MEKANIKA BAHAN
Permodelan Struktur
A
Bentuk Tegangan Tegangan 3 Dimensi Dim ensi Y
σy τxy τyz τyz
τxy τxz
σx
τxz X
σz Z
Bentuk Te Tegangan 2 Dimensi Dim ensi Y
σ τ
y xy
τ
xy
σ
x
X
Fungsi Transformasi Transforma si Te Tegangan Bidang
Mentransformasikan suatu tegangan pada suatu titik Mentransformasikan dengan mengubah orientasi sudut! dari suatu e"emen Y
+θ
σ τ
y
#
xy
τ
xy
σ
x
A
B
+θ
X
Y
σ τ
y
+θ
#
xy
τ
xy
σ
x
A
B
+θ
#τ
#τ
X
$
xy
$
xy
σ$
σx$
x
σ
θ
x
θ
σx %os θ
dA %os θ
τxy %os θ
τ
xy
τ B
A
xy
σ
y
#
A
θ
dA
B
τxy sin θ
σy sin θ
Free Body Diagram
A
dA sin θ
B
#τ
$
#τ
xy
σ$
$
xy
θ
σ
x
τ
θ
σx %os θ
dA %os
τxy %os θ xy
τ B
A
xy
σ
#
σx$
x
A
θ
θ
dA
B
τxy sin θ
y
σy sin θ
A
dA sin
θ B
#τ
$
#τ
xy
σ$
$
xy
θ
σ
x
τ
θ
σx %os θ
dA %os
τxy %os θ xy
τ B
A
xy
σ
#
σx$
x
A
θ
θ
dA
B
τxy sin θ
A
dA sin
θ B
y
σy sin θ
∑ F = 0 s
τ xy ' dA
τ xy ' =
+ σ x cos θ dA sin θ − σ y sin θ dA cos θ − τ xy cos θ dA cosθ + τ xy sin θ dA sin θ −(σ x − σ y ) sin θ cos θ + τ xy (cos
τ xy ' =
−
σ x
− σ y
2
2
2
θ − sin θ )
sin 2θ + τ xy (cos 2θ )
Bentuk &ersamaan Transformasi Tegangan Bidang Tegangan 'orma"
Y
σ τ
y
+θ
xy
#
τ
xy
σ
x
A
Tegangan (eser
B
+θ
#τ
X
τ xy ' =
−
σ x
− σ y
2
sin 2θ + τ xy (cos 2θ )
$
xy
σ$ x
σ
θ
x
τ
xy
τ B
A
xy
σ
y
Catatan : &er)an)ian tanda untuk dua persamaan di atas *+Tegangan norma" Tarik ,! Tegangan norma" Tekan -! 2+Tegangan geser searah sumbu ,! Tegangan geser berlawanan arah -! 3+.udut a%uan berlawanan dengan arah
#ontoh .oa" * σ
105 kg/cm2 B
210 kg/cm2
y
τ
xy
A
τ
45
xy
σ
315 kg/cm2
σ$ x
τ
$
xy
x
#
#ari"ah ni"ai tranformasi tegangan norma" dan geser pada gambar di atas )ika diketahui
τxy = 2*/ kg0%m2
dan
σx =3*1 kg0%m2 σy */1 kg0%m2
4a5aban Tegangan 'orma"
105 kg/cm2
210 kg/cm2 315 kg/cm2
σ B
y
τ
xy
A
xy
σ
x
σ$ x
τ
$
#
σ x '
= 210 + 210 cos(90) + 210 sin(90)
σ x '
2
+
315 − 105
=
σ x '
τ
45
315 + 105
σ x '
= 210 + 0 + 210
= 420 kg / cm 2
2
cos( 2 * 45) + 210 sin( 2 * 45)
4a5aban Tegangan (eser
105 kg/cm2
210 kg/cm2
τ xy ' =
−
315 kg/cm2
τ xy ' =
σ B
− σ y
sin 2θ + τ xy (cos 2θ )
2 315 − 105
sin( 2 * 45) + 210 cos(2 * 45)
