др Небојша Икодиновић • мр Слађана Димитријевић Сања Милојевић • Ненад Вуловић
Математика 5 Збирка задатака са решењима
1
Математика 5 Збирка задатака са решењима прво издање Аутори: др Небојша Икодиновић, Сања Милојевић, Ненад Вуловић, мр Слађана Димитријевић Илустрације: Кристијан Хранисављевић Рецензенти: доц. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу доц. др Бранислав Поповић, Природно-математички факултет у Крагујевцу Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојловић“ у Крагујевцу Графичко обликовање: Сашењка Мељников Ивановић Лектура: Јасна Аничић Прелом: Игор Болта
Издавач: Издавачка кућа „Klet“ д.о.о., 11000 Београд offi
[email protected], www.klett.co.yu За издавача: Гордана Кнежевић-Орлић Уредник: Александар Рајковић Штампа: Тираж:
© Klett, 2007. ISBN 978- 86-7762Забрањено је репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.
2
УПУТСТВО УЧЕНИЦИМА СКУПОВИ Скуп природних бројева обнављање Скупови – елементи, основне особине, Венови дијаграми Основне операције са скуповима Изрази са више скуповних операција Скуп природних бројева Изрази са променљивом СКУПОВИ решења ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ Тачка, права, раван Полуправа и дуж Полураван и изломљена линија Многоугао Конвексност Круг и кружница Угаона линија и угао Кружни лук и тетива Упоређивање углова. Надовезивање углова Врсте углова Мерење углова Углови на трансверзали ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ решења ДЕЉИВОСТ Дељивост у N0 Дељивост декадним јединицама и бројевима 2, 5, 4, 25 Дељивост бројевима 3 и 9 Прости и сложени бројеви Највећи заједнички делилац Најмањи заједнички садржалац ДЕЉИВОСТ решења РАЗЛОМЦИ I део Појам разломка Проширивање и скраћивање разломака Упоређивање разломака Сабирање разломака једнаких именилаца
3
Врсте разломака. Мешовити бројеви Децимални запис разломака Поређење разломака датих у децималном запису Приближна вредност броја Бројевна полуправа РАЗЛОМЦИ I део решења РАЗЛОМЦИ II део Сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца Сабирање и одузимање разломака различитих именилаца Сабирање и одузимање децималних бројева Својства сабирања разломака Једначине Неједначине РАЗЛОМЦИ II део решења РАЗЛОМЦИ III део Множење и дељење разломака природним бројем Множење разломака Дељење разломака Својства множења и дељења разломака Множење разломака записаних у децималном запису Дељење разломака записаних у децималном запису Бројевни изрази Једначине у вези са множењем и дељењем Неједначине у вези са множењем и дељењем Аритметичка средина Размера Проценти РАЗЛОМЦИ III део решења ОСНА СИМЕТРИЈА Осна симетрија Осна симетричност Симетрала дужи Симетрала угла ОСНА СИМЕТРИЈА - решења
4
СКУПОВИ СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВАОБНАВЉАЊЕ 1. Запиши цифрама следеће бројеве: 1) двадесет три хиљаде шестсто педесет осам; 2) осам милијарди; 3) милион двадесет; 4) три милиона петнаест хиљада шест; 5) седамнаест хиљада један; 6) шестсто милиона шездесет хиљада шест. 2. Одреди колико следећи бројеви имају јединица десетица, јединица хиљада, стотина хиљада и јединица милиона: 728 531
1 004 007
2 805
13 905
8 005 501 347
јединица десетица јединица хиљада стотина хиљада јединица милиона 3. Напиши број који има тачно: 1) 5 јединица, 6 десетица и 3 јединице хиљада; 2) 6 стотина, 3 десетице хиљада, 7 јединица и 8 јединица хиљада; 3) 12 десетица и још 13 јединица хиљада и још 18 стотина и још 123 јединице. 4. Које су тврђења тачна: 1) 1287≤ 1287;
2) 1287 =1287 ;
3) 1287 ≥1287 .
5. Између бројева ставити један од знакова ≤ или ≥ тако да посматрана тврђења буду тачна: 1) 304 427
340 427; 2) 222 483
222 384; 3) 405 324
45 998; 4) 143 889
54 998.
6. Одреди све природне бројеве који задовољавају неједнакости 1) 172 > x; 2) x < 362 ; 3) 1993 < x ≤ 2 000 ; 4) 5 243≥ x ≥ 3425. 7. Одреди месну вредност сваке цифре у следећим бројевима: 1) 23 456; 2) 24 547; 3) 576 576 ; 4) 333 000;
5) 99 999.
8. Запиши бројеве у облику збира производа декадне јединице и једноцифреног броја: 1) 38 947; 2) 15 035; 3) 100 700; 4) 5 030; 5) 77 007. 9. Запиши једним бројем сваки од следећих израза: 1) 3⋅10 000 + 5⋅1000 +7⋅100 + 8⋅10 +1⋅1 ; 2) 8⋅100 000 + 6⋅1000 + 3⋅100 + 2⋅10 + 9⋅1; 3) 1⋅100 000 + 2⋅1000 + 5⋅10 + 3⋅1; 4) 3⋅100 + 5⋅1000 + 2⋅10 + 8⋅10 000 ; 5) 9⋅10 000 +1000⋅7 +100⋅3 + 2⋅10 ; 6) 100⋅3 +7⋅10 000 +10⋅4 +1000⋅6 .
5
10. Попуни табелу претходник број
4 699 2 508
1 000
следбеник
2 008
999 999
1
12 999
1 300
5 001
11. Одреди разлику следбеника и претходника броја:
1) 1 799;
2) 8 000;
3) а.
12. Колико има природних бројева између: 1) 3 438 и 3 466; 2) 7 990 и 8 004; 3) природног броја а и природног броја b. 13. Колико има: 1) једноцифрених, 2) двоцифрених, 3) петоцифрених, Колико је међу њима парних, а колико непарних бројева?
4) осмоцифрених бројева.
14. 1) Којим цифрама се завршавају парни, а којима непарни природни бројеви? 2) Напиши најмањи непаран и највећи паран петоцифрени број. 3) На фудбалском дербију је 24 837 навијача. Да ли је могуће да је на стадиону једнак број навијача и једне и друге екипе? Објасни зашто. 15. Колико има троцифрених бројева који се пишу само цифрама 3, 4 и 7 и цифре се не понављају? 16. Колико има четвороцифрених бројева који се пишу помоћу цифара 1) 1 и 2, 2) 0, 4 и 6, 17. Колико има четвороцифрених бројева који се пишу помоћу цифара 0, 1, 5, 6 и 8 ако се цифре: 1) не могу понављати, 2) могу понављати? 18. Колико има бројева између 415 748 и 457 294 који се пишу помоћу цифара 0, 2, 4, 5, 8 и 9 ако се цифре не понављају? 19. Одреди најмањи и највећи четвороцифрени број чије су све цифре различите и парне. 20. Одреди највећи и најмањи паран седмоцифрени број у чијем запису нема цифара 5, 6 и 8 и у коме се свака цифра може јавити највише два пута. 21. Које цифре могу стајати уместо Δ тако да неједнакости буду тачне? 1) 623 950 662 < 623 9 Δ 8 662 2) 337 615 546 641 > 33 Δ 615 546 164 3) 423 613 976 < 423 614 9 Δ 6 4) 46 912 773 648 > Δ 6 002 300 800 22. Збир цифара броја 1 142 је 1+1+ 4 + 2 =10 , а производ цифара је 1⋅1⋅4⋅2 = 8 . Попуни табелу. број збир цифара производ цифара
23
111
4 098
7
1 000
23. Колико има четвороцифрених бројева чији је: 1) збир цифара 3, 2) производ цифара 2, 24. Израчунај збир свих троцифрених бројева чији је збир цифара 5.
6
23 115
0
25. Израчунај разлику четвороцифреног броја чији је производ цифара 1 и највећег троцифреног броја чији је збир цифара 19. 26. Попуни укрштеницу. 1
2
4
5
9
6
8
10
11
12
14
15
16
13
17 20
18 21
22 25
26
27 29
19 23
24
28
7
26) који је по реду дан 18. октобар у години која није преступна 27) најмањи троцифрен број чији је збир цифара 6 28) (274 + 439 )⋅3 + 25⋅(722 − 669 ) 30) број коме је 2 цифра стотина, 4 цифра јединица, 9 цифра јединица хиљада и 6 цифра десетица
30
ВОДОРАВНО 1) 100⋅2 + 4⋅1000 +10⋅3 5) 1247⋅5 +11⋅101 9) 249 + 23⋅28 10) најмањи број 67. десетице 11) 79⋅8 − 2 222 : 22 12) број који има 55 јединица хиљада, 37 десетица и 12 јединица 14) 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 15) 625⋅15 +12⋅30 16) претходник броја 8 17) најмањи паран број 18) збир цифара броја 12021 19) најмањи природан број 20) производ збира и разлике бројева 64 и 28 23) највећи двоцифрени број чији је збир цифара 8 24) 20 227 + 20 230 + 20 233 + 20 225 25) 2⋅47⋅3
УСПРАВНО
1) 1000⋅8 + 6⋅10 +1⋅7 +10 000⋅4 + 5⋅100 2) највећи број треће хиљаде чији је збир цифара 18, а цифра јединица 4 3) следбеник следбеника броја 329 4) елемент скупа N0, а није елемент скупа N 5) (14 + 5⋅7) : (1545 : 103 − 8 ) 6) (3 870 + 3 871)⋅3 +100 +13⋅1001 7) најмањи непаран број који се пише цифрама 4, 5, 6 и 8 8) решење једначине x : 2 + 31= 337 12) најмањи двоцифрен број чији је производ цифара 45 13) (1125 : 25)⋅2 − 33 17) 1⋅23 916 + 35 253⋅0 19) најмањи паран број састављен од цифара 0, 1, 2, 4 и 5 20) 772 +773 +774 +775 21) 9 999:909 22) претходник следбеника броја 25 23) број који се добија када се у броју 6 808 цифре највеће и најмање месне вредности замене 24) (96 : 3 −12)⋅2 +783 25) највећи паран троцифрен број написан цифрама 1 и 2 чији је збир цифара 5 29) најмањи број чији је збир и производ цифара 4 30) највећи једноцифрени број
27. Упиши бројеве 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77 и 99, тако да квадрат буде "магичан".. 88
7
28. а) Постави заграде и ознаке рачунских операција тако да једнакости буде тачне: 1) 2) 7 7 7 7 7 =1 6 6 6 6 6 = 22 7 7 7 7 7 =2 6 6 6 6 6 = 41 7 7 7 7 7 =3 6 6 6 6 6 =102 7 7 7 7 7 =4 6 6 6 6 6 =105 7 7 7 7 7 =5 6 6 6 6 6 =138 7 7 7 7 7 =6 6 6 6 6 6 = 630 7 7 7 7 7 =7 6 6 6 6 6 = 732 б) Постави заграде тако да једнакости буду тачне: 1) 16 + 4 ⋅ 2 − 8 : 4 + 10 =18 ; 2) 12 : 3 + 24 − 20 : 4 + 6 − 2 : 2 = 5 . 29. Дешифровати сабирања ако истим словима одговарају исте, а различитим различите цифре: 1) 2) 3) 4) A BAC ABC A AA ACB ABC CA + AB + CBA + CBA ACA + MACA BBB ABBC BBB CMCC 30. У троугао и око троугла уписани су бројеви тако да је збир два суседна поља у троуглу уписан на одговарајуће место ван троугла (види прву слику). На исти начин попуни празна места. урађени пример
1)
2)
3)
31. 1) Бројеве 172, 389, 394, 927, 1 728, 755 заокружи на најближу десетицу. 2) Бројеве 1 820, 2 770, 8 190, 28 110, 36 180, 12 450 заокружи на најближу стотину. 3) Заокруживањем бројева на најближу десетицу или стотину процени резултате сабирања: 328 + 421, 473 + 899, 5 238 + 424, 2 492 + 1 123, 7 777 + 9 999. 32. Станко је са баком отишао на пијацу. Поред једне тезге видео је натпис да за купљених 3kg спанаћа добијају још 1kg бесплатно. Ако спанаћ кошта 53 динара по килограму, колико су Станко и бака донели кући спанаћа ако су га укупно платили 424 динара? Колико би спанаћа донели да су га платили два пута више?
