MAKALAH TEGANGAN BIDANG

MAKALAH TEGANGAN BIDANG (Plai n

) Str ess 

Dosen Pengampu : Faqih Maarif, S.T., M.Eng.

Disusun Oleh : DIDIEK HERMANSYAH 5150811095

PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA YOGYAKARTA 2016

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Yang Maha Esa atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga makalah ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Makalah ini disusun guna memenuhi persyaratan tugas Mekanika Bahan jurusan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Teknologi Yogyakarta dari mata kuliah Mekanika Bahan. Dalam penyusunan makalah ini, tidak lepas dari bantuan berbagai pihak yang telah membantu. Oleh karena itu, penyusun mengucapkan terima kasih kepada : 1. Tuhan Yang Maha Esa, yang telah memperlancar tugas ini sehingga dapat diselesaikan tepat pada waktunya. 2. Bapak Adi Setiabudi Bawono, S.T., M.T., selaku Ketua Program Studi Teknik Sipil. 3. Bapak Faqih Maarif, S.T., M.Eng. Selaku dosen mata kuliah Mekanika Bahan. 4. Rekan-rekan Jurusan Teknik Sipil Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Teknologi Yogyakarta. 5. Semua pihak yang telah membantu selama penyusunan makalah ini yang tidak dapat penyusun sebutkan satu persatu. Dengan segala keterbatasan pengetahuan dan kemampuan yang dimiliki, penyusun menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun dari berbagai pihak senantiasa diharapkan untuk peningkatan  berikutnya. Semoga makalah ini dapat bermanfaat sebagaimana mestinya. Yogyakarta,

Penyusun

Desember 2016

DAFTAR ISI MAKALAH ........................................................................................................................... 1 KATA PENGANTAR...........................................................................................................2 LATAR BELAKANG...........................................................................................................4

1.

ANALISIS TEGANGAN BIDANG ( PLAIN STRESS )............................................... 5

2.

TRANSFORMASI TEGANGAN BIDANG ............................................................... 6

3.

TEGANGAN DAN ( PRINCIPAL STRESS ) ................................................................7

4.

TEGANGAN DAN REGANGAN GESER MAKSIMUM....................................... 11

5.

LINGKARAN MOHR UNTUK TEGANGAN BIDANG ........................................ 13

6.

CONTOH SOAL ....................................................................................................... 15

DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................................... 18 LAMPIRAN ........................................................................................................................ 19

LATAR BELAKANG

Mekanika bahan adalah cabang dari mekanika terapan yang membahas perilaku benda  padat yang mengalami berbagai pembebanan. Nama-nama lain untuk bidang ilmu ini adalah kekuatan bahan dan mekanika benda yang dapat berdeformasi. Benda padat yang ditinjau dalam buku ini meliputi batang (bars) dengan beban aksial, poros (shafts) yang mengalami torsi, balok (beams) yang mengalami lentur, dan kolom (columns) yang mengalami tekan. Tujuan utama mekanika bahan adalah untuk menentukan tegangan (stress), regangan (strain) dan peralihan (displacement) pada struktur dan komponen-komponennya akibat  beban-beban yang bekerja padanya. Apabila kita dapat memperoleh besaran-besaran ini untuk semua harga beban hingga mencapai beban yang menyebabkan kegagalan, maka kita akan dapat mempunyai gambaran lengkap mengenai perilaku mekanis pada struktur tersebut. Pemahaman perilaku mekanis sangat penting untuk desain yang aman bagi semua jenis struktur, baik itu berupa pesawat terbang dan antena, gedung dan jembatan, mesin dan motor, maupun kapal laut dan pesawat luar angkasa. ltulah sebabnya mekanika bahan adalah materin dasar pada begitu banyak cabang ilmu teknik. Statika dan dinamika juga penting, tetapi keduanya terutama membahas gaya dan gerak yang berkaitan dengan partikel dan benda tegar. Dalam mekanika bahan kita melangkah lebih jauh dengan mempelajari tegangan dan regangan di dalam benda nyata, yaitu benda dengan dimensi terbatas yang berdeformasi akibat pembebanan. Untuk menentukan tegangan dan regangan, kita menggunakan besaran besaran fisik material selain juga berbagai aturan dan konsep teoretis. Analisis teoretis dan  basil eksperimen mempunyai peranan yang sama pentingnya di dalam mekanika bahan. Seringkali kita menggunakan teori untuk menurunkan rumus dan persamaan untuk memprediksi perilaku mekanis, tetapi semua ini tidak dapat digunakan dalam desain praktis kecuali apabila besaran fisik dari material diketahui. Besaran seperti ini hanya dapat diperoleh dari basil eksperimen yang cermat di laboratorium. Lebih jauh lagi, banyak masalah praktis yang tidak dapat diterangkan dengan analisis teoretis saja, dan dalam kasus seperti ini  pengujian fisik merupakan keharusan.

