65873904 Varianza y Desviacion Estandar Para Datos Agrupados

Varianza y desviación estándar para datos agrupados La varianza para datos agrupados, una vez vista la media para datos agrupados, l a podemos definir como: donde m es el número de clases o agrupamientos y . la frecuencia para el respectivo dato Podemos construir otra relación muy similar a la que teníamos para el caso de datos no agrupados, como se muestra en el siguiente teorema: Teorema. La varianza para un conjunto de datos agrupados es dada como Demostración. Consideremos la definición Desarrollando el cuadrado tenemos:

recordando que la definición para la media entonces además sabemos que la suma de las frecuencias es igual al número de datos, es decir, , por lo que lo cual demuestra el teorema.

Retomando el ejemplo planteado en el ejemplo del cálculo de la desviación absoluta m edia, para el caso de las calificaciones reportadas por el profesor: Clases para las calificaciones Frecuencia de datos Punto medio de clase Cuadrados de las desviaciones por su frecuencia 1 1 3 0 5 4 6 10 18 2 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 39.69 28.09 55.47 0 26.45 6.76 0.54 4.9 52.02 14.58 Obtener la desviación estándar para este conjunto de datos agrupados es inmediata, b asta con sacar la raíz cuadrada a la varianza obtenida.

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/estadistica/vardatono.htm 2.7.4 Varianza y desviación típica Como forma de medir la dispersión de los datos hemos descartado:

, pues sabemos que esa suma vale 0, ya que las desviaciones con respecto a la me dia se compensan al haber términos en esa suma que son de signos distintos. Para t ener el mismo signo al sumar las desviaciones con respecto a la media podemos re alizar la suma con valores absolutos. Esto nos lleva a la Dm, pero como hemos me ncionado, tiene poco interés por las dificultades que presenta. Si las desviaciones con respecto a la media las consideramos al cuadrado, , de n uevo obtenemos que todos los sumandos tienen el mismo signo (positivo). Esta es además la forma de medir la dispersión de los datos de forma que sus propiedades mat emáticas son más fáciles de utilizar. Vamos a definir entonces dos estadísticos que serán fundamentales en el resto del curso: La varianza y la desviación típica.

La varianza, , se define como la media de las diferencias cuadráticas de n puntuaciones con respecto a su media aritmética, es decir Para datos agrupados en tablas, usand o las notaciones establcidas en los capítulos anteriores, la varianza se puede escibir como Una fórmula equivalente para el cálcul o de la varianza está basada en lo siguiente: Con lo cual se tiene Si los datos están agrupados en tablas, es evidente que La varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ej. si las observa ciones se miden en metros, la varianza lo hace en ). Si queremos que la medida d e

dispersión sea de la misma dimensionalidad que las observaciones bastará con tomar s u raíz cuadrada. Por ello se define la desviación típica, , como