Análisis Matemático I -límites y continuidad

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ANÁLISIS MATEMÁTICO I RESPONSABLES: DIAZ ESPINOZA SANDY MEDALITH. RAMIREZ CRUZ YALEMI LIBERTAD.

12

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ

Límites y continuidad

INDICE I. INTRODUCCIÓN II. OBJETIVOS II.1. OBJETIVOS GENERALES: II.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: III. MARCO TEÓRICO LÍMITES Y CONTINUIDAD III.1 LÍMITES III.1.1 PUNTO DE ACUMULACIÓN: III.1.2 FUNCIÓN ACOTADA: III.1.3 EL LÍMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL: III.1.4 OBSERVACIONES: III.1.5 TEOREMAS SOBRE LÍMITES: TEOREMA 1: TEOREMA 2: UNICIDAD DEL LÍMITE: TEOREMA3: TEOREMA DEL ENCAJO O TEOREMA DEL SANDWINCH: III.1.6. LÍMITES LATERALES: a) LÍMITE DE f POR LA DERECHA: a) LÍMITE DE f POR LA IZQUIERDA: III.1.7 LÍMITES INDETERMINADOS: III.1.10LÍMITES DE FUNCIONES CON: VALOR ABSOLUTO, MÁXIMO ENTERO Y SIGNO DE x:

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO: DEFINICÓN DE MÁXIMO ENTERO: DEFINICIÓN DE FUNCIÓN SIGNO DE X: III.1.9. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS: III.1.10. LÍMITES FINITOS: III.1.11. LÍMITES AL INFINITOS: III.1.12. ASÍNTOTAS: 1) ASÍNTOTA VERTICAL: 2) ASÍNTOTA HORIZONTAL: 3) ASÍNTOTA OBLICUA: III.2. CONTINUIDAD III.2.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO: III.2.4. CONTINUIDAD EN TÉRMINOS DE VENCIDADES: III.2.5. CONDICIONES DE CONTINUIDAD: III.2.6. DISCONTINUIDAD: III.2.6.1. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD: III.2.6.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD: 1) DISCONTINUIDAD EVITABLE: 2) DISCONTINUIDAD INEVITABLE:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

4 5 5 5 6 6 6 7 7 10 10 10 9 9 10 10 10 11 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 14 14 18 18 18 18 19 19 19 Página 2


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3) DISCONTINUIDAD DE PRIMERA CLASE:  Discontinuidad finita.  Discontinuidad evitable o discontinuidad de punto faltante:  DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA CLASE: III.2.7. CONTINUIDAD LATERAL: III.2.7.1. CONTINUIDAD POR LA DERECHA: III.2.7.2. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA: III.2.10. CONTINUIDAD EN INTERVALOS: III.2.10.1. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO: III.2.11. FUNCIONES ACOTADAS: III.2.11.1. FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE: III.2.11.2. FUNCIÓN ACOTADA INFERIORMENTE: III.2.12. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: III.2.12.1. TEOREMA DEL CERO: III.2.12.2. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (BERNARD BOLZANO): III.2.12.3.TEOREMA DE ACOTACIÓ LOCAL: III.2.12.4. TEOREMA DE ACOTACIÓN GLOBAL: III.2.12.5. TEOREMA DEL VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO (Teorema de Karl Weierstrass): III.2.12.6. TEOREMA DE CONTINUIDAD: III.2.5. OBSERVACIONES: IV. Anexos: V. MISCELÁNEA DE EJERCICIOS


20 20 24 24 24 25 25 29 29 31 31 34 34 34 35 35 35 35 35 35 36 37

Página 3



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I.

INTRODUCCIÓN

La noción de límite de una función es el tema central del cálculo matemático, es tal vez el más importante, pues esta íntimamente ligada a los conceptos de continuidad, derivada e integral. Es por esto que antes de dar una definición formal del concepto de límite analizaremos ciertas definiciones, como punto de acumulación y una serie de ejemplos que sentaran las bases y a la vez facilitarán la comprensión de diversos términos que intervienen en la definición rigurosa. Es preciso

recalcar que es de suma importancia abordar los temas antes ya

mencionados debido a su estrecha relación con el cálculo matemático la misma que repercute e influye mucho en la realización y ejecución de los proyectos de ingeniería civil. A continuación trataremos los temas propuestos en este presente trabajo monográfico, de una manera profunda, tratando de enriquecer nuestro conocimiento con la ayuda de los conceptos obtenidos a través de esta recopilación de información. En esta monografía hemos considerado importante mencionar y tratar ciertos puntos característicos relacionados con los temas: límites y continuidad, cuyos conceptos nos facilitara reforzar el proceso de aprendizaje para que luego podamos aplicarlo en la realidad.


