Manual de lectura
Manual de lectur a - Nivelación de álgebra Nivelación de álgebra Unidades:Unidades: i,ii,iii y iv. I,II,III y IV.
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Nivelación de álgebra Unidades: I, II, III y IV.
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Identicación Facultad Ciencias Económicas y Administrativas Comunicación, Artes y Ciencias de la Tecnología. Carreras ICA, CIN, MKT, AUD, GHT,ARQ, IND Asignatura Álgebra Contenido teórico basado o extraído de: Baldor, A. (1969). Algebra Elemental. Madrid, España: Editorial Mediterráneo
Repeo, Celina, Linskens, Marcela, y Fesquet, Hilda. (1967). Aritméca y Álgebra 3. Buenos Aires, Argenna: Editorial Kapelusz Repeo, Celina, Linskens, Marcela, y Fesquet, Hilda. (1962). Aritméca y Álgebra 4. Buenos Aires: Editorial Kapelusz
II Únidades
Unidad I: Expresiones Algebraicas Álgebra es la rama de la matemáca que estudia la candad considerada del modo más general posible. Puede denirse como la generalización y extensión de la aritméca. La aritméca elemental trata de los números y las operaciones fundamentales; el álgebra, para lograr la generalización, introduce además símbolos (generalmente letras) para representar variables o candades desconocidas llamadas también incógnitas; así se forman las expresiones algebraicas, que enuncian una regla o un principio general. El álgebra es una de las más grandes áreas de la matemáca. En el álgebra:
Las primeras letras del abecedario a, b, c,... Se ulizan para expresar candades conocidas Las úlmas letras del abecedario ..., x, y, z Se ulizan para expresar incógnitas N Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n)
Expresiones Algebraicas Término algebraico es el producto de una o más variables y una constante numérica. Ej:
7xy3, –2ab2c, 2πr, -3/5 〖x^2 z〖^3 Un término algebraico ene un: Signo: posivo o negavo Coeciente numérico: es el número que va al comienzo del término algebraico Factor literal: son las letras y sus exponentes Grado: es la suma de los exponentes de todas las componentes literales del término. Término algebraico
5a2b4 9 a3b6c7
Posivo Posivo 1/7 mn3
Signo
Coeciente numérico
5
a2b4 a3b6c8
9 Negavo
1/7
2
Factor literal
Grado
6 16 mn3
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Una expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos.
Las expresiones algebraicas se clasican según su número de términos. Monomio = un solo término. Por ejemplo: 3x2 Binomio = suma o resta indicada de dos monomios. Por ejemplo: 3x2 + 2x Trinomio = suma o resta indicada de tres monomios. Por ejemplo: 3x2 + 2x – 5 Polinomio = suma o resta indicada de cualquier número de monomios. Monomio Binomio Trinomio Polinomio
8 x3y4 x2
3 a2b3 + 8z a – b9 + a3b6 2/3a2 + bc + a2b4c6– 2 z5 +32 x3 9a – b2 + c3 ab – a6b3c + 8 – 26a El grado de un polinomio es el del término de más alto grado de la expresión, en el ejemplo es 5: 3x5 – 1x + 4x 3 Monomios semejantes: son los que enen la misma parte literal.
3x2,
7 x2,
2/3 x2
Signos de operación En álgebra se verican con las expresiones las mismas operaciones que en Aritméca: suma, resta, mulplicación, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritméca excepto el signo de mulplicación. En lugar del signo × puede emplearse un punto entre los factores y también se indica a la mulplicación colocando los factores entre paréntesis. Así a〖b y (a)(b) equivale a a × b.
Reglas deiguales, los Signos: 1. En una suma de términos semejantes con signos se suman los coecientes numéricos y el resultado lleva el mismo signo. Si los términos semejantes enen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor. Ejemplo:
5 a4+ 8a4 = 13 a4 5 x2y –8x2y = –3x2y 2. En la resta, se cambia de signo al sustraendo y luego se procede como en la suma. Ejemplo:
5 a4 – (+ 8a4) = 5 a4 – 8a4 = 3 a4 5 a4 – (– 8a4) = 5 a4 + 8a4 = 13 a4 3. En la mulplicación y división de expresiones con signos iguales el resultado es posivo. Si las expresiones enen signos opuestos, el resultado es negavo. Ejemplos:
5 a . 8b = 40ab
5ª . – 8b = – 40ab
Prioridadmatemáca, de las operaciones En el álgebra, así como en cualquier expresión existe una estructura jerarquizada. Esto signica que para resolver una expresión algebraica es necesario seguir un orden pre establecido con el n de que los cálculos tengan siempre el mismo resultado.
