6 Razred - Klett - Zbirka

ЗБИРКА ЗАДАТАКА

Математика за

Сања Милојевић Ненад Вуловић

разред основне школе

Сања Милојевић • Ненад Вуловић

Математика Мат ематика 6 Збирка задатака са решењима

Математика Математи ка 6

Збирка задатака са решењима прво издање

Аутори: Сања Милојевић, Ненад Вуловић Природно-математички факултет у Крагујевцу Рецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички

доц. др Бранислав Поповић, Природно-математички факултет у Крагујевцу Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојло Станојловић вић“ у Крагујевцу

Total otal Idea“, Нови Сад Графичко обликовање: „ T Обликовање корица: Милош Аризовић Прелом: Игор Болта Лектура: Јована Ђокић

Издавач: Издавачка кућа „Klett“ д.о.о.

Светозара Ћоровића 15/IV, 11 000 Београд Teл.: T eл.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385 011/3348-385 oﬃ[email protected], www.klett.rs За издавача: Гордана Кнежевић-Орлић Уредник: Александар Рајковић Штампа: Тираж:

© Klett, 2009. ISBN 978- 86-7762-158-2 Забрањено је репродуковање, дистрибуција, објављивање, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.

ПРЕДГОВОР Ова збирка задатака је део уџбеничког комплета за шести разред издавачке куће KLETT. Састоји се из пет целина у којима су задаци разврстани у складу са наставним јединицама и прате начин и динамику излагања у уџбенику. На почетку сваког поглавља дати су најједноставнији задаци који би требало да омогуће репродукцију основних знања и вештина. Тако ће баш сваки ученик са успехом пoчети да решава задатке из, надамо се, сваког поглавља. Очекујемо да ће почетни успех изазове све тежих задатака претворити у нове успехе. На крају сваке целине налази се кратак тест. тест. Намера нам је била да понудимо ученицима могућност да сами провере у којој мери су с у савладали одговарајућу целину. Свим ученицима, решаваоцима задатака, њиховим професорима, па и родитељима који желе и могу да помогну својој деци, желимо пуно успеха у раду. Аутори

3

САДРЖАЈ Цели бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 27 Скуп целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 27 Бројевна права . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 27 Супротан број. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Апсолутна вредност броја . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 27 Поређење целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 28 Сабирање целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 28 Одузимање целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 29 Својства сабирања . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 30 Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 30 Неједначине. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 31 Множење целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 31 Дељење целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 32 Својства множења. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 33 Једначине и неједначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 34 Тест Т ест – сабирање и одузимање у Z у Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Тест Т ест – множење и дељење у Z у Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Троугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Појам и неке врсте троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Углови троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Однос страница и углова троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Основне неједнакости за странице троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Основне и једноставне конструкције лењиром и шестаром . . . . . . . . . 42 Конструкције неких углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Подударност троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Ставови Ставов и подударности троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Страница–угао–страница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Угао–страница–угао. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Страница–страница–страница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Страница–страница–угао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Примена ставова подударности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Конструкција троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Значајне тачке троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Центар описане кружнице . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Центар уписане кружнице . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Висине троугла и ортоцентар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Тежишне Т ежишне дужи и тежиште тежиште . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Тест Т ест – троугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рационални бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скуп рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Представљање рационалних бројева на бројевној правој . Супротан број. Апсолутна вредност рационалног броја . .

4

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

35 54 54 56 57 58 58 59 59 59 59 60 60 60 62 63 63 64 65 66 . 53

. . . . . . . 67 92 67 92 68 68

93

Поређење рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Децимални запис рационалног броја . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Сабирање рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Одузимање рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Сабирање и одузимање бројева у децималном запису . . . . . . . . . . . . 73 Својства сабирања рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Једначине са сабирањем и одузимањем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Неједначине са сабирањем и одузимањем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Множење рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Својства множења рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Дељење рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Неједначине. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Проценти. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Тест Т ест – сабирање и одузимање у Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Тест Т ест – множење и дељење у Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Четвороугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Појам четвороугла . . . . . . . . . . . . . . Углови четвороугла . . . . . . . . . . . . . . Паралелограм . . . . . . . . . . . . . . . . . Правоугаоник, ромб и квадрат . . . . . . Паралелограми и симетрије . . . . . . . . Конструкције паралелограма . . . . . . . Трапез Т рапез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Делтоид. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Тест Т ест – четвороугао . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

94 94 95 96

97 98 98

99 100 101 102 103 104 105 . 90 . 91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 119 . . . . . . . . . . . 107 . . . . . . . . . . . 107 119 . . . . . . . . . . . 109 120 122 . . . . . . . . . . . 111 . . . . . . . . . . . 112 123 124 . . . . . . . . . . . 112 . . . . . . . . . . . 114 127 . . . . . . . . . . . 116 130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Површина четвороуглова и троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Појам површине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина правоугаоника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина паралелограма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина трапеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина четвороугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Тест Т ест – површине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 131 131 133 135 137 140 143

145 148 149 150 151 152 . . . . . . . . 144

5

КАКО ЋЕШ КОРИСТИТИ ОВУ ЗБИРКУ ЗАДАТАКА (упуство за ученике)

Као и раније, и у овој збирци задатака смо се потрудили да учење и вежбање математике не представља велики проблем. 5. Цели бројеви између –7 и 4 су: __, __, __, __, __, __, __, __, __ и __.

Углавном на почетку сваке наставне теме предвиђено је да се на одоговарајућа места у збирци упишу тачни одговори.

4. Допуни реченице:

Према угловима, троуглове делимо на ____________________, ____________________ ____________________ и ____________________. _____________ _______. Троугао Троугао је ____________ ____________________ ________ ако су сва три уну трашња угла оштра. Троугао је тупоугли ако __________________________________________________. Троугао Тро угао је правоугли правоугли ако __________________ ________________________________ ___________________________ ______________________. _________.

Табеле које су дате треба да Табеле попуниш и тачне одговоре упишеш на за то предвиђена места.

2. Попуни таблицу:

7

a

–1

–a

15

14

–88

9

29.

99

c

Попуни дате пирамиде ако за

a

важи a + b = c :

b

Пирамиде и магичне квадрате такође решавај у збирци.

14 –17 – 26

16. Површина правоугаоника је 12cm 2. Једна његова страница једнака је

Одреди обим тог правоугаоника.

14

–33

122

–85

31

У односу на пети разред, већи број задатака ћеш сада решавати у школској или свесци за вежбање.

1 друге странице. 3

21. Разлику бројева 66 и –55 (умањилац је –55) увећај за њихов збир.

У великом броју задатака, уз текст задатка, дата је и слика са које треба да изведеш одговарајуће закључке зак ључке.. 29. Израчунај површине датих фигура:

5. Колико

а)

2 2 6

48

4

троуглова је одређено датим тачкама: б)

2

A

R

I

S J

V

N

M

O

N

R

T

E E

T

9

г)

N

R

O

P

в)

A

I

6

На крају сваке теме, поред теста који ће ти послужити да сам себе провериш како си савладао тему, дата су детаљна упутства и решења задатака који су у њој постављени. ЦЕЛИ БРОЈЕВИ  РЕШЕЊА СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. В = {5, 29, 18}, С = = {5, –2, –7, 0, 29, 18, –35}. 2. а) ан; ) нетан; в) тан; г) тан; д) нетан; ђ) тан. – 3. N N Z Z 0

8 –1

∈

∈

∉

∈

∉

∉

∈

∈

Желимо ти много успеха!

6

K

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

{

3 ; 0; 29; 18; –35; 4,1 . Нађи подскупове В и С овог овог скупа ако 8 скупу В припадају природни бројеви, а скупу С цели цели бројеви.

}

1. Д Дтт је скуп A скуп A = = 5; –2; –7;

2. Испитај тачност следећих тврђења:

а) Z + = N ; г) N ⊂ Z ;

б) Z = Z –  Z +; д) N 0 = Z ;

в) Z = Z –  N 0; ђ) N ⊄ Z –.

3. Попуни остатак таблице користећи симболе ∈, ∉:

8 –1 0 55 –14 2,5

N ∈

N 0 ∈

–

Z ∉

Z ∈

4. Напиши пет узастопних целих бројева тако да су:

а) сви негативни;

б) три негативна.

5. Цели бројеви између –7 и 4 су: __, __, __, __, __, __, __, __, __ и __. 6. Негативни цели бројеви већи од –7 су: __, __, __, __, __ и __. 7. Колико целих бројева је између:

а) –3 и 3;

б) 0 и 1;

в) –4 и 8.

БРОЈЕВНА ПР ПРАВА АВА 1. Нацртај бројевну праву и на њој означи тачке: 0, 2, 8, –4, –1, 5 и –7. 2. На бројевној правој уцртане су тачке A, B, C , D и E . Којим целим бројевима одговарају ове

тачке ако је јединична дуж 1cm?

A

B

C

0

D

E

3. На бројевној правој дате су тачке А(5) и В(–7). Колико јединичних дужи има између тачака

А и В?

7

(2) на бројевној правој ако је јединична дуж те 4. олико је растојање између тачака S(–3) и P (2) бројевне праве 3cm? (11) на бројевној правој 8cm, колика је дужина 5. Ако је растојање између тачака M(–5) и N (11) јединичне дужи? 6. На бројевној правој дата је тачка А(–2). Одреди координату тачке В, коју ћемо добити

када тачку А померимо за 4 јединичне дужи улево, и координату тачке С , коју ћемо добити када тачку А померимо за 6 јединичних дужи ду жи удесно. 7. За колико јединичних дужи треба померити тачку А(3) да би после померања дошла у

тачку:

а) В(8);

б) С (–7)? (–7)?

8. На бројевној правој дате су тачке Ѕ(3) и А(–2). Нађи тачку В, која је симетрична тачки А у

односу на тачку Ѕ. 9. Одреди координату средишта Ѕ дужи АВ ако је А(–7) и В(5). 10. У 9h измерена температура у неким градовима у Србији: Београд 4°C, Крагујевац 7°C,

Краљево –2°C , Ниш –7°C. Који град је у 9h био најтоплији, а који најхладнији? 11. У 10h на Златибору је измерена температура –9°C, а у Ужицу 6°C. Ко лика је била

температурна разлика у 10h између та два места? 12. У једном граду, првог јануара у 6h температура је износила –8°C. У 10h температура је

била за 7°C виша, а у 13h за још 3°C виша. Коликa је била температура у том граду у 13h?

СУПРОТАН БРОЈ 1. а) Броју 5 је супротан број ___;

в) Броју 100 је супротан број ___;

б) Броју –3 је супротан број ___; г) Броју –222 је супротан број ___.


a –a

7

–1

15 –88

14 9

99

3. Наведи пет парова супротних бројева: ___ и ___; ___ и ___; ___ и ___; ___ и ___; ___ и ___.

АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ БРОЈА 1. Одреди апсолутне вредности бројева: 8, –6, 2, –19, 0, 21, 6, –14. 2. Испитај тачност следећих тврђења:

а) |10| = |–10|; г) |–10| = 10;

8

б) |10| = – |–10|; д) – |–10| = – |10|;

в) |–10| = –10; ђ) |–10| = – |10|.

који имају апсолутну 3. Ако бро јеви 10 и –10 имају апсолутну вредност 10, нађи бројеве који вредност:

а) 16;

б) 3;

в) 7;

г) 50.

4. Реши једначине:

а) | x x | = 8;

б) | x x | = 22;

в) | x x | = 5;

г) | x x | = |–17|.

за које је | x 5. Нађи све целе бројеве x за x | < 5. 6. Попуни таблицу:

10

a

–6

–15

8

–40

32

9

|a| 7. Израчунај: а) |5| – |–5|;

б) |–8| – |8|;

8. Израчунај: а) |–10| – |–5|;

в) |– a| – |a|.

б) |10| – |–5|;

в) |–10| – |5|;

г) |10| – |5|.

9. Израчунај:

а) |–17| + |–5| + |–3|; в) |–50| – |18| – |–17|;

б) |25| + |–10| – |–3|; г) |14| – |–7| + |–9|.


а) |–55| : |–5|;

б) |–9| · |4|;

в) |–14| · |–5|;

г) |77| : |–7|.


а) |15| · |–4| + |–9|; в) |–70| – |–3| · |8|;

б) |–26| : |–13| + |11|; г) |–34| – |–64| : |16|.

12. Ако је a = –64, b = –4 и c = 7, израчунај вредност израза:

а) |a| + |b| + |c |;|; в) |a| : |b| + |c |;|;

б) |a| + |b| – |c |;|; г) |a| – |b| · |c |.|.

= –5 израчунај вредност израза : 13. За a = 18, b = –12 и c = а) |a| – |b| – |c |;|; в) |a| +|b| – |c |;|;

б) |a|– |b| + |c |;|; г) |a| + |b| + |c |.|.

14. Попуни таблице:

а)

б)

a –a – (–a) |a|

9

a |a| |a| + 4

–16

–18

–6

44 13 25

–4

5

–20

–1

9

|a|–1

9

ПОРЕЂЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. Дте бро јеве поређај по величини од најмањег до највећег:

а) –7, –19, –3, –8, –20 и –14; б) 9, –18, 3, 0, –5, 4 и 20; в) 17, –4, –12, |–7|, |8|, –6 и 5. 2. Поређај по величини апсолутне вредности бројева: –17, 14, –5, 0, –11, 9, –22 и 1. 3. Упиши у квадратиће један од знакова <, > или = тако да добијеш тачно тврђење:

а) –8 г) |–5|

–5; 11;

б) 11 –3; д) |–8| |4|;

в) –4 – (–4); ђ) |–15| |15|.

за које важи: 4. Одреди све целе бројеве x за а) –6 < x < 0; г) –7 < x ≤ 1;

б) 0 ≤ x ≤ 5; д) | x x | ≤ 6.

в) –2 < x < < 6;

САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. Сабери целе бројеве:

а) –15 + (–4);

б) –15 + 4;

в) 15 + (–4);

г) 15 + 4.

б) –6 + (–9);

в) 6 + (–6);

г) –7 + (–(–7)).

2) 13 + (–15); 2) 29 + 67; 2) –28 + (–107);

3) –16 + 22; 3) –52 + (–38); 3) –183 + 216;

4) –19 + (–25); 4) –98 + (–87); 4) 327 + (–523).


а) –6 + 9; 3. Израчунај збир:

а) 1) 18 + 27; б) 1) –48 + 83; в) 1) –27 + (–35); 4. Израчунај збир:

а) 6 + 2 + (–7); в) –4 + 7 + (–5); д) –3 + 2 + 8;

б) –5 + 4 + (–3); г) –7 + (–6) + (–12); ђ) –5 + (–12) + (–17).


а) –1 + (–2) +(–3) +(–4); в) –14 + (–2) + (–3) + (–26); д) –32 + (–16) + (–4) + (–8) + (–5); е) [–81 + (–42)] + [–55 + (–39)].

10

б) –1 + 2 + (–3) + 4 + (–5); г) –42 + (–35) + (–32) + (–121); ђ) –16 + 14 + (–17) + 18 + (–6);


x

y

z

–2

–3

–1

–7

18

–1

–13

–21

46

19

–36

42

–39

152

191

x+y

x+z

y+z

x + y + z

7. Збиру бројева –2 и –16 додај збир бројева –17 и –33, па израчунај вредност израза. 8. Попуни таблице:

а)

+16

б) +

–8

25

–62

–14

9

19

17

–33

–21

–7

9. Попуни дате шеме:

а)

+8

+4

+(–17)

+(–38)

+14

+(–92)

–9 б) 22

ОДУЗИМАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. Израчунај дате разлике целих бројева:

а) –8 – 3;

б) 8 – 3;

в) 8 – (–3);

г) –8 – (–3).

2. Израчунај разлику:

а) 1) 12 – 3; б) 1) –2 – 5; в) 1) –18 – 25;

2) –3 – 12 ; 2) –2 – (–5); 2) 14 – 18;

3) 12 – 12; 3) 4 – (–9); 3) –18 – 5;

4) –12 –(–12); 4) –14 – (–8); 4) 4 – (–12).

11


а) –5 + 3 –7; д) –3 + 14 + 19;

б) 2 – 8 – 3; ђ) –20 – 15 – 8;

в) 5 + 12 – 17 ; е) 13 – 12 + 18;

г) 12 – 17 – 15; ж) –4 – 5 + 2 – 1.

4. Израчунај вредност израза:

а) 1 – 2 + 3 – 4 + 5; г) – (14 – (8 – 9)) + 15;

б) 10 – 9 + 8 – 7 + 6 – 5; в) –7 + (–6) – 9 –(–8) + 1; д) 18 18 – 3 + 4 – 13 – 7 + 11 11 – 12 + 8.


а) 27 – 12 + (35 –18) – (12 + 3) – (18 – 5); в) 34 34 – 40 – (27 – 32) + (38 – 41) – (29 + 35);

б) – (37 – 14) – (12 – 8) + (13 – 7) – (15 – 3); г) – (29 – 14) + (8 – 15) 15) – (17 – 24 – 3 + 14).

6. Попуни дате шеме:

a)

23

–38

+15

–9

–23

+26

+12

б)

–17

7. Доврши попуњавање таблице:

а)

–

19

–33

–18

–37

–14

б)

– 12

–42 29

29 –18 –66

–17

= – 5, израчунај: 8. Ако је a = –10, b = 4 и c = а) a + b + c ; г) – a – b – c ;

б) a – b – c ; д) a + b – c ;

в) – a + b + c ; ђ) – a + b – c .


12

a

b

17

19

–6

15

–13

–7

28

–31

a+b

a–b

|a| –|b|

10. Израчунај a – b – (– c + d ) ако је:

а) a = 17, b = –2, c = 5, d = = –12. б) a = –9, b = 8, c = = –9, d = = –22. 11. Израчунај |a| – |b| ако је a = –25 + (9 – 16) и b = (–8 – 5) – a. 12. Ако је a = – (7 – 23 – (5 –9)) и b = – 14 + (11 – 19) + (–33), израчунај вредност израза

(a – b) – (|a| – |b|). 13. Израчунај вредност израза:

а) – (–9) + (–11) + (2 – 4); б) –17 – [19 – (75 – 63) + 12] – (–7 – 5); в) [29 – (18 + 15) + 19] – [70 + (–17 – 71)]; г) –10 – {–20 – [–30 – (40 – 50)] – 60}. ако је 14. Поређај по величини од најмањег до највећег вредности бројевних израза a, b, c ако ), b = | x и c = x – | y = –15 – (–7), y = 19 + x, z = = –11 – y . a = x + ( y y – z ), x – y | – z и y + z | за x = ако је А = 1 – х – – ( х + у ),), 15. Упореди по апсолутној вредности изразе А, В и С ако х + – y | + z |,|, C = = z – (1 – z ) и ако је x = 3, y = −1, z = −7. В = 1 – |1 – | x x – 16. Од броја 27 одузми збир бројева 44 и –56. 17. Збиру бројева –29 и 14 додај број –9.

разли ку бројева 37 и –33 (умањеник је 37). 18. Збир бројева –46 и 15 умањи за разлику 19. Разлици бројева –23 и 27 (умањилац је 27) додај збир бројева 14 и –5. 20. Од збира бројева –125 и 59 одузми њихову разлику (умањеник је –125). 21. Разлику бројева 66 и –55 (умањилац је –55) увећај за њихов збир. 22. Разлици бројева –29 и –76 (умањеник је –29) додај апсолутну вредност њиховог збира. 23. Разлици бројева 18 и –54 (умањеник је 18) додај разлику бројева –17 и 91 (умањилац је

91), затим тај збир умањи за збир бројева 25 и –19. ди нара. Колико ће бити ново стање када 24. На Милошевом рачуну у банци стање је –7 650 динара. уплати 5 500 динара? 25. Петар је имао на рачуну у банци 5 400 динара. Колико ће бити ново стање на његовом

рачуну ако је подигао из банке 10 000 динара? 26. Милан је имао на рачуну у банци 2 300 динара. Најпре је подигао 3 000 динара, а затим

још 5 000 динара. После тога на рачун му је уплаћен уплаћен износ од 10 000 динара. Колико сада Милан има новца на рачуну?

13

27. На Копаонику је у 6h измерена температура –18°C. После 3h температура је порасла

за 7°C, а за наредна 3h још 12°C, али је до 15h температура опала за 4°C. Колика је измерена температура у 15h? 28. Надморска висина дна мора је –1 865m, а подморница је 250m изнад дна мора. На којој

надморској висини је подморница? c

29. Попуни дате пирамиде ако за

a

b

важи a + b = c :

14 –17 –26

14

–33

122

–85

31

СВОЈСТВА САБИРАЊА 1. Испитај тачност следећих једнакости:

а) –7 + 3 = 3 + (–7); в) (2 + (–4)) + (–9) = 2 + ((–4) + (–9));

б) –11 + (–4) = –4 + (–11); г) –7 + (6 + (–5)) = (–7 + 6) + (–5).

2. Применом закона комутативности и асоцијативности израчунај:

а) –7 + 11 + (–3); в) –12 + 13 + (–8) + 17;

б) 19 + (–4) + 21; г) 33 + (–105) + 66 + (–5).

3. Израчунај вредност израза користећи својства сабирања:

а) 24 + (–17) + (–24); в) 123 + (–99) + (–123) + (–47); д) –19 + 54 + (–11) + (–54) + 30;

б) –59 + 16 + 59 +(–16); г) –10 + 11 + (–12) + 13 + 10; ђ) –21 + (–18) + (–20) + 19 + 18.

4. Израчунај збир свих целих бројева чија је апсолутна вредност мања од 20. 5. Упиши у квадратиће један од знакова <, > или = тако да добијеш тачно тврђење:

а) (–17) + (–9) (–9) + (–17); в) –7 – 27 59 + (–59);

б) –42 + 42 5 + 6; г) –34 + 16 + 34 –100 + 11 + (–10).

6. Попуни таблицу, па упореди последње две колоне:

14

x

y

z

12

–19

8

–7

31

–16

–4

–15

–76

6

12

–33

x+y

y + z

( x x + y ) + z

x + ( y y + z )

ЈЕДНАЧИНЕ ЈЕ ДНАЧИНЕ 1. Реши једначине:

а) –8 + x = 10; г) x + (–5) = –9;

б) –22 – x = –19; д) –25 + x = –3;

в) x – – 7 = –11; ђ) –2 – x = = –5.

б) –4 + x = –22; д) x – 17 = 22;

в) x + + 15 = –1; ђ) –7 – x = = 14.

б) –2 008 + x = 2 008; д) 5 – x = –10 + 15;

в) –2 008 – x = = 1; ђ) –7 – 8 = x – – 11.


а) x – (–9) = 2; г) 10 – x = 10; 3. Реши једначине:

а) x + 1 000 = 999; г) 1 000 + x = 0;

+ a = – 5 , где је a решење једначине a – (–7) = –9. 4. Реши једначину x + = 9, где је b решење једначине –12 – b = – 5. 5. Реши једначину |b| – x = 6. Реши једначине:

а) (9 – 17) + x = –4; в) |5 – 19| – x = –6;

б) x – – (7 + (–5)) = –12; г) (4 – 11) + x = = |4 – 11|.


а) ( x x – 55) – 5 = –10; в) 25 – (9 – x ) = – 12;

б) 10 – ( x + + 8) = –8; г) –21 – ( x – – 4) = 6.


а) –2 – (22 – a) = 20; в) –5 + (–5 + c ) = –5;

б) –12 – (15 + b) = 7; г) (d – – 4) – (–4) = –4.

9. Који број треба одузети од –4 да би се добио број 9? 10. Ком броју треба додати број 12 да би се добио број –11? 11. Ако се од неког броја одузме број 35, добиће се број –24. О ком броју је реч? 12. Замислили смо неки број, додали смо му разлику бројева 7 и –11 (7 је умањеник) и

добили смо број 4. Који број смо замислили? 13. Од ког броја треба одузети разлику бројева –43 и 16, где је 16 умањилац, да би се добио

збир бројева –26 и 4? 14. За колико треба умањити збир бројева –19 и 9 да би се добио збир бројева 94 и –84?

ти х бројева, 15. Који број треба одузети од збира бројева –66 и –59 да би се добила разлика тих где је –66 умањеник? 16. Када од броја –5 одузмемо неки број увећан за 7, добићемо број 19. О ком броју је реч?

15

број –19, добићемо број 17. Ако бро ј –28 увећамо за неки број, па од тог збира одузмемо број –21. О ком броју је реч? 18. Када број –7 умањимо за неки број, па од те разлике одузмемо збир бројева –25 и 4,

добићемо број супротан броју 10. О ком броју је реч? картицу,, 19. Стање на Петровом рачуну у банци је –6 350 динара. Да би добио кредитну картицу стање на рачуну мора да буде +5 000 динара. Колико новца Петар мора да уплати да би добио кредитну картицу? 20. Реши једначине:

x | + 2 = 7; а) | x

x | – 2 = 7; б) | x

x | = 2; в) 7 – | x

x | – 7 = –2. г) | x


а) | x x | + (–4) = 5; в) | x x – 4| = 7;

б) | x x | + |–9| = |–14|; г) | x + 2| = 6. x +


а) 9 – | x x | = –2 – (–4); в) (–12 + 3) + | x + 3| = –6 – (–1);

б) | x x | – (11 – 4) = –9 + 6; г) | x – 5| – (18 + (–35)) = –19 + 81. x –

НЕЈЕДНАЧИНЕ 1. а) Цели бројеви који се налазе између –6 и 0 су: ___, ___, ___, ___ и ___;

б) Цели бројеви који се налазе између –9 и –2 су: с у: ___, ___, ___, ___, ___ и ___; в) Цели бројеви који се налазе између –3 и 5 су: с у: ___, ___, ___, ___, ___, ___ и ___. 2. Напиши целе бројеве који су решења неједначине:

а) –6 < x < –1;

б) –2 < x < 8;

в) 7 > x > –7;

г) | x x | < 6.

3. Реши неједначине:

а) –4 + x > 12;

б) x – 7 ≤ –4;

в) 5 – x > 11.

4. Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој:

а) x + (–8) < –9; г) 1 – x < –2;

б) –11 + x ≥ –4; д) 3 + x ≤ –5;

в) x – – (–4) > –4; ђ) –9 – x ≥ ≥ –6.


а) –2 – (–4) + x > 3; в) –6 – (–8) < x – 3;

б) x – – (–7) ≤ 2 + (–5); г) (–1 + 2) – x ≥ ≥ –3 + 4.


а) –4 – ( x – 3) ≤ 0; в) – 25 – (4 + x ) > –22;

16

б) (1 – x ) + 3 ≤ 6; г) ( x + + (–7)) – 11< –14.

7. дреди заједничка решења неједначина:

а) x + + 3 < – (–15) и 2 – x < 4;

б) x – – (–5) ≥ –3 и x + + (–2) < 2.

с у заједничка решења неједначина x – – 4 < – 2 и 8. Израчунај збир целих бројева који су –11 + x > –17. 9. Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој:

а) | x x | < 7; в) 8 – | x x | ≥ 4;

б) | x x | – 2 ≤ 2; г) | x x | + 3 ≤ 3 – (–3).


x –1| < 5; а) | x в) |1 – x | + 5 ≤ 8;

x + б) | x + 3| ≤ 7; x + г) | x + 4| – 3 < 3.

за које је |x – 3| < 4. 11. Израчунај збир свих целих бројева х за 12. Реши неједначине:

а) –6 – ( x – 9) ≥ –2 – 3;

б) –1– (–2 – ( x + 3)) > –4;

в) –5 – (–10) – (– x ) > –10 + 9 – (–1).

13. Које бројеве можеш додати броју –2 да добијеш број већи од 6? 14. Од којих бројева можеш одузети број –36 да добијеш број који није већи од –24? 15. Које бројеве можеш одузети од броја 11 да добијеш број мањи од –3? 16. Које бројеве можеш додати разлици бројева 77 и –67 (умањеник је 77) да добијеш број

који је већи од збира тих бројева? 17. Које бројеве можеш одузети од збира бројева –11 и –12 да добијеш број који није већи

од разлике бројева –4 и –3 (умањилац је –3)? Температура емпература у граду је 7°C. Клизалиште може да ради на температури мањој од –4°C. За 18. Т колико °С треба да падне температура да би к лизалиште могло да ради?

МНОЖЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. Ако је (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) = 5 ∙ (–2) = –10, напиши следеће збирове у облику

производа, па их израчунај: а) 9 + 9 + 9; б) 4 + 4 + 4 + 4 + 4; в) (–5) + (–5) + (–5) + (–5) + (–5) + (–5) + (–5) + (–5); г) (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) . 2. Испитај тачност следећих тврђења:

а) 7 ∙ (–3) < 0; в) –9 999 ∙ (–9) > 0;

б) (–10) ∙ (–9) < 0; г) –123 ∙ 4 > 0.

17

3. Израчунај производе:

а) 8 ∙ 3;

б) 8 ∙ (–3);

в) (–8) ∙ 3;

г) (–8) ∙ (–3).

б) (–25) ∙ 3; ђ) 12 ∙ 8;

в) 9 ∙ (–2); е) (–4) ∙ (–8);

г) 5 ∙ (–8); ж) (–10) ∙ (–4).

б) –3 ∙ 4;

в) 5 ∙ 6;


а) 5 ∙ 3; д) (–6) ∙ (–7); 5. Израчунај:

а) –1 ∙ (–2);

г) 7 ∙ (–8);

д) –9 ∙ 10.


а) 1) 987 ∙ 1; б) 1) –1 111 ∙ 1; в) 1) –500 ∙ 1; г) 1) 4 545 ∙ 1;

2) 987 ∙ (–1); 2) –1 111 ∙ (–1); 2) –500 ∙ (–1); 2) 4 545 ∙ (–1);

3) 987 ∙ 0; 3) –1 111 ∙ 0; 3) –500 ∙ 0; 3) 4 545 ∙ 0.

7. Упиши у квадратић један од знакова >, < или = тако да тврђења буду тачна:

а) –7 ∙ (–3) 4 ∙ (–9); в) –18 ∙ (–2) 7 ∙ 5;

б) –4 ∙ 5 г) –6 ∙ 9

4 ∙ (–5); 7 ∙ (–8).

8. Доврши попуњавање таблице:

4 ∙ х

х

позитиван

–3 ∙ х негативан

негативан негативан позитиван 9. Попуни таблицу:

а

b

с

1

–2

3

–9

8

–7

–10

–8

–5

4

–25

2

а∙b

а∙с


а) 10 ∙ 10 ∙ (–10); в) –10 ∙ 10 ∙ (–10);

б) 10 ∙ (–10) ∙ (–10); г) –10 ∙ (–10) ∙ (–10).

11. Који знак ће имати производ ако множимо:

а) 5 негативних бројева; б) 10 негативних бројева; в) 99 негативних бројева и 1 позитиван број; г) 50 негативних бројева и 50 позитивних позити вних бројева; д) 15 негативних бројева и 15 позитивних бројева.

18

b∙с

а∙b∙с


а) (15 – 9) ∙ 6; в) (15 + 9) ∙ (–6);

б) (–15 + 9) ∙ (–6); г) (–15 – 9) ∙ (–6).


а) (–37 + 14) ∙ (2 – 6); в) (21 – 19) ∙ (–14 + 7);

б) (–15 + 21) ∙ (4 – 9); г) (8 – 9) ∙ (–10 – 11).


а) 5 ∙ 3 + (–1) ∙ (–2); в) 3 ∙ (–2) + (–1) ∙ (–5); д) 10 ∙ (–10) – 100 ∙ 1;

б) –1 ∙ (–2) – (–3) ∙ (–4); г) 1 ∙ (–1) – 12 ∙ (–5); ђ) 4 ∙ (–15) – 0 ∙ (–7).


а) –10 ∙ 3 + (–1) ∙ (–6) + (–5) ∙ 7; в) 4 ∙ (–4) – 7 ∙ 9 + (–2) ∙ (–6);

б) –1 ∙ (–4) + (–9) ∙ 8 – (–8) ∙ 5; г) 16 ∙ (–2) – 6 ∙ (–6) – 12 ∙ 4.

≤ 44}. Одреди производ свих елемената скупа A. 16. Дат је скуп А = { x x | x ∈ Z , –44 < x ≤ 17. Дат је скуп В = { x x | x ∈ Z , | x x | ≤ 33}. Одреди производ свих елемената скупа В. 18. Ако је х 2 = x ∙ x, попуни таблицу:

х

1

2

–8

–2

5

12

–10

х 2 19. Ако је број 25 квадрат бројева 5 и –5, онда је:

а) број 4 квадрат бројева ___ и ___;

б) број 49 квадрат бројева ___ и ___;

в) број 81 квадрат бројева ___ и ___;

г) број 100 квадрат бројева ___ и ___.


а) 92 + (–9)2; г) (–8)2 – (–5)2 + 32;

б) (–2)2 – 22; д) 2 ∙ (–6)2 + (–4) ∙ 32 – (–10) 2.

в) 52 – 42;

ако је: 21. Израчунај вредност израза ( x + y ) ∙ z – x ∙ y ако а) x = = 4, y = = –7 и z = = 12; б) x = = –9, y = = –11 и z = = 3; в) x = = –15, y = = 5 и z = = –20. 22. Израчунај вредност израза:

x + y ), а) –x ∙ ( x ), за x = = 4 и y = = –22; б) (– x – – y ) ∙ ( x – – y ),), за x = = 5 и y = = –11; в) x ∙ y – – 3 ∙ ( x + + y ),), за x = = –8 и y = = 6. 23. Ако је m = –5, n = 6 и p = –7, израчунај вредност израза:

а) m ∙ n – m ∙ p; в) –m ∙ n + m ∙ n ∙ p ;

б) (m – n) ∙ (m + p); г) n ∙ p – m ∙ n ∙ (n – p).

19

= (–3)2 – 4 ∙ 5 израчунај вредност израза: 24. За А = (–6 + 4) ∙ (–3), В = –1  (–2)  (–3)  С = а) А ∙ В – В ∙ С ;

А – В) ∙ ( А А ∙ В + С ). б) ( А ).

поређај по величини од најмањег до највећег ако је: 25. Бројеве А, В и С поређај = (–2 – 3 – 4) ∙ (–9 + 15) – (–5) 2. А = (–12 + 6) ∙ (–7), В = –22 – 6 ∙ (–19 + 9) и С = 26. Израчунај вредност израза:

а) –9 + (–8 + 7 + 6) ∙ (–5) – 4 ∙ (–3); б) 25 – [6 – 9 ∙ (–5) + (7 – 12) ∙11]; в) 100 – {[15 – 9 ∙ (11 – 14)] ∙ (18 – 19)}; г) {[12 + (–3) ∙ (9 – 12)] ∙ (10 – 20)} ∙ (4 – 6). 27. Разлику бројева –19 и 5 (–19 је умањеник) помножи са 3. 28. Производу бројева –12 и 11 додај број –7. 29. Израчунај производ збира бројева −63 и 54 и броја −7. 30. Збир бројева –31 и 24 помножи њиховом разликом, ако је 24 умањи лац. 31. Од производа бројева –10 и 7 одузми производ бројева –14 и –2. 32. За колико се разликују производ бројева −24 и 6 и количник бројева 55 и −11? 33. Израчунај количник ако је дељеник збир бројева −84 и 68, а делилац апсолутна

вредност броја −16. п роизвод најмањег и највећег од њих је −14. Који су су 34. Производ три цела броја је −42, а производ то бројеви? Колико решења има задатак?

ДЕЉЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. Испитај тачност следећих тврђења:

а) –9 999 : 9 < 0; в) 575 : (–5) > 0;

б) –729 : (–3) > 0; г) –3 456 : (–9) < 0.

2. Израчунај количнике:

а) 56 : 8;

б) –56 : 8;

в) 56 : (–8);

г) –56 : (–8).

в) 55 : 11; е) 34 : (–17);

г) –28 : (–7); ж) –36 : 4.

3. Израчунај количнике:

а) –24 : 6; д) –45 : 15;

б) 27 : (–3); ђ) –81 : (–9);


а) 0 : 15; г) 0 : (–24);

20

б) 15 : 1; д) –24 : 1;

в) 15 : (–1); ђ) –24 : (–1).


а) 78 : 78;

б) 78 : (–78);

в) –78 : (–78);

г) –78 : 78.

6. Попуни таблице:

а)

б) а

b

6

–3

–15

5

–90

–10

60

–12

а∙b

а:b

а

b

–12

4

а∙b

–3 –55

а:b

–6 605 –52

–13

7. Који број треба да помножиш:

а) са 10 да би добио –70? в) са –12 да би добио –84?

б) са –5 да би добио 75? г) са 7 да би добио –63?


а) 35 : (5 – 12); в) (71 – 17) : (–18);

б) –64 : (–25 + 17); г) (–13 – 29) : (–7).


а) 19 : (–1) + 14 : 7; в) 22 : (–11) – 28 : (–4); д) –4 ∙ (–3) + 20 : (–4);

б) –8 : (–4) – 48 : 8; г) –50 : 5 + 30 : (–6); ђ) –56 : 7 + 8 ∙ (–4).

= –12 и y = = – (–4), израчунај: 10. Ако је x = a) x + y ;

x – y | ; б) | x

в) – x ∙ ∙ y ;

г) – x : y .

в) – ( x ∙ ∙ y ););

г) – y : : x .

= –15, израчунај: и зрачунај: 11. Ако је x = – (–5) и y = а) x + + y ;

x | – y ; б) | x


а) |–45| : (–9) + |–8| : |–2|; в) |–5 – (–8)| ∙ (–4) + 32 : (–16);

б) |–12| : 4 + 120 : |–20|; г) |7 – (–2)| : (–3) + |–5| ∙ (–3).


а) 29 – 12 : (–3) – 6 ∙ (–3); в) –10 – 6 : (–2) + 4 ∙ 5; д) (2 ∙ 3 + 8 : (–2)) : (–2) + 1.

б) –20 + 2 ∙ (–6) – (3 + 4 : (–2)); г) –26 + 33 : (–11) – 9 ∙ (–5);


а) –19 – (3 – 2 ∙ 4 – 5 : (–1) + 6) + 19;

б) –17 – (22 : (– 11) + 5 ∙ (–3) – 2).

= –5, израчунај: и зрачунај: 15. Ако је а = –2, b = 4, c = а) –5a + 3b – 10c ; в) ab + bc – – ac ; 16. За а = –11, b = –3 и c = 5 израчунај:

б) 7a – 10b + 10c ; г) 4c : : a – a : (–2) – c ∙ ∙ b. а) 2ab – 3ac + + 4ac ;

б) a2 – b2 – c 2.

21


а) 33 : 3 – {33 ∙ 3 – [52 : (–2) –(27 : 9 –18 ∙ 2)]}; б) 53 – 8 : 4 – {250 : (–5) – [–39 : (–13) –(2 ∙ 5 –30 ∙ (–4))]}; в) –16 + 32 : 16 + {–17 – [22 + 8 ∙ (5 ∙ 4 – 8 ∙ 3)] – 6}; г) 28 – 48 – {10 – 5 ∙ [– 24 + 9 ∙ (– 11 + 13)] – 28} ∙ (–3). c

18. Попуни дате пирамиде ако за

a

b

важи a ∙ b = c :

–20 –4 –7

5

–4

–10

2

4

19. Израчунај количник збира бројева −63 и 47 и броја −16. 20. Производ бројева −18 и −2 умањи за количник бројева 125 и −5. 21. Количнику бројева −80 и −5 (–80 је дељеник) додај производ бројева −16 и 8. 22. Од количника бројева –42 и 6 (6 је делилац) одузми производ бројева –13 и 9. 23. Од производа бројева –11 и 13 одузми количник бројева –32 и 8. 24. Израчунај вредност израза:

а) 2a – |b – a : 3| ∙ (–2) aкo je а = 15 : (–3) – (–5 + 9) : (–2) и b = –a; б) 4 ∙ (3m –2n) – 5 ∙ (4m – 3n) aкo je m = –2 и n = –1; в) – (–4 х + + (–8 + (5 х – 1) – 3 х )) )) – (–9 + х ) ако је х = = –2.

СВОЈСТВА МНОЖЕЊА 1. Испитај тачност једнакости:

а) –9 ∙ 8 = 8 ∙ (–9); в) –9 ∙ (8 + (–7)) = –9 ∙ 8 + (–9) ∙ (–7);

б) –9 ∙ (8 ∙ (–7)) = (–9 ∙ 8) ∙ (–7); г) 6 ∙ (–5) + 6 ∙ 4 = 6 ∙ (–5 + 4).

2. Попуни дате таблице, па упореди последње две колоне:

а)

в)

22

a

b

–12 –7 22 –9

4 –17 –1 –3 –8

а∙b

b∙а

б)

а

b

с

–1 4 –2

5 –9 –3

15 7 –4

а

b

с

–3 9 –2 12

8 –8 –3 –1

4 –7 –4 5

а ∙ (b + с )

а ∙ (b ∙ с )

а ∙ b + а ∙ с

(а ∙ b) ∙ с

3. ористећи сво јства множења израчунај:

а) 2 ∙ 19 ∙ (–5); г) (–14) ∙ (–4) ∙ (–3) ∙ (–25);

б) –5 ∙ 12 ∙ (–2); д) 125 ∙ (–7) ∙ (–4) ∙ (–2).

в) 20 ∙ (–7) ∙ 5 ∙ (–13);

4. Примени дистрибутивност и упрости дате изразе:

а) 5а – 3а; в) –4а + (–4b);

б) –7b – 4b + 8b; г) 12b – 6b – 19b+ 3b.

5. Израчунај вредност израза примењујући дистрибутивност:

а) 7 ∙ 2 + 7 ∙ (–13); в) –12 ∙ 7 + (–12) ∙ 4 – (–12) ∙ 5;

б) –4 ∙ 6 + 8 ∙ 6 – 6 ∙ 6; г) –9 ∙ (–5) – 11 ∙ (–5) + 10 ∙ (–5).

6. Ослободи се заграда у датим изразима:

а) 2 ∙ (3 x – – 4 y );); в) (–13а + 15b) ∙ 4;

б) –7 ∙ (5а + 9); г) (–12 + 5а – 3b) ∙ (–10).

ЈЕДНАЧИНЕ ЈЕ ДНАЧИНЕ И НЕ НЕЈЕ ЈЕДНАЧИНЕ ДНАЧИНЕ 1. Реши једначине у скупу целих бројева:

а) 5 х = 35; г) 9 ∙ х = –36; е) х : (–7) = 3; и) 40 : х = –8;

б) –9 ∙ х = 27; д) х : 4 = 7; ж) х : (–5) = –5; ј) –55 : х = 11;

в) –6 ∙ х = = –48; ђ) х : : 9 = –2; з) –16 : х = = –2; к) –39 : х = = –13.

2. Реши једначине у скупу целих бројева:

а) –3 ∙ х – 17 = 13; г) –19 + 3 ∙ х = 8; е) –8 + 7 ∙ х = –57;

б) –8 ∙ х + 8 = –80; д) –7 + 5 ∙ х = –42; ж) –7 ∙ х – 1 = –6 – 9;

в) 5 ∙ х + + 9 = –16; ђ) –12 + 5 ∙ х = = –42; з) –6 ∙ х + + 32 = –18 – 10.

краће пишеш и овако: 3 х. Реши једначине у скупу целих бројева: 3. Производ 3 ∙ х краће а) (3 х – 4) : 11 = –2;

б) 21 ∙ (4 – 6 х ) = –42;

в) (–20 х – – 50) ∙ 2 = 100.

+ x = = –5 за y = = –2. 4. Реши једначину –3 y + 5. Реши једначине:

а) 3 х + + 4 х = –49; в) 21 х – – 12 х + + 11 х = –100; д) 7 х + + 1 = 8 х + 9;

б) 5 х – – 14 х = = 27; г) 4 х – – 9 х + + 6 = –29; ђ) 6 х – – 100 = 9 х – – 1.