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II.

OBJETIVOS

II.1. OBJETIVOS GENERALES: 

Conocer y manejar las nociones de Análisis Matemático que son básicas para el estudio de esta y otras asignaturas del área: Límites y continuidad de funciones reales de varias variables reales.



Este objetivo se abordará al analizar e interpretar geométricamente diversos conceptos y resultados, y plantear problemas.



Adquirir destreza en la modelización y resolución de problemas de la vida real que se puedan abordaren nuestro campo de trabajo.

II.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 

Calcular el límite de una función real.



Establecer la continuidad o discontinuidad de una función real dada, en cualquier punto de su dominio.


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III.

MARCO TEÓRICO

LÍMITES Y CONTINUIDAD III.1 LÍMITES III.1.1 PUNTO DE ACUMULACIÓN: DEFINICIÓN 1: Dado un subconjunto A de números reales ), diremos que un punto es un punto de acumulación de A si cualquier vecindad contiene por lo menos un punto x de A distinto de . DEFINICIÓN 2: Sea

, diremos que

es punto de acumulación de A si:

Es decir:

|

|

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. Pág. DEFINICIÓN 1: Sea el conjunto entonces se llama punto de acumulación de S, si solo si, todo intervalo abierto y cerrado en contiene por lo menos un punto distinto de sí. Esto es

es punto de acumulación de

y {

Equivalentemente es

se cumple:

}

es punto de acumulación de: |

| ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.Pag140. Lic. Sánchez Culqui Eladio

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III.1.2 FUNCIÓN ACOTADA: Se dice que una función es acotada sobre un conjunto imágenes f(s) está acotado, es decir, si existe un número real que: |

si el conjunto de llamado cota, tal

|

Equivalentemente: Es acotada sobre Donde m y M son las cotas inferiores y superiores respectivamente. ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G. Pág.143 III.1.3 EL LÍMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL: DEFINICIÓN 1: Sea Sea

una función con valores reales definidos en

:

un punto de acumulación de A.

Diremos que el numero L es el límite de f(x) cuando x tiende hacia y escribiremos si para cada número real , dado arbitrariamente podemos | | | encontrar tal que si y entonces | . Definición simbólica: Sea

es punto de acumulación de A.

|

|

|

| ANÁLISIS MATEMÁTICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C.


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DEFINICIÓN 1: Sea una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a , excepto posiblemente en el numero mismo. Se dice que L es el límite de la función f en sin y sólo si para cada número existe un número tal que si con la propiedad de que si: Formalmente: |

|

|

|

|

|

|

| ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. pág.151

III.1.4 OBSERVACIONES: III.1.5 TEOREMAS SOBRE LÍMITES: TEOREMA 1: Sea

puno de acumulación de

, entonces:

Es decir, si alguno de estos límites existe entonces, el otro también existe. DEMOSTRACIÓN:



1) Si |

|



2) Hagamos que: 3) Sustituimos 2) en 1):

|

; tal que: | ; donde si

| |

|

entonces |

Por tanto esto implica que:


LÍMITES Y CONTINUIDAD.


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Autor: Moisés Lázaro C. Pág. TEOREMA 2: UNICIDAD DEL LÍMITE: Si existe

este es único.

DEMOSTRCIÓN: Sea

punto de acumulación de

Si

, entonces: | 1) Debemos comprobar que: | 2) Por hipótesis se tiene: Luego dado cualquier existe

3) Obtenemos: encontrar |

, lo cual implica: tales que para:

|

|

|

|

|

|

|

|

{ tal que | |

}. Como | |

es punto de acumulación de A podemos . Entonces: | | | | | ANÁLSIS MATEMÁTICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. TEOREMA 3: TEOREMA DEL ENCAJO O TEOREMA DEL SANDWINCH: Sea Si para todo

punto de acumulación de tenemos

y además:

, entonces: ANÁLSIS MATEMÁTICO I



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III.1.5. LÍMITES LATERALES: Los limites laterales de f, por la izquierda y por la derecha de , se presentan cuando se realiza restringiendo el dominio de la función f a los subconjuntos siguientes:   b) LÍMITE DE f POR LA DERECHA: Definición: L es el límite por la derecha de

. .