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Ese orden es el siguiente: 1) Cuando no hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se resuelven primero las mulplica-
ciones y divisiones si las hay. Si hay varios números posivos y negavos se agrupan y se suman. 2) Si hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se realizan en primer lugar todas las opera-
ciones que se encuentren dentro de los mismos, respetando la secuencia general. Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo símbolo, comenzando por el más interno. Cuando hay paréntesis, corchetes y llaves, se resuelven primero los paréntesis, y después se sacan los corchetes, por úlmo las llaves, aplicando la regla de los signos de la mulplicación. 3) Luego se efectúan las elevaciones a potencia y las raíces (potencias y raíces enen la misma jerarquía) 4) Seguidamente se resuelven las mulplicaciones y las divisiones (que enen la misma jerarquía) 5) Finalmente se realizan las sumas y las restas (que también enen la misma jerarquía)
Cuando un conjunto de operaciones se encuentran en el mismo nivel de prioridad o jerarquía, las operaciones se realizan de izquierda a derecha.
Adición Propiedades de la adición
La suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado otro número real que se escribe a + b. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción, mulplicación y división; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con números reales el resultado es otro número real. Propiedad Asociava de la adición: Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adi -
ción, el resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c). Un ejemplo aritméco: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9) Elemento neutro de la adición: Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido como elemento neutro de la adición, tal que a + 0 = 0 + a = a. Elemento simétrico de la adición: Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado
elemento simétrico de a (o elemento recíproco de la suma), tal que a + (-a) = 0. Propiedad Conmutava de la adición: Cualquiera que sea el orden en que se realiza la operación, la suma
es siempre la misma: a + b = b + a.
Multiplicación Propiedades de la multiplicación Para la mulplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo, en la mulplicación hay que prestar especial atención al elemento neutro y al elemento recíproco o inverso. El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a•b o ab. Propiedad desiempre la mulplicación: que sea la forma de agrupar los términos de la mulplicación, elAsociava producto es el mismo:Cualquiera (ab)c = a(bc). Elemento neutro: Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento neu -
tro de la mulplicación, tal que a.1 = 1.a = a. Elemento recíproco o inverso: Dado un número real a disnto de cero, existe otro número 1/a , llamado elemento inverso (o elemento recíproco de la mulplicación), para el que: 1/a.a=1 Propiedad Conmutava de la mulplicación: Cualquiera que sea el orden en que se realiza la mulplicación, el producto es siempre el mismo: ab = ba. Propiedad distribuva de mulplicación sobre la adici ón: Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y la mulplicación de la forma siguiente: a(b + c) = ab + ac también (b + c)a = ba + ca 4
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Multiplicación de polinomios Se aplica la propiedad distribuva de la Mulplicación, esto signica que hay que mulplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio: (ax + b) (cx2) = acx3 + bcx2 El producto de un binomio y un trinomio resulta de la siguiente manera: (ax3 + bx2 – cx) (dx + e) = adx4 +aex3 + bdx3 + bex2 – cdx2 - cex
Potenciación La potenciación es una mulplicación de factores iguales en notación simplicada, en donde el exponente indica el número de veces que se repite como factor la base: a.a.a.a = a4 Leyes de la potenciación Ley de la uniformidad: Cualquier potencia de un número ene un valor único o siempre igual.
Así 22 = 4 siempre 53 = 125 siempre Si los dos miembros de una igualdad se elevan a una potencia, resulta otra igualdad. Si a = 9 entonces a2 = 92 Ley distribuva: La potenciación es distribuva con respecto a la mulplicación y a la división. No es distribuva con respecto a la suma y a la resta (2.5.3)2 = 22.52.32 (30 5)3 = 303 53 Considerando estas leyes podemos obtener las siguientes reglas: Potencia de un producto: Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha
potencia y se mulplican estas potencias. (2.5.3)2 = 22.52.32 = 900
Potencia de otra potencia: Para obtener una potencia de otra potencia, se mulplican los exponentes. Producto de potencias de igual base: Para obtener el producto de potencias de igual base, se suman los exponentes
Cociente de potencias de igual base: Para obtener el cociente de potencias de igual base, se restan los exponentes.
Observación:
El exponente negavo se obene cuando, dividiendo potencias de igual base, el exponente del divisor es mayor que el del dividendo. El exponente cero se obene cuando, dividiendo potencias de igual base, el exponente del divisor es igual al del dividendo, por ello toda candad con exponente 0, es igual a la unidad. a^3/a^3 =a^(3-3)=a^0=1 Potencia de una expresión fraccionaria: Para elevar un cociente exacto o una fracción a una potencia cual -
quiera se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia.
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División Regla de Rufni Permite hallar el cociente de un polinomio entero y completo en x por otro de la forma: x ± a. Ejemplo:
Dividir aplicando la regla de Runi (4x^2-6x^3+2+x) 〖 (x- 1/3) Se ordena el dividendo:
(-6x^3+4x^2+x+2) Una disposición muy prácca para la aplicación de la regla de Runi, es la siguiente: Se escribe en un renglón los coecientes del polinomio dividendo, completo y ordenado con respecto a las potencias decrecientes de x, con sus respecvos signos, si faltan algunos se hacen gurar los mismos con coeciente numérico 0 (cero). En un segundo renglón y a la izquierda, se escribe el término independiente del divisor a, cambiado de signo.
