ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA
Desarrollar ejercicios de Ecuaciones, Inecuaciones, Valor Absoluto, Funciones y Trigonometría
AURA VANESSA SIERRA ROBLES
DÍBER ALBEIRO VÁQUIRO PLAZAS Tutor
UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA CCAV: ROBERTO SALAZAR RAMOS CARTAGENA, SEPTIEMBRE 2018
DESARROLLO DE ACTIVIDAD PASO 2 EJECICIO 1 : Ecuaciones
2. Cierta compañía emplea 53 personas en dos sucursales. De esta gente, 21 son universitarios graduados. Si una tercera parte de las personas que laboran en la primera sucursal; y tres séptimos de los que se encuentran en la segunda sucursal, son universitarios graduados, ¿cuántos empleados tiene cada oficina? Para dar solución al problema descrito utilizamos el método de eliminación Multiplicamos la primera ecuación por -4 y la segunda ecuación por 3.
3. Una vendedora gana un salario base de $761.000 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que, en promedio, le toma una y media horas realizar ventas por un valor de $200.000. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2.000.000? El ingreso mensual (Im) de la vendedora es igual a su salario básico (SB) más las comisiones por venta (CV), es decir: Im = SB + CV Im = $761.000 + CV (1) - Como en promedio ella obtiene un ingreso mensual de $2.000.000, lo que recibe por comisiones de venta es: CV = Im – $761.000 (2) CV = $2.000.000 - $761.000 → CV = $1.239.000 -Ahora las comisiones de Ventas (CV) representan el 10% (0.1) d el monto promedio total por ventas al mes realizadas (V), es decir: CV = 0.1 V (3) - Por tanto, el monto promedio mensual de ventas (V), es: V = CV/0.1 (4) V = $1.239.000/0.1 → V = $12.390.000 - Si la vendedora le toma en promedio una hora y media (1,5 h) realizar ventas por un monto de $200.000, el tiempo que le tardará en realizar las ventas por un monto de $12.390.000 (tm), será: tm = $12.390.000 x 1,5 h/$ 200.000 → tm = 92, 925 h (93 h) La vendedora debe trabajar alrededor de 93 h al mes para obtener un ingreso promedio mensual de $2.000.000.
Ejercicio 2: Inecuaciones
5. El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a $20 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $1000 al mes y el costo de material y de mano de obra será de $1.5 por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empaques?
Sea x el número de empaques utilizados por la empresa al mes. Entonces el costo de adquirir x empaques a $ 20 cada uno es de 20x pesos. El costo de fabricar x empaques es de $1,5 por empaque más costos generales de $1000 al mes, de modo que el costo total es 1,5x + 1.000
Para justificar la fabricación de los empaques por la empresa misma, debe ser cierta la desigualdad siguiente.
Costo de adquisición > costo de fabricación 20 > 1,5 1000
20x – 1,5x > 1000 18,5x > 1000 X > 54,05
En consecuencia, la empresa debe usar al menos 55 empaques al mes para justificar el fabricarlos.
6. El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $180.000 cada artículo. Gasta $120.000 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo, y tiene costos adicionales (fijos) de $9.000.000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $3.000.000 a la semana. Sea x el número de artículos producidos y vendidos a la semana. Entonces el costo total de producir x unidades es de $9.000.000 más $120.000 por artículo, lo cual es (120.000x + 9.000.000) pesos El ingreso por vender x unidades por $180.000 cada una será de 180.000x pesos. Por lo tanto, Utilidad = Ingresos – Costos = 180.000x - (120.000x + 9.000.000) = 60.000x - 9.000.000 Puesto que deseamos obtener una utilidad de al menos $3.000.000 a la semana, tenemos las desigualdades siguientes.
Utilidad ≥ 3.000.000 60.000x – 9.000.000 ≥ 3.000.000 60.000x ≥ 12.000.000 X ≥ 200
En consecuencia, el fabricante deberá producir y vender al menos 200 unidades cada semana.
