Algebra Aplicada 1

ÁLGEBRA APLICADA PARA TÉCNICO OPERADOR DE PLANTAS INDUSTRIALES D E P A R T A M E N T O

D E

C I E N C I A S

B Á S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas

Indice: Módulo

Tema

Página

A

Operar números reales, potencias y raíces

A1 A2 A3

Operar usando números reales. Resolver problemas de potencias. Aplicar propiedades de las raíces. en ejercicios combinados.

B

Identificar y aplicar funciones lineales

B1 B2 B3 B4

Identificar dominio y recorridode relaciones. Identificar funciones en gráficos y diagramas. Interpretar mediante la gráfica el dominio y recorrido de una función lineal. Resolver problemas aplicando funciones lineales.

C

Identificar y aplicar funciones cuadráticas

C1

Interpretar mediante la gráfica el dominio. y recorrido de una función cuadrática Resolver problemas de aplicación de funciones. cuadráticas

C2

D

Identificar y aplicar funciones exponenciales

D1

Interpretar mediante la gráfica el dominio y recorrido de una función exponencial Resolver problemas de aplicación mediante funciones exponenciales

D2

E

Identificar y aplicar funciones logarítmicas

E1

Interpretar mediante la gráfica el dominio y recorrido de una función logarítmica. Resolver problemas de aplicación de funciones logarítmicas .

E2

1

3 20 31

41 44 49 53

64 66

78 82

87 90


E3

Resolver problemas mediantefunciones compuestas.

F

Identificar y aplicar ecuaciones lineales

F1 F2

Resolver ecuaciones lineales. Aplicar ecuaciones lineales en la resolución de problemas del operador de planta.

G

Resolver problemas aplicando sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales

G1 G2

Resolver y graficar sistemas de ecuaciones lineales. Resolver problemas de la vida real mediante ecuaciones lineales. Resolver y graficar sistemas de inecuaciones lineales. Resolver problemas de optimización mediante sistemas de inecuaciones lineales (1 y 2 variables).

G3 G4

H

Aplicación de las funciones trigonométricas circulares

H1

Explicar y resolver problemas mediante el teorema de Pitágoras. Explicar funciones trigonométricas. Explicar y aplicar los teoremas seno y coseno

H2 H3

2

93

97 102

105 108 112 120

135 141 152


Módulo

A1 _________________________ Operar usando números reales _________________________

_________________________________________________________ Números reales

Tu necesitas de los números para comprar y vender, para contar los productos terminados en tu empresa o para leer la hora. Para operar usando números reales, tendras que: -

Operar con números naturales Operar con números enteros Operar con números racionales Identificar números irracionales Operar distintos tipos de números reales

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La idea de número aparece en la humanidad, en forma muy precaria, en los pueblos primitivos. Para ellos, los conceptos eran uno, dos y muchos. La operación de contar nace con la necesidad de saber cuántas eran las pertenencias y para poder intercambiar productos. El hombre se las ingenió y buscó elementos para satisfacer esa necesidad. Fue así como utilizó piedras, nudos, los dedos de las manos, marcas en los troncos, en las piedras y otras alternativas. ¿Qué son los números? Son ideas de cantidad que están en nuestra mente: dos amigos, veinte compañeros, tres hermanos... La forma en que representamos o escribimos esa idea recibe el nombre de numeral. Nuestros numerales actuales son de origen indoarábigo. Es decir, el hombre combinó ambos sistemas de contar -los de indios y árabes- y esto se extendió por todo el mundo, hasta tener la forma de hoy. A partir de diez cifras El sistema numérico que nosotros utilizamos, recibe el nombre de decimal. Se denomina así porque a partir de sólo 10 cifras se puede formar cualquier numeral. Esas cifras se conocen como el conjunto de los dígitos, relacionando su nombre con los dedos de nuestras manos. Los dígitos son: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Tomaremos como ejemplo los dígitos 1, 2 y 3. Con ellos se pueden formar varios numerales: 123, 132, 213, 231, 312 y 321. Te habrás podido dar cuenta que utilizamos los mismos dígitos, pero los numerales obtenidos son distintos. Algunos conjuntos numéricos que debes conocer son : Ê Números Naturales   œ Conjunto de los Números Naturales  œ Ö 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...× El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.Este conjunto se caracteriza porque: ñ Tiene un número infinito de elementos ñ Cada elemento tiene un sucesor ñ Cada elemento excepto el 1 tiene antecesor. El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno Ð  "Ñ; el antecesor se obtiene restando uno Ð  "Ñ. 2) ‡ œ ! œ Conjunto de los Números Cardinales 4


! œ Ö !ß "ß #ß $ß %ß &ß 'ß ÞÞÞ× Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales. Surgieron entonces nuevos problemas: ì ¿Cómo indicar temperaturas bajo 0? ì ¿Cómo diferenciar alturas y profundidades de la tierra? ì ¿Cómo expresar que quedó debiendo algo? Ê Números Enteros ™ Para responder a estas interrogantes, nuevamente el hombre recurrió a su inteligencia y formó otro conjunto numérico, en el que podrían expresarse cantidades menores que 0. Es el llamado conjunto de los números enteros y que se identifica con el símbolo ™ . Podemos decir que el conjunto de los números enteros permite expresar: ñ 12° bajo 0 como: -12° y se lee menos 12. ñ Si se debe $5.000, podemos decir: - $5.000, que se lee menos $5.000; ñ Si retrocedemos 49, señalar -49. De esta manera, el ámbito numérico se nos agranda hacia la izquierda de la recta numérica, donde el 0 es el origen. Sea ™ œ Conjunto de los Números Enteros ™ œ ÖÞÞÞ  $ß  #ß  "ß !ß "ß #ß $ß ÞÞÞ× También podemos indicar que el Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la resta por ejemplo: &  #! œ ¿ ? Luego: ™ œ ! Y Conjunto de los Números Enteros negativos Podemos decir que: ñ ™ œ Tiene 3 Subconjuntos: ñ Enteros Negativos: ™ ¯ ñ Enteros Positivos: ™ ñ El Cero: 0 Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados. ™ œ ™ ¯ Y Ö!× Y ™ ¿Cómo sumamos enteros?

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Recurriremos a la recta numérica. Por ejemplo, sumaremos  &   # . A partir del  & nos correremos # lugares en sentido positivo, es decir, hacia la derecha, porque el sumando es  # en la recta numérica: Esto quiere decir que si sumamos enteros positivos, obtenemos un número & #œ( Analicemos un segundo ejemplo:  $   %. A partir de  $ avanzaremos % lugares en sentido negativo, hacia la izquierda, porque el otro sumando tiene signo negativo. De esta manera: $ %œ ( Ahora, sumaremos  &   *: A partir de  & contamos * lugares en sentido negativo. El resultado es  %Þ Otra forma de determinar la suma es ocupar 2 palabras claves: debo, para los enteros negativos; y tengo, para los positivos. Así:  $   " será debo $ y debo ", entonces, debo % œ  %.  #   ': tengo # y tengo '; tengo ) œ  ).  &   $ : debo & y tengo $; pago y me queda que debo # œ  #.  "   ': debo " y tengo '; pago y me queda que tengo & œ  &. Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica). Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes: ì Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo. Ej :

-3 + -8 = - 11 12 + 25 = 37

( sumo y conservo el signo) ( sumo y conservo el signo)

ì Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo que significa que se debe considerar el número sin su signo). Ej : -7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5 ¿con cuál signo queda?. El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un numero positivo). 5 + -51 = - 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

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-14 + 34 =

20

Ejercicios de Práctica 1) 2 + -5

2) -3 + 6

3)

-7 + 2

4) -3 + 4

5)

6 + -1

6) -3 + 3

7)

-2 + -2

8)

6 + -7

Resta en ™ Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse: ì Cambiar el signo de la resta en suma ì Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario Ej:

-3 ¾ 10

=

-3

19 ¾ - 16 = Ejercicios de Práctica:

+ - 10 =

-13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)

19 + + 16 =

19 +

1) 2 – 6 2) –3 – 4 3) 4 - -2 4) –1 - -6 5) 2 - 8 6) 3 - -5 7) –1 - 4 8) 0 - -8

7

16

=

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Multiplicación y División en ™ La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SE HACE?. Multiplico números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla: + · + = + -

·

-

=

+

+

·

-

=

-

-

· +

=

-

Ej:

-5

·

-10 =

50

( 5 · 10 =

50 ;

- ·

- = +)

12 · - 4 = -48 ( 12 · 4 = 48 : + · - = - ) Para multiplicación y división (esto aplica cuando se están multiplicando o dividiendo dos números a la vez) : Signos iguales = positivo ej . -2 † -3 = 6 -10 / -2 = 5 2† 3=6 10 / 2 = 5 Signos distintos = negativo

ej. -2 † 3 = -6 2 † -3 = -6

Ejercicios de Práctica: 1) 2 † -2 œ 2) -3 † -8 œ 3) 10 † -2 œ 4) -2 † -30 œ 5) -2 †  4 †  5 6)  4 † 3 †  5 7) 25 /  5 8)  24 /  8 9) 8 /  4 8

-10 / 2 = -5 10 / -2 = -5


10)  30 /  2 11) 0 / -3 12) -4 / 0 Respuestas 11) 0 / - 3 = 0 --------------> Cero dividido por cualquier número que no sea cero es igual a cero. 12) -4 / 0 = no se puede --------> La división por cero no está dividida. Piensa ¿Como divides una pizza en cero pedazo? ¡Me parece que se te va a enfiar, porque no se puede dividir en cero pedazos. Ê Números Racionales  El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la + forma . Esta fracción en la cual el numerador es +, es un número entero y el , denominador ,, es un número entero distinto de cero.  œ Conjunto de los Números Racionales $ " " " " $  œ Ö...  ß  ,  , ! , , , ß ÞÞÞ× % # % % # % El conjunto de los Números Racionales ÐÑ se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros Ð™Ñ . Se expresa :  œ Ö+Î, tal que + y ,

− ™ ; y b Á !×

Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

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Calcula: 1 ) 6/4 + 3/8 + 1/2 2 ) 2/5 + 4/3 + 3/15 3 ) 8/9 - 4/5 4 ) 5/3 - 1/2 5 ) 4/5 + 1/2 - 7/8 6 ) 1/6 - 5/9 + 3/2 7 ) 4 + 2/5 8 ) 5 - 7/8 9 ) 3/4 - 1 10 ) 4/5 × 2/3 11 ) -2/3 × 6/7 12 ) 6 × 2/9 13 ) 5/8 × 4 14 ) 3/8 ÷ 3/4 15 ) 4 ÷ 1/3 16 ) 1/3 ÷ 4 17 ) 3/4 × ( 2/3 + 1/6 ) 18 ) ( 2/5 - 1/2 ) × 4/7 19 ) ( 1/3 - 1/6 ) ÷ 1/2 20 ) 1/6 ÷ ( 1/3 - 1/2 ) Respuestas 1 ) R: 19/8 2) R: 29/15 3) R: 4/45 4) R: 7/6 5) R: 17/40 6) R: 10/9 7) R: 22/5 8) R: 33/8 9) R: -1/4 10 ) R: 8/15 11 ) R: - 4/7 12 ) R: 4/3 13 ) R: 5/2 14 ) R: 1/2 15 ) R: 12 16 ) R: 1/12 17 ) R: 5/8 18 ) R: - 2/35 19 ) R: 1/3 20) R: -1

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Ê Números Irracionales M M œ ‡ œ Conjunto de Números Irracionales M œ Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número 1, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción. Ejemplos de números irracionales: "Ñ È$ #Ñ 1,4142135.... $Ñ 0,10200300004000005.... ¿Puedes identificar si los siguientes números son irracionales o no? 1) 3,4444 2) È( 3) 2,34568753221179065432 4) -3,456... Ê Números Reales ‘ La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. . Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número. Clasificación de los números reales Un número real puede ser racional (si se puede representar mediante una fracción) o irracional (si no se puede representar mediante una fracción). Ejemplos de números reales racionales son el 2, 7, 1500, 3/4, 8/7 y de números reales irracionales, È& ß È# . ejercicios: I Ordena de mayor a menor: 1 ) 2/3 y 3/4 2 ) 3/5 y 5/9 3 ) 1/2, 4/7 y 3/8 II ) 1) 2) 3)

Ordena de menor a mayor: 4/5 y 7/9 3/4 y 6/7 2/5, 4/9 y 3/7

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III) Transforma a decimal: 1 ) 3/4 2 ) 4/5 3 ) 3/8 4 ) 2/3 5 ) 5/6 6 ) 8/5 7 ) 21/9 IV) Transforma a fracción: 1 ) 0,35 2 ) 1,4 3 ) 2,5 V) Calcula: 1 ) 0,04 + 0,2 2 ) 0,31 + 2,2 3 ) 6,057 + 4,125 4 ) 0,48 - 0,3 5 ) 2,41 - 3,5 6 ) - 0,26 + 0,18 7 ) - 3,45 - 8,74 8 ) 5,03 + 2,58 - 4,9 9 ) 3,6 - 9,05 + 5,71 10 ) 0,03 × 0,4 11 ) - 0,21 × 0,5 12 ) 2,3 × ( -1,4 ) 13 ) - 0,006 × ( - 0,005 ) 14 ) 0,36 ÷ 0,6 15 ) - 0,25 ÷ 0,05 16 ) 2 ÷ ( - 0,4 ) 17 ) - 0,6 ÷ ( - 3 ) 18 ) 0,0625 ÷ 0,25 19 ) 0,196 ÷ ( -2,8 ) 20 ) - 25,6 ÷ 0,032 21 ) 2,43 ÷ 0,027 22 ) 0,5 × ( 0,08 + 0,21 ) 23 ) ( 0,41 - 0,83 ) × ( - 0,6 ) 24 ) ( 0,36 - 0,21 ) ÷ 1,5 25 ) - ( 0,02 + 0,1 ) ÷ 0,0006 26 ) ( 0,2 + 0,05 ) × ( 0,3 + 0,01 ) 27 ) ( 0,3 + 0,01 ) ÷ ( 0,2 + 0,05 ) 28 ) ( 1,4 - 2,3 ) × ( - 3,5 + 7,2 ) 29 ) ( 4,1 + 1,4 ) ÷ ( 6,2 - 6,25 ) 30 ) 0,25 + 1/4 12


31 ) 32 ) 33 ) 34 ) 35 ) 36 ) 37 ) 38 ) 39 ) 40 )

0,75 - 1/2 0,1 × 1/6 - 2/5 × 0,8 2,25 ÷ 1/2 3/5 ÷ 0,1 ( 3/4 + 1/2 ) × 0,5 ( 0,26 - 0,66 ) × 3/4 ( 0,36 - 0,2 ) ÷ 2/5 0,6 × ( 1/6 + 1/4 ) 0,2 ÷ ( 1/5 - 2/15 )

VI ) Ordena de mayor a menor: 1 ) 0,03, 0,035 y 0,16 2 ) 0,01, - 0,2 y 0,006 3 ) - 0,018, - 0,01 y - 0,009 4 ) - 0,06, - 0,03 y 0,02 5 ) 0,0508, 0,05082 y 0,05009 VII ) Ordena de menor a mayor: 1 ) 0,06, 0,061 y 0,1 2 ) 4,06, - 2,3 y 1,06 3 ) -1,25, - 2,79 y 6,45 4 ) 1,304, 1,3061 y 1,3009 5 ) - 2,008, - 2,0009 y - 2,0076 VIII) Expresa en notación científica: 1 ) 28.000 2 ) 0,0009 3 ) 502.000.000 4 ) 0,00201 5 ) 0,15 IX) Expresa en forma decimal: 1 ) 3,7 × 10 8 2 ) 1,5 × 10 - 6 3 ) 4,08 × 10 3 4 ) 7,4 × 10 - 5 5 ) 2,09 × 10 - 4 X) 1) 2) 3) 4) 5)

Expresa: 240.000 m en Km 3,6 Km en m 27.000 cm en m 0,048 m en mm 6,021 m en dm 13


6 ) 0,08 dm en mm 7 ) 0,105 m en cm 8 ) 79 cm en mm 9 ) 58.000 mm en m 10 ) 370 mm en cm 11 ) 8.204 cm 2 en m 2 12 ) 0,006 Km 2 en m 2 13 ) 9,3 × 10 10 m 2 en Km 2 14 ) 2,3 × 10 -6 m 3 en cm 3 15 ) 1.800 ml en l 16 ) 0,2 l en ml 17 ) 0,03 Kg en g 18 ) 7 × 10 5 mg en g 19 ) 0,064 g en mg 20 ) 297 g en Kg 21 ) 1,5 hr en min 22 ) 0,5 hr en seg 23 ) 720 seg en min 24 ) 270 min en hr 25 ) 2,5 min en seg 26 ) 28 m + 96 cm en m 27 ) 0,3 Km + 406 m en m 28 ) 1,8 m 2 + 3.000 cm 2 en m 2 29 ) 5,9 l + 600 ml en l 30 ) 700 ml - 0,3 l en l 31 ) 0,9 Kg + 400 g en Kg 32 ) 0,7 Kg - 250 g en g 33 ) 5,6 g + 800 mg en g 34 ) 1 hr + 30 min en hr 35 ) 5 min + 48 seg en min XI) Calcula: 1 ) 7,3 °C sobre cero + 4,5 °C bajo cero 2 ) 0,8 °C bajo cero + 0,6 °C sobre cero 3 ) 3,6 °C sobre cero - 2,7 °C sobre cero 4 ) 7,5 °C bajo cero - 5,8 °C bajo cero 5 ) 1,8 °C sobre cero - 9,1 °C bajo cero Respuestas: I) Ordena de mayor a menor: 1) R: 3/4 > 2/3 2) R: 3/5 > 5/9 3) R: 4/7 > 1/2 > 3/8

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II) Ordena de menor a mayor: 1) R: 7/9 < 4/5 2) R: 3/4 < 6/7 3) R: 2/5 < 3/7 < 4/9 III) Transforma a decimal: 1) R: 0,75 2) R: 0,8 3) R: 0,375 IV) Transforma a fracción: 1) R: 7/20 2) R: 7/5 3) R: 5/2 V) Calcula: 1) R: 0,24 2) R: 2,51 3) R: 10,182 4) R: 0,18 5) R: -1,09 6) R: - 0,08 7) R: -12,19 8) R: 2,71 9) R: 0,26 10 ) R: 0,012 11 ) R: - 0,105 12 ) R: - 3,22 13 ) R: 0,00003 14 ) R: 0,6 15 ) R: - 5 16 ) R: - 5 17 ) R: 0,2 18 ) R: 0,25 19 ) R: - 0,07 20 ) R: - 800 21 ) R: 90 22 ) R: 0,145 23 ) R: 0,252 24 ) R: 0,1 25 ) R: - 200 26 ) R: 0,0775 27 ) R: 1,24 28 ) R: - 3,33 15


29 ) R: - 110 30 ) R: 1/2 ( 0,5 ) 31 ) R: 1/4 ( 0,25 ) 32 ) R: 1/60 33 ) R: - 8/25 ( - 0,32 ) 34 ) R: 9/2 ( 4,5 ) 35 ) R: 6 36 ) R: 5/8 ( 0,625 ) 37 ) R: - 3/10 ( - 0,3 ) 38 ) R: 2/5 ( 0,4 ) 39 ) R: 1/4 ( 0,25 ) 40 ) R: 3 VI) Ordena de mayor a menor: 1) R: 0,16 > 0,035 > 0,03 2) R: 0,01 > 0,006 > - 0,2 3) R: - 0,009 > - 0,01 > - 0,018 4) R: 0,02 > - 0,03 > - 0,06 5) R: 0,05082 > 0,0508 > 0,05009 VII) Ordena de menor a mayor: 1) R: 0,06 < 0,061 < 0,1 2) R: - 2,3 < 1,06 < 4,06 3) R: - 2,79 < -1,25 < 6,45 4) R: 1,3009 < 1,304 < 1,3061 5) R: - 2,008 < - 2,0076 < - 2,0009 VIII) 1) 2) 3) 4) 5)

Expresa en notación científica: R: 2,8 × 10 4 R: 9 × 10 - 4 R: 5,02 × 10 8 R: 2,01 × 10 - 3 R: 1,5 × 10 - 1

IX) Expresa en forma decimal: 1) R: 370.000.000 2) R: 0,0000015 3) R: 4.080 4) R: 0,000074 5) R: 0,000209

