ADJOINT MATRIKS
Merupakan transpose dari suatu matriks (Aij*). Dipunyai : Anxn
A A Adjoint (A) = : A
11
12
1n
*
A21 *
... ...
An1 *
*
A22 *
... ...
An 2 *
: *
:
A2 n *
... ...
Ann
*
Dengan Aij* adalah kofaktor dari aij 1≤i≤n 1≤j≤n Aij* = (-1)i+j.Mij
1 C = 2 4
0
0
3
5
1
3
Maka kofaktor dari kesembilan elemen dari C adalah :
3 C11* = (-1)1+1.M11 = 1. 1 2 C12* = (-1)1+2.M12 = -1. 4 2 C13* = (-1)1+3.M13 = 1. 4
0 C21* = (-1)2+1.M21 = -1. 1 1 C22* = (-1)2+2.M22 = 1. 4 1 C23* = (-1)2+3.M23 = -1. 4 0 C31* = (-1)3+1.M31 = 1. 3 1 C32* = (-1)3+2.M32 = -1. 2
=4 3
5
5
= 14
3 3
= -10
1
0
=0
3
0
=3
3
0
= -1
1 0
=0
5
0
= -5
5
1 C33* = (-1)3+3.M33 = 1. 2
0
=3
3
4 Sehingga didapat Adj (C) = 14 −10
0 3
−1
−5 3 0
INVERS MATRIKS
Apabila A dan B matriks bujur sangkar berordo n, sedemikian sehingga AB = BA = I, maka B disebut invers dari A (B = A-1), dan A disebut invers dari B (A = B-1). I = merupakan matriks Identitas −1 3 1/ 5 − 3 / 5 -1 B= B = 2 / 5 −1/ 5 − 2 1 Bukti Inversnya benar B.B-1 = B-1.B = I Mencari Invers matriks dapat dengan cara : 1. Adjoint 2. Transformasi Elementer Baris 1. Cara Metode Adjoint a. menentukan nilai determinan dari matriks b. menentukan adjoint matriks. c. Mengalikan adjoint matrik dengan kebalikan determinan 1 -1
A =
_____
. Adj (A)
A
1 C = 2 4
0 3 1
0
5 3
4 Adj (C) = 14 −10
0 3
−1
−5 3 0
C
=4
4 Jadi C = ¼ 14 −10
1 −5 = 7/2 3 − 5 / 2
0
-1
0
3
−1
0
− 5 / 4 3/ 4 0
3/ 4
−1 / 4
2. Metode transformasi Elementer baris Anxn, nilai A ≠ 0
[ A I ]
hij.(a ) →
I A
1 C = 2 4 1 2 4 1 0 0
0
0
3
5
1
1
3
0
1
0
3
5
0
1
1
3
0
0
0
h 21.( 2 ) 0 → → h 31.( 4 ) 1 −
−
0
0
1
0
1
−1
6
1
1
3
−4
0
h3.(1 / 4) →
1 0 0
0
−]
1 0 0
h 32.( 1) − 2 → 1 0
−
0
0
1
0
1
−1
6
1
0
1
− 5 / 2 −1 / 4
0
0
1
0
1
0
7/2
3/ 4
0
1
_____________
1 0 0
− 5 / 2 −1 / 4
0
0
1
0
3
5
1
1
3
−2 −4
1 0 0
0
h 23.( 2 ) → 1 0
0
−
0
0
1
0
1
−1
6
1
0
4
−10
−1
− 2 3 0
h 23.(1) − 2 → 3 / 4 0
− 5 / 4 3/ 4 0
__________________________
I
C-1
Matriks Balikan ( Invers)
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A =
dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan ( AB) −1 = B − 1 A − 1
Contoh 1: Matriks
A=
dan B =
AB =
=
= I (matriks identitas)
BA =
=
= I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers dari A)
Contoh 2: Matriks
A=
dan B =
AB =
=
BA =
=
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal .
Contoh 3: Matriks
A= Tentukan Nilai dari A-1 Jawab:
Contoh 4: Matriks
A=
,B=
, AB =
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
,
,
Maka
= Ini membuktikan bahwa ( AB) − 1 = B − 1 A − 1
Adjoin Matriks 3 x 3 Bila ada sebuah matriks A3x3
A= Kofaktor dari matriks A adalah C11 = -12 C12 = 6 C13 = -8 C21 = -4 C22 = 2 C23 = -8 C31 = 12 C32 = -10 C33 = 8 maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) =
Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
A= kemudian hitung kofaktor dari matrix A C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16 C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16 C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadi
adj(A) =
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
det ( A) = 64
Adjoin Matriks 3 x 3 Bila ada sebuah matriks A3×3
A= Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6 C13 = -16 C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16 C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16 maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) =
Matriks persegi A mempunyai invers, jika ada matriks B sedemikian hingga AB = BA = dengan I matriks identitas. Pada persamaan AB = BA = , A dan B disebut saling invers. Berikut adalah syarat suatu matriks A dikatakan mempunyai invers. 1. Jika | A | = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular. 2. Jika | A | <> 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.
Untuk matriks A =
berordo 2 x 2 ini, kita dapat menentukan inversnya sebagai berikut:
Untuk menentukan invers suatu matriks dengan ordo 3 x 3, maka kita harus memahami tentang matriks minor, kofaktor, dan adjoint.
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke- j dituliskan dengan ditentukan dengan rumus
. Untuk menentukannya,
. Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah sebagai berikut:
1. Adjoint Misalkan suatu matriks A berordo n x n dengan
kofaktor dari matriks A, maka:
Untuk matriks A berordo 3 x 3, maka:
Untuk menentukan determinan dari matriks berordo 3 x 3, selain dengan kaidah Sarrius, dapat juga digunakan matriks minor dan kofaktor.
Determinan matriks A (det A) dapat ditentukan menggunakan rumus:
MATRIKS INVERS
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1). Jika A = a b , maka A-1 = 1 = d -b Jika A = c d , maka A-1 = ad - bc ttt -c a
• •
Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular . Jika determinan A = 0 -1
Sifat A . A
-1
= A
. A = I
maka A disebut matriks singular .
Perluasan A.B=I → A = B-1 B = A-1 A . B = C → A = C . B-1 B = A-1 . C Sifat-Sifat 1. 2. 3. 4. 5. 6.
(At)t = A (A + B)t = At + Bt (A . B)t = Bt . At (A-t)-t = A (A . B)-1 = B-1 . A-1 A . B = C → |A| . |B| = |C|