8
33. Странице правоугаоника су a и b. Одреди све могуће вредности за обим и површину правоугаоника ако страница a може имати вредности 3 или 4, а страница b може имати вредности 1, 2 или 6. 34. У уџбенику смо видели да је Јован убедио свога млађег брата Јанка да покуша да запише све природне бројеве. Јанко их је неспретно писао један поред другог без размака и добио је овакав запис 12345...104105106107108 Када га је Јадранка прекинула, последњи написани број био је 108. 1) Колико је Јанко цифара употребио да би написао све ове бројеве? 2) Која цифра се налази на 108. месту? 3) Колико пута је написана цифра 1, а колико пута цифра 9? 4) Која цифра је написана највише, а која најмање пута? 5) Колико пута су се у овом низу цифре 4 и 5 нашле једна поред друге? 35. Марко је купио свеске од 60 и 80 листова. Сваки лист обе свеске почео је да нумерише бројевима 1, 2, 3,... док није стигао до последње стране обе свеске. Колико цифара је употребио да би нумерисао обе свеске? 36. Славица живи у улици у којој има 34 куће са леве и 72 куће са десне стране. Куће на левој страни су нумерисане непарним бројевима почевши од броја 1, а са десне стране парним бројевима почевши од броја 2. Колико је цифара употребљено за нумерацију кућа у Славичиној улици? Колико је кућа нумерисано троцифреним бројевима? 37. Уместо звездица стави одговарајуће цифре тако да рачун буде тачан: 1)
3 ∗⋅1∗ ∗∗ 5 ∗∗11
2)
38. Испод сваке колоне уписан је збир бројева из те колоне, а поред сваке врсте производ бројева из те врсте (види слику). Упиши бројеве тако да важи:
∗2 ∗⋅∗ 7 ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗ 0
∗∗∗
∗∗ 3 ∗ 6
39. Следеће бројеве записане грчкоримским цифрама, запиши индоарапским цифрама: 1) LXXVI 2) MMVII 3) MDXCII 4) MCMLXXIX 5) DCCCLXXIV
2
3
1
6
6
9
4
2
5
40
20
8
3
6
2
36
1
35
9
11
8
9
3
7
8
8
11
40. Палидрвца су постављена као што видиш. Померајући само једно палидрвце, доведи да једнакости буду тачне: 1) 2) 3) 4) 5)
I – II = II VI – IV = IX XI + I = X XX + I = XIX IV = III – I
41. Који од следећих низова је низ природних бројева? Како би описао остале? 1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ; 2) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; 3) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...; 4) 1, 3, 5, 7, 9, ...
9
42. Уочи правило и допиши бројеве који недостају: 1)
2) 3 240 2 852
1 076
253
1
2 164
1 226 815 308
1 019 507
43. Уочи правило и одреди следећа три члана низа: 1) 31, 50, 69, 88, 107, 126, 145, ... 2) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... 3) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 4) 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, ... 5) 2, 3, 6, 11, 18, 27, 38, ... 6) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
450 44. 1) Упиши бројеве 4, 5, 6, 7, 8 и 9 у празна поља тако да су збирови на страницама једнаки. 2) Одреди и упиши бројеве тако да збир на свакој страници буде 57.
СКУПОВИ ЕЛЕМЕНТИ, ОСНОВНЕ ОСОБИНЕ, ВЕНОВИ ДИЈАГРАМИ 1. Опиши речима елементе следећих скупова? 1) А={понедељак, уторак, среда, четвртак, петак, субота, недеља} 2) В={Европа, Азија, Африка, Јужна Америка, Северна Америка, Аустралија, Антарктик} 2. Запиши, набрајањем елемената, скупове које чине: 1) имена четири твоја друга или другарице; 2) слова речи „школа“; 3) самогласници у српском језику; 4) првих пет слова абецеде. 3. Запиши, набрајањем елемената, скупове које чине: 1) природни бројеви мањи од 7; 2) бројеви треће десетице; 3) непарни бројеви између 15 и 23; 4) непарни бројеви мањи од 30, дељиви са 5. 4. Запиши, набрајањем елемената, скупове које чине: 1) двоцифрени бројеви чија је збир цифара 6 A = {60, 51, ____, ____, ____, ____}; 2) троцифрени бројеви чији је збир цифара 3 B = {300, ____, ____, ____, ____, ____}; 3) двоцифрени бројеви код којих је збир цифара већи од 15 C = {79, ____, ____, ____, ____, ____}; 4) двоцифрени и троцифрени бројеви чији је производ цифара 2 D = {12, ____, 112, ____, ____}; 5) двоцифрени бројеви код којих је цифра десетица за 3 већа од цифре јединица E = {30, 41, ____, ____, ____, ____, ____}.
10
5. Запиши, набрајањем елемената, скупове које чине: 1) сви двоцифрени бројеви који се могу записати коришћењем цифара 2, 5 и 7 A = {22, 25, 27, ____, ____, ____, ____, ____, ____}; 2) сви троцифрени бројеви који се могу записати цифрама 3, 0 и 1 B = {100, 101, 103, ____, ____, ____, ____, ____, ____, 300, 301, 303, ____, ____, ____, ____, ____, ____}. 6. Која од следећих тврђења су тачна: 1) 2 је елемент скупа { 5, 1} ; 2) запета је елемент скупа { a, b, c, d, e, f } ; 3) 12 није елемент скупа { 1, 2, ..., 99, 100} . 7. Дати су скупови А={1, 2, а, b, 3} и В={c, d, 4, 5, e}. На линијама стави један од знакова ∈ или ∉ тако да тврђења буду тачна. 4 ___ А, 2 ___ А, 3 ___ В, с ___ А, а ___ А, е ___ В, b ___ В, 5 ___ В. 8. Нацртај Венов дијаграм за скуп М ако је: 1) М = {7, 14, 21}; 2) М = {11, 33, 55, 77, 99}; 3) М = { ∗, ∇ , Δ ,◊,} ; 4) a ∈ M, b ∈ M, c ∈ M, d ∈ M и скуп М нема других елемената осим набројаних; 5) s ∈ M, g ∉ M, h ∈ M, p ∈ M, d ∉ M, f ∉ M и скуп М нема других елемената осим набројаних 9. Нацртај Венов дијаграм за скуп чији су елементи бројеви седме десетице дељиви са 3. 10. Запиши набрајањем елемената скуп дат на Веновом дијаграму.
11. Запиши набрајањем елемената скупове дате на Веновим дијаграмима.
11
12. На основу Веновог дијаграма са слике десно стави један од знакова ∈ или ∉ тако да тврђења буду тачна. 1___Р, 210___Р, 12___Р, 102___Р, 1 222___Р, 21___Р, 2___Р. 13. Запиши навођењем елемената и Веновим дијаграмом следеће скупове: 1) K = { x | x∈N и x < 5} 2) L = { n | n∈N₀ и n ≤ 7} 3) G = { s | s∈N и 4 ≤ s < 5} 4) D = { d | d∈N₀ и d + 4 ≤ 7} 5) S = { a | a∈ N и a је паран број пете десетице} 14. Скуп P = { a, e, и, о, у} можемо записати, описујући елементе, овако: P = { x | x је самогласник}. Запиши описујући елементе и Веновим дијаграмом следеће скупове: 1) A = { 2, 4, 6, 8, 10} 2) B = { 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99} 3) C = { 123, 132, 213, 231, 312, 321} 4) 4) D = { 11, 15, 17, 51, 55, 57, 71, 75, 77} 15. Описујући елементе, као у претходном задатку, запиши скуп природних бројева: 1) мањих од 700 2) који су већи од 15 A = { x | x∈N₀ и x < ____} B = { x | x∈N₀ и ______} 3) који су мањи од 378, а већи од 111 A = { x | x∈N₀ и ____ < x < ____}
4) који су парни и мањи од 88 D = _____________________________
5) који су решења неједначине а + 16 < 163 E = _____________________________ 16. Која су од следећих тврђења тачна: 1) 0∈Р , ако је P = { r | r∈N и r < 4} 2) 201∈V , ако је V = {x | x∈N₀ и x > 200} 3) 4∈R , ако је R = { k | k ∈N и k + 3 > 7} 4) Δ∈G , ако је G = {g | g је геометријска фигура} 17. Одредити елементе следећих скупова: 1) А је скуп свих природних бројева мањих од 5, а већих од 7; 2) Е је скуп свих бројева који су решења једначине x⋅0 = 2 ; 3) С је скуп свих троцифрених бројева који се пишу само цифром 0. 18. Која су од следећих тврђења тачна: 1) {x | x je број осме стотине и x се пише само цифрама 2, 3 и 8} = ∅ 2) {n | n je број девете стотине и n се пише само цифрама 2, 3 и 8} = ∅ 3) {k | k je број прве стотине и k је број који почиње цифром 2} = ∅ 19. Дат је скуп А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Који су од следећих скупова подскупови скупа А: В = {1, 3, 5}, C = {1}, D = {2, 4, 6, 8}, E = {0, 1}, F = ∅ , G = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, H = {123}.