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X) Expresa: 1) R: 240 Km 2) R: 3.600 m 3) R: 270 m 4) R: 48 mm 5) R: 60,21 dm 6) R: 8 mm 7) R: 10,5 cm 8) R: 790 mm 9) R: 58 m 10 ) R: 37 cm 11 ) R: 0,8204 m 2 12 ) R: 6.000 m 2 13 ) R: 9,3 × 10 4 Km 2 14 ) R: 2,3 cm 3 15 ) R: 1,8 l 16 ) R: 200 ml 17 ) R: 30 g 18 ) R: 700 g 19 ) R: 64 mg 20 ) R: 0,297 Kg 21 ) R: 90 min 22 ) R: 1.800 seg 23 ) R: 12 min 24 ) R: 4,5 hr 25 ) R: 150 seg 26 ) R: 28,96 m 27 ) R: 706 m 28 ) R: 2,1 m 2 29 ) R: 6,5 l 30 ) R: 0,4 l 31 ) R: 1,3 Kg 32 ) R: 450 g 33 ) R: 6,4 g 34 ) R: 1,5 hr 35 ) R: 5,8 min XI) Calcula: 1) R: 2,8 °C 2) R: - 0,2 °C 3) R: 0,9 °C 4) R: - 1,7 °C 5) R: 10,9 °C

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Problemas que usan fracciones 1. Los dos quintos de los ahorros de Laura son $53,40. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado? 2. José sale de su casa con $50 y gasta 4/5 en el cine y 1/10 en chocolates, ¿qué fracción del total ha gastado? 3. Gonzalo vive en Buenos Aires y decide visitar a su hermano que vive en la provincia de Santa Cruz. El primer día recorre 2/7 del camino y el segundo día 2/5 de lo que le falta. Si le quedan aún 900 km por recorrer, ¿cuántos km tiene el camino? 4. Ya completé los 2/5 de un álbum. Para llenar un cuarto de lo que me falta necesito 36 figuritas. ¿Cuántas figuritas en total tiene el álbum? 5. Pagamos $38 por un libro, un cuaderno y una birome. El precio del cuaderno es un quinto del precio del libro. La birome cuesta un tercio de lo que cuesta el cuaderno ¿Cuánto cuesta el libro? 6. Del total de alumnos de una escuela de Mendoza, la mitad nació en esa provincia, un tercio en otra provincia argentina y los restantes nacieron en otros países. Si son 83 los alumnos extranjeros de la escuela, ¿cuántos de los alumnos de la escuela nacieron en Mendoza? 7. María gastó en el supermercado las tres cuartas partes del dinero que llevaba. Después fue a la zapatería y quiso comprar tres pares de zapatillas a $9,90 cada una, pero le faltaban $6,50. ¿Cuánto dinero tenía al entrar al supermercado? 8. Javier ayuda a su papá en su negocio. Durante las vacaciones lo hace de lunes a viernes y en época de clases, los sábados. Por cada día de trabajo recibe $4,50. Al terminar las 8 semanas de vacaciones había ganado 2/3 del dinero que necesita para comprarse una bicicleta nueva. ¿En cuántos sábados reunirá lo que le falta? ¿Cuánto cuesta la bicicleta que quiere comprar? 9. Sobre un terreno rectangular de 630 X 800 m hay una pequeña laguna que ocupa el 10% de la superficie total, un pequeño bosque que ocupa 2/9 de la superficie restante y un viñedo que se extiende sobre el resto. ¿Cuántas hectáreas ocupa el viñedo? 10. El Sr. Gómez decide repartir su capital en partes iguales entre sus tres hijos: Roberto, Jorge y Gloria, reservándose para sí un quinto del total. A su vez, Roberto renuncia a sus derechos a favor de sus hijas: Ana, Mercedes y María, que se reparten lo heredado en partes iguales. Jorge es el padrino de María, le da a ésta la mitad de lo que le corresponde a él y entonces María recibe en total $8000. ¿Con cuánto se quedó el Sr. Gómez?

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Respuestas 1. 133,50$ 2. 9/10 3. 2100 km 4. 240 figuritas 5. El libro cuesta $30 6. Nacieron en Mendoza 249 alumnos. 7. Al entrar al supermercado tenía $92,80 8. Tiene que trabajar 20 sábados. La bicicleta cuesta $270 9. 35,28 ha. 10. El Sr. Gómez se quedó con $7200

19


Módulo

A2 __________________________ Resolver problemas de potencias __________________________

_________________________________________________________ Potencias

Tu puedes ocupar potencias para escribir números, en estudios científicos Para resolver y aplicar problemas de potencias tendrás que: -

Definir una potencia, identificar sus partes Identificar propiedades de una potencia Aplicar propiedades de las potencias usando ejercicios y problemas de los operadores.

20


Ê Potencias Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su árbol genealógico: Ella tiene 2 padres (un padre y una madre). Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, ella tiene 2*2 = 4 abuelos. Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego ella tiene 2*2*2 = 8 bisabuelos. Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; ella tiene 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos. Operación Resultado Padres 2 = 2" œ 2 Abuelos 2*2 = 2# œ 4 Bisabuelos 2*2*2 = 2$ œ 8 Tatarabuelos 2*2*2*2 = 2% œ 16 En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Para abreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 2% y lo llamaremos potencia. 2% se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta". 5# se lee "5 elevado a 2" o también "& elevado al cuadrado", que es más habitual. Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente. En la potencia 2% , la base es 2 y el exponente es 4. Calcula las siguientes potencias: 3& , 5$ , 7# , 2( , 10% , 4$ . En cada caso escribe cuál es la base y cuál es el exponente. Luego podemos indicar que: Así,

a 8 − ™ ß ðóóóóóóñóóóóóóò + † + † + † ÞÞÞ † + œ +8 n veces

Ejemplos: 1) 25 + 53 = ( 2 † 2 † 2 † 2 † 2 ) + ( 5 † 5 † 5 ) = 32 + 125 = 157 2) (  3)3 =  3 †  3 †  3 =  27

21


Propiedades: I. 

Potencias de igual base. a) Producto de potencias de igual base À Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. +8 † +7 œ +87

Ejemplos :

1) +5 † +3 œ +8 2) B +  $ , † B #+%, œ B$+  , 3) (82+ 3  84 +  5  8) † 8 3 +  2 œ 85 +  5  87 +  7  83 + 1 4Ñ B2 † B 3 œ B2 + 3 œ B&

22


b) División de potencias de igual base: Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes.

+8 À +7 œ

+8 œ +87 +7

+Á!

Ejemplos: 1) +5 : +3 œ +5  3 œ +2 2) B5 : B3 8 œ B 2  8 3) (B8 8  B 48  1  B) : B8 + 1 œ B72 8  B3 8  B8 4Ñ 7 # À 7 $ œ 7 # Ð$Ñ œ 7& II. 

Potencias de igual Exponente. c) Producto de potencias de igual exponente: Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se conservan los exponentes. +7 † ,7 œ Ð+ † ,Ñ7

Ejemplos : 1) 23 † 53 œ (10)3 œ 1000 , 3 2) (2+) † Œ  4+ 3

, 3 ,3 2 + † œ Œ  %+ 8

œ

3Ñ 23 † Š" "# ‹ œ Š# † $# ‹ œ $$ œ #( $

$

23


d) División de potencias de igual exponente: Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y se conserva el exponente À

Ejemplos :

1) 484 : 164 œ Š 2

2 3

+7 + 7 œ Š ‹ à ,7 ,

ó

+7 À ,7 œ Ð+ À ,Ñ7

,Á!

48 4 ‹ œ 34 œ 81 16

2) (+ - , ) : (+  ,)

3

(+  ,) † (+  ,) œ– — (+  , )

3

œ (+  ,)3

3Ñ %& À #& œ Ð% À #Ñ& œ Ð#Ñ& œ $# III.  Potencia elevada a potencia. Para elevar una potencia a una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes. Ð+7 Ñ8 œ +7†8

Ejemplos :

1) (+2 )5 œ +10 2) [ (  2 )2 ] 2 œ (  2 ) 4 œ

3)

(+2 ,3 )2 † (- . 2 )3 ( +  1 ,2 -  3 . ) 2

œ

1 1 œ 4 (  2) 16

+4 , 6 - 3 . 6 œ +6 , 2 - 9 . 4 +  2 , 4 -  6 .2

4) (32 )3 œ (3)# †$ œ $' IV.  Otras propiedades - Toda potencia elevada a exponente uno es igual a su base. a1 = a

- Toda potencia de exponente cero es igual a uno. a0 =1

; a≠0

24


- Toda potencia de exponente negativo es igual a uno dividido por la potencia con exponente positivo. a −n =

1 an

;

a≠0

- Toda potencia de base fraccionaria con exponente negativo es igual al recíproco de la base y exponente positivo. a   b

Ejemplos :

−n

b =  a

n

; a ≠ 0; b ≠ 0

1 ) 40  &!  #)! œ $ 2) +8" † ,$8 † +"8 † ,8$ œ +! † , ! œ " 3) Ò $ÐB  #CÑ#  & Ð(B  %CÑ$  #)Ó! œ " 1 1 œ 3 2 8 6 3 2 5) 2 + 4 + 8 œ 4) 2 3 œ

1 1 1 3 + 3 + 2 œ 6 2 4 8 64

$ # % # "' 6) Œ  œ Œ  œ % $ * Signos de una Potencia Potencia de Exponente Par: Sabemos que un número par cualquiera se expresa por 28 siendo 8 perteneciente al conjunto ™. Por lo tanto, si la base de una potencia es positiva y su exponente es par, la potencia también es positiva. (  , )2 8 œ [ (  ,)2 ] 8 œ (  , 2 )8 =  , 28 Si la base es negativa y el exponente par, se obtiene (  , )28 œ [ (  ,)2 ] 8 œ (  , 2 )8 œ + , 28n Luego "Toda potencia de exponente par de un número real es siempre positivo". Es decir; („ ,)2 8 œ  ,28 para 8 que pertenezca al conjunto ™ y , al conjunto ‘.

25


Ejemplos :

1) (  7)2 œ (  7) † (  7) =  49 2) (  4)4 œ (  4) † (  4) † (  4) † (  4) =  256

Potencia de Exponente Impar. Un número impar se forma agregando la unidad a un número par. Por lo tanto, (28+") expresa un número impar cualesquiera siendo 8 perteneciente al conjunto ™. Entonces: Si la base , es positiva y real la potencia también es positivaß es decir : (  ,)28  " œ (  ,)28 † (  , ) =  , 28  1 Si la base , es negativa se obtiene: (  ,)28  1 œ (  ,)28 † (  ,) œ , 28 † (, ) † (  ") œ  , 2 8  1 Por lo tanto"Toda potencia de exponente impar tiene el signo de la base " („ ,) 28  1 œ „ ,28 1 Ejemplos : 1) (  3 ) 4 † (  3) œ (  3)5 œ  243 2) (  +)3 B  2 † (  +)B  " œ (  +)4B  3 œ  + 4B pertenece a  3) (  2)2 † (2)3 œ 4 † 8 œ 32 4) (  2 ) 3 † (  2) 2 œ (  2)5 œ  32

$

Ejercicios Propuestos I) Simplifique las siguientes expresiones 1) +2 ,5 † +,3

2) (B3 + 1  B  B4  5+ ) † B 1  3+

3) (B3 : B4 ) † B5 82

5) [ B

 C

38  4

4)

,2 +3 3   2 7 5 2 + , + , 1 1 6) 6 Œ  † Œ  3 4

]  2

7) (+2  ,2 )3 : (+  ,)3 9) Š

+ , 2 +  , 3 ‹ † Š ‹ + , -  .

4

4

0

4

8) (0,5)6 + (0,25)3 + (0,125)2 † Š

- . 4 ‹ +,

10) (0, 5) 6 + (0, 25) 3 + (0, 125)2

26

11) [ (- 8 )3 ] +

; B


II) Simplifique las siguientes expresiones y de la solución sin exponentes negativosÞ 1)

5) œ

#+% ,# - $ %+# ,) - $

2) Š

 $+, " $ # # ‹ Ð+ , Ñ -% BC# B# C 3) † ÐBCÑ# C # 4)

Ð+# ," Ñ#  Ð,# +Ñ"

"

Ð$BC # Ñ$ ÐB$ C % Ñ $B# C$ $ $ # % " # + , +$ ,% - # 7) œ” % # $ •  À ” # ! & • , + + , 6)

Ð'B$ DÑÐ$ÑÐBD # Ñ# *B% C# Respuestas

I) 1) 4)

+3 , 8 ,9 + +8 ,5  3+3 +5 , 7

7)

( +  , )3

9)

(+  ,) † (-  . ) (+  , )2

2)

B0 +B 23+  B 5  8+ 3)

5)

3

8)

3 64 10)

192

II) 1)

,"! #+#

4) #

7)

D & C# B&

2)  5)

- % +& ,&

3)

+$ ,%

6)

+#& ,"' - &

27

B& C $ * B# C &

B12

6)

" 16

11)

- 3+ 8


Notación Científica Las potencias de 10 tanto con exponentes positivos como negativos tienen bastante importancia y aplicación sobre todo en Física y Química para escribir cantidades muy grandes o muy chicas en forma abreviada. Veremos algunos ejemplos: 1) La masa de la tierra es 5.980.000.000.000.000.000.000.000, Kg. aprovechando las potencias de 10 se escribe sencillamente 5,98 † 10 24 Kg. 2) Un coulomb tiene tres mil millones de statcoulomb = 3000.000.000 Stc abreviadamente se esribe: 3 • 109 stc. 3) El grueso de una hoja de papel de cuaderno corriente es siete cien milésimos de metros. 0,00007m; abreviadamente se escribe 7 † 10  5 m 4) El diámetro de la órbita del electrón del hidrógeno es un diez millonésimos de milímetro = 0,0000001 mm lo que se escribe 10  7 mm. Ejercicos propuestos Aprobeche las potencias de 10 y escriba abreviadamente con una cifra y un decimal las cantidades indicadas. ") 280.000.000.000 #) El número de avogadro es : 602.300.000.000.000.000.000.000 $)

moléculas mol

El grueso de un vidrio corriente de venta es de un milésimo de metro. ") 2, 8 † 1011 #)6, 023 † 1023 $)103 m

Respuestas moléculas mol

28

entera

.


Análisis Dimensional La palabra dimensión tiene un significado especial en física. Suele significar la naturaleza física de una cantidad. Ya sea que se mida una distancia en unidades pies o metros, se trata de una distancia.Se dice que una dimensión es la longitud Si los símbolos empleados para especificar longitud, masa y tiempo son P,Q y X P respectivamente, escribiremos las dimensiones de velocidad @ como @ œ . X Otro ejemplo las dimensiones de área, Eß son E œ P# . Las dimensiones de área, volumen, velocidad y aceleración se registran en la tabla siguiente. Cabe destacar que SI corresponde al sistema internacional de unidades. En este sistema las unidades de longitud, masa y tiempo son el metro, el kilógramo y el segundo respectivamente. Sistema SI -1= De ingeniería británico

Área (P# Ñ 7# -7# :3/#

Volumen (P$ Ñ 7$ -7$ :3/$

Velocidad ˆ XP ‰ 7Î= -7Î= :3/Î=

Aceleraciónˆ XP# ‰ 7Î=# -7Î=# :3/Î=#

En muchas situaciones será necesario deducir o verificar una fórmula específica. Aunque se hayan olvidado los detalles de la deducción, hay un útil y eficaz método conocido como análisis dimensional que puede utilizarse en la deducción o verificación de su expresión final. Este procedimiento se debe emplear siempre, puesto que ayudará a minimizar la memorización rutinaria de ecuaciones. El análisis dimensional aprovecha el hecho de que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas. Es decir, las cantidades pueden sumarse o restarse sólo si tienen las mismas dimensiones. Asimismo, los términos de ambos lados de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Con estas sencillas reglas puede emplear el análisis dimensional para determinar si una expresión tiene o no la forma correcta, puesto que la relación sólo puede corregirse si las dimensiones en ambos lados de la ecuación son iguales. Para ilustrar este procedimiento, supóngase que se desea obtener una fórmula para la distancia B recorrida por un carro en un tiempo > si el carro parte del reposo y se mueve con aceleración constante + . La expresión correcta para esto es B œ "# +># . Utilizaremos el análisis dimensional para comprobar la validez de esta expresión. La cantidad B en el lado izquerdo tiene la dimensión de la longitud. Para que la ecuación sea dimensionalmente correcta, la cantidad en el lado derecho también debe tener la misma dimensión. Se puede efectuar una comprobación dimensional al sustituir las P dimensiones de la aceleración, # y el tiempo X , en la ecuación. es decir, la forma X " dimensional de la ecuación B œ +># es: # Pœ

29

P # X œP X#


Si cancelamos las unidades de tiempo nos queda la unidad de longitud. Ejemplos: Muestre que la expresión @ œ @!  + > es dimensionalmente correcta, donde @ y @! representan velocidades, + es la aceleración y > es un intervalo de tiempo. Si observamos la tabla, tenemos: @ œ

P P P  #†X œ X X X

Lo que es dimensionalmente correcto Conversión de Unidades: Algunas veces es necesario convertir unidades de un sistema a otro. Los factores de conversión entre las unidades SI y convencionales de longitud son como siguen: 1 7366+ œ "'!* 7 œ "Þ'!* 57 "7 œ $*Þ$(:?61 œ $Þ#)" :3/ " :3/ œ !Þ$!%)7 œ $!.%) -7 " :?61 œ !Þ!#&%7 œ #Þ&%-7 Es posible tratar las unidades como cantidades algebraicas que pueden cancelarse entre sí. Por ejemplo, si se desea convertir 15.0:?61 a -7ß como 1:?61 œ #Þ&%-7, se encuentra que: -7 "&Þ! :?61 œ Ð"&Þ! :?61ÑŒ#Þ&%  œ $)Þ" -7 :?61 Ejemplos : Respiraciones en una vida: Estime el número de respiraciones que se realizan durante una vida promedio de 70 años. El único cálculo que debe hacerse en este ejemplo es el número promedio de respiraciones que una persona efectúa en 1 minuto. Este número varía, dependiendo de si la persona hace ejercicio, duerme, tiene hambre, está serena, etcétera. Así, se tomarán 8 respiraciones por minuto como rpomedio. El número de minutos en un año es: " año † $'&

días h min † #% † 60 œ 5.26 † 105 min año día h

Por tanto:, en 70 años habrá (70) † (5.26 † 105 ) œ 3.68 † "!( A una tasa de 8 respiraciones por minuto el individuo realizaría cerca de 3.68 † "!( respiraciones.

30


Módulo

A3 _________________________ Aplicar propiedades de las raíces en ejercicios combinados _________________________

_________________________________________________________ Raíces

Tu vas a emplear raíces para analizar gráficos, también trabajando como operador vas a ocupar raíces para resolver problemas opuestos a las potencias Para aplicar las propiedades de las ráices en la definición de ´problemas deberás: Definir una raíz e identificar sus partes Identificar las propiedades de las raíces Aplicar propiedades de las raíces usando ejercicios y problemas de los operadores

31


Ê Raices Sabemos que 7# œ 49. Esta igualdad la podemos expresar también como ( œ È%* y se lee 7 es igual a la raíz cuadrada de 49. En general, se define la raíz cuadrada de un número + como otro número , tal que ,# œ +. Igualmente, se define raíz 8-sima de un número + al número , tal que ,8 œ + 8 Y escribimos: , œ È +

El número + se llama radicando y el número 8, índice. $ Por ejemplo À 1) È ) œ # por que 2$ œ )

% 2) È #&' œ % por que 4% œ #&'

De esta forma

3) È9

+ È 25 = 3 + 5 = 8 3 5 4 4 4) È 27 + È 81 + È 16 + È 32 = 3 + 3+ 2 + 2 = 10

Es importante precisar que no todos los números poseen raíces. Las raíz cuadrada de  % no existe, pues el cuadrado de cualquier número, sea positivo o negativo, siempre es positivo. Por la misma razón no existe la raíz cuadrada de ningún número negativo ni la raíz de índice par de ningún número negativo.

Ejemplo : È  25 no pueden ser un número real, pués tanto ( + 5 )2 como (  5)2 es +25. Es necesario, entonces, " imaginarse " un valor para È  25 y para ello se escribe en forma de producto. En efecto À È  25 œ È 25 † (  1) œ 5 È  1 . Este número no pertenece a los números reales. Nota:

Es un error muy común considerar iguales a: È64  36 con È64  È36 si observamos se tiene: È 64  36 Á È64  È36 È100 Á 8+6 10 Á 14

Luego È B2  C 2 Á ÈB2  ÈC 2 È B2  C 2 Á ÈB2  ÈC 2

32


Potencia de exponente fraccionario : Toda raíz se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario cuyo numerador es el exponente de la cantidad subradical y el denominador es el índice de la raíz. : 8 +: œ È +8 ; de modo È +8 œ + 8

1 4 81 4 œ È 81 œ 3

Ejemplos : 1) 810,25 œ

3 5 2) 320,6 œ 32 5 œ (È 32 )3 œ 23 œ 8

3Ñ + # œ È+$ $

( 4Ñ È B$ œ B ( $

& 5ÑÈ +& œ +

Observación: El índice fraccionario 8 : se puede amplificar o simplificar según convenga sin que cambie el valor. Esta propiedad también se aplica cuando queremos multiplicar o dividir raíces de distinto índice. Ejemplos :

#! "! È+"%À# œ È 1Ñ Simplificar las raíces: È +"% œ #!À# +( ' $ 2Ñ Convertir a igual índice las raíces: È B# à È B( $ "# ÈB#†% œ È a) È B# œ $†% B)

' "# ÈB(†# œ È b) È B( œ '†# B"%

3)

$ †$ % È+ #†% † %È È +# .È , & œ $†% , &†$ "# "# œÈ +) † È ,"& "# œÈ +) ,"&

33


Ê Propiedades de las raíces I. 

