4. ALGEBRA 1° - ACTIVIDADES

Álgebra Actividades

Prof. Nil Lenin Palacios Camacho

Contenido Temas Leyes de la teoría de exponentes I Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Leyes de la teoría de exponentes II Aplicamos lo aprendido Practiquemos

PRIMERA UNIDAD

Páginas 6 8 10 12

Ecuaciones trascendentes Aplicamos lo aprendido Practiquemos

14 16

Expresiones algebraicas - Monomios Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Polinomios Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Maratón matemática

18 20 22 24 26

Productos notables Aplicamos lo aprendido Practiquemos

29 31

División de polinomios Aplicamos lo aprendido Practiquemos

SEGUNDA UNIDAD

33 35

Factorización Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Radicación Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Racionalización Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Maratón matemática er

Ecuaciones de 1.

39 41 43 45 49 51 53

grado - Planteo de ecuaciones

Aplicamos lo aprendido Practiquemos

56 58

Sistema de ecuaciones lineales

TERCERA UNIDAD

Aplicamos lo aprendido Practiquemos

61 63

o

Ecuaciones de 2. grado - Planteo de ecuaciones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

66 68

Desigualdades e inecuaciones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

70 72


74

Valor absoluto Aplicamos lo aprendido Practiquemos

76 78

Logaritmos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

CUARTA UNIDAD

81 83

Funciones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

85 87

Progresiones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

90 92


94

Sudoku

95

Unidad 1

Recuerda Muhammad Ibn Musa Al-Jwarizmi Matemático árabe, vivió por los años 780 d.C. y 850 d.C. Escribió una obra titulada Libro de la reducción, cuya versión latina tuvo gran influencia en la matemática europea hasta mediados del siglo XV. En ella indicó las primeras reglas del cálculo algebraico: la transposición de los términos de uno a otro miembro de una ecuación, previo cambio de signo, y la anulación de términos idénticos en ambos miembros. También estudió las ecuaciones de segundo grado y otras cuestiones matemáticas. La latinización de su nombre dio lugar a la palabra «guarismo». Poco sabemos acerca de la vida de este astrónomo, geógrafo y matemático musulmán del siglo IX. Era natural de Juwarizmi (Jhiva), y residió en Irak, en la corte del califa abasida AlNamun (813-833). Con su Kitab al-yabr wa-I-mugaballa o Libro del álgebra (literalmente, Libro de la reducción, o bien “de la integración” o “compensación”), Al-Jwarizmi inició la literatura matemática de los musulmanes. Traducido al latín por Rodolfo Chester y Gherardo da Cremona (en el siglo XII), ejerció grandísima influencia en los matemáticos europeos hasta el siglo XV. De la popularidad de este libro dan prueba dos términos de nuestro más común lenguaje matemático. En primer lugar, la palabra “algoritmo”, que hoy, después de haber pasado por varios significados, indica un “procedimiento constante de cálculo” y que deriva evidentemente del nombre de AlJwarizmi (igualmente la palabra “guarismo”). Y en segundo lugar, la misma palabra “álgebra”, introducida en Occidente por medio de este tratado árabe, en el que el término “Alyéber” designa la conocida operación por la que un término pasa de un miembro a otro de una ecuación, cambiando de signo. En realidad, esa palabra tiene su raíz más antigua en la forma babilónica “gabru-inaliaru” que significa “parangonar”, “confrontar”, “poner en ecuación”. En la obra de Al-Jwarizmi se estudian no solo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo (por ejemplo: x2 + 10x - 39 = 0), con un método que substancialmente no difiere del actual. Las ecuaciones de primer grado cuyas soluciones han de estar en números enteros (porque se refieren a problemas que admiten solo tales soluciones, como, por ejemplo, cuando se busca un número de hombres, o de caballos, etc.) son tratados con el método de “falsa suposición” o, como se dice comúnmente, “falsa posición”.

Reflexiona • La fortuna solo sonríe a los audaces, fríos y prudentes, a aquellos a quienes las espontaneidades de la imaginación no son suficientes para lanzarse al peligro. • Uno de los secretos para disfrutar de una vida larga y feliz es amar el trabajo que hacemos. • Si amas tu profesión descubrirás que nunca tendrás que volver a trabajar en tu vida.

• ¡Derrota tu negativismo y halla en todas las cosas simples motivos de ilusión!

¡Razona...! En la figura, ¿cuántos cerillos como mínimo se deben mover para que dicha operación sea correcta? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Aplicamos lo aprendido TEMA 1: 1

Calcula: A = 7

LEYES DE LA TEORÍA DE EXPONENTES I

34

Resolución: 34

2

0

0

A= 7 = 7 A = 73 ` A = 343

Resolución: S = -1 + 8 + 49 - 16 . 1 S = 7 + 49 - 16 ` S = 40

31

A) 343 D) 247 3

B) 49 E) 81

C) 7

Calcula: 4 0 A = _- 2 i - 4 2 + 160 + 16

A) 40 D) 43 4

Resolución: A = 24 - 16 + 1 + 1 A = 16 - 16 + 2 ` A=2

B) 3 E) 5

Calcula: E=5

23

C) 4

0

21

E= 5 =5 =5 ` E = 25

Intelectum 1.°

Calcula:

B) 3 E) 5

C) 6

B) 21 E) 15

C) 16

0

0

E = 78 + 87 Resolución: 0

2

A) 5 D) 1 5

6

C) 42

Calcula: 2 A = - 70 + 90 + 80 + 5 - 60

A) 2 D) 1 6

0

Resolución: 23

B) 39 E) 36

Resolución: A = -1 + 1 + 1 + 5 - 1 ` A=5

A) 2 D) 6 5

Efectúa: 0 S = - 50 + 81 + 7 2 - 16 2

E =78 + 87 E = 71 + 81 E = 15

B) 1 E) 10

C) 25

A) 20 D) 22

0

7

Efectúa:

5 3 0D

A = :_6 i

8

0 6 3D

+ :_5 i

Resolución: a5 + 2a10 + 3a15 a3 a8 a13

Resolución: 5

Calcula: 5 10 15 a3 + 2a8 + 3a13 a a a

18 0

A = [1] + [5 ] A=1+1&A=2

= a5 - 3 + 2a10 - 8 + 3a15 - 13 = a2 + 2a2 + 3a2 = 6a2

A) 11 D) 125 9

B) 1 E) 126

A) 4a2 D) 7a2

C) 2

Calcula: 6 4 2 -(-2x ) por - (-3x )(-2x )

B) 5a2 E) 8a2

C) 6a2

10 Calcula: 2x3x4x5 + 7x6x6 + 6x10x2

Resolución:

Resolución:

= (2x6)(-6x4 + 2)

= 2x12 + 7x12 + 6x12 = 15x12

-(-2x6) por -(-3x4)(-2x2)

2x3x4x5 + 7x6x6 + 6x10x2

12

= -12x

B) 6x12 C) -12x12 A) 3x2 2 D) -3x E) -6x2

Resolución: Cada base en factores: _2 4 .3 i_2.7 i3 (3.5) 5 4 3 3 5 5 N= & N = 22 2.3.22 .73 .33 .54 4 2 3 4 2 .3 .5 .5 .7 .2 3 _2.3.5 i (5.7) (2.3)

0

A = 5 + 8 2 + _- 5 i - 90 + _ 3 + 1 i A =1 + 8 + 1 - 1 + 1 A = 10

1 C) 1 3 4 1 6

Por multiplicación de bases iguales: a a + 2b b l b a a + 2b b l b

A) 5 D) 2

B) 4 E) 1

C) 3

Claves

11. D

A) 1 B) 2 D) 1 E) 5

9. C

16 20 Entonces: A = a b4 2b

C) 12

Resolución: Llevamos P a una misma base: Por división de bases iguales: a a a 2b P = b a l a + 2b - a - 2b = b a l 0 b l b l b b b b P= a 2 b + a &P=1 b l b

7. C

= a16 b20

12. A

= a1 + 3 + 5 + 7 b2 + 4 + 6 + 8

10. C

ab2a3b4a5b6a7b8

por división de bases iguales: A = 1 a16b20 . b - 4 2 = 1 a16b16 = 1 (ab)16 2 2 Reemplazamos ab = 1: A = 1 (1)16 & A = 1 2 2

14 Efectúa: b -a b a2 d n d 2n a b P= - (a + 2b) b d n a

5. C

Resolución: En el numerador, por multiplicación de bases iguales:

B) 8 E) -8

3. A

ab2 a3 b4 a5 b6 a7 b8 ; si ab = 1. 2b4

8. C

13 Halla: A =

A) 2 D) 6

C) 12

1. A

B) 8 E) -8

6. E

A) 9 D) 10

Por multiplicación y división de bases iguales: N = 24 + 3 - 2 - 4 . 31 + 5 - 2 - 4 . 55 - 2 - 3 . 73 - 3 N = 2 . 30 . 50 . 70 N=2.1.1.1 & N=2

4. E

0

C) 15x12

2. A

0

0

B) 12x15 E) 6x7

3 5 12 Calcula: N = 48.214 .3154 30 .35 .6

11 Calcula: 0 0 0 0 A = 5 + 8 2 + _- 5 i - 90 + _ 3 + 1 i Resolución:

A) 13x10 D) 9x8

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

7

14. E 13. A

Practiquemos 4. Reduce: 9 7 E = 7 -57.7 7.7 .7

Nivel 1 Comunicación matemática

12. Escribe: = o ! según corresponda: I.

A) 42 B) 40 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según D) 30 E) 56 corresponda: 5 3 2 ▪▪ Al multiplicar (-3x ) por -(-2x .x ) 5. Efectúa: resulta -6x10. V -1 -1 S = d 1 n + d 1 n + 70 ▪▪ Luego de reducir (2a + 3a - 4a) ' 2 10 (8a + 6a - 13a) se obtiene -1. F A) 12 B) 11 ▪▪ El resultado de: a2a + a3a cuando a D) 8 E) 13 V a = 2 es la mitad de 24. 2 -23 _ 3 i2 _-2 i

▪▪ Luego de reducir a a exponente de a es 2.

a

V

2. Efectúa la expresión: -2 -3 R = d 1 n + d 1 n 4 2

C) 36

C) 14

B = _y-2 i

2

. _y-1 i

2

.y

10 32

es: y-9

Demostración:

Tomamos de dos en dos los exponentes de arriba hacia abajo, se tiene: 0 -2 i2

B = _y

2

2 _-2 i 10 32 -1 i2

_y

y

C) 62

9. Reduce: 2a + 1 + 4a - 1 Z = 2 2a - 2 2

B) 3 E) 9

A) 5 D) 2

1

16

2

-1

B) 4 E) 1

B = y-2 .

1

y-1 .

16

y

-2

y

-16

y

9

=y

-2 + -16 + 9

-9 `B= y

8

Intelectum 1.°

3

- 3 _3 n i = 24 3 _3 n - 1 i

B) 2 E) 5

C) 3

16 2 Q = 2 .16 8 8 A) 1 B) 2 1 D) E) 1 2 4

C) 4

8 10 7 M = 2 .2 .22 _212 i

B) 2 E) 16

C) 4

16. Luego de reducir:

n

5n_n + 3i ; n ! N 53

Indica el exponente final de 5 A) 5n D) 2n

B) 4n E) n

C) 3n

x + x + x + x d x4 n = 4 l x.x.x.x 4x

b

2 2 + (-1) - (-3) + (-1) 5 = 19

3

3 2

n+1 + 2n + 2 E= 2 n+3 2

3 1 A) B) 4 2 D) 2

E)

C) 1

2 3

18. Efectúa:

2

3_-1 i

15. Efectúa:

n+3

2

101

!

17. Calcula:

5 .5

A bases iguales, sumamos exponentes:

B = y

Comunicación matemática

9

5

14. Calcula:

C) 3

En los dos primeros factores usa la 11. Marca con un aspa las igualdades verdaderas: ley: potencia de potencia (am)n = amn mientras que en el último factor efectúa el 58 + 55 = 126 exponente de y. 4

6

_2 2 + 1 i - 2_2 + 1 i

3 4 5 P = 2 .2 .42 _2 3 i

A) 1 D) 4

Halla el valor de A . B

Igual que el paso anterior tomamos de dos en dos de arriba hacia abajo: NIVEL 2

B = (y-2) (y-1) y3

C) 4 -1

0 24 2 1 B = (y-2)2 _y-1 i y3

=

1

2

A) 1 D) 8

10. Sabemos que: A = 9-2 y B = 81 4

Razonamiento y demostración

B) 61 E) 71

A) 6 D) 8

0

13. Calcula:

Razonamiento y demostración _-2 i

!

6 3 33

II. _- 1 i2 - _- 1 i3 + 30 - _- 1 i5

-1

Siguiendo un orden operativo, lo primero 7. Simplifica: es convertir los exponentes negativos en positivos: A = d 17 n .3 6 + 5 3 3 R = 4 2 + 2 3 Luego la potencia resultante de cada A) 1 B) 2 C) 3 sumando es como sigue: D) 4 E) 5 R = 16 + 8 Obteniéndose finalmente como respuesta: 8. Si xn = 3, reduce: x3n - 100 ` R = 24 A) -71 B) -72 C) -73 D) -74 E) -75

2 20

5

_x 2i

2

III. 16-2 + 6 x - 5 x

3. Demuestra que el resultado de operar en:

4

el 6. Efectúa: -2 -2 M = d1 n +d1 n 5 6 A) 52 D) 53

3

_x 2i . _x3i

-2

-3

A = d 1 n + d 1 n + 20090 5 3 A) 25 D) 37

B) 24 E) 41

C) 53

NIVEL 3 Comunicación matemática 19. Subraya la proposición correcta:

A) 1

b) Al resolver:

3

▪▪ La suma de cifras de la respuesta es tres. ▪▪ La suma de cifras de la respuesta es par. -1

c) Si: E = 9-2 y M = 81 4

f

59 3 -3

18 (3.22)1.7

15 6 5-2 5 4 35

Razonamiento y demostración 21. Si: x = 5

A) 2

E) 1

D) 32

E) 81

B) 3

C) 6

D) 4

E) 8

C) 5

D) 8

E) 7

n+4 n+3 E = 5n + 3 + 5n + 2 5 +5

A) 1

B) 4

29. Simplifica: 64

m+1

64

x + x1 + x

D) 5

C) 36

28. Simplifica:

halla:

B) 56

27. Si: x2n + 4 = 29; calcula: xn � 3

x

B) 253

D) -3 E) -2

+ 3-3 F 3 + 33

A) 49

A) 57

C) 4

-1

-1

Si: m = 3 Calcula: 2m2m

T=x

B) 8

I = < 3

m

5

26. Calcula el producto de los dígitos del valor de la expresión:

(12)436674627

E) 5

x3 y3 x3 y . p f p - x4 y2 - x 2 .y 2

A) 2

20. Relaciona cada expresión con su respuesta.

-2

D) 4

Determina el valor de mm + 1

▪▪ El valor de E . M = 20120

-1

C) 3

y -m Se obtiene: b l x

▪▪ El valor de E . M = 5

1 1 1 d n +d n +d n 7 5 3

B) 2

25. Al multiplicar:

-3

1 1 1 d n +d n +d n 3 4 5

-1

E) x/y

a9 . a a 2 ; a 2 0 Indica el exponente final de a.

▪▪ El exponente de dos es tres.

D) x2/y2

C) y2/x2

3

▪▪ El exponente de cinco es tres.

-2

B) y/x

24. Al reducir:

a) En la resolución de (5624)4 ' (5322)7

-1

A) xy

C) 254

-8

m+ 1 2

2m + 1

'8

2

A) 209 D) 448

B) 324 E) 298

C) 294

22. Para n ! N, simplifica:

3-n + 3-n + 1 3-n + 2 A) 4 B) 5 D) 5 E) 9

23. Efectúa:

C l a ve s 4 9 3 4

1 1 -2 -4 1 W = ( x b x _xy i l 2

C) 4

Nivel 1

7. B

13. a

Nivel 3

25. B

1.

8. C

14. a

19.

26. E

2.

9. E

20.

27. A

3.

10. E

21. B

28. C

4. A

Nivel 2

22. b

29. D

5. E

11.

6. B

12.

15. b 16. e 17. a

23. C

18. c

24. D


9


LEYES DE LA TEORÍA DE EXPONENTES II

Efectúa: -1 27 3

P = b

-1 + 36 2

Resolución: -1 27 3

P= b P=

-1 + 36 2 1 3

2

-1

l

= 2

A) 2 D) 3 Simplifica: A = x

4

x

2 3

1

3

8

9

Halla el exponente final de a:

E= E=

a

1 a

_a

1 a

-1

ba a l

a

a a

B = 3 27 # 2

3

64 # 2

3

3

3

3

125 # 2

B) 100 E) 120

Reduce: 2 M = 3

2

+ 5

2 2

C) 104

- 80

Resolución:

_a a i 1

C) 12

Calcula:

A) 80 D) 110 6

a-1 i a

Resolución: E=

B) 10 E) 16

4

D) x 9 E) x 8

-1

= 22 . 3 = 12

3

A) x 9 B) x 4 C) x 3

E =

7 4 E = 2 5 .3 3 = 27 - 5 .3 4 - 3 2 .3

B = 3 # 4 # 5 # 3 2 = 120

8

a -1

4

B= 3 2 #4 2 #5 2

A = x 18 = x 9

5

7

16 . 3 27 3 3 5 4 8 . 81

4

B = 3 54 . 3 128 . 3 250

_1 # 3 + 2 i3 + 1 x 2#3#3 16

E=

3

Resolución:

2 3

A= x x x Por propiedad: A=

81

B = 3 54 . 3 128 . 3 250

x

Resolución: 3

27

4 3

A) 6 D) 4

B) 3 C) 6 E) 2

3

8

3 4

4 7 E = 3 16 4 27 5 8 3 81 7 4 4 3 E = 165 .273 3 4 8 .81

-1

3

3 5

4

-1

P= d 1 + 1 n 3 6 -1

16

Resolución:

l

f d 1 n +d 1 n p 27 36

P= d 1 n 2

4 7

E =

-1

1 2

Halla el valor de E:

a

a

=a

2 2

M= 3 2

+ 5

2 2

- 80

2

M= 3 + 5 -1 a a 1 a

M=3+5-1=7 a

= aa = a

A) -1 D) 0

10 Intelectum 1.°

B) 3 E) 1

C) 2

A) 6 D) m

B) 9 E) 7

C) 10

Efectúa: 1024

2 .2

=

8

16

2

16

3 3 +5 3 V= 1d n 4 10 3 + 8 3 + 4 3

2 p 25 2

- 113 40 - 49 200

x .5

6

6

x . 3 x2

x . 3 x2

2 3

1 + 1 + 1 + 1 +2 6 12 20 30 3

10 + 5 + 3 + 2 + 40 60

60

= x 60 = x

` K =x

2

C) x-1

B) x E) x3

5

A)

4

4

1 2

B)

4

1 3

1 5

E)

4

1 6

C)

4

1 4

9m + 19m 45m + 95m

Resolución: m m 9m + 19m = m 1m . d 9m + 19m n = 1 m m m 5 5 .9 + 5 .19 5 9 + 19

=3

B) 1 E) 3

m

A) 1 B) 3 D) 1 E) 6

C) 2

1 C) 1 5 4 1 7

Claves

24 13 25 n 3.3 12

12. A 11. E

A) 0,5 D) 1,5

=

d

9. B

24 25

7. A

n

x .5

x . 12 x . 20 x . 30 x .x

8.4 = 4 1 2 23 2 . 4

m

10. A

3

4 33

5

5

C) 1

14 Reduce:

24 25

8. A

3

3

x .4

4

D)

Resolución: 4

6

C) 1

E) 2

b 3 4 27 3 81 l

=x

Resolución:

J 1 1 1 1 3 - 49 d - - n. K 28 O 8 3 5 5 200 K 1 1O =2 =2 KK 3 5 OO L2 2 P

D) 2

6-1 5 5

12 Resuelve: 5 8 3 64 4 2 3 2 16

3 5

A) 2 B) 2

4

A) x D) x-2

C) 11

3 N5

29 50

=x

B) x E) x2

K= x

B) 1/11 E) 3

Resolución:

x

3

K= x

V= 1d 8 3 n= 1 4 22 3 11

Calcula el valor de: f 3

5 + 5 +1 - 1 5 5

Resolución: K = 3 x .3 4 x .4 K=

x

x

10 Efectúa: K = 3 x . 3

27 + 75 V= 1 d n 16 300 + 192 + 48

11 (UNT - 1984 - B)

5

5 -1

A) x D) 0

C) 2

Resolución:

A) 9 D) 1/9

x

5 P= x

Calcula: 27 + 75 V = 1 d n 16 300 + 192 + 48

d

5 + 1 -5 .

x

_ 5 - 1i 5 + 5 + 1 -1 5 5. 5

P= x

2

=28 =2 =4

B) 8 E) 16

13 Calcula:

5

P=

1024

A) 4 D) 6 9

x

5 + 1 -5 .

Resolución:

1024

10

x

5. E

6

5

3. D

=

64

8

8

5 -1

x

1. E

=

8

2

5

P =

Resolución: 64 . 4

Calcula P:

6. E

64 .

8

4. E

4 2

2. C

7


11

14. C 13. E

Practiquemos Nivel 1 Comunicación matemática

8. Efectúa: L = _ 500 - 20 + 45 i ' 5 A) 11 D) 8

1. Escribe = o ! según estimas conveniente: 8 + 32 I. 18 II. 25

2-1

a-b

a

III. 4

3

2 4 2 . 12 128

8 + 32 + 128 + 50 - 18

+ 11 a-b

4

T = 50 - 18 8 A) 1 B) 2 D) 1 E) 2 2 3

C) 3

9. Dada la expresión:

3

D=

B) 7 E) 4

3

B) 1 E) 5

M = d3 32 + 4

2

50 n 2

B) 36 E) 9

C) 49

12. Calcula: E = 5 + 16 + 9 - 25

A) 6 2 B) 9 2 C) 2 D) 9 E) 8 2

A) 7 D) 5

7. Calcula:

13. Efectúa:

A = _ 12 + 27 + 48 i ' 3 B) 9 E) 11

12 Intelectum 1.°

2

R = d 27 + 3

40 + 3 56 n 10 7

A) 36 D) 100

B) 49 E) 81

C) 64

Marca si es verdadero (V) o falso (F) Nivel 3 según corresponda:

A) 64 D) 4

C) 3

S = 8 + 32 + 50 - 18

A) 6 D) 12

2

128 + b 48 n 2 3

11. Efectúa:

6. Efectúa:


8 + 3 125 + 3 27 3 64 + 3 1

A) 2 D) 4

F

C) 8

81 + 49 + 3 144 + 225

II. Si los índices: a = 6 y b = 4, entonces S = 3 1 + 3 25 + 6 + 5 4 obtenemos: 17 V F Luego, calcula N . S

C) 9

5. Calcula: I=

V

I. Si los índices a = 3 y b = 4, entonces 18. Si: obtenemos: 36 V F N =

128 + 3 54 3 2

A) 8 D) 5

II. Si el índice: a = 3, el resultado final es: 17. Calcula:


4. Calcula:

C) 9

Marca con una “X” si es verdadero (V) o 16. Calcula: falso (F) según las condiciones dadas. L = 4 6 + 100 + 3 400 + 7 I. Si el índice: a = 2, el resultado final es: A) 6 B) 5 C) 7 2 2 +3 3 V F D) 8 E) 9

da C) 20

B) 7 E) 4

10. De la siguiente expresión:

B) 8 E) 15

C) 64

A = 3 3 + 25 + 1 + 64 A) 6 D) 5

1 + 49 + a 19 + 64

U = 20 + 45 + 500 20 - 5 A) 10 D) 4

B) 81 E) 9

15. Calcula:

1

3. Calcula:

2

S = d 1000 - 3 40 n 10 5 A) 49 D) 4


a

2. Efectúa:

C) 10

Nivel 2

b


B) 9 E) 7

14. Calcula:

B) 8 E) 4

Escribe en los recuadros los valores correspondientes para hallar la solución:

Primero, resolvemos la expresión N:

N= N=

9 + 7 +

N=

4

92 + 72 +

2

+

3

2

3

3

12 +

15

12 + 15 3

N = 4 + 3 N = 7

-1

S = 49 2 A) 1 D) 4

C) 9

-1

- 273

B) 2 E) 5

C) 3

Luego, resolvemos la expresión S:

S=

3

1 + 3 52 + 6 + 5

2

2

2

S=

S=

S=

3

25. Halla el exponente final de x:

1 + 3. 5 + 6 + 5. 2

3

4

3

2

P =

2

4

+

3

30 veces

A) 7 D) 11

3

2

Nos piden:

N = S

7

1

16

+9

2-1

+ 16

4-1

=

3

-1

273

-1

+ 5 + 42

A) 6 D) 8

` N =7 S 2 2

19. Si: x = 3 7 marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

B) 8 E) 5

C) 9

26. Calcula:

S = 2

2-1

40 veces

6 4 44 7 4 44 8 4 3 4 3 4 3 x x ... x 3 x x ... x 1 44 2 44 3

30

x

30

x

2 30

3

x ...

30

x

¿ V o F ?


20

+7 B) 7 E) 4

C) 5

27. Reduce la expresión:

V=

3

x3 . x3 x2 . 3 x2

A) x 36 x13 B) x 36 x10 C) x 36 x15 D) x2 E) x

20. Calcula: 54 + 3 16 3 2

x-2 . x 4

A) 2 D) 2/3

B) 5/3 E) 2/7

C) 3

18. 12. D

25. E

Nivel 3

24. E

23. D 17. B

11. C

6. E

4

10.

x3 .

5. A

4. B

23. Calcula el exponente final de x:

22. B

A) 3 D) 312

16. B

C) 27

3 4 . 15 3 20

Nivel 2

3

9.

32

3. E

5

21. C

20. B

B) 9 E) 320

22. Reduce:

15. D

C) 1

19.

B) 64 E) 729

Nivel 1

A) 68 D) 8

14. C

6

R = d3 54 - 3 24 n 2 3

C l a ve s

26. C

21. Efectúa:

27. A

C) 8

8. A

B) 5 E) 7

2. A

A) 3 D) 6

1.

3

13. B

E=

7. B

24. Efectúa:

V = 11 a . 11 a 2 . 11 a3 ... 11 a10 A) a10

B) a

D) a20

E) a5

C) a2


13


ECUACIONES TRASCENDENTES

Si: m2X - 3 = m7, calcula: x2 + x + 1

2

Resolución: Dato: m2x - 3 = m7 Igualamos exponentes: 2x - 3 = 7 & x = 5 Nos piden: x2 + x + 1 = 52 5 + 1 = 31

A) 29 D) 33 3

B) 30 E) 35

Halla x. a

2x - 1

Resolución: 5n - 4 = 52

&n-4=2&n=6

A) 7 D) 9

C) 31

4

5

= _a 3 i

Resolución:

5

Calcula n.

B) 9 E) 11

B) 6 E) 12

C) 8

Calcula x. 5x + 7 = 125 Resolución:

a2x- 1 = a15 Entonces: 2x - 1 = 15 & x = 8

A) 6 D) 10

Halla n. 5n - 4 = 25

5x+ 7 = 125 5x+ 7 = 53 Entonces: x + 7 = 3 & x = - 4

A) -3 B) 3 D) -5 E) -4

C) 8

6

3

b3n - 3 = _b7 i

Halla el valor de x en: 2 3

Resolución:

C) 5

3x - 4

= 512

Resolución:

b3n - 3 = (b7)3 Entonces: 3n - 3 = 21 & n = 8

23 2

3x - 4

33x - 4

23

3x - 4

= 512 3

= _2 3 i = 23

2

Entonces: 33x - 4 = 32 Entonces: 3x - 4 = 2

A) 6 D) 9

14 Intelectum 1.°

B) 7 E) 10

C) 8

A) 0 D) 3

`

x=2

B) 1 E) 4

C) 2

Calcula x. A

2x - 8

=A

Resolución: x-8

8

8x - 6

x-6

Resolución:

3 x-6

n + 10

2 =8 = (2 ) & x - 8 = 3x - 18 10 = 2x ` x=5

A) 6 D) 4

B) 7 E) 9

C) 5

a

A) 80 D) 70

B) 50 E) 90

C) 60

B) 4 E) 10

C) 6

10 Halla n.

Resuelve: 53x - 8

n - 10

_3 3 i = _3 4 i & 3n + 30 = 4n - 40 ` n = 70

2

= a 625

Resolución:

Resolución:

53x - 8 = 625 = 54 & 3x - 8 = 4 3x = 12 ` x=4

A) 6 D) 9

7

Si: _bn i = b112 2

7

_bn i = b112 2 b7n = b112 2 & 7n = 112 n2 = 16 ` n=4

B) 7 E) 4

C) 8

A) 2 D) 8

12 Si (x + 3)x + 3 = 27, calcula x.

11 Halla: x x 2 x = 16

Resolución:

(x + 3) x + 3 = 27

Resolución: x

2 x = 24 = 2 2 ` x=2

(x + 3) x + 3 = 33

2

A) 1 D) 7

Entonces x + 3 = 3 & x = 0

B) 2 E) 8

C) 4

13 Si m2m3 = 32, halla: m6

A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

B) 3 E) 9

C) 5

14 Resuelve: x15 = (343)5

Resolución:

Resolución:

Dato:

x15 = (73)5 = 715 & x = 7

m2m3 = 32 & m5 = 25 m = 2 Nos piden: m6 = 26 = 64

3. C

A) 1 D) 7

1. C

5. C

C) 16

8. D 7. C

Claves

10. B 9. E

B) 4 E) 64

6. C

12. A 11. B

A) 2 D) 32

4. E

9

Halla n. 27n + 10 = 81n - 10

2. B

7


15

14. D 13. E

Practiquemos A) 12 D) 15

Nivel 1 Comunicación matemática 1. Relaciona las ecuaciones exponenciales con sus soluciones: 2x + 3

1 d n 7

x

x-1

= a9

3 2

x-3

x 4

-3 2

_b3 i = b108

2. Relaciona las ecuaciones exponenciales con sus soluciones: 5x - 10 = 52x - 14 (x - 2)(x - 2) = 99

B) 9

a3x - 4 = a2x + 8

Exponentes iguales

A

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

B) 2

C) 8

D) 16

E) 10

9. Halla: n

2

23 .2n = 2 2 24 A) 1

Comunicación matemática 10. Emily, Sandra y Estela resolvieron los ejercicios de ecuaciones exponenciales dejadas en clase. Relaciona el tipo de ejercicio con su respectiva solución realizada por las alumnas. x x = 4 0, 5

25

= 25

213x + 5 = 3 x + 15 7 x + 15 x

=A

33 = 279

343

A) 5 D) 7

B) 4 E) 8

ax . ax . ax = a2x + 5 A) 5 B) 2 2 5 D) 1 E) 5

C) 5 3

5. Calcula n. b2n . bn + 1 = b19 A) 6 D) 8

B) 5 E) 9

6. Halla x. b 6 . b x = _b5 i3 b3

16 Intelectum 1.°

C) 7

Emily: x = 9 Sandra: x = 2-4

x-5

Estela: x = 13

9 x + 1 27 x - 1 = 81 x + 3

C) 6

4. Calcula x.

E) 11

a7n . a 5n . a 8 = a39 a3n . a5

3. Halla x.

D) 7

8. Halla n.

Razonamiento y demostración 7 2x - 9

C) 10

Analogía Bases iguales

(3x + 7)

a 2x . a x + 4 = a 20 ax + 2

Nivel 2

(2x + 8)18 = 2418

3x + 7

A) 8 5

C) 14

7. Halla x.

= 5 2x + 3

x_x + 1i = 512 a3

B) 10 E) 18

-x

xx

= 2 - x-

2

2

8

Razonamiento y demostración 11. Calcula x. a5x + 8 = a20 . a15 a3 A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

E) 10

C) 5

D) 2

E) 6

12. Calcula x. b 8x = _b14 i2 bx A) 4

B) 3

13. Halla y. A6y

+ 10

. A2

- 4y

A) 6 D) 8

3 4

= :_ A 2 i D

D

B) 5 E) 10

C) 7

O

1

K

D

E

N

I

- 1 -2 2

2

5

-1

7 2

E

D

M

1 2

-7

0

14. Resuelve: + 3125x - 2 = 625x 1 A) 13 D) 11

B) 12 E) 15

C) 14


15. Resuelve la ecuación:

19. Calcula n.

4 3

3

_16 xi = b_8 2 i l A) 5 D) 4

272n - 1 = 812n + 1 B) 8 E) 6

A) - 3 B) - 7 C) - 1 2 2 2 D) - 1 E) 3 2 2

C) 9

16. Halla x en:

2x - 4

_2 2 x + 2 i A) 1 D) 4 2x

813 = 27 4

x

B) 2 E) 5

17. Resuelve:

20. Halla x.

= 216 C) 3

D) 2

D) 1 3

48

C) 1 4

a 4 –a

_5 8 i

18. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales para x:

x - 10

= 49

2x

D

2x

8 4 = 163

D

3x 9x + 1 27x + 2 = 32x - 1 92x - 3 272x - 5

E

x+3

= 279

x-2

= 44

3 27

216

3

35x

x+3

x-1

= d1 n 3

(x + 2)x + 2 = 256

1632

x-2

I

N D

Según la representación de las letras con los resultados forma el apellido de un famoso matemático alemán.

