∅

= 0 , deci D x = .

+ z 10.3. a se2 determine semnalul x ZExemplul este dat˘a de L s (z)S˘ = z +2az+2a2 , a > 0 dat.

∈ Sd

a c˘arui transformat˘a

− ± i) sunt poli simpli, pe care ˆıi putem scrie ¸si √ 3π + isin 3π ) = a(−1 + i) = a 2(cos

Demonstrat¸ie. z1 ,2 = a( 1 astfel z1 z2

4

4

√ 3π − isin 3π ) = a(−1 − i) = a 2(cos 4

4

192

CAPITOLUL 10. TRANSFORMAREA Z 2

Atunci x n =



Rez(

i=1

=

(z 2

zn an ( 1 + i) n a n ( 1 i)n , zi ) = + = 2 + 2a + 2a ) 2z1 + 2a 2z1 + 2a

−

− 2ai (z1n − z2n). Deci x n = 2

n

2

an−1 sin 3nπ 4 .

Fie x = (xn )n≥0 din Sd+ ¸si y = (yn )n≥0 , unde yn =

Exemplul 10.4.

x0 + x1 + . . . + xn . S˘a se arate c˘ a Y (z) =

Demonstrat¸ie. Fie Y (z) = +... +

∞



xn−1 z −n +

n=0

∞

x−1 = 0);

∞

∞

xn z −n ,

n=0

n=0

1+

x0 z −n +

n=0

xn−1 z −n =

n=0

1 z

−

∞



x1 z −n + . . . +

n=0

xn z −n

∞



1 1 xn z −n = X (z) (deoarece z n=0 z

1 −n 1 z = 2 X (z) etc. = z2 z

+

1 z2

Exemplul 10.5. Dac˘a x, y H (z) =

∞

z z 1 X (z).



yn z −n =

n=0

n=0

xn−2 z −n =

⇒ Y (z) = X (z)

=

∞



∞



    

Dar X (z) =

−−

Y (z) X (z) .

+ . . . = X (z)

⇒

· z−z 1

∈ Sd+ ¸si ∀n ∈ ZZ, yn = xn +xn+1, s˘a se calculeze ⇒ Y (z) = X (z) + X (z)z =⇒

Demonstrat¸ie. Avem y = x + x  δ−1 = = H (z) = 1 + z

⇒

Exemplul 10.6. Cu ajutorul transform˘arii Z, s˘a se rezolve ˆın mult¸imea semnalelor cu suport pozitiv ecuat¸ia y a = x ˆın urm˘atorul caz

∗

a = δ −2 + δ−1

− 6δ, xn = n · h(n), n ∈ ZZ

Demonstrat¸ie. Deoarece x S d+ , ecuat¸ia dat˘a are solut¸ie y este unic˘a . Intr-adev˘ar, ecuat¸ia de convolut¸ie se scrie

∈

∈ Sd+ ¸si aceasta

L[f (t)](p) = pF (p) − f (0).yn+2 + yn+1 − 6yn = n · h(n), n ∈ ZZ. (10.1) Cu x, y ∈ Sd+ , relat¸ia (10.1) este identic satisf˘ acut˘a pentru n ≤ −3, iar pentru n Pentru = −2 ¸sinn≥=0 − 1 ea a valorile y0 , respectiv y1 : y0 = 0, y1 = 0. relat ¸iafurnizeaz˘ de recurent ¸˘ a (10.1)lui devine: yn+2 + yn+1 − 6yn = n, n ∈ ZZ, cu solut¸ia unic˘a (yn )n∈IN de ˆındat˘a ce y 0 ¸si y 1 sunt cunoscut¸i. Deoarece membrul drept al ecuat¸iei de convolut¸ie este un semnal care admite transformat˘a Z, aplic˘am transformarea Z acestei ecuat¸ii, ˆın ipoteza c˘a ¸si semnalul y Sd+ are transformat˘a Z, L y (z).

∈

193 Rezult˘ a L y (z) =

z . (z 1)2 (z 2 +z 6)

−

−

Rezolv˘am ca ˆın exemplul 10.3:

Rez(z n−1 Ls (z), 1) = lim [(z z

nz n−1 (z 2 + z

→1

2

− 1)2 (z − 1)2(zz2 + z − 6) ] = z n (2z + 1)

6)

− −−

z →1 = lim

(z 2 + z

2n 5 ( 3)3 80 ,

Analog Rez( z n−1 Ls (z), 2) = n

6)2

4n + 3

=

−

16

¸si Rez(z n−1 Ls (z), 3) =

−

−

.

− (−803)

n

.

2 Deci y n = 4n+3 n IN. 16 + 5 Astfel am g˘asit un semnal y Sd+ cu proprietatea c˘a L y∗a (z) = L x (z). Din injectivitatea aplicat¸iei L rezult˘a y a = x si ¸ din unicitatea ˆın Sd+ a solut¸iei ecuat¸iei de convolut¸ie rezult˘a c˘a semnalul g˘asit cu ajutorul transform˘arii Z este cel c˘autat.

−

−

∈

∈

∗

Exemplul 10.7. Cu ajutorul transform˘arii Z, s˘a se determine ¸sirul (xn )n∈IN definit prin relat¸ia de recurent¸˘ a x0 = 0, x1 = 1, xn+2

− 4xn+1 + 3xn = (n + 1)4n, n ∈ IN.

n )n∈IN ca fiind restict¸ia unui semnal Demonstrat ¸ie. Consider˘aminformat ¸sirul (x x Sd+ la IN ¸si transcriem ¸iile despre ¸sirul dat sub forma unei ecuat¸ii de convolut¸ie a x = y, pe care o rezolv˘am ˆın S d+ procedând ca la exemplul 10.6. Avem a x = y, a = δ −2 4δ−1 + 3δ, yn = 0, n 2, y−1 = 1, yn = (n + 1)4n , n IN. Fie s 1 = (n4n )n∈IN ¸si s 2 = (4n )n∈IN Ls1 (z) = zL s2 (z) = z( z−z 4 ) = z( (z −44)2 ) = (z−4z4)2

∈

∗

∗

−

Deci L x (z)(z 2

⇒ Lx(z) =

=

−

∈

≤−

− − − − 4z + 3) = (z−4z4) + z−z 4 + z = (z−z 4) 2

2

2

⇒

+z=

z(z 2

−7z+16) (z −4)2 (z −1)(z −3)

Descompunem ˆın fract¸ii simple ¸si g˘ asim xn =

1 [18 3n + (3n 9

·

− 13)4n − 5], n ∈ IN.

Exemplul 10.8. S˘a se determine ¸sirurile (an )n∈IN si¸ (bn )n∈IN cu a0 = 1, b0 = 1 ¸si an−1 + 7an

− bn = 0,

bn+1 + an + 5bn = 0,

Demonstrat¸ie. an−1 + 7an

− bn =



≥ −

0, dac˘a n 0 sau n 1, dac˘a n = 1

≤ −2

∀n ∈ IN.

194

CAPITOLUL 10. TRANSFORMAREA Z

bn+1 + an + 5bn =

∗



≥ −

0, dac˘a n 0 sau n 1, dac˘a n = 1

∗ − b ∗ δ = δ−1 ¸si b ∗ δ−1 + a ∗ δ + 5b ∗ δ = δ−1.

Atunci a δ−1 + 7a δ A¸sadar,

La (z)z + 7La (z)

Lb (z) = z

−

Lb (z)z + La (z) + 5Lb (z) = z Rezult˘ a L a (z) =

≤ −2

z z+6 , Lb (z)

=

z z+6

⇒ an = bn = (−6)n.

=

Capitolul 11

Funct ¸ii speciale 11.1

Polinoame ortogonale

11.1.1

Funct¸ii ¸si polinoame ortogonale

Consider˘ am spat¸iul liniar E al funct¸iilor reale de variabil˘a real˘a care pe intervalul [ a, b], finit sau infint, sunt netede sau netede pe port ¸iuni ¸si au numai puncte de discontinuitate se spet ¸a ˆıntˆ ai. Produsul scalar al elementelor f ¸si g este num˘arul real (f, g) =



b

ρ(x)f (x)g(x)dx,

(x) > 0 pondere .

a

Funct¸iile f ¸si g se numesc ortogonale dac˘a (f, g) = 0. b Expresia f 2 = (f, f ) = a ρ(x)f 2 (x)dx este p˘atratul normei lui f . Prin distant¸a d(f, g) dintre f ¸si g ınt ˆ ¸elegem





 − g =

d(f, g) = f



b

ρ(x)[f (x) a

− g(x)]2dx.

atratic˘ a medie a funct¸iilor Num˘arul d(f, g) se nume¸ste uneori abaterea p˘ f ¸si g pe [a, b]. Convergent¸a (ˆın norm˘ a ) a ¸sirului de funct¸ii f 1 , f2 ,...,f n ,... din E c˘atre funct¸ia f , o vom numi convergent ¸a ˆın medie. Spunem c˘a ¸sirul (fn (x))n∈IN din E converge ˆın medie c˘atre f dac˘a pentru orice ε > 0 b

2

−



a ρ(x)[fn (x) arbitrar dat, nexist˘ a (ε). N (ε)Presupunem astfel ˆıncˆ at s˘ aa avem (x)] dx < pentru orice >N c˘ ˆın spat¸iul E orice ¸sir ffundamental are o limit˘a apart¸inˆ and tot lui E , spat¸iul liniar astfel organizat fiind deci complet. Sistemul de funct¸ii e0 , e1 , e2 ,...,e n ,... din E se nume¸ste ortonormat dac˘a funct¸iile sistemului sunt ortogonale dou˘a câte dou˘a , iar fiecare din ele are norma 1, i.e. 0, când m = n (em , en ) = 1, când m = n





195

196

CAPITOLUL 11. FUNCT ¸ II SPECIALE

Un asemenea sistem este ˆınchis ˆın raport cu mult ¸imea funct¸iilor din E , dac˘a nu exist˘a ˆın E niciun element nenul care s˘ a fie ortogonal cu toate elementele sistemului. Se poate ar˘ata c˘a un sistem ortonormat ˆınchis al spat¸iului E formeaz˘a o baz˘a ˆın sensul c˘a pentru fiecare element f E

∞

exist˘ a dezvoltarea (Fourier generalizat˘a ) c˘atre f (x). Coeficient¸ii Fourier

∈

ck ek (x) convergent˘a ˆın medie



k=0 generalizat¸i c k

ck = (f, ek ) =



b

se calculeaz˘a cu formula

ρ(x)f (x)ek (x)dx, a

ei fiind legat¸i de funct¸ia f prin formula lui Parseval

f 2 =

∞



c2k .

k=0

Sirul puterilor 1,x,x 2 ,...,x n ,... st˘a la baza câtorva sisteme ortogonale particulare, polinoame ortogonale , pe care le vom studia ˆın continuare. Ele se obt¸in ortogonalizând ¸sirul anterior ˆın situat¸ii particulare convenabile pentru a,b, (x). De exemplu,