12
20. Одреди скупове А и В и одреди да ли је В⊂А:
21. Дат је скуп А = {a, b, c, d, e, f}. Која су од следећих тврђења тачна? 2) g∉A 3) {b, e} ⊂ A 4) c, f ⊂ A 1) a ∈ A ⊂ ⊂ 6) d A 7) { f } A 8) {e, f }∉A 9) { d, b, f, a, e, c} ∈ A
5) {a} ∈ A
22. Нека је А било који скуп. Која су од следећих тврђења увек тачна: 2) 1 ∈ А 3) ∅ ⊂ А 4) ∅ ∈ А 5) А ⊂ ∅ 1) А ⊂ А 23. Одреди све подскупове скупова: 1) А = {3} 2) B = {2, 5} 3) C = {3, 6, 9}
4) D = {x | x ∈ N и 6⋅x ≤ 24 }
24. Дат је скуп Е = {5, 55, 555, 5 555}. Одреди све: 1) једночлане подскупове 2) двочлане подскупове 25. Да ли су једнаки скупови: 1) A = {1, 2} и B = {2, 1} 3) E = {m, e, t, a, r} и F = {t, r, e, m, a}
3) трочлане подскупове
2) C = {n, a, d} и D = {s, a, n} 4) G = {K, R, E, D, A} и H = {d, r, e, k, a}
26. Одреди који скупови су међусобно једнаки: A = {1, 2, 1, 2} D = {1, 2, 12}
B = {1, 2, 2} E = {3, 3, 1, 3, 2}
C = {x | x∈N и x ≤ 3} F = {1, 23}
27. Ако је Е = {1, 2, 12, 23, 123, 234} и Н = {234, 123, 1, x, 12, 2} , одреди вредност променљиве х тако да је: 1) Е = Н x = ____ 2) Н ⊂ Е x = ____ или x = ____ или x = ____ или x = ____ или x = ____ или x = ____ 28. Одреди вредности променљивих p и q тако да важи: 1) {1, 3, 5} = {3, p, q} p = ___ и q = ___ или p = ___ и q = ___ 2) {21, 49, p} = {7, q, 49} p = ___ и q = ___ 3) {2, 5, 8} ⊂ {2, 4, p, q} p = ___ и q = ___ или p = ___ и q = ___ 4) {6, 26, q} ⊂ {26, p} p = ___ , а q = ___ или q = ___
13
29. Одреди вредности променљивих x и y тако да скупови А, В и С буду једнаки: А = {1,3,5,7,9}, В = {5,9, x,1,7} и С = {1,7,9, y,5,3}
30. Скуп K чине слова имена Јован, а скуп L слова имена Јована. Запиши елементе ова два скупа и одреди број њихових елемената. Које је од следећих тврђења тачно: K ⊂ L, K=L или L ⊂ K? 31. Два скупа која имају различити број елемената не могу бити једнака. Запиши два скупа која имају исти број елемената, а нису једнака. 32. Одреди број елемената скупa А ако je: 1) А = {1, 2, 33} 2) A = {1, 1, 1, 1} 4) A = {2, 4, {2}} 5) A = {1, 1, {2, 3, 4, 5}}
3) A = {5, 15, 55, 555, 5, 55} 6) A = {{1, 2}}
33. Одреди број елемената скупа С ако је: 1) С ={x | x∈N и x < 7342} 2) С ={x | x∈N и x је двоцифрен број} 3) C = { p | p∈N₀ и 483 < p < 841} 4) C = {g | g∈N₀ и g – 22 < 51} 34. Који од скупова A, B, C, D, E, F и G имају исти број елемената: A = {a, b, c}, B = {a, a, c}, C = ∅ , D = {a, {b, c}}, E = { ∅ }, F = {{a, b, c}}, G = {a, {a}, A}. 35. Одреди елементе и број елемената скупа С ако је: 1) А = {1, 2, 2, 3, 4, 5}, B = {10, 11, 12, 13, 13, 14} и С = { c | c∈ N и c = b – a, a ∈ A, b ∈ B} 2) A={8, 9, 10, 11, 12}, B={b | b∈N₀ и 3 ≤ b + 3 < 8 } и С={c | c∈N₀ и c = a : b, a ∈ A, b ∈ B} 3) А={a | a∈ N, 1≤ a < 3 или 4 < a < 9 }, B={b | b∈N и b – 2 ∈ A}, C={c | c∈N и c – 5 ∈ B} 36. Одреди вредности променљивих z, r и s знајући да за скупове M = {2, 4, 6, 8}, K = {4, 6, s} и L = {2, 4, z, r} важи: 1) K ⊂ L, n(L) = 3 2) L ⊂ M, n(L) = 2 3) L ⊂ M, n(L) = 3 4) L = M
ОСНОВНЕ ОПЕРАЦИЈЕ СА СКУПОВИМА 1. За задате скупове А и В одреди А ∩ В ако је: 1) А = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} 2) А = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12} 3) А = {a, b, c, d}, B = {d, b, a, c} 4) А = {p, p, p, q, r, q}, B = {r, r, p, p} 5) А скуп слова имена Бранислав, а В скуп слова имена Бранимир 6) А ={n | n∈N и x ≤ 7}, B = {x | x∈N₀ и 5 ≤ x < 9} 7) А = {x | x∈N и x <13}, B = {x | x∈N и x > 10} 8) A = {p | p∈N и p > 41}, B = {q | q∈N и q > 30} 9) А = ∅ , B = { ∅ } 2. На Веновом дијаграму десно шрафирај област дијаграма где уписујемо елементе пресека скупова X и Y.
14
3. На основу Венових дијаграма запиши скупове и њихов пресек.
4. Нацртај Венове дијаграме скупова: 1) O = {12, 14, 16, 18} и I = {6, 12, 18} 2) M = {7, 17, 27} и N = {47, 37, 27} 3) А = { p, e, k, a, r} и B = {r, e, k, a} 4) V = ∅ и U = {0} 5) F = {x | x је непаран број прве десетице} и G = {x | x је паран број прве десетице} Који су од скупова дисјунктни? 5. Одреди вредности променљивих тако да је: 2) {2, 3, 5, 7, 11, 13}∩ {3, 5, x, y}= {3, 5, 7, 13} 1) {1, 3, 7, 9}∩ {2, 5, x, 7}= {3,7} 3) {a, 5, 12, 36}∩ {4, b, 12, 15}= {4, 36} 4) {34, 54, 74, 94}∩ {15, g, 67}=∅ 5) {7, 15, 21, 38, 41}∩ {9, 23, h, 38, s}= {15, 38} 6. За задате скупове Q и R одреди Q∪ R и број елемената овог скупа ако је: 1) Q = {1, 3, 5}, R = {7, 9, 11} 2) Q = {1, 4, 5, 7}, R = {4, 6, 7, 10} 3) Q = {12, 23, 34, 45}, R = {12, 45} 4) Q = {први}, R = {други} 5) Q скуп слова имена МИРОСЛАВ, а R скуп слова имена СОТИР 6) Q = {x | x∈N и 14 ≤ x ≤ 21}, R = {x | x∈N и x је паран број друге десетице} 7) Q = {x | x∈N и x > 46}, R = { x | x∈N и x ≤100 } 7. На Веновом дијаграму десно шрафирај област дијаграма где уписујемо елементе уније скупова X и Y. 8. На основу Венових дијаграма запиши скупове, њихов пресек и унију.
9. Зоран и Јован су другови из одељења. Зоран се дружи са Маријом, Тијаном, Јанком, Мирком, Здравком, Петром и Василијем, а Јован са Мирјаном, Јанком, Жељком, Луком, Василијем и Здравком. Одреди унију и пресек скупова имена Зоранових и Јованових другова. 10. Ако је А ⊂ В, које су од следећих једнакости увек тачне: 2) A∩ B = B 3) A∪ B = A 1) A∩ B = A 6) ∅ ∩ A = ∅ 7) A∪ ∅ = ∅ 5) A∩ ∅ = A
4) A∪ B = B 8) ∅ ∪ A = A
15
11. Одреди елементе скупа Е ако је: 1) P = {2, 5, 12, 13}, E ∩ P = {5}, E∪ P = {2, 5, 9, 12, 13, 17} 2) E ⊂ {a, b, c, d, e}, E ∩ { a, c, d } = {a}, n(E)=3 3) E∪ {5, 36, 59, 117} = {5, 26, 36, 59, 84, 117}, n(E)=3 12. Одреди: 1) n(A∪ B) ако је n(A)=5, n(B)=12 и n(A ∩ B)=3 2) n(A ∩ B) ако је n(A)=19, n(B)=17 и n(A∪ B)=23 3) n(B) ако је n(A)=8, n(A∪ B)=16 и n(A ∩ B)=3 13. Одреди D \ S и S \ D ако је: 1) D = {1, 3, 5, 6, 7, 8} и S = {2, 4, 7, 8, 9} 2) D = {1, 1, 3, 3, 3, 6, 9} и S = {1, 3, 6, 6, 9, 9, 9} 3) D = {маја} и S = {м, а, ј, а} 4) D = {3, 12, 22, 32} и S = {d | d∈N, d < 100 и d се пиши само цифрама 2 и 3} 5) D скуп слова речи НАСТАВНИК, а S скуп слова речи УЧЕНИК 6) D = {z | z∈N и 5 ≤ z − 2 < 8 } и S = {m | m∈N, m < 12 и m је дељиво са 4} 7) D = {p | p∈N ,p < 1000, збир цифара броја p је 3} и S = {3, 102, 300, 503, 1 200} 14. На Веновом дијаграму скупова М и Т десно шрафирај зеленом бојом област дијаграма где уписујемо елементе скупа М \ T, а црвеном бојом област дијаграма где уписујемо елементе скупа T \ M. 15. На основу Венових дијаграма запиши скупове, њихов пресек, унију и разлике.
16. Ако је L = {z, v, o, n, k, o} и V = {k, o, n, v, o, j}, која су од следећих тврђења тачна: 1) {z, v, o, n, o} ∈ L∪ V 2) {j, o, v, o} ⊂ L ∩ V 3) z ∈ L \ V 17. За скупове А = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}, B = {12, 13, 15, 16, 17} и C = {13, 16} одредити СА(В), СА(С) и СВ(С). Одабери произвољне дисјунктне скупове K и L, такве да је K∪ L=А. У том случају одреди СА(K) и СА(L). 18. Одреди вредности променљивих тако да је: 1) {12, 17, 41, 55} \ {12, x, 21, 55} = {17} 2) {a, b, 32} \ {8, 11, 52} = {4, 32} 3) {p, 47, 200} \ {13, 18, r} = {47} 4) {14, 15, 16, f} \ {32, 33, 34, t} = {14, 15, 16} 19. Које су од следећих једнакости увек тачне: 2) A \ ∅ = ∅ 3) ∅ \ A = A 1) A \ ∅ = A
16
4) ∅ \ A = ∅
20. Ако је H ⊂ X, које су од следећих једнакости увек тачне: 1) H \ X = H 2) X \ H = ∅ 3) H \ X = ∅
4) X \ H = X
21. Ако је S ∩ D = ∅ , чему је једнако S \ D и D \ S? 22. Доврши попуњавање табеле како је започето:
\
∩
23. Одреди елементе скупова А и Е ако је: 1) А ∩ Е = {1, 3, 14}, A \ E = {2, 5, 38}, E \ A = {20, 22} Решење: Како је то је А = {2, ____, ____, ____, ____, ____} E = {20, ____, ____, ____, ____} 2) A ∩ Е = {a, d, f }, СA(E) = {e, k} 3) А∪ Е = {x| x ∈ ,N, x < 20 и x је дељиво са 3}, A \ E = {6, 15}, E \ A = {12} 4) А∪ Е={111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222}, A ∩ E={111, 222}, A \ E={112, 121, 122} 24. Ако је n(A) = 15, а n(B) = 7, колико највише, а колико најмање елемената могу имати 2) A ∩ B 3)A \ B 4) B \ A? скупови: 1) A∪ B 25. Одреди: 1) n(D∪ P) ако је n(D \ P) = 4, n(P \ D) = 3 и n(D ∩ P) = 3 2) n(K \ U) ако је n(U \ K) = 5, n(K∪ U) = 12 и n(U ∩ K) = 3 26. Одреди оне елементе које скуп А мора садржати ако је: 1) {1, 3, 5}∪ A = {1, 2, 3, 4, 5} 2) А∪ {p, e, t} = {p, e, t, a, k} 3) A ∩ {p, e, t, a, k} = {p, e, t} 4) {2, 3, 4} ∩ A = {1, 2, 3, 4, 5} 27. Јадранка и Никола су одлучили да заједно прославе рођендан. Јадранка је позвала 15 другова, а Никола 12. Ако су 5 другова позвали и Јадранка и Никола, колико је укупно гостију позвано? 28. У једном одељењу од 27 ученика свако је морао да се одлучи за учење грађанског васпитања или веронауке. Ако се 14 ученика определило за грађанско васпитање и 17 за веронауку, колико ученика се определило за оба предмета?