1. ANALISIS TEGANGAN BIDANG ( PLAI N STRESS  ) Kondisi tegangan yang kita jumpai dalam bab-bab sebelum ini dalam menganalisis  batang yang mengalami tarik, tekan, atau tarsi, serta di balok yang mcngalami lentur adalah contoh-contoh keadaan tegangan yang disebut tegangan bidang. Untuk menjelaskan tegangan  bidang, kita akan meninjau elemen tegangan yang terlihat dalam Gambar 1.a. Elemen ini  berukuran sangat kecil dan dapat digambarkan sebagai sebuah kubus atau sebagai  parallelepiped   persegi panjang. Sumbu x, y, z sejajar dengan tepi tepi elemen. dan mukamuka elemen didesain dengan arah normal ke luamya. Sebagaimana telah diterangkan muka elemen sebelah kanan disebut sebagai muka x  positif, dan muka sebelah kiri (tak terlihat) disebut sebagai muka x negatif. Dengan cara yang sama, muka atas adalah muka y positif, dan muka depan adalah muka z positif. Apabila  bahannya berada dalam keadaan tegangan bidang dalam bidang xy. maka hanya muka x dan y dari elemen yung mengalami tegangan,dan semua tegangan bekerja sejajar sumbu x dan y, seperti terlihat dalam Gambar 1.b. Kondisi tegangan ini sangat biasa karena ini terjadi di  permukaan benda yang bertegangan, kecuali di titik di mana beban luar bekerja di permukaan tersebut.

Gambar 1.a Contoh balok yang dibebani gaya lateral

Gambar 1.b tinjauan tiga dimensi suatu elemen

Simbol-simbol untuk tegangan yang terlihat dalam Gambar 1.b mempunyai arti sebagai berikut. Tegangan normal (σ mempunyai subskrip yang menunjukkan muka di mana tegangan bekerja; sebagai contoh, σx tegangan bekerja di muka x dari elemen dan tegangan σy,  bekerja di muka Y dari elemen. Karena elemen ini berukuran sangat kecil, maka tegangan normal yang sama bekerja di muka yang berlawanan.

2. TRANSFORMASI TEGANGAN BIDANG Untuk mengetahui bahwa tegangan geser di bidang-bidang yang saling tegak lurus adalah sama besar dan mempunyai arah sedemikian rupa sehingga keduanya saling mendekati, atau keduanya sating menjauhi, garis-garis perpotongan kedua muka. Apabila tegangan τxy  dan τyx  adalah positif dalam arah seperti terlihat dalam gambar tersebut, keduanya konsisten dengan pengamatan ini. Dengan demikian, kita catat bahwa: τxy = τyx

....

(persamaan 2.1)

Dengan menggunakan notasi subskrip sama dan perjanjian tanda sebagaimana diuraikan di atas untuk tegangan-tegangan yang bekerja di elemen xy. Kesimpulan sebelumnya mengenai tegangan geser tetap berlaku sehingga: τx1y1 = τy1x1

....

