Álgebra Linear Professor : Marcos Dias da Rocha Curso: Licenciatura em Física Ano/Semestre: 2016/2 LISTA DE EXERCÍCIOS 1
1. Dadas as matrizes
e
Determine, se possível: a) As matrizes A e B. b) As matrizes At e Bt. c) Os produtos A.B e B.A. d) Det (-B)
2. A, B e C são matrizes quadradas de ordem 3, e I é a matriz identidade de mesma ordem. Assinale a alternativa correta: a) (A + B) 2 = A2 + 2AB + B 2 b) B.C = C.B c) (A + B) . (A – (A – B) B) = A2 – B B2 d) C . I = C e) I .A = I
3. Considere as seguintes matrizes
Se for possível calcule: a) AB − BA, b) 2C − D, c) (2 Dt − 3 E t )t , d) D2 − DE .
4. Calcule os determinantes das matrizes abaixo: a) A=
b) B =
c) C =
5. Se as matrizes ao a o lado são tais que M.N = N.M, então, sobre os números reais x e y, é possível afirmar, corretamente, que: a) x é um número qualquer e y pode assumir só um valor. b) y é um número qualquer qualquer e x pode assumir só um valor. valor. c) x e y podem ser quaisquer números reais.
d) D =
d) x pode assumir somente um valor, o mesmo acontecendo com y.
6. Considere as matrizes ao lado, com x, y, z reais. Se A . B = C, a soma dos elementos da matriz A é: a) 9
b) 40
c) 41
d) 50
e) 81
7. Determine, caso exista, a inversa das matrizes abaixo usando operações elementares. a) A=
b) B=
d) D =
e) E =
c) C =
f) F =
8. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
a) ( ) Se K 2×2 é uma matriz dada por k ij = 22i+j, para i < j e k ij = i2 + 1 para i ≥ j, então K é invertível. b) ( ) Se A e B são matrizes tais que A . B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula. c) ( ) Sejam as matrizes M5×7 e P7×5. Se R = M · P, então a matriz R 2 tem 625 elementos. d) ( ) Chamamos "traço de L" e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(Lt).
9. Determine a soma dos valores de λ para que det (A + λI) = 0, onde I é matriz identidade.
Calcule o valor de x na equação det(2A) = 2x – 150.
10. Se x é um número real positivo e det (A.B) = 2, então x – x é igual a:
a) – 4
b) 1/4
c) 1
d) 2
e) 4
11. Considere a matriz M ao lado. A soma das raízes da equação det(M2) = 25 é igual a:
a) 14
b) – 14
c) 17
d) – 17
12. Considere as seguintes matrizes. Assinale a alternativa correta: a) det (A + B) = det(A) + 2 det(B) b) det (A + B + C) = 10 c) det (k . A) = k det(A) para todo k real d) A . B = C -1 e) A . B = C
13. Sendo I a matriz identidade de ordem 2, considere as afirmativas a seguir: 1) A + At = 2 . I 2) det (A . B) = – 3 3) B2007 = B. a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
Assinale a alternativa correta.
14. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 invertível, tal que A2 = – 2At , em que At representa a transposta de A. Nessas condições det A é: a) 2. b) – 8. c) 0. d) – 2.
15. O determinante da matriz produto abaixo é igual a 9.
Sendo a e b os possíveis valores de x, é correto a firmar que | a – b | é igual a: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6
16. Considere as matrizes: A
0 1 , B = A + I e C = (-1 -1). 1 0
Onde I é a matriz identidade de ordem 2. Podemos afirmar que : A) A é inversível B) A + B = C C) AB = C D) A matriz inversa de A é a matriz C
17. Determine o valor de a para que a igualdade matricial a seguir seja verdadeira.
18. Uma matriz real A é ortogonal se A.At = I, onde I indica a matriz identidade e At indica a
transposta de A. Se a matriz abaixo é ortogonal, então x 2 + y2 é igual a:
a) 1/4
b)
3 /4
c) 1/2
d)
3
/2
e) 3/2
19. Sejam as matrizes A e B.
a) b)
Calcule det (A.B). Calcule o determinante da matriz B pelo teorema de Laplace.
20. Calcule o determinante da matriz
21. Resolva os sistemas: a)
(Resp.: SPD (2,4,6))
b)
(Resp.: SPI (3-2α, 1, α))
c)
22. Classifique o seguinte sistema:
23. Se
Calcule o valor de x. (Resp.: x= - 2)
24. Calcule os determinantes das matrizes abaixo. Identifique quais possuem inversas e, neste caso, calcule a inversa. a)
b)
c)
d)
e)
25. Resolva os sistemas e classifique quanto ao número de soluções: a)
b)
c)
d)
e)