17
29. У пошти је 115 особа. Њих 24 не шаље ни писма ни разгледнице. Разгледнице су послале 63 особе, а писма 44 особе. Колико особа је послало и писмо и разгледницу, а колико само једно од та два? 30. У једној туристичкој агенцији продају се аранжмани за летовање у Тунису и Египту. У колективу од 109 радника, 37 радника је одлучило да не иде на летовање преко ове агенције. Преостали радници су резервисали 42 аранжмана за Тунис и 34 аранжмана за Египат. Колико радника је резервисало само један, а колико радника оба аранжмана? 31. У европски летњи камп математичара дошло је 73 ученика од којих 38 ученика говори немачки језик, 25 ученика француски, а 12 ученика говори оба језика. Колико ученика не говори ниједан од ова два језика?
ИЗРАЗИ СА ВИШЕ СКУПОВНИХ ОПЕРАЦИЈА 1. На основу Веновог дијаграма записати елементе скупова P, Q и R.
2. Нацртај Венов дијаграм и одреди скупове А ∩ В ∩ С и А∪ В∪ С ако је: 1) A = {1, 4, 7, 11, 14}, B = {1, 3, 7, 12}, C = {5, 7, 13} 2) A = {a, s, d, f, g}, B = {a, f, g, k}, C = {a, d, f, k} 3) A = {s | s ∈N и s − 4 ≤ 5 }, B = {k | k ∈N, k <11 и k дељиво са 3}, C = {3, 7, 8, 9} 3. За скупове K = {12, 14, 16, 18, 20}, L = {13, 14, 15, 16} и S = {15, 16, 17, 18, 19} нацртај Венов дијаграм датих скупова и одреди елементе скупова: 2) K ∩ L ∩ S 3) (L ∩ K) ∪ S 4) (S∪ L) ∩ K 1) K∪ L∪ S 4. Ако је P скуп слова имена Мирко, Q скуп слова имена Славко, а R скуп слова имена Алекса, одреди елементе скупова: 2) R ∩ (Q∪ R) 3) (R ∩ P)∪ (Q ∩ P) 4) (Q∪ P) ∩ (P∪ R) 1) P∪ (Q ∩ R) 5. Нацртај Венов дијаграм скупова A, B и C и одреди елементе скупова: 1) (A ∩ B) \ C 2) (B ∩ C) \ A 3) (C ∩ A) \ B 4) (A∪ B) \ C 5) (B∪ C) \ A 6) (C∪ A) \ B ако је А = {x | x ∈N0 и 7 < x + 3 ≤11 }, B = {s | s ∈N0 и 9 > x − 2 ≥ 4 } и С је скуп парних природних бројева прве десетице.
18
6. За скупове X, Y и Z, дате на Веновом дијаграму десно, одреди елементе скупова: 2) (Y \ Z)∪ (Z \ Y) 1) (X \ Z) ∩ (Y \ Z) 3) (Y \ Z) ∩ (Z \ Y) 4) (Y \ Z) \ (X∪ Y) 6) (Z∪ (X \ Y)) ∩ (Y \ Z) 5) (Z∪ X) \ СY(Х) 7. Осенчи део Веновог дијаграма у који уписујемо елементе скупова: 1) G∪ H∪ R 2) G ∩ H ∩ R 3) (G ∩ H)∪ R
5) H ∩ (R \ G)
9) (G∪ R) \ H
6) (R ∩ G)∪ (H \ G)
10) (H ∩ G)∪ (R \ G)
7) (H \ G) \ (R ∩ G)
4) (G∪ R) \ H
8) (R ∩ G)∪ (H\ (G∪ R))
11) ((G∪ R) \ (R ∩ G)) \ H
12) CG(R) ∩ H
8. Запиши користећи скуповне операције означене деловe Венових дијаграма како је започето: област V: _________________ област I: A \ (B∪ C) област II: (А ∩ В) \ С област VI: _________________ област III: _________________ област VII: _________________ област IV: _________________
19
9. Опиши обојене делове Венових дијаграма као што је започето :
Напомена: Задатке од 10. до 17. најлакше ћеш решити користећи се Веновим дијаграмима. 10. Одреди елементе скупа А ако је A∪ B∪ C = {4, 5, 6, 7, 8, 9} и (B∪ C) \ A = {4, 8, 9}. Решење:
Елементи 4, 8 и 9 једини су елементи које уписујемо у обојени део Веновог дијаграма, па је онда А = {___, ___, ___}
11. Одреди елементе скупа K ако је K∪ L∪ M={1, 2, 3, 4, 5, 6}, M \ K={2, 4} и L \ K={4, 6}.
20
12. Одреди елементе скупова А, В и С ако је A∪ B∪ C = {p | p∈N и p је једноцифрен број}, A \ B = {1, 2, 3}, A \ C = {2, 3, 9}, B \ A = {5, 6} и B∩ C = {4, 6}. 13. Одреди елементе скупова P, Q и R ако је P∪ Q∪ R = {x | x∈N и 2 ≤ x < 9}, P ∩ Q ∩ R = {8}, R \ (P∪ Q) = {5, 6, 7}, (R∩ Q) \ P = {3}, (R∪ P) \ Q = ∅ и P ∩ (Q∪ R) = {4, 8}. 14. Одреди елементе скупова E, F и G ако је E∪ F∪ G = {a, b, c, d, e}, E ∩ F ∩ G = {b, c}, G ∩ (E∪ F) = {b, c, d, e}, (E ∩ F) \ G = {a}, E \ F = {d}. 15. Последњих пет година се организује новогодишња трка. Право учешћа имају ученици шестог, седмог и осмог разреда. До сада је из једне школе учествовало 295 ученика шестог, 289 ученика седмог и 236 ученика осмог разреда. И у шестом и у седмом разреду учествовао је 101 ученик, и у седмом и у осмом 112, а и у шестом и у осмом разреду 124 ученика. Све три године учествовало је 73 ученика. Колико ученика је учествовало: 1) на овој трци; 2) само у једном разреду; 3) два пута. 16. У једном одељењу петог разреда свако од ученика је послао своје радове на неки од следећих конкурса: литерарни, ликовни и математички. На литерарни конкурс радове је послало 19 ученика, на ликовни 18 ученика, а на математички 14 ученика. На литерарни и ликовни конкурс радове је послало 11 ученика, на ликовни и математички 8 ученика, а литерарни и математички 4 ученика. На сва три конкурса радове је послало 3 ученика. 1) Колико је ученика у том одељењу? 2) Колико ученика је послало радове на: а) тачно 1 конкурс б) тачно 2 конкурса в) најмање 2 конкурса г) највише 2 конкурса 17. Сваки од 23 испитаника гледао је неки од три дела филма. Први и други део је гледало 5, само први и трећи део 4, а други и трећи део 3 испитаника. Први део је гледало 15, а само трећи 5 испитаника. Ако су сва три дела гледала 2 испитаника, одреди колико испитаника је гледало: 1) само други део, 2) други део, 3) трећи део, 4) само први део.
21
СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА 1. На линији упиши број тако да једнакости буду тачне: 2) 2 378 + _____ = 2 713 + 2 378 1) 153 +742 = ____+153 2. Упореди не рачунајући вредности датих израза: 1) 318 + 2 579 ____138 + 2 579 2) 25⋅316 _____ 316⋅23 3. Израчунај здруживањем сабирака: 1) 2 01+ 576 + 409 + 214 3) 1+ 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50
3) 34⋅87 = 87⋅_____
3) 133 + 4 777 _____ 4 777 +133
2) 72 +73 +74 +75 +76 +77 +78 4) 7 + 8 + 9 + ... + 43 + 44 + 45
4. Израчунај на најједноставнији начин: 1) 25⋅66 + 25⋅16 2) 88⋅65 −78⋅65
3) 426⋅13 −13⋅326
4) 22⋅16 +16⋅57 + 21⋅16
5. Како се мења: 1) разлика ако умањилац повећамо за 221, 2) количник ако делилац смањимо 3 пута, 3) производ ако чинилац повећамо 5 пута, 4) разлика ако умањеник смањимо за 493, 5) количник ако дељеник повећамо 8 пута, 6) збир ако сабирак повећамо за 102, 7) разлика ако умањеник смањимо за 173, а умањилац повећамо за 284, 8) производ ако један чинилац повећамо 5 пута, а други смањимо 10 пута, 9) збир ако један сабирак повећамо за 21, а други за 492, 10) количник ако дељеник повећамо 6 пута, а делилац смањимо 3 пута. 6. Ако је 4 820 − 3 913 = 907 , израчунај: 1) (4 820 − 307)− 3 913
2) 4 820 −(3 913 −723)
7. Ако је 1416 : 6 = 236 , израчунај: 2) 1416 : (6⋅4 ) 1) (1416 : 2): 6
3) (4 820 + 364 )−(3 913 +726 )
3) (1416 : 3): (6 : 3)
8. Израчунај: 1) 84 − 63 : 7 +11 3) (25⋅25 − 255)− 525 : 25 5) 1216 : 8 +(234 +11)⋅2 −18 : (17 − 8 ) 7) (618 −(312 : 4 + 344 )) : 14 −13
4) (1416⋅12): (6⋅6 )
2) 210 + 3⋅(42 + 634 ) 4) (73 +12⋅8 )− 4⋅(33 −11⋅3) 6) 2152 + 4⋅(618 −13⋅7)⋅3 − 3⋅(69 + 21⋅17)
8) (513 : 3 + 2⋅52) : 5 − 2⋅(22 −(6666 : 22) : 101)
9. Ако је дељеник број 1 347, количник 74, а остатак 15, одреди делилац. 10. Ако је количник 191, делилац 11, а остатак 10, одреди дељеник. 11. Количник два: 1) узастопна природна броја 2) узастопна непарна броја јесте природан број. Одреди те бројеве. 12. Израчунај број:
1) за 283 већи од 977,
13. Израчунај број: 1) за 3 већи од претходника броја 2 300,
22
3) узастопна парна броја
2) за 99 мањи од 10 001.
2) 19 пута већи од следбеника броја 188.
14. За колико је 4 291 већи од броја записаног истим цифрама али обрнутим редоследом? 15. Израчунај број за 5 238 већи од збира бројева 231 и 3 979. 16. Од збира бројева 2 374 и 7 297 одузми количник бројева 34 578 и 17. 17. Израчунај количник збира и разлике бројева 700 и 650. 18. Двоструки збир бројева 3 105 и 17 703 подели бројем за два већим од најмањег троцифреног броја. 19. Збир три узастопна природна броја је 51. Одреди те бројеве. 20. Збир три парна узастопна природна броја је 132. Одреди те бројеве. 21. Збир четири непарна узастопна броја је 216. Одреди те бројеве. 22. Број 4 928 представи као збир два сабирка тако да је један сабирак: 1) за 484 већи од другог, 2) три пута већи од другог. 23. Срђан има 200 динара у једном и 50 динара у другом џепу панталона. Ако из оба џепа извади по 40 динара, колико новца ће му остати у џеповима? 24. Марија има 626 динара, а Милева 1 034 динара. а) Колико новца Милева треба да да Марији да би имале исте суме? б) Ако Милева да Марији 250 динара, која од њих ће имати више новца и за колико? 25. Цена математичког часописа који излази једном месечно јесте 90 динара, а годишња претплата на исти часопис је 950 динара. Колико ће Јелена новца да уштеди ако уплати годишњу претплату уместо да свакога месеца купује часопис? 26. У једној пекари се дневно потроши 72 килограма брашна, а у другој 11 килограма више. Колико се килограма брашна потроши у обе пекаре за једну годину ако година није преступна? 27. Мајстор Гиле је у својој фабрици у јуну сашио 1 526 одела, у јулу 937 одела више него у јуну, а у августу 2 101 одело. Колико је мајстор Гиле сашио одела за ова три месеца? 28. Један музички диск је изашао у тиражу од 150 000 дискова. Путем интернета је купљено 12 527 дискова, 7 263 диска су поклоњена, а остатак је послат у продавнице. Ако је остало непродато 42 625 дискова, колико је продато у продавницама? 29. У једном аутобусу је данас превезено 1 628 путника, у другом 416 путника мање, а у трећем 11 путника више него у прва два заједно. Колико је укупно путника данас превезено у сва три аутобуса? 30. У три села живи 11 130 становника. У првом и другом селу живи 8 421, а у првом и трећем 5 837 становника. Колико свако село има становника?