6. Којим бројем треба помножити број –35 да би се добио број 70? 7. Којим бројем треба поделити број –35 да би се добио број 7? 8. Када трострукој вредности неког броја додаш 6, добићеш –3. Који је то број?

23

9. ада од петоструке вредности неког броја одузмеш 12, добићеш –72. Који је то број? 10. Ако двоструку вредност неког броја умањиш за 16, па добијену разлику поделиш са 4,

добићеш број –6. О ком броју је реч? 11. Реши једначине:

а) |5 x | = 10; в) |2 x + 5| = 11;

б) |4 x | ∙ (–3) = –36; г) |4 x – – 2| = 22.

12. Збир три узастопна цела броја је –714. Који су то бројеви? 13. Збир пет узастопних целих бројева је –10. Који су то бројеви? 14. Провери који од бројева из скупа А = {–10, 3, 7, –2, –8} могу бити решења неједначине

–5 ∙ х > > 35. 15. Реши неједначине у скупу целих бројева и решења прикажи на бројевној правој:

а) 5 ∙ х < –5; г) –6 ∙ х ≥ 12;

б) х : 4 > –2; д) х : (–3) > 1;

в) –3 ∙ х ≤ ≤ 9; ђ) –17 ∙ х < < –34.

16. Реши неједначине у скупу целих бројева и решења прикажи на бројевној правој:

а) 2 х + 3 < 1; г) –7 х – 1 ≤ –15;

б) 19 – 3 х ≥ 7; д) –7 + 5 х ≤ –42;

в) 1 – 3 х ≥ ≥ 10; ђ) –8 + 7 х ≤ ≤ –57.

17. Реши неједначине у скупу целих бројева и решења прикажи на бројевној правој:

а) (8 – 3 х ) : 2 ≥ –5;

б) –40 ∙ (–7 х + + 5) > –1 600.

18. Нађи заједничка решења неједначина у скупу целих бројева:

а) 2 х + + 1 > 19 и 2 х – – 1 < 21; б) –3 х + + 6 > –3 и 4 х – – 12 ≥ –8; в) –7 < 2 х + + 3 < 5. 19. Реши неједначине:

а) 3 ∙ | x x | < 15;

б) 5 ∙ | x x | < 20;

в) | x x | : 2 ≤ 15.

за које је израз 7 – (2 – 5 х ) мањи од производа бројева 20. Одреди вредности променљиве х за –11 и 5. за које је израз –15 – (3 y + + 8) већи од количника 21. Одреди вредности променљиве y за бројева –35 и 7 (7 је делилац).

24

ТЕСТ � САБИРАЊЕ САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ У Z 1. Поређај од најмањег до највећег целе бројеве из скупа

А = {–7, 12, 0, 3, –3, –4, 2, –5, 5, –1}.

_______________________________________________ 2. Нацртај бројевну праву и на њој одреди тачке А(–3) и В(6). Колико је растојање између

тачака А и В?

а) –3;

б) 3;

в) –9;

г) 9.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) 3. Израчунај и напиши одговарајући резултат:

а) –7 + (–14) = ___;

б) –27 + 11 = ___;

в) 15 – 19 =___;

г) –17 – 15 = ___.

и спред тачног одговора: 4. Израчунај |–8| – |10| – |2| + |–6|, па заокружи слово испред а) 2;

б) –10;

в) –28;

г) 26.

= –4, онда је вредност израза – а – (–b) + с : 5. Ако је а = –2, b = 3 и с = а) 1;

б) –1;

в) 3;

г) –3.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) 6. На Петровом рачуну у банци стање је –2 770 динара. Колико ће бити ново стање на

његовом рачуну ако из банке подигне 3 500 динара? а) –6 270 динара;

б) 730 динара;

в) –730 динара;

г) 6 270 динара.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) + 8) = 7 је: 7. Решење једначине –44 – ( х + а) х = 43;

б) х = –43;

в) х = –45;

г) х = = –59.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) ≥ –19 је: 8. Решење неједначине –17 – х ≥ а) х > 2;

б) х ≤ 2;

в) х ≥ –2;

г) х ≤ ≤ –36.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

. ) б ) г . 7 ; ) а . 6 ; ) а . 5 . 8 ; ; ) а 2 3 – ) г ; 4 – ) в ; 6 1 – ) б ; 1 2 – ) а 9 = В А . 2 ; 2 1 , 5 , 3 , 2 , 0 , 1 – , 3 – , 4 – , 5 – , 7 – . 1 . 4 ; . 3 ;

: А Њ Е Ш Е Р

25

ТЕСТ � МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ ДЕЉЕ ЊЕ У Z 1. Израчунај и напиши одговарајући резултат:

а) 9 ∙ (–7) = ___;

б) –13 ∙ 4 = ___;

в) –11 ∙ (–6) = ___.

2. Израчунај и напиши одговарајући резултат:

а) 72 : (–8) = ___;

б) 121 : 11 = ___;

в) –39 : (–3) = ___.

3. Вредност израза –4 + (–2) ∙ 6 – 44 : (–4) је:

а) –27;

б) –5;

в) –3;

г) –25.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) 4. Ако је а = –2 и b = –3, вредност израза 4а – 2b – 3аb је:

а) –32;

б) –20;

в) 16;

г) 4.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) 5. Ако од количника бројева –42 и 6, где је –42 дељеник, одузмеш производ бројева –13 и 9,

добићеш број: а) –124;

б) –110;

в) 110;

г) 124.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) + 1) : 5 = –3 је: 6. Решење једначине (–2 х + а) х = –7;

б) х = –8;

в) х = 8;

г) х = = 7.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) ≥ –18 је: 7. Решење неједначине 6 ∙ х ≥ а) х < 3;

б) х ≤ –3;

в) х ≥ –3;

г) х > 3.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) Тај број је: 8. Када од петоструке вредности неког броја одузмеш број 12, добићеш број –72. Тај а) х = –60;

б) х = –12;

в) х = 12;

г) х = = 60.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

. ) б ) в ) в . 6 ; ) в ) б ) б 1 ) в ; 1 1 ) б ; 9 – ) а 6 ) в ; 2 5 – ) б ; 3 6 – ) а . 1 . 8 ; . 7 ; . 5 ; . 4 ; . 3 ; 3 . 2 ; 6

: А Њ Е Ш Е Р

26

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ  РЕШЕЊА СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА = {5, –2, –7, 0, 29, 18, –35}. 1. В = {5, 29, 18}, С = 2. а) тан; ) нетан; в) тан; г) тан; – 3. N N Z

д) нетан; ђ) тан.

∈

∈

∉

∉

∉

∈

∉

∈

∉

Z ∈ ∈ ∈

∈

∈

∉

∈

∉

∉

∈

∈

∉

∉

∉

∉

0

8 –1 0 55 –14 2,5

4. а) На пример: –8, –7, –6, –5, –4; 5. –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3. 6. –6, –5, –4, –3, –2, –1. 7. а) 5; б) 0; в) 11.

б) –3, –2, –1, 0, 1.

БРОЈЕВНА ПР ПРАВА АВА 1.

–7

–4

–1

0

2

5

8

2. А А(–5), (–5), В(–2), С (–1), (–1), D(2) и Е (4). (4). 3. 12. 4. 5 јединичних дужи, 5 ∙ 3cm = 15cm. има 16 јединичних дужи, 8cm : 16 = 0,5cm. 5. Између тачака М и N има (4). 6. В(–6); С (4). 7. а) 5 јединичних дужи удесно; б) 10 јединичних дужи улево. 8. В(8). 9. S(–1). 10. Најтоплији је био Крагујевац, а најхладнији Ниш. 11. 15°С. 12. 2°С.

СУПРОТ СУПР ОТАН АН БРОЈ 1. а) –5; 2.

a

–a

б) 3; в) –100; г) 222. 7 –7

–1 1

88 –88

15 –15

–9 9

–99 99

14 – 14

3. На пример: 8 и –8; 1 и –1; –10 и 10; 73 и –73; –999 и 999.

АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ БРОЈА 1. 8, 6, 2, 19, 0, 21, 6, 14. 2. а) тачно; б) нетачно; в) нетачно; г) тачно; д) тачно; ђ) нетачно. 3. а) 16 и –16; б) 3 и –3; в) 7 и –7; г) 50 и –50. = 8 или х = = –8; б) х = = 22 или х = = –22; в) х = = 5 или х = = –5; г) х = = 17 или х = = –17. 4. а) х = 5. х ∈ {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.

27

6.

10 10

a

|a |

–6 6

–15 15

8 8

–40 40

7. а) 5 – 5 = 0; ) 0; в) 0. 8. а) 10 – 5 = 5; ) 10 – 5 = 5; в) 10 – 5 = 5; 9. а) 25; ) 32; в) 15; г) 16. 10. а) 11; ) 36; в) 70; г) 11. 11. а) 69; ) 13; в) 46; г) 30. 12. а) 75; ) 61; в) 23; г) 36. 13. а) 1; ) 11; в) 25; г) 35. 14. а)

32 32

9 9

г) 10 – 5 = 5.

a –a – (–a) |a|

9 –9 9 9

–18 18 –18 18

–6 6 –6 6

44 –44 44 44

–13 13 –13 13

25 –25 25 25

a |a|

–16 16 20 15

–4 4 8 3

5 5 9 4

–20 20 24 19

–1 1 5 0

9 9 13 8

)

|a| + 4 |a|–1

ПОРЕЂEЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. а) –20 < –19 < –14 < –8 < –7 < –3;

) –18 < –5 < 0 < 3 < 4 < 9 < 20;

в) –12 < –6 < –4 < 5 < |–7|<|8|< 17. |0|<|1|<|–5|<|9|<|–11|<|14|<|–17|<|–22|. 4|<|–17|<|–22|. 2. |0|<|1|<|–5|<|9|<|–11|<|1 3. а) –8 < –5; ) 11 > –3; в) –4 < – (–4); г) |–5| < 11; д) |–8| > |4|; ђ) |–15| = |15|. 4. а) х ∈ {–5, –4, –3, –2, –1}; ) х ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}; в) х ∈ {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}; г) х ∈ {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1}; д) х ∈ {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. а) –19; ) –11; в) 11; г) 19. 2. а) 3; ) –15; в) 0; г) 0. 3. а) 1) 45; 2) –2; 3) 6; 4) –44; ) 1) 35; 2) 96; 3) –90; 4) –185; в) 1) –62; 2) –135; 3) 33; 4) –196. 4. а) 1; ) –4; в) –2; г) –25; д) 7; ђ) –34. 5. а) –10; ) –3; в) –45; г) –230; д) –65; ђ) –7; е) –217. 6.

7. –68.

28

x

y

z

x+y

x+z

y+z

x + y + z

–2 –7 –13 19 –39

–3 18 –21 –36 152

–1 –1 46 42 191

–5 11 –34 –17 113

–3 –8 33 61 152

–4 17 25 6 343

–6 10 12 25 304

8. а)

)

+16

+

–8

25

–14

–62

–46

9

1

34

–5

19

35

17

9

42

3

–33

–17

–21

–29

4

–35

–7

9

9. а)

+8

–9

) 22

+4

–1

+(–38)

–16

+(–17)

3

+14

+(–92)

–2

–14

–94

ОДУЗИМАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. a) –11; ) 5; в) 11; г) –5. 2. а) 1) 9; 2) –15; 3) 0; 4) 0; ) 1) –7; 2) 3, 3) 13; 4) –6; в) 1) –43; 2) –4; 3) –23; 4) 16. 3. а) –9; ) –9; в) 0; г) –20; д) 30; ђ) –43; е) 19; ж) –8. 4. а) 3; ) 3; в) –13; г) 0; д) 6. 5. а) 4; ) –33; в) –68; г) –26. 6. a) –38 +15 –9

23

–15

)

–23

–17 7. а)

–40

–

19

–33

–14

–18

–37

15

–4

29

10

62

43

–66

–85

–33

–52

8. а) –11; 9.

0

+26

–9

+12

–14

)

–2

– 54 12

–42

83

29

–18

–72

37

–17

) –9; в) 9; г) 11; д) –1; ђ) 19.

a

b

a+b

a–b

|a| –|b|

17

19

36

–2

–2

–6

15

9

–21

–9

–13

–7

–20

–6

6

28

–31

–3

59

–3

29

10. а) 36; ) –4. 11. а = –32, b = 19, |a|–| b | = 13. 12. а = 12, b = –55, ( а – b) – (|a|–| b|) = 110. 13. а) –4; ) –24; в) 33; г) 50. = –8, y = = 11, z = = –22, a = 25, b = 41, c = = –19, c < a < b . 14. x = = –15, | A 15. A = –4, B = –9, C = A| = 4, |B| = 9, |C | = 15, | A A| < |B| < |C |.|. 16. 39. 17. –24. 18. –101. 19. –41. 20. 118. 21. 132. 22. 152. 23. –42. 24. –2 150. 25. –4 600. 26. 4 300. 27. –3°C. 28. –1 615m. 29.

39

–136

–31 –12 –26

70 –19

14

–150 89

–33

–133 122

–85

14 –17

–48

31 31

0

СВОЈСТВА САБИРАЊА 1. а) тан; ) тан; в) тан; г) тан. 2. а) 1; ) 36; в) 10; г) –11. 3. а) –17; ) 0; в) –146; г) 12; д) 0; ђ) –22. 4. –19 + (–18) + (–17) + ... + 18 + 19 = 0. 5. а) (– 17) + (– 9) = (– 9) + (– 17); ) – 42 + 42 < 5 + 6;

в) –7 – 27 < 59 + (–59);

г) –34 + 16 + 34 > –100 + 11 + (–10). 6.

x

y

z

x+y

y + z

( x x + y ) + z

x + ( y y + z )

12

–19

8

–7

–11

1

1

–7

31

–16

24

15

8

8

–4

–15

–76

–19

–91

–95

–95

6

12

–33

18

–21

–15

–15

y + z ). Оигледн је ( x + y ) + z = x + ( y ).

ЈЕДНАЧИНЕ ЈЕ ДНАЧИНЕ = 18; ) х = = –3; в) х = = –4; г) х = = –4; д) х = = 22; ђ) х = = 3. 1. а) х = = –7; ) х = = –18; в) х = = –16; г) х = = 0; д) х = = 39; ђ) х = = –21. 2. а) х = = –1; ) х = = 4016; в) х = = –2009; г) х = = –1000; д) х = = 0; ђ) х = = –4. 3. а) х = = 11. 4. а = –16, х =

30

= –2. 5. b = –7, х = = 4; ) х = = –10; в) х = = 20; г) х = = 14. 6. а) х = = 50; ) х = = 10; в) х = = –28; г) х = = –23. 7. а) х = = 5; г) d = = –4. 8. а) а = 44; ) b = –34; в) c = = –13. = –23. 9. х = 10. х = = 11. = –14. 11. х = 12. х = = –81. = –20. 13. х = 14. х = = –118. = –31. 15. х = 16. х = = –12. 17. х = 18. х = = 24. = 11 350. 19. х = х | = 5, х = х | = 9, х = = 5 или х = = –5; ) | х = 9 или х = = –9; 20. а) | х х | = 5, х = х | = 5, х = в) | х = 5 или х = = –5; г) | х = 5 или х = = –5. = 9 или х = = –9; ) х = = 5 или х = = –5; в) х = = 11 или х = = –3; г) х = = 4 или х = = –8. 21. а) х = = 7 или х = = –7; ) х = = 4 или х = = –4; в) х = = 1 или х = = –7; г) х = = 50 или х = = –40. 22. а) х =

НЕЈЕДНАЧИНЕ 1. а) –5, – 4, –3, –2, –1; ) –8, –7, –6, –5, – 4, –3; в) –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4. 2. а) –5, – 4, –3, –2; ) –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; в) –6, –5, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6;

г) –5, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. ≤ 3; в) х < > 16; ) х ≤ < –6. 3. а) х > < –1; ) х ≥ ≥ 7; в) х > > –8; г) х > > 3; д) х ≤ 4. а) х < ≤ –8; ђ) х ≤ ≤ –3. > 1; ) х ≤ > 5; г) х ≤ 5. а) х > ≤ –10; в) х > ≤ 0. ≥ –1; ) х ≥ ≥ –2; в) х < < –7; г) х < < 4. 6. а) х ≥ < 12; б) –8 ≤ х < 7. а) –2 < х < < 4. 8. –6 < х < < 2, (–5) + (– 4) + (–3) + (–2) + (–1) + 0 + 1 = –14. 9. а) –7 < х < < 7; б) –4 ≤ х ≤ ≤ 4; в) –4 ≤ х ≤ ≤ 4; г) –3 ≤ х ≤ ≤ 3. 10. а) –4 < х < < 6; б) –10 ≤ х ≤ ≤ 4; в) –2 ≤ х ≤ ≤ 4; г) –10 < х < < 2. < 7, 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. 11. –1 < х < ≤ 8; б) х > > –8; в) х > > –5. 12. а) х ≤ > 8. 13. Бројеве који су већи од 8, па решење можеш записати: х > 14. Од бројева који нису већи од –60, па решење записујеш овако: х ≤ ≤ –60. 15. х > > 14. 16. х > > –134. 17. х ≥ ≥ –22. 18. За више од 11°C.

МНОЖЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. a) 27; б) 20; в) –40; г) –70. 2. а) тачно; б) нетачно; в) тачно; г) нетачно. 3. а) 24; б) –24; в) –24; г) 24. 4. а) 15; б) –75; в) –18; г) –40; д) 42; ђ) 96; е) 32; ж) 40. 5. а) 2; б) –12; в) 30; г) –56; д) –90. 6. а) 1) 987; 2) –987; 3) 0; б) 1) –1 111; 2) 1 111; 3) 0; в) 1) –500; 2) 500; 3) 0;

г) 1) 4 545; 2) –4 545; 3) 0. 7. а) –7 ∙ (–3) > 4 ∙ (–9); б) –4 ∙ 5 = 4 ∙ (–5); в) –18 ∙ (–2) > 7 ∙ 5;

г) –6 ∙ 9 > 7 ∙ (–8).

31

8.

9.

х

4 ∙ х

–3 ∙ х

позитиван

позитиван

негативан

негативан

негативан

позитиван

негативан

негативан

позитиван

негативан

негативан

позитиван

а

b

с

а∙b

а∙с

b∙с

а∙b∙с

1

–2

3

–2

3

–6

–6

–9

8

–7

–72

63

–56

504

–10

–8

–5

80

50

40

–400

4

–25

2

–100

8

–50

–200

10. а) –1 000;; б) 1 000; в) 1 000; г) –1 000. 11. а) –; б) +; в) –; г) +; д) –. 12. а) 36; б) 36; в) –144; г) 144. 13. а) 92; б) –30; в) –14; г) 21. 14. а) 17; б) –10; в) –1; г) 59; д) –200; ђ) –60. 15. а) –59; б) –28; в) –67; г) –44. 16. 0. 17. 0. 18.

х

1

2

–8

–2

5

12

–10

х 2

1

4

64

4

25

144

100

19. а) 2 и –2; б) 7 и –7; в) 9 и –9; г) 10 и –10. 20. а) 162; б) 0; в) 9; г) 48; д) –64. 21. а) –8; б) –159; в) 275. 22. а) 72; б) 96; в) –42. 23. а) –65; б) 132; в) 240; г) 348. 24. А = 6, В = –6, С = –11; а) –102; б) –564. 25. А = 42, В = 38, С = = –79, С < < В < А. 26. а) –22; б) 29; в) 142; г) 420. 27. –72. 28. –139. 29. 63. 30. 385. 31. –98. 32. –139. 33. –1. 34. x ∙ y ∙ z = = –42, x ∙ z = –14, y = –42 : (–14) = 3. Ако је x најмањи, а z највећи број, могућа

решења су x = –1, z = 14 или x = –2, z = 7.

ДЕЉЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. а) тачно; б) тачно; 2. а) 7; б) –7; в) –7; 3. а) –4; б) –9; в) 5;

32

в) нетачно; г) 7. г) 4; д) –3;

г) нетачно. ђ) 9;

е) –2;

ж) –9.

4. а) 0; 5. а) 1; 6.

) 15; ) –1;

в) –15; г) 0; в) 1; г) –1.

д) –24;

ђ) 24.

а

b

а∙b

а:b

а

b

а∙b

а:b

6

–3

–18

–2

–12

4

–48

–3

–15

5

–75

–3

18

–3

–54

–6

–90

–10

900

9

–55

–11

605

5

60

–12

–720

–5

26 (или –26)

–2 (или 2)

–52

–13

7. а) –7; ) –15; в) 7; г) –9. 8. а) –5; ) 8; в) –3; г) 6. 9. а) –17; ) –4; в) 5; г) –15; д) 7; ђ) –40. 10. а) –8; ) 16; в) 48; г) 3. 11. а) –10; ) 20; в) 75; г) 3. 12. а) –1; ) 9; в) –14; г) –18. 13. а) 51; ) –33; в) 13; г) 16; д) 0. 14. а) –6; ) 2. 15. а) 72; ) –104; в) –38; г) 29. 16. а) 11; ) 87. 17. а) –81; ) –26; в) –27; г) 16. 18.

–560 000 700 –800 –35 –20 40 –7 5 –4 –10

19. 1. 20. 61. 21. –112. 22. 110. 23. –139. 24. а) а = –3, b = 3, вреднс т израза 2;

160 –8 –4 4

б) 9;

–20 2

–1

–10 –2

5

в) 16.

СВОЈСТВА МНОЖЕЊА 1. а) тачно; 2. а) a

в)

б) тачно;

в) тачно;

–12

b 4

а∙b –48

–7 22 –9

–17 –3 –8

119 –66 72

г) тачно. б) b∙а –48

а –3

b 8

с 4

а ∙ (b ∙ с ) –96

(а ∙ b) b) ∙ с –96

119 –66 72

9 –2 12

–8 –3 –1

–7 –4 5

504 –24 –60

504 –24 –60

а –1

b 5

с 15

а ∙ (b + с ) –20

а ∙ b + а ∙ с –20

4 –2

–9 –3

7 –4

–8 14

–8 14

33

3. а) –190; ) 120; в) 9 100; г) 4 200; д) –7 000. 4. а) 2а; ) –3b; в) –4(а + b); г) –10b. 5. а) –77; ) –12; в) –72; г) 50. – 8 y ; ) –35а – 63; в) –52а + 60b; г) 120 – 50а + 30b. 6. а) 6 х –

ЈЕДНАЧИНЕ ЈЕ ДНАЧИНЕ И НЕЈЕ НЕ ЈЕДН ДНА АЧИН ЧИНЕ Е 1. а) х = 7;

) х = –3; в) х = 8; г) х = –4; д) х = 28; ђ) х = –18; е) х = = –21; ж) х = 25; з) х = 8; и) х = –5; ј) х = –5; ) х = = 3. = –6; 2. а) х = –10; ) х = 11; в) х = –5; г) х = 9; д) х = –7; ђ) х = = 10. е) х = –7; ж) х = 2; з) х = = –5. 3. а) х = –6; ) х = 1; в) х = = –11. 4. х = = –33. 5. а) х = –7; ) х = –3; в) х = –5; г) х = 7; д) х = –8; ђ) х = = –2. 6. х = = –5. 7. х = = –3. 8. х = = –12. 9. х = 10. х = = –4. = 2 или х = –2; ) х = = 3 или х = –3; в) х = = 3 или х = –8; г) х = = 6 или х = = –5. 11. а) х = 12. –239, –238, –237. 13. –4, –3, –2, –1, 0. 14. –10, –8. > 2. 15. а) х < –1; ) х > –8; в) х ≥ –3; г) х ≤ –2; ) х < –3; ђ) х > 16. а) х < –1; ) х ≤ 4; ) х ≤ –3; г) х ≥ 2; д) х ≤ –7; ђ) х ≤ ≤ –7. 17. а) х ≤ 6; б) х > > –5. 18. а) 9 < x < < 11, x = 10; б) 1 ≤ x < < 3, x ∈ {1, 2}; в) –5 < x < < 1, x ∈ {–4, –3, –2, –1, 0}. 19. а) –5 < x < 5; б) –4 < x < 4; в) –30 ≤ x ≤ ≤ 30. 20. х < < –12. < –6. 21. y <

34

ТРОУГАО ПОЈАМ И НЕКЕ ВРСТЕ ВРС ТЕ ТРОУГЛОВА 1. Допуни реченице: Темена Т емена троугла морају бити бити три ___________________ ___________________ тачке. тачке. Троугао Троугао који одређују одређују тачке А, В и С обележавамо обележавамо са _______. Страница АВ се обележава са ____, страница ____ са a, а страница ____ са b. Угао САВ се обележава са ____, угао _____ са γ, а угао _____ са β.

начин: 2. Доврши обележавање темена, страница и углова троугла на уобичајени начин: а) б) в) г) А γ

b

А

β

α

С

с

3. Колико различитих троуглова је записано у низу: TAS S, ΔRAS, Δ APS, ΔSA SAT T . а) Δ ABC , ΔBAC , ΔBCA, ΔCBA; б) ΔSAR, ΔPAS, ΔTA

с лици: 4. Запиши све троуглове који се могу уочити на слици: 1) 2) 3) А А C В

4) V M

R

I



O

E С

D

M

O

T

E

R

S A

A

L

V

а) Издвој све троуглове са слике 3) чија је једна страница дуж ТА. б) Наброј све троуглове са слике 4) чије је једно теме тачка V . в) На сликама 1) и 4) уочи и наброј све наспрамне странице темену А троуглова чије је једно теме тачка А. 5. Колико троуглова је одређено датим тачкама: а) б)

A

R

R

I O

P T

V

в)

г) S

N J

N

O

N

R

K

T

E E

M

A

I

одређено са а) четири; четири; б) пет; пет; в) шест шест тачака, тачака, ако не 6. Колико различитих троуглова је одређено постоје три тачке које су колинеарне (никоје три не припадају једној правој).

35

троуглова је одређено одређено са пет пет тачака ако ако су а) три; б) четири од тих тачака тачака 7. Колико троуглова колинеарне? 8. На три паралелне праве дато је 5, 10 и 15 тачака. Ако са сваке од паралелних правих одаберемо по једну (било коју) тачку, тачку, помоћу њих увек можемо формирати троугао (оне су неколинеарне). Колико се таквих троуглова може формирати? 9. Допуни реченице: Ако су у троуглу све странице различите, називамо га ___________ ______________________ ___________________. ________. Ако су две странице троугла једнаке дужине, називамо га _______________________ _______________________ троугао, а једнаке странице називају се ____________________ ____________________ тог троугла, док је трећа страница _________________ _________________ тог троугла. Троугао чије су све странице једнаке дужине назива се ____________ _____________________ _________ троугао. 10. Једнакостраничне троуглове обој плавом, разностране зеленом, краке једнакокраких троуглова црвеном, а основице жутом бојом.

11. Израчунај обим троугла чије су странице 2cm, 4cm и 5cm. 12. Израчунај обим једнакокраког троугла ако је: а) крак 6,4cm, а основица 11cm; б) основица основица 4,1cm, а крак за 1,3cm дужи од основице. 13. Израчунај обим једнакостраничног троугла чија је страница 2,2cm.

с у дужине две странице с транице 9,5cm и 4,2cm, израчунај трећу. трећу. 14. Обим троугла је 22cm. Ако су 15. Обим једнакокраког троугла је 7,4cm. Израчунај странице троугла ако је: а) крак 2,1cm; б) основица 2,1cm. 16. Израчунај страницу једнакостраничног троугла ако је обим тог троугла 14,7cm.

УГЛОВИ ТРОУГЛА 1. Нацртај два различита троугла. Конструктивно (преношењем углова) сабери углове ова два троугла. Шта закључујеш о збировима њихових углова?

пос тоји троугао чији су углови: 2. Да ли постоји а) 50°, 60° и 70°; б) 33°, 21° и 136°; в) 82°, 33° и 64°;

36

г) 1’ , 74°57’ 74°57’ и и 105°2’ 105°2’ ?

3. Одреди трећи угао троугла ако су мере преостала два угла: а) 32° и 75°; б) 60° и 60°; в) 90° и 45°; г) 53° и 73°26 73°26’ ’ ; д) 13°37'' и 28°54 28°54’ ’ .

4. Допуни реченице: Према угловима, троуглове делимо на ____________________, ____________________, ____________________ и ____________________. ____________ ________. Троугао Троугао је ____________________ ако су сва три унутрашња угла оштра. Троугао је тупоугли ако __________________________________________________. Троугао Тр оугао је правоугли ако ____________________ _______________________________ _______________________ _______________________ ___________.. 5. Два угла троугла су: а) 15o и 73o; б) 24o и 52o; в) 34o и 56o. Којој врсти (према угловима) припадају ови троуглови? 6. Нацртај један: а) оштроугли; б) тупоугли; Какви су њихови њ ихови спољашњи углови?

в) правоугли троугао.

7. Да ли постоји троугао чији су спољашњи углови: а) 113°, 27° и 40°; б) 157°, 121° и 82°; в) 120°, 135° и 105°; г) 111°37 111°37’ ’ , 77°44’’ 77°44’’ и и 171°22’ 171°22’ 16’’ 16’’ ? 8. Одреди трећи спољашњи угао троугла ако су мере два његова спољашња угла: а) 173° и 62°; б) 102° и 148°; в) 83°47 83°47’ ’ и и 122°58’ 122°58’ ; г) 160°37 160°37’’ ’’ и и 100°10’ 100°10’ . 9. Одреди спољашње углове троугла ако су мере два унутрашња угла тог троугла: а) 21° и 73°; б) 1° и 174°; в) 38°27 38°27’ ’ и и 82°55’ 82°55’ ; г) 45°29’ 45°29’ 44’’ 44’’ и и 90°24’’ 90°24’’ ; д) 36° и 81°48 81°48’’ ’’ . 10. Одреди све углове троугла ако је: а) α = 78° и β1 = 154°; б) β = 82° и α1 = 107°52’ 107°52’ ; в) α1 = 96° и γ = 69°9’ 69°9’ ; г) α = 47°41’’ 47°41’’ и и γ1 = 136°12’ 136°12’ . 11. Да ли два спољашња угла троугла могу да буду права? А оштра?

узас топна природна броја. Одреди те углове. 12. Мере углова троугла су три узастопна 13. Одреди унутрашње и спољашње углове троуглова са слике: а) б) в)

A x

A

A

15° B

B

3 x

7 y

2 x

8 y

B

C

г)

x

2 x x + + 57° C

C

д) А

В

В

31° 130°

135° С

А

102°

82°

С

37

14. Упиши знак + у одговарајућу колону ако троугао на основу датог услова може да буде оштроугли, правоугли правоугли или тупоугли. Пази, некад ћеш ставити и три плуса за један услов.

оштр ош тро оуг угли ли пр прав аво оуг угли ли ту тупо поуг угли ли Сви унутрашњи углови су оштри. Један спољашњи угао је прав. Два унутрашња угла су оштра. Сви спољашњи углови су тупи. Један унутрашњи угао је већи од збира друга два. Разлика два унутрашња угла је 90°. Спољашњи угао је једнак суседном унутрашњем. Унутрашњи угао је већи од суседног спољашњег. Спољашњи угао је два пута мањи од унутрашњег унутрашњег.. 15. Можеш ли сечењем (покушај самостално са моделом фигуре од папира) да од: а) произвољног троугла добијеш два правоугла; б) тупоуглог троугла добијеш два оштроугла троугла; в) оштроуглог троугла добијеш један правоугли и један оштроугли троугао; г) квадрата добијеш три правоугла троугла; д) правоугаоника добијеш један правоугли, један оштроугли и један т упоугли троугао? 16. Израчунај углове троугла ако је: а) један угао за 17° већи од другог, а за 35° мањи од трећег. б) један угао два пута већи од другог, а три пута мањи од трећег трећег.. 17. Израчунај спољашње углове троугла ако је: а) α =

2 β = 1 γ; 3 2

б) 2 α = β = 2 γ. 7 9

18. Израчунај унутрашње и спољашње углове троугла ако је: а) збир два унутрашња угла троугла 142°, а један од тих углова 63°; б) α + β = 163° и β + γ = 52°. Којој врсти (према угловима) припада тај троугао? в) збир два спољашња угла троугла 287°, а њихова разлика 27°; г) збир два унутрашња угла 115°, а један од њих четири пута већи од другог; д) разлика два угла троугла 48°, а један од њих три пута већи од другог. другог.

повучена је нормала на страницу АВ, која са страницом АС гради гради угао од 19. Из темена С повучена 27°. Ако је β = 48°, израчунај углове тог троугла. 20. Израчунај остале унутрашње и спољашње углове правоуглог троугла ако је: а) један унутрашњи угао 39°; б) један спољашњи угао 111°.

( С = = 90°) повучена је нормала из темена правог угла на 21. У правоуглом троуглу АВС ( страницу АВ, коју сече у тачки D. Покажи да троуглови АВС , АСD и ВСD имају једнаке углове. пу та већи од другог другог.. Израчунај углове тог 22. Један оштар угао правоуглог троугла је три пута троугла.

38

23. азлика два оштра угла правоуглог троугла је 22°. Израчунај углове тог троугла. 24. Израчунај угао који граде симетрале унутрашњег и спољашњег угла код истог темена произвољног троугла. 25. Израчунај углове које граде: а) симетрале спољашњих тупих углова правоуглог троугла; б) симетрале оштрих углова правоуглог троугла. 26. Да ли симетрале два унутрашња угла могу да образују прав угао?

АВС С : 27. Ако је АD симетрала угла α, израчунај све углове троугла АВ а) б) А A

2 x

В

56°

87° D

С

B

3 x

109°

C

D

28. Израчунај углове правоуглог троугла ако симетрала оштрог угла са наспрамном катетом гради угао од 61°.

троуглу, симетрале правог угла и једног од оштрих углова, на пример α , 29. У правоуглом троуглу, граде угао од 100°. Израчунај спољашње углове тог троугла. 30. Покажи да је један од углова који граде симетрале углова α и β једнак 90° +

γ . 2

дата је тачка М. Покажи да је АМВ > ACB. 31. У унутрашњости троугла АВС дата

ОДНОС СТРАНИЦА И УГЛОВА ТРОУГЛА 1. Нека су α, β и γ унутрашњи углови троугла АВС , а α1, β1 и γ1 одговарајући спољашњи углови. Упореди дужине страница троугла АВС ако ако је: а) α = 30°, β = 45°; б) α = 60°, γ = 50°; в) β1 = 100°, γ = 40°; г) α1 = 147°, β1 = 88°; д) β = 20°, γ = 80°; ђ) α = 90°, γ1 = 135°; е) α1 = 120°, β = 60°. 2. Упореди углове троугла ако су дужине његових страница: а) a = 3cm, b = 5cm и c = 6cm; б) a = 7cm, b = 4cm и c = = 5cm; в) a = 2,3cm, b = 4,1cm и c = = 1,9cm. 3. Упореди величине углова и страница троугла ако је: а) α = 72o, β = 31o;

б) α1 = 143o, γ1=97°.

је најдужа ако је: 4. Која страница троугла ABC је а) угао γ туп; б) α + β = 83°; в) угао α1 оштар; г) α + β = 99° и α + γ = 118°; д) угао који граде симетрале углова β и γ једнак 136°?

39

5. Угао на основици једнакокраког троугла је 82°. Израчунај све углове тог троугла. 6. Један угао једнакокраког троугла је 105°. Одреди остале унутрашње и спољашње углове и упореди дужине основице и крака тог троугла. 7. Унутрашњи угао једнакокраког троугла је 55°. Израчунај остале унутрашње углове и упореди дужине основице и крака тог троугла. 8. Угао при врху једнакокраког троугла је четири пута већи од угла на основици. Израчунај углове тог троугла. 9. Величина половине угла на основици једнакокраког троугла једнака је петини угла при врху.. Одреди углове овог троугла. врху 10. Израчунај углове једнакокраког троугла ако: а) је спољашњи угао на основици три пута већи од угла при врху; б) угао између нормале из врха тог троугла на основицу и симетрале једног од углова на основици износи 59°. 11. Угао при врху једнакокраког троугла је 122°. Одреди угао који граде симетрале углова на основици тог троугла. 12. Симетрале углова на основици једнакокраког троугла граде угао од 149°. Израчунај величину угла при врху тог троугла и упореди дужине ду жине основице и крака. 13. Нормале повучене из темена на основици једнакокраког троугла на његове краке граде угао од 61°. Упореди дужине основице и крака тог троугла. 14. Која је најдужа страница правоуглог троугла? Зашто? 15. Израчунај унутрашње и спољашње углове једнакокраког правоуглог троугла. 16. Оштар угао правоуглог троугла је α = 27°. Упореди дужине катете тог троугла. 17. У правоуглом троуглу са правим углом у темену С : а) угао α је три пута већи од угла β; б) угао α је два пута мањи од угла γ. Упореди странице овог троугла. 18. Упореди странице троугла ако су сва три спољашња угла једнака. 19. Упореди странице троугла ако је γ = 97°, a = 13cm и b = 17cm.

с траницама квадрата конструисани су једнакостранични 20. Дат је квадрат АВСD. Над страницама троуглови BCE , CDF и и DAG, тако да са квадратом имају само заједничку страницу. Одреди углове троугла: а) ABE ; б) BFG; в) EFG.

40

АВС С ако ако је: 21. дреди углове троугла АВ а) АВ = ВМ = МС и и ВАС = 20°; б) AD = DC = = CE = = EB и 

DCE = = 30 °; в) AB = BD = DA = DC C



М D

A



А

D

E



A

B

22. Симетрала крака ВС једнакокраког троугла АВС сече крак ВС у тачки D, крак AC у тачки E, а продужетак основице AB AB у тачки тачки F. F. Одреди углове троугла троугла DEC DEC ако је CFB = 30°.

на страницу АВ (CD) и симетрала 23. Дат је троугао АВС . Угао који граде нормала из темена С на угла γ (СЕ ) је 15°. Израчунај углове троугла АВС ако ако је СЕ = = ЕВ. 24. Нека је В подножје нормале из тачке А на праву а. Покажи да је дужина дужи АВ најкраће растојање од тачке А до неке тачке на правој а.

ОСНОВНЕ НЕЈЕДНАКОС НЕ ЈЕДНАКОСТИ ТИ А СТРАНИЦЕ ТРОУГЛА ТРОУГЛА 1. Да ли постоји троугао чије су странице: а) 3cm, 4cm и 6cm; б) 3,2cm, 4,1cm и 5,2cm; в) 7,8cm, 4,1cm и 11,9cm; г) 12cm, 5cm и 6cm? 2. Процени дужину треће странице троугла ако су дужине преостале две странице: а) 4cm и 6cm; б) 3,4cm и 7,2cm; в) 8cm и 8cm; г) 1cm и 13,9cm.

пос тоји једнакокраки троугао чији су основица (a) и крак ( b) дужине: 3. Да ли постоји а) a = 4cm и b = 5cm; б) a = 5dm и b = 2cm; в) a = 7,6cm и b = 3,8cm? 4. Две странице троугла су 7cm и 3cm. Одреди све могуће вредности за меру у центиметрима дужине треће странице троугла ако је она: а) природан број; б) непаран природан број; в) паран природан број. 5. Зоран има пет штапова чије су дужине 5cm, 7cm, 10cm, 17cm и 20cm. Колико различитих троуглова се може саставити од ових штапова? 6. У којим границама може бити дужина (процени дужину): а) основице једнакокраког троугла ако је крак дужине 5cm; б) крака једнакокраког троугла ако је дужина ду жина основице 14,9cm? 7. Странице једнакокраког троугла су: а) 15cm и 7cm; Која страница је крак, а која основица тог троугла?

б) 13cm и 15cm;

в) 1m и 20dm.

41

8. Две странице троугла су 10cm и 16cm, а трећа страница једнака је по ловини једне од датих страница. Одреди дужину треће странице. 9. Дужине страница троугла су природни бројеви, а његов обим је 7cm. Одреди све могуће вредности за дужине страница с траница тог троугла. 10. Дужине страница једнакокраког троугла су природни бројеви. Колико таквих троуглова постоји ако је њихов обим: а) 8cm; б) 9cm; в) 2 008cm; г) 2 009cm. 11. Покажи да је свака страница троугла мања од полуобима тог троугла.

м оже да буде дужина једне странице тог 12. Обим троугла је 55cm. У којим границама може троугла? с транице троугла већи од полуобима тог троугла. 13. Покажи да је збир било које две странице АВС С дата дата је произвољна тачка М. Покажи да је дужина дужи СМ 14. На страници АВ троугла АВ мања од полуобима овог троугла.

дата је тачка О. Докажи да је збир растојања тачке О од 15. У унутрашњости троугла АВС дата темена троугла АВС већи већи од полуобима овог троугла. два 16. Да ли постоји троугао у коме је страница b два пута дужа од странице a, а страница c два пута дужа од странице b?

ОСНОВНЕ И ЈЕДНОСТАВНЕ КОНСТРУКЦИЈЕ ЛЕЊИРО ЛЕЊ ИРОМ М И ШЕС Ш ЕСТ ТАРО АРОМ М 1. Конструиши две кружнице полупречника 3cm и 4cm тако да: а) немају заједничких тачака; б) имају 1 заједничку тачку; в) имају 2 заједничке тачке. 2. Дата је права a и тачка А, која је ван ње. Конструиши: а) праву b нормалну на праву a, која садржи тачку А; б) праву с паралелну паралелну правој a, која садржи тачку А. 3. Дата је права a и на њој тачка А. Конструиши праву b, која је нормална на праву а и садржи тачку А. 4. Нацртај произвољну праву а. Конструиши праву b, која је паралелна правој а и налази се на растојању 3cm од ње. Колико таквих правих постоји? п остоји? 5. Нацртај две произвољне дужи, па их сабери преносећи их на произвољну полуправу Оа.

ду ж 6. Нацртај произвољан троугао АВС . Надовезивањем страница овог троугла одреди дуж чија је дужина једнака обиму троугла АВС . 7. Конструиши угао једнак датом углу α ако је угао α: а) оштар;

42

б) туп;

в) прав.

Дтт је оштар угао α и туп угао β. Конструиши угао: а) α + β; 8. Д

б) β – α;

в) 2β – α.

9. Дата је дуж АВ = 4cm. Подели ову дуж на 2, а затим на 4 једнака дела. 10. Нацртај произвољну дуж АВ. Конструиши дуж CD такву да је CD =

3 АВ. 4

11. Гусар Жиле је закопао благо. На мапи је уцртао 3 острва (нацртај 3 произвољне неколинеарне тачке). Где Где је благо закопано ако је једнако удаљено од сва три острва? 12. Дат је туп угао α. Подели овај угао на два, а затим на четири једнака дела.

АВС. С. Конструиши симетрале углова α и γ. 13. Нацртај произвољан троугао АВ

КОНСТРУКЦИЈЕ НЕКИХ УГЛОВА 1. Конструиши угао од: а) 60°; б) 120°; в) 30°; г) 90°; д) 150°; ђ) 45°; е) 135°; ж) 15°; з) 75°; и) 105°; ј) 165°. 2. Конструиши угао од: а) 22°30’; б) 67°30’; д) 7°30’; ђ) 52°30’;

в) 112°30’; е) 82°30’;

3. Конструиши угао од: а) 240°; б) 270°; в) 225°;

г) 337°30’;

г) 157°30’; ж) 127°30’;

д) 123°45’;

з) 172°30’ 172°30’..

ђ) 138°45’ 138°45’..

4. Угломером нацртај угао од 132°. Користећи тај угао, конструиши угао од: а) 16°30’; б) 33°; в) 115°30’; г) 99°.

ПОДУДАРНОСТ ТРОУГЛОВА 1. Направи од картона фигуре и резањем утврди да ли добијаш подударне троуглове ако: а) произвољан једнакокраки троугао изрежеш по правој, која је нормална на основицу и садржи врх тог троугла; б) произвољан правоугли троугао разрежеш по правој, која је нормална на хипотенузу и садржи теме правог угла; в) квадрат странице 4cm изрежеш по једној од дијагонала; г) правоугаоник страница 4cm и 3cm изрежеш по једној од дијагонала. 2. Резањем подели: а) правоугаоник страница 5cm и 6cm на 8 подударних троуглова; б) квадрат странице 8cm на 32 подударна троугла.