Se traza una raya horizontal que separa un tercer renglón, en el que se escriben los coecientes y el resto que resultan de aplicar la regla de Runi: 1.
El primer coeciente es el primero del dividendo que se coloca en su misma columna en el tercer
renglón.
2. El primer número obtenido se mulplica por a, cambiado de signo, y el producto se escribe en el segundo renglón, debajo del segundo coeciente del dividendo, con el que se suma algebraicamente, el resultado se coloca en la misma columna y en el tercer renglón. Se procede de la misma manera, hasta obtener la úlma suma, que es el resto de la división. -6 1/3
4
1
2
-2
2/3
5/9
-6
2
5/3
23/9
Por lo tanto, el cociente será un polinomio completo en x, de un grado inferior en una unidad al dividendo, y sus coecientes serán los números obtenidos en la tercera columna, excepto el úlmo que será el resto: Cociente: 〖-6x〖^2+2x+5/3 Resto:
23/9 Teorema del Resto
El resto de la división de un polinomio entero en x por otro de la forma (x + a), es el valor numérico del poli nomio dividendo, que se obene reemplazando x por a cambiado de signo. En el ejemplo se verica el resto de la división anterior: Dividendo: ((4x^2-6x^3+2+x)) divisor (x- 1/3) a = - 1/3 a cambiado de signo = 1/3 . Se reemplaza en el dividendo la x por este valor: (4(1/3)^2-6(1/3)^3^ +2+1/3)=4.1/9- 6.1/27+2+1/3= 4/9-2/9+2+1/3= (4-2+18+3)/9= 23/9
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Fracciones
Una fracción es una expresión en la forma: a/b Donde b ≠ 0 La fracción está simplicada cuando el numerador y el denominador no enen factores comunes. Mulplicación de expresiones algebraicas: Para mulplicar expresiones fraccionales, se mulplican los nu-
meradores entre sí y denominadores entre sí, simplicando nalmente el resultado. a/b. c/d= ac/bd Por ejemplo:
2/4. 1/2= 2/8=1/4 División de expresiones algebraicas: Para dividir se mulplica el dividendo por el recíproco del divisor, lue-
go se factoriza si es necesario y se simplica el resultado. a/b÷ c/d= a/b. d/c Por ejemplo:
Suma y resta de expresiones algebraicas
Cuando los denominadores son iguales, se suman o restan los numeradores y se manene el mismo denominador.
a/c+b/c= (a+b)/c a/c-b/c= (a-b)/c Por ejemplo:
b. Cuando los denominadores son diferentes: • Primero se simplican las fracciones, si es posible. • Se halla el Mínimo Común Múlplo de los denominadores y éste será el denominador común. • Para hallar los numeradores se divide el M.C.M entre cada denominador y el cociente se mulplica por el numerador respecvo. Ejemplo: 2 3 5 5 35 , , 60 180 3 6 0
→
simplific. :
2
7 1 , , 12 3 3 1 2 636
→
M .C.M
7
3 6
= 36
→
resulta :
2 4 24 36 3 6
,
2 1 21 3 6 36
,
1 3 6 36
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Mínimo Común múlplo de expresiones algebraicas: es la menor expresión algebraica, que es múlplo de
todas las expresiones dadas. Si son polinomios, es frecuente la necesidad de factorizar (*) previamente las expresiones. Ejemplo:
• 4(x-y) ; (x-y)2 MCM= 4(x-y)2 (*) Se verá factorización en la próxima unidad, luego se resolverán ejercicios de suma y resta de fracciones.
Ejercicios Polinomios: Operaciones con Polinomios (s.f.) sicanet
Recuperado de: hp://www.sicanet.com.ar/matemaca/polinomios/ 1. Determina grado, coeciente principal y término independiente de los siguientes polinomios, ordenarlos según la potencia decreciente de la variable y completarlos:
a) 4.x³ - 1 + 3.x ² b) x5/2 + x6 c) -2.x + 3.x³ - 2.x ²/3 d) -(x - 4)/3 + (4 - x + x³)/2 2. Suma los siguientes polinomios: a) P(x) = 0,1.x - 0,05.x ² + 0,7 Q(x) = 0,3.x + 1 - x ² S(x) = 3.x ²/2 - 1/3 - x/4 b) R(x) = 3.x ² - 4.x³ + 2 - 6.x + x5 T(x) = 7.x5 - x4 + 5/3 U(x) = -(6.x - 8.x4 + 4.x³ - 2.x ² + 1/3) c) V(x) = 0,1.x - 0,05.x ² + 0,7 M(x) = 0,3.x + 1 - x ² D(x) = 3.x ²/2 - 1/3 - x/4 3.