23
31. У три погона једне фабрике ради 4 933 радника. У првом погону ради четири пута више радника него у другом, а у трећем 13 радника више него у другом. Колико радника ради у сваком погону? 32. У две просторије у пошти налази се 1 117 пошиљки. Када је поштар Мирослав изнео из једне собе 493 пошиљке, у њој је остало 7 пута мање пошиљки него у другој соби. Колико је било пошиљки у свакој соби? 33. Нацртај бројевну полуправу ако је јединична дуж дужине: 1) 1cm 2) 2cm 3) 15mm 34. У квадрате упиши природне бројеве који одговарају тачкама на бројевној полуправој:
35. На бројевној полуправој прикажи решења једначина: 1) x + 3 = 7 2) x − 3 = 8 3) 805−x = 798 4) (43−x )+ 8 = 44 5) 84 : (22⋅x− 2)+ 3 = 5 36. На бројевној полуправој прикажи решења неједначина и одреди колико природних бројева задовољава дате неједнакости: 1) x <13 2) x > 9 3) 4 < x < 5 37. На бројевној полуправој 15mm представља растојање од 30 метара у природи. Прикажи на бројевној полуправој удаљеност неких објеката од Снежиног стана: продавница је удаљена 120m , пошта 240m , школа 150m , трафика 30m , ресторан 330m и пекара 210m . 38. „Скакавац” је на бројевној полуправој у тачки 0. При првом скоку скочи за дужину 1, у другом скоку за дужину 2, у трећем за дужину 3 и тако даље. У којој тачки на бројевној полуправој ће се налазити „скакавац” после петог скока? А после 13 скокова? 39. Зец се на бројевној полуправој налази у тачки 215 и скаче ка њеном почетку. У првом скоку скочи за дужину 20, у другом за дужину 19, у трећем за дужину 18, у четвртом за дужину 17, све док не скочи за дужину 1. Да ли ће зец пронаћи шаргарепу ако се она налази у тачки 110? А у тачки 4? Где ће се на бројевној полуправој налазити зец на крају свог пута? 40. Кенгур „скаче по бројевној полуправој” и може да доскочи само у тачке које су означене природним бројевима. Креће из Мелбурна, који је представљен тачком 998, и скаче ка Сиднеју, који је представљен тачком 0. У првом скоку прескочи растојање 4, у другом растојање 3, у трећем растојање 4, у четвртом растојање 3 и наставља овако да скаче. Да ли ће кенгур на крају да доскочи у тачку којом је представљен Сиднеј и ако хоће, у колико скокова? Ако је Аделаида означена у тачки 759, да ли ће кенгур на путу за Сиднеј скочити у тачку у којој је представљен овај град? Ако хоће, колико ће скокова направити до Аделаиде?
24
ИЗРАЗИ СА ПРОМЕНЉИВОМ 1. Израчунај вредност израза 12⋅s + 3 ако је: 1) s = 2 2) s = 5 3) s = 9 4) s =13
6) s =115
5) s = 31
2. Израчунај вредност израза 12⋅p−17 + 420 : p ако је: 1) p = 3 2) p = 7 3) p =15 4) p = 42 3. Израчунај вредност израза (250−120 : d)⋅2 + 2⋅d ако је: 1) d = 4 2) d = 6 3)d = 8 4) d =15
5) p =140
6) p= 210
5)d = 24
6)d = 60
4. Израчунај вредност израза 2⋅a−3⋅b+5 ако је: 2)a =13 , b =1 3) a =102 ,b = 47 1) a = 8 , b = 5
4) a =10 , b = 6
5. Израчунај вредност израза (p−q):3+3⋅p−q ако је: 1) p=24, q=15 2) p=17, q=11 3) p=31, q=13
4) p=802, q=370
6. Израз x⋅x−2x+7 можемо означити са f(x), тј. f(x)=x⋅x−2x+7. Ако заменимо x са бројем 3, тада вредност израза можемо записати овако f(3) = 3⋅3 − 2⋅3 +7 =10 . Аналогно овоме израчунај: 1) f(4) 2) f(7) 3) f(11) Упамти: производ x⋅x краће записујемо x2. 7. Попуни таблице: n
1
7
12
14
51
a
3⋅n−2
( a−2 )⋅a−4
362−7⋅n
6⋅a−3⋅(a−2)
4
8
12
13
15
21
a
7
5
9
7
11
15
13
17
9
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a⋅a+5⋅b−3⋅a b⋅b+(a−b)⋅(a+b) 12⋅(3⋅b+a)−(14⋅a−6) : 4 (a−(a−b) : 3)⋅7−5 8. Нека је x природан број. Запиши број: 1) за 15 већи од x 2) 3 пута већи од x 3) за 3 већи од двоструке вредности броја x 4) количник броја x и броја за 19 мањег од њега 5) производ претходника и следбеника броја x
6) за 12 мањи од седмине броја x
9. Нека су a и b природни бројеви. Запиши следеће изразе: 1) збир бројева a и b 2) разлику бројева a и b 3) збир двоструког броја b и шестине броја a 4) производ збира и разлике бројева a и b 5) разлику броја за два мањег од троструког броја a и броја за шест мањег од петине броја b
25
10. Попуни табелу: претходник број следбеник
2⋅a−4 a
a2
a+1 3⋅a
11. Нека је страница квадрата a. Одреди обим и површину квадрата ако је a ∈ {1, 3, 5, 7, 9}. 12. Које вредности може имати променљива p, тако да вредност израза (2378-p):373 буде природан број? 13. Одреди најмању и највећу могућу вредност израза 801− 3⋅k ако је k: 1) једноцифрен број 2) двоцифрен број 14. Посматрајмо природан број d већи од 9. Поређај по величини, од најмањег до највећег, следеће бројеве: 1) d− 6 , d+ 3 , d 2) 2⋅d, 3⋅d −7 , d+ 9 , 3⋅d, d −1 15. У следећој табели бројевима из прве врсте придружени су бројеви из друге по следећем правилу: x → 2⋅x+1. 1 3
2 5
3 7
4 9
5 11
... ...
x 2⋅x+1
Уочи правило по коме се бројевима из прве врсте придружују бројеви из друге и доврши попуњавање табела. 1 1
2 3 1 5
3 5
4 7 2 8
5
3 11
x
4 14
1 2 5 17
2 5 6
3 8 7
4 11 8
5
x
x
16. Бака је Сари дала 37 бомбона. Сара је својим другарицама давала по 5 бомбона. Колико је Сари остало бомбона ако је бомбоне поделила са: а) 3, б) 4 другарице? Запиши изразом колико је Сари остало бомбона ако је поделила бомбоне са x другарица. Колико је највише другарица могла да почасти бомбонама? 17. Милош је отишао на седмодневно зимовање на Златибор са школом. Родитељи су му послали укупно 1 500 динара. Учитељица је Милошу дневно давала по 200 динара. Колико је Милошу остало новца после: 1) 2 дана, 2) 4 дана, 3) 7 дана? Записати изразом колико је Милошу остало новца после x дана.
26
СКУП - РЕШЕЊА СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА 1. 1) 23 658 2) 8 000 000 000 3) 1 000 020 4) 3 015 006 5) 17 001 6) 600 060 006 2. 728 531
1 004 007
2 805
13 905
8 005 501 347
јединица
728 531
1 004 007
2 805
13 905
8 005 501 347
десетица
728 53
100 400
280
1 390
800 550 134
јединица хиљада
728
1 004
2
13
8 005 501
стотина хиљада
7
10
0
0
80 055
јединица милиона
0
1
0
0
8 005
3. 1) 3 065 ; 2) 38 607 ; 3) 15 043. 4. 1) ; 2) ; 3) . 5. 1) ≤ ; 2) ≥ ; 3) ≥ ; 4) ≥ . ⊥
⊥
⊥
6. 1) x ∈ {1, 2, 3, ..., 170, 171}; 2) x ∈ {1, 2, 3, ..., 360, 361}; 3) x ∈ {1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2 000} ; 4) x ∈ {3 425, 3 426, ..., 5 242, 5 243}. 7. СХ ДХ ЈХ С Д Ј 23 456 2 3 4 5 6 24 547 2 4 5 4 7 576 576 5 7 6 5 7 6 333 000 3 3 3 0 0 0 99 999 9 9 9 9 9
8. 1) 38 947 = 3⋅10 000 + 8⋅1000 + 9⋅100 + 4⋅10 +7⋅1; 2) 15 035 =1⋅10 000 + 5⋅1000 + 3⋅10 + 5⋅1 3) 100 700 =1⋅100 000 +7⋅100 ; 4) 5 030 = 5⋅1000 + 3⋅10 5) 77 007 = 7⋅10 000 +7⋅1000 +7⋅1; 9. 1) 35 781; 2) 806 329; 3) 102 053; 4) 85 320; 5) 97 320; 6) 76 340. 10. претходник број следбеник
2 507
0
2 008 4 999 999 999 12 998
4 700
1
2 009
1 001 1 300 4 701
2
2 010 5 001 1 000 001 13 000
999
1 298 4 699
2 508 1 000 1 299 2 509
5 000 1 000 000 12 999
11. 1) 1 800 – 1 798 = 2 2) 8 001 – 7 999 = 2 3) 2 Напомена: Разлика следбеника и претходника било ког природног броја је увек 2. 12. 1) 3466 − 3438 −1= 28 −1= 27 2) 13 3) Између природних бројева a и b има a−b−1 других природних бројева. 13. 1) 9 2) 90 3) 90 000 4) 90 000 000 Има четири парна и пет непарних једноцифрених природних бројева. У свим осталим случајевима има једнак број парних и непарних природних бројева. 14. 1) Парни се завршавају цифрама 0, 2, 4, 6 и 8, а непарни цифрама 1, 3, 5, 7 и 9. 2) Најмањи непаран – 10 001, а највећи паран 99 998. 3) Није могуће. Ако је исти број навијача обе екипа, њихов укупан број мора да је паран.
27
15. 6 и то су: 347, 374, 437, 473, 734 и 743 16. 1) 16 2) 54 17. 1) 96 2) 500 18. Ако број почиње са 42 ∗ ∗∗∗ онда на преостала 4 места може стајати било која од преосталих цифара, па је број могућности 24, а ако почиње са 45∗ ∗∗∗ на трећем месту могу стајати цифре 0 или 2, а на осталим било која од преосталих цифара, па је број могућности 12. Дакле, укупно је могуће написати 36 тражених бројева. 19. Најмањи је 2 046, највећи је 8 642. 20. Највећи је 9 977 442, најмањи је 1 001 224. 21. 1) Δ ∈ {5, 6, 7, 8, 9} 2) Δ ∈ {7, 8, 9} 3) За било коју цифру је задовољава неједнакост 4) Δ ∈ {1, 2, 3, 4} 22.