(persamaan 2.2)

Dengan menggunakan hubungan τxy = τ yx dan juga dengan menyederhanakan dan menyusun ulang, maka kita dapat memperoleh dua persamaan berikut: (persamaan 2.3) (persamaan 2.4)

Persamaan (2.3) dan (2.4) memberikan tegangan normal dan geser yang bekerja di bidang x1 yang dinyatakan dalam sudut θ dan tegangan-tegangan σx, σy, dan τxy yang bekerja di bidang bidang x dan y. Persamaan (2.3) dan (2.4) dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih memudahkan dengan menggunakan identiras trigonometri:

(persamaan 2.5) Jika substitusi ini dilakukan, maka persamaan-persamaan di atas menjadi

(persamaan 2.6)

(persamaan 2.7) Persamaan-persamaan ini dikenal sebagai persamaan transformasi untuk tegangan bidang karena persamaan-persamaan tersebut mentransformasikan komponen tegangan dari satu sistem sumbu ke sistem sumbu lainnya. Namun, sebagaimana telah disebutkan sebelum ini, keadaan tegangan di titik yang sedang ditinjau adalah sama, apakah dinyatakan dengan tegangan yang bekerja di elemen xy. Karena persamaan transformasi diturunkan hanya dari tinjauan keseimbangan suatu elemen, maka persamaan ini dapat diterapkan untuk tegangan di  bahan apa pun, apakah itu tinier atau nonlinier, apakah itu elastis atau inelastis.

3. TEGANGAN DAN ( PRI NCI PAL

) STRESS 

Tegangan normal maksimum dan minimum, yang disebut sebagai tegangan utama, dapat dicari dari persamaan transformasi untuk tegangan normal σx1.  Dengan mengambil turunan dari σx1. terhadap θ dan menyamakannya dengan nol. maka kita akan memperoleh suatu persamaan yang dapat digunakan untuk mencari θ yang menghasilkan σx1 maksimum atau minimum. Persamaan turunan tersebut adalah

 persamaan 3.1 Yang menghasilkan

 persamaan 3.2 Subskrip p menunj ukkan bahwa sudut ( θP adalah orientasi bidang utama. artinya bidang di mana tegangan utama bekerja. Dua harga sudut 2

θP

di dalam sdang 0° sampai 360°. Kedua harga tersebut berbeda

180°, dengan satuharga ada di antara 0° dan 180° dan harga lainnya ada di antara 180° d an 360°. Dengan demikian, sudut

θP

mempunyai dua harga yang berbeda 90°, satu harga di

antara 0° dan 90° dan harga lainnya di antara 90° dan180°. Kedua harga

θP

dikenal sebagai

sudut utama. Untuk salah satu sudut tersebut, tegangan normal σx1 adalah tegangan utama

maksimum, sedangkan untuk sudut yang satu lagi, tegangannya adalah tegangan utama minimum. Karena sudut-sudut utama berbeda 90°, maka kita lihat bahwa tegangan utama terjadi pada bidang-bidang yang sating tegak lurus. Tegangan-tegangan utama tersebut dapat dihitung dengan memasukkan masingmasing sudut θ p ke dalam persamaan transformasi tegangan dan memecahkan harga σx1. Dengan menentukan tegangan utama secara demikian, kita tidak hanya memperoleh harga harga tegangan utama, melainkan juga mengetahui tegangan utama manakah yang berkaitan dengan masing-masing sudut utama. Kita dapat pula memperoleh rumus umum untuk tegangan utama. Untuk itu, perhatikan segitiga siku-siku. Perhatikan bahwa sisi terpanjang segitiga tersebut, yang diperoleh dari teorema Pythagoras, adalah

 persamaan 3.3 Besaran R selalu merupakan bilangan positif dan, seperti dua sisi lain segitiga tersebut, mempunyai satuan tegangan. Dari segitiga tersebut, kita memperoleh dua hubungan tambahan

 persamaan 3.4 Sekarang, kita masukkan rumus-rumus untuk cos 2θp dan sin 2θp. dan memperoleh tegangan utama yang secara aljabar terbesar, yang ditulis dengan notasi σ1 :

 persamaan 3.5 Sedangkan tegangan utama yang lebih kecil, yang diberi notasi

θ2,

dapat diperoleh dari

kondisi bahwa jumlah tegangan normal di bidang-bidang yang saling tegak lurus adalah konstan  persamaan 3.6 Dengan memasukkan rurnus untuk σ1 dan memecahkan σ 2, maka kita dapatkan

