DISEÑO DEL CONTROLADOR Como requisitos de diseño se necesita que: 1.
la velocidad velocidad del del motor motor una vez implement implementado ado el módulo módulo no difiera difiera en más más del 1% del valor requerido. Es decir el error en estado estable debe ser 1% o 0.01.
2. el motor motor debe alcanzar alcanzar la velocidad velocidad de referen referencia cia en máimo 2 se!undo se!undos. s. Esto nos nos dice que el tiempo de asentamiento debe ser máimo de 2 se!undos. ". debido debido a que velocidades velocidades altas altas del e#e del del motor pueden pueden dañarlo$ dañarlo$ se requiere requiere un sobrepaso máimo del %
&e 'a decidido implementar un controlador () dado que este nos permite: 1. me#orar me#orar el amorti! amorti!uamien uamiento to * reduce reduce el sobre sobrepaso paso máimo máimo.. 2. +educe +educe el tiempo tiempo de levant levantamient amiento o * el tiempo tiempo de asentamient asentamiento. o.
La diná dinámi mica ca de la plan planta ta en lazo lazo cerr cerrad ado o y sin sin cont contro rola lado dorr es la siguiente: G ( s )=
25
s
2
+ 4 s + 25
25
R ( s ) G ( s) s + 4 s + 25 25 = = = 2 25 C ( ( s ) 1 + G ( s ) s + 4 s + 50 1+ 2 s + 4 s + 25 2
R ( s ) 25 = 2 C ( ( s ) s + 4 s + 50
(
R ( s ) 1 50 = 2 C ( ( s ) 2 s + 4 s + 50
)( ) 1
La función de transferencia (1) es un sistema de segundo orden estos tienen !a siguiente forma" 2
wn C ( s ) ( 2 ) = 2 R ( s ) s + 2 ζ w n+ wn2 2
w n =50 w n=7.07 rad / s
ζ =
•
4 2 wn
=0.2828
La frecuencia natura! amortiguada es
w d= wn √ 1 −ζ
2
w d= frecuencianaturalnaturalamortiguado w d= 6.7 rad / seg ( 3 )
•
La atenuación es σ =w n ζ σ =atenuación
σ =1.99 ( 4 )
Las es#ecificaciones en e! dominio de! tiem#o de !a se$a! de sa!ida ante una entrada esca!ón unitario
•
So%ree!ogación m&'ima M p − (σ / w d ) π
M p=e
•
Tiem#o de asentamiento t s ara e! criterio de! * t s=
3
σ
ara !a función de transferencia (1) •
So%ree!ogación m&'ima M p M p=0.393 M p=39.3
•
Tiem#o de asentamiento t s
ara e! criterio de! * t s=1.5 seg
Error en estado esta%!e #ara entrada esca!ón de !a #!anta sin contro!ador es e ss =
1 1+ K p
( 5)
K p= lim G ( s ) ( 6 ) s→0
Ca!cu!ando +# K p= lim G ( s )=lim s→0
s→0
25 2
s + 4 s + 25
K p=1
or tanto e! error en estado esta%!e ante una entrada esca!ón es" e ss =
1 1+ 1
= 0.5
e ss =50 ( 7 )
La res#uesta de! sistema de !a función de transferencia (1) en !a,o cerrado sin contro!ador ante una entrada esca!ón unitario es"
Se #uede o%ser-ar .ue e! error en estado esta%!e es de! /* e! so%re#aso m&'imo es de 10* adem&s e! sistema a!can,a e! estado esta%!e en 2s seg3n !os re.uerimientos de dise$o de%e ser en 4s5 ara corregir estos tres factores se #roceder& a dise$ar e! contro!ador D5
La función de transferencia de! contro!ador D es" Gc ( s ) = K p + K D s ( 8 )
6unción de transferencia en !a,o a%ierto es" Gc ( s ) G ( s )=
(
25 K p+ K D s 2
s + 4 s + 25
)
( 9)
6unción de transferencia en !a,o cerrado es" C ( s ) R ( s )
=
Gc ( s) G ( s ) 1
+ Gc (s ) G ( s ) 25
C ( s )
( 10 )
( K p + K D s )
2
+ 4 s + 25 R ( s ) 25 ( K p + K D s ) 1+ s + 4 s + 25 =
