CEPU 2018 - I | UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA
UNIDAD 01: TEORIA DE EXPONENTES, POLINOMIOS Y PRODUCTOS NOTABLES 1.2.1. PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO
OBJETIVOS
Todo término algebraico presenta tres partes, las cuales son: Coeficiente, variables y exponentes:
1. Reconoce expresiones algebraicas y distingue sus términos. 2. Reconoce un polinomio por su número de términos. Distingue términos semejantes y reducir. Halla el valor numérico de un polinomio. 3. Determina el grado absoluto y relativo de un polinomio. 4. Distingue los polinomios especiales, completos, ordenados, homogéneos, idénticos y nulos. 5. Define la potenciación, la radicación y establece las principales leyes. 1.2.2. 6. Efectúa operaciones entre polinomios. 7. Reconoce productos notables y aplicarlos
Exponentes
3
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Por su naturaleza se clasifican en:
1.1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es el conjunto de variables (representadas por letras) y/o constantes (números); ligados por las diferentes operaciones algebraicas (Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación) o una combinación de éstas en un número limitado de veces.
Expresiones Algebraicas Racionales (E. A. R.). Se caracterizan porque los exponentes de sus variables son números enteros positivos (Racionales Enteras) ó negativos (Racionales Fraccionarias). Ejemplo: 3 a) P(x) 4x 4 7x 3 8x 1 b) Q(x; y) 6x 5 2x 2 y 3 3 x 5
Ejemplo: 1
(1) P(x; y) 5y (2) P( x ) 88
5
4 2
2x y
(4)
P(a)
P ( x; y )
3a 1 / 4
4
5
x
3
y
4
5a 3 / 4
8
1.2.TÉRMINO 1.2. TÉRMINO ALGEBRAICO
Es la mínima expresión algebraica en la cual aparecen exclusivamente las diferentes operaciones algebraicas a excepción de la adición y sustracción.
2x
(3)
S( x )
Ejemplo: 4 (1) P( x; y) 2 x 2 x1/ 2 y 4 3x1/ 2 15 (2) R( x; y; z)
1.2.3.
5z
4
y
3 2x
3 2
3x y
TEORÍA DE EXPONENTES Es la parte del Álgebra que tiene por objeto el estudio de los exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos
POTENCIACIÓN.
3
Potencia base
Definiéndose así:
18
3 6 (4) P( x, y) 12 5 x y
(5) P( x, y, z )
Expresiones Algebraicas Irracionales (E. A. I.).Se caracterizan porque los exponentes de alguna(as) variable(s) son fracciones o las variables están afectadas por radicales.
2 m2n1
R( x) 5a x
(6) P( x, y )
ex onen onente te
(2)
c) R(x; y; z) 2x 3 6x 2 y 3 9xy2 z 2
Observación 1.1. a. En una expresión algebraica la variable no se encuentra como exponente. b. Una expresión algebraica posee un número finito de términos. c. A las expresiones no algebraicas se les denominan trascendentes.
Ejemplo: 2 (1) P(x) 12
63
(3)
Variables
Coeficiente
6 x 3 y 5 z 7
2n 2 x 3 y 5
1 , si n 0 n b b , si n 1 .b. ... .b , si n 2 b.b n factores
Veamos: 2
4
2.2.2.2
16
1
b
n
Exponente entero negativo
Propiedades
1
Multiplicación
b
b
n
ℝ 0 n∈ℝ
n .p
2 a b
n
b a
m
b
n
n m
b
b
1
n m
b
n
n
m n
b
ℝ 0
a b
n
b
ℝ 0
m
n.m
a
a
n
m n 1
,
n b
b
n
n
a
n
a .....
a
a
n 1
m radicales
n a
m
a
m n
b
ℝ 0 m n 1
5. Potencia de una Potencia bn
a .b
4. Distributiva respecto a la división n
n
a
Casos especiales de radicación Si a∈ℝ , {m, n} ℝ-{0; 1}, se cumple que
n
a b
a.b n a . n b
b
n
3. Distributiva respecto a la multiplicación a . b n
m
Raíz de una raíz
n
m
a
Distributiva respecto de la división
2. División de Potencias de igual base. b
n
Distributiva respecto de la multiplicación
Sean n,m∊ℝ, 1. Multiplicación de Potencias de igual base. n
mp
n
Teoremas de la Potenciación en .
b .b
a
n
a
n
a
n
a .....
n
a
m n
a
n 1
n. m
m radicales
, n = par m n 1
RADICACIÓN índice
n
a
n
a
n
a .....
n
a
m n
a
n 1
m radicales
, n = impar
Raíz n-ésima Cantidad subradical
Signo de operación
R
o radicando
n
a
R
Propiedades adicionales m
n
a
;
n ℝ
0;1. m
Radicando cero n
a.
n
a
b
n
b
m. n
a
m. n
n
a
.b
n
.b
1
Bases iguales en multiplicación
ℝ 0 ; 1 :
n
0
0
Exponente racional
m
x
a n
x
b p
x
c
mnp
x
( an b )p c
Bases iguales en división
m
a
n
(
n
a
)
m
n
a
m
m
Donde a ℝ, {m, n} ℝ
a
x
n
b
x
p
x
c
mnp x
(an b) p c
ECUACIONES EXPONENCIALES Teorema:
x
E1)
x x
E2)
x
x
x
a
x
n
a
y
x
x n
y;a0
a 1
1.3.2.
x
E4)
x
x
a
x
n
y
a
x
n
n
x y ; a 0 , x 0 , y 0 , x 1, y 1
1.3. POLINOMIO Es toda expresión algebraica racional entera (E. A. R. Entera), definida sobre un determinado campo numérico (respecto a sus coeficientes). Ejemplo: 5 P( x) 3x P( x; y )
3
6x
1 4 x 3
2
10
5 3 3 x y 4
7y
4
Los polinomios según el número de términos pueden ser: Monomio.- Es el polinomio de un término. Binomio.- Es el polinomio de dos términos. Trinomio.- Es el polinomio de tres términos.
1.3.1.
TÉRMINOS SEMEJANTES Dos o más términos son semejantes si poseen las mismas variables y exponentes, no interesando la naturaleza de sus coeficientes.
Ejemplo: 6 (1) 2 x3 y 2 z 4 ; 3 x3 y 2 z 4 ; x3 y 2 z 4 ; son términos semejantes. (2) 2 a 2b 3c5 ; 2 1 a 2b3c 5 ; a 2b 3c5 ; son
5
términos semejantes.
1.3.3.
GRADO DE UN POLINOMIO Es la principal característica de un polinomio, el cual está dado por los exponentes que presentan sus variables. Se consideran dos clases de Grado: Grado Relativo (G.R) Cuando se considera a una sola variable de la expresión.
En un POLINOMIO.Es el mayor exponente que tiene la variable en mención entre todos sus términos.
Grado Absoluto (G.A) Cuando se consideran a todas las variables de la expresión.
2x
2
5x
4 , está definido en ℝ
2
(i
, está definido en ℂ
Si un polinomio tiene una sola variable “x”, su notación es:
an x
n
a. En un MONOMIO Es la suma de todos los exponentes de las variables que presenta el monomio.
1)
NOTACIÓN POLINÓMICA
a n 1 x
n1
a n2 x
n 2
... a 2 x
2
a1 x a 0
b. En un POLINOMIO Es el mayor grado absoluto de todos sus términos. Ejemplo: 7 1.- P( x; y) 8x 5 y 6 G.R(x) = 5 ; G.R(y) = 6 ; G.A.(P) = 11 2.- P(x; y) 2x 4 y 3 5x 3 y 6 G.R(x) = 4; G.R(y) = 6 ; G.A.(P) = 9 3.- P( x; y ) 2 x 5 y 3 7 x 4 y 6 G.R(x) = 5; G.R(y) = 6 ;
n
0
Donde: n Z+, n es el grado del polinomio. a ;a 1 ; a 2 ; ... ; a 2 ; a 1 ; a 0 : son coeficientes del polinomio : es el coeficiente principal, a : es el Término independiente 0 n
a
n
n
b.
R( x) 3x 3x 2i 1
NUMÉRICO
Q( x )
a
POLINOMIO DEFINIDO SOBRE UN CAMPO
Pn ( x )
a. En un MONOMIO.Es el exponente que tiene la variable en mención.
Un polinomio está definido sobre un campo numérico, cuando sus coeficientes pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo. Se consideran tres campos numéricos: ℚ, ℝ y ℂ Ejemplo: 6 2 P( x ) 2x 5x 3 , está definido en ℚ
E3)
Casos particulares n = 1: P1 ( x) a 1 x a 0 ; a 1 0 se llama polinomio lineal. n = 2: P2 ( x) a 2 x 2 a 1 x a 0 ; a 2 0 se llama polinomio cuadrático. n=3: P3 ( x) a 3 x 3 a 2 x 2 a 1 x a 0 ; a 3 0 se llama polinomio cúbico
n
G.A.(P) = 10
3
Observación Dados los polinomios P(x) de grado “m” y Q(x) de grado “n”, donde m > n, se tiene: Gr P(x) Q( x) m Gr P(x) Q( x) m Gr P( x).Q(x) m n Gr P(x) Q(x) m n
4
Ejemplo: 10
P( x; y) 2x
r Gr P( x) m . r
Gr
1.4. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es el valor que se obtiene al reemplazar la variable o variables de la misma, por sus valores numéricos definidos.
3 2
2 x y
3xy
3
hallar el valor de
Sea P(x) un polinomio de grado “n” de la
forma: Con a
0
a n x
an
n
3
2 2
3x y 5x y
3xy
0;
a n 1 x a n
n 1
a n 2 x
n 2
... a 2
x
2
2
x
4
3x 2x
3
3
2 2
P( x; y) 2xy 6 5x 4x y
= coeficiente principal,
coef . P( x ) P( 1) b. El término independiente de P(x) se obtiene haciendo x = 0 es decir: T.I.P( x ) P(0)
.
, Completo , Completo en x
2 . En todo polinomio completo y ordenado de una variable, la diferencia de grados (en valor absoluto) de dos términos consecutivos es igual a la unidad. Grado ( tk ) Grado ( tk 1)
1
Polinomios Idénticos. Son aquellos polinomios del mismo grado y en las mismas variables, donde sus respectivos términos semejantes tienen igual coeficiente. Ejemplo: 12 Dados: 3
3
P( x) ax bx c Q( x) mx nx p a
n
1 , el polinomio se denomina “Polinomio
Mónico”.
POLINOMIOS ESPECIALES Polinomio Homogéneo. Es aquel polinomio de dos o más términos y más de una variable donde dichos términos tienen igual grado absoluto. A su grado absoluto se le denomina grado de Homogeneidad. Ejemplo: 9 (1) P(x; y) 5x 5 y 3 2x 4 y 4 3x 3 y 5 (2)
4
1. Si el polinomio es completo en una variable y su grado relativo es “n” entonces el número de términos del polinomio es n + 1 Nº de términos de P(x)=Grado de P(x)+1
y
Observaciones
a. La suma de los coeficientes de P(x) se obtiene Haciendo x =1 es decir:
a 1 x a 0
= término independiente, se tiene:
c. Si
3
Polinomio Completo. Es aquel polinomio donde los exponentes de una determinada variable aparecen todos desde el mayor hasta cero.
P(x) 3 4x
P ( 2 ; 2) .
En efecto: Reemplazamos x =2, y = - 2 en el polinomio, se obtiene 3 2 3 P(2 ;1) 2 (2) ( 2) 3(2)( 2) = 64+ 48 = 112 Observación.
Ejemplo: 11
Ejemplo: 8 Si P( x ; y)
P( x)
4
Ordenado en forma creciente respecto a “y”; Ordenado en forma decreciente respecto a “x”.
m P( x ) r
r
Polinomio Ordenado. Es aquel polinomio donde los exponentes de una determinada variable aumentan o disminuyen en cada término según que la ordenación sea CRECIENTE O DECRECIENTE .
2 2
R(x; y; z) x y
3 3 y z xz
Si P(x) Q(x), se cumple: a = m ; b = n ; c=p Observación Dos o más polinomios del mismo grado y en las mismas variables son idénticos, si los valores numéricos resultantes de dichos polinomios son iguales, para cualquier sistema de valores asignados a sus variables. P ( x; y ) Q( x; y )
P ( a; b) Q( a; b)
a;b ℝ
Ejemplo: 13 Dados: P(x; y) Si P(x) Q(x) Se cumple:
2
( x y)
2
( x y)
;
Q( x; y) 2( x
2
2
y )
Para
( x; y )
2 2 P(1; 1) (1 1) (1 1) 4 (1; 1) Q(1; 1) 2(12 12 ) 4
Suma y diferencia de cubos. ( am
b
) ( a 2m a m b n
n
b
2n
) a 3m
b
3n
( a m b n ) ( a 2m a mb n b 2n ) a 3m b3n
5
Casos Particulares: Polinomio idénticamente nulo. Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes ( a b ) ( a 2 ab b 2 ) a 3 b 3 iguales a cero Observación. ( a b ) ( a 2 ab b 2 ) a 3 b 3
Un polinomio es idénticamente nulo si su valor numérico resultante siempre es igual a cero, para cualquier sistema de valores asignados a sus variables Ejemplo: 14 Dado P( x; y) (2x y) (3x 2y) x(6x y) 2y2 Si P( x) 0 se cumple: Para: ( x; y) (1; 2)
Identidades de Argand (a 2 m a m b n b 2 n ) (a 2 m a m b n b 2 n ) a 4 m a 2 m b 2 n b 4 n
Casos Particulares:
2
P(1; 2) (2 2) (3 4) (1)(6 2) (2) (2)
Para:
( x 2 xy y 2 ) ( x 2 xy y 2 ) x 4 x 2 y 2 y 4
2
2 4 2 ( x x 1) ( x x 1) x x 1
Identidades de Gauss.
0
a
( x;y) (2;2)
(a b)
Nota:
(a
2
b)
a
a
2
2
2
b
b
(b
2
2
a)
2ab
2ab
2
( a b )2 ( a b )2
2( a2
( a b )2 ( a b )2
4 ab
( a b )4 ( a b )4
(a b c)
a
b
2
b
2
)
c
(a b)
( a b )3 (a b)
3
( a b )3
a
3
a
3
a
a
3
3
2
b
2
3 a 2b 3 ab2 b3
b
3
b
FORMA DESARROLLADA FORMA SEMI DESARROLLADA
3 ab (a b)
(abc)
3 a 3 b 3 c 3 3 ( a b c ) (ab ac bc) 3ab c
a
3
3
3
b c
2
2
m
c
2
(a 2
)
ab ac bc
(ay bx) 2
c 2 )( x 2
2 2 b ) ( x
(bz cy ) 2
2 y )
(cx az ) 2
y 2 z 2 )
2 2 a b
2
b
2
c
3
2
2 2 c
(a c) 2
ab ac bc
(b c)
a
3
(c a)
1 2 3
b
2 2 c
2(a 2
(
b
a b)
2
2abc (a b c)
2
c
2
ab ac bc)
(b c) 2 (a c) 2
3(a b)(b c) (c a)
2
a bc 0
abc 0
abc 0
a b c 0 (a
a
3
b
2
c
3
b c
2 3
2 (ab bc ac)
3 abc
n
(a b )(a b ) a
(ab ac bc) 2 a 2b 2 a 2c 2 b 2c 2 a
4
2
b
b
4
2
c
c
4
2 2
)
2 (a 2b 2 a 2 c 2 b 2c 2 )
2(a 4 b 4 c 4 )
Observación 2.1:
a,b,c ℝ: Si a
a,b,c ℝ:
Si a
3
2
b
2
c
2
ab ac bc
3a ( b c ) 3b (a c) 3c (a b)
Diferencia de cuadrados. n
2
2
6abc
m
b2
a b c 0 a
(a b c)
b
3 ab (a b)
( a b c )3 a3 b3 c 3 3 ( a b ) ( a c ) ( b c )
Cubo de un trinomio
3
(a 2
(a b)
3
2
Igualdades condicionales. 2
3a
b
a
)
2(ab ac bc)
3
b 3 ab
(ay bx) 2
(a b) 2 (b c) 2
8 ab ( a 2
2
(ab ac bc) 2
Cubo de un binomio. 3
3abc (a b c) (a
Identidades auxiliares
Cuadrado de un trinomio 2
3
(ax by cz) 2
Identidades de Legendre.
2
c
(ax by) 2
Cuadrado de un binomio. 2
3
Identidades de Lagrange
1.5. PRODUCTOS PRODUCTOS NOTABLES
(a b)
b
(a b) (b c) (a c) abc (a b c) (ab bc ac)
3
2m
b
2n
Caso Particular: ( a b ) ( a b ) a
b
3
c
b
2
3abc
a = b =c a+b+c = 0
a,b,c ℝ:
Si a2n b2n c2n Entonces: a = b = c
2
3
n n
a b
n n
a c
n n
b c
a b c
10. Reducir la expresión :
Preguntas Propuestas N°1
nn n n n
1. Al Efectuar: 1 4
A=
6
1
1 4
1 3
1
1 3
1 2
nn n 2n n n n E n
1 1 2
Se obtiene:
A) 9
B) 11
C) 13
D) 15
E) 17
2. El valor de E=
2 x 1
A)
3.
2x
x 1
1
6
x 1
3
15
x 1
5
1
x 1
B) 2
x 1
C) 3
1
es:
m
2m
0,01
A) –1
D) 6
E) 30
0,0001
B) 1
C) 2
= 10 es: D) 0 E) ½
B) 2
1
3 1 3 8
C) 3 3
5. Al resolver la ecuación : 2 es: A) –8
B) 8
1
6. Resuelve:
16
7. Si: E
B) 2
x
n
80
n
5
9
8
x4
,el valor de “x”
D) 14
E) –13
n
2
2
4
D) 5/2
E) 3/2
A) 3
3
2
7
4
es: C) 5
7
5
2
B) 5
9. El valor de “x” en: A) 2
n
E)
n
n
2
D) 1/5
B) –1
2x 1
2
C) 7 x
y 64,
C) 5
2
x
4
es de segundo grado.
A) 4
B) 5
C) 6
x a 1 2
M(x) =
x
x
a 2
D) 7
E) 8
2
a4
B) 2
entonces el de “ a” es:
C) 3
D) 4
E) 5
14. El valor de “m + b + p” para que el polinomio: P(x) = 5anxm – 10 – 4bmxm – p + 5 + 7cxb – p + 6 Sea completo y ordenado en forma descendente. A) 34 B) 36 C) 38 D) 40 E) 32 15. El valor de M= “a/b”, si el polinomio: P(x, y) = 3mnxayb(mx2a + 1 +ny6b + 1) es homogéneo. B) 2
C) 3
128
E) 1/2
. es:
D) 9 x 1 y x 1
E) 11
16 , es:
D) 3
entonces el GA de E = A) 1
entonces el valor de
n
B) 10 7
n
D) 4
E) 5
que: GA(M) = 4 ; GA(P) = 7; GA(Q) = 6 16. Si se sabe que:
8. El valor de ”x” en : 7
A) 1
2x 2
C) 2/5
( x 5) x
A) 20
x 5
E) 5
n
x
x 12
D) 4
C) –14 32x 2
A) 5
D)
13. La suma de coeficientes del polinomio: P(x) = (4x3 + 3)(5x7 – 3)n – 4 + (8x – 9)10 es 449, el valor de “n” será: A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
es: A) 1
C) n
x n 2 3 x 2n 3 2 xn 2 x4
A) 1
1 2 5 2 5 2
3
12. Si el monomio es de grado 3
4. El valor de: E=
B) 1
P(x) =
El valor de “m” que cumple la igualdad: (0,1)
n
11. Señalar el valor de “n” para el cual la expresión: 10
x 1
A) nn
2
E) 4
B) 17
M . P
C) 18
2
3
M .Q
M .P.Q 1
D) 18/17
es:
E) 36/17
17. Dados los polinomios: P(x) y Q(x) tales que el grado de:P3(x) . Q2(x) es 17 y que el grado de P2(x) . Q4(x) es 22. Entonces el grado de: 3 P5 (x) . Q3 (x) es: A) 3 B) 6 C) 9 D) 18 E) 27 18. Si los grados de P y Q son 3 y 4 respectivamente y el grado de toda la expresión:
P P
7
5
es: A) -2
Q
Q
5
4
2n
n3
B) -3
es igual a 4,entonces el valor de “n”
C) -4
D) -5
E) -6
19. Si el siguiente polinomio consta de 15 factores: P(x) = (x – 16) (x4 – 15) (x7 – 14) … (xn – 2) Entonces su grado absoluto es:. A) 285 B) 300 C) 315 D) 330 E) 360 . 20. Calcular el valor de “M” si el grado del siguiente monomio es 10: 1 2
M(x) =
x
A) 1
m1
m
m 2
x
m1
m 2
x
B) 2
m 3
C) 3
D) 4
E) 0
x (x 2
2yz) y( y 2
2zx) z(z 2
2xy)
(x y) ( y z) (z x)
A) 1
B) –1
C) –3
A) 2
es:
xy
3x
el valor de A) 2
1 2
2z
2 3
yz
2
x z
E) 2
4 x 2y z
, entonces
A) 3
es: D) –2
E) 0
24. Si: x3 + y3 = 10 xy = 6 Entonces el valor de (x + y)3 – 18(x + y) + 20 es: C) 40
D) 10
E) 30
A) 3
B) 6
2
a3
C) 2
26. Si: x 2 xy y 2 Entonces el valor de 2
b ) 3
b 3
es:
xy y 2
2
P x xy y x xy y
A) 1
B) x
C) y
2
D) 2
E) 4
xy
x y
2
C) 20
C) –3
D) –6
se obtiene: E) 2
2
x y z 2 Entonces el valor de :
2
A) -1
B) -2
2
D) 9
C) –3
D) –6
E) 6
31.-¿Cuál es el valor de x que satisface a la siguiente igualdad? 1 2
1
x
2
1
x 1
A)-3 32.-Si P
a
2
1
x 2
B)-2
a
a
a
2
2
1
2
x 3
15
C) -1
D)0
E)-4
, entonces el valor simplificado de P,
4 a 1
es: B)4
C) -1
1 2 1 1 3 4
es: E) x + y
B)-2
D)0
E)-4
11
x
1692 C) -1
5
x
D)7
E)2
34.-Reduzca la siguiente expreción. 8
B) 14
2z 3
2
z
A)-3
27. Si se cumple que: (a + 2)(b + 2)(c + 2) = 54 a2 + b2 + c2 = 13 a+b+c=5 entonces el valor de: E=abc es: A) 10
33.-Resuelva la ecuación exponencial
D) 1
x2
2y 3
(a c) (c b) ( b a )
B) 6
A)-3
25. Si se cumple que: (a + b)2 + (a – b)2 = 4ab (a
es:
(a + b + c), la expresión:
Entonces el valor de: P
P
2x 3
2
C) –1
B) 20
E) 1
H x x 2 y y 2 z z 2 3xyz
(x – a) (x – b) + (x – b) (x – c) + (x – a) (x – c) se transforman en: A) ab + ac + bc B) abc C) 0 2 D) (a +b + c) E) a + b + c
A) 50
D) 5
30. Si:
D) 3
1
5xz
B) 1
23. Para x =
C) 4
29. Si: x = a – b y = b – c z = c – a además: a b c
2
22. Si se cumple:
B) 3
Al simplificar:
21. Si: x + y + z = 0,entonces el valor de A
28. Si se cumple que: a + b = 4 y ab = 2 entonces el valor de: P 3 a 2 (a 2) b 2 ( b 2) es:
A
11
7
45 x75 x 225
3
20
x5
21 2
Indique la suma de las cifras de A E) 16
A)9
B) 12
C) 11
D)10
E)14
7
35.-Determine el valor reducido de M.