si dado: |

tal que: | |

|

O también: |

|

Denotación:

Se lee: “Límite lateral derecho de f en

”

c) LÍMITE DE f POR LA IZQUIERDA: Definición: El valor L es el límite de f por la izquierda de si:  Dado , que depende de y del punto | O equivalentemente: |

tal que: | |

Denotación: Se lee: “Límite lateral izquierdo de f en

”

III.1.5.1. TEOREMAS: Si f está definida en un entorno reducido de a, y si que:

entonces se cumple

ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: A. Venero B. Pag.267


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III.1.6 LÍMITES INDETERMINADOS: Las formas indeterminadas más usadas son: b)

a)

c)

Otras formas indeterminadas son:

b)

a)

c)

d)

1. Cálculo de límites indeterminados de forma: Si

, entonces para evitar la indeterminación se harán ciertas operaciones

en el numerador y/o denominador de modo que se pueda simplificar el binomio

.

Casos que se presentan: CASO I: Si

son POLINOMIOS de grado n y m respectivamente, y

,

entonces la indeterminación se evita tan solo FACTORIZANDO el numerador denominador , de modo que el binomio se simplifique así:

y/o el

. CASO II: Si

son RADICALSE y

, entonces la indeterminación se evita

RACIONALIZANDO en el denominador y /o numerador. CASO III: Si

son FUNCIÓNES TRIGONOMETRICAS, y

indeterminación se evita haciendo uso del teorema de

, entonces la y algunas

identidades trigonométricas. ANALSIS MATEMATICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. III.1.7 LÍMITES DE FUNCIONES CON: VALOR ABSOLUTO, MÁXIMO ENTERO Y SIGNO DE x: Cada vez que se tenga funciones con valor absoluto, máximo entero y signo de x, se deberá tener en cuenta las correspondientes definiciones:


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1. DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO: | |

. .

2. DEFINICÓN DE MÁXIMO ENTERO: ⟦ ⟧ 3. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN SIGNO DE X:


LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. III.1.10. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS: Para calcular límites trigonométricos, se hará uso del siguiente teorema:

De este teorema se deducen los siguientes teoremas siguientes:


LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. III.1.9. LÍMITES FINITOS: III.1.10. LÍMITES AL INFINITOS:


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III.1.11. ASÍNTOTAS: 1) ASÍNTOTA VERTICAL: La recta

funcion de

se una asíntota vertical de la gráfica de la

si: tal que

i. Si

siempre que: tal que

ii. Si


iii. Si


iv. Si

siempre que: 2) ASÍNTOTA HORIZONTAL: La recta

se una asíntota horizontal de la

gráfica de la funcion de si: i. Sea A es ilimitado superiormente. Dada , escribamos: Sí y sólo si: Tal que: | | , A es ilimitado inferiormente. Dado que existe un número

ii. Dada

,

Tal que: 3) ASÍNTOTA OBLICUA: la recta

función

| | es asíntota oblicua de la gráfica de la

si se cumple lo siguiente:

i.

[

]

ii.

[

]


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III.2. CONTINUIDAD III.2.1. DEFINICIÓN: La idea de continuidad de una continuidad de una función f en un punto de su ], es decir que la gráfica no tenga rupturas tipo salto dominio[ vertical a lo largo de la recta vertical . La función f es continua en si par cada , existe un tal que: |

|

|

|

GRÁFICA

ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. Pag.307 III.2.2 DEFINICIÓN2: Sea Si es punto que pertenece al dominio de en el cual no es continua, entonces decimos que es discontinua en o que tiene una discontinuidad en ANÁLSIS MATEMÁTICO I



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III.2.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO: Se dice que una función

es continua en

si y solo si:

Ejemplos de funciones continuas en un punto de sus dominios son: Funciones polinómicas: Funciones racionales:

Funciones trigonométricas:  y es continua en todo punto de  , en todo tal que 

en todo

.

tal que ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. pag.308

EJEMPLOS 1 Para que valores de la función definida es continua:

Solución: Siendo f una función seccionada, los posibles puntos de continuidad se presentan en la unión de los intervalos de definición, esto es, en Analicemos la continuidad en cada caso. 1. Continuidad en


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i) ii)

f está definida en pues en si está en la vecindad de 1 y cerca de:

-3 = -2 , entonces los valores de f se acumulan

Si esta en la vecindad de 1 y cerca de:

, entonces los valores de f se acumulan

Como iii)

existe

se cumple que:

, luego f es continua en

2. continuidad en i) ii)

en [ Si está en la vecindad de 2 y acumulan cerca de:

, existe. , entonces los valores de f se

Si está en la vecindad de 2 y acumulan cerca de:

, entonces los valores de f se

Como

iii)

No se cumple la condición: Entonces la función f no es continua en En consecuencia, la función es continua en todo su dominio, excepto en Grafica


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EJEMPLOS 2 Sea la función: |

|

Analizar la continuidad de f en los puntos

Solución: Al eliminar las barras del valor absoluto obtenemos:

1. Continuidad en i) ii)

Luego, existe iii)

Como

, la función es discontinua en

2. Análogamente se determina que también f es discontinua en


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3. La grafica de f es:

III.2.4. CONTINUIDAD EN TÉRMINOS DE VENCIDADES: Una función

es continua

y solo si, para

próximo a

,

es próximo a [

] ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.309

III.2.5. CONDICIONES DE CONTINUIDAD: Se dice que una función es continua en el punto las siguientes condiciones: i. ii. iii.

esta definida, es decir, existe Existe .

si, y solo si, se satisfacen .



Pag.309

III.2.6. DISCONTINUIDAD: III.2.6.1. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD: En términos de la gráfica de una función, la discontinuidad implica una interrupción, un salto o ruptura en el trazado de dicha gráfica, originadas por dos motivos: a) Que el b) Que el


existe, pero debe ser diferente a no exista.

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Pag.315

III.2.6.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD: 1) DISCONTINUIDAD EVITABLE: Un punto removible o evitable si se cumple lo siguiente: i. ii. Graficas:

se dice que es de discontinuidad .



Pag.315

2) DISCONTINUIDAD INEVITABLE: Un punto esencial o inevitable si se cumple que:

se dice que es de discontinuidad

i.

ii. Grafico


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Pag.315

Se puede distinguir dos clases de discontinuidad:

 DISCONTINUIDAD DE PRIMERA CLASE:  Discontinuidad finita: se tiene en cuenta las siguientes condiciones:  



Discontinuidad evitable o discontinuidad de punto faltante: se

cumple lo siguiente:  

 DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA CLASE: si no existe limites laterales en Es decir: Si esto ocurre también se denomina discontinuidad infinita. ANÁLSIS MATEMÁTICO I


EJEMPLOS 1

Sea la función:


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Analizar la continuidad de f en todo su dominio. Solución: Teniendo en cuenta que:

= 1, si

√

0,

√ √

-1,

√

√

Entonces:

Analicemos ahora las condiciones de continuidad en 1. Continuidad en i) ii) ( Dado que iii)

) existe

Se cumple que:


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2. Continuidad en i) ii)

( Como

iii)

)

no existe

No se cumple que:

3. Continuidad en Como

no está definida, pues

Si existe, significa que Luego la extensión continua de la función f en

es:

EJEMPLOS 2 Sea la función:

√

, si

1

, si Esbozar la gráfica mostrando todas las asíntotas existentes e indicar los puntos de discontinuidad. Solución: 1. Intersección con los ejes coordenados. En a) Eje


] ]

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b) Eje y: En a) Eje y: 2. Asíntotas verticales Para

] No hay intersección. La curva pasa por el origen.

√

]

;

√

Luego,

,

√

√

es una asíntota vertical en ambos sentidos.

Para Es una asíntota vertical hacia abajo. 3. Asíntotas horizontales 6

Entonces,

| |√

7=-1 (par

| |

es una asíntota horizontal *

+=

No existe asíntota horizontal.

4. asíntotas oblicuas En

:

=

En

:

=

=

No existe asíntota oblicua izquierda. =1 [

Luego,

]

=-2

es una asíntota oblicua derecha.

5. Puntos de continuidad En la discontinuidad es esencial ya que ambas rectas son asíntotas verticales. Sin embargo en : Lic. Sánchez Culqui Eladio

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1)=

√

√

Además como Existe; entonces redefinir.

, existe

1), no existe pues

y

es un punto de discontinuidad evitable y podemos

{ }

, si

III.2.7. CONTINUIDAD LATERAL: III.2.7.1. CONTINUIDAD POR LA DERECHA: Una función i.

es continua por la derecha de

, si y sólo si:

existe.

ii.