с лику добијаш подударан троугао? 3. Када пресликаш троугао осном симетријом, да ли као слику Нацртај на папиру произвољан троугао, затим нацртај једну праву и у односу на њу троугао симетричан почетном, па резањем провери оно што си тврдио на почетку почетку..

43

4. Нацртај произвољан троугао, па га пресликај осном симетријом, ако је оса симетрије: а) произвољна права која садржи само једно теме троугла; б) права која садржи једну страницу с траницу троугла; в) права која са троуглом нема ниједну заједничку тачку. тачку. Изрежи добијене троуглове и преклапањем утврди да ли су подударни.

АВС С и Троуглови роуглови АВ и PMR су подударни. Запиши који парови углова и који парови страница су 5. Т једнаки (једнаким бројем цртица цртица су обележене једнаке странице): а) б) в) В M P M R А A

80°

80°

62°

P

R 62°

С

R

B A

C M

B

P

C

6. Уочи и запиши парове подударних, а међусобно различитих, троуглова: а) б) в)

А

B

A

B

A C

I B

C

C

E

D

D

E

D

СТАВОВИ ПОДУДАРНОСТИ ТРОУГЛОВА Страница–угао–страница д ва троугла су подударна ако 1. По ставу подударности, који краће записујемо СУС, два _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________. 2. Докажи да су троуглови са слике подударни и запиши који елементи троуглова су једнаки: а) б) в) г) C A C A

2cm

4cm

30° 3cm B

A R

4cm P

44

30° Q 3cm

45° 22mm

C

84° 4cm

B K

L

3cm A

M

315°

6cm

52° R

B

4cm 84°

2cm

22mm

B

P

2cm

C

3cm

2cm E

44° 6cm

Q

D

3. Докажи да су дијагонале:

а) квадрата;

б) правоугаоника

једнаке.

квадрат ABCD.. Тачке M, N , P и и Q су средишта страница AB страница AB,, BC , CD CD и и DA DA.. 4. Дат је квадрат ABCD а) Докажи да је Δ ABQ  ΔBAN . б) Докажи да су сви троуглови AMQ троуглови AMQ,, BNM BNM,, CPN и и DQP међусобно међусобно подударни. угла xOy дата дата је произвољна тачка А, а на крацима тачке В и С такве такве да је 5. На симетрали угла xOy OB = OC . Докажи да је АВ = С .

Угао–страница–угао п одударности, који краће записујемо УСУ, УСУ, два троугла су подударна ако 6. По ставу подударности, _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________. 7. Докажи да су троуглови са слике подударни и запиши који е лементи троуглова су једнаки: а) б) в) A B 3cm P K 25°

6cm

45°

15°

B

20°

A

E

C

20°

6cm 15° D

45°

C

S

L

65° 3cm

T

D

8. Докажи да се дијагонале: а) квадрата;

D

б) правоугаоника полове.

9. Ако је један угао у правоуглом троуглу 30°, покажи да је катета наспрам тог угла два пута мања од хипотенузе правоуглог троугла. 10. Из произвољне тачке  симетрале угла α повучене су нормале на краке овог угла, које их секу у тачкама В и С . Докажи да је АВ = С .

Страница– страница–страница 11. По ставу подударности, који краће записујемо ССС, два троугла су подударна ако _____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________.

45

12. Докажи да су троуглови са слике подударни и запиши који елементи троуглова су једнаки: а) б) в)

4cm

A

B

B

5cm

3cm C

D

D

5cm

C

4cm

C

60°

A

7cm

7cm

D

A

60°

60° 3cm

B

E = CD = DA, докажи да је Δ ABD  ΔBDС . 13. Дате су четири тачке A, B, C , D. Ако је AB = BC = такве да је АВ = ВС . Докажи 14. На кружници са центром у тачки О одабране су тачке , В и С такве да је ΔОAB  ΔОВС . 15. Докажи да дуж која спаја теме правог угла и средину хипотенузе у једнакокраком правоуглом троуглу дели тај троугао на два подударна, такође једнакокрака правоугла троугла.

Страница–страница–угао ССУ, два троугла су подударна ако 16. По ставу подударности, који краће записујемо ССУ, _____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________. 17. Докажи да су троуглови са слике подударни и запиши који елементи троуглова су једнаки: а) б) в)

95°

S

3cm 5cm T

4cm 4cm

L

A

B D

4cm

R

1cm 2cm

5cm

C

85°

A

C

2cm

1cm

K

3cm

D

4cm

E

B

E

M

18. Докажи да нормала повучена из врха једнакокраког троугла на основицу дели ту основицу на два једнака дела. 19. На тетиву кружнице повучена је нормала из центра кружнице. Докажи да нормала дели тетиву на два једнака дела.

је СВ = 90°, АВ = 10cm, ВС = = 5cm, а у правоуглом троуглу 20. У правоуглом троуглу АВС је PQR је PRQ = 90°, PQ = 10cm и RPQ = 30°. Докажи да је Δ ABС  ΔPQR.

46

ПРИМЕНA СТ СТАВОВА АВОВА ПОДУДАРНОС ПОДУДАРНОСТИ ТИ 1. Применом сваког од четири става подударности докажи да дијагонала дели квадрат на два подударна троугла.

Дужи AB AB и и CD CD се се секу у тачки P , која их полови. Докажи да је AC је AC = = BD BD и и AD AD = = BC . 2. Дужи 3. Докажи да је свака тачка на симетрали дужи АВ подједнако удаљена од крајева те дужи.

и D, такве да је AB = CD. 4. На кружници са центром у тачки O дате су редом тачке A, B, C и Докажи да је Δ AOC  ΔBOD. дате су тачке А и В ( А на једном, а В на другом краку) у којима 5. На крацима оштрог угла xOy дате су конструисане нормале на одговарајуће краке. Ако је О = ОВ, докажи да су делови који те нормале одсецају на другом краку једнаки. л и су они подударни? п одударни? Објасни, наведи пример. 6. Ако два троугла имају једнаке углове, да ли троугла АВС дате дате су тачке E и и D такве да је AE = = AD и AEC = = ADB. 7. На страницама АВ и С троугла Докажи да је AB = AC и и EC = = BD. 8. Докажи да дужи које спајају средишта страница правоуглог троугла деле тај троугао на четири подударна троугла.

с у два правоугла троугла подударна ако су им хипотенузе једнаке? 9. Да ли су 10. Да ли су два једнакокрака троугла подударна ако су им краци једнаки? 11. Два једнакокрака троугла имају једнаке: а) основице основице и углове углове при врху; б) крак крак и угао на основици. основици. Докажи да су ови троуглови подударни. 12. На краке једнакокраког троугла повучене су нормале из темена  и В на основици. Те нормале секу одговарајуће краке у тачкама D и Е . Докажи да је АD = ВЕ и и АЕ = = ВD. 13. Докажи да симетрала угла при врху једнакокраког троугла дели тај троугао на два подударна троугла.

и ВС једнакокраког једнакокраког троугла АВС дате дате су тачке D и E такве такве да је AD = BE . 14. На крацима С и Ако се дужи AE и и BD секу у тачки O, докажи да је Δ AOD  ΔBOE . дате су тачке M и N такве такве 15. На правој која садржи основицу АВ једнакокраког троугла АВС дате да важи M – A – B, A – B – N и и AM = BN . Докажи да је Δ ACM  ΔBCN и и ΔCMB  ΔCNA. и ABD имају заједничку основицу. Докажи да је 16. Два једнакокрака троугла ABC и Δ ACD  ΔBCD ако су тачке C и и D: а) са различите стране основице; б) са исте стране основице. 17. Докажи да су средишта страница једнакостраничног троугла темена једнакостраничног троугла.

47

конструисана су три једнакостранична 18. Над страницама једнакостраничног троугла АВС конструисана троугла ABD, BCE и и CAF . Докажи да је троугао DEF једнакостраничан. једнакостраничан. Тачке ачке M и N су су средишта страница BC и и AD правоугаоника ABCD. Докажи да је 19. Т Δ AMD  ΔBNC . 20. Докажи да су средишта страница квадрата темена новог квадрата.

правоугаоника 21. Докажи да су дужи чији су крајеви средине суседних страница правоугаоника међусобно једнаке. 22. Дат је: а) квадрат ABCD; б) правоугаоник ABCD. Кроз пресечну тачку дијагонала О повучена је права p, која сече странице AB и CD у тачкама M и N . Докажи да је ΔOND  ΔOMB, ΔOCN  ΔOAM, Δ ABN  ΔCDM, Δ AND  ΔCMB и Δ ANM  ΔCMN .

C

O

B

7cm

A

7cm

D E

B

12cm

40°

A

F слика уз задатак 23 = BC = = 7cm и 23. Ако је AC =

E

12cm

= СЕ = = 12cm и углови 24. Ако је ВС = Δ AСВ  ΔDEС .

C

A

B

D

C

слика уз задатак 24 = ADC =

D

слика уз задатак 25

(види слику), докажи да је Δ AEF  ΔBEF . BDC (види BAC,

BCE и

CDE прави (види слику), докажи да је

и D као на слици. Ако је OD = OC и и OA = OB, докажи: 25. Дате су тачке A, B, C и а) AC = = BD; б) Ако је P пресечна пресечна тачка дужи AC и и BD, докажи да је Δ APD  ΔBPC ; в) Какви су троуглови CDP и и ABP ? троуглова, према страницама, страницама, припада троугао коме су а) две; две; б) три 26. Којој врсти троуглова, средње линије једнаке дужине? = 8,4cm. 27. Одреди дужине средњих линија троугла коме су странице a = 3cm, b = 7,5cm и c = 28. Одреди обим троугла коме су средње линије дужина 3cm, 4cm и 6cm. 29. Одреди обим једнакостраничног троугла чија средња линија има дужину 3,4cm. 30. Основица једнакокраког троугла има дужину 2cm, а дуж која спаја средишта основице и крака 3,2cm. Одреди обим тог троугла.

48

31. Катета правоуглог троугла је 4cm, а угао наспрам ње је 30°. Одреди дужину хипотенузе. 32. Хипотенуза правоуглог троугла је 15cm. Одреди дужину катете која са хипотенузом гради угао од 60°. 33. Дуж која спаја врх једнакокраког троугла са средином основице је два пута краћа од крака тог троугла. Израчунаj углове овог једнакокраког троугла.

КОНСТРУКЦИЈA КОНСТРУКЦИЈ A ТРОУГЛОВА ТРОУГЛОВА ако је: 1. Конструиши троугао АВС ако а) a = 5cm, b = 2cm, γ = 60°; б) c = = 4,5cm, a = 3cm, β = 45°; в) b = 6cm, c = = 0,5dm, α = 75°; г) b = 4cm, c = = 3cm, β + γ = 135°. чији је крак 4cm, а угао при врху 105°. 2. Конструиши једнакокраки троугао АВС чији 3. Конструиши правоугли троугао чије су катете 3,5cm и 4,3cm. 4. Конструиши једнакокраки правоугли троугао ако је катета тог троугла 5,3cm.

ако је: 5. Конструиши троугао АВС ако а) a = 7cm, β = 30°, γ = 45°; б) c = = 4,5cm, α = 75°, β = 30°; в) b = 4cm, α = 22°30’, β = 120°; г) a = 5cm, β = 82°30’, γ1 = 150°. 6. Конструиши правоугли троугао АВС , са правим углом у темену С , ако је: а) BC = = 4cm, β = 15°; б) b = 5cm, β = 67°30’; в) AB = 7cm, α = 60°. 7. Конструиши једнакокраки правоугли троугао ако је дужина хипотенузе 6,5cm. 8. Конструиши једнакокраки троугао ако је: а) основица a = 7cm, а угао на основици 52°30’; б) основица a = 6,7cm, а угао при врху 105°. 9. Конструиши троугао чије су странице 2,5cm, 6cm и 5cm. 10. Конструиши једнакостранични троугао странице 4cm. 11. Конструиши једнакокраки троугао чија је основица 3cm, а крак 5cm.

ако је: 12. Конструиши троугао АВС ако а) AB = 5,1cm, CB = 3,2cm, γ = 75°; в) b = 3cm, a = 7,1cm, α = 120°.

б) AB = 4cm, AC = = 7cm, β = 45°;

ако је дужина хипотенузе 13. Конструиши правоугли троугао са правим углом у темену С ако 6cm, а катете 4cm.

49

14. Конструиши троугао АВС ако је: а) b = 5cm, a = 3cm, α = 30°; б) a + c = = 9cm, α = 60°, β = 75°; в) обим троугла 10cm, α = 75°, γ = 45°.

ако је c = = 5cm, b – a = 1cm и α = 45°. 15. Конструиши троугао АВС ако 16. Конструиши троугао ако су дужине средњих линија тог троугла 2cm, 1,6cm и 2,4cm. 17. Дате су три неколинеарне тачке. Конструиши троугао коме су те дате тачке средишта страница.

ако је: 18. На правој p дата је тачка А и ван ње тачка В. Конструиши једнакокраки троугао АВС ако а) права p оса симетрије тог троугла; б) права p паралелна страници ВС . Конс труиши једнакостранични троугао троугао АВС ако ако је 19. Дата је права a и тачка А ван ње. Конструиши права a оса симетрије тог троугла.

ЗНАЧАЈНЕ ТАЧКЕ ТРОУГЛА Центар описане кружнице 1. Симетрале две странице троугла секу се у тачки А. Докажи да и симетрала треће странице садржи тачку А. 2. Да ли је за конструкцију центра описане кружнице потребно конструисати симетрале све три странице? Зашто? 3. Нацртај један а) оштроугли; б) тупоугли троугао. Конструиши описану кружницу сваког од ових троуглова. Где се налази центар описане кружнице унутар уну тар или ван троугла? Шта можеш да закључиш? 4. Где се налази центар описане кружнице правоуглог троугла? Колико симетрала страница је потребно да конструишеш да би одредио центар описане кружнице правоуглог троугла? 5. Израчунај дужину хипотенузе правоуглог троугла ако је полупречник описане кружнице тог троугла: а) 3,2cm; б) 4cm.

( АСВ=90°) тачка О је центар описане кружнице. Одреди 6. У правоуглом троуглу АВС ( углове тог троугла ако је: а) ОС=17°; б) ОСВ=44°. 7. Узми један поклопац за тегле (или било који предмет кружног облика) и помоћу њега нацртај кружницу у свесци. Одреди центар те кружнице.

Тачка ачка О је центар описане кружнице око једнакокраког троугла АВС ( ( АВ – основица). 8. Т Докажи да је Δ АОС  ΔВОС . Да ли се тачка О налази на симетрали угла АСВ? Зашто? з атим опиши кружницу око тог 9. Конструиши троугао чије су странице 5cm, 2cm и 4cm, а затим троугла.

50

ако је дужина једне катете 4cm, а полупречник 10. Конструиши правоугли троугао АВС ако описане кружнице 3cm. ако је полупречник описане кружнице 3cm и: 11. Конструиши једнакокраки троугао АВС ако а) крак 5cm; б) основица 2cm. 12. Конструиши троугао ако је a = 4cm, b = 5cm, а полупречник описане кружнице 3cm.

ако је О центар описане 13. Дате су тачке А и О. Конструиши једнакостраничан троугао АВС ако кружнице тог троугла.

Центар уписане кружнице 14. Нацртај један: а) оштроугли; б) тупоугли; в) правоугли троугао. Конструиши за сваки троугао центар уписане кружнице. Да ли се центар уписане кружнице налази увек унутар троугла? 15. Докажи да се центар уписане кружнице једнакокраког троугла налази на симетрали основице.

је α = 40° и β = 80°. Под којим углом се види свака од страница троугла из 16. У троуглу АВС је центра уписане кружнице? 17. Из тачке О, центра уписане кружнице троугла АВС , повучене су нормале на странице АВ, ВС , СА и секу их тачкама P , Q и R. Докажи да је: а) ΔOBP  ΔOBQ; б) ΔOQC  ΔORC ; в) ΔOP OPA A ΔORA.

са r је је означена дужина полупречника уписане кружнице, а са 18. У правоуглом троуглу АВС са = R дужина полупречника описане кружнице. Докажи да је r =

a+b

2

– R.

ако је основица 6cm, а полупречник уписане 19. Конструиши једнакокраки троугао АВС ако кружнице 2cm.

Висине троугла и ортоцентар оштроугли; б) тупоугли тупоугли троугао. троугао. Конструиши ортоцентар за сваки сваки 20. Нацртај један: а) оштроугли; троугао. Да ли се ортоцентар налази унутар или ван троугла? 21. Нацртај правоугли троугао и конструиши његов ортоцентар. Где се налази ортоцентар правоуглог троугла? 22. Висина једнакокраког троугла која одговара основици је 3cm. Одреди дужину крака ако је угао при врху 120°.

ако је: 23. Конструиши троугао АВС ако а) hc = 3cm, b = 5cm, c = 7cm; б) α = 75°, c = = 4cm, hc = 4cm; в) hb = 5cm, α = 45°, γ = 67° 30’; г) ha = 6cm, hb = 5cm, γ = 30°; д) ha = 2cm, α = 105°, β = 30°.

51

ако је висина која одговара хипотенузи 3cm, а 24. Конструиши правоугли троугао АВС ако дужина једне катете 4cm. 25. Конструиши једнакокраки троугао чија је основица 6cm, а висина која одговара краку 3,5cm. 26. Конструиши једнакостранични троугао чија је висина 5cm.

ако је Н ортоцентар ортоцентар 27. Дате су три неколинеарне тачке А, В и Н . Конструиши троугао АВС ако тог троугла.

Тежишне дужи и тежиште 28. Нацртај један: а) оштроугли; б) правоугли; Конструиши тежиште ових троуглова.

в) тупоугли троугао.

з начајних тачака троугла: 29. Заокружи слово испред назива значајних а) средишта страница; б) темена троугла; в) центар описане кружнице; г) унутрашњи углови троугла; д) средња линија; ђ) тежиште; е) странице; ж) центар уписане кружнице; з) ортоцентар ортоцентар;; и) полупречник уписане кружнице. 30. У ком троуглу су све значајне тачке тог троугла у његовој унутрашњости? 31. У ком односу тежиште дели тежишне дужи?

до средине странице a је 2,1cm. Израчунај дужину 32. Растојање од тежишта троугла АВС до тежишне дужи t a. до темена В је 4,4cm. Израчунај дужину тежишне 33. Растојање од тежишта троугла АВС до дужи t b. 34. Докажи да је збир дужина тежишних дужи троугла већи од полуобима тог троугла.

ако је: 35. Конструиши троугао АВС ако а) b = 6cm, t b = 5cm, c = 7cm; б) hc = 3cm, t c = 4cm, c = = 7cm; в) ha = 4cm, t a = 6cm, β = 30°; г) t a = 6cm, t b = 7,5cm, c = = 7cm. 36. Конструиши једнакокраки троугао чија је основица 4cm, а крак 6cm и у њему конструиши све значајне тачке. Шта примећујеш? 37. Конструиши једнакостранични троугао чија је страница дужине 5cm и у њему конструиши све значајне тачке. Шта примећујеш?

52

ТЕСТ � ТРОУГАО 1. Угао на основици једнакокраког троугла је 35°. Угао при врху овог троугла је: а) 35°; б) 145°; в) 27°; г) 7°; д) 110°. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 2. Две странице троугла су a = 4cm и b = 6cm. За трећу страницу троугла важи: а) 4cm < c c < < 6cm; б) 2cm < c c < < 10cm; в) c c < < 10cm; г) 2cm < c c < < 6cm; д) 4cm < c < < 10cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 3. Угао под којим се секу симетрала правог угла и симетрала спољашњег тупог угла код једнакокраког правоуглог правоуглог троугла је: а) 67°30’; б) 45°; в) 90°; г) 112°30’; д) 22°30’. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 4. По ставу СУС, два троугла су подударна ако су им једнаке: а) по две странице и углови наспрам већих страница; б) по две странице и њима захваћени углови; в) по две странице и један угао; г) по две странице и углови наспрам мањих страница; д) два унутрашња и један спољашњи угао. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 5. Два правоугла троугла су подударна ако су им подударне: а) две странице; б) катета и један унутрашњи угао; в) два унутрашња угла; г) катета и хипотенуза; д) сва три унутрашња угла. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 6. Шта од наведеног не представља значајну тачку троугла? а) тежиште; б) центар описане кружнице; в) теме; г) центар уписане кружнице; д) ортоцентар. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 7. Дужине средњих линија троугла су 2,1cm, 3cm и 2,7cm. Обим тог троугла је: а) 7,8cm; б) 6,3cm; в) 9cm; г) 8,1cm; д) 15,6cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 8. Растојање тежишта троугла ABC од средишта странице a је 3cm. Дужина тежишне дужи t a је: а) 9cm; б) 6cm; в) 3cm; г) 2cm; д) 4,5cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 9. Угао при врху једнакокраког троугла је 120°. Ако је висина која одговара основици 6cm, онда је дужина крака: а) 12cm; б) 6cm; в) 3cm; г) 9cm; д) 4cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

. ) а . 9 ; ) а . 8 ; ) д . 7 ; ) в . 6 ; ) г . 5 ; ) б . 4 ; ) д . 3 ; ) б . 2 ; ) д . 1

: А Њ Е Ш Е Р

53

ТРОУГАО � РЕШЕЊА ПОЈАМ И НЕКЕ ВРСТЕ ВРС ТЕ ТРОУГЛОВА ТРОУГЛОВА ∆ ABC ; с ; ВС ; АС ; α; АСВ; АВС . 1. Неколинеарне; ∆ ABC б) 2. а) B А α β с

А

b

a γ

α

b

С

г)

a

с

γ

С

в)

β

a

B

С

γ

γ

a

b

β

B

С

α с

А

B

b α

β с

А

3. а) 1; б) 3. 4. 1) ∆ ABE , ∆DEC ; 2) ∆ AMO, ∆ AOR, ∆ ARE , ∆ AMR, ∆ AOE , ∆ AME ; ATV TV , ∆TA TAC C , ∆VA VAC C ; 3) ∆TCE , ∆CEV , ∆VEA, ∆ AET , ∆CTV , ∆ A 4) ∆OSI , ∆MIR, ∆LAR, ∆SVL, ∆MRV , ∆ ARO, ∆VIR, ∆LOR; ATV TV , ∆TA TAC C , ∆ AET ; б) ∆SVL, ∆MRV , ∆VIR; в) EB, LR, RO. а) ∆ A 5. а) 10; б) 15; в) 9; г) 17. 6. а) 4; б) 10; в) 20. 7. а) 9; б) 6. 8. Са прве две праве можеш да одабереш укупно 5 · 10 = 50 парова тачака. За сваки од ових парова можеш да одабереш било коју од 15 тачака са треће праве, па је укупан број троуглова 50 · 15 = 750. 9. Разностран; једнакокраки; краци; основица; једнакостраничан. 10.

11. О = 11cm. 12. а) О = 23,8cm; б) О = 14,9cm. 13. О = 6,6cm. 14. 8,3cm. 15. а) Дужина основице је 3,2cm; б) дужина крака је 2,65cm. 16. 4,9cm.

УГЛОВИ ТРОУГЛА 1. Збир углова троугла је опружен угао. 2. а) постоји; б) не постоји; в) не постоји; г) постоји. 23'' ; 3. а) 73°; б) 60°; в) 45°; г) 53o34' ; д) 138°5' 23 правоугле, тупоугле; оштроугли; је један унутрашњи угао туп; је један 4. Оштроугле, правоугле, унутрашњи угао прав. 5. а) тупоугли; б) тупоугли; в) правоугли. 6. а) сви су тупи; б) један је оштар; а два су тупа; в) један је прав, а два су тупа. 7. а) не постоји; б) постоји; в) постоји; г) постоји. 23'' . 8. а) 125°; б) 110°; в) 153°15' ; г) 99°49 ' 23

54

141°33' ' , 97°5' 97°5' , 121°22' 121°22' ; 9. а) 159°, 107°, 94°; б) 179°, 6°, 175°; в) 141°33 г) 134°30' 134°30' 16'' 16'' , 89°59' 89°59' 36'' 36'' , 135°30' 135°30' 8'' ; д) 144°, 98°59 98°59' ' 12'' 12'' , 117°48'' 117°48'' . 72°8' , γ = 25°52' 25°52' , β1 = 98°, γ1 = 154°8' 154°8' . 10. а) β = 26°, γ = 76°, α1 = 102°, γ1 = 104°; б) α = 72°8' в) α = 84°, β = 26°51' 26°51' , β1 = 153°9' 153°9' , γ1 = 110°51' 110°51' ; г) β = 89°11' 89°11' 19'' 19'' , γ = 43°48' 43°48' , α1 = 132°59' 132°59' 19'' 19'' , β1 = 90°48' 90°48' 41'' 41'' . с у и два унутрашња угла права, што је немогуће. 11. Ако су два спољашња угла права, онда су Ако су два спољашња угла оштра, онда су два унутрашња угла тупа, што је такође немогуће. са x . Мере тих углова су онда x онда x , x + + 1 и x и x + + 2, па је 12. Означи најмањи од тих углова са x x + + ( x ( x + + 1) + ( x x + 2) = 180°, одакле израчунаваш мере углова троугла троугла од 59°, 60° и 61°. а) x x + + 2 x + + 3 x 3 x = = 180°, одакле је x је x = = 30° и α = 30°, β = 90°, γ = 60°, α1 = 150°, β1 = 90°, γ1 = 120°. 13. а) б) 15° + 7 y 7 y + + 8 y 8 y = = 180°, одакле је y је y = = 11° и α = 15°, β = 77°, γ = 88°, α1 = 165°, β1 = 103°, γ1 = 92°. в) 2 x 2 x + x + x + + 57° = 180°, одакле је x је x = = 41° и α = 57°, β = 41°, γ = 82°, α1 = 123°, β1 = 139°, γ1 = 98°. г) α = 180° – 135° = 45°, β = 180° – 130° = 50°, γ = 85°, α1 = 135°, β1 = 130°, γ1 = 95°. д) α = 180° – (31° + 102°) = 47°, β = 180° – (47° + 82°) = 51°, γ = 82°, α1 = 133°, β1 = 129°, γ1 = 98°. 14. оштр ош тро оуг угли ли пр пра аво воуг угли ли ту тупо поуугли Сви унутрашњи углови су оштри.

+

Један спољашњи угао је прав.

+

Два унутрашња угла су оштра.

+

Сви спољашњи углови су тупи.

+

+

+

Један унутрашњи угао је већи од збира друга два.

+

Разлика два унутрашња угла је 90°.

+

Спољашњи угао је једнак суседном унутрашњем.

+

Унутрашњи угао је већи од суседног спољашњег.

+

Спољашњи угао је два пута мањи од унутрашњег.

+

15. а) може; б) не може; в) не може; г) може; д) може. 16. а) α = β + 17°, α = γ – 35°. Сада је α + (α – 17°) + (α + 35°) = 180°, па је α = 54°, β = 37°, γ = 89°. α б) α = β · 2, α = γ : 3. Сада је α + + 3α = 180°, па је α = 40°, β = 20°, γ = 120°. 2 3 17. а) β = α, γ = 2α, одакле је α = 40°, β = 60°, γ = 80°; б) α = 70°, β = 20°, γ = 90°. 2 18. а) α = 63°, β = 79°, γ = 38°, α1 = 117°, β1 = 101°, γ1 = 142°; б) α = 128°, β = 35°, γ = 17°, α1 = 52°, β1 = 145°, γ1 = 163° тупоугли троугао; в) α = 23°, β = 50°, γ = 107°, α1 = 157°, β1 = 130°, γ1 = 73°; г) α = 92°, β = 23°, γ = 65°, α1 = 88°, β1 = 157°, γ1 = 115°; д) α = 72°, β = 24°, γ = 84°, α1 = 108°, β1 = 156°, γ1 = 96°. 19. α = 63°, γ = 69°. 20. а) α = 39°, β = 51°, γ = 90°, α1 = 141°, β1 = 129°, γ1 = 90°; б) α = 69°, β = 21°, γ = 90°, α1 = 111°, β1 = 159°, γ1 = 90°.

55

= ВDС = = 90°. Како је 21. Сва три троугла имају по један прав угао АСВ = АDС = САВ = САD = α и ВСD = 90° – β = α, то су одговарајући углови ових троуглова једнаки. и γ = 90°. 22. α = 3 · β и α + β = 90°, па је α = 22°30’ , β = 67°30’ и 23. α – β = 22° и α + β = 90°, па је α = 56°, β = 34° и γ = 90°. α 24. Угао који формира симетрала угла α са страницом је . Угао који формира симетрала 2 α 180° – α спољашњег угла код темена А са истом страницом је = 90° – . Дакле, угао 2 2 α α између симетрала је + 90° – = 90°. 2 2 25. Мере спољашњих тупих углова су 180° – α и 180° – β. Ако се симетрале секу у тачки D, α β тада су два угла троугла АВD једнака 90° – и 90° – . Трећи угао овог троугла је један 2 2 α β + од тражених углова и његова мера је 180° – (90° – ) – (90° – ) = α β = 45°. Други 2 2 2 тражени угао је 135°; б) 135° и 45°. α β 26. Ако симетрале углова α и β образују прав угао, тада је 180° – – = 90°, одакле 2 2 добијаш да је α + β = 180°, што је немогуће. 27. а) β = 56°, ADB = 93°, BAD = 180° – (56° + 93°) = 31°, α = 2 · BAD = 62°, γ = 62°; б) BAD = 2 x , ADC је је спољашњи угао троугла ABD, па је 5 x = = 109°, то јест x = = 21°48’ . Дакле, β = 65°24’ , α = 87°12’ , γ = 27°24’ . 28. Половина угла чија је симатрала повучена је 180° – (90° + 61°) = 29°, а цео угао је 58°. Дакле, оштри углови су 58° и 32°. α 29. + 45° + 100° = 180°, α = 70°, β = 20°, α1 = 110°, β1 = 160°. 2 30. Како је α + β = 180° – γ, мера траженог угла је α β γ γ – = 180° – α + β = 180° – 90 + = 90 + . 2 2 2 2 2 31. Означи пресечну тачку праве CM и дужи АВ са D. АМD је спољашњи угао троугла АМС , па је АМD = ACM + CAM и АМD > ACM. Аналогно је и ВМD > ВCM. Сада је АМВ = АМD + ВМD > ACM + ВCM = ACB.

180° –

ОДНОС СТР С ТРАНИЦА АНИЦА И УГЛОВА ТРОУГЛА ТРОУГЛА > b > a; б) β > α > γ, па је b > a > c ; в) β > α > γ, па је b > a > c ; 1. а) γ > β > α, па је c > г) β > γ > α, па је b > c > > a; д) γ = α > β, па је c = = a > b; ђ) α > β = γ, па је a > b = c ; е) α = β = γ, па је a = b = c ; 2. а) γ > β > α; б) α > γ > β; в) β > α > γ. > a > b; б) γ > β > α, па је c > > b > a. 3. а) γ > α > β, па је c > 4. а) c ; б) угао γ је туп, па је c најдужа страница; в) α је туп, па је a најдужа страница; β + γ г) α = 37°, β = 62° и γ = 81°, па је c најдужа страница; д) 180° – = 136°, β + γ = 88°, 2 α = 92°, па је a најдужа страница. 5. Како је троугао једнакокраки, углови на основици су једнаки и мере су им 82°. Мера трећег угла је 180° – 2 · 82° = 16°. 6. Угао на основици не може бити 105° јер би збир два угла на основици био 210°, што је немогуће. Дакле, угао од 105° је угао при врху. врху. Како су углови на основици једнаки, углови овог троугла су 37°30 ’ , 37°30’ , 105°. Основица је дужа од крака.

56

7. Означимо са a основицу, а са b крак једнакокраког троугла. i ) Ако је угао при врху 55°, тада су углови на основици 62°30’ 62°30 ’ и и b > a. ii ) Ако је угао на основици 55°, тада је угао при врху 70° и a > b. 8. γ = 4α, α + α + 4α = 180°, α = 30°. Углови су 30°, 30°, 120°. α γ 5 α. α + α + 5 α = 180°, α = 40°, γ = 100°. 9. = , то јест γ = 2 5 2 2 10. а) α1 = 3γ. Спољашњи угао једнак је збиру два несуседна унутрашња угла, па је α + γ = 3γ, α одакле је α = 2γ. α = 72°, γ = 36°. б) + 90° + 59° = 180°, α = 62°, γ = 56°. 2 α α 11. γ = 122°, α = 29°. Угао који граде симетрале углова на основици је 180° – – = 151°. 2 2 12. α = 31°, γ = 118°, a > b. Троугао ао кога формирају основица и нормале има углове од 13. Троуг 90° – α, 90° – α и 119°. Одатле је α = 59°30’ 59°30’ , γ = 61°, a > b. 14. Хипотенуза јер се налази наспрам највећег, правог, угла. 15. α = 45°, β = 45°, γ = 90°, α1 = 135°, β1 = 135°, γ1 = 90°. 16. β = 63°, b > a. 67°30’ , β = 22°30’ 22°30’ , c > > a > b; б) α = 45°, β = 45°, c > > a = b. 17. а) α = 3β, α + β = 90°, α = 67°30’ 18. Ако су спољашњи углови једнаки, онда су и сви унутрашњи углови једнаки, па је a = b = c . > b > a. 19. Како је γ = 97° туп угао, страница наспрам њега је највећа страница троугла, па је c > = ABC + + CBE = = 150°. ∆ ABE је је једнакокраки, па је BAE = = BEA BEA = = 15°. Дакле, 20. а) ABE = углови су 150°, 15°, 15°; б) BFG BFG = = BGF = = FBG = 60°; в) FGE = = FEG FEG = = 45°, GFE = = 90°. BMA = = BAM BAM = = 20°, ABM ABM = = 140°, BMC = = 160°, MBC = = MCB MCB = = 10°, па је 21. а) BMA α = 20°, β = 150°, γ = 10°; б) CDE = = CED CED = = 75°, ADC = = CEB CEB = = 105°, DAC = = DCA DCA = = ECB ECB = = EBC = = 37° 30’ 30’ , па је α = β = 37°30’ 37°30’ , γ = 105°; в) ABC = = BAD BAD = = ADB ADB = = 60°, ADC = = 120°, DAC = = DCA DCA = = 30°, па је α = 90°, β = 60°, γ = 30°. = BDF = = 90°, CFD CFD = = BDF = = 15°, DBF = = 75°, па је α = β = 75°, γ = 30°. Дакле, 22. CDF = углови траженог троугла су 75°, 75°, 30°. CED = = 75°, EBC = = ECB ECB = = 37°30’ 37°30’ , ACD ACD = = 22°30’ 22°30’ , CAD CAD = = 67°30’ 67°30’ , па је α = 67°30’ 67°30’ , 23. CED 37°30’ , γ = 75°. β = 37°30’ било коју тачку праве а. Тада је троугао АВС правоугли правоугли са хипотенузом 24. Означимо са С било АС . Ма како одабрали тачку С , дуж АС ће ће увек бити већа од дужи АВ јер је она хипотенуза правоуглог троугла, троугла, која је увек најдужа страница тог троугла. троугла.

ОСНОВНЕ НЕЈЕДНАКОСТИ НЕЈЕ ДНАКОСТИ ЗА З А СТРАНИЦЕ ТРОУГЛА ТРОУГЛА 1. а) постоји; б) постоји; в) не постоји; г) не постоји. 2. а) 2cm < а < 10cm; б) 3,8cm < а < 10,6cm; в) а < 16cm; г) 12,9cm < а < 14,9cm. 3. а) постоји; б) не постоји; в) не постоји. 4. а) 5cm, 6cm, 7cm, 8cm, 9cm; б) 5cm, 7cm, 9cm; в) 6cm, 8cm. 5. 4 различита троугла. 6. а) а < 10cm; б) b > 7,45cm; 7. а) крак − 15cm, основица – 7cm; б) било које од датих дужина могу бити дужине основице и крака; в) основица – 1m, крак – 20dm.

57

К ако прва не испуњава неједнакост за странице 8. Половине датих страница су 5cm и 8cm. Како троугла, то је дужина треће странице 8cm. 9. 1 cm, 3cm, 3cm и 3cm, 2cm, 2cm. 10. а) 1; б) 2; в) 501; г) 502. 2a < a + b + c , 2a 2a < O, a < O . Аналогно показујемо за остале две странице. 11. a < b + c , 2a 2 12. Свака страница је мања од полуобима троугла, па страница мора бити мања од 27,5cm. 2(a + b) > a + b + c , 2(a 2(a + b) > O, a + b > O . 13. a + b > c , 2(a 2 CM < < CA CA + + AM AM,, CM CM < < CB CB + + BM BM,, 2CM 2CM < < CA CA + + CB CB + + AM AM + + BM BM,, 2CM 2CM < < CA CA + + CB CB + + AB AB,, CM CM < < O . 14. CM 2 AO + + BO BO > > AB AB,, BO BO + + CO CO > > BC , AO AO + + CO CO > > AC AC , 2( AO 2( AO + + BO BO + + CO CO)) > AB > AB + + BC + AC + AC , AO AO + + BO BO + + CO CO > > O . 15. AO 2 Тражени и троугао не постоји јер су с у дужине страница a, b = 2a 2a, c = = 4a 4a и не важи 4a 4 a – 2a 2a < a. 16. Тражен

ОСНОВНЕ И ЈЕДНОСТАВНЕ ЈЕ ДНОСТАВНЕ КОНСТРУ КОНСТРУКЦИЈЕ КЦИЈЕ ЛЕЊИРО ЛЕЊ ИРОМ М И ШЕС Ш ЕСТ ТАРО АРОМ М 1. Нека је k 1(О1, 3cm) и k 2(О2, 4cm). а) дуж О1О2 > 7cm; б) дуж О1О2 = 7cm; в) дуж О1О2 < 7cm. 2. a) Конструкција нормале b из дате тачке A на дату праву a (детаљније у уџбенику за V разред); б) Конструкција праве с паралелне паралелне правој a кроз дату тачку A (детаљније у уџбенику за VI разред). 3. Конструкција нормале b кроз тачку A на дату праву a, ако тачка А припада правој а (детаљније у уџбенику за V разред). 4. Две праве. 5−8. Конструкције су дате детаљно у збирци за V разред. 9. Конструкцијом симетрале дужи АВ поделићеш дуж АВ на два једнака дела. Затим сваки добијени део делиш на два дела, такође конструкцијом симетрала тих делова дужи. 10. Као у претходном примеру, поделиш дуж на четири једнака дела, а затим издвојиш 3 таква дела која ће представљати дуж CD. и CA 11. Обележи три неколинеарне тачке са А, В и С . Конструиши симетрале дужи АB, BC и (довољно је конструисати симетрале две дужи, од три). У пресеку симетрала ових дужи биће закопано благо. 12. Конструкцијом симетрале угла α поделићеш угао α на два једнака дела. Затим сваки добијени део делиш на два дела, такође конструкцијом симетрала тих делова угла.

КОНСТРУКЦИЈЕ НЕКИХ УГЛОВА 1. б) 120° = 2 ∙ 60°; в) 30° = 60° : 2; г) 90° = 60° + 30°; д) 150° = 2 ∙ 60° + 30°; ђ) 45° = 90° : 2; е) 135° = 90° + 45°; ж) 15° = 30° : 2; з) 75° = 60° + 15°; и) 105° = 90° + 15°; ј) 165° = 180° – 15°. = 90° + 22°30’ ; г) 157°30’ = = 135° + 22°30 ’ ; 2. а) 22°30’ = 45° : 2; б) 67°30’ = 135° : 2; в) 112°30’ = д) 7°30’ = 15° : 2; ђ) 52°30’ = = 60° – 7°30 ’ ; е) 82°30’ = = 90° – 7°30 ’ ; ж) 127°30’ = = 120° + 7°30 ’ ; з) 172°30’ = = 180° – 7°30 ’ . 270° = 180° + 90°; 90°; 3. а) 240° = 4 ∙ 60° или 240° = 180° + 60°; б) 270° в) 225° = 180° + 45°; г) 337°30’ = = 360° – 22°30 ’ ; д) 123°45’ = = 120° + 7°30’ : : 2; ђ) 138°45’ = = (270° + 7°30’ ) : 2. (165° – 132°) : 2; б) 33° = (132° (132° : 2) : 2; в) 115°30’ = = 132° – 16°30 ’ ; г) 99° = 33° ∙ 3. 4. а) 16°30’ = (165°

58

∆CDO:: OAB = OCD OCD (углови (углови са паралелним крацима), AB крацима), AB = CD ( CD (a a), 8. a) ∆ ABO и ∆CDO OBA = ODC (углови (углови са паралелним крацима), па је на основу става УСУ ∆ ABO ∆ ABO ≅ ∆CDO CDO,, а онда је AO је AO = = OC и и BO BO = = OD OD.. Дакле, дијагонале се полове; б) Као у примеру под а). и САВ = 30°. Продужимо страницу ВС преко преко темена С и и 9. Нека је прав угао код темена С и нека је тачка Е таква таква да је САЕ = 30° и тачке В и Е нису нису са исте стране тачке С . Сада је САВ = САЕ (30°), (30°), АСВ = АСЕ (90°), (90°), АС = АС , па је (УСУ) ∆ AСB ≅ ∆ АСЕ, а онда је СB = CЕ . Троугао Т роугао АВЕ је је једнакостраничан, па је АВ = ВЕ , то јест АВ = 2СВ. α α AO, OAB = OAC (90° ( ), AO = AO (90° – ), па је на основу става 10. ∆ ABO и ∆ ACO: AOB = AOC ( 2 2 (УСУ) ∆ ABО ≅ ∆ АСО, а онда и AB = AC .

Страница–страница–страница 11. Имају једнаке све три странице. 12. а) BD = BD, AB = CD (4cm), AD = CB (7cm), па је на основу става CCC ∆ ABD ≅ ∆CDB; б) AB = DE (5cm), (5cm), AC = DC ( (r 1), BC = EC ( (r 2), па је на основу става CCC ∆ ABC ≅ ∆DEC ; в) BD = BD, AB = CD (a = 3cm), AD = CB (a = 3cm), а онда (CCC) је ∆ ABD ≅ ∆CDB. (услов задатка), AD = DC (услов (услов задатка), а онда (CCC) је ∆ ABD ≅ ∆BDC . 13. BD = BD, AB = BC (услов (r ), ), па је (CCC) ∆OAB ≅ ∆OBC . 14. AB = BC (услов задатка), OB = OB, OA = OC ( AB ACC‘ C‘ ≅ ∆BCC‘ . Како је ( ), па је (CCC) ∆ AC 15. AC = BC (услов задатка), CC‘ = CC‘ , AC‘ = BC‘ ( 2 A = B = 45°, СС'  AB, то је AC’C = BC’C = = 90°, а онда су с у троуглови АCC’ и и BCC’ једнакокраки правоугли. правоугли.

Страница–страница–угао 16. Имају једнаке по две странице и једнаке углове наспрам веће странице. (4cm), RS = KM (3cm), TSR = LMK (85°), (85°), па је на основу става ССУ ∆ TRS ≅ ∆LKM; 17. а) TR = LK (4cm), б) AB = DE (5cm), (5cm), BC = EC (4cm), (4cm), ACB = DCE (90°), (90°), па је на основу става ССУ ∆ ACB ≅ ∆DCE ; в) AB = ED (2cm), AC = EC (1cm), (1cm), ACB = ECD (унакрсни), па је (ССУ) ∆ ACB ≅ ∆ECD. 18. Нека је CD нормала повучена из врха једнакокраког троугла на основицу. Сада за ∆ ADC и ∆BDC је: CD = CD, AC = BC (краци (краци једнакокраког троугла), ADC = BDC (90°), (90°), па је (ССУ) ∆ ADC ≅ ∆BDC , а онда AD = BD. пресек тетиве АВ и нормале из 19. Нека је АВ тетива, тачка О центар кружнице, тачка С пресек центра кружнице. ∆ ACO и ∆BCO је: CO = CO , AO = BO (r ), ), ACO = BCO (90°), па је на основу става (ССУ) ∆ AOC ≅ ∆BOC и онда је AC = BC . PQ = 5cm. AB = PQ (10cm), BC = QR (5cm), ACB = PRQ (90°), па је на 20. RPQ = 30° => QR = 2 основу става (ССУ) ∆ ABC ≅ ∆PQR.