43.-Si P y son dos polinomios, de modo que
21
M 5 2 .5 6 .512 .5 20..5 420 1
1
8
A) 5
1
1
1
1
2013
2012
2
2012
C ) 5 2013
B)5
P x
20
5
2 x 1
y P f x 3 x 5 1
calcule el valor de f 2 . 0
D) 5
A)-3
E ) 5
B)-2
Se a f x 44. Sea
36.-Si al reducir la expresión
C) -4
3 x
x 1
D)-1
E)9
Hall e f 2 x . . Halle
n 2
3
3
4
x. x . x
se obtiene x
n 1
, entonces el valor de
2
n
A)-3
B)2
C) 5
D)-2
E)-4
37.-calcule el valor de M.
4 f x
A) D)
f x
6 f ( x ) f x
M
2
M x ; y
25 6
A)2
B)-2
C) -1
D)0
E)-4
x
x
B)12 1
x 1
para par a x
C) 21
D)20
E)34
; y
B)-2
x . f x
f 2
f
2
1
x
2
D)1
E)-4
1
m , calcule el valor de
C) -1
D)3
ax by está definidaen
f 2; 2
B)0
f 3; 3
x
A)-3
2
C) -1
42.-Dado el polinomio f x
x 1
D)1
E)5
, calcule el valor de
B)100
m n
P x 3 x
E)-4 , tal que
x
C) -4
30m
48.- Si
D)10
E)25
2 m n
14 x
3 m 2 n
2
x 10
20 n
1
B)20
P 1 x 2
C) 200
x 3 x 5
D)1
E)10/3
entonces el equivalente de
1 x 2
E)-4
x A) 2
mx n ,
D) -1
5 x
2
E) 4
D )
3 B )
x
4 x 1 , calcule el valor de m n
B)-2
C) 8
10
P
f 2010; 2010
D)2 2
2
es 20, donde m, n , calcule el valor de
A)10
A)-3
f x
C) 4
M 5; 4
47.-Si el grado del polinomio
3 2 2
f 3; 2 , calcule el valor de J .
J f 1; 1
1
A)1/10
1
C) -1
B)-2
41.Si f x ; y
f x
.
A)0 f 2;3
B)-2
1
40.-Si f es una expresión matemática , de modo que
5
M 8;7 M 7;6 M 6;5
y 1
3 2 2
A)-3
f 1 f 2 f 10 f 1 f 1 f 1
1
1
f (1 x )
f x
46.-Dada la expresión matemática
x
39.-Evalue la exprexión.
f x
x
A)19 F x ; y
3
Determine el valor de la siguente expresión
A)3
x
x
x
x 1
f x
x y 2 xy ; x>y>0
J M 9;8
38.-Determine el valor de x si se sabe que: 3 x 20
6 f x
45.-Dada la expresión irracional defnida por
22n 2 4
n
C )
f x 5
E )
1
1
8.2
3
10 f x
B)
5
x x
5
E )
x
3
x
5
x 3 x 5
C )
3 x 5 x
49.-Si el polinomio Q x, y, z 2 x
m
2
58.-Sea a 2 2 ; b 1 2 y c 3
1
y
n
3
4
z
6
8
4
x y z
6
8
c
5 x y z
p 1
Resolver la siguiente expresión
Se reduce a un solo termino, calcule el mayor valor de mnp A)43
B)42
50.- Si f 2 x
1
A)4
x 2
C) 41
B)8
C) -2
51.-Si se cumple que x J
5
E)52
3, halle el valor de f 4
2
3
D)21
D)2
E)-5
6 x 11 ,entonces
el valor de
B)8
35
C) -2
53.-Si
2
x
35
1
D)2
E)-5
2 x 1 x
A)
3
B)
3
C )2
D)3
35
E )6
5
2
x
1
C )2
4
1 1 1
D)
2
es:
2
3
2
3
55.- Si x T x
3
B)20
x
3
7
6 x
A)4
2
C) 25
13
8
6
B)8
D)42
E)35
abc
1; a
2
x
2 x
C) -2
C) -2
8, x 2 ,entonces
B)8
3
9
abc ab c
C) -6
D)2
E)-2
2
b
2
c
2
2; a
3
3 3 b c
3
B)-1/2
60. Si a b
2
simplificado, de A)2 B)6
C) 3
E)1/6
2 , halle el valor
bc
a3
D)1/3
b 3 c 3 3abc
abc
C )8
D)
2
E )
6
61.Sea P un polinomio homogeoneo definido por :
bx c y a 1
cx a y b
dy
2 c 3
B)16
C)12
D)18
E)14
P0
x
Pn
3
213 x
Pn 1 ( x
2
67x 2000
n), para
n=1,2,…. P6 ( x) ,
es:
A)-7690 B)-6970 C)-7960 D)-9760 E)-6790 63. Si P y Q son dos polinomios definidos por:
( x y z ) 4
( z y x) 4
Q( x, y , z ) ( x y z ) 4 ( y x z ) 4
es: D)2
E)-1
D)1
E)-5
Entonces P(x,y,z)+Q(x,y,z) es: A)0
B)xyz
64. Si (a b c d ) 2
A)2 65. Si
C) 2
C) x 2
a
c
d b
D)x+y+z
D)-2
E)-5
1
a
E
A)1
1
b
1
es:
d a
1
C)4
c
D) 2
1
a
bc
(a b c ) 6
a
3
3
3
a b
B)4
3
b c
E)2
4(a b)(c d ) entonces el
bc
B)1
y
el valor de
2 x 6. es:
A)4
c
calcule el valor de abc
Entonces el valor de a 1b 1 . 57.-Si
3
59.-Si se cumple que
valor de M B)8
2ab
B)8
P( x, y, z )
a 12 b 13 18 56.-Si se cumple que : a b 3
A)4
b
Entonces el valor del coeficiente del polinomio
2 ,entonces el valor de
12 x
2
62. Si P0 , P1 , P2 ,..., Pn son polinomios definidos por:
El valor de x es: A)40
b
A)10
E )6
4
3
Talque la suma de sus coeficientes es -8, entonces el valor de M=a+b+c+d, es:
54.-Si se cumple la igualdad. 2
2
P x; y ax c
,entonces el valor de N.
8
N
B)2
a
A)1/2
52.-Si la suma de los números es 24 y la suma de sus cuadrados es 296,entonces la raiz cuadrada del producto de dichos números. A)
a
A)4
f 2 .
x 1 x 5 8 x 4 x 2 13 es:
A)1
M
2
c
6
C)2
,entonces el valor de
E)0
b 3
6
a c
c
3
D)0
6
es: E)3
CEPU 2018 - I | UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA
10
OBJETIVOS
1. Reconoce cocientes notables y aplicarlos. 2. Divide polinomios por el método de Horner y Ruffini. 3. Aplica el teorema del resto. 4. Distingue los criterios de factorización de binomios, trinomios y polinomios de cuatro o más términos. 5. Factoriza polinomios empleando el método del factor común,de identidades, del aspa simple, del aspa doble, de divisores binomios, de agrupación de términos y de artificio de cálculo. 6 . Reconoce fracciones algebraicas y simplifica. 7. Efectúa operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones algebraicas. 8. Descompone fracciones algebraicas en sumas de fracciones parciales.
2.1 DIVISIÓN POLINOMIAL Algoritmo de la división: Sean D( x) ; d( x) dos polinomios no constantes. Al efectuar D( x) d( x) se obtienen dos únicos polinomios q( x ) y R( x ) tales que cumple:
Donde:
a c
0
0
b
s ; c
1
0
1
b
s ; c
2
0
2
b
;
0
Propiedades: 1. Gr(cociente) = Gr(Dividendo) – Gr(divisor) 2. Gr(Residuo) < Gr(divisor) 3. Gr(Residuo)MÁXIMO = Gr(divisor) – 1 Ejemplo: 7 Aplicando el método de Horner divida 20x4 + 47x3 + 58x + 55x2 + 13 entre 3x + 6 + 5x2 RESOLUCIÓN Ordenando y completando los polinomios: D(x) = 20x4 + 47x3 + 55x2 + 58x + 13 d(x) = 5x2 + 3x + 6 Por tanto :Q(x) = 4x2 + 7x + 2 y R(x) =10x + 1
D( x ) d( x) . q( x ) R( x)
Donde: D( x ) : Polinomio dividendo, d( x) : polinomio divisor, q( x ) : polinomio cociente y R( x ) : polinomio residuo o resto. Además: Grad R(x) Grad d( x)
Regla de Paolo Ruffini Se utiliza cuando el divisor es de primer grado o transformable a él. Por el algoritmo de la división: b D( x) ( ax b) q( x) R( x) x ( a q( x)) R( x) el cociente
2.1.1. MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
queda multiplicado por “a”.
Método de Guillermo Horner
Su esquema es:
Dividir a 0 x
m
b0 x
n
Teorema del resto En toda división de la forma P(x) entre (ax + b), el resto se determina mediante el valor numérico R
a1 x
m 1
b1 x
n 1
a 2 x b2 x
m2 n 2
a 3 x b3 x
m 3
n 3
...
...
a
am
.También se aplica cuando el divisor es
transformable a la forma (ax+b) y se procede:
bn
Donde: m n , con coeficientes principales a0 Esquema:
b P a
0 y b
0
0
Procedimiento: (1) Se iguala el divisor a cero (2) Se despeja la parte que convenga.
(3) Se reemplaza este valor despejado en el dividendo y lo que se obtiene es el resto. Ejemplo: 8 3
Halle el resto de la división 8
x
R
4 x
2
x
3
2
x
1 1 1 8 4 2 3 2 2 2 2 2
55
x
3
2
x
x2 +
x2+
Hacemos: x – 4 = 0 55 R= (4-3) + (4-2)4+ 7 R = 24
a
2
x
x
x
4
2
4
7
.
5
3
x
x
9
Bases
en los cuales es posible deducir el cociente sin efectuar operaciones; n ℕ, n 2
Observación z
n
p
z
q
p
n
q
es un cociente notable entonces se
N º de tér min os de su desarrollo
1er CASO: n
z
n
w
n 1
w
n 2
z w
n 3
z
2
w z
z n1
Para cualquier valor de n la división es exacta
2doCASO: w
n
z
n
w
n 1
w
n 2
z w
n 3
z
2
w z
z
n 1
n
n
z
3er CASO: n
z
n
w
n 1
w
x
11 a
3
a
4
4
a
t k
se calcula por la fórmula:
(Signo) (w)
nk
k 1 ( z)
;
1 k n
Donde el signo se determina así: Si el divisor es de la forma (w – z) entonces todos los términos del cociente son positivo (+) entonces los signos Si el divisor es de la forma (w + z) entonces de los términos del cociente son intercalados, es decir: es # impa imparr el sign signo o es es () Si k es es # par el el sig signo es () Si k es
(w z )
n2
z w
n 3
z
2
w z
Si n es par, la división es exacta
z
Es un proceso de transformaciones sucesivas, que consiste en expresar un polinomio como una multiplicación indicada de polinomios primos llamados factores primos.
2.4.1. FACTOR ALGEBRAICO DE UN POLINOMIO Se dice que f(x) f(x) de grado n 1 ; es un factor algebraico de P(x) si existe un polinomio g(x) tal que: P(x) = f(x) .g(x), es decir, f(x) es un factor algebraico de P(x) si la división de P(x) entre f(x) es exacta
Ejemplo: 1 Si P(x)= (x+1)(x+3) , entonces sus factores algebraicos son : x+1; x+3; (x+1)(x+3) , puesto que : ( x 1) ( x 3) x 1 es exacta;
( x 3)
Si n es impar, la división es exacta
w
x
3
Exponente Exponente principal principal
Para la obtención del desarrollo de un cociente co ciente notable se usa el método del HORNER y se presentan 3 casos:
w
3 3
a
a
2
2.4. FACTORIZACIÓN
m
cumple:
x
a x
2
El término que ocupa el lugar “k” en el desarrollo del w
principal
m
x
3
cociente notable
Exponente
w
a
3
3
2.3. TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE UN COCIENTE NOTABLE
x=4
2.2. COCIENTES NOTABLES Son casos especiales de división exacta, entre divisores binómicos de la forma:
w
4
2 6
ax
w z
Si
es un cociente notable notable entonces halle su
a
a
12
Ejemplo: 9 Halle el resto de la división
5
3
2
x
3
5
a
desarrollo. Aplicando el primer caso, se tiene:
2 x 1
15
x
Si
x
2 x 3
1
Hacemos: 2x – 1 = 0 x = 3
Ejemplo: 10
n 1
Observaciones 1. Todo factor algebraico tiene grado positivo. 2. Un polinomio de grado positivo es factor algebraico de sí mismo. 3. No se considera como factor algebraico a uno o cualquier constante. 4. Si se cambia de signo a un número par de factores, la expresión no se altera.
12
2.4.2. FACTOR REDUCTIBLE EN UN CAMPO NUMÉRICO Un polinomio P(x) de grado n > 1, es reductible en un campo numérico, si el polinomio se puede descomponer sobre este campo en una multiplicación de dos o más polinomios de grado menores que n Ejemplo: 2 2 P( x ) x 4 , es reductible en ℚ, es decir
Método del factor común Se utiliza cuando los términos del polinomio tienen un factor que le es común, este puede ser monomio o polinomio. Si estuviesen elevados a un exponente, se extrae el que está elevado al menor exponente. Ejemplo: 4 Al factorizar : 3x2y3 – 6xy4 se obtiene: 3x2y3-6xy4 =3xy3 (x-2y)
P( x ) ( x 2)( x 2) P( x ) x
2
P( x ) ( x P( x ) x
, es reductible en
3
3 )( x
2
4
ℝ,
es decir
ℂ,
es decir
Método de la Agrupación de Términos Se agrupa los términos del polinomio de manera que cada grupo tenga un factor común monomio y todos los grupos tengan un factor común polinomio Ejemplo: 5 Al factorizar :P(x,y) = 5x2y – 10xy2 –6x+12y se obtiene: P(x,y) = 5xy (x-2y) – –6(x-2y)= (x-2y) (5xy-6)
3)
, es reductible en
P( x ) ( x 2i)(x 2i)
2.4.3. FACTOR PRIMO EN UN CAMPO NUMÉRICO Un polinomio es primo sobre un campo numérico, cuando no se puede transformar en el producto de dos polinomios sobre el mismo campo numérico Observaciones: Dado el polinomio: P( x) ( x m ) ( x n ) ( x p ) 1. El número de factores algebraicos de P(x) es igual a:
n ( F . A.)
( 1)( 1)( 1) 1
2. El número total de factores de P(x) está dado por: n (T .F .)
( 1)(
1) 3 ( x 1) 2 ( x 2
1)( 1)
Sus factores primos son ( x 2
x
5 )4 (x2
Método del aspa simple Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:
1 )2
( x 1) ; ( x 1) ; ( x 2
x
5) ;
1)
El orden de multiplicidad o las veces que se repiten los factores primos son: De orden 3 el factor (x-1) De orden 2 el factor (x+1) De orden 4 el factor ( x2 x 5) De orden 2 el factor ( x 2 1)
Ejemplo: 6 Al factorizar : m2 -9n4 , se obtiene: m2 -9n4 = (m)2 – (3n2)2= (m+3n2) (m-3n2) Ejemplo: 7 Al factorizar : a6 – 8a3b2 + 16b4, se obtiene : a6 – 8a3b2 + 16b4 = (a3 )2 –2 (a3) (4b2) + (4b2)2= (a3 – 4b2)2
Ejemplo: 3 Sea el polinomio factorizado: P( x) ( x
Método de las Identidades Para factorizar por este método, se transforma el polinomio dado en una de las identidades estudiadas en productos notables, (trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, etc) para luego reemplazarlo por sus factores.
2n
P( x) ax
n
2n
bx c o P( x;y) ax
n m
2m
bx y cy
y se expresa: P(x) = ± bxn
ax2n
±c
( ±)
a1xn I
( )
±c1 a2xn
± (.)
±c2 a1xn
± c2
n
a2x
± bxn
2.4.4. MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS (M.C.D.). El Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado contenido como factor, un número entero de veces, en dicho polinomio. Para calcular el MCD se factorizan los polinomios y el MCD está dado por el producto de los factores comunes con su menor exponente 2.4.5. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN. FACTORIZACIÓN. No existe un método específico para factorizar una expresión algebraica ya que esta puede hacerse por dos o más procedimientos conocidos también como criterios o métodos.
P( x ) ax
2n
n n n 2 bx c a x c a x c 1 1 2
Ejemplo: 8 Si P(a,b) = 10 a2+ 21b2 - 29ab entonces halle sus factores primos P(a,b) = 10 a2- 29ab+21b2 5a 2a
- 7b -3b
-14ab - 15ab - 29ab
P(a,b) = 10a2-29ab - 21b2 = (5a-7b) (2a-3b) Sus factores primos son: (5a-7b) y (2a-3b)
Método del aspa doble.Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: P( x;y) Ax
expresa:
2n
n m
Bx
y
Cy
2m
n
Dx
m
Ex
F
y
se
Ax
2n
A1 x
Bx
n
y
m
Cy
n
2m
C 1 y
Dx
n
Ey
m
m
F
F 1
III
I
A2 x
n
II
C 2 y
Ax
2n
n
Bx n
( A1 x
y
m
Cy
C 1 y
m
2m
m
F 2
Dx
n
Ey
F 1 )( A2 x
n
m
C 2 y m
Ejemplo: 11 Si en el polinomio P(x) = 3x3 + 5x2 – 8x ,elegimos x = 1, se tiene: P(1) = 3(1)3 + 5(1) – 8(1) = 0. Luego x = 1 es un cero o raíz de P(x) y (x-1) es un factor de P(x).
F 2 )
Si P(a,b) = 12 a2 –10ab –12 b2 +17a-58b –40 , hallar sus factores primos
P(a,b) = 12a2 –10ab –12b2+17a -58b – 40 -5
6b I
III
II
2b 2b
3a
8
P(a,b) = 12a2 – 10ab – 12b2 + 17a -58b – 40 = (4a – 6b – 5)(3a + 2b + 8) sus factores primos son: (4a 6b – 5) y (3a +2b + 8)
4n
Bx
3n
Cx
2n
n
Dx
E
En particular, polinomios de 4to. grado de la forma: P( x) Ax
4
Bx
3
Cx
2
Dx
Nota: Se usa el Método de Ruffini y/o Horner hasta llegar a un coeficiente adecuado y aplicar cualquier otro método.
E
Se aplica un aspa simple en los términos extremos 4 Ax y E 2 El resultado se resta del término central Cx Se expresa la diferencia en dos factores y se colocan debajo del término central. Luego se aplican dos aspas simples, y se toman horizontalmente
Ejemplo: 12 Al Factorizar P(a)=a3 –6a2 –7a + 60 los posibles ceros racionales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Evaluando obtenemos: 1 -6 4 a=4 4 1 -2 a = -3 -3 -3 1 -5
Ejemplo: 10 Al Factorizar P(x) = 6 x 13x 7 x 6x 8 se obtiene: 4
6 x
4
2
3 x 2x
2
13 x
3
7x
2
3
2
a=5
6 x 8
-5x -x
4
SDT: 7x
-2
P(x) = ( 3x2 – 5x + 4 ) ( 2x2 - x - 2 )
7x
2
1 Luego: P(a) =
2
- 2x
2
5x
-7 -8 -15 15 0
60 -60 0
5
5
2
ST : -2x -2x F:
Determinación de los posibles divisores de un polinomio Se consideran dos casos: Caso I: Si el coeficiente principal es la unidad (polinomio mónico) se eligen todos los divisores del del término independiente con doble signo, del polinomio ordenado en forma decreciente y completo. Caso II: Cuando el coeficiente principal no es uno se considera todas las fracciones con doble signo, obtenidas al dividir los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente principal del polinomio ordenado en forma forma decreciente y completo.
Aspa Doble Especial Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: P(x) Ax
Ceros de un polinomio (Raíces).Si a la variable de un polinomio le asignamos un valor, al reemplazar y operar resulta cero, dicho valor es un cero o raíz del polinomio y el binomio que se forma al unir la variable con dicho valor cambiado de signo será un factor del polinomio.
F
Ejemplo: 9
4a
Método de la evaluación binomial.Se utiliza para factorizar polinomios con una variable y de cualquier grado que acepten factores binomios de la forma (x b) ó ( a x b ).
0
a3 –6a2 – 7a
+ 60 = (a - 4) ( a +3) ( a – 5)
2
Cambio de variable Se utiliza cuando al efectuar operaciones convenientes en el polinomio a factorizar se obtienen expresiones iguales, las cuales se reemplazan por una sola variable, facilitando su factorización.
13
Ejemplo: 13 Al factorizar : P(x) = (x-2)2 ( x-3) (x-1) -2, se tiene ti ene P(x) = ( x 24x + 3+1) ( x2- 4x + 3 )-2 Hacemos el cambio de variable: x2-4x+3 = a , P(a) = ( a+1) (a) –2 P(a) = a2 +a –2 P(a) = ( a+2) (a -1) Reponiendo la variable original P(x) = (x2 -4x + 5) (x2 - 4x +2)
14
Método de quita y pon Se utiliza cuando un polinomio contiene términos no factorizables pero que al sumar y restar una misma expresión lo convierte en una diferencia de cuadrados. Ejemplo: 14 Al factorizar : P(x) = x 4+4, se tiene: P(x) = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 P(x) = ( x 2 + 2 )2 – 4 x2 P(x) = ( x 2 – 2x + 2) (x2 + 2x + 2)
OPERACIONES CON FRACCIONES a c d a c d 1) b
x
2
3x 2
,
4 xy 3z
e
d
c
b
x
f
e
d
b
bdf
a.c .e
f
b . d . f a
adf bcf bde
c
a
d x
d
ad
b
c
o también
bc
a n x
bm x
n
m
a n1 x
n1
mm1 x
m1
a1 x a0
,
b1 x b0
el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), es decir n < m, si no lo fuese, se efectúa la división, de modo que se obtenga un polinomio entero más una fracción propia. Ejemplo: 17 P( x)
La fracción algebraica
Q( x)
x
2
2 x 6
es impropia
x 2
pues el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), luego dividiendo obtenemos que x
2
2 x 6
x
2
x
14
4
x
2
La fracción algebraica racional debe ser irreductible, en caso de no serlo previamente se realiza la factorización y las simplificaciones del caso
Ejemplo: 18 La fracción algebraica P( x)
2 2
Q( x)
x y
x
x
3
2
7 x 12
11 x 2
31 x 21
es propia,
pues el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), en este caso factorizamos y obtenemos que:
Donde el dividendo recibe el nombre de numerador y el divisor, denominador.