[

|

|

ε



Pag.324


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si para cada

Una función f es continua por la derecha en

correspondiente

existe un

tal que: [ |

|

ε

está definida.

i) ii)


Autor: A. Venero B. Pag.348

III.2.7.2. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA: Una función

es continua por la izquierda de

i.

si y sólo si:

existe.

ii.

|

]

|



Pag.324

si para cada

Una función f es continua por la izquierda en

correspondiente

tal que:

| i) ii)

existe un

|

ε

está definida.


Autor: A. Venero B. Pag.348


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III.2.10. CONTINUIDAD EN INTERVALOS: III.2.10.1. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO: DEFINICIÓN1: Una función denotado por

es continua sobre un conjunto es continua en cada punto de

, si la función restringida,

Según la forma de 〈 a) Si continua

〉 la función es continua sobre 〈 〉 se cumple:

〈

〉

, si

[ b) Si cumple:

], la función

[

]

, si se

es continua sobre

es

i.

ii. c) Si [ cumple: d) Si cumple:

, la función

] la función

es continua sobre

[

es continua sobre

, si se

]

, si se



DEFINICIÓN2: La función f se dice que es continua sobre un conjunto

restringida es continua en cada punto de De manera que: 〈 〉 la definición dada resulta equivalente a:  Si 〉 La función es continua sobre 〈 si 〉 cada punto de 〈 [ ] la definición dada resulta equivalente a:  Si ] La función es continua sobre [ . [ [, la definición equivale a que:  Si [ La función es continua sobre[


Pag.329

si la función

es continua

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EJEMPLOS 1 |

Determinar la continuidad de la función

|

en el intervalo[

]

Solución: La función f es discontinua en

Sin embargo f es continua sobre el conjunto [

. ]

En consecuencia, la función f es continua en

[

]

EJEMPLOS 2 La función definida por: Es continua sobre Solución: Dado que f es continua en


, lo será en [

]

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i)

( =

(

) (

)

) =

ii) Sea

entonces

Luego

pero como [(

) (

) ]=

Por lo tanto, f será continua en [

EJEMPLOS 3

], si definimos:

Sea la función: , si

⟦ ⟧ , si

[

]

{ }

Hallar las asíntotas de la gráfica, analizar la continuidad de f en [

Solución: a) Determinación de las asíntotas 1. Asíntotas horizontales: En asintotas horizontales. 2. Asíntotas verticales:


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En

es una asíntota

vertical hacia arriba. En

( ⟦ ⟧)

Entonces

es una asíntota vertical hacia arriba.

3. Asíntotas oblicuas: En

*

+ [

Por lo tanto

]

es una asíntota oblicua derecha

b) Continuidad de f en [ Continuidad en : i)

⟦ ⟧

Luego, f es continua por la izquierda de Continuidad en

[

]

ydiscontinua en

{ } ( )

⟦ ⟧ Entonces

[

] ⟦ ⟧


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III.2.9. FUNCIONES ACOTADAS: III.2.9.1. FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE: Una función está acotada superiormente sobre un conjunto , si el conjunto de imágenes está acotado superiormente, es decir, si existe un número real tal que



Pag.341

III.2.9.2. FUNCIÓN ACOTADA INFERIORMENTE: Una función está acotada inferiormente sobre un conjunto , si el conjunto de imágenes está acotado inferiormente, es decir, si existe un número real tal que


Autor: R. Figueroa G. Pag.341


Página 30



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EJEMPLOS 1 Hallar el supremo e ínfimo de la función , si

[

]

Solución: Sea Si

= [

[

]

]

Invirtiendo se tiene: [ {

Luego:

[

{ [

]

]}

,*

+-

]}

{[

]}

EJEMPLOS 2 Sea la función: |

| Y

S=

Hallar si existen el

{ }

y el

.

Solución: y|

Como la función seno es acotada, esto es: |


|

|

|

| ]

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Por consiguiente: ,

{ }-

,

{ }-

]

] 0

Como Grafica

III.2.10. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: III.2.10.1. TEOREMA DEL CERO: ] ] Si Sea [ una función continua en [ y tiene signos opuestos, es decir, si: Ó 〉 Entonces existe un número c en el intervalo abierto 〈

NOTA: Este teorema tiene su aplicación en la solución de ecuación de la forma 𝒇 𝒙 𝟎.