број 23 111 4 098 7 1 000 23 115 0 збир цифара 5 3 21 7 1 12 0 производ цифара 6 1 0 7 0 30 0 23. 1) 10. Четири сабирка која дају збир 3 јесу: 1+1+1+ 0 , 1+ 2 + 0 + 0 или 3 + 0 + 0 + 0 , па су тражени бројеви: 1110,1101, 1011, 1200, 1020, 1002, 2100, 2 010, 2 001 и 3 000 2) 4. Четири чиниоца која дају производ 2 јесу 2⋅1⋅1⋅1 , па су тражени бројеви : 1112, 1121, 1211 и 2111 24. Три сабирка која дају збир 5 јесу 5 + 0 + 0, 4 +1+ 0, 3 + 2 + 0, 3 +1+1, 2 + 2 +1, па су тражени бројеви: 500, 410, 401, 140, 104, 320, 302, 230, 203, 311, 131, 113, 221, 212 и 122, а њихов збир је 3 720. 25. 1111− 991=120 26. Попунити укрштеницу 27. 1 2 3 4 5 6 7 8 66 77 22 4 2 3 0 7 3 4 6 11 55 99 9 10 8 9 3 6 6 1 88 33 44 11
5
12
3
1
5
14
6
13
5
3
8
7
3
5
4
16
9 17
7
18
2 20
3
21
3
1
22
2
28
8
0
8
2
1
0
5
2
6
4
25
0
9
1
5
2 27
9
1
28
3
1 23
26
2
19
6
24
8
2
15
29
4
6
4
30
9
28. а)1) (7 +7) : 7 −7 : 7 =1 (7 +7) : 7 +7 −7 = 2 (7 +7) : 7 +7 : 7 = 3 (7 +7 +7 +7) : 7 = 4 7 −7 : 7 −7 : 7 = 5 (7⋅7) : 7 −7 : 7 = 6 7 +7 +7 −7 −7 = 7
2) (66 + 66) : 6 = 22 6⋅6 + 6 − 6 : 6 = 41 (6 + 6 + 6)⋅6 − 6 =102 666 : 6 − 6 =105 66 + 66 + 6 =138 666 − 6⋅6 = 630 666 + 66 = 732
б) 1) ((16 + 4 )⋅2 − 8 ) : 4 +10 =18 2) 12 : (3 +(24 − 20 ) : 4 )+(6 − 2) : 2 = 5
29. 1)
30.
2)
3)
4)
5 55 + 51
918 189 + 891
152 152 + 251
6 46 646 + 3 646
111
1998
555
4 344
1)
2)
3)
31. 1) 170, 390, 390, 930, 1 730. Број 755 је подједнако удаљен и од 750 и од 760. 2) 1 800, 2 800, 8 200, 28 100, 36 200. Број 12 450 је подједнако удаљен и од 12 400 и од 12 500. 3) Збирови су око 750, 1 370, 5 660, 3 610, 17 780. 32. 10kg . За 424 динара су купили 8kg спанаћа и на ову количину су добили још 2kg бесплатно. Да су платили два пута више, донели би 21kg спанаћа. 33. Површина P=a⋅b a 3 4 b 1 3 4
b
Обим O=2⋅(a+b) a 3 4 1
8
10
2
6
8
2
10
12
6
18
24
6
18
20
34. 1) 9⋅1+ 90⋅2 + 9⋅3 = 9 +180 + 27 = 216 2) 5 3) 30 пута цифра 1, а 20 пута цифра 9 4) Највише цифра 1, а најмање цифра 0 5) 5 пута, и то код бројева 4 и 5, у броју 45, код бројева 45 и 46, у броју 54 и код бројева 54 и 55. 35. (9⋅1+ 51⋅2)+(9⋅1+71⋅2)=111+151= 262 . 36. (5⋅1+ 29⋅2)+(4⋅1+ 45⋅2 + 23⋅3)= 63 +163 = 226 . Укупно је употребљено 226 цифара. Како на левој страни има 34 куће, то је 5 нумерисано једноцифреним, а 29 двоцифреним бројевима. Са десне стране, 4 куће су нумерисане једноцифреним, 45 двоцифреним и 23 троцифреним бројевима. 37. 1)
31⋅15 155 31 31 465
2)
428⋅57 2996 2140 2140 24396
38. 3
1
2
6
3
1
3
9
5
1
4
20
4
2
1
8
1
1
1
1
1
5
7
35
9
3
7
8
8
11
29
39. 1) 76 2) 2 007 3) 1 592 4) 1 979 5) 874 40. 1) I + I = II 2) VI + IV = X 3) X + I = XI 4) XIX + I = XX 5) IV – III = I 41. Трећи низ. 1) Проширени скуп природних бројева N0 2) Низ парних природних бројева 4) Низ непарних природних бројева 42. 1) 5 512 2) 3 240 1 076 253 1 0 2 852 2 660 1 626 815 308
1 226
811 507
43. 1) 164, 183, 202 2) 128, 256, 512 3) 34, 55, 89 4) 57, 73, 91 5) 51, 66, 83 6) 64, 81, 100
1 434
415 304
1 164
1 134
1 019 111
823
908
252 571
770
1 251
320 450
44. Једно решењe је:
СКУПОВИ ЕЛЕМЕНТИ, ОСНОВНЕ ОСОБИНЕ, ВЕНОВИ ДИЈАГРАМИ 1. 1) А је скуп имена дана у недељи 2) В је скуп имена континената 2. 2) А = {ш, к, о, л, а} 3) B = {а, е, и, о, у} 4) С = {a, b, c, d, e} 3. 1) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2) B = {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30} 3) C = {17, 19, 21} 4) D = {5, 15, 25} 4. 1) A = {60, 51, 42, 33, 24, 15} 2) B = {300, 210, 201, 120, 102, 111} 3) C = {79, 88, 89, 97, 98, 99} 4) D = {12, 21, 112, 121, 211} 5) E = {30, 41, 52, 63, 74, 85, 96} 5. 1) A = {22, 25, 27, 52, 55, 57, 72, 75, 77} 2) B = {100, 101, 103, 110, 111, 113, 130, 131, 133, 300, 301, 303, 310, 311, 313, 330, 331, 333} 6. 1) Не 2) Не 3) Не 7. 4∉А, 2 ∈ А, 3∉В, с∉А, а ∈ А, е ∈ В, b∉В, 5 ∈ В. 8.
30
9.
10. 1) А = {g, k, r, t} 2) B = {Марија} 3) C = {1, 6, 8} 11. 1) P = {2, 3, 4, 7, 10}, R = {1, 3, 4, 5, 7, 9} 2) H = {d, a, p}, K = {p, z} 3) A = {8, 12, 14, 18, 20}, B = {14, 16, 20}, C = {8, 10, 20} 4) S = {t, h}, D = {s, h, n, f}, F = {f, r} 12. 1∉Р, 210 ∈ Р, 12∉Р, 102 ∈ Р, 1 222∉Р, 21 ∈ Р, 2 ∈ Р.
2) L= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 3)G = {4} 13. 1)K = {1, 2, 3, 4} 4) D= { 0, 1, 2, 3} 5) S= { 42, 44, 46, 48, 50} 14. 1) A = { x | x∈N, x је паран број, x ≤ 10} 2) P = { x | x∈N, x је двоцифрен број који се пише истим цифрама} 3) C = { x | x∈N, x је троцифрен број који се пише само цифрама 1, 2 и 3} 4) D = { x | x∈N, x је двоцифрен број који се пише неком од цифара 1, 5 или 7} 15. 1) A = { x | x∈N и x < 700} 2) B = { x | x∈N и x > 15} 3) A = { x | x∈N и 111 < x < 378} 4) D = { x | x∈N, x < 88 и x је паран број} 5) E = { a | a∈N и a je решење једначине а + 16 < 163} 16. 1) Нетачно 2) Тачно 3) Нетачно 4) Тачно 17. 1) A=∅ 2) E=∅ 3) C=∅ 18. 1) Нетачно 2) Тачно 3) Нетачно 19. B ⊂ A, C ⊂ A, F ⊂ A, G ⊂ A 20. 1) A = {1, 3, 5} , B = {1, 5} ,B ⊂ A 2) A = {2, 3, 5} , B = {2, 3, 5} , B ⊂ A 3) A = {1, 8, 12} , B =∅ , B ⊂ A 4) A = {8, 9} , B= {7, 8, 9} , B ⊄ A 5) A = {2, 4, 5} , B = {0, 3}, B ⊄ A 21. 1) Тачно 2) Тачно 3) Тачно 4) Тачно 5) Нетачно 6) Нетачно 7) Тачно 8) Тачно 9) Нетачно 22. 1) Тачно 2) Нетачно 3) Тачно 4) Нетачно 5) Нетачно
23. 1) ∅, {3} 2) ∅, {2}, {5}, {2, 5} 3) ∅, {3}, {6}, {9}, {3, 6}, {3, 9}, {6, 9}, {3, 6, 9} 4) ∅ , {1} , {2} , {3} , {4} , {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4} 24. 1) {5}, {55}, {555}, {5 555} 2) {5,55}, {5,555}, {5, 5 555}, {55, 555}, {55, 5 555}, {555, 5 555} 3) {5, 55, 555}, {5, 55, 5 555}, {5, 555, 5 555}, {55, 555, 5 555} 25. 1) јесу 2) нису 3) јесу 4) нису 26. A=B, C=E 27. 1) x = 23 2) x =1 или x = 2 или x =12 или x= 23 или x =123 или x = 234 28. 1) p =1 и q= 5 или p = 5 и q =1 2) p = 7 и q = 21 3) p = 5 и q = 8 или p = 8 и q= 5 4) p= 6 , а q= 6 или q = 26 29. x = 3 , а y =1 или y = 3 или y = 5 или y = 7 или y = 9
31
30. K = {Ј, о, в, а, н}, L = {Ј, о, в, а, н}. n(K)=n(L)=5. Тачна су сва три тврђења. 31. A= {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4}, n(A)=n(A)=3, A ≠B 32. 1) n(A)= 3 2) n(A)=1 3) n(A)= 4 4) n(A)= 3 5) n(A)= 2 6) n(A)=1 33. 1) n(C)= 7 342 2) n(C)= 90 3) n(C)= 357 4) n(C)= 73 34. n(A)=n(G), n(B)=n(D), n(E)=n(F) 35. 1) C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, n(C)= 9 2) C = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12}, n(C) =10 3) C = {8, 9, 12, 13, 14, 15}, n(C)= 6 36. 1) s = 2 , а z=6, r ∈ {2,4,6} или r=6, z ∈ {2,4,6} 2) z=2, r=2 или z=2, r=4 или z=4, r=2 или z=4, r=4 3) z=6, r ∈ {2,4,6} или z=8, r ∈ {2,4,8} 4) z=6, r=8 или z=8, r=6
ОСНОВНЕ ОПЕРАЦИЈЕ СА СКУПОВИМА 1. 1) A∩B = {2, 3} 2) A∩B = {6} 3) A∩B = {a, b, c, d} 4) A∩B = {p,r} 5) A∩B= {Б, р, а, н, и} 6) A∩B = {5, 6, 7} 7) A∩B = {11, 12} 8) A∩B= {x | x∈N и x > 41} 9) A∩B=∅ 2.