2.7. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES FRACCIONES Simplificar una fracción consiste en transformar la fracción dada en otra equivalente, tal que, ésta última sea una fracción irreductible. Regla para simplificar fracciones: a) Se factorizan los miembros de la fracción. b) Se eliminan los factores comunes.
x
Q( x )
2
2.6. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPO DE POLINOMIOS (M.C.M.). El Mínimo Común Múltiplo de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado posible que contiene un número entero de veces, como factor a dichos polinomios. Para calcular el MCM se factorizan los polinomios y el MCM se formará con el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente
a
b
P ( x )
Ejemplo: 16 3x 1
3)
c
b
Que la fracción sea propia, es decir, dada la fracción algebraica
2.5. FRACCIÓN ALGEBRAICA Una fracción algebraica racional es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas habiendo por lo menos una variable en el denominador.
a
b
2.8. DESCOMPOSICIÓN DESCOMPOSICIÓN DE FRACCIONESALGEBRAICAS FRACCIONESALGEBRAICAS EN SUMA DEFRACCIONES PARCIALES Para la descomposición de una fracción algebraica racional en suma de fracciones parciales, se debe tener en cuenta las siguientes consideraciones:
Ejemplo: 15 Al factorizar Q(x) = x5 + x –1, se tiene Sumando y restando: x2 se tiene Q(x) = x5 + x2 – x2+x –1=x5+x2 –( x2 – x + 1) Q(x) =x2(x3+1)-(x2 –x+1)=x2(x+1)(x2 –x+1) – –(x2 –x+1) Q(x)= ( x2- x + 1) ( x3 + x2 –1)
3
2)
4)
Sumas y restas especiales Se utiliza para obtener expresiones que reagrupando generen trinomios de la forma x2 + x + 1 ó x2 - x + 1 u otra conocida de manera que nos facilite la factorización
5x
b
2
x
3
x
7 x 12
2
11 x
31 x 21
( x 3)( x 4) ( x 1)( x 3)( x 7)
( x 3)( x 4) 2
( x 1)( x x
10 x 21)
4
( x 1)( x 7)
La fracción algebraica debe presentar en el denominador un polinomio factorizable, lo cual hace que se puedan presentar los siguientes casos:
Caso 1. Cuando en el denominador se presentan factores de primer grado de la forma ( x a) . En este caso deberá de asumirse tantas fracciones parciales de la forma A como factores de primer grado existan. (xa)
Caso 2. Si el denominador contiene factores de primer grado repetidos de la forma ( x a)n Para este caso deberá de asumirse n fracciones parciales de la forma A1
( x a )
A2
( x a )
2
A3
3
( x a )
Ax x
2
( x a )
Caso 4. Si el denominador presenta factores factores cuadráticos repetidos de 2 n la forma ( x bx c ) .
Para este caso deberá de asumirse n fracciones parciales de la forma A1 x B1 2 x bx c
A2 x B 2 ( x 2 bx c ) 2
A3 x B 3 ( x 2 bx c ) 3
An x B n
( x 2
bx c )
n
Observación Los valores A1 , A2 , A3 ,, An ; B1 , B2 , B3 ,, Bn ; son expresiones numéricas o coeficientes que se determinan utilizando uno de los siguientes criterios: De los polinomios idénticos Dando valores particulares (adecuados) a la variable x. Algunos ejemplos -Sil a división
x
10
2 x
9
4 x k
2 x 9
4 x k x 2q( x)
k
8
8) 2
14
x
13
x
x
4
x 1
Es k ,halle k2 Resolucion: Se sabe que por el algoritmo de la división se tiene: x
15
x
13
x 4 x 1q( x) k
Para x=1 se tiene: 1+1+1+4=(1-1)q(x)+k K=7 Luego (7)2=49
x 1
resto:
es exacta, entonces el
( A B ) 2 ,es: 1
8 x
5
4 x
D)
4
3
2 x
R( x )
1
C)
2
15
3
mx
x
2
2
3
E) 1
6
nx p
3
deja como
(5 x 2)(2 x 3) ,entonces el valor de
,es: A) 47 B) 50 C) 53 D) 55 E) 60 3. Si la siguiente expresión: x 4 5 x 2 4 x m es divisible por: x 1 ,entonces el valor de m ,es: A) -8 B) 4 C) -1 D) 1 E) 9 mn
p
"
"
( x 2
4. El resto de dividir:
x
4) 2018 2
x
A) 2 x B)
3
C) x 2
D)
x
( x 3 1) 29
5. El residuo de dividir:
2
x
A) x 6. Si al dividir :
B) x
2 x 2
x
3
4 x 2
15 5 x x x
6mx 15
2 x 1
,es:
4 E) 8
1
1
C) 1 x D) 1 x E)
8 x 3
2 x 1
, es:
0
; la suma de
coeficientes del cociente entero es 37, entonces el valor del resto, es : A) 46 B) 45 C) 44 D) 43 E) 42 16 x
2 x 1
2 x 1
se obtiene un cociente de la
forma : (
C
3
1) x 3
(
E
4
entonces el valor de:
2 ) x 2
( P 3 ) x (
C E P U ,
U
6
4 ) ,
es:
B) 28
50 15
-Si el resto de la división
2
2
C) 51 D) 32 E) 56 2017 ( x 2) ( x 3) 2015 8. El residuo de dividir : , es: ( x 2)( x 3) A) 2 x 5 B) x 3 C) x 2 D) 2 x 5 E) 3 x 2
2(2 9 ) 4(2) k 2 2q( x)
donde : (
x
2. Si la división:
A) 48
Para x=2 se tiene: 210
Bx
B)
7. Si al dividir :
x 2
2
4
4
Es exacta,entonces el valor k 14 Resolucion: Se sabe que por el algoritmo de la división se tiene: x10
Ax
A B
A) 2
c
Valor de
n
B
bx
1. Si la división
An
Caso 3. Si el denominador presenta factores cuadráticos no repetidos de la forma ( x 2 bx c ) . En este caso deberá asumirse fracciones parciales de la forma
Preguntas Propuestas N°2
9. Si al dividir un polinomio P( x) entre los binomios ( x 4) y ( x 2) se obtienen como residuos 9 y 5 respectivamente , entonces el residuo de dividir P( x) entre ( x 4)( x 2) , es : A) 2 x 1 B) 2 x 1 C) x 1 D) 3 x 1 E) x 1 10. Si un polinomio P( x) disminuido en 5 es divisible por ( x 5) y aumentado en 5 es divisible por ( x 5) ,entonces el residuo de dividir P( x) entre ( x 2 25) , es : A) 0 B) x 2 C) 3 x D) x E) x
x
11. Si en el desarrollo del cociente notable :
45
x
15
27
y
y
9
hay
un término de grado 24 , entonces la diferencia de los exponentes de x e y en ese término , es: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 12. Sabiendo que el tercer término del cociente notable : "
16
x a x
b
a b
y a
y
"
"
de: E
"
a b
es x
y
40
, entonces el valor de
6
m
m
"
n
n
"
"
2
20
2
E
x
6 n 3
x
3 n 3
x
6 n 6
x
3 n 6
6 n 9
....
x
3 n 9
....
x
x
x
obtiene : A) x 1 B) x 1 C) x 3n
3n
n
18. En el siguiente cociente notable :
9
9
6
x
x
6
a
1
x
D) x
3
(a b) n 2
1
x
n
1
3
2ab b
,se
32 2
2
,el
valor numérico del tercer término contando a partir del extremo final para : a 3 y b 1 ,es : A) 128 B) 32 C) 64 D) 256 E) 16
4
19. Al efectuar la división:
8 x
3
10 x
5 x 1
4 x 3
, la suma de
2
"
Cx
2
es exacta entonces el valor
es: C) 2
B)2x+2
D) 3
E) 4
( x 1)11 (2 x 7) ( x 1)( x 2)
C)3x+1 x
355
2
x
D)3x+3 1
x 1
, es:
E)3x+2
es de la forma:
E " ,
entonces el valor de " C . E " es: B) 1 C) -1 D) 2 E) 4
A) -2
24. Un polinomio de tercer grado tal que su primer primer coeficiente es uno, es divisible entre ( x 2) y ( x 1) ; además carece de termino cuadrático. Si R es el residuo de dividirlo entre ( x 1) , entonces "
"
el valor de " R 2" es: A) 4 B) 16 C) 9
D) 25
E) 36
25. Si un polinomio " P( x)" de tercer grado al dividirlo separadamente por ( x 3) , ( x 2) y ( x 1) se obtiene el mismo residuo 8 y al dividirlo por ( x 4) se obtiene como residuo 20. Entonces dicho polinomio es: A) 2 x 22 x 4 B) 2 x 12 x 22 x 4 3
3
2
3
2
C) 2 x 12 x 22 x 4 D) x 12 x 2 x 4 7 3
2
2
E) 2 x 12 x 22 x 4 26. En el siguiente cociente notable: ( x 1) 999
(
x
1) 999
existe un término de la forma:
x
a( x 2
b
entonces el valor de (a b) es: B) 497 C) 468 D) 498 E) 478
1)
A) 490
27. El quinto términos obtenido del siguiente cociente: 32
x
16
A) x
A) 8 B) 10 C) 12 D) 13 E) 14 20. Si el polinomio 20 x 6ax 3bx 17cx 9d se divide entre: 5 x 7 x 2 se obtiene un cociente cuyos coeficientes van aumentando de 4 en 4 a partir del primero y deja un residuo igual a 34 x 3 , entonces el valor de E (a b) (c d ) es: A) -7 B) -3 C) 1 D) 2 E) 3 3
1
23. Si el resto en la división:
x
los coeficientes del cociente es: 4
c
3
E) 1
1
b
B) 1
3
"
2
A)2x+1
A) 600 B)-2400 C) 4200 D) 4800 E) 3500 13. Si x x x x 1 es desarrollo del cociente a x 1 notable : b ,entonces el valor de " a.b " ,es : x 1 A) 45 B) 15 C) 30 D) 60 E) 75 14. Si el tercer término del cociente notable : 1 ( x 2) x tiene como valor numérico 212 , x 1 2 entonces el valor de m para x 2 ,es : A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 x x 15. Si la siguiente división : ,origina un cociente 1 x x notable que solo tiene 15 términos enteros, entonces la suma de los valores que asume n ,es : A) 59 B) 64 C) 67 D) 71 E) 83 2 x x 16. En el siguiente cociente notable : el termino 1 x 1 del lugar 21, es: A) x 1 B) x 1 C) ( x 1) 2 D) x 1 E) ( x 1) 2 17. Al simplificar la expresión : 9
1 2 x x
22. El residuo de la división:
" a.b " ,es: 12
a
a
A) -1
b 60
21. Si la división:
c bx x
x
28
x
28
y
y
14
10
10
y
5
x x
24
12
y
y
20
10
..... x
..... x
B) x 8 y 20 C) x 4 y 30 D x
28. Si en el siguiente cociente notable:
2
4
y
y
16
70
35
y
40
y
y
80
40
E) x
10
x 350
y
140
x 5
y
2
es: y
15
, la
diferencia de los grados absolutos de dos términos que ocupan la misma posición, uno contado a partir del primer término y el otro contado a partir del extremo final es nueve. Entonces el lugar que ocupa el termino contado a partir del primer término es: A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) 36
x a y b
29. En el cociente notable:
, si el quinto término
x 5 y 7
es de la forma: x y ; además: n m 3 Entonces el valor de a b , es: A) 120 B) 118 C) 124 D) 116 E) 128 m
"
n
"
30. El lugar que ocupa el término independiente en el 27 x 9 x desarrollo del siguiente cociente notable 3 , 1 x x es: A)6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 45 x 30 x 31. Al efectuar el desarrollo del cociente notable: 3 2 x x , el número de términos fraccionarios, es: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 32. El residuo de la división:
( x 2) 2
2 x
n
5
( x 1)( x 3)
es: A)-4x+3 B)4x-3 C)4x+3 D)-4x-3 E)4x+5 33. Si la siguiente expresión: "... a b a b ..." es un cociente notable. Entonces el número de términos de dicho cociente, es: A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 34. Si la división: 56
3
5
n x
7nx 3
(n 2
6) x 2
56
49
(
1)
n n
2
nx
64
, es exacta,
entonces la suma de coeficientes del cociente, es: A) -6 B) -7 C) -8 D) -9 E) -10 x
35. Si la división:
4
ax
2
( x 1) 2
b
, es exacta, entonces el
4
3
valor de b , es: A) 2 B) 3 C) 4 36. El resto de la división:
40. En el cociente notable :
( x y) 50
( x y) 50
2 x 2
2 y 2
m
valor del termino central para x y
A)
3
m
24
2
;
, es:
2
B) 3 9
12
3
17
3
24
, el
C) 3 6
D) 38
E)
16
3
41. El producto de los coeficientes del factor primo de mayor suma de coeficientes de: 3 2 p ( x ) 8 x 28 x 2 x 7 es: A)4 B)5 C)10 D)12 E)14 42. Al factorizar el polinomio el polinomio: 4 3 p ( x) x x 8 x 8 ,la suma de coeficientes del factor primo cuadrático es : A)2 B)4 C)5 D)6 E )7 43. Al factorizar el polinomio : 6 4 2 p ( x) x 4 x 3 x 2 x 1 la suma de los términos independientes de los factores primos es: A)1 B)2 C)3 D)-3 E)0 44. La suma de los factores primos de: 3 p ( x) ( x 1) 21x 41 ,es: A)2x-1 B)3(x-1) C)3x+1 D)3(x+1) E)3x-2 45. Al factorizar el polinomio: p( x) x 4 4 x 2 16 ,la suma de coeficientes de los factores primos es: A)6 B)8 C)9 D)10 E)12 46. Al factorizar el polinomio: p( m, n)
m(m
2
3n 2 )
2
n(n
2
3m 2 ) el 2
número de factores algebraicos es: A)15 B)16 C)17 D)19
E)21
a
( 3 2 ) x
5
2 3 x
D) 5
3
P( x)
2 3 x 3
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
( x 1)( x
2
x
A)
x
B)
4
1)( x
x 1
8
1)( x
1)
1 ( x 5) 2
38. Si el resto de la división:
x
, es:
2
n
2
n
10 x 23
x
3
mx
p ( x, y )
3
x
2
x 1 ,la
suma de E)5
2
2
2
x
3
entonces el valor de " m n " , es: B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
n
m
y y
n
2
m
x y
m
x y ,el número n
D)4
n
E)5
6 x 3
21 x 2 y 2
2 x 2 y 7 xy 3
9 xy 4
3y 5
es: A) 3 x y B) 2 x y 2 C) x 3 y 2
E) 8
nx
x
A) 5
x
49. Un factor primo del polinomio:
es 64,
"
5
2 x 7 ,
4
de factores primos es: A)1 B)2 C)3
E) 1
entonces e valor de n , es: A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 39. El resto de la división:
x
P( x, y ) x x
C) x 1 D) 0
"
5
m
x
x
48. Al factorizar el polinomio:
37. El resto de la división: 2
coeficientes del factor primo lineal es: A)1 B)2 C)3 D)4
, es:
x 3 2
A) 2
47. Al factorizar el polinomio:
E) 6
es
D) 2 x y 2 E) x 3 y 50. Al factorizar el polinomio: P( x) 2 x 3 3 x 2 3x 1 ,un factor primo es: A) x 2 x 1 B) x 2 x 1 C) x 2 x 2 D) x 2 x 1 E) x 2 x 3
51. Al factorizar el polinomio: p ( x, y )
18
2 x 2
60. Si
4 x 5 y 2
3 y 2 3 xy ,la suma
de coeficientes de sus factores primos es: A)7 B)8 C)9 D)10 E)11 52. Al factorizar el polinomio: p ( x)
4( x 1) 4
( x 2) 4
5( x 2
x
2) 2 ,el
número de factores algebraicos es: A)5 B)7 C)9 D)11 E)13 53. Al factorizar el polinomio: p ( x ) x ( x 1)( x 2)( x 3) 8 , indicar el valor de verdad: I. Tiene 2 ceros racionales II. Tiene tres factores primos mónicos III. Tiene 2 factores cuadráticos primos A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FVF 2 x 1
54. Si la fracción A x
2
x 3 x 2
B
1
x
A)0
2
C)-5
D)-2
x
4
x
3
4 x 2
5
2
2
2
2 ( x
2
algebraicos es: A)11 B)13 59. Si
5 x x
de: A A) 3
3
2
3
B
C
1
2
2
x
5
5
y ,el número de factores
6 x
A
x
D)16 B
x 3
E)17
C
x 2
entonces el valor
es: B)
2
C)
3
D)
3
2
3 x
2
A
3 x 2
B)2 C)3
x 2
2
4x
D)4 2x
2
B
x
3
Bx C x
2
x 1
El valor de
x 1
E)5
se transforma en otra
1
donde A,B,C son
C
B) 1
2x 1
C) 3
12 x 5
8 x 4
Q( x) ( x 1)( x
2
y )( y x) ,el
C)15
19 x 18 x
3
1
E)
3
D) 1/3
E) 5/3
45 x 3
45 x 2
8 x 12 . La
E)3x-2
65. El producto de MCD y MCM de los polinomios 2 3 P ( x ) y Q ( x) es: ( x 2) ( x 1) ( x 1) . Si
58. Al factorizar el polinomio: 5
x
2
suma de los factores primos, es: A)5x-3 B)9x+3 C)9x-3 D)8x-1
coeficiente del termino lineal del factor primo cuadrático es: A)-4 B)-1 C)2 D)3 E)5
p( x, y ) ( x y )
x
3 A B C , es:
p ( x)
2
E)13
64. Al factorizar :
57. Al factorizar el polinomio: p( x, y ) 8 x y
forma:
A) -1
2
3
3
1 entonces
A , es: 3 B C
56. Al factorizar el polinomio: p( x) x 2 x 1 ,un factor primo es: A) x 1 B) x x 1 C) x x 1 D) x x 1 E) x x 1
constantes reales, entonces el valor de,
coeficientes de los términos lineales de sus factores primos es: A)5 B)4 C)3 D)2 E)1 7
4
[(2 n 3) 3)3 1]2 [(2 n 3) 3) 3 1] 2 , se obtiene: A) 2n B) 2n+3 C) 3n D) (2n+3)-2 E) (2n+1)-2 62. En la siguiente igualdad de fracciones parciales de la
equivalente A
3x 5 ,la suma de
x
2(n 1) 1){8(n 2) 3 [(2n 4) 3 1] 1} 4n 8
2x
E)3
61. Al simplificar la siguiente fracción:
63. Si la fracción
55. Al factorizar el polinomio: p ( x)
el factor primo de mayor grado que resulta al
factorizar el polinomio : p( x) x 5 F (3) , es: A)9 B)11 B)11 C)25 D)5
A)1
se escribe como
entonces el valor B 3 A , es:
B)4
F ( x ) es
3
2
x 2) . Luego
A) ( x 2)( x 1) B) ( x 1)( x 1) 2 C) ( x 2)( x 1) 2 D) ( x 2) 2 ( x 1) E) ( x 2)( x 1)( x 1)
P ( x )
, es:
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OBJETIVOS
Donde
1. Reconoce ecuaciones lineales de la forma ax+b=0. Aplicar las propiedades para resolverlas. 2. Reconoce inecuaciones lineales de la forma x+b c , ax+b≤c y ax+b ≥ c. Aplica las propiedades para resolverlas 3. Reconoce y resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas y completas, empleando la factorización y la fórmula. Establece las relaciones entre las raíces y los coeficientes. 4. Resuelve inecuaciones cuadráticas. 5. Resuelve ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.
raíces reales) y se cumple: px 2
1. Si p ≠ 0 y q ≠ 0 entonces
x
q
Sus raíces x y x 1
p
forma: px
2
qx
r
0 , donde
Completación de cuadrados.2
qx
r
0 se transforma en 2
un trinomio cuadrado perfecto, obteniéndose;m luego:
(m
n
m
n,
n)
Fórmula general 2
Una ecuación cuadrática: px qx r 0 resolverse aplicando la siguiente fórmula:
x
q
2
q
2p
4pr
P
x2
x1. x2
Propiedades de las raíces de px2+ qx + r = 0 q Suma de raíces: S x1 x 2 Producto de raíces: P
Diferencia de raíces: x
x1 . x 2
p
r
p q
1
x 2
2
4 pr
p
Suma de las inversas de las raíces:
1 x1
1 x2
q r
Si a ; b ℝ entonces se denominan desigualdades a las expresiones que, con sus símbolos correspondientes se indican en el cuadro siguiente:
0
x1
... ( 1 )
La ecuación (1) se puede escribir como: x 2 Sx P 0
Cuando el polinomio cuadrático puede ser expresado como un producto de factores, se aplica la propiedad a.b=0 a=0 b=0
( x1 x 2 ) x x1 .x 2 0
Suma de las raíces : S Producto de las raíces:
Métodos para resolver ecuaciones de segundo grado: Factorización:
Cuando el polinomio px
2
Llamada también ecuación cuadrática, es aquella equivalente a la p, q, r ℝ.
x
3.2 DESIGUALDADES DESIGUALDADES
3.1.2. Segundo grado
n
, x ℝ
se puede construir la ecuación
2
y la ecuación
es consistente limitada. 2. Si p ≠ 0 y q = 0 entonces x = 0 y la ecuación es consistente limitada. 3. Si p = 0 y q = 0 entonces x toma infinitos valores y la ecuación es consistente ilimitada. 4. Si p = 0 y q ≠ 0 entonces x no existe y la ecuación Es inconsistente o absurda.
qx r 0
3.1.3. Formación de una ecuación cuadrática
( x x1 ) ( x x2 ) 0
Análisis de una ecuación de primer grado con una variable, de la forma: px +q =0
n
4pr , recibe el nombre de discriminante.