−−

pentru polinoamele lui Legendre; 1 √1obt¸inem pentru a a= = 1, 1, bb = = 1, 1, ρ(x) ρ(x) = = 1, −x2 , polinoamele lui Cebˆı¸sev; − x pentru a = 0, b = , ρ(x) = e , polinoamele lui Laguerre, 2 pentru a = , b = , ρ(x) = e −x , polinoamele lui Hermite. Not¸iunile introduse se extind ¸si asupra spat¸iului funct¸ional alc˘atuit din funct¸ii complexe de parametru real t [a, b]. Definim produsul scalar al elementelor f ¸si g ca fiind num˘arul complex

−∞

∞

∞

E

∈

(f, g) =



b

f (t)g(t)dt, a

unde g(t) ˆınseamn˘ a conjugata lui g(t). De aici

f 2 = 11.1.2

| b

f (t) 2 dt > 0.

a

|

Polinoamele lui Legendre

×−

In teoria potent¸ialului se ˆıntˆ alne¸ste funct¸ia g : [0, 1) [ 1, 1] prin 1 g(r, x) = . 1 2rx + r 2

√−

→ IR definit˘a (11.1)

Se pune problema dezvolt˘arii funct¸iei g ıˆn serie de puteri ale lui r pentru r < 1. In prealabil, obser v˘am c˘a x [ 1, 1] implic˘a existent¸a unui unghi

∈−

197

11.1. POLINOAME ORTOGONALE

α

iα

iα

∈ [0, π] astfel ˆıncât x = cos α = e +e2 − , deci 1 1 1 √1 − 2rx · √1 −1re−iα . = =√ + r2 1 − reiα 1 − r(eiα + e−iα ) + r 2



Deoarece reiα = re−iα = r, α

| | |

|

[0, π], fiecare dintre ace¸sti doi factori

∀ ∈

poate fi dezvoltat ˆın serie binomial˘ a , serie de puteri ale lui r, pentru r cu x [ 1, 1] arbitrar. Obt¸inem astfel o serie de forma

∈−

g(r, x) =



Pn (x)r n , r

n 0

≥

∈ [0, 1)

∈ [0, 1), x ∈ [−1, 1].

Vom obt¸ine coeficient¸ii Pn (x) pe o cale indirect˘a . Not˘am u = r(2x 1 1 g(r, x) = (1 2rx + r 2 )− 2 devine (1 u)− 2 . Pentru u < 1 avem

−

(1

− u)−

1 2

= 1+



− || 1 · 3 · 5 · . . . (2n − 1) n u .

(11.2)

− r) ¸si

2n n!

n 1

≥

Inlocuim u cu r(2x r) ¸si strˆ angem termenii ˆın rn . Ultimul termen care n n cont¸ine pe r este u . Un termen u n−k va cont¸ine pe r n dac˘a ¸si numai dac˘ a 2k n. Contribut¸ia sa este ( 1)k Cnk−k (2x)n−2k rn , deci

−

≤

−

Pn (x) =

−

≤ ≤ n2

0 k

· · ·

− − − 1) xn−2k , k ∈ IN

( 1)k Cnk−k 1 3 5 2.k.(n . (2nk)! 2k

(11.3)

Coeficient¸ii dezvolt˘arii ˆın seria (11.2) sunt polinoame care cont¸in numai puteri pare sau impare, dup˘a cum n este num˘ar par sau impar. Definit¸ia 11.1. Polinoamele Pn definite prin (11.3) se numesc polinoamele lui Legendre, iar funct¸ia g definit˘a prin (11.1), a c˘arei dezvoltare ˆın serie (11.2) are coeficient¸ii Pn (x), se nume¸ste funct¸ia generatoarea polinoamelor Legendre.

Teorema 11.1. Polinoamele lui Legendre mai pot fi exprimate prin mula lui Olinde-Rodrigues Pn (x) =

1 dn 2 (x n n!2 dxn

Demonstrat¸ie. Din egalitatea ( x2 dn 2 (x dxn

− 1)n =

− (

·

− 1)n

for-

(11.4)

( 1)k Cnk x2n−2k deducem

1)n =

0≤k≤n − − 1)k Cnk (2n − 2k)(2n − 2k − 1) . . . (n − 2k + 1)x2n−2k .



≤ ≤ n2 Coeficientul lui x n−2k se mai poate scrie, abstract¸ie f˘acând de semn, 0 k

− − · −

n! (2n 2k)! (2n = n!Cnk−k k!(n k)! (n 2k)! [(n

− 2k)! = n!C k 1 · 3 · 5 · . . . (2n − 2k − 1)2n−k , n− k − k)!]2 (n − k)!

198


deci dn 2 (x dxn

− 1)n = n!2n

−

0 k

n

≤ ≤2

( 1)k Cnk−k

· · ·

− − 1) xn−2k

1 3 5 . . . (2n 2k (n k)!2k

−

Comparând cu (11.3) rezult˘a (11.4). Teorema 11.2. Polinoamele lui Legendre au toate r˘ad˘acinile reale, distincte ¸si cuprinse ˆın intervalul (-1,1).

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia ( x2 1) n = 0 are r˘ ad˘acinile -1 ¸si 1, multiple de d ordinul n. Conform teoremei lui Rolle, ecuat¸ia dx (x2 1)n = 0 are, ˆın afar˘a de r˘ad˘ acinile -1,1, multiple de ordinul n 1, o r˘ad˘acin˘a ˆın intervalul (-1,1). d2 2 Aplicând din nou teorema lui Rolle, rezult˘ a c˘a ecuat¸ia dx 1) n = 0 2 (x admite dou˘a r˘ad˘acini distincte ˆın intervalul (-1,1), celelalte r˘ad˘acini fiind dn 2 -1,1, multiple de ordinul n 2 etc. Ecuat¸ia dx 1)n = 0 echivalent˘a n (x cu ecuat¸ia Pn (x) = 0 are toate cele n r˘ ad˘acini reale, distincte ¸si situate ˆın intervalul (-1,1).

−

−

−

−

−

−

a Teorema 11.3. Intre polinoamele lui Legendre exist˘a relat¸ia de recurent¸˘

−

(n + 1)Pn+1 (x) (2n + 1)xPn (x) + nPn−1 (x) = 0, n = 1, 2,... Demonstrat¸ie. Egalitatea (11.2), scris˘a sub forma (1

− 2rx + r2)−

1 2

=



(11.5)

Pn (x)r n ,

n 0

≥

o deriv˘am ˆın raport cu r. Obt¸inem (1

3 2

− 2rx + r2)− (x − r)



nPn (x)rn−1

n 1

≥

sau echivalent (x

− r)



Pn (x)rn = (1

n 0

− 2rx + r2)



nPn (x)rn−1 .

n 1

≥

≥

n

Identificˆ and coeficient¸ii lui r , rezult˘a xPn (x)

− Pn−1(x) = (n + 1)Pn+1(x) − 2nxPn(x) + (n − 1)Pn−1(x)

egalitate echivalent˘a cu (11.5).

∈

Teorema 11.4. Polinomul lui Legendre Pn , n IN este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale (x2 1)y  + 2xy  n(n + 1)y =0 (11.6)

−

−

199


Demonstrat¸ie. Deriv˘am relat¸ia evident˘a (x2 de n + 1 ori, folosind formula lui Leibniz, (x2

n+2

− 1) dxd (x2 − 1)n = 2nx(x2 − 1)n

n+1

n

− 1) dxd n+2 (x2 − 1)n + 2(n + 1)x dxd n+1 (x2 − 1)n + n(n + 1) dxd n (x2 − 1)n =

= 2nx dn+1 (x2 1)n + 2n(n + 1) dnn (x2 1)n dxn+1 dx Imp˘art¸im ambii membri cu n!2n ¸si ¸inem t seama de (11.4). Obt¸inem

−

−

(x2 1)Pn (x)+2( n+1)xPn (x)+n(n+1)Pn (x) = 2nxPn (x)+2n(n+1)Pn (x)

−

sau (x2

− 1)Pn(x) + 2xPn (x) − n(n + 1)Pn(x) = 0.

Deci P n este solut¸ie a ecuat¸iei (11.6).

Teorema 11.5. Polinoamele lui Legendre formeaz˘a un sistem de funct ¸ii ortogonale pe intervalul [-1,1]. Mai mult,



1

Pk (x)Pn (x)dx =

−1



0, 2 2n+1 ,



pentru k = n pentru k = n

Demonstrat¸ie. Pn ¸si Pk sunt solut¸ii ale unor ecuat¸ii diferent¸iale de forma d (11.6), pe care o scriem sub forma echivalent˘ a dx ((x2 1)y  ) = n(n + 1)y. Deci d [(x2 1)Pn (x)] = n(n + 1)Pn (x) dx d [(x2 1)Pk (x)] = k(k + 1)Pk (x) dx Inmult¸im ˆın prima egalitate cu P k (x), ˆın a doua cu P n (x) ¸si apoi le sc˘ adem. Obt¸inem

−

− −

d [(x2 dx

− 1)(Pk (x)Pn (x) − Pk (x)Pn(x))] = ( n(n + 1) − k(k + 1))Pn(x)Pk (x)

De aici rezult˘a 1

(n(n + 1)



k(k + 1))

−

 

Pn (x)Pk (x)dx = 0,

−1

1

care pentru k = n se reduce la −1 Pn (x)Pk (x)dx = 0. Deci, polinoamele P n formeaz˘a un sistem de funct¸ii ortogonale p e intervalul [-1,1]. Pentru a verifica egalitatea din enunt¸ ˆın cazul cˆ and k = n, vom scrie pe lâng˘a relat¸ia de recurent¸˘ a (11.5) ¸si relat¸ia obt¸inut˘ a din aceasta ˆınlocuind n cu n 1. Avem

−

(n + 1)Pn+1 (x)

− (2n + 1)xPn(x) + nPn−1(x) = 0, n = 1, 2, 3,...

200


nPn (x)

− (2n − 1)xPn−1(x) + (n − 1)Pn−2(x) = 0, n = 2, 3,...

Inmult¸im ˆın prima relat¸ie cu Pn−1 (x), ˆın dou˘ a cu Pn (x) ¸si integr˘ am pe intervalul [-1,1]. Datorit˘a propriet˘a¸t ii de ortogonalitate, rezult˘a 1

1

P 2 (x)dx = (2n + 1)

n



n 1

−

−1 1

n

−1

Pn2 (x)dx = (2n

− 1)

xP (x)P



n

−1

(x)dx,n = 1, 2, 3,... n 1

−

1

xPn (x)Pn−1 (x)dx,n = 2, 3,...

−1

Din compararea acestor dou˘a egalit˘a¸t i, deducem

 

1

−1

Pn2 (x)dx =

−

2n 1 2n + 1



1

−1

Pn2−1 (x)dx,n = 2, 3 . . .