2

= 22

B) 10 E) 13

C) 11

B) 240 E) 120

C) 200

60

x+2

A) 2 B) 5 D) 3 E) 5

5 C) 5 2 3 4 3

C l a ve s

K

3 1 1f pf p - d 1 nd 1 n 9 3 9 3

= 516

23. Resuelve:

4

2 -1

7x - 1

A) 210 D) 180

E

(x2)x(xx)23 = (x5)4(x3)2(x1)-1

= 22

22. Halla a en:


7

3 + 2x

E)

A) 9 D) 12

Nivel 3

5x + 1

2 +1

21. Resuelve:

A) 2

2

A) 2 2 B) 2 - 1 C) 2

2x

B) 1 2 1 E) 8

2

_ 2 xi = 2

Nivel 1

6. A

11. D

17. B

22. B

1.

7. B

12. A

Nivel 3

23. B

2.

8. A

13. A

18.

3. C

9. c

14. C

19. b

4. E

Nivel 2

15. E

20. C

5. A

10.

16. C

21. c


17


Expresiones algebraicas - monomios

El siguiente monomio aa

aa a

2

aa

T(x) = x x tiene como grado 3. Determina el valor numérico de: R(x) = xa + 3; cuando x = 2.

J = d x

Resolución: T(x) = x.x a

a-1

aa - 1 = 22 - 1

a-1

= x1 + a & a=2

Determina el valor numérico de la expresión:

3

M(x) = 8 2 x Halla: a

2 a

b x5 .x a l

Reducimos la expresión: 2 10a 3 2 x

bxa + 1 - al x 5a 2

x x

4

3

2 5a 3 3 = x x x = x & J = 3 = 27 2 x 5a x

A) 9 D) 12

C) 33

Si el monomio: 4 - 3a

1

Resolución:

J=

B) 32 E) 35

n

xa

10

b_ x a i l 2 .x3

Cuando: x = 3

= x3 & 1 + aa - 1 = 3 & aa - 1 = 2

Luego: R(x) = x2 + 3 = x5 & R(2) = 25 = 32

A) 31 D) 34

a+1 2

B) 10 E) 27

C) 11

Halla el grado absoluto del monomio: 1

es de grado 19.

M(x) =

xb

1

xa

Resolución:

Si se cumple: a - b = 8 / ab = 4

4 - 3a = 19 -3a = 19 - 4 = 15 ` a = -5

Resolución: 1 -1 a

M (x)= x b

GA _M i = 1 - 1 = a - b = 8 = 2 4 b a ab

A) 1 D) 0

A) -4 B) -3 C) -2 D) -5 E) -6 5

Halla n si Q es de segundo grado: Q _ x i = x

n-2 3

Resolución: GA(Q) = x

x

$x

6

n 7

B) 2 E) 6

C) 4

Halla a, si el grado absoluto del monomio es 6: 2a - 2 4

2a + 3 3

M _x; y; w; z i = x 2a z 37 5 10 y w

n+1 12

Resolución: GA(M) = 2a - 2 + 2a + 3 - 2a - 37 = 6 4 3 5 10

n-2 + n - n+1 7 12 3

Por dato, Q(x) es de segundo grado: n-2 + n - n+1 = 2 3 7 12

Desarrollamos la expresión tenemos: a = 12

Desarrollamos la expresión: n = 7

A) 7 D) 5

18 Intelectum 1.°

B) 6 E) 9

C) 8

A) 24 D) 12

B) 10 E) 8

C) 14

7

Halla (p + q + r) si el monomio:

8

M _x; y; z i = 15xp + 2q + 2r y 2p + 3q + 3r z3p + q + r es de grado absoluto 180.

Resolución:

Resolución:

M (x) = 4 5 x a + 20

Dato: GA(M) = 180

Dato: M es de grado 24

Entonces: p +2q +2r +2p +3q +3r +3p +q + r = 180 6p + 6q + 6r = 180 p + q + r = 30

Entonces: a + 20 = 24 & a = 4

A) 20 D) 30 9

Si el monomio: M(x) = 4 5 xa + 20 es de grado 24, halla a.

B) 40 E) 10

M(x; y) =

12

x .3 y

9

Resolución:

Resolución: M _ x; y i =

4

12 3

x . y

12 4

9 3

Entonces M es de grado 6.

A) 3 D) 18

10a - 18 + 10 M = x 4a + 8 x

B) 6 E) 16

C) 4

M = x10a - 8 - 4a - 8 = x 6a - 16

M es de octavo grado: 2 _x 3a - 6 + 2a - 3 i . x10 M= 2 _x 2a . x 4 i

9

M(x; y) = x y = x3y3

A) 6 D) 8

C) 12

11 Reduce: P = 4 _x - 1 i + x _1 - y i + xy + 8 - 5x

Entonces: 6a - 16 = 8 a = 4

B) 4 E) 5

C) 2

12 Calcula: S = 5 5 _x + 5 i + 3 _x - 3 i - 8 _x - 1 i + 8

Resolución: P= P=

B) 3 E) 6

10 Hallar a si la expresión es de octavo grado. [(x a - 2) 3 . x 2a - 3] 2 . x10 M= [(x a) 2 .x 4] 2

Halla el grado del siguiente monomio: 4

A) 2 D) 5

C) 50

Resolución:

4x - 4 + x - xy + xy + 8 - 5x 4 & P=2

S=

5

5x + 25 + 3x - 9 - 8x + 8 + 8

S=

5

32 = 5 25

S=2

A) 2 D) 5

C) 5

Resolución:

P = x2 (-1 + 2 - 3 + 4 - … + 80) P = x2 (- 1 - 3 - 5 - … - 79 + 2 + 4 + 6 + ... + 80) P = x2 (-1600 + 1640) P = 40x2

Resolución: M = 3a + 3b + 4a - 4b - 7a + 7b 6b M = 6b = 1 6b

C) a b

B) 2 E) b

3. D

A) 0 D) 1

1. B

C) 120x2

` M=1

6. D 5. A

8. C 7. D

Claves

10. B 9. B

B) 60x2 E) 28x2

C) 3

14 Efectúa: 3 (a + b) + 4 (a - b) - 7 (a - b) M = b + 2b + 3b

13 Halla el valor de P. P = - x2 + 2x2 - 3x2 + 4x2 - ... + 80x2

12. A 11. E

A) 30x2 D) 40x2

B) 1 E) 6

4. B

B) 6 E) 2

2. E

A) 3 D) 7


19

14. D 13. D

Practiquemos 7. Calcula:

Nivel 1

S = 9 + 3(3y - 1) + 4(4y - 1) + 2(2y - 1)


A) 29

1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: ▪▪ Al operar: x + x + ... + x se obtiene: x3 x veces

F

V

N=

2x + : x - _x + y iD

A) 0

B) 1

F

y x

E) 2

Z = 2x(x3 + 1) - x4(2 - x) - 2x es x5.

GA _P i + GR _ y i

10. Si el monomio:

GR _ x i + GR _ z i

M(x; y) = (n3 - 27)x3n + 2 . y8 - n,

posee un coeficiente igual a 98. Calcula GA (M) + GR (y).

▪▪ GR(x) = 5 ; GR(y) = 4 ; GR(z) = 3 El grado absoluto también es igual a: GA(P) = GR(x) + GR(y) + GR(z) = 5 + 4 + 3

D)

Resolución de problemas

de: P(x; y; z) = 17x5y4z3 Veamos: Los grados absolutos de “x”; “y”; “z” del monomio son:

C) x y

2x - y

2. Efectúa la expresión:

D) -29 E) -20

9. Demuestra que el resultado de efectuar la expresión:

▪▪ Al efectuar: 2x(x + 1) - x(2x - 1) obtenemos: 4x.

C) 0

8. Efectúa:

▪▪ Luego de reducir: 3b - bb + a - _2b + a il obtenemos 1. R = - 4a + 4a + 4b

B) 29y

A) 22

16 8

D) 5

E) 8

(x + 3)(x + 2) - (x + 4)(x + 1) = 2

(x + 3)(x2 - 3x + 9) - x3 = 28

(a + 2)(a2 - 2a + 4) - (a3 - 3) = 11

B) 3x

(x - 2)(x2 + 2x + 4) ! (x3 - 10) C) 4x

D) 0

E) x

R = (5 + 5 + 5 + ... + 5) + (4 + 4 + 4 + ... + 4) 10 veces

B) 64

D) 70

B) 920

20 Intelectum 1.°

15 veces

E) 82

Razonamiento y demostración R = (3a + 3a + 3a + ... + 3a) - (a + a + ... + a )

10 veces

C) 312

30 veces

14. Efectúa:

6. Efectúa: A = (3 . 3 . 3 . 3 . ... . 3) - (9 . 9 . 9 . 9 . ... . 9) 20 veces

(7 . 7 . 7 ... 7)4 = (49 . 49 ... 49)

6(a - 1) + 5(a - 1) = 11(a - 1)

8 veces

C) 72

((6 + 6+ 6 + 6 + 6) ! (2 . 2 . 2 . 2 . 2))

5. Calcula:

A) 38

E) 7

13. Escribe = o ! según corresponda:

S = x(3x + 6) - 3(x2 + x)

A) 56

D) 5

12. Marca con un aspa las igualdades verdaderas:

4. Efectúa: A) 2x

C) 4


E = (x + 6)(x + 4) - (x + 8)(x + 2) C) 1

B) 13

Nivel 2

= 2

3. Calcula: B) 2

E) 24

P(x; y) = 23xayb + 1

A) 11


A) 6

D) 23

Calcula: a 2 + b 2

Reemplazamos los grados en la expresión solicitada tenemos: =

C) 20

11. En el siguiente monomio P(x; y), el grado relativo respecto a x, es 4 y el grado relativo respecto a y es 4.

▪▪ GA(P) = 12

12 + 4 GA (P) + GA (y) = GR (x) + GR (z) 5 + 3

B) 25

110 términos

40 términos

D) 0

E) 914

A) 12a

B) 14a

C) 5a

D) 10a

E) 8a

15. Calcula: S + 1 S = 4(3a + 2) + 3(2a + 1) + 5(6a - 3) + 48(1 - a) + 5 A) 9 D) 12

B) 10 E) 8

C) 11

16. Reduce: M = b x + x + x + ... + x l + 3 8x3 3 3 3 3 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 24 veces

A) 0 D) 12x

B) 10x E) 15x

21. Con los siguientes datos completa la tabla (A(x) + 7B(x)) . B(x) / A(x)B(x) + 7B(x)B(x) si para cada caso GR(x) = 14 y GR(y) = 8 27. ¿En cuánto excede el área del rectángulo (I) al área del rectángulo (II)? Expresión algebraica m+n

C) 9x

14

P (x; y) = 3x 8n - 2 ym - 4 Q (x; y) = 2 x T (x; y) = - 7x

25 n - 6 2m + 2

y

1 n+5 2

22. Relaciona cada coeficiente:

y

3 8 m-4

monomio

7

x+2

24 con

P (x; y) = - 2 xy 2 + 2 2 xy 4

3

R (x; z) = 7 xz3 + 7 xz3 - 28 xz3 4 2 2

18. Dados los monomios de varibles x; y: A = 3x2y3

2

x+4

A) 4 D) 10

B) 6 E) 2

B = 7xy

C) 8

28. El grado absoluto de M(x; y; z) es 100

M(x; y; z) =

3 a

2

2x

II

4

Q (x) = a x5 - 2 a x5 + 4 a x5


2x + 4

su

- 7 4

17. Demuestra que el resultado de operar la expresión: B = d 2x - x + 3x n + d 12x + 21x n es: 5x 3 6 2 11 11

I

b a b

5

a b a

a

b_xz ia l b_yz ib l

b_yz ib l b_ xz i5 l

Halla el grado relativo respecto a z. C = 2x2y3 Razonamiento y demostración Realiza con ellos las siguientes operaciones A) 20 B) 30 C) 40 A - C; 3A - 2C; A , y da como resultado 23. De la expresión de tercer grado, calcula el D) 50 E) 60 B el mayor grado absoluto. valor de “a”: 29. Determina: a + b + c si el grado absoluto 2a - 1 9 4a A) 5 B) 4 C) 3 x T (x) = 7 x del monomio es 91. 4 2a + 1 D) 2 E) 1 x A(x; y; z) = 31xa + 4b + 3c y3a + 2b + 2c z3a + b + 2c 19. Halla el valor numérico de los polinomios A) 801 B) 800 C) 1 A) 11 B) 12 C) 13 70 7 dando un valor positivo y otro negativo a D) 14 E) 15 70 las variables: D) 0 E) 801 2 3 a) Z(x; y) = 2x y 30. Determina “m” en el polinomio: 24. Determina el valor de “a” si el monomio b) T(x) = - 5x3 M(x) = 7x. Si. M(M(m)) = 343

30. C 15. E

22.

29. C

21.

28. D

20.

27. C

NIVEL 3

26.

19.

25. A

18. A

24. A

23. A


8. B

0

7. B

26. Escribe dos monomios de tercer grado y verifica que se cumpla la propiedad distributiva:

14. D

3

13.

Resolución de problemas 6. D

-2

12.

C) 2

NIVEL 2

B) 3 E) 0

5. E

Son términos semejantes & a + b es:

A) 4 D) 1

4. B

Si: R(x; y) = 3x3yb Q(x; y) = 10xa + 1y4

6

Si el grado relativo a “z” es 2012.

11. D

(x + 6)(x + 1) -(x + 4)(x + 2) - x

3. E

2

17.

2 _a + b i + 3 _a - b i + 4 _a + b i - 9a - 3b

25. Cuánto es el grado relativo de “y” en el monomio: con su p x3p + 1 y 2p + 7 zp - 3 T(x; y; z) = r x3 - 4p y 2p + 3 zr - 1 1

C l aves

expresión

C) 7

C) 100

Comunicación matemática 20. Relaciona cada respuesta:

B) 1 E) 4

16. B

B) 5 E) 1

A) 0 D) 3

10. D

A) 4 D) 0

Nivel 3

es de primer

9.

a - 2 4 9a x T (x) = 5 x 3a x grado.

1. 2.

¿Cómo son los resultados que se obtienen?

NIVEL 1

21


POLInomios

Si: P(x + 3) = x Halla: P(4) + P(5)

2

Resolución:

Resolución:

P(x + 3) = x = (x + 3) - 3 & P(x) = x - 3 ` P(4) + P(5) = 1 + 2 = 3

A) -3 D) 3 3

P(x) = xa + x2 + x + 1 P(x) es de tercer grado: a = 3 Nos piden: P(2) x = 2 & P(2) = 23 + 22 + 2 + 1 = 15

B) 2 E) 9

C) -5

Sea el polinomio: P(x) = x3 + ax + b, si la suma de coeficientes es 10 y su término independiente es 4. Halla: ab

A) 9 D) 5 4

Resolución:

5

B) 30 E) 60

C) 40

Además su término independiente es 18; halla la suma de coeficientes. Resolución: Si x = 2, entonces: 2P(1) + P(3) = 6 + P(3) + P(0) 2P(1) = 6 + P(0) 2P(1) = 6 + 18 = 24 ` P(1) = 12

22 Intelectum 1.°

Sea el polinomio: P(x) = (3x - 1)n + 5x + 1, donde la suma de coeficientes es 70. Halla: n + 2

A) 1 D) 8 6

2P(x - 1) + P(2x - 1) = 3x + P(x + 1) + P(x - 2)

B) 10 E) 14

C) 6

Dato: Scoeficientes = 70 P(1) & (3(1) - 1)n + 5(1) + 1 = 70 2n + 6 = 70 2n = 64 & n = 6 `n + 2 = 8

Si el polinomio P(x) es tal que:

A) 12 D) 8

B) 4 E) 15

Resolución:

P(1) = 1 + a + b 10 = 1 + a + b & a + b = 9 Término independiente: b = 4 &a = 5 ` ab = 20

A) 20 D) 50

Sea P(x) = xa + x2 + x + 1 un polinomio de tercer grado. Calcula: P(2)

C) 16

B) 2 E) 10

C) 4

Si: P(x) = 2x + 4 / P(F(x)) = 8x + 10 Halla: F(9) Resolución: P(x) = 2x = 4 P(F(x)) = 2(F(x)) + 4 = 8x +10 F(x) = 4x + 3 Nos piden: F(9) = 4(9) + 3 = 39

A) 30 D) 28

B) 39 E) 30

C) 36

7

Sea: P(x) = 2x + 1 Halla: P(P(x))

8

Si: P(x) = xa - 4 + x2a - 3 - x2a - 4 Calcula: GA(P) Resolución:

Resolución:

Si: P(x) = xa - 4 + x2a - 3 - x2a - 4 ` GA(P) = 2a - 3

P(x) = 2x + 1 Hacemos: x " P (x) P(P(x)) = 2P(x) + 1 Reemplazamos: P(P(x)) = 2(2x + 1) + 1 = 4x +3

A) 2x + 3 D) 5x + 7

A) a - 4 D) 2a + 5

C) 4x + 3

Si: P(x) = 8x8 - 7x6 + 10x12 - 7 Calcula: GA(P)

C) 2a - 4

10 Calcula mn, si en el polinomio R(x; y) = 5xm + 1 yn - 2 + 4xm + 3 yn - 3 - 6xm + 1 yn - 1 el grado relativo a x es 5 y el grado relativo y es 8

Resolución:

Resolución:

GA(P) = 12

A) 8 D) 13

B) 2a - 3 E) 3a - 1

Evaluamos los exponentes de cada variable; entonces: GR(x) = m + 3 = 5 = m = 2 GR(y) = n - 1 = 8 & n = 9 Nos piden: m.n = 2 . 9 = 18

B) 6 E) 10

A) 5 D) 12

C) 12

11 Si: M(x) = (3x5 + 8)(4x2a - 4) + x2 - 6 Calcular: GA(M)

B) 7 E) 11

12 En el siguiente polinomio: M(x) = (x - 3)(x + 3)(x2 - 4) El términos independiente es:

Resolución:

Resolución:

No necesitamos operar, por propiedad de grado absoluto, concluimos: GA(M) = 5 + 2a

M(0) = (0 - 3)(0 + 3)(02 � 4) M(0) = 36

A) a - 4 D) 2a + 5

A) 13 D) 28

B) 2a - 3 E) 2a - 1

C) 18

C) 2a - 4

13 En el siguiente polinimio hallar la suma de coeficientes: R(x) = (2x + 3)(4 - x) + 2x2 Resolución:

B) -13 E) 2

C) 36

14 Al efectuar: (x + 2)(x + 3)(x + 4) uno de sus términos es:

R(1) = (2 + 3) (4 - 1) + 2(1)2 R(1) = 5 . 3 + 2 & R(1) = 17

Resolución:

A) 17 D) 25

A) 8x2 D) 24x

Desarrollamos la expresión: (x + 2)(x + 3)(x + 4) = (x2 + 5x + 6)(x + 4) = x3 + 4x2 + 5x2 + 20x + 6x + 24 = x3 + 9x2 + 26x + 24 Uno de los términos es: 26x

C) 9x3

B) 26x E) 1

3. A

1. D

6. B 5. A

C) 13

4. D

8. B 7. C

Claves

10. C 9. C

B) 12 E) 5

2. E

9

B) 5x + 1 E) 3x - 1


23

12. C 11. D

14. B 13. A

Practiquemos

Nivel 1

Calcula: F(P(4)) A) 23


B) 21

C) 24

a) Del siguiente polinomio: P(x; y) = 54x18y - 45x2y12

A) 10m E) 13

• El grado del polinomio es 19.

B) 6

C) 3

• El grado relativo respecto a x es 2.

7. Calcula a, si GR(x) = 4 en:

• El grado relativo respecto a y es 1.

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

C) 17

D) 18

E) 20

C) 32

D) 36

E) 21

C) 1

D) 2

E) 0

P(x; y) = xa - 2y2a + 7x2 - ay4a + 1

8. Si: P(x; y) = 2x9y - 7x2y9 + x8y3

Si: GR(y) = 9

Calcula: GR(x) + GR(y) A) 15

• El valor de “a” es un número negativo. • El valor de “a” es un número impar.

D) 16

M(x; y) = 5xa + xa+3y6 + 6xay8 A) 1

b) Dado el polinomio:

B) 16

9. Si: F(x) = 5(x - 1) + 1

• El valor de “a” es un número par e igual a dos.

calcular: F(F(2)) A) 28

c) Se tiene: F(x) = x3 + x2 - 2x + 3 • El valor de: F(1) + F(2) es 13.

B) 26

10. Si: F (x) = 4x + 8 7

• El valor de: F(2) + F(3) es 44.

Calcula: S = F^ 5 h - 4

• El valor de: F(4) - F(3) es 1.

A) 5

2. Relaciona cada proposición con su respuesta: 6

E) 27

6. Halla el grado del siguiente monomio: P(x; y) = 4 x6m + 10 y3 - 6m 7

1. Subraya la proposición correcta:

8

D) 26

12

Sea P(x) = 8x - 7x + 10x - 7 GA(P) es:

11


6

11. Si el coeficiente principal de A(x) es 5, calcula su término independiente. P(x) = x2 + (a + 3)x3 + 2x + a

10 Dado: P(x) = x2 + x - 1 P(3) es:

A) 2 E) 3

8 -11

Dado: P(x) = (xm + 3)(xm + 1)(xm + 2) Grado de P(x) = 24 & m es:

B) 3

-7 12

B) 4

C) 0

D) 1

12. Si P(x) = x2 + x - a2

Además: P(a) = 3

Calcula el término independiente de P. A) 1

B) 3

C) 9

D) 2

E) -9

13. Dados los polinomios:

Razonamiento y demostración 3. Muestra que: F(F(4)) = 32 a partir de: F(x) = 3x - 1

B) 7

5. Siendo: F(x) = 2x + 1

P(x) = 3x - 2

24 Intelectum 1.°

Q _x; y i = 5x a + 2 y1 - b + 7x 2 - b y a + 6x a - 1 y 2 - b

A) 216

Halla: P(5) A) 9

P _ x; y i = 2x a - 1 y b - 1 + 3x b - 1 y a + 7x a + 2 y b - 1

si el grado absoluto de P es 10 y el grado absoluto de Q es 6, halla ab.

4. Dado: P(x + 1) = 2x + 1

C) 10

D) 6

E) 4

B) 316

C) 108

D) 96

E) 128

14. Si: P(x; y) = 3 x a yb - 7 x a + 5 y7 + yb + 7 7 Donde GR(x) = 5, calcula: a A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 5

27. Sea P(x) = ax2 + bx + c; c ! 0

A) 2 D) 5

15. Emily, Lucio y Estela resolvieron los siguientes ejercicios. Identifica el tipo de ejercicio con su respectiva respuesta.

A) 1 D) -2


Emily

A) 9 D) 3

Rpta.: -18

23. Si se cumple que P(x) + Q(x) = R(x)

donde: P(x) = 7x2 - 8x + 4 R(x) = 10x2 - 2x + 5 calcula la suma de coeficientes de Q(x) A) 8 D) 9

Rpta.: 3

B) 15 E) 10

C) 12

Si P(x; y) = 7x2 + 3xy - 7x2 Calcula: P(-2; 3)

P(x, y) = xm - 2y5 - m + xm - 3y9 - m

Si: 30. 25. A

24.

19. E 13. A 6. E

Nivel 3

18. E 12. E 5. b

29. A

28. B

23. E

26. Dado:

17. A

C) 12

16.

E(x) = (x2 - 2)12 + (x2 + x4 + 2) B) 24 E) 10

B) 8 E) 14

11. A

A) 7 D) 13

P(x) = x(ax + 2c) + bx2 - c

20. Calcula el grado absoluto del siguiente polinomio: A) 40 D) 25

Halla el término independiente.

10. E

P(x - 2) = (2x - 1)10 - (7x - 11)10 + 3x + 1

4. a

25. Sea P(x) un polinomio:

C) 10

27. B


M(n) = n(n + 1)(n + 2) - n3 + 2n2 B) 5 E) 7

V

GR(x) - GR(y) = -3 & m = 4

19. Calcula la suma de coeficientes en: A) 8 D) 3

3R - 2P; 3T - 2R; T + R - P

3.

C) 20

V

2.

B) 5 E) 14

Para: F(F(-1)) se obtiene 5.

Realiza las siguientes operaciones:

22. C

A) 10 D) 9

• Del polinomio

18. Calcula GA(K) en:

K(x) = (x9+ 3)(x5 - x + 1) - x2(x + 2)

T = -4 + 6x2 - 5x

15.

C) 9

P = 2x2 - 5x + 1; R = -x2 - 2 + 6xy

9. B

B) 7 E) 3

F

26. D

Y(a) = (2a + 7)(a - 5) - 2(a2 - 20)

C) 0

24. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda al resolver: 30. Dados los polinomios:

16. Demuestra que la suma de los grados • F(1 - x-1) = 4x2 - 2x - 5 relativos respecto a x e y del polinomio: Para F(3) = -4 P(x; y) = x7y3 + x8y2 - x5y5 • Dado: F(x) = 2(x2 - x) + x - 1 P(x; y) es 13. 17. Calcula el término indepediente del siguiente polinomio:

Si el término independiente es 6; calcula la suma de coeficientes. A) -2 B) -1 D) 1 E) 2



A) 5 D) 8

29. Dado el polinomio:

F(z + 2) = z2 - 5z + m

Nivel 3

Ejercicio 5:

Si la suma de coeficientes y el término independiente de P(x) suman: m 24 + d 3 n + 2m 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

21. A

Si F(x) = x2 + 2x - 3x + x2 + 3 Determina: R = F (- 2) - 4

C) 1

20. B

Estela

Ejercicio 4:

28. Cuál será el valor de m en el polinomio:

P(2x - 1) = (5x - 1)m + (2x + 1)m - 2x + 1

14. A

Rpta.: 8


Nivel 2

Lucía

B) 2 E) 4

C) 2

8. D

Ejercicio 3: x7 .x 4 x 6 .x3 Q(x) = 5 5 + 4 4 x .x x .x Q(5) = ?

P(x) = 9xa + 8 + 2x2a + 9 - 3xa + 5 + 4x Si sabemos que es de grado 7.

B) -1 E) 3

7. A

Ejercicio 2:

Calcula: a + b c

C) 4

22. Determina el valor de a2 en el polinomio:

A(x) = x2 + 2x2 + 3x2 +... + 10x2 Scoef.(A) = ?

P(x; y) = - xa - 2y10 - a + 13xa - 8y10 - a El GA(P) = ?

B) 3 E) 7

Además: P(1) = 0

Nivel 1

Ejercicio 1:

Donde GR(y) = 7, halla a

1.


21. Si: P(y) = y2a+3 - ya+1 + y2a+2

C l a ve s

Nivel 2

C) 30

si la suma de coeficientes es cero, determina: ab + bc + b2. A) 1 D) 0

B) -1 E) 2

C) 3


25

Matemática Si xx = 3, determina:

Reemplazamos xx = 3, en E:

x+1

3x + x E = x 2x x

3 3 6 E = 3 $23 = 3 2 = 34 3 3

` E = 81

Resolución:

Desarrollando: 3x x E = x $ x2x x

x +1

=

(x x ) 3 $ (x x ) x (x x) 2

x

7. Determina el valor de x en:

1. Desarrolla y determina los valores de x. I. 3x . 3x ... 3x = 912 & 3 12 veces

x

=3 x=

A) 1 D) 7

II. m2x - 7 = m3 & 2x - 7 = 3 & x = 3

a a =a a

III.

x -1

& a

=a

IV. 2 = 1 & 1 = 1 4 2 2 -x

& x=

& x=

C) x2

3. Halla el área del cuadrado de lado (x - 4). B) x2 - 4x - 16 D) x2 - 8x + 16

4. Efectúa e indica uno de los términos de: B) -15x2 E) 50

C) 2x2

5. Si: Los siguientes términos de los polinomios P y Q son semejantes, determina: a + b P(x; y) / 7xy3; Q(x; y) / 3xa - 4yb + 1

A) 4 D) 3

B) 6 E) 10

C) 7

6. Indica el valor de GA(P) + GR(x) 8 7

8 10

26

B) 28 E) 12

Intelectum 1.°

A) x3 - 3x2 + 3x - 6 C) x3 - 3x2 + 6x - 3 E) x3 + 5x2 + x + 9

B) 3x3 - x2 + 3x - 9 D) 3x3 - 3x2 + 3x - 3

10. Calcula el valor de a, si el siguiente monomio es de grado 30. 3x10 + a ya - 1 N(x; y; z) = a -6 w3 z 2 A) 5 D) 10

B) 8 E) 20

C) 12

A) 3 D) 12

B) 6 E) 4

C) 8

12. Dado el polinomio Q(x) = 7x - 5. Si Q(P(x)) = 12x + 2, halla el valor numérico de P(-7). A) -53 B) -82 C) -1 D) -11 E) 4 13. Si: f(x + 4) = ax + b; f(-1) = -32 y f(2) = -11

3 12

P(x; y) = 7x y + 2y x - 3x y A) 30 D) 18

C) 9

11. Dado el siguiente polinomio P(x) = x2 - x + b, determina el valor de b, si: P(3) = 12

(x - 3)(x - 7)(2x + 5) A) 8x D) 25x

B) 18 E) 81

9. Encuentra un polinomio de grado 3 que sea divisible entre (x2 + 1), y cuya suma de coeficientes sea nulo, además, P(-2) = 15.

B) x3 E) x 2

A) x2 - 16 C) x2 + 4x + 16 E) x2 + 8x + 16

C) 4

318 = mm A) 3 D) 6

4 18 M = x 3 - x7 $ x3 + x 8 x x

D) x

B) 5 E) 2

8. Encuentra el valor de m:

2. Determina M.

A) 2x

217 - x = 323

Determina a - b. C) 15

A) 5 B) 10 D) -4 E) -2

C) 4

Unidad 2

Recuerda DIOFANTO DE ALEJANDRÍA Matemático griego. Cronológicamente se le sitúa en la segunda mitad del siglo II d. C. Sus escritos contribuyeron de forma notable al perfeccionamiento de la notación algebraica y al desarrollo de los conocimientos del álgebra de su época. Mediante artificios de cálculo supo dar soluciones particulares a numerosos problemas, y estableció las bases para un posterior desarrollo de importantes cuestiones matemáticas. Perteneció a la escuela alejandrina, nació hacia el 250 y murió a los ochenta y cuatro años. Por su originalidad y sus aportaciones, Diofanto fue llamado por los historiadores el padre de los algebristas modernos. En una época de decadencia y de pura exégesis, como era el siglo en que vivió, su obra constituye una notabilísima excepción. Generalmente se le atribuye la introducción del cálculo algebraico en las matemáticas. Según parece, inició el empleo sistemático de símbolos para indicar potencias, igualdades o números negativos. De la obra de Diofanto se conserva los seis primeros libros y un fragmento del séptimo de un tratado titulado Aritmética, integrado originariamente por trece. Los libros conservados contienen un tratado sobre las ecuaciones y sobre sistemas de ecuaciones determinadas e indeterminadas, en el que se busca, de modo sistemático, la solución en números racionales.

Reflexiona • Solo puedes volverte un profesional consumado en algo que te fascine. No hagas del dinero tu meta. Mejor haz las cosas que te encantan, y hazlas tan bien que no dejes de llamar la atención. • Ten el valor de seguir tu pasión, y si no sabes cuál es, comprende que una razón de tu existencia en la Tierra es descubrirla. • El trabajo de tu vida consiste en encontrar el trabajo de tu vida, y luego tener la disciplina, la tenacidad y la dedicación necesarias para ejercerlo.