Ejercicio 3: Valor Absoluto Ejercicio propuesto 9: El gasto promedio en salud de un grupo de personas (en miles de pesos al año) se determina por la fórmula: |(x-6) ^2|=20-2x Si además sabemos que dicha cifra es mayor a los $ 5000. Calcular dicho gasto.
|(x-6) ^2|=20-2x
Sabemos que el módulo, nos indica que la expresión siempre será positiva, pero como en este caso se trata de una expresión cuadrática esta siempre será positiva entonces:
(x-6)² = 20-2x x²-12x+36 = 20-2x x²-10x+16=0 Valores de X: x1= 8 x2 = 2 Como la cifra debe ser mayor a 5000 entonces 2000 no es suficiente el valor promedio entonces es X1: X1= 8 ; Por lo que gasta en promedio $ 8000
Ejercicio propuesto 11: De acuerdo con una encuesta de bienes raíces, el precio (en dólares) de una casa promedio en Vancouver el próximo año estará dado por | − 210.000|<30.000 Determine el precio más alto y el más bajo de la casa para el año próximo. Para resolver este ejercicio debemos aplicar la definición de modulo, la cual nos indica que:
|a|< b → -b < a
Por tanto, tenemos que: |x-210000|<30000 Aplicamos la definición de modulo y tenemos: -30000< x-210000<30000 Despejamos la x, entonces: 180000 < x < 240000 Por tanto, el próximo año estará entre los valores de (180000,240000) el precio de la casa.
Ejercicio 4: Funciones Ejercicio propuesto 14: Un agente de viajes ofrece un paquete vacacional de $1.500.000 por persona para grupos de seis o más personas, con un descuento de 10% de este precio a partir de la persona número doce en el grupo. Construya la función C(x) dando el costo promedio por persona en un grupo de tamaño x (x ≥ 6).
x=nº de personas. El descuento de un 10% de 1.500.000=1.500.000-(10/100) x 1.500.000=1.500.000150.000=1.350.000. Tendríamos por tanto una función a trozos.
16.500.000 ⇔ 6 ≤ x ≤ 11 C(x)= 16.500.000 + 1.350.000 (x-11) ⇔ x ≥12
Ejercicio propuesto 15: Un jugador de béisbol recoge la pelota en los jardines y la lanza al cuadrado intentando evitar una anotación del equipo contrario. La función: y = -0.002 (x-25)2 + 3 describe la trayectoria seguida por la pelota, desde que sale de su mano. ¿A qué altura del piso hizo el lanzamiento el jugador? Si esta es la función de trayectoria de la pelota, donde y: altura de la pelota, posición vertical. x: posición horizontal. Solo debemos sustituir x=0 en la misma y sabremos la altura en que se lanzó:
y= -0.002(0-25) ^ 2+3 y= -0.002(-25) ^ 2+3 y= -0.002(625) + 3 y= -1,25+3 y = 1,75
La pelota se lanzó a 1,75 u, donde lo más probable es que sea la altura del jugador en metros.
Ejercicios propuestos: 17. Desde un punto P el ángulo de elevación de la azotea de un edificio es 55°. Desde ese mismo punto P, el ángulo de elevación hasta el tope de una antena sobre el edificio es 65°. La distancia desde el punto P hasta el tope de la antena es de 65m, como se muestra en la siguiente figura.
X= Altura hasta la base de la antena
Altura de la antena = h -x Altura de la antena = 58.9 -39.07 Altura de la antena = 19.83 m
19. En la actualidad las leyes del seno y coseno se pueden utilizar en varios campos de la ingeniería para resolver problemas, por ejemplo, cuando por geometría tenemos triángulos no rectángulos, un campo de aplicación es la aeronáutica donde podemos calcular la altura de un avión y su Angulo de elevación con respecto al horizonte. Un avión vuela entre dos ciudades A y B, La distancia entre las dos ciudades es de 100km, la visual desde el avión a las 2 ciudades forma 35 y 45 grados con la horizontal respectivamente. ¿A qué altura se encuentra el avión?
1. =
2. 100 − = = 100 −
Igualamos:
4
4
.
= 100 −
4
= 100 − ℎ
.
= 100
+. . . .
= 100
= 100
1.70ℎ = 1000.70
1.70h=70
h=70/1.70
h=41.17m