1

Not˘am In = −1 Pn2 (x)dx si¸ avem I2 = 35 I1 , I3 = 57 I2 , I4 = 79 I3 ,...,I n = 2n−1 2n+1 In−1 . 3 De aici rezult˘a I n = 2n+1 I1 . 1 Din (11.4) deducem P0 (x) = 1, P1 (x) = x si¸ avem −1 P02 (x)dx = 1

2,

1

2

2 (x)dx

−1 P1 (x)dx = −1 x



=

2 3,



deci egalitatea din enunt¸ este verificat˘a



≥

pentru k = n = 0 ¸si pentru k = n = 1. Pentru k = n 2 avem 3 3 2 2 In = I1 = = . 2n + 1 2n + 1 3 2n + 1

·




1

(1

−1

− x2)[Pn (x)]2dx.

Demonstrat¸ie. Integr˘am prin p˘art¸i ¸si ¸inem t seama de Teorema 11.4. Avem I=



1

− x2)Pn (x)Pn (x)dx = (1 − x2)Pn (x)Pn(x)|1−1−

(1

−1

1

−



−1

1

Pn (x) dx d [(1

− x2)Pn (x)]dx = n(n + 1)

(conform Teoremei 11.5)



−1 [P

n (x)]2 dx

= 2n(n 2n ++11)

Exemplul 11.2. In relat¸ia (11.2) lu˘am x = cos θ ¸si r = eiϕ . S˘a se obt¸in˘ a pentru 0 < < dezvolt˘arile

≤

Pn (cos θ)cos nϕ =



cos ϕ2 2(cos ϕ

− cos θ)

201


Pn (cos θ)sin nϕ = din care s˘a se deduc˘a suma seriei

−





sin ϕ2

− cos θ)

2(cos ϕ

Pn (cos θ).

≥

n 0

Demonstrat¸ie. Tinând seama c˘a eiϕ + e−iϕ = 2 cos ϕ putem scrie

− 1

2xr + r 2 =

− 1

ϕ

2eiϕ cos θ + e 2iϕ = e i 2 ϕ

= ei 2



2(cos ϕ



e−iϕ

− 2cos θ + eiϕ =

− cos θ)

Atunci conform relat¸iei (11.2) ¸si notat¸iilor din enunt¸ul problemei, ϕ





e−i 2 = Pn (cos θ)einϕ. 2(cos ϕ cos θ) n≥0

−

Identificˆ and p˘art¸ile reale ¸si imaginare ale celor doi membri obt¸inem cos ϕ2

Pn (cos θ)cos nϕ =

Pn (cos θ)sin nϕ =

− cos θ)

2(cos ϕ



−

sin ϕ2 2(cos ϕ

− cos θ)

In prima dezvoltare lu˘am ϕ = 0 ¸si obt¸inem



Pn (cos θ) =

n 0

≥

1 2sin

θ 2

.

Exemplul 11.3. S˘a se deduc˘a formulele de recurent¸˘ a

 (x) + Pn −1 (x) a) Pn (x) = P n+1  (x) b) (2 n + 1)Pn (x) = P n+1

− 2xPn (x)

− Pn −1(x)

 (x) = (n + 1)Pn (x) + xPn (x) c) Pn+1 d) (1

− x2)Pn (x) = nPn −1(x) − nxPn(x)

Demonstrat¸ie. a) Deriv˘am relat¸ia (11.2) ˆın raport cu x ¸si ˆınmult¸im egalitatea obt¸inut˘ a cu 1 2xr + r 2 :

−

r √1 − 2xr = (1 − 2xr + r 2 ) + r2



Pn (x)r n .

n 0

≥

202


Relat¸ia se mai poate scrie r



Pn (x)r n = (1

n 0

− 2xr + r2)



Pn (x)rn .

n 0

≥

≥

Identificˆ and coeficient¸ii lui r n+1 din ambii membri obt¸inem a). b) Deriv˘am formula (11.5) ¸si elimin˘ am termenul xPn (x) din acesta ¸si din formula a). c) Deriv˘am relat¸ia (11.5) ¸si elimin˘ am P n −1 (x) din aceasta ¸si din formula a).  (x) = (n+1)Pn (x)+xPn (x) ¸si Pn (x) = (n)Pn−1 (x)+ d) Din c) avem Pn+1   (x) xP  (x) ¸si o egal˘am cu xPn−1 (x). Cu acestea form˘am expresia xP n+1 n− 1 cea pe care o obt¸inem din b).

−

Exemplul 11.4. S˘a se arate c˘ a funct¸ia generatoare g dat˘a de (11.1) ∂g satisface ecuat¸ia r ∂g r) ∂x obt¸inˆ and cu ajutorul acesteia relat¸ia de ∂r = (x recurent¸a˘ xPn (x) Pn −1 (x) = nP n (x). (11.7)

−

−

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a din enunt¸ se verific˘a prin calcul direct. Folosind (11.2) scriem ecuat¸ia diferent¸ial˘ a sub forma (x

− r)



Pn (x)r n = r

n 1



nPn (x)r n−1

n 1

≥

≥

coeficient¸ii lui rn

¸si identificˆ and din ambii membri obt¸inem relat¸ia de recurent¸a˘ xPn (x) Pn −1 (x) = nPn (x). Calcul˘am

−

Pn (x) =

1 π



π

n(x + 0



x2

− 1cos ϕ)n−1

¸si amplific˘ am ambii membri cu x2 dreapta. Obt¸inem (x2 1)Pn (x) = nx

−

sau

1 π

  π

(x+

0

(1

x2



1+

ϕ √xxcos 2−1

dϕ

− 1 grupând convenabil termenii din

− 1cos ϕ)ndϕ−n π1

  π

(x+

0

− x2)Pn (x) = nPn−1(x) − nxPn(x)

(vezi Exemplul 11.3 d)).

11.1.3



Polinoamele lui Cebˆı¸sev

Din formula lui Moivre cos nθ + i sin nθ = (cos θ + i sin θ)n

x2

− 1cos ϕ)n−1dϕ (11.8)

203


rezult˘ a

−

( 1)k Cn2k cosn−2k θ sin2k θ.

cos nθ =

≤ ≤ n2

0 k

Cu notat¸ia x = cos θ, egalitatea devine k

cos(n arccos x) =

2k n 2k

−

0 k

n

≤ ≤2

( 1) Cn x

−

2 k

(1

−x )

Definit ¸ia 11.2. Polinoamele T n definite prin

∈ IN

Tn (x) = cos(n arccos x), n

(11.9)

sev . se numesc polinoamele lui Cebˆı¸ Teorema 11.6. Polinoamele lui Cebˆ ı¸sev au urm˘ atoarele propriet˘ at¸i : 1. admit funct¸ia generatoare τ (ζ, x) = τ (ζ, x) =



1 xζ , 1 2xζ +ζ 2

−

−

adic˘a

Tn (x)ζ n , ζ < 1

||

n 0

≥

2. exist˘a relat¸ia de recurent¸˘ a Tn+1 (x)

− 2xTn(x) + Tn−1(x) = 0,

n = 1, 2, 3,...

3. polinomul Tn este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale (1

− x2)y − xy + n2y = 0, n ∈ IN∗

4. exist˘a relat¸iile



1

−1

1

√1 − x2 Tk (x)Tn(x)dx =

 



0, pentru k = n π 2 , pentru k = n = 0 π, pentru k = n = 0

 

Demonstrat¸ie. 1. Consider˘am seria Taylor



Tn (x)ζ n ˆın care ˆınlocuim

≥

n 0

Tn (x) = cos(n arccos x) prin cos nθ. Avem





Tn (x)ζ n =

n 0

cos nθζ n =

n 0

≥

≥

∀ ∈

||

1 2

(einθ + e−inθ )ζ n .

n 0

≥

Pentru orice ζ C cu ζ < 1, seria este convergent˘a , deoarece este suma a dou˘a serii geometrice cu rat¸iile ζ eiθ = ζ < 1, ζ e−iθ = ζ < 1. Rezult˘a



n 0

≥

cos nθζ n =

1 2



| | ||

1

1

1

− ζ eiθ + 1 − ζ e−iθ

|

| || 1 − ζ cos θ = . 1 − 2ζ cos θ + ζ 2

204


Revenind la variabila x, obt¸inem



Tn (x)ζ n =

n 0

≥

2. Din identitatea cos(n + 1)θ

1

1 − ζx − 2ζx + ζ 2 , |ζ | < 1.

− 2cos θ cos nθ + cos(n − 1)θ = 0,

ˆınlocuind θ = arccos x, se obt¸ine relat¸ia de recurent¸˘ a din enunt¸ . 3. Deoarece T n (x) = cos(n arccos x), avem

− −

x2 Tn (x) = n sin(n arccos x),

1

2

− √1 x− x2 Tn (x) + 1 x2Tn (x) = − √1n− x2 cos(n arccos x). √ Inmult¸ind cu 1 − x2 ¸si ˆınlocuind cos(n arccos x) cu T (x), rezult˘a n

(1

−x

2

)T  (x) − xT  (x) + n2 Tn (x) = 0. n

n

4. In¸integrala substitut ia x = cosdin θ, membrul stâng, pe care o vom nota cu I (n, k), facem I (n, k) =





π

cos kθ cos n

d=

0





π

[cos(k + n)θ + cos(k 0

sin(k+n)θ + sin(k k+n k 2nθ I (n, k) = 12 sin2n +θ π I (0, 0) = 0 dθ = π.

Pentru k = n, I (n, k) = Pentru k = n = 0, Pentru k = n = 0,



1 2

1 2

−n)θ −n



|

π 0

=

|

π 0 π . 2

− n)θ]dθ.

= 0.

Observat ¸ia 11.1. Polinoamele lui Cebˆı¸sev formeaz˘a un sistem ortogonal cu ponderea p, pe intervalul [-1,1], unde p(x) = √11−x2 , x ( 1, 1).

∀ ∈−

11.1.4

Polinoamele lui Hermite

Consider˘ am funct¸ia ϕ : C

× IR → C definit˘a prin

ϕ(ζ, x) = e −(ζ

2 +2ζx)

2

= e x e−(ζ +x)

2

(11.10)

∀ ∈ IR, deci admite

Aceast˘a funct¸ie este olomorf˘a pe C, ˆın raport cu ζ , x dezvoltarea ˆın serie Taylor ϕ(ζ, x) =



n 0

≥

Hn (x)

ζn , n!

(11.11)

11.2. FUNCT ¸ IILE LUI BESSEL

205

unde Hn (x) este derivata de ordinul n ın ˆ punctul ζ = 0 a funct ¸iei ζ 2 2 e−(ζ +x) , ˆınmult¸it˘ a cu e x ,

−→

2

Hn (x) = e x

n

· dxd n e−x , ∀n ∈ IN. 2

(11.12)

n este un polinom de gradul n. HDefinit ¸ia 11.3. Polinoamele Hn definite prin (11.12) se numesc polinoamele lui Hermite, iar funct¸ia ϕ definit˘a de (11.10) se nume¸ste funct¸ia generatoare a polinoamelor lui Hermite.