s
2
25 ( K p + K D s ) C ( s ) (11 ) = 2 R ( s ) s + ( 4 + 25 K D ) s + 25 ( 1 + K p )
D&ndo!e a !a ecuación (11) !a forma #rototi#o de !a ecuación de segundo grado5 25 ( 1 + K p )( K p+ K D s ) C ( s ) 1 ( 12 ) = R ( s ) ( 1 + K p ) s 2+ ( 4 + 25 K D ) s + 25 ( 1 + K p )
De !a ecuación (14) se dice .ue !a frecuencia natura! no amortiguada es w n =25 ( 1 + K p ) 2
w n=5 √ ( 1+ K p ) (13 )
Adem&s e! factor de amortiguamiento es
=4 + 25 K D
2 wn ζ
10
√ ( 1 + K p ) ζ = 4 +25 K D
ζ =
0.4 + 2.5 K D
√ ( 1 + K p )
( 14 )
E! so%re#aso m&'imo e! tiem#o de asentamiento de#enden de! factor de amortiguamiento !a frecuencia natura! no amortiguada estos dos -a!or se ca!cu!an de !a siguiente forma5
ara .ue e! -a!or de !a -e!ocidad de! motor !!egue a su estado esta%!e antes de 4 segundos de%emos tener un tiem#o de asentamiento de 1 segundo5 t s=
3
σ
1 seg =
3
σ
De a.u7 se determina .ue !a atenuación 8 es σ =3 rad / seg
= wn ζ ( 15 )
3
Ca!cu!ando !a frecuencia natura! amortiguada − (σ / w d ) π
M p=e
Sa%emos .ue e! so%re#aso m&'imo de%e ser
M p=5 o 0.05
( σ / w d) π
−
0.05= e
( σ / w d ) π
−
ln 0.05=ln e
( ) ( )
−3 =−
−3 =−
σ π wd 3
wd
π
w d= π ( 16 )
La frecuencia natura! amortiguada tam%i9n es igua! a w d= wn √ 1 −ζ
2
( 17 )
De !a ecuación (1) (1:) (1;) tenemos .ue
π =
3
√ 1− ζ
2
ζ 2
2
ζ
π
2
=1− ζ
9
ζ =
1
√
2
1+
π 9
ζ =0.7 ( 18 )
La ecuación 1< muestra .ue #ara tener un so%re#aso m&'imo de * .ue e! sistema o%tenga e! -a!or desea m&'imo a !os 4 segundos e! factor de amortiguamiento re!ati-o de%e ser de /5;5 Este -a!or se uti!i,ara #ara =a!!ar !as constantes deri-ati-as #ro#orciona!es5 Igua!ando !a ecuación (1<) (1>) se tiene 0.7 =
0.4 + 2.5 K D
√ ( 1 + K p )
( 19 )
Se ca!cu!a !a constante #ro#orciona! mediante e! error en estado esta%!e de! sistema con contro!ador5 E! error en estado esta%!e de%e ser 1* #or !o tanto e ss =
1 1+ lim s →0
Gc ( s ) G ( s )
1
0.01= 25 1 + lim s →0
0.01=
1 1 + K p
K p= 99 ( 20 )
( K p + K D s )
2
s +4 s + 25
ara un error de 1* !a constante #ro#orciona! es igua! a 005 Reem#!a,ando (4/) en (10) se tiene .ue" 0.7 =
0.4 + 2.5 K D
√ ( 1+ 99 )
7= 0.4 + 2.5 K D
K D =2.64
C ( s ) 66 s + 2475 = 2 R ( s ) s + 70 s + 2500
E! -a!or en estado esta%!e de! sistema es de /500 ante una entrada esca!ón unitario !o .ue .uiere decir .ue e! error en estado esta%!e es de 1*5 E! sistema a!can,a e! -a!or de referencia en /541 segundo cum#!iendo as7 e! re.uisito de .ue e! motor de%e a!can,ar !a -e!ocidad de referencia en m&'imo 4 segundos5 E! so%re#aso m&'imo es de 1<*5 ara a!can,ar #or !o menos * de so%re#aso m&'imo se de%e aumentar !a constante deri-ati-a5 or e?em#!o #ara un +d@1/ se tiene
C ( s ) 250 s + 2475 = R ( s ) s2 + 254 s + 2500
E! -a!or en estado esta%!e de! sistema es de /500 ante una entrada esca!ón unitario !o .ue .uiere decir .ue e! error en estado esta%!e es de 1*5 E! sistema a!can,a e! -a!or de referencia en /5>2: segundo cum#!iendo as7 e! re.uisito de .ue e! motor de%e a!can,ar !a -e!ocidad de referencia en m&'imo 4 segundos5 E! so%re#aso m&'imo es de 4*5