ПРИМЕНA СТ С ТАВОВА ПОДУДАРНОСТИ ПОДУДАРНОСТИ и ADC . 1. Посматрајмо троуглове ABC и а) AB = CD = a, BC = AD = a, ABC = = ADC = = 90°, па је (СУС) ∆ ABC ≅ ∆ ADC ; б) DAC = = ACB (углови са паралелним крацима), ACD = CAB (углови са паралелним крацима), AC = AC , па је (УСУ) ∆ ABC ≅ ∆ ADC ; в) AC = AC , AB = CD = a, CB = AD = a, па је (СCC) ∆ ABC ≅ ∆ ADC ; д) ABC = = ADC = = 90°, AD = BC = a, AC = AC , па је (СCУ) ∆ ABC ≅ ∆ ADC .

60

страница AB,, BC , CD CD,, DA DA.. Из подударности троуглова PBQ PBQ,, QCR QCR,, 21. Нека су P , Q, R, S средишта страница AB RPS,, SAP (сви RPS (сви троуглови имају по једну страницу дужине a , једну страницу дужине b и 2 2 прав угао захваћен њима) следи да су тражене странице једнаке. OBM = = ODN (углови (углови са паралелним крацима), BOM BOM = = DON (унакрсни), (унакрсни), BO BO = = DO DO,, 22. а) OBM па је (УСУ) ∆OND ∆OND  ∆ ∆OMB OMB,, а онда је и DN и DN = = BM BM.. Аналогно је ∆OCN ∆OCN  ∆ ∆OAM OAM,, одакле је AM = AM = CN . Како је AD је AD = = CB CB ( (a a), DN = = BM BM,, ADN = = CBM CBM = = 90°, то је (CУC) ∆ AND ∆ AND  ∆ ∆CMB CMB,, па је AN = = CM CM.. Аналогно је ∆ AМD  ∆CNB и онда је MD = NB. Како је AN = = CM, NB = MD, AB = CD, то је (CCC) ∆ ABN  ∆CDM. Како је MN = = MN , AM = CN , AN = = CM, то је (CCC) ∆ ANM  ∆CMN . (7cm), CD = CD, ADC = BDC , па је (ССУ) ∆ ADC  ∆BDC , а онда и AD = BD. Из 23. AC = BC (7cm), AD = BD, DE = = DE , ADE = BDE следи следи (СУС) ∆ ADE  ∆BDE , па онда и AED = BED, AE = = BE . Сада из AE = = BE , AEF = BEF , EF = = EF следи (СУС) ∆ AEF  ∆BEF . = ECD (40°), па 24. ACB = 50°, ECD = 40°, CED = 50°. CB = EC , ACB = CED (50°), ABC = је (УСУ) ∆ AСВ  ∆DEС . = BOD, па је (СУС) ∆ AOС  ∆BOD, а онда је и AC = BD, 25. а) OD = OC , OA = OB, AОC = ОAC = = OBD, ОCA = ODB; б) Из ОCA = ODB следи BCA = ADB, ОAC = = OBD, AD = OA – OD = OB – OC = = BC , па је (УСУ) ∆ APD  ∆BPC ; в) Из подударности под б) имамо да су троуглови CDP и и ABP једнакокраки. једнакокраки. 26. а) једнакокраки; б) једнакостранични. 27. 1,5cm; 3,75cm; 4,2cm. 28. 26cm. 29. 20,4cm. 30. 14,8cm. 31. 8cm. 32. 7,5cm. 33. 30°, 30°, 120°.

КОНСТРУКЦИЈЕ КОНСТР УКЦИЈЕ ТРОУГ ТРОУГЛОВА ЛОВА 1. а) Означимо теме угла γ са С . На једном краку угла нанећемо страницу CВ = a, а на другом страницу СА = b, чиме добијамо сва темена троугла. Аналогно конструишемо троуглове уз услове б) и в). У делу г) α = 180° – (β + γ) = 45°, што је аналогно условима в). 2. На краке угла при врху нанећемо дужину крака троугла из темена угла, чиме добијамо темена на основици траженог троугла. 3. На краке правог угла, из темена, нанећемо краке троугла, чиме добијамо сва темена. задатку, уз услов да су краци једнаке дужине од 5,3cm. 4. Аналогно претходном задатку, = a нанећемо у темену В угао β, а у темену С угао угао γ. У пресеку кракова 5. а) На страници ВС = ова два угла налазимо треће теме троугла. у темену С нанећемо нанећемо прав угао, а у темену В угао β. У пресеку кракова 6. а) На страници ВС у ових углова налазимо треће треће теме теме троугла. троугла. в) Како је познат оштар угао α правоуглог троугла, израчунаћемо угао β. На страници AB у темену А нанећемо угао α, а у темену В угао β. У пресеку кракова ових углова налазимо треће теме троугла. 7. Како су код једнакокраког правоуглог троугла оштри углови по 45°, у теменима на хипотенузи нанећемо углове по 45°. У пресеку кракова ових углова добијамо теме правог угла. 8. а) У теменима дате странице (основице) нанећемо углове на основици. У пресеку кракова ових углова углова добијамо добијамо треће теме троугла. б) Како је дат угао при при врху, врху, израчунаћемо угао на основици, након чега се конструкција своди на део под а). 9. Из једног темена странице дужине 2,5cm описаћемо кружницу полупречника 6cm, а из другог темена описаћемо кружницу полупречника 5cm. У прeсеку ових кружница добијамо треће теме троугла.

62

10. Аналогно задатку 9, страница из чијих темена описујемо кружнице, као и полупречници кружница које описујемо су дужине 4cm. 11. Из темена основице описаћемо кружнице чији су полупречници једнаки краковима троугла. У пресеку тих кружница је треће теме. 12. а) На страници ВС , у темену С , нанећемо угао γ. Из темена В описаћемо кружницу полупречника AB. У пресеку кружнице и крака угла γ налазимо треће теме троугла. конструисаћемо прав угао, а из другог темена описаћемо 13. У једном темену катете конструисаћемо кружницу полупречника једнаког дужини хипотенузе. У пресеку крака правог угла и кружнице налазимо треће теме троугла. = b, нанећемо угао α. Из темена С описаћемо кружницу 14. а) У темену А странице АС = полупречника a. Како ће пресек кружнице и крака угла α бити две тачке, задатак ће имати два решења, у зависности од тога коју пресечну тачку узмемо за теме В. б) На правој АВ одредимо тачку Е , такву да је А–В–Е и и АЕ = = a + c . Троугао ЕСВ је β једнакокраки са углом на основици основици једнаким . Како је тачка В врх једнакокраког 2 троугла ЕСВ, налазиће се на симетрали основице овог троугла. Дакле, троугао АВС конструишемо тако што на дужи АЕ = = a + c у у темену А пренесемо угао α, а у темену β Е пренесемо пренесемо угао . У пресеку кракова ова два угла налази се теме С . У пресеку 2 симетрале странице ЕС и и странице АЕ налазимо налазимо и треће теме В троугла. α β в) У теменима дужи DE чија чија је дужина ду жина једнака обиму троугла нанећемо углове и . У 2 2 пресеку кракова ових углова налазимо теме С троугла. троугла. У пресеку симетрала страница DC и и EC и и странице DE налазимо налазимо преостала темена троугла. 15. Нека је тачка D на страници АС таква да је АD = b – a. Троугао АBD можемо конструисати јер су познате две странице и угао захваћен захваћен њима. Троугао Троугао BCD је једнакокраки јер су му две странице BC и и CD дужине a. Треће теме С троугла троугла АВС налазимо налазимо у пресеку симетрале странице BD и праве AD. ду же од њих, па се 16. Како су дате средње линије троугла, странице су два пута дуже конструкција ради као у задатку 9. 17. Спајањем средишта страница добијамо дужине средњих линија траженог троугла, па се конструкција своди на претходни задатак. 18. а) Тачку В пресликамо у односу на праву p и добијамо треће теме троугла; б) Кроз тачку В конструишемо праву паралелну правој p. Из тачке А конструисаћемо кружницу полупречника АВ. У пресеку праве кроз тачку В и кружнице добијамо треће теме троугла. 19. Тачку А пресликаћемо у односу на праву a и добијамо друго теме троугла В. На тај начин добили смо дужину странице једнакостраничног троугла, па се конструкција изводи као у задатку 10.

ЗНАЧАЈНЕ ТАЧКЕ ТРОУГЛА Центар описане кружнице 1. Означимо темена троугла са P , Q и R. Нека се симетрале страница PQ и QR секу у тачки А. Како тачка А припада симетрали странице PQ, то је PA = QA. Како А припада и симетрали странице QR, то је QA = RA. Дакле, PA = QA = RA, то јест PA = RA, па тачка А припада и симетрали странице PR.

63

2. Довољно је конструисати симетрале две странице јер ће симетрала треће странице садржати пресечну тачку прве две симетрале. центар описане кружнице је увек унутар уну тар троугла. У тупоуглом 3. У оштроуглом троуглу, центар троуглу,, центар описане кружнице је увек ван троугла. троуглу 4. Центар описане кружнице правоуглог троугла налази се на средини хипотенузе. Довољно је конструисати једну симетралу странице. 5. а) 6,4cm; б) 8cm. = α = 17°, β = 73°; б) α = 46°, β = 44°. 6. а) ОСА = ОАС = 7. На кружници изабрати три произвољне различите тачке и конструисати центар описане кружнице за троугао чија су темена три одабране тачке. = OC , AC = = BC (краци), (краци), па је (CCC) Δ АОС  ΔВОС , а онда и AСO = BСO, па 8. OA = OB (R), OC = се тачка О налази на симетрали угла АСВ. и крак АС дужине дужине 4cm. Можемо 10. Нека је О центар описане кружнице троугла АВС и конструисати троугао АСО јер знамо све три његове странице (крак и две странице дужине R). Из тачке О конструисаћемо кружницу полупречника једнаког са полупречником описане кружнице. У пресеку кружнице и праве ОА налазимо тачку В. 11. Нека је О центар описане кружице. а) Можемо конструисати троугао АОС јер јер су нам познате све три његове странице (крак и две странице једнаке полупречнику описане кружнице). Такође, Такође, можемо конструисати и троугао ВОС јер јер су нам такође познате све три странице. Конструкцијом ова два троугла долазимо до темена траженог троугла. б) Можемо конструисати троугао АВО јер су нам познате п ознате све три странице (основица и две странице једнаке полупречнику описане кружнице). Центар О и теме С налазе налазе се на симетрали основице. Дакле, конструисаћемо симетралу основице АВ, а затим из тачке О описати кружницу полупречника једнаког полупречнику описане кружнице. У пресеку симетрале и кружнице добијамо треће теме троугла. 12. Нека је О центар описане кружице. Најпре можемо конструисати троугао ВСО јер су нам познате све три странице, а затим и троугао АСО чије су нам, такође, све три странице АСО О добијамо и треће теме троугла АВС . познате. Конструкцијом троугла АС једнакостраничног троугла АВС . 13. Опишимо кружницу k (O, OA). Права АО је оса симетрије једнакостраничног Она дакле дели угао ВАС на на два подударна дела. Како је ВАС = = 60°, то је ВАО = 30°. Дакле, на правој АО у тачки А конструисаћемо угао од 30° и у пресеку крака угла и кружнице добијамо теме В. Како нам је сада позната страница АВ једнакостраничног троугла, троугла, из темена В ћемо описати кружницу полупречника АВ, а у пресеку ове кружнице са кружницом k добијамо добијамо треће теме троугла.

Центар уписане кружнице уну тар троугла. 14. Центар уписане кружнице налази се увек унутар 15. Означимо пресечну тачку симетрале угла при врху и основице са Е . ∆ АЕС ≅ ∆ВЕС ( АС = = ВС , СЕ = = СЕ , АСЕ = = ВСЕ ), ), па је и АЕ = = ВЕ . Дакле, и тачка Е и и тачка С припада припада симетрали основице, то јест симетрала угла при врху поклапа се са симетралом основице. Како је центар уписане кружнице на симетрали угла при врху, припадаће и симетрали основице. 16. γ = 60°. Означимо са S центар уписане кружнице. Угао под којим се види страница a је ВSС . Угао под којим се види страница b је АSС , а угао под којим се види страница c је је β γ АSВ. Сада је ВSС = = 180 – + = 110°, АSС = = 130°, АSВ = 120°. 2 2

(

64

)

β ) и OPB OPB = = OQB OQB = = 90°, то је POB POB = = QOB QOB,, а како је 2 OB = OB = OB OB,, OP = = OQ OQ ( (r r ), ), то је (CУC) ΔOBP ΔOBP  Δ ΔOBQ OBQ;; Аналогно доказујемо б) и в). 18. Означимо са S центар уписане кружнице и са P , Q, R пресечне тачке нормала из S на странице СА, АВ, ВС . У задатку 17 смо показали да је ΔSBR  ΔSBQ, Δ ASQ  Δ ASP и и ΔPSC  ΔRSC , па је CP = = CR, AP = = AQ, BQ = BR. Како је четвороугао CPSR квадрат, то је CP = = CR = r . Такође је и AP + + BR = AQ + BQ = c = = 2R. Како је a = CR + RB и b = AP + + PC , то је a + b = CR + RB + AP + + PC = = 2r + + 2R, одакле следи тврђење. 19. Означимо центар уписане кружнице са S, а средиште основице АВ са Е . Најпре конструишемо правоугли троугао АSЕ чије су нам катете познате. познате. Конструкцијом овог троугла добили смо SАЕ , који је једнак половини угла на основици, а самим тим нам је познат и цео угао на основици. Дак ле, конструкција се своди на већ урађену конструкцију једнакокраког троугла троугла код кога нам је позната позната основица и углови углови на основици. 17. а) Како је

OBP = =

OBQ ( OBQ (

Висине троугла и ортоцентар т упоуглог ван троугла. 20. Код оштроуглог троугла ортоцентар је унутар, а код тупоуглог 21. У темену правог угла. 22. 6cm. на странице ВС , АС и и АВ. 23. Нека су А1, В1, С 1 подножја висина из темена А, В, С на а) Прво конструишемо правоугли п равоугли троугао АСС 1 код кога су нам познате хипотенуза и једна катета. Затим из темена А опишемо кружницу полупречника c . У пресеку кружнице и праве АС 1 добијамо треће теме троугла (како имамо две д ве пресечне тачке, можемо конструисати два различита троугла). б) Прво конструишемо правоугли троугао АСС 1 код кога су нам познати катета и два налегла угла. Из темена А опишемо кружницу полупречника c . У пресеку кружнице и праве АС 1 добијамо треће теме троугла. в) Конструкцијом правоуглог троугла АВВ1 код кога су нам познати катета и два налегла угла, добијамо темена А и В. Треће теме С добијамо добијамо конструкцијом троугла ВВ1С код код кога су нам, такође, познати катета и два налегла угла. г) Прво конструишемо троугао АА1С код код кога су нам познати катета и два налегла угла. Теме Т еме В добијамо у пресеку праве А1С и и праве коју конструишемо тако да је паралелна са правом АС и и на растојању hb од ње. д) Најпре конструишемо троугао АВА1 код кога су нам познати катета и два налегла угла. Након тога, на страници АВ, у темену А, конструишемо угао α. Теме С налази налази се у пресеку крака угла α и праве ВА1. = 3cm, теме правог угла С и и подножје висине на хипотенузу из овог 24. Нека је катета АС = темена С 1. Најпре конструишемо правоугли троугао АСС 1, код кога су нам познате хипотенуза и једна катета. к атета. У темену С странице странице АС конструисаћемо конструисаћемо прав угао. Треће теме В траженог троугла налази се у пресеку крака правог угла и праве АС 1. 25. Означимо подножје висине на крак са В1. Најпре конструишемо правоугли троугао АВВ1 код кога нам је позната хипотенуза (основица АВ) и један крак (висина ВВ1). У пресеку симетрале хипотенузе овог троугла и праве АВ1 добијамо теме С троугла троугла АВС . 26. Означимо подножје висине овог троугла из темена А са А1. Најпре конструишемо троугао АВА1 код кога нам је позната страница АА1 и на њој два налегла угла (прав и угао од 30°). Теме С можемо можемо конструисати тако да је В – А1 – С и и ВА1 = А1С . троугла АВС добијамо добијамо у пресеку нормале из темена B на праву AH и и 27. Треће теме С троугла нормале из темена A на праву BH .

65

Тежишне дужи и тежиште 29. в), ђ), ж), з). 30. У оштроуглом троуглу. 31. 2:1. 32. t a = 6,3cm. 33. t b = 6,6cm

a 34. Нека је А1 средиште странице ВС . Уочимо троуглове АСА1 и АВА1. Важи t a > b – , 2 a t a > c – , одакле је 2t a > b + c – a. Аналогно је 2t b > a + c – – b и 2t c > a + b – c . Ако саберемо 2 последње три неједнакости, имамо да је 2 ∙ ( t a + t b + t c ) > O, одакле следи тврђење задатка. и АВ. 35. Нека су А1, В1, С 1 средишта страница ВС , АС и а) Најпре конструишемо троугао ВВ1 A2 чије су нам странице познате. На правој АВ1 конструишемо тачку С тако да је А – В1 – С и и АВ1 = В1С . б) Нека је Р подножје подножје висине из темена С на на праву АВ. Најпре конструишемо правоугли троугао СРС 1 чију катету и хипотенузу знамо. Затим у тачки С 1 конструишемо кружницу полупречника c . У пресеку кружнице и праве РС 1 добијамо темена А и В. 2 в) Нека је Е подножје подножје висине из темена А на праву ВС . Најпре конструишемо правоугли троугао АЕА1 чију катету и хипотенузу х ипотенузу знамо. Затим конструишемо правоугли троугао троугао АВЕ код код кога су нам познати катета АЕ и и два два нал налег егла ла угл угла а ( ВАЕ = = 60°). Конструкцијом овог троугла одредили смо тачку В. На правој ВЕ конструисаћемо конструисаћемо тачку С тако тако да је В– А1–С и ВА1 = А1С . г) Означимо са Т тежиште тежиште троугла. Најпре конструишемо троугао АВТ код кога су нам познате све странице (c , 2 t a, 2 t b). На правој ВТ конструисаћемо конструисаћемо тачку В1 такву да је 3 3 В–Т –В1 и ВТ = = 2ТВ1. На правој АТ конструисаћемо конструисаћемо тачку А1 такву да је А–Т – А1 и АТ = = 2ТА1.

У пресеку правих АВ1 и ВА1 налази се теме С . 36. Све значајне тачке се налазе на симетрали основице. 37. Све значајне тачке се поклапају.

66

РАЦИОНА АЦИОНАЛНИ ЛНИ БРОЈЕВИ Б РОЈЕВИ СКУП РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА 1. Из скупа

{ 34 , – 23 , 4, – 112 , 0, 122 , 15 , – 123 } издвој подскуп:

а) природних бројева; в) ненегативних рационалних бројева;

б) целих бројева; г) негативних рационалних бројева.

2. Запиши три негативна рационална броја чији је именилац 5. 3. Запиши три негативна рационална броја чији је бројилац 12. 4. Запиши рационалне бројеве:

1 , –5 , –4 , – –5 , – 7 и – –1 у стандардном облику. об лику. –20 –2 7 –9 4 –3

5. Запиши бројеве 3, 5, 0, –2, –4 у виду разломка на три начина. 6. Запиши рационалне бројеве: –

144 , 162 , –9 234 , – 1 111 и –18 018 као целе бројеве. 8 –3 27 11 –18

7. Напиши рационалне бројеве –2, 1,

5 , – 3 , 1 , 4 тако да им бројилац буде негативан број. 3 5 4 –3

8. Запиши све рационалне бројеве које је могуће „саставити“ помоћу бројева:

а) 1, –2;

б) –2, 5, –6;

в) 4, 0, –3.

9. Запиши три позитивна рационална броја којима је збир бројиоца и имениоца једнак:

а) 8;

б) –15;

в) –20.

разл ика имениоца и бројиоца 10. Запиши три позитивна рационална броја којима је разлика једнака:

а) 10;

б) 0;

в) –3;

г) –14.

11. Запиши три негативна рационална броја којима је производ бројиоца и имениоца:

а) –8;

б) –15;

в) –4.

12. Запиши следеће скупове набрајањем њихових елемената:

а) A = x | x ∈ Z , –4 < x ≤ ≤ 3 ; 3

{

}

б) A = 2 | x ∈ Z –, x – – 1 > –7 . – x

{

}

13. Запиши следећи скуп набрајањем његових елемената: A =

{ a–+a1 | a ∈ Z , –5 < a ≤ 2}.

14. Стави један од знакова ∈, ∉ тако да добијена тврђења буду тачна:

б) 1 ___ Q; в) – 3 ___ Q – ; 2 67 15. На Веновом дијаграму десно упиши бројеве 1, –3, 16 , – 7 , – 11 , – 15 тако да сваки број 4 20 3 4 припада назначеном скупу скупу.. а) 5 ___ Q+;

д) – 21 ___ Z –. 3

г) 0 ___ Q+; Q

Z

N

67

16. Која од следећих тврђења су тачна? а) Z ⊂ Q; б) Z + ∈ Q; в) N ⊂ Q; г) N  Z – = Q;

д) Q+  Q– = Q;

ђ) Q \ Q– = N 0?

ПРЕДСТ ПРЕДС ТАВЉАЊЕ РАЦИОНАЛ РАЦИОНАЛНИХ НИХ БРОЈЕВА НА БРОЈЕВНОЈ БРОЈЕВН ОЈ ПРАВОЈ ПРАВОЈ 1. На бројевној правој (јединична дуж 2cm) представи бројеве 2, –3, –2 2. На бројевној правој (јединична дуж 4cm) представи бројеве

1 , 5 , – 14 . 4 2 2

1 , – 1 , – 1 , – 3 , –1 1 . 2 2 4 4 4

3. Ако је на бројевној правој јединична дуж 6cm, одреди све тачке између –1 и 0 чији је

именилац број 3. 4. На бројевној правој (јединична дуж 5cm) представи бројеве

1 , – 7 , 1 , – 7 , –1 9 , – 6 . 2 5 5 10 10 5

5. Одреди дужину дужи која припада бројевној правој и чије су крајње тачке:

а) 0 и 6 , 0 и 24 , 0 и – 4 , 0 и –2 1 . 7 9 7 2 б) 3 и 4 , – 12 и – 5 , – 2 и 5 , –1 6 и 4 . 4 3 5 4 3 6 9 3 6. Одреди тачку која је средиште дужи која припада бројевној правој и чије су крајње тачке:

а) – 2 и 0; 5

б) 2 и 2 1 ; 3 3

в) –5,4 и – 1 ; 2

г) –4 и 7 ; 4

д) – 3 и 2. 5

СУПРОТАН БРОЈ. АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ РАЦИОНАЛНОГ БРОЈА 1. Одреди супротан број сваког од следећих рационалних бројева:

–3 13 и 2 3 . 17 11 2. Одреди апсолутне вредности бројева:

7 , 4 1 , – 5 , –1 3 , 0, –4 37 и – 15 . 4 3 7 4 57 2

3. Одреди негативан рационални број чија је апсолутна вредност: а) 4. Одреди рационалне бројеве који имају апсолутну вредност:

а) 3 7

68

б) 4 ; 5

в) 1 5 6

г) 0;

1 , 1 1 , – 1 , – 3 , 0, 3 4 2 5

д) 2 2 9

ђ) –3 5 . 8

2 , б) 1 1 , в) 3 4 . 13 13 9

5. Попуни табеле:

x

1 2

2 5

–1 3 4

–4 1 5

–2 2 5

x

–2 1 5 2 3

– x

– x

–(– x )

| x x |

| x x | + 1

| x x | + 1 1 2

– 1 3

6. Да ли су тачне једнакости:

а) – + 4 = –4 ; –3 3

б) – –2 = 2 ; –3 3

( )

( )

в) – –4 = 4 ; 5 –5

( )

г) – 1 = –1 ? –4 4

( )


а) 2 2 – –1 3 д) – – 1 – 2

| 12 |; б) – (– 56 ) : |– 25 |; ( ( ) 25 ) · ( 34 + |– 14 |);

в) 3 1 · – 3 + 1 ; г) – –9 3 5 2 ђ) 1 3 : 2 + – 1 + 5 : – 4 5 2 6

| | ( 23 ) + |–8 45 | –7 14 ; ( | |) | 117 |.

8. Које вредности из скупа Q може имати променљива a да једнакост буде тачна: а) a = |a|; б) –a = |a|; в) a = –a; г) a = –(–a)?

1 и b = –1 1 , одреди: 2 2

9. Ако је a = –2

а) |a| + |b|;

б) –a – |b|.

10. Дате бројеве поређај у низ по апсолутној вредности, од највећег до најмањег:

а) 1; – 5 ; 1 3 4

б) 6 ; – 3 ; 1 ; –2; – 17 . 5 4 2 5

ПОРЕЂЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА 1. Скрати разломке:

а) 12 , 10 , 27 28 35 81

б) – 11 , – 16 , – 8 22 24 32

в) – 35 , – 12 , – 144 . 49 36 360

2. Одреди вредност променљиве a тако да разломци буду једнаки:

а) 2 = a ; 3 9

б) 5 = 20 ; 36 a

в) – 12 = – 48 ; 26 a

г) – 2 = a ; 7 28

д) – 3 = 21 ; 14 a

ђ) –44 = a . –24 6

3. Стави један од знакова < или > тако да тврђења буду тачна:

5 ___ 2 ; – 1 ___ 4 ; – 8 ___ – 7 ; – 4 ___ – 14 ; –1 9 ___ –3 7 и –2 2 ___ –2 4 . 12 12 7 7 5 5 11 11 9 9 9 9 4. Стави један од знакова < или > тако да тврђења буду тачна:

5 ___ 5 ; – 2 ___ 2 ; – 9 ___– 9 ; –3 3 ___ –3 3 ; –4 7 ___ –1 7 и –7 2 ___ –9 2 . 15 19 13 19 7 8 6 9 22 15 4 5

69

5. Стави један од знакова <, > или = тако да тврђења буду тачна:

2 ___ 3 ; –2 1 ___ 1 2 ; – 1 ___ – 2 ; –2 4 ___ –3 1 ; – 4 ___ 6 и –2 8 ___ –2 12 . 3 4 5 7 3 6 9 3 7 11 15 23 6. Запиши три:

а) цела броја мања од – 3 ; 4

б) рационална броја мања од – 1 , а већа од – 4 . 5 5

7. Између којих узастопних целих бројева се налази: а) 8. Одреди све целе бројеве који су између: а) –

8; 3

17 и – 7 ; 3 3

б) – 15 ; 4

в) – 177 ? 7

б) –4 2 и – 17 . 5 4

највећег, следеће бројеве: 9. Поређај по величини, од најмањег до највећег, а) –1, 1 , –1 1 , –4 1 ; 4 4 4

б) 2 , –2 2 , 3, 3 , –1 2 , –2; –2; 3 3 2 3

в) – 3 , 1 , – 5 , – 3 , 5 , – 7 . 4 2 8 2 12 12

10. На бројевној правој одабрано је шест различитих тачака, којима су придружени

рационални бројеви са имениоцем 6. Ако је најмања координата – 7 , а највећа – 2 , 6 6 одреди преостале. 11. Одреди рационалан број са имениоцем 4 који је мањи од – 12. Одреди све целе бројеве m, такве да је: а) 2 <

m ≤ 5; 5;

2

5 , а већи од – 6 . 23 23

б) – 1 < m – 3 < 2 . 10 2 5

ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС РАЦИОНАЛНОГ БРОЈА 1. Преведи рационалне бројеве у децимални запис:

а) 21 , – 5 , – 39 , –2 3 10 10 10 10

б) 526 , – 6 153 , –3 9 100 100 100

в) 5 723 , –5 942 , – 11 . 10 000 10 000 10 000

2. Именилац рационалног броја прошири до декадне јединице, а затим га запиши у

децималном запису: а) 2 ; 5

б) – 3 ; 4

в) – 12 ; 25

г) –2 3 ; 8

д) –5 3 ; 20

ђ) – 137 ; 50

е) – 154 ; 125

ж) – 1 . 250

3. Преведи рационалне бројеве у децимални запис:

а) 3 8

б) – 12 16

в) – 6 15

г) – 17 4

д) – 33 12

ђ) –2 4 5

е) –6 8 , 20

ж) –12 3 . 60

4. Децималне бројеве запиши у облику несводљивог разломка:

а) 3,25;

б) –0,5;

в) –1,2;

г) –4,125;

д) –2,24;

ђ) –0,00025,

е) –4,875.

5. Одреди супротан број сваког од рационалних бројева: 1,25; –3,28; –5,34; 6,217 и –5,55. 6. Одреди апсолутну вредност сваког од следећих рационалних бројева: –0,5; –4,52; –7,11;

5,31; 9,741 и –6,35.

70

7. дреди рационалне бројеве који имају апсолутну вредност: а) 0,8; б ) 3,725; в) –2,1. 8. Израчунај вредност израза:

а) 44,4 – |–22,2|;

в) 3,2 – – 1 + 0,9 ; 2

(| |

б) –(–3,4) – 1,16;

д) |–(+7,04)| + 1 + 6,75 – |–3,25|; |–3,25|; 2

(

)

г) –(–2,8) + 3,5 + + 3 4

)

(

|

|);

ђ) ((26,52 – |–3,59|) – 11,4) – (–(–34,58) – |–30,82|).

9. Упореди бројеве:

а) 2,14 ___ 2,4;

б) 3,12 ___ 3,002;

д) –12,12 ___ –4 2 ; 5

ђ) –3,3 ___ –3,13;

в) –5,12 ___ 1,45; е) –1 1 ___ –1,0005; 2

цела броја броја већа већа од –8,4375; 10. Запиши три: а) цела

г) –8,22 ___ –5,22; ж) – 1 ___ –0,33. 3

б) рационална броја већа од –7,5. –7,5.

11. Између којих узастопних целих бројева се налази: а) –0,6; б) –3,16; в) –11,11? 12. Поређај по апсолутној вредности (од најмање до највеће) бројеве: 2,15; –1,28; –2,3 и –13. 13. Поређај од највећег до најмањег бројеве: –12,2; –2,22; 2,12; –12,12; –2,2; 2,2 и –11,22. 14. Преведи рационалне бројеве у децимални запис: а) – 15. Запиши рационалне бројеве у облику

p : а) –0,(3); q

1; 3

б) – 5 ; 6

б) –2,(15);

в) – 1 ; 9

г) –2 5 . 18

в) –1,21(7).

–0,(7). 16. Заокругли на две децимале бројеве: –2,35156; –5,175; –22,395241 и –0,(7). 17. Бројеве –

59 , – 7 , – 31 напиши у децималном запису и заокругли их на хиљадите. 3 29 14

САБИРАЊЕ РАЦИОНАЛН РАЦИОНАЛНИХ ИХ БРОЈЕВА 1. Израчунај: а)

1 + 2 ; б) 5 + 4 ; 11 11 7 7

в) – 3 + – 4 ; 5 5

( )

г) – 5 + – 8 ; 13 13

д) –2 + – 2 . 3

2. Израчунај: а)

1 + 1 ; 3 4

в) – 1 + – 2 ; 4 3

г) –1 2 + – 7 ; 10 5

д) – 11 + –3 2 . 6 9

3. Израчунај: а) – 4. Израчунај: а) 5. Израчунај:

б) 3 + 5 ; 8 6

5 + 13 ; 17 17

4 + – 7 ; 3 2

( )

( )

б) 4 + – 3 ; 15 15

(

б) – 3 + 2 ; 8 4

)

(

(

в) 2 + – 7 ; 9 9

( ) в) 8 + (–1 3 ); 21 14

)

)

( ) (

)

г) – 8 + 1 2 ; д) –7 + 7 . 10 5 5 г) – 5 + 2; 2; 36

д) – 17 + 1 11 . 24 15

а) 2 1 + 1 3 ; б) 2 4 + –3 5 ; в) –4 5 + 2 3 ; г) –5 + 3 2 ; д) 1 9 + –5 1 . 12 16 24 6 4 9 6 8 3

(

(

6. Израчунај: а) –

)

(

2 + – 3 + 5 ; б) –2 1 + – 6 + 7 ; 3 4 6 4 8 6

( ))

(

)

)

в) 7 2 + –9 1 + –4 1 + 2 4 . 21 7 2 3

(

( )) (

)

71

7. Попуни табеле:

а)

б) –2 5 6

+

– 1 2

2 3

– 3 4

1 3

+

+

–1 1 3 2 1 4 –3 1 5

=

+

–1 1 4

+

–1 1 6

+

=

=

=

=

+

=


а) a + b ако је a = – 2 и b = 4 ; 5 15

(

9. Одреди A + B ако је A = –1 10. Израчунај збир бројева

б) (a + (–b)) + (–a) ако је a = – 2 и b = – 1 . 3 4

3 + 2 + 1 и 1 и B = 5 + – 5 + –3 1 + –1 1 . 8 3 8 6 2 3

)

(

( )) (

( ))

–5 и 7 . 3 6

11. Израчунај збир свих рационалних бројева облика

a , где где је: а) –5 < a ≤ 2; б) –4 < a ≤ 3.

7

26 и 9 додај збир њихових апсолутних вредности, па израчунај 48 6 вредност добијеног израза.

12. Збиру бројева –

13. Израчунај збир свих различитих рационалних бројева чији су именилац и бројилац

међусобно различити и узимају вредности из скупа {–4, 1, –2}.

ОДУЗИМАЊЕ РАЦИОНАЛН РАЦИОНАЛНИХ ИХ БРОЈЕВА 1. Израчунај: а)

3 – 1 ; 4 4


4 – – 7 ; 3 3


8 – 7 ; 15 15


( )

7 – – 1 ; 8 8

5. Израчунај: а) 2

72

б) 2 2 – 1 4 , 5 5

( )

3 – 3 7 ; 10 5

в) 3 – 7 ; 8 8

б) –1 1 – – 5 ; 7 7

( )

б) –5 – 1 ; 3

в) – 4 – – 15 ; 2 3

(

в) – 13 – 5 ; 24 6

б) 1 – – 20 ; 17

(

г) 3 1 – 7 2 ; 3 3

)

ђ) 2 – 12. 12. 7

г) –2 – –1 4 . 9

г) –2 11 – 17 ; 16 24

в) 1 1 – – 3 ; 10 5

б) –3 4 – 2 5 ; 12 9

)

д) 4 – 5 3 ; 5

(

)

д) – 5 – 2 . 21 14

( ) г) 158 – (– 206 ). в) –7 1 – (–3 1 ); г) 1 3 – (–1 2 ). 11 3 4 5

(

6. Израчунај: а) – 7. Израчунај: а)

5 – 3 – – 1 ; 12 4 3

) ( )

15 + 2 – 2 7 ; 24 3 8

8. Израчунај: а) збир бројева –

б) 4 – 2 1 – 7 ; 15 5 3

(

)

в) – 5 – – 3 – –1 2 . 8 6 3

(

( )) б) (– 26 + 5) – ( 7 –3 13 ); в) –7 + ((– 2 + 13 ) – (–5 5 )). 3 24 36 8 9 12

2 и 7 ; б) разлику бројева 2 3 и –1 1 , ako je 2 3 умањеник. 7 2 8 4 8

9. Састави израз и израчунај његову вредност:

а) од збира бројева –1 и 11 одузми 1 ; 13 6 б) разлици бројева – 5 и 2 2 , где је 2 2 умањилац, додај –3 3 ; 9 3 3 4 в) од збира бројева – 1 и 3 1 одузми њихову разлику (умањеник је – 1 ); 4 3 4 г) разлику бројева 3 и 13 (умањеник је 3) одузми од збира бројева 4 1 и – 3 . 5 7 5 5 , b = 3 и c = = – 1 , израчунај вредност израза: 6 4 2 а) a – b + c ; б) (a – b) – c ; в) (a – b) – (c – b).

10. Ако је a = –

разлик а између координата сваке две 11. На бројевној правој је дато пет тачака, тако да је разлика суседне тачке 5 . Ако је највећа координата 1, одреди остале четири координате. 7 12. Попуни квадрате тако да збирови у свим врстама и колонама буду међусобно једнаки:

3 4 – 1 2 – 1 3

–1 1 4

2

„

“

– 1 2 – 7 4

13 4

Да ли ће збирови по врстама и колонама бити једнаки и ако од сваког броја одузмеш –1 1 ? 4 13. За колико је разлика бројева –

4 и 3 већа од збира бројева –8 1 и 2 1 ? 5 2 2 3

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ ОДУЗИМАЊЕ БРОЈЕВА Б РОЈЕВА У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. Израчунај:

а) 12,07 + 15,3; б) 16,617 + 3,594; в) 101,75 – 4,26; г) 30,1 – 15,25; д) 2 – 1,649. 2. Израчунај: а) –2 + (–4,1);

б) –3,15 + (–2,53);

в) –3,759 + (–12,98);

г) –84,995 + (–1,005).

73


а) 15,97 + (–7,84);

б) –11,35 + 13,635;

в) –1 325,99 + 2 542,01;

г) 5 + (–5,63).

–5,32 + 6,12 + (–4,6); б) –3,2 + (–1,68 + 5); в) (–4,023 (–4,023 + 3,22) + (2,13 + (–3,827)). (–3,827)). 4. Израчунај: а) –5,32 5. Запиши све рационалне бројеве у децималном запису, па израчунај:

б) 1 + (–2,13); (–2,13); в) –3,7 + 7 + (–2,25); г) 4 1 + 6,25 + –1 3 ; 20 8 2 4 д) –7,14 + – 17 + (–2,68 + 3); ђ) 1 7 + –0,25 + –0,5 + 1 . 25 16 8 а) – 3 + 0,25; 0,25; 4

(

(

(

)

))

6. Израчунај: а) 23 – 75,25;

(

(

б) 14,2 – 24,1;

7. Израчунај: а) –53 – (–25,6);

(

))

в) 426,295 – 732,75;

б) –35,35 – (–77,1);

( ))

г) 7,125 – 53.

в) –23,12 – (–23,21);

г) –1,01 – (–0,002).


а) –34 – 56,12;

б) –23,42 – 34,2;

в) –5,76 – 1,456;

г) 8,43 – (–6,34);

д) 0,26 – (–3,54).

9. Израчунај вредности израза:

а) –0,7 – 2 – (–1,2 + 0,3); 0,3); б) (1,3 + (–2,6)) – (–4 – 1,6); в) – 7 – 2,4 – –2,3 + – 5 2 г) 13 – 5 – 2 1 – 0,315 – (0,94 – 4,11) ; д) – 0,26 + – 11 + 1 3 + 1 – 2 25 20 8 4 8 8

(

)

(

( ((

)

))

(

(

( 95 ))); )) (( 107 ) –3,14). (

10. Одреди вредност израза:

а) a – b ако је a = –2,4 и b = – 3 ; б) ((a – |b|) – a) + (b – (–a – b)) ако је a = – 3 и b = 0,2. 2 5 11. Попуни табелу помоћу правила:

а) a–b a

b

–2,4

1,9

–0,6

б) –8,6

a+b a

b

–1,8 1,6 –1,8

74

–0,7

–1,8

0,3


а) збир бројева –3,5 и 4,8; б) од збира бројева –3,9 и –8,2, одузми број –1,1; в) разлику бројева – 3 и –0,105, где је –0,105 умањилац, одузми од збира тих бројева. 24 Стојанов нов рачун у банци је ј е у минусу за 3 497,29 динара. Стојан је на рачун уплатио 2 483 13. Стоја динара. Колико је Сто Стојан јан у минусу након уплате? 14. Запиши два негативна и два позитивна децимална броја. Одреди збир сва четири броја

и збир и разлику разлик у најмањег и највећег записаног броја.

СВОЈСТВА СВОЈСТВ А САБИРАЊА РАЦИОНАЛН АЦИОНАЛНИХ ИХ БРОЈЕВА 1. Попуни следеће табеле:

a

b

c

1,2

5

–2,3

0,005

– 3 5

–2,4

a+b

(a + b) + c

b+c

b+a

b+c

a + (b + c )

1 4 – 1 8 –1,5

a

b

c

a+b

–3,25

1 4

–5,75

– 3 4

–3,8

–0,2

c+b

2. Користи својства комутативности и асоцијативности за сабирање и израчунај:

а) – 1 + –1 1 + 3 ; 2 2 4 г) 0,56 + 2,4 + 1,44;

( )

б) –2 5 + 2 + 1 1 ; 6 3 3 д) 4 + (–2,001) + (–1,999);

в) 3 + 0,7 + –2 1 ; 5 5 ђ) –21,08 + 35,11 + (–9,42) + 5,39.

( )

3. Не рачунајући вредност израза, стави један од знакова <, > или = тако да тврђење буде

тачно: а) – 2 + 3 ___ – 2 + 1 ; б) – 5 + – 6 ___ – 5 + – 6 ; в) –1 3 + 1 ___ 0,5 + – 10 ; 7 9 4 9 2 6 7 8 7 7 2 г) – 5 + – 3 + 7 ___ – 3 + 7 + 5 ; д) – 3 + 1 2 – 1 ___ – 1 + 5 – 3 . 10 3 6 2 11 2 11 6 5 3 10 5

( )

(

) (

( ) ( ) (

)

2 , израчунај вредност израза: 3 1 а) a – + b; б) a + b + 1 ; в) a – 1 2 + b + 1 2 ; 4 3 3 3

(

)

)

4. Ако је a + b = –

(

)

(

)

(

) (

)

г) a – 3 + b – 1 . 4 2

(

) (

)

75

1 , израчунај вредност израза: 6 1 а) a – b – 1 ; б) a + 3 – b; в) a – 1 – b + 2 3 ; 12 3 2 4

5. Ако је a – b = –2

(

)

(

)

(

) (

г) a + 1 – b + 1 1 . 4 2

)

(

) (

)

3 , допиши бројеве тако да добијеш тачну једнакост: 5 а) (a – ____ ) – b = – 1 ; б) (a + ____ ) – b = – 1 ; в) a – (b + ____ ) = –0,7; 10 2 г) (a – ____ ) – ( b – 0,4) = 0; д) (a –1 2 ) – (b + ____ ) = 1. 5 6. Ако је a – b =

ЈЕДН ЈЕ ДНА АЧИН ЧИНЕ Е СА С А САБИ С АБИРАЊЕМ РАЊЕМ И ОДУЗ ОДУЗИМА ИМАЊЕМ ЊЕМ 1 решење једначине: 8 б) 9 – x = = 0; 0; в) x – – 5 = – 29 ; 8 8 2

1. Провери да ли је –1

а) x + 1= –2;

г) – x + + 3 – 2,4 = – 21 . 40 4

(

)

2. Реши једначине (2–5):

а) x + + 1 = 1 ; 3 2

б) 3 + y = = 1 2 ; 4 3

в) z – – 2 = 0,75; 0,75; 5

г) 2,4 – a = 2 1 ; 5

д) 4,3 = 5,2 – b.