Multiplicación de raíces de igual índice. Para multiplicar raíces de igual índice se conserva el índice y se multiplican las cantidades subradicales y viceversa. 8 8 8 8 8 È + †È , œÈ +†, à È +à È , −‘

Ejemplos :

1) È2 † È4, 5 œ È9 2) ( È7 + È27 ) † È3 5 5 3) È 8 È 0, 125

œ 3

œ È21 + È81 œ 9 + È21

5 œ É 8 †

1 8

5 œ È 1

œ 1

II.  División de raíces de igual índice. Para dividir raíces de igual índice se conserva el índice y se dividen las cantidades subradicales y viceversa. 8 È + 8 8 8 + 8 œÊ œ È+ À , à , Á !à È + à È, − ‘ 8 È, ,

Ejemplos À 1)

È8 È2

œ É 82 œ È 4

3 3 2) È 625 : È 5

œ Ê 3

œ 2

625 3 œ È 125 œ 5 5

III.  Raíz de una raíz o producto de índices. Para extraer raíz de una raíz se multiplican los índices y se conserva la cantidad subradical. 7 8 8 È+ œ 7†8 È+ à È È+ É + à − ‘ à 7†8

34

−‘


Ejemplos : 1)

3 ÉÈ ,

0,25 4 2) É È 7

œ œ

6 È ,

7

IV. Potencia de una raíz. Para elevar una raíz a una potencia se transforma la raíz a potencia de exponente fraccionario y se aplica la propiedad de potencia elevada a una potencia.

;: 8 8 ÐÈ + ; Ñ: − ‘ Ê + 8 œ È +;:

Ejemplos: 1) 2) 3)

$ $ (È B& Ñ# œ ÐB $ Ñ# œ B $ œ È B"! &

"!

ÈBÑ7 œ ÐB 7 Ñ7 œ B 7 œ B Ð7 "

7

$ Ð%È # Ñ $ œ Ð% † # $ Ñ$ œ %$ † Ð# $ Ñ$ œ '% † # œ "#) "

"

V.  Intoducir el coeficiente de una raíz como factor del subradical. 8 En general, si se tiene + † È , se obtiene:

Luego:

8 +È ,

8 È +8

8 œ È +8 ,

8 † È ,

8 œ È +8 ,

El coeficiente de una raíz pasa como factor del subradical elevándolo al índice de la raíz. Ejemplos : 1) 3 È5 œ È 32 † 5 œ È 9 † 5 œ È45 2) ŠÈ2  È 3 ‹ † É 5  2 È6

œ ÊŠÈ 2  È 3 ‹ † Š5  2È 6 ‹ 2

35


œ É(2  2È 6  3) † (5  2È6 ) œ È 25  4 † 6

œ É(5  2È6 ) † Ð5  2È 6 )

œ È25  24

œ 1

VI.  Signos de una raíz. Raíz de indice impar. Tiene el indice de la cantidad subradical. Ejemplos :

Ejercicios

3 1) È 64 œ  4 pués (  4)3 œ  64 3 2) È27 œ 3 pués ( + 3) 3 œ +27 5 3) È  32 œ  2 pués (  2 )5 œ  32

Sin usar calculadora, determina el valor aproximado de las siguientes raices È( +Ñ ,Ñ È)& -ÑÈ&! $ $ % È .Ñ * /Ñ È #&* 0 ÑÈ #) Empleando tu calculadora determina el valor aproximado de. $ & $ È +Ñ #)$ ,Ñ#! ) -ÑÈ )&$ # % .Ñ &) & /ÑÈ&*( 0Ñ È #( Racionalización de Denominadores. Son muy comunes las expresiones fraccionarias que contienen raíces en el denominador, su racionalización consiste en eliminar las raíces del denominador .

36


Primer caso À Cuando el denominador es un monomio fracción por éste monomio.

irracional se amplifica la

+ + È, +È , œ † œ È, È, È, ,

Ejemplos 1:

È2 6 6 œ † È2 È2 È2

œ

6 È2 œ 3È 2 2

Segundo caso: Si el denominador es un binomio irracional se amplifica la fracción por este binomio, pero, cambiando de signo de uno de sus términos, es decir, se amplificará por el "binomio conjugado " . En esta forma queda en el denominador el producto de la suma por la diferencia de los dos términos del denominador. Ejemplos : "Ñ

12 È13  2

12 È13  2

œ

13  4

12ŠÈ13  2‹

œ 3

È5  È2

9

=

œ œ

È13  2 È13  2

12 Š È13  2 ‹

œ

2)

†

3

È5  È2

†

œ

4 Š È13  2 ‹

È5  È2 È 5  È2

3Š È5  È 2 ‹ 5  2

È5 + È2

37

œ

3

3 Š È5  È 2 ‹ 3


Ê Ejercicios combinados 1Ñ

3 È +3

4  ŠÈ + ‹

4

3)

ŠÈ+  È, ‹ Š È+  È, ‹

5)

9 #  160, 25

7) 9) 11) 12) 13) 15) 17) 19)

22)

"

2) Š 5 È2 ‹ 4) 6)

È12, 5 † È2

2

8)

3 È 125 † 64

160, 75  320, 4

È8 † È18

È49 +2 ,4 - 6

10)

È 75 +3 ,

Š 1  7È 7 ‹

È3 +, Š 15 È50  18 È32  6 È200 ‹ : 3È2 Ê 3

8 27

5 È 323

3È2

20) 6

+ È 2

18) 5È7

3 ÉÈ ,

21)

23)

È18

È#' &

.Ñ

38

% È&

16 81

5 È , 13

3 È5

 Ê

 È8 È 18  È 8

2%) Determina el valor aproximado de a) 3È# ,Ñ %È$  ' -Ñ

4

16)

28 28 È , 7 38 È , 98 7

È5

Ê

14)

5

32 243

2


Respuestas 1) 2+

4) 344  14È7 7) 5 10) 7 +,2 - 3 13)

3) a  b

5) 5

6) 4

8) 12

9) 20

11) 5+

2 3

5 16) ,2 È ,3

19) È 18

2) 50

2#) 2 ( È 5  È 2 ) #%Ñ +Ñ %ß #% .Ñ "ß ()

12) 29 14)

4 3

15) 8 6 18) È ,

17) ,3 #!) È 175 ,Ñ"#ß *#)

39

3È5 5 2$) 5 -Ñ "ß !"* 2")


Autoevaluación de la Unidad "Þ  Simplificar las siguientes expresiones. D $ - & ,# #D,$ a) † %+,$ D # - ( ,Ñ Ð:  +Ñ# À Ð+  :Ñ -Ñ Resp:Þ À +Ñ

Ð$- # +Ñ$ #(- ' ,+#

D # ,# #+- #

,Ñ +  :

-Ñ + À ,

#Þ  Si se tiene 15 milimetros, expresar en metros y en kilometros utilizando notación cientifica. $Þ  Obtener la medidaß 25 pies, en pulgadas. 7 4Þ  De 230 ( 57 2< Ñ , obtener en ( =/1 Ñ.

&Þ  Resolver:

È&  È' "

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Módulo

B1 _________________________ Identificar dominio y recorrido de relaciones _________________________

_________________________________________________________ Dominio y recorrido de relaciones

Tu podrás utilizar las relaciones en la industria para explicar la vinculación entre materia prima y productos finales de un proceso -

Definir una relación Esquematizar una relación Identificar dominio y recorrido de una relación Identificar relaciones en al vida como operador de planta

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Ê Relación El concepto de relación función es uno de los más importantes de las matemáticas. Ejemplos de correspondencias en la vida diaria son: - A cada artículo de un estante se le hace corresponder su precio. - A cada nombre de la guía telefónica se le hace corresponder uno o más números de teléfono. - A cada cuadrado se le hace correponder su área. - A cada estudiante un número de matrícula. . . ..........etc. Uno de los aspectos más importantes en cualquier ciencia es establecer correpondencias entre diversos tipos de fenómenos. Una vez que se conoce una correspondencia se pueden calcular valores para una variable, conocida la otra. Un analísta de costos podría predecir los costos de diferentes niveles de salida de un proceso de manufactura; un investigador médico podría conocer la correpondencia entre las enfermedades cardíacas y el aumento del peso. Los ejemplos anteriores tienen en común que cada uno intenta formar pares de elementos de un primer conjunto, llamado Dominio, con los elementos de un segundo conjunto llamado Codominio. Ê Dominio y recorrido Se define así una Relación como una correpondencia que asigna a cada elemento del Dominio uno o más elementos del Codominio. Una Función es una relación con la restricción de que a cada valor del Dominio le correponde " uno y sólo un valor " del Codominio . Ejemplos :

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El conjunto E se denomina dominio de 0 y se denota por H97a0 b, el conjunto F se denomina codominio de 0 y se denota por G9. a0 b y el conjunto de imágenes de 0 aBb se denomina recorrido y se denota por V/- a0 bÞ

Al determinar dominio y recorrido de:

Se tiene:

H97Ð 1Ñ œ Ö+ß ,ß -ß .× V/- Ð1Ñ œ Ö"ß #ß × H97 Ð0 Ñ œ Ö × V/- Ð0 Ñ œ Ö ×

Otro ejemplo sería: Sea V œ Ö Ð"ß #Ñß Ð$ß 'Ñß Ð&ß 'Ñ× una relación tal que Dom V œ Ö"ß $ß &× Rec V œ Ö#ß '× Enumera distintas relaciones presentes en tu vida como las descritas anteriormente.

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Módulo

B2 ____________________________________ Identificar funciones en gráficos y diagramas ____________________________________

_________________________________________________________ Funciones en gráficos y diagrámas

Utilizando funciones tu podrás reconocer en los indicadores gráficos los distintos comportamientos o tendencias del proceso industrial -

Definir funciones Identificar una función mediante gráficos Identificar una función mediante diagramas.

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Ê Función Una Función es una relación con la restricción de que a cada valor del Dominio le correponde " uno y sólo un valor " del Codominio . A través de los gráficos también es posible darse cuenta cuando una relación es función y cuando no lo es. Para ello se trazan paralelas al eje Y, si la paralela corta al gráfico sólo en un punto, entonces el gráfico es una función, en caso contrario es sólo una relación.

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Notación Funcional. Las funciones generalmente se simbolizan por las letras 0 ß 1 ó 2, designando por "B" a la variable independiente y por " C " a la variable dependiente y la notación más común es C œ 0 ÐB Ñ en donde 0 ÐB Ñ es la fórmula algebraíca que relaciona a " B " con " C " . Ejemplos À 1) Al perímetro de una circunferencia se le hace correponder el doble del valor de 1 multiplicado por su radio. Si designamos por B el radio (variable independiente) y por C al perímetro (variable dependiente) tenemos : C œ 21 B

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2) A cada valor de Z se le hace corresponder el doble de : disminuido en 6. ^ œ 2:  6 3)A la temperatura en grados celsius se la hace correponder. La 59 partes de la temperatura en grados fahrenheit disminuyendo en 32 . Asignando por C la temperatura en grados celsius y por B a la temperatura en grados F, tenemos : C œ

5 ( B  32 ) 9

Sabemos que una Función comprende dos conjuntos de elementos, un Dominio, un Codominio y una regla de correspondencia que permite asignar cada elemento del dominio exactamente un elemento del Codominio. Si B representa un elemento del dominio de una función 0 , entonces, a menudo usaremos el símbolo 0 Ð B Ñ en lugar de C para designar el número del codominio de la función 0 con el cual se aparea. B

Ä

C œ 0 ÐBÑ

Observación À Si a una función , definida sobre los reales , no se le indica el dominio al definir la correpondencia se entenderá que el dominio está constituido por todos aquellos números reales para los cuales el valor de la función existe y es real. Dominio de Una Función. El dominio de una función hace referencia al conjunto de los posibles valores que puede tomar la variable independiente esto es: H97 0 = ˜ B % E Î b B % F , C œ 0 ÐBÑ ™

Ejemplos: 1)Determine el dominio de las siguientes función . a) 0 (B) œ 3B2  4B b) 1(B) œ

B2  9 B  4

Solución À

H97 œ ‘

Solución : H97 œ ‘  {  4 }

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c) 2ÐBÑ œ È3 B  6 d) :(B) =

7 B2 + 1

Solución : H97 œ B 2 Solución :

H97 œ ‘

Observación: El dominio de las funciónes lineales, cuadráticas y polinomial es el conjunto de los números reales. Recorrido de una Función. El Recorrido de una función hace referencia al conjunto de todas las imágenes que posee una función. Es decirß los posibles valores que puede tener la variable dependiente . V/- 0 œ Ejemplos À

{ C % F Î b B % E , C œ 0 ÐBÑ }

Determine el recorrido de las siguientes funciones. a) 0 (B) œ 7B  1

V/- 0

œ ‘

b) 1ÐBÑ œ B2

V/- 1

œ

‘+0

Puesto que el recorrido es el conjunto de todas las posibles imágenes, entonces una forma práctica de determinar el recorrido es garantizando la existencia de su preimagen ( B ) ; esto se logra despejando dicha variable y analizando para que valores de " C " existe " B"

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Módulo

B3 _______________________________ Interpretar mediante la gráfica el dominio y recorrido de una función lineal _______________________________

_________________________________________________________ Función lineal

Tu podrás determinar el tipo de variable que utiliza un proceso productivo además lo que resulta en dicho proceso . -

Definir dominio y recorrido de una función Identificar dominio y recorrido en una función lineal Graficar una función lineal Interpretar gráfica de una función lineal

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Ê Función Lineal Definición: Una función bien definida , C œ 0 ( B ) es de primer grado o lineal cuando está representada por una expresión de la forma C = +B  , donde + y , son constantes. Ê Dominio y recorrido El dominio y el recorrido de una función lineal son todos los reales Ê Representación gráfica de una función lineal. Para cualquier función definida en las variables B e C se puede considerar un conjunto de puntos que satisfacen la relación dada; estos puntos pueden ser representados en el sistema de coordenadas cartesianas; en donde el eje "B" es asignado a la variable independiente y el eje "C" a la variable dependiente. La gráfica de una función lineal es una linea recta y para graficarla debemos conocer como mínimo 2 puntos que la satisfagan. En una función lineal de la forma C œ + B  , reconoceremos el valor de "+" como la pendiente , designada por " 7 " de la recta, el punto (0,,) la intersección de la recta con el eje C, por lo cual a la función C œ + B  , le llamaremos forma intersecto pendiente 3 3 B  7 reconoceremos 7 œ  pendiente, y 2 2 el punto ( 0,7 ) de intersección de la recta con el eje C(B œ 0 ). Para graficar una función lineal de la forma C œ + B  ,, se necesita hallar 2 puntos que satisfagan la ecuación y unirlos con una linea recta. Conocido el intersecto " C " (0, ,) , sólo se necesita un punto más por conocer, el que se puede determinar hallando el intersecto " B " , esto es, haciendo C œ 0 Ejemplos Representar graficamente la función : Ejemplos À En la función C œ 

C œ  3B  7 B œ 0 Ê C œ 7 C œ 0 Ê B œ 73 Dom œ ‘ ; Rec œ ‘

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Idea gráfica :

Ê Gráfica de una función lineal

Ejercicios: Dadas las siguentes funciones determinaremos su pendiente, para luego analizar su pendiente y con ello analizar su inclinación: a) C œ 34 B  1 su pendiente es 7 œ Su gráfica corresponde a una con pendiente positiva

3 4.

b) C =  2 B  6 su pendiente es 7 œ  2 Su gráfica corresponde a una con pendiente negativa -) C = 4 su pendiente es 7 œ ! Su gráfica corresponde a una recta paralela al eje B d) B œ  3 su pendiente es 7 œ _ Su gráfica corresponde a una recta paralela al eje e) 2B  C  ' œ ! su pendiente es 7 œ ..... Su gráfica corresponde a una con pendiente ... f)  3B  2C œ )

su pendiente es 7 œ ÞÞÞ 51


Su gráfica corresponde a una con pendiente ÞÞÞÞ g) C œ #B  $ su pendiente es 7 œ ÞÞÞ Su gráfica corresponde a una con pendiente ÞÞÞÞ h) C œ  $B  # su pendiente es 7 œ ÞÞÞ Su gráfica corresponde a una con pendiente ÞÞÞÞ

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Módulo

B4 _________________________ Resolver problemas aplicando funciones lineales _________________________

_________________________________________________________ Aplicación función lineal

Mediante funciones lineales tu podrás identificar cuando un proceso se comporta en forma lineal y con ello cuantificarlo y analizar su tendencia -

Determinar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos Transformar la ecuación de la recta a función lineal Aplicar la función lineal a situaciones prácticas

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Ê Ecuación de una recta que pasa por dos puntos Pendiente de una Linea Recta Definición: La pendiente de una linea recta mide el cambio en C (J C ) también conocida como " incremento en C " dividida por un cambio en B ( J B ), conocido como" incremento en B ". La pendiente indica la inclinación y la dirección de una linea recta. Cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente, más inclinada es la recta. En la forma intersecto pendiente de una función lineal C œ 7 B  ,, "7" es la pendiente. Para una recta que pasa por los puntos ( B1 , C1 ) ; (B2 , C2 ) , la pendiente" 7 " se puede expresar de cualquiera de las 2 formas siguientes : JC C2  C 1 œ JB B2  B 1

7 œ

(B1 Á B2 )

Una recta con pendiente 7 que pasa por el punto (B1 , C1 ) tiene la siguiente ecuación llamada forma " punto pendiente ". C  C1 œ 7 ( B  B 1 ) Ejemplos À Determinar la ecuación de la recta que une los puntos (2,3)

y (-1,5).

35 2 œ  21 3

Pendiente :

7œ

Ecuación :

C 3 œ 

2 (B  2) 3

3(C  3 ) œ  2B  4 3C œ  2B  13 2 13 C œ  B 3 3 3 Ejemplos À Determine ecuación y pendiente de la recta de pendiente 7 œ  y pasa por 5 1 el punto Œ , 3 . 2 Ecuación : C  3 œ 

3 1 ŒB   5 2

54


5(C 3)œ 3ŒB  5 C  15 œ  3 B 

Ejercicios

3 2

10 C  30 œ  6 B  3 10 C œ  6 B  27 3 27 C œ   5 10

"  #

‚† #

1).- En 1870, la temperatura media del suelo en París fue de 11.8°G . Desde entonces ha aumentado a una tasa casi constante, y en 1969 alcanzó los 13.5°G . Exprese la temperatura X , en °G , en términos del tiempo >, en años, siendo >=0 el año de 1870, y 0<><100. ¿Durante qué año la temperatura promedio del suelo fue 12.5 °G ? Muchas áreas de la admimistración y las ciencias económicas se manejan eficientemente con funciones lineales. Función Lineal de Costo: A las empresas les interesan entre otros factores los costos por que reflejan el dinero que gastan. Estos flujos de dinero suelen destinarse al pago de sueldos, materias primas, calefacción, arriendo, teléfono y otros gastos. Suele definirse el costo total en términos de dos componentes:costo total variable y costo total fijo. ambos componentes deben sumarse para determinar el costo total. Ejemplos À Una firma que tiene costos fijos de $ 120 (en miles de pesos) por concepto de arriendo y salarioß que deben pagar sin importar el nivel de producción, y un costo marginal de $ 18, que es el gasto en que se incurre por cada unidad adicional de producción ( B ) . En resumen, la firma enfrenta un costo total (G ) que se puede expresar mediante una función lineal de la forma C œ 7 B  , donde C œ Costos Totales 7 œ costos marginales , œ costos fijos Así : G œ 18B  "#0 Sí se producen 240 unidades, de forma que B œ 240, los costos totales ascienden a: G œ 18 † #40  120 G œ 4Þ440 miles de pesos Ejemplos À Una empresa que elabora un sólo producto quiere determinar la función que expresa el costo total anual y en función de la cantidad de unidades producidas B. Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de 50.000 dólares. también han estimado que los costos de materias primas por cada unidad producida ascienden a

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$5ß 50, que los de mano de obra son de $1ß 50 en el departamento de montage, $0,75 en el cuarto de acabado y $ 1ß 25 en el departamento de empaque y embarque. La función de costo total tendrá la forma À C œ GÐBÑ œ costo total variable  costo total fijo Los costos totales variables constan de dos componentes: los costos de materias primas y los de mano de obra. Los segundos se calculan al sumar los respectivos costos de mano de obra de los tres departamentos. El costo total se define por medio de la función C œ costo total de materias primas  costo de mano de obra  costo total fijo C œ &ß &!B  Ð"ß &!B  !ß (&B  "Þ#&BÑ  &!Þ!!! C œ *B  &!Þ!!! Funciones Lineales del Ingreso:El dinero que entra en una organización por la venta de sus productos o por la prestación de servicios suele recibir el nombre de ingreso. La forma más clásica para calcular el ingreso total por la venta de un servicio es. Ingreso total œ (precio) † (cantidad vendida) En esta relación una suposición es que el precio de venta es el mismo para todas las unidades vendidas. Si una compañía vende 8 productos , donde B3 es el número de unidades vendidas del producto 3 y T3 indica el precio del producto 3, la función que permite calcular el ingreso total obtenido del producto 8. V œ :" B"  :# B#  :$ B $  ÞÞÞ  :8 B8 Esta función de ingreso puede formularse de manera más concisa empleando la notación de sumatoria: 8 V œ ! :3 B3 3œ"

Ejemplos À Si la firma recibe un precio constante (:) por cada unidad de producción (B) su ingreso total (V ) se puede expresar mediante la ecuación lineal de la forma: V œ : †B Así si se venden 240 unidadesa $ 8 el ingreso será : V œ 240 † B V œ 240 † 8 œ 1Þ920 miles de pesos

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Funciones Lineales de Utilidad: La utilidad de una organización es la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Utilidad œ ingreso total  costo total Cuando tanto el ingreso total como el costo total son funciones lineales de la(s) misma(s) variable(s), la función de utilidad es también una función lineal de la(s) misma(s) variable(s). Luego la utilidad se define como : T ÐBÑ œ V ÐBÑ  GÐBÑ

Ejemplos À La utilidad T definida como el ingreso total menos el costo total. El nivel de ganancia tambien se puede expresar como una ecuación lineal T œ VG Sustituyendo T œ 240 B  ( 18 B  120 ) T œ 240 B  18 B  120 T œ 222 B  120 Punto de Equilibrio: Uno de los puntos principales es aquel en donde el nivel de operación o de producción dé por resultado una utilidad cero. A ese nivel se le da el nombre de punto de equilibrioÞ Es un punto muy útil de referencia ya que representa el nivel de operación en que los ingresos totales son iguales a los costos totales. Cualquier cambio en este nivel poducirá una utilidad o una pérdida. El análisis del equilibrio es útil sobre todo como instrumento de planeación cuando las firmas estudian futuras expansiones; por ejemplo, ofrecer nuevos productos o servicios. De manera semejante, ayuda a evaluar el pro y el contra de emprender un nuevo negocio. en todos los casos el análisis permite efectuar una proyección a la rentabilidad. Ejemplos À Con la información anterior se puede hallar fácilmente el "punto de equilibrio" , el nivel de producción enque los ingresos sólo cubren o igualan los costos, es decirß V œ G o en forma equivalente T œ 0 . Sustituyendo, se tiene : T =0 222B  120 = 0 B œ 0,5 Es decirß para una producción de 0,5 unidades la firma no pierde ni gana , es decir, los costos se igualan a los ingresos , la utilidad es nula.