Pag.349

EJEMPLOS 1

Usando el teorema del cero, demostrar que la parábola intersecta con la curva

se

Solución: 1. Sean A:


C

√

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2. Si P(

A √

P(

√

√

C

√ 3. Sea la función que es continua en [ ] 4. Analicemos el signo que toma la función f en los extremos de los intervalos [ ]y[ ]

Si a) Para

[

] Si

Si b) Para

[

√

√

√

] Si

√

5. Por tanto la parábola A intercepta a la curva C en dos puntos: ] Y [

EJEMPLOS 2 Sin resolver la ecuación sus raíces reales. Solución: Sea , continua Por el teorema del cero sabemos que si


hallar el número de

y

, entonces existe

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Elegiremos entonces puntos del dominio de f tales que cumplan con el antecedente de la condición dada, esto es:

1.

2.

3.

Por lo tanto, la ecuación dad tiene tres raíces reales


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III.2.10.2. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (BERNARD BOLZANO): ] ]y [ ]o [ Sea [ una función continua en [ Entonces y existe un número c entre a y b tal que:

].

GRAFICA



Pag.351

III.2.10.3.TEOREMA DE ACOTACIÓ LOCAL: Si es continua en el punto , entonces existe un número , tal que está 〉es decir, existe un número acotada superiormente en el intervalo abierto 〈 real ; tal que: |

|

〈

〉 ANÁLSIS MATEMÁTICO I


Pag.352


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III.2.10.4. TEOREMA DE ACOTACIÓN GLOBAL: Sea [ sobre [

]

una función continua sobre [

], se verifica que

es acotada



Pag352

III.2.10.5. TEOREMA DEL VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO (Teorema de Karl Weierstrass): ], entonces existe Si es una función continua sobre [ la función toma su valor máximo y su mínimo [

[

]

[ [

] en los cuales

]


Autor: R. Figueroa G. III.2.10.5. TEOREMA DE CONTINUIDAD:

Pag.353

], Sea es una función univalente. Si es continua sobre el intervalo [ entonces la función inversa es continua sobre el intervalo con extremos en los puntos . ANÁLSIS MATEMÁTICO I


Pag.354

III.2.5. OBSERVACIONES: 1. Debido a la definición dada solamente tiene sentido analizar la continuidad de f en puntos del dominio de | | 2. No es necesario la restricción: , pues al pertenecer al | entonces para también se cumple que: | , | puesto que | . 3. Si es además un punto de acumulación del entonces se tiene en forma equivalente que:  F es continua en si se cumple las tres condiciones: i. está definido. ii. iii.


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4. Si no es apunto de acumulación del entonces f resulta automáticamente continua en . En efecto: Existe una vecindad de de radio donde no existe ningún otro punto del que sea diferente de de esta manera la condición | | es satisfecha por un único punto y para el cual: |


|

|

|

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ANEXOS


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MISCELÁNEA DE EJERCICIOS 1. Evaluar los siguientes límites:

(

a)

√

√

)

Solución: i.

Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada .

ii.

Factorizamos tratando de eliminar forma indeterminada: .

.

√

√

√

√

. 0

/

/ (√

√

[ √

√ √

, que es el factor que da la

)

/

(√ ) (√ )

]

1

0

(√

)(√ (√

)

) 1

(

) 0

√

√ (√ )

1

(√ ) [ (√

)

]

(

) 0

1

(√ )

√

0

(√

)

1

(

) 20

√

(√ )

1

0

(√

1 )

3

(

)

(

)


20

√

(√ )

1

0

(√

)

1

3

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0

iii.

1

(√ )

√

)

1

Levantamos el límite: 0

√

(

b)

0 (√

1

(√ )

√

√

0 (√

1 )

) .

√

√

/

Solución: i.


ii.

Factorizamos tratando de eliminar , que es el factor que da la forma indeterminada: 4

(√

(√

)

(√

) (( √ (( √

)

)

)

5 (√

)

√

(√

)

√

) (√

) )

(

) (( √ (( √

) )

.√

)

(√

)

√

/ )

(

) (( √

)

(√

)

√

)

(

) (( √

(


)

√

)

(√

) )

Página 40



Cajamarca-SJ


6

(( √

)

(√

)

√

7

)

(

) 6

iii.

(( √

)

)

√

7

)

(

)

Levantamos el límite: (( √

(

c)

(√

√

)

(√

)

√

)

)

√

Solución: i.

Al evaluar obtenemos la forma indeterminada

ii.

Factorizamos tratando de eliminar indeterminada: √

. √ (

, factor que da la forma

/ √ (

(√

)( √ )(√

)

(√

( (

)

(√ (

) )

)

(√

) (

√

)

)

( (


)

) )

√

((√ (

)

√ )

) (√

)

)

Página 41



Cajamarca-SJ


(

)

√

( (√

) )

(

)

√

( (√

)) (

)

√

( (√

)) (

)

√

( (√

)) (

iv.