+ 3. а) x +

4 = – 1 ; б) t + 0,4 = –1,25; в) – 3 + x = = 2,5; 2,5; г) 14 = – 17 + t ; д) x + + – 1 = – 3 . 3 6 5 2 7 2 4

– 4. а) d –

12 = – 5 ; 15 3

б) f – 0,41 = –7,02;

в) d – – (–0,5) = 1 ; 3

3 – y = = 3 1 ; 8 2

б) 0,7 – a = –1,05;

в) –3,2 – y = = –2 1 ; 5

5. а) 2

( )

г) –10 5 = f – – 7,4. 7,4. 7 г) – 13 = – 1 – a. 4 6


а) – x + + 2,4 = 7 ; 9

б) – x – – 1 3 = –2 1 ; 5 2

в) –7,12 – (– x ) = 6,72;

г) 6 + (–x) = 1. 1. 5


а) z + 6 + 2 = –1; –1; z + 14 7

б) 4,5 + b – 4 = 5 – 4; 4; в) x – 2 – 1 1 = 1 + – 5 ; x – 5 4 9 3 2 6 г) (2,8 – x ) – 5,2 = –2,4 + 1,3; д) 3 6 – 4 1 + z = 2 – 0,25; 0,25; ђ) 7 – a – – 3 = 6 – 1 ; 7 2 8 2 4 е) 4 1 + – 2 – x – 1 = –0,75; –0,75; ж) 6,4 – 1 + (1,6 – y ) – 1 3 = –3,2 + 0,8. 0,8. 2 3 4 6 5

(

)

(

)

(

(

(

(

(

))

1 = 3 1 ; б) | y y | – 2 1 = –0,25; y | = –1 2 + 4 1 ; –0,25; в) 2 – | y 4 3 6 5 4 д) 2 – 1 + y – 1 = – 7 ; ђ) 11 – y – 4 = 1,2 – – 5 + 2 . y – 12 9 6 8 3 5 8 9

(

)

y | + –2 8. Реши једначине: а) | y

(

|

9. Када непознати број саберемо са –

76

( ) ( | |)

)

(| | ))

г) | y + 1| – 3 = 3,75; 3,75; y + 4

)

|)

(|

| )

(

7 , добијамо број 1 . Одреди непознати број. 8 4

)

б и се добио број једнак збиру бројева –3,2 и 10. Који број треба умањити за 0,3 да би

5? 8

2 и –1,6 добићемо разлику ових 5 бројева, где је –1,6 умањилац. Одреди непознати број.

11. Ако непознати број одузмемо од збира бројева –1

2 одузмемо разлику бројева –2 1 и 0,2 (умањилац је 0,2), 9 3 добићемо аритметичку средину три најмања различита природна броја. Одреди број a.

12. Ако од збира бројева a и –

1 – (k – – 0,5) + 7 има вредност 1,25. 3 4 2 1 (умањеник је –4 2 ) одузме од збира бројева 2 и 14. Када се разлика бројева –4 и 5 15 5 15 5 – , добија се збир бројева 3 и n. Одреди број n. 3 за коју израз – 13. Одреди вредност променљиве k за

(

)

НЕЈЕДНА НЕЈЕ ДНАЧИНЕ ЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ С АБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ ОДУЗИМАЊЕМ 1 ; 1 3 ; –2 5 ; 0,25; –2,14 у –2,14 у неједначини, одреди који од датих бројева 2 5 8 припадају скупу решења неједначине:

1. Заменом бројева –3;

а) x > > 1 ; 3

б) y + + 3 < – 7 ; 4 4

в) k – 1,45 ≤ 0,55;

г) 3 1 – d < < –1 1 ; 10 10

д) –0,8 > s – 1,4.

2. Реши неједначину и решења прикажи на бројевној правој (2–6):

1 а) x + + 3 > 4 ; б) y – – 0,5 ≥ 5 ; в) 2 5 – z < < 1 4 ; г) 1 1 < 0,6 + q; д) 3 1 – ( p p – 1) ≤ 1 . 12 10 4 3 6 6 2 3 3. а) a +

1 < – 14 ; 3 2

– 0,125 < – 4. а) x – 5. а) –10

5; 8

в) –0,75 + c ≥ ≥ –1 5 ; г) 1,7 + 1 ≥ 3,2 + d . ( ) 12 2 б) x – – (– 5 ) < 3 ; в) x – – 14,5 ≥ –15 5 ; г) –7 1 ≥ x – – 4,4. 4,4. 14 7 6 5

б) b + – 3 > –1; –1; 8

5 – p ≤ –7 1 ; 12 6

б) 3,3 – q > 4,7 – 4 ; 5

в) –5,2 – r ≤ ≤ –8 9 ; 20

б) 25 1 – (– x ) < 23 1 ; в) 10 5 ≥ – x + + 7 1 ; 18 6 3 9

6. а) – x + 2,6 > 1,4;

г) –1 1 > 5 4 – t . 2 5 г) – x – – 1 11 > –5,17 + 4,92. 12

7. Реши неједначине (7–8):

а) 3,27 – y – – 7 1 ≤ 2 1 – 8 1 ; б) –1 4 + y + + 15 50 20 5 5 г) 4 1 – 1 – y ≥ 3 1 – 1 ; д) (4,25 + y ) – 3,1 < 15 12 5 2

(

8. а) | x x | > 2

3; 7

)

б) | x x | ≤ 4,42;

в) | x x | > –2,55;

3 < –3 1 – 3 ; в) 1 2 + 14 10 7 9 1 – 1 ; ђ) 7 – 5 – y + 15 3 12 8

((

г) | x x | ≤ –5 4 ; 11

( 43 – y ) ≤ 56 ; > 2 – 8 . ) 13 ) 15 3 5

д) 11 + (| x x | – 2,625) > –1. 8

(

9. Одреди највећи цео број који задовољава неједначину 2

1 – a – 1 > 4 2 . 2 5 3

)

77

( 23 + ( x x + + 0,5) – (a + 1,25)) – (3 16 – 14 ) < –3 13 ако је a решење једначине (a – 1 1 ) + (–1 1 – 1 ) = – 5 . 18 9 3 6

10. еши неједначину 1

11. Које бројеве можеш сабрати са –11

1 тако да добијеш број мањи од 3,2? 6

12. Које бројеве можеш одузети од збира бројева –5

мањи од 1?

7 и 3 5 тако да добијеш број не 12 6

13. Од ког броја можеш одузети збир бројева 0,52 и –2,4 да добијеш број већи од њихове

разлике, где је 0,52 умањеник? 17 и 13 , где је 13 умањилац, тако да 5 3 3 добијеш број не већи од збира бројева 3 , –2 2 и – 1 ? 4 3 5

14. За који број можеш умањити разлику бројева

15. Марко је првог јутра измерио температуру ваздуха. У подне је била виша за 7,2°С

него ујутру, ујутру, а увече за 5,3°С нижа него у подне. Следећег ју тра, Марко је измерио да је температура за 3,9°С нижа него претходне претходне вечери. Ако је термометар термометар другог јутра показивао мање од –2,6°С, колика је могла да буде температура првог јутра?

МНОЖЕЊЕ РАЦИОНАЛН РАЦИОНАЛНИХ ИХ БРОЈЕВА 1. Израчунај:

а) 3 · 4 ; 5

б) 2 · 8; 8; 7

2. Израчунај: а) 5 · (–4);

в) 25 · 0; 16

г) 2 · 4 ; 7 5

б) –7 · 3;

в) –6 · (–7);

д) 10 · 14 ; 21 15

ђ) 2 3 · 8 ; 4 33

г) –11 · (–65) + 320;

е) 3 7 · 1 19 . 10 21

д) 22 + 6 · (–7).

3. Запиши у облику производа и израчунај:

а) 1 + 1 + 1 ; 5 5 5

б) – 3 + – 3 ; 4 4

( )

в) – 2 + – 2 + – 2 + – 2 ; 9 9 9 9

( ) ( ) ( )

г) – 5 + – 5 + – 5 . 8 8 8

( ) ( )

4. Израчунај (4–8):

а) 4 · – 4 ; 5

( )

б) – 4 · 3; 3; 9

в) –8 · 3 ; 4

г) – 11 · 0; 14

д) – 17 · (–8); 12

ђ) –18 · – 7 . 12

(

)

5 · 6 ; б) – 2 · – 4 ; в) –1 1 · – 3 ; г) 7 · – 16 ; д) –2 5 · –1 4 ; ђ) – 16 · 27 ; 12 21 81 64 7 11 3 6 3 4 8 7 е) –8 4 · –1 7 ; ж) –11 11 · 5 ; з) – 8 · 3 · – 5 ; и) 25 · – 3 · – 24 . 15 15 11 15 4 12 36 10 75 8

( )

5. а) –

(

6. а) –

78

)

2 · 7 + 1 ; б) 3 · –1 7 – 1 ; 12 3 4 6 8 9

( )

( )

(

)

( ) ( ) ( )( ) в) – 3 + 2 · 3 ; г) 1 1 – 2 · (– 3 ); д) – 2 + 1 · 2 . 10 5 5 4 6 9 5 4 3

. ) ( ) в) (– 49 + 1 13 ) · 163 ; г) –5 113 · (– 23 + 12 29 ) 2 + 3 · –4 + 1 ; б) 1 · –4 + 2 + 2 · 4 ; в) 1 + 1 · 1 – 2 · – 7 ; 8. а) (– ( 10 5 ) ( 3 3 ( 6 )) 21 14 ) ( 2 ) 2 ( 3 ) 3 г) 7 + ( 4 + 1 · ( 3 – 1 · ( 2 – 1 ) – 1 )); д) (2 3 – (2 3 + 7 ) + ( 7 – 1 ) · 2 1 ) · 3 1 – 1 . 12 15 6 3 3 8 6 3 4 2 5 4 10 2 4 20 7. а) –

3 · – 3 + 1 14 ; 15 4 5

(

б) 5 – 5 · – 2 ; 8 6 5

)

(

3 и b = 6 : 4 35 а) a · b; б) (a · b) – a; в) (5 · a) · b; г) a · b · a.

9. Израчунај вредност израза за a = –1

10. Од производа бројева

3 и – 10 одузми број – 3 . 5 21 7

11. Израчунај производ збира и разлике бројева – 12. Производ бројева

2 и –2 1 (умањеник је – 2 ). 3 4 3

5 и 8 одузми од производа бројева –1 3 и 8 . 16 15 8 33

13. Ако је умањилац збир бројева

разлику.

2 и – 5 , а умањеник производ ових бројева, израчунај 9 6


а) 3,56 · 10;

б) 5,2 · 1 000;

в) 100 · 0,067;

г) 2,3 · 4,8;

д) 0,06 · 0,9;

ђ) 5,513 · 1,15.

15. Запиши у облику производа и израчунај:

а) –2,3 + (–2,3) + (–2,3);

б) –0,04 + (–0,04) + (–0,04) + (–0,04);

в) –8,8 + (–8,8).

16. Попуни табелу:

·

10

100

1 000

10 000

100 000

–5,93 –1,506 –0,0037 17. Израчунај (17–20):

а) –3,6 · 100; б) –4,33 · (–1 000); в) 5,101 · (–10); г) 10 · (–0,55); д) –10 000 · (–0,543); ђ) 9,2 · 20; е) 40 · (–6,22); ж) –80 · (–4,16); з) 2,85 · (–45); и) 23 · 4,45; ј) –25 · (–3,24). 18. а) –6,2 · 3,8;

б) 1,4 · (–3,5); в) –3,125 · (–4,8); г) –4,14 · (–3,25); д) 1,25 · (–0,8); ђ) –0,07 · (–0,91); е) –0,54 · (–1,75); ж) –0,01 · 0,64; з) 5,2 · (–0,001); и) –6,45 · (–2,08).

79

19. а) 2,4 + 3 · (–1,8);

б) –5,4 – (–0,65) · (–1,2);

4,05) · 8 – 5,3 · 1,9; 1,9; 20. а) (3,1 – 4,05)

в) 5,7 · (–0,3) + 2,41;

б) 1,9 1,9 + 4,2 · (2,8 – 3,3) 3,3) – 4,8;

г) –23,5 + (–4,2) · (–3,05).

в) –1,94 –1,94 + 12,94 12,94 · (–1,3);

г) 1 · 3,2 – 4,8; д) –4 2 · 1,5 + 2,5 · 3 3 ; ђ) 3 – 0,25 · 3,6 · 5 – 2 ; 2 3 5 4 8 е) –1,7 – 1,8 · –4,9 + 3 1 · 1 1 ; ж) 2,6 – 4,8 – 1 · 1,2 ·1 3 – 0,23; 0,23; 15 2 8 4 з) –7 2 + 2,4 · 4 · 0,4 – 6 · 0,02 – 3 . 10 5 5

(

(

) ( ( ) )

((

)

1 , израчунај: 4

21. Ако је a = –0,8 и b = –2

а) (a + b) · 5 ; 8

)( ))

б) (a – b) · b;

в) 2 – a · b;

г) a · b – b · (a + b);

д) 3 · a – 4 · b. 8 3

22. Израчунај збир ако је први сабирак производ бројева –2,5 и 12, а други сабирак број

који се добија када се од – 3 одузме 0,75. 4 23. Умањилац је

1 броја –14, а умањеник збир бројева –1 3 и 3 . Израчунај разлику. 6 14 21

1 и 4 разлике тих бројева, где је –2,75 2 7 умањеник, па израчунај вредност тако добијеног израза.

24. Напиши производ збира бројева –2,75 и –3

2 збира бројева –1 1 и –0,5, а умањеник 1 производа бројева 0,375 и 10 5 4 –4. Израчунај вредност тако добијеног израза.

25. Умањилац је

26. Израчунај збир 4 броја ако је најмањи од њих –8, а сваки следећи је

броја. 27. Израчунај производ пет бројева ако је највећи од њих 1

мањи од претходног претходног..

1 претходног 4

1 , а сваки следећи је за 2 2 3

СВОЈСТВА МНОЖЕЊА РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА 1. Попуни табелу:

a

b

c

–0,5

1 4

–1 1 2 2 4 9 –3,1

1 3 –2,3

80

–0,375 –0,05

b+c

a·b

b·a

a·c

a · b + a · c a · (b + c )

једнакости и без рачунања: 2. б јасни како знаш да су тачне наведене једнакости а) – 2 · 5 = 5 · – 2 ; б) –0,54 · (–4,1) = –4,1 · (–0,54); в) – 8 · (–0,375) = –0,375· – 8 ; 5 14 14 5 9 9 г) 2 · –4 2 · 0,25 = 2 · –4 2 · 0,25 ; д) (–1,5 · 0,125) · 4 = –1,5 · 0,125 · 4 . 11 11 5 5 9 9

( )

(

(

( )

))

(

)

(

)

3. Не рачунајући вредност израза, упиши бројеве тако да добијеш тачне једнакости:

а) 11 · – 7 = · 11 ; б) –0,69 · – 4 = – 4 · ____; в) –5,6 · ____ = 4,68 · (–5,6); ____ 27 27 47 61 61 г) ____ · 1 · 1 = 1 · 1 · 1 ; д) (– 0,54 · (–3,1)) (–3,1)) · ____ ____ = –0,54 · (–3,1 (–3,1 · (–10,2)). 5 6 4 5 6

(

)

(

(

) (

)

)

4. Применом својстава комутативности и асоцијативности, израчунај:

а) – 3 · 4 · –1 5 ; 7 9

( )

б) 4 · – 1 · 1 1 ; 5 3 4

( )

г) – 8 · 5 · – 3 . 15 9 16

(

в) 2,5 · (–7,37) · ( –0,4);

)

дистрибу тивности множења према сабирању, израчунај: 5. Користећи својство дистрибутивности а) 2 · 2 + 2 · 1 ; 5 3 5 3 13 1 в) · – 7 · 1 + 1 · – 1 ; 15 2 15 2 15 2 д) 7 · 4 – 7 · 1 – 7 · – 3 ; 8 15 8 3 8 5

(

)

( )

б) –0,25 · 3 + 2 · (–0,25); 5 5 2 2 2 г) – · – · – 1 + 2 · 8 ; 7 9 7 3 7 9 ђ) –93,28 · 0,24 – 0,24 · 11,02 + 4,3 · 0,24.

( )

3 , израчунај: а) 1 2 · a + 1 2 · b; 11 9 9 в) 1 – 2,2 · a –2 1 · b. 2 5

6. Ако је a + b = –1

б) – 11 · a – 0,55 · b; 20

1 , израчунај вредност израза: 4 б) a · 2 · b; в) a · (–0,8 · b); г) b · – 2 · a; 21 7

7. Ако је a · b = –5

а) 4 · a · b;

( )

( (

8. Одреди реципрочне вредности бројева: 2; –3; –

))

д) – 1 · a · b · – 4 . 9 7

(

) ( ( ))

1 ; – 1 ; 5 ; – 2 ; –4 1 ; 0,4; –5,25. 23 30 7 9 4

9. Да ли постоји број који је једнак својој реципрочноој вредности? Да ли за сваки број

можеш да одредиш његову реципрочну вредност? 6 · –3 7 –1 3 · –1 11 и В = 2 – 1 1 · –4,5 – 3 · (–4) . Одреди 17 24 15 9 5 3 4 производ њихових реципрочних вредности.

10. Дати су изрази А =

(

)

(

)

(

)(

)

81

ДЕЉЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА 1. Израчунај: а)

4 : 2; 5 3

б) 7 : 6 ; 10 15

в) 36 : 1 4 ; 69 23

г) 1 19 : 1 3 ; 21 7

д) 17 : 3 3 . 64 16


а) 32 : (–2);

б) –15 : 3;

в) –18 : (–6);

г) 515 : ( –5);

д) –6 161 : (–61);

ђ) –111 111 : (–111).

3. Израчунај (3–6):

а) 2 : (–3); 3

б) – 1 : (–2); 5

1 : 4 ; б) 2 : – 3 7 5 ђ) – 3 : 9 ; е) 5 : – 4 16 9 ј) –2 2 : 8 ; к) –10 15 35 н) –18 : –5 1 . 3

в) – 4 : 8; 5

д) –2 1 : 3; 4

ђ) –2 1 : (–20). 12

в) – 3 : – 1 ; г) 7 : – 1 ; д) – 5 : – 7 ; 14 10 8 9 2 7 5 ; ж) – 6 : 3 ; з) – 16 : – 4 ; и) – 12 : –7 1 ; 18 3 25 7 14 9 5 2 : –1 1 ; л) 1 31 : –6 9 ; љ) –9 : 2 ; м) –12 : 3 ; 32 16 16 7 7 7

( 34 );

4. а) –

г) 8 : (–4); 21

(

(

)

)

(

( ) ( ) )

(

)

(

)

( ) 1 3 1 3 19 + 2 3 ; в) – 2 + 5 : 72 ; г) – 3 – 1 : – 5 . 5. а) – : (– ) – 1 ; б) 2 : (–1 20 ) 19 4 8 6 5 9 6 15 4 4 ( 12 ) 4 + 4 3 : 35 6 : 18 8 ; в) –7 1 – 1 2 : –5 1 · 5 . 1 3 7 1 6. а) (10 – 6 ) : (–1 – 1 ); б) (–8 ( 2 3 ) ( 2 9 ) 11 8 4 8 2 5 ) ( 11 9 ) 5 – 9 – 2 – 36 –5 20 5 21 ; б) ; в) – ; г) ; д) 49 . 7. Одреди вредности двојних разломака: а) 3 14 15 –4 2 – 8 4 15 4 7 21 8. Шта је веће:

а) – 4 · 2 или – 4 : 2 ; б) 16 : – 8 или 8 – 16 ; 7 21 21 7 9 3 9 3 в) 3 – 2,5 или 3 – 2 : 3 – 1 ? 8 5 8 4

(

(

9. Ако је a = –

)(

)

)

3 , b = 9 и c = = –1 7 , израчунај: а) a : b; б) a · c – – b; в) (a · b) : c ; 10 18 5

г) a ; д) c : : (b · a). c

10. Дељеник је број –

6 , а делилац збир бројева –1 5 и 4. Израчунај количник. 27 9

1 , а дељеник разлика бројева 3 5 и 8 1 , где је 3 5 умањеник. 12 12 2 4 Израчунај количник.

11. Делилац је број 2

82

12. Збир бројева –8

2 и 2 1 умањи за количник истих бројева, где је 2 1 делилац. 10 10 5

13. Количник бројева –1

1 и 3 3 (дељеник је –1 1 ) умањи за збир бројева –5 7 и 3 1 . 18 2 8 2 4


а) 264 : 10;

б) 169,5 : 100;

в) 2,34 : 1 000;

г) 31,2 : 6;

д) 167,29 : 0,5;

ђ) 34,4 : 0,025.

1 000

10 000

15. Попуни табелу:

:

10

100

–3,4 –15,027 –0,314 16. Израчунај (16–19):

а) –5,4 : 3;

б) –11,7 : 9;

в) –3,06 : (–6);

г) –4,08 : (–25);

д) –61,704 : 18;

ђ) –0,056 : (–16).

17. а) –32 : 1,6;

б) 27 : (–0,9); в) –23,76 : (–0,5); г) 3,105 : (–0,2); д) –4,35 : ( –0,25); ђ) –23,7 : 0,12; е) 0,026 : (–1,3); ж) –0,0015 : (–0,004); з) –41,657 : 7,7; и) 23,31 : (–0,037).

18. а) 8,798 : 4,15 – 17,37;

б) 139,897 : (–19,9) + 100,003;

в) –1 914 : 14,5 + 904,395.

19. а) –3,36 : (0,13 – 0,93);

б) (–3,27 + 11,08) 11,08) : (–5,5 · 0,2);

в) (–28,749 : 821,4) · (342 : (–3,42)).

20. Количник –5,25 : 0,15 умањи за –4. 21. Петострукој вредности збира бројева –

Трећину рећину збира бројева – 22. Т 23. Производ бројева 3

5 и 1,295 додај количник –2,68 : 0,4. 8

77 и 2,42 умањи за половину количника 9,9924 : 0,33. 25

1 и 0,8 одузми од количника –0,35 : 0,5. 4

24. Подели збир бројева –2,31 и 1,2 са њиховим производом. 25. Од броја –1

3 одузми реципрочну вредност количника –3,5 : – 2 . 5 5

( )

26. Одреди аритметичку средину бројева:

а) – 1 , 3 , – 5 ; б) –1 5 , –2 3 , 1 7 , 1 7 ; 12 2 4 8 6 4 8


;

б)

;

в)

в) –0,25; 4,81; –3,17; –7,2; 3,49.

;

г)

.

83


а) – 5 : 9 – 2 : 9 ; 3 14 3 14

б) – 7 : 6 – 1 : 1,2 – 2 : 6 ; 15 5 3 5 5

в) – 5 : 16 + 1 1 : 16 – 1 : 16 . 8 21 8 21 8 21


а) 3 1 + –2,125 + 1 2 · 12 ; б) 4 8 – 5 7 : 7 – 3 · 1,25; 15 12 40 13 6 3 33 в) – 5 + – 6 · 14 : (–1 + 0,6) ; г) – 5 · 1 1 + – 7 –2 11 : 1 1 : 1 39 ; 21 15 12 12 72 3 8 3 6 д) – 1 – 2 4 · 10 : 11 – 0,75 : – 9 ; ђ) 6,25 – 1 8 – 4,12 · 1 1 – 1,311 : (–0,23) ; 18 15 19 3 25 14 4 е) 1 – 2 1 – 1 1 : – 2 + 3 · 2 – 6,75 · –1 2 – 8 1 : (–10,5) . 8 4 5 2 11 3 6

( (

(( ( (

)

( )

(

)

))

)

(

( )

( )) )

)

((

(

)

)

)

ЈЕДНАЧИНЕ ЈЕ ДНАЧИНЕ 3 решење једначине: 4 б) 1 3 · y = 1 1 ; в) p : 2 = – 1 ; 5 5 9 6

1. Провери да ли је –

а) x · · 1 = – 3 ; 2 8 ђ) – 5 = – 5 : a. 12 9

г) –4,5 : q = 6;

д) 0,4 · r = = – 3 ; 10

2. Реши једначине (2–9):

а) x · · 1 2 = –1 1 ; б) x · · – 3 = 9 ; в) 7 · x = = –1 2 ; г) x · · (–0,5) = – 3 ; д) 2,16 = –0,2 · x . 24 13 3 9 8 5 4

( ) 11 = – 3 ; б) y : : –1 2 = 7 ; 3. а) y : : ( 7 ) 9 6 22 д) –0,9 = y : (–7 1 ). 3 3 : a = 9 ; б) –2 1 : a = –7,8; 16 4 6 д) –0,16 = –2,4 : a.

4. а) –

в) y : (–6,31) = –1,1; г) y : (–4,5) = 9 1 ; 11

в) 14,4 : a = –9,6;

г) –5 3 : a = 17 ; 13 26

( 13 ) = 1 59 ; б) –31,89 : b = – 65 ; в) 1,17 · b = –6,084; г) –0,625 = b : 45 . 5 + 2 1 = – 9 ; б) (–16 + 0,756) : d = –3,7; в) d · · 5 + 3 = – 16 ; 6. а) d : : (–4 ( 6 8 ) 3 18 38 6 ) г) d : : (–3 7 ) = 4 2 · (– 27 ); д) –1,02 : 3 = (– 2 : 3 + 1 ) · d ; ђ) –1,92 : d = = 3 – 3 · 1 ; 36 70 3 5 10 3 5 е) ( 4 – 7 ) : d = = – 1 – 7 ; ж) d : : (–1 4 – 1 4 ) = –10,5 + 25 ; 21 29 9 6 3 18 7 з) d · · ( 1 + 2 · (–3 1 )) = – 1 + 4 . 4 5 3 4 3 5. а) b · –2

84

(

x – – 7. а) x

4 · 1 = – 5 ; 3 2 6

)

x – в) x – 3 · 1 3 : – 7 = (3,2 – 4,46) : 0,7. 12 4 5

б) (0,4 – x ) : 3 = – 6 ; 2 5

(

) (

)

1 · y – 3 = – 5 ; б) y : : 4 – 1 = – 5 ; в) – 1 – y : : 0,375 = – 5 ; 12 12 12 2 4 4 4 г) 0,7 · – 5 + y ·· 2 – 1 = – 5 . 12 6 3 2

8. а) –

( ) ( ) 3 1 + 5 : 1 – 7 = –1 3 ; 9. а) ( – (– · k + 4 2 6 )) 3 5 4

б) 9 · – 2 – k : : 3 3 – 2 + 2 1 = – 1 . 5 3 5 3 3 6

((

10. Ако непознати број помножимо са –1

број. 11. Када непознати број поделимо са –

број.

1 , добијамо производ – 3 . Одреди непознати 8 4

5 , добијамо количник –1 11 . Одреди непознати 16 25

12. Који број треба помножити са збиром бројева –

бројева –9,3 и –0,675, где је –9,3 умањеник? 2 · a + 3 – 5 – c · –1 1 = 3 4

13. Из израза

(

)

) )

7 и 0,625 да би се добила разлика 8

3 : b + c : – 4 = –2 1 одреди b ако је a = –1 + 6 : 0,8 и 4 5 3 5 7. 3

( )

4 тај број сабрао са – 4 и добио 15 15 1 резултат – . Који би резултат Зоран добио да није погрешио? 3

14. Зоран је уместо да подели неки број са –

3

1

1

· x – одузмемо – , добијамо двоструку 15. Ако од четвороструке вредности израза – 16 8 4 вредност збира 0,8 и –5,2. Одреди x . 21

7

· x – одузмемо од разлике –0,3 – 0,025, добијамо 16. Ако троструку вредност израза – 90 50 број –0,15. Одреди x . 17. Здравко купује у продавници. Продавачици је дао новчаницу од 500 динара. Када је

она откуцала 2,3kg јабука, по цени од 87 динара за килограм, и 3 1 kg банана, рекла је 4 Здравку да му недостаје још 38 динара и 10 пара. Колико кошта килограм банана? 18. Марији је прошле године просечна плата за годину дана била 25 618,32 динара. Целе

године Марија је месечно трошила 24 500 динара. Када је на крају године од остатка новца хтела да купи два пара скија, једне себи а друге сестри, недостајало јој је још 3 000,16 динара. Колико кошта један пар скија?

85

19. дреди сва решења једначина:

а) 1 · x + 3 · 1 2 – 1 · x = 0; б) (0,5 · x – 0,7) · 5 : x + 3 = 0; 12 2 5 3 3 в) 2 – 3 · x · – 8 : x + 4 = 0. 7 14 3 9 г) 2 · | x д) | x ђ) –0,2 : | x е) 2 1 · | x x | = 2 ; x | : – 3 = – 5 ; x | = 0,01; x | – 4 = 1 3 ; 3 5 4 6 3 5 x + ж) – 5 : |x| + 2 = – 15 ; з) – 7 · | x + 1| + 3 = 1 ; 28 16 7 9 2 3

( (

) ( )(

(

) ) ( )

(

)

)

и)

;

ј)

.

НЕЈЕДНАЧИНЕ 1. Реши неједначине и решења представи на бројевној правој:

а) x · · 1 < 3 ; б) 2 · x < 8 ; в) 24 · x ≥ 16 ; г) x : : 1 2 < 6 ; д) x : : 3,21 > 0,7; 15 35 21 2 4 5 5 35 ђ) x : : 1 2 ≤ 9 . 3 55

{

1 , – 3 , 0, –1 1 припадају скупу решења неједначине: 2 4 3 в) x : (–1,5) > –1; г) x : –2 2 < –0,375; д) 2 < x : : 4 ? 7 3 9

}

2. Који бројеви из скупа М = –2, 3, –

а) –2 · x < 1;

б) 3 · x > –2; 4

(

)

3. Реши неједначине и решења представи на бројевној правој (3–5):

а) 2 · p < –8;

б) –8 · p > 40;

1 > – 3 ; 2 8

4. а) y · ·

в) –3 · p ≥ – 21;

б) 1 4 · y ≤ –3; 5

д) p : 3 < –2;

в) –1 5 · y > 8 ; 27 9

г) p : (–5) ≤ 5;

г) – 2 · y ≥ – 4 ; 13 5

7 > –1 1 ; б) x : 0,24 < –2,5; в) x : : (–4,4) < 0,75; 11 21 г) x : : –3 7 ≥ –4 13 ; д) x : – 13 < 7 . 17 21 26 9

5. а) x : :

(

)

(

)

6. Реши неједначине (6–9):

а) 3 · p + 4 > –2; г) p : 2 – 9 < –17; 2 · a + 3 < – 3 4 г) – 5 · a – 3 : 4 8 4

7. а)

86

б) 31 – 7 · p < 52; в) –6 · p – 10 > –17; д) –13 + p : (–3) > –11. 1 ; б) – 2 + 1 1 · a ≤ –1 1 ; 6 5 2 4 1 ≥ –5 1 . 2 8

в) –2 3 – 3 · a > 11 ; 14 4 7

ђ) p : (–4) > –6.

д) y · – 7 ≤ – 21 . 24 48

(

)

1 – 16 > –1 21 3 г) 4 · 2,875 – b : 8 ≥ 2 9 3

(

)

8. а) b : –2

3 ; б) b : 1 2 + 1 ≤ –1 2 ; в) 6 – b : 1 11 < 3,5; 14 13 15 3 4 5 5. 6

б) 7 + x : : 16 · 1 2 < – 14 ; в) (4 · x – 10) : 8 – 2 ≥ – 18; 15 8 5 г) 6 – ((2 · x – 3) – 8) ≤ 23; д) ( x : : 2 – 3) : (–4) – 5 · 6 > –7;

9. а) 7 · (–2 · x – 5) > –21;

(

)

ђ) – 2 – 0,5 · x · 1 5 – 2,5 > 9 ; 14 3 7

(

е) – 8 : 1 1 + 3 – 1 + 8 · x : 8 > 8 . 9 3 2 6 9 9 9

)

( (

))

10. На бројевној правој представи скуп решења неједначинa:

а) – 3 < y < 1 1 ; 4 2

б) –2,4 < y < 3,2.

11. Реши неједначине: а) –1

1 < 2 · x < 2; 5

в) –1 3 < 2 · x + 1 < –1. 5 5

б) –2,4 > 3 · x > –7,2;

12. За које вредности променљиве a вредност израза –

4 · a – 2 није већи од – 3 ? 35 70

7 и добијеном производу додао 9 2 , добио је број не већи од 5 , а већи од – 8 . Који број је Бранко могао да замисли? 3 4 9

13. Бранко је замислио неки број. Када га је помножио са –

7 2 · 3 ≥ – 1 . 14. Одреди све негативне целе бројеве који су решење неједначине b : + 3

(

(

15. Одреди најмањи цео број који је решење неједначине – 16. Одреди вредности променљиве а у изразу

8

3

)

4

2

3 · x – – 2 : 1 7 · 2 ≤ 1 3 . 4 3 9 3 5

)

–3 · a + 4 тако да је вредност израза мања од 5. 2

17. Аритметичка средина три цела негативна броја је већа од –4

–2, које вредности може узети трећи број?

1 . Ако су два броја –7 и 3

18. Реши неједначине:

а) 6 : x < 0;

б) –3 : x > 0;

г) –6 : x > 2;

д) –4,2 : x > –2;

е) – 4 : – 2 + 0,25 x > 2 ; 27 9 5

(

)

ж)

–8 > –4; 2 – 0,4 x

в) 5 : x > > –1 1 ; 4 ђ) 12 : (–3 x + + 1) < –6; з)

< –1 1 . 3

87

ПРОЦЕНТИ 1. Представи проценте у децималном запису и у облику

а) 1%, 3%, 10%, 25%, 40%, 50%, 75%, 80%; б) 125%, 150%, 200%, 240%, 250%, 315%, 375%, 425%.

a (D(a,b) = 1): b

2. Следеће бројеве изрази у процентима:

а) 9 , 13 , 39 , 50 , 71 , 99 ; 100 100 100 100 100 100 в) 4 , 21 , 101 , 513 , 750 ; 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 д) 1; 0,25; 0,6; 0,2; 3,25; 8,5; 1,75; 2; 1,5;

б) 133 , 217 , 311 , 512 , 917 ; 100 100 100 100 100 г) 1 , 3 , 2 , 31 , 7 , 8 , 79 ; 2 4 5 10 20 25 50 ђ) 1 , 3 , 78 , 201 ; е) 2 , 5 , 8 , 12 1 . 8 40 125 500 3 12 11 6


б) 30% од бројева бројева 250; 11; 3 ; 5 ; 4 12 в) 74% од бројева 12,8; 13,1; 520; 10 ; г) 215% од бројева 92; 4,3; 1; 155 . 86 37 а) 50% 50% од бројева 42; 18; 18; 17; 17; 25,9; 25,9;

4. Број: а) 10;

б) 8;

в) 13;

г) 72;

д) 31,2;

ђ) 5 је 5% неког броја. Који Који је то број? број? 8

с у дечаци. Колико дечака, а колико девојчица иде у ту 5. У једној школи од 720 ученика 45% су школу? 6. У парку је засађено 525 лала и ружа. Ако руже чине 44% од укупног броја садница,

колико је засађено лала? 7. Марко је од свог недељног џепарца одвојио 35% новца да би купио чоколаду. Ако је

Марков недељни џепарац 500 динара, колико кошта чоколада? 8. Кошуља кошта 1 250 динара. Колика је цена кошуље након снижења од 6%? 9. Жика је аутомобилску гуму платио 2 370 динара. Када је после два месеца дошао у исту

продавницу да купи још једну гуму г уму,, видео је да је поскупела за 7%. Колика је сада њена цена? 10. Маја је на распродаји купила блузу и платила је 1 152 динара. Ако је на распродаји цена

блузе снижена за 36%, колико је блуза коштала пре распродаје? 11. Након поскупљења од 18%, књига кошта 294,41 динар. Колика је би ла цена књиге пре

поскупљења? 12. Контролну вежбу из математике је радило 24 ученика. Шест ученика је оцењено

одлично, 8 врло добро, 4 добро, а остали ос тали су довољни. Изрази у процентима колико ученика је добило коју оцену. оцену.

88

Тесто је замесила са 200g брашна, 40g шећера, 100g млека м лека и 13. Бака Мара прави колаче. Тесто 20g маслаца. Колико процената брашна, а колико шећера има у тест у? динара. Колико процената је појефтинила торба ако ако сада 14. Ђачка торба кошта 1 150 динара. кошта: а) 1 058 динара; б) 989 динара;

в) 885,5 динара?

15. Секција за путеве је прошле године асфалтирала 500km путева. За колико процената

више је асфалтирано ове године, ако је асфалтирано: а) 550km путева; б) 625km путева; в) 695km путева? 16. После снижења од 13%, цена кишобрана је за 26 динара нижа. Колика је цена

кишобрана после снижења? 17. У школу данас није дошло укупно 30 ученика. Ако је то 2,4% од укупног броја ученика,

колико деце похађа ову школу? 18. Цена претплате за кабловску телевизију је повећана за 17%, то јест за 88,4 ди нара.

Колика је била цена претплате пре поскупљења, а колика је после поскупљења? 19. Шљиве при сушењу губе 64% своје масе. Колико је свежих шљива потребно за 23,4kg

сувих шљива? 20. Првог септембра патике су коштале 2 200 динара. Петнаестог септембра су поскупеле

за 15%, а 30. септембра су појефтиниле за 15%. Да Д а ли су патике јефтиније 1. или и ли 30. септембра и за колико? Тања ања је уштедела 3 540 динара. Потрошила је 30% уштеђевине, уштеђевине, а затим је своју 21. Т уштеђевину повећала за 30%. Колика је сада Тањина уштеђевина? пос ле оба 22. Бензин кошта 92,5 динара. Прво је поскупео за 2%, а затим за још 6%. Колико после поскупљења треба да се плати 10 литара бензина? К ада га је умањио за 25%, а затим за још 22%, добио је број 23. Сава је замислио један број. Када 468. Који број је Сава замислио? 24. Паковање чаша кошта 250 динара. Власник продавнице је снизио цену чаша за 20%. За

колико процената треба повећати цену да би била иста као пре снижења? 25. Број 400 је повећан за 25%. За колико процената ћеш умањити нови број да би поново

добио број 400? правоугаоника су 5cm и 4cm. Ако се већа страница с траница повећа за 20%, а мања за 26. Странице правоугаоника 25%, за колико процената ће се повећати обим и површина правоугаоника? 27. Две наспрамне страница квадрата су повећане за 10%, а друге две смањене за 10%. Коју

фигуру смо добили? Како и за колико процената су се променили обим и површина нове фигуре у односу на квадрат?

89

ЕС ЕС  – САБИР САБ ИРАЕ АЕ И ОУЗИМАЕ У Q 1. Заокружи слово испред записа рационалног броја –0,15:

а) – 5 ; 100

б) – 3 ; 20

в) – 1 ; 5

г) – 1 ; 15

д) – 15 . 10

2 је: 5 г) не постоји;

2. Aпсолутнa вредност бројa –1

б) –1 2 ; в) 1 2 ; д) – 7 . 5 5 5 (Заокружи слово испред тачног одговора.) а) 0;

1 ; 1 ; –0,2; – 3 . 2 3 4 а) – 1 ; – 3 ; –0,2; 1 ; б) 1 ; – 3 ; – 1 ; –0,2; в) –0,2; –0,2; – 1 ; 1 ; – 3 ; г) – 3 ; – 1 ; –0,2; 1 . 2 4 3 3 4 2 2 3 4 4 2 3 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

3. Поређај по величини (од најмањег до највећег) следеће бројеве: –

2 + 2 је: 3 4 1 2 а) – ; б) – ; в) 0; г) –1 1 ; д) – 4 . 6 7 6 7 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

4. Вредност израза –

4 – 1 3 је: 10 5 7 1 а) – 3 ; б) – 4 ; в) 1 1 ; г) –1 1 ; д) –1 1 . 15 10 2 2 5 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

5. Вредност израза –2

6. Вредност израза (–5,32 + 1,5) – (4,18 – 5,2) је:

а) –7,84; б) –5,8; в) –4,84; г) –13,2; д) –2,8. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 1 ) + 2 7 ) + 3,05 је: 10 4 а) –1,2; б) –7,3; в) –1,9; г) 8; д) 1,9. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

7. Вредност израза –4,6 – ((1,2 – 4

5 ) + 3 = 1 1 је: 6 3 5 1 1 а) x а) x = – ; б) x б) x = 2 ; в) x в) x = –2 ; г) x г) x = 5 ; 6 2 2 6 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

8. Решење једначине ( x ( x –

д) x = 5 1 . д) x 6

– 6,2 је: 9. Решење неједначине 3,5 + (–2,6) < – x – а) x > а) x > –7,1; б) б) x x > > 0,1; в) в) x x < < –7,1; г) г) x x > > 7,1; (Заокружи слово испред тачног одговора.)

д) x д) x < < 7,1.

. ) в . 9 ; ) а . 8 ; ) а . 7 ; ) д . 6 ; ) б . 5 ; ) а . 4 ; ) г . 3 ; ) в . 2 ; ) б . 1

: А Њ Е Ш Е Р

90

ЕСТ � МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ У Q 2 ∙ 15 је: 5 16 а) – 32 ; б) – 17 ; в) – 5 ; г) – 1 ; д) – 3 . 75 80 16 3 8 (Заокружи слово испред тачног одговора.)


2. Вредност производа –2,4 ∙ (–1,2) је:

а) –3,6; б) 2,88; в) 2; г) 2,8; д) 2,6. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 2 – 1 ∙ 6 је: 3 3 5 а) –1 4 ; б) –1 1 ; в) – 4 ; г) – 2 ; д) –1 1 . 15 15 15 5 5 (Заокружи слово испред тачног одговора.)


4. Вредност израза (–15,225 : 0,75 – 0,7) ∙ 1,5 – 1,5 је:

а) 0; б) –33; в) –47,05; г) –30,9; д) –30. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 3 : –2 1 одузмеш од производа бројева 2 и – 5 је: 12 8 4 5 а) 0; б) – 1 ; в) 65 ; г) 1 ; д) – 119 . 96 150 3 3 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

5. Резултат који добијаш када количник

( )

2 ∙ x + + 5 = 2,5 је: 3 6 а) x = = – 2 ; б) x = = –1 1 ; в) x = = –2 1 ; г) x = = –2 1 ; 5 9 2 3 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

6. Решење једначине –

д) x = = –5.

1 ∙ x + + 3 : 5 < – 7 je: 10 6 12 2 а) x > > 4 ; б) x < 2; в) x < < 4 ; г) x > 2; д) x > > 1 . 5 5 2 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

(

7. Решење неједначине –

)

8. После поскупљења од 16%, патике коштају 2 436 динара. Цена патика пре поскупљења

била је: а) 2 825,76 динара; б) 336 динара; в) 2 772 динара; г) 2 100 динара; д) 389,76 динара. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

. ) г . 8 ; ) г . 7 ; ) в . 6 ; ) а . 5 ; ) б . 4 ; ) д . 3 ; ) б . 2 ; ) д . 1

: А Њ Е Ш Е Р

91

РАЦИОНАЛ АЦИОНАЛНИ НИ БРОЈЕВИ � РЕ ШЕЊА СКУП РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА б) 4, 0, 12 , – 12 ; в) 3 , 4, 0, 12 , 1 ; г) – 2 , – 11 , – 12 2 3 2 3 2 5 3 4 1 4 и – 7 . 2. На пример: – , – 5 5 5 12 , – 12 и – 12 . 3. На пример: – 5 7 13 1 5 4 5 7 и – 1 . 4. – , – , , , 2 7 9 4 20 3 3 6 12 , 5 = 10 = 20 = 25 , 0 = 0 = 0 = 0 , –2 = – 2 = – 6 = – 14 и 5. 3 = = = 4 7 1 2 2 4 5 2 4 7 1 3 –4 = – 4 = – 12 = – 32 . 1 3 8 6. –18, –54, –342, –101 и 1001. –2 , –1 , –5 , –3 , –1 и –4 . 7. 1 –1 –3 5 –4 3 1 и 1; б) 3, – 5 , – 6 , – 5 , – 2 , 1 и 1; в) – 4 , – 3 , 0 и 0 и 1. 8. а) –2, – 2 2 5 6 5 3 3 4 –4 , –1 и –7 ; в) –11 , –3 и –19 . 1 3 2 9. а) , и ; б) –11 –14 –8 –9 –17 –1 7 5 6 3 , –13 , –21 ; б) 7 , 11 , –21 ; в) 10 , –2 , –8 ; г) 17 , –4 , –11 . 10. а) 13 –3 –11 7 –5 –11 3 –18 –25 7 11 –21 –1 , –2 , 8 ; б) 3 , –1 , 5 ; в) –4 , 2 , –1 . 11. а) 8 4 –1 –5 15 –3 1 –2 4 2 , – 1 , 0, 1 , 2 , 1 ; б) B = 2 , 2 , 2 , 1, 2 . 12. а) A = –1, – 3 3 3 3 5 4 3 13. Вредности које променљива a може имати су –4, –3, –2, –1, 1 и 2. Ако је a = –4, тада је . Заменом свих вредности за a добијамо A = –2, – 3 , – 3 , – 2 , – 1 , 0 . 2 4 3 2 1 ∈ Q; в) – 3 ∈ Q–; г) 0 ∉ Q+; д) – 21 ∈ Z –. 14. а) 5 ∈ Q+; б) 2 67 3 15. 16. а) тачно; б) нетачно; в) тачно; Q г) нетачно; д) нетачно; ђ) нетачно. Z

{

1. а) 4,

12 ; 2

}

{

}

{

{

}

}

{

{

}.