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Ejemplos À A una compañía grabadora le cuesta $6.000 preparar un álbum de discos,los costos de grabación, los costos de diseño del álbum, etc. Estos costos representan un costo fijo en el tiempo. La fabricación, ventas y costos de regalías (todos costos variables) son $2ß 50 por álbum. Si el álbum se vende a las distribuidoras en $4ß 0 cada uno¿Cuántos álbumes debe vender la compañía para estar en el punto de equilibrio?. Sean: B œ número de unidades vendidas G œ costo para producir B unidades V œ Ingreso sobre la venta de B unidades La compañía alcanza su punto de equilibrio cuando V œ G , con G œ $6.000  $2ß 50B V œ $4B Debe encontrarse B tal que V œ Gà es decir 4B œ 6.000  2ß 50B "ß &!B œ 6.000 B œ 4.000 Comprobación: Para B œ 4.000 G œ 6.000  2ß 50B œ 6.000  2ß 50(4.000) œ 6.000  10.000 œ $16.000

y

V œ 4B œ 4(4.000) œ $16.000

Se tiene, entonces que, la compañía debe vender 4.000 unidades para estar en el punto de equilibrio; cualquier venta por sobre 4.000 producirá una utilidad; y las ventas por bajo de 4.000 producirá una pérdida.

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¿Cuál es el punto de equilibrio, en este ejemplo, si los costos fijos son $9.000 y los costos variables son de $2ß 80 por unidad? Respuesta: 7.500. Ejercicios Propuestos 1) La gerencia de una empresa que fabrica patines tiene costos fijos (costos a cero salidas) de $300 diarios y costos totales por $ 4Þ300 diarios cuando hay una salida de 100 pares de patines por día. Suponga que el costo G está linealmente relacionado con la salida. a) Determine la pendiente de la recta que une los puntos asociados con las salidas de 0 y 100; es decir, la recta que pasa por (0,300)y (100,4Þ300) b) Encuentre la ecuación de la recta que relaciona la salida con el costo. Escriba la respuesta final de la forma G œ 7B  ,Þ c) Construya la gráfica de la ecuación del costo tomado de la parte b para ! Ÿ B Ÿ #!!Þ d) Resuelva las partes a y b del ejemplo para los costos fijos de $250 diarios y costos totales de $3Þ450 diarios para una salida de 80 patines por día 2) Si $T (capital) se invierte a una tasa de interés de <, entonces la cantidad E que se obtiene después de > años se calcula con E œ T < >  T Þ Si $100 se invierten a 6% (< œ !ß !'), entonces E œ '>  "!! ß > !Þ a) ¿A cuánto ascenderá la cantidad de $100 después de 5 años? ¿Después de 20 años?. b) Construya la gráfica de la ecuación para ! Ÿ > Ÿ #!!Þ c) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica ?(la pendiente indica el aumento en la cantidad E por cada año adicional de inversión). 3) Una compañía manufacturera está interesada en introducir una nueva segadora. Su departamento de investigación de mercados dió a la gerencia el pronóstico de preciodemanda que se presenta en la siguiente tabla. Precio $70 $120 $160 $200

Demanda estimada 7.800 4.800 2.400 0

a) Marque estos puntos e indique con . número de segadoras que se espera que la gente compre (demanda) a un precio $: cada una. b) Observe que los puntos de la parte (a) están a lo largo de una recta. Encuentre la ecuación de esa recta.

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(Nota: La pendiente de la recta que se determina en la parte (b) indica el decremento en la demanda por cada $ 1 de aumento en el precio). 4) El equipo de oficina se adquirió por $20.000 y se supone que tiene un valor de baratillo de $ 2.000 después de 10 años. Si su valor se deprecia linealmente (para propósitos de impuestos) de $20.000 a $2.000. a) Encuentre la ecuación lineal que relaciona el valor (V) en dólares al tiempo Ð>Ñ en años. b) ¿Cuál sería el valor del equipo después de seis años?. c) Construya la gráfica de la ecuación para ! Ÿ > Ÿ "! (Nota: La pendiente que se encontró en la parte (a) indica el decremento en el valor por año). 5) La ecuación de costo para una cierta empresa que produce equipos estereofónicos es la siguiente: G œ *'Þ!!!  )!8 donde: $*'Þ!!! representa los costos fijos (construcción y gastos generales) y $)! es el costo variable por unidad (materiales, manufactura, etc). Construya la gráfica de esta función para 0 Ÿ 8 Ÿ 1.000 6) Un electricista cobra $1200 por visita domiciliaria más $500 por hora de trabajo adicional. Exprese el costo de llamar a un electricista a casa en función del número de horas que dura la visita y estime costo para 7 horas de trabajo. 7) Un artista que hace una exhibición de cuadros recibe $ 320.000 por cada cuadro vendido menos $ 45.000 por cargo de almacenaje y exhibición. Represente el ingreso V que él recibe en función del número de cuadros vendidos B y calcule el ingreso si se venden 5 cuadros. 8) Un autor recibe honorarios por $ 120.000 más $1.800 por cada libro vendido. Exprese su ingreso V como función del número de libros B vendidos y calcule su valor para 8 libros vendidos. 9) Las ventas de una empresa farmaceutica local crecieron de $ 6.500.000 en 1980 a $11.000.000 en 1990. Suponiendo que las ventas se aproximan a una función lineal, exprese las ventas Z como función de tiempo >Þ 10) Una fábrica de computadores vendió 320 en 1990 y 400 en 1994. Asumiendo que las ventas se aproximan a una función lineal, exprese las ventas Z de la empresa en función de tiempo >.

60


11) Una maquinaria industrial vale $ 480.000 y se deprecia en $ 5.000 al año. Empleando depreciación lineal exprese el valor Z de la máquina como una función del número de años > . Calcule su valor pasado 3 años de uso. 12) Una industria de papel vendio 5.000 toneladas en 1992 y 3200 en 1996. Asumiendo que las ventas se aproximan a una función lineal exprese la venta Z de la industria en función del tiempo > y evalúe venta para 1997. 13) Desde el principio del mes, una represa local ha perdido agua a una tasa constante. El día 12, la represa tenía 200 millones de galones de agua; el día 21, 164 millones. a) Exprese la cantidad de agua en la represa como una función del tiempo y elabore la gráfica. b) El día 8 ¿Cuánta agua había en la represa?. 14) a) La temperatura en grados Farhrenheit es una función lineal de la temperatura medida en grados Celsius. Si se conoce que 0° Celsius son iguales a 32° Fahrenheit y que 100° Celsius son iguales a 212° Farhrenheit, escriba la ecuación de esta función lineal. b) Emplee la función que ha obtenido en el literal (a) para convertir 15° Celsius en grados Farhrenheit. c) Convierta 68° Farhrenheit en grados Celsius.

61


Respuestas 1) a) 7 œ 40 b) G œ %!B  $!! d) a) 7 œ 40

b) G œ %!B  #&!

2) aÑ 130;

220

b)

cÑ La pendiente es 6 3) b).Ð:Ñ œ  '!:  "#!!! 4) a) Z (t)=-1800p + 20000 b) $9200 c)

62


5)

6) $ 4.700 el trabajo 7)

$ 1.555.000

8)

$ 134.400

9) Z (B) œ 450.000 >  6.500.000 10) V(t) = 20t + 320 11) V (3) = $ 465.000 12) V(5) = 2.750 Toneladas. 13)

a) C œ  %B  #%)

14)

a) C œ *& B  $#

b) 216 millones de galones ,Ñ &*° J

63

-Ñ #!° G


Módulo

C1 _________________________________ Interpretar mediante la gráfica el dominio y recorrido de una función cuadrática _________________________________

_________________________________________________________ Función Cuadrática

Dado que podrás encontrar en la industria actividades que se modelan de forma cuadrática como por ejemplo el rendimiento de una persona a medida que transcurren las horas del día que se inicia en forma creciente para luego decrecer -

Identificar dominio y recorrido en una función cuadrática Definir función cuadrática Resolver ecuación cuadrática Graficar función cuadrática Interpretar grafica de una función cuadrática

64


Funciones Cuadráticas Cualquier función definida por una ecuación de la forma :

donde +, , y - son constantes, se denomina función cuadrática. Ecuación Cuadrática. Cuando 0 (B) œ 0 , es decir, C œ 0 para algún valor del dominio de 0 , la expresión B2  , B  - œ 0, se denomina "Ecuación cuadrática" ó de "segundo grado ". Fórmula

General

de

B œ

Resolución de una Ecuación

Cuadrática

 ,„ È , 2  4 +2+

Generalmente ésta fórmula se utiliza para resolver ecuaciones cuadráticas cuando los métodos anteriores no funcionan. La expresión ,2  4+ - se denomina Discriminante y de este valor podemos obtener información útil respecto de las soluciones. i) , 2  4 + - œ 0 Raíces reales e Iguales. ii) , 2  4+ - > 0 Raíces reales y Distintas iii) , 2  4+ - < 0 Raíces Complejas. Representación Gráfica de una función Cuadrática. La gráfica de una función cuadrática 0 (B ) œ + B2  , B  - ; + Á 0 es una "parábola" que tiene su eje (recta de simetría) paralelo al eje vertical. Si + > 0 la parábola es cóncava hacia arriba; y si +  0 la parábola es concava hacia abajo. Los elementos determinantes para la gráfica de una función cuadrática son las coordenadas del vértice y las intersecciones de la parábola con los ejes cordenados. a) Intersección eje B ( C œ 0 ) + B 2  , B  - œ 0 ; las soluciones o raíces las designaremos por B 1 y B 2Þ , , b) Coordenadas del vértice se determinan por VŒ ß 0Ð Ñ #+ #+ B" B# # o bien V(B@ ß C@ Ñ don de B@ œ B" B # ß C@ œ 0 Ð # Ñ

65


Módulo

C2 _________________________ Resolver problemas de aplicación de funciones cuadráticas _________________________

_________________________________________________________ Aplicación funciones cuadráticas

Dado que en la empresa donde trabajes existen procesos y actividades que se comportan como funciones cuadráticas, como por ejemplo el ingreso que generan las ventas de un producto. -

Identificar una función cuadrática Graficar una función cuadrática Resolver problemas de aplicación de funciones cuadráticas.

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Ejercicios À "Ñ Un productor de alevines requiere colocar canales rectangulares de plástico para el aporte de agua de mar a los tanques principales de producción de juveniles. Se tiene una lámina larga, rectangular de PVC, de 12 pulg de ancho. Se doblan dos orillas hacia arriba para que queden perpendiculares al fondo. ¿Cuántas pulgadas deben quedar hacia arriba para que el canalón tenga capacidad máxima? Solución À Si B representa el número de pulgadas verticales, en cada lado, el ancho de la base del canalón es 12 - 2B pulg. La capacidad será mayor cuando el área de la sección transversal del rectángulo cuyos lados son B y 12 - 2B, tenga su valor máximo. Si J ÐBÑ representa esta área, se obtiene que 0 ÐBÑ œ BÐ"#  #BÑ 0 ÐBÑ œ "#B  #B# 0 ÐBÑ œ  #B#  "#B que posee la forma 0 ÐBÑ œ +B#  ,B  - donde + œ  #ß , œ "# y - œ !. Como 0 es función cuadrática y + œ  #  !, de acuerdo con el teorema del valor máximo o mínimo de una función cuadrática, el valor máximo de 0 se obtiene enÞ , "# Bœ œ  œ$ #+ #Ð  #Ñ Por lo tanto, se deben doblar hacia arriba 3 pulg de cada lado para alcanzar la capacidad máxima. Otra posibilidad para la solución es que la gráfica de la función 0 ÐBÑ œ BÐ"#  #BÑ tiene abscisas en el origen B œ ! y B œ '. Por lo tanto, el promedio de ellas, es la abscisa del vértice de la parábola, y el valor que produce la capacidad máxima. Bœ

!' œ$ #

#Ñ Crecimiento de los niños. La tasa de crecimiento C, de un niño, en libras por mes, se relaciona con su peso actual B, en libras, mediante la fórmula C œ -BÐ#"  BÑ , en la cual - es una constante positiva, C !  B  #". ¿A qué peso se tiene la tasa máxima de crecimiento? $Ñ En cierto cultivo con medio limitado, la tasa de crecimiento bacteriano R ÐBÑ está en función del numero B de bacterias presentes a través de la fórmula : BÐ"Þ!!!Þ!!!  BÑ R ÐBÑ œ "''&!!!! calcule el número máximo de bacterias.

67


%Ñ En un bosque, un depredador se alimenta de las presas y su población C esta en función del numero de presas B que hay en el bosque a través de la fórmula: " C œ B#  "!B  *! ' Para que valor de B el número de depredadores es máximo. &Ñ.- En un lago grande un pez depredador se alimenta de uno más pequeño y la población de depredadores en cualquier instante esta en función del numero de peces pequeños que hay en el lago en ese momento. Suponga que cuando hay B peces pequeños, la población de depredadores es C œ "% >#  )! . Si la temporada de pesca termino hace t semanas, entonces . Exprese y en términos t, calcule el valor de t para el cual y es máximo. 9.- Una masa de aire frío se aproxima a la universidad. La temperatura es de z grados t horas después de la media noche y para cuando . Calcule el valor de t para la cual la temperatura es mínima.

Muchos de los problemas que se dan en Economía, Cs Sociales, y en Administración están modelados por funciones cuadráticas, como por ejemplo: Las funciones de ingreso y ganancia . Ejemplo: La utilidad T de una fábrica de computadores para cada unidad B vendida viene calculado como : T (B) œ 600 B  3B 2  12Þ000 a) ¿ Para qué producción la utilidad es máxima ? Como la gráfica de esta función es una parábola abierta hacia abajo, es claro que la máxima utilidad se logra en la coordenada B del vértice. Así tenemos : T (B) œ 600 B  3B2  12Þ000 T (B) œ  3B2  600B  12000 completando cuadrados, la función se puede expresar como : T (B) œ  3 (B2  200B )  12Þ000 T (B) œ  3 (B2  200B  10Þ000 )  12Þ000  30Þ000 T (B) œ  3 ( B  100 )2  18Þ000 Luego el vértice tiene por coordenadas (100, 18Þ000), por lo tanto cuando se venden 100 unidades la utilidad se maximiza en $ 18Þ000 b) Para que producción la utilidad es nula ( T = 0)  3B2  600B  12Þ000 œ 0 Î À  3 B 2  200B  400 œ 0

68


B œ

200 „ È40000  1600 2

200„196 , para efectos prácticos diremos que 2 B 1 œ 198 ; B 2 œ 2 Luego, para la producción de 2 y 198 unidades la utilidad es nula, es decir , son puntos de equilibrio . idea gráfica : B ¸

Eje Y

2

198

Eje X

Ejemplo : Dadas las siguientes funciones de Ingreso total V (B) de costo total G (B) exprese la ganancia T como una función explícita de B y determine el nivel máximo de ganancia, haciendo el vértice de T (B) y los puntos de equilibrio T (B) œ 0 V (B) œ 600B  5B2 G (B) œ 100B  10Þ500 Puntos de equilibrio: T (B) œ 600B  5B2  ( 100B  10Þ500 ) T (B) œ  5B2  500 B  10500 0 œ  5B2  500B  10Þ500 Î  5 0 œ B2  100 B  2Þ100

B œ

Bœ

100 „ È10Þ000  8Þ400 2 100 „ 40 2

Ê

B 1 œ 70 ; B 2 œ 30

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Puntos de equilibrio 30 y 70 unidades. Nivel máximo de ganancia B1  B2 70  30 B@ œ œ œ 50 2 2 C @ œ 2000 Luego, para una producción de 50 unidades , la utilidad se maximiza en $ 2Þ000 . Idea gráfica :

Ejemplo : El departamento de investigación de mercados de una empresa recomendó a la gerencia que la compañía fabrique y venda un nuevo producto prometedor. Después de amplias investigaciones, el departamento apoyó la recomendación con la ecuación de demanda. B œ 0 Ð:Ñ œ 'Þ!!!  $!: (1) donde B es el número de unidades que los distribuidores comprarán probablemente cada mes a $: por unidad. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de costo GÐBÑ œ (#Þ!!!  '!B (2) La ecuación de ingreso por vender B unidades a $: V œ B: (3) Y, finalmente, la ecuación de rentabilidad es T œ VG (4) donde; T es la utilidad, V es el ingreso y G es el costo. Nótese que la ecuación de costo (2) expresa G como una función de Bß y la ecuación de demanda (1) expresa B como una función de :. Al substituir (1) en (2), se obtiene el costo G como función lineal del precio :: G œ (#Þ!!!  '! Ð'Þ!!!  $!:Ñ Función lineal (5)

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œ %$#Þ!!!  "Þ)!!: En forma similar, al sustituir (1) en (3), se obtiene el ingreso V como una función cuadrática del precio : : V œ Ð'Þ!!!  $!:Ñ: Función cuadrática (6) # œ 'Þ!!!:  $!: Ahora, vamos a construir las gráficas de las ecuaciones (5) y (6) en el mismo sistema de coordenadas. Se obtiene la siguiente figura.

Conviene observar detenidamente la información contenida en esta gráfica.Calcularemos los puntos de equilibrio, es decir, los precios a los cuales el costo es igual al ingreso (los puntos de intersección de las dos gráficas anteriores).Se calcula : de modo que: G œV %$#Þ!!!  ")!!: œ 'Þ!!!:  $!:# $!:#  (Þ)!! :  %$#Þ!!! œ ! :#  #'!:  "%Þ%!! œ ! #'!„ È#'!#  %Ð"%%!!Ñ : œ # : œ

#'!„"!! #

: œ $80, $")! Por lo tanto, al precio de $)!, o bien $")! por unidad, la empresa se encontrará en el punto de equilibrio. Entre estos dos precios se puede predecir que la empresa obtendrá una utilidad.