Si: 0 , las dos raíces son reales y diferentes Si: 0 , las dos raíces son reales e iguales Si: 0 , las dos raíces son complejas (no existen
Llamada también ecuación lineal con una variable, es aquella equivalente a la forma p x q 0 ,donde p, q ℝ
Discusión de las raíces:
3.1.1. Primer grado:
2
q
19
cuadrática aplicando:
3.1. ECUACIONES ECUACIONES
m
2
DESIGUALDAD
SIMBOLO
a es menor que b a es menor o igual que b a es mayor que b a es mayor o igual que b
ab a b ab
a b
Observaciones: 1. Es común identificar una desigualdad con su símbolo correspondiente. 2. a b y a b se denominan desigualdades estrictas. 3. a b y a b se denominan desigualdades no estrictas. 4. Las relaciones , , y , son relaciones de orden.
Propiedades puede
P) 1
P ) 3
a b a b 0
a b a c b c
P ) 2
a b a b 0
P ) 4
a.b 0 a b
1
1
b
a
ac bc a b c 0 a b c c
P ) 5
ac bc 6 a b c 0 a b c c
px
20 P )
20
a c b d ac bd
a b c d
7
P ) 8
2
qx r 0
Factorización:
a y b tienen igual signo: a b a
P ) a y b tienen igual signo:a b 9
1 0 i) a 0 P ) a 10 ii) a 0 1 0 a
2
; px qx r 0 ;donde p,q єℝ Para resolver este tipo de inecuaciones podemos aplicar los siguientes métodos:
P )
2
b
En el cual se usan las siguientes propiedades: a, b :
2
1. 2. 3. 4.
1 1
a b
a.b
0 (a
0b
0 ) (a
0 b
0)
a.b
0 (a
0 b
0 ) (a
0b
0)
a.b
0 (a
0b
0 ) (a
0b
0)
a.b
0 (a
0 b
0 ) (a
0b
0)
P )
11 a b
a b
Completando cuadrados: En el cual se usan las siguientes propiedades:a , b : 1. b
0
a
2
b
a
b
2
2. b 0 a b a
3.3. INTERVALOS Se denominan intervalos a los siguientes conjuntos de números reales:
3. a
2
b
b
0
2
INTERVALO
4. a b b 0
SIMBOLO REP. GRÁFICA
x
x
b
a
–
b
Al resolver
+
2 x
2
5x 3 0
Dividiendo (:2)
x
/a x b
a;b
–
a
/a x b
x
x
5
x
2 –
a
b
+
5
2
25
3
b a
b
b
, se tiene: 3
x
2
0
16
25
2
16
2
3
5
x
1
4
x
4
5
4
1 4
x 1
2
a
a;
2
x
5 1 x 4 16 x
5 Sumando: ambos miembros miembros se tiene: 4 2
a;b
/ x a
a
2
b +
3.3.1.
x
b
Ejemplo: 11
a;b /a
b
b a b
a
3.3.4. Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. Valor absoluto x
;a
/ x a
a
-
+ ∞
El Valor Absoluto de un número real "a" se denota por
a y se define: / x a
x
a; ;a
x
/ x a
a
-
+∞
Ejemplo: 12 -5 = 5 ; 10 = 10 ;
-
a
+∞
3.3.2. Inecuación de primer grado con una variable
a ℝ
P )
a ℝ
P )
a ℝ
2
3
4
Es aquella equivalente a una de las formas siguientes: px+q>0; px+q<0; px+q≥0 ; px+q≤0; donde d onde p , q єℝ
P )
3.3.3. Inecuación de segundo grado con una variable
P )
Llamada también inecuación cuadrática, es aquella
P )
equivalente a alguna de las formas siguientes: siguientes: qx r 0 ; px
2
qx r 0 ;
:
P)
P )
2
π
π
Propiedades: Para ecuaciones: 1
Son desigualdades que contienen una o más variables.
2
a ; a0 a ; a0
Inecuaciones
px
a
5
6
7
a
:
a
:
0
2
a
a
2
a
a
2
2
a b a b a .b 0
a .b
:
a ℝ
b
a
a
a
b 0 :
.
b
b
a
a
P )
a
P )
a b b 0 a b a b
8 9
b
a
b
a
b
2
Ejemplo: 13 Al resolver: 2x - 4 = 5x - x2 – 6, – 6, se tiene -b)……. P9 a = b b 0 (a = b a = -b)……. – 6 2x-4 = 5x-x2 – 6 5x-x2-6 0 (2x-4 = 5x-x2 -6 2x - 4 = -5x + x2 + 6) x2 - 5x + 6 0(x2- 3x + 2 =0 x2 - 7x+10=0) (x-3)(x-2) 0(x-2)(x-1) = 0(x-5)(x-2) = 0 x2, 3 (x = 2 x = 1) (x = 5 x=2) x2, 3 x1, 2, 5 -∞
2
1
Preguntas Propuestas N°3
1. Al resolver: 54(3x 3) 8(4x 3) 72( x 3) , el valor de “x”, es:
5
2x
de
A) x
2
2
P )
a
P )
a b b 0 b a b
P )
a b a b a b
a
P )
a b a b a b
b
P )
ab a b
P )
a
4
5
6
5
7
b
b
Si a
a
b
b
0
b
a
8
b
1
x
7
x
0b
a
x
b
x
máx
a;b A)
)
a
valor a
6x
5x
a
6x
6. El
3
1 x
1 x
x 0 x x 2 x 2 x x 0 2 2x 2 0 x 0 1 x x R
2
a
Resolver:
2
x
7 5
+∞
2
6
la
b
ecuación
E) ab
satisface
la
2 x 2
ecuación
en
b
a
b
1
E)
a
a
25
5
a
b
17
D)
a
5
la
ecuación
, es: 2
a
C)
b
2
a
a
5
D) (a+b)
11
2
3
E)
es:
2
5
2
a
E)
2
b
2
b
a
b
c
entonces el valor de B) 2
x
K
b
c
a 5x
a
C) 1
b
x
c
c
b
a
3,
, es:
D) 4
E) 5
8. Al resolver la ecuación x
( x 4) 6
x
2 x ( x 8) 20 20 x
( x 6) 12 x
3
x
( x 2) 2 x
, 4 obtenemos como conjunto solución: x
5
5 5 B) 1; C) 2 ; 2 2 5 5 D) 3; E) 0 ; 2 2
1;
x
4,
valor de x es::
1, es:
a
2
x 1
C .S
, el
en
“x”
a
B)
b
2
A) 1 ;
x 0 1 x
Luego
E)
5
D)
que
a
D)
)
de 1 x
A) 3
2 x x 0 x x 2 x
10
12
5
C)
a
1 x
2
2 x
Aplicando P3 para inecuaciones.
7
valor
A) a
x
35
4
“x” b
“x·
B)
C) (a-b)
5x
a
x
6
C)
(1
de
7. Al resolver : x
x
8
D)
7
de b
B) b
3
3
9
19
valor (1
24
B)
a
x
6
24
5. El
( a b) ( a b ) 0
a b b 0 -b a b x2 - 6x + 8 4 - x 4-x 0 -(4-x) x2-6x + 8 4-x x 4 x-4 x2 - 6x + 8 x2 - 6x + 8 4 - x x 4 x2- 7x + 12 0 x2 - 5x + 4 0 x 4 (x-4)(x-3) 0 (x-4)(x-1) 0 x <-, 4 {(x <-, 34, +>)x 1, 4} x1, 34cs=1, 34
x
8
C)
6
2
14
4. El
Ejemplo: 14 Al resolver: x2 - 6x+8 4 – 4 – x, x, se tiene:
Resolver:
21
61
es:
B)
A) a
6
8
b
7
A)
3
P )
2x
3
a
2
E) 16
61
3. Al resolver :
P)
0 0
Para inecuaciones: 1
61
2. Si x0 es la solución de la ecuación 2x+3=5, entonces el valor
+∞
C.S = 2
61
61
ℝ
3
C) 15 D) 17
A) 13 B) 14
1
9. Si la ecuación paramétrica en x: mx 22 22
1
2x
2
n
presenta infinitas soluciones, entonces el mínimo valor de “m+n”, es: A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
10. Si la suma de las raíces de la ecuación: 2 2
a x
2ax 21 0 es
5
A)
2
B)
2
C)
5
2
5, entonces el valor de “a”, es: 5
D)
5
19. Si x
5
11. Al resolver la ecuación
A) 21
20. Si
12. El x
conjunto x
2
x
5
D) -1
solución
3
4
2
al
x
5
59 D) 7
0,
la
entonces el valor de R 12
B)
2
14. Si en la ecuación: 8 x
C)
ecuación
10
7
2
5x 4
1
2x
b
b
A)
;
D)
17. Si
3
2
3
x
2
ab
a
b
2
a
x9
M
x6
3 x
B) 3
C) 5/2
2x
2
4x 1 2M tenga
B) -1
;
ab
E) 3; 1 5
y
xy
C)
3
A) 1
B) 4
2(m 2
C) 2
A) 1 ; 1 2
ab
ab
;
D)
1 2
;
3
a xy , x, y ∊ℝ+, entonces el valor de “a”,
D) 9
18. Al resolver la ecuación
3x
1
E) 8
0
7 D) 3, 3
B) 3,3 E) 3,
7
3
C)
7 3
2
E)
0,
D) -2
E) -4
2
x
2
x
C)
2
x
2
3x
2
,
2;
0;
2x
5
x
B) 11;
;0
5
E)
;11
6
;
x
solución, es A) 3;1 C)
D)
E)
2;5 , 3
1,
, 1 1,
3;
5
C)
27. Al resolver la inecuación
,3
C) 3 ;1
2
, el conjunto
solución, es
B)
, entonces su
conjunto solución, es: A) 1,1
E) 1;1
2
D) ℝ
2
C) 4
4m) x m 4
5x 1 2 x , su conjunto
el conjunto solución, es A) B) 1; ;0
A)
2
B) 2
E) -2
B) 1; 3
4
D) ℝ-
E) 7/3
D) 2
2x
es: A) 1
3
E) ∅
;
D) 4
C) 1
26. Al resolver la inecuación
E) -4
solución, para todo valor real “x”,
3,
es:
B)
3
D) 4
, es:
25. Al resolver la inecuación 5
x,
, entonces el valor
b
solución, es:
16. Si a<0
E) 24
x 2;5 , entonces el menor valor de M, tal que
2
3
24. Al resolver la ecuación:
E) 14
2
A) 3; 2 B) 3; 1 C) 3; 1 D)∅
x
x
a
D) 22 2
, es:
el conjunto solución, es:
a
, luego el valor
c
0
3ax (a 1) 0 , una de las
5
b
tiene dos raíces con un mismo valor pero diferente de cero, entonces el valor de “m”, es:
raíces es el doble de la otra, entonces la menor raíz, es: A) 0,2 B) 0,6 C) 0,25 D) 0,4 E) 2,5
5
que
23. Si la ecuación en “x”: x 2
D)6
29
x
C) 23
x 3;1 tal
A) 0
59
( 4m 1)(4n 1)
15. Al resolver la inecuación:
es:
(5 3m)(5 3n)
C)
29
a;
22. El mayor número entero “M” para que la inecuación
es:
13. Si “m” y “n” son raíces de la ecuación 3x
A) 12
64
,
E) -3
resolver
29 B) 7 29 E) 7
A) 59
B) 25
A) 2 C) -2
3
mayor posible de “b“b-a”, es: A) -2 B) -3 C) 3
E) 1
x
se obtiene: A) 2 B) 1
x
10
2
1 x
1 x
de “a+b+c”, es:
21. Si 5
x
2;3 entonces
1
3
2
x
8x
2
2
1
6
;
11; 0
, el conjunto
CEPU 2018 - I | UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA
:
25
OBJETIVOS 1. Define una matriz, los tipos especiales de matrices y establecer las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de matrices. 2. Define el determinante de una matriz de orden 2 y 3, hallar el valor numérico del determinante de una matriz cuadrada. 3. Resuelve un sistema de ecuaciones lineales con dos y tres variables por la regla de CRAMER, método de reducción, igualación y sustitución. 4. Discute la resolución resolución de un sistema de ecuación con 2 y 3 incógnitas. 5. Define logaritmo, así como aplicar sus propiedades. 6 . Distingue y aplicar el logaritmo decimal y neperiano. 7. Resuelve ecuaciones logarítmicas aplicando sus propiedades 4.1 MATRIZ
N
Matriz Rectangular: Cuando el número de filas es distinto del número de columnas.
Matriz Cuadrada: Cuando la matriz, tiene el mismo número de filas y columnas. (m = n)
A
a12
a13
a1n
a 22
a 23
a 2n
a 32
a 33
a 3n
am2
a m3
a mn
mxn
, también se utiliza:
7
4
9
Diagonal Primaria
TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA Es la suma de los elementos de la diagonal principal. 1 2 3
A
6
5 8
7
4
9
TRANSPUESTA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ 7
5
A 9 2 x3
8
T
1 5 7
2
, 9 3x2
8
IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A y B del mismo orden son iguales si los elementos de las mismas ubicaciones son iguales, es decir:
Ejemplo: 1 8
1
8
Donde AT se lee “matriz transpuesta de A”.
4.1.1. ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz está dado por el producto de m x n, donde “m” indica el número de filas y “n” el número de columnas.
0
6 Diagonal Secundaria
1 A 2
A a / a f ( i ; j ) ; 1 i m; 1 j n ij mxn ij
B
5
Traza (A) = 1 + 8 + 9 = 18
mxn
3 3 4
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ CUADRADA CUADRADA
Sea
Notación: A a ij
1 3 5 7 2x2
1 2 3
Se llama matriz al arreglo u ordenamiento de elementos cualesquiera, dispuestos por filas (horizontales) y columnas col umnas (verticales). Representación: a11 a 21 a31 A a m1
6 10 11 3 x1
Si A a ij mxn
Es una matriz de orden 3 por 2 3 x2
A
B
a
ij
mxn
B b ij
y b , ij
entonces:
i , j
ALGEBRA DE MATRICES Adición de Matrices:
4.1.2. CLASES DE MATRICES Matriz Nula: Si todos los elementos son iguales a cero
0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0
Matriz Fila: Cuando la matriz está formada solo por una fila M
1
3
5 1x3
Matriz Columna: Si la matriz presenta solo una columna
Sean A a y ij mxn
Luego: A B a b ij ij
B b
ij mxn ; i ; j
mxn
Multiplicación de un escalar (constante) por una matriz:
mxn
Sea A a ij
, k ℝ,
luego:
kA ka ij
; i; j mxn
26
Ejemplo: 3
Multiplicación de Matrices: Sean
mxn
A a ij
26
nxp
4 3 0 4 0 5 3 5 0 3 x3
y B b ij
n
mxp
AxB C c Luego: Ax ij
donde: c
ij
aikbkj
4.2. DETERMINANTE
k 1
Es un valor numérico asociado a una matriz matri z cuadrada. Asi sea la matriz cuadrada A, el determinante de A, se s e denota por A o por det(A).
4.1.3. MATRICES ESPECIALES Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada, donde al menos uno de los elementos de la diagonal principal es diferente de cero y los demás elementos son todos ceros. 3 0 0 0 4 0 0 0 7 3x3
Matriz Escalar: Es aquella matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a un número diferente de cero.
3 0 0
0 0 3
0 3 0
4.2.1. Determinante de orden 2 Posee dos filas y dos columnas. Se multiplica los elementos de la diagonal principal y a este resultado se le resta el producto de los elementos de la diagonal secundaria. DIAGONAL SECUNDARIA ( –) A
det ( A) a1b2 a2b1
4.2.2. Determinante de orden 3: Posee tres filas y tres columnas. Se calcula aplicando la regla de Sarrus Por filas y columnas. Para ello se colocan las dos primeras filas (columnas) debajo (a la derecha) del determinante y luego se multiplican en diagonal de izquierda a derecha, donde las diagonales que van hacía abajo se les resta las que van hacia arriba
3 x3
Matriz Identidad: Es la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son iguales iguales a “uno”. 2
b1 b2
DIAGONAL PRINCIPAL (+)
I
a1 a2
1 0 0 1 0 0 1 0 ; I 3 0 1 0 0 1 3 x3
(-)
Matriz Triangular Superior: Es aquella matriz cuadrada, donde todos los elementos ubicados debajo de la diagonal principal son “cero”. 2
8
0
6
a
b
c
a
b
c
1
A
2
a
3
1
5
b
c
(-)
a
b
c
(-)
a
b
c
a
b
c
a
b
c
1
3 0 0
a 1
2
1
2
b
c
3
2
1
2
3
3
1
3
1
2
2
1
2 3 1
(+)
2
(+)
(+) 3 x3
Matriz Triangular Inferior: Es aquella matriz cuadrada, donde todos los elementos ubicados por encima de la diagonal principal son “ceros”.
3 2 4
0
A
5
0
a b c
1 2 3
a b c
2 31
a b c
31 2
a b c
3 2 1
4
1
a b c
1 3 2
a b c
2 1 3
( –) ( –) ( –)
3 x3
A
a1 b1 c1 a2 b 2 c 2 a3 b3 c 3
a1 b1 c1 a1 b1 a2 b2 c 2 a 2 b2 a3 b3 c 3 a3 b3
(+) (+) (+)
T
det ( A)
Ejemplo: 2 2 3 4
0
Matriz Simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si y sólo si es igual a su traspuesta, es decir: A
det det ( A)
3 5 6
4 6
a b c
1 2 3
a b c
3 1 2
a b c
2 3 1
a b c
3 2 1
a b c
1 3 2
a b c
2 1 3
PROPIEDADES:
7 3 x3
Matriz Antisimétrica: Una matriz cuadrada A es antisimétrica si y sólo si es igual al opuesto de la traspuesta, es decir: A
A
T
1. 2. 3.
det(A)=det(At) det(A.B)=det(A).det(B) det(An)=(det(A))n
Enseguida haremos la teoría de ecuaciones que es muy importante en sus aplicaciones en las matemáticas. matemáticas.
a1
4.3. SISTEMAS DE ECUACIONES
a2
Sistema de ecuaciones Es un conjunto de dos o más ecuaciones de varias incógnitas que se satisfacen simultáneamente para los mismos valores de dichas incógnitas. Sistemas de ecuaciones lineales Son aquellos sistemas cuyas ecuaciones son de primer grado. Sistemas de ecuaciones de Primer grado con dos incógnitas Tienen la forma:
b1 b2
c1
c2
Dado el sistema: a x b y c a1 x b1 y c1 2 2 2 1.
Si
2.
Si
0 y
S
27
; el sistema es compatible determinado.
0
S
x
y
0,
el sistema es compatible
indeterminado o existen infinitas soluciones 3. Si 0 y 0 y 0 , el sistema es S
x
y
absurdo o incompatible (no hay solución).
a x b y c a1 x b1 y c1 2 2 2
Para resolver estos sistemas se utilizan generalmente los Siguientes métodos: Método de reducción: Cuando se elimina una de sus variables efectuando las operaciones convenientes y sumando miembro a miembro. Método de la igualación: Cuando de ambas ecuaciones se despeja una misma variable, para igualar los otros miembros. Método de sustitución: De una ecuación se despeja una de las variables y la expresión resultante se reemplaza en la otra ecuación. Método de Determinantes: Cuando se aplica la regla Cramer Regla de Cramer Consiste en resolver un sistema de ecuaciones utilizando los determinantes.
Observación: Dos o más sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Sistemas de ecuaciones de primer grado con tres Incógnitas Tienen la forma:
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
x
y
S
= Determinante de x = = Determinante de y =
c
1
b
2
a
c
a
c
1
x ; y
S
a
b
a
b
1
a2
2
2
2
3
3
3
3
Para resolver estos sistemas se usan métodos similares a los usados en los sistemas de ecuaciones con dos variables. Para el método de Cramer, definimos: a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
x
;
d1
b1
c1
d2
b2
c2
d3
b3
c3
2
a1
d1
c1
a2
d2
c2
a3
d3
c3
a1 z
b1
d1
a2 b2
d2
a3
d3
b3
1
2
y
x
Se tiene que
x
,
y
S
y
,
z
S
z
S
S
Discusión de la solución de un sistema de ecuaciones con 3 incógnitas: 1. Si 0 , el sistema es compatible determinado. S
2.
Si
3.
compatible indeterminado. Si 0 , y alguno o todos los
S
0 y
S
x
y
z
0
, el sistema es
x
,
y
,
z
0,
el sistema obtenido es incompatible.
b1 b2
El sistema es compatible indeterminado o existen infinitas Soluciones, cuando a1
2
y
2
El sistema compatible determinado, si se cumple a2
1
a x b y c z d
1
2
1
2
a x b y c a1 x b1 y c1 2 2 2
1
;
Discusión de la solución de un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas: Dado el sistema:
a1
1
a x b y c z d
b
1
= Determinante del sistema =
Se tiene que: x
axbycz d
S
c
b1 b2
c1
Sistemas de ecuaciones no lineales Son aquellos sistemas donde alguna o todas las ecuaciones no son lineales.
c2
El sistema es absurdo o incompatible ( no hay solución), Cuando se cumple
Ejemplo: 4 x 2 y 2 2 ... (1) x y 2 ... ( 2)
Este tipo de sistemas generalmente se resuelven utlizando los métodos de sustitución o igualación, productos notables y/o factorización.
28
x 2 y 2 8 ... (1) xy 2 ... (2)
28
Colog b N
4.4. LOGARITMO Se llama logaritmo de un número real N 0 en una base dada b 0 y b 1 … al número x al que debe elevarse la base b de modo que se cumpla log N x
b
b
x
Cologaritmo El Cologaritmo de un número real N 0 en una base “b” es el logaritmo de la inversa del número en la misma base. También es equivalente al logaritmo del número en la misma base precedido del signo menos.
b
x
N
Log b
N1
Log b N
Antilogaritmo.Se denomina antilogaritmo en una base “b” al número número que dio origen al logaritmo, es decir: AntiLog x
b
, es decir:
b
x
Propiedad
N , N 0 , b 0 , b 1
Log b N
AntiLog b
N
Número (N > 0)
.
Logaritmo o exponente base ( b
)
Sistema de logaritmos.Se denomina sistema de logaritmos al conjunto de valores formado por los números positivos de la expresión x log N . Los más utilizados son:
b
1. El sistema de logaritmos naturales, hiperbólicos o neperianos, cuya base es el número trascendente 2,718281..... = e Notación: LnN : “Logaritmo neperiano de N” ( log N ln N )
e
2.
