AJUSTE EMPIRICO DEL CONTROLADOR PID
Una vez que ha sido determinado el tipo de controlador que se desea usar, ahora se debe debemo mos s efec efectu tuar ar el ajust ajuste e de los los parám parámet etro ros s que que en este este caso caso vamo vamos s a llam llamar ar sintonía, sintonía, para que la respuesta del sistema sistema en lazo cerrado tenga unas característi características cas determinadas (criterio de sintonía). El ajuste de parámetros se convierte así en una tarea tarea mu frecue frecuente nte en planta plantas s indust industria riales les,, tambi! tambi!n n cuando cuando se detect detectan an cambio cambios s sustanciales de comportamiento en el proceso controlado. En las primeras aplicaciones de control "#$, el ajuste se basaba %nicamente en la propia e&periencia del usuario o en m!todos m!todos analíticos. analíticos. En '*, +iegler ichols ichols propusieron propusieron t!cnicas empíricas empíricas que tuvieron buena aceptaci-n, que han servido de base a m!todos más recientes. os m!todos empíricos o e&perimentales de ajuste de parámetros están especialmente orientados al mundo industrial, d-nde e&isten grandes dificultades para obtener una descripci-n analítica de los procesos. Estos m!todos constan fundamentalmente de dos pasos/ '. Estimaci-n de ciertas características de la dinámica del proceso que se va controlar. a estimaci-n se puede efectuar en lazo abierto o en lazo cerrado, como se describiría más adelante. *. 0álculo de los parámetros del controlador. "ara ello se aplican las f-rmulas de sintonía, que son relaciones empíricas entre los parámetros del controlador elegido las características del proceso estimadas en el paso anterior. El hecho hecho de que estos estos m!todo m!todos s proporc proporcion ionen en s-lo s-lo valores valores apro&im apro&imados ados para los parámetros del controlador hace generalmente necesario un tercer paso (ajuste fino de los parámetros), mediante observaci-n de la respuesta en lazo cerrado. as diferencias entre los distintos m!todos radica en la forma de combinar las t!cnicas de estimaci-n las f-rmulas de sintonía.
METODOS EXPERIMENTALES EXPERIMENTALES DE AJUSTE 1. Método de Ziegler-Nicol! ". E# $%cle "$ierto En el primer m!todo, la respuesta de la planta a una entrada escal-n unitario se obtiene de manera e&perimental. 1i la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escal-n unitario puede tener forma de 1, como se observa en las siguientes siguientes figuras. 1i la respuesta respuesta no e&hibe una curva con forma de 1, este m!todo no es pertinente. 2ales curvas de respuesta escal-n se generan e&perimentalmente o a partir de una simulaci-n
dinámica de la planta. a curva con forma de 1 se caracteriza por dos parámetros/ el tiempo de retardo 23 la constante de tiempo 2p. El tiempo de retardo la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de infle&i-n de la curva con forma de 1 determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo la línea c(t)45, como se aprecia en la versi-n '. En este caso, la funci-n de transferencia 0(s)6U(s) se apro&ima mediante un sistema de primer orden con un retardo de transporte del modo siguiente/
&'
Ti
Td
Co#trol"dor P
2p623
7
7
Co#trol"dor PI
3.82p623
2363.9
7
Co#trol"dor PID
'.*82p623
*82p
3.:823
$. E# $%cle cerr"do En el segundo m!todo, primero establecemos 2i4#nf 2d43. Usando s-lo la acci-n de control proporcional, se incrementa 5p de 3 a un valor crítico 5c en donde la salida e&hiba primero oscilaciones sostenidas. 1i la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar 5p, no se aplica este m!todo. "or tanto, la ganancia critica 5c el periodo " correspondiente se determinan e&perimentalmente. +iegler7ichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros 5p, 2i 2d de acuerdo con la f-rmula que aparece en la
siguiente
tabla.