)

√

(√ ( Levantamos el límite:

)

(

)

)

√

(√

(

d)

√

√

√ √

√ √

)

)

Solución: v.


vi.

Factorizamos tratando de eliminar el factor que da la forma indeterminada: √ . √


√ √

√ √

/

Página 42



Cajamarca-SJ


√

√ . √

√

(√ (√

) )

(√

( (√

)

(√

)

( ( √ (√

(√

.

. .

( (√

√

)

) ) )

(√ )

(√

(√

) )


)

/

√ )

√

/ ) )

(√

/

√

(√

)

)

(√

/ ) )

(√

) )

Levantamos el límite:

(√

) )

√

(√

)

)

) )

√

√

(√

)

√ √

(√

(√ )

(√

(√

)

√

(√

)

(√

)

(√

)(√

√

(√ .

(√

(√

)

(√

)

(

)

√

)

( ( √

)

(√

)

√ )

√

)

√

)

(√

)

√

)

(√

)

(√

)

)(√

)

(√

vii.

)(√ (√

)(√

(√

(

(√

)

(√

/

√

)(√ (√

(

√

√ (√

√ )

(√

)

Página 43

)



Cajamarca-SJ


(

e)

√

√

)

Solución: viii. ix.


, que es el factor que da la forma

Factorizamos tratando de eliminar indeterminada:

.

√

√

.

(√

√

(√

/

)(√

)

(√

)

(√

)

/

) (√

)

√

(√

)

√

(

)

(√

)

(√

(√

)

)

(√

)

√

(

) (√

)

(√

√

)

(

) (√

)

(√

√

)

(

) 4

(√

)

(√

√

)

(

)

4

x.

5

(√

)

(√

√

)

5



Página 44



Cajamarca-SJ


4 (√

)

(( √

)

√

(

⟦

⟧

(⟦

f)

)

5

)

)

⟧

Solución: i. Determinamos el valor absoluto:  ⟦ ⟧

⟦ 

⟦

⟧

⟦

ii.

⟧

⟧

Evaluamos el límite: . (


⟦ ⟦

⟧ ⟧

/

)

Página 45



Cajamarca-SJ


(

g)

√

)

Solución: i.


ii.

Factorizamos tratando de eliminar indeterminada: .

√

/ √

.

iii.


(

)

.

(

)

.

/ √

(

(

)

(

(

)

(

(

)

.

(

)

(

/ )(

√ ( ( ( (

√

(√

)

√

)

(√

)

√

) )

√

)

√ )

)(

/

) )

/

√

)

Levantamos el límite: ( )(


√

)

Página 46



Cajamarca-SJ


h)

(

(√

)

√

) (√ .

)

√

/

Solución: iv.


v.

Factorizamos tratando de eliminar indeterminada: (√ √ . .

(√

)

)

.

(√

) +

.

)

√ )

(√

) +

(√

)

√

[

.

)

√

(√

] (√ [ [

. (√

)

√

)

√

)

√

)

(√

√

5

5

/

]

(√

/

/

√ ]

(√

)

√

(√

*(√ 4

/

)(√

√

*(√ 4

vi.


/

/



)

Página 47



Cajamarca-SJ


(

i)

)

Solución: i.


ii.

Factorizamos tratando de eliminar la forma indeterminada: (

, que es el factor que da )

.

/

.

/

.

/

.

/

(

iii.

)

Levantamos el límite: √ √

(

j)

)

Solución: i.


ii.

Factorizamos tratando de eliminar indeterminada:


que es el factor que da la forma

.

/

.

/

Página 48



Cajamarca-SJ


4

iii.

)

5

4 (

)

5

. (

)

. (

)

/

. (

)

/

. (

)

(

) /

. (

)

(

) /

/


(

k)

(

)

Solución: i. Podemos expresar el límite de la siguiente forma: (

)

ii. iii.

Al evaluar el límite del numerador, tenemos la forma indeterminada Pero cuando evaluamos el límite del denominador obtenemos:

iv.

Para determinar el límite del numerador, seguiremos el siguiente procedimiento:

.

ii.1.


Página 49



Cajamarca-SJ


ii.2. Donde: ii.3.

ii.4 evaluamos para

(

) (

)

Al levantar el límite obtenemos: Como: v.

l)

Por último:

*

+

Solución: i. Podemos expresar el límite de la siguiente forma:


Página 50



Cajamarca-SJ


0

ii. iii.