¡Razona...! ¿Cuántos palitos debes de mover como mínimo para que el caballito mire al lado opuesto?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1

Aplicamos lo aprendido tema 1: 1

productos notables

Efectúa: M = (x + 1)3 + (x - 1)3 - (2x3 - x)

2

Resolución: G = x2 - 10x + 25 - (x2 - 5x - 14) + 9 + 5x G = x2 - 10x + 25 - x2 + 5x + 14 + 9 + 5x G = 48

Resolución: M = (x3 + 3x2 + 3x + 1) + (x3 - 3x2 + 3x - 1) - 2x3 + x M = 7x

A) 10x D) 6 3

B) 12x E) 7x

C) 6x

Efectúa: N = (x + 2)2 - (x + 1)2 - 3

A) 45 D) 46 4

5

B) 2x E) 5

B) 48 E) 49

C) 47

Efectúa:

Resolución: N = (x + 2)2 - (x + 1)2 - 3 N = x2 + 4x + 4 - x2 - 2x - 1 - 3 N = 2x

A) 0 D) x

Reduce: G = (x - 5)2 - (x - 7)(x + 2) + 9 + 5x

2

2

_x + yi - _x - yi 2xy

Resolución: ^x + yh2 - ^x - yh2 2xy Por identidad de Legendre en el numerador: 4xy =2 2xy

C) 3x

A) 3 D) xy 6

Efectúa: A = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1) + 1 Resolución: A = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1) + 1 A = (x2 - 1)(x2 + 1) + 1 A = x4 - 1 + 1 A = x4

B) x E) 6

C) 2

Si: x + y = 5; xy = 3 Halla: x3 + y3 Resolución: Datos: x + y = 5 Piden: x3 + y3

/ xy = 3

Aplicamos identidad de Cauchy: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) 53 = x3 + y3 + 3(3)(5) & x3 + y3 = 80

A) x2 8

D) x

B) x4 E) 0

C) x3

A) 125 D) 50

B) 100 E) 25

C) 80


29

Efectúa: E = (a + 4)(a2 - 4a + 16) - 26

8

Resolución: E = (a3 + 43) - 26 E = a3 + 64 - 64 & E = a3

B) a2 E) 2

C) 0

Efectúa: 2 2 A = da + b n -da - b n b a b a

A) 12 D) 5

Resolución: N = 6 ^x6 + 1h^x6 - 1h + 1

Aplicamos Legendre: a b A= 4 . . = 4 b a

B) 3 E) 8

C) 4

N=

x12 & N = x2

B) x E) -x

C) 0

A) -2 B) -3 D) 3 E) 2

C) 7x

C) -4

14 Efectúa: 2 P = ( 3 + 2) 2 + _ 3 - 1i - 2 3

Resolución: P = (x + 1)(x2 - x + 1) - x3

Resolución: 2 2 P = ^ 3 + 4 3 + 4h + ^ 3 - 2 3 + 1h - 2 3 P = 11

A) 11 D) 9

B) 10 E) 8

5. b

C) -2x

6. c

8. a 7. a

10. a 9. C

B) 2x E) 1

C) 12

3. b

Suma de cubos P = x3 + 1 - x3 P=1

12. b 11. d

14. A 13. e

Claves

30 Intelectum 1.°

x12 - 1 + 1

6

Resolución: Dato: a3 - b3 = 28 / a - b = 4 Por identidad de Cauchy: (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) 43 = 28 - 3ab(4) 36 = -12ab & ab = -3

13 Halla P: P = (x + 1)(x2 - x + 1) - x3

A) 0 D) 2

6

A) x2 D) 1

Resolución: m = (2x)2 + 2x(5 + 3) + 5 . 3 - 4x2 - 15 M = 4x2 + 16x + 15 - 4x2 - 15 M = 16x

B) 8x E) 10

N=

12 Si: a3 - b3 = 28 y a - b = 4 Calcula: ab

11 Efectúa: M = (2x + 5)(2x + 3) - 4x2 - 15

A) 8 D) 16x

C) 6

10 Calcula N: N = 6 _ x 6 + 1i_ x 6 - 1i + 1

Resolución: a b 2 a b 2 A =c + m - c - m b a b a

A) 2 D) 12

B) 8 E) 4

4. c

9

A = (x + 4)2 - (x - 2)2 - 12x A = x2 + 8x + 16 - x2 + 4x - 4 - 12x A = 12

1. e

A) a3 D) a6

Efectúa: A = (x + 4)2 - (x - 2)2 - 12x Resolución:

2. b

7

Practiquemos 9. Efectúa:

Nivel 1

R = (x + 2)(x2 - 2x + 4) - 8

Comunicación matemática 1. Relaciona cada proposición con su respuesta. 7a3

Si: x = 3 + 1 A. Calcula: x2 - 2x + 1

8a2 3

Si: x - y = 2 / xy = 3 B. Halla: x2 + y2

-3 10 11

Efectúa: C. (2a - 3b)(4a2 + 6ab + 9b2) + 27b3

8a

3

2. Coloca los signos matemáticos adecuados de tal manera que se cumplan las siguientes identidades: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (x - a)(x - b) = x2 - (a + b)x + ab

Resolución de problemas 10. Reduce: 2 2 _a + b i - _a - b i ab A) 0 D) 3

A) (a2 + b2)2(a2 - b2)2 B) (a - b)8 C) (a4 + b4)(a4 - b4) D) (a5 + b5)(a3 - b3) E) (a - b)(a7 + b7)

C) 16 2

4. Efectúa: M = (x + 5) + (x - 4) - 2x(x + 1) B) 43 E) 37

C) 31

5. Efectúa: M = [(x + 2y)2 - x2 - 4y2] ' xy A) 1 D) 4

B) 2 E) 8

C) 3

6. Si: a + b = 7 / a2 - b2 = 42 Calcula: a - b A) 3 D) 7

B) 5 E) 9

7. Efectúa: 2 2 K = a - 16 + a - 4 a+4 a+2 A) 0 B) a - 8 D) 2a - 8 E) 3a - 6

A) (a - b)3 = (b - a)3 C) ( a + 9)(a - 9) = a2 - 80

D) (a + 3)2 + (a - 3)2 = 2a2 + 18

E) (x + 2)(x - 3) = x2 + x + 6

13. Marca con un aspa las igualdades verdaderas: (c + 1)3 - (c - 1)3

= 2(1 + 3c2)

(x3 + bb)(x3 - aa)

= x6 + (bb - aa)x3 + aa . bb

(a + b)(a - b)

= a2 + b2

(x2 + y2)2

= x2 + y2 + 2xy

(x + y + 3)(x + y - 3) = x2 + y2 + 2xy - 9 C) 6

Razonamiento y demostración 14. Efectúa:

(x + 2)2 - (x + 2)(x - 2) - 4x

C) 2a - 6

A) 6 D) 10

B) 4 E) 12

C) 8

15. Efectúa:

8. Efectúa: A = (a - 1)(a2 + a + 1) - a3 A) -a B) -1 D) -2 E) -2a

12. Marca la igualdad correcta: B) (a - 1)3 = a3 - 3a + 1

3. Calcula: Z = (x + 2)2 + (x + 3)2 - 2x(x + 5)

A) 51 D) 41

C) 2



2

B) 1 E) 4

11. La expresión: a8 - b8 se puede escribir como:

(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

B) 9 E) 13

C) 2x - 3

Nivel 2

(a + b)(a - b) = a2 - b2

A) 11 D) 14

B) x3 E) x2

A) 2x D) 2x + 3

(a + b)2 - (a + b)(a - b) - 2b2

C) 2a

A) 2ab B) ab D) -ab E) -2ab

C) 3ab


31

C) (a - b)3 / a3 - b3 - 3ab(a - b)

16. Efectúa: (x + 2)(x + 6) - (x + 4)2

D) a2 - b2 / (a + b)(a - b)

A) -10 B) -2 C) -4 D) -6 E) -8 17. Reduce: 2 2 M = _ 7 + 3i +_ 7 - 3i A) 10

B) 13

C) 20

Razonamiento y demostración D) 18

E) 36

18. Efectúa: Q=

8

B) a4

C) a2

D) 0

E) a

19. Efectúa:

B) 81

C) 25

D) 36

E) 49

20. Si: a - b = 4; ab = 2; halla: a3 - b3 A) 64

B) 76

A = ( 5 + 3) 2 + (4 - 5 ) 2 + 2 5

C) 88

B) 36

E) 52

D) 29

E) 35

A = (2x + 3)2 + (3x + 1)2 - 13x(x + 1) - 10 B) 4x

C) 16

D) 8x

E) 8

D) 4 5

E) 10

D) 0

E) 1

D) 0

E) 1

28. Efectúa: 2 2 R = _ 5 + 1 i - _2 - 5 i + 3 A) 6 5

D) 100

C) 34

27. Efectúa: A) 5x

M = [(2 + 3 ) (2 - 3 ) (3 + 2 ) (3 - 2 )] 2

A) 64

26. Efectúa: A) 32

_a 4 + 2i_a 4 - 2i + 4

A) 1

E) (a + b)2 - (a - b)2 / 4ab

B) 4

C) 0

29. Efectúa:

A = (a2 - 5b3)2 + 10a2b3 - 25b6

21. Efectúa:

A) 2a4

A = (x - 3)(x2 + 3x + 9) - (x3 - 30)

A) 2

B) 1

C) 6

D) 0

E) 3

Resolución de problemas 22. Si: x = (a + b) ;

B) 3

z = a2 + b2 Calcula: ab

A) 2x6 - 1 B) x6

x-y 4 D) x y

C) 4

31. Efectúa: A = (x + 1)(x2 - x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1)

y = (a - b)4;

A)

C) 8

30. Efectúa: R = (x8 + 3)(x8 - 3) - (x16 - 10) A) 2

4

B)

x-y x-y C) 8 8z 2

2

E) x + y

23. Calcula: E = _ 2 + 1i - 5 2 B) 9

C) 10

C) x6 + 1 D) x6 - 1 E) 4

Resolución de problemas 32. Desarrolla: Z = (m + n)2(n + p - m)(m + p - n) + (m - n)2(m + n + p)(m + n - p)

3

A) 8

B) a4

D) 6

E) 7

Nivel 3

B) m2n2p2

A) mnp D) 1 mnp2 4

C) 2mnp2

E) 4mnp2

33. Simplifica: E = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) - x2(x2 + 1)


A) - 2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

24. Determina la operación efectuada correctamente. A) (x - 7)(x - 3) = x2 - 10x - 21

B) (x + aa)(x - bb) = x2 + (aa - bb)x - aabb

Cl aves

C) (a + 2)2 + (a - 2)2 = (a2 + 4)

D) (a2 + 32)(x2 + 22) = (ax + 6)2 + (2a + 3x)2

E) (a + 2)3 - (a - 2)3 = 4(4 + 3a3)

25. Ordena los productos notables según su número de términos algebraicos dados en el segundo miembro, de menor a mayor. 2

2

2

A) (a + b) / a + 2ab + b

B) (a + b + c)2 / a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

32 Intelectum 1.°

Nivel 1

1. 2. 3. e 4. d 5. d 6. c 7. c

27. A

16. c

21. e 22. C 23. E

17. c

Nivel 3

30. e

18. e

24. B 25. 26. e

31. d

8. b 9. b 10. e 11. C

14. c

Nivel 2

12. d 13.

15. A

19. E 20. c

28. a 29. b

32. e 33. D


DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Calcula la suma de coeficientes del cociente que resulta de dividir. x3 + 5x 2 + 10x + 10 x 2 + 2x + 1 Resolución: Por Horner:

1 -2 -1

1

5 -2

1

10 -1 -6

3

3

2

Resolución: Por Horner: 1 1 -1 -1

10

3

1

7

-3

-1

-1

C) 4

4

1 1 0

1 0

C) 0

Calcula A . B, si la división: 4 3 2 7x - 12x 2 + 18x + Ax + B 7 x + 2x + 1 deja como resto: 4x + 5

4 -3 -6 -5

1 9 -10 0

Resolución: Por Horner: 7 7 -12 18 -2 -2 -1 -1 4

P

15 0

1

A) -13 B) -14 C) -15 D) -16 E) -17 Halla la suma de coeficientes del cociente de: 2x 4 - 3x3 - 9x 2 - 11x + 33 x-3

A

-2

A) 60 D) 63 6

B

2 -6 -3 3 4 5 resto

` P = -15

Luego: A+2-6=4 &A=8 B - 3 = 5 &B=8 ` A . B = 64

B) 61 E) 64

C) 62

Calcula el cociente de: x3 - 4x 2 + 7x + 12 x+1 Resolución: Por Ruffini:

Resolución: Por Ruffini: x=3

-1

A) -2 B) -1 D) 1 E) 2

resto

5

-2

resto

Halla P si la división, es exacta. 4x 2 - 5 x 3 + x 4 + P + x - 2x + x 2 + 3

1

-1 -1 1

` Resto = 0

B) -3 E) 0

Resolución: & El resto = 0 1 1 -5 2 2 -3

0 -1

-3

cociente ` S de coef. del cociente = 3 + 1 = 4

A) 7 D) -4

Calcula el resto en la división: a 4 - a 2 - 2a - 1 a2 + a + 1

2 2

-3 6 3

-9 9 0

-11 33 0 -33 -11 0

cociente ` Σ de coef. cociente = -6

A) 0 B) -3 C) -4 D) -5 E) -6

x = -1

1 1

-4 -1 -5

7 12 5 -12 12 0

` Cociente = x2 - 5x + 12

A) x2 - 5x + 12 D) x3 - 5x -12

B) x2 - 5x -12 E) x3 - 5x + 12

C) x2 + 5x + 12


33

Divide y señala el cociente: 16x 4 - 24x3 + 28x 2 - 5 2x - 1 28

0

-5

8

-8

10

5

-16 . -8

20 . 10

10 . 5

0

A) 8x3 - 8x2 + 5 C) x3- 8x2 + 10x + 5 E) 8x3 + x + 5

` Cociente = 8x3 - 8x2 + 10x + 5

B) 8x3 -1 D) 8x3 - 8x2 + 10x + 5

Halla n, si en la siguiente división el residuo es 40. x 4 + x3 + x2 + x + n x-2

C) 12

8 -6 0 2

` Cociente = x2 - x - 2

B) x2 + 3x + 1 D) 2x2 - x + 4

B) 35 E) 41

Resolución: Por Horner: 4 8 3 -1

-9 12 3

C) 5

13 Halla el residuo en la siguiente división: x4 2 x -x+1

C) 37

0 0

B) -2x E) -x

C) x - 1

9. b

12. E 11. e

A) x D) 2x

-1 0 -1

10. d

R(x) = -x

0

14. d 13. e

-3 -12 -4 0

4 8

B) 2 E) -4

Resolución: 1 1 -1 -1

0 -1

5 -1 1

1

-1

5

A) 10 D) 8

Claves

34 Intelectum 1.°

4

C) 3

14 Si: x 4 + 5x 2 + q x2 + x + 1 Deja como resto - 4x + 3. Halla: q

7. d

0

0

15

A) 1 D) 4

8. a

0 -1 1

6 -23 6 -2 9

2 3 q(x) = 2x3 + 3x2 - 4x

R(x) = 2x + 3 TI R(x) = 3

B) 2 E) 3

1

0

12 Señala el coeficiente del término lineal del cociente en: 8x 4 + 6x3 - 23x 2 + 15x + 4 4x 2 - 3x + 1

A) 1 D) 4

1

10

-6 . -2

A) 30 D) 38

Halla el término independiente del resto.

0 1

5

-3 . -1

10 Halla el resto en: 2009 + x2 + 1 _x - 5i x-6

11 En la división: 6x3 - 12x 2 + 8x - 9 3x 2 + 3

Resolución: Por Horner: 1 1 1 -1

-5 3 . 1

-11 -10

Resolución: Evaluamos x = 6 en el dividendo: (6 - 5)2009 + (6)2 + 1 = 38 ` Resto = 38

B) 10 E) 2

Resolución: Por Horner: 3 6 -12 0 0 -3 2 -4

2

A) x2 - x - 2 C) 2x2 + x - 1 E) x2 - 2x + 3

Resolución: Evalúa x = 2 en el dividendo: (2)4 + (2)3 + (2)2 + 2 + n = 40 & n = 40 - 30 ` n = 10

A) 8 D) 14

3

0 1 -5 -4

q -5 3

B) 1 E) -1

5. e

9

x =- 5 3 '3

6. a

' 2 16 . 8

-24

q-5=3&q=8

C) 2

3. c

16

Resolución: Por Ruffini:

4. e

x= 1 2

Calcula el cociente de: 3x3 + 2x 2 - 11x - 10 3x + 5

1. c

Resolución: Por Ruffini:

8

2. c

7

Practiquemos Nivel 1 Comunicación matemática

Indica el residuo.

1. Del siguiente esquema de Ruffini: 2 -4 2

9

7

10

-8

c

d

8 -48

1

3

-2

12 -50

a

A) 2x - 1 D) 3x + 2

b

B) 2 E) 5

C) 3

2. Del esquema de Ruffini: 3

18 6

-26 28

0 3

Halla la suma de coeficientes del cociente. A) 25 D) 28

B) 20 E) 15

C) 26


C) 3

C) 20

B) 7 E) 5

C) 1

A) 5 B) -8 C) -5 D) -4 E) -10

A) 1 D) x2 - 2x + 1

B) x2 + 1 E) x2 + 2x - 1

C) x2 + 2x + 1

12. Encuentra el cociente de: 5 x 3 - 2 x 2 - 2x - 1 x-1

6x 4 + x3 - 15x 2 + 24x - 7 3x 2 + 5 x - 3 Halla el valor del residuo. B) x + 5 E) 5x + 1

C) x - 5

A) 5x2 + 3x + 1 C) 4x2 + 3x + 12 E) 5x2 - 3x - 1

B) 5x2 - 3x + 1 D) 5x3 + 3x + 2

13. En la división:

6. Divide:

2x 4 + 3 2 x3 - 12x 2 + 3 2 x - 2 x- 2

6x 4 + 2x 3 - 4 x 2 - 5 x + 3 2x 2 - 4 x + 2 y da como respuesta la suma de coeficientes del cociente. A) 17 D) 20

A) 6 D) 3

x 3 + 3x 2 + 3x + 1 x+1

5. Divide:

A) x - 1 D) 5x - 1

9. Da como respuesta la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división: x 4 + 2 x 3 + 5 x 2 + 3x + 1 x 2 + 3x + 2

11. En la división, halla el cociente.

Da como respuesta la suma de coeficientes del residuo. B) 15 E) 30

A) 2x2 + x + 1 B) 2x2 - x - 1 C) 2x2 + 3x + 1 D) 2x2 - 3x - 1 E) 2x2 - 5x + 3

y señala el menor coeficiente del cociente.

4. Divide: 2x5 - 2x 4 + 3x3 + 7x 2 + 11x - 8 2x 3 - x - 2 A) 10 D) 25

Indica el cociente.

5x 4 + 12x3 - 37x 2 - 24x - 32 x+4

y halla el valor del residuo.

B) 2 E) 5

C) 3x - 2

10. Divide:

3. Divide: 6x5 - 13x 4 + 13x3 + 23x 2 - 34x - 25 3x 2 - 2x - 4 A) 1 D) 4

B) 2x + 1 E) 5x - 1

8. Divide: 6x 4 - x 3 - 4x - 3 3x 2 + x + 2

Calcula: a + b - 3c + d A) 1 D) 4

7. Divide: 4x3 - 8x 2 + 15x - 6 2x 2 - 3x + 5

B) 18 E) 21

C) 19

Calcula el término independiente del cociente. A) 2 B) 2 2 C) 3 2 D) 4 2

E) 0 ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

35

14. Halla el resto en: 2x3 - 4x 2 + 7x - 10 x-2 A) 14 B) -10 D) -4 E) -8

C) 4

15. Calcula m + n, si: x3 + mx 2 + nx + 1 x-1 es exacta. A) 0 B) -1 C) -2 D) -3 E) -4 16. Divide: 27x 425 + 81x 424 - 5x - 19 x+3 y calcula el residuo. A) 0 B) -1 C) -2 D) -3 E) -4

22. Al dividir el polinomio P(x) entre 27. Determina el valor de (m + n), si la (x2 + 1)(x - 3) se obtuvo como resto: siguiente división es exacta: x2 + 4x - 6. ¿Cuál será el resto de x 4 + 2x3 - 7x 2 + mx + n dividir P(x) ' (x - 3)? x 2 - 3x + 5 A) 12 D) 15

B) 11 E) 20

C) 10

A) 16 D) 31


A) 1 D) 4

23. Del esquema de Ruffini: 12 25

-5 5

C) 30

28. Halla m si la división: x3 - 2mx 2 + 4mx - 8 es exacta. x 2 - 2x + 4

Nivel 2

10

B) 15 E) 32

0

' 5 Calcula la suma de coeficientes del cociente.

29. Calcula

B) 2 E) 5 3

C) 3

a + b , si la división es exacta.

4

3x + 5x 2 + ax + b 3 x 2 + 3x + 2 A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

17. Luego de dividir se obtuvo de residuo 12; 30. Halla (a + b) en la siguiente división calcula el valor de a. A) 6 B) 7 C) 5 exacta: D) 9 E) 4 4x 4 - 3x3 - 12x 2 + _a + 4i x + a x 4 + 4x3 + 6x 2 + ax + b x 2 + 2x + 1 x-2 24. Indica verdadero (V) o falso (F), en la A) 1 B) 3 C) 2 siguiente división: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 D) 4 E) 5 x 5 - 2x - 1 x3 + 1 18. En la siguiente división, halla el resto: 31. La siguiente división: 2x 4 + x3 + x 2 - 30 1. El grado del dividendo es 3. ( ) x 4 + x 3 - 4x 2 + x + q x+2 x3 + px - 1 2. El cociente es de grado igual a 2. ( ) A) 3 B) 2 C) -3 tiene un resto de la forma: 2x2 + 8x + 5 D) -2 E) -6 3. El grado del resto puede ser 2. ( ) Halla: p + q A) FVF B) FFV C) VVF 19. Halla el resto al dividir: A) 2 B) 1 C) 0 D) FFF E) FVV x 3 + x 2 + 2x + 3 D) -1 E) -2 x+1 Razonamiento y demostración A) -1 B) 0 C) 1 32. Divide: D) 2 E) -2 x3 - 6x 2 + 5x + 10 25. Divide: x 2 - 4x + 2 7 6 4 3 2 20. Calcula el resto en la siguiente división: 6 x + 9 x + x + 4 x + x - 3x + 2 Da como respuesta el resto. 5x3 - 3x 2 + 2x + 15 2x 3 + 3x 2 - 1 x+1 A) x + 7 B) 0 C) 2x + 1 Indica el coeficiente del término D) 5x 2 E) -5x + 14 A) -2 B) 1 C) 3 cuadrático del residuo. D) 5 E) 7 A) 3 B) 2 C) -1 33. Indica la suma de coeficientes del cociente D) 4 E) 5 que se halla al dividir.


21. Determina el valor de: ab , a, b ! R Z = a + b - ab (a + b ) a!b!0 Si: a2 + 11a + 2 = 0 b2 + 11b + 2 = 0 A) 7 B) 9 C) 1 121 121 120 D) 7 9

E) - 13 121

36 Intelectum 1.°

26. Halla el cociente en la división: x5 - 5x 4 + 10x3 - 10x 2 - 5x + 1 x 3 - 3x 2 + 3x - 1 A) x2 + x + 1 B) x2 - 2x + 1 C) x2 + 2x + 1 D) x2 - x + 1 E) x2 + x - 1

4x 4 + 4x3 - 11x 2 + 6x - 6 2x - 1 A) 2 B) 3 D) 1 E) -1

C) -4

34. Halla el coeficiente mayor del cociente al dividir: 20x 4 - 3x3 + 16x 2 - 6 5x + 3 A) 4 B) 5 D) -5 E) -4

C) 6

35. Halla el cociente al dividir:

Nivel 3

x 3 + 2x 2 + x - 5 x+2 A) x2 - 1 D) x2 + 2

Comunicación matemática B) x2 + 1 E) x2 - x + 1

C) x2 + x + 1

36. Halla el residuo de dividir:

B) 82 E) 85

C) 83

1. El cociente es: Q(x) = 2x2 - 2x + 1

(

)

2. El residuo es: R(x) = 3x + 4

(

)

3. El coeficiente principal del residuo es -3.

(

)

A) VVV D) VFV

37. Calcula n, si al dividir: x100 + 32x95 + (n + 1) x3 + nx 2 + 10 x+2

B) FFF E) FFV

B) - 3 E) - 6

7

Se obtiene como resto (3m - 8). Encuentra el valor de m. B) 4 E) 10

C) 6

2 x 5 - 9 x 4 + 3x - 4 2x - 1 A) -8 B) -6 D) 7 E) -3

0

c

0

1

-98

B) 1 E) 14

C) -1

1

3

5

1

24

8

35

13

5

B) 35 E) 48

1

Luego indica la suma del coeficiente principal y el término independiente del residuo. A) -44 B) -28 C) -26 D) -42 E) 28 41. Al dividir un polinomio P(x) entre el producto: (x + 4)(x - 5)(x + 6) el resto obtenido es: x2 - 7x + 2. Encuentra cuáles son los restos que se obtienen al dividir P(x) entre:

A) 45; -7; 81 D) 30; -20; 10

14

C) 40

45. En el siguiente cuadro de Ruffini, halla la suma de los números que debemos escribir en los recuadros vacíos.

x9 - 27x 6 + 3x 2 - 5x + 2 x 2 - 4x + 3

II. x - 5

-100

44. En el siguiente esquema de Horner, halla la suma de los números que debemos escribir en los recuadros vacíos.

A) 30 D) 44

40. Efectúa:

I. x + 4

2 Calcula: S = ab c 14 A) 0 D) 15

C) 4


1

b

2

39. Halla el residuo de:

-14

a

C) - 4

38. Cuando se divide: x3 + (- 2 - 7 ) x 2 + (2 7 - 15) x + 15 7 + m x- 7

A) 2 D) 8

C) VVF

43. Del esquema:

deja como residuo 14. A) - 2 D) - 5

4x 5 - 2x 4 + 3x - 5x 2 + 1 2x 3 + x 2 - 3

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

4x78 + 32x75 + 6x 41 + 12x 40 + 5x 4 + 1 x+2 A) 81 D) 84

42. Luego de dividir:

III. x + 6

B) 50; -1; 90 E) 46; -8; 80

C) 1; -1; 2

-3

3

2

-4 30 -87

-3 1

0

2 -10

29 -93

A) -10 B) -11 C) -13 D) -14 E) -15

Razonamiento y demostración 46. Encuentra el resto de dividir: x5 + (a + 1) x 4 + (a + b) x3 + (b + 1) x 2 + ax + b x 2 + ax + b A) 1 D) 4

B) 2 E) 8

C) 0


37

47. Indica un valor de m para que: 4x4 - 5x2 + 2mx sea divisible por: 2x2 - mx + 2 A) 3 D) 7

55. Da el valor de (m + n + p + q) si la división: mx3 + nx 2 + px + 4x 4 + q 2 x 2 + 3x - 1

B) 4 E) 8

C) 5

es exacta, además los coeficientes del cociente aumentan de 3 en 3 a partir del primero. A) 50 D) 56

48. Si la siguiente división es exacta. px 4 + qx3 + x 2 - x - 6 x2 - x + 2 B) -1 y 3 E) 2 y 1

C) 1 y -3

49. ¿Qué valor adquiere n + 2 ; si la división es exacta? k+1 x19 - nx + k x 2 - 2x + 1 A) 1

B) 2

C) 19

D) 38

E) 4

50. Determina el resto en la división:

B) 3

C) 0

P(x) = 2x4 + x3 - 18x2 - 29x + 6 ¿cuánto hay que aumentarle al coeficiente de x3, para que sea divisible por (x - 3)? A) 1 D) 4

B) 3 E) 5

D) 2

C) 2

57. Se tiene un polinomio entero en "x" de tercer grado que se anula para x = 9 y para x = -7 y al dividirlo entre x - 11 da como resto 2160. Si el primer coeficiente del polinomio es 5, halla el resto de dividirlo entre x - 1. A) -640 D) -300

x 4 + x6 + x2 + 1 x2 + 1 A) 1

C) 54

56. Sea el polinomio:

halla: p y q A) 1 y 3 D) -1 y -3

B) 52 E) 58

B) 640 E) 1

C) 300

E) 4

51. Halla n si la división:

_ x - 3i_ x - 4i

A) 1 D) 2x - 1

B) 2x E) 2x + 1

38 Intelectum 1.°

C) 3x + 1

40. c

41. e

32. e

33. a

23. C

24. e

16. e

17. d

7. a

8. b

Nivel 2

31. e

39. E

15. c

38. b

30. e

29. b

22. d

21. e

28. b

37. b

42. d 43. e 44. d 45. c 46. c 47. A 48. C 49. B 27. d

6. c

71

14. c

80

_x - 3i + _x - 4i + 6

5. d

54. Halla el resto en:

4. b


13. a

C) 1

12. a

B) 2

3. c

A) 0

20. d

es: px + q.

11. c

6x5 + 4x 4 + 5x3 + 8x 2 + mx + n 3x 2 + 2x + 1

2. D

Si el residuo al dividir:

36. a

Nivel 3

E) 8

n _p + 5i m _q + 2 i

1. b

53. Calcula:

C) 32

35. B

B) 31

C l a ve s

A) 30

34. b

D) 3

Calcula el valor de m.

26. b

E) 34

(3x + 4y) 5 - (2x) 5 - my5 x+y

25. d

D) 33

52. Si la siguiente división es exacta:

19. c

E) 16

18. d

D) 14

9. a

C) 12

10. b

B) 10

Nivel 1

A) 8

50. C 51. B 52. D 53. c 54. d 55. D 56. C 57. a

8x 4 - 2n 2 x 2 + x - 4 tiene por residuo 1. 2x - n


FACTORIZACIÓN

Indica el número de factores primos: P(x) = x3 + x2 - 4x - 4

2

Resolución: Agrupando: P(x) = x2(x + 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(x + 2)(x - 2) 1.° 2.° 3.° El número de factores primos es: 3

Factoriza por el método del factor común: F(x) = (x - 3)(x - 2) - (x - 2)(1 - x) + 1 - x Resolución: F(x) = (x - 3)(x - 2) - (x - 2)(1 - x) + (1 - x) = (x - 3)(x - 2) + (1 - x)(1 - x + 2) = (x - 3)(x - 2) + (x - 1)(x - 3) = (x - 3)(x - 2 + x - 1) = (x - 3)(2x - 3)

A) 1 D) 4 3

B) 2 E) 5

A) (x + 3)(2x - 1) C) (x - 3)(2x - 3) E) (x - 3)(x + 3)

C) 3

Factoriza: F(a; b) = a3b3 + a2b4 + 3a2b3

4

Resolución: F(a; b) = a3b3 + a2b4 + 3a2b3 = a2b3 (a + b + 3)

A) a2b2(a + b + 3) C) a2b(a + b - 3) E) a2b3(a + b + 3) 5

Factoriza: P(x; a) = ax4 - ax2 Luego, indica un factor primo. Resolución: P(x; a) = ax4 - ax2 Factorizamos: P(x; a) = ax2 (x2 - 1) P(x; a) = ax2 (x+1)(x-1) ` Un factor primo es: x + 1

B) ab2(a + b + 3) D) a3b(a + b + c)

Factoriza: 2a3b2c4d - 3ab4c5 + 7a2b2c4d2 Resolución: 2a3b2c4d - 3ab4c5 + 7a2b2c4d2 ab2c4[2a2d - 3b2c + 7ad2]

B) (x + 5)(2x - 3) D) (x - 7)(2x - 3)

A) x2 - 1 D) x - 2 6

B) ax2 - 1 E) x2 + 1

C) x + 1

Factoriza: P(x) = (5x - 3)2 - (2x - 7)2 Da como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo. Resolución: P(x) = (5x - 3)2 - (2x - 7)2 Por diferencia de cuadrados: P(x) = (7x - 10)(3x + 4) ` Scoef. de un factor primo: -3 o 7

A) a2bc4d(2a - 3b + d2)

B) ab2c4d(2a2d - 3b2c + 7ad2) C) ab2c4(2a2d - 3b2c + 7ad2)

D) abcd(2a + 3b + 7d) E) abcd(2a - 3b + 7d)

A) -3 B) 7 D) 6 E) A o B

C) -4


39

Factoriza: P(x; y) = x5y + 2x4y2 + x3y3 Indica un factor primo.

8

Resolución: M(x; y) = (3x + y + 3y - x)(3x + y - 3y + x) = (2x + 4y)(4x - 2y)

Resolución: P(x; y) = x3y(x2 + 2xy + y2) = x3y(x + y)2 ` Un factor primo es: x + y

C) x - 2y

A) 1 D) 4

Factoriza: M(x; y) = x6 - x2 - 8x - 16 Da el número de factores primos.