Restar los siguientes polinomios:
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4. Sumar los siguientes polinomios:
a) P(x) = 0,1.x - 0,05.x ² + 0,7 Q(x) = 0,3.x + 1 - x ² S(x) = 3.x ²/2 - 1/3 - x/4 b) R(x) = 3.x ² - 4.x³ + 2 - 6.x + x5 T(x) = 7.x5 - x4 + 5/3 U(x) = -(6.x - 8.x4 + 4.x³ - 2.x ² + 1/3) c) V(x) = 0,1.x - 0,05.x ² + 0,7 M(x) = 0,3.x + 1 - x ² D(x) = 3.x ²/2 - 1/3 - x/4 5. Restar los siguientes polinomios:
P(x) = x4 - x³ - x ² + 2.x + 2 Q(x) = 2.x ² + 3.x³ + 4.x4 - 5.x + 5 6.
Efectuar las siguientes mulplicaciones:
7. Hallar C(x) y R dividiendo P(x) y Q(x) por Runi.
a) P(x) = x4/2 + x ² - 1 y Q(x) = x - 2 b) P(x) = - x5 + x³ y Q(x) = x + 1/2 c) P(x) = - x + 3 - x³ - x5 y Q(x) = x + 2 d) P(x) = a.(x³ - a³) y Q(x) = x - a e) P(x) = (x - 2)³ - 3(x - 2) y Q(x) = 3x - 1 + 2x) f) P(x) = x4 - x y Q(x) = (3x - 1)/4 g) P(x) = 2x³ y Q(x) = - 3x + 2 8. Dividir por Runi los siguientes polinomios:
a) P(x) = 3.x³ + 2.x ² - x - ½ Q(x) = x + 2 b) P(x) = x7 + x5 - x³ - x Q(x) = x - 1 c) P(x) = 64.x6 + 26 Q(x) = x – 1 9. Vericar los resultados de los ejercicios anteriores por el Teorema del Resto. 10. Determinar k, sabiendo que el resto de la división entre P(x) y Q(x) es 30.
P(x) = 3.x³ - k.x ² - + 2 Q(x) = x + 2
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11. Indicar si:
a) P(x) = 2.x ² - x - 1 es divisible por Q(x) = x - 2 b) P(x) = x4 - a ².x ² + x + a es divisible por Q(x) = x + a 12. Calcular para que:
a) P(x) = x8 - k.x4 + 1 sea divisible por Q(x) = x + 1 b) P(x) = (-k.x + 4) ² sea divisible por Q(x) = x - k c) P(x) = x4 - 3.x³ + k.x - 1 sea divisible por Q(x) = x + 2 d) P(x) = x4 - 2.x ² + 1 sea divisible por Q(x) = x – k 13. Determinar el cociente y el resto de la división de P(x) por Q(x).
a) P(x) = 10.x³ - 2.x ² + x - 6 Q(x) = 5.x - 2 b) P(x) = x5 - 2.x³ + 3 Q(x) = 2.x³ + 1 c) P(x) = 2.x³ - x + 1 Q(x) = 2.x³ + x - 1 d) P(x) = x/3 Q(x) = x4 + 1 14. Halla el MCM de:
49m^4 n^3 xy; 21mn^3 x^5 y; 14m^3 nxy^4
Unidad II: Factorización Productos Notables
Se llaman productos notables a ciertos productos cuyos resultados pueden obtenerse aplicando reglas jas, algunos de estos productos son: Cuadrado de un binomio: es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto de ambos términos, más el cuadrado del segundo término (si es una diferencia, el doble producto queda negavo). (a ± b)2= a2 ± 2ab + b2 (5x + y) ² = de (5x)la²suma + 2(5x)(y) + ydifer ² = encia 25x ² +de 10xy y² Producto por la un +binomio: es igual a la diferencia de los cuadrados de los mismos.
(a+ b)(a-b) = a2 – b2 (6x³ + 3)(6x ³ - 3) = (6x ³) ² - (3) ² = 36x6 – 9 Cubo de un binomio: es igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término, más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término (si el binomio es una diferencia, los signos van alternados, comenzando con el signo del primer término). (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b): se cumplen los siguientes reglas:
1. El primer término es el producto de los primeros términos: x.x = x2. 2. El coeciente del segundo término x, es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios: (± a ±b)x. 3. El tercer término es el producto de los segundos térm inos, esto es : a.b. (x + a)(x + b) = x2 + (± a ±b)x + a.b
Factorización Factorizar un polinomio es transformarlo en un producto indicado. No siempre es posible y según las caracteríscas que deben tener para poder hacerlo, se agrupan en casos.
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