Teorema 11.7. Polinoamele lui Hermite au urm˘atoarele propriet˘ at¸i: 1. verific˘a relat¸ia de recurent¸˘ a: Hn+1 (x) + 2xHn (x) + 2nHn−1 (x) = 0, n = 1, 2, 3,...

2. Hn este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale : y 

− 2xy + 2ny = 0

3. au loc relat¸iile :



∞ e−x2 Hk (x)Hn (x)dx = −∞





0, n pentru k = n n!2 π, pentru k = n

√

11.2

Funct¸iile lui Bessel

11.2.1

Ecuat¸ia lui Bessel. Funct¸iile lui Bessel de prima spet¸˘ a ¸si de spet ¸a a doua

Definit ¸ia 11.4. Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a x2 y  + xy  + (x2

− ν 2=)y0

(11.13)

unde ν este un parametru cu valori reale sau complexe, se nume¸ste ecuat¸ia lui Bessel, iar solut¸iile acestei ecuat¸ii se numesc funct¸ii Bessel sau funct¸ii cilindrice. Observat ¸ia 11.2. Denumirea de funct¸ii cilindrice este justificat˘a prin faptul c˘a se ˆıntˆ alnesc ˆın probleme la limit˘a din teoria potent¸ialului pentru domenii cilindrice. Observat ¸ia 11.3. Ecuat¸ia lui Bessel poate ap˘area sub diverse forme, iar forma (11.13) se nume¸ste forma canonic˘ a . Cea mai ap ropiat˘a de forma (11.13) este ecuat¸ia x2 y  + xy  + (k 2 x2

− ν 2)y=0

(11.14)

care poate fi adus˘a la forma canonic˘a prin schimbarea de variabil˘a ξ = kx.

206


O familie de ecuat¸ii care pot fi aduse la forma (11.13) este x2 y  + axy  + (bxn + c)y = 0 cu a,b , c, n constante reale sau complexe. Pentru a ajunge la forma canonic˘a 2 se face mai ˆıntˆ ai schimbarea de variabil˘a x = t n si ¸ apoi y = tα z, unde α urmeaz˘ a s˘a fie determinat astfel ˆıncˆ at s˘a se obt¸in˘ a o ecuat¸ie de forma (11.14). Vom considera ecuat¸ia (11.13) pentru funct ¸ii complexe de o variabil˘ a complex˘ a ¸si c˘ aut˘am solut¸ii de forma y(x) = x r



ck xk , x

k 0

≥

∈C

(11.15)

exponentul r si ¸ constantele ck urmând a fi determinate. Presupunem c˘a seria ck xk are raza de convergent¸a˘ ρ = 0. Pentru orice x interior discului





k 0

≥

de convergent¸a˘ , y  (x) = x r−1



(r + k)ck xk

k 0

≥

y  (x) = x r−2

(r + k)(r + k k 0

− 1)ck xk

 ≥

Introducem ˆın ecuat¸ia (11.13) ¸si simplific˘ am cu x r . Obt¸inem



[(r + k)(r + k

k 0

≥

sau echivalent



k 0

≥



− 1) + (r + k)]ck xk + (x2 − ν 2)

[(r + k)2

− ν 2]ck xk = −



ck xk = 0

k 0

≥

ck xk+2 .

k 0

≥

Rezult˘ a (r 2

− ν 2)c0 = 0, [(r + 1)2 − ν 2]c=1 0 (11.16) 2 2 [(r + k) − ν ]ck = −ck−2 , k = 2, 3, 4 . . . (11.17) Putem presupune c 0  = 0. Dac˘a c 0 = 0, seria (11.15) va ˆıncepe cu termenul r+1 c1 x xr1

¸si cu schimbarea de notat¸ie r + 1 = r1 , k = p + 1 am avea y =



cp xp ,

adic˘a o serie de aceea¸si form˘a cu (11.15). Din prima egalitate

p 0

≥

(11.16) rezult˘a r2

− ν 2 = 0.

(11.18)

Aceast˘a ecuat¸ie, numit˘a ecuat¸ia determinat˘ a a ecuat¸iei diferent¸iale (11.13), are r˘ad˘acinile ν ¸si ν . Cum ν intervine ˆın ecuat¸ia diferent¸ial˘ a prin p˘atratul s˘ au, ν 2 C 0 , arg 0 (ν 2 ) [0, 2π) ¸si putem preciza pe ν = 0 prin arg0 (ν ) [0, π). Deci, dac˘a ν IR, atunci ν 0.

∀ ∈ \ ∈

 −

∈

∈

≥



207


Pentru r = ν , a doua relat¸ie (11.16) devine (2 ν + 1)c1 = 0. Deoarece ν nu poate lua valori strict negative, 2 ν + 1 = 0 ¸si c 1 = 0. Tot pentru r = ν , relat¸iile (11.17) devin



k(2ν + k)ck =

−ck−2,

k = 2, 3,...

(11.19)

Pentru k = 3, 5,... , ¸t inˆ and seama c˘a c1 = 0, rezult˘a c˘ a tot¸i coeficient¸ii ck de indice impar sunt nuli. Pentru k = 2, 4,... not˘am k = 2p, p = 1, 2, 3,... ¸si obt¸inem din (11.19) 4p(ν + p)c2p =

−c2p−2,

p = 1, 2, 3,...

(11.20)

din care se pot deduce tot ¸i coeficient¸ii cu indice par ˆın funct¸ie de c0 . Din primele p relat¸ii (ν + 1)c2 = c0

− (ν + 2)c4 = −c2 ............

−c2p−2

(ν + p)c2p = rezult˘ a

p!22p (ν + 1)(ν + 2) . . . (ν + p)c2p = ( 1)p c0

−

Tinând seama de propriet˘at¸ile funct¸iei

a lui Euler, avem

(ν + 1)(ν + 2) . . . (ν + p) = Rezult˘a c2p =

Γ(ν + p + 1) . Γ(ν + 1)

( 1)p Γ(ν + 1)c0 , p = 1, 2, 3,.... p!22p Γ(ν + p + 1)

−

Astfel (11.15) devine y(x) = x ν



c2p x2p = Γ(ν + 1)c0

p 0

−

( 1)p

p 0

≥

≥

xν +2p . + p + 1)

p!22p Γ(ν

Ecuat¸ia (11.13) fiind omogen˘a , solut¸iile sale pot fi determinate ˆın afara unui 1 factor constant. Vom lua c 0 = 2ν Γ(ν ¸ obt¸inem funct¸ia +1) si y(x) =

 p 0

≥



( 1)p x p!Γ(ν + p + 1) 2

−

ν +2p

Vom determina multt¸imea pe care suma acestei serii exist˘a ¸si este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale. Vom scrie y(x) =

 x 2

ν

p 0

≥



( 1)p x p!Γ(ν + p + 1) 2

−

2p

.

208


In aceast˘a serie not˘am



x 2 2

= ζ ¸si avem de studiat seria de puteri

p 0

≥

Raza de convergent¸a˘ a acestei serii este ( 1)p

−

ρ = lim p

( p + 1)!

·

−

p!Γ(ν + p + 1) Fie funct¸ia ϕ definit˘a prin ϕ(ζ ) =

 ≥

  ≥

p 0

seria

p 0

≥

−

p

( 1)p ζ p, ζ p!Γ(ν + p + 1)

−

( 1)p ζ p. p!Γ(ν + p + 1)

= lim (p+1) ν + p+1 =



( 1)

p 0

Seria

(ν + p + 2) p+1



→∞



→∞

|

| ∞

∈ C.

( 1)p ζ p poate fi derivat˘a de câte ori este necesar; la fel ¸si p!Γ(ν + p + 1)

−



( 1)p x p!Γ(ν + p + 1) 2

−

2p

= f (x) a c˘arei sum˘a este f .

  ∈ \   | ≥   −→ ||  −→    ν

Funct¸ia y obt¸inut˘ a mai sus are valorile y(x) = x2 f (x). ν Pentru ν = n IN, primul factor, x2 define¸ste o funct¸ie olomorf˘a pe C, deci y este o funct¸ie olomorf˘a pe C ¸si verific˘ a ecuat¸ia lui Bessel pe C. Dac˘a ν nu este num˘ar natural, ν este sau un num˘ar strict pozitiv diferit

∈



de un xˆıntreg sau un num˘ ar complex cu partea imaginar˘a strict pozitiv˘a , ν deci 2 ia mai multe valori pentru x C 0 dat. Fie T o semidreapt˘a cu srcinea ˆın O, T = x = reiα r 0 cu α x ν [0, 2π) constant. Consider˘am ramura corespondent¸ei x definit˘a 2 x x pe D = C T cu valorile e ν (ln 2 +iargα ( 2 )) . Pentru a evita complic at¸iile de

\ \

ν

∈

ν

x scriere vom nota aceste valori tot cu x2 . Funct¸ia x este olomorf˘a 2 x ν pe D = C T , deci x y(x) = 2 f (x) este olomorf˘a pe D si¸ verific˘a ecuat¸ia (11.13) pe D. Definit¸ia 11.5. Funct ¸ia J ν definit˘a prin

−→

Jν (x) =

 ≥

p 0



( 1)p x p!Γ(ν + p + 1) 2

−

ν +2p

(11.21)

este solut¸ie a ecuat¸iei lui Bessel (11.13). In continuare vom ˆıncerca s˘a obt¸inem o a doua solut ¸ie particular˘a a

− −

ecuat¸iei (11.13) corespunz˘atoare lui r = ν , ν fiind cealalt˘a solut¸ie a ecuat¸iei determinate, ˆın ipoteza ν = 0. A doua relat¸ie (11.16) devine ( 2ν + 1)c1 = 0, iar relat¸iile (11.17) vor avea forma k( 2ν + k)ck = ck−2 , k = 2, 3,... . Vom scrie aceste rel at¸ii separat, pentru k par ¸si pentru k impar.

−

−

−

 −

−c0, (−2ν + 1)c1 = 0 (−ν + 2)c4 = −c2 , 3(−2ν + 3)c3 = −c1 ( ν + 1)c2 =

209


...............