71


¿A qué precio se obtendrá la máxima utilidad?.Para calcular ese valor, se escribe T œVG œ Ð'Þ!!!:  $!:# Ñ  Ð%$#Þ!!!  ")!!:Ñ œ  $!:#  (Þ)!!:  %$#Þ!!! Puesto que ésta es una función cuadrática, la utilidad máxima se obtiene en , (Þ)!! : œ  œ  œ $"$! #+ #Ð  $!Ñ Observe que éste no es el precio con el cual el ingreso es máximo. Este último ocurre en : œ $"!!ß como muestra la figura anterior. Ejemplo

: El departamento de investigación de mercados de una empresa

recomendó a la gerencia que la compañia fabrique y venda un nuevo producto. El departamento adoptó la recomendación con la ecuación de demanda B œ 2.000  10: donde B es el número de unidades que los distribuidores compraran cada mes a $: por unidad. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de costos G œ 36.000  30B donde $36.000 es el costo fijo y $30 es el costo marginal. a) Determine la Ecuación de Ingreso. La cantidad de dinero V , que recibe la compañia por vender B unidades a $: por unidad es : 2.000  B V œB †: , pero : œ , luego 10 V œ B †Œ Vœ

2.000  B  10

2.000 B  B2 10

b) Función Utilidad T œŒ

2.000B  B2   36.000  30 B 10 B2 T œ #00B   36.000  30B 10  B2 T œ  170 B  36.000 10

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c) Puntos de Equilibrio. 2

B  170 B  36.000 œ 0 Î † (  "! ) 10 B2  1.700B  360.000 œ 0

B œ

1.700 „ È2.890.000  1.440.000 2

1.700 „ 1.204, 2 2 B 1 œ 1.452,1 ; B 2 œ 247,9 Bœ

d) Producción para una Utilidad Máxima 1.452,1  247,9 œ 850 2 C@ œ 36.250 B@ œ

La máxima utilidad se logra para una producción de 850 unidades. Ejemplo: Halle los puntos de equilibrio de una fábrica dadas las funciones de ingreso total (V ) y costo total (G ) en forma gráfica y en forma analitícaÞ V (B) œ 750 B  5 B2 G (B) œ 100 B  20.000 Solución: Los puntos de equilibrio se presenta cuando V œ G , en forma equivalente cuando T œ 0, así tenemos : V (B) œ G (B) 750B  5B2 œ 100 B  20.000  5B2  650B  20.000 œ 0 B2  150  4000 œ 0 (B  80) ( B  50 ) œ 0 B 1 œ 80 ; B2 œ 50 Los ingresos se igualan a los costos, es decir, la utilidad es nula para una producción de 50 y 80 unidades.

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Idea gráfica :

V (B) œ 750B  5B2 0 œ 750B  5B2 0 œ B (750  5B) B1 œ 0 ; B2 œ 150 B@ œ 75 C@ œ 28125 G (B) œ 100 B  2000 B 0 100

GÐBÑ 20000 30000

Ejercicios Propuestos 1Ñ En una cierta industria, el costo total de producción de ; unidades durante el período diario de producción es G (; ) = ; #  ;  *!! dólares. En un día normal de trabajo, se fabrican ; (>) œ #& > unidades durante las primeras " > " horas de un período de producción. a) Exprese el costo total de producción como una función de > b) ¿ Cuánto se habrá gastado en producción al final de la tercera hora?

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c) ¿ Cuándo alcanzara el costo total de producción US $ ""Þ!!! ? 2) El departamento de investigación de mercados de una empresa recomendó a la gerencia que la compañía fabrique y venda un nuevo producto prometedor. Después de amplias investigaciones, el departamento apoyó la recomendación con la ecuación de demanda. B œ 0 Ð:Ñ œ *Þ!!!  $!: donde B es el número de unidades que los distribuidores comprarán probablemente cada mes a $: por unidad. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de costo: GÐBÑ œ *!Þ!!!  $!B a) Exprese el costo G como una función lineal del precio : b) Exprese el ingreso V como una función cuadrática del precio : c) Construya la gráfica de las funciones de costo e ingreso obtenidas en las partes (a) y (b) en el mismo sistema de coordenadas, e identifique las regiones de utilidad y pérdida. d) Calcule los puntos de equilibrio; es decir, encuentre los precios al valor más próximo en el cual V œ G . e) Calcule el precio que produce el máximo ingreso. $Ñ La función de demanda de un producto particular es ; œ 0 Ð:Ñ œ &!!.!!!  $!!!: donde ; se expresa en unidades y : en dólares. Determine la función cuadrática del ingreso total, donde V es una función de " :" osea V œ 1Ð:ÑÞ ¿Cuál es la concavidad de la función?:¿Cuál es la intersección con el eje C?. ¿Cuál es el ingreso total con un precio de $20?.¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio?¿A qué precio se maximizará el ingreso total?Þ 4) La función de demanda de un producto es ; œ 0 Ð:Ñ œ 2!.!!!  25: donde ; se expresa en unidades y : en dólares. Determine la función cuadrática del ingreso total, donde V es una función de ":" osea V œ 1Ð:ÑÞ ¿Cuál es la concavidad de la función?:¿Cuál es la intersección con el eje C?.¿Cuál es el ingreso total con un precio de $60?.¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio?¿A qué precio se maximizará el ingreso total? 75


5) El costo, en dólares, de una fábrica en función del número de unidades producidas viene dado, por G (; ) œ 1500  40; . Su nivel de producción es una función del tiempo ( horas) y viene dada por 0 (>) œ 16 >  a) b) c) d) e)

>2 4.

Determine: El costo en función del tiempo y gráfica . Instante en que se maximiza el costo. Instante en el que los costos asociados a 10Þ300 dólares. ¿En qué instante los costos son nulos? . Costos para las 7 primeras horas.

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Respuetas 1)

2)

a) GÐ>Ñ œ '#&>#  #&>  *!! bÑ GÐ$Ñ œ ''!! c) > œ % (a) $'!Þ!!!  *!!: Ðb) V œ 8: œ Ð*Þ!!!  $!:Ñ: œ *Þ!!!:  $!: # (c)

d) $%#ß $288 e) $150. 3) V œ 1Ð:Ñ œ 500.000:  3.000:# ß abajo (0,0), 1Ð#!Ñ œ $8.800.000; 0 Ð#!Ñ œ $440.000 4) V œ 1Ð:Ñ œ 20.000:  #&:# ß abajo (0,0) ß 0 Ð'!Ñ œ ").&!! unidades$%!! 5)

a) b) c) d) e)

unidades$83.33 1Ð'!Ñ œ $".""!.!!!;

 10 >#  640 >  1500 Los costos se maximizan en > œ 32 horas. Los costos ascendieron a 1030 para > œ 20 y > œ 44 horas. Los costos se anulan para > œ 66, 3 horas. - œ 5490

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Módulo

D1 _________________________________ Interpretar mediante la gráfica el dominio y recorrido de una función exponencial _________________________________

_________________________________________________________ función Exponencial

Encontramos en la empresa que algunas etapas del proceso productivo vistos en los indicadores gráficos poseen un comportamiento exponencial -

Identificar una función exponencial Definir función exponencial Graficar función exponencial Interpretar grafica de una función exponencial

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Ê Función Exponencial. Hasta ahora hemos estudiado la mayoría de las funciones algebráicas, es decir, funciones que se pueden definir utilizando las operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación, división, potencia y raíces. En ningún caso se ha tenido una variable como exponente. Así definimos una nueva función que se compone de una base + y un exponente en la variable B que se denomina función exponencial. Definimos una función de la siguiente forma: C œ +B

;

+>0

y

+ Á 1

Las funciones exponenciales se emplean para expresar crecimiento y decrecimiento, esta es la razón por la cual a estas funciones frecuentemente se les da el nombre de funciones de crecimiento. En general se emplean para describir por ejemplo, aumento monetario, a un interés compuesto, crecimiento demográfico de número de animales y bacterias, desintegración radiactiva, etc.

Ejemplo:Si se desea construir la gráfica de la función exponencial C œ 2 B Se tiene la siguiente tabla de valores B C  $ ")  # "%  " "# ! " " # # % $ )

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Idea gráfica

En general, independiente de la base (+ > 1) , (+ Á 1 ) toda función exponencial de la forma C œ + B pasa por el punto (0, 1). Propiedades de la función exponencial. Supuesto +ß , > 0; +,, Á 1à B e C 1) +B † +C œ +BC 1 2) + B œ B + 3)

Œ

+B B  œ + +C

C

4)

a+ B b C œ + B † C

5)

+ B † , B œ (+ † ,) B

+B + B 6) œ Š ‹ ,B , B Ejemplo: C œ 2 B $ # " 0 1 2 3

C 8 4 2 1 " # 1 4 1 8

Idea gráfica

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cualquier número real.


Una función exponencial tienen las siguientes características. Dada C œ + B ; + > 0ß + Á1 a) El dominio de la función es el conjunto de todos lo números reales, el rango de la función es el conjunto de todos los números reales positivos. b) Para + > 1 la función es creciente y cóncava hacia arriba; para 0 < + < 1, la función es decreciente y cóncava hacia arriba. c) Independiemtemente de la base, la función exponencial C œ + B pasa siempre por el punto (0, 1). En las funciones exponenciales, la base que con más frecuencia se utiliza es el número irracional " / " cuyo valor matemático aproximado a la quinta cifra es 2,171828...Así la función: C œ / B la denominaremos "función exponencial natural ". Las funciones que involucran potencias de "/" juegan un papel central en matemática aplicada se usan en demografía para preveer tamaños de población en finanzas para calcular al valor de inversiones, en arqueología para fechar objetos antigüos.

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Módulo

D2 _________________________ Resolver problemas de aplicación mediante funciones exponenciales _________________________

_________________________________________________________ Aplicación función exponencial

Puedes observar que existen enfermedades que crecen en forma muy rápida o exponencialmente, como también en la empresa existen máquinas que se deprecian a su vez en forma exponencial Identificar si el comportamiento de la función exponencial es creciente o decreciente Identificar las partes que componen una función exponencial. Resolver problemas de aplicación mediante funciones exponenciales.

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Ê Aplicaciones de las Funciones Exponenciales. Crecimiento exponencial. Una cantidad U(>) que crece de acuerdo a una ley de la forma U(>) œ Uo / O > donde U! y O son constantes positivas se dice que experimentan un "crecimiento exponencial ". Ejemplo: Sea UÐ>) el número de bacterias presentes pasado > minutos responde el modelo U(>) œ 2000 /0,05 > ¿Cuántas bacterias habrán pasado 20 minutos? Solución: U(20) œ 2Þ000 /0,05 † 20 U(20) œ 5Þ436, 6 bacterias. Decrecimiento exponencial. Una cantidad U(>) que decrece de acuerdo con la ley U(>) œ U! /O> donde U! y O son constantes positivas se dice que experimenta un "decrecimiento exponencial ". Ejemplo : Los bosques de un país están desapareciendo a razón de 3,6 % al año. Si originalmente habían 2Þ400 (millones).¿Cuántos árboles habían desaparecido 7 años? Solución: U(>) œ 2Þ400 / 0, 036 † 7 U(7) œ 2Þ400 / 0,252 U(7) œ 1Þ865, 4 millones de árboles. Interés Compuesto. Si se invierten T dólares a un tipo anual de interés < y el interés se compone 5 veces por año, el saldo F (>) pasado > años será: 5> F (>) œ T ˆ1 + 5r ‰ dólares. Cuando crece la frecuencia con lo que es compuesto el interés, el correspondiente saldo F (>) también crece. Interés compuesto contínuamente: Si se intervienen T dólares se compone continuamente, el saldo F (>) después de > años será: F ( >) œ

T /< >

dólares

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Ejemplo: Suponga que invierten 3Þ000 dólares a un tipo anual de intéres del 4 %. Calcule el saldo después de 8 años si el intéres se compone. a) Semestralmente. b) Mensulamente. c) Continuamente. Solución: a) F (>) œ 3Þ000 ˆ1 

b) F (>) œ 3Þ000 ˆ 1 

0, 04 ‰2 † 8 2 0, 04 12

‰

œ 4Þ118, 4 dólares.

12 † 8

œ 4Þ129, 2 dólares.

c) F (>) œ 3Þ000 /0,04 † 8 œ 4Þ131, 4 dólares.

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Depreciación Cuando las organizaciones adquieren vehículos, edificios, equipos y otras clases de "bienes", los contadores acostumbran asignar el costo del objeto a lo largo del periódo en que se usa. En el caso de un camión que cueste $10.000 y cuya vida útil sea de 5 años, asignarán 2Þ000 dólares por año como costo de posesión. Se da el nombre de depreciación al costo asignado a un periódo determinado. Los contadores llevan a simismo registros de los principales activos y su valor actual o " en libros". El valor en libros representa la diferencia entre el precio de compra del activo y la cantidad de depreciación asignada, o sea. Valor libro œ costo de compra  depreciación. El valor en libros de un equipo industrial se representa mediante la función exponencial. Z œ 300Þ000(2,5)0,1> Donde Z es el valor libro expresado en dólares y > representa el número de años transcurridos desde la adquisición del equipo. El valor del equipo al cabo de 5 años es: Z œ

0 Ð&Ñ

œ $!!Þ!!!Ð#ß &Ñ!ß"† Ð&Ñ œ $!!Þ!!!Ð#ß &Ñ!ß& " œ $!!Þ!!! Ð#ß &Ñ!ß& $!!Þ!!! œ "ß &) œ $ 189Þ873,42

¿Cuál era el valor del equipo cuando se compró?.¿Y cuál era al cabo de 10 años?¿De 20 años?. Respuestas. $300Þ000, $120Þ000, $48Þ000.

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Ejercicios Propuestos 1) Suponga que se convierten 1Þ200 dólares a un tipo anual de interés del 3,2 %. Calcule el saldo después de 5 años si el interés se compone: a) Mensualmente. b) Contínuamente. 2) Una cierta maquinaria industrial se deprecia de forma que su valor pasado > años viene dado por: U(>) œ U / 0, 03> a) Después de 20 años la maquinaria tiene un valor de 9000 dólares. ¿Cuál era valor original ? b) ¿Cuál será su valor pasado 3 años? c) Establezca una gráfica.

su

3) El ritmo al que un empleado medio de correo puede clasificar cartas después de > meses en el trabajo está dada por: G (>) œ 420  120 e 0, 4 > carta por hora . a) Esboce una gráfica. b) Estime número de cartas clasificadas pasado 4 meses. c) Si el numero de cartas clasificadas a 300 por hora.¿Cuánta antigüedad tiene en el trabajo?. Respuestas 1) a) 1Þ407, 9 dólares. b) 1Þ408, 2 dólares. 2) a) 16Þ400 dólares. b) 14Þ988 dólares. 3)

b) 395, 77cartas.

c)0 mes de antigüedad.

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Módulo

E1 _________________________________ Interpretar mediante la gráfica el dominio y recorrido de una función logarítmica. _________________________________

_________________________________________________________ Función Logarítmica

Existen etapas del proceso productivo de la empresa que gráficamente se modelan como una función logarítmica, como por ejemplo el ciclo de prensado -

Identificar una función logarítmica. Definir función logarítmica Graficar la función logarítmica. Interpretar gráfica de una función logarítmica.

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Ê Función Logarítmica Definición: La función C œ + B define la variable "C " en función de "B" esta ecuación también puede determinar a "B" como una función de " C " lo que se denota por B œ + C , a esta nueva función se le dará el nombre de función logarítmica en base " + " lo que se denota por: C œ 691 + B si y sólo si B œ + C

, +>0 ; + Á 1

Es importante recordar que C œ 691 + B y la expresión B œ + C describen la misma función. Puesto que el dominio de una función exponencial incluye a todos los números reales y su recorrido es el conjunto de los números reales positivos, el dominio de una función logarítmica en el conjunto de todos los reales positivos y su recorrido el conjunto de todos los números reales. Ejemplo : Determine gráficamente de C œ 691$ B que es equivalente a B œ $C Idea gráfica

En general, independiente de la base (+ > 0 , + Á 1) la función C œ 691+ B siempre por el punto (1, 0).

Propiedades de la función Logarítmica. Sea , > 0,

, Á 2,

Q > 0,

R >0.

1) 691 , , B œ B

88

pasa


2) 691, Q R œ 691, Q  691, R 3) 691,

Q R

œ 691, Q  691, R

4) 691, Q T œ : 691, Q 5) 691, Q œ 691, R , si y solo si , Q œ R 6) 691 , 1 œ 0 Logarítmo Natural Si nos encontramos con la forma exponencial B œ / C , es natural que deseemos resolver la ecuación para C, lo que equivale a: C œ 691 / B a la expresión "691 / " la denominaremos "Logarítmo natural de ÞÞÞ", en nuestro caso logarítmo natural de Bß lo que se denota por: C œ 68 B

si y sólo si

B œ /C

Las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son inversa entre sí. Como tales, la una contribuye en la solución de la otra. Puesto que 68 B significa la potencia a la que debe elevarse " / " para obtener B, se concluye que: 1) /68 + œ +

;

/68B œ B

2) 68 / œ "

;

68 / + œ +

; ;

/ 6 8 0 ÐBÑ œ 0 ÐBÑ 6 8 /0 ÐBÑ œ 0 (B)

89


Módulo

E2 _________________________ Resolver problemas de aplicación de funciones logarítmicas _________________________

_________________________________________________________ Aplicación función logarítmica

Si deseas solicitar un crédito al banco, y quieres saber por ejemplo en cuanto tiempo vas a pagar una determinada deuda, aplicando funciones logarítmicas, puedes resolver este conflicto. Además si un proceso se comporta en forma exponencial y deseas saber la taza de crecimiento, los logarítmicos te ayudaran. Aplicar propiedades de la función logarítmica. Resolver mediante función logarítmica problemas de situaciones cotidianas de los operadores de planta

90


Ê Aplicaciones de Logarítmo Natural Ejemplo: La población del mundo está creciendo a un ritmo aproximado del 3% anualß reponiendo el modelo T (>) œ T! /0,03 > donde > es el tiempo en años. ¿ Cuánto tardará la población mundial en duplicarse?. Solución: T (>) œ T! /0,03 > 2T! œ T! /0,03 > 2

œ e0,03 > Î 68

6 8 2 œ 0, 03 > 68 / 68 2 œ 0, 03 > 682 œ > 0, 03

Ê > œ 23, 1 años.

Ejemplo: ¿Cuántos años > demorará una suma de dinero T para triplicarse a un interés compuesto del 8 %, anual. Solución: A œ T (1  0,08) > 3T

œ T (1  0,08) >

3

œ (1  0,08)> Î6 8

68 3

œ > 6 8 1,08.

68 3 œ > 6 8 1, 08 > œ 14 años . Ejemplo : El fermento de un cultivo aumenta de 5 gramos a 12 gramos despúes de 9 horas. Halle la razón de crecimiento <. Solución: 12 œ 5 /9 < 2, 4 œ /9 < Î 6 8 6 8 2, 4 œ 9 < 91


6 8 2, 4 œ< 9 0,09 œ <

< œ 9 %.

Ejemplo : Las moscas de árboles frutales crecen a razón de 5, 8% al día.¿Cuánto demorará la población en llegar a ser cuatro veces su tamaño actual?. Solución : T (>) œ T! /0, 058 4P! œ P! /0, 058T 4

œ / 0,058

68 4 œD 0, 058 D œ 24 dias.

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Módulo

E3 _________________________ Resolver problemas mediante funciones compuestas. _________________________

_________________________________________________________ función Compuesta

Supuesto que conocemos el nivel de contaminación de la empresa en función de la producción, además sabemos que la producción depende del tiempo, la función compuesta nos permitirá ver como se relaciona la contaminación y el tiempo. -

Definir función compuesta. Resolver ejercicios de función compuesta. Resolver problemas con función compuesta.

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Ê Composición de Funciones. Hay muchas situaciones en las que una cantidad viene dada en función de una variable, la que a su vez puede ser escrita en función de otra. Combinando las funciones de un modo adecuado se puede expresar la cantidad original como una función de la tercera variable. Éste proceso se conoce como composición de funciones. Observación:Comúnmente la notación 0 [ 1(B) ] se denota por ( 0 o 1 )(B) a condición de que V/- 0 © H97 0 . Ê Aplicaciones de la Compuesta. Ejemplo À Un estudio ambiental sugiere que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será GÐ:Ñ œ 0, 7:  3 partes por millón cuando la población sea : miles . Se estima que dentro de > años la población será : (> ) œ 8  0, 2 >2 miles. a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire en función del tiempo. G (:) œ 0, 7:  $ : (>) œ 8  0, 2 > 2 G [ :(>) ] œ 0, 7 [ 8  0, 2 > 2 ]  3 G [ :( >) ] œ 0,14 > 2  8,6 b) Nivel de monóxido transcurrido 5 años. G [ :(5) ] œ 0, 14 † 0, 25  8, 6 G [ :(5) ] œ 12, 1 partes por millón Ejemplo À Una empresa determina que la función de la demanda para " B " artículos viene dada por B( :) œ 4800  20: donde " : " es el precio de venta (dólares). A su vez los costos totales vienen definidos por G (B) œ 6000  30B en dólares. a) ¿Qué cantidad de artículos se habían vendido para un precio de 4,2 dólares ?. Resp : B (4, 2) œ 471 dólares . b) ¿ Cuál es el costo para x artículos vendidos a 5, 8 dólares? G [B (:) Ó œ 6000  30 (4.800  20:) G [ B( 5, 8) ] œ 146.520 dólares. Ejercicios Propuestos. ") La función demanda " B " de un producto en término de su precio " : " viene dado por B œ 9000  20 :Þ La función costo totales viene dado por G œ 12000  30BÞ

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Determine: a) b) c) d) e)

Función ingreso total. Estime el ingreso para 12 artículos vendidos. Función utilidad. ¿Cuánta utilidad genera la venta de 48 artículos? . Estime costo para una producción de 36 artículos .