El sistema de logaritmos decimales, vulgares o de Briggs, cuya base es el número 10
Notación: Log N :“Logaritmo de N en la base 10”
Ecuaciones logarítmicas Se llama ecuación logarítmica a las ecuaciones donde por lo menos, una incógnita está afectada por el operador logarítmico, es decir: a) logb N a b a N , N 0 , b 0 , b 1 b) logb N 1 logb N 2 N 1 N 2 , N 1 ; N 2 0 , b 0 , b 1 Solución de una ecuación logarítmica. Consideremos la ecuación logarítmica : log P( x ) log Q( x ) , entonces para obtener la b b
solución de esta igualdad se debe seguir los siguientes pasos : a) P(x ) 0 Q( x) 0 b 0 b 1 …… (Sa) b) Los posibles valores de la incógnita se hallan de la ecuación P( x) Q( x ) . ……………………… (.Sb) c) C.S. = S S a
b
Propiedades:
P ) log b 1
b
1
P ) log b1 0 2
P ) log b M.N log b M log b N , M 0 , N 0 3
P ) log b 4
M
N
P ) log bm N
n
5
Inecuaciones logarítmicas Si logb N 1 logb N 2 o logb N 1 logb N 2 entonces para encontrar el Conjunto Solución (C.S) se procede a: Se garantiza la existencia de los logaritmos con : N 1 0 , N 2 0 , b 0 , b 1 …….. ( S1) Dependiendo del valor de la base se presentan dos casos:
log b M log b N ,
n m
M 0 , N
0
Caso I: Siendo: 0 b 1 , Si: logb N1 logb N2 0 N1 N2
log b N , N 0
P ) log b N log b n N n , N 0
Si: logb N1 logb N2
P ) a loga N N , a 0 , a 1
Caso II: Siendo: b 1, Si: log N log N N
6
7
P ) a
log b c
8
c
9
log a N log a b
P ) log b N 10
P ) log a N
, a 0, c 0
b
1
Si: log N
1
b
2
log N b
2
N
1
1
N
0 N
2
N
1
2
0
N
0
….( Scaso II )
2
C.S = S1 ScasoI C.S = S1 Scaso II ó log b N . log a b
1 log N b
log N
ó log b N . log N b 1
log a N 1 log a b
Caso Particular.Sea la inecuación b 0 M 1
, a 0 , b 0
P ) log b M log b N M N 12
b
b
P ) log b N
11
log b a
……..( Scaso I )
Log b M 0 , entonces se cumple
0 1 0 1 1 1 8. Sean A B C ; ; 0 0 1 1 matrices 1 0 Indique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. n I. n talque; A I
Preguntas Propuestas N°4
a b c d
1. Si
c d
4 10 a b
6
,
2
entonces el valor de a d b c es: A)6
B) 8
C) 9
a
D) 10 b
y B b c
El valor de "a + b + 2c" es: A) -1 B) -1/2 C) 0
2
3. Sean las matrices: A
1
D) 1/2 3
y B 4 2
la suma de los elementos de "AB" es: A) 41 B) 42 C) 39 D) 38 4. Dada una matriz B
A) VVF
2 1
2
7 10
E) 43
"A" de orden 2x2 con aij=i-2j y
4
4
6
2 x 3
x 3
2
5
“3x + 2” es: es: A) 2 B) 4
0
III. B es un matriz no singular
2
B
1
C) VFV
D) FVV
Si: A = B, entonces la traza de la matriz “3A + 2C” es: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
x 2 x 5
c
d
b d
1
E) 197
6 , es singular 72
0 x 3
2
2
d
1
b
E) -2
17; x Z el valor de
D) 8
entonces
1
2 6 es: 9
124
5
C) 6
B) -1
E) -2 el
valor
3
es:
C) 0
D) 1 1
E) 8
1
1
13. El valor del determinante: 35
37
34
23
26
25
A) 8 E) 9 14.
252 , entonces la suma de los
Si a b c d
A)0 15.
x x3 cuadrados de los valores de “y” que cumple con la 2 ecuación; y n 31 y n 0 es: A) 185 B) 205 C) 305 D) 625 E) 175 x 1
5
E) FVF
;
elementos de la diagonal principal de F(A) es: A) 2 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 7. Si
b
A) -8
1 2 2 6. Si A y F(x) = x - 3x + 2, la suma de 1 2
n
a
2 a 2 c
E) FFV
x 3 y x las matrices: A y 1 6 y 4 8 y C 6 x 3 2
2
C) -145 D) 193
3
12. Si
5. Sean
B) 185
x
11. Si
17
B) FVF
D) VFF
entonces la suma de los valores de x es:: A) 3 B) 5 C) -3 D) 2
II. El det(A.B)=78
A) VFF
C) VFV
x la matriz A 0 2
10. Si
4 7 , determine el valor de verdad de las 5 1
A 2 B
B) VVV
A) 190
3
siguientes proposiciones: I.
0
1 9. El determinante de la matriz: A 0 7
E) 1
1
talque; B
n
1 1 III. n talque; C n n 1 1
2 b c 0 1 0 Si se cumple que: A + B = I, Donde: I 0 1
2. Sean las matrices A
n
II.
E) 12
B) 6 a
b
c
d
b d
C) 7
D) -14
es: E) -16
0 , entonces el valor de
a
a b
c
c d
es:
B) 1 C) 2 D) - 1 Al resolver resolver el sistema en “x” e “y”
E) - 2
y x m n m n m n , el valor de “x” es: x y 2m m n
A) m(m + n) D) n(m + n)
B) n(m - n) E) 1
C) m(m - n)
de
29
30 30
16. Dado el sistema de ecuaciones (x + y) (y + z) = 0 (x + y) (x + z) = 3 (x + z) (y + z) = 0 El valor de: M = x2 - y2 A)2 B) 3 C) 4 D) 5
25. La suma de los valores de x que satisface la ecuación Anti log 2 log x 16 x , es:
A) E) 6
15 4
log a x
x 1 y 1 z 1 1 xy xz yz 27 , el valor que se obtiene para “x” es: x y z 9
log ab x
A)1 18.
B) 2
C) 3
D) 4
A)15
B) 10
C) 14
y
A)
E) 6a
Entonces de “a” y de “b” se puede afirmar que: A) a=b B) a=-b C) a=3b D) a=2b E) b=2a
A) 2
B)
9
log 3 5
1
C)
2
log 2 log log 2 de “x” es: A) 3 B) 2
ab
log
4 23
59
D)
2
23 , se obtiene: 44 3
25 x 2 36 log
x
B) 7
11
; 2
5x 6
x
D) 5
4
B) 2;
A) 10
a 1
63
16
B) 10
2 3
C) 10
E)
11 4
54
17
D)1 E) 10
81
64
x 3 x
A) 1
B) 2
C)
32 5
3
B) {1;4}
log 3b a log3a b
1
D) 3
3
E) 2 log lo g 2
E)
2) log3 (4 5
C) { }
producto de sus raíces, es: A) 9 B) 30 C) 32
D) {3;4}
2
x
, es:
x
3
1 4
) 1:
E) {4}
5x log3 9 el
D) -36
E)-32
D)4,95
E) 5,005
23. En la ecuación:
0
33. El valor de x en la ecuación:
,el valor de “x “ es: A) 1
B) a
C) d
24. Al resolver la ecuación: log x valor de “x” “x” es: A) 0 B) 1 C) 2
D) b co log Anti log x
log log x
D) 3
4,
4;
2
32. Al resolver la ecuación log6
x
E) 4
y b 1 , tal que: logb a 1 x logb a ,
log log16 , entonces el valor
log a 1 log b 1 log c 1 log d
0,
E) ab
los valores de “x” es:
A) {2;4}
D) log lo g 2
0y b
a
5 x 6 log
x
; 4
x
C) 4
que:
D) a+b
C) 6
31. Resolver: log3 (25
ax , tal
a
3
22. Si “x” satisface la ecuación x
a
entonces el valor de E
log
5
log x 3 ln y 4 1 29. Al resolver el sistema: , uno de 2 2 5 log x ln y 46
30.Si
21. Al reducir la expresión log 5 81
17
13
11 11 11 C) 2;4 D) 2;4 E) 2; 4 4 4
x y 3 20. Si el sistema: ax by 5b tiene solución única, 5 x 3 y 7
k log 3 5
E)
solución es:
4a 9b 6 x y 14 , el valor de “y” es: 6a 5b 15
D) 2b
3
2 x 2 4 x 6 1 , el conjunto 28. Al resolver: log 1 4 11 x 2
D) 18/5 E) 12
C) 3b
log
es: A) 8
xz
Al resolver es sistema de ecuaciones: x y 1
B) 3a
4
entonces el valor de “x” es: A) ab B) a C) b
log
19.
A) 2a
13
D)
27. La suma de los valores de “x” x 2 que satisface la ecuación
E) 6
Al resolver el sistema de ecuaciones:
xy x y 23 xz x z 41 , el valor de yz y z 27
17
C)
26. Si “x” satisface la ecuación
Al resolver el sistema en los enteros positivos
17.
5
B)
E) c
102 el E) 4
x
x
2
1
x
x
2
1
log(
A) 5
)2
B)5,05
C)5,5
34. Si x y
log y x log x y
se cumple que
Anti log
a b
log x y co log y x
a
2
a
2
b
2
b
2
;
2 ,entonces el valor de " x " , es :
44. Si se cumple que log ab a
A)
B)
a
b
a D) b
b C) b a a
a b
b
a b
E)
a b
b a
16
B) 1
17
a
x
x
1 log
x
x
E
b
2 3
ln 3
ln 2
3
ln 4
4
ln 3
obtiene: A) 0
4 0
la suma de sus raíces, es: A) – A) – 2 B) 2 C) 3
C)
4
ln 5
5
ln 4
valor T
E) 0
3
a
A) – A) –25 25
36. Resolver: 24
B) 1
C) 2
D) 3
A) – A) – 2
B) 1
5
C) 0
D) -1
E) 2
38. Si se tiene que x Anti log 256 log16 log 25 entonces el valor de 4 x 3 ,es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
5,
E) 5
2
39. Al resolver la inecuación log 2 ( x 1) 4 el mayor valor entero que la verifica, es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 40. Al resolver la inecuación x
1 logb
x
b
x
; b 1 su
conjunto solución es de la forma 0 ; ; entonces el valor de " . " ,es: A)
2
B) 1
C)
b
2
D) b
2
E) 2 2
41. Resolver: log3 ( x 1) log9 (5 x 16 x ) A) {3}
B) {2}
C) {5}
D) {8}
E) {4}
42. Al resolver la inecuación
log
4
x
log x , el número de valores enteros menores menores
que 10 de su conjunto solución, es: A) 10 B) 9 C) 6 D) 7
x
x
9
6
....2017 tér min os
C) e
2
b
4
b
2
log 225
B) – B) – 5
D) e2
4 2 ;
a
se
E) e3 2
b
, entonces el
,es:
C)
1
D) 5
5
E) 25
E) 150
49. Al resolver el sistema x
y
z
x
A) 2/3
z
z
x
1
y
B) 1
x
y
C) -1
; el valor de “x” es: z
D)3/2
E) 1/3
D) 123
E) 129
50. Al resolver el sistema: x + y + z = 11 2x -y + z = 5 3x + 2y + z = 24 el valor de Q= y2 z2 +yz+1 es: A) 105 B) 111 C) 117
x 4 51. Sea la matriz: A y 1
2 x 2
2 y 3
Se cumple: Tr(A) = 12, a21 = 9
E) 8
log 43. Al resolver la ecuación log 2 x log log
3
17
48. El valor o valores de “n” que hacen que el sistema: 3x + (n - 1)y = 12 (n + 6)x + 6y = n Sea inconsistente; es: A) {1; 3} B){ 2; 6} C) {3} D) {3; - 8} E) {- 8}
y
2
E)
47. Si el sistema: (2a + 5)x + 5y = 7a 3x + (a + 2b)y = 7 Admite infinitas soluciones, el valor de M = ab – ab – ab aba es: A)- 150 B) – B) – 90 C) - 32 D) 90
E) 4
37. El valor reducido de E Co lg 4 log 2 anti log 1 log 1 625 ,es: 2
15
4
....2017 tér min os
log 4 x log 4 ( x 1) log 4 (log 1 8) A) 5
D)
B) 1
46. Si loga 2 b 2 a D) 4
16
45. Al simplificar la expresión
35. Al resolver la ecuación
1 log
4 ,entonces el valor de
3 a E log ab b , es: A)
a
3
1 x 3
el conjunto solución es {a,b} entonces el valor de E = a.b , es: A) – A) – 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
el valor de "x+y" es: A) 3
B) 4
C) 5
D) 0
E) 2
31
52. La suma de los elementos de la diagonal secundaria de la A aij 3 x 3 matriz definida por: tal que
32 32
1 i; i j es: aij . ; i j i j A) 4 B) 6 C) 8
B) 30
D) 10
C) 32
E) 38 1 0
2
1
x
1
x
1
x
1
1
x
A) -2
C) 6
D) 7
Se cuyo determinante es 4. Se d
cumple para sus elementos la siguiente condición: (a + d) - (c + b) = 8. A partir de lo antes mencionado, el valor de "x" en la ecuación: B) -1
C) 1
a x
b x
c x
d x
D) 2
4
es:
E) 3
56. Si “α” y “β” son “β” son las raíces de la ecuación: x2 - 4x + 1 = 0, entonces el determinante de la matriz: es: B) 9
C) 16
D) 25
E) 36
3
3
3
3
1
3
3
3
3
1
3
3 3 3
x
B) 1
2 0
y 2
y
0
0
1
1
1
C) 81
0
0
z z
0
2 1
2
2ab
a
se
2
E) a2-b2
1
x
B) -1
x
es:
C) 0 D) 1
E) 2
2 x 3
y
8 x 2
y
C) 9 D) 11
16 ,entonces el 36
E) 12
el
sistema
de
ecuaciones:
2 x 2 y 2 x y 1 1 un valor de x y es: x 2 x 2 y 3 y 3 2
A) 36
B) 4
C) 16
D) 25
E) 9
63. Si el sistema: (a-b-c)x+2ay+2az=0 2bx+(b-c-a)y+2bz=0 2cx+2cy+(c-a-b)z=0 Tiene soluciones no triviales entonces el valor de W=a+b+c es: A)1 B)0 C)2 D) -2 E)3 resolver
el
sistema
de
ecuaciones:
3 2 y 1 x 1 0 el valor de “x“x-y” es: 2 3 0 x 7 2 y 3
D) 272
E) 136
que:
1
resolver
64. Al
57. Halle el determinante: 1
b
2
E) 12
b
c
58. Si se sabe
1
A) 5 B) 7
a
A) 0
x
1
55. De la matriz: A
A) 4
1
valor de “x+y” es:
62. Al
A) 0
1
1
, el valor de la traza de P(A;B) es:
2
D) a+b
61. Al resolver el sistema
a
b
2
x
5
B) 3
2
2ab
60. El valor de “x” que cumple con la ecuación:
D) 36
2
A) 2
b
obtiene: A) a2+b2 B) a3+b3 C) ab+1
E) 12
54. Sea P(x;y) = 2x + y + 1; tal que A
3 y B 3
2
2ab
x 1 2 y z 53. Sean las matrices: A 3 2 y 4 z 6 1 22 y B .Si A = B, entonces el valor de "x+2y+z", 7 6 es: A) 28
59. Al resolver la expresión: E
a
w
xyzw xyz w, donde: xyzw xyz w 0
2 1 w 1
1
Entonces el valor de x y z A) 4 B) 3 C) 5 D) 2
1
w 1 es: E) 1
A) 1
B) 2
C) 0
D) 3
E) 4
y 3 x a 65. Al resolver sistema de ecuaciones: x 3 z 2a , el 3 y z a valor de “x” es: A)
7a 13
B)
a
13
C)
7 13
D) 7a
E) 13
66. Si “A” es una matriz que cumple:
1
0
A I 0 1 2
y
A) 2
B) 1
4 3 2
A I 3 2
entonces la traza de “A” es:
C) 4
D) 5
E) 6
67. Si “A” es una matriz de orden 4 definida por: 5, i j entonces el determinante de “A” es: aij 3 , i j A) 5 B) 3 C) 15 D) -15 E) -24
1 68. Si la matriz A 2
3
, se puede expresar como la
4
69. Si la matriz “A” esta definida por:
A A
2
A
3
A
4
...
A
200
0 1
A
1
y
0
entonces
la
traza de la matriz “B” es: A) 2000
B) 200
1 0 . Si: An = xA + yI; n N , 1 1 I: Identidad, entonces el valor de M= (x+y)3 es: A) 1 B) 2 C) 6 D) 4 E) 16
A
C) 100
D) 1000
E) 1
n 4n 36 x y 3 2 nn 2 70. Dado el sistema , los 2n 8n 12 x y nn 2
33
74. Dadas las matrices A y B que cumplen: 2 5 , A 2 B 0 3 5 5
2 A B
suma de una matriz simétrica “B” y otra anti simétrica “C”, entonces la suma de los cuadrados de los elementos de la matriz “C” es: A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 2/9 E) 2/25
B
73. Dada la matriz:
es: A) 4
11 . El valor de A 4
B) -4
C) 3
B
D) -2
E) 0
2 1 b 75. En la matriz A c 3 2 se cumple: el valor de la 1 1 a traza de A es 7; el producto de los elementos de su diagonal secundaria es -3, además su determinante es 10. El valor de: a
b
c
c
c
a
b
a
a
, es:
2
2
valores de “n” de modo que “x” e “y” tomen valores positivos, es: A) 4;0 B) 4;1 C) 2;
D)
6;4
A) 4
C
a 1
b
4 B c d
,
d
a b 3
. Si: 3A-B=C, el valor de: P 2d
6
es: A) 1 D) 4
B) 2 E) 6
4!
a.b.c.d
C) 3
72.Dadas las matrices: 2 1 1 , 0 M 3 4
N
1 0
1 y el polinomio P(X)= X16-2X10 1
1 2 5 . Si: C=MN, 0 2 4
D=NT.MT, entonces la suma de elementos de “C“C-D” es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
D) 0
E) 3
1 0 y E= A+A2+A3+…..+An, 1 1 n єIN, n≥3, la suma de elementos de la matriz E, es:
78.Sea: ,
E) 3
A
la traza de la matriz P(B), es: A) 2 B) -2 C) 1
,
D) -4
77. Dada la matriz: B
a A c
C) -2
1 1 , 2 0 , entonces el B 1 1 0 1 elemento x11 de la matriz X de orden 2, es: A)46 B) -46 C) 48 D) -48 E) 50 76.Si: A50X=B,
E) 0;2
. 71. 71. Dadas las matrices:
B) 2
A
t
A) 2n D) n(n+5)/2 79. Sean las matrices: a 1 2 A a 1 2 b c 1
B) 4n C) n(n+1)/2 E) 2n(n+1)
1 x y , B x 1 z c 1 y z 1 2 talque, (A – (A – B) B) es una matriz identidad y (A + B) es una matriz escalar, entonces el valor de a5+ b5c5, es: A) 2 B) -2 C) -1 D) 1 E) 3 b
CEPU 2018 - I | UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA
34
OBJETIVOS 1. Distingue el dominio y rango de una relación. Representa gráficamente una relación. 2. Establece las propiedades de una relación. 3. Distingue una relación de equivalencia y orden. 4. Define función, distinguir dominio, rango y grafica funciones. 5. Distingue una función real de variable real, así como las funciones especiales, tales como: funciones constantes, función identidad, función lineal, función valor absoluto, función cuadrática, función signo y función máximo entero. 6. Define y grafica: función inyectiva, función sobreyectiva, función biyectiva y función inversa. 7. Efectúa operaciones con funciones. Realiza operaciones con composición de funciones.
Definición (Relación binaria) Dados dos conjuntos A y B llamados conjunto de partida y partida y conjunto de llegada respectivamente, llegada respectivamente, se denomina relación binaria de de A en B , a todo subconjunto R del producto cartesiano A x B ; es decir : R es una relación de A en B R A x B , y se denota por R : A B
Observaciones: 1. Si A y B son dos conjuntos y P(x , y) una proposición abierta , con x A, y B, y (a , b) A x B , tal que P(a , b) es verdadera, entonces R = = (A, B, P(x ; y))se denomina relación entre A y B , siendo R el conjunto : R = {(a;b) AxB/ P(a;b) es verdadera}. Si R = = (A, A, P(x ; y)) se dice que P(x , y) define una relación en A, o que R es es una relación en A. Si A = B , se dice que R es una relación en A y se escribe R : A A ó R A x A. Sea: R =(A, B, P(x,y)) una relación, el conjunto de elementos (a ; b) AxB para los cuales P(a ; b) es verdadera, se denomina conjunto de soluciones deR deR . Simbólicamente: R = = {(a;b) AxB/ P(a;b) es verdadera}. El conjunto solución de la relación R entre A y B es un subconjunto de AxB por esta razón la solución de R puede representarse en el diagrama de coordenadas cartesianas AxB
2.
5.1. RELACIONES
3.
Par Ordenado
Un par ordenado es un conjunto de dos elementos considerados en un determinado orden, si los elementos del par ordenado son a y b, al conjunto se le denota por ( a ; b ) , donde a es la primera componente y b es la segunda componente, y se define de la manera siguiente:
4.
5.
(a ; b) = {{a} ; {a,b}} Teorema:
Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus primeras componentes son iguales entre sí, así como sus segundas componentes. Esto es: (a , b) = (c , d) a = c b = d Su negación:(a , b) (c , d) a c b d
Producto cartesiano Dados dos conjuntos no vacíos A y B, el producto cartesiano de A por B (en ese orden) se denota por AxB y se define de la manera siguiente AxB = { (a , b) / a A b B } Es decir:(a;b) AxB a A b B; siendo : A: Conjunto de partida, y B : Conjunto de llegada
Propiedades: 1. En general el producto cartesiano no es conmutativo: A x B B x A 2. El número de elementos de A x B es igual al número de elementos de B x A y se obtiene por: n( Ax AxB ) n(BxA ) n( A ).n(B)
Representación gráfica de una relación binaria La representación gráfica de una relación R entre entre A y B está formado por todos los puntos del diagrama diag rama de coordenadas de AxB correspondiente a los pares ordenados que pertenecen al conjunto R .
Ejemplo: Dados los conjuntos A={3;4;5} A={3;4;5} y B= {1;2} luego : A B {(3,1), (3,2), ( 4,1), ( 4,2), (5,1), (5,2)} y son relaciones de A en B : 4;2 , 5;2 3;2 , 4;2 R 3;1 , 5;1 5;1 R3 x; y AxB / x y 6 4; 2 , 5;1 2 R4 x; y AxB / x y 4; 2 R1
2
Todas éstas son relaciones entre A y B, por ser subconjuntos de AxB, y se pueden escribir por extensión y por comprensión. Mostrando sus gráficas:
Ejemplo: 1 Si A = { 2;4 } y B = { 3; 5; 6 }, luego : n(A)=2 y n(B)=3 entonces, n(AxB)= (2)(3) = 6 elementos, siendo A x B = {(2;3),(2;5),(2;6),(4;3),(4;5),(4;6)} , y B x A = {(3;2),(3;4),(5;2),(5;4),(6;2),(6;4)} Por tanto : A x B
R2
R1 B
A 3 4 5
A
B
1
3
2
4
1
2
5
B x A
Diagrama sagital
Tabla de doble entrada
En R 2 vemos que (3,1) R2 pero (1,3) R2 Enton ntonce cess R 2 no es simé simétr triica en A B
es es transitiva en A
R
x,y,z A :( x; y )R ( y; z )R ( x; z )R
R3
2
Ejemplo: 5
1 4
3
A
5
Diagrama cartesiano
Si n(AxB) = p entonces existen
2
p
es una relación entre A y B, llamada
Si R =AxB , entonces A x B es una relación entre A y B, llamada relación total. Dominio (Relación). Sea R : A B , entonces Dom(R Dom(R ) = {x A / y B, (x;y) R }
R : A
B
, entonces,
Ejemplo: 2 El dominio y Rango de la relación R relación R de A en B, si A ={2;3;7} y B = {5;6;4} y R {( x, y ) A B / x es divisor de y } Como : A B
R
{( 2,5), ( 2,6), (2,4), (3,5), (3,6), (3,4), (7,5), (7,6), (7,4)}
{( 2,4), ( 2,6), (3,6)} .