3. 1) S ={1, 7 , 8 , t , d }, D ={7 , 8 , a, e , t }, S ∩ D ={7 , 8 , t } 2) Z ={u} , T ={u} , Z ∩T ={u} 3) G ={12 , 21}, H ={1, 2 , 12}, G ∩ H ={12} 4) W ={4 , 44}, Q ={7 , 77},W ∩ Q =∅ 4.
5. 1) x =3 2) x =7 , y =13 или x =13 , y =7 3) a = 4 , b = 36 4) g је било који број који не припада скупу {34, 54, 74, 94} 5) h =15 , s ∉ {7 , 21, 41} или s =15 , h ∉ {7 , 21, 41} 6. 1) 3) 5) 6) 7)
32
Q ∪ R ={1, 3 , 5 , 7 , 9 , 11}, n(Q ∪ R )= 6 2) Q ∪ R ={1, 4 , 5 , 6 , 7 , 10}, n(Q ∪ R )= 6 }, n(Q ∪ R )=2 Q ∪ R ={12 , 23 , 34 , 45}, n(Q ∪ R )= 4 4) Q ∪ R ={први, други} Q ∪ R = {М, И, Р, О, С, Л, А, В, Т} , n(Q ∪ R )=9 Q ∪ R ={12 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21}, n(Q ∪ R )= 9 Q ∪ R = N N. Скуп Q ∪ R = N има бесконачно много елемената.
7.
8. 1) 2) 3) 4) 5)
G ={5 , 8 , 9}, H ={3 , 5 , 8}, G ∩ H ={5 , 8}, G ∪ H ={3 , 5 , 8 , 9} G ={2 , 3 , 11}, H ={11} , G ∩ H ={11} , G ∪ H ={2 , 3 , 11} G ={a, d , v }, H ={j , v }, G ∩ H ={v } , G ∪ H ={a, d , j , v } G ={t , q, r , h, x }, H ={r , x , h}, G ∩ H ={r , x , h}, G ∪ H ={t , q, r , h, x } G ={1, 2 , 9}, H ={5 , 6}, G ∩ H =∅ , G ∪ H ={1, 2 , 5 , 6 , 9}
9. Нека је J скуп имена Јованових, а Z скуп имена Зоранових пријатеља. Тада је: Ј ∪ Z = {Марија, Тијана, Јанко, Мирко, Здравко, Петар, Василије, Мирјана, Жељко, Лука} Ј ∩ Z = {Јанко, Здравко, Василије} 10. 1) Тачно 2) Нетачно 3) Нетачно 4) Тачно 5) Нетачно 6) Тачно 7) Нетачно 8) Тачно 11. 1) Å E= {5, 9, 17} 2) E = {a, b, e} 3) E = {5, 26, 84} или E = {26, 36, 84} или E = {26, 59, 84} или E = {26, 84, 117} 12. 1) n( A∪ B )= n( A)+n(B )−n( A∩ B )= 5+12−3 =14 2) n( A∩ B )=13 3) n(B )=11 13. 1) D \ S ={1, 3 , 5 , 6}, S \ D ={2 , 4 , 9} 2) D \ S =∅ , S \ D =∅ 3) D \ S = {маја}, S \ D = {м, а, ј, а} 4) D \ S ={12} , S \ D ={2 , 23 , 33} 5) D \ S = {A, C, T, B}, S \ D = {У, Ч, Е} 6) D \ S ={7 , 9}, S \ D ={4} 7) D \ S ={12 , 21, 30 , 111, 120 , 201, 210}, S \ D = {503, 1200} 14.
15. 1) K = {2, 3, 4, 7, 8, 9}, T = {1, 2, 4, 5, 7}, K ∪T ={1, 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9}, K ∩T ={2 , 4 , 7} K \ T ={3 , 8 , 9}, T \ K ={1, 5} 2) K ={a, d , h}, T ={d , h}, K ∪T ={a, d , h}, K ∩T ={d , h}, K \ T ={a} , T \ K =∅ 3) K = {Ана, Мира, Оља, Ена, Миа}, Т = {Ена, Миа}, K ∪ Т = {Ана, Мира, Оља, Ена, Миа}, K ∩ Т = {Ена, Миа}, K \ Т = {Ана, Мира, Оља}, T \ K =∅ 4) K = {122, 123, 132, 133}, T = {222, 223, 232, 233}, K ∩T =∅ , T \ K ={222 , 223 , 232 , 233} K \ T ={122 , 123 , 132 , 133}, K ∪T ={122 , 123 , 132 , 133 , 222 , 223 , 232 , 233}
16. 1) Тачно 2) Нетачно 3) Тачно 17. C A (B )={11, 14}, C A (C )={11, 12 , 14 , 15 , 17}, C B (C )={12 , 15 , 17}. За дисјунктне скупове K и L, такве да је K∪ L=А, важи C A (K )= L и C A (L )= K . 18. 1) x = 41 2) a = 4 , b ∈ {8, 11, 32, 52} или b =4 , a ∈ {8 , 11, 32 , 52} 3) r = 200 , p ∈ {13, 18, 47, 200} 4) t може бити било који број осим 14, 15 и 16, а f ∈ {14, 15, 16, 32, 33, 34, t}
33
19. 1) Tачно 2) Нетачно 3) Нетачно 4) Tачно 20. 1) Нетачно 2) Нетачно 3) Tачно 4) Нетачно 21. S \ D = S , D \ S = D 22. B \ A, A ∩ B, R \ P, (M \ N )∪(N \ M ) , S \ L
23. 1) A = {1, 2, 3, 5, 14, 38}, E = {1, 3, 14, 20, 22} 2) A ={a, d , e , f , k }, E ={a, d , f } 3) A = {3, 6, 9, 15, 18}, E = {3, 9, 12, 18} 4) A = {111, 112, 121, 122, 222}, E = {111, 211, 212,221, 222} 24. 1) највише 22 (ако је A∩ B =∅ ), најмање 15 (ако је B ⊂ A ) 2) највише 7 (ако је B ⊂ A ), најмање 0 (ако је A∩ B =∅ ) 3) највише 15 (ако је A∩ B =∅ ), најмање 8 (ако је B ⊂ A ) 4) највише 7 (ако је A∩ B =∅ ), најмање 0 (ако је B ⊂ A ) 25. 1) n(D ∪ P )= n(D \ P )+n(D ∩ P )+n(P \ D )= 4 +3+3 =10 2) n(K \ U )=4 26. 1) 2 и 4 2) а и k 3) p, e и t 4) дата једнакост је немогућа јер су у пресеку елементи који нису у првом скупу. 27. Укупно су позвали 22 госта. Користи једнакост n( A∪ B )= n( A)+n(B )−n( A∩ B ) 28. За учење оба предмета определила су се 4 ученика. 29. И писмо и разгледницу је послало 16 људи, а њих 75 је послало само једно од то двоје. 30. Оба аранжмана су резервисала 4 радника, а њих 68 један аранжман. 31. 22 ученика не говоре ни немачки ни француски.
ИЗРАЗИ СА ВИШЕ СКУПОВНИХ ОПЕРАЦИЈА 1. 1) P = {1, 2, 3, 4, 8}, Q = {3, 4, 6, 7, 9}, R = {4, 5, 6, 8} 2) P ={a, d , e}, Q ={a, b, d }, R ={d , e , f } 3) P ={2 , 3 , 9}, Q ={1, 4 , 7 , 8 , 9}, R ={5 , 7 , 8} 2.
1) A∪ B ∪ C ={1, 3 , 4 , 5 , 7 , 11, 12 , 13 , 14} A∩ B ∩ C ={7}
2) A∪ B ∪ C ={a, d , f , g , k , s} A∩ B ∩C ={a, f }
3) A∪ B ∪C ={3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}, A∩ B ∩C ={9} 3. 1) K ∪ L ∪ S ={12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20} 2) K ∩ L ∩ S ={16} 3) (L ∩ K )∪ S ={14 , 16}∪{15 , 16 , 17 , 18 , 19}={14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19} 4) (S ∪ L )∩ K ={13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19}∩{12 , 14 , 16 , 18 , 20}={14 , 16 , 18}
34
4. 1) P ∪ ( Q ∩ R ) = {м, и, р, к, о, а, л, с} 3) ( R ∩ P ) ∪ ( Q ∩ P ) = {о, к} 5. 1) ( A∩ B )\ C ={7} 4) ( A∪ B )\ C ={5 , 7 , 9}
2) 5)
2) R ∩ ( Q ∪ R ) = {а, л, е, к, с} 4) ( Q ∪ P ) ∩ ( P ∪ R ) = {м, и, р, к, о, а, л, с}
(B ∩ C )\ A ={10} (B ∪ C )\ A ={2 , 4 , 9 , 10}
3) 6)
(C ∩ A)\ B =∅ (C ∪ A)\ B ={2 , 4 , 5}
6. 1) ( X \ Z )∩(Y \ Z )={s}∩{s, p}={s} 2) (Y \ Z )∪( Z \Y )={s, k , p} 3) (Y \ Z )∩( Z \Y )=∅ 4) (Y \ Z )\ ( X ∪Y )=∅ 5) ( Z ∪ X )\ CY ( X )={h, k , s} 6) (Z ∪( X \Y ))∩(Y \ Z )=∅ 7. 1) G∪ H∪ R
5) H ∩ (R \ G)
9) (G∪ R) \ H
2) G ∩ H ∩ R
3) (G ∩ H)∪ R
6) (R ∩ G)∪ (H \ G)
4) (G∪ R) \ H
7) (H \ G)∪ (R ∩ G)
10) (H ∩ G)∪ (R \ G) 11) ((G∪ R) \ (R ∩ G)) \ H
8) (R ∩ G)∪ (H\ (G∪ R))
12) CG(R) ∩ H
8. област III: B \ ( A∪ C ) , област IV: A∩ B ∩ C , област V: ( A∩ C )\ B , област VI: (B ∩ C )\ A , област VII: C \ ( A∪ B ) 9. Као олакшицу приликом решавања овог задатка можемо користити претходни задатак. 4) ( A∪ B ∪ C )\ ( A∩ B ∩ C ) 5) A∪(B ∩ C ) 6) (A\ (B ∪ C ))∪(B \ ( A∪ C ))∪(C \ ( A∪ B )) 7) (( A∩ B )\ C )∪((B ∩ C )\ A)∪(( A∩ C )\ B ) 8) (( A∩ B )\ C )∪(C \ ( A∪ B )) 9) ( A∩ B ∩ C )∪((( A∪ C )\ B )\ ( A∩ C )) 10) ( A\ B )∪(B ∩ C ) 11) (A\ (B ∪ C ))∪(B \ ( A∪ C ))∪(C \ ( A∪ B ))∪( A∩ B ∩ C ) 12) B \ ( A\ C ) 13) (B \ A)∪(A\ (B ∪ C )) 10. A = {5, 6, 7} 11. K = {1, 3, 5}
35
12. A = {1, 2, 3, 4, 9}, B = {4, 5, 6, 9}, C = {1, 4, 6, 7, 8}
13. P ={4 , 8}, Q ={2 , 3 , 8}, R ={3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} или P ={4 , 8}, Q ={2 , 3 , 8}, R ={3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} 14. E ={a, b , c , d }, F ={a, b, c , e}, G ={b, c , d , e} 15. 1) 556 2) 365 3) 118 16. 1) 31 2) а) 14 б) 14 в) 17 г) 28 17. 1) 2 2) 8 3) 12 4) 6
СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА 1. 1) 153 +742 = 742 +153 2) 2378 +2713 = 2713+2378 3) 34⋅87 = 87⋅34 2. 1) 318 + 2 579 >138 + 2 579 2) 25⋅316 > 316⋅23 3)133 + 4 777 = 4 777 +133 3. 1) 201+576 +409 +214 = (201+409 )+(576 +214 )= 610 +790 =1400 2) 72 +73 +74 +75 +76 +77 +78 = (72 +78 )+(73 +77)+(74 +76 )+75 = 525 3) 1275 4) 1014 4. 1) 25⋅66 + 25⋅16 = 25⋅(66 +16 )= 25⋅82 = 2 050 2) 650 3) 1300 4) 1600 5. 1) смањи се за 221 2) повећа се 3 пута 3) повећа се 5 пута 4) смањи се за 493 5) повећа се 8 пута 6) повећа се за 102 7) смањи се за 457 8) смањи се 2 пута 9) повећа се за 513 10) повећа се 18 пута 6. 1) 907 − 307 = 600 2) 907 +723 =1630 3) 907 + 364 −726 = 545 7. 1) 236 : 2 =118 2) 236 : 4 = 59 3) (236 : 3)⋅3 = 236 4) (236⋅12) : 6 = 472 8. 1) 86 2) 2 238 3) 349 4) 169 5) 640 6) 7198 7) 1 8) 17 9. Делилац је број 18 . 10. Дељеник је број 2111. 11. 1) 2 и 1 2) 3 и 1 3) 4 и 2 12. 1) 977 + 283 =1260 2) 10 001− 99 = 9 902 13. 1) (2 300 −1)+ 3 = 2 302 2) (188 +1)⋅19 = 3 591 14. 4 291−1924 = 2 367 15. (231+ 3 979 )+ 5 238 = 9 448
16. (2 374 +7 297)−(34 578 : 17)= 7 637 17. (700 + 650 ) : (700 − 650 )= 27
18. (2⋅(3105 +17 703)): (100 + 2)= 408 19. 51=17 +17 +17 . Ако први сабирак повећамо за 1, а трећи сабирак смањимо за 1 имамо да је 51= (17 −1)+17 +(17 +1) , односно 51=16 +17 +18 , па су тражени бројеви 16, 17 и 18. 20. 132 = 44 + 44 + 44 = (44 − 2)+ 44 +(44 + 2)= 42 + 44 + 46 , па су тражени бројеви 42, 44 и 46. 21. 216 = 54 + 54 + 54 + 54 = (54 − 3)+(54 −1)+(54 +1)+(54 + 3)= 51+ 53 + 55 + 57 . 22. 1) x + x + 484 = 4 928 , па је x =2 222 , а тражени бројеви су 2 222 и 2 222 + 484 = 2 706 . 2) x +3⋅ x = 4 928 , па је x =1232 , а тражени бројеви су 1232 и 3⋅1232 = 3 696 .