#) Un estudio ambiental de una cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel medio diario de monóxido de carbóno en el aire será G (:) œ 0ß 8:  3 partes por millón cuando la población sea : miles. Se estima que dentro de siete años la población de la comunidad será: :(>) œ 8  0,2> 2 miles. Exprese el nivel de monóxido de carbono en función del tiempo y estime su valor cuando han transcurrido siete años. $) En cierta industria el costo total de fabricación durante el proceso diario de producción es de G (; ) œ ; 2  2;  400 dolares. En un día típico de trabajo, se fabrican ; (>) œ 30> unidades durante la primera > horas del procesos de producción. Exprese el costo total en función de > y estime ¿cuánto habrá sido gastado en producción al final de la tercera hora?. %) Un importador de arroz estima que los consumidores locales comprarán 1280 aproximadamente H(:) œ miles de kilos por mes, cuando el precio sea de : :2 dólares. Se estima que dentro de > semanas el precio del arroz será :(>) œ 0,3>2  1,2>  16 dolares por miles de kilos . a) b) c) d)

")

Exprese la demanda de consumo de en función de > . ¿Cuántos miles de kilos de arroz comprarán cuando el precio sea de 1, 2 dolares? ¿ Cuál será el precio del kilo de arroz en la tercera semana ? ¿ Cuál será la demanda a la quinta semana ? Respuestas

a) b) c) d) e)

#)

B2 20 V (12) œ 5.392, 8 pesos .  x2 T (B) œ  420B  12.000 20 T (48) œ 8.044, 0 pesos . G (36) œ 13.080 pesos. V(B) œ 450 B 

G ( >) œ 0, 16 >2  9, 4 G (7) œ 17, 24 partes por millón

95


$)

G (>) œ 900t2 + 60 t + 400 G (3) œ 8.680 dolares .

%Ñ

a) H( >) œ

[ 0, 3

>2

1.280 .  1, 2 >  16 ] 2

b) H(1,2) œ 889 miles de kilos c) :(3) œ 22, 3 dolares d)H(5) œ 1, 4 miles de Kilos.

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Módulo

F1 _________________________ Resolver ecuaciones lineales _________________________

_________________________________________________________ Ecuaciones Lineales

Tu debes poder sumar o restar productos de un mismo tipo, para luego, determinar con exactitud lo que vas a necesitar. -

Definir ecuación lineal Reducir términos semejantes. Resolver ecuaciones lineales.

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Ideas Básicas de Álgebra A continuación se indican tres ideas básicas del álgebra y las reglas para manejar las relaciones ("ecuaciones") que implican cantidades desconocidas, cuyos valores está intentando hallar. En la mayoría de los cálculos intentamos encontrar un número. Por ejemplo, el área de un terreno rectangular de 25 metros de longitud y 40 metros de anchura (o yardas o pies) es 25 † 40 œ 1000 7# Hasta que llevemos a cabo la multiplicación, podemos representar la respuesta por alguna letra, normalmente la B, y escribir 25 † 40 œ B Podemos decir que "B simboliza una cantidad desconocida". La idea fundamental del álgebra es muy simple: La cantidad desconocida B es un número como cualquier otro. Se puede sumar, restar, multiplicar o dividir de la misma forma que los números comunes. A la relación matemática que implica a números conocidos (como 25 ó 40) y a desconocidos (como B) se la conoce como una ecuación. A veces no tenemos B de una forma tan clara como anteriormente, sino que está dentro de alguna expresión complicada. Par obtener una solución, deberemos reemplazar la susodicha ecuación (o ecuaciones) por otras que contengan la misma información pero de forma más clara. El objetivo final es aislar la incógnita, para que parezca aparte, para proporcionar a la ecuación la entedicha fórmula, a saber B œ (expresión conteniendo solo números conocidos) Una vez alcanzado esto, el número que representa la B puede calcularse rápidamente. Por ejemplo: "¿Cual es el número que si lo dobla, luego le suma 5 y luego divide esa suma por 3, obtiene 3?" Llame a ese número B. La declaración hecha mediante palabras puede también escribirse por medio de una ecuación: Ð#B  &Ñ œ$ $ El paréntesis encierra las cantidades que se manejan como un número único, y 2B significa "2 veces B". En álgebra, los símbolos (o paréntesis) colocados junto a otros se sobreentiende que están multiplicados. Si sigue esta regla, nunca se confundirá por la similitud entre la letra B y el signo de la multiplicación. 98


Una segunda idea fundamental en álgebra es: Si tiene una ecuación y modifica ambos lados de la misma exactamente igual, lo que obtiene también es una ecuación válida. Puede sumar, restar, multiplicar o dividir cualquier número que desee; si lo hace de forma igual en ambos lados de la igualdad, el resultado sigue siendo válido. Asimismo la nueva ecuación sigue conteniendo la misma ecuación que antes. (Pero no multiplique ambos lados por 0 y obtenga ! œ !; el resultado es correcto, pero toda su información se ha desvanecido en el aire.) Por ejemplo, la ecuación dada anteriormente: Ð#B  &Ñ œ$ $ Multiplique ambos lados por 3: Ð#B  &Ñ œ * Reste 5 en ambos lados: #B œ *  & œ % Divida ambos lados por 2: Bœ

% œ# #

Se obtiene el resultado, B œ #. Las reglas anteriores, más el objetivo básico de "aislar el número desconocido", Te dará buenos resultados. Frecuentemente se salta un último paso, pero no se debe hacer. Para estar seguro de que no ha cometido un error por el camino, tome la ecuación original Ð#B  &Ñ œ$ $ y reemplace en ella la cantidad desconocida B por el valor que ha calculado, en este caso el número 2, y compruebe si los dos lados son iguales. Si lo son, puede estar seguro de que su respuesta es correcta. Relata una situación simple que se pueda plantear como una ecuación

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Ecuación de Primer Grado o Lineal Definición: Cuando 0 ÐBÑ œ 0, para algún valor del dominio, la expresión + B  , œ ! se denomina " Ecuación de primer grado o Lineal ". El conjunto solución de una ecuación son los valores que sustituidos en la ecuación, la transforman en una igualdad, a dichos valores se les denomina "raíces o soluciones " de la ecuación. Ejemplo:

La ecuación 2 B  3 œ 0 tiene por raíz B œ 

ecuación la hace verdadera Þ

3 pues sustituida en la 2

Resolución de una Ecuación Lineal Las siguientes propiedades de la igualdad son fundamentales para el proceso de resolver ecuaciones. Sean +, ,, - números reales, entonces: a) Si + œ , , se cumple +  - œ ,  b) Si + œ , , se cumple +  - œ ,  c) Si + œ , , se cumple + † - œ , † + , d) Si + œ , , se cumple œ , - Á 0 -

(Propiedad Aditiva) (Propiedad Sustracción) (Propiedad Multiplicación) (Propiedad División )

Observación: En una ecuación de la forma + B  , œ ! tenemos: , i) Si + Á 0 la solución es unica B œ  + ii) Si + œ ! , , œ ! existen infinitas soluciones. iii) Si + œ ! , , œ ! No tiene solución. Si la ecuación original se modifica mediante el uso de cualquiera de las propiedades anteriores se obtendra una ecuación equivalente. Ejemplo: 5B  2 œ 8 / +2 5B œ 8  2 5B œ 10 /5 Bœ 2 Ejemplo:

7B  3 œ 5B  4 /  5 2B  3 œ 4 /  3 2B œ 7 / 2 7 Bœ 2

100


Ejemplo:

Resuelva 8B  3 (5  2B ) 8B  15  6B œ 14B  15 œ 11B  15 œ 11B œ

œ 3(B  1)  3 3B  3  3 3B /  3B 0 /  15 15 /:11 15 œ 11

B Ejemplo:

Resuelva

Ejemplo : Resuelva

B  1 B  3 4 4( B  1 )  3B 4B  4  3B B 4 B B 3 B 2

( B 3)(B 5) B2  5B  3B  15 B2  2B  15 2B  15 B Ejemplo: Resuelva

œ œ œ œ œ œ

" / † 12 # 6 6 6 2 B 1 B 5

œ ( B  1 ) (B  2 ) œ B 2  2B  B  2 œ B2  B  2 /  B œ B 2 œ 14

2 8 4B  3  œ (B 1) (B 1) (B2  1) 2(B 1) 8(B") 2B  2  8B  8  6B  10 7 7  10

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œ œ œ œ

4B 3 4B  3 4B  3 10B

œB


Módulo

F2 _________________________________ Aplicar ecuaciones lineales en la resolución de problemas del operador de planta _________________________________

_________________________________________________________ Aplicación ecuaciones lineales

Cada vez que recibes tu sueldo, has de distribuirlo en diferentes tareas, donde la suma de ellos ha de ser igual al sueldo que tienes. -

Identificar una función lineal Aplicar ecuaciones lineales para resolver problemas

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Ê Aplicaciones de Ecuaciones Lineales Para resolver problemas verbales, puede dejarse llevar por los siguientes guías: ì Leer el problema cuidadosamente para determinar exactamente lo que se está buscando. ì Asignar variables a las cantidades que se desea encontrar. Usualmente se utilizan las variables B y 8. ì Utilizar los datos dados para establecer una ecuación involviendo las variables de los valores desconocidos. ì Resolver la ecuación y cotejar la respuesta. Ejercicios: 1)Un estudiante tiene calificaciones de 64y 78, en sus exámenes. ¿Qué calificación debe alcanzar en la tercera prueba para obtener un promedio de 80? Solución Regla 1. Lea el problema cuando menos una vez más. Regla 2. La cantidad desconocida es la calificación de la tercera prueba, de modo que se define :B œ calificación en la tercera prueba. Regla 3. Para este problema no es necesario un esquema o croquis. Regla 4. (a) Lo que se conoce son las calificaciones de 64y 78 en los dos primeros exámenes. (b) Una relación en la que interviene B es el promedio de las calificaciones '%  ()  B 64, 78 y B. Así À calificación promedio . $ Regla 5. Como la calificación promedio en la regla 4 debe ser 80, entonces '%  ()  B œ )! $ Regla 6. Resuelva la ecuación formulada en la regla 5: '%  ()  B œ )! † $ "%#  B œ #%! B œ *) Regla 7. Comprobación: Si las tres calificaciones son 64, 78 y 98, entonces su '%  ()  *) promedio es œ )! es lo que se deseaba. $ 2) Se dispone de dos clases de café. ¿Cuántos kilogramos se han mezclado de cada clase, a razón de 105 y 125 pesetas el kilogramo, respectivamente, para obtener otra de 120 pesetas el Kilogramo, si de la clase mejor se han tomado 20 Kg. Más que de la otra?. Solución: Kg. empleados de 105 pesetas: B Kg. empleados de 125 pesetas: B  #! "!&B  "#&ÐB  #! œ "#!Ð#B  #!Ñ B œ ÞÞÞ

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$ÑUn tren que marcha a 90 Km./h pasa por la estación A en el mismo instante en que otro tren, que va a 70 km./h, pasa por la estación B. Ambos van en el mismo sentido. ¿Cuánto tiempo tardaran en encontrarse si B dista de A 80 km.? ¿A que distancia de B lo harán? Solución: El tiempo de ambos es 4 h Se encontraran a 280 Km. de B %ÑUn numero se multiplica por 3. El resultado se divide por 4 y luego se le resta 5. Este nuevo resultado se multiplica por 10, obteniéndose así la cuarta parte del numero aumentada en 37. ¿Cuál es el numero? Solución: B œ "# &ÑCalcula los ángulos de un triángulo sabiendo que es la mitad del otro y que el tercero es la cuarta parte de la suma de los dos primeros. Solución: B œ %)° C œ *'º D œ $'º Otro Ejemplo: Empleando la depreciación lineal o de linea recta, una firma calcula el valor actual " C" de una máquina después de "B" años en : C = 30.000  2%00 B a) Hallar el valor actual de la máquina Al inicio B œ 0 luego ; C œ 30.000  2400 † 0 C œ 30.000 b)

El valor después de 5 años B œ 5, luego ; C œ 30.000  2.400 † & C œ 18.000

c)

El valor de salvamento después de 9 años C œ 30.000  2400 † 9 C œ 8.400

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Módulo

G1 _________________________ Resolver y graficar sistemas de ecuaciones lineales. _________________________

_________________________________________________________ Sistema de Ecuaciones Lineales

Tu puedes emplear la gráfica de un sistema de ecuaciones para ver en forma más nítida que sucede a la vez con dos procesos productivos que se comportan en forma lineal. -

Resolver sistemas de ecuaciones Graficar sistemas de ecuaciones lineales

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Ê Sistema de Ecuaciones Lineales. Soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Cada una de ellas está formada por una pareja de valores (Bß C ), que gráficamente representa las coordenadas de un punto en el plano. Al dibujar esos infinitos puntos en un sistema de ejes coordenados, se obtiene una recta. Dos ecuaciones que tengan las mismas dos variables se puede resolver de una manera gráfica o algebraica. Una forma de resolver algebraicamente un sistema es expresar las ecuaciones en la forma intersecto - pendiente. Igualando ambas expresiones se despeja la variable B, la que finalmente determina C sustituyéndola en cualquera de las ecuaciones intersecto - pendiente. Ejemplo : Resuelva algebraicamente 2B  C œ 10 6B  4C œ 16 i)

Forma intersecto - pendiente C œ 2B  10 C œ 1,5B  4

ii)

Igualando :  2B  10 14 %

iii)

(1) (2)

œ 1,5 B  4 œ 3,5 B œ B

Reemplazando B en (1) ó (2) se tiene : C œ  2 † 4  10 Cœ 2

Luego el punto de intersección de ambas rectas es (4,2). Para resolver el sistema anterior se grafican ambas ecuaciones en el mismo plano y se determina el plano donde se cruzan ambas rectas. En el ejemplo anterior :C œ  2B  B œ 0 C œ 10 10 œ Cœ 0 Bœ 5

C œ 1,5 B  4

Bœ0 Cœ  4 œ C œ 0 B œ 2,7

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Ê Idea gráfica :

Ejemplo :

Dadas las ecuaciones de costo e ingreso para una industria definidos por : G œ 5B  120 V œ 8B Determine algebraicamente y gráficamente el punto de equilibrio : a) Algebraicamente: V œG 8B œ 5B  120 B œ 40 Para una producción de 40 artículos la utilidad es nula. b) Gráficamente : C œ 5 B  120 C œ )B Bœ! Ê C œ 120 Bœ 0 Ê Cœ 0 Cœ 0 Ê B œ  24 Bœ 6 Ê C œ 48 Punto de equilibrio B œ 40 unidades.

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Módulo

G2 ___________________________ Resolver problemas de la vida real mediante ecuaciones lineales. ___________________________

_________________________________________________________ Aplicación sistema de ecuaciones

Tu vas a emplear los sistemas de ecuaciones cuando desees saber por ejemplo que número de toneladas de producción permiten que el ingreso y el costo de la empresa sean iguales. Identificar ecuaciones lineales Aplicar la resolución de sistemas de ecuaciones a situaciones reales de un operador

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Ê Identificar ecuaciones lineales Una ecuación lineal es aquella de la forma C œ 7B  8 donde 7 es la pendiente, 8 es el coeficiente de posición, debes recordar además que dependiendo de la pendiente, será la posición que adoptará la recta. Todo proceso que se comporte linealmente, tendrá que satisfacer una ecuación con estas características Ê Problemas de aplicación . Un entrenador de tenis compra comida para su equipo en un restaurante. Ordena ocho hamburguesas y cinco porciones de papas a un costo de $4Þ750. Como algunos de los jugadores quedan con hambre, el entrenador compra seis hamburguesas más y otras dos porciones de papas por $3Þ300. ¿Cuál es el precio de una hamburguesa y de una porción de papas? El planteamiento del problema puede hacerse mediante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Cada compra se expresa como una ecuación lineal con incógnitas B e C, donde B representa el precio de una hamburguesa e C representa el precio de una porción de papas: )B  &C œ %Þ(&! 'B  #C œ $Þ$!! Resuelva el sistema por el método que más le agrade, sus resultados debes ser B œ &!! e C œ "&! Resuelva los problemas 1) Dadas las ecuaciones de oferta y demanda : ; œ 2500:  8000 ; œ  4000:  18.000 Halle el precio de equilibrio y cantidad en forma algebraica y gráficamente. 2) Dada las ecuaciones Ingreso total y costos totales. Indique punto de equilibrio y explique el significado gráficamente y algebraicamente V œ 75B

G œ 50B + 150

3) Dadas las ecuaciones V œ 40B y G œ 30B  120, ingresos y costos totales de una fábrica, determine punto de equilibrio, algebraicamente y gráficamente.

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4) Los costos marginales de una empresa ascienden a U$ 20 y los costos fijos a U$800. Si el precio de venta por cada unidad será de U$ 32 . Determine gráfica y analíticamente el punto de equilibrio para dicha empresa.

Respuestas 1) : = 4

;

; = 2000

2) Punto de equilibrio B = 5 unidades. 3) B œ 12 unidades. 4) B œ 66,6 unidades

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Autoevaluación de la Unidad 1.- Se tiene los siguientes puntos que pertenecen a una recta: (-2, -1); (6,-5) a) b) c)

Calcular la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos dados. Graficar la recta indicando los puntos de intersección a los ejes. Indicar el valor de "y" si "x" es igual - 5. Graficar este punto.

Res: a) C œ 

B #

 #à -Ñ C œ

" #

3.- El crecimiento de un cultivo de microorganismos esta dado por la función: P3 œ #!!!/!ß!!$ >

> À años. P3À Población en el año i.

a) Indicar la población inicial. b) Indicar la población en el tercer año. c) En cuantos años se tendrá 8.000 microorganismos. d) Cuantos años pasaran para que la población se triplique. Resp.: a) T! œ #Þ!!! Hab. œ $'ß ' años.

b) T$ œ #Þ")) Hab.

-Ñ > œ %'ß # años.

.Ñ >

4.- Considerando que las ventas, de la empresa ABC, tienen una tendencia lineal. Se sabe que para año 2000 las ventas fueron de 8.000 unidades y para el 2001, de 10.000 unidades. a) Indicar cual será el nivel de venta para el año 2002. b) Graficar la función indicando la ecuación de la función. Res.: a) 12.000 unidades.

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Módulo

G3 _________________________ Resolver y graficar sistemas de inecuaciones lineales. _________________________

_________________________________________________________ Sistema de Inecuaciones

Tú puedes emplear la grafica de un sistema de inecuaciones para ver en forma mas clara la región de confianza en la combinación de dos productos diferentes Resolver sistemas de inecuaciones Graficar indicando zona de confianza.

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Relaciones de Orden en ‘. Dados + y , números reales se cumple una y sólo una de las siguientes alternativas: i) +  , ; " + mayor que , " ii) +  , ; " + menor que , " iii) + œ , ; " + es igual que , " Otras desigualdades son :

+ , ; " + mayor o igual que , " + Ÿ , ; " a menor o igual que , "

Propiedades de las Desigualdades. 1) Si +  , ,

entonces

2) Si + Ÿ , , entonces

+, 0 + , ó + œ,

3) Si + Ÿ , , -  0 , entonces + † - Ÿ , † 4) Si + Ÿ , , -  0 , entonces + † - , † 5) Si + Ÿ , y , Ÿ - , entonces + Ÿ 6) Si + † , 0 ,entonces ( + 0 • , 0 ) o ( + Ÿ 0 • , Ÿ 0) 7) Si

+ 0 , entonces ( + 0 • ,  0) o ( + Ÿ 0 • ,  0) ,

8) Si + † , Ÿ 0 ,entonces( + 0 • , Ÿ 0 ) o( + Ÿ 0 • , 0 ) 9) Si

+ Ÿ 0, entonces ( + 0 • b  0) o ( + Ÿ 0 • ,  0) ,

Desigualdad Absoluta : Es válida para todo número real. Ejemplo : B2  1  0 Esta desigualdad es válida para todo número real .