2 τ xy ' = −105 sin(90) + 210 cos(90)
y
τ
xy
τ xy ' =
A
τ
45
xy
σ σ$
−
σ x
x
τ
$
#
x
−105 kg / cm
2
105 kg/cm2
B
100 MPa
A
105 kg/cm2
A
315 kg/cm2
45
80 420 kg/cm2
60 MPa B
210 kg/cm2
#
100 MPa
#ontoh .oa" 2 A
80 60 MPa B
.ket diagram free body irisan A 6 B dan hitung ni"ai tranformasi tegangan norma" dan geser pada gambar di atas
#ontoh .oa" 2
100 MPa
A
100 MPa
80 MPa
A
B
80
60 MPa
100 MPa
60 MPa B
A 80 MPa Diagram Free Body *
B
60 MPa
#ontoh .oa" 2
Tegangan 'orma"
100 MPa A 80 60 MPa B
σ x '
100 MPa
σ x '
A 80 MPa
B
60 MPa
=
80 + (−100) 2
+
80 − (−100) 2
cos(2 * 42) − 60 sin( 2 * 42)
= −10 + 90 cos 84 − 60 sin 84
σ x ' σ x '
= −10 + 9,41 − 59,67
= −60,26 MPa
Tegangan (eser 100 MPa A 80 60 MPa B
τ xy ' = τ xy ' =
−
sin 2θ + τ xy (cos 2θ )
2 80 − (−100)
τ xy ' =
A 80 MPa 60 MPa
− σ y
sin( 2 * 42) + ( −60) cos(2 * 42)
2 τ xy ' = −90 sin(84) + ( −60) cos(84)
100 MPa
B
−
σ x
−95,77 MPa
100 MPa 100 MPa
A 95,77 MPa
A
80 MPa
80 60 MPa B
60,26 MPa B
60 MPa
&7 50 MPa
A
25 MPa 30 MPa
B
.ket diagram free body irisan A 6 B dan hitung ni"ai tranformasi tegangan norma" dan geser pada gambar di atas
Defnisi tegangan utama:
Tegangan normal maksimum dan minimum yang bekerja pada bidang utama Pada bidang utama tidak bekerja tegangan geser
Letak tegangan utama: d σ x ' d θ d σ x ' d θ
=0 = −(σ x − σ y ) sin 2θ + 2τ xy
2τ xy cos 2θ tan 2θ
=
=0
= (σ x − σ y ) sin 2θ
τ xy
(σ x
cos 2θ
− σ y ) / 2
8etak Tegangan 9tama
Letak tegangan utama: Tan 2θ
+τ -
σ σ y,
2
x
(σ x
− σ y ) / 2
Α
τ
xy
.in 2θ
2θ 2θ+180
−σ
τ xy
Ο
+σ σ σ y,
τ
2
- xy
x
τ xy 2
σ x − σ y 2 τ xy + 2 σ x
Β
#os 2θ
−τ
− σ y 2
σ x − σ y 2
2
2 + τ xy
Nilai tegangan utama: σ x '
σ ma,min '
=
σ x
=
σ x
+ σ y 2
+ σ y 2
+
σ x
+
− σ y 2
σ x
±
− σ y 2
cos 2θ + τ xy sin 2θ
σ x
− σ y 2
2 σ x − σ y 2 + τ xy 2
+ τ xy
±
τ xy
σ x − σ y 2
2
2 + τ xy
Nilai tegangan utama:
σ ma,min '
=
σ x
+ σ y 2
+
σ x
− σ y 2
±
σ x
− σ y 2
2 σ x − σ y 2 + τ xy 2
+ τ xy
±
τ xy
σ x − σ y 2
2
2 + τ xy
Disederhanakan men)adi
σ ma,min '
=
σ x
+ σ y 2
σ x − σ y ± 2
2
2 τ xy +
'i"ai Tegangan 9tama