}

{

– 7 4

N –3 15 1 – – 11 3 20

}

16 4

ПРЕ ПР ЕДС ТАВЉАЊЕ РАЦИОНАЛН РАЦИОНАЛНИХ ИХ БРОЈЕВА НА БРОЈЕВНОЈ ПР ПРАВОЈ АВОЈ 1.

–

92

14 4

–3

–2

1 2

0

2

5 2

2.

–1

1

–

4

3 4

–

1 2

–

1

1

0

4

2

3.

–1

–

2

–

3

1

0

3

4.

9 –1 10

–

7 5

–

6

–

5

7

0

10

1

1

5

2

6 ; 2 2 ; 4 ; 2 1 ; б) 4 – 3 = 7 ; 12 – 5 = 23 = 1 3 ; 2 + 5 = 3 ; 15 + 4 = 3 20 3 7 3 7 2 3 4 12 5 4 20 6 2 9 3 7 . 1 1 1 6. а) – ; б) 1 ; в) –2,95; г) –1 ; д) 10 5 2 8 5. а)

СУПРОТ СУПРО ТАН БРОЈ. АПСОЛУ ТНА ВРЕД ВРЕ ДНОС НОСТ Т РАЦИОНА ЛНО РАЦИОНА ЛНОГ Г БРОЈА БР ОЈА 1 ; –1 1 ; 1 ; 3 ; 0; 3 13 ; –2 3 . 17 11 3 4 2 5 37 ; 7 1 . 3 1 5 3 2. 1 ; 4 ; ; 1 ; 0; 4 57 4 3 7 2 4 2 ; б) –1 1 ; в) –3 4 . 3. а) – 13 13 9 3 3 4 4 5 и 1 5 ; г) 0; д) –2 2 и 2 2 ; ђ) Не постоји такав број. 4. а) – и ; б) – и ; в) –1 7 7 5 5 6 6 9 9 5. Попуни табеле 1. –

1 2 – 1 2 1 2 1 1 2

1 –2 2 – 2 –2 1 5 3 3 5 2 2 2 – 1 2 1 – x – x 5 3 3 5 2 1 2 2 2 1 x | –(– x ) | x 5 3 3 5 x | + 1 1 3 9 | x 2 1 1 5 3 7 | x x | + 1 10 10 2 6 6 4 = – 4 и –4 = 4 , па једнакост не важи. 6. Све једнакости су нетачне. На пример: а) – + 3 3 –3 3 2 1 = 2 2 – 1 1 = 8 – 3 = 16 – 9 = 7 = 1 1 ; 7. а) 2 – –1 6 3 2 3 2 3 2 6 6 6 б) 2 1 ; в) 2 1 ; г) 11 13 ; д) 1 ; 12 60 10 2 x

2 5 – 2 5 2 5 1 2 5

–1 3 4 1 3 4 –1 3 4 2 3 4

–4 1 5 4 1 5 –4 1 5 5 1 5

x

( )

|

|

93

ђ) 1 3 : 2 + – 1 + 5 : – 7 = 7 : 2 + 1 + 5 : 7 = 7 : 9 + 5 · 11 = 11 4 5 2 6 4 5 2 6 11 4 10 6 7 = 7 · 10 + 55 = 35 + 55 = 3 16 . 42 18 42 63 4 9 + – 8. а) a ∈ Q  {0}; б) a ∈ Q  {0}; в) a = 0; г) a ∈ Q. 9. а) 4; б) 1. 1 5 1 3 6 17 . 10. а) ; 1; – ; б) ; – ; ; –2; – 5 4 3 2 4 5

(

| |)

|

|

(

)

ПОРЕЂ ПОРЕ ЂЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА 3 , 2 , 1 ; б) – 1 , – 2 , – 1 ; в) – 5 , – 1 , – 2 . 7 7 3 2 3 4 7 3 5 a следи 6 = a , па је a = 6; б) a = 9; в) a = 104; г) a = –8; д) a = –2; ђ) a = 11. 2 2. а) Из = 3 9 9 9 5 2 1 4 8 < – 7 , – 4 > – 14 , –1 9 > –3 7 , –2 2 > –2 4 . 3. > , – < , – 11 11 9 12 12 7 7 5 5 9 9 9 9 > – 9 , –3 3 < –3 3 , –4 7 < –1 7 , –7 2 > –9 2 . 5 5 2 2 4. > , – < , – 7 8 6 9 22 4 5 15 19 13 19 15 2 3 1 2 1 2 4 1 4 6 , –2 8 < –2 12 . 5. < , –2 < 1 , – = – , –2 > –3 , – < – 11 15 23 3 4 5 7 3 6 9 3 7 2 , – 3 и – 7 . 6. На пример: а) –1, –2 и –6; б) – 5 5 10 7. а) Прво одреди први мањи и први већи број од 8 који је дељив са 3. Очигледно је 6 < 8 < 9 , па је 8 између бројева 2 и 3; б) –4 и –3; в) –26 и –25. 3 3 3 3 8. а) Одреди све целе бројеве између бројиоца тих разломака који с у дељиви са њиховим имениоцем: – 17 < – 15 < – 12 < – 9 < – 7 . Т Тражени ражени бројеви су –5, –4 и –3; 3 3 3 3 3 б) Ниједан цео број. 1. а)

1 , –1 4 5 10. –1, – , – 6 9. а) –4

1 , –1, 1 ; 4 4 2 ,– 1 . 3 2

б) –2 2 , –2, –1 2 , 2 , 3 , 3; 3 3 3 2

в) – 3 , – 3 , – 5 , – 7 , 5 , 1 . 12 12 2 2 4 8

6 < – x < – 5 , 23 23 4 па је – 24 < – 23x < – 20 . Тражени разломак је – 1 . 92 92 92 4 12. а) m ∈ {5, 6, 7, 8, 9, 10}; б) m ∈ {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 11. Означи бројилац траженог броја са x . Тада је –

ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС РАЦИОНАЛНОГ БРОЈА 1. а) 2,1; –0,5; –3,9, –2,3;

б) 5,26; –61,53; –3,09; в) 0,5723; –5,0942; –0,0011. 4 = 0,4; б) – 75 = –0,75; в) – 48 = –0,48; г) –2 375 = –2,375; д) –5 15 = –5,15, 2. а) 10 100 100 1 000 100 ђ) – 274 = –2,74; е) – 1 232 = –1,232; ж) – 4 = –0,004. 100 1 000 1 000

94

3. а) 0,375;

б) –0,75; в) –0,4; г) –4,25; д) –2,75; ђ) –2,8; е) –6,4; ж) –12,05. 13 ; б) – 1 ; в) – 6 ; г) – 33 ; д) – 56 ; ђ) – 1 ; е) – 39 . 4. а) 4 2 5 8 25 4 000 8 5. –1,25; 3,28; 5,34; –6,217; 5,55. 6. 0,5; 4,52; 7,11; 5,31; 9,741; 6,35. 7. а) –0,8 или 0,8; б) –3,725 или 3,725; в) не постоје такви бројеви. 8. а) 44,4 – |–22,2| = 44,4 – 22,2 = 22,2; б) 2,24; в) 1,8; г) 7,05; д) |–(+7,04)| + 1 + 6,75 – |–3,25| = 7,04 + (0,5 + 6,75) – 3,25 = 11,04; 11,04; ђ) 7,77. 2 9. а) 2,14 < 2,4; б) 3,12 > 3,002; в) –5,12 < 1,45; г) –8,22 < –5,22; д) –12,12 < –4 2 ; ђ) –3,3 < –3,13; е) –1 1 < –1,0005; ж) – 1 < –0,33. 5 2 3 9 ,– 7 ,– 5 . 10. а) –8, –7, –4; б) – 2 2 2 11. а) –1 и 0; б) –4 и –3; в) –12 и –11. 12. –1,28; 2,15; –2,3; –13. 13. –12,2; –12,12; –11,22; –2,22; –2,2; 2,12; 2,2. 1 14. а) – = 0,(3); б) –0,8(3); в) –0,(1); г) –2,2(7). 3 1 ; б) – 71 ; в) – 274 . 15. а) – 3 33 225 16. –2,35; –5,18; –22,40; –0,78. 17. –19,667; –0,241; –2,214.

(

)

САБИРАЊ САБИРА ЊЕ РАЦИОНАЛН РАЦИОНАЛНИХ ИХ БРОЈЕВА 3 ; б) 9 ; в) –1 2 ; г) –1; д) –2 2 . 11 7 5 3 7 ; б) 1 5 ; в) – 11 ; г) –2 1 ; д) –5 1 . 2. а) 12 24 12 10 18 1. а)

в) – 5 ; г) – 1 ; д) –6 3 . 10 9 5 1 1 5 31 ; д) 1 1 . 4. а) –2 ; б) ; в) – ; г) 1 6 36 40 8 6 11 ; б) –1 7 ; в) –2 1 ; г) –1 1 ; д) –3 23 . 5. а) 3 12 18 24 48 3 3. а)

8 ; 17

6. а) –

7 ; 12

б) 1 ; 15

б) –1 5 ; 6

в) –4 5 . 14

95

7.

а)

б) –2 5 6

+

1 3

=

–2 1 2

2 – 1 – 3 + + + 2 3 4 5 –1 1 –1 5 – 2 –2 1 –1 1 –1 1 + = –2 12 12 3 6 3 4 6 2 1 1 3 2 11 1 1 = = = 12 4 4 2 11 –3 1 –3 7 –2 8 –3 19 –4 1 – 5 + = –4 10 15 20 12 12 5 6 2 ; б) (a + (–b)) + (–a) = 1 . 8. а) a + b = – 15 4 7 1 3 , B = –5 , A + B = –4 . 9. A = 24 24 4 5 7 1 10. – + = – . 3 6 2 4 3 + – 2 + – 1 + 0 + 1 + 2 = –1; б) 0. 11. а) – + – 7 7 7 7 7 7 26 + 9 + – 26 + 9 = 23 + 49 = 3. 3. 12. – 48 6 48 24 24 6 4 2 1 1 –2 и –4 , а њихов збир је –4 1 . 13. Сви тражени бројеви су – , – , – , – , 1 1 2 4 –4 –2 4 +

( ) ( ) ( ) ) (| | | |)

(

ОДУ ЗИМАЊЕ ЗИМАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА б) 3 ; в) – 1 ; г) –4 1 ; д) –1 3 ; ђ) –11 5 . 5 2 3 5 7 3 1 5 2. а) 1; б) – ; в) 6 ; г) – . 7 6 9 19 ; д) – 8 . 1 3 3. а) –1; б) –5 ; в) –1 ; г) –3 48 21 3 8 3 ; в) 1 7 ; г) 5 . 4. а) 1; б) 2 17 10 6 1 ; б) –5 31 ; в) –3 25 ; г) 3 3 . 5. а) –1 10 36 33 20 5 – 3 – – 1 = – 7 – – 1 = – 5 ; б) –2; в) –1 19 . 6. а) – 12 4 24 3 6 3 6 7 ; б) –1; в) –1. 7. а) –1 12 2 + 7 = 3 3 ; б) 2 3 – –1 1 = 29 . 8. а) – 14 8 7 2 8 4 11 – 1 = – 25 ; б) – 5 – 2 2 + –3 3 = –6 35 ; 9. а) –1 + 13 78 36 6 9 3 4 в) – 1 + 3 1 – – 1 – 3 1 = 6 2 ; г) 4 1 + – 3 – 3 – 13 = 3 1 . 5 4 3 4 3 7 5 7 3 1. а)

1; 2

(

) ( )

( )

( )

( (

96

)

) (

( )

) ( ) ( ( )) (

)

б) –1 1 ; 12 6 1 3 2 11. –1 , –1 , – , . 7 7 7 7 12. 11 –1 3 3 12 4 4 7 – 1 2 –1 12 2 13 – 1 –3 3 4 10. а) –2

1 ; 12

в) – 1 . 3

–1 1 „ 4

– 1 – 1 –3 2 3 3 –2 5 – 7 4 4 6 –1 7 –4 1 2 12 4

“

Збирови у врстама и колонама ће и после одузимања бити једнаки. 4 3 – –8 1 + 2 1 = 3 13 . 13. – – 15 5 2 2 3

(

) (

)

САБИРА ЊЕ И ОД САБИРАЊ О ДУ ЗИМАЊЕ ЗИМАЊЕ БРОЈЕВА У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. а) 27,37;

б) 20,211; в) 97,49; г) 14,85; д) 0,351. 2. а) –6,1; б) –5,68; в) –16,739; г) –86. 3. а) 8,13; б) 2,285; в) 1 216,02; г) –0,63. 4. а) –3,8; б) 0,12; в) –2,5. 5. а) –0,5; б) –2,005; в) –5,6; г) 9; д) –7,5; ђ) 1,1875. 6. а) –52,25; б) –9,9; в) –306,455; г) –45,875. 7. а) –27,4; б) 41,75; в) 0,09; г) –1,008. 8. а) –90,12; б) –57,62; в) –7,216; г) 14,77; д) 3,8. 9. а) –0,2; б) 4,3; в) –10; г) 5; д) –6,8. 10. а) a – b = –0,9; б) ((a – |b|) – a) + (b – (–a – b)) = –0,4. б) 11. а) –6,1 –8,1 –6,8 –4,3 –2,4

–8,6 –2

1,3 2,5

1,9

2,5 3,3

1,2 –0,6

4,3 –2,1

–1,8

1,6 0,3

–1,8

–11,1 –1,8

2,7 3,4

–9,3 –4,5

–0,7

–4,8 –3,8

–1

4,8 = 1,3; 12. а) –3,5 + 4,8

б) (–3,9 (–3,9 + (–8,2)) – (–1,1) = –11; –11; в) – 3 + (–0,105) – – 3 – (–0,105) = –0,21. –0,21. 24 24 13. –3 497,29 + 2 483 = –1 014,29. Након уплате, Стојан је у минусу 1 014,29 динара.

(

) (

)

97

СВОЈСТВ СВОЈС ТВА А САБИРАЊ САБИРАЊА РАЦИОНАЛН РАЦИОНАЛНИХ ИХ БРОЈЕВА 1.

a

b

c

1,2

5

–2,3

0,005

– 3 5

–2,4

1 4 – 1 8 –1,5

a+b

(a + b) b) + c

b+c

a + (b + c )

6,2

6,45

5,25

6,45

–2,295

–2,42

–0,12

–2,42

–3

–4,5

–3,9

–4,5

a

b

c

a+b

b+a

b+c

c+b

–3,25

1 4

–5,75

–3

–3

–5,5

–5,5

– 3 4

–3,8

–0,2

–4,55

–4,55

–4

–4

1 + –1 1 + 3 = – 5 ; б) –2 5 + 2 + 1 1 = – 5 ; в) – 9 ; 10 2 2 4 4 6 3 3 6 г) (0,56+2,4) + 1,44 = (2,4 (2,4 + 0,56) + 1,44 1,44 = 2,4 + (0,56 + 1,44) 1,44) = 2,4 + 2 = 4,4; 4,4; д) 0; ђ) 10. 2 3 2 1 3 1 5 6 < 5 + – 6 ; в) –1 3 + 1 = 0,5 + – 10 ; 3. а) – + > – + , јер је > ; б) – + – 7 9 4 9 2 4 2 6 7 8 7 7 2 г) – 5 + – 3 + 7 < – 3 + 7 + 5 ; д) – 3 + 1 2 – 1 = – 1 + 5 – 3 . 10 3 6 2 11 2 11 6 5 3 10 5 1 + b = – 2 – 1 = – 11 ; б) – 2 + 1 = – 1 ; в) – 2 ; г) – 2 – 3 – 1 = –1 11 . 4. а) a – 12 12 4 3 4 3 3 3 3 3 4 2 1 = –2 1 + 1 1 = – 5 ; б) –2 1 + 3 = – 2 ; в) –2 1 – 1 – 2 3 = –5; –5; г) –3 5 . 5. а) a – b – 1 12 3 6 3 6 6 2 3 6 12 4 7 ; б) –1 1 ; в) 1 3 ; г) 1; д) –1 4 . 6. а) 10 10 10 5

(

( ))

2. а) –

( )

(

(

(

) (

)

)

( ) (

( ) ) (

(

)

(

)

(

)

)

ЈЕДНА ЈЕ ДНАЧИНЕ ЧИНЕ СА С А САБИР САБИ РАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ ОДУЗИМА ЊЕМ 1. а) није;

в) јесте; г) јесте. = 1 ; б) y = = 11 ; в) z = 1,15; г) a = 0,2; д) b = 0,9. 2. а) x = 6 12 = –1 3 ; б) t = –1,65; в) x = = 2 13 ; г) t = = 7 1 ; д) x = = – 1 . 3. а) x = 10 14 2 4 4. а) d = = – 13 ; б) f = –6,61; в) d = = – 1 ; г) f = = –3 11 . 15 6 35 = –1 1 ; б) a = 1,75; в) y = –1; г) a = 3 1 . 5. а) y = 12 8

98

б) није;

)

б) x = = 9 ; в) x = 13,84; г) x = = 1 . 10 5 9 ; в) x = 7. а) z = –2; б) b = –6 = 1 2 ; г) x = –1,3; д) z = = –2 11 ; 28 20 9 ђ) a = –3 3 ; е) x = = 5 2 ; ж) y = = –8 19 . 30 8 3 17 , па једначина нема = –5 7 или y = = 5 7 ; б) y = = –1 11 или y = = 1 11 ; в) | y y | = – 8. а) y = 12 12 12 12 20 решења; г) y = = 3 1 или y = = –5 1 ; д) y = = – 11 или y = = 1 1 ; ђ) y = = –1 13 или y = = 3 5 . 24 72 2 2 8 8 + – 7 = 1 , па је x = = 1 1 . 9. x + 8 4 8 – 0,3 = –3,2 + 5 , па је x = = –2 11 . 10. x – 8 40 2 = – 1 2 – (–1,6), (–1,6), па је x = = –3 1 . 11. –1 + (–1,6) – x = 5 5 5 2 – –2 1 – 0,2 = 1 + 2 + 3 , па је a = – 14 . 12. a + – 3 45 9 3 1 – 0,5) + 7 = 1,25, 1,25, па је k = = –2 5 . 13. – – (k – 3 4 6 2 + – 5 – –4 2 – 1 = 3 + n, па је n = – 1 . 14. 15 3 5 15 15 = 1 6. а) x =

28 ; 45

( )

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( )

НЕЈЕДНА НЕЈЕ ДНАЧИНЕ ЧИНЕ У ВЕЗИ В ЕЗИ СА С А САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ 1 ; 1 3 ; б) –3; –2 5 ; в) сви бројеви; г) ниједан број; д) –3; 1 ; –2 5 ; 0,25; –2,14. 2 5 8 2 8 > 7 ; б) y ≥ ≥ 1 1 ; в) z > > 3 ; г) q > 1 ; д) p ≥ 3 1 . 2. а) x > 12 3 4 2 6 1 5 ≥ – 2 ; г) d ≤–1. ≤–1. 3. а) a < –5 ; б) b > – ; в) c ≥ 6 8 3 < – 1 ; б) x < < – 1 ; в) x ≥– 4 ; г) x ≤ ≤ –2 4 . 4. а) x < 2 2 3 5 1 3 ≥ 3 1 ; г) t > > 7 3 . 5. а) p ≥ –3 ; б) q < – ; в) r ≥ 10 4 5 4 < –1 5 ; в) x ≥ ≥ –3 1 ; г) x < < –1 2 . 6. а) x < 1,2; б) x < 6 2 3 7. а) y ≥ ≥ 2 1 ; б) y < –17; в) y ≥ ≥ 1 13 ; г) y ≥ ≥ – 41 ; д) y < < –1 5 ; ђ) y >– >– 1 . 10 18 60 12 40 > 2 3 или x < < –2 3 ; б) –4,42 ≤ x ≤ 4,42; в) сваки рационалан број је решење; 8. а) x > 7 7 г) нема рационалног броја који је решење; д) x > > 1 или x < < – 1 . 4 4 1. а)

99

9. a < –2

11 , па је = –3. a 30

1 заменом добијаш x < < 1. 3 1 < 3,2, одакле је x < < 14 11 . 11. Значи, –11 + x < 30 6 7 + 3 5 – x ≥ 1, одакле је x ≤ ≤ –2 3 . 12. Значи, –5 12 6 4 – (0,52 + (–2,4)) > 0,52 – (–2,4), одакле је x > > 1,04. 13. Значи, x – 17 – 13 – x ≤ 3 + –2 2 + – 1 , одакле је x ≥ 1 11 . 14. Значи, 5 3 4 3 5 60 + 7,2 степена Целзијуса, увече ( x + + 7,2) – 5,3, а следећег с ледећег 15. У подне температура је била x + јутра (( x + + 7,2) – 5,3) – 3,9 < –2,6, одакле је x < < –0,6. Дакле, температура је била нижа од –0,6 степени Целзијуса. 10. Из a = 2

(

)

(

)

(

) ( )

МНОЖЕЊЕ РАЦИОНАЛН РАЦИОНАЛНИХ ИХ БРОЈЕВА 2; 5

1. а) 2

б) 2 2 ; 7

2. а) –20;

б) –21;

3. а) 3 ·

1 = 3; 5 5

4. а) –3

1; 5

5. а) –

30 ; 77

в) 42;

б) 4 ; 9

б) – 3 ; 4

7. а) –1;

б) 1 ; 12

г) 1 035;

в) –6;

в) 1;

в) 1 ; 3

г) 1 23 ; 27

б) 1;

9. а) –

3 ; 10

б) 1 9 ; 20

в) –1 1 ; 2

3 · – 10 – – 3 = 1 . 21 5 7 7

д) 11 1 ; 3

г) 1 7 ; 30

г) 1 1 . 3 д) – 3 . 8

г) 21 . 40

100

г) 3 · (– 5 ) = –1 7 . 8 8

ђ) 10 1 . 2

ђ) – 1 ; 12

д) – 7 . 30

) ( ) 2 1 2 1 89 . 11. (– + (–2 )) · (– – (–2 )) = –4 144 3 4 3 4 10.

е) 7 1 . 21

в) 4 · (– 2 ) = – 8 ; 9 9

д) 4 1 ; 8

в) 1 ; 6

5 ; 12

ђ) 2 ; 3

д) –20.

г) 0;

г) – 4 ; 9

в) – 3 ; 10

8. а) –

(

д) 4 ; 9

б) 2 · (– 3 ) = –1 1 ; 4 2

б) –1 1 ; 3

6. а) –1;

г) 8 ; 35

в) 0;

е) 15 1 ; 2

ж) –5 1 ; 3

з) 1 ; 6

и) 1 . 15

12. –1

3 · 8 – 5 · 8 = – 1 . 2 8 33 16 15

2 · – 5 – 2 + – 5 = 23 . 54 9 6 9 6 14. а) 35,6; б) 5 200; в) 6,7; г) 11,04; д) 0,054; ђ) 6,33995. 15. а) 3 · (–2,3) = –6,9; б) 4 · (–0,04) = –0,16; в) 2 · (–8,8) = –17,6.

( ) (

13.

( ))

16.

·

10

100

1 000

10 000

100 000

–5,93

–59,3

–593

–5 930

–59 300

–593 000

–1,506

–15,06

–150,6

–1 506

–15 060

–150 600

–0,0037

–0,037

–0,37

–3,7

–37

–370

17. а) –360;

б) 4 330; в) –51,01; г) –5,5; д) 5 430; ђ) 184; е) –248,8; ж) 332,8; з) –128,25; и) 102,35; ј) 81. 18. а) –23,56; б) –4,9; в) 15; г) 13,455; д) –1; ђ) 0,0637; е) 0,945; ж) –0,0064; з) –0,0052; и) 13,416. 19. а) –3; б) –6,18; в) 0,7; г) –10,69. 1 4 ; ж) –3,8175; з) –7,64. 20. а) –17,67; б) –5; в) –18,762; г) –3,2; д) 2; ђ) ; е) –1 25 8 29 ; б) –3 21 ; в) 1 ; г) –5 1 ; д) 2,7. 21. а) –1 32 80 16 5 3 1 22. –2,5 · 12 + – – 0,75 = –31 . 4 2 3 + 3 – 1 · (–14) = 1 11 . 23. –1 14 21 42 6 1 · 4 · –2,75 – –3 1 = –2 19 . 24. –2,75 + (–3 28 2 7 2 1 + (–0,5) = 53 . 1 2 25. · (0,375 · (–4)) – · –1 4 5 10 200 1 1 1 26. Први број је –8, други број је –8 · = –2, трећи број је –2 · = – и четврти број је 4 4 2 – 1 · 1 = – 1 . Дакле, тражени збир је –8 + (–2) + – 1 + – 1 = –10 5 . 2 4 8 2 8 8 3 5 1 1 7 3 5 1 1 · – 7 = 35 . 27. Тражени бројеви су , , , – и – , а производ је · · · – 288 2 6 6 2 6 2 6 6 2 6

(

( (

)

)

)) ( ( (

(

))) )

( ) ( )

( ) ( )

СВОЈСТВ СВОЈС ТВА А МНОЖЕЊА РАЦИОНАЛН РАЦИОНАЛНИХ ИХ БРОЈЕВА 1.

a

b

c

b+c

a·b

b·a

a·c

–0,5

1 4

–1 1 2 2 4 9 –3,1

–1 1 4 2 5 72 –3,15

– 1 8 – 1 8 0,115

– 1 8 – 1 8 0,115

3 4 22 27 7,13

1 3 –2,3

–0,375 –0,05

a · b + a · c a · (b + c )

5 8 149 216 7,245

5 8 149 216 7,245

101

2. Применом својстава асоцијативности и комутативности за множење, директно следе

дате једнакости. 7 ; б) –0,69; в) 4,68; г) 1 ; д) –10,2. 3. а) – 47 4 1 . 2 1 4. а) 2 ; б) – ; в) 7,37; г) 18 3 3 2 2 2 1 2 2 + 1 = 2 · 1 = 2 ; б) –0,25; в) 1 ; г) 2 ; д) 7 ; ђ) –24. 5. а) · + · = · 15 5 3 5 3 5 3 3 5 5 6 7 5 6. а) –1 ; б) 0,7; в) 3,3. 9 1 1 1 1 7. а) –21; б) –1 ; в) 4 ; г) ; д) – . 2 5 2 3 4 ;2 1 ;– 4 . 1 1 2 1 8. ; – ; –23; –30; 1 ; –4 ; – 2 3 5 2 17 2 21 9. Бројеви 1 и –1 су једнаки својој реципрочној вредности. Број 0 нема реципрочну вредност. 3 2 10. А = 1 и В = , па је тражени производ 1 . 5 3

(

)

ДЕЉЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА 1 ; б) 1 3 ; в) 4 ; г) 1 1 ; д) 1 . 12 5 4 9 3 2. а) –16; б) –5; в) 3; г) –103; д) 101; ђ) 1 001. 2 б) 1 ; в) – 1 ; г) – 2 ; д) – 3 ; ђ) 5 . 3. а) – 10 10 21 48 9 4 7 ; б) – 8 ; в) 5 1 ; г) –1 5 ; д) 1 1 ; ђ) –1 1 ; е) –2; 4. а) – 12 15 49 4 9 3 и) 1 ; ј) –9 1 ; к) 9; л) – 3 ; љ) –31 1 ; м) –64; н) –3 3 . 15 10 3 2 8 47 ; в) – 7 ; г) – 3 . 1 5. а) – ; б) 57 144 20 2 6. а) –1; б) –2; в) 3. 3 ; б) – 3 ; в) 1 ; г) –1 1 ; д) 1 13 . 7. а) – 18 14 5 7 3 8 > – 2 ; б) –6 < –1 19 ; в) –2 1 > –11 1 . 8. а) – 27 3 21 8 5 2 1 ; в) 243 ; г) 54 ; д) 2 139 . 9. а) – ; б) – 15 625 125 243 3 6 : –1 5 + 4 = – 1 . 10. – 27 9 11 5 – 8 1 : 2 1 = –1 14 . 11. 3 12 15 4 2 1. а) 1

(

(

102

)

)

ж) –4;

з) 12;

( 25 + 2 101 ) – (–8 25 : 2 101 ) = –2 103 . 1 3 7 1 25 + 3 ) = 1 . 13. (–1 : 3 ) – ( –5 18 36 2 8 4 12. –8

14. а) 26,4; 15.

б) 1,695;

в) 0,00234;

г) 5,2;

д) 334,58;

ђ) 1 376.

:

10

100

1 000

10 000

–3,4

–0,34

–0,034

–0,0034

–0,00034

–15,027

–1,5027

–0,15027

–0,015027

–0,0015027

–0,314

–0,0314

–0,00314

–0,000314

–0,0000314

16. а) –1,8; б) –1,3; в) 0,51; 17. а) –20; б) –30; в) 47,52;

г) –0,1632; д) –3,428; ђ) –0,0035. г) –15,525; д) 17,4; ђ) –197,5; е) –0,02;

ж) 0,375;

з) –5,41; и) –630. 18. а) –15,25; б) 92,973; в) 772,395. 19. а) 4,2; б) –7,1; в) 3,5. 20. (–5,25 : 0,15) – (–4) = –31. 5 21. 5 · – + 1,295 + (–2,68 : 0,4) = –3,35. 8 77 + 2,42 – 1 · (9,9924 : 0,33) = –15,36. 1 22. · – 25 3 2 1 · 0,8 = –3,3. 23. (–0,35 : 0,5) – 3 4 185 . 24. (–2,31 + 1,2) : (–2,31 · 1,2) = 462 3 – = –1 5 . 25. –1 5 7

(

)

(

)

(

)

1 + 3 + – 5 : 3 = – 1 ; б) – 9 ; в) –0,464. 32 2 4 8 8 1 15 ; в) –3 2 ; г) 17 2 . 27. а) 1 ; б) – 23 11 3 5 17 ; б) –1; в) 63 . 28. а) –3 128 27 15 ; в) –1; г) –2 5 ; д) 0; ђ) 3 11 ; е) 5 1 . 29. а) 3; б) 6 52 20 6 2

(

26. а) –

( ))

ЈЕДНАЧИНЕ ЈЕ ДНАЧИНЕ 1. а) јесте; б) није;

в) није;

2 ; б) x = –1; 3 = – 1 ; б) y = –1; 3. а) y = 4 1 5 ; 4. а) a = –1 ; б) a = 18 3 = – 2. а) x =

г) јесте; д) јесте; ђ) није. в) x = = –2 3 ; г) x = = 1 1 ; д) x = = –10 4 . 5 2 5 в) y = –6,941; г) y = = –40 10 ; д) y = = 6 3 . 11 5 в) a = –1,5;

г) a = –8;

д) a = 15.

103

5. а) b = –

= 6. а) d =

2; 3

1; 2

в) b = –5 1 ; г) b =– 1 . 5 2 в) d = = –4 12 ; г) d = = 5 3 ; д) d = = 17 ; 29 50 4

б) b = 26,575; б) d = 4,12;

ђ) d = = – 4 ; 5

е) d = = 1;

ж) d = = 26 13 ; з) d = = –1. 21 = – 1 ; б) x = = 2 1 ; в) x = = 2 1 . 7. а) x = 3 5 4 = – 2 ; б) y = = – 2 ; в) y = = 1 ; г) y = = 1. 8. а) y = 16 3 3 = – 1 ; б) k = = 1 . 9. а) k = 15 5 1 = – 3 , онда је x = = 2 . 10. Како је x · · –1 8 4 3 5 = –1 11 , онда је x = = 9 . 11. Како је x : : – 16 25 20 7 12. Како је x · · – + 0,625 = –9,3 – (–0,675), онда је x = = 34 1 . 8 2 1 = 3 1 заменом добијаш b = 9 . 13. Из a = и c = 16 2 5 + – 4 = – 1 , па је x = = – 1 . Да није погрешио, Зоран би добио – 1 : – 4 = 1 . 14. x + 15 15 15 15 3 4 3 · x – – 1 – – 1 = 2 · (0,8 + (–5,2)). Одавде је x = = 11 2 . 15. 4 · – 16 8 4 5 21 · x – – 7 = –0,15. Одавде је x = = – 7 . 16. (–0,3 – 0,025) – 3 · – 90 50 20 1 17. 500 – 2,3 · 87 + 3 · x = –38,1. Килограм банана кошта 104 динара. 4 18. 12 · (25 618,32 – 24 500) – 2 · x = –3 000,16. Један пар скија кошта 8 210 динара. = –1 1 или x = 5; б) x = = 1 2 или x = = – 5 ; в) x = = 1 1 или x = 6; г) x = = 3 или x = = – 3 ; 19. а) x = 36 5 5 3 5 5 д) x = = 5 или x = = – 5 ; ђ) нема решења; е) x = = 2 2 или x = = –2 2 ; ж) x = = 1 1 или x = = –1 1 ; 8 8 5 5 9 9 з) x = = 1 2 или x = = –3 2 ; и) x = = 2 2 ; ј) x = = 7 . 3 3 3 8

( ( (

( (

) )

)

)

(

) ( ) ( )

(

)

НЕЈЕДНАЧИНЕ НЕЈЕ ДНАЧИНЕ г) x < < 6 ; д) x > 2,247; ђ) x ≤ ≤ 3 . 25 11 1 3 1 ; г) {3}; д) {3}. 2. а) {0, 3}; б) сви бројеви; в) –2, – , – , 0, –1 2 4 3 3. а) p < –4; б) p < –5; в) p ≤ 7; г) p < –6; д) p ≥ –25; ђ) p < 24. > – 3 ; б) y ≤ ≤ – 5 ; в) y < < – 3 ; г) y ≤ ≤ 5 1 ; д) y ≥ ≥ 1 1 . 4. а) y > 4 3 4 5 2 < 1 1. а) x <

1; 2

б) x < < 1 1 ; 3

в) x ≥ 1 1 ; 9

{

104

}

)

> – 5. а) x >

2; 3

б) x < –0,6;

в) x > –3,3;

г) x ≤ 18;

д) x > – 1 . 6

в) p < 1 1 ; г) p < –16; д) p < –6. 6 3 17 ; в) a < –8 1 ; г) a ≤ 7 14 . 7. а) a < –1 ; б) a ≤ – 30 15 8 4 1 ; б) b ≤ –2 3 ; в) b > –5 4 ; г) b ≤ –4 4 . 8. а) b < 1 18 15 27 4 < –24 2 ; в) x ≥ ≥ –29 1 ; г) x ≥ ≥ –3; д) x < –178; ђ) x < –5; е) x < < – 1 . 9. а) x < –1; б) x < 18 3 2 3 < x < 1; б) –2,4 < x < –0,8; в) –6,5 < x < –5. 11. а) – 5 4 · a – 2 ≤ – 3 , то је a ≥ –17 1 . 12. Како је – 35 70 8 8 7 + 2 ≤ 5 , то је Бранко могао да замисли број не мањи од – 3 , а 13. Како је – < x · · – 9 9 3 4 4 мањи од 2. 14. –3, –2, –1. 15. –3. 16. a > –2. 1 > –4, па трећи број може бити –3, –2 или –1. 17. (–7 + (–2) + x ) : 3 > –4 , одакле је x > 3 < –4 или x > 0; г) –3 < x < 0; д) x < < 0 или x > 2,1; ђ) 1 < x < 1; 18. а) x < 0; б) x < 0; в) x < 3 е) –22,4 < x < 1,6; ж) x < 0 или x > 5; з) 3 < x < 3. 4 6. а) p > –2;

б) p > –3;

( )

ПРОЦЕНТИ ПР ОЦЕНТИ 1 , 3 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 4 ; б) 5 , 3 , 2, 12 , 5 , 63 , 15 , 17 . 100 100 10 4 5 2 4 5 5 2 20 4 4 4 2 2. Следеће бројеве изрази у процентима: а) 9%, 13%, 39%, 50%, 71%, 99%; б) 133%, 217%, 311%, 512%, 917%; в) 0,4%; 2,1%; 10,1%; 51,3% ; 75%; г) 50%, 75%, 40%, 310%, 35%, 32%, 158%; д) 100%; 25%; 60%; 20%; 325%; 850%; 175%; 200%; 150%; ђ) 12,5%, 7,5%, 62,4%, 40,2%; е) 66,67%, 41,67%, 72,73%, 1 216,67%. 1 · 42 = 21; 50% · 18 = 1 · 18 = 9; 9; 8,5; 12,95; б) 30% · 250 = 30 · 250 = 75; 3. а) 50% · 42 = 100 2 2 3,3; 9 ; 1 ; в) 9,472; 9,694; 384,8; 1 ; г) 197,8; 9,245; 2,15; 3 7 . 40 8 8 5 · 5% = x · · 0,05 = 10, одакле је x = 200; б) 160; в) 260; г) 1 440; д) 624; ђ) 12 1 . 4. а) x · 2 5. Дечака има 720 · 45% = 324, а девојчица 720 · 55% = 396. 1. а)

ла ла има 56%. Значи, засађено је 525 · 56% = 294 лале. ла ле. 6. Ако ружа има 44%, онда лала 7. Чоколада кошта 500 · 35% = 175 динара. 8. Након снижења од 6%, цена кошуље је 94% почетне цене, то јест 1 250 · 94% = 1 175 динара.

105

9. Садашња цена је 107% почетне цене, то јест 2 370 · 107% = 2 535,9 динара. 10. Ако је цена снижена за 36%, садашња цена је 64% почетне. Значи, x · · 64% = 1 152, па је

блуза коштала 1 800 динара. 11. x · · 118% = 294,41. Цена књиге пре поскупљења је 249,5 динара. 12. Одличних – 25%, врло добрих – 33,33%, добрих – 16,67%, довољних – 25%. 13. Укупна маса теста је 360g. Брашна има 55,56%, а шећера 11,11%. = 92 = 92%. 14. а) Из x · · 1 150 = 1 058 динара добијаш да је x = 100 Дакле, торба је појефтинила за 8%; б) 14%; в) 23%. 15. а) 10%; б) 25%; в) 39%. 16. 13% цене кишобрана је 26 динара. Значи, x · · 13% = 26, па је цена кишобрана пре снижења била 200 динара, а после пос ле снижења 200 – 26 динара, односно 174 динара. 17. 1 250 ученика. 18. Пре поскупљења – 520 динара, а после поскупљења – 608,4 динара. 19. 65kg свежих шљива. 20. 1. септембра – 2 200 динара. 15. септембра 2 530 динара. 30. септембра 2 150,5 динара. Дакле, патике су јефтиније 30. септембра, за 49,5 динара. 21. Када је потрошила 30%, имала је 2 478 динара. Сада има 3 221,4 динара. 22. Након првог поскупљења, литар кошта 94,35 динара, а након другог поскупљења, 100,011 динара. Дакле, 10 литара кошта 1 000,11 динара. x · · 75%) · 78% = 468. Сава је замислио број 800. 23. ( x = 125%. 24. После снижења од 20%, цена чаша је 200 динара. Како је x · · 200 = 250, онда је x = Дакле, цену чаша треба повећати за 25%. 25. За 20%. 26. Обим правоугаоника пре промене страница је 18cm, а површина 20cm 2. Након промене обим је 22cm, а површина 30cm 2. Обим се повећао за 22,22%, а површина за 50%. 27. Добили смо правоугаоник. Означи страницу квадрата са a. Дужа страница правоугаоника је 110% · a = 11 · a, а краћа 90% · a = 9 · a. Обим правоугаоника је 4 · a, 10 10 99 2 2 а површина · a = 99% · a . Дакле, обим је остао непромењен, а површина се 100 смањила за 1%.

106

ЧЕТВОРОУГАО ПОЈАМ ЧЕТВОРОУГЛА њ егова темена, странице и углове. 1. Нацртај произвољан четвороугао и обележи његова АВСD СD. четвороугао АВ 2. На слици је дат произвољан четвороугао Допуни дате реченице: а) Страници АВ суседне странице с транице су ______________. б) Наспрамна страница страници АD је ___________ ____________. _. в) Углу β суседни углови су __________. г) Углови α и γ су __________ _____________. ___.

C γ

D δ

α

β

A

B

3. Нека је у равни дато пет неколинеарних тачака A, B, C , D и E . Колико четвороуглова је одређено овим тачкама? Наведи их. 4. Допуни дате реченице: а) Сваки четвороугао има _______ дијагонале. б) У сваком четвороуглу збир унутрашњих углова је _______. в) У сваком четвороуглу збир спољашњих углова је _______.

УГЛОВИ ЧЕТВОРОУГЛА мог у бити унутрашњи углови конвексног четвороугла: 1. Провери да ли дати углови могу а) 79°, 85°, 42° и 154°; б) 60°, 99°, 31° и 119°; в) 100°, 82°, 44° и 144°; г) 55° 30’, 88°, 78° 30’ и 138°. 2. Углови четвороугла су β = 74°, γ = 63° и δ = 138°. Израчунај четврти угао α тог четвороугла и сваком од ових углова одреди одговарајући спољашњи угао. 3. Одреди непознате унутрашње углове четвороугла ако је дато: а) унутрашњи углови α = 59°, β = 72° и спољашњи угао δ1 = 93°; б) унутрашњи угао β = 44° и спољашњи углови α1 = 117° и γ1 = 52°; в) унутрашњи угао α = 114°, а остала три су једнака; г) унутрашњи углови се редом разликују за 32°; д) α = 2γ, а друга два наспрамна угла су права; ђ) унутрашњи углови су једнаки α, 2α, 4α, 5α; е) унутрашњи углови су једнаки α, β = 3 α, γ = β + 70° и δ = α + 50°. 4. Нацртај четвороугао који има: а) два права угла; б) три права угла.

дели четвороугао АВСD на два једнакостранична троугла. Израчунај Израчунај углове 5. Дијагонала АС дели тог четвороугла.

107

АС С дели углове α и γ на ВА ВАС С = = 32° и С АD = 30°, односно 6. Дијагонала А АСD А СD = 30°. Колики су унутрашњи углови тог четвороугла?

ВС А = 58° и

D АВСD СD на два 7. Дијагонала ВD дели четвороугао АВ једнакокрака троугла АВD и ВСD, тако да је АВ = ВD и ВС = СD. Ако је α = 50° и γ = 140°, одреди углове β АВСD СD. и δ четвороугла АВ

140° С А

50°



D

154° дели четвороугао АВСD на два 8. Дијагонала АС дели једнакокрака троугла, тако тако да им је АС заједничка основица. На основу података са слике с лике израчунај све углове четвороугла.

А

С

57°

В Е

четвороугла АВСD 9. Продужеци страница АD и BC четвороугла секу се у тачки Е , тако да је троугао АВЕ једнакокрак једнакокрак и правоугли. Ако је ВСD = 112° , одреди углове четвороугла АВСD.

С 112°

D А

В 

четвороугла 10. Продужеци страница АD и BC четвороугла АВСD секу се у тачки Е , тако да је троугао DСЕ једнакокраки (DС = СЕ ). ). На основу података са слике одреди углове четвороугла АВСD.

80º С

D 45º

А

В

F 42°

11. Израчунај углове четвороугла АВСD (види слику), ако су троуглови АЕD и АВF једнакокраки једнакокраки ( AE = ED и AF = FB).