Luego: Dom (R )
{ 2,3}
y
Ran( R )
R2
{(1,2),( 2,3),(1,3),(3,1),(1,1) }
(2,1) R1
( x; x )
(1,2) R2
(1,3) R2
( 2,1) R1 ( 2,1) R1
(1,1) R1
(2,1) R1
(2,3) R2
(3,1) R2
(1,3) R2
(1,1) R2 (2,3) R2
(3,1) R2 ( 2,1) R2
ento entonc ncees R 2 no es tra transit nsitiv ivaa en en A R es reflexiva en A R de equivalencia en A R es simétrica en A y R es transitivaen A
Ejemplo: 6 Sea el conjunto A ={1,2,3,4} ={1,2,3,4} y la relación R (1;1),(2;1),(1;2),(2;2),(3;3),(4; 4) Se tiene que la relación R es reflexiva, simétrica y transitiva. Entonces R es una relación de equivalencia en A.
Relación Binaria en Diremos que R es una relación binaria en ℝ y escribiremos; R:ℝ ℝ ó R ℝ x ℝ, si R es un
Si R A x A, entonces:
R es Reflexiva en A x A
5.1.1. RELACIONES EN LOS NUMEROS REALES
{4,6}
Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto.
.
ento entonc nces es R1 es tran transi sititiva va en A En R 2 observamos que :
Ran(R) Ran(R) = = {y B / x A, (x;y) R}
{(1,2), ( 2,2), ( 2,1), (1,1) }
( 2,1) R1 (1,2) R1 ( 2,2) R1
relación nula.
Rango (Relación).
( 2,2) R1
relaciones de A en B.
Relaciones Triviales A x B , entonces
R1
Veamos: En R1 observamos que:
Número de elementos de una Relación
35
Sean el conjunto A = {1;2;3;4} y las relaciones en A:
R
2
subconjunto de ℝ .
Ejemplo: 3
2
Simbólicamente: R ( x ; y ) ℝ / x R y ;
Sean A = {1;2;3;4} y las relaciones: R1
2
(1;2),(3;3),(3;4),(4;4),(4;1),(2;2),(1;1)
R ℝ = ℝxℝ
R2 (1;1),(2;2),(3;4),(4;3),(4;4) En
R1
se observa
x A :
( x, x ) R . Es decir:
(1,1) R1
es es simétrica en A x,y A :( x;y )R ( y;x )R Ejemplo: 4
(2,3) R1 (3,2) R1
Ento Entonc nces es R1 es simé simétr tric icaa en en A
Tienen por gráfico una línea recta con pendiente “m” y ordenada ordenada “b”.(Fig “a”)
R
Dado el conjunto A ={1;2;3} y las Relaciones Relaciones en A R1 {(1,2), ( 2,3), ( 2,1), (3,2), (1,1) } y R2 {(1,2),( 2,1),(3,3),(3,1) } . Veamos En vemos que (1,2) R1 ( 2,1) R1 R1
en
1. Gráfica de relaciones de la forma 2 R (x ; y) ℝ / y mx b
; 2 A (2,2) R1 ento entonc nces es R1 es refl reflex exiv ivaa en A 3 A (3,3) R1 ; En R 2 se observa que 3 A sin embargo (3,3) R2 ento entonc nces es R 2 no es refl reflex exiiva en A A.. 1 A
Grafica de relaciones de
2. Gráfica de relaciones de la forma: R ( x ; y) ℝ
2
R ( x ; y) ℝ
2
/ y ax 2
/x
ay
bx c
2
by
ó
c
.
Tienen por gráfica una parábola Completando cuadrados de obtiene: ;
( x h) 2
4 p ( y k ) ó ( y k ) 2
4 p ( x h) con
paralelas al eje Y respectivamente.(Fig”b”) y (Fig”c”). V ( h;k )
vértice y al eje
X
3. Gráfica de relaciones de la forma 2
R ( x ; y) ℝ
/ x
2
2
y
Dx Ey F 0
Tiene por gráfica una circunferencia Si: x 2 y 2 Dx Ey F 0 , completando cuadrados para ( x h) 2
x, y se obtiene: (Fig “d”). “d”).
36
También: x
2
k+b
r 2 de C(h, k) y radio “r”
(h;k) X
k-b
y
( y k ) 2
h-a
2
2
r
h+a
, donde C(0, 0)
4. Gráfica de relaciones de la forma: R
R
( x ; y)
( x ; y)
ℝ
2
ℝ
/ Ax 2
2
/ Bx
By
2
2
Ay
Cx Dy E 0 , A B
2
Fig “g”
Cx Dy E 0 , A B
Tiene por gráfica una elipse Completando cuadrados para x e y se obtiene: 2 ( x h)
a2
2 ( y k )
b2
1ó
( x h) 2 b
2
( y k ) 2 a
2
1 (Fig
5.2. DEFINICIÓN (FUNCIÓN) Se dice que la relación f : A B (relación binaria de A en B) es una función de A en B , sí y solo sí, f verifica : 1. f A x B
“e”)
5. Gráfica de relaciones relaciones de la forma: 2 R ( x ; y) ℝ / Ax 2 By 2 Cx Dy E 0 , A B
2 ( x ; y ) f ( x ; z ) f y z Es decir la función f es una relación relación que hace corresponder a un elemento de A un único elemento de B (dos pares pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente).
R ( x ; y) ℝ
2
/ By
2
Ax
2
Cx Dy E 0 , A B
Tiene por gráfica una hipérbola Completando cuadrados para x e y se obtiene ( x
h) 2
a2
( y
k ) 2
b2
( y
1ó
h) 2
b2
( x
h) 2
a2
f
A
1
(Fig “f”)(Fig “g”)
a
Y
V(h;k)
Y k
4p< 0
k
X
Fig “a”
4p > 0
V(h;k)
h
X
h
Fig “b”
4p< 0 V(h;k) k
C(h;k)
k
Siendo f una función de A en B se cumple: f (a) b f (a) c b c
Observaciones: 1. Si f : A B es una función de A en B, el conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida y el conjunto B el conjunto de llegada. 2. Si ( x ; y ) f , se escribe y f ( x) que se denomina regla de correspondencia de la función y se dice que y es la imagen de x a través de de f. 3. A las primeras componentes de los pares ordenados de la función se les denomina pre-imagen y a las segundas componentes imagen.
DOMINIO (FUNCIÓN): Sea f A B Dom Dom ( f ) D f xA/ ! yB ( x ; y ) f A
X
h
X
Vhk
:
RANGO (FUNCIÓN): Sea f A B Ran ( f ) R f yB/ xA ( x; y ) f B
4p > 0
Fig “c”
.c
r
h h k
B .b
Fig “d”
:
Ejemplo: 1 Dados los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {1,2,3,4,6}. Consideremos las relaciones de A en B definidas por: R1
k+b
k+b k
R2
C(h;k)
h-a
R3
(h;k)
k-b h
h+a X
h-a
h+a
X
{(a,2), ( b,3), (c,6)} {(a,2), (b,3), (c,6), (d ,2)} {(a,2), (b,3), (c,6), (a,3)}
Al analizar si las relaciones dadas son funciones o no, resulta:
k-b
R1
Fig “e”
Fig “f”
{(a,2), ( b,3), (c,6)}
Dom(R1) = {a, b, c}
Ran (R1) = {2, 3, 6}
Como para cada elemento x del Dominio existe un único elemento y de B, entonces la relación R1 es una función. Lo mismo para la relación R2. Sin embargo en la relación R3 observamos que existen dos pares ordenados (a,2) y (a,3) que tienen la misma primera componente. Luego la relación R3 no es una función.
Ejemplo: 2
Dados los conjuntos A = {5 ;7 ; 9} y B ={11 ; 15 ; 17 ; 19} y f : A B una función definida por f ( x) 2 x 1 , luego :
3. Función Constante.Es aquella función cuya regla de correspondencia es f(x) = c, c ℝ. Se obtiene cuando n = 0 , a 0 y a c n
Donde:
R
f
{ c }.
4. Función Lineal.-
n
B
f
m y a
0
Donde.
.11 .15 .17 .19
.7 .9 .
ℝ y
Su gráfica es la recta horizontal y = c, como se muestra en 37 la fig (b).
a
.5
f
0
Es aquella función, cuya regla de correspondencia es f (x) = mx + b ; m 0 . Se obtiene cuando n=1 ,
f = {(5 ;11), (7 ; 15), (9 ; 19)} A
D
D
f
b
y
R
f
. Su Gráfica es una línea
recta con pendiente “m” y ordenada “b”, como se
muestra en la fig(c). Y
Y
APLICACIÓN Una función f se llama aplicación de A en B, si y solo si, Dom ( f ) A
X f
A
B R(f)
D(f)
Fig(a)
Fig(b)
Es decir: Y
Una relación f A x B es una aplicación de A en B f ( x) x A , ! y B tal que y
5.3. FUNCIONES REALES
X
La función f : A B , donde A es un conjunto cualquiera y Bℝ, se llama función real.
Fig(c)
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
La función f : A B , donde A, B función real de variable real.
ℝ, se denomina
5. Función Cuadrática.Es aquella función, cuya regla de correspondencia es: f ( x) ax
FUNCIONES ESPECIALES
1.Función 1. Función Polinómica .Es aquella función definida por la regla de correspondencia: n
f ( x ) a x n
Donde a
i
a
n 1
x
n 1
ℝ, x ℝ y
n2
a
x
n2
n
a
0
2
bx c
; a 0 Su gráfica es una parábola.
Completando cuadrados de obtiene: (x – (x – h) h)2 = 4p(y – 4p(y – k) con vértice V(h, k ) paralelas al eje Y y al eje X respectivamente.
.
Y
Y
ℤ
2. Función Identidad.Es aquella función definida por la regla de correspondencia. f(x) = x, x ℝ, se obtiene cuando n = 1 , an=1 y a0 = 0 Donde: D ℝ y R ℝ f
f
También se le denota por la letra I, así : I (x) = x. Su gráfica es la recta y = x, que pasa por el origen de coordenadas como se muestra en la fig (a):
h X V(h;k)
k
V(h;0)
X
9. Función máximo entero.-
Y
f x
Una función f: ℝℤ , tal que
k V(h;k)
máximo entero, donde: D
h
ℝ y
R
f
se llama función
ℤ .
Si n ≤ x < n+1, n+1, n ℤ
V(h;0)
38
f
x
X
X
10. Función signo.Una función f : ℝ 1,0,1 tal que:
1 , x 0 0 , x 0 se llama función signo 1 , x 0
f ( x ) Sgn( x ) D
f
ℝ; R
f
k;
;si a > 0 o R
f
;k
; si a < 0
D
f
ℝ y
R
f
{-1 , 0, 1}
6. Función Cúbica: Es aquella función cuya regla de correspondencia es f ( x) ax3 bx 2 cx d ; a 0 se obtiene cuando n = 3, a
n
D
f
a, a
n 1
b, a
n 2
ℝ y
R
c y a
0
f
d
.
Y
En cualquier caso:
ℝ
X
Gráfica de caso particular: f ( x) (ver fig “d”)
x
X
3
7. Función Raiz Cuadrada.Es aquella función con regla de correspondencia es : f ( x) x ; x 0 .Así: D 0 ; y R 0 ; f
f
fig “f”
fig “g”
CLASES DE FUNCIONES
( ver fig “e” )
Sea f : A B una función con A
D
Y
f
Función Inyectiva.-
f : A B es inyectiva x x
X
1
x x
1
2 2
A : x A :
1
x
2
1
2
2
1
x
2
Función Suryectiva.
R f
B
f ( x) y
y B , x A /
(fig “e”)
1
f ( x ) f ( x ) x
f : A B es suryectiva (fig “d”)
f ( x ) f ( x )
Función Biyectiva.-
f : A B es biyectiva
8. Función Valor Absoluto
Es aquella función con regla de correspondencia f ( x) x -, xℝ. Así D ℝ y R f 0 ;
f
x , x 0 Por definición de valor absoluto: x x , x 0 Así la gráfica de la función valor absoluto es la recta y = – = – x si x<0 y la recta recta y=x , si x 0 .
f es inyectiva f es suryectiva
Ejemplo: 3 Sea: f : ℝ ℝ una función definida por f ( x)
2 x 1 x 2
veamos si f es biyectiva: ℝ - { - 2 } D f
Sean x , y ℝ - { - 1 }, veamos si se cumple : f ( x) f ( y) x y
Y
2x
Partiendo de :
X
(2 x
2xy
1) ( y 4x
x
1
2
2) ( x
y
2y
y
1
2
2) ( 2y
2 2xy
x
1) 4y
2
Por tanto f es Inyectiva Determinando R : f
Partiendo de
y
2 x 1 x
xy
2y
2x
2
1 2y
1 2x
xy
5x
5y
x
y
,
2y
1 x (2 y)
x
2 y
1
R
2 y
f
ℝ - { 2 }
Además: Df.g = Df Dg = {1;3;4} f.g = {(1;f(1) . g(1), (3;f(3) . g(3),(4;f(4) . g(4)} ={(1; 6),(3; 0),(4;-15)}
Redefiniendo f: ℝ - { 2 } ℝ - { 2 }, f es Suryectiva y por tanto f es Biyectiva
ÁLGEBRA DE FUNCIONES 1.Igualdad 1. Igualdad de Funciones.-
1) f 2 = f .f
f . f . f . f f ; n ℤ n factores
D
y g(x) = ( x 1)( x 4) entonces analice a nalice f = g Df = [1,+>[4,+ > = [4,+ > Dg =<-,1] [4,+> como los dominios no son iguales, entonces f g.
n f
D
f
D
f
D
f
Luego el dominio de cualquier potencia entera positiva de f tiene el mismo dominio que la función f.
Si f(x) =
División de Funciones.Si f y g son funciones con dominios Df y Dg entonces se f
define la nueva función cociente como: g
f f ( x) ( x ; y ) / y ( x) x D f D g g ( x) 0 g g ( x) g
f
2. Adición de Funciones. Si f y g son dos funciones funciones con dominios; dominios; Df y y Dg, entonces se define la nueva nueva función función suma “f + g” como: ( x ; y ) / y ( f g ) ( x) f ( x) g ( x) x D f
Ejemplo: 7
Dg
cuya regla de correspondencia es: (f + g)(x) = f(x) +g(x) con: Df+g = Df Dg
Si f={(1;4),(2;5),(3;6),(4;-6),(5;5)} y g = {(0;-3),(1;0),(2;0),(3; -8),(4;1)}. entonces halle f/g
Ejemplo: 5
Como: Df = = {1;2;3;4;5} y Dg = {0;1;2;3;4}
Si f ={(2;6),(1;4),(3;2),(5;7)} y g={(0;-1),(1;2),(2;2),(3;- 5),(4;3)}. entonces halle f + g Tenemos: Df = {2;1;3;5} y Dg = {0;1;2;3;4} Df+g = Df Dg = {1;2;3} Luego: x Df+g = {1;2;3} [1;f(1) + g(1)] = (1;4+2) = (1;6) f + g [2;f(2) + g(2)] = (2;6+2) = (2;8) f + g [3;f(3) + g(3)] = (3;2-5) = (3;-3) f + g Por tanto f + g = {(1;6),(2;8),(3;-3)}
Además: x Dg / g x 0 = {1;2} {1;2;3;4} – {1;2;3;4} – {1;2} {1;2} = {3;4} 6 - 6 f (3) f(4) 3, , 4, , 4, 3, 8 1 g g (3) g(4)
f
=
Si f y g son dos funciones con dominios Df y Dg, entonces se definen las nuevas funciones diferencia “f – g” y producto “f g” , como : f g ( x ; y) / y ( f g ) ( x) f ( x) g ( x) x D f
Composición De Funciones
g
es:
x D f D g
cuyas reglas de correspondencia son: (f – (f – g) g) (x) = f(x) – f(x) – g(x) (f . g)(x) = f(x) .g(x) con: D(f – D(f – g) g) = Df Dg D(f . g) = Df Dg
Dg
f
( f º g ) ( x )
D f g
Rpta.
La composición de f con g, denotada por f º g ( se lee f compuesta con g), es la función de los elementos x D , tales que g(x) D , cuya regla de correspondencia
3. Sustracción y multiplicación de funciones.-
f . g ( x ; y) / y ( f . g ) ( x) f ( x) . g ( x)
f
39
Ejemplo: 4
n
2)
Dos funciones f y g son iguales si se cumple que: f(x) = g(x) ; xDf = = Dg
f g
OBSERVACIONES
= f(g(x))
y cuyo dominio es:
( x D g / g ( x) D f
x D g
g ( x) D f
Gráficamente: Sean los conjuntos A, A, B y C y las funciones f y g, tal que: g : AB y f : BC entonces f º g : AC Es decir: D
f º g
D
g
A y R
f º g
R
f
B
Ejemplo: 6 g
Si f = {(1;-3),(3;-2),(4;5),(5;1)} y g = {(1;-2),(3;0),(2;0),(4;-3)}. Entonces halle f – g – g y f . g Tenemos: Df ={1;3;4;5}D ={1;3;4;5}Dg={1;3;2;4}Df-g=Df Dg={1;3;4} –g={(1;f(1) f –g={(1;f(1) –g(1),(3;f(3) –g(1),(3;f(3) – – g(3),(4;f(4) g(3),(4;f(4) – – g(4)} g(4)} ={(1;-3+2),(3;-2-0),(4;5+3)}={(1;-1),(3;-2),(4;8)}
x
f
g(x)
f ° ° g
(g(x)) y =f (g(x))
Ejemplo: 8
FUNCION EXPONENCIAL
La función exponencial de base ”a” se define por: Si f = {(1;2),(2;3),(3;4),(4;5)} y entonces halle f og. 40
Dg = {0;1;2;3} Df = {1;2;3;4}
g = {(0;1),(1;1),(2;4),(3;9)}.
f ( x )
a
x
, a ℝ - {1} ;
Características de f ( x) cuando a 1;
Rg = {1;4;9} Rf = = {2;3;4;5}
a) Si x = 0 Dg g(0) = 1 Df º ( f º g ) (0) = f (g(0)) = f(1) = 2 (0,2) f g
a
D
f
x
Y
D
f
R
b) Si x = 1 Dg g(1) = 1 Df ( f º g ) (1) = f (g(1)) = f(1) = 2
ℝ
f
ℝ 0;
Interceptos con los ejes :
(1,2) f º g
( 0 ; 1) X
c) Si x = 2 Dg g(2) = 4 Df ( f º g ) (2) = f (g(2)) = f(4) = 5
Es Inyectiva Es estrictamente creciente
(2,5) f º g Si
d) Si x = 3 Dg g(3) = 9 Df º (3,9) f g Luego: f º g = {(0;2),(1;2),(2;5)}
x1
Características de f ( x ) f ( x) a
a
x 2
x
x x1 , x 2 D f a 1
,
cuando a
a
x2
0 ;1
x
Y
FUNCION INVERSA
Definición.-
D
X
Sean A y B conjuntos no vacíos y f : A B una función
R
inyectiva tal que y f ( x) . Se define la función inversa de f, denotada por
f *, como la función
x D f , y D
f
:
: f ( y) x
1. f f ( y ) f f ( y ) f ( x ) y , y B
2. f f ( x ) f f ( x ) f ( y ) x , x A
Si
1
x
x
:
1
1
1
1
x
1
1
1 x
x
2
1
x
x
2
1
x
Por tanto : f * ( x)
y
2
1
1 1 x
{-1 ; 1}
x2
x
y
Y
a
2
Por tanto f es Inyectiva, 2. Hallando f * De y 1
x x1 , x 2 D f a 1
estará entre las gráfica de f ( x) 3
1
1
,
f ( x)
e
x
Siendo
“e” un valor comprendido entre 2 y 3, la gráfica def ( x)
x
1
x 2
La gráfica de la función exponencial natural
1. Veamos si f es inyectiva: Partiendo de
x1
Muchos problemas que surgen en la naturaleza necesitan de una función exponencial cuya base es un número irracional simbolizado por “e”, el cual tiene un valor aproximado de e = 2.71828182845
1
1 Con: D f x ℝ / 1 0 ; 0 1;
0;
Observación:
Ejemplo: 9 f ( x)
Es Inyectiva Es estrictamente decreciente
Observaciones:
Sea la función f definida por
ℝ
( 0 ;1 )
f
f
Interceptos con los ejes:
tal que
B A
f
2
1
x
x
; y
1
D
f *
1 y
2
x
1 1 y
2
x ℝ / x 2 1= ℝ
01
X
f ( x)
2
x
e
x
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
e
2 x
2
e
Definición:
x
Sea a 0 , a 1 , se llama función logarítmica de base “a” denotada por y f ( x ) log x , x 0 , a la inversa de la
x
x x
función exponencial de base “a”
0
a
Es decir: y log
a
x
xa
x
a
Ran( log x ) a
Ran( a )
Dom( a )
Características de f ( x )
ℝ
ℝ
log x a
x
(
0
1) 0
x 1
41
Luego el Domf Domf
x
x
y
Por lo tanto: Dom( log x )
2
x
0;
;
, cuando a
0;1
Ejemplo 11 Halle el dominio de la función. x 5 f ( x ) log( ) 10 x
0 ;1
ResoluciónPara que la función f este bien definida D
f
R
f
0;
ℝ
Interceptos con los ejes: ( 1; 0 )
Es estrictamente decreciente Es Inyectiva 1
x 1
x
loga
x
5
10 x
0
10 0,
x 5
x
x
(
x
5 0 x 10 0) ( x 5 0 x 10 0
(
5 x 10) ( x 5 x 10 x ( x 5 x 10) x
loga x 1 loga x 2
Características de f ( x) loga x cuando
a 1;
5;10
Domf Ejemplo 12
5;10
Halle el dominio de la función.
f ( x)
5 x
1
125
Ejemplo 13 Halle el dominio de la función. f ( x ) D
f
R
0;
f
ℝ
Interceptos con los ejes:
( 1; 0 )
Es estrictamente creciente Es Inyectiva x 1 x
1
log a
log a
0 x 1 x 2
x0 x
0
loga x 1 loga
x 2
Ejemplo 10 Halle el dominio de la función.
f ( x)
x
e
x2
e ,e
2.7182818...