 persamaan 3.7

Rumus ini mempunyai bentuk yang sarna dengan rumus untuk σ1 dengan perbedaan hanya  pada tanda negatif. bukannya positif, di depan tanda akar. Rumus-rumus di atas untuk 0". dan 0"2 dapat digabungkan menjadi satu bentuk rumus tegangan utama

 persamaan 3.8 Tanda positif memberikan tegangan utama yang secara alj abar lebih besar dan tanda negatif menghasilkan tegangan utama yang secara aljabar lebih kecil. Sekarang mari kita tinjau kedua sudut yang mendefinisikan bidang bidang Utama, yaitu

θP1

dan θ p2, yang masing-masing berkaitan dengan tegangan utama σ1 dan σ 2• Kedua sudut tersebut dapat diperoleh dari rumus untuk tan 2

θP.

satunya sudut yang memenuhi kedua rumus adalah

untuk mendapatkan

θP.

θP,

karena satu-

Jadi, kita dapat menuliskan ulang

rumus-rumus di atas sebagai berikut:

 persamaan 3.9 Suatu karakteristik penting mengenai bidang-bidang utama dapat diperoleh dari persamaan tran sformasi untuk tegangan geser. Jika kita menetapkan tegangan geser τx1y1, sama dengan nol, maka kita mendapatkan sebuah persamaan yang sama. Dengan demikian, jika kita memecahkan persamaan tersebut untuk mendapatkan sudut 2 θ, maka kita akan mendapatkan rumus yang sama untuk tan 2 θ seperti sebelumnya. Dengan perkataan lain, sudut-sudut untuk  bidang-bidang dengan tegangan geser nol Adalah sama dengan sudut-sudut untuk bidan g utama. Jadi, kita dapat menyimpulkan observasi penting berikut ini mengenai bidang-bidang utama: tegangan geser adalah nol di bidang-bidang utama. Bidang-bidang utama untuk elemen-elemen yang berada dalam keadaan tegangan uniaksial dan tegangan biaksial adalah bidang-bidang x dan y itu sendiri karena tan 2 θP = 0 dan kedua harga θP adalah 0° dan 90°. Kita juga mengetahui bahwa bidang-bidang x dan y adalah bidang-bidang utama dari kenyataan bahwa tegangan geser adalah nol di bidang bidang tersebut.

Gambar 3.a

Gambar 3.b

Pembahasan sebelum ini mengenai tegangan utama hanya meninjau rotasi sumbu-sumbu dalam bidang xy; artinya, rotasi terhadap sumbu z Dengan demikian, kedua tegangan utama disebut tcgangan utama dalam bidang. Namun, kita tidak boleh Jupa pada kenyataan bahwa elemen tegangan sebenamya tiga dimensi dan mempunyai tiga (bukan dua) tegangan utama yang bekerja pada tiga bidang yang saling tegak lurus. Dengan membuat analisis tiga dimensi yang lebih Jengkap, dapat dibuktikan bahwa ketiga bidang utama untuk suatu elemen tegangan bidang adalah dua bidang utama yang telah disebutkan, ditambah elemen muka z. di mana elemen tegangan mempunyai orientasi pada sudut θPl yang berkaitan dengan tegangan utama σ1 • Tegangan utama.

Gambar 3.c

Gambar 3.d

Menurut definisi, a1 secara aljabar lebih besar daripada σ2, tetapi σ3 secara aljabar dapat lebih besar, di antara, atau lebih kecil daripada σ1 dan σ2• Perhatikan juga bahwa tidak ada tegangan geser di bidang utama manapun. *

Gambar 3.e

Gambar 3.f

4. TEGANGAN DAN REGANGAN GESER MAKSIMUM Persamaan transformasi untuk tegangan bidang menunjukkan bahwa tegangan normal σx  dan tegangan geser

τx1y1  bervariasi

melalui suatu sudut

Variasi ini ditunjukkan dalam persamaan 2.3 untuk kombinasi

θ.