D

С

42° А

108

В

Е

ПАРАЛЕЛОГРАМ 1. Међу нацртаним четвороугловима издвој паралелограме:

2. Нацртај паралелограм и обележи му странице и углове. 3. Користећи подударност троуглова докажи: а) да су наспрамне странице паралелограма једнаке; б) да су наспрамни углови паралелограма једнаки. 4. Допуни дате реченице: а) Суседни углови паралелограма су ___________ ________________. _____. б) Наспрамни углови паралелограма су __________ ________________. ______. 5. Израчунај остале углове паралелограма ако је један угао: а) 40°; б) 126°; в) 51° 25’. 6. Ако је један спољашњи угао паралелограма 135°, одреди остале спољашње и све унутрашње углове тог паралелограма. 7. Да ли углови од 42° и 78° могу бити два унутрашња угла паралелограма? 8. Одреди углове паралелограма ако је: а) збир два унутрашња угла 150°; б) један унутрашњи угао два пута већи од другог; в) један унутрашњи угао већи од другог за 32°. 9. Израчунај углове паралелограма ако се два његова суседна угла разликују за 48°.

паралелограма ABCD повучена повучена из темена D образује са страницом АD угао од 10. Висина паралелограма ABCD 20°. Одреди унутрашње углове тог паралелограма.

109

11. дреди унутрашње углове паралелограма ако је: а) један спољашњи угао три пута већи од њему суседног с уседног унутрашњег угла; б) један спољашњи угао за 36° мањи од њему суседног унутрашњег угла; в) спољашњи угао паралелограма једнак 5 њему суседног унутрашњег угла. 4

паралелограма ABCD образује са страницама АВ и АD углове од 31° и 51°. 12. Дијагонала АС паралелограма Израчунај унутрашње углове паралелограма ABCD.

13. Колико паралелограма уочаваш на слици?

14. Из темена D паралелограма ABCD повучене су висине на странице АВ и ВС . Ако је угао између тих тих висина 40°, израчунај углове паралелограма. 15. Заокружи слова испред тачних тврђења: а) Дијагонале паралелограма су једнаке. б) Дијагонале паралелограма се полове. в) Наспрамне странице паралелограма су једнаке и паралелне. г) Наспрамни углови паралелограма су суплементни. с уплементни. 16. Симетрала унутрашњег оштрог угла ВАD паралелограма ABCD сече страницу CD у тачки = 5cm и ЕС = = 2cm. Нађи дужине страница паралелограма. Е , тако да је DЕ = 17. Израчунај обим паралелограма ако је дужина једна страница 9cm, а дужина друге три пута мања од ње. 18. Израчунај дужине страница паралелограма ако је једна дужа од друге за 4cm, а обим тог паралелограма је 28cm. 19. У паралелограму ABCD повуци дијагоналу АС . Докажи да су темена B и D једнако удаљена од дијагонале АС .

и повуци два произвољна пречника. Докажи да крајње 20. Нацртај произвољну кружницу k и тачке тих пречника одређују темена правоугаоника. 21. Симетрале наспрамних углова паралелограма су паралелне. Докажи. 22. Пресечне тачке симетрала унутрашњих углова паралелограма ABCD образују четвороугао EFGH . Докажи да је четвороугао EFGH такође паралелограм.

нацртана је тежишна дуж АА1. Продужи ту тежишну дуж за њену дужину 23. У троуглу АВС нацртана ( АА1 = DА1), па спој тачку D са теменима В и С троугла. троугла. Докажи да је добијени четвороугао паралелограм. АВDС паралелограм.

110

ВОУГАОНИК, АОНИК, РОМБ Р ОМБ И КВАДРА КВА ДРАТ Т ПВОУГ 1. Симетрала угла код темена А правоугаоника АВ АВСD СD дели страницу СD на одсечке од 3cm и 4cm. Израчунај обим тог правоугаоника. 2. Средишта страница правоугаоника су темена ромба. Докажи. 3. Израчунај унутрашње углове ромба ако је: 1) један унутрашњи угао 45°; 2) један спољашњи угао 45°. 4. Ако је краћа дијагонала ромба једнака страници ромба, одреди углове тог ромба. 5. Висина ромба, повучена из темена тупог угла, образује са једном страницом угао од 30°. Одреди углове ромба. 6. Докажи да дијагонале ромба полове његове углове. 7. Дијагонала ромба образује са страницом угао од 35°. Одреди углове тог ромба. 8. Докажи да су средишта страница ромба темена правоугаоника. 9. Израчунај углове ромба ако је страница ромба два пута већа од његове висине. 10. Из темена тупог угла ромба конструисане су висине. Ако је угао између тих висина 70°, израчунај углове ромба. 11. Спољашњи угао ромба једнак је 1 њему суседног унутрашњег угла. Одреди угао који 5 граде висина и дијагонала повучене из истог темена. 12. Попуни дате табеле (за тачан одговор упиши +, а за нетачан −: дијагонале

паралелограм

правоугаоник

ромб

квадрат


ромб

квадрат

полове се једнаке су узајамно нормалне кружница


се може описати се може уписати

111

ПАРАЛЕЛОГРАМИ И СИМЕТРИЈЕ 1. Попуни дату таблицу (упиши колико оса симетрије има четвороугао):

паралелограм па


ромб

квадрат

оса симетрије 

2. Дату дуж АВ пресликај централном симетријом у односу на дату тачку О.

А





АВС С пресликај пресликај 3. Дати троугао АВ централном симетријом у односу на дату тачку О.

А

С



АВСD СD пресликај централном симетријом у односу на теме С тог 4. Произвољан четвороугао АВ тог четвороугла. АВСD СD, па га централном симетријом пресликај у односу на тачку 5. Нацртај паралелограм АВ пресека дијагонала.

с у централносиметричне. 6. Наброј неке геометријске фигуре које су

ОСТРУЦИЈЕ ПАР ПАРАЛЕЛОГРАМА АЛЕЛОГРАМА 1. Конструиши паралелограм ABCD ако је дато: а) АВ = 6cm, AD = 4cm, А = 45°; б) АВ = 6cm, BC = = 4cm и дијагонала AС = = 8cm; в) АВ = 6cm, ВС = = 4cm, В = 105°; г) АВ = 6cm, AD = 4cm, α1 = 120°. 2. Конструиши паралелограм ABCD ако је дато: АС С = АСВ СВ = 30°; а) А = 8cm, ВС = 5cm, А б) АВ = 7cm, AС = 8cm, В = 135°; АС С = 8cm, ВD = 6cm и угао између дијагонала 75°. в) А

112

паралелограм ABCD ако ако је дато: 3. Конструиши паралелограм ABCD АС С = a) А = 9cm, ВD = 6cm, АВ = 7cm; б) АВ = 7cm, А = 60°, ha = 3cm; в) АВ = 7cm, BC = = 4cm, hb = 6cm. 4. Конструиши квадрат ако је дато: а) страница a = 4cm; б) дијагонала d = = 6cm. 5. Конструиши квадрат ако је његов обим 22cm. 6. Конструиши квадрат ако је дата тачка пресека дијагонала и једно теме квадрата. 7. Конструиши правоугаоник ако су дате његове странице: а) a = 7cm, b = 3cm; б) a = 4,8cm, b = 2,3cm. 8. Конструиши правоугаоник ако je датo: а) страница a = 5cm и дијагонала d = = 6cm; б) дијагонала d = = 8cm и угао између дијагонале и дуже странице 30°; в) дијагонала d = = 6cm и угао између дијагонала 105°; г) страница a = 5cm и угао између дијагонала 60°. 9. Конструиши правоугаоник ако je датo: а) страница a = 5cm и збир дијагонале и друге странице b + d = = 9cm; б) дијагонала d = = 8cm и збир страница с траница a + b = 10,5cm.

ако је његов обим 22cm, а једна страница је дужа ду жа од друге за 10. Конструиши правоугаоник ако 3cm. = 24cm2, а једна страница a = 6cm. Конструиши тај 11. Површина правоугаоника је P = правоугаоник. 12. Конструиши ромб ABCD ако је дато: а) страница АВ = 6cm, угао α = 60°; б) страница АВ = 4cm, угао β = 135°; в) страница АВ = 5cm, дијагонала АС = = 8cm; г) страница АВ = 4cm, дијагонала BD = 4cm. 13. Конструиши ромб ако је дато: а) дијагонале d 1 = 6cm и d 2 = 4cm; б) страница a = 5cm и висина h = 3cm; в) дијагонала d 1 = 8cm и угао α = 75°; 14. Конструиши ромб ако је дато: а) страница a = 6cm и полупречник уписане кружнице r = = 2cm; б) полупречник уписане кружнице r = = 3cm и угао α = 60°; в) дијагонала d 1 = 9cm и висина h = 4cm; г) страница а = 5,5cm и збир дијагонала d 1 + d 2 = 14cm.

113

ТРАПЕЗ 1. На датој слици обој трапезе црвеном бојом.

2. Нацртај: а) трапез; б) једнакокраки трапез; в) правоугли трапез, па обележи његова темена, странице и углове. 3. Израчунај углове трапеза (гледај слику).

а)

б)

в) 125°

143°

72°

81°

49°

150°

4. Израчунај углове једнакокраких једнакокраких трапеза (гледај слику).

а)

б)

в)

3α

67° 53°

α

5. Израчунај углове правоуглих трапеза (гледај слику). с лику).

а)

б)

в) 65°

38°

α + 80° α

6. Продужеци кракова једнакокраког трапеза образују угао од 80°. Одреди углове тог трапеза. 7. Продужеци кракова правоуглог трапеза образују угао од 50°. Одреди углове тог трапеза.

114

8. Симетрала оштрог угла једнакокраког трапеза нормална је на наспрамни крак. Израчунај углове тог трапеза. 9. Симетрале углова на основици једнакокраког трапеза секу се под углом од 134°. Израчунај углове трапеза. 10. Дијагонала једнакокраког трапеза образује са страницама углове од 48° и 25°. Одреди углове тог трапеза. 11. Дијагонала једнакокраког трапеза образује са већом основицом угао од 38°. Ако су мања основица и крак једнаки, одреди углове тог трапеза. 12. Одреди углове једнакокраког трапеза ако је збир два унутрашња угла: а) 70°; б) 200°. 13. Одреди углове једнакокраког трапеза ако је збир три унутрашња угла 235°. 14. Симетрала оштрог угла једнакокраког трапеза образује са другом основицом угао од 32°. Одреди углове тог трапеза. 15. Израчунај средњу линију трапеза ако су основице: а) a а) a = = 7cm, b = 4cm; б) a б) a = = 8,3cm, b = 5,9cm. 16. Израчунај непознату основицу ако је дато: а) основица a = 6cm и средња линија m = 5cm; б) основица b = 3cm и средња линија m = 6cm. 17. Дијагонала трапеза дели средњу линију трапеза на одсечке од 2cm и 4cm. Одреди основице тог трапеза. 18. Дијагонала једнакокраког трапеза дели средњу линију трапеза на одсечке од 3cm и 3,5cm. Ако је крак тог трапеза 4cm, израчунај обим трапеза.

трапез ABCD ако ако је дато: 19. Конструиши трапез ABCD а) АВ = 7cm, AD = 3cm, BC = = 4cm, α = 60°; б) АВ = 6cm, AD = 4cm, α = 45°, β = 60°; в) АВ = 8cm, AD = 3cm, BD = 6cm, CD = 4cm; г) АВ = 8cm, BС = = 5cm, AD = 6cm, АC = = 7cm; д) АВ = 7cm, AС = 8cm, α = 60°, β = 75°. 20. Конструиши трапез ако је дато: а) основице a = 6cm и b = 3cm, угао α = 60° и висина h = 3cm; б) основицa a = 6cm, крак c = = 4cm, угао α = 75° и висина h = 3cm; в) основицa a = 7cm, краци c = = 3cm и d = = 4cm и висина h = 2cm; г) основицa a = 7cm, углови α = 75° и β = 45° и висина h = 2cm.

115

21. Конструиши једнакокраки трапез ако је дато: а) основицa a = 5,5cm, крак c = = 4cm, угао α = 75°; б) основицa a = 6cm, крак c = = 4cm и дијагонала d = = 5cm; в) основицa b = 4cm, крак c = = 3cm, угао γ = 120°; г) основицa b = 4cm, крак c = = 3,5cm и дијагонала d = = 6cm; 22. Конструиши једнакокраки трапез ако је дато: а) основице a = 8cm и b = 4cm и крак c = = 5cm; б) основицa а = 8cm, дијагонала d = = 7cm и висина h = 3cm; в) збир основицa а + b = 10cm, крак c = = 4cm и дијагонала d = = 7cm. 23. Конструиши правоугли трапез ако је дато: а) основицe a = 6cm и b= 5cm и висина h = 4cm; б) основицa a = 6cm, крак c = = 3,5cm и висина h = 3cm; в) основицa a = 6cm, крак c = = 4cm и угао β = 60°; г) висина h = 4cm, крак c = = 5cm и краћа дијагонала d 1 = 6cm. 24. Конструиши правоугли трапез ако је дато: а) основицa b = 4cm, висина h = 2cm и угао γ = 120°; б) основицe a = 6cm и b = 3cm и дужа дијагонала d 2 = 7cm; в) основицa a = 6cm, крак c = = 4cm и краћа дијагонала d 1 = 5cm; г) разлика основицa а – b = 2cm, висина h = 3cm и краћа дијагонала d 1 = 5cm.

ДЛТОИД 1. Одреди остале углове делтоида ABCD ( AB = AD, CB = CD) ако су:

а) углови између једнаких страница 64° и 78°; б) углови ВAD = 52°, АВС = = 123°. највише делтоид делтоид може имати: имати: а) оштрих оштрих углова; углова; б) тупих углова? 2. Колико највише 3. Наспрамни углови делтоида су 65° и 113°. Израчунај друга два угла делтоида. 4. Конструиши делтоид ABCD ( AB = AD = a, CB = CD = b, АС = = d 1, BD = d 2,

BAD = α,

= β) ABC =

ако је дато: а) a = 2cm, b = 4cm и d 1 = 5cm; б) a = 2cm, b = 4cm и β = 120°; в) a = 3cm, d 1 = 5cm и α = 150°. 5. Конструиши делтоид ABCD ( AB = AD = a, CB = CD = b, АС = = d 1, BD = d 2,

ако је дато: а) d 1 = 6cm, d 2 = 4cm и a = 3cm; б) d 1 = 7cm, d 2 = 4cm и α = 135°; в) d 1 = 8cm, α = 120° и β = 75°.

116

BAD = α,

= β) ABC =

ТЕСТ ТЕС Т � ЧЕТВОРОУГ ЧЕ ТВОРОУГАО АО 1. Ако је унутрашњи угао четвороугла α = 65°, а спољашњи β1 = 107° и γ1 = 39°, онда је унутрашњи угао δ тог четвороугла: а) 73°; б) 65°; в) 81°; г) 141°. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

2. Један угао паралелограма је 75°. Збир два унутрашња угла тог паралелограма је: а) 230°; б) 220°; в) 210°; г) 200°. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

3. Збир два унутрашња угла ромба је 76°. Један спољашњи угао тог ромба има: а) 104°; б) 38°; в) 76°; г) 142°. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

4. Наспрамни углови трапеза су 56° и 111°. Остали углови трапеза су: а) 56° и 111°; б) 124° и 69°; в) 48° и 131°; г) 156° и 34°. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

правоугаоника секу се под углом од 48°. Углови које дијагонале образују са 5. Дијагонале правоугаоника страницама правоугаоника су: а) 24° и 66°; б) 42° и 48°; в) 132° и 48°; г) 33° и 57°. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

6. Збир два наспрамна унутрашња угла делтоида је 200°, а трећи има 90°. Збир два суседна угла тог делтоида може имати: а) 180°; б) 170°; в) 160°; г) 150°. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

7. Конструиши ромб чија је страница а = 5cm и висина h = 3cm.

117

= 6,5cm. 8. Конструиши једнакокраки трапез ако је дато: а = 6cm, α = 75° и d =

9. Конструиши делтоид ако су дате странице а = 3cm и b = 7cm и дијагонала која је оса симетрије d 1 = 8cm.

. ) б ) а . 5 ; ) б ) г . 3 ; ) в . 2 ; ) в . 6 . . 4 ; . 1

: А Њ Е Ш Е Р

118

ЧЕТВОРОУГАО � РЕШЕЊА ПОЈАМ ЧЕТВОРОУГЛА 1.

С c D

γ δ b

d

А

и AD; 2. а) BC и AD

б) BC ;

α

a

β

В

в) α и γ;

г) наспрамни. ABDE, ACDE, BCDE ; 5 четвороуглова. 3. ABCD, ABCE, ABDE, 4. а) 2; б) 360°; в) 360°.

УГЛОВИ ЧЕТВОРОУГЛА 1. а) 79° + 85° + 42° + 154° = 360°, да; б) не; в) не; г) да. 2. α = 360° – 275° = 85°, α 1 = 95°, β1 = 106°, γ1 = 117°, δ1 = 42°. 3. а) δ = 87°, γ = 360° – 218° = 142°; б) α = 63°, γ = 128°, δ = 125°; в) 3β = 360° – 114°, 3 β = 246°, β = 82°; г) α = 42°, β = 74°, γ = 106°, δ = 138°; д) β = δ = 90°, α = 120°, γ = 60°; ђ) α = 30°, β = 60°, γ = 120°, δ = 150°; е) α = 30°, β = 90°, γ = 160°, δ = 80°. б) 4. a)

5. α = 120°, β = 60°, γ = 120°, δ = 60°. 6. α = 62°, β = 90°, γ = 88°, δ = 120°. 7. ADB = 50°,

= DBC = = 20°, β = 80° + 20° = 100°, δ = 50° + 20° =70°. ABD = 80°, BDC = 8. δ = 154°, DAC = = DCA = 13°, ACB = 57°, β = 180° – 114° = 66°, α = γ = 57° + 13° = 70°. 9. α = β = 45°, γ = 112°, δ = 158°. = DEC = = 50°, γ = 180° – 80° = 100° и δ = 180° – 50° = 130°. 10. α = 85°, β = 45°, EDC = 11. DAE = = ADE = (180° – 42°) : 2 = 138° : 2 = 69°, α = β = δ = 69°, γ = 360° – 3 ∙ 69° = 153°.

119

ПАРАЛЕЛОГРАМ 1.

2.

a

D

γ

δ b

A

b

β

α a

B

D

3.

γ

A

α

C

B

C

∆ ABD, ∆CDB BD = BD ABD = BDA =

CDB (углови са паралелним крацима) (углови са паралелним крацима) DBC (углови

∆ ABD  ∆CDB, па онда а) AB = CD, AD = BC ; б) α = γ.

4. а) суплементни; б) једнаки. 5. а) α = γ = 40°, β = δ = 140°; б) α = γ = 126°, β = δ = 54°; в) α = γ = 51°25’, β = δ = 128°35’. 6. α1 = γ1 = 135°, α = γ = 45°, β = δ = 135°, β1 = δ1 = 45°. 7. Не могу јер 42° ≠ 78° и 42° + 78° ≠ 180°. 8. а) α + γ = 150°, α = γ, α = 75°, γ = 75°, β = δ = 105°; б) β = 2α, α + β = 180°, α = γ = 60°, β = δ = 120°; в) β = α + 32°, α + β = 180°, α = γ = 74°, β = δ = 106°. 9. β – α = 48°, α + β = 180°, α = γ = 66°, β = δ = 114°. 10. δ = 90° + 20° = 110°, β = 110°, α = γ = 70°. 11. а) α1 = 3α, α1 + α = 180°, 4α = 180°, α = 45°, β = 135°; б) α1 = α – 36°, α1 + α = 180°, α – 36° + α = 180°, 2α = 216°, α = 108°, β = 72°;

в) α1 = 5 α, α1 + α = 180°, 9 α = 180°, α = 80°, β = 100°. 4 4 12. α = 31° + 51° = 82°, γ = 82°, β = δ = 98°. 13. 10. 14. β = 360° – (90° + 90° + 40°) = 140°, δ = 140°, α = γ = 40°. 15. б) и в).

120

УСУ

=>

16.

а = 5cm + 2cm = 7cm

Е

D

C

A

α

= DAE =

= BAE =

DEA =

BAE (углови (углови са паралелним крацима)

2

Па је DAE = = DEA= α , а онда је AD = DE = = 5cm, 2 то јест b = 5cm.

B

17. а = 9cm, b = a : 3 = 9cm : 3 = 3cm, O = 24cm. 18. а = b + 4cm, O = 2a + 2b, 28 = 2  (b + 4) + 2b, 28 = 2b + 8 + 2b, 28 = 4b + 8, 4b = 20, b = 5cm, a = 9cm.

Посматрамо ∆ ABF и ∆CDE.

19. D

C

 Е

AB = CD (a) FAB = ECD (углови са паралелним крацима) ABF = CDE (90° (90° – φ)

F

A

B

Према ставу УСУ је ∆ ABF  ∆CDE , а онда је BF = DE. 20.

C

D O

β

Посматрамо ∆ ABO ABO и и ∆CDO ∆CDO AO = CO ( CO (r r ) BO = DO ( DO (r r ) AOB = AOB = COD (унакрсни)

α B

A

СУС, па је ∆ ABO  ∆ ∆CDO CDO и АB = CD.

Слично се показује да је AD је AD = BC , па следи да је четвороугао ABCD четвороугао ABCD паралелограм. паралелограм. Угао α је спољашњи угао ∆ ABO ∆ ABO,, па је

OАB = OАB =

OBА = OBА = α , угао β је спољашњи угао ∆ ADO ∆ ADO,, па је 2

ODА = ODА = β . Даље је DАB DАB = = OАB + OАD OАD = = α + β = 90° (јер је α + β = 180°). 2 2 2 Паралелограм коме је један угао прав је правоугаоник. OАD = OАD =

21.

Е

D

A

C

B

F

( α2 ) CFB ( α ) 2

DAE = =

BAE = = АЕD

BCF = =

DCF =

BАЕ =

BFC па па је АЕ је АЕ || FC .

22. Из претходног задатка sα || sγ, sβ || sδ закључујемо да је добијени четвороугао

паралелограм.

23.

А

B

А1

C

Како је BA је BA1= A1C и AA1 = A1D, видиш да се дијагонале четвороугла ABCD четвороугла ABCD полове, полове, па је тај четвороугао четвороугао паралелограм.

D

121

ПРАВОУГАОНИК, РОМБ И КВАДРАТ 1.

E

D

C

45°

Видиш да је a = 3cm + 4cm = 7cm и DAE = 45°= DEA. Ако је AD = DE = = 3cm, онда је = 4cm, онда је O = 22cm. O = 20cm, а ако је AD = DE =

45° B

А

2.

G

D

C

O

H

A

F

B

E

3. a) α = 45°, β = 135°; 4. D

б) α1 = 45°, α = 135°, β = 45°. C

Из d 1 = a закључујеш да је ∆ ABD ∆ ABD једнакостраничан једнакостраничан па је α = 60°, β = 120°.

d 1 А

a

B

D

5.

Очигледно је ∆ AEH  ∆ ∆EBF EBF  ∆ ∆FCG FCG  ∆ ∆GDH GDH , пa je HЕ = EF = FG = GH . Следи да је EFGH ромб. ромб.

C

α = 180° – (90° + 30°) = 60°, β = 120°.

30° А

B

6.

D

Посматрај ∆ ABС ∆ ABС и ∆ ADC. ∆ ADC. Како је AC је AC = AC = AC , AB AB = = AD AD и и BC = DC = = а, то је ∆ ABС  ∆ ADC (ССС). Сада је

C

= BAC = А

( α2 ) и

DAC

BCA =

DCA

( α2 ), па дијагонала

АС полови полови угао α. Слично се показује и да дијагонала BD полови BD полови угао β.

B

7. α = 2 ∙ 35° = 70°, β = 110°. 8.

D

G

H

A

C

F

E

Како је E средиште АВ средиште АВ и и F средиште средиште BC , то је EF средња линија ∆ ABС ∆ ABС , па је EF || АС || АС и и EF = АС ∕2. ∕2. Слично, HG је HG је средња линија ∆ AСD ∆ AСD,, па је HG || АС || АС и HG HG = = АС АС ∕ ∕ 2. Како је EF || HG HG и и EF = HG, HG, то је EFHG EFHG паралелограм. паралелограм.

B

Даље је FEB FEB = = (180° – β) : 2 = 90° – β ∕ 2, HEA HEA = = (180° – α) : 2 = 90° – α ∕ 2 и како је α + β = 180°, то је HEF = = 180° – ( FEB FEB + + HEA HEA)) = 180° – (90° – β ∕ 2 + 90° – α ∕ 2) = 180° – (180° – 90°) = 90°. Како је EFHG EFHG паралелограм паралелограм и HEF = = 90°, то је EFHG правоугаоник.

122

9.

D а

α

А

h а

10.

C

У ∆ AED је a = 2h, па је α = 30° и β = 150°. B

E

D

C

70°

У четвороуглу EBFD је 90° + 90° + 70° + β = 360°, па је β = 110° и α = 70°.

F

β

А

11.

E E

D

B

Како је α1 = 1 α и α + α1 = 180°, добијаш α + 1 α = 180°, 5 5 6 α = 180°, па је α = 150° и β = 30°. Даље је BED = 90°, 5 α EDB = = 75°, па је DBE = = 180° – (90° + 75°) = 15°. 2

C

d 1 А

12.

B

a

дијагонале



ромб

квадрат

полове се

+

+

+

+

једнаке су

–

+

–

+

узајамно нормалне

–

–

+

+

кружница



ромб

квадрат

се може описати

–

+

–

+

се може уписати

–

–

+

+

ПАРАЛЕЛОГРАМИ И СИМЕТРИЈЕ 1.

паралелограм па


ромб

квадрат

оса симетрије

0

2

2

4

2.

В

·

А

A’

О

B’

123

3.

B A C 1

O C

A1 B1 4.

D A1

B1

C = C 1

A

B D1

5.

D = B1

C = A1

O A = C 1

B = D1

6. Паралелограм, ромб, правоугаоник, квадрат, круг...

КОНСТРУКЦИЈЕ КОНСТРУКЦИЈ Е ПАРАЛЕЛОГРАМА ПАРАЛЕЛОГРАМА страница АВ, 1. a) Конструиши ∆ ABD (СУС): страница АВ,

А, страница АD страница АD.. Тачка С се се добија допуном

∆ ABD ABD до до паралелограма; б) Конструиши ∆ ABС ∆ ABС (ССС): (ССС): страница АВ страница АВ,, страница ВС , дијагонала АС дијагонала АС . Тачка D се добија допуном ∆ ABС ∆ ABС до до паралелограма; в) Конструиши ∆ ABС ∆ ABС (СУС): (СУС): страница АВ страница АВ,, В, страница ВС . Тачка D се добија допуном ∆ ABС ∆ ABС до паралелограма; г) Из α1 = 120° је α = 60°, па као у примеру п римеру под а).

124

(СУС): дијагонала АС дијагонала АС , 2. а) Конструиши ∆ ABС (СУС):

АСВ, страница АСВ, страница ВС. ВС. Тачка Тачка D се добија допуном

∆ ABС до паралелограма; б) Конструиши ∆ ABС ∆ ABС (ССУ): (ССУ): страница АВ страница АВ,, дијагонала АС дијагонала АС , В. Тачка D се добија допуном ∆ ABС до паралелограма; в) Нека је тачка О пресек дијагонала, дијагонале паралелограма се полове. Конструиши ∆BСО BСО (СУС): (СУС): дуж CО CО (половина (половина дијагонале АС дијагонале АС ),), СОВ СОВ (угао (угао између дијагонала), дуж ОВ (половина дијагонале ВD ВD).). Продужи дужи СО СО и и ВО ВО преко преко тачке О и пренеси половине дијагонала да добијеш тачке А тачке А и и D. 3. а) Нека је тачка О пресек дијагонала, дијагонале паралелограма се полове. Конструиши ∆ АBО АBО (ССС): (ССС): страница АВ страница АВ,, дуж АО дуж АО (половина (половина дијагонале АС дијагонале АС ),), дуж ОВ ОВ (половина (половина дијагонале ВD ВD).). Продужи дужи АО дужи АО и и ВО ВО преко преко тачке О и пренеси половине дијагонала тако да добијеш тачке С и и D; б) Нека је тачка Е подножје подножје висине из темена D на страницу АВ страницу АВ.. Конструиши ∆ AЕD AЕD (УСУ): (УСУ): висина ЕD = ha, АЕD АЕD = = 90°, ЕDА ЕDА = = 90° – α = 90° – 60° = 30°. Продужи дуж АЕ дуж АЕ преко тачке Е и и нанеси страницу АВ страницу АВ.. Тачка С се добија допуном ∆ ABD ∆ ABD до паралелограма; в) Нека је тачка Е подножје подножје висине hb из темена В на страницу АD. страницу АD. Конструиши Конструиши ∆ AВЕ (ССУ): (ССУ): висина ЕВ = hb, станица АВ, станица АВ, ВЕА ВЕА = = 90°. Продужи дуж АЕ дуж АЕ преко преко тачке Е и и нанеси страницу АD страницу АD ( ( АD АD = ВС ).). Тачка С се се добија допуном ∆ ABD ∆ ABD до до паралелограма. ∆ ABС (СУС): (СУС): страница АВ страница АВ = = а, В = 90°, страница ВС = = а. Тачка D се добија 4. а) Конструиши ∆ ABС допуном ∆ ABС до квадрата; б) Како су дијагонале квадрата једнаке, полове се и узајамно нормалне, конструиши једну дијагоналу, дијагоналу, на пример, АС пример, АС = = d , затим симетралу дужи АС дужи АС . На симетралу нанеси и са једне и са друге стране половину дијагонале d . Тако добијаш тачке В и D. 5. О = 22cm, а = 22 : 4 = 5,5cm, па даље као 4. под а). теме А.. Дуж АО Дуж АО је је половина дијагонале 6. Нека је тачка О пресек дијагонала и нека је дато теме А квадрата, па се дијагонала може добити када продужиш дуж АО дуж АО = d преко тачке О за 2 d , а затим као 4. задатак под б). 2 ∆ ABС (СУС): страница АВ страница АВ = = а, В = 90°, страница ВС = = b. Тачка D се добија 7. а) Конструиши ∆ ABС допуном ∆ ABС до до правоугаоника; б) као пример под а). (ССУ): страница АВ страница АВ = = а, дијагонала АС дијагонала АС = = d , В = 90°. Тачка D се добија 8. а) Конструиши ∆ ABС (ССУ): допуном ∆ ABС ∆ ABС до до правоугаоника; б) Конструиши ∆ ABС ∆ ABС (УСУ): (УСУ): дијагонала АС дијагонала АС = = d , ВАС = = 30°, АСВ АСВ = = 60°. Тачка D се добија допуном ∆ ABС ∆ ABС до до правоугаоника; в) Дијагонале правоугаоника су једнаке и полове се. Нека је тачка О пресек дијагонала. Конструиши ∆ АBО ∆ АBО (СУС): (СУС): дуж АО дуж АО (половина (половина дијагонале АС дијагонале АС = d ),), АОВ АОВ = = 105°, дуж ОВ (половина ОВ (половина дијагонале ВD ВD = = d ).). Продужи дужи АО дужи АО и и ВО ВО преко преко тачке О и пренеси половине дијагонала тако да добијеш тачке С и и D; г) Дијагонале правоугаоника су једнаке и полове се. Нека је тачка О пресек дијагонала. ∆ АBО АBО је је једнакокраки, ВАО = АВО АВО = = (180° – АОВ АОВ)) : 2 = (180° – 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°. Конструиши ∆ ABО ∆ ABО (УСУ): (УСУ): страница АВ страница АВ = = а, ВАО ВАО = = 60°, АВО АВО = = 60°. Продужи дужи АО дужи АО и и ВО преко ВО преко тачке О и пренеси половине дијагонала. Тако добијаш тачке С и и D.

125

9. a)

E

Конструиши ∆ ABE (СУС): (СУС): страница АВ страница АВ = = а, В = 90°, ВE = = b + d . Како је ∆ ACE једнакокраки АС једнакокраки АС = = СЕ (d (d ),), симетрала основице АЕ садржи врх овог троугла, тачку С , па ћемо тачку С добити у пресеку дужи ВЕ и и симетрале дужи АЕ дужи АЕ . Тачка D се добија допуном ∆ ABС ∆ ABС до правоугаоника;

d

D

C d

А

б)

b B

a

C

D

b

d А

a

B

b

E

∆BEC је је једнакокрако правоугли правоугли ВЕ = ВС (b (b), па је ВЕС = = 45°. Конструиши ∆ AEC ∆ AEC (ССУ): (ССУ): дуж АЕ дуж АЕ = = а + b, АС = d , АЕС = = 45°. Како је ∆ВEС једнакокраки, једнакокраки, симетрала основице СЕ садржи садржи врх овог троугла, тачку В, па ћеш тачку В добити у пресеку дужи АЕ дужи АЕ и и симетрале дужи СЕ . Тачка Т ачка D се добија допуном ∆ ABС ∆ ABС до до правоугаоника.

10. О = 22cm, а = b + 3cm, O = 2a + 2b, 22 = 2 ∙ (b + 3) + 2b, 22 = 4b + 6, 4b = 16, b = 4cm,

a = 7cm. Конструкција је описана у 7. задатку. = 24cm2, a = 6cm, P = = a ∙ b, 24 = 6 ∙ b, b = 4cm. Конструкција као у 7. задатку задатку.. 11. P = страница АВ = = a, угао ВАD = α, страница АD страница АD = = a. Тачка С се се 12. а) Конструиши ∆ ABD (СУС): страница АВ

добија допуном ∆ ABD ∆ ABD до до ромба; б) Конструиши ∆ ABС ∆ ABС (СУС): (СУС): страница АВ страница АВ = = a, угао АВС = = β, страница ВС = = a. Тачка D се добија допуном ∆ ABС ∆ ABС до до ромба; в) Конструиши ∆ ABС ∆ ABС (ССС): страница АВ страница АВ = = a, страница ВС = = a, дијагонала АС дијагонала АС . Тачка D се добија допуном ∆ ABС ∆ ABС до до ромба; г) Конструиши ∆ ABD ABD (ССС): (ССС): страница АВ страница АВ = = a, страница АD страница АD = = a, дијагонала ВD ВD.. Тачка С се се добија допуном ∆ ABD ∆ ABD до до ромба. с у нормалне. Нека је тачка О пресек 13. а) Дијагонале ромба се полове и узајамно су d d дијагонала. Конструиши ∆ ABО ∆ ABО (СУС): (СУС): дуж АО дуж АО = = 1 , АОВ АОВ = = 90°, дуж ВО ВО = = 2 . Продужи 2 2 дужи АО дужи АО и и ВО ВО преко преко тачке О и пренеси половине дијагонала да добијеш тачке С и D; б) Нека је тачка Е подножје подножје висине из темена D на страницу АВ страницу АВ.. Конструиши ∆ AЕD ∆ AЕD (ССУ): (ССУ): висина ЕD ЕD = = ha, страница АD страница АD = = a, АЕD АЕD = = 90°. Продужи дуж АЕ дуж АЕ преко преко тачке Е и и нанеси страницу АВ страницу АВ = = a. Тачка С се се добија допуном ∆ ABD ∆ ABD до до ромба; в) Дијагонала ромба је и симетрала унутрашњег угла, па полови угао α. Конструиши ∆ AВС (УСУ): (УСУ): дијагонала АС дијагонала АС = = d 1, до ромба.

САВ = САВ = α , АСВ АСВ = = α . Тачка D се добија допуном ∆ ABС ∆ ABС 2 2

14. а) Полупречник уписане кружнице ромба једнак је половини висине, r =

h , pa je h = 2r 2r , 2

h = 4cm, a = 6cm. Конструкција даље иде као у 13. задатку под б); б) Како је r = = 3cm, то је h = 6cm. Нека је тачка Е подножје подножје висине из темена D на страницу АВ страницу АВ.. Конструиши ∆ AЕD ∆ AЕD (УСУ): (УСУ): висина ЕD ЕD = = h, АDЕ = = 90° – 60° = 30°, АЕD = АЕD = 90°. Продужи дуж АЕ дуж АЕ преко преко тачке Е и и нанеси страницу АВ страницу АВ = АD = АD = a. Тачка С се се добија допуном ∆ ABD ∆ ABD до до ромба; в) Нека је тачка Е подножје подножје висине из темена С на праву којој припада страница АВ страница АВ.. Конструиши ∆ AЕС ∆ AЕС (ССУ): (ССУ): висина СЕ = = h, дијагонала АС дијагонала АС = = d 1, АЕС = = 90°. У пресеку симетрале дијагонале АС дијагонале АС и и дужи АЕ дужи АЕ биће биће тачка В. Тачка D се добија допуном ∆ ABС ∆ ABС до до ромба;

126

d 2 d 1

2

ВО = = ОЕ ∆ВЕО је једнакокрако правоугли јер је ВО

E

ВОЕ = = 90° па је d + d АЕ = = 1 2 , АВ АВ = = а, ВЕА ВЕА = = 45°. У пресеку симетрале 2 дужи ВЕ и и дужи АЕ дужи АЕ биће биће тачка О. Продужи дужи АО дужи АО и и ВО преко ВО преко тачке О и пренеси половине дијагонала да добијеш тачке С и и D.

2

O d 2 2

A

( )

d 2 и 2 ВЕО = ВЕО = 45°. Конструиши ∆ АВЕ ∆ АВЕ (ССУ): (ССУ): дуж

D

C

)

B

ТРАПЕ 1.

2.

а)

б) b

D

γ c

c

β B

a

А

α

C

γ

δ с

α a

b

D

C

β

β

d

α

b

D

C

δ

А

в)

c

d B

А

β

α a

B

3. а) α + δ = 180°, δ = 180° – 72° = 108°, β + γ = 180°, γ = 180° – 49° = 131°;

б) α = 37°, γ = 99°; в) α = 55°, β = 30°, γ = 150°. 4. а) α = 53°, β = 53°, γ = 127°, δ = 127°; б) α = β = 67°, γ = δ = 113°; в) δ = 3α, α + δ = 180°, α + 3α = 180°, 4α = 180°, α = 45°, β = 45°, γ = δ = 135°. 5. а) α = δ = 90°, β = 38°, γ = 142°; б) α = 65°, δ = 115°, β = γ = 90°; в) α + α + 80° = 180°, α = 50°, β = α + 80° = 130°, γ = δ = 90°. 6.

Е

Како је 2α + 80° = 180°, то је α = 50° и β = 130°.

80° D

β А

α

C

β α

B

127

7.

50°

α = δ = 90°, β = 40°, γ = 140°.

8.

α

α +

α

2

9.

+ 90° = 180°, 3 α = 90°, α = 60°, β = 120°. 2 2

α

α α

α

2

2

+ α + 134° = 180°, α = 46°, β = 134°. 2 2

10.

α = 48° + 25° = 73°, β = 107°.

48° 25°

11.

D

A

β

38°

C

Из AD = CD следи DAC = β = 104° и α = 76°.

38° 38°

DCA = 38°, β + 2 ∙ 38° = 180°,

B

12. a) 2α = 70°, α = 35°, β = 145°; б) 2β = 200°, β = 100°, α = 80°. 13. 2α + 2β = 360°, 235° + β = 360°, β = 125°, α = 55°. 14. Како је BAE = = DEA (углови са паралелним крацима) и

α

2

= 32°, то је α = 64°, а онда је β = 116°.

E

2

4 S

А

18.

F B

3

3,5

Е

32°

C

α А

15. a) m = 5,5cm; б) 7,1cm. 16. a) b = 4cm; б) a = 9cm. 17. C D

D

2α 2

B

Како је ES средња линија ∆ AСD, то је ES = DC ∕ ∕ 2, односно DC = = 2 ES, па је DC = = 4cm; Слично, FS је средња линија ∆ ABC , па је FS = AB ∕ 2, AB = 2FS, односно AB = 8cm. Из m = 6,5cm добијаш да је a + b = 13cm, па како је O = a + b + 2c, видиш да је О = 13 + 2 ∙ 4 = 21cm.

∆ АВD (СУС): (СУС): страница АВ, страница АВ, угао угао α, страница АD страница АD.. Конструиши праву р праву р,, 19. а) Конструиши ∆ АВD

128

паралелну са АВ са АВ,, кроз тачку D. У пресеку праве р праве р и и кружнице k (В, ВС ) је тачка С (задатак има два решења); б) Конструиши ∆ АВD ∆ АВD (СУС): (СУС): страница АВ страница АВ,, угао α, страница АD страница АD.. Затим конструиши праву р праву р,, паралелну са АВ са АВ,, кроз тачку D. У пресеку праве р праве р и и другог крака угла β биће тачка С ; в) Конструиши ∆ АВD ∆ АВD (ССС): (ССС): страница АВ страница АВ,, страница АD страница АD,, дијагонала ВD ВD.. Кроз тачку D конструиши праву р праву р,, паралелну са АВ са АВ.. На праву р праву р нанеси нанеси дуж СD СD да да добијеш тачку С ; г) Конструиши ∆ АВС ∆ АВС (ССС): (ССС): страница АВ страница АВ,, страница ВС , дијагонала АС. дијагонала АС. Кроз Кроз тачку С конструиши праву р праву р,, паралелну са АВ са АВ.. У пресеку праве р праве р и и кружнице k ( А, А, АD) АD) биће тачка D; д) Конструиши ∆ АВС ∆ АВС (ССУ): (ССУ): страница АВ, страница АВ, дијагонала дијагонала АС АС , угао β. Кроз тачку С конструиши конструиши праву р праву р,, паралелну са АВ са АВ.. У пресеку праве р праве р и и другог крака угла α биће тачка D.

подножје висине трапеза из тачке D на страницу АВ страницу АВ.. Конструиши 20. а) Нека је тачка Е подножје ∆ АЕD АЕD (УСУ): (УСУ): висина DЕ = = h, DЕА DЕА = = 90°, АDЕ = = 90° – α = 30°. Продужи дуж АЕ дуж АЕ преко преко тачке Е и нанеси страницу АВ страницу АВ.. Конструиши праву р праву р,, паралелну са АВ са АВ,, кроз тачку D. На праву р праву р наноси наноси дуж СD СD = = b да добијеш тачку С ; б) Нека је тачка Е подножје подножје висине трапеза из и з тачке С на на страницу АВ страницу АВ.. Конструиши ∆ЕВС (ССУ): (ССУ): висина СЕ = = h, страница ВС = = с , СЕВ СЕВ = = 90°. Продужи дуж ВЕ преко преко тачке Е и нанеси страницу АВ страницу АВ = = а да добијеш тачку А тачку А.. Конструиши праву р праву р,, паралелну са АВ са АВ,, кроз тачку С. С. У У пресеку праве р праве р и и другог крака угла α биће тачка D; в) Нека је тачка Е подножје висине трапеза из тачке D на страницу АВ страницу АВ.. Конструиши ∆ АЕD АЕD (ССУ): (ССУ): висина DЕ = = h, страница АD страница АD = = d , DЕА DЕА = = 90°. Продужи дуж АЕ дуж АЕ преко преко тачке Е и и нанеси страницу АВ страницу АВ = = а. Кроз тачку D конструиши праву р, паралелну са АВ са АВ.. У пресеку праве р праве р и и кружнице k (В, с ) биће тачка С ; г) Нека је тачка Е подножје подножје висине трапеза из и з тачке D на страницу АВ страницу АВ.. Конструиши ∆ АЕD АЕD (УСУ): (УСУ): висина DЕ = = h, DЕА DЕА = = 90°, АDЕ = = 90° – α = 15°. Продужи дуж АЕ дуж АЕ преко преко тачке Е и и нанеси страницу АВ страницу АВ = = а. Конструиши праву р, паралелну са АВ са АВ,, кроз тачку D. У пресеку праве р праве р и и другог крака угла β биће тачка С . ∆ АВD (СУС): (СУС): страница АВ страница АВ = = а, ВАD = α, страница АD страница АD = = с и и затим 21. а) Конструиши ∆ АВD ∆ АВС (СУС): (СУС): страница АВ страница АВ = = а, АВС = = α, страница ВС = = с ; б) Конструиши ∆ АВD ∆ АВD (ССС): (ССС): страница АВ страница АВ = = а, дијагонала ВD = d , страница АD страница АD = с и и затим ∆ АВС (ССС): (ССС): страница АВ страница АВ = = а, дијагонала АС дијагонала АС = = d , страница ВС = = с ; в) Конструиши ∆ АСD ∆ АСD (СУС): (СУС): страница DС = = b, СDА СDА = = γ, страница АD страница АD = = с и и затим ∆ВСD ВСD (СУС): (СУС): страница DС = b, DСВ = γ, страница ВС = с ; г) Конструиши ∆ АСD ∆ АСD (ССС): (ССС): страница DС = = b, дијагонала АС дијагонала АС = = d , страница АD страница АD = = с, а затим и ∆ВСD ВСD (ССС): (ССС): страница DС = = b, дијагонала ВD ВD = = d , страница ВС = = с . 22. а) b C D Конструиши ∆ АED АED (ССС): (ССС): страница АЕ страница АЕ = = а – b, страница c c c АD = АD = с , страница ЕD ЕD = = с . Продужи дуж АЕ дуж АЕ преко преко тачке Е и и нанеси страницу АВ страницу АВ = = а. ∆DEВ допуни до паралелограма. А

a–b

В

E

б) Нека је тачка Е подножје подножје висине трапеза из тачке D на страницу АВ страницу АВ.. Конструиши ∆ЕВD ЕВD (ССУ): (ССУ): висина DЕ = = h, дијагонала ВD ВD = = d, DЕВ DЕВ = = 90°. Продужи дуж ВЕ преко преко тачке Е и и нанеси страницу АВ страницу АВ = = а . Конструиши праву р, паралелну са АВ са АВ,, кроз тачку D. У пресеку праве р праве р и и кружнице k ( А, А, АС = d ) биће тачка С . в)

D

b d

А

a

C d

c В

b

E

Конструиши ∆ АEC (ССС): (ССС): страница АЕ страница АЕ = = а + b, дијагонала АC дијагонала АC = = d , страница ЕC = = d . У пресеку дужи АЕ дужи АЕ и и кружнице k (С, СВ = с ) биће тачка В. ∆ВЕС допуни допуни до паралелограма.