B) 2 E) 5

Resolución: Dato: x - y = 5 Piden: x2 - 2xy + y2 Trinomio cuadrado perfecto & x2 - 2xy + y2 = (x - y)2 = (5)2 = 25

A) 15 D) 30

C) 3

11 Factoriza: 6x2 + 19x + 10 Indica la suma de sus factores primos.

C) 20

Resolución: 6x2 - 4x - 2 = 2(3x + 1)(x - 1) 3x 1 2x -2

` Sfactores primos = 5x + 7

` Un factor primo es: 3x + 1

C) 5x + 7

A) 3x D) 2x + 3

C) 3x + 2

14 Factoriza cada expresión por aspa simple: • a2 + 8a + 16 • n2 - 5n - 6 • x2 - x - 2 • x2 - 2x - 3 Resolución:

M(x) = x2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) x - 4 x 1

Q(x) = x2 - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1) -7 x x 1 P(x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1) R(x) = x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) 1 x 3 x x 1 x 2

P(x) = a2 + 8a + 16 = (a + 4)(a + 4) 4 a a 4

R(x) = x2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) -2 x x 1

Q(x) = n2 - 5n - 6 = (n - 6)(n + 1) -6 n n 1

S(x) = x2 - 2 x - 3 = (x - 3)(x + 1) -3 x x 1

5. c

Resolución:

6. e

13 Factoriza cada expresión por aspa simple: • x2 - 3x - 4 • x2 + 2x + 1 • x2 - 6x - 7 • x2 + 5x + 6

B) 2x - 1 E) 3x + 1

3. e

B) 3x + 5 E) 5x + 2

8. b 7. a

10. e 9. b

12. e 11. c

14. 13.

Claves

40 Intelectum 1.°

B) 10 E) 25

12 Factoriza: 6x2 - 4x - 2 Indica un factor primo.

Resolución: 6x2 + 19x + 10 = (2x + 5)(3x + 2) 2x 5 3x 2

A) x - 3 D) 2x + 7

C) 3

10 Si: x - y = 5 Halla: x2 - 2xy + y2

Resolución: M(x; y) = x6 - (x2 + 8x + 16) = x6 - (x + 4)2 = (x3)2 - (x + 4)2 = (x3 - x - 4)(x3 + x + 4)

A) 6 D) 4

B) 2 E) 5

4. c

9

B) x - y E) x - 3y

1. c

A) x + y D) x + 2y

Factoriza: M(x; y) = (3x + y)2 - (3y - x)2 Da el número de factores primos.

2. b

7

Practiquemos 9. Encuentra el coeficiente que aparece al factorizar:

Nivel 1 Comunicación matemática 2

1. Encuentra el valor de (a + b) en la siguiente factorización efectuada por aspa simple: 27x2 + 42x - 49 3x

7

ax

b

7x2 - Ax - 18 -3

x

6

Razonamiento y demostración 3. Factoriza e indica la suma de los términos independientes de los factores primos. P(a; b) = 4a2 + 4ab2 + b4 - 1

A) 1 D) 2

B) -1 E) 0

C) 2

2

3 5

3

w x + 3w - t x - 3t A) x5 + 3 D) t2 - 3

B) x3 + t3 E) w5 - 3

C) 4x - 3

B) FFF E) FFV

C) VVV

11. Del siguiente polinomio: A(x; y; z) = xyzw(x + 7)(w - 10)(y - 3)(z - 20) Indica correcto (C) o incorrecto (I) en las siguientes proposiciones: ( ) A(x; y; z) tiene 6 factores primos. ( ) Un factor primo de A tiene término independiente -10. ( ) Un factor primo de A tiene suma de coeficientes -19. B) CCI E) CCC

C) ICC


▪▪ mn2 + m2n + mn ▪▪ a2b - 2ab2

▪▪ 2xa - a + 2xb - b B) m2 + 3 E) m2 + 7

C) m2 + 4

Indica el término independiente del factor primo con mayor coeficiente. A) 4 B) 2ax D) 2a E) 4a2

C) x2

A) a - b + 1 D) a + b

8. Factoriza y da como respuesta la mayor suma de coeficientes de un factor de: 3

A(t) = t + 3t + 2t C) 2

B) a + b - 1 E) a - b

C) a + b + 1

14. Factoriza:

P(m) = m2 - 3m - 4 Indica la suma de sus factores primos. A) m - 1 D) 3m + 1


B) 1 E) 4

13. Indica un factor primo de:

P(a; b) = a2 - 2ab + b2 - 1

7. Factoriza: R(x) = 8a3 - x3

A) 0 D) 3

A) VFV D) VVF

▪▪ x3y - x2y3 + x2y

3m4 + 7m2 + 4

5

Indica verdadero (V) o falso (F), en las siguientes proposiciones: ( ) T(a; b) posee 2 factores primos. ( ) (a - 2b) es factor de T(a; b) ( ) a es factor primo de T(a; b)

▪▪ 5a + 5b + 3a + 3b

6. Factoriza e indica un factor primo. A) 3m2 - 4 D) m2 + 1

T(a; b) = 4a19b5 - 4a18b6 + a17b7

12. Factoriza cada caso: ▪▪ ax + bx + cx

P(x) = 8x2 - 2x - 3 B) 3x - 4 E) 8x - 3

10. Luego de factorizar el polinomio:

C) w2 + t3

5. Factoriza e indica un factor primo. A) 2x - 1 D) 8x - 1

Nivel 2

A) ICI D) CIC

4. Factoriza e indica un factor primo. 2 5

A) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 2


2. Calcula el valor de A en la siguiente factorización efectuada por aspa simple: 7x

(a - c)2 - (a - b)2 - (b - c)2

B) 2m + 1 E) 2m - 3

C) m + 3

15. Factoriza:

2x4 + 17x2 + 21 y luego señala el producto de los términos de un factor.

A) 2x2 D) 5x2

B) 3x2 E) 21x2

C) 6x2


41

16. Factoriza e indica un factor primo.


P(x) = x3 - 2x2 - x + 2

A) x + 2 D) x - 4

B) x - 1 E) x + 4

C) x + 3

A) ay - y D) bx + ya

17. Factoriza e indica el número de factores primos: F(x; y) = x2y2 + x2y + xy2 + xy

A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

B) 5 E) 3

B) 2 E) 5q2 - 1

A) 1 D) 4

A) 2 B) 3 D) -1 E) -3 P(x) = x4 - 3x2 + 1

A) 1 B) 2

E) 0

M(x; y; z) = xm+a + xmyb + xayn + yn+b + zpxa + zpyb

un

B) Si las variables son EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES, estas son factorizables en el campo de los números racionales. C) Según como los coeficientes se expresan en un conjunto numérico, estos son factorizables en dicho conjunto numérico. 21. Identifica cuál(es) de las expresiones presentadas es(son) factor(es) del siguiente polinomio:

A) xm + yn D) xm + yn - zp

P(x) = 21x + 11x - 2 I. 7 II. 7x + 1 III. 3x + 2 IV. 7x - 1

B) xm - yn E) xa - yb

C) xa + yb

Resolución de problemas 27. Luego de factorizar:

T(m) = m7 - m4a3 - m3a4 + a7 Indica el término independiente del factor repetido.

A) (m - a)2 D) m2 + a2

C) a2

B) (m + a) E) 1

28. Factoriza:

P(x; y) = x3 - x2 + 3x2y - y2 - 2xy + y3 + 3xy2 Da como respuesta la diferencia de sus factores primos. A) -1 D) 0

B) 1 E) -2

C) ! 1

C l a ve s 7. e

13. A

Nivel 3

26. c

1.

8. d

14. E

20.

27. c

2.

9. E

15. C

21. D

28. c

16. B

22. d

17. C

23. b

18. E

24. b

19. D

25. b

Nivel 1

3. e

2

42 Intelectum 1.°

C) 3 D) 4

26. Factoriza e indica un factor primo.

20. Lee el siguiente texto 3 veces, y luego responde las preguntas planteadas. La factorización es un proceso mediante el cual un polinomio se expresa como la multiplicación indicada de factores primos. Por lo general la FACTORIZACIÓN se realiza en el campo de las EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES ENTERAS, esto referido a las variables y con respecto a los coeficientes se define respecto al conjunto de los números RACIONALES (Q) salvo excepciones de poder abandonar éste conjunto y considerar, por ejemplo, el campo de los números REALES (R) o el conjunto de los números COMPLEJOS (C). Marca con una C de correcto o I de incorrecto, según corresponda a los enunciados:

C) I y II

C) 5

25. Indica el número de factores primos del siguiente polinomio:

C) -4q


B) Solo II E) II; III y IV

C) 3

15a2 + 14a + 3

Nivel 3

A) Solo I D) III y IV

B) 2 E) 5

24. Factoriza e indica el término independiente de uno de sus factores primos.

C) 1

A) La FACTORIZACIÓN permite expresar polinomio en función de sus divisores.

C) -by + a

P(x) = yx2 + 7xy + 12y

19. Factoriza en R: S(q) = q4 - 9q2 + 18 Luego indica la suma de sus factores primos. A) 2q2 - 9 D) 4q

B) -ax + y E) a2 + b2

23. Indica el número de factores primos de:

C) 4

18. Factoriza en R: H(x) = x4 - 5x2 - 14 Indica luego, el número de factores primos. A) 4 D) 2

22. Factoriza e indica un factor primo. M(x; y) = ab(x2 - y2) + xy(a2 - b2)

4. a 5. c 6. d

Nivel 2 10. e 11. D 12.


RADICACIÓN

Calcula: 3 100 2 3 85 2

2

Resolución: 3 3

100

2100 = 2 3 = 2 85 285 23 15 23

=

Resolución: 14 x35 + 12 x30

100 - 85 3

35 5

= 2 = 32

A) x35 B) x C) 2 x5 D) x6 E) x7

C) 16

4

Calcula:

3 4

816

Resolución:

Resolución: 4 3 2 .3 7 49

1

5

= 2 x5

Calcula: 3 2 . 3 4 7 49

= c2m 7

5

= x 2 + x 2 = 2x 2

B) 8 E) 64

1 3

30

= x 14 + x 12

5

A) 2 D) 32 3

Calcula: 14 x35 + 12 x30

1 2 3 . e 22 o

7

1 3

= c 2 m .c 2 m 7 7

3

2 3

8

=

4

83 =

=

2

16

4

16

3

3

84 = 4

^23 h 3 =

8

4

4

4

2

2 = 22 = 2 = 4

+ 1 = c 2 m3 3 = c 2 m = 2 7 7 7

A) 2 B) 4 C) 7 7 7 4 D) 3 2 E) 2 7 7 5

Simplifica: M = 3 1024x8 y10

6

Resolución:

3

2x 2 y

a b

Entonces: & S= ` S=

A) 8x 2 y 2 3 2xy B) 10xy 3 5xy 5 53

C) 5x y

2 33

E) 8x y

3 3

3xy D) 3x y 2

2x y

C) 6

Calcula: S = 8 32 a = b

2

M = 8x 3 y 3 3 2x y M = 8x2 y3

B) 4 E) 16

Resolución: Sabemos que:

M = 3 (83 . 2) x6 . x2 y9 . y 6 9

A) 2 D) 8

2xy

1 2

8 = 32

8 = 32

1 = 4

A) 2 B) 5 D) 1 E) 4

1 4

1 C) 1 2 3 3 7


43

7

Efectúa: M = 3 125x12 y 6 + 256x8 y 4 Resolución: M=

3

3 12 6 5 x 3 y3

+

8

Efectúa: P = 4 81 + 73 + 64 - 3 64 - 10 2 Resolución: P = 4 9 + 343 + 8 - 4 - 100 P = 4 256 = 4

2 8 4 16 x 2 y 2

M = 5x4 y2 + 16x4 y2

4 2

M = 21x y

B) 10xy2 E) 21x4y2

Calcula: M = 3 11 2 + 3 512 - 53 + 3 1 + 1 6 + 4 16

A) 4 D) 6

Resolución: R = 4 + 81 - 8 - 25 - 3 R = 49 = 7

8 =2

B) 1 E) 5

C) 3

A) 7 D) 9

Resolución:

Resolución: 2 2 P = `^3 2 h + 2.3 2 . 5 + 5 j - 6 10

2

2

2

R = 12 + 4 6 + 2 + 12 - 4 6 + 2 R = 28

B) 26 E) 23

A) 28 D) 36

C) 32

B) 24 E) 40

C) 32

14 Después de efectuar, se obtiene: 3 + 2 . 4 5-2 6

13 Efectúa: _2 3 + 1i_3 3 - 2i + 4 9

Resolución:

Resolución: ^2 3 + 1h^3 3 - 2h + 3 2 = 6 3 -4 3 +3 3 -2+ 3 = 16

3 + 2 .4 5-2 6 Dando forma: =

C) 4

4

^ 3+

2

2h . 4 5 - 2 6

=

4

(5 + 2 6 ) (5 - 2 6 )

=

4

52 - (2 6 ) 2 = 1

A) 1 D) 3

B) 3 C) 2 E) 6 6. B 5. E

8. A 7. E

10. a 9. a

B) 8 E) 16 12. A 11. e

14. a 13. e

Claves

44 Intelectum 1.°

2

R = ^2 3 h + 2.2 3 . 2 + ^ 2 h + ^2 3 h - 2.2 3 . 2 + ^ 2 h

P = 18 + 6 10 + 5 - 6 10 P = 23

A) 2 3 D) -3

C) 8

12 Calcula: 2 2 R = _2 3 + 2 i + _2 3 - 2 i

11 Efectúa: 2 P = _3 2 + 5 i - 6 10

A) 24 D) 33

B) 6 E) 11

3. a

A) 2 D) 4

4. b

3

C) 3

10 Calcula: R = 3 64 + 3 4 - 3 512 - 5 2 - 3 27

Resolución: M = 3 121 + 8 - 125 + 1 + 1 + 2 M=

B) 2 E) 8

1. d

9

C) 3x2y

2. c

A) 20xy D) 7xy

Practiquemos 10. Efectúa:

Nivel 1 Comunicación matemática 1. Indica verdadero (V) o falso (F): a + b = a + b ab = a $ b

...( )

a 2 - b 2 = a 2 - b 2 a = a b b

...( )

A) mn = p2 D) pn = m

12. Efectúa: 4

C) m + n = 2 n+p

E = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 C) 15

B) 21 E) 25

C) 23

B) 5 E) 8

C) 6

A = 1 . 4 + 9 . 16 C) 18

C) 2

B) 0 E) 4

C) 2

B) 6 E) 4

C) 5

15. Efectúa:

16. Reduce: A) 5 D) 8

B) 6 E) 9

C) 7

17. Efectúa: M = 50 + 8 + 18 - 200

7. Calcula: 6+ 7+ 4 B) 4 E) 7

C) 5

20 + 21 + 2 2 + 23 + 1 A) 1 B) 2 D) 8 E) 16

A) 4 2 B) 3 2 C) 2 D) 0 E) 2 2


8. Calcula:

18. Calcula: C) 4

9. Efectúa:

E=

_a + b i

a - b + _a - b i a + b a+b a-b ;a>b>0 2 2 a -b

Luego determina el cuadrado de E disminuido en uno.

R = 3 . 2 . 24 A) 2 D) 18

B) 1 E) 4

30 + 31 + 3 2 + 33 + 9

6. Halla: B) 16 E) 21

5

14. Calcula:

A) 4 D) 3

32 + 42

A) 3 D) 6

E = 5 (30 + 40 + 50 + 60)

C) 3

4 + 3 8 + 4 16

5. Reduce:

A) 14 D) 20

13. Reduce:

A) 1 D) 3

P = 3 125 . 3 64

A) 4 D) 7

A) 0 B) 1 D) 5 E) 2

30 + 23 - 33 + 18

4. Efectúa: A) 20 D) 24

4 + 2 - 8 +3 3 -6 9

A) 0 D) 3

3. Calcula: B) 14 E) 18

C) 22

A) 12 3 B) 10 3 C) 13 3 E) 0 D) 9 3


A) 13 D) 16

B) 15 E) 126

k = 12 + 300 + 75 - 48

...( )

B) m + n = 3p E) mnp = 27

A) 4 D) 41 11. Efectúa:

...( )

2. Si: m = 6 ; n = 15 ; p = 27 3 5 2 Indica lo correcto:

S = 16 + 25 + 36 + 49

B) 6 E) 24

C) 12

A) a + b

B) a2 - b2

D) a 2 - b 2

E) 2

C) 1


45

19. Determina la suma de los cuadrados de M y T. Sabiendo que: 3

3

24. Efectúa:

E = 3 8 + 3 27 27 64

3

M = 4 + 27 - 100 + 8 + 25 900 + 2 6 - 3 125 - 16 - 3 64

T= A) 100 D) 2

B) 140 E) 1

A) 13 B) 7 17 D) E) 3

C) 145

12 17 8 27

C) 17 12

25. Reduce:

Nivel 2

140 M = 20 3100 3

Comunicación matemática 20. Memoriza durante 1 minuto los radicales de las casillas. Tápalos y a continuación llena el recuadro de abajo. 20

10 10 m 2 + 9 10 m 2 - 10 m 2

75

2

7

53

3

92 3

64 125

3

7 ; 3 9 ; 3 10

9

x 27

2

1 25

8.2 ;

3

27 3

A) 8 D) 29

B) 9 E) 30

C) 10

26. Reduce:

M = 3 8 + 3 27 + 3 64

A) 9

B) 10

27. Efectúa: P= 1 + 9

3

D) 12

E) 13

C) 2

D) 3

E) 4

8 27

3

A) 0

C) 11

B) 1

28. Calcula:

A = 3 8 + 3 27 + 3 125

Verifica si ha tenido aciertos, comparando los dos cuadros. 21. Completa con mayor que ( 2 ) o menor que ( 1 ) los resultados de efectuar:

3

- 125

3

- 64

3

343

3

1000

4 3

3

3 . 27 3 5

30

c3m 4

A) 10 D) 16

B) 12 E) 18

C) 1

29. Calcula: 3

1 + 3 8 + 3 27 + 3 64

A) 9 D) 12

B) 10 E) 11

C) 13

30. Calcula: 2 2 A = _ 10 + 2 i + _ 10 - 2 i

12

3

A) 24 D) 50

125 8

B) 10 E) 40

C) 60

31. Efectúa:

Razonamiento y demostración 22. Reduce: P=

36

x

72

+

20

x

A) x3 D) x5 23. Calcula: E = 25 9

40

4

P=

x32 y 4 1

A) xy

B) x2y C) xy 8

D) x 2 y

E) x3y3

1

B) 3x3 E) 2x2

C) x2

F = x+1 x-1

9 25

A) 7 B) 3 D) 2 E) 3

46 Intelectum 1.°

32. Simplifica:

15 16 3 7

C) 16 15

x-1 x+1

3

2

_x + 1i

B)

3

x-1 x-1

D) x E) y

3

x+2 x-2

A)

3

2

_x - 1i

C) 1

33. Efectúa:

Nivel 3

9 +3 8 16 27


A) 13 17 D) 4 7

B) 12 17 E) 7 5

C) 17 12

42. Observa los radicales durante un minuto: m

34. Efectúa: 1 + 1 9 25

3

E) 6

P=

3

5 4

B) 6 17

C) 17 D) 4 6 3

3

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

37. Calcula: 3

B) 6

C) 12

D) 15

B) 30

3a 5b

3x + 9 10x 2 - 9 5x 4 = 9 3x + 10x 2 - 5x 4 3

C) 32

D) 36

3

= c12 - 2 + R 2 m3 R 2 = c 34 + R 2 m3 R 2 3 3

E) 27

III. 10 3 R 2 - 2 3 R 2 + _R 2 + 2i3 R 2 = 3 1 3 3 3 3 2 e^10h R - c 2 m R 2 + _R 2 + 3i R 2 o = 3 B) a2 - b2 C)

D) a 2 - b 2 E)

a b

2a 3b

3

= 5 32x13 y8

Determina el valor de l2. 25x20 + lx18 - 70x10 + 49 + 4x16 - 28x8

C) 600

41. A que es igual el cuádruple de “m” disminuido en 9 de la siguiente relación: m+ n - m- n -3 = 0 A) 16n B) 20 D) n E) 2

2

IV. 2x 2 y 5 x3 y3 = 5 25 x10 y5 x3 y3 = 5 25 x13 y8

40. Se presenta el polinomio que es un cuadrado perfecto.

B) 500 E) 800

3

e^10h3 - c 2 m + _R 2 + 2i o R 3 3


A) 400 D) 700

9

II. 10 3 R2 - 2 3 R2 + _R2 + 2i3 R2 = c10 - 2 + R2 + 2 m3 R2

39. Simplifica: N = a 8b 2b 3 a A)

I.

E) 25

38. Efectúa: 2 K = _2 6 - 3 i + 4 18 A) 29

Luego tápalos y escribe el nombre de las propiedades aplicadas para su respectiva solución en los casilleros, pero en el orden inverso al que tenían. 43. ¿Cuál es la alternativa correcta?

64 + 3 216 + 3 125

A) 4

x , 4 y " 12 x 4 , 12 y3

3 3

7 20 = 5.4 7 20 = 7

100 = 100 = 10 = 5 16 4 2 16

E) 0

8 - 27 + 64

A) 1

2 5 a = 5 25 a 2 8 = 2.8 = 4

35. Efectúa: E = 9 + 16 4 9

36. Calcula:

8a 2 = 2 3 a 2

5 3 xa - 6 3 xa = - 3 xa

A) 7 B) 15 C) 8 D) 8 8 8 15 7

A) 7 15

m

a n = n am = _n a i

3n C) 4n 4 9 n2 2

A) Solo I D) I y III

B) I y II E) Todas

C) II y IV

Razonamiento y demostración 44. Siendo:

2 x = 4 16 Halla el valor de xx.

A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

D) 1

E) 2

45. Efectúa y luego da el valor de x. 4

16 = 2 x + 2

A) -2 B) -1

C) 0


47

46. Calcula: 4

4

55. Calcula:

4

M = 16 + 81 + 1 A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

35 + 410 - 9 33 48

A) 1 D) 4

(2 2 + 23 + 2 4)

n

C) 3

a3

ak

4 5

B) 2 E) 10

C) 28

49. Calcula:

M = 3 9 2 + 3 512 + 5 2 + 100 - 4 1 + 3 8 B) 8 E) 15

k=

21

A) 5 D) 4

B) 6 E) 2

B) 8 E) 11

C) 9

C) 5

6 ; d= 5

5 6

A) 3 B) 5 C) 6 D) 30 E) 5 5

Si: x = 1 < a 2 b

A) ab2 B) a2b2 D) a E) b b a

C) ab

b F; 0 < b < a a

A) a - b B) a + b C) a + b 2 ab ab 2 ab D) 2 ab E) ab a+b a+b

52. Calcula: 8 + 16 + 28 - 3 1000 - 2 4 + 400

A) 3 D) 1

B) 4 E) 6

C) 2

53. Calcula: N = 3 2 + 6 3 16 + 8 3 1 - 4 3 9 - 3 18 3 81 12 4 A) 1 D) 3

B) 2 E) 4

C) 0

54. Halla el equivalente de: 3 5 + 2 7 + 2 6 35 4

3 ; c= 2

59. Calcula: V = x 2 + 1

a 20 b 25 a10 b15

18 + 4 35 B)

4

15 + 4 14

C) 45 + 28 D)

4

45 + 4 28

A)

2 ; b= 3

Calcula: 2 2 E = a2 b + b2 a c d-d c

51. Calcula:

3

58. Si: a=

B) 4 E) 7

S=8

C) 7


50. Efectúa: 36 + 49 + 81 + 100 4 + 9 + 16 - 1

5

C) 10

^20 + 14 2 h7 . 6 ^20 - 14 2 h2

M = k 2 2k + 16 232

A) 3 D) 6

C) 5

57. Calcula el valor de k B) 27 E) 30

A) 7 D) 10

3

A) 4 D) 5

n

A) 26 D) 29

a 24

56. Calcula: B) 2 E) 5

48. Calcula:

6 8 10

A) 0 D) 1

47. Efectúa: E=

M=

E) 18 + 35

48 Intelectum 1.°

C l a ve s Nivel 1 1. 2. a 3. c 4. a 5. B 6. A 7. a 8. C 9. c 10. c 11. c 12. A

13. e 14. B 15. B 16. C 17. d 18. C 19. C

25. B

37. D

48. c

26. A

38. E

49. B

27. b

39. C

50. B

28. a

40. A

51. B

29. b

41. C

52. c

30. a

53. c

Nivel 2 20.

31. C

Nivel 3 42.

32. A

43. C

55. D

21.

33. C

44. E

56. D

22. E

34. C

45. B

57. e

23. C

35. C

46. E

58. e

24. C

36. C

47. D

59. C

54. D


racionalización

Racionaliza: 15 5 3

2

Resolución: 15 = 15 . 5 3 4 = 15 5 3 4 = 5 5 81 5 5 3 3 3 5 34

5

Resolución: 5 = 5. 5 = 5 5 = 5 3.5 3 3 5 3. 5 . 5

5

Racionaliza: 12 5 3

D) 1

4

Resolución: 12 = 12. 5 3 4 = 12. 5 3 4 = 12 5 3 4 5 5 5 5 3 3 3 . 5 34 3 =

_12 i5 81 = 4 5 81 3

Luego de racionalizar y simplificar denominador resulta:

5 ; el 75 - 45

Resolución: Multiplicamos al dividendo y al divisor por: ^ 75 + 45 h

A) 2 3 4 B) 8 3 4 C)

5^ 75 + 45 h = 30

D)

6

3

3

4

4 E) 3 3 4 2

Simplifica: 12 2 3 - 2 3 2 -2 3 e indica el denominador racionalizado. Resolución Racionalizamos: ^ 3 + 2h 2 12 # # 3 2 +2 3 ^ 3 - 2h ^ 3 + 2h 3 2 - 2 3 3 2 +2 3

^ 75 + 45 h 5 # ^ 75 - 45 h ^ 75 + 45 h

=

Racionaliza: 6 3 2 Resolución: 6 = 6. 3 2 2 = 6. 3 2 2 = 3. 3 4 3 3 2 2 2 . 3 22

A) 4 5 81 B) 6 3 81 C) 3 3 36 5 5 D) 4 5 27 E) 2 5

5 C) 5 3 E) 5 2

A) 3 5 B)

3

A) 5 9 B) 10 3 C) 3 3 D) 3 15 E) 5 5 81 3

Racionaliza: 5 3 5

75 + 45 6

= 2 3 +2 2 -6 2 -4 3 =- 2 3 - 4 2 ` Su denominador es 1.

A) 1

B) 3

D) 6

E) 15

C) 5

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3


49

Calcula el equivalente de:

8

6 + 12 3- 3 ^3 + 3 h^3 + 3 h ^3 - 3 h^3 + 3 h

3 +1

S=

A) 3 - 1 B) 2 - 3 C) 1 + 3 D) 2 + 3 E) 2 3 5 3+ 5- 8 Indica el denominador.

Racionaliza: M =

A) 3 2 B) 8 2 E) 2 D) 6 2

Racionalizamos:

M=

5( 3 + 5 + 8 ) 5( 3 + 5 + 8 ) = = ( 3 + 5 - 8 ) ( 3 + 5 + 8 ) ( 3 + 5 ) 2 -( 8 ) 2

M=

5 ( 3 + 5 + 8 ) 15 5 15 ( 3 + 5 + 8 ) = 2 # 15 2 15 15

11 Racionaliza:

A) 56 D) 34

C) 6

5 e indica el denominador. 5+ 3- 2

Resolución: 5 = $ 5+ 3- 2 =

B) 4 E) 10

Resolución:

M=

3 2 5 + 3 - 2 2 3 - 2 3 2 -2 3

5 ^2 3 + 2 h 2^ 3 + 2 h ^ 3 - 2 h^ 3 + 2 h ^2 3 - 2 h^2 3 + 2 h -

5( 5 - 3 + 2) . 6 5 6 ( 5 - 3 + 2) = = 12 2 6 6

3^3 2 + 2 3 h ^3 2 - 2 3 h^3 2 + 2 3 h

M= 2 3 +2 2 -2 3 -2 2 = 0

C)16

13 Racionaliza: 5 3 5

A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

14 Efectúa: 10 - 3 2 2

Resolución: 10 - 3 2 = 10 2 - 3 2 = 10 2 - 3 2 2 2 2 2

Resolución: 5 = 5 3 52 = 5 3 52 = 5 3 52 = 3 25 3 3 3 5 5 5 3 52 53

A) 3 25 B) 3 5 C) 3 10 D) 3 11 E) 1

= 5 2 -3 2 = 2 2

A) 5 2 B) 6 2 C) 2 2 E) 1 D) 2 8. D 7. C

10. D 9. C

12. A 11. b

14. c 13. A

Claves

50 Intelectum 1.°

C) 67

Multiplicamos por la conjugada a cada fracción:

5 ( 5 - 3 + 2) 5( 5 - 3 + 2) = 5 - (3 + 2 - 2 6 ) 5-5+2 6

B) 12 E) 15

B) 89 E) 17

12 Calcula: M =

5 - ( 3 - 2) 5( 5 - 3 + 2) = 5 - ( 3 - 2 ) ( 5 )2 - ( 3 - 2 )2

A) 13 D) 14

C) 3

Resolución: Reducimos: 1 1 = 14 + 8 2 2 (7 + 4 2 ) Racionalizamos: 1 (7 - 4 2 ) = 7-4 2 34 2 (7 + 4 2 ) (7 - 4 2 )

5. D

A) 2 D) 8

15 ( 3 + 5 + 8 ) 6

S = 3 4#2 = 6 2

10 Señala el denominador racionalizado: 1 2 2 _ 2 + 3i + _ 2 + 1i

Resolución:

M=

S = 3 8 -8+8 = 3 8

8 +8 8 +3

6. A

9

8 ^3 - 8 h +8 ^3 - 8 h^3 + 8 h

3. A

2

^3 + 3 h 2^3 + 3 h = = 6 3

=

S=

4. E

2

Racionalizamos:

1. e

6+2 3 = 3- 3

1 +8 S= 3 + 1 8

Resolución: 1 +8 S= 1+ 3 8

Resolución: 6 + 12 = 3- 3

Calcula:

2. B

7

Practiquemos Nivel 1

8. Racionaliza: 2 8

Comunicación matemática 1. Marca la veracidad o falsedad, según corresponda: ( ) Al factor racionalizante también se le denomina factor opuesto del denominador. ( ) Se pueden racionalizar también a los numeradores de una fracción. ( ) En la racionalización de la forma: a A se debe cumplir: a < b cb A) FFF B) VVF C) FFV D) FVF E) FVV 2. De los radicales cuadráticos, relaciona con su conjugado: - 11 + 5

3- 2

I.

10 + 1

II.

5

x 4 y3

III.

5

x3 y2

10 - 1

IV.

5

xy 2

3+ 2

5 + 11

V.

5

x2 y3

Razonamiento y demostración 3. Racionaliza:

2 B) 2 C) 6 2 6 3 5 4 2 D) 2 E) 3 4. Racionaliza: 12 2 3 3 C) 3 2 3 D) 2 3 E) 3 B)

5. Racionaliza: A) D)

3 3

3

2 3 3

27 C) 2

3

18 3

3

7. Racionaliza: A) 2 - 5

Para: m = 5 y 7 A) -6 D) 1

1 m +3 B) 5 E) 0

C) 2

Nivel 2 Comunicación matemática

7

5 = 7 625 53

B)

6 = 7 +1 7-1

C)

- 10 = 10 _ 6 - 5 i 5- 6

D) 1 - 4 = - 10 10 10 10 12. “Racionalizar el denominador _________ de una fracción es transformarla en otra fracción ________ de denominador A)

3

x5 - igual - x

B) Más una constante - similar - con la constante. C) O el numerador - equivalente - o numerador.