Resolución x
f ( x) R e
e
10
x 5 x 10 0, x 10
x
0
loga x 0
0 x 1 x 2
x
x
2
0
log(x 2
9)
Preguntas Propuestas N°5 2 2 2 1. ,Si R ( x, y ) IR / x y 9 x 2y 3 , es una relación entonces Ran(R) Dom(R) es el intervalo:
42
A) 3; D)
5 12
12
B) 2 ; 9
5
; 9
12
E)
2. Dado el conjunto M
2
C) 3;
12
2
4, entonces el número D) 13
3. Sea el conjunto N x Z / x
2 , se
define la relación
4. Sea la relación R, definida por: R={(x ; y)∊ℕ x ℕ / (xy) es par}, par}, entonces R, es: A)reflexiva B) Simétrica C) Reflexiva y simétrica D) transitiva E) de orden 5. Sea la 2 2 S ( x ; y) IR / y x ; y
relación: x , entonces el
rango de “ S “, es: C) 1; 0
6. Dado la relación R
D) 0 ; 2 E)
( x ; y) IR
2
/ x
entonces el área de la región “R”, es: A) 32 B) 30 C) 25 D) 40 7. Dada
R ( x ; y ) IR / x
2
y
y
B)
3
R2
8x
C) 1; 2
2
( x ; y ) IR / x
2
y
2
( x ; y) IR / x 2
(a2+b2), es: A) 3 B) 0
2
3
D)
1
1
C) 4
A) 25
R2
11. Si
R3
/ x
2
7 0 y
D) 5
1
u
2
B)
2 u
2
y
R
2
C) 1.5
2
u
3
y
el rango de
E) 7 las
relaciones:
y
16
2
R ) , es: 3
2
D) 5 u E)
u
2
C) – C) – 15 ℝ
( x ; y) IR
2
c ,
d
entonces
D) – D) – 25
se
/ y
A) [0 ; 2] B) 2 ;
define
x
2
y
E) 15
la
4 x x
relación 2
C) 0 ;
D) 0;2
E){0; 2}
en ℝ se define la relación 2 2 R {( x ; y ) IR / y x 9 y x 3} tal que Dom(R) =[a ; b] y Ran(R) =[c ; d] entonces el valor de “a + b + c + d” es:
12. Si
A) – A) – 3 B) 1 C) – C) – 2 D) 2 13. Si en ℝ se definen las 2 R ( x; y ) IR / y x
S ( x; y ) IR
2
2
/ x 2x y
2
E) 3 relaciones: y
0 entonces el área
D)
2
2
2
14. Si
en
2
ℝ
se 2
1
E)
2
4
definen
2
2
S ( x ; y) IR / x
A) 9π
E)∅
/ y x , entonces el área de la
región limitada por ( R A) 3
2
3
en
B)
9
2
1
4
las
relaciones:
9
4
C) 3 π
15. Dadas
y ,
y
entonces
D)
9
el
área
E) 6 π
2
las
(2 ; 6) , (3; b) , (3; a b) , (d ; a) g (4 ; d 1) , (4 ; 6) , ( ; b) . El
f
funciones: y valor
de
f (2) f (d 2) f (d) g() , es:
A) 2
2
;
determinada por R S , es:
, entonces el valor de
en se definen ℝ ( x ; y ) IR 2 / x 2 y 2 4
( x ; y ) IR ( x ; y ) IR
9
2
la forma: a ; b
R ) tiene
B) 35
B) 4
C) 6 2
D) 8
E) 10
16. Si f ( x ; 3) , (2 ; x ) , (1; 4) , (2 ;1) es una función, entonces el valor de “x”,es: A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4
9. Si R1
1
y
x
R ( x; y ) IR / x y
4y 11 0 ,
4 x 4 y
y 2
R ) (R
E) 16
8. Si el área de la región determinada por (R1∩ R2) tiene como valor (aπ+b)u2 tal que: R1
( x ; y ) IR 2 / y
relaciones: ;
4 ,
entonces el Dom(R) ∩ Ran( R), es: A) 1; 5
/ x 2
relación 2
(R
determinada por R S , es: A) 1 B) 1 C)
1;1
la 2
2
las
entonces el dominio de R , es:
2
B) 0 ;1
R3
R1
E) 14
, entonces se S ( x ; y ) N / 6 2 x 3 y afirmaque la relación S es: A) Simétrica B) Transitiva C) Simétrica y reflexiva D) Reflexiva E) Simétrica y transitiva
A) 1; 2
R2
( x ; y ) IR
definen 2 x
el valor de “a +b +c +d”, es:
1; 0; 1; 2; 3; 4 , se define la relación
2
en se ℝ 2 ( x ; y) IR / y
2
;3
5
S ( x ; y ) M / x y de elementos de S, es: A) 10 B) 11 C) 12
5
10. Si R1
(3; 2a 3b) , (1; 5) , (a b ; 3) , (6;7), (3;4) , (2 ; 2a b) , (2;4)
17. Si
f
Domf ) n(Ran f ) , es: es una función, entonces n(Dom A) 9 B) 10 C) 8 D) 7 E) 6
18. Si
f
representa
a
función tal que: 2 f (1; 5),(m; 6),(3;m ),(3 ; 2m 3) , entonces el rango de “f” , es: A){1; 3; 6} B){1; 2; 6} C){1; 5; 6} D){1; 5; 7} E){1; 5; 8}
19. Dadas
f g
una
las
funciones:
(1; 4) , ( 1; 0) , (6;2) , (8; 2) y ( 1; 2) , ( 6;5) , (1;8) , (4 ;9) , ( 5;8) , la suma
de los elementos del Ran ( f A) 20 B) 21 C) 22
g ) , es: D) 23
20. Si “f” y “g” son dos funciones f (1; 2) , (2 ; 3) , (3;4) , (4 ;5) g
(g
definidas
por : y
C) {1;2}
D) {5;9}
E) {4;9}
(2 ; 4) , (3; 5) , (6 ; 5) y (2 ; 5) , (4 ; 6) , (5; 8) . . La suma de los elementos
21. Dadas las funciones: f del dominio de ( g A) 11 B) 12
f ) , es: C) 14
G(5) G( 1)
A) 1
D) 16
E) 8
G( 4) 3
8 , entonces G(x), es:
B) 2
C) -2
D) 3
E) 4
24. Si f:ℤ→ℤ definida por f ( x 3) x f (a 2) f (2) a2
B) a
,
2
1 determinar el valor
, a 2 , es:
C) 0
D) 2
E) 1
1 x 2
A) 2 ; 5 B) 2 ; 5
h( x )
x x
2 2
x 1
x 1
, el rango de “h”, es:
A) ; 3 1 B) ; 3 3 3 1 1 3
1
C)
1 3
; 3 1
E) 1 ;3 3
; 3
30. Dada la función “ h “cuya regla de correspondencia es , al determinar el conjunto h( x) 2 x x
1 A) ; 1 B) 3 ;1 C) 3 ; 1 3 3
D) 1 ;1 E) 1 ; 3 3 2 2
31. Si f ( x) x 1 2 1 x x 1 entonces el dominio de “f” es: A) {1} B) ∅ C) [-1;1] D) {1;2} E) 1; 32. Sea “f” una función real de variable real, cuya regla de
C) 2 ; 5 D) 2 ; 5
E)
x x
; 5
1
, entonces el
una
función
2
x x
2
,
A)
R es el intervalo: f
B) 0 ;1
0;1
D) 25
E)
2 rango de (f+g) es:
definida
0; 3
37
B) 5;11 C) 37 ;11 D) 4
T
a 2b 2
E) 30
4
;11
37
E)
4
;11
por
, es: B) 18
C) 14
D)12
35. Si “f” es una función definida por : f ( x) 2x entonces el rango de “f”, es: A) 3; B) 13 ; C) ; 3 D) ;13
C) 20
C) 0 ;1 D) 0;
33. Dadas las funciones: 2 2 f ( x; y ) IR / y f ( x ) x x 6 ; 3 x 7 y
A) 19
f ( x ) 10 15 x 2 . Si el Dom(f)=[-a ;b], entonces el
valor de “a+b”, es: A) 10 B) 15
34. Si [a;b] es el rango de la función G ( x ) 3x 4 ; x [ 2; 7] , entonces el valor de
entonces el rango de la función “f”, es: A) ℝB) ∅C) {-2; 2} D){∓2} E) [-2;2] f:ℝ→ℝ
f
A)
, entonces su dominio, es:
26. Sea f:ℝ→ℝ una función definida por f ( x )
27. Sea
E) 2
g ( x; y ) IR / y g( x ) 2x 1 ; 5 x 4 , el
25. Si f es una función real de variable real definida por:
D) 4-1
29. Sea la función “h” real de variable real, definida por 43
D
f ( x ) 5 x
C) 2-1
, es:
x 1 x
f ( x 1) x 2 y (g f )(x 2) 2x x 23. Si entonces el valor de g(0), es: A) -3 B) 3 C) 4 D) 0 E) 1
A) a2
B) 1
correspondencia es f ( x ) 2
de E
3 f (0) 17 f ( f (3))
22. Si G es una función constante con dominio en los reales tal que:
A) 4
f ( f (5)) 4 f (2018)
A x IR / h( x) 0 ; 1se obtiene:
valor de E
D)
(0 ;1) , (1;1) , (2 ; 4) , (3; 9) , entonces el rango de
f ) , es: A) {3; 4} B) ∅
g
E) 25
28. Si f:ℝ→ℝ es una función constante no-nula, entonces el
E) ; 3
E) 16 2
4x 15 ,
36. Si la regla de correspondencia de una función real de variable real está dada por: f ( x)
a b
44
2 2
x
x
2 2
, entonces el
43. Si “f” y “g” son dos dos funciones reales de variables reales definidas
g ( x) 2 x 1
máximo valor de dicha función, es: A) 0 B) 1 C) a.b-1 D) a2.b-2
E) b2.a-2
f es una función definida por: 3 ; 0 x 3 , si x 1; 2 , entonces f ( x ) x 2x 2 ; 3 x 7 el valor de f(2x+1), es: A) x B) 2x C) 3x D) 4x E) 5x
f ( x) x2 3 x ; x 2 ; 7
por:
A) 1 ; 4
;
x 1; 5
1
1
2
2
B) ; 4 C)
2
.Entonces el Dom(f ∘g), es: D) 1 ; 4
; 4
E) 1 ; 4
2
2
37. Si
38. Sea f una función de variable real, definida por ; si x 2 1
f ( x) x
; si 2 x 1 , entonces el valor de
2
x 1 ; si x 1
k
f (3) 2f (0) f ( f (5)), es:
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
44. Si “f” es una función definida por f ( x)
f ( x )
A) D)
9 4
2x 8
"
45.Si
7 4
x 3
f
"
es
2; 5 , entonces el rango de “f”, es:
B)
;4
E)
;4
7 7 ; 4 4 9 4
C)
9 9 ; 4 4
;4
una
f ( x) x 1 x "
Entonces el rango de f
"
función
x
2
2x 12 , el
D) 2 ;
E) 4 ;
f
"
es
por:
x 1 x es:
B) 1;
"
definida
1
A) 0 ;
una
1 2
C) ;
función
definida
por
f ( x) 25 x 2 2 , entonces la intersección del dominio y el rango de la función f , es:
; x
valor mínimo que puede asumir la función es: A) 14 B) -11 C)-13 D) 1 E) -1
46.Si 39. Se la regla de correspondencia de la una función real
y
"
"
A) 5;2 B) 5;5C) 5;2 D) 2;3 E) 3;3 47.El rango de la siguiente función: f ( x) A) 1; 2 ; 3 B) 0 ; 1; 2
8 x
2
4
, es:
C) 2 ; 3 ; 4
D) 0 ;1; 2 ; 3 E) Z 40. Si “f” es una función real de variable real, definida por: 2x 1 ; x 1; 2 . Entonces el rango de “f”, es: f ( x ) 2 x 1 ; x 2 ; 7 A) 1;3
5;50 B) 1; 3 C) 3 ; 5
5 ; 50
Sgn n( la función " f " definida por: f ( x) Sg
5; 50
D) 1; 3 5;50 T) 1; 3
2
41. Sea la función g definida por g( x) 8x 2x 3. El rango de g, es: A) 11; B) ;11 C) ;10 D) 5; E)
1 ; si x 0 48. Si Sgn( x) 0 ; si x 0 , entonces el rango de 1 ; si x 0
; 11
A) 1; 0 ; 5
B) 0 ;1; 4
1; 0 ; 1
E) 1 ; 2 ; 3
D)
49. Si
"
f
"
x 1 x 2
) , es:
C) 1; 4 ; 5
es una función definida por: f ( x)
x x 2
,
entonces el Dom ( f ) , es: "
"
42. Sean las funciones f y g definida por:
A
x 2 x ; x 0 ;10 f ( x) y x x 2 1 ; 5 ; 0 x x ; x 0 ;5 g ( x) 2 ; x 10 ;0 x (( f El valor de M
g)
50.Si
B) 20
"
f
1
)(4) 2 , es: ( f g )(1)
C) 8
"
f ( x) 2 x
D) 16
0;2
B)
; 2
0;
C)
E)
D) 0;
es 2
x
una 2
función
definida
x 6 x 6 x
2
x 6
2
x
2
x 6 x
por:
, entonces el
Dom( f ) Ran( f ) , es: A) 0 ;1
A) 6
; 1
E) 10
B) 0 ; 2
C) 0 ; 3
D) 1; 2 E) 2 ;1
51.Si
f
"
es
"
una
2 x
f ( x)
función
"
2
"
f
por:
; x IR , entonces el valor de
x 1 T Máx( f ) Min( f ) , es: A) -2 B) -1 C) 0 52. Si
definida
D) 1
E) 2
es una función biyectiva definida
f : 5 ; 6 a; b / f ( x) x valor de (a b) , es: A) -13 B) 0
2
por:
58.El complemento del dominio de la relación:
R ( x ; y ) IR 2 / xy 2
D) 5
2
2
R ( x ; y ) IR / x y
área
de
la
"
Si
"
f
es
3
2
f ( x) x x función f x
A) y
1
función 3
x
x
definida 2
2
2 x
B) y
3
5 x
1
1 , entonces la
x
3
3 x
2
C) y
4
x
2
6
54.Sean las funciones: f ( x) 1 x ; x
4 x
x
2
; x
4 ; 0 y
8 ;1 . El dominio de f
g ,
es: A) 2 2 2 ; 0 B) 2 2 3 ;4 C) 2 ;4 D) 2 2 2 ;4 55.Si
"
f
f ( x)
"
es
3 3
"
f ( x)
"
es
1 2
A) f ( x)
B) f ( x)
C) f ( x)
D) f ( x)
E) f ( x) 57.Si
una
1 2
D) 0;1
función
1
E) 0 ; 2
definida
por:
; x 0 , entonces f ( x) indicando su
1 x x
1 x x
1 x x
1 x x x 1 x
3
D)
2
2
2
¿Cuántas son verdaderas? A)1 B)2 C)3
D)4
4 x 2
.El x 2 ( Ran( f ) Dom( g )) , es: g ( x)
A)
B)
" f "
Si
f ( x)
;2
6
1
4
2
es
una
6 x 2 ; x IR y
función
definida
2;2 por: el
Dom( f ) Ran( f ) , es:
64.El
2
2
rango
de
la
función
"
f
"
1 1 ; 4 2
; 1 E)
definida
por:
x 2 ; x 0 ;0 x 2 , es: f ( x ) 1 3 x ; x 2
; x 0 ;1
A) IR B) 0; C) ;1 D) ; 1 E)
; x 0 ;1
65. Si
; x 0 ;1
"
f
"
4
f ( x) siguiente
D) 3
,entonces
; x 0 ;1
C) 2
del
D) 2; E)
3 x
E)5
complemento
; 2 C)
; x 0 ;1
5
E)
A) 0 ; 1 B) 1 ; 3 C) 2 ; 2 2 D)
la
B) 1
2
n D( R)
63.-
f : a ; 8 b; b 2 con f ( x) log 2 x sobreyectiva, entonces el valor de (a+b), es: A) 0
V.
por:
1
x dominio, es:
C) 0;
1 0 y el eje “x”, es:
1
B) 0 ;1
f
definida
por:
R ( x ; y ) A / x y 6 De las siguientes afirmaciones: I. R es reflexiva II. R es simétrica III. R es transitiva IV. n( R ) 6
, entonces el rango de " f " , es:
1
C)
limitada
2 2 61.Dado el conjunto A x Z / 1 x 5 y la relación
x 1
x 1
A) 56.Si
función
B) 2
62.Dadas las funciones: f ( x) 3 x 2
E) 3 2 1;4 una
A) 1
1
E) y=x
g ( x)
por:
, es:
D) y
una
D) 0 ;1 E) 0 ; egión
2
R ( x ; y) IR / y x 53.
45
2 xy 1 0, es:
B) 0 ;1 C) 0 ;1
A) 0 ; 1 60.El
E) 6
2 x 1 0, es:
1 1 1 1 A) 0 ; B) 0; C) 0 ; D) 0 ; E) 0 ; 2 2 2 2 59.El complemento del rango de la relación:
8 x 7 , entonces el
C) 4
E) 4
función , es
x 2
es
una
9
x
función
4 x 2 x
;2
definida
por:
,entonces el Dom ( f ) , es:
A) 2 ; 2 B) 0 ; 2 C) 0 ;2 D) 0;
E)
;0
CEPU 2018 - I | UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA
46
OBJETIVOS
1.
1. Obtiene la idea de límite de una función y reconoce ciertos Teoremas sobre límites. 2. Reconoce formas determinadas y formas indeterminadas. 3. Reconoce y calcular los límites laterales y establece la existencia de límite. 4. Tiene el concepto claro de continuidad. 5. Obtiene la idea de derivada de una función por la regla general y discutir su existencia con las derivadas laterales. 6. Deriva funciones algebraicas mediante reglas especiales. 7. Interpreta geométricamente la derivada.
2.
f ( x) L
x x 0
f
M0
0
n
x x0
f x n Lim f x n L ; n Ζ , n 2 ;
n
Lim Lim
n
x x 0
8
Lim f ( x) , n Z x x0
n
Lim f(x)
7.
L IR
x x 0
Lim Lim b
Lim f x
f x
b x
x0
L
b ; b 0 ; b 1
x x 0
9.
f(x)
Lim
L Lim Lim f(h x 0 ) L ;
Donde h = x – x – x x0
h 0
x x0
6.3. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS 1.
f(x) L
x -1
3.
2
3x - 1 2 Lim x 3 Lim x Lim 1 x -1 x -1 x -1
2
3- 1 - 1 -2
4
Lim
ε
Consideremos el arco de la curva y = f(x), sobre el cual se ubica elYpunto (x0 , L)
Lim 2x
x
6.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL LÍMITE
L+
5
2. x x0
f L x x 0 Lim Lim x ; x x 0 g Lim Lim gx M x x
2- 1 2 0
xx 0
Lim f(x) g(x) Lim Lim f x Lim gx L M x x 0 x x 0 x x 0
L
ε 0, 0 / x D
Lim Lim f x Lim Lim g x L M
xx0
4.
x x 0
g(x)
a; b
Se dice que L es el límite de f(x), cuando “x” se “x” se aproxima (tiende) a “x0” (x x0) y se escribe como: Lim f(x) L . En forma simbólica: Lim Lim f(x)
Lim f(x)
Lim Lim f x
se dice que L es el límite de la función f en un punto “x0” (x0 no necesariamente pertenece al dominio de f), si para cada ε > 0, es posible, hallar un valor positivo δ (delta) que depende de ε (épsilon), tal que: 0 x x0
xx0
xx0
6
Dada una función f definida en el intervalo abierto
k Lim Lim f x k L
Lim Lim k f x xx 0
3.
6.1. DEFINICIÓN
x D f
Lim Lim k k xx 0
20x
1
4
4
Lim Lim 20x x
3x
Lim
2
x 2
x
5x
3
x 2
2
Lim 3x
2
4
1
=
y = f(x)
3 2
3
2
L
4.
2
5 2
x
3
1
x
4
4
1
81
3
3
5x
2
2
2
6
5
Lim Lim
4
2
2
Lim x x 2
2
20 4
4
2
3
Lim x
3
1
x
4
2
5 x 1
x 1
f(x)
Lim x
L-
5x
x0 -
x
x0
x0+
. Li mx
1
4
x 1
2
5
2 1
5
2
25
FORMAS DETERMINADAS DETERMINADAS
X
3
1
Si K IR y K 0, entonces: Como Como el lími límite te de f(x) f(x) cuan cuando do x x0 es el número real L, es decir deci r que para cada ε >0 (tan pequeño como se quiera) debe existir un número δ >0 de tal manera manera que los puntos (x, f(x)), x (x 0 δ, x 0 δ) ; debe de estar en el interior del rectángulo comprendido entre las rectas de ecuaciones:
0 K
K
δ
,L2 : x =x0+ δ , L3 :y :y =L- ε , L4 : y = L +
x x 0
x x 0
entonces se cumple que:
si K
0
;
K
0
Sean f y g dos funciones reales de variable real tal que Lim g(x) M y k IR una Lim Lim f(x) L , Lim una cons consta tant ntee
;
ε
TEOREMA:
0
K
L1 : x = x0 -
K
0 ;
;
0 ;
K
K
(si K 0)
si K
0
K ;
; si 0 K 1 0 ; si K 1
;
0 ; si K 0 ; si K 0
K
FORMAS INDETERMINADAS INDETERMINADAS:
0 ; 0
; 0. ;
00 ;
; 1 ;
0
;
Si en el cálculo del límite aparece alguna de éstas formas lo que se hace es levantar la indeterminación de la siguiente forma.
Si se tiene el límite de un cociente de dos funciones polinómicas f(x) y g(x) y
f ( x)
lim lim
g ( x)
x x0
0 0
II) Limite por la izquierda de x 0 Consideremos una función definida en el intervalo abierto a , x 0 . Se dice que L es el límite lateral de f cuando x tiende hacia “ x ” por la izquierda y se denota por:
. Se procede a
levantar la indeterminación, para lo cual hay que factorizar y simplificar factores de la forma (x – x0 ) tanto en el numerador como en el denominador
0
lim f ( x) lim f ( x) L x x0
NOTA:
n
a
b
n
(a b)(a n1 a n2 b a n3b 2
a
n 4
b
3
b
3
...
b
...
b
n1
)
n
b
n
(a b)(a n1 a n2 b a n3b 2
a
n 4
n1
47
y se define de la siguiente manera: Geométricamente
, n par o impar
a
x x0
x x0
n ℤ
Y
)
n ℤ, n impar
L
Ejemplo: 1 Si
1
f ( x )
2
1 x
1 x
2
entonces halle el valor de
lim lim f x 1
f(x)
x
RESOLUCIÓN
f
1 2 2 x 1 1 x 1 x
1
Lim Lim
1 Lim Lim x1 1 x
0
2
(Indeterminado)
0
Teorema 10.