1

Al evaluar los límites, tenemos la forma indeterminada . Para determinar el límite del numerador, seguiremos el siguiente procedimiento: iii.1.

iii.2. Donde: iii.3.

iii.4 evaluamos para

(

) ( )

(

)

(

)

(

)

Al levantar el límite obtenemos:

Como:


Página 51



Cajamarca-SJ


iv.

Para determinar el límite del denominador, seguiremos el siguiente procedimiento: iv.1.

(

)

iv.2. Donde: iv.3.

iv.4 evaluamos para ( (

) )

Al levantar el límite obtenemos: Como: v.

Por último:


Página 52



Cajamarca-SJ


2. Dada la circunferencia de radio y centro , en donde se cumple que , calcular el límite cuando tiende hacia del cociente entre el área del triángulo y el área del triángulo B

A

O C D

Solución: i. Reemplazamos y completamos datos: B

𝜃 𝑅

𝜃

𝑎 𝜃 𝜃 O𝑎 C

𝑅 𝑅 cos 𝜃

𝑅 sen 𝜃 D

A

𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑎

ii.

Calculamos el límite: Cuando tiende a , entonces

iii.

Determinamos el área del triángulo

:

iv.

Determinamos el área del triángulo

:

v.

Determinamos :

vi.

Reemplazamos en el límite:


𝑎𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃

Página 53



Cajamarca-SJ


.(

vii.

)

/


3. Analizar la continuidad de la función

en el punto

, siendo:

Solución: i.

Por definición:

ii.

Si

iii.

Analizamos:

( ) 〈

〉

〈

〉

iii.1. Tratamos de eliminar

, factor que le da la forma

indeterminada


Página 54



Cajamarca-SJ


Levantamos límite:

iii.1 Tratamos de eliminar

, factor que le da la forma

indeterminada

Levantamos límite:

Nos podemos dar cuenta que:

4. Analizar la continuidad de la función

dada por: √

Solución: a) Determinamos la continuidad en el punto i. ii.

Como


⟦ ⟧

:

, analizamos el límite por la derecha de :

Página 55



Cajamarca-SJ




Evaluamos el límite:

b) Determinamos la continuidad en el punto √

i.

⟦ ⟧

:

Determinamos: ⟦ ⟧

√ √ ⟦ ⟧ ii.

Como 

, analizamos el límite por la izquierda de

Evaluamos el límite:

5. Dada la función: ⟦

⟧

√

Hallar los valores de y para que sea una función continua en Solución: c) Determinamos la continuidad en el punto : i. ⟦ ⟧ ii. √ ⟧ para  Determinamos ⟦

⟦


⟧

Página 56



Cajamarca-SJ




Evaluamos los límites: ⟦

√

6. Hallar los valores de las constantes dominio, en las funciones dadas: √

a)

que posibilitan la continuidad, en todo su

√ √

⟦

y

⟧

√

⟧

Solución: i. Determinamos la continuidad en el punto : i.1. i.2. Evaluamos los límites por la derecha como por la izquierda los cuales deben ser iguales: ⟦



√

⟧

√

Evaluamos para: Determinamos ⟦

√

⟦

√

⟧

⟧:

⟦

⟧

Reemplazamos y levantamos el límite: ⟦



Evaluamos para:


√

⟧

√ √

√

Página 57



Cajamarca-SJ


√

√ √

√ √

√ √

√ (√

)(√

)

(√

√

√

)

√

√ (√

√

) (√

√

(√

(√

)

(√

)

(( √

)

(√

(√

)

)

)

√

)

√

(√ )

√

(√

)

5

/

√

√

)

/

√

√

4

√

(√

(√

(√

)

√

√

4

)

√

√

.

)

(√

(√

√

)

√ √

√ √

.

√

√

)

5

Levantamos el límite: . 4

(√

) √

(√ ( (


/

√

√

)

5

) )

Página 58



Cajamarca-SJ


ii.

Por último: ⟦

√

⟧

√ √

√

√

b)

√

√

Solución: i. Determinamos la continuidad en el punto : i.1. i.2. Evaluamos los límites por la derecha como por la izquierda los cuales deben ser iguales: √ √ 

Evaluamos para:

√ √

√

√ √ √ √ √

√.

/

Levantamos el límite: √

Basta decir que uno de los límites es indeterminado para decir que no existe continuidad en el punto


Página 59

Análisis Matemático I -límites y continuidad

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