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Desigualdad Condicional o Inecuación Lineal. Es la que es válida solo para ciertos valores ,Ej : B  3 es una inecuación pués es válida para B . El conjunto de valores que hacen verdadero una inecuación se denomina conjunto solución y a diferencia de una ecuación, este conjunto es Infinito. Ejemplo : B 3 œ 2 B † 3 2

Solución : B œ  1 Solución : B   1

Inecuaciones de primer grado en una variable. La solución de una inecuación en una variable, consiste en todos los valores de B para los cuales la inecuación es verdadera. Estos valores pertenecen a uno o más intervalos de la recta real. Intervalos : Dados + y , − ‘ con +  , a)’ +, , “ œ š B Î + Ÿ B Ÿ , › b)“ +, , “ œ š B Î +  B Ÿ , › c)’ +, , ’ œ š B Î + Ÿ B  , › d) “ +, , ’ œ š B Î +  B  , ›

Ejemplo : Solución :

Resuelva 3B  2 Ÿ 1 3B Ÿ 3 B Ÿ1

Graficando:

114


Intervalo Solución: “  _ , 1 “ Ejemplo :

Resuelva :

Solución:

3B B  7   1 Î‡ 6 2 3 9B  42  2B  6 7B  36 36 B  7

Intervalo Solución: “ 36 7 ,+_ ’ Ejemplo

:

( B  3 )2  7  2B  B ( B  5 )  6 B2  6B  9  7 + 2B  B2 + 5B  6  4B  2  5B  6  9 B   8 Î‡  1 9B  8 8 B  9

Intervalo Solución: “

Valor Absoluto.

8 9

, +_ ’

Es frecuente en el cálculo operar con desigualdades. Son de particular importancia las que se relacionan con la noción de " valor absoluto " . Si B es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo designado por k B k, es que se define por :

Ejemplo :

a) k  5 k

b) ¸

7 3

¸

c) k  0,6 k

B ; kBk œ œ B ;

B 0 B 0

œ  ( 5)œ 5 7 œ 3 œ  (  0,6 ) œ 0,6

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Inecuaciones de primer grado con dos variables Resolver una inecuación presentada en 2 variables significa determinar todos los puntos del plano que hacen verdadera la desigualdad presente; estos puntos al representarlos gráficamente conforman un " semiplano " cuya frontera natural corresponde a la recta asociada a la inecuación. Esta recta se incluye al conjunto solución si la desigualdad presente es " " o " Ÿ ", de lo contrario se dibuja con linea discontinua para dividir el plano. Ejemplo: Sea

2B  C Ÿ 1

Para encontrar el intervalo solución tomanos como referencia la cordenada (0,0). Luego verificamos si satisface la inecuación: #B  C Ÿ " #Ð!Ñ  ! Ÿ " ! Ÿ" Se satisface la inecuación, por lo tanto como este punto pertenece al conjunto solución, todos los puntos que estan a la izquerda de la recta de ecuación 2x+y = 1

116


S = Ö (B , C ) Î 2 B  C Ÿ 1× Observación: El conjunto solución es infinito. En resumen, la gráfica de una desigualdad lineal en 2 variables de la forma + B  ,C  - o bien + B  , C  - con , Á 0, es el semiplano inferior o superior (pero no ambos ), determinado por la recta + B  , C œ Observación: El semiplano generalmente puede ser determinado por un punto de referencia que no pertenezca a la recta. ( generalmente el origen (0, 0)).Si , œ 0, la gráfica de + B  - o bien + B > - es el semiplano izquierdo o derecho ( pero no ambos), según pueda ser determinado por la recta + B œ Ejemplo : Construya la gráfica de B  4; recta asociada B = 4

117


Ê Sistema de Inecuaciones con una Variable. Dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita pueden formar un sistema de inecuaciones. Resolver un sistema consiste en determinar el conjunto de soluciones comunes a todas las inecuaciones que lo forman. Un procedimiento de resolución es resolver independientemente cada inecuación, luego se establece el conjunto intersección de los conjuntos solución de cada inecuación. Ejemplo : 3B  2  5 B 6 Ÿ 8 1) 3B  2   5 3B   3 B   1

2) B  6 Ÿ 8 B Ÿ2

Solución 1 : Ö B − ‘ Î B   1 × Solución 2 : { B − ‘ Î B Ÿ 2 } Solución : S1  S2 Solución : Ö B − ‘ /  1  B Ÿ 2 × Ejemplo : 12B  1 5  2B 4B  3

 

11 1 3B  1

1) 12B  1 11 B 1

2) 5  2B Ÿ 1 B 2

Solución 1 : Ö B − ‘ Î B  1 × Solución 2 : Ö B − ‘ Î B

2×

Solución 3 : Ö B − ‘ Î B  4 × Solución : S1  S2  S3 Solución : Ö B − ‘ Î 2 Ÿ B  4 ×

118

3) 4B  3  3B  1 B 4


Ê Sistema de Inecuaciones en 2 variables. Solucionar un sistema de inecuaciones de primer grado en dos variables equivale a determinar la intersección de los semiplanos que satisfacen a ambas inecuaciones : Ejemplo : 5  2B 4C  1

Ÿ 

3C B

Ê

 2B  3C B 4



5 1

Ê

B

C " % !

2B  3C  B  4C

Rectas asociadas À Cœ

 2B  5 3 B ! & #

Cœ

B  1 4

C & $

! "

!

S œ ˜ ( B ß C )Î 2B  3C Ÿ 5 •  B  4 C  1 ×

119

Ÿ 

5 1


Módulo

G4 _______________________________________ Resolver problemas de optimización mediante sistemas de inecuaciones lineales (1 y 2 variables) ________________________________________

_________________________________________________________ Optimización

Dados los requerimientos de una empresa te encontraras con que además existen restricciones como por ejemplo la cantidad de recursos humanos y físicos, lo que generará la búsqueda de la mejor mezcla sin perder de vista las limitaciones, es aquí en donde los sistemas de inecuaciones nos facilitan la decisión. -

Identificar restricciones, Identificar función objetivo Resolver problemas de optimización en forma gráfica y analítica.

120


Ê Elementos de Optimización. Una de las principales aplicaciones de los sistemas de Inecuaciones en 2 variables dice relación con " Programación Lineal ", en donde, el objetivo principal es la maximización o minimización de una función objetivo, la que depende de dos o más variables. Dichas variables suelen estar relacionadas entre sí por una o varias restricciones (Desigualdades). La función objetivo ( maximizar o minimizar ) para nuestro estudio queda definida por la función lineal de la forma : ^ œ + B  , C  - D  ... con

B ß C ß D ( número de productos, máquinas, etc )

Observación : Normalmente además de las restricciones, específicas de cada problema suele ser preciso, añadir que las variables sean positivas ( Bß C ß D ...  0 ) Ê Restricciones 1) Restricciones estructurales 2) Restricciones de no negatividad, una para cada variable de decisión. Las restricciones estructurales reflejan factores como la limitación de recursos y otras condiciones que impone la situación del problema. Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable de decisión sea negativa. Ê Función Objetivo El modelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar una función objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones: En problemas de optimización, debe ubicarse las variables que el modelo matemático debe maximizar ó minimizar, entonces el primer paso es determinar las VARIABLES DE DESICIÓN del modelo. Es fundamental este primer paso porque de este depende la correcta descripción de la funcion objetivo y las restriciones que tenga el modelo. En un modelo matemático que pueda dar solución a un problema de obtener el maximo de ganacias económicas, diciendo cuantos productos vender de cada tipo, resulta ser atractivo para quien lo utiliza, lo fundamental es llegar ha obtener dicho modelo, lo que en algunos casos es complejo, porque el resolverlos existen métodos gréficos, aplicación de algoritmos matemáticos y software que ayudan a encontrar las soluciones.

121


Ejemplo : Una planta fabrica 2 tipos de lancha una para 2 personas y una para 4 personas. Cada lancha para 2 personas requiere 2,7 horas de trabajo en el departamento de corte y 2,4 horas en el departamento de montaje. Cada lancha para cuatro personas necesita 5,4 horas en el departamento de corte y 3,6 horas en de montaje. El máximo de hora de trabajo cada mes en los departamentos de corte y montaje son 2592 y 2016 respectivamente. La información dada se resume en la siguiente tabla:

lancha (2) lancha (4) Máximo hrs

Departamento corte 2,7 5,4 2592

Departamento Montaje 2,4 3,6 2016

Si cada lancha para 2 personas tiene un valor de 3200 dólares y cada lancha para 4 personas un valor de 5600 dólares ¿ Cuántas lanchas de cada tipo se deben fabricar y vender para que el ingreso sea máximo ? Solución: Variables de Decisión: Sean B : Nº de lanchas para 2 personas C : Nº de lanchas para 4 personas.

i) RESTRICCIONES:

122


Por lo tanto:

2,7 B  5,4 C Ÿ 2.592 2,4 B  3,6 C Ÿ 2.016

Departamento de Corte. Departamento de Montaje.

Restriccones de No Negatividad: Como se tienen que fabricar cierta cantidad de productos de un tipo o de otro o bien a lo menos ninguno de algun producto, por lo tanto estas restricciones obliga a que las variables tomen valores mayores o iguales a cero, quedando de la siguiente forma: B ! C ! ii) FUNCIÓN OBJETIVO Si cada lancha para 2 personas tiene un valor de 3200 dólares y cada lancha para 4 personas un valor de 5600 dólares. Función objetivo a máximizar ^ a Bß C b œ 3.200 B  5.600 C

123


Por lo tanto el modelo de Programación Lineal para este ejemplo queda expresado como:

Para resolver este problema utilizaremos el método gráfico. Ejemplo : Una empresa produce tres tipos de vidrios de alta calidad, incluyendo ventanas y puertas de vidrio. Esta empresa tiene tres fábricas , en la primera se hacen los marcos y molduras de aluminio, los marcos de madera se fabrican en la planta dos y en la planta tres se producen los vidrios y se ensamblan los productos. Los productos que la empresa ofrece son: Producto 1: Una puerta de vidrio de 2 mts. con marco de aluminio. Producto 2: Una ventana de resbalón con marco de madera de 60 x 70 cm. Los requerimientos de tiempo de producción de cada producto son los siguientes para cada fábrica. Tiempo de Producción(hrs/uni) Fabrica 1 2 3

Tiempo de Producción

Producto 1

Producto 2

Disponible a la Semana(hrs)

1 0 3

0 2 2

4 12 18

Además se sabe que se tiene una utilidad de $3.000 y $5.000 por unidad del producto 1 y 2 respectivamente. La empresa desea saber la cantidad de cada producto que debe producir cada semana para obtener mayores utilidades. Formular el modelo de Programación Lineal para este problema Solución: Variable de Decisión: Xi = Cantidad de producto i a fabricar a la semana. i = 1,2 X1 = Producto 1 X2 = Producto 2 Función Objetivo: Max.

Z = 3.000X1 +5.000 X2

124


Restricciones

X1 Ÿ 4 X2 Ÿ 12 3X1 + 2X2 Ÿ 18 X1 ,X2 0

Ê Solución Gráfica Sea el siguiente modelo de programación lineal.

Resolviendo gráficamente el sistema se determina la región de óptima. Recta Asociada : 2,7 B  5,4 C œ 2592

C œ

2,4 B  3,6 C Ÿ 2016

 2,7 B  2592 5,4 B ! *'!

C %)! !

C œ B ! )%!

C &'! !

Idea gráfica :

125

 2,4 B  2016 3,6


Los valores que maxímizan dicha función deben ser extraídos de la región de confianza. Si la región de confianza es acotada, es decir, queda limitada por los ejes coordenados y las rectas asociadas a cada restricción, entonces la función se evalúa en los vértices de la región para determinar los valores máximos o mínimos. En este ejemplo los vértices corresponden a los puntos À (0,0), (0,480), (840,0) y el punto de intersección de las rectas asociadas. Intersección de las rectas: 2,7 B  5,4 C œ 2.592 2,4 B  3,6 C œ 2.016 Por sustitución:

2,7 B  5,4 C œ 2.592 Cœ

#&*#  #ß (B œ 480  0,5B &ß %

Reemplazando en la segunda ecuación: 2,4B  3,6Ð480  0,5BÑ œ 2.016 2.4B  1728  1,8B œ 2.016 0,6B œ 288 B œ 480 Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones B = 480, se puede encontrar CÞ Por lo tanto: C œ 240 Punto de intersección: (480,240)

126


Para encontrar el punto optimo que maximiza la la función objetivo reemplazamos cada punto extremo en la función objetivo. ^ aB , Cb œ 3200 B  5600 C

^ aB , Cb œ 3200 ( 0 )  5600 ( 0 ) œ 0

^ aB, Cb œ 3200 ( 0 )  5600 (480) œ 2.688.000 ^ aB, Cb œ 3200 (840)  5600 (0) œ 2.688.000

^ aB, Cb œ 3200 (480)  5600 (240) œ 2.880.000 Por lo tanto, el máximo ingreso se logra al fabricar 480 lanchas para 2 personas y 240 lanchas para 4 personas.

Ejemplo:

Resuelva el siguiente problema de programación lineal : Función objetivo : 0 (B , C ) œ 20 B  10 C Restricciones :

12B  4 C 4B  8 C B C

Ÿ 72 Ÿ 64 0 0

Cantidad de B e C para minimizar y maximizar la función objetivo. Resolviendo gráficamente el sistema de inecuaciones y determinando la región de óptima acotada se tiene : B C B C ! ") ! ) ' ! "' !

127


Idea gráfica :

Punto intersección : ( 4, 6 ) Evaluación : 0 (Bß C ) œ 20 ( 0 )  10 ( 0 ) œ 0 0 (Bß C ) œ 20 ( 0 )  10 ( 8 ) œ 80 0 (Bß C ) œ 20 ( 6 )  10 ( 0 ) œ 120 0 ÐB ß C ) œ 20 ( 4 )  10 ( 6 ) œ 140 Por lo tanto, la función se minimiza para una producción nula de B e C , y se maximiza para 4 artículos B, y 6 artículos CÞ Ejemplo : Una empresa fabrica dos productos, los cuales deben procesarse en los departamentos 1 y 2 .En la tabla siguiente se resumen las necesidades de horas de trabajo por unidad de cada producto en uno y otro departamento. También se incluyen las capacidades de horas de trabajo semanales en ambos departamentos y los márgenes respectivos de utilidad que se obtienen con los dos productos. El problema consiste en determinar el número de unidades que hay que fabricar de cada producto, con objeto de maximizar la aportación total de costos fijos y a las utilidades.

Departamento 1 Departamento 2 Departamento 3 Solución

Producto E 3 h por unidad 4 h por unidad $5 por unidad

ProductoF 2 h por unidad 6 h por unidad $6 por unidad

Capacidad de trabajo semanal 120 h 260 h

Si se supone que B" y B# son el número de unidades fabricadas y vendidas, respectivamente, de los productos E y F , entonces puede calcularse la aportación a las

128


utilidades totales sumando las contribuciones de ambos productos. La que hace cada uno se obtiene al multiplicar el margen de utilidad por el número de unidades producidas y vendidas. Si D se define como la aportación a los costos y utilidades totales, se tendrá: D œ 5B"  6B# Según la información suministrada en el planteamiento del problema, las únicas restricciones al decidir el número de unidades que deben fabricarse son las capacidades de trabajo semanal en los dos departamentos. Luego tenemos que: 3B"  2B# Ÿ 120 4B"  6B# Ÿ 260

departamento 1 departamento 2

Si bien no hay una expresión formal de tal restricción se sabe implícitamente que B" y B# no pueden ser negativas.Hay que explicar esta clase de restricción en la formulación del modelo. Al combinar la función objetivo y las restricciones, el modelo de programación lineal que representa el problema se formula así: maximice sujeta a

Representación gráfica

D œ 5B"  6B# 3B"  2B# Ÿ 120 4B"  6B# Ÿ 260 B" 0 B# 0

Reemplazando en la función objetivo región que es solución se tiene, para: a) (0,0)

D œ 5B"  6B# los valores que limitan la

Dœ!

129


b) (0, 130 3 )

D œ5† ! '† D œ 260

130 3

c) (20,30)

D œ 5 † #!  6 † 30 œ 280

d) (40,0)

D œ 5 † %!  ' † 0 œ 200

El valor que hace a D máximo es el punto (20,30) lo que nos indica que se han de fabricar 20 unidades del producto B" y 30 unidades del producto B# siendo D œ $280

130


Ejercicios Propuestos 1) Una empresa fabrica 2 tipos de productos, para lo cual un operario trabaja 8 horas. La materia prima para producir dichos productos es de 11 kilos como máximo; Si el operario demora 3 horas en el primer producto y 2 horas en el segundo utilizando 4 kilos de materia prima para el primero y 3 kilos para el segundo. Determine el número de productos a fabricar de cada tipo para obtener el máximo de beneficios sabiendo que los productos sean vendidos a $ 800 y $ 420 respectivamente. 2) Una planta fabrica 2 tipos de botes, un bote para 2 persona y un bote para 4 personas. Cada bote para 2 personas requiere 0,9 horas de trabajo en el departamento de corte y 0,8 horas de trabajo en el departamento de montaje. Cada bote para 4 personas necesita 1,8 horas de trabajo en el departamento de corte y 1,2 horas en departamento de montaje. El máximo de horas de trabajo disponible cada mes en los departamentos de corte y montaje son 864 y 672 respectivamente. Calcule número de botes de cada tipo de bote para obtener el máximo de ingreso, sabiendo que el bote para 2 personas se vende a $160.000 y el de 4 personas en $320.000 3) Un paciente de un hospital necesita que se le administren diariamente por lo menos 84 unidades de medicamentos A y 120 unidades de medicamento B . Cada gramo de la sustancia M contiene 10 unidades de medicamento A y 8 unidades de medicamento B y cada gramo de la sustancia N contiene 2 unidades del medicamento A y 4 unidades del medicamento B ¿ Cuántos gramos de la sustancia M y N se pueden mezclar para cumplir con los requisitos diarios mínimos?. 4) Se desea programar una dieta con dos alimentos A y B .Una unidad del alimento A contiene 500 calorías y 10 gramos de proteínas; una unidad de B contiene 500 calorías y 20 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 3000 calorías y 80 gramos de proteínas. Si el precio de una unidad de A es 8 y de una unidad de B es 12,¿Qué cantidad de unidades de A y B se debe comprar para satisfacer las exigencias de la dieta a un costo mínimo? 5) Una compañía fabrica dos productos. Uno y otro deben ser procesados en dos departamentos. El producto A requiere dos horas por unidad en el departamento 1 y 4 horas por unidad en el departamento 2 . El producto B requiere 3 horas por unidad en el departamento 1 y 2 horas por unidad en el departamento 2. Los departamentos 1 y 2 tienen respectivamente, 60 y 80 horas disponibles a la semana. Los margenes de utilidad de los productos son $3 y $4 por unidad. Formule el modelo de programación lineal para determinar la mezcla de productos que maximice las utilidades totales. Intérprete los resultados que indiquen la mezcla de productos recomendada.¿Qué porcentaje de la capacidad diaria se utilizará en cada departamento?. 6) Una compañía fabrica tres productos: A,B y C. Para producir estos productos se requiere tres tipos de recursos: Servicio técnico, Mano de obra y Administración. La siguiente tabla proporciona los requerimientos de cada uno de estos recursos. 131


Recursos(hrs) Producto

Servicio Técnico

Mano de Obra

Administración

Utilidad ($/uni)

A B C

1 1 1

10 4 5

2 2 6

10 6 4

Disponibilidad de Recursos

100 hrs.

600 hrs

300 hrs.

La empresa necesita un modelo matemático que le ayude a resolver el problema de cuantas unidades producir de cada producto. Formular el modelo de Programación lineal. 7) Una compañía manufacturera descontinuó producción de cierta línea de productos no rentable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerenca quiere dedicar esta capacidada a uno o más productos; llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción. Tipo de Máquina

Tiempo Disponible

(hrs. por semana) Fresadora Torno Rectificadora

500 350 150

El número de horas que se requiere para cada unidad de los productos respectivos es: Tipo de Máquina Fresadora Torno Rectificadora

Producto 1 Hrs/ unid 9 5 3



E l departamento de ventas ha indicado que la demanda total de los productos 1 y 2 no exceden las 50 unidades. Además se sabe que la demanda ala semana del producto 3 es de 20 unidades. Por otro lado el costo unitarios de fabricación de los productos 1, 2 y 3 son de $20, $5 y $ 5. Los ingresos por ventas son de $70, $25 y $30 para el producto 1, 2 y 3 respectivamente. Formule el modelo de programación lineal para este problema.