−

−c2p−1  0, ∀p ∈ IN∗ si¸ din ν nu este num˘ar natural. Avem −ν + p =

( ν + p)c2p =

−c2p−2,

−

(2p + 1)( 2ν + 2 p + 1)c2p+1 =

Cazul 1. primele p relat¸ii de mai sus rezult˘a c2p =

−

− −

( 1)p Γ( ν + 1)c0 , p = 1, 2, 3,... p!22p Γ( ν + p + 1)

Relat¸iile de pe a doua coloan˘ a pot fi satisf˘acute luând c2p+1 = 0, p = 0, 1, 2,... s¸i seria (11.15) devine y(x) = x ν



c2p x2p .

p 0

≥

2ν Γ( ν +1) ,

Luând c0 = − ˆınlocuind ν cu ν ,

−

obt¸inem funct¸ia J−ν care poate fi dedus˘a din (11.21)

J−ν (x) =

  p 0

≥



( 1)p x p!Γ( ν + p + 1)) 2

−

−

−ν +2p

(11.22)

ν (ln x +iargα ( x )) x ν 2 2 cu convent¸ia de mai sus, 2 = e . Funct¸ia J−ν este olomorf˘a pe D = C T s¸i este solut¸ia a ecuat¸iei lui Bessel pe domeniul D. Se poate verifica u¸sor c˘ a J ν ¸si J −ν sunt liniar independente. ν Intr-adev˘ ar, Jν ¸si J−ν sunt de forma Jν (x) = x2 (a0 +a2 x2 +. . .), J−ν = x ν 2 (b0 + b2 x + . . .) cu a0 = 0, b0 = 0, deci nu exist˘a λ C astfel ˆıncât 2 Jν = λJ −ν sau J −ν = λJν . Avem deci urm˘atorul rezultat:

\





||





∈

∈

ar natTeorema 11.8. Cu convent¸ia arg0 (ν ) [0, π), dac˘a ν nu este num˘ ural, atunci solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei lui Bessel pe domeniul D = C T este y = aJν + bJ−ν

\

unde Jν ¸si J−ν sunt funct¸iile definite prin (11.21) ¸s(11.22), iar a ¸si b sunt constante complexe arbitrare. Cazul 2. ν = n IN. In acest caz, 2n + 2 p + 1 = 0, p N ∗ si¸ din relat¸iile scrise mai sus, rezult˘a c = c = . . . = c = . . . = 0. 1 ν ¸ 2p+1 Dac˘a ν = 0, cele dou˘a r˘ ad˘acini s3i ν nu sunt distincte, deci nu putem obt¸ine o a doua solut¸ie pe aceast˘a cale. Dac˘a ν = n IN∗ , ˆın relat¸iile de mai sus de pe prima coloan˘a , coeficientul lui c2n este nul ¸si rezult˘ a c2n−2 = c2n−4 = . . . = c 0 = 0, fapt ce contrazice ipoteza c 0 = 0, deci nu putem avea o a doua solut ¸ie de forma (11.15) liniar independent˘a fat¸˘ a de prima. De altfel, considerând ˆın continuare relat¸iile de pe prima coloan˘a pentru p = n + 1, n + 2,... obt¸inem o solut¸ie de forma (11.15), care difer˘a de solut¸ia J n printr-un factor constant.

∈

∈



− −

 ∀ ∈

210


Evident, pentru ν = n, (11.21) devine Jn =

 p 0

≥



( 1)p x p!(n + p)! 2

−

n+2p

(11.23)

deoarece (n + p + 1) = ( n + p)!. In acest caz va trebui s˘a c˘aut˘am o a doua solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei lui Bessel pe alt˘a cale.

Teorema 11.9. Fie J n ¸si J −n funct¸iile obt¸inute din (11.21) ¸si (11.22) pentru ν = n . Intre aceste funct¸ii exist˘ a relat¸ia J−n = ( 1)n Jn ,

−

∀n ∈ IN. (11.24) p (−1) x −n+2p 1 Demonstrat¸ie. Avem J−n (x) = . Cum Γ(−n+ p+1) = p!Γ(−n + p + 1) 2 p≥0 0 pentru −n + p + 1 = 0 , −1, −2 . . ., adic˘a pentru p = n − 1, n − 2,..., 1, 0 (−1)p x −n+2p (deoarece p ≥ 0). R˘amâne J −n (x) = sau cu p!Γ(−n + p + 1) 2 p≥0







schimbarea p = n + q a indicelui de ˆınsumare, J−n (x) =

 q 0

≥

( 1)n+q (n + q )!Γ(q + 1)

−

x 2

n+2q

−



= ( 1)n

 q 0

≥

Comparând cu (11.23) rezult˘a (11.24).

( 1)q x q !(n + q )! 2

−

n+2q



Teorema 11.10. Wronskianul funct¸iilor Jν , J−ν are valorile w(x) =



Jν (x) J−ν (x)  ν (x) Jν (x) J−



=

− sinπxνπ

(11.25)

Demonstrat¸ie. Pornim de la faptul c˘a Jν ¸si J −ν sunt solut¸ii ale ecuat¸iei lui Bessel (11.13), deci x2 Jν (x) + xJν (x) + (x2

− ν 2)Jν (x) = 0  (x) + xJ  (x) + (x2 − ν 2 )J−ν (x) = 0 x2 J− ν −ν Inmult¸im prima egalitate cu

J

(x), iar a doua cu J si ¸ adun˘am :

ν − −ν  (x) − J−ν (x)J  (x)) + x(Jν (x)J  (x) − J−ν (x)J  (x)) = 0 x (Jν (x)J− ν ν −ν ν k  Am obt¸inut xw + w = 0. Rezult˘a w(x) = , unde k este o constant˘a 2

x

complex˘ a pe care o vom determina din calcul direc t. Conform (11.21) ¸si (11.22), Jν (x) =

1 Γ(ν + 1)

 x 2

ν

+ ..., J

−ν (x) =

1 Γ( ν + 1)

−

 x 2

ν

+ ...

211


Jν (x) =

ν 1 2 Γ(ν + 1)

·

 x 2



ν 1 x −ν −1  +. . . −ν (x) = − 2 · Γ(−ν + 1) 2 ¸si J −ν (x)Jν (x), singurii termeni ˆın 1 sunt cei dat¸i

ν 1

−

+..., J

 ν (x) In produsele J ν (x)J− x de produsele primilor termeni din dezvolt˘arile de mai sus. A¸sadar, 2ν 1 w(x) = Γ(ν + 1) (1 ν ) x .

−

− ·

Tinând seama de propriet˘a¸t ile funct¸iei enunt¸

rezult˘ a c˘a w(x) are forma din

Corolarul 11.1. Funct ¸iile Jν ¸si J−ν sunt liniar dependente dac˘a ¸si numai dac˘a ν IN.

∈

Formula (11.25) sugereaz˘a s˘a c˘ aut˘am o nou˘a solut¸ie Yν , combinat¸ie liniar˘a a funct¸iilor Jν ¸si J−ν astfel ˆıncât wronskianul funct¸iilor Jν ¸si Yν s˘a nu mai cont¸in˘ a factorul sin νπ. Evident, Y ν de forma Yν =

1 [a(ν )Jν (x) + b(ν )J−ν (x)] sin νπ

∈

este solut¸ie a ecuat¸iei Bessel, pentru n nenatural, oricare a(ν ), b(ν ) C. Putem alege a(ν ), b(ν ) astfel ˆıncˆ at wronskianul funct¸iilor J ν , Y ν s˘a nu se anuleze pentru nicio valoare a lui ν , s˘a existe Y n = lim Yν (x), n IN ¸si Y n ν →n s˘a fie solut¸ie a ecuat¸iei Bessel pentru ν = n.

∀ ∈

Teorema 11.11. Funct ¸ia Yν =

1 (Jν (x)cos νπ sin νπ

− J−ν (x)),

ν nenatural

(11.26)

are urm˘ atoarele propriet˘ at¸i : 1. W (Jν (x), Yν (x)) = 2. cu restrict¸ia ν



Jν (x) Yν (x) Jν (x) Yν (x)



=

2 πx ,

∀n

nenatural

∈ IR \ IN exist˘a Yn(x) = lim Yν (x), ∀n ∈ IN, anume : ν →n Yn (x) =



1 ∂J ν (x) π ∂ν

− (−1)ν ∂J −∂νν (x)

3. Yn este solut¸ie a ecuat¸iei lui Bessel pentru ν = n,



(11.27)

ν =n

∀n ∈ IN.

Demonstrat¸ie. 1. Avem W (Jν (x), Yν (x)) = =

1 sin νπ



Jν (x) Jν (x)cos νπ Jν (x) Jν (x)cos νπ

− sin1νπ W (Jν (x), J−ν (x))

− J− ν (x) − J−ν (x)



=

212


2 Comparând cu (11.25) rezult˘a W (Jν (x), Yν (x)) = πx . 2. Restrict¸ia impus˘a , ˆın calculul limitei, este posibil˘a , deoarece ne intereseaz˘ a o solut¸ie particular˘a Yn liniar independent˘a fat¸a˘ de Jn , indiferent pe ce cale o obt¸inem. Avem

Yn (x)= =

ν

ν

lim →n,ν ∈[0,∞)\IN ∂J ν (x) ∂ν

lim

Jν (x)cos νπ J ν (x) = sin νπ −

−

cos νπ

− π ∂J∂ν(x) sin νπ − ∂J−∂ν(x) ν

ν

π cos νπ

→n,ν∈[0,∞)\IN

Evident cos nπ = ( 1)n , n IN ¸si am folosit relat¸ia (11.24). Calculând ultima limit˘a obt¸inem egalitatea din enunt¸ . 3. Dac˘a scriem c˘a J ν ¸si J −ν sunt solut¸ii ale ecuat¸iei lui Bessel (11.13) ¸si deriv˘ am ˆın raport cu ν , prin schimbarea ordinei de derivare, obt ¸inem

−

x2 x2

       

d2 dx2

d2 dx2

∀ ∈

∂J ν ∂ν

∂J −ν ∂ν

+x

+x

d dx

d dx

Inmult¸im prima egalitate cu x2 Uν + xUν + (x2



∂J ν ∂ν

+ (x2

− ν 2) ∂J∂νν − 2νJ ν = 0

∂J −ν ∂ν

+ (x2

− ν 2) ∂J∂ν−ν − 2νJ −ν = 0

1 π,

−

1

ν

− − − −−

a doua cu π ( 1) ¸si adun˘ am. Obt¸inem 2ν 2 ν ν )Uν (Jν ( 1) J−ν ) = 0 π



ν Am notat Uν = π1 ∂J ( 1)ν ∂ J∂ν−ν . Trecând la limit˘a pentru ν ∂ν ¸t inˆ and seama de (11.27) ¸si (11.24), obt¸inem

−−

x2 Yn + xYn + (x2

−→ n ¸si

− n2)Yn = 0,

deci Y n este solut¸ie a ecuat¸iei lui Bessel pentru ν = n

∈ IN arbitrar.

Definit ¸ia 11.6. Funct ¸iile Jν ¸si J−ν definite pentru ν = 0 ¸si pentru orice ν cu arg 0 (ν ) [0, π) prin (11.21) ¸si (11.22) se numesc funct¸iile lui Bessel de prima spet¸a ˘ ¸si de ordinul ν , respectiv ν . Funct¸ia Yν definit˘a de (11.26) pentru ν num˘ ar nenatural ¸si prin (11.27) pentru ν = n IN se

∈

−

∈

nume¸ste funct¸ia lui Bessel de spet¸a a doua ¸si de ordinul ν . a a ecuat¸iei lui Bessel (11.13) se poate scrie Corolarul 11.2. Solut¸ia general˘ sub forma y = aJν + bYν cu a, b constante complexe arbitrare.