Letak tegangan geser maksimum d τ xy '
=0
d θ
d τ xy ' d θ
τ xy '
=
σ x
− σ y 2
sin 2θ
= −(σ x − σ y ) cos 2θ − 2τ xy
tan 2θ
=−
(σ x
− σ y ) / 2 τ xy
+ τ xy (cos 2θ )
sin 2θ
=0
8etak Tegangan (eser Maskimum
Letak tegangan geser maksimum tan 2θ
=−
(σ x
− σ y ) / 2 τ xy σ x
.in 2θ
− σ y 2
σ x − σ y 2
2
2 + τ xy
τ xy
#os 2θ
2
σ x − σ y 2 τ xy + 2
Nilai tegangan Geser Max dan Min τ xy '
=−
σ x
− σ y 2
sin 2θ + τ xy (cos 2θ )
σ x − σ y ± τ ma, min ' = − 2
σ x
− σ y 2 2
σ x − σ y 2 + τ xy 2
+ τ xy ±
τ xy 2
σ x − σ y 2 + τ xy 2
Nilai tegangan Geser Max dan Min σ x − σ y ± τ ma,min ' = − 2
σ x
− σ y 2 2
σ x − σ y 2 τ xy + 2
+ τ xy ±
τ xy 2
σ x − σ y 2 τ xy + 2
Disederhanakan men)adi
τ ma, min ' = ±
σ x
− σ y 2 2 τ xy + 2
':8A: T;(A'(A' (;.;7
Ditemukan oleh insiyur Jerman bernama tto Mohr !"#$% & "'"#(
Di)unakan untuk mere*resentasikan te)an)an normal dan )eser terhada* suatu titik te)an)an den)an orientasi sudut yan) telah ditentukan
Persamaan Tranormasi Tegangan −
σ x '
τ xy '
σ x
+ σ y 2
=−
σ x
=
σ x
− σ y 2
− σ y 2
cos 2θ + τ xy sin 2θ
sin 2θ
+ τ xy (cos 2θ )
Persamaan Lingkaran
( x − a )
2
+ ( y − b) = R 2
2
Y
7 b
Titik &usata
X a
Persamaan Lingkaran
( x − a )
2
+ ( y − b) = R
σ x + σ y σ x '− 2
2
2
2
2 + (τ xy ') = 2
σ x − σ y cos 2θ + τ xy sin 2θ 2
R2 2
σ − σ 2 R + − x y sin 2θ + τ xy (cos 2θ ) = 2
Persamaan Lingkaran 2
R
2
σ x − σ y σ x − σ y σ − σ y 2 2 2 2 2 θ + sin 2θ ) + τ xy ( sin 2θ + cos 2θ ) + 2 τ xy sin 2θ cos 2θ − 2 τ xy sin 2θ cos 2θ = x ( cos 2 2 2 2
2
R
2
σ x − σ y 2 = + τ xy 2
Persamaan Lingkaran σ x '−
σ x
+ σ y 2 2 ( + = τ xy ' ) 2
R2
Bentuk k!ir Persamaan Lingkaran Mo!r 2
2
σ x + σ y σ x − σ y 2 2 σ x '− + (τ xy ') = + τ xy 2 2
Persamaan Lingkaran Mo!r 2
2
σ x + σ y σ x − σ y 2 2 σ x '− ( ) + τ xy ' = + τ xy 2 2
"ndentik dengan persamaan lingkaran 2 2 Bentuk persamaan "ingkaran ( σ x '− a ) + (τ xy ') = R 2
( x − a)
2
+ y = R 2
2
tersebut merupakan persamaan "ingkaran dengan )ari 6 )ari R Yang bertitik pusat di (a,0)
Persamaan Lingkaran Mo!r τ τmax
$
Y
Α (σx,τxy!
+σy
+τx$y$
σ2
"
!
+σx$ Β (σy,−τxy!