16 E) 2 6 3 3

D)

2 3- 7

A) 3 + 7 D) 3 - 7

10. Determina la suma de los valores (para cada valor de m), de los denominadores racionalizados.

________ racional”.

9 B) 3

6. Racionaliza:

9. Determina el cuádruple del denominador racionalizado. 3 10 - 2 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

A)

A)

3


11. Racionaliza cada caso e indica lo incorrecto:

8 3 2

A) 1

A) 2 8 B) 8 C) 2 D) 2 E) 3 8 2

5

x3 - diferente - x

E) _ 10 + 5 i - desigual - _ 10 - 5 i B) 2 + 7 E) 6 + 2 7

C) 2 - 7

1 5 -2 B) 1 + 5 C) 5 + 2

D) 5 - 2 E) 5 + 2

Razonamiento y demostración 13. Efectúa: A= 3 - 3 3 A) 3 B) 2 3 D) 3 E) 9

C) 0


51

14. Efectúa: M = 5 + 3 2 2 2

25. Efectúa:

Nivel 3

A) 0 B) 2 C) 3 2 D) - 2 E) 4 2 15. Racionaliza: A= 2 2 5- 2

Comunicación matemática 21. Indica lo correcto: I.

7 = 3 7 7

7 3 73 - 7 = 7 3 7-4 f p 3 7 3 3-7 3 3 7 7 7 3

-4 = 7 7 = 3 7 -4 7

+ A) 2 10 4 B) 5 3 3 +4 + 5 C) D) 10 4 3 2 + 5 E) 2 4

II.

10 = 10 4 119 - 4 f p 4 4 119 119 4 119 - 4

4 5 = 10 11 = 10 4 11-9 4 1114

16. Racionaliza: 5 15 + 10

8 8 32 + 2 = d n 32 + 2 32 + 2 32 + 2 8 _ 32 + 2 i 20 2 = = 25 34 + 2 (8)

III.

A) 15 + 10 B) 5

a10 b10 c10 = IV. 481 a100 b373 c81

C) 10 D) _ 15 - 10 i 75 E) 15 - 10 17. Efectúa: S = 5 + 7 3 3 3 5 3 A) 3 B) C) 2 3 3 3 D) 6 3 E) 4 3

481 381 108 400 a10 b10 c10 a b c f p 481 100 373 81 481 381 108 400 a b c a b c

= a9 b9 c9 481 a381 b108 c 400

A = 17 - 5 3 3 3 A) 6 3 B) 8 3 C) 4 3 E) 0 D) 3 26. Halla el valor equivalente de: 6 + 12 3- 3 A) 3 - 1 B) 3 + 1 D) 3 - 2 E) 3 + 2 27. Simplifica: A) 3 D) 10

C) 3 + 2

_5 - 24 i_ 75 + 50 i

75 - 50 B) 1 E) -3

C) 5

28. Simplifica: 2 6 T = d 28 - 7 n - d 3 n 7 7 3

A) 7 D) 36

B) 9 E) 59

C) 15


7 22. Escribe mayor que (2) o menor que (1), según corresponda: 29. Luego de racionalizar, determina A 4 . A= 4 18. Efectúa: 7 3 7 7 8 ; 6 x, y ! N I. 16 3 2 2 7 7 -8 2 V= x y x y 4 4 A) 2 B) 5 2 C) 2 4 2 2 E) 1 D) 12 4 2 1 1 II. A) 4 2 B) 6 2 C) 5 2 3- 2 3+ 2 D) 7 2 E) 0 30. Calcula la suma del numerador y 4 4 denominador luego de racionalizar: III. ; 6 a, b y c ! N 3 7 9 3 3 4 9 3 ab c a b c _8 - 2 15 i_ 5 + 3 i Resolución de problemas 9 8 5- 3 IV. es: 19. Determina la suma de los exponentes del 11 + 2 11 - 3 denominador racionalizado: A) 3 B) 2 C) 1 D) 5 E) 0 1 7

A) 3 D) 7 cd


a5 b2 c3 d

B) 4 E) 2

C)

7

ab

20. Si luego de racionalizar se obtiene una cantidad subradical de la forma: 7tm - p: 1 m 5 3

75

;m>1

B) 2 E) 5

52 Intelectum 1.°

A) 2 B) 3 D) 5 E) 15

Cl ave s C) 4

24. Simplifica:

15 + 14 - 35 _ 5 + 2 i_ 7 - 2 i

Determina: t p A) 1 D) 4

23. Simplifica: 3 + 2 3 5+ 3

C) 3

A) 10 - 2 B) 7 - 1 C) 2 D) 1

E) 14 - 3

Nivel 1 1. D 2. 3. e 4. d 5. C 6. a 7. c 8. d 9. E 10. A

Nivel 2 11. c 12. C 13. C 14. e 15. a 16. E 17. E 18. e 19. B 20. C

Nivel 3 21. 22. 23. D 24. A 25. c 26. B 27. B 28. D 29. C 30. A

maraton Racionaliza la siguiente expresión y determina el valor numérico para cuando x = 1. 2x - 1 - x 1- x

R(x) =

Resolución:

Racionalizamos el numerador y denominador: 2x - 1 - x $ (1 + x ) $ ( 2x - 1 + x ) 1- x 1+ x 2x - 1 + x

R(x) = R(x) =

Matemática

R (x) = -

(1 - x ) ( 1 + x ) (1 - x) ( 2x - 1 + x )

R(x) =

- (1 + x ) 2x - 1 + x

Evaluamos en x = 1: & R(1) = - 2 2 ` R(1) = -1

(2x - 1 - x) (1 + x ) (x - 1) (1 + x ) = (1 - x) ( 2x - 1 + x ) (1 - x) ( 2x - 1 + x )

6. Determina a qué opción es equivalente:

1. Con respecto a la siguiente división:

6+ 3

6x3 + x 2 + x - 8 = 6x2 + mx + 8 / P(x) x-1 Responde verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. Es una división exacta de cociente de segundo grado. II. Aplicando el método de Ruffini se demuestra que m = 7. III. Es posible resolverlo por el método Horner. IV. El valor numérico de P(6) = 256.

C) 4

3. Al factorizar: 7x2 - 5x - 2 se obtiene (ax + 2)(x - b). Determina: a - b A) 3 D) 8

B) 5 E) 10

C) 6

B) 1/2 E) 28

C) 2

B) 2 2 C) 3

8. Reduce la siguiente expresión: (a - b) 2 (a + b) 2 + 2b2 + (a + b)(a - b) 2 2 A) (a + b)2

B) (a - b)2

D) b2 + 2ab

E) a2 + b2

C) a2 + 2ab

x 4 + 2x 3 - x 2 - 2 x 2 + 2x - 1 B) x + 2 E) 2

2

_ 8 + 28 - 6 + 20 i

A) 10 + 5 B) 8 + 6 D) 12 - 2 35

C) x - 2

C) 12 + 2 35

E) 3 5

10. Determina el resto de dividir: 3x18 + 7x10 + x 2 (x + 1)(x - 1) A) 6 D) 22

5. Determina el resto luego de dividir:

A) -2 D) 1

5 + 24 + (4 2 - 4 3 ) (4 2 + 4 3 )

9. Reduce:

4 3 2 4. Si la división 7x + 2x 2+ 45x + Mx + N es exacta, determina 7x + 2x - 4 M/N.

A) -1/2 D) 4

7. Efectúa:

D) 2 3 E) 5

2. Factoriza e indica el número de factores primos. (a - b - c)x2 + (b + c - a)y2 B) 3 E) 0

D) 36 + 3 E) 7 + 5

A) 2

V. La suma de coeficientes de P(x) es 21.

A) 2 D) 1

A) 6 + 9 B) 9 + 18 C) 9 + 2 18

B) 7 E) 10

C) 11

11. Indica el factor de multiplicidad 2 en: M(x) = x3 + 5x2 + 3x - 9 A) 2x D) x - 6

B) 2x - 2 E) x

C) x + 3


53

Unidad 3

Recuerda Tartaglia [Niccolo Fontana] (Brescia, actual Italia, 1499 - Venecia, 1557) Matemático italiano, de origen muy humilde, su familia no pudo proporcionarle ningún tipo de educación, de modo que el joven Tartaglia tuvo que aprenderlo todo por su cuenta. Ya adulto, se ganó la vida como profesor itinerante (según permiten conocer sus obras, vivió en Verona, Mantua y Venecia) y a través de su participación en concursos matemáticos. En uno de ellos se planteó la resolución de diversas ecuaciones de la forma x3 px q; Tartaglia consiguió averiguar la solución general y obtuvo el premio. Más adelante reveló su método a Gerolamo Cardano, bajo la firme promesa de mantener el secreto, pero este acabó publicándolo en su Ars magna de 1545. Después de que Gerolamo Cardano rompiera su promesa de mantener en secreto su resolución de las ecuaciones de tercer grado, Tartaglia se decidió publicar la importante obra Problemas e invenciones varias (1546), cuyos cuatro primeros libros se refieren a la balística y al arte militar, el quinto a la topografía, y los tres siguientes a las fortificaciones y a la estática; muy interesante resulta el noveno, que trata del álgebra y de la resolución de las ecuaciones de tercer grado y de los problemas correspondientes. La parte dedicada al arte de la fortificación fue la que atrajo más la atención de sus contemporáneos: a consecuencia de la invención de la pólvora pírica, el arte de la guerra había experimentado profundas transformaciones que hacían necesarios nuevos medios de ofensiva, y un estudio que sirviese para aumentar su potencia y la precisión en relación con la nueva técnica de fortificar.

Reflexiona • Una valía propia saludable surge de la personalidad, la competencia y un conjunto de decisiones acertadas. • Una vez que sepas lo que quieres hacer con tu vida, tus metas, sueños y propósitos, de ahí vendrá tu energía y dejarás de obsesionarte por la apariencia física. • No te obsesiones con la apariencia; esfuérzate por lucir lo mejor que puedas y destacar tus rasgos naturales.

¡Razona...! Completa la siguiente multiplicación y da como respuesta la suma de cifras del producto.

* *

A) 24 D) 18

* 2 *

* * *

* 3 * 2 * *

1 * * *

* 2 *

3

0

B) 25 E) 22

×

C) 27


ECUACIONES DE 1.ER GRADO - PLANTEO DE ECUACIONES

Resuelve la siguiente ecuación: x - 1 - 2 = 5 2

2

Resolución: Calculamos el mcm de los denominadores: 3 4 3 1 4 4 & mcm (3; 4) = 3 . 4 = 12 1 1

Resolución: x-1 -2=5& x-1 =5+2 2 2 Pasa sumando x-1 =7& x-1=2.7 2 Pasa multiplicando x - 1 = 14 & x = 14 + 1

Se multiplica a toda la igualdad por dicho mcm: 12 c x - 1 m + 12 ` x j = 12 . 2 3 4 Se simplifica con su respectivo denominador y se multiplica por su numerador: 4(x - 1) + 3x = 24 & 4x - 4 + 3x = 24 4x + 3x = 24 + 4 & 7x = 28 & x = 28 ` x = 4 7

` x = 15

Pasa sumando

A) 12 D) 9 3

B) 13 E) 15

Resuelve la siguiente ecuación: x-1 + x = 2 3 4

A) 1 D) 4

C) 17

Calcula x en: 2x + 3 = 7x - 7

4

Resolución: 7x - 2x = 7 + 3 5x = 10 `x=2

B) 2 E) 5

C) 3

Calcula x en: x + 1 = 3x - 9 5 3 Resolución: Multiplicando en aspa: x + 1 = 3x - 9 & 3(x + 1) = 5(3x - 9) 5 3 3x + 3 = 15x - 45 3x - 15x = -45 - 3 -12x = -48 x = - 48 - 12

A) 0 D) 3 5

B) 1 E) 4

C) 2

Halla el valor de x en: x - 3x = x - 6 2 5 2

A) 0 D) 3 6

B) 4 E) 7

Resolución: (x + 4)(x + 1) = (x + 2)2

10x - 12x = 10x - 60 12x = 60 `x=5

5x - 4x = 4 - 4

x2 + 5x + 4 = x2 + 4x + 4

56 Intelectum 1.°

B) 17 E) 3

C) 2

Resuelve la siguiente ecuación: (x + 4)(x + 1) = (x + 2)2

Resolución: x - 3x = x - 6 & 5x - 6x = x - 6 2 5 2 10 2

A) 5 D) 4

`x=4

C) 2

A) 1 D) 5

` x=0

B) 3 E) 0

C) 6

Resuelve la siguiente ecuación: (x + 3)(x + 2) = (x - 2)(x + 1)

8

Resolución: (x + 3)(x + 2) = (x - 2)(x + 1) x2 + 5x + 6 = x2 - x - 2 5x + x = -6 - 2 6x = - 8 \x = - 4 3

Resolución: (x - 2)2 = 1 + (3 - x)2 x2 - 4x + 4 = 1 + 9 - 6x + x2 2x = 6 ` x = 3

A) - 2 B) - 4 C) - 1 3 3 2 D) 2 E) -2

A) 3 D) 0

El quíntuplo de un número, aumentado en 8 es igual al triple del mismo aumentado en 6. Halla el valor de dicho número.

Resolución: Sea el número: x El cuádruple del número: 4x

Del enunciado: x + 4x = 75 & 5x = 75 & x = 75 = 15 5 ` El número es 15.

B) 1 E) 7

C) 2

A) 10 D) 15

11 Halla el valor de x en la ecuación: 2x - 3 = 7 9 x+4

B) 13 E) 20

12 Resuelve la siguiente ecuación: x + x + x = 26 2 3 4 Resolución:

Resolución:

Calculamos el mcm de los denominadores:

Resolviendo: 2x - 3 = 7 x+4 9

2 1 1 1

Multiplicando en aspa: 18x - 27 = 7x + 28 11x = 55 & x = 5

A) 4 D) 5

C) 1

10 La suma de un número con su cuádruple, resulta igual a 75. ¿Cuál es dicho número?

Resolución: Sea el número x, entonces: 5x + 8 = 3(x + 6) 5x - 3x = 18 - 8 2x = 10 & x = 5 ` el número es 5.

A) 5 D) 9

B) 2 E) 7

B) 9 E) 6

3 3 3 1

4 2 1 1

2 2 3

& mcm(2; 3; 4)= 2 # 2 # 3 = 12

C) 8

A) 18 D) 17

13 Uno de dos ángulos complementarios tiene 2/3 de la medida del otro. Calcula las medidas de los dos ángulos.

B) 19 E) 24

C) 12

multiplicando a toda la igualdad por el mcm: 12` x j + 12` x j + 12` x j = 12 . 26 2 3 4 6x + 4x + 3x = 312 & 13x = 312 & x = 312 13 ` x = 24

C) 20

14 Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo están en la relación de 5 a 13. Halla el valor del mayor de dichos ángulos.

Resolución: Por ser complementarios ambos ángulos suman 90°, luego: sea a uno de los ángulos, entonces: a + 2 a = 90° & a = 54° 3

Resolución: α1 = 5α α2 13α Sabemos que la suma de los ángulos agudos del triángulo rectángulo es 90°.

& 2 α = 2 ^54°h = 36° 3 3

Entonces: 5a + 13a = 90° 18a = 90° a = 5° Nos piden: 13a = 13(5°) = 65°

` Los ángulos son 36º y 54º.

A) 70° D) 60°

B) 65° E) 78° 6. E 5. A

C) 30° y 60°

C) 75°

3. C

10. D

8. A

9. A

7. B

Claves

B) 20° y 70° E) 10° y 80°

4. B

12. E 11. D

A) 36° y 54° D) 15 y 75°

1. E

9

Resuelve: (x - 2)2 = 1 + (3 - x)2

2. D

7


57

14. B 13. A

Practiquemos 7. 4(x + 3) = 9x + 7

NIVEL 1

A) 2 B) 3 D) - 3 E) - 6

Comunicación matemática 1. Búsqueda de palabras: C

F

Y

B

N

J

A

C

I

O

N

K

O

Z

8. 3(x + 2) - 5(4 - 7x) = 8

S

T

A

R

D

Q

D

A

D

L

A

U

G

I

C

A

W

I

T

A

Y

I

P

Q

C

G

R

S

Z

I

X

H

C

D

E

C

K

T

L

D

T

R

A

S

D

K

B

N

V

B

V

F

C

H

A

B

G

L

F

E

I

O

S

E

R

P

E

I

N

Q

X

F

R M N

X

I

N

O

I

C

I

S

O

P

S

N

A

R

T

S

C

I

D

E

N

O

E

I

N

K

F

N

A

I

L

A

C

A

X

Z

J

B

C

Y

A

Q

U

V

D

T

U

D

P

L

E

C

U

A

C

I

R

G

L

A

H

C

E

F

O

S

P

H

R

O

R M

I

V

D

Y

E

A

D W M

L

G

R

P

N

A

T

A

N

J

O

I

N

V

O G

N

I

T

A

I

R

G Q

T

K

H

X

J

Z

M

E

I

V

Y

G

I

H

S

Z

N

E

T

N

E

D

N

E

C

S

A

R

T

J

M

IDENTIDAD

ECUACIÓN

IRRACIONAL

INCÓGNITA

IGUALDAD

TRANSPOSICIÓN

A) 11 13

B) 7 C) 11 19 7

D) 7 E) 11 11 19 9. 5x + 3(x - 1) = 4(x - 2) A) - 4 B) - 5 5 4

10. 3(2x + 5) = 2(4x + 5) + 9 A) 2 D) 3

B) - 3 C) - 2 E) 4

11. 8x - 5 = 1 + 3 + 5 + 2 3 A) 6 D) 9

B) 7 E) 12

A) - 17 B) - 15 C) -3 3 7 D) - 2 E) -1

Se afirma que: I. La solución o raíz es 5.

...(

)

II. Transponiendo términos se obtiene: 5x = 25

...(

)

III. Es una ecuación fraccionaria.

...(

)

13. 4(x - 1) + (x + 3)2 - 5(x - 1) = 10 A) 3 D) 8

B) 2 E) 9

Luego, la alternativa correcta es: C) VVF

D) FFF

E) FFV

Razonamiento y demostración 3. (3x + 2) - (-x - 1) = (2x + 4) + (x + 3) B) 6

C) 8

D) 10

E) 4

C) 7

D) 8

E) 12

4. 2(3x - 6) = 2x + 8 A) 5 5.

B) 6

x - 5 = 12 2 A) 26

14. ¿Cuál es el número que aumentado en 8 unidades produce un resultado igual al que se obtiene dividiéndolo entre 3/5?

C) 28

D) 29

E) 30

6. 4x + 9 = 2x - 3 + x A) -12 B) -6 C) -18 D) -20

58 Intelectum 1.°

E) 20

B) 12 E) 18

C) 14

15. Un taxista cobra t soles por los r primeros kilómetros y s soles por cada kilómetro adicional. ¿Cuántos kilómetros recorrió si cobró v soles? (v > t) A) t + D) r +

B) 27

C) 5


A) 10 D) 16

Determina el valor de x para cada caso: A) 3

C) 8

12. 4x - 8 + 9 = 7x + 18

2x + 3 = 28 - 3x

B) VFV

C) 4

D) - 4 E) - 3

FRACCIONARIA TRASCENDENTE 2. Luego de resolver la siguiente ecuación:

A) FVF

C) 1

^v - rh

s

^ v + th

s

B) r +

E) t +

^ v - th

s

C) r -

^ v - th

s

^v + rh

s

16. Un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide la mitad del otro ángulo, menos 30°. Calcula las medidas de los dos ángulos. A) 5° y 85° D) 1° y 89°

B) 20° y 70° E) 75° y 15°

C) 80° y 10°

23. (x + 7)(x + 1) = (x + 2)(x + 5)

NIVEL 2

A) 1


B) FVF E) VVV

...( ...( ...(

C) VFV

A.

7 - x = 21 2

x = 14 - 21

B.

7x = 21 2

x= 6 7

C.

3x = 7 2

x=6-7

D.

x+3 = 7 2

x = 14 - 3

x+7 = 3 2

F.

7x = 3 2

x=6 x = 7 - 42

x + 21 = 7 2

x = 14 3

H.

21x = 7 2

x= 2 3

Halla el valor de x en cada caso: 19. 6x - 1 = 17 5 C) 24

D) 30

E) 15

B) 49

C) 64

D) 19

E) 25

21. 2x - 3 = 11 x+1 8 A) 8

B) 4

C) 2

D) 6

E) 7

B) 1

E) 5

) ) )

25. 3 - x = 8 4-x 7 A) 10 B) 9

C) 11

D) 7

E) 0

26. 7x + 3 = 24 2 A) 5 B) 6

C) 7

D) 9

E) 10

C) 3

D) 1

E) 9

27. Calcula el valor de x: (x + 3)2 - 5x = x2 + 15 A) 5

B) 6

Resolución de problemas 28. Si compro 15 pantalones y 7 camisas, gasto S/.415. Sabiendo que el precio de cada pantalón excede en S/.13 al de una camisa. ¿Cuánto cuesta un pantalón? B) S/.17

C) S/.23

D) S/.25

E) S/.28

29. Un ángulo de un triángulo mide 12° menos que el segundo. El tercer ángulo mide 18°, más que el complemento del segundo ángulo. Calcula las medidas de los tres ángulos. A) 1°; 5°; 174° D) 84°; 72°; 24°

B) 30°; 20°; 130° E) 96º; 60º; 24º

C) 40; 40°; 100°

NIVEL 3 Comunicación matemática

Según su estructura algebraica se clasifica como una: I. Ecuación fraccionaria. II. Ecuación irracional. III. Ecuación trascendente.

...( ...( ...(

) ) )

A) VFV D) FFV

B) VVF E) FVV

C) VFF

31. Resuelve cada ecuación. Las incógnitas determinadas ubícalas en su respectivo recuadro del valor de su raíz, de esta manera formarás el nombre por el cual se le conoce a una ciudad. A. 5(A + 1) - 5 = 2(A - 3) + 12 B. (L + 1) = -31L + 3(2 + 5L) + 8

22. (x + 2)2 - 3 = x2 + 17 A) 3

D) 4

Luego, la alternativa correcta es:

20. x - 1 - 4 = 2 3 A) 36

C) 3

B) 2

30. La ecuación: x- 1 -8 =5- 1 -x 2 2 x 2 5 2x 3


B) 20

E) 3

A) S/.10

G.

A) 18

D) 5

A) 1

18. Relaciona cada ecuación con su respectiva raíz.

E.

C) 6

24. x - 3x = x - 6 2 5 2

17. De la ecuación: 9x - 5 = 4x + 7 3 2 Se afirma que: I. La solución o raíz es -12. II. El MCM de los denominadores es 6. III. Es una igualdad condicional. Luego, la alternativa correcta es: A) VVF D) FFV

B) 4

C) 6

D) 5

E) 4

C. 2(O - 1) + 2 = (O - 2) - 5 - 2(O + 3) + 28 D. 7(N + 2) - 10 = 2(N + 1) + 19 - (3N - 1) + 6 ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 3

59

E. 5(N + 2) + 7 = 2N - 1 - (N + 1) + 20

35. 3x - 6 = 3 4x + 3 5 A) 55 D) 15

F. 5{S - 2[3(S - 1) + 10(S + 1)]} = 55 G. 5A - 3 = 2 2A + 1 7 H. E + 52 = 5 11 - E 2

I. R - 10 = - 2 R + 17 7

C) 32

B) -3 E) -6

C) -4

-1 36. 3x + 4 = c 7 m 2x + 1 8

J. A - 1 = 1 K. 12B + 25 = 5 8A + 7 11 2B + 1

A) 1 D) -2

L. 6 - T = 1 T + 16 3

2 37. 2x + 1 = 7 5 15 7

M. I + 3 + 6I + 5 = 7 I-1 I-5 N. L + 3 - L - 7 L-1 L+6

B) 1 C) - 2 6 E) - 1 6

A) 3

O. C + 1 = C + 2 C-3 C-1

D) 2

38. (x + 5)2 = (x + 3)2 + 36

P. T + 17 = 56T + 70 3 33 11 ¿A qué ciudad se le conoce con este nombre?

- 11 17

B) 12 E) 13

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

39. (4 - 5x)(4x - 5) = (10x - 3)(7 - 2x) A) 1/15 D) 4/9

2

C) 3

B) 2/35 E) 3/17

C) 1/35

40. (x - 2)2 = (x + 3)2 + 5 A) -2 B) -1

C) 0

D) 3

E) 5

Resolución de problemas 55 39

1 4

-5

5

13 4

1 2

4

6

3 25

-1 23 -10 31

Razonamiento y demostración Determina el valor de x para cada caso:

B) 42 E) 86

-7

41. Un carpintero vende la cuarta parte de sus muebles. ¿Cuántos muebles tenía inicialmente, si al final se quedó con 21 muebles? A) 12 D) 28

B) 16 E) 32

C) 84

A) 1°; 10° y 169° D) 17°; 37° y 126°

33. ax - 1 = a 1 - bx b

B) 20°; 50° y 110° C) 30°; 60° y 90° E) 20°; 26° y 134°

C l a ve s

A) a + b B) a + b C) ab 2ab 2 D) ab E) ab a-b a+b x +4 2 34. - 8 = 13 5 A) 111 D) 316

C) 25

42. Un ángulo de un triángulo mide 6° más que el segundo. El tercer ángulo mide 4° menos que tres veces la suma de las medidas de los otros primeros ángulos. Calcula las medidas de los tres ángulos.

32. 2x - 4x = 4 3 7 A) 40 D) 80

1

B) 211 E) 202

60 Intelectum 1.°

C) 312

Nivel 1 1. 2. C 3. E 4. a 5. D 6. A 7. C 8. E 9. B

10. C 11. A 12. A 13. A 14. B 15. B 16. C Nivel 2 17. D

18. 19. E 20. D 21. E 22. E 23. E 24. E 25. C 26. B 27. B

28. C 29. D Nivel 3 30. C 31. 32. B 33. A 34. E 35. E

36. C 37. E 38. E 39. C 40. B 41. D 42. E


SISTEMA DE ECUACIONES LINEALEs

Halla x: x + y = 12 x-y=4

2

Resolución: x + y = 60 x - y = 48 2y = 12 y=6

Resolución: x + y = 12 x-y=4 2x = 16 x=8

A) 4 D) 8 3

B) 6 E) 3

C) 9

Halla y: 7x - 2y = -1 4x + 3y = 16

A) 5 D) 4 4

Resolución: 7x - 2y = -1 ...(1) 4x + 3y = 16 ...(2)

5

B) 1 E) 6

C) 2

Halla y: 7x + 3y = 60 7x - 3y = 12

C) 8

B) 0 E) 1

C) 3

B) 20 E) 4

C) 18

Halla x: 8x + 2y = 13 8x - 2y = 3 Resolución:

A) 2 D) 4 6

Halla y: x + 2y = 28 x - 3y = 8 Resolución: x + 2y = 28 x - 3y = 8 5y = 20 y=4

Resolución: 7x + 3y = 60 7x - 3y = 12 6y = 48 y=8

A) 7 D) 9

B) 6 E) 7

8x + 2y = 13 8x - 2y = 3 16x = 16 x=1

Multiplicamos por 7 a (2) y por 4 a (1): 28x - 8y = - 4 28x + 21y = 112 -29y = -116 y=4

A) 4 D) 3

Halla y: x + y = 60 x - y = 48

B) 10 E) 4

C) 8

A) 10 D) 5


61

Halla y: 6x + y = 20 6x - y = 8

8

Resolución: 6x + y = 20 & 6x = 20 - y ...(1) 6x - y = 8 & 6x = 8 + y ...(2) De (1) y (2): 20 - y = 8 + y 20 - 8 = 2y 12 = 2y `y=6

A) 5 D) 6

Resolución: 9a - b = 29 & b = 9a - 29 ...(1) 4a - b = 14 & b = 4a - 14 ...(2) Igualamos (1) y (2): 9a - 29 = 4a - 14 5a = 15 & a = 3

C) 4

A) - 2 D) 3

Halla x en: 2x + y = 12 3x - y = 23

C) 4

B) 4 E) 7

C) 5

10 Halla x en: 3x + y = 21 7x + 2y = 47 Resolución: 3x + y = 21 ...(1) 7x + 2y = 47 ...(2) Multiplicamos por 2 a (1): 6x + 2y = 42 (-) 7x + 2y = 47 -x = -5 `x=5

(+)

A) 3 D) 6

C) 5

11 Resuelve: 2 x - 3y = 9 e indica xy. * 4x - y = 8

Resolución: 2x - 3y = 9 ...(1) -10x = -15 & x = 3 2 4x - y = 8 & y = 4x - 8 Reemplazamos y = 4x - 8 en (1): Reemplazamos este valor en (1): 2x - 3(4x - 8) = 9 2 c 3 m - 3y = 9 2 2x - 12x + 24 = 9 3 - 3y = 9 & y = -2 -10x = 9 - 24 ` xy = -3

12 En el sistema: 2x + y = m + 3 3x - y = 8 Halla m, si x = 5. Resolución: 2x + y = m + 3 3x - y = 8

A) -2 B) -3 C) -5 D) 2 E) 6 13 Determina el valor de: xy 3x + 9y = 15 x-y=1 Reemplazamos el valor de x: x-y=1 2-y=1 y = 1

Resolución: 4x + y = 19 5x - ny = 8

C) 8

10. c 9. e

B) 1 E) 3 12. e 11. B

14. a 13. d

A) 2 D) 0

Claves

62 Intelectum 1.°

C) 6

...(1) ...(2)

Reemplazamos y = 3 en la ecuación (1): 4x + 3 = 19 4x = 16 & x = 4

` xy = 21 = 2

7. d

A) -2 D) 2

B) 8 E) 14

Reemplazamos x = 5; y = 7 en la ecuación (1): 2(5) + 7 = m + 3 17 = m + 3 ` m = 14

14 En el sistema: 4x + y = 19 5x - ny = 14 Halla: n; si y = 3

8. d

3x + 9y = 15 + 9x - 9y = 9 12x = 24 x = 2

A) 10 D) 12

B) 1 E) 4

5. c

Resolución:

...(1) ...(2)

Reemplazamos x = 5 en la ecuación (2): 3(5) - y = 8 15 - y = 8 & y = 7

6. e

B) 4 E) 7

Reemplazamos x = 4; y = 3 en la ecuación (2): 5(4) - n(3) = 14 20 -3n = 14 6 = 3n &n=2

C)3

3. a

A) 3 D) 6

4. e

Resolución: 2x + y = 12 3x - y = 23 5x = 35 ` x=7

B) 2 E) - 3

1. d

9

B) 7 E) 9

Halla a: 9a - b = 29 4a - b = 14

2. b

7

Practiquemos ▪▪ Nos piden:

NIVEL 1

y - x = 8 - 6 = 2

Comunicación matemática 1. En esta sopa de letras se han perdido los 3 métodos de solución para sistemas lineales ¡ENCUÉNTRALOS! A

E

J

B

E

K

Y

C

I

F

Z

J

A

F

N

O

I

C

A

L

A

U

G

I

M

L

R

G

H

D

B

F

S

C

O

G

T

L

H

S

N

O

I

C

U

T

I

T

S

U

S

X

U

I

P

X

M

E

H

P

N

E

Q

N

G

S

P

D

E

R

J

D

O

V

R

O

D

T

T

Q

S

Y

D

T

I

Y

N

Q W O

Z

Q

S

U

S

T

C

N

R W D

E

R

L

Z

M

S

T

C

M

Z

L

U

I

V W

A

X

B

A

U

A

C

V

C

Y

Z

K

R

U

L

R

D

U

F

I

G

U

A

L

G

H

G

X

E

U

I

B

S

J

V

T

K

R

S

I

R W K

R

E

D

U

C

C

O

N

P W

2. Completa en los recuadros en blanco lo que corresponda, siguiendo la secuencia para llegar a la solución. Determinamos el valor de (y - x) del sistema: x - 3 - y - 4 = 0 ...(1) 3 4 x - 4 + y + 2 = 3 2 5

...(2)

...(3)

5 (x - 4) + 2 (y + 2) = 3 . 10

5 x+ 2y = 46 ...(4) ▪▪ A la ecuación (3) la multiplicamos miembro a miembro por 2 y a la ecuación (4) por 3 también miembro a miembro, obteniendo:

8x - 6 y = 0 ...(5) 15 x + 6y = 46 . 3 ...(6) ▪▪ Sumamos (5) y (6): (8 + 15 )x = 46 . 3

A) 2 D) 4

B) 1 E) 6

C) 3

B) 4 E) 8

C) 6

B) 3 E) - 4

C) 2

B) 4 E) 10

C) 9

B) 1 E) 4

C) - 4

B) 5 E) 12

C) 7

B) 18 E) 12

C) 16

B) 8 E) 9

C) 12

4. Halla y: x + y = 20 x-y=8 A) 5 D) 7 5. Halla x: x + y = 3 5x - 2y = 8 A) 1 D) 4 6. Halla x: 4x + 3y = 30 4x - 3y = 18 A) 5 D) 6

5a - 4b = 24

4 (x - 3) - 3 (y - 4) = 0

4x - 3 y = 0 ▪▪ Haciendo lo mismo con (2):

3. Halla y: x+y=5 x-y=1

7. Halla a:

▪▪ De (1), eliminamos los denominadores:


23 x = 138

x = 6 ...(7) ▪▪ Reemplazamos (7) en (3): y = 4x 3

4. 6 y = 3 y = 8 ...(8)

a + b = 3 A) -1 D) 3 8. Halla x: x + 3y = 8 x - 3y = 2 A) 6 D) 10 9. Halla y: x + y = 60 x - y = 24 A) 14 D) 20 10. Halla x: 6x + 8y = 60 6x - 8y = 12 A) 6 D) 14


63

11. Resuelve:

*

17. Halla y: 3x - 5y = -11 2x - 8y = - 26

2x - y = 4 e indica xy . x+y = 5

A) 4 D) 8

B) 12 E) 10

A) 3 D) 6

C) 6

12. La diferencia de dos números es 328, el cociente es 12 y el residuo es 20. Halla la suma de dichos números. B) 384 E) 406

C) 356

13. La suma de dos números es 103, el residuo y el cociente de su división son 5 y 13 respectivamente. ¿Cuál es el número mayor? A) 13 D) 100

B) 65 E) 103

C) 96

14. Examen de Admisión UNI 2008-II (matemática). ▪▪ Para los enteros positivos a y b se define:

¿Cuál de los siguientes números podrían ser el valor de y? II. 2

III. 3 C) I y III

15. Qué sistema lineal es el adecuado para dar solución al problema: La suma de dos números es 84. El triple del menor excede en 12 al mayor. Determina el menor de dichos números. Siendo x e y los números, donde: x > y I. x + y = 84 3x - y = -12

A) 4 D) 8

A) 5 D) 8

B) 3 E) 12

C) 5

B) 12 E) 20

C) 10

B) 10 E) 20

C) 12

B) 10 E) 12

C) 8

B) 7 E) - 8

C) - 7

B) 6 E) 8

C) 5

22. Halla x: 12x - y = 50 8x + 3y = 70 A) 6 D) 5 23. Halla m: 3m + 2n = 24 5m - n = 27 A) 8 D) 6

II. x + y = 84 3x = y + 12

24. Halla y:

III. x + y = 84 3y = x + 12

9y + 2x = 42 7y - x = 25

IV. x + y = 84 3y + x = 12

A) 3 D) 4

Razonamiento y demostración 16. Halla x:

Resolución de problemas 25. La diferencia de dos números es 40. Si el mayor se disminuye en 4, se obtiene el cuádruple del menor. Halla el producto de los números dados.