&'
Ti
Td
Co#trol"dor P
3.:85c
7
7
Co#trol"dor PI
3.:85c
('6'.*)8"
7
Co#trol"dor PID
3.;85c
3.:8"
3.'*:8"
(. Método de Coe#-Coo# El ajuste de +iegler ichols para la curva de reacci-n es mu sensible a variaciones de t6<3. 0ohen 0oon desarrollaron una tabla modi=cada para mejo7 rar esta limitaci-n usando datos del mismo ensao. En este m!todo se obtiene e&perimentalmente la respuesta de la planta al aplicar un escal-n unitario, como se muestra en la siguiente figura. 1i la planta no inclue integrador(es) o polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta al escal-n unitario puede tener el aspecto de una curva en forma de 1, como se observa en dicha figura, en el caso en que la curva no presente esta forma, no se puede aplicar el m!todo.
&' Co#trol"dor (<36(53823))8('>98236<3) P
Ti
Td
7
7
Co#trol"dor (<36(53823))8(3.>236('*8<3))(238(938<3>9823))6(8<3>*3823)7 PI Co#trol"dor (<36(53823))8(69>236(8<3)) (238(9*8<3>;823))6('98<3>?823)(8238<3)6(''8<3>*823) PID
Regl"! e%r)!tic"! de "*%!te+
P"!o
1+
Acci,#
Pro'orcio#"l
•
2iempo integral (2#), a su má&imo valor.
•
2iempo derivativo (2$), a su mínimo valor.
•
Empezando con ganancia baja se va aumentando hasta obtener las características de respuesta deseadas.
P"!o
(+
Acci,#
i#tegr"l
@educir el 2# hasta anular el error en estado estacionario, aunque la oscilaci-n
•
sea e&cesiva. •
$isminuir ligeramente la ganancia.
•
@epetir hasta obtener las características de respuesta deseadas.
P"!o
•
•
+
Acci,#
Aantener ganancia tiempo integral obtenidos anteriormente. Bumentar el 2$ hasta obtener características similares pero con la respuesta más rápida.
•
Deri"ti"
Bumentar ligeramente la ganancia si fuera necesario.
E!t"$ilid"d elocid"d Error e!t"cio#"rio 2re" del error
Pert%r$"ci,# co#trol
3rec%e#ci" l"4o
E*e/'lo+
&' "%/e#t"
Ti di!/i#%0e
Td "%/e#t"
1e reduce
$isminue
Bumenta
Bumenta
Bumenta
o eliminado
Eliminado
o eliminado
1e reduce
$isminue
Bumenta
hasta1e reduce
cierto punto Bumenta bruscamente o afecta cierto punto
Bumenta gradualmente hasta$isminue
Bumenta bruscamente Bumenta
1ea el sistema de control que se muestra en la siguiente figura, en el cual se usa un controlador "#$ para controlar el sistema. El controlador "#$ tiene la funci-n de transferencia/ G c ( s ) ≡ K p ( 1+
1
T i s
+ T d s )
Si!te/" de co#trol PID Bplicaremos la regla de sintonía de +iegler7ichols para determinar los valores de los K p ,T i y T d parámetros . B continuaci-n obtenga una curva de respuesta escal-n unitario compruebe si el sistema diseCado presenta una sobre elongaci-n de apro&imadamente el *:D. 1i la sobre elongaci-n es e&cesiva (3D o más), haga una sintonía fina reduzca la cantidad de sobre elongaci-n al *:D o menos. 0omo la planta tiene un integrador, se utiliza el segundo m!todo de las reglas de T i =∞ T d=0 sintonía de +iegler7ichols. ijando , se obtiene la funci-n de transferencia en lazo cerrado del modo siguiente/ K p C ( s ) = R ( s ) s ( s + 1 ) ( s + 5 ) + K p
El valor de
K p
que hace al sistema marginalmente estable para que ocurra
oscilaci-n sostenida se obtiene mediante el criterio de estabilidad de @outh. 0omo la ecuaci-n característica para el sistema en lazo cerrado es/ s