Respuestas 1) Se deben producir 0 cantidad del primer producto y 132

11 3

del segundo producto


para que la ganancia sea máxima. 2)Para obtener el máximo de ingreso se deben producir 480 botes para 4 personas o 480 botes para 2 personas y 240 botes para 4 personas. 3) Región de confianza limitada por los puntos ( 0 , 42 ) , ( 4, 22 ) y ( 15 , 0 ). 4) El valor mínimo de la función es 56. Corresponde a B œ 4 e C œ #, es decir, a 4 unidades de A y 2 unidades de B. Tales cantidades de A y B proporcionan un total de calorías y proteínas de acuerdo a las exigencias planteadas. 5) D œ 85 cuando B" œ "& y B# œ 10. deben fabricarse 15 unidades del producto A y 10 unidades del producto B. 100% de uso de ambos departamentos. 6)

B3 : Cantidad de producto tipo i a fabricar 3: 1, 2, 3 Max:

D œ "!B"  'B#  %B$

S/a:

B"  B#  B$ Ÿ 100 "!B"  %B#  &B$ Ÿ 600 #B"  #B#  'B$ Ÿ 300 B3 0

7) B3 : Cantidad de producto tipo i a fabricar 3: 1, 2, 3 Max:

D œ &!B"  #!B#  #&B$

S/a:

*B"  $B#  &B$ Ÿ 500 &B"  %B# Ÿ 350 $B"  #B$ Ÿ 150 B"  B# Ÿ 50 B$ 20 B3 0

133


Autoevaluación de la Unidad "Þ  Una compañía posee una pequeña fábrica donde se elaboran dos tipos de pinturas, una para exterior y la otra para interior, en la fabricación de la pintura se utilizan dos materias primas A y B. Los requerimientos diarios por tonelada de producto final se indican en la tabla siguiente: Materia Prima

Pintura Exterior

Pintura Interior

Disponibilidad Diaria

A

1 (ton Pintura/ton M.P.)

0,5(ton Pintura/ton M.P.)

6 (ton M.P./día)

B

0,5 (ton Pintura/ton M.P.)

1 (ton Pintura/ton M.P.)

8 (ton M.P./día)

Utilidad

3.000 ($/unidad)

2.000 ($/unidad)

Un estudio de mercado indica que la demanda diaria de pintura interior no superará la demanda diaria de pintura exterior por más de una tonelada. El estudio indica que la demanda por pintura interior no superará las dos toneladas. Formule el problema y resuélvalo por el método gráfico. Res.: B œ %ß '(à C œ &ß '(ß D œ #&Þ$&!

134


Módulo

H1 ____________________________ Explicar y resolver problemas mediante el teorema de Pitágoras. ____________________________

_________________________________________________________ Teorema de Pitágoras

Tu puedes ver como al construir una casa el trazado se hace ocupándose en que las paredes queden perpendiculares, si aplicamos el teorema de Pitágoras, esto resulta en forma bastante rápida y confiable. -

Explicar el teorema de Pitágoras Resolver problemas con el teorema de Pitágoras.

135


Ê Teorema de Pitágoras Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió alrededor del año 530 a.C., residiendo la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia. De acuerdo con la tradición fue el primero en probar la afirmación (teorema) que hoy lleva su nombre: Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos que +#  , # œ - # Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados + y , debe ser de 90 grados. Por ejemplo, un triángulo con los lados + œ $, , œ %, - œ & (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque +#  , # œ

$#  %# œ - # *  "' œ - # #& œ - #

Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el triángulo (3,4,5) y usarlo (mediante cañas o cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún hoy en día los albañiles usan tableros con clavos con esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina. Teorema de Pitágoras: Sea ABC un triángulo rectángulo en G y sean los lados + y , catetos del triángulo y sea el lado - ( frente al ángulo recto) a quién llamaremos hipotenusa.

Se tiene : c2 = a2 + b 2

136


Ejemplos:

Para cada triángulo rectángulo determine el lado que falta. aÑ

B# B# B# B

œ $#  % # œ *  "' œ #&  È œ &

b)

"$# œ B2  &# "'* œ B2  #& "'*  #& œ B2 "%% œ B2 "# œ B Ejercicios 1)Un albañil apoya una escalera de 5 m contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2m del muro. Calcula a que altura se encuentra la parte superior de la escalera. 2)Los lados de una plaza rectangular mide 48 m y 64m. Si queremos recorrer la máxima distancia sin cambiar de dirección. ¿Cómo lo harías?. Calcula esa distancia. Recordemos que en un triángulo rectángulo se verifican las siguientes relaciones geométricas. 1) !  " œ 90º de donde " = 90º  ! 2) - 2 œ +2  ,2 ( teorema de Pitágoras). 137


Conceptos Previos: 1) Ángulo en posición normal À es todo ángulo cuyo vértice coincide con el origen de un sistema de coordenadas rectangulares en donde el lado inicial coincide con el eje positivo de las X y el lado terminal queda ubicado en algún cuadrante.

2) Medida del ángulo À es un número real que representa cuantas veces debe rotar el lado inicial para coincidir con el lado terminal. Si la rotación es antihorario, el ángulo tiene una medida positiva y si la rotación es en sentido horario, la medida del ángulo es negativa. Para medir ángulos se usan principalmente el sistema sexagesimal y el sistema radian. 3) Un grado sexagesimal À es la medida del ángulo del centro de una circunferencia que " subtiende un arco de longitud $'! de la longitud de la circunferencia.

4) Un radián À es la medida de un ángulo del centro de una circunferencia que subtiende un arco igual al radio de la circunferencia.

138


Relación entre el Sistema Sexagesimal y el Sistema Radián. Dado un ángulo cualquiera este se puede expresar en grados sexagesimal o en radianes; la relación entre dichos sistemas está dada por: 360º = 21 rad Luego:

180º œ 1

!° ! rad

con !º œ ángulo medido en grados; ! rad œ ángulo medido en radianes Ejemplos: 1) 2)

540º œ 31 rad 1 90º œ rad 2

3)

30º œ

4)

120º œ

5) 6)

1 rad 6

21 rad 3 1 60º œ rad 3 1 45º œ rad 4

139


Ejercicios propuestos Transformar a radianes À +Ñ 15°

,Ñ #(!°

-Ñ "$&°

.Ñ $#!°

Transformar a grados À +Ñ

" 1 #

,Ñ

& 1 %

-Ñ

" 1 '

.Ñ

& 1 $ Soluciones

I

+Ñ

1 1 12

3 -Ñ 1 4

3 ,Ñ 1 2 .Ñ

16 1 9

II +Ñ 90º

,Ñ225

-Ñ 30º

.Ñ 300

140


Módulo

H2 _____________________________ Explicar funciones trigonométricas _____________________________

_________________________________________________________ Funciones Trigonométricas

Si por ejemplo deseas calcular la altura de un edificio, conociendo la sombra que proyecta y el ángulo de inclinación desde el suelo al extremo superior del edificio te serán útiles las funciones trigonométricas -

Explicar funciones trigonométricas Aplicar las distintas funciones trigonométricas a situaciones reales.

141


Ê Funciones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo La trigonometría, se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo. Para iniciarnos en éste capítulo primeramente hablaremos de un tipo especial de triángulo, el rectángulo, para luego generalizar con los distintos tipos de triángulos. Definiciones: Seno de un ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. El seno del ángulo se abrevia =/8 así: =/8! œ

+ -

;

=/8" œ

, -

Coseno de un ángulo: Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. El coseno del ángulo se abrevia -9= así: -9= ! œ

, -

;

-9= " œ

+ -

Tangente de un ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. Para un ángulo se abrevia >1 así À + , ; >1 " œ , + Como consecuencia inmediata de éstas definiciones se obtienen las relaciones también llamadas recíprocas. >1 ! œ

Cotangente de un ángulo: Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. Para un ángulo se abrevia -9>1 : -9>1 ! œ

, +

;

-9>1 " œ

+ ,

Secante de un ángulo: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo, la secante del ángulo se abrevia =/- . Para el ángulo ! y " se obtiene respectivamente: =/- ! œ ; =/- " œ , + podemos decir también que : 1 =/- ! œ -9= ! Cosecante de un ángulo: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo. La cosecante del ángulo se abrevia -9=/- . Para el ángulo ! y " se tienen respectivamente: 142


-9=/- ! œ podemos decir también que:

+

;

-9=/- " œ

,

-9=/- ! œ De lo anterior resulta: =/8! œ -9=" -9=! œ =/8" >1 ! œ -9>1 " -9>1 ! œ >1"

1 =/8 !

Pero " = 90  !. Luego, podemos escribir la siguiente conclusión importante: =/8 ! -9= ! >1 ! -9>1 !

œ -9= (90  !) œ =/8 (90  !) œ -9>1 (90  !) œ >1 (90  !)

Nota: La función de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su complemento. Ejemplos : +) -9= 70º œ =/8 20º ,) -9> 25º œ >1 65º -) Los catetos de un triángulo rectángulo en C miden 15 cm y 20cm. funciones de los dos ángulos agudos.

Calcule las

Solución À Primeramente se calcula la hipotenusa - aplicando el teorema de Pitágoras.

143


Luego:

20 cm 4 œ 25 cm 5

=/8! œ

15 cm 3 œ 25 cm 5

-9=! œ >1 ! œ

20 cm 4 œ 15 cm 3

-9>1 ! œ -9=/- ! œ =/- ! œ

=/8"

15 cm 3 œ 20 cm 4 25 cm 5 œ 20 cm 4

25 cm 5 œ 15 cm 3

15 cm 3 œ 25 cm 5

œ

-9= " œ >1 " œ

15 cm 3 œ 20 cm 4 20 cm 4 œ 15 cm 3

-9>1 " œ -9=/- " œ =/- " œ

20 cm 4 œ 25 cm 5

25 cm 5 œ 15 cm 3

25 cm 5 œ 20 cm 4

Nota À Si se desea calcular los valores de ! y " basta saber por ejemplo que=/8! œ !ß )si se aplica =/8 1 (0, 8) œ 53, 13º œ !. De igual forma si se sabe que À =/8 " œ 0, 6 se tiene que =/8 1 (0, 6) œ 36,87° œ " . Recuerde que !  " œ 90º; el valor de " pudo obtenerse reemplazando ! en " œ 90  ! œ 36, 87º Ejemplos: ¿ Cuál es la altura de un edificio si la visual dirigida al borde del techo, desde una distancia de 40 m de la pared, mide 38º? Solución À Veamos el dibujo que representa la situación:

Conocemos el ángulo y el cateto adyacente a él, teniendo como incógnita el lado opuesto al ángulo; la función que relaciona a éstos tres elementos es el de tangente;luego:

144


B %! %! >138º œ B Ê B œ $"ß #& m. >1 38º œ

Signos de las Funciones:Dado un circunferencia unitaria aradio igual unob, la dividiremos en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

Según estas características de las funciones seno, coseno y tangente es posible observar lo siguiente À Ubicación Pa!b I II III IV

-9=!    

=/8!    

>1!    

Como Pa!b œ a-9=!ß =/8!b, entonces À a-9=!b#  a=/8!b# œ " -9=# !  =/8# ! œ "

aB#  C # œ "b

" $ Valores de las funciones coseno,seno y tangente para ángulos de !ß 1ß 1ß 1ß #1 # #

145


! Pa!b -9=! =/8! >1! ! a"ß !b " ! ! " 1 a!ß "b ! " _ # 1 a  "ß !b  " ! ! $ 1 a!ß  "b ! " _ # #1 a"ß !b " ! ! Se ha indicado los signos de los puntos PaBß Cb ubicados en los distintos cuadrantes, que también corresponden a los signos de las funciones trigonométricas coseno, seno respectivamente, así tenemos: Si el ángulo tiene su lado terminal en el segundo cuadrante, determinaremos cuanto nos falta para completar 180º, preocupándonos además del signo que le corresponde a la función en dicho cuadrante, es decir: sen ! œ =/8( 180  ! ) y -9= ! œ  cos(180  ! ) Ejemplos : =/8 150º œ =/830º œ "# -9= 120º œ  -9= 60° œ "# tg 135º œ  tg 45º œ  1 Si el ángulo tiene su lado terminal en el tercer cuadrante determinaremos cuán superior a 180º es el ángulo, es decir. =/8 ! œ  =/8 (!  180º ) -9= ! œ  -9= (!  180º ) Nota: con !  180º. Ejemplos: =/8 210º œ  =/8 30º =  "# >1 225º œ >1 45º œ 1 Si el ángulo tiene su lado terminal en el cuarto cuadrante determinaremos cuanto nos falta para completar 360º. Así se tiene que: =/8 ! œ  =/8 (360  !) -9= ! œ -9= (360  !) Ejemplos: =/8 300º œ  =/8 60º œ  -9=330º œ

-9=30º œ

=/- 15º œ  =/- 45º œ

È$ # # È#

-9>1300º œ  -9>1 60º œ

È$ $

146

È$ #


Ejercicios Propuestos Resolver sin calculadora: ") =/8"#!º  -9="#!º  #-9=/- "&!º œ #) -9=#"!º  =/- #%!º  $>1##&º œ $) =/8$$!º  -9>1 $"&º  -9=$!! œ %) =/8"&!º  $>1 $"&º  (-9=/- #"!º œ &)

=/- $"&º  2 -9="&!º œ # -9>1 ##&º  $>1 $"&º

')

-9=/- $$!º  &=/8#%!º œ $>1"$&º  #=/- $!!º

") #) $) %) &) ')

È$  ( #

Soluciones

#  È$ # ! " È# È$  %  &È $

147


Ê Aplicación Ángulos de

Depresión y Elevación

Un ángulo de depresión es aquel que se forma desde la línea de vista horizontal del observador hasta un objeto abajo de ésta. El ángulo de elevación es aquel que se forma desde la línea de vista horizontal del observador hasta un objeto situado arriba de ésta. En la figura el ángulo de depresión del punto A al punto B es ! y el ángulo de elevación del punto B al punto A es " . Dado que ambos ángulos se miden a partir de las líneas horizontales, las cuales son paralelas, la línea de vista AB es transversal, y como los ángulos opuestos internos de dos líneas paralelas son iguales ! œ " .

Ejemplo: De lo alto de un faro, de 120 m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un bote es de 15ºÞ ¿ A que distancia está el bote del faro?

Solución À Conocemos el ángulo(15°) ,el lado opuesto al ángulo y desconocemos el cateto adyacente, la función trigonométrica que relaciona estos valores es la función tangente, Obteniéndose:

148


>1 15º œ

120 B

ÍBœ

120 >1 15º

œ 447, 846

Ejemplo: Encuentre la altura de un poste, si el ángulo de elevación de su parte superior cambia de 18º a 39º. Cuando el observador avanza 21 m.

Solución:

AB ; luego CB AC œ CB † -9>1 18º ó bién DC + 20 = CB † -9>1 18º. En el triángulo rectángulo ABC, -9>1 18º œ

DC ; luego DC = CB -9>1 39º. CB Se tiene : DC = CB -9>118  20 œ CB -9>1 39º; es decir : CB 18º  CB -9>1 39º œ 20 CB (-9>118º  -9>1 39º) œ 20 En el triángulo DBC; -9>1 39º =

20 -9>1 18º  -9>139º 20 CB œ œ 10, 85 m. 3, 077  1, 234 CB œ

Luego À DC = 10,85 † cot39º = 13, 39 m. La altura del árbol apróximadamente es de 10, 85.

149


Ejemplos : ¿Qué longitud debe tener una escalera tal que inclinada respecto al terreno en un ángulo de 72º alcanza hasta el borde de una ventana ubicada a 8 mts de altura?. Solución:

=/8 72º œ

8 B

8 8 œ =/8 72º 0, 95106 B œ 8, 41. Bœ

150


Ejercicios propuestos 1) Un árbol de 30 metros de alto arroja una sombra de 36 metros de largo.Hallar el ángulo de elevación del sol. 2) Cuando el sol está 20º sobre el horizonte. ¿ Qué largo tiene la sombra que proyecta un edificio de 45 metros de alto? 3) De lo alto de un faro que emerge 36 metros sobre el mar, el ángulo de depresión de un bote es de 15º.¿A qué distancia está el bote del faro ?. 4) Un hombre conduce durante 150 metros a lo largo de una vía inclinada 20º sobre la horizontal. ¿A qué altura se encuentra sobre su punto de partida? 5) Un árbol quebrado por el viento forma un triángulo rectángulo con el suelo. Si la parte quebrada hace un ángulo de 50º con el suelo y si la copa del árbol esta ahora a 6 metros de su base. ¿Qué altura tenía el árbol?. 6) Dos edificios de cubierta plana distan 18 metros. Del techo del más bajo de 12 metros de alto, el ángulo de elevación del borde del techo del más alto es de 40º. ¿ Cuál es la altura del edificio más alto.? 7) Dos caminos rectos se cortan bajo un ángulo de 75º . Hallar la mínima distancia de uno de ellos a una estación de gasolina que está sobre el otro a 300 metros del cruce. Soluciones: 1)

El ángulo de elevación es de 40º.

2)

El largo de la sombra del edificio es de 124 metros.

3)

La distancia del bote al faro es de 134 metros.

4)

La altura corresponde a 51 metros.

5)

La altura del árbol es de 16,8 metros.

6)

La altura del edificio mas alto corresponde a 27 metros.

7)

La mínima distancia corresponde a 291 metros.

151


Módulo

H3 _________________________ Explicar y aplicar los teoremas seno y coseno _________________________

_________________________________________________________ Teoremas del Seno y del Coseno

Tu puedes emplear estos teoremas, en situaciones en los que desees conocer ángulos o distancias, en donde al trazar las distancias, estas no son perpendiculares. -

Explicar teoremas del seno y del coseno Aplicar los distintos teoremas en la solución de problemas de situaciones reales.

152


Ê Teoremas el seno y del coseno Teorema del seno

En todo triángulo ABC de ángulos !, " y # se cumple + , œ œ =/8! =/8" =/8# Ejemplo : ¿Cuál es la altura de un cerro si las visuales dirigidas a la cumbre desde dos puntos situados a 100 metros forman respectivamente con la horizontal un ángulo de 30º y 50º.

Se sabe que el ángulo ACB = 20º; pués 20º + 30º = 50º z sen 30º

=

100 sen 20º

100 " † 0, 342 # D œ 146, 2 metros. Por otra parte en el triángulo BDC se tiene: Dœ

153


sen 50º =

B Í h = 146,2 † sen 50º D

h = 112 metros. Teorema del coseno

En todo triángulo ABC de ángulos !, " y # se cumple +# œ ,#  - #  #,- -9=! ,# œ +#  - #  #+- -9=" - # œ +#  ,#  #+, -9=# Ejemplo : Un avión está a 150 Km. de una estación de radar y se desplaza con rumbo NE de 50°, un segundo avión está a 220 Km. de la estación y vuela con rumbo SE de 70°. ¿Cuál es la distancia entre los dos aviones?.

Por teorema del coseno À aABb# œ a"&!b#  a##!b#  a#ba"&!ba##!ba-9= (!°b Ê AB œ #"*ß )$ Los dos aviones están separados por 219,83 Km.

154


Ejemplo:Un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos. los ángulos que forman los tirantes con el suelo son 28° y 48°. Si la distancia entre las cuñas es de 50 m. ¿Cuánta cantidad de cable se ha gastado? ¿Cuál es la altura del mástil?

Por teorema del seno À , &! &! =/8 %)° œ Ê,œ Ê , œ $)ß #* =/8%)° =/8 "!%° =/8 "!%° + &! &! =/8 #)° œ Ê+œ Ê + œ #%ß "* =/8#)° =/8 "!%° =/8 "!%° En triángulo CDB À =/8 %)° œ

2 Ê a#%ß "*bÐ=/8 %)°Ñ œ 2 Ê "(ß *( œ 2 #%ß "*

Se ha gastado '#ß %) metros de cable. El mástil mide "(ß *( metros de alto.

155


Ejercicios propuestos

"Ñ Un piloto vuela desde A, 125 Km en la dirección NO 38º y regresa.Por un error, el piloto vuela 125 Km en la dirección SE 51º.¿A qué distancia quedó de A y en que dirección debe volar para regresar al punto de partida ?.

#) AB son dos puntos de orilla= opuestas de un río. Desde A se mide una base recta AC=275 metros y se miden los ángulos CAB = 125º y ACB = 49º. Hallar la longitud de AB.

$) Una torre de 125 metros de altura está sobre una roca en la orilla de un río. Desde lo alto de la torre el ángulo de depresión de un punto de la orilla opuesta es de 29º y desde la base de la torre el ángulo de depresión del mismo punto es de 18º. Hallar el ancho del río y la altura de la roca.

Soluciones

1) El piloto debe volar en dirección SO 45, 72º una distancia de 28,3 Km para llegar de C a A.

#Ñ La longitud de AB corresponde a 1986 metros.

$) El ancho del río posee 544 metros . La roca posee una altura de 177 metros.

156


Autoevaluación de la Unidad

1.- Pasar de sistema sexagesimal a radian ó viceversa.

a) 215° b) 41 c) &% 1 d) 230 °

Res: a) 1.94441

b) 720°c) 225° d) 1.27771

2.- En la siguiente figura se tiene un cable con una peso justo en la mitad de este. Se quiere saber cual debe ser el desplazamiento desde el poste, en forma horizontal, al peso del cable.

15 mts

80 cm

x

Res: 12.2975 mts.

157

Algebra Aplicada 1

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