7x - 5y = 23 2x + y = 9 A) 4 D) 1

C) 2

21. Halla m: 8m - 2n = 20 7m + 3n = 65

a # b = a2b - 1 ▪▪ Si x e y son enteros positivos: x # y = 32

B) Solo III E) I; II y III

B) -1 E) 4

19. Calcula el valor de a: 9b - 2a = 17 12b + a = 41

A) 9 D) 18


A) Solo I D) II y III

A) 10 D) 3

20. Halla x: 5x - 4y = 14 6x - y = 51

NIVEL 2

I. 1

C) 5

18. Halla y: 8x + y = 2 4x - 3y = -34


A) 358 D) 346

B) 4 E) 8

B) 3 E) 8

64 Intelectum 1.°

C) 6

A) 620 D) 402

B) 624 E) 604

C) 324

26. Un alumno le dice a otro: “Si quiero comprar 15 chocolates me faltan 10 soles, pero comprando tan solo 10 me sobra 15 soles”. ¿Cuánto dinero tenía? A) S/.30 D) S/.65

B) S/.40 E) S/.70

C) S/.50

NIVEL 3 Comunicación matemática 27. Verifica el valor de verdad (V) o falsedad (F), según corresponda: I. x + y = 12

El valor de xy x - y = 6 es 27.

IV. x + 3y = 15 x + 5y = 5

x vale - 6. y

V. 2x + y = 12 x-y=6

El valor de x y es 1.

x

31. Halla y: 4x + 5y = 25 7x - y = 34 A) 0

A) 2

2x + y = 10 3x - y = 5 3x + y = 10 2x - y = 5

x = c + e ; y = cte a+d

C.

2x + y = 5 3x - y = 10

x = e - c ; y = cte d-a

D.

3x + y = 5 2x - y = 10

x = 3 / y = -4

E.

ax + by = c dx - by = e

x= cb2 - ae2 ; y = cte b -a

F.

dx + by = c ax + by = e

x=3/y=4

G.

dx + by = e ax + by = c

x = 3 / y = -1

H.

bx + ay = c ax + by = e

x = c - e ; y = cte d-a

B.

A) - 3

x=3 / y=1

Razonamiento y demostración 29. Resuelve por el método de igualación si: 18x - 15y = -27 20x + 15y = 65 Halla: x2 + y

B) 3 E) 7

B) 6

C) 7

D) - 4

E) 1

B) 0

C) 8

D) 3

E) 6

B) - 3

C) 4

D) 3

E) - 2

C) -1

D) 4

E) 6

34. Halla a: 6a + 7b = 15 8a - 5b = -23

C) 5

B) 3

Resolución de problemas 35. Pedro dice: “Tengo el doble de hermanas que de hermanos, pero mi hermana tiene la mitad de hermanas que de hermanos”. ¿Cuántos hijos somos? A) 2

B) 4

C) 6

D) 7

E) 8

36. Al resolver el sistema: 5x - 4y = -14 2x + 3y = k Se halla que y es el triple de x, entonces ¿cuál es el valor de k? A) 21

B) 25

C) 2

D) 5

E) 22

C l a ve s 8. B

15.

23. D

30. A

1.

9. B

16. A

24. D

31. E

2.

10. A

17. B

25. B

32. D

3. a

11. C

18. A

26. D

33. D

4. c

12. B

19. C

5. c

20. C

Nivel 3

34. C

13. C

6. d

Nivel 2

21. A

Nivel 1

A) 1 D) 4

C) ab - 1

33. Halla x: 4x + y = 10 2x + 3y = 0

28. Relaciona cada sistema de ecuaciones con sus soluciones: A.

B) a2 + b2 E) a + b

A) ab(a + b) D) ab + 1

A) 1

III. x + y = 10 x vale -2. x - y = 20 y

x-y vale 125.

e indica el numerador del valor de x.

32. Halla x: 6x - 4y = 10 3x + y = 11

II. x + 2y = 3 No es cierto que 4x + 5y = 6 yx valga 1/2.

VI. 2x + y = 20 2x + 5y = 12

y y 30. Resuelve: x + = 1 ; x - = 1 ; a / b ctes. a b b a

7. E

14. C

22. D

27. 28.

35. B 36. E

29. D


65


ECUACIONES DE 2.º GRADO - PLANTEO DE ECUACIONES

Resuelve: 3x2 + 4x + 1 = 0 Indica la menor raíz.

2

Resolución:

Resolución:

x2 - 7x - 1 = 0 - ^- 7h ! ^- 7h2 - 4^1 h^- 1h x= 2 ^1 h

3x2 + 4x + 1 = 0 1 3x x 1

(3x + 1)(x + 1) = 0 & x = -1 0 x = - 1 3 ` La menor raíz es x = -1.

x = 7 ! 49 + 4 2 x = 7 ! 53 2

A) 5 ! 57 B) 5 ! 53 C) 5 ! 51 2 2 D) 4 ! 59 E) 7 ! 53 2

A) -1 B) - 1 C) -3 3 D) 1 E) 1 3 3

Resuelve: x2 - 7x - 1 = 0

Resuelve: x2 + (1 + i)x + i = 0

4

Resolución: x2 + (1 + i)x + i = 0 x i x 1 (x + i)(x + 1) = 0 x+i=0 0 x+1=0 x = -i x = -1 CS = {-1; -i}

Resuelve: x2 - 5x + 5 = 0 e indica su menor raíz. Resolución:

x = 5! 5 2

x2 - 5x + 5 = 0 Por fórmula general: x=

- ^- 5h ! (- 5) 2 - 4 (1) (5) 2 (1)

` La menor raíz: 5 - 5 2

x = 5 ! 25 - 20 2

A) {-1; - i} D) Ø 5

B) {1; i} E) {1; 0}

A) 5 + 5 B) 5 - 5 2 2 D) 5 + 5 E) 5 - 5

C) {-1; i}

Resuelve e indica la mayor raíz de: 2x2 - 11x + 14 = 0

6

Resolución:

(2x - 7)(x - 2) = 0 & x = 2 0 x = 7 2 ` La mayor raíz es 7 . 2

x = - 3 ! 13 2

x2 + 3x - 1 = 0 - ^ 3 h ! ^ 3 h2 - 4^- 1h^1 h x= 2

2x2 - 11x + 14 = 0 2x -7 x -2

` La mayor raíz es:

66 Intelectum 1.°

C) 5 + 5 3

Resuelve e indica la mayor raíz de. -x2 - 3x + 1 = 0

Resolución:

A) 2 B) 3 D) -7 E) -2

CS = ' 5 - 5 ; 5 + 5 1 2 2

C) 3,5

13 - 3 2

A)

13 - 3 B) - 13 - 3 2 2

D)

5 + 1 E) 2 5 - 1 2

C)

5 -1 2

Resuelve: x2 - 7x + 4 = 0

8

Resolución: x2 - x - 1 = 0 - ^- 1h ! ^- 1h2 - 4^1 h^- 1h x= 2 ^1 h 1 ! 5 x= 2 ` La mayor raíz es: 1 + 5 2

Resolución: x2 - 7x + 4 = 0 - ^- 7h ! ^- 7h2 - 4^ 4 h^1 h x= 2 ^1 h x = 7 ! 33 2

A) 7 ! 51 B) - 7 ! 51 2 2 7 ! 33 3 ! 51 D) E) 2 2

C) 7 ! 33 2

A) D)

Resolución:

(2x - 3)(x + 1) = 0 & x = -1 0 x = 3 2 ` La mayor raíz es 3 . 2

(2x + 5)(x - 3) = 0 & x = 3 0 x = - 5 2 ∴ La mayor raíz es 3.

A) 2 B) -3 5 D) -6 E) 5 2

B) -1 C) 2 3 E) 5 2

11 Resuelve e indica las raíces: 2x2 - 3x - 5 = 0

C) 3

12 Halla dos números consecutivos naturales cuyo producto sea 182: Resolución:

Resolución: 2x2 - 3x - 5 = 0 2x -5 x 1

(2x - 5)(x + 1) = 0 & x = -1 0 x = 5 2 ∴ x = (- 1; 5 2 2

A) (-1; 5 2 B) (1; 5 2 3 2 5 5 D) (-1; 2 E) (- ; - 2 2 2 3

Sean los números: n/n+1 Por condición del enunciado: n(n + 1) = 182 n2 + n - 182 = 0 n +14 + 14n n -13 - 13n n

C) (0; 5 2 3

A) 10; 11 D) 13; 14

13 En la siguiente ecuación: 2x + 8x2 = 4x + 5, indica la suma de raíces. Resolución:

2

- _- 2 i ! _- 2 i - 4 _ 8 i_- 5 i 2_8 i

(n + 14)(n - 13) = 0 n = -14 0 n = 13 ` Los números serán: n = 13 / n + 1 = 14 (valores naturales)

B) 9; 10 E) 1; 2

C) 20; 21

14 Resuelve e indica su CS: 3x2 - 507 = 0 Resolución: 3x2 - 507 = 0 3x2 = 507 & x2 = 169 & x = ! 169 x = 13 0 x = -13 ` CS = {-13; 13}

x1, 2 = 2 ! 2 41 2_8 i x1, 2 = 1 ! 41 8 Piden: x1 + x2 = 1 4

A) {8} D) {13}

B) {-8; 8} E) {-13}

C) {-13; 13}

3. a

A) 1 B) - 1 C) 6 4 4 3 4 4 D) E) 3 3

4. b

6. a 5. c

x1, 2 =

2 +1 2

C)

Resolución: 2x2 - x - 15 = 0 5 2x x -3

2x2 - x - 3 = 0 2x -3 x 1

8x2 - 2x - 5 = 0

3 +1 2 5 -3 2

10 Resuelve: 2x2 - x - 15 = 0 e indica la mayor raíz.

Resuelve: 2x2 - x - 3 = 0 e indica la mayor raíz.

A) 1 D) 3 2

5 + 1 B) 2 5 -2 E) 2

1. a

9

Resuelve e indica la mayor raíz. x2 - x = 1

2. e

7

10. C

8. a

9. D

7. c

Claves ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 3

67

12. D 11. D

14. c 13. a

Practiquemos 9. Resuelve:

NIVEL 1

x2 + x - 6 = 0 e indica la mayor raíz.


A) -3 D) -6

1. Búsqueda de palabras A S Z Q S O L U J B H P J K O

▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪

M G Z D Q R T P E F E I S A D

T R G Y O N I M R E T Z G C N

N A O N L R D A U C N G Y L U

R D Y F Q S L I N E A L V O G

A O C D I S C R I M N G L V E

I L U E Q S O L U C I O N E S

C R A D K P X I J X M S E G U

DISCRIMINANTE INDEPENDIENTE SOLUCIONES CUADRÁTICO RAÍCES

X K D P D O F S E C I A R H M

E A R X J R E U I V R E N I L

S T A R M C O C N Z C O B H U

B O T V G R A M A E S C E X M

▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪

TÉRMINO LINEAL SEGUNDO GRADO

I L I N D E P E N D I E N T E

K U C H F S F N F J D N K B D

B H O C I T G Y I M R E T U A

10. Resuelve:

x2 - 4x - 5 = 0 e indica la menor raíz.

A) 1 D) 4

5. La suma de un número natural y su cuadrado es 110. ¿De qué número se trata? 6. Encuentra dos números cuya suma sea 20 y su producto 99.

Razonamiento y demostración 7. Resuelve:

x2 = -5x - 6 C) {1; 6}

8. Resuelve:

x2 - x - 2 = 0 e indica la menor raíz. B) -2

68 Intelectum 1.°

C) 1

D) -1

C) -5

11. Resuelve:

x2 + 3x - 4 = 0 e indica la mayor raíz.

A) -4 D) 1

B) 4 E) -3

C) -1

12. Resuelve:

x2 + 7x + 12 = 0 e indica la menor raíz.

A) 3 D) 6

B) -3 E) -4

A) 33 m D) 5 m

C) 12

E) 0

B) 2 m E) 10 m

C)

33 m

14. Un número excede a otro en 2; y su producto es 24. Determina el mayor positivo. A) 5 D) 2

B) 6 E) 1

C) 9

NIVEL 2

4. El cuadrado de un número positivo más el doble de su opuesto es 528. Determina tal número.

A) 2

B) 5 E) -1

13. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 3 m más que uno de sus catetos. Determina el valor del cateto mayor si el menor mide 4 m.

3. Halla dos números sabiendo que su diferencia es 10 y su producto 119.

B) {2; 3} E) {-1; -6}

C) -2


Plantea las ecuaciones respectivas que mejor representen a los siguientes enunciados: 2. Determina dos números positivos cuya diferencia es 11 y la suma de sus cuadrados sea 2581.

A) {-3; -2} D) {-1; 6}

B) 3 E) 2

Comunicación matemática 15. Relaciona cada ecuación con su respectivo conjunto solución (CS). A.

x+2 = 4 3 x-2

B.

x+3 = 2 2 x-4

C.

2x = 4 3 2x

D.

7x2 + 8x = 0

E.

8x2 + 7x = 0

F.

9x2 + 2x = 2x2 - 6x

CS = #- 3 , 3 CS = '- 8 , 0 1 7 CS = '- 7 , 0 1 8 CS = ' 1- 65 , 1+ 65 1 2 2

CS = {-4,4}

31. Resuelve: P(x) = x2 - 22x + 57 = 0, Indica luego la diferencia positiva de las soluciones.

16. Indica verdadero (V) o falso (F) en las 25. Resuelve: siguientes proposiciones: 2x2 + 6x - 1 = 0 ( ) 1 es raíz de 2x2 - x + 1 = 0 2 A) 3 ! 11 B) 3 ! 11 3 2 ( ) Toda ecuación cuadrática tiene 3 ! 11 C) -1 ! 11 D) 2 soluciones. 2 E) 2 ! 11 ( ) La suma de las raíces de: 3x2 - 6x + 12 = 0 es 4. A) FFF D) FVV

B) FFV E) VVV

C) FVF

A) 21 D) 16

B) 22 E) 17

C) 19

32. Resuelve: 3x2 + 10x - 2 = 0 A) - 5 ! 31 3


B) - 3 ! 29

D) 3 ! 29 C) 3 ! 29 26. En la siguiente ecuación: 3x 2 -3x+6=0, 3 2 2 5 ! 31 las raíces son x y x . Halla: x + x 1 2 1 2 E) Según como se muestra las condiciones del 2 enunciado, traducirlas al lenguaje algebraico A) -1 B) -2 C) -3 33. Resuelve: x2 - 10x - 24 = 0 e indica la mediante una ecuación correctamente D) -4 E) -5 suma de las raíces entre dos. planteada. 17. Determina un número que sumado con el cuádruple de su raíz cuadrada da 21. 18. El producto de dos números es 891, y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 3 y el residuo 48. Determina los números. 19. El producto de dos números es 270 y su cociente 1 15 . Determina los números.

Razonamiento y demostración 20. Resuelve:

x2 - 7x + 12 = 0 C) {2; 6}

21. Indica la menor raíz, luego de que resuelvas: x2 + 9x - 10 = 0

B) -1 C) -9 E) 10

x2 + 12x + 32 = 0 A) -8 D) 4/3

NIVEL 3

B) 8 E) 12

C) -8/3

Comunicación matemática Resolución de problemas

28. Indica verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: 35. Halla el valor de k en la ecuación para que 2 una de las raíces sea el recíproco de la otra. ( ) (-2) es raíz de ax + 3x + 2 = 0; a ! 0. (k - 1)x2 - 5x + 3k - 7 = 0, si: x1 . x2 = 3k 7 k-1 ( ) 4x2 - 4x + 1 = 0 tiene raíces iguales. A) 3 D) 8

( ) Si T = 4, entonces la ecuación cuadrática no tiene solución. A) VVF D) FFF

B) VFF E) FVF

C) VVV

29. De la ecuación:

B) 4 E) 5

A) 10 m D) 5 m

x ( x + 10) (x + 7) c 2 - 7 m = 0 x

C) 7

36. La base de un rectángulo es 2 m más que su atura y su diagonal 2 m más que su base. Determine el valor de su base. B) 21 m E) 2 m

C) 8 m

Se puede afirmar que:

B) -9 C) -3 E) 1

24. Resuelve e indica la menor raíz de: x2 + x - 20 = 0

C) 5

Razonamiento y demostración 30. Resuelve: x2 + x - 42 = 0 e indica la mayor raíz. A) -7 D) -6

B) 7 E) 8

C) 6

Nivel 3 28. e

x + 8x - 9 = 0

V. La suma de sus soluciones en R es -47.

15. 16. A 17. 18. 19.

2

IV. El producto de raíces en R diferentes de 0 es -2.

Nivel 2

23. Resuelve e indica la mayor raíz de:

III. Es incompatible.

20. A 21. d 22. b 23. e 24. D 25. D 26. c 27. d

B) -7 C) -3 E) -4

29. Iv 30. c 31. D 32. A 33. E 34. C 35. A 36. c

II. Posee 4 soluciones reales.

indica la menor raíz.

A) 4 B) -4 D) -5 E) -1

34. Resuelve e indica la división entre el producto y la suma de las raíces.

C) 7

11. D 12. E 13. C 14. b

22. Resuelve: x + 4x - 21 = 0

A) 9 D) -8

C) 10

I. Posee raíces complejas conjugadas.

2

A) 3 D) 4

B) 1 E) 15

B) -24 E) 5

Nivel 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. a 8. d 9. E 10. E

A) 1 D) -10

A) 10 D) 5

A) 24 D) -2

C l a ve s

A) {3; 4} B) {-3; -4} D) {-2; -6} E) {5; -1}

27. Un número es 4 más que el doble del otro y el producto de tales números es 70. Determina el menor positivo.


69


desigualdades e inecuaciones

Resuelve: (3x - 1)2 + 20 # (9x - 1)(x + 2)

2

Resolución: 9x2 - 6x + 1 + 20 # 9x2 + 18x - x - 2 23 # 23x 1#x ` CS = [1; +3[

Halla el intervalo de x tal que: 7x - 10 > 5x - 18 * 8x + 1 < x+7 3 Resolución: 7x - 10 > 5x - 18 2x > -8 & x > -4 ...(1) 8x + 1 < 3x + 21 5x < 20 & x < 4 ...(2) De (1) y (2): -3 ` CS = ]-4; 4[

A) ]1; + 3[ D) ]-1; + 3[ 3

B) [1; + 3[ E) [-1; 1]

4

B

-3 -12

-4

9

5

B) ]-4; 2[ E) ]-4; 12[

C) ]-2; 4[

Determina el mayor valor entero que verifica: x - 13 + x - 22 < 2 22 13

35x - 653 < 572 35x < 1225 x < 35 ` x = 34

11 +3

A + B = ]-4; 9] Valores enteros de A + B es: {-3; -2; -1; 0; 1; 2; …; 9} Por lo tanto, tiene 13 valores enteros.

A) 12 D) 10

+3

Resolución: 13x - 169 + 22x - 484 < 2 286

Resolución: A

4

A) ]-2; 2[ D) ]-4; 4[

C) [-1; + 3[

Sean los intervalos: A = [-12; 9] ; B = ]-4; 11[ Halla el número de valores enteros de A + B.

-4

B) 11 E) 14

C) 13

A) 30 D) 34 6

Si A = ]16; +3[ ; halla A’. Resolución: A’ = {x / x ! R / x " A}

B) 32 E) 35

C) 33

Si: A = {x ! r / -7 < x # -3} B = G-3; 4H C = {x ! r / x > 4}, halla: C’- (A , B)’

Resolución:

-3

16

+3

-3

-3

-3

-7 (A , B)' 4

+3

` A’ = ]-3; 16] C'

-7

4

4

+3

+3

` C' - (A , B)' = [-7; 4]

A) ]-3; 16] D) [-3; 16]

70 Intelectum 1.°

B) ]-3; 16[ E) [-3; -16[

C) ]16; +3[

A) ]-7; -4[ D) ]-7; 4]

B) ]-7; -3[ E) ]-7; -4]

C) ]-7; 4[

2 Si x > 2, halla la variación de: 9x + 62x + 1 x

Resolución: Dato: x>2 0<1 < 1 x 2

8

9 < 12 + 6 + 9 < 49 4 x x

Resolución: x+2 = 1+ 3 x-1 x-1

2 9 < 1 + 6x 2+ 9x < 49 4 x Luego: 9x2 + 6x + 1 ! 9; 49 4 x2

3 < 1 +3 < 7 x 2

Si x ! < 1 ; 1 < , entonces: 2

2

-1 # 4x - 3 < 1 2 2 2 & 4x - 3 ! ;- 1; 1 2 2

B) [-1/2; 3/2[ E) ]1/2; + 3[

11 Sea: A = {x ! Z / x + 2 < 2x + 1 # x + 5} 0, si x " A halla el valor de: y F(x) = 1, si x ! A

x-3 + x < 2 6 4

C) [-1; 1/2]

/ kF_ k i

k=0

Resolución: 3x - 6 1 5x + 7 5 14 42x - 84 1 25x + 35 17x 1 119 x 1 7

/k F(k) = 2F(1) + 3F(3) +

C) 5

7

-3

+3

` x ! G- 3; 7H

4F(4)

k=0

C) 11

A) G-3; 3H B) G-2; 14H C) G-8; +3H D) G7; +3H E) G-3; 7H 14 Resuelve: 5x + 1 < 6x + 3 < 7x + 9 Resolución: 5x + 1 < 6x + 3 < 7x + 9 5x + 1 < 6x + 3 & x > -2 6x + 3 < 7x + 9 & x > -6 (I) + (II): x > -2 ` x ! G-2; +3H

(l) + (ll): & x < -2 ` x ! G-3; -2H

B) x ! G-3; -2] D) x ! R

A) x ! [-6; +3] C) x ! [-2; +3H E) x ! G-3; 2H

5. a

6x + 5 < 5x + 3 < 4x + 3

6. c

Resolución: (I)

… (I) … (II)

B) x ! G-2; +3H D) x ! G-3; -6]

3. c

13 Resuelve: 6x + 5 < 5x + 3 < 4x + 3

10. c

8. e

9. d

7. a

Claves

12. e 11. a

A) x ! G-3; -6H C) x ! G-3; -2H E) x ! Q

B) 4 E) 7

12 Resuelve: 3x - 6 1 5x + 7 5 14

10

10

B) 10 E) 55

(II) I. 6x + 5 < 5x + 3 x < -2 II. 5x + 3 < 4x + 3 x < 0

A) 3 D) 6

De (1) y (2): & A = {2; 3; 4} & F(2) = 1; F(3) = 1; F(4) = 1 &

Desarrollando: 10x < 60 & x < 6 ` El máximo valor entero es: 5

4. d

A) 9 D) 12

Resolución: x-3 2 + x <2 3 4

-2 # 4x2 - 3 < 1

Resolución: A = {x ! Z / x + 2 < 2x + 1 # x + 5} En el conjunto A se tiene: • x + 2 < 2x + 1 1 < x ...(1) • 2x + 1 # x + 5 x # 4 ...(2)

1 C) 2 4 7 7 4

1. b

A) ]-1/2; 1] D) [-1; 1/2[

Piden el menor valor: 7 4

10 Encuentra el mayor valor entero que satisface: x-3 2 + x <2 3 4

4x 2 - 3 , pertenece al intervalo: 2

1 # x2 < 1 4 1 # 4x2 < 4

7 # 1+ 3 # 4 4 x-1

A) 4 B) 7 D) 7 E) 2

D) 0; 49 E) - 3; 49 4 4

Resolución: 1 #x<1 2

3 # 3 #3 4 x-1

Dato: 2#x#5 1#x-1#4

A) 9; 49 B) G3; 9H C) 3; 49 4 4

9

Si x ! [2; 5], indica el menor valor que toma la expresión: 1 # 1 #1 x + 2 x-1 4 x-1

2. d

7


71

14. b 13. c

Practiquemos NIVEL 1

Resolución de problemas Comunicación matemática

2

9. Si (x + 7) ! [11; 32] Halla en qué intervalo se encuentra x, si x > 0.

1. ¿Es verdadero 3 $ 3?

A) ]4; 9]

2. ORDÉNALAS Algunas palabras del concepto de desigualdad se han desordenado. Ubícalas en su lugar. Se denomina .......................... a la relación de ............... que se establece entre dos .................................. que poseen .............. valor.

orden

desigualdad

cantidades

diferente

Razonamiento y demostración 3. Si A = ]-13; 18] y B = [-6; 30] B) [-13 y 30[ y ]-6; 8] D) ]-2; 1] y [3; 4]

4. Resuelve: 2x - 5 # 3x - 11 A) x $ 6 D) x # -6

B) x < 6 E) x ! Q

C) x > -6

6 - 2x $ 7 A) G-1; +3H B) G-3; 1/2H C) G-1; 2] E) [-1/2; +3H

6. El mayor valor entero de x que cumple con: 4x - 1 $ 3x - 2 5 3 es: A) 3 D) -2

D) [3; 6]

E) ]0; 3]

x2 + ax + 6 < 0 tenga como conjunto solución a ]-3; -2[?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 7

NIVEL 2 Comunicación matemática 11. Para los números reales afirmamos que: I. Si a > 0 & a2 > 0 II. Si a > 0 & a + 1 # -2 a III. Si 0 < a < b & 0 < 1 < 1 b a Son verdaderas: B) Solo I E) I y II

C) I y III

12. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: ( ) Si x > y & 1 < 1 x y ( ) Si -x > -y > 0 & xy < 0 ( ) Si y > 0 & 1 < 0 y A) FVF B) FVV

C) FFF

D) VFV

E) VVF


5. Resuelve:

D) G-3; -1/2]

C) [2; 5]

10. ¿Cuál es el valor de a de tal manera que

A) Todas D) II y III

Halla A , B; A + B A) ]-13; 30] y [-6; 18] C) ]-10; 20] y [-5; 1] E) [-20; 5] y [-30; 18]

B) ]1; 7]

B) 1 E) 5

C) 2

D) {4; 5}

E) {0}

C) {0; 1}

8. Resuelve y señala la menor solución entera: -5 < 3x + 4 < 5 A) -5 B) -4 D) -2 E) -1

72 Intelectum 1.°

C) - 19 ; 13 F 2

14. Resuelve: x + 3_x + 4i < 2(x + 1) 4 B) x > 4 E) x < -2

C) x > 3

15. Si: A = ( x d z+ / x - 3 + x - 6 + x - 4 + x - 5 < 4 2 5 2 4 3

-x < -2 + x > 0 + x < 5 B) {3; 4}

A) Q B) G1; 4H D) G1; 2H E) G2; 8H

A) x < -1 D) x > 1

7. Resuelve el sistema (en Z): A) {1}

13. Si (2x - 1) ! [-5; 4H entonces; ¿a qué intervalo pertenece (3 - 5x)?

C) -3

Calcula la suma de elementos de A. A) 20 B) 28 C) 30 D) 35

E) 47

16. Si x ! [-3; 2H, a qué intervalo pertenece la siguiente expresión: (x2 - 6)2 A) [16; 81] D) [0; 36]

B) [4; 25] E) [-9; 4]

C) [4; 9]

17. Si: x ! [-3; 2[

25. Resuelve:

2

Halla el intervalo de: x + 4x + 5 A) [2; 17] D) [1; 17[

B) [-3; 2[ E) [1; -17[

C) [0; 20]

18. Si: x ! 1; 3 F , halla el intervalo de: 2x – 3. 2 A) G0; 1] D) G-1; 0]

B) G-2; -1H C) G-1; 0H E) ∅

19. Luego de que resuelvas la inecuación: x2 - mx + n < 0 se obtiene como conjunto solución ]-8/3; 3[ A) 3

B) 6

4

mn .

C) 8

D) 9

E) 10

20. Si n > 0; respecto a: 12 + n podemos afirmar que su mínimo n 3 valor es: A) 6

B) 2

C) 3

D) 4

E) 8

NIVEL 3 Comunicación matemática 21. Si a < b / ab < 0; indica cuál(es) es (son) verdadera(s): I. a < 0 / b > 0 II. b < 1 a B) II y III E) I y II

C) Solo II

22. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: ( ) -5 < x < 8

& 25 < x2 < 64

( ) -4 < x < 9

& 0 # x2 < 81

( ) -7 < x < -3 & 9 < x2 < 49 A) VVV D) FVV

B) VFV E) FVF

C) FFV


2 26. Resuelve: 3x2 - 4x < 3 x +3 A) G-3; 0H B) G-5; - 3H C) R

27. Resuelve:

... (1) 15x - 2 > 2x + 1 3 2(x - 4) < 3x - 14 ... (2) 2 B) 39 < x < 2 A) 7 < x < 2 9 38 7 < x < 2 E) - 7 < x < 2 D) 39 39 4x2 - 12x + 1 $ m 1 # n x 2 + 2x + 5

Indica el valor de mn. A) 1 D) 4

B) -2 E) -4

C) 2

29. ¿Qué valor deberá tomar m > 0 para que la desigualdad: 5x - 2 < 3m + 2x tenga solución ]-3; 2[? m 4 A) B) 2 C) 2 5 5 3 D) 5 E) 2 3 30. Determina la cantidad de números enteros mayores que 1 que cumplen con la condición que su octava parte más 21 sea mayor que su séptima parte más 3. A) 100 D) 1006

B) 1000 E) 1008

B) [1/5; 7H E) [5/3; 7]

C) 1005

C l a ve s C) [5; 10]

24. Si -10 < a < -5;

C) - 7 < x < 2 9

28. Calcula el mayor valor de m y el menor valor de n, tal que:

23. Si 3 # x # 7; halla la variación de: M = 2x + 1 2x - 5 A) [5; 7] D) G-1; 2]

C) x > a


III. a2b < b2a A) I y III D) Solo I

B) x < 2 E) x > 2a + 1

D) G-3; 0H E) G-9/4; +3H


Calcula el valor de

7ax - 1 < 7a - x Si a < - 1 . 7 A) x > 1 D) x < a

-2 < b < -1; 2
Nivel 1 1.

7. B

13. C

20. d

26. E

8. D

14. D

Nivel 3

27. D

9. C

15. B

3. A

10. D

16. D

4. A

Nivel 2

17. d

2.