3
2
+ 6 s + 5 s + K p=0
El arra de @outh es/
¿ 3
s 2 s s
1
5
6
K p
− K p
30
1
¿s
6
K ¿ p ¿ ¿
0
E&aminando los coeficientes de la primera columna del arra de @outh, se encuentra K p=30 K cr que ocurrirá una oscilaci-n sostenida si . Bsí, la ganancia crítica es K cr =30
0on la ganancia s
3
K p
fijada igual a
K cr
(493), la ecuaci-n característica es
2
+ 6 s + 5 s + 30=0
"ara encontrar la frecuencia de la oscilaci-n sostenida, se sustitue
s = jω
en la
ecuaci-n característica, del modo siguiente/ 3
2
( jω ) + 6 ( jω) +5 ( jω )+ 30 =0 2
2
( −ω )+ jω (5 −ω )=0
6 5
B partir de lo cual se encuentra que la frecuencia de la oscilaci-n sostenida es 2
ω
=5 o ω=√ 5 . Bsí, el periodo de la oscilaci-n sostenida es
Pcr =
2 π
2 π
ω
√ 5
=
=2.8099
2eniendo en cuenta la, se determina K p= 0.6 K cr =18 T i =0.5 P cr =1.405 T d=0.125 Pcr =0.35124
K p ,T i y T d
del modo siguiente/
"or tanto, la funci-n de trasferencia del controlador "#$ es/ G c ( s ) ≡ K p ( 1+
G c ( s ) =18 ( 1 +
1
T i s
+ T d s )
1 1.405 s
+ 0.35124 s ) 2
Gc ( s ) =
6.3223 ( s + 1.4235 )
s
El controlador "#$ tiene un polo en el origen un cero doble en
s =−1.4235
. En la
siguiente figura se muestra un diagrama de bloques del sistema de control con el controlador "#$ diseCado.
Di"gr"/" de $lo5%e! del !i!te/" co# co#trol"dor PID di!e6"do /edi"#te l" regl" de !i#to#)" de Ziegler-Nicol! 7!eg%#do /étodo8. B continuaci-n, se e&amina la respuesta escal-n unitario del sistema. a funci-n de transferencia en lazo cerrado C ( s )
C ( s ) R ( s )
está dada por/
2
+ 18 s + 12.811 R ( s ) s +6 s + 11.3223 s + 18 s + 12.811 =
4
6.3223 s 3
2
a respuesta escal-n unitario de este sistema se obtiene fácilmente con AB2BF. a siguiente figura muestra la curva de respuesta escal-n unitario resultante.
C%r" de re!'%e!t" "l e!c"l,# %#it"rio. a sobre elongaci-n en la respuesta a un escal-n unitario es de apro&imadamente ;*D. Esta sobre elongaci-n es e&cesiva. 1e pueden reducir mediante una sintonía fina los parámetros del controlador. $icha sintonía se puede hacer en la computadora. 1e K p=18 encuentra que manteniendo moviendo el cero doble del controlador "#$ a s =−0.65
G c ( s ) =18
, es decir, usando el controlador "#$
(+ 1
1 3.077 s
)
+ 0.7692 s =13.846
2
(s +0.65 ) s
En la siguiente figura se ve el resultado, la sobre elongaci-n en la respuesta a un escal-n unitario se reduce a, apro&imadamente, '?D.
Re!'%e!t" "l co# '"r9/etro!
e!c"l,#
%#it"rio
K p=18 , T i=3 . 077 y T d =0 . 7692
1i se incrementa la ganancia proporcional
K p
a 9.*, sin modificar la localizaci-n
del doble cero/ G c ( s ) =39.42
(+ 1
1 3.077 s
)
+ 0.7692 s =30.322
2
( s + 0.65) s
Re!'%e!t" "l e!c"l,# %#it"rio co# '"r9/etro!
K p=39.42 , T i =3 . 077 y T d= 0 . 7692
Entonces la velocidad de respuesta se incrementa, pero la sobre elongaci-n tambi!n aumenta a apro&imadamente *?D la respuesta es más rápida. Entonces lo valores K p ,T i y T d sintonizados de son/ K p=39.42, T i =¿ 3.077, T d =0.7692
0onclusi-n/ as reglas de sintonía de +iegler7ichols han aportado un punto de partida para la sintonía fina.