129

23.

D

b

C

а) Конструиши ∆ АBD ∆ АBD (СУС): (СУС): страница АВ страница АВ = = а, ВАD = ВАD = 90°, висина АD висина АD = = h. Конструиши угао с h д руги крак тог угла нанеси дуж СD СD = = b; δ = 90° и на други б) Конструиши ∆ АBD ∆ АBD (СУС): (СУС): страница АВ страница АВ = = а, B a А ВАD = ВАD = 90°, висина АD висина АD = = h. Конструиши δ = 90°, у пресеку другог крака тог угла и кружнице k (В, ВС = с ) биће тачка С ; в) Конструиши ∆ АBС ∆ АBС (СУС): (СУС): страница АВ страница АВ = = а, АВС = β, страница ВС = = с . Конструиши затим угао α = 90° и праву р праву р,, паралелну са АВ са АВ,, кроз тачку С . У пресеку другог крака угла β и праве р праве р биће биће тачка D; г) Конструиши ∆ АСD ∆ АСD (ССУ): (ССУ): висина АD висина АD = = h, дијагонала АС дијагонала АС = = d 1, АDС = = 90°. Конструиши праву р праву р,, паралелну са CD CD,, кроз тачку А тачку А.. У пресеку праве р праве р и и кружнице k (С, ВС = с ) биће тачка В. ∆ АСD (СУС): (СУС): висина АD висина АD = = h, АDС = 90°, страница DС = = b. Конструиши 24. а) Конструиши ∆ АСD праву р праву р,, паралелну са CD CD,, кроз тачку А тачку А.. У пресеку праве р праве р и и другог крака угла γ биће тачка В; б) Конструиши ∆ АВD ∆ АВD (ССУ): (ССУ): страница АВ страница АВ = = а, дијагонала ВD = d 2, ВАD ВАD = = 90°. Конструиши праву р праву р,, паралелну са АВ са АВ,, кроз тачку D. У пресеку праве р праве р и и кружнице k (D, DС = b) биће тачка С ; в) Конструиши ∆ АВС ∆ АВС (ССС): (ССС): страница АВ страница АВ = = а, дијагонала АС дијагонала АС = = d 1, страница ВС = = с . Конструиши праву р праву р,, паралелну са АВ са АВ,, кроз тачку С и и угао α = 90°. У пресеку праве р праве р и и другог крака угла α биће тачка D; г) Нека је тачка Е подножје подножје висине трапеза из тачке С на страницу АВ страницу АВ.. Конструиши ∆ЕВС (СУС): (СУС): страница ЕВ ЕВ = = а – b, ВЕС = = 90°, висина СЕ = = h. У пресеку праве којој припада дуж ЕВ и кружнице k (С, АС = d 1) биће тачка А. тачка А. ∆ ∆ АЕС АЕС допуни допуни до правоугаоника.

ДЕЛТОИД 1. a) α = 64°, γ = 78°, β = δ = 109°; б) α = 52°, β = δ = 123°, γ = 62°. 2. a) 3; б) 3. 3. α = 65°, γ = 113°, β = δ = 91°. ∆ АВС (ССС): (ССС): дијагонала АС дијагонала АС = = d 1, страница АВ страница АВ = = а, страница ВС = = b, а затим и 4. а) Конструиши ∆ АВС

∆ АСD АСD (ССС): (ССС): дијагонала АС дијагонала АС = = d 1, страница АD страница АD = = а, страница СD = b; б) Конструиши ∆ АВС ∆ АВС (СУС): (СУС): страница АВ страница АВ = = а, угао АВС = = β, страница ВС = = b, а затим и ∆ АСD АСD (СУС): (СУС): страница АD страница АD = = а, угао АDС = = β, страница СD СD = = b;

ВАС = α , страница АВ страница АВ = = а, а затим 2 ∆ АСD АСD (СУС): (СУС): дијагонала АС дијагонала АС = = d 1, угао DАС = = α , страница АD страница АD = = а. 2 ∆ АВD (ССС): (ССС): дијагонала ВD ВD = = d 2, страница АВ страница АВ = = а, страница АD страница АD = = а. У пресеку 5. а) Конструиши ∆ АВD симетрале дужи ВD и кружнице k ( А, А, АС = d 1) биће тачка С ; б) Видиш да је АВD АВD = = АDВ АDВ = = (180° – α) : 2 = 22°30’. Конструиши ∆ АВD ∆ АВD (УСУ): (УСУ): угао АВD = АВD = 22°30’, дијагонала ВD ВD = = d 2, угао АDВ АDВ = = 22°30’. У пресеку симетрале дужи ВD ВD и и кружнице k ( А, А, АС = d 1) биће тачка С ; в) Конструиши ∆ АВС ∆ АВС (СУС): дијагонала АС дијагонала АС = = d 1, угао

(

)

в) Како је γ = 180° – α + β = 45°, γ = 90°, конструиши ∆ АВС ∆ АВС (УСУ): (УСУ): угао ВАС = = α , 2 2 2 γ α дијагонала АС дијагонала АС = = d 1, угао АСВ АСВ = = , а затим и ∆ АСD ∆ АСD (СУС): (СУС): угао DАС = = , дијагонала 2 2 γ АС = d 1, угао АСD АСD = = . 2

130

ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОЈАМ ПОВРШИНЕ опуни уни шта недостаје: 1. Доп а) 5m = ____ dm = ____ cm = ____ mm; б) 26dm = ____ m = ____ cm = ____ mm; в) 7cm = ____ m = ____ dm = ____ mm. 2. Допуни шта недостаје:

а) 10m2 = ____ dm2 = ____ cm2 = ____ mm2; б) 500dm2 = ____ a = ____ ha = ____ m2 = ____ cm2 = ____ mm2; в) 2a = ____ ha = ____ m 2 = ____ dm2 = ____ cm2 = ____ mm2. 3. Обој црвеном бојом геометријске фигуре чија је површина 8 јединица мере, а плавом

бојом геометријске фигуре чија је површина 12 јединица мере.

Јединица мере 4. На квадратној мрежи представљене су две

површине тих геометријских фигура. а)

фигуре и одговарајућа јединица мере. Одреди б)

131

5. На квадратној мрежи нацртај 4

различите геометријске геометријске фигуре површине:

а) 6 јединица мере

б) 16 јединица мере

предс тављени правоугаоник правоугаоник и паралелограм једнаких површина. За 6. На првој слици су представљени друга два правоугаоника нацртај: а) троугао; б) трапез; једнаких површина.

7. Нацртај произвољан паралелограм, па затим нацртај правоугаоник који има једну

заједничку страницу са тим паралелограмом и површину површину једнаку површини тог тог паралелограма.

132

8. Нацртај произвољан паралелограм, па затим нацртај троугао једнаке површине као

нацртани паралелограм и а) тако да имају имају исту по једну висину висину,, б) тако да имају исту по једну страницу. 9. Нацртај произвољан троугао, па га трансформиши у:

а) паралелограм; б) трапез једнаке површине са нацртаним нацртаним троуглом и заједничком заједничком висином са тим троуглом. троуглом. 10. На квадратној мрежи одреди јединицу мере за

површину,, па нацртај бар 4 различита површину

правоугаоника површине 24 јединице мере. 11. На квадратној мрежи дат је

ромб. Нацртај правоугаоник чије су дужине страница једнаке са дијагоналама ромба. Покажи да је површина површина правоугаоника два пута већа од од површине ромба.

ПОВРШИНА ПОВРШИ НА ПР П РАВОУГ АВОУГАОНИКА АОНИКА

1. Израчунај површину правоугаоника ако су дужине његових страница:

а) a = 5cm, b = 12cm; б) а = 17cm, b = 22cm; в) а = 6 1 cm, b = 3 3 cm. 4 5 2. Попуни таблицу:

a

b

6

15

9

O

P

22 8

80

133

3. зрачунај обим и површину правоугаоника ако му је једна

страница 15cm, а друга:

б) 2 дужине прве странице. 5

а) за 6cm краћа од прве; 4. Деда Бранко има њиву дужине 70m

и ширине 32m. Колика је површина његове њиве у

арима? 5. Ако је површина њиве 7,5ha, а

ширина 50m, колика је дужина ду жина те њиве?

6. Израчунај обим правоугаоника чија је површина 1dm 2, а једна страница 2dm. 7. Израчунај површину правоугаоника чији је обим 56cm, а странице се

8. Израчунај површину правоугаоника чији је обим 44cm, а једна

странице. 9. Наведи дужине страница бар

разликују за 4cm.

страница износи 5 друге 6

три правоугаоника чија је површина 30cm 2.

10. Израчунај дужину лепљиве траке намотану на котур, чија је

површина 6m2, ако је

ширина траке 2cm. 11. Колико m2 папира се утроши за једну

збирку задатака од 200 страна ако су димензије

једног листа 21cm и 30cm? 12. На фудбалском терену дужине 105m

и ширине 55m треба посејати траву. Колико семена за траву треба купити ако је за 1m потребно 10g семена? 2

13. Колико боје је потребно за кречење плафона учионице димензија 8m и 15m ако се за

10m2 утроши 0,5kg боје? 14. Колико дашчица паркета површине 80cm2 је потребно за

паркетирање пода учионице

димензија 8m и 13m? 15. Колико плочица облика правоугаоника димензија 15cm и 10cm

је потребно за

поплочавање пода купатила димензија 4,5m и 3m? 16. Површина правоугаоника је 12cm 2. Једна његова страница једнака је

Одреди обим тог правоугаоника.

1 друге странице. 3

17. Једна учионица је дуга 12m, широка 5,5m и висока 3,5m. Колико је боје потребно за

њено кречење ако се са 1kg боје може окречити 25m2 зида? (Занемарити отворе за врата и прозоре и кречи се све осим пода.) 18. Израчунај обим правоугаоника ако се дужине његових страница односе као 1

: 2,

2

а површина је 128cm . 19. Израчунај површину правоугаоника ако се дужине његових страница односе као 2

а обим му је 60cm.

134

: 3,

20. Око огледала димензије 1,5m и 0,6m треба поставити рам ширине 5cm. Колика ће бити

површина дрвеног рама? 21. Колико килограма боје је потребно за бојење унутрашњих страна базена који је дуг

20m, широк 12m и дубок 1,8m ако се са 1kg фарбе може офарбати 24 m 2. 22. Израчунај обим и површину квадрата чија је страница: с траница:

а) 4cm;

б) 12cm;

в) 7,8cm;

г) 5 1 cm. 5

23. Израчунај површину квадрата чији је обим:

а) 28cm;

б) 85,2cm.

24. Израчунај обим квадрата ако му је површина:

а) 100cm2;

б) 25cm2;

в) 64cm2.

25. Обим квадрата једнак је обиму правоугаоника са страницама с траницама 8cm и 10cm. Израчунај

разлику њихових површина. 26. Странице правоугаоника правоугаоника су 16cm и

6cm. Одреди дужину странице квадрата који има обим једнак обиму датог правоугаоника. За колико се разликују површине добијеног квадрата и датог правоугаоника?

27. Квадрат и правоугаоник имају једнаке обиме, по 32cm.

Ако се странице правоугаоника разликују за 2cm, одреди за колико се разликују њихове површине?

28. Око школе основе облика квадрата и

обима 146m изграђена је стаза ширине 1,5m.

Колика је површина стазе? 29. Колико плочица облика квадрата са страницом 20cm је потребно за поплочавање пода

кухиње димензија 6,5m и 3,5m? 30. Два квадрата имају странице дужине 3cm и

4cm. Одреди дужину странице квадрата чија је површина једнака збиру површина ова ова два дата квадрата.

ПОВРШИНА ПАР ПАРАЛЕ АЛЕЛОГР ЛОГРАМА АМА 1. Упореди површине паралелограма на датој квадратној мрежи. Измери и упореди

дужине

страница тих паралелограма.

135

2. Правоугаоник, страница

a = 8cm и b = 5cm, трансформиши у паралелограм (који није правоугаоник), страница a = 8cm и b = 5cm. Измери висину паралелограма која одговара страници a. Израчунај површину добијеног паралелограма. Колика је површина добијеног паралелограма у односу на површину датог правоугаоника?

3. Израчунај површину паралелограма ако је:

а) страница а = 12cm, висина ha = 7cm;

б) страница b = 6,7cm, висина hb = 9,2cm.

4. Нацртај произвољан паралелограм на квадратној мрежи, па затим

нацртај нови паралелограм једнаке површине, а да му је једна страница два пу та дужа од једне странице првог паралелограма. Шта можеш закључити мерећи висине које одговарају тим страницама?

5. Ако је површина паралелограма 72cm 2,

а страница а = 9cm, израчунај висину која

одговара страници а. 6. Странице паралелограма су 12cm и 8cm. Растојање између две паралелне

странице је

6cm. Колико је растојање између друге две паралелне странице? 7. Ако су странице паралелограма

а = 10cm, b = 15cm, а висина која одговара страници а je 9cm, колика је висина која одговара страници b?

8. Нађи растојање између страница паралелограма чије су

дужине 18cm, ако је површина

тог паралелограма 90cm2. 9. Површина паралелограма је 60cm2, а дужине странице су

а = 12cm и b = 7,5cm. Израчунај

висине тог паралелограма. 10. Висине паралелограма су 8,5cm и 4,25cm. Ако је површина тог паралелограма 51cm 2,

израчунај дужине страница тог паралелограма. 11. Висина паралелограма је два пута мања од одговарајуће странице. Ако је површина тог

паралелограма 32cm2, нађи дужину те странице и њој њ ој одговарајуће висине. 12. Израчунај површину паралелограма чије су странице с транице а =

6cm и b = 4cm, а оштар

угао α = 30°. 13. Ако је обим паралелограма 42cm, а дужине страница се односе као 4 :

3 и оштар угао

α = 30°, израчунај површину тог паралелограма. 14. Правоугаоник и паралелограм имају једнаке дужине страница. Израчунај углове

паралелограма ако је његова површина два пута мања од површине правоугаоника. 15. Израчунај површину ромба ако је:

а) страница а = 11cm и висина h = 5,5cm; б) страница а = 8,7cm и висина h = 3,9cm. 16. Површина ромба је 70cm2, а висина 5cm. Израчунај обим тог ромба. 17. Обим ромба је

136

60cm, а висина 6cm. Израчунај површину тог ромба.

18. зрачунај површину ромба ако је његов обим 36cm,

а растојање између наспрамних

страница је два пута мање од дужине странице. 19. Обим ромба је 34cm, а површина 17cm2.

Одреди његову висину.

20. Израчунај обим и површину ромба странице с транице а = 6cm, ако је оштар угао ромба 30°. 21. У

новом хотелу и у сваку собу треба поставити огледала у облику ромба, странице а = 40cm и висине h = 25cm. Колико m2 огледала је потребно да би се направила огледала за цео хотел, који има 60 соба, ако при резању огледала отпадне 1 материјала? 5

22. У травнатом парку дужине 36m и

ширине 16m (види слику) асфалтирана је стаза дужине 22m, која је широка 1,5m. Колико је m2 асфалтирано, а колико m2 је остало под травом?

ПОВРШИНА ТРОУГЛА 1. Одреди површине троуглова датих на квадратној мрежи са датом јединицом мере:

геометријских фигура са 2. Одреди површину осенчених делова геометријских

4

слике:

5 3

3 6

5

6

4

137

3. зрачунај површину троугла ако је:

а) страница а = 16cm и висина ha = 9cm; б) страница b = 8,5cm и висина hb = 4,4cm; в) страница c = = 6,8cm и висина hc = 13,3cm. 4. Површина троугла је 102cm2, а страница

а = 12cm. Израчунај висину која одговара

страници а. 5. Површина троугла је 90cm2, а висина

hc = 15cm. Одреди дужину странице c .

6. Површина троугла је 28cm2. Ако је једна његова страница

а = 7cm и висина hb = 2cm, израчунај висину ha која одговара страници а и дужину странице b.

7. У

троуглу АВС, страница  = 10cm, висина ha = 6cm и hc = 15cm. Одреди дужину странице c .

8. Обим троугла је 36cm, а странице с транице се редом разликују за

2cm. Висина која одговара најдужој страници је 5cm. Израчунај површину тог троугла.

9. Страница троугла троугла је три пута пу та већа од одговарајуће висине. Ако је површина тог троугла

96cm2, израчунај дужину те странице. пу та већа од одговарајуће странице. Одреди површину тог 10. Висина троугла је пет пута троугла ако је збир те висине и одговарајуће странице 30cm. 11. Ако су странице с транице троугла а = 15cm,

b = 14cm и c = = 13cm, а висина hb = 12cm, израчунај висине које одговарају страницама а и  .

12. Израчунај обим троугла ако је једна његова страница с траница а = 8cm, а висине тог троугла су

hа = 10,5cm, hb = 6cm и h = 7,5cm. 13. Т Теме еме

паралелограма удаљено је од једне дијагонале дијагонале 3cm. Израчунај површину површину паралелограма ако је дужина те дијагонале 7cm.

14. Израчунај површину троугла ако је размера једне странице с транице и њој одговарајуће висине

4 : 3, а страница је за 3cm дужа од висине. 15. Израчунај површину правоуглог троугла ако су

а) а = 9cm, b = 14cm;

дате дужине његових катета: б) а = 7,6cm, b = 5,5cm.

16. Израчунај површину правоуглог троугла ако су дате дужина хипотенузе и њој

одговарајућа висина: а) c = = 19cm, hc = 8cm;

б) c = = 12,5cm, hc = 6,6cm.

17. Израчунај површину једнакокраког правоуглог троугла чија је

катета дужине 9,8cm.

18. Површина правоуглог троугла је 97,5cm 2, а једна катета је дужине 7,8cm. Одреди дужину

друге катете.

138

19. Површина правоуглог троугла је 42,5cm 2, а хипотенуза је дужине

12,5cm. Одреди висину

која одговара хипотенузи. 20. Катете правоуглог троугла су дужине 24cm и 7cm, а

хипотенуза 25cm. Израчунај висину

која одговара хипотенузи. 21. Једна катета правоуглог троугла је дужине 6cm, хипотенуза 10cm, а висина која

одговара хипотенузи 4,8cm. Израчунај обим тог троугла. 22. Израчунај површину правоуглог троугла ако је

дата висина која одговара хипотенузи hc = 5cm и тежишна дуж која одговара хипотенузи t c = 6cm.

23. Основица једнакокраког троугла је дужине 8cm, а његова површина 12cm 2. Израчунај

обим тог троугла ако је висина која одговара краку дужине 4,8cm. 24. Основица једнакокраког троугла је 12cm, а краци су

10cm. Ако је висина која одговара основици hа = 8cm, израчунај висину која одговара краку.

25. Обим једнакокраког троугла је 18cm, а дужина

крака је 6,5cm. Висина која одговара основици је дужине 6cm. Одреди површину тог троугла.

26. Обим једнакокраког троугла је 32cm. Крак је

за 2cm краћи од основице, а висина која одговара основици је 8cm. Израчунај површину тог троугла.

27. Израчунај површину једнакокраког троугла ако је дужина његовог крака 12cm, а

угао

при врху 30°. 28. Израчунај површину једнакокраког троугла ако је висина која одговара краку 8cm, а

угао на основици 75°. 29. Израчунај површине датих фигура:

2

4 8

4

2 6

2 9 6

139

осенчених делова квадрата дужине странице с транице 4 cm: 30. зрачунај површине осенчених а)

б)

2

в)

г)

2

4

2 4

4

2 4

31. Нацртај квадрат ABCD странице

6cm. Тачке Е и и F су редом средишта страница АВ и ВС квадрата ABCD. Израчунај површину троугла CEF .

ПОВРШИНА ТР ТРАПЕЗА АПЕЗА 1. На сликама је показано

како од датог трапеза резањем и поновним спајањем можемо добити троугао који има површину једнаку површини почетног трапеза.

На сличан начин од датог трапеза направи: а) правоугаоник једнаке површине као почетни трапез;

б) паралелограм једнаке површине као почетни трапез.

140

2. зрачунај површину трапеза ако су дате дужине основица и

висине:

а) а = 10cm, b = 6cm, h = 5cm; б) а = 9,2cm, b = 5,8cm, h = 4,2cm. 3. Површина трапеза је 56cm2, а основице су 12cm и 4cm.

Израчунај висину тог трапеза.

4. Дужа основица трапеза је дужине

а = 14cm, а висина 5,5cm. Ако је површина тог трапеза 49,5cm2, израчунај његову краћу основицу.

5. Израчунај средњу линију трапеза ако су дате основице:

а) а = 54mm, b = 48mm; б) а = 16,4cm, b = 6,8cm. 6. Ако је једна основица трапеза

17,8cm, а средња линија 12,5cm, одреди другу основицу

трапеза. 7. Израчунај површину трапеза ако су дате средња

линија и висина трапеза:

а) m = 9cm , h = 6,5cm; б) m = 7,25cm, h = 6,4cm. 8. Одреди висину трапеза ако је средња линија тог

трапеза 10cm, а површина 191cm 2.

И зрачунај основице тог трапеза ако је једна 9. Површина трапеза је 36cm2, а висина 3cm. Израчунај основица три пута дужа од друге. 10. Површина трапеза је 49cm2, једна основица дужине

висину тог трапеза.

а = 8cm, а друга b = 3 а. Одреди 4

11. Дужине основица правоуглог трапеза су 18cm и 8cm, а нормални крак је дужине 5cm.

Израчунај површину тог трапеза. 12. Израчунај површину правоуглог трапеза чије су основице 16cm и

6cm, а оштар угао 45°.

13. У правоуглом трапезу дужина веће основице је 9cm, а висина 6cm. Ако је туп угао 135°,

одреди површину тог трапеза. 14. Основице једнакокраког трапеза су 15cm и 5cm, а оштри углови 30°. Ако је обим овог

трапеза 40cm, израчунај његову површину.

141

15. У једнакокраком трапезу већа основица је дужине

16cm, висина 5cm, а оштри углови

су 45°. Израчунај површину тог трапеза. 16. Површина трапеза једнака је површини паралелограма. Основице трапеза су 8cm

и 4cm. Ако су им висине једнаке, израчунај дужину странице паралелограма која одговара тој висини. 17. На основу података са слике с лике израчунај површину трапеза:

а)

б)

8

в)

3

40

5

45°

17

45°

60°

12 18. Гледај слике, па

а)

израчунај површине осенчених фигура: б)

2

2

израчунај површине осенчених фигура:

a)

)

5

)

5 )

4 д)

6 4 4

142

6

6

8 19. Гледај слике, па

20

2

ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГ ЧЕТВОРОУГЛА ЛА

1. Израчунај површину четвороугла чије су дијагонале међусобно нормалне ако су дужине

дијагонала: а) d 1 = 17cm, d 2 = 12cm;

б) d 1 = 15,4cm, d 2 = 7,7cm.

2. Ако су дужине дијагонала д ијагонала делтоида d 1 = 3,7cm и

d 2 = 10,8cm, израчунај његову површину.

3. Површина делтоида је 20cm2, а дужина једне дијагонале је

d 1 = 8cm. Израчунај дужину

друге дијагонале. 4. Дечак је направио змаја у

облику делтоида. Ако су дужине ду жине летвица које спајају наспрамна темена тог делтоида 45cm и 20cm, колико је папира морао да утроши за прављење тог змаја?

5. Одреди дужине дијагонала делтоида ако је једна дијагонала четири пута

дужа од друге, а

површина тог делтоида је 18cm2. 6. Израчунај површину ромба ако су дужине

а) d 1 = 16cm, d 2 = 12cm;

његових дијагонала: б) d 1 = 9,6cm, d 2 = 5,8 cm.

7. Израчунај површину ромба код кога је једна дијагонала три пута дужа од друге, а збир

дијагонала је 20cm. 8. Површина ромба је 80cm2, а дужина једне дијагонале је 20cm. Колика је дужина друге

дијагонале? 9. Израчунај површину квадрата ако је дужина:

а) дијагонале d = 6cm;

б) полупречника описане кружнице r = = 5cm.

10. Квадрат и ромб имају

једнаке површине. Ако је дијагонала квадрата 12cm, а једна дијагонала ромба 16cm, одреди дужину друге дијагонале ромба.

11. Дијагонале ромба су 12cm и 16cm, а висина ромба је 9,6cm. Израчунај обим тог ромба. 12. Страница ромба је 20cm, оштар угао 30° и

једна дијагонала 16cm. Израчунај дужину

друге дијагонале ромба.

143

ТЕСТ � ПОВРШИНЕ

1. Површина квадрата чији је обим 30cm је:

а) 64cm2; б) 56,25cm2; в) 42,25cm2; (Заокружи слово испред тачног одговора.)

г) 100 cm2.

2. Колико боје је потребно за кречење плафона учионице димензије 5,5m и 8m ако се за

1m2 утроши 100 грама боје? а) 440g; б) 4,4kg; в) 4kg; (Заокружи слово испред тачног одговора.)

г) 44kg.

3. Површина паралелограма је 120cm 2. Растојање између страница паралелограма чије су

дужине 15cm је: а) 16cm; б) 4cm; в) 8cm; (Заокружи слово испред тачног одговора.)

б) 45cm.

4. Једна страница троугла је

а = 16cm, а висине тог троугла су ha = 21cm, hb = 16cm и hc = 15cm. Обим тог троугла је: а) 59,4cm; б) 29,7cm; в) 42,6cm; г) 52cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

5. Основице једнакокраког трапеза су 10cm и

трапеза је: а) 32cm2; б) 40cm2; в) 16cm2; (Заокружи слово испред тачног одговора.)

6cm, а оштри углови 45º. Површина тог г) 20cm2.

6. Дијагонале ромба су 6cm и 8cm, а висина 4,8cm. Обим тог ромба је:

а) 20cm; б) 32cm; в) 16cm; (Заокружи слово испред тачног одговора.)

г) 28cm.

7. Дијагонале делтоида су 6cm и 8cm.

Површина тог делтоида је: а) 14cm2; б) 24cm2; в) 48cm2; г) 28cm2. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

8. Обим једнакокраког трапеза чија је

краћа основица једнака краку, а један унутрашњи угао је 60°, је 30cm. Површина тог трапеза је: а) два пута б) три пута в) четири пута г) пет пута већа од површине једнакостраничног троугла странице 6cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

. ) б . 8 ; ) б ) а . 6 ; ) в ) а . 4 ; ) в ) б ) б . 7 ; . 5 ; . 3 ; . 2 ; . 1

: А Њ Е Ш Е Р

144

ПОВРШИНЕ ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

� РЕШЕЊА

ПОЈАМ ПОВРШИНЕ 1. а) 5m = 50dm = 500cm =

5 000mm; б) 26dm = 2,6m = 260cm = 2 600mm; в) 7cm = 0,07m = 0,7dm = 70mm. 10m2 = 1 000dm2 = 100 000cm 2 = 10 000 000mm 2; б) 500dm2 = 0,05a = 0,0005ha = 5m 2 = 50 000cm2 = 5 000 000mm 2; в) 2a = 0,02ha = 200m 2 = 20 000dm2 = 2 000 000cm 2 = 200 000 000mm2.

2. а)

3.

Јединица мере 4. a) 53;

б) 36.

5. a)

145

б)

6.

7.

146

)

б)

8.

a) h

h

b)

a

a

9.

a)

b)

10.

147

11.

ПОВРШИНА ПОВРШ ИНА ПР ПРАВОУГ АВОУГА АОНИКА 1. ) 60cm2; 2.

a 6 9 10

б) 374 cm2;

в) 22 b 15 2 8

1 cm2. 2 O 42 22 36

P 90 18 80

O = 48cm, P = = 135cm2; б) b = 6cm, O = 42cm, P = = 90cm2. = 2240m2 = 22,4. 4. P = = 7,5ha = 75 000m2, a = 1 500m. 5. P = 6. b = 0,5dm, O = 5dm. 2a + 2b 2b, 56 = 2 ∙ (b (b + 4) + 2b 2b, 56 = 2b 2b + 8 + 2b 2b, 56 = 4b 4b + 8, 7. O = 56cm, a = b + 4cm, O = 2a b = 12cm, a = 16cm, P = = 192cm2. 5 5 5 11 b, O = 2a 2a + 2b 2b, 44 = 2 ∙ b + 2b 2b, 44 = b + 2b 2b, 44 = b, b = 12cm, a = 10cm, P = = 120cm2. 8. a = 6 6 3 3 9. На пример: a = 1cm, b = 30cm; a = 2cm, b = 15cm; a = 3cm, b = 10cm. = 6m2 = 60 000cm2, b = 30 000cm = 300m. 10. P = 11. P 1 = 21 ∙ 30 = 630 cm2, 200 страна је 100 листова, па = 100 ∙ P 1 = 100 ∙ 630 = 63 000cm2 = 6,3m2. P = = 5 775m2, 5 775 ∙ 10 = 57 750g = 57,75kg. 12. P = = 120m2, (120 : 10) ∙ 0,5 = 12 ∙ 0,5 = 6kg боје. 13. P = = 104m2 = 1 040 000cm2, 1 040 000 : 80 = 13 000 дашчица. 14. P = 15. P p = 15 ∙ 10 = 150cm2, P k = 4,5 ∙ 3 = 13,5m2 = 135 000cm2, 135 000 : 150 = 900 плочица. 1 b, P = a ∙ b, 12 = 1 b ∙ b, 12 = 1 b2, b2 = 36, b = 6cm, a = 2cm, O = 16cm. 16. a = 3 3 3 = 12 ∙ 5,5 + 2 ∙ 12 ∙ 3,5 + 2 ∙ 5,5 ∙ 3,5 = 188,5m2, 188,5 : 25 = 7,54kg боје. 17. P = = 128cm2, а : b = 1 : 2, b = 2a, a = 8cm, b = 16cm, O = 48cm. 18. P = 2 , a = 2 b, b = 18cm, a = 12cm, P = = 216cm2. 19. а : b = 2 : 3, а : b = 3 3 = 2 ∙ (150 + 10) ∙5 + 2 ∙ 60 ∙ 5 = 2 200cm2 = 0,22m2. 20. P = = 20 ∙ 12 + 2 ∙ 20 ∙ 1,8 + 2 ∙ 12 ∙ 1,8 = 355,2m2, 355,2 : 24 = 14,8kg боје. 21. P = = 16cm2; б) О = 48cm, P = = 144cm2; в) О = 31,2cm, P = = 60,84cm2; 22. а) О = 16cm, P = г) О = 20 4 cm, P = = 27 1 cm2. 25 5 2 = 49cm ; б) а = 21,3cm, P = = 453,69cm2. 23. а) а = 7cm, P = 3. a) b = 9cm,

148

24. ) а =

10cm, О = 40cm; б) а = 5cm, О = 20cm; в) а = 8cm, О = 32cm. 25. О p = 36cm, Ok = 36cm, ak = 9cm, P k = 81cm2, P p = 80cm2, P k – P p = 1cm2. 26. O p = 44cm, Ok = 44cm, ak = 11cm, P k = 121cm2, P p = 96cm2, P k – P p = 25cm2. 27. Ok = O p = 32cm, ak = 8cm, a p = b p + 2cm, b p = 7cm, a p = 9cm, P k = 64cm2, P p = 63cm2, P k – P p = 1cm2. 28. а = 36,5m, P = 4 ∙ P p = 4 ∙ a p ∙ b p = 4 ∙ (36,5 + 1,5) ∙ 1,5 = 228m2. 29. P 1 = 6,5 ∙ 3,5 = 22,75m2 = 227 500cm2, P 2 = 20 ∙ 20 = 400cm2. Кк Кко је 227 500 : 400 = 568,75, потребно je најмање 569 плочица. 30. a1 = 3cm, a2 = 4cm, P 3 = P 1 + P 1, a3 2 = a1 2 + a2 2, a3 2 = 3 2 + 42, a3 2 = 25, a3 = 5cm.

ПОВРШИНА ПАР ПАРАЛЕ АЛЕЛОГР ЛОГРАМА АМА 1. P 1 = P 2 =

P 3 = 36, a1 = a2 = a3, b1 < b2 < b3, али h1 = h2 = h3. 2. Могуће је да је h = 4cm и онда P pa = a ∙ ha = 32cm2, P pr = a ∙ b = 40cm2 , P pr > P pa. = 84cm2, б) P = = 61,64cm2. 3. a) P = 4. Ако је a2 = 2a1, oнда је ha = 2ha . 1 2 5. ha = 8cm. 6. Ако је растојање између дужих страница 6cm, онда је P = = a ∙ ha = 72cm2, па је P = = b ∙ hb и hb =9cm, а ако је растојање између краћих страница 6cm, онда је слично hb = 4cm. 7. P = = 90cm2, hb = 6cm. 8. ha = 5cm. 9. ha = 5cm, hb = 8cm. 10. a = 6cm, b = 12cm. 11. a = 2h, P = = a ∙ ha, 32 = 2 ha ∙ ha, ha2 = 16, ha = 4cm, a = 8cm. b односно = 2cm и = ha P = 12cm2. 12. α = 30° па је ha = 2 b

ha

α = 30º a

4 : 3, а : b = 4 , a = 4 b, b = 9cm, a = 12cm, α = 30° ⇒ ha = b , ha = 4,5cm, P = = 54cm2. 3 3 2 14. a pr = a pa, b pr = b pa, P pa = P pr : 2, P pr = 2P pa, a pr ∙ b pr = 2a pa ∙ ha, b pr = 2ha ⇒ α = 30°, β = 150°. 15. a) 60,5cm2; б) 33,93cm2. 16. a = 14cm, О = 56cm. 17. a = 15cm, Р = = 90cm2. 18. a = 9cm, h = 4,5cm, Р = = 40,5cm2. 19. a = 8,5cm, h = 2cm. a , односно h = 3cm, а онда је P = 20. Како је α = 30°, то је ha = = 18cm2, O = 24cm a 2 21. Једно огледало има површину P 1 = 40 ∙ 25 = 1 000cm2 = 0,1m2, а укупна површина огледала у свим собама је P = = 60 ∙ 0,1 = 6m2. Значи, потребно је 4 x = = 6m2, x = = 7,5m2. 5 2 22. Асфалтирано је P a = 22 ∙ 1,5 = 33m , а под травом је остало P t = 36 ∙ 16 – 33 = 543m2. 13. а : b =

149

ПОВРШИНА ТРОУГЛА ) 18; б) 24; в) 6; г) 12; д) 24; ђ) 14; е) 14. 2. а) 12; б) 12,5; в) 9; г) 6. 2 3. а) Р = = 72cm ; б) Р = = 18,7cm2; в) Р = = 45,22cm2. 4. ha = 17cm. = 12cm. 5. с = 6. ha = 8cm, b = 28cm. = 30cm2, с = = 4cm. 7. Р = 8. Како је a = x , b = x + 2cm , c = = x + + 4cm и O = a + b + c , односно 36 = x + x + 2 + x + 4, то је 36 = 3 x + 6 и x = 10cm. Сада је a = 10cm, b = 12cm и c = = 14cm и како је hc = 5cm, то је 2 = 35cm . Р = 9. Како је a = 3 ha , то је P = = 1 a ∙ ha, односно 96 = 1 3 ha ∙ ha. Сада је 3 ∙ ha2 = 192, ha2 = 64, па је 2 2 ha = 8cm и a = 24cm. 10. Како је ha = 5a то је ha + a = 30, односно 5a + a = 30, па из 6a = 30 добијамо a = 5cm и = 62,5cm2. ha = 25cm, а одатле и Р = = 84cm2, ha = 11,2cm, hc = 12 12 cm. 11. Р = 13 2 12. Р = = 42cm , b = 14cm, с = = 11,2cm. О = 33,2cm. 13. Половина површине паралелограма је троугао са страницом од 7cm и одговарајућом висином од 3cm, па је P p = 2 ∙ P t = 2 ∙ 1 ∙ 7 ∙ 3 = 21cm2. 2 4 h и a = h + 3, то је 4 h = h + 3, h = 9cm и a = 12cm, 14. Како је а : ha = 4 : 3, односно a = a a a 3 a 3 a па је P = = 54cm2. = 63cm2; б) Р = = 20,9cm2. 15. а) Р = = 76cm2; б) Р = = 41,25cm2. 16. а) Р = = 48,02cm2. 17. Р = 18. b = 25cm. 19. hc = 6,8cm. 20. Р = = 84cm2, hc = 6,72cm. 21. Р = = 24cm2, b = 8cm, О = 24cm. 22. с = = 2 t c = 12cm, Р = = 30cm2. 23. ha = 3cm, b = 5cm, О = 18cm. 24. hb = 9,6cm. = 15cm2. 25. a = 5cm, Р = 26. Из a = b + 2 и О = a + 2b добијамо да је 32 = b + 2 + 2b, 32 = 3b + 2, b = 10cm и a = 12cm, па је Р = = 48cm2. b , = 6cm, па је = 27. Из γ = 30° закључујемо да је hb = hb P = 36cm2. 2 b , b = 2 h , b = 16cm, а онда 28. Слично као у претходном задатку α = 75° и γ = 30°, па је hb = b 2 је P = = 64cm2. 29. а) P f = P p = a ∙ b = 9 ∙ 4 = 36; б) P f = P p + 2 ∙ P t = 6 ∙ 4 + 2 ∙ 1 ∙ 6 ∙ 2 = 36; 2 в) P f = P k + 4 ∙ P t = 2 ∙ 2 + 4 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 2 = 12. 2 1.

150

1 ∙ 2 ∙ 2 = 12; 2 б) P f = P k – 2 ∙ P t = 4 ∙ 4 – 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 4 = 8; 2 1 1 в) P f = P k – (2 ∙ P 1 + P 2) = 4 ∙ 4 – (2 ∙ ∙2∙4+ ∙ 2 ∙ 2) = 6; 2 2 1 г) P f = P k – (2 ∙ P 1 + P 2) = 4 ∙ 4 – (2 ∙ ∙ 2 ∙ 4 + 2 ∙ 2) = 4. 2 1 1 31. P t = P EBC – P EBF = ∙3∙6– ∙ 3 ∙ 3 = 4,5cm2. 2 2 30.

a) P f = P k – 2 ∙ P t = 4 ∙ 4 – 2 ∙

ПОВРШИНА ТРАПЕ ЗА 1.

a)

б)

2. ) Р = = 40cm2; б) Р = = 31,5cm2. 3. h = 7cm. 4. b = 4cm. 5. ) m = 51mm; б) m = 11,6сm. 6. b = 7,2cm. 7. ) Р = = 58,5cm2; б) Р = = 46,4cm2. 8. h = 19,1cm.

a +b 3b +b ∙ h, 36 = ∙ 3, b = 6cm, a = 18cm. 2 2 10. b = 6cm, h = 7cm. 11. Р = = 65cm2. 12. Кко је β = 45°, то је h = a – b, односно h = 10cm, па је Р = = 110cm2. 13. Из Из γ γ = 135° добијамо β = 45°, па је h = a – b, односно b = 3cm. Дакле, Р = = 36cm2. добијамо c = = 10cm. Како је α = 30°, то је h = c , 14. Из O = a + b + 2c , 50 = 2 ∙ 15 + 2c добијамо 2 односно h = 5cm, па је P = = 50cm2. 3b, P = = 9. a = 3b

151

= 55cm2. b = a – 2 ∙ h, па је b = 6cm и P = 16. P t = P p, ht = h p = h, P t = 6h = P p, a = 6cm. = 80cm2; 17. a) h = b = 8cm, P = б) а = 13cm, P = = 40cm2; в) из α = 60° добијамо a – b = c ,односно a – b = c , па је a = 60cm и P = = 850cm2. 2 2 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 8 ∙ 8 = 8; 18. a) Како је a1 = 8, то је P f = 2 2 2 6+2 б) P f = P k – 2 ∙ P t = 6 ∙ 6 – 2 ∙ ∙ 2 = 20. 2 1 ∙ 2 ∙ 3 = 13; б) P f = 2 ∙ P t = 2 ∙ 5 + 3 ∙ 2,5 = 20; 19. a) P f = P k – 4 ∙ P t = 5 ∙ 5 – 4 ∙ 2 2 в) P f = 4 ∙ P t = 4 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 2; г) P f = P t = 1 ∙ 6 ∙ 4 = 12; 2 2 д) P f = P k – (Pt 1 + Pt 2) = 4 ∙ 4 – ( 1 ∙ 2 ∙ 2 + 1 ∙ 4 ∙ 4) = 6. 2 2 15. Из α = 45° добијамо да је

ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГ ЧЕТВОРОУГЛА ЛА 1. ) P = = 102cm2;

б) P = = 59,29cm2.

2. P = = 19,98cm2. 3. d 2 =

5cm. 4. P = = 450cm2.

4d 1 · d 2 d 1 · d 2 добијамо 18 = , односно 4 ∙ d 22 = 36, па је d 22 = 9, 2 2 d 2 = 3cm и d 1 = 12cm. = 96cm2; б) P = = 27,84cm2. 6. a) P = 7. Како је d 1 = 3d 2 и d 1 + d 2 = 20, то је 3 d 2 + d 2 = 20, 4d 2 = 20, d 2 = 5cm и d 1 = 15cm. Сада је P = = 37,5cm2. 8. d 2 = 8cm. 9. а) P = = 18cm2; б) r = = 5cm, d = 2r = = 10cm, P = = 50cm2. 5. 

d 1 = 4 ∙ d 2  P = =

d 1 · d 2 · је P k = P r , односно d d , то је d 2 = 9cm. 2 2 d · d 11. Из P = = 1 2 , P = = 96cm2 и P = = a ∙ h добијамо a = 10cm и O = 40cm. 2 a , односно h = 10cm, па је P = = a ∙ h, P = = 200cm2 и d 2 = 25cm. 12. Како је α = 30°, то је h = 2 10. Како

152

=

6 Razred - Klett - Zbirka

Recommend Documents