Observat ¸ia 11.4. In aplicat¸ii se ˆıntˆ alnesc combinat¸iile liniare particulare Hν(1) = J ν + iYν , Hν(2) = J ν

− iYν

numite funct¸iile lui Bessel de spet¸a a treia sau funct¸iile lui Hankel.

213


Pentru ν nenatural aceste funct¸ii pot fi exprimate numai prin funct¸iile lui Bessel de prima spet¸˘ a: Hν(1) = i Schimbˆ and pe ν cu

Jν e−iνπ J−ν , Hν(2) = sin νπ

iνπ −i Jν esin −νπJ−ν

−

−ν se obt¸in relat¸iile (1)

(2)

H−ν = e iνπ Hν(1) , H−ν = e −iνπ Hν(2)

11.2.2

Relat¸ii de recurent¸˘ a

a ¸si derivatele lor, Teorema 11.12. Intre funct¸iile lui Bessel de prima spet¸˘ exist˘a urm˘ atoarele relat¸ii de recurent¸˘ a: d ν d −ν [x Jν (x)] = x ν Jν −1 (x), [x Jν (x)] = dx dx

−xν Jν+1(x)

(11.28)

sau echivalent cu acestea Jν −1 (x) + Jν +1 (x) = Jν −1 (x)

2ν J ν (x) x

− Jν+1(x) = 2Jν (x)

Demonstrat¸ie. Seria (11.21) poate fi derivat˘a termen cu termen pe domeniul de olomorfie al funct¸iei J ν , deci d ν [x Jν (x)] = dx =



− p 0

≥

( 1)p 2ν (ν + p) x p!Γ(ν + p + 1) 2

 ≥

p 0

  − 

( 1)p 2ν d x p!Γ(ν + p + 1) dx 2

−

2ν +2p 1

−

= xν

p 0

≥

2ν +2p

( 1)p x p!Γ(ν + p) 2

=

−

ν 1+2p

= x ν Jν −1 (x)

Analog, d −ν [x Jν (x)] = dx

 ≥

p 0

 

( 1)p 2−ν d x p!Γ(ν + p + 1) dx 2

−

2p

=

≥

p 0



( 1)p 2−ν p x p!Γ(ν + p + 1) 2

−

2p 1

−

Termenul corespunz˘ ator lui p = 0 este nul, deoarece este derivata unei constante. Simplific˘am cu p ˆın expresia termenului general ¸si schimb˘ am indicele de ˆınsumare p ˆın q + 1 d −ν [x Jν (x)] = dx

− q 0

≥

( 1)q+1 2−ν q !Γ(ν + q + 2)

 x 2

2q+1

=

−x−ν

deci ¸si a doua relat¸ie (11.28) este demonstrat˘a .

 q 0

≥

( 1)p q !Γ(ν + 1 + q + 1)

−

 x 2

ν +1+2q

214


Efectu˘am operat¸iile de derivare ˆın (11.28) νx ν −1 Jν (x) + xν Jν (x) = x ν Jν −1 (x)

−νx ν−1Jν (x) + xν Jν (x) = −xν Jν+1(x) ν

ν

Inmult¸im prima egalitate cu x − ¸si cea de-a doua cu x . Obt¸inem ν Jν (x) + Jν (x) = J ν −1 (x) x ν Jν (x) + Jν (x) = Jν +1 (x) x Din acestea rezult˘a celelalte relat¸ii din enunt¸ .

−

−

Observat ¸ia 11.5. Relat¸iile de recurent¸˘ a (11.28) sunt satisf˘acute ¸si de funct¸iile de spet¸a a doua Y ν .

    ±

Teorema 11.13. Funct ¸iile lui Bessel J ν , pentru ν = fi exprimate prin funct¸ii elementare Jν (x) =

   2 An πx

1 x

cos x + Bn

unde An ¸si Bn sunt polinoame de grad cel mult n. 2

Avem Γ

1 + p+1 2

1 2

,n

∈ IN, pot

1 sin x x

(11.29)

  −      −    · · · √ · · ·   √

Demonstrat¸ie. Conform formulei (11.21), J 1 (x) =



n+

=

1 +p 2

1 +p 2

1 ...

1 2

( 1)p p!Γ 12 + p + 1 p≥0

1 2

=

x 2

1 3 5 . . . (2p + 1) π 2p+1

sau, amplificând cu 2 4 6 . . . (2p) = p!2p , 1 + p+1 2

=

(2p + 1)! π. p!22p+1

( 1)p 22p+1

x

2p+1

Γ

Astfel, 2

J 1 (x) = 2

−



πx p≥0 (2p + 1)!

deci

J 1 (x) = 2

Folosind proprietatea funct¸iei Γ

−

1 +p+1 2



=

:

( 1)p x2p+1

−

2

=

     

πx p≥0 (2p + 1)!

2

2 sin x. πx

(z ) = z1 Γ(z + 1), avem

2 Γ 2p + 1

1 + p+1 2

1 +2p 2

=

√

(2p)! π. p!22p

,

.

215


Se va obt¸ine J− 1 (x) = 2

 − 2 πx

≥

p 0

x2p ( 1) = (2p)! p



2 cos x πx

1

1

− −

In relat¸iile din Teorema 11.12 ˆınlocuim ν cu 2 si ¸ apoi cu 2 s¸i rezult˘a 1 2 1 J1+ 1 (x) = J 1 (x) J− 1 (x) = sin x cos x 2 2 x 2 πx x

−

J−1− 1 (x) = 2

−J

1 2

(x)

− x1 J−

1 2

(x) =

   − 2 πx

sin x





− x1 cos x

Cazul general din enunt¸ se obt¸inem prin induct¸ie, folosind relat¸iile de recurent¸a˘

11.2.3

Reprezent˘ ari integrale

¸iile lui Bessel Jn , n Teorema 11.14. Funct Jn (x) =

∈ IN admit urm˘atoarea reprezentare −1

x

1 2πi

C



e 2 (ζ ζ ) dζ ζ n+1

(11.30)

unde C este un cerc cu centrul ˆın srcine ¸si cu raza ρ > 0 arbitrar˘ a. x (ζ

2

− ζ1 )

Demonstrat¸ie. Funct ¸ia ζ f (ζ, x) = e ζ n+1 , unde x este un parametru cu valori complexe, nu are ˆın C alte singularit˘a¸i t decât ζ = 0, punct singular esent¸ial, x C 0 . 1 Conform definit¸iei reziduului, 2πi C f (ζ, x)dζ = Rez(f, 0). Pentru calculul reziduului, dezvolt˘am funct¸ia f ˆın serie Laurent ˆın jurul srcinii,

∀ ∀∈ \

f (ζ, x) =



−→

1 x ζ − x2 1ζ 1 e2 e = n+1 ζ n+1 ζ

  ·   − ·  · ≥

p 0

1 p!

x 2

p

x

p+k

ζp

( 1)k

k 0

≥

1 k!

x 2

k

1 ζk

Efectuând produsul celor dou˘a serii, avem

≥ ≥

1 ζ

1 n+k p+1

 − ·   ·  − · p 0k 0

Termenii ˆın

1

( 1)k

f (ζ, x) =

p!k!

2

ζ

.

−

se obt¸in pentru p = n + k, k = 0, 1, 2,... , deci ( 1)k

Rez(f, 0) =

k 0

≥

1 k!(n + k)!

x 2

n+2k

.

Comparând cu (11.23), observ˘am c˘a Rez( f, 0) = Jn (x) ¸si formula (11.30) este demonstrat˘a .

216


In cazul când x = 0, f (ζ, 0) =

1 ζ n+1

1, pentru n = 0 0, pentru n > 0

Rez(f, 0) =



ˆın concordant¸a˘ cu faptul c˘a J 0 (0) = 1 ¸si J n (0) = 0 pentru n rezult˘ a din (11.23).

∈ IN∗, a¸sa cum 1

x

(ζ − ζ ) Observat ¸ia 11.6. Consider˘am funct¸ia ζ ϕ(ζ, x) = e 2 , unde x este un parametru cu valori complexe. Ca ¸si funct¸ia f de mai sus, ϕ are ˆın C numai singularitatea ζ = 0, punct singular esent¸ial, x C 0 . Dezvoltarea ˆın serie Laurent ˆın jurul srcinii are forma

−→

∀ ∈

x

e 2 (ζ



− 1ζ ) =

cn ζ n , cn =

−∞
1 2πi

∈



x

C



−1

e 2 (ζ ζ ) dζ. ζ n+1

Comparând cu (11.30) avem c n = J n (x), n IN. Vom demonstra c˘a cn = J n (x) ¸si pentru n = 1, 2, 3,... . Din (11.23) n

rezult˘ a

−x) = ( −1)

Jn(

Jn (x)

− − −

¸si datorit˘ a egalit˘a¸t ilor (11.24) ¸si (11.30) avem

−

J−n (x) = J n ( x) =

1 2πi



x

C

(ζ

−1)

ζ e2 dζ. n+1 ζ

In aceast˘a integral˘a facem schimbarea de variabil˘a ζ = z1 care transform˘a cercul C , cu centrul ˆın srcine ¸si cu raza ρ, ˆın cercul C 1 , cu centrul ˆın origine ¸si cu raza ρ 1 = 1ρ . Deci J−n (x) =

1 2πi



x

C1

(ζ

−1)

ζ e2 dζ = c−n , n = 1, 2, 3,... ζ −n+1

(11.31)

deoarece, datorit˘a teoremei lui Cauchy, cercul C 1 poate fi ˆınlocuit cu C . A¸sadar, avem dezvoltarea ˆın serie Laurent ˆın jurul srcinii : e x2 (ζ − ζ1 ) =



Jn (x)ζ n

(11.32)

−∞
−1

Pentru acest motiv ζ ϕ(ζ, x) = e 2 (ζ ζ ) se nume¸ste funct¸ia generatoare a funct¸iilor lui Bessel de prima spet ¸˘ a ¸si de ordin ˆıntreg, notate cu Jn . Egalitatea (11.32) r˘amâne adev˘arat˘a ¸si pentru x = 0, deoarece J0 (0) = 1 ¸si J n (0) = 0, n ZZ 0 .

−→

∀ ∈



217


∈

Teorema 11.15. Funct ¸iile Jn , n ZZ mai pot fi reprezentate prin urm˘atoarele integrale : 2π 1 Jn (x) = eix sin θ e−inθ dθ (11.33) 2π 0



2π

1

n

ix cos θ inθ



i Jn (x) = 2π 0 e e dθ (11.34) Demonstrat¸ie. Comparând formula (11.31), valabil˘a pentru n = 1, 2, 3,... cu (11.30), unde n IN, putem afirma c˘a egalitatea (11.30) are loc pentru orice n ZZ. In (11.30) vom lua raza ρ = 1. Notând ζ = eiθ , integrala pe C se transform˘a ˆıntr-o integral˘ a pe intervalul [0 , 2π],

∈

∈

Jn (x) =

1 2πi



2π 0

x

iθ

−iθ )

e 2 (e −e ei(n+1)θ

· ieiθ dθ = 2π1



2π

eix sin θ e−inθ dθ

0

¸si formula (11.33) este demonstrat˘a . Dac˘a ˆın (11.33) facem schimbarea de variabil˘ aθ= Jn (x) =

− 2π1



− 32π π

π

eix cos τ e−in( 2 −τ ) dτ = ( 1)n

−

2

1 2π

π 2

−

− 32π

π

τ , rezult˘a eix cos τ einτ dτ

2

Funct¸ia de sub semnul integral este periodic˘a de perioad˘a 2π, deci intervalul 3π π de integrare ınlocuit cu [0, 2π]. Inmult¸ind apoi cu i n ˆın 2 , 2 poate fi ˆ ambii membri obt¸inem egalitatea (11.34).