Lim 1 x 2 2 x1 1 x 2 1 x 2
x 1
Lim x 1 1 x 1 x
= El límite de f existe y es único, cuando x tiendeal tiendeal valor de “ x ”, 0
1
si y sólo si existen los límites laterales y además son iguales
2
lim lim f ( x) L
2. Si en el numerador y/o denominador intervienen radicales, se procede a levantar la indeterminación, lo cual se consigue racionalizando el numerador y denominador
NOTA: a b
a b
n
a
a
n
b
n
b
n
n a
n -1
a
n -1
n
a
n2 n . b
n
a
n 3 n 2 . b ...
n
a
n 2 n . b
n
a
n
b
n 1
n n 1 ... b
n 3 n 2 . b
lim f ( x) L lim f ( x)
x x0
n
X
x0
x
x x0
x x0
Ejemplo: 3 x2 4 Si f x x 2 ; si x 2 6 x ; si x 2
entonces halle el valor de
, si existe
Lim Lim f x x 2
i)
Lim Lim f x x 2
ii)
Lim
Lim f x x 2
Lim Lim 6 x
Lim Lim x
x
x 2
2
4
6 2
x 2 2
x
4
2
x 2x 2 2 x 2
Lim
x
x<2
4
x 2
3. Para facilitar el cálculo de limites indeterminados in determinados de la forma 0 0
y
x 2
es conveniente hacer uso de la regla de L’ Hospital,
, entonces existe
4
Lim Lim f x x 2
Sea I⊂ℝ, se dice que f : I →ℝ / y = f(x) es continua en un punto x I si se , cumple que:
LÍMITES LATERALES I) Limite por la derecha de x 0
0
Consideremos una función f definida en el Intervalo abierto x 0 ; b . Se dice que L es el límite lateral de f cuando x tiende hacia “ x 0 ” por la derecha, lo que se denota por : lim lim f ( x) lim lim f ( x) L y se define de la siguiente
Lim f(x) L o
o
Y
Geométricamente:
f (x) (x) - L
x x 0
f ( x ) f ( x 0 )
0
i) ii) iii)
si 0 x - x
Sea I⊂ℝ, se dice que f : I→ℝ / y = f(x) es continua en un punto x I si se ,cumple que:
x x0
0, () 0 /
0 , 0 / x I
Definición:
x x0
manera:
x 2
6.4. CONTINUIDAD Definición:
x x
lo cual se podrá aplicar cuando se vea el estudio de derivadas de funciones reales de variable real.
x x0
Lim Lim f x Lim Lim f x
Como:
f ( x0 ) existe
lim lim f ( x) x x0
lim lim f ( x)
x x0
, existe ; y
f ( x0 )
6.5. LA DERIVADA DE UNA FUNCION Definición:
f
Sea f : I⊂ℝ →ℝ/ y = f(x) una función, la derivada de la función f denotada por f´, es la función definida por:
fx
f ' ( x)
lim h0
L x0
X X
f ( x h) f ( x) h
, si el límite existe.
Definición:
REGLAS DE DERIVACIÓN ALGEBRAICAS
Si f‘( x ) existe entonces se dice que la función f es una función derivable ∀x∊I⊂ℝ.
48
f ( x) f ( x 0 )
f ' ( x) lim lim
x x 0
x x0
Si f ‘( x ) existe, entonces se dice que f es derivable en el 0
x 0
i) f ( x ) x f ' ( x ) 1 ii) f ( x ) c f ' ( x ) 0 iii) ( c f ( x)) ' c . f ' ( x) iv) f (x) g (x) ' f ' (x) g ' (x)
, si este límite existe.
Definición: punto
v) ( f ( x).g ( x)) ' f ' ( x).g(x) f (x).g ' ( x) '
vi)
1
.
Derivadas laterales Definición:
vii)
Si la función f está definida en x 0 , entonces la derivada por la izquierda de f es x 0 se denota por
viii) f
f ( x) f ( x 0 )
f ' ( x 0 ) lim lim
x x0
, si existe el limite
x x0
ix)
Definición:
f ( x) f ( x 0 )
f ' ( x 0 ) lim lim
x x0
x x 0
x
entonces la derivada por la se denota por x 0
0
g x f g x g x '
'
xi)
xiii)
La función f es derivable en el punto x 0 , si y solo si, las derivadas por la izquierda y por la derecha de x 0 existen y son iguales. Es decir:
'
'
n 1 n f ( x ) n f ( x ) . f ' ( x) ; n Z
'
f ( x ) f ( x) e e . f ' ( x )
f ( x )
'
f ' ( x )
2
xii) ln ( f ( x) ) '
, si existe el limite
Teorema:
xiv)
f ( x )
f ' ( x )
f ( x )
'
f ( x ) f (x) a a . ln a . f ' ( x) ; a 0 ; a 1
f ( x) '
f ( x ) . f ' ( x )
f ( x )
Ejemplo: 4
'
f ( x0 ) f ( x0 )
'
f ( x ) g ( x ) . f ' ( x ) g ' ( x ) . f ( x ) ; g ( x) 0 g ( x) 2 g ( x)
x)
Si la función f está definida en derecha de f en
'
g ' ( x)
; g ( x) 0 2 g ( x ) g (x)
Teorema: Si la función f es derivable en el punto x 0 , entonces f es continua en el punto x0.
x 1 , halle f ´( 2 ) 1 x
Sea la function f ( x) ln Resolución
FUNCIONES
Sean f,g : I⊂ℝ ℝ / y1 = f(x) , y2 = g(x) dos funciones deriva derivabl bles es en en todo todo pun punto to x I y sea sea c ℝ, entonces se cumple las siguientes propiedades.
Definición:
Sea f : I→ℝ / y = f(x) una función función y sea x 0 I un punto, la derivada de la función f es la función denotada por f ’, tal que su valor de la función en el punto x 0 I está dada por:
DE
x 1 x 1
Tenemos: f ( x) ln
INTERPRETACIÓN INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA f (x) Y
Derivando:
LS
1 x 1 f ´( x) x 1 x 1 x 1
LN
f(x)
(x;f(x)) LT
f(x o)
f ´( x)
P
0
xo
En consecuencia: i) La pendiente de la recta secante
x
' x 1 x 1 x 1
x 1
x 12 '
X
1 2 f ´( x) x 1 x 1
es:
2 f ´( x) 2 x 1
ii) La pendiente de la recta tangente L es:
Evaluando en x
m S
tan
f ( x)
L S
f ( x 0 )
x x 0
'
'
2
T
lim mT tan lim
x x0
f ( x) f ( x 0 ) x x 0
f ' ( x)
2
f ´( 2 )
2
2
1
2
Preguntas Propuestas N°6
x
10. Al calcular Lim 1.
Al calcular Lim x 1
A)6
21
x
x
7
x 1
3 x
B) 3
se obtiene:
4 x 3
C) 4
D) 12
x m n x n m 3
2.
Al calcular Lim
2
xm n
A)
3
B)
2m
3n 2m
D)
2n
A) 3
E) 2 11.
se obtiene:
2
n
2
E)
2m
3n
2
B) -3
3.
Al calcular Lim x0
A)1
ab
A)
cd
B)
4.
Al calcular Lim
x
x 4
A) 1/4
x
B) 3/5
2
4
C) 3/4
2 x 6
E) 1
cd
ab
bc
C) abcd D)
49
E)
ad
ad bc
6 3 x 1 3 6 5 x 1 x 1
se
obtiene: B) -5/48 C) -7/48 D) -48/5 E) -7/24
E) 2 3
x
1
2m
se obtiene:
D) -1
se
a x b x d c se obtiene: Al calcular Lim c d x b a x x
A) -9/47
C) -1/2
x
2
D) -2
x1
x
B) 1/2
2 x 6
C) 2
12. Al calcular: Lim
1 x x 2 1
4 x 3
obtiene:
3
2
m
C)
x
2
2
2
13. Al calcular
Lim
A) 1/3
B) 1/27
2
x1
se obtiene: D) 4/3
x
2.3 x 1 se obtiene: x 12
C) 1/9
D) 9
E) 3
E) 5/3 14. Si la ecuación de la recta tangente a la curva
5.
Al calcular
x
Lim
x
x2
A) 49
B) 45
3
8
2
2
C) 46
se obtiene: D) 48
E) 47
Si f ( x )
Lim
x 1 x
2 a
7.
2
B)
1 a
1
C)
2
a
Al calcular Lim x 1
A) n-1
se obtiene:
h
B) n+1
x
n
x
2
1 1
2
D) -
a
2 x2
1 en el punto de abscisa x=1,
B) 13
C) 11
D) 14
E) 15
15. La ecuación de la recta tangente a la curva f ( x) Lnx en el punto de intersección con el eje OX
f (a 2h) f (a )
h 0
A)
entonces al calcular
es de la forma Ax+By+C=0, entonces el valor de “A+B“A+BC” es: A) 5
6.
2
f ( x) x
E) 0
2
es: A) X+y-1=0 B) 2x-y+1=0 C) x-y+2=0 D) x-y-1=0 E) x+y+1=0 16. La ecuación de la recta normal a la curva
f ( x )
2
3 x en el punto cuya abscisa es 3, es:
se obtiene: A) y=2
C) n
D) 1/n
B) x=3
C) x=2
D) y=3
E) y=0
E) 1 17. La ecuación de la recta norma a la curva
8.
Al calcular Lim
x
B) -3/2
3 x 4 2
1
x0
A) 3/2
2
x 1
C) 2/3
f ( x) x
se obtiene:
2
9.
Al calcular Lim x 1
A) 3/7
B) 7/4
x
D) -2/3 E) -2
2 x x
C) 7/3
3 x
1
D) -7/3
2
se obtiene: E) -3/7
4 x 5 , en el punto (-2;7) es:
A) X+58=0 D) x+8y+58=0 18. Si f ( x )
3
de
a
A) 4
1
B) x-8y+58=0 E) x-8y-58=0
x x a
y f ' ( a) a
C) C) x-8y=0
2
entonces el valor
es: B) 1
19. Si f ( x)
1
C) 1/4
1
x 1 x 1
D) -1/4
y
f ' ( x)
E) 0
Ax
x
B
entonces el valor de “A-B“A-B-C.D” C.D” es: A) 1
B) -1
C) 2
D) -2
E) 0
c
D
28. La ecuación de la recta normal a la curva 20. El valor de “a” para que la función
3 3 f ( x ) x x 2, si x 1 sea continua en a 2 x a; si x 1 2
50
1
B) 0
C) 1
D) 2
4 x , paralela a la recta x+8y-8=0, es:
2 x 1
3
4 x 3 1 que
x+2y-11=0, es: A) 2x-y=0 B) 2x-y-4=0 D) x-2y=0 E) x+2y=0
entonces
A) 2
B) 1
C) 3
a
31. Al calcular Lim A) 1/2
x
f ( x)
y
2 4
f ' ( x) entonces
C) 0
D) 2
A) 94
E) -2
24. Dada la función “f” cuya regla de correspondencia es Ax B f ( x) Ln x 2 4 x , si f ' ( x) Cx x D
B) 2
B
D
D) 4
5 x 2 y f ´( x)
entonces el valor de A) 5
B) 49
B) 10
2
E)
a.b c
ax b c 3 x 2
33. Al resolver Lim
A) a+1
x
C) 15
D) 30
E) 25
E) 1/15
2 a
, el valor de
b
2
2
34. Al calcular Lim
x
x
x 1
35. Al resolver Lim x 4
(a 1) x a 3
a
50
2 x 1
2x 1
1 5 x
B) -2/3 C) 2/3 7
1
x
9
1
A) 7/9
B) 1/4
a
3a
3
a 1
E)
3a 2
se obtiene:
D) 2/5
3 5 x
x
, se obtiene:
3
D)
C) 3/5
36. Al calcular Lim
3
37. Si:
C) 2 5 D) -
5
Lim
E) 2 5
diferenciable en todo dominio tal que f ‘(1)=2, entonces el valor de g’(0) es: C) 2
100
E) 64
E) 49/10
, se obtiene:
D) 1/3
E) -1/3
se obtiene:
C) 3/7
D) 8/9
E) 6
4 x 5 entonces el
x 2 1 y “f” es una función 27. Si g ( x) f 1 x
B) 3
D) 8/15
C) 2a
2 x 1 2 2 x 1 1 4 x
x 0
A) -3
, se obtiene:
D) 93
x
B) a
A) -1/2
es:
f ( x) 5. Ln 1 2 x 4 x 2 valor de f ’(0) es: 5
3 x 2
13x 14
x
x a
5 x 2
26. Si “f” es una función cuya regla de correspondencia es
B)
E) 0
x 1
A) 5
C) 81
es:
C) 3
2
2 x 1 3
A) 49/24 B) 1/49
f ( x) 3 x
2
4 x
C
A
25. Si 2
bx c es
D) -1
C) 15/8
Lim
entonces el valor de A) 1
2
“ba” es:
B) -1
x
B) 3/8
32. Al calcular
x 4
un valor de “x” es: A) 1
3
8
81 x
x
x 1
A) 12 B) 16 C) 4 D) 25 E) 9
C) 2x-y+4=0
2
el valor de "b "
23. Si f ( x)
es perpendicular a la recta
tangente a la recta y = x, en el punto (1;1), entonces el valor de (b + c) es:
2 x 9
y f ' ( x)
x 1
3
30. Si la gráfica de la parábola y x
para que la función sea continua en x=1, es: A) -1/3 B) -4 C) -3 D) -1 E) 2/3
ax b
x
A) x-8y-2=0 B) 2x-8y+1=0 C) x+8y-2=0 D) 2x+8y-1=0 E) x-8y+2=0
y
E) 3
2 x 2 m; si x 1 21. Sea f ( x) , el valor de “m” x 1 ; si x 1
22. Si f ( x)
29. La ecuación de la recta tangente a la curva
todo su dominio, es: A) -1
y
D) -2
E) 1
2
A
B
4 x
entonces el valor de “A+B” es: A) 5
B) -4
38. Al resolver Lim x 0
A) 3/2
B) 2/3
C) 3
D) -3
x 1 1 3
x 1 1 C) 4/5
, se obtiene:
D) 3/7
E) 8/3
E) 2
39. Sea la función f definida por:
46. Si la función f definida por:
nx 2 mn, x 0 f ( x) 1 2 2( x n) 2 n, x 0
x 2 A , x 2 f ( x) 3 Ax B , 2 x 1 , es continua en todo 6 x 2 B , x 1
lim f ( x) existe; además
Si
su dominio; entonces el valor de “9A + 9B” es:
x 0
lim f ( x)
f (0) y f(1)=1 , entonces el valor
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
x 0
de “4n“4n-m” es:
47. El valor de
lim lim x 3
A) 2
B) -2
C) -3 3
40. Al 40. Al calcular Lim
2
x 8
x 8
A) 1/8
x
B) 1/3
D) 4
D) 1/4
E) 12
' f ( 2) existe; entonces el valor de “p“p-q” es:
A) -17
B) 17
C) 16
D) 14
E) 15
ax b, x 1 42. Si la función g definida por: g ( x) 2 x , x 1 es derivable en todo su dominio; entonces el valor de “a“a-b”
B) -2
C) 2
D) -3
x
A) 1
es continua en
C) 2006 D) 2000 mx n 44. Sea la función f ( x) . Si 4 x 3
(4 x)
A) 46 45. Si f ( x)
E) 2008
sgn
x
2
1 1 es:
B) 0
C) 4
D) 2
E) 3
ax 2 bx 1 , x 1 f ( x) 2 ax b , 1 x 2 , el valor de “a - b” tal x 1 , x 2 que existen los límites de f(x) en x = 1 y x = 2, es:
A)
6
B)
7
4 7
C)
x
5
A)
19 24
B)
20 3
D)
7
4 x 5
3 5
E)
2 3
3 x 13
x 1
C)
15 2
D)
1 5
E)
, es:
2 3
A) 1
B) -2
C) 2
D) 1
E) 3
52. Si “f” y “g” son dos funciones definidas por: f(x) = 3x2 + 2x y g(x)=x7entonces el valor de (g°f)´(1) , es:
, entonces el valor de “m2+n” es:
A) -28
B) -25
C) 16
D) 25
E) 28
2
B) 44
C) 48
3
3
m nx
B) 9
E) 4/3
49. Sea la función f definida por:
D) 50 '
y f (1)
E) 42
3
3
8
r
53. Si la función “f” está definida por:
, entonces el
Ln( Ax 1), x 1 f ( x) Ax B, x 1
E) 12
es derivable en x=1, entonces el valor de “A.B” es:
valor de de “m+n+r” es: A) 8
2
D) 1/3
3
51. Si f(x+3) = g(x2) y f´(5)=8, entonces el valor de g´(4) es:
B) 2003
2 x
2
2
x 1
todos los reales; entonces el valor de “m+2” es:
, es:
x
C)
13
50. El valor de: Lim
(1 x) 2001 1 , x 0 f ( x) x m, x 0
f ' ( x)
2
x
2
E) 3
43. Si la función f definida por:
A) 2001
13
B)
48. El valor de Lim x
es: A) 4
2
, se obtiene:
px q, x 2 41. Sea la función f definida por: f ( x) 2 2 x 1, 2 x Si
E) 3 A)
C) 1/12
x 1 x
C) 10
D) 13
A) 9
B) 8
C) 4
D) 1
E) 16
51
x
3
a
54. Si: Lim
3
x
2
a
63. Si f es la función definida por
2
16
x a
x a
, entonces
la suma de los valores de “a” es: 52
A) 2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2/3
x 2 3x 2 ; x 2 x 2 x 6 , el valor del Lim f ( x ) Lim f ( x ) , x2 x 2 4x 4 ; x 2 3 x x 2 8x 12
es:
sgn( x 2)
55. Al resolver: Lim x 2
A) 2
B) 1
x 1
C) -1
x
se obtiene:
2
A) 1/3
B) 2
C) – C) – 2
D) 1/5
E) 1/3
64. Dada la función definida por por
D) -2
E) ½
56. Si la función “f” definida por:
1 ; x 0 es continua en todo su f ( x) e x 1 A, x 0 dominio, entonces el valor de “4A 2”, es:
x 3 3 x 2 ; x 1 , si f ( x) x 3 2 x 2 1 L ; x 1
existe
Lim Lim f ( x ) x
1
el valor de “L” es: A) 0
B) 1/3
C) 5
D) 2
E) 1 2
65. Al derivar la siguiente función: y x
3
se obtiene
x
2
A) 4
B) 16
C) 36
D) 1
E) 1/4
ax b, x 1 57. Si f ( x) es continua en el 3 x b , x 1
una expresión de la forma: y
A( Bx C )
( Dx 3
2
x)
2
entonces el valor de A B C D es: A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 "
"
punto x=1, entonces entonces el valor de “a3-7” es: 66. Al derivar la siguiente función: f ( x ) Ln ( 4 x 1) se A) 12
B) 27
C) 20 3
58. Al calcular Lim
x
D) 81 3
8
x
x 0
E) 57
x
2
4
2
se
obtiene. A)
1
B)
12
1
C)
4
1
D)
2
1 2
E)
1 4
59. Si “f” es una función definida por:
h( x) f x x x valor de h´(1/2), es: A) 1
B) 2
2
y f´(0)=2, entonces el
C) 3 3
60. Al calcular Lim
D) 4
x
2
8
E) -1 4 x 4
x
x 0
se
obtiene. A) 1
1
C)
4
1
D)
2
1 2
E) 1
ax b
12 entonces el menor y f ' (a ) ax b b valor de “ a ” es: A)4 B)8 C)9 D)27 E)16
62. Si f ( x) (ln x) f ' (e ) es:
A) e
2
B) e
1
2
ln(ln x) entonces el valor de
C) e
2
D) e
3
E) e
4
A Bx C
entonces el valor de A B C ; es: A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 2 x 67. Al derivar la siguiente función: f ( x) se ( x 1) 2 "
"
obtiene una expresión de la forma f ( x)
A Bx
(Cx D) E es:
entonces el valor de A B C D E A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 2 68. Al derivar la siguiente función f ( x) Ln x 1 se 2 x 1 "
"
obtiene una expresión de la forma Ax entonces el valor de f ( x) 2 ( Bx C )( Dx 2 E ) es: A B C D E A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 "
B)
61 Si f ( x)
obtiene una expresión de la forma: f ( x )
"
69. La ecuación de la recta tangente tangente a la curva 2 f ( x) x x 1 en el punto de abscisa x = 2 es: A)
y
3 x 11
C)
y
4 x 11
B) D)
y
y
5 x 11
5x
3
E)
y
3x
11
70. La ecuación de la recta tangente a la curva 2 f ( x) x 4 en el punto de abscisa x = 1 es:
A) y 3 x 5 C) y 2 x 5
B) y D)
y
3x 1 x5
E)
y
2 x
5
RESPUESTAS - ALEGBRA RESPUESTAS UNIDAD N° 1
RESPUESTAS UNIDAD N° 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
E
B
B
C
D
C
C
D
C
C
C
A
D
C
C
B
A
D
A
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A
C
D
C
C
E
A
A
D
A
A
E
C
A
A
B
C
B
C
D
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
D
A
A
E
E
E
B
C
D
B
C
A
A
C
C
C
D
B
A
A
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
A
B
E
B
E
C
A
A
D
A
A
D
B
E
E
E
D
B
E
B
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
B
D
E
C
D
D
C
E
B
A
C
E
C
E
B
D
E
C
A
B
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
A
B
D
B
E
D
C
E
E
B
A
D
D
C
B
C
E
B
B
D
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
E
A
A
A
C
C
E
B
B
A
A
E
A
B
E
RESPUESTAS UNIDAD N° 2
RESPUESTAS UNIDAD N° 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
C
A
E
C
C
B
D
A
D
A
B
A
B
E
A
D
D
A
B
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
B
E
A
C
A
D
B
C
B
A
A
A
C
D
C
A
B
C
B
E
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
C
D
C
B
E
B
B
C
A
B
A
E
B
B
C
C
E
D
B
D
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
B
A
B
D
D
C
E
B
C
A
A
D
E
B
B
D
D
E
D
D
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
E
E
E
B
D
A
B
B
D
B
E
E
A
C
D
D
B
D
B
C
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
D
B
B
A
E
D
A
C
C
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RESPUESTAS UNIDAD N° 3
RESPUESTAS UNIDAD N°6
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