secara kontinu apabila sumbu-sumbunya diputar

tegangan tertentu. Dari gambar tersebut, terlihat bahwa baik tegangan normal maupun tegangan geser mencapai harga maksimum dan minimum pacta selang 90°. Harga harga maksimum dan minimum ini, tidaklah mengejutkan, dan dibutuhkan dalam proses desain. Sebagai contoh, kegagalan fatik suatu struktur seperti mesin dan pesawat terbang seringkali  berkaitan dengan tegangan maksimum, sehingga besar dan orientasinya harus ditentukan sebagai bagian dari proses desain. TEGANGAN GESER MAKSIMUM

Dengan telah diperolehnya tegangan utama dan arah-arahnya untuk suatu elemen yang mengalami tegangan bidang, maka sekarang kita akan meninjau penentuan tegangan geser maksimum dan bidang di mana tegangan tersebut bekerja. Tegangan geser τx1y1 yang bekerja di bidang miring dinyatakan dengan persamaan transformasi kedua. Dengan mengambil turunan τx1y1 terhadap θ dan menyamakannya dengan nol, maka kita peroleh: (persamaan 4.1)

Sehingga,

(persamaan 4.2)

Subskrip S menunjukkan bahwa sudut

θs 

mendefinisikan orientasi bidang dengan

regangan geser positif dan negatif maksimum. persamaan 4.2 menghasilkan satu bnrga

θ,

di

antara 0° dan 90° dan lainnya diantara 90° dan 180°. Selain itu kedua harga tersebut berbeda 90° sehingga tegangan geser maksirnum terjadi pada bidang-bidang yang yang tegak lurus. Karena tegangan geser di bidang-bidang yang saling tegak lurus mempunyai harga mutlak sama, maka tegangan geser positif dan negatif maksimum hanya berbeda tanda.

(persamaan 4.3) Dari persamaan ini kita dapat memperoleh hubungan antara sudut-sudut

θs

dan θ p. Mula-

mula, kita menulis ulang persamaan di atas dalam bentuk:

Dengan demikian diperoleh

(persamaan 4.4)

Rumus ini menunjukkan bahwa bidang tegangan geser maksimum terjadi pada sudut 45 ° dengan bidang utama. Bidang tegangan geser positif maksimum τmaks didefinisikan dengan sudut θs1 , di mana rumus berikut ini berlaku:

(persamaan 4.5) Tegangan geser maksimum diperoleh dengan memasukkan rumus untuk cos 2 θs1 dan sin 2θs1, yang menghasilkan:

(persamaan 4.6) Tegangan geser negatif maksimum τmin mempunyai besar yang sama, tetapi berlawanan tanda. Rumus lain untuk tegangan geser maksimum dapat diperoleh dari tegangan utama σ1 dan σ2. Dengan mengurangkan rumus untuk σ2 dari rumus untuk σ1

(persamaan 4.7) Jadi. regangan geser maksimum sama dengan setengah selisih tegangan tegangan utama. Bidang-bidang tegangan geser maksimum juga mengandung tegangan normal. Tegangan normal yang bekerja di bidang-bidang tegangan geser maksimum dapat ditentukan dengan memasukkan rumus untuk sudut θx1

(persamaan 4.7)

REGANGAN GESER MAKSIMUM

Regangan geser maksimum dalam bidang xy berkaitan dengan sumbusumbu pada 45° terhadap arah regangan utama. Regangan geser yang secara aljabar maksimum (dalam bidang xy) dinyatakan dalam persamaan berikut

 persamaan 3.3 Regangan geser yang secara aljabar mtmmum mempunyai besar yang sama tetapi bertanda negatif. Dalam arah regangan geser maksimum, regangan nornalnya adalah

 persamaan 3.4

5. LINGKARAN MOHR UNTUK TEGANGAN BIDANG Persamaan transformasi untuk tegangan bidang dapat dinyatakan dalam bentuk plot yang dikenal dengan sebutan lingkaran mohr '' Representasi grafis ini sangat berguna karena memungkinkan pembaca untuk memvisualisasikan hubungan antara tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada berbagai bidang miring di suatu titik pada benda

 bertegangan. Lingkaran ini juga memberikan cara untuk menghitung tegangan utama, tegangan geser maksimum, dan tegangan di bidang-bidang miring. Selain itu, lingkaran Mohr  berlaku tidak hanya untuk tegangan tetapi juga untuk besaran-besaran lain dengan sifat-sifat matematis serupa, termasuk regangan dan momen inersia.