− 

∈ 

Corolarul 11.3. Funct ¸iile Jn , n Jn (x) =

1 π

in Jn (x) =

ari : IN admit ¸si urm˘atoarele reprezent˘

π

cos(x sin θ

0

1 π

π

− nθ)dθ

eix cos θ cos n

(11.35)

d

(11.36)

0

Demonstrat¸ie. In (11.33) ¸si (11.34), funct¸iile de sub semnul integral au perioada 2π, deci intervalul de integrare [0, 2π] poate fi ˆınlocuit cu [ π, π]. In (11.33) avem e ix sin θ e−inθ = ei(x sin θ−nθ) , deci

−

·

Jn (x) =

π

1



π

−

cos(x sin θ nθ)dθ = 2

−π

nθ)dθ + i

π

1

sin(x sin θ nθ)dθ. 2π −π 2π −π Sub semnul integral avem ˆın primul termen o funct¸ie par˘a ˆın raport cu θ, ˆın al doilea o funct¸ie impar˘a , deci



cos(x sin θ

−





π

−

cos(x sin θ nθ)dθ, 0

−



π

−

sin(x sin θ nθ)dθ = 0

−π

¸si formula (11.35) este demonstrat˘a . Egalitatea (11.36) se obt¸ine analog din (11.34).

218


11.2.4

Funct¸iile lui Bessel modificate

In diverse probleme de fizic˘a ¸si tehnic˘ a se ˆıntˆ alne¸ste ecuat¸ia lui Bessel sub forma x2 y  + xy  (x2 + ν 2 )y = 0, ν IR. (11.37)

−

∈

Cu schimbarea de variabil˘a ξ = ix, ecuat¸ia (11.37) va avea forma canonic˘a (11.38) ξ 2 η  + ξη  (ξ 2 ν 2 )η = 0,

− −

unde η(ix) = y(x). Conform Corolarului 11.2, solut¸ia general˘a a ecuat¸iei (11.38) are forma η(ξ ) = aJν (ξ ) + bYν (ξ ) cu a ¸si b constante complexe arbitrare, deci ecuat¸ia (11.37) va avea solut¸ia general˘ a y(x) = aJν (ix) + bYν (ix). Inlocuind ˆın (11.21) pe x cu ix, obt¸inem Jν (ix) = iν

− − ( 1)k

≥

p 0

Observ˘ am c˘a π

Iν (x) = e−iν 2 Jν (ix) =

1 p!Γ(ν + p + 1)

( 1)k

p 0

≥

·

  · x 2

1 p!Γ(ν + p + 1)

ν +2p

x 2

.

ν +2p

(11.39)

∈

ia valori reale pentru ν IR. Funct ¸ia I ν este solut¸ie a ecuat¸iei (11.37). Dac˘a ν nu este num˘ar natural, o a doua solut ¸ie particular˘a a ecuat¸iei (11.37), liniar independent˘a fat¸˘ a de prima, se obt¸ine analog din Jν (ix) sau direct din (11.39) schimbând ν cu ν . In acest caz solut¸ia general˘a a ecuat¸iei (11.37) se poate scrie sub forma

−

y(x) = aI ν (x) + bI−ν (x) cu a, b constante reale arbitrare (ˆın ipoteza ν Dac˘a ν N , datorit˘a relat¸iilor

∈

π

∈ IR, x ∈ IR). π

Jn (ix) = e in 2 In (x), J−n (ix) = e −in 2 I−n (x), (11.24) devine I −n = I n ,

∀x ∈ IR,

∀n ∈ IN.

(11.40)

Pentru a construi solut¸ia general˘a a ecuat¸iei (11.37), ˆın ipoteza ν consider˘ a funct¸ia K ν , de valori Kν (x) =

−

π I −ν (x) Iν (x) , ν 2 sin νπ

·

∈ [0, ∞) \ IN

∈ N , se (11.41)

219


care ˆımpreun˘ a cu Iν formeaz˘a un sistem fundamental de solut¸ii p entru ecuat¸ia (11.37), ν [0, ) IN. Dac˘a ν = n IN, Kν se ˆınlocuie¸ste cu funct¸ia K n , definit˘a prin

∀ ∈ ∞ \

∈

1 ∂I −ν Kn (x) = lim Kν (x) = ( 1)n ν n 2 ∂ν

−

→



−

∂ Iν ∂ν

Definit ¸ia 11.7. Funct ¸iile I ν , I−ν avˆ and valorile π

.



π

(11.42)

ν =n

Iν (x) = e−iν 2 Jν (ix), I−ν (x) = e iν 2 J−ν (ix)

∀x ∈ RI cu ν ∈ [0, ∞) se numesc

funct¸iile lui Bessel de prima spet ¸˘ a modificate. Funct ¸iile Kν definite prin (11.41) ¸si (11.42) se numesc funct¸iile lui Bessel de spet¸a a doua modificate . Funct ¸iile lui Bessel modificate se mai numesc ¸si funct¸ii Bessel de argument pur imaginar. Rezultatele obt¸inute pot fi formulate astfel : Teorema 11.16. Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei (11.37) cu ν scris˘ a sub forma

∈ [0, ∞) poate fi

y(x) = aI ν (x) + bKν (x), unde Iν ¸si Kν sunt funct¸iile lui Bessel modificate de prima spet ¸˘ a , respectiv de spet¸a a doua, iar a, b sunt constante reale arbitrare.

Observat ¸ia 11.7. In electrotehnic˘a se ˆıntˆ alne¸ste funct¸ia de valori π

I0 (xei 4 ) =

 ·  ip

p 0

≥

1 (p!)2

x 2

2p

, x

∈ IR.

Punând ˆın evident¸a˘ partea real˘a ¸si partea imaginar˘ a se obt¸in funct¸iile lui Thomson (Lord Kelvin), notate ber, bei (se cite¸ste bessel-real, respectiv bessel-imaginar), ber(x) = 1 bei(x) =

1 (1!)2

·

− (2!)1 2 ·

 x 2

4

+

1 (4!)2

  − ·  x 2

2

1 (3!)2

x 2

6

+

·

 x 2

1 (5!)2

·

8

+ ...

 x 2

10

+...

Analog se definesc funct¸iile ker s¸i kei (kelvin-real, kelvin-imaginar) π

K0 (xei 4 ) = ker(x) + ikei(x).

Exemplul 11.5. S˘a se dezvolte ˆın serie Fourier ˆın raport cu θ funct¸iile eix sin θ , cos(x sin θ), sin(x sin θ).

220


Demonstrat¸ie. Vom dezvolta ˆın serii de puteri ale lui t funct¸ia xt

x

xt



x

e 2 − 2t = e 2 e 2t = 1 +

xt + 2

2

     · −   −    xt 2 2

2!

+

xt 3 2

+ ...

3!

3

1

1

x + 2t

2

x 2 2t

x 3 2t

2!

3!

+ ... =

3

= c0 + c1 t + c2 t + c3 t + . . . + c−1 t− + c−2 t− + c−3 t− + . . . Fiecare dintre coeficient¸ii c n este o serie infinit˘a cn =

  −    −   x n 2

n!

x n+2 2

(n + 1)!

+

x n+4 2

x n+6 2

2!(n + 2)!

3!(n + 3)!

+. . . =

∞



k=0



( 1)k x k!Γ(n + k) 2

−

n+2k

Deci c n = J n (x). A¸sadar, xt

x

e 2 − 2t = J0 (x)+tJ1 (x)+t2 J2 (x)+t3 J3 (x)+. . .+t−1 J−1 (x)+t−2 J−2 (x)+t−3 J−3 (x)+. . . = = J 0 (x) + J1 (x)(t

− t−1) + J2(x)(t2 − t−2) + ....

Fie t = eiθ = cos θ + i sin θ. Atunci

t2 = cos 2θ + i sin2 θ

−

t−2 = cos 2θ isin2 θ ............... Avem e

xt

2

− 2xt

x

= e 2 (e

iθ

−e−iθ ) = e ix sin θ , deci

eix sin θ = J0 (x)+2[J2 (x)cos2 θ+J4 (x)cos4 θ+. . .]+2i[J1 (x)sin θ+J3 (x)sin3 θ+. . .] sau eix sin θ = J0 (x) + 2

∞



k=1

[J2k (x)cos2 kθ + iJ2k−1 (x)sin(2 k

− 1)θ].

(11.43)

Pentru a dezvolta celelalte funct¸ii observ˘am c˘a eix sin θ = cos(x sin x) + i sin(x sin x) deci

∞



cos(x sin x)+i sin(x sin x) = J 0 (x)+2

k=1

−

[J2k (x)cos2 kθ+iJ2k−1 (x) sin(2k 1)θ]

Egalând p˘art¸ile reale ¸si cele imaginare obt¸inem cos(x sin x) = J0 (x) + 2

∞



J2k (x)cos2 kθ

k=0

221


sin(x sin x) = 2

∞



k=0

Dac˘a ˆın (11.43) ˆınlocuim θ cu

π 2

J2k−1 (x) sin(2k

− 1)θ

− θ obt¸inem ∞

 −

eix cos θ = J 0 (x) + 2

ik cos kx,

k=1

de unde rezult˘a cos(x cos x) = J0 (x) + 2

∞

( 1)k J2k (x)cos2 kθ

k=1

sin(x cos x) = 2

∞

−

( 1)k J2k+1(x) sin(2k + 1)θ

k=0

Exemplul 11.6. S˘a se determine solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale x2 y  + (1

− 2ν )xy + ν 2(x2ν + 1 − ν 2)y = 0.