+τxy
+σx
#
90
σy,σx 2
+θ
X
τmin τmax σy-σx 2
σ*
σ
#al $ !al penting dalam lingkaran mo!r +e)an)an Normal *alin) besar adalah σ" dan te)ann)an *alin) ke,il adalah σ-. +e)an)an )eser tidak beker/a *ada sumbu ini
+e)an)an (0eser σ 1 − σ 2 )terbesar adalah τmax. 2 sama den)an radius se,ara numerik lin)karan /u)a sama den)an
#al $ !al penting dalam lingkaran (σ 1 − σ 2 ) mo!r +e)an)an Normal yan) samaden)an
2
beker/a *ada masin) & masin) bidan) )eser maksimum
Bila σ" 1 σ- maka lin)karan mohr akan berubah men/adi sebuah titik dan te)an)an )eser tidak terbentuk *ada bidan) tersebut
+σy
%&N'T()%'" L"NG%(N M&#(
a
θ
+
a
τ
Gambar 'alib 'umbu tegangan normal dan tegangan geser
σ
+σy
%&N'T()%'" L"NG%(N M&#(
a
θ
+
a τ
Tentukan titik pusat lingkaran *
(σ x + σ y ) ,0 2
σ ! ((σy,σx!02
+σy
%&N'T()%'" L"NG%(N M&#(
a
θ
+
a
(σ ,τ ) Tentukan titik
x
τ
xy
dan tarik sebua! garis dari titik * ke titik
Α (σx,τxy!
(
! (σy,σx!02
σ
+σy
%&N'T()%'" L"NG%(N M&#(
a
θ
+
a
Dari garis * buatla! lingkaran dengan titik pusat di *
Didapatkan σ" dan
σ-
Α (σ ,τ x
σ
2
!
σ
*
!
xy
σ
+σy
%&N'T()%'" L"NG%(N M&#(
a
θ
+
a
Lukis garis melalui titik dan sejajar bidang a serta memotong lingkaran di titk B+
σx a
Lukis garis l 'B mendatar dari titk B !ingga memotong lingkaran di titik '
Tegangan yang bekerja pada bidang tertentu, dapat ditentukan, yaitu : σa dan 2τa
B θ
σ2
% (σa,−τa! σ y,σ x 2
a
!
Α (σx,τxy! θ σ*
τxy
σ
Men-ari Tegangan )mum dan Tegangan Geser Maksimum 4MPa 4MPa 2MPa
4MPa
Men-ari Tegangan )mum dan Tegangan Geser Maksimum
4MPa 2MPa
Gambar salib sumbu dengan pusat .
τ
0
σ
4MPa
Men-ari Tegangan )mum dan Tegangan Geser Maksimum
4MPa 2MPa
Tentukan pusat lingkaran * /012345673,.8 / 19,.6
τ
0
σ
!
4MPa
Men-ari Tegangan )mum dan Tegangan Geser Maksimum
4MPa 2MPa
Tentukan titik :123,256
τ
0
A(&2,&4)
!
σ
4MPa
Men-ari Tegangan )mum dan Tegangan Geser Maksimum
4MPa 2MPa
Lukis garis * 1jari2jari lingkaran6+ Lukis lingkaran dengan jari2jari * dan pusatnya di *+19,.6+6
τ
0
A(&2,&4)
!
σ
4MPa
Men-ari Tegangan )mum dan Tegangan Geser Maksimum
4MPa 2MPa
'etela! lingkaran terlukis, didapat σ" 1 23 MPa 4σ- 15 M*a4
τmax 1
%
τ
(1,5)
# (&4,0)
0
σ
!
A(&2,&4) (1,&5)
B(6,0)
4MPa
Men-ari Tegangan )mum dan Tegangan Geser Maksimum Hubun)kan titik A dan B dan teruskan4 maka )aris ini adalah letak beker/anya +e)an)an 6tama.
4MPa 2MPa
τ
(1,5)
# (&4,0)
0
!
A(&2,&4) (1,&5)
σ
B(6,0)
4MPa
Men-ari Tegangan )mum dan Tegangan Geser Maksimum +arik )aris yan) melalui A dan 04 maka )aris ini adalah letak beker/anya +e)an)an 0eser Maksimum.
4MPa 2MPa
τ
(1,5)
# (&4,0)
0
!
A(&2,&4) (1,&5)
σ
B(6,0)