5. d 6. C

11. c 12. c

18. d 19. d

21. E 22. D 23. E

28. B 29. A 30. D

24. C 25. A


73

Matemática Cuatro hermanos se reparten las ganancias de la semana que suman S/.1500. A Hugo le toca S/.200 más que a Luis, a quien le toca 3 de lo que le corresponde a Ximena, a quien le toca S/.300 5 más que a Bruno. ¿Cuánto recibe Ximena? Resolución:

Sea: H lo que le toca a Hugo, L a Luis; X a Ximena y B a Bruno. & De acuerdo a la premisa : H = 200 + L ... (I) 3 ...(II) L = X 5 X = 300 + B ...(III) Sabemos que: H + L + X + B = 1500 ... (IV) Como piden lo que le toca a Ximena, ponemos todo en función de X. 1. De cada figura determina x. I. Rectángulo de perímetro 100 m de lado mayor 4x y lado menor x. x 4x

A) 4 m D) 10 m

B) 8 m E) 6 m

C) 12 m

II. Cuadrado de área 144 m2 y lado (x - 3). x-3

A) 14 m D) 10 m

B) 15 m E) 12 m

C) 17 m

2. Halla las raíces de la ecuación: x2 + 6x - 16 = 0 A) {4; 8} D) {-4; 1}

B) {2; 6} E) {2; 3}

C) {-8; 2}

3. Resuelve: x(4x + 1) = 3x2 + 42; e indica la suma de sus raíces. A) 0 D) -1

B) 1 E) 3

C) 4

4. En el siguiente sistema, determina los valores de x e y, respectivamente: 3x + 2y = 22 2y - 7x = 2 A) 1 y 2 D) 7 y 6

B) 3 y 4 E) 2 y 6

C) 2 y 8

5. Lidia vende cuadernos de 2 precios S/.4 y S/.5. Si obtuvo una recaudación de S/.192 al vender 40 libros, ¿cuántos de cada precio vendió?

74

Intelectum 1.°

& De I y II: H = 200 + 3 X 5 3 L= X 5 & De (III): B = X - 300 Reemplazamos en (IV): 200 + 3 X + 3 X + X + X - 300 = 1500 5 5 Efectuamos: 16X = 1600 . 5

X = 500

` Ximena recibe S/.500. A) 20 y 20 D) 18 y 22

B) 24 y 16 E) 20 y 18

C) 13 y 27

6. Forma la ecuación cuadrática de raíces x1 = 3 y x2 = -1. A) x2 + 2x + 7 = 0 D) 2x2 + 5x + 2 =0

B) x2 + x - 3 = 0 C) x2 - 2x - 3 = 0 E) x2 + 3x - 2 = 0

7. Halla las raíces de las siguientes ecuaciones e indica la suma de todas ellas. x2 - 7x + 6 = 0 y x2 + 7x + 6 = 0 A) 7 D) -1

B) -7 E) 0

C) 1

8. Sean los conjuntos: A = ( x ! R / x + 7 < 2x - 1 2 3 x B = % x ! R / - 4 > 3x / 5 Determina: (A , B)C A) G-10; 3H B) 40 ; 2 C) ;- 10 ; 2 E 3 7 D) G2; +3H E) G-2; -10/7H 9. Indica el valor de x que verifica: x+1 = x+5 x-3 x-2 A) 7/2 D) 12/7

B) 6 E) 13/3

C) 8/3

10. Se definen las siguientes operaciones: a = b = (a + b)2 - (a - b)2 a T b = a2 - b2 Determina los valores que toma x en: x=2=xT3 A) {1; 8} D) {-1; 3}

B) {3; 7} E) {-1; 4}

C) {1;-9}

Unidad 4


valor absoluto

Encuentra el valor de la expresión que se da a continuación para x = -4; y = 3; z = -5: |x| - |y| + |z|

2

Resolución: |-4| - |3| + |-5| 4-3+5=6

Resolución: - 3.2 -6 x .y = = 6 =- 6 =- 6 = z -1 -1 -1 1

A) 4 D) 3 3

B) 5 E) 2

4

2x - 3 = -9 + x x = -6

A) {-6; 4} D) {6} 5

A) 4 D) -6

C) 6

Resuelve: 2x - 3 = 9 - x Resolución: 2x - 3 = 9 - x 0 3x = 12 0 x=4 ` CS = {-6; 4}

Encuentra el valor de la expresión que se da a continuación para x = -3; y = 2; z = -1: x.y z

B) {-6} E) {-4}

76 Intelectum 1.°

A) -2 D) 1

C) {4}

6

Resolución: |8 - x| = 4 8 - x = 4 0 8 - x = -4 x = 4 x = 12 Por lo tanto, la suma de soluciones es: 16

B) 15 E) 18

Encuentra el valor de la expresión que se da a continuación para x = 1; y = -7; z = -3: - x +2 y - z Resolución: -|1| + 2|-7| - |-3| -1 + 2 . 7 - 3 -1 + 14 - 3 = 10

Halla la suma de las soluciones de: 8-x = 4

A) 14 D) 17

B) - 2 C) - 5 5 4 E) 5

B) 10 E) 2

C) 0

Resuelve: (|x| + 3)2 + 16x = 0 Resolución: (|x| + 3)2 = -16x > 0 (1) &x<0 De (1): (-x + 3)2 = -16x

x2 - 6x + 9 = -16x x2 + 10x + 9 = 0 x +9 x +1 (x + 9)(x + 1) = 0 x + 9 = 0 0 x + 1 = 0 x = -9 x = -1

C) 16

A) {-1; 9} D) {1; 9}

B) {-9; -1} E) {-10; 1}

` CS = {-9; -1}

C) {-9; 1}

Resuelve: x2 - 4 $ x + 2

8

• ( x2 - 4 ) 2 $ (| x + 2 |) 2 x2 - 4 $ (x + 2)2 x2 - 4 $ x2 + 4x + 4 -8 $ 4x -2 $ x CS = G-3; -2] ...(2) De (1) y (2): x ! G-3; -2]

Resolución: x2 - 4 $ | x + 2 | • x2 - 4 $ 0 x2 $ 4 & x $ 2 0 x # -2 CS = G-3; -2] , [2; +3H ...(1)

Resolución: |5x - 2| = 4 & 5x - 2 = 4 0 5x - 2 = -4 5x = 6 5x = -2 x= -2 x= 6 5 5 2 6 ` CS = '- ; 1 5 5

A) G-3; -2] B) G-3; -2] , [2; + 3H C) [2; +3H D) [-2; 2] E) G-3; -1H

A) (- 2 ; 6 2 B) (- 1 ; 3 2 5 5 4 D) [-2; 2] E) G-3; -1H

Resuelve e indica uno de los intervalos de: 3x - 2 = 13

Resolución: |2x + 9| = |x + 6| 2x + 9 = x + 6 0 2x + 9 = -x - 6 x = -3 3x = -15 x = -5 ` CS = {-3; -5}

3x - 2 = -13 3x = -11 x = - 11 3

` CS = '- 11 ; 5 1 3

B) {5} E) {3; 5}

C) '- 11 ; 5 1 3

11 Halla el conjunto A por extensión si: A = {x ! R / |x3 - 1| = |x2 + x + 1|}

A) {-3; -5} D) {4; 5}

C) {-1; 2}

12 Resuelve: (|x - 1| + |x - 2|)(|1 - x| - |2 - x|) = 7

Resolución: |x - 1||x2 + x + 1| = |x2 + x + 1| Como x2 + x + 1 ! 0 & |x - 1| = 1 x - 1 = 1 0 x - 1 = -1 x=2 x=0 ` CS = {0; 2}

Resolución: |x - 1|2 - |x - 2|2 = 7 (x - 1)2 - (x - 2)2 = 7 x2 - 2x + 1 - (x2 - 4x + 4) = 7 x2 - 2x + 1 - x2 + 4x - 4 = 7 2x - 3 = 7 & x=5 ` CS = {5}

B) {-1; 2} E) {0; 2}

A) {5} D) {9}

C) {0; 4}

13 Resuelve: 3x + 1 = 4 x-1

B) {4} E) {7}

C) {3}

14 Resuelve: |2x + 1| = |x + 3| Resolución: Elevamos al cuadrado ambos miembros, veamos: |2x + 1|2 = |x + 3|2 Por propiedad: (2x + 1)2 = (x + 3)2 4x2 + 4x + 1 = x2 + 6x + 9 3x2 - 2x - 8 = 0

Resolución:

3x + 1 = 4 3x + 1 = - 4 Por propiedad: 0 x-1 x-1 3x + 1 = 4x - 4 3x + 1 = -4x + 4 x = 5 x = 3/7 Luego: CS = {5; 3/7}

A) ( 2 ; 5 2 B) ( 3 ; 4 2 C) ( 2 ; 2 2 7 7 7 3 D) {1; 3} E) ( ; 5 2 7

Factorizando por aspa simple: (3x + 4)(x - 2) = 0 Entonces: 3x + 4 = 0 0 x - 2 = 0 x = -4/3 x=2 Luego: CS = '- 4 ; 2 1 3

A) {-4; 2}

B) {-1; 2}

D) (- 1 ; 2 2 3

E) {-7; 5}

5. c

A) {-2; 4} D) {-1; 2; 3}

B) {-1; 1} E) {-2; 5}

6. B

A) {0; 2} D) {-2; 1}

C) (- 4 ; 2 2 3

3. a

x = 5

10 Resuelve: 2x + 9 = x + 6

4. b

Resolución: 3x - 2 = 13 0 3x = 15

C) [2; +3H

1. c

9

Resuelve: |5x - 2| = 4

2. D

7

10. a

8. a

9. c

7. a

Claves ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 4

77

12. A 11. e

14. C 13. E

Practiquemos 8. Resuelve: 1 =2 x-1

NIVEL 1 Comunicación matemática 1. Completa en los recuadros en blanco lo que corresponda para llegar a la solución. Determina la suma de soluciones que se obtiene a partir de: x + 1 = 13 4 4 Resolución: De acuerdo a la definición: x +1 = 0 x + 1 = 4 4 x = 4 x = 4

-

0 x = 4

D) ( 1 ; 3 2 2 2

E) { }

9. El valor absoluto del quíntuplo de un número, menos tres es el doble de dicho número, menos tres. Determina el número. B) 12

C) x ! f D) -1

E) 20

10. El valor absoluto de la suma del cuadrado de un número con dos es igual a la suma de uno con el doble del número. Determina la mitad del número.

-

A) 1 2

x=

+

B) 1

C) 2

D) 4

E) 10

NIVEL 2

=


2. De acuerdo a las proposiciones podemos afirmar:

11. El valor absoluto de un número real x se define como aquel

A) |-3| - |2| = |-5| B) |-2| + |-3| = |-5| C) -|-3| = |3| D) |2| - |3| = |-1|

número real no negativo que se denota por |x| ; donde:

x ; si x $ 0

|x| = 0 ; si x = 0 -x ; si x < 0

E) |2| + |-2| = |0|

x ; si x $ 0 A) Complejo - no negativo - |x| - |x| = 0 ; si x = 0 -x ; si x < 0

Razonamiento y demostración 3. Resuelve |2x - 1| = 5 e indica la menor solución. A) -2 B) -1

C) 2

D) 3

E) 4

4. Resuelve: |2x - 3| = 7 A) {2; 5} D) {-5; -2}

C) ( 3 2 2


A) 5

0 x = 4

0 x = Nos piden: suma de soluciones =

B) ( 1 2 2

A) {1}

B) {-5; 2} E) Ø

C) {-2; 5}

x ; si x < 0 B) Real - no negativo - |x| - |x| = 0 ; si x = 0 -x ; si x $ 0 x ; si x $ 0 C) Real - no negativo - |x| - |x| = 0 ; si x = 0 - x ; si x < 0

5. Resuelve: |5x - 20| = 30 A) CS = {-2; 9} D) CS = {-2; 10}

B) CS = {-1; 9} E) CS = {-2; -9}

C) CS = {-9; 9}

6. Resuelve la siguiente ecuación:

12. Cálculo.

|2x - 4| = 6 A) CS = {1; 5} D) CS = {-1; 5}

x ; si x $ 0 D) Irracional - positivo - |x| - |x| = 0 ; si x = 0 -x ; si x < 0

B) CS = {0; 5} E) CS = {-2; -1}

C) CS = {-1; 5}

Luego de realizar las operaciones con valor absoluto dentro de las fichas, trace una curva recta para separar las fichas en dos grupos de 5 cuya suma sea idéntica. 2

7. Resuelve: |x - 2| = 4; siendo su CS = {-a; b} A) -6 B) -8 C) -4

78 Intelectum 1.°

|6 + 3|

|-3 - 2|

Indica: a + b D) 8

E) 4

|2||3|

1

|-7|

|-3|2

|-1 - 7| 3

|-23|

Razonamiento y demostración 13. Resuelve e indica una solución: x - 4 = 5 - 2x A) 6 D) 3

B) 5 E) 2

C) 4

C) ;- 1; - 4 E , < 4 ; 1 D) G-1; 1H 5 5 E) [-1; 1] 22. El número de raíces de la ecuación:

1 - 9x 2 = 2x 1 - 9x 2 es igual a:

14. Resuelve: 2x - 1 - x = 0 A) (- 1; - 1 2 B) (- 1; 1 2 C) ( 1 ; 1 2 3 3 3 D) ( 1 2 E) {1} 3 15. Indica la suma de soluciones de la ecuación: |x2 - 5x| = 6

A) 1 D) 6

A) ;- 4 ; 4 E B) =- 1; - 4 , < 4 ; 1 5 5 5 5

B) 2 E) 10

C) 3

B) {1}

C) (- 1 2 3

A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

NIVEL 3 Comunicación matemática EL MANUSCRITO MISTERIOSO: 23. A continuación se tiene un teorema en clave. ¡Descífralo! ten en cuenta que cada casilla que tiene un número representa a una letra del alfabeto. 1 = A; 2 = B; ... ; no considere (Ñ; LL; CH).

16. Resuelve: 2x + 1 - x = 0 A) {-1}

D) (1; 1 2 E) (- 1; - 1 2 2 3

19

4

5

19

12 5

13

19

18 15

6

18

14

9

14

17. Resuelve |x - 2| = |3 - 2x| e indica el producto de soluciones. A) 1 D) 3

B) 5/3 E) 15

,

C) 5

15

15

14

12

12

18 5

19

7 14

18. Resuelve: |2x - 1| = -x

21

A) (- 1; - 1 2 3 1 D) (1; 2 3

22

B) (- 1; 1 2 C) ( 1 2 3 3 E) { }

19 15

21 20

19. Resuelve:

15

,

3x - 1 = x + 7

9

A) (- 3 2 B) {4} 2 D) (- 3 ; 4 2 E) R 2

C) ( 3 ; 4 2 2

21 1

|-x| = |x|

19

, 5

3

18

6 # ! R.

24. Compara según sea el caso con: > ; < o = considerando el menor de las soluciones para cada ecuación con valor absoluto: ▪▪ |x2 - 4| = 2 - x

20. Resuelve: |2x - 7| = x - 5 A) {2}

B) {3}

D) {5}

E) No tiene solución

C) {11}

21. Halla el conjunto solución de la siguiente desigualdad: x

5x - 9 2x + 3

▪▪ |3 - x | = 4 |3x - 5| = 7 - x ▪▪ |x + 1|2 - 5|x + 1| + 6 = 0

Resolución de problemas 1-x + 1+x $

4

|x - 6| = |3 - 2x|

Razonamiento y demostración 25. Resuelve (2 - x)|x2 - 9| < 0 e indica la menor solución entera. A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3


79

26. Encuentra el valor de la expresión que se da a continuación para x + y + z x = -4; y = 3; z = -5: x+y+z A) -1 B) -2 C) 0 D) 3 E) 5

3|x - 2| = |x + 4| B) 1 E) 3

C) 3/2

B) 2 E) 3

C) 7

A) CS = G-3; -3] , G0; 6] B) CS = G-3; -2] , [0; 1] , [7; +3H

28. Resuelve: |x + 5| = 2x - 4, e indica la suma de las raíces obtenidas. A) 28 B) 26 3 3 1 D) - E) 28 3 3

A) 5 D) 1

35. Si la suma de los valores absolutos de un número, con 7 restado del triple del valor absoluto del mismo número; es cuanto menos 5. Determina los valores permisibles del número.

27. Halla el menor valor de x que satisface: A) 1/2 D) 2

que es cuanto menos cero. Determina el número (mayor valor entero y positivo).

C) 9

C) CS = G-3; -3] , [0; 1] , [3; +3H D) CS = <- 1 ; 1 F 4 4 1 E) CS = <- ; 7 4

29. Resuelve e indica la suma de soluciones, multiplicando por 4. x - 10 = 1 5 - 3x A) 1 D) 4

D) 2 E) 5

C) 3

33. De la ecuación: |3x+ 2| = 2x - 11, determina el valor de: 5x1 + x2, siendo x1, x2 sus soluciones; x1 > x2. A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5 34. El valor absoluto de un número disminuido en dos, menos el valor absoluto del triple del mismo número, aumentado en cuatro obtenemos una diferencia que si lo dividimos entre cinco restado del cuádruple del número, formamos en este caso una división

80 Intelectum 1.°

21. E

22. C

13. D

14. c

5. D

6. C

7. D

35. C

28. B

20. E 12.

4. C

29. E

27. A

19. d 11. C

3. A

34. D

26. B

18. E Nivel 2

2. b


33. D

25. D

17. B 10. A

1.

A) (2; 1 ; 3 2 B) (- 1 ; 1 2 C) (- 1; 0; 1 2 2 2 2 3 1 1 1 D) (- 3; 1; 2; 2 E) (- 3; - ; ; 3 2 2 2 2

32. E

24.

16. E 9. C

32. Resuelve: 2x2 - 7|x| + 3 = 0

23.

15. e 8. D

31. Halla el producto de los elementos del CS de la siguiente ecuación: x-3 = 7 x+3 A) 5 B) 4 C) -4 D) 9 E) –9

Nivel 3

C) {-1; -4}

Nivel 1

B) {-2; -4} E) {-2}

C l a ve s

A) {-1; -2} D) {-4}

30. d

|x - 1|2 - 2|x - 1| - 15 = 0

31. D

30. Halla las soluciones negativas:


Halla a:

logaritmos

1 + log 2 (a - 4) =2 log 2 ( a + 3 - a - 3 )

2

Resolución:

Halla: 12log12 (x - 4) = 5 Resolución: 12log12 (x - 4) = 5 x-4=5 ` x=9

Por definición: a - 4 > 0 & a > 4 log22 + log2(a - 4) = 2^log2 ^ a + 3 - a - 3 hh 2

log2(2a - 8) = log2 ^ a + 3 - a - 3 h Luego igualamos: 2 2a - 8 = ^ a + 3 - a - 3 h 2a - 8 = a + 3 + a - 3 - 2 a2 - 9

2a - 8 = 2a - 2 a2 - 9 & 2 a2 - 9 = 8 a2 - 9 = 4 & a2 - 9 = 16 & a2 = 25 & a = ! 5 ` a=5

A) 1 D) 8 3

B) 2 E) 10

A) 7 D) 5

C) 5

Calcula x en: x = log3243

4

5

B) 5 E) 3

C) 6

Calcula: M = log325 . log 627 . log536

B) 1 E) 2

C) 6

Halla y: logx3x6 = y

A) 5 D) 3 6

Calcula: A = logab5 . logca3 . logbc2 Resolución: A = logab5 . logca3 . logbc2

Resolución: M = log325 . log627 . log536 M = (log352)(log633) (log562) M = 2 . 3 . 2 log35 log63log56 = 12 . log55= 12(1) = 12

& A = 5logab . 3logca . 2logbc & A = 5 . 3 . 2 loga b . logc a . logb c 1 4 4 44 2 4 4 44 3 ` A = 30

A) 16 D) 24

C) 4

Resolución: logx3 x6 = y (x3)y = x6 3y = 6 ` y=2

Resolución: log3243 = x 3x = 243 3x = 35 `x=5

A) 4 D) 7

B) 8 E) 9

B) 12 E) 18

C) 27

A) 10 D) 30

1

B) 5 E) 12

C) 20


81

7

Calcula el número cuyo logaritmo de base 2 es igual a -6.

8

Resolución: -6 log 2 x = - 6 & x = 2 ` x = 2-3 = 1 8

A) 1 2 D) 2 9

Calcula: A = 2_log2 3i + 2 + 3_log3 4i + 2 + 5_log5 6i + 2 Resolución: A = 2log2 3 . 22 + 3log3 4 . 32 + 5log5 6 . 52 A = 3 . 4 + 4 . 9 + 6 . 25 ` A = 198

B) 6 E) 1 3

C) 1 8

Calcula el valor de m en: m -1 = log32

A) 190 D) 196 10 Calcula el valor de:

B) 192 E) 198

C) 194

B) 35 E) 38

C) 36

1

M = 64log 4 3 + 36log 16 3

Resolución: m - 1 = log32 m = log32 + log33 & m = log3(2 . 3) ` m = log36

Resolución:

1 1

M = 64log4 3 + 36log 6 log4 3h3

M = ^4 3

3

log6 3 2

+ (6

)

2

M = 3 + 3 = 27 + 9 M = 36

C) 63

B) 2 E) 1

11 Calcula: M = 4log 4 3 + 5_log5 2i + 1 + 6_log6 4i + 2

A) 34 D) 37

12 Si log62 = a, ¿cuánto vale log63 en función de a? Resolución: Si log62 = a Piden: log63 log66 = log62 . 3 = log62 + log63 1 = a + log63 ` log63 = 1 - a

Resolución: M = 3 + 5log5 2 . 5 + 6log6 4 . 62 M = 3 + 2 . 5 + 4 . 36 ` M = 157

B) 157 E) 160

C) 158

13 Calcula x en: 7log7 9 + 11log11 x = 2log2 49

A) 2a D) 1 + a

Resolución: A = 4log4 5 . log5 6 . log6 7... log49 50 & A = 4log4 50 ` A = 50

A) 48 D) 51

B) 49 E) 52

C) 50

3. b

C) 40

4. e

6. d 5. b

8. e 7. c

10. c 9. a

B) 30 E) 60 12. c 11. b

14. c 13. c

Claves

82 Intelectum 1.°

C) 1 - a

14 Calcula: A = 4log 4 5 . log5 6 . log6 7 ... log 49 50

Resolución: Resolviendo: 9 + x = 49 ` x = 40

A) 20 D) 50

B) a E) 2a - 1

1. C

A) 156 D) 159

2. e

A) log36 D) log63

Practiquemos 8. Calcula:

NIVEL 1

A = _log9 3i_log3 2 3i_log 27 5i_log 25 4 i

Comunicación matemática 1. Indica el valor de verdad o falsedad en: I. log215 = log2(-5) + log2(-3)

( )

II. log3 2 = 2 log3 2 III. log5 7 = 1 log7 5

( )

A) FVF D) FFV

B) VFV E) FFF

9. El cuádruple del logaritmo de un cierto número excede en 4 al duplo del logaritmo del mismo número. Halla el número.

2. Relaciona cada logaritmo con su respectiva respuesta. log71

3

log216

1

log28

1/2

log5050

4

log3 3

0

3. Calcula x en: 2 _7loga xi + 5_ xloga 7i = 343; a 2 1 B) a2 E) a5

A) a D) a4

C) a3

A) 5 D) 9

5. Calcula el valor de m en: log 2 d 1 n = m 32 A) -1 B) 2 D) 4 E) 3

C) 3

7. Si: c = ab Calcula x en: A) 1 D) 4

B) 13 E) 10

C) 100

10. El quíntuplo del logaritmo de un cierto número excede en 8 al triple del logaritmo del mismo. Determina el número. B) 102 E) 105

A) 10 D) 104

C) 103

NIVEL 2 Comunicación matemática 11. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. log3x = 4 & x = 81

( )

II. log(-2)(-2) = 1

( )

III. log35 + log32 = log37

( )

A) VVV D) VFV

B) VFF E) FVF

C) VVV

Z = log425 log37 log59 log74 La expresión se puede escribir de la siguiente manera: Z = log45

C) -5

2

log37 log53

2

log74

Z = 2 log45 log37 2 log53 log74 Z= 2

2 log45 log 3 log 7 log 4 5 3 7

Z = 4 log44 = 4 . 1 = 4

6. Reduce: B = log216 + log327 + log5625 A) 14 D) 11

B) 200 E) 300

Calcula el equivalente de:

3

B) 25 E) 27

A) 1000 D) 256

12. Completa los recuadros con los números respectivos de tal manera que lleguemos al resultado correcto.

4. Calcula: 1 E = _25- log 1 125ia243- log 1 5 k 5

C) 3


( )

C) VVV


B) 1 2 E) 4

A) 2 D) 1 3

C) 12

Razonamiento y demostración 13. Resuelve: log x log x 7 4 = 7

x = 1 + 1 logc N logb N loga N

B) 2 E) 5

C) 3

A) 2 D) 7

B) 4 E) 7 4

C)

7

2


83

14. Resuelve: NIVEL 3 log3(x + 5) + log3(x + 3) = log3(16x) y Comunicación matemática señala el producto de sus soluciones.

solo si: 1 + 1 = 1 ; x, y ! r+ x y A) VFF D) VVV

6 log 5 log 23 log 52 3 7n

Halla: x + y B) 7 C) 3 8 4 D) 1 E) 5 4 4 A) 2

27. Calcula:

Considere: log 3 = 0,47713 C) 3,1841

M = log d 75 n - 2 log d 5 n + log d 32 n 16 9 243

A) log 6 B) 1 C) log 3 21. El logaritmo decimal de 16 veces un D) log 5 E) log 2 número es 5,89882. Calcula el logaritmo decimal del cubo de dicho número. 28. Calcula: Considere: log 2 = 0,30103 B = (log210)(log510)- log25 - log52 A) 15,0877 B) 13,0711 C) 14,0841 A) 6 B) 5 C) 4 D) 9,9977 E) 14,0700 D) 3 E) 2

84 Intelectum 1.°

32. A

2

12.

25 x = ( 5 ) y * Inx = 2Iny

C) 36

6. d

26. Al resolver:

B) 49 E) 28

31. D

A) 7 D) 42

25. C

2

C) 3,8820

19. C

49 log

B) 2,8820 E) 5,8820

11. b

d

2

A) 1,8820 D) 11,8820

30. C

log

Considere: log7 = 0,8451

24. E

2

20. El logaritmo decimal de 27 veces el cubo de un número es 7,4512. Calcula el cuadrado del logaritmo decimal del número, más 1. B) 4,4444 E) 5,0266

E) 2

23.

C) 2


A) 5,5555 D) 3,0211

D) 10

18. E

B) 1 E) 4

B) 3 C) 7

17. B

19. Calcula: A = (log26)(log36) - log32 - log23 A) 0 D) 3

A) 2

25. Reduce: C) ac

x

Resuelve: x x = n

Nivel 2

B) a E) 2

n

7 + 3i = 8

5. C

A) c D) 1

21 i _

4. A

18. Si b = ac, calcula x en: x = 1 + 1 logb N log a N logc N

24. Si: log_10 + 2

32. Si al cuadrado de 343 veces un número se le toma el logaritmo decimal se obtiene como resultado 9,8143. Determina el cuadrado del logaritmo decimal del número menos 1.

29. D

2


28. E

3 C) 7 4 5 5 4


23. Compara mediante >, < o = las siguientes alternativas: 31. La suma de los cuadrados de dos números enteros es 29 y la suma de sus logaritmos log93 log164 (en base 10) es 1. Dichos números son: log32187 log41024 A) -2 y 5 B) 4 y 5 C) 2 y -5 log642 log339 D) 2 y 5 E) 3 y 20

22. D

A) 1 B) 2 D) 3 E) 2

C) 3

Nivel 3

N = (log28)(log92)(log85)(log2527)

B) 2 E) 5

16. D

17. Calcula:

A) 1 D) 4

15. A

B) a - b + 1 D) 3 - a - b

C) FFV

9. C

Halla log3(2,7) en función de a y b.

B) VFV E) VVF

Halla: E = log3 b 0, 5a

10. D

16. Si: log35 = a / log32 = b A) a + b - 2 C) a - b + 3 E) a + b + 1

III. log2(-2)4 = 4log2|-2| = 4

3. B

C) -1

2.

B) 4 E) 3 - 1

27. e

A) 2 D) 3

26. C

Calcula el valor de m .

30. Si: 1 + 1 = 2a - b a b ab

21. C

= x+5

20. E

_x - 1i

E) (1 + a)-1

14. A

3

D) 4(1 + a)-1

13. C

log

C) 2(1 + a)-1

8. b

3

I. log2(xy) = log2|x| + log2|y| / xy > 0 II. log 2 (x + y) = log 2 x + log 2 y ,

B) 3(2 + a)-1

7. A

15. Si m es el valor de x que verfica:

22. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

A) (4 + a)-1

1. d

C) 9

Nivel 1

B) 8 E) 17

Calcula: log1581

C l a ve s

A) 15 D) 10

29. Si: log35 = a


FUNCIoNes

De las siguientes relaciones indica la que es una función:

2

Resolución: R = {(1; -7), (2; -7), (3; 5)} es una función. En B); C); D) y E) se repite la primera componente con diferente segunda componente. Entonces; solo A es función.

Si f es una función de A en B: f

A

B 7

6

3

8

Determina: f(7) . f(3) Resolución: f(7) = 8 f(3) = 6 ` f(7) . f(3) = 8 # 6 = 48

A) R1 = {(1; -7), (2; -7), (3; 5)} B) R2 = {(3; -7), (3; -3), (2; 5)} C) R3 = {(1; 5), (2; -3), (2; -7)} D) R4 = {(2; -5), (2; -7), (2; -3)} E) R5 = {(2; 3), (5; -1), (5; -7)} 3

A) 21 D) 42

En la siguiente función determina el valor de b. g = {(7; 17), (3; 5), (4; 14), (7; b - 7)}

4

Resolución: g = {(7; 17), (3; 5), (4; 14), (7; b - 7)}

5

a+b=6/a-b=4 &a=5/b=1 `a.b=5

A) 17 D) 21

A) 3 D) 10

C) 24

Sean M = {3; 7; 1} y N = {49; 1; 3} dos conjuntos y f(x) = {(x; y) ! M # N / y = x2} una función. Completa f(x) = {(...; 49), (1; ...)} e indica Dom(f) / Ran(f). Resolución: Como y = x2 & 49 = x2 ` x=7 y = x 2 & y = 12 ` y=1 ` f(x) = {(7; 49), (1; 1)}

A) {7; 49} / {1; 1} C) {7} / {49} E) {49} / {1}

6

C) 22

Dada la función: f = {(2; 6), (1; a - b), (1; 4), (2; a + b), (3; 4)} Determina: a . b Resolución:

Ubicamos los que tienen dominios iguales que por ser función le corresponde imágenes iguales. & 17 = b - 7 ` b = 24

B) 14 E) 5

B) 48 E) 52

B) 7 E) 5

C) 8

Si: g(x + 2) = x + 9 y f(x - 2) = x + 9 g (3) Determina: f (14) Resolución: g(x + 2) = (x + 2) + 7 & g(3) = 3 + 7 = 10 f(x - 2) = (x - 2) + 11 & f(14) = 14 + 11 = 5 g (3) 10 = =2 ` f (14) 5

B) {7; 1} / {49; 1} D) {-1; 1} / {7; 49}

A) 3 D) 2

B) 9 E) 1

C) 14


85

8

Determina el rango de f(x) = 7x - 5 Si: Domf ! 14; 7]

Resolución: Para hallar el rango evaluamos cada elemento del dominio en g(x): g(7) = 6(7) - 12 = 30 g(4) = 6(4) - 12 = 12 g(2) = 6(2) - 12) = 0 Ran(g) = {30; 12; 0} ` S Ran(g) = 30 + 12 + 0 = 42

Resolución: Dominio: 4 1 x # 7 & formamos f(x): 28 1 7x # 49 23 1 7x - 5 # 44 & f(x) ! ]23; 44]

A) 42 D) 32

A) [23; 49] D) ]23; 44]

B) 13 E) 52

C) 18

Grafica: y = 4x - 3 Ubicamos los puntos y unimos con una recta. y

3/4 -1 -2 -3

(3/4; 0) 1

10 Dados los conjuntos: A = {1; 7; 6; 4} y B = {1; 35; 0; 48} Determina la función g(x) de A en B Si: g(x) = {(x; y) ! A # B / y = x2 - 1} Indica la suma de los elementos del rango. Resolución:

x

2

y = x2 - 1 Par ordenado ` g(x) = {(1; 0), (7; 48), (6; 35)} (1; 0) 0!B Ran(g) = {0; 48; 35} (7; 48) 48 ! B S Ran(g) = 83 (6; 35) 35 ! B b 15 " B

x 1 7 6 4

(0; -3)

A) 72 D) 83 11 Si f(x) es una función lineal; calcula. f(-2), además: f(0) = 3 y f( 6) = 9.