Demonstrat¸ie. Facem schimbarea de variabil˘a x = tα , urmând ca α s˘ a fie determinat convenabil astfel ˆıncˆ at ecuat¸ia s˘a se reduc˘a la o ecuat¸ie Bessel. Avem dy dy dt dy 1 1−α y = = = t dx dt dx dt α

·

y  =

dy  dy  dt d = = dx dt dx dt

·

=



1 (1 α

·

· ·

· ·   

1 1−α dy t α dt

·

2

1 d y − α)t−α dy + t1−α 2 dt α dt

1 1−α t α

=

1 1−α t α

Ecuat¸ia devine t2α



1 (1 α

2

1 d y − α)t−α dy + t1−α 2 dt α dt

 

+ν 2 (t2να + 1 sau t2 Vom lua α =

1 ν

d2 y + (1 dt2

1 1−α t + (1 α

− 2ν )tα dy · 1 · t1−α+ dt α

− ν 2)y = 0

− 2να)t dy + α2 ν 2 (t2να + 1 − ν 2 )y = 0 dt

pentru a avea t 2 ˆın ultima parantez˘ a . Ecuat¸ia se scrie t2

d2 y dt2

− t dy + (t2 + 1 − ν 2 )y = 0. dt

(11.44)

222


Vom face schimbarea de funct¸ie y = tβ z(t), iar β va fi determinat din condit¸ia ca coeficientul lui t dy a fie 1. dt s˘ Avem dy dz = βtβ −1 z + tβ dt dt d2 y dz dz d2 z β −2 z + βt β −1 β −1 β dt2 = β (β 1)t dt + βt dt + t dt2 Inlocuind ˆın ecuat¸ia (11.44) ¸si simplificˆ and cu t β obt¸inem ecuat¸ia

·

−

d2 z dz + (2β 1)t + z(β 2 2β + 1 + t2 ν 2 ) = 0 dt2 dt Din condit¸ia 2β 1 = 1, rezult˘a β = 1, iar ecuat¸ia este t2

−

−

−

−

d2 z dz + t + z(t2 ν 2 ) = 0. dt2 dt Aceast˘a ultim˘a ecuat¸ie este forma canonic˘a a ecuat¸iei Bessel, deci solut¸ia ei este z(t) = c1 Jν (t) + c2 Yν (t). Atunci solut¸ia general˘a a ecuat¸iei date este y(x) = x ν [c1 Jν (xν ) + c2 Yν (xν )]. t2

−

Exemplul 11.7. S˘a se determine solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale xy 

− 2py − cxy = 0.

Demonstrat¸ie. Facem schimbarea de funct¸ie y(x) = x α z(x). Avem y = y  =

dy dz = αx α−1 z(x) + xα dx dx

dy  = α(α dx

2

dz d z − 1)xα−2z + 2αxα−1 dx + xα 2 dx

Ecuat¸ia devine x2 z  + (2α

− 2p)xz  + (α2 − α − 2pα − cx2)z = 0.

Vom lua 2 α 2p = 1 pentru ca xz  s˘ a aib˘a coeficientul 1, deci α = p + ecuat¸ia se scrie

−

 √ −  

x2 z  + xz  + (i cx)2

p+

1 2

¸si

2

1 2

z = 0.

√

Dac˘a ˆın ultima ecuat¸ie se face schimbarea de variabil˘a i cx = t, se obt¸ine ecuat¸ia d2 z dz 1 2 t2 2 + t + t2 p+ z = 0. dt dt 2

 −  

  √ 

Ecuat¸ia a fost adus˘a la formna canonic˘a Bessel cu ν 2 = p + esi este 1 y = x p+ 2 c1 Jp+ 1 (i cx) + c2 Yp+ 1 (i cx) .



2

√

2

1 2 2 ,

iar solut¸ia

223


Exemplul 11.8. S˘a se determine solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale x2 y  + (x + 2)x2 ctg xy  + (xctg x

− ν 2)y = 0.

Demonstrat¸ie. Facem schimbarea de funct¸ie y(x) = y = y  =

1 sin x z(x).

Avem

x z + 1 z − cos sin x sin x

1  z sin x

2

x  1 + cos x − 2 cos z + z sin x sin3 x

Astfel ecuat¸ia devine : x2 z  + xz  + (x2

− ν 2)z = 0

¸si are solut¸ia z(x) = c 1 Jν (x) + c2 Yν (x). Deci y(x) =

1 sin x [c1 Jν (x) + c2 Yν (x)].

Bibliografie [1] Th. Anghelut¸˘ a , Curs de teoria funct ¸iilor de variabil˘a complex˘a Ed. Tehnic˘ a , Bucure¸sti, 1957 . [2] A. Angot, Complemente de matematici pentru inginerii din electrotehnic˘ a ¸si din telecomunicat ¸ii, Editura Tehnic˘a , Bucure¸sti, 1966.

a liniar˘a . Geome[3] Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebr˘ trie analitic˘a , diferent¸ial˘ a . Ecuat¸ii diferent¸iale. Culegere de probleme, Editura ALL, Bucure¸sti, 1994. [4] V. Barbu, Ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Junimea, Ia¸si, 1985. [5] V. Brânz˘anescu, O. St˘an˘a¸sil˘a , Matematici speciale. Teorie, exemple, aplicat¸ii, Editura ALL, Bucure¸sti, 1994. [6] P. Cocârlan, M. Ro¸sculet¸ , Serii trigonometrice ¸si aplicat¸ii, Editura Academiei Române, Bucure¸sti, 1991. [7] Mariana Craiu, M.N. Ro¸sculet¸ , Ecuat¸ii diferent¸iale aplicative. Probleme de ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul I , Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a , Bucure¸sti, 1971.

ari integrale, Edi[8] Tania-Luminit¸a Costache, Gh. Opri¸san, Transform˘ tura Printech, Bucure¸sti, 2004. a matematic˘a . Not ¸iuni teoretice. [9] Tania-Luminit¸a Costache, Analiz˘ Aplicat¸ii, Editura Printech, Bucure¸sti, 2006. [10] Tania-Luminit¸a Costache, Matematici speciale. Culegere de probleme , Editura Printech, Bucure¸sti, 2008. [11] V. Ditkine, A. Proudnikov, Transformations int´ egrales et calcul opérationnel, Editions MIR-Moscou, 1978. [12] G. M. Fihtenholt¸ , Curs de calcul diferent¸ial ¸si integral, Editura Tehnic˘ a Bucure¸sti, 1965. [13] A. Halanay, Ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a , Bucure¸sti, 1972. 224

BIBLIOGRAFIE

225

[14] D. V. Ionescu, Ecuat¸ii diferent¸iale ¸si integrale, editia a doua, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a , Bucure¸sti. [15] D. V. Ionescu, C. Kalik, Ecuat¸ii diferent¸iale ordinare ¸si cu derivate part¸iale, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a , Bucure¸sti, 1965. [16] O. Kreindler, Curs de matematici superioare , Editura Tehnic˘a , Bucure¸sti, 1956. [17] Ioana Luca, Gh. Opri¸san, Matematici avansate , Editura Printech, Bucure¸sti, 2001. [18] Gh. Marinescu, Teoria ecuat¸iilor diferent¸iale ¸si integrale, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a , Bucure¸sti, 1963. [19] O. Mayer, Teoria funct¸iilor de o variabil˘a complex˘a , vol.1, Ed. academiei R.S.R., Bucure¸sti, 1981.

¸iale s¸i integrale prin prob[20] Gh. Micula, Paraschiva Pavel, Ecuat¸ii diferent leme ¸si exercit¸ii, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1989. [21] Gh. Mocic˘a , Probleme de funct¸ii speciale, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a , Bucure¸sti, 1988. [22] G. Moro¸sanu, Ecuat¸ii diferent¸iale. Aplicat¸ii, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1989. [23] Luminit¸a Lemnete-Ninulescu, Alina Nit¸a˘ , Ana Nit¸˘ a , Matematici speciale. Teorie. Exemple. Probleme rezolvate , Editura Printech, Bucure¸sti, 2006. [24] S. Nistor, I. Tofan, Introducereın ˆ teoria funct¸iilor complexe, Ed. Univ. Al. I. Cuza, Ia¸si, 1997. [25] Alina Nit¸˘ a , Tania-Luminit¸a Costache, Raluca Dumitrescu, Matematici speciale. Not¸iuni teoretice. Aplicat ¸ii., Editura Printech, Bucure¸sti, 2007.

¸iale s¸i cu derivate part ¸iale, [26] V. Olariu, Tatiana St˘an˘a¸sil˘a , Ecuat¸ii diferent Editura Tehnic˘ a , Bucure¸sti, 1982. [27] V. Olariu, V. Prepelit¸˘ a , Teoria distribut¸iilor. Funct¸ii complexe ¸si aplicat¸ii, Ed. S¸tiint¸ific˘ a ¸si Enciclopedic˘ a , Bucure¸sti, 1986. [28] M. Olteanu, Analiz˘ a matematic˘a . Not¸iuni teoretice s¸i probleme rezolvate, Editura Printech, Bucure¸sti, 2004. [29] A. Papoulis, The Fourier integral and its applications , McGraw Hill Book Co., New York, 1962.

226

BIBLIOGRAFIE

[30] Garofit¸a Pavel, Floare Tomut¸a, I. Gavrea, Matematici speciale , Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 1981. [31] E. Rogai, Exercit¸ii si probleme de ecuat¸ii diferent¸iale ¸si integrale, Editura Tehnic˘a , Bucure¸sti, 1965. [32] V. Rudner, Probleme de matematici speciale, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a , Bucure¸sti, 1970. [33] I. A. Rus, Paraschiva Pavel, Ecuat¸ii diferent¸iale, Edit¸ia a doua, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a , Bucure¸sti, 1982. [34] V. I. Smirnov, Curs de matematici superioare II , Editura Tehnic˘a , Bucure¸sti, 1954. [35] V. I. Smirnov, Curs de matematici superioare III. Partea II , Editura Tehnic˘ a , Bucure¸sti, 1955. [36] D. Stanomir, O. St˘an˘a¸sil˘a, Metode matematice ˆın teoria semnalelor , Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1980. [37] V. V. Stepanov, Curs de ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Tehnic˘a , Bucure¸sti, 1955. [38] M. Stoka, Culegere de probleme de funct¸ii complexe, Ed. Tehnic˘a , Bucure¸sti, 1965.

¸ii de variabil˘a real˘ a ¸si funct¸ii de variabil˘a complex˘a , [39] M. Stoka, Funct Ed. Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a , Bucure¸sti, 1964. [40] R. D. Stuart, Introducere ˆın analiza Fourier cu aplicat¸ii ˆın tehnic˘ a , Editura Tehnic˘ a , Bucure¸sti, 1971. [41] I. Gh. S ¸ abac, Matematici Speciale, Ed. Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a , Bucure¸sti, 1981. [42] N. Teodorescu, V. Olariu, Ecuat¸ii diferent¸iale ¸si cu derivate part¸iale, vol. II, Editura Tehnic˘ a , Bucure¸sti, 1979. [43] Rodica Trandafir, Probleme de matematici pentru ingineri , Editura Tehnic˘ a , Bucure¸sti, 1977. [44] C. Tudosie, Probleme de ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Dacia, ClujNapoca, 1990.

¸ii complexe de variabil˘a complex˘ a , Universitatea Bu[45] S. Turbatu, Funct cure¸sti, Facultatea de Fizic˘ a , 1980. [46] N. Wiener, Integrala Fourier ¸si unele aplicat¸ii, Gosudarstvennoe Izd., Moskva, 1963.

Analiza-Matematica-2-Costache-Luminita.pdf

Recommend Documents