PERSAMAAN-PERSAMAAN UNTUK LINGKARAN MOHR

Persamaan-persamaan untuk lingkaran Mohr dapat diturunkan dari persamaan transformasi untuk tegangan bidang. Kedua persamaan ini ditulis ulang di sini. tetapi dengan sedikit  penyusunan yang berbeda:

 persamaan 5.1

 persamaan 5.2 Dari geometri analilis kita dapat mengenal bahwa kedua persamaan ini adalah  persamaan-per samaan untuk suatu lingkaran dalam bentuk parametrik. Sudut 2θ  adalah  parameter dan tegangan σ1 dan τx1y1 adalah koordinatnya. Namun. sifat persamaan tersebut tidak perlu diketahui pada tahap ini jika kita mengeliminasikan parameter tersebut  pentingnyapersamaan tersebut akan menjadi terlihat. Untuk mengelirninasi parameter 2θ, kita kuadratkan kedua sisi dari masing-masing  persamaan dan selanjutnya menjumlahkan keduanya. Persamaan yang dihasilkan adalah

 persamaan 5.3 Atau

 persamaan 5.4 Sehingga menjadi

 persamaan 5.5

yang merupakan persamaan suatu lingkaran dalam bentuk aljabar standar. Koordinatnya adalah σ1 dan τx1y1 radiusnya adalah R, dan pusat lingkaran tersebut mempunyai koordinat σ1 = σ1rata-rara dan τx1y1 = 0. Dalam bentuk pertama lingkaran Mohr, kita memplot tegangan normal σ1  positif ke kanan dan tegangan geser τx1y1 positif ke bawah

Gambar 5.a Kedua bentuk lingkaran

Gambar 5.b

ohr secara matematis benar, dan yang manapun dapat

m

digunakan. Namun akan lebih mudah untuk memvisualisasikan orientasi elemen tegangan jika arah positif sudut 2θ  sama untuk lingkaran Mohr dan untuk elemen itu sendiri. Selain itu, suatu rotasi berlawanan jarum jam cocok dengan aturan tangan kanan untuk rotasi. Dengan demikian, kita akan memilih menggunakan bentuk pertama lingkaran Mohr dimana tegangan geser positif diplot ke bawah dan sudut positif 2 θ diplot berlawanan jarum jam.

6. CONTOH SOAL Suatu kondisi tegangan bidang terjadi di suaru titik pacta permukaan struktur yang dibebani, di mana tegangan-tegangannya mempunyai besar dan arah seperti terlihat dalam elemen tegangan pada Gambar.

Tentukanlah tegangan-tegangan yang bekerja di elemen yang berorientasi pada sudut 15° searah jarum jam terhadap elemen semula.

Solusi Tegangan-tegangan yang bekerja di elernen semula Gambar mempunyai harga-harga sebagai  berikut:

Sebuah elemen yang berorientasi pacta sudut 15° searah jarum jam ditunjukkan dalam Gambar, di mana sumbu x1 adalah pada sudut

θ =

-15° terhadap sumbu x. (Sebagai alternatif,

sumbu x1 dapat saja diletakkan pada sudut positif θ = 75°.) Kita dapat langsung menghitung tegangan-tegangan di muka x1 dari elemen yang berorientasi  pada sudut θ = -15° dengan menggunakan persamaan transfonnasi. Perhitungannya dilakukan sebagai berikut:

Dengan memasukkan ke dalanm persamaan transformasi, maka:

Juga, tegangan normal yang bekerja di muka y1 adalah

DAFTAR PUSTAKA http://www.mediafire.com/file/29k7cm46ohejgj7/Mekanika+bahan+jilid+1.pdf  http://www.mediafire.com/file/ciqudr7t2g0ic6w/Mekanika+bahan+jilid+2.pdf 

LAMPIRAN Simbol

Huruf Yunani