4

2

x

8

B) 3 E) 1

14 Del gráfico, halla m . n. y n

5a = -5 & a = -3 3

6

Reemplazando a = -3 en (2): -3(2) + b = -1 -6 + b = -1 & b = 5 ` a = -3 y b = 5

2 3/2 m

B) a = 2; b = -3 D) a = 1; b = 1

9

A) 36 D) 72

x

c) 4

Resolución: La gráfica es la de una función inversamente proporcional & y = k x (9; 2) ! f(x) & 2 = k & k = 18 9 & la función es: y = 18 x Para determinar m: 6 = 18 & m = 3 m Para determinar n: n = 18 & n = 12 3/2 ` m . n = 12.3 = 36

B) 48 E) 12 6. D 5. b

8. D 7. A

10. D 9.

12. B 11. C

14. A 13. A

Claves

86 Intelectum 1.°

4

A) 6 D) 9

C) 1

13 Sea una función f: R " R definida por: f(x) = ax + b, donde a y b son constantes. Si: f(1/3) = 4 y f(2) = -1, halla a y b.

A) a = -3; b = 5 C) a = 2; b = -3 E) a = 3; b = 4

n m

Resolución: Observamos que es la gráfica de una función de proporcionalidad directa, (0; 0) pertenece a la gráfica & y = kx

B) 4 E) 0

Resolución: f c 1 m = a c 1 m + b = 4 ...(1) 3 3 f(2) = a(2) + b = -1 ...(2) Restando (1) de (2): 2a - a = -1 - 4 3

Reemplazamos el punto (8; 4) para hallar k. 4 = k(8) k = 1/2 & la función es y = x 2 Para hallar n: n = 4 & n = 2 2 Para hallar m: m = 2 & m = 1 2 ` m+n=2+1=3

y

Piden: f(-2) = (1)-2 + 3 = 1

C) 64

C) 24

3. c

A) 3 D) 5

B) 82 E) 18

12 De la gráfica, halla m + n.

6a = 6 a=1 & f(x) = (1)x + 3

Resolución: Función lineal f(x) = ax + b Del dato: & f(0) = a(0) + b = 3 ...(1) & f(6) = a(6) + b = 9 ...(2) De (1): b = 3 En (2): 6a + 3 = 9

C) [2; 7]

4. E

Resolución: Ubicamos los interceptos con los ejes coordenados y = 0 & 0 = 4x - 3 x = 3/4 Punto: (3/4; 0) x = 0 & y = 4(0) - 3 y = -3 Punto: (0; -3)

B) ]23; 49] E) [-1; 3]

1. a

9

Si el dominio de g(x) = 6x - 12 es {7; 4; 2}, determina su rango e indica la suma de sus elementos.

2. B

7

Practiquemos 5. Sean las funciones F y G:

NIVEL 1

F = {(3; 6), (9; 11), (13; 17)}


y

1. Responde con una (V) o (F) si las premisas son verdaderas o falsas, respectivamente: f1

A)

g1

B)

3 7 1

4 5 6

5 2 4 6

1 3

f1 es una función. ( )

2

g1 no es función.

( )

C) Si f = {(3; 7), (7; 3), (4; 5)} & f es una función. ( ) D) Si g = {(6; 9), (3; 7), (3; 17)} & g es una función. ( ) E) Si f(x) es una función, & f(x) es una relación. ( ) A) FVFVV D) VVVFF

B) FFVVF E) VVVFV

C) VVFFV

F (9) + G (F (3)) + F (3) Determina: G (2 ) A) 3 D) 6

6

B) 2 E) 5

x

C) 4

6. Si A = {1; 2; 3} y B = {4; -6; 9} y F = {(x; y) ! A # B / y = 4x}; indica el rango de F.

2. A) Según el diagrama cartesiano completa en el diagrama sagital.

A) {-3} B) {4} D) {-6} E) Q

C) {(1; 4)}

7. Determina el rango de:

B f

7 6

f(x) = 4x + 3; si: Domf(x) = [2; 6]

A

4

B 3 2

1

2

B 2 3 5

A) 11 D) 6

g M

1 2 6

Calcula: f (g (1)) + f (g (7)) C = f (g (6)) A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

1 6 7

2 3 5

C) 6

3. Si F = {(3; a + 2), (1; 7), (3; 4)} es una función; determina a2. B) 4 E) 9

C) 2

4. Si el conjunto:

C) [11; 27]

C) 17

Resolución de problemas 9. Dados los conjuntos: A = {x / 2 # x # 7, x ! N} B = {x + 2 / 0 # x < 7, x ! N} Determina la siguiente función como par ordenado f = {(x; y) ! A # B / y = 2x - 2} A) f = {(2; 2); (3; 4); (5; 8)} B) f = {(6; 10), (7; 12)} C) f = {(2; 2), (3; 4)} D) f = {Q} E) f = {(2; 2), (3; 4), (5; 8), (6; 10)} 10. Joanna lee 10 páginas de una obra por día, representa en una función y que indique el n.° de páginas que lee por x semanas. A) y = 10x D) x = 70 x

B) x = 10y E) y = 10 + 7x

C) y = 70x

11. Una empresa de viajes ofrece un tour de S/.800 para un máximo de 40 personas. Si solo asisten x personas; x < 40, cuánto pagará cada persona.

G = {(a; 3b); (a; a + b); (2b; 12)} es una función, halla a - b. B) 3 E) 6

B) 14 E) 5

A

Razonamiento y demostración A) 16 D) 1

B) [11; 24] E) R

f(x) = 3x - 2; si Ranf(x) = {4; 1; 7; 13}

f

A

A) [8; 12] D) R+

8. Halla la suma de los valores del dominio de la función:

A

3

B) Dadas las funciones:

A) 2 D) 5

G(x)

8

C) 4

A) 3200x D) 400/x

B) 40x E) 300/x

C) 800/x


87

Determina f = {(x; y) ! A # C} e indica Ran(f) + Dom(f).

NIVEL 2

A) {1; 2}


f1

y

x

A) [-4; 3] D) [0, + 3H

f2

g2 x

x

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) {4}

E) 5

13. a) Relaciona las siguientes proposiciones:

B) [-11; 1] E) R

D) [8; 20]

18. Halla el dominio y el rango de la siguiente función:

F = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a - b), (-1; b - a), (a + b2; a)} Luego, indica: Dom(f) + Ran(f) A) {3}

y

g1

D) {3; 4; 1}

Si: x ! [2; 5]

x

y

C) {1}

17. Halla el rango de la función f(x) = -4x + 10

12. Observa y determina cuántas funciones hay. f = {(2; 3), (4; 7), (4; 9), (7; 5)} g = {(13; 4), (7; 2), (6; 1), (11; 3)} y

B) {2}

B) {-1}

C) {2}

D) {5}

E) Q

19. Sea la función h(x) = 3x - 2; Ranh(x): ]7; 13], determina su dominio. A) [3; 5] D) [3; 7]

B) ]3; 5] E) ]19; 37]

2 20. Si f(x) = x - 1 ; determina: f(f(2)) x+1 A) 3 B) 2 C) 1

C) [-2; 3]

I. Función lineal

y = f(x)

II. Producto cartesiano

y = kx


III. Función inversamente proporcional

A#B

IV. Función directamente proporcional

y= k x

21. La medida del diámetro de un círculo es el doble que la de su radio (r), expresalo en una función f(r) e indica cuánto mide su diámetro si el radio mide 25 cm. A) f(r) = 2r; 30 cm B) f(r) = r; 25 cm C) f(r) = r2; 25 cm D) f(r) = r; 50 cm E) f(r) = 2r; 50 cm

V. Regla de correspondencia

y = ax + b

b) Completa las siguientes tablas: y = -5x x y

y = 4 x x y

1 -5

3

4

6

-15

-20

-30

2

4

8

10

2

1

1/2

2/5

0

3

4

5 28

-2

16

22

A) h(x) = 12x D) h(x) = 24x

C) 6

D) 8

23. Resuelve: I) Dados los conjuntos: A = {7; 1; 8; 3; 4; 5; 6; 5} B = {c; d; a; c} Determina: n(A # B) = E) 5

15. Sea la función: H = {(a; 4), (1; 7), (a; b), (1; a)}. Determina: a2 - b2 A) 33

B) 28

C) 16

D) 5

16. Dados los conjuntos: A # B = {(1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 2), (2; 3), (2; 4)} y C = {1; 5; 6}

88 Intelectum 1.°

C) h(x) = 24 x


14. Dada la función f = {(2; 3), (3; 4), (4; 1)} Calcula: M = f(f(2)) + f(f(3)) B) 9

B) h(x) = 12 x E) h(x) = 12

NIVEL 3


A) 7

E) 1

22. El área de un triángulo es 12 m2. Determina como varía su altura h(x) en función a su base (x).

y = 6x - 2 x y

D) 0

E) 49

.

II) Sea el conjunto M # N: N 8 7 6 5 4 3 2

2 3 4 5 6 7

M

=

31. Si (3; 1) ! f(x), siendo f(x) = ax - 8 determina f(4).

R = {(x; y) ! M # N / y es primo / x es par} Halla: Dom(R) + Ran(R) A) {2; 8; 3; 7} D) { }

B) {2; 3} E) {2; 7}

III) Completa: y = x y

-1 4

A) 4

C) {8; 7}

7 12

C) 7

D) 9

E) 1

32. De la gráfica determina el dominio y rango de h(x); si h(-2) = -1 y 10

.x+ 0

B) 5

h(x)

14

IV) Mediante una gráfica representa la función costo, que depende del volumen de leche, si 1 litro cuesta S/.3. V) Si M = 1 es DP a N = 7; cuánto vale M cuando N es 28. 24. Responde verdadero (V) o falso (F): 2

I) (2; 3) ! a la función f(x) = x - 1 g: es una función II) g

( ) ( )

-2

x

9

A) [-2; 9] y [9; 10] C) [-1; 9] y [-2; 10] E) N. A.

B) [-1; 9] y [9; 10] D) [-2; 9] y [-1; 10[

33. Sea la función: 2x - 1; si x $ 6 G(x) = 4; si x 1 6 III) Si A DP B y B DP C & A DP C. IV) El dominio de f(x) = x + 1 es R. x-1 V) La gráfica de f(x) = 3 es una recta horizontal. A) VVVFF D) VFVFF

B) VFVFF E) VFVVV

( ) ( ) ( )

C) FVFVV

G_ 7 i + G_ 9 i + 2 G_ 5 i + G_ 2 i

A) 15 B) 15 4 2

C) 4

D) 8

E) 31



34. 3 trabajadores hacen 200 m de carretera en un día si se duplica el trabajo y se enferma 1 trabajador en cuántos días realizan dicho trabajo. (Día laboral 8 h).

25. Si A = {3; 5; 6; -2} y B = {1; 5; 13; -3; 0} Halla f = {(x; y) ! A # B / y = 2x + 1} A) f = {(3; 7), (5; 11)} B) f = {(3; 7), (6; 7)} C) f = {(5; 1), (6; 13)} D) f = {(6; 13), (-2; -3)} E) f = {(3; 7), (5; 13), (-2; -3)} 26. Si f(x) es una función lineal, además f(0) = -3 y f(2) = 1 Halla la regla de correspondencia de f(x). A) f(x) = 3x - 6 D) f(x) = x + 6

Calcula: E =

B) f(x) = 4x - 7 E) f(x) = x - 1

C) f(x) = 2x - 3

A) 2 días D) 5 días

B) 3 días E) 1 día

C) 4 días

35. Un tanque de agua tiene una capacidad de 36 m3; qué tiempo en horas tomará en llenarse (1 m3 = 1000 L). I. A un caudal de 60 L/min. II. A un caudal de 25 L/min. A) 14 y 18 D) 10 y 24

B) 12 y 20 E) 25 y 60

C) 15 y 18

27. Si Df = [-3; 2] halla el conjunto solución para el rango de la función: f(x) = x2 + 1. A) [5; 9] D) [-3; 5]

B) [1; 10] E) [0; 10]

C) [3; 5]

28. Halla el dominio de: f_ x i = x - 2 + 1 + x x+3 x-3 A) Df = R -{3} B) Df = R -{!3} C) Df = R D) Df = R-{0} E) Df = { } 29. Halla el rango de la función: f(x) = -2x + 5; x ! ]-4; 2] A) [-3; 9] D) ]-3; 13[

B) ]-3;9[ E) ]-1; 5[

C) [1; 13]

B) 13

C) 31

7. C

14. e

22. C

29. C

8. A

15. A

Nivel 3

30. C

9. C

16. C

23. D

10. c

17. B

24. B

11. c

18. C

25. D

Nivel 2

19. B

26. C

5. e

12. c

20. D

27. B

34. B

6. B

13.

21. E

28. B

35. d

Nivel 1 1. e 2. D 3. B 4. C

30. Si f(x) = 3x - 5 y g(x) = 2x2 - 1; determina g(f(3)). A) 21

C l a ve s

D) 17

E) 13

31. A 32. D 33. C


89


progresiones

En la PA determina el valor de x. : 6; x; 10; ...

2

Resolución: • Como es una PA & 10 - x = x - 6 2x = 16 x=8

A) 7 D) 5 3

B) 8 E) 3

Resolución: • : 2; 5; 8; ... es una PA de razón 3 & término 50: a50 = a1 + (50 - 1)r a50 = 2 + (50 - 1)3 a50 = 149

C) 9

En la siguiente PA: : 2; 4; 6; ...; 198. halla a14.

A) 130 D) 149 4

a1 = 2 / r = 2 ` a14 = 2 + 13(2) = 28

5

B) 140 E) 139

C) 150

Halla a25 ' a15, en la siguiente PA: : 5; 10; 15; ... Resolución: a1 = 5 / r = 5 a25 = 5 + 24(5) = 125 a15 = 5 + 14(5) = 75 a ` 25 = 5 a15 3

Resolución:

A) 26 D) 32

Determina el término de lugar 50 de la siguiente progresión: : 2; 5; 8; ...

B) 28 E) 34

A) 5 D) 3 5

C) 30

Halla la suma de términos en la siguiente PA: : 2; 4; 6; 8; ... ; 68

6

C) 5 3

B) 3 E) 8

Identifica cuál(es) es(son) PG: Resolución:

A) 3; 7; 11; ... A) No es PG es una PA. B) 6; 12; 24; ... B) 12 = 24 = 2 es una PG de razón 2. 6 12 C) 2/3; 1/3; 1/6; ... 2 2 3 3 D) ab; a b ; a b ; ... C) 1 3 = 1 6 es una PG de razón 1/2. 2 3 1 3 E) xy; x3y; xy2; ...

Resolución: n = c 68 - 2 m +1 = 34 2 Sn = c 2 + 68 m n = 35(34) = 1190 2

2 2 3 3 D) a b = a2 b2 = ab es una PG de razón ab. a.b a b

E) No es PG

x3 y xy2 ! 3 xy x y S

x2

A) 1000 D) 1290

90 Intelectum 1.°

B) 1190 E) 1128

C) 2190

A) A D) B; C y D

B) B; C E) Todas

S

y x2

C) C; D

Halla el número de términos de 28; 32; 36; 40;... ; 208. Resolución: Es una PA de razón: r = 32 - 28 & r = 4 a1 = 28 an = 208 Sabemos: a -a n = n 1 +1 r n = 208 - 28 + 1 4 ` n = 46

Halla T15 en la PA. : (n - 1); (n + 3); (3n - 1); ... Resolución: Son los términos de una PA Entonces: (n + 3) - (n - 1) = 3n - 1 -(n + 3) n = 4 & PA: 3; 7; 11;... T15 = 3 + 14(4) = 59

B) 36 E) 16

C) 42

Halla la siguiente suma: S = 4 + 1 + 1 + 1 + 1 + $$$ 4 16 64

A) 19 D) 57

Resolución: S6 = 28(S3) t1 e

q6 - 1 q3 - 1 o = 28 = t1 e oG q-1 q-1

A) 16 B) 3 D) 3 E) 3 16 4

C) 16 3

11 La suma de n términos de una progresión aritmética es: Sn = 3n2 - 5. Halla t21.

B) 2 E) 5

C) 3

12 En la siguiente PG: :: 2 ; 1; 3 ; ... 3 2 Calcula a8. Resolución: a1 = 2 ; q = 3 2 3

7 6 7 a8 = 2 c 3 m = 2 $ 3 7 = 3 6 3 2 3 2 2

& a8 = a1 . q7

C) 218

1 + 2 + 3 + 4 + ... 10 10 2 103 10 4

S = 1 + 2 + 3 + ... S = 1 + 2 2 + 3 3 + ... 10 10 2 103 10 4 10 10 10 & S - S = 1 + 1 + 1 + 1 + ... 10 10 10 2 103 10 4 1 1 & 9S = 10 = 10 = 1 ` S = 10 81 10 1 - 1 9 9 10 10

Resolución: Sea: : a1 ; a2 ; a3 ; a4 la PA. Dato: a1 . a2 . a3 = 162; r = 3 ...(I) Sabemos que: an = a1 + (n - 1)r

1 C) 1 10 90 7 10

A) 10 D) 9

10. c

8. c

9. c

7. D

En (1): a1 . (a1 + r) . (a1 + 2r) = 162 a1 . (a1 + 3) . (a1 + 6) = 3 . 6 . 9 & a1 = 3 Nos piden: a4 ` a4 = a1 + 3r = 3 + 3(3) = 12

B) 12 E) 15

C) 14

Claves

12. C 11. c

A) 10 B) 81 D) 7 E) 90

14 El producto de los tres primeros términos consecutivos de una progresión aritmética es 162 y la razón es 3, halla el cuarto término.

5. b

B) 198 E) 118

3 6 A) 3 B) d 3 n C) 3 6 2 2 2 6 2 2 D) d n E) 3 3

6. d

Resolución:

A) 1 D) 4

3. b

13 Halla la suma:

q6 - 1 = 28(q3 - 1) q3 + 1 = 28 ` q=3

4. c

A) 220 D) 88

C) 59

10 En una PG se conoce que: S6 = 28(S3) Halla la razón q.

Resolución: a S = 1 = 4 = 4 = 16 3 3 1-q 1- 1 4 4

Resolución: De la PA: Sn = 3n2 - 5 S1 = t1 = -2 ...(I) ...(II) S2 = t1 + t2 = 7 (I) en (II): -2 + t2 = 7 & t2 = 9 r = t2 - t1 = 9 - (-2) = 11 & t21 = t1 + 20r ` t21 = -2 + 20(11) = 218

B) 16 E) 4

1. b

A) 32 D) 46 9

8

2. d

7


91

14. B 13. A

Practiquemos A) 512 D) 64

NIVEL 1 Comunicación matemática

B) 1024 E) 16


1. En las siguientes progresiones aritméticas completa. I) : m - 2; m + 1 ; II) : 7 ; III) PA

+

; ...

9. La suma de los términos de una PA es 425 y su término central 17. El número de términos es:

; 17; ...

10

n=

(n.° términos)

r =

(razón)

35 IV) : 2 + 3 ; 3; 3 V) : 2; ...; 35 ; ...

A) 15

A) 600

A) 15

30 términos

2. A) Determina x si: I) : 4x; 5x + 1; 4x + 10; ... es una PA & x = II) :: 16 ; 7; 3x + 1; ... es una PG & x = x B) Relaciona correctamente: 2; 7/2; 5; 13/2

PG creciente

:: 4; -12 ; 36; - 108 ; ...

PA decreciente

: : 2 ; 8 ; 32 ; ...

sucesión finita

: 13; 11; 9; 7; ...

PG oscilante

: a + 1; a + 11 ; a + 21; ...

PG creciente

4. Sea la PA: 10; 14; 18; ... encuentra el término de lugar 20. C) 70

D) 50

E) 86

5. Determina el primer término de una progresión aritmética de 29 términos de razón 4 cuyo último término es 119. A) 14

B) 7

C) 0

D) 4

E) 29

6. Halla el número de términos de: 28; 32; 36; 40;... ; 208. A) 36

B) 30

C) 46

D) 50

B) 20

B) 18 540 E) 3700

8. Halla a20 ' a10, en la siguiente progresión: :: 4 ; 8 ; 16 ; ...

92 Intelectum 1.°

E) 50

C) 611

D) 612

E) 630

C) 30

D) 40

E) 56

Comunicación Matemática 12.

1 3 5

55

De la figura responde: I) Las filas corresponden a una PA creciente de razón bolitas. .

13. Completa los pasos adecuadamente. M = 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 4 + 2 + 1 + 1 + 1 + ... 2 4 Suma de PG de 6 términos M= Suma límite de una PG de razón 1/2 S6 = f SL = `M=

+ 2

p.

=

1-

Razonamiento y demostración C) 30 000

E) 25

NIVEL 2

7. Calcula: S = 27 + 30 + 33 + ... + 333 A) 10 050 D) 5040

D) 35

III) El n.° total de bolitas del arreglo es

3. Demuestra que la suma de los n primeros números naturales es n (n + 1) . 2 B) 58

B) 610

II) La fila n.° 17 tiene


A) 38

C) 30

11. Las edades de 3 personas están en PG siendo el producto de las edades 27 000. ¿Cuál es la edad de la persona intermedia?

; ...;

12 términos

B) 25

10. El tercer término de una PA es 18 y el séptimo 30. Calcula la suma de los 17 primeros términos.

; ...

20 términos

C) 256

14. Determina la razón de la progresión aritmética: : m + 3 ; m - 2; ... A) m D) -5

B) m - 1 E) 7

C) 5

.

15. Sea una PA donde a5 = 4 de razón 1/2, determina el término de lugar 15. A) 9

B) 7

C) 16

D) 17

E) 15/2

16. En la siguiente progresión geométrica: :: 2–2 ; 2-1 ; ... Calcula a49.

A) 242

B) 244

C) 246

D) 248

E) 235

17. El cuarto término de una PG es 2 y el décimo es 128. Calcula el valor de la razón. A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolución de problemas 18. El cociente entre el quinto y el primer término de una PG es 16 y su suma es 51. Determina el tercer término de la progresión. A) 10

B) 8

C) 12

D) 4

E) 1/2

19. El quinto término de una PG es 24 y el segundo 81. Halla el número de términos enteros de la progresión. A) 5

B) 6

C) 12

D) 25

E) 83

20. Halla cinco números enteros en PG creciente cuya suma es 31 y su producto 1024. Proporciona la suma de la razón con el primer término de dicha progresión. A) 3

B) 4

C) 5

D) 2

E) 6

NIVEL 3

23. Halla la suma de los infinitos términos de: 1 + 2 + 1 + 2 + ... 7 72 73 7 4 A) 9 B) 24 D) 9 E) 16

21. En un triángulo sus ángulos internos siguen una PA. Si el menor mide 10°, determina el ángulo mayor.

3 C) 5 16 16 5 24

24. Determina la suma de los múltiplos de 5 comprendidos entre 50 y 149. A) 199 D) 750

B) 2000 E) 500

C) 1900

25. En la siguiente PG: :: 2 ; 2; ... a Determina: 10 a5 3 A) 25 B) 2 C) 2

D) 4 2

E) 2 2

26. Si: :: (a + b), (4a - 3b); (5b + 3a), ... es una PA; luego a/b es: A) 3

B) 4

C) 5

D) 7

E) 2

Resolución de problemas 27. La suma de los infinitos términos de una PG decreciente es 8 y la suma de los dos primeros términos es 6. ¿Cuál es el valor del primer término? A) 1


A) 50° B) 60° C) 110° D) 100° E) 70°


B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

28. El quinto término de una PA es igual a 19 y el décimo es 39. ¿Cuántos términos hay que tomar para que su suma sea 465? A) 18

B) 12

C) 20

D) 10

E) 15

29. La suma de los 10 términos de una PA creciente es 60, la diferencia de los extremos es 18, halla el término 10. A) 15

10°

B) 18

C) -3

D) 10

E) 8

3 Fila 1 3 3 3 6 3 3 9 9 3 3 12 18 12 3 ...

...

...

22. En el siguiente arreglo se tiene 12 filas:

Determina: I) La suma de los números de la fila 10. t10 = II) ¿Cuánto suman todos los números del arreglo? S12 =

C l a ve s 7. b

13.

20. A

26. A

1.

8. b

14. d

Nivel 3

27. d

2.

9. b

15. A

21. C

28. E

3.

10. d

16. C

22.

29. A

4. e

11. c

17. B

23. B

5. b

Nivel 2

18. C

24. C

19. A

25. D

Nivel 1

6. c

12.


93

Matemática Determina en la figura A + B; si la recta ON es una función de proporcionalidad directa y la curva NP representa una función de proporcionalidad inversa. y N

A 10/3

P

B O

4

6

10

x

1. Completa cada caso: a)

x1 =

logx9 = 2

x=

A) 10 D) 4

x

2

4

-17

Sn = 3 - 1

20 términos : -3 + 4 + ... + 95 + 102 Sn =

-

+1

=

3. Encuentra el conjunto solución de: |x - 3| = 3 C) CS: { 1 ; 7} 3

B) 1 E) -2

C) 3

5. Dada una progresión aritmética. Si su undécimo término y cuarto término son 25 y 11, respectivamente, determina la razón.

94

Intelectum 1.°

C) 100

8. En una función de proporcionalidad f(x), se cumple: f(3) + f(2) = 30 f (7 ) + f (8 ) f (3 ) B) 4 E) 8/3

C) 3

9. Determina un valor de x. logx - 3(x - 1) = 2 A) 4 D) 5

B) 2 E) 3

C) 6

10. En una reunión cada 5 minutos se reciben 7 invitados, luego 10, luego 13 y así sucesivammente hasta que al final llegan 37 invitados. ¿Cuánto tiempo transcurrió? En minutos. A) 33 B) 45

4. Resuelve la siguiente ecuación: 4x - 2x + 2 - 32 = 0 e indica un valor real de x. A) 2 D) 4

B) 84 E) 124

A) 5 D) 7

A) [1/3; 7H B) < 7 ; 4 C) G5; 7] 4 D) G5; 7] E) < 2 ; 7 3

B) CS: {1; 3} E) CS: {2; 4}

A) 102 D) 110

Determina:

2. Determina el rango de la función: f(x) = 7 - x , si x ! G0; 5] x+1

A) CS: {0; 3} D) CS: {0; 6}

C) 5

12 términos

3

c) :: 1 + 3 + ... + 38 + 39

B) 100 E) 1

7. En la siguiente progresión aritmética determina x + y si: : -5; -1; 3; ... ; x; ... ; y

b) Si F(x) = 7x - 3 46

C) 3

6. Determina el valor de a. Si: log(xy) = a y logx2 + logy2 = 10

x2 =

log3(x + 2) + log39 = 1 x =

11

B) 1 2 E) 6

D) 4

Valor (es) de x

|x - 3| = 4

F(x)

Como ON es función de proporcionalidad directa se cumple: 10 3 = A & A=5 4 6 NP es curva de una función de proporcionalidad inversa, entonces: A . 6 = B . 10 & 5 . 6 = B . 10 & B=3 ` A+B=8

A) 2

Ecuaciones

Resolución:

B) 77 E) 25

C) 55

11. Elena lee una obra literaria, el primer día lee 10 páginas, el segundo 14 páginas, el tercer día, 18 páginas... ¿Qué día culminará la lectura si empezó el 12 de abril y la obra posee 960 páginas? A) 19 de abril B) 5 de mayo

B) 29 de abril E) 3 de mayo

C) 8 de mayo

Instrucciones: completa los tableros subdivididos en 9 cuadrados llenando las celdas vacías con los números del 1 al 9, sin que se repita ninguna cifra en cada fila, ni en cada columna, ni en cada cuadrado.

5.

1. 4 1

5

5

2

9

4

4 2

1 8

2 9 8 1

7

5 1

9

6 7 8

4

6

8

2 4 5

1

7

5 6

4

1

5 4 8

3 3 4

1 7

6

4

6

3

6

9 7 4 6

8

5 8

3

2 4

2.

1

6

2 9

8 2

1

6. 5 7 6

7

3

2 1

3 9 8

6 4

4 6 5 4

6 4

7 9 6

3 2

7 1

4 5 6 8 9 2 3

6 9 8

3

4

8 7 1 5

1 3 4 9

1 8

1

7

9

9 6

1

2 1

7 9 4

9 4

1

5 2

5 3

3.

1

7. 1 3

5 3

6 9

7

9

4

6

2 6 8

1 6 5

3

9

9 5

4 7

5

3

1

3 5 5

5 6

2

6 8 1 4 9 3 2

7 3

8 2

3 4 2

3

4

7 7 4

7

5 7

2 1

6

1 2 8

4.

8 6

5

3

4 8

1

2

4 7 2

8. 9 8 3

7

5

5 8

9 1 7

4 1

1

5 6

7

3

1

9 5

7 2 8

4 2 5

8 6 5 7

9

7 4 6 2

9

6 2

3 5 6

4

8

1 4 2 8 5 4

2

4

2 1

7 9 1 3 1

4

4 9

5

1.

5. 4 1 8 7 5 6 2 3 9

3

6

4

2

1

8

9

5

7

5 3 7 4 9 2 8 6 1

7

2

9

3

4

5

8

1

6

9 6 2 3 8 1 4 7 5

5

1

8

9

7

6

3

4

2

1 9 5 6 7 8 3 4 2

6

8

3

5

9

7

4

2

1

7 2 4 9 1 3 6 5 8

2

4

7

6

3

1

5

8

9

6 8 3 2 4 5 9 1 7

1

9

5

4

8

2

7

6

3

2 7 9 5 6 4 1 8 3

8

7

2

1

5

9

6

3

4

3 4 1 8 2 7 5 9 6

4

5

1

7

6

3

2

9

8

8 5 6 1 3 9 7 2 4

9

3

6

8

2

4

1

7

5

2.

6. 6 2 1 4 3 5 8 7 9

3 1 5 7 8 4 2 9 6

4 5 7 6 8 9 2 1 3

6 4 2 3 9 5 1 8 7

3 9 8 7 2 1 5 4 6

8 7 9 6 1 2 4 3 5

2 7 3 5 4 6 9 8 1

4 6 3 8 7 1 5 2 9

1 6 4 9 7 8 3 2 5

9 2 7 4 5 6 3 1 8

9 8 5 2 1 3 7 6 4

1 5 8 9 2 3 7 6 4

7 1 2 3 5 4 6 9 8

2 8 1 5 6 7 9 4 3

5 4 9 8 6 2 1 3 7

7 9 4 1 3 8 6 5 2

8 3 6 1 9 7 4 5 2

5 3 6 2 4 9 8 7 1

3.

7. 1 3 4 2 5 6 7 8 9

1 7 3 5 6 2 9 4 8

7 2 5 3 8 9 4 1 6

6 8 9 7 3 4 2 5 1

6 9 8 7 4 1 2 5 3

5 4 2 9 1 8 6 3 7

4 1 6 5 2 3 8 9 7

3 5 1 8 2 6 7 9 4

3 7 2 6 9 8 1 4 5

7 6 8 1 4 9 3 2 5

8 5 9 4 1 7 3 6 2

2 9 4 3 7 5 1 8 6

9 6 1 8 3 2 5 7 4

8 2 7 6 5 3 4 1 9

2 4 7 1 6 5 9 3 8

9 3 6 4 8 1 5 7 2

5 8 3 9 7 4 6 2 1

4 1 5 2 9 7 8 6 3

4.

8. 3 9 4 5 6 7 1 2 8

7 1 3 2 9 5 6 8 4

1 7 8 3 4 2 9 5 6

2 9 4 3 8 6 5 7 1

5 2 6 8 9 1 7 3 4

8 5 6 4 7 1 3 9 2

8 5 9 1 7 6 3 4 2

1 8 5 9 2 3 4 6 7

6 3 1 4 2 8 5 7 9

3 6 2 7 1 4 9 5 8

2 4 7 9 3 5 6 8 1

9 4 7 6 5 8 1 2 3

9 8 5 2 1 3 4 6 7

6 3 8 5 4 7 2 1 9

7 1 3 6 8 4 2 9 5

5 7 9 1 3 2 8 4 6

4 6 2 7 5 9 8 1 3

4 2 1 8 6 9 7 3 5

4. ALGEBRA 1° - ACTIVIDADES

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