36
23. (200 − 40 )+(50 − 40 )=170 или (200 + 50 )− 2⋅40 =170 24. а) (1034 − 626 ): 2 = 204 б) Више ће имати Марија, и то за (626 + 250 )−(1034 − 250 )= 92 динара. 25. Уштедеће 12⋅90 − 950 =130 динара. 26. За годину дана се потроши 72⋅365 +(72 +11)⋅365 = 56 575kg брашна. 27. Мајстор Гиле је сашио 1526 +(1526 + 937)+ 2101= 6 090 одела за ова три месеца.
28. У продавнице је стигло 150 000 −(12 527 +7 263)=130 210 дискова, а ако је остало непродато 42 625 дискова, продато је 130 210 − 42 625 = 87 585 дискова.
29. Први – 1628 , други – 1628 − 416 =1212 , трећи (1628 +1212)+11= 2 851. Укупно 1628 +1212 + 2 851= 5 691 путника . 30. У трећем селу живи 11130 − 8 421= 2 709 , у другом 11130 − 5 837 = 5 293 , а у првом селу живи 11130 −(2 709 + 5 293)= 3128 становника. 31. Ако је x број радника у другом погону, тада је 4⋅ x + x + x +13 = 4 933 , па је x = 820 . Дакле, у првом погону ради 3 280, у другом 820 и у трећем 833 радника. 32. Ако је x број пошиљки у првој соби после изношења 493 пошиљке, имамо да је x + 493+7⋅ x =1117 , па је x = 78 . У првој соби је било 571, а у другој 546 пошиљки. 33.
34.
35. 1) x = 4 2) x =11 3) x = 7 4) x = 7 5) x = 2 36. 1) 12 2) бесконачно много бројева 3) ниједан број 37. 38. После петог скока је у тачки којој је придружен број 15 (1+ 2 + 3 + 4 + 5) , а после 13 скокова је у тачки којој је придружен број 91 (1+ 2 + ... +12 +13) . 39. Зец ће пронаћи шаргарепу у тачки 110 јер је 215 −(20 +19 +18 +17 +16 +15)=110 , а неће шаргарепу која се налази у тачки 4 јер је 215 −(20 +19 + ... + 2 +1)= 5 . Дакле, зец ће се налазити у тачки 5 на крају свог пута.
37
40. Хоће. Како у свака 2 скока прескочи дужину 7, после 284 скока доћи ће у тачку 4 одакле ће скоком за дужину 4 стићи до тачке којом је представљен Сиднеј. Дакле, са 285 скокова. У тачку којом је представљена Аделаида кенгур неће доскочити јер после 68 скокова биће у тачки којој је придружен број 760 (998 − 34⋅7) , а скоком за дужину 4 прескочиће посматрану тачку.
ИЗРАЗИ СА ПРОМЕНЉИВОМ 1. 1) 27 2) 63 3) 111 4) 159 5) 375 6) 1383 2. 1) 159 2) 127 3) 191 4) 497 5) 1666 6) 2 505 3. 1) 448 2) 472 3) 486 4) 514 5) 538 6) 616 4. 1) 6 2) 28 3) 68 4) 7 5. 1) 60 2) 42 3) 86 4) 2 180 6. 1) f (4 )= 4⋅4 −2⋅4 +7 =15 2) f (7)= 42 3) f (11)=106 7. n 1 7 12 14 51 a 3n-2 362-7n
1
19
34
40
355 313 278 264
151 5
4
8
12
4
44
116 139 191 395
6a−3⋅(a−2) 18
30
42
( a–2 ) • a – 4
13 45
15
21
51
69
a
7
5
9
7
11
15
13
17
9
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a⋅a +5b −3a
33
20
69
48
113
210
165
278
99
b⋅b +(a−b )(a +b )
49
25
81
49
121
225
169
289
81
12⋅(3b +a )−(14 a−6 ) : 4
97
116
186
205
275
345
364
434
402
(a−(a−b ) : 3)⋅7−5
30
23
44
37
58
79
72
93
58
8. 1) x +15 2) 3⋅ x 3) 2⋅ x +3 4) x : ( x −19 ) 5) ( x −1)⋅( x +1) 6) ( x : 7)−12 9. 1) a +b 2) a−b 3) 2⋅b +(a : 6 ) 4) (a +b )⋅(a−b ) 5) (3⋅a−2)−(b : 5−6 ) 10. a a−1 2⋅a−4 3⋅a−2 a2 −1 претходник a +1 2⋅a−3 3⋅a−1 број a a2 a +1 a +2 2⋅a−2 3⋅a следбеник a2 +1 11.
a O = 4⋅a P = a⋅a
1 4 1
3 12 9
5 20 25
7 28 49
9 36 81
12. Како је дељеник 2 378 − p < 2 378 , вредност израза (2 378 − p ): 373 не може бити већа од 6. Ако је (2 378 − p ): 373 =1 имамо да је p =2 005 . Ако редом мењамо вредности количника, имамо да је p ∈ {140 , 513 , 886 , 1259 , 1632 , 2 005}. 13. 1) Најмања је за k = 9 и то 774, а највећа је за k =1 и то 798 . 2) Најмања је за k = 99 , и то 504, а највећа је за k =10 , и то 771.
38
14. 1) d −6 , d, d +3 2) d −1 , d + 9 , 2⋅d , 3⋅d −7 , 3⋅d 15. 1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
x
1
3
5
7
9
2⋅x −1
2
5
8
11
14
3⋅x −1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
5
8
11
14
17
20
23
26
3⋅x +2
16. а) 37 − 3⋅5 = 37 −15 = 22 бомбоне б) 37 − 4⋅5 = 37 − 20 =17 бомбона Aко је поделила бомбоне са x другарица, остало јој је 37− x⋅5 бомбона. Највише је могла да почасти 7 другарица. 17. 1) 1500 − 2⋅200 =1100 динара 2) 1500 − 4⋅200 = 700 динара 3) 1500 −7⋅200 =100 динара После x дана преостало му је 1500 − x⋅200 динара.
39
ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ ТАЧКА, ПРАВА, РАВАН 1. Упиши ∈ или ∉ тако да важе односи приказани на слици. 1) A ___a;
2) A ___ bb;
3) B ___ a;
4) B ___ b;
5) C ___ a;
6) D ___ bb.
2. Означи тачке и праве тако да је: p ∩ q ={Q } , q ∩ r ={P } , p ∩ r ={R } .
3. Нацртај праве a и b и изабери тачке A, B, C тако да следећи искази буду тачни: C ∈ aa, C ∈ b, A∈a, C − B − A . 4. Упиши речи тачно или нетачно тако да важе односи са слике. 1) A − B − C _______ 2) B − C − E _______ 3) E − C − A _______ 4) A − D − E _______ 5) A − B − F _______ 6) A − F − D _______ 5. Означи изабране тачке праве p тако да је B −D − A , D − A −E , B − A − C , A − C −E . 6. Колико има правих које садрже једну задату тачку? 7. Нацртај четири тачкe A, B, C, D тако да оне одређују тачно: а) једну праву; б) четири праве; в) шест правих. 8. Допуни текст који описује следећу слику. 1) Пресек правих a и b јесте тачка ___. 2) Пресек правих ___ и ___ јесте тачка A. 3) Пресек правих a и ___ јесте тачка B. 4) Тачка D припада правој ___ и не припада правама ___ и ___. 5) Тачка D је између тачака A и ___. 6) Права одређена тачкама B и D сече праву a у тачки ___, праву b у тачки ___ и праву c у тачки ___.
41
8. Сваку од ових реченица преведи на математички језик. 1) a ∩ b ={___} ; 2) ___∩ ___ = { A} ; 4) D ∈ ___, D ∉ ___, D ∉ ___ ; 5) A − D −___ ; 6) p(B , D ) ∩ a = {___}, p(B , D ) ∩ b = {___}, p(B , D ) ∩ c = {___} .
3) a ∩ ___ = {B } ;
9. Нацртај две праве a и b које се секу. Нацртај затим праву p тако да је a ∩ b ∩ p ≠ ∅ и праву q тако да је a ∩ q ≠ ∅, b ∩ q ≠ ∅ и a ∩ q ≠ b ∩ q . Одреди a ∩ b ∩ q ! 10. Тачке P и Q припадају равни α. Упиши један од знакова ∈ или ⊂ на предвиђена места тако да добијени искази буду тачни. 2) Q ___ α; 3) {P , Q}___ α; 4) p p( P , Q )___ α; 1) P ___ α; 5) P ___ p( P , Q ) ; 6) Q ___ p( P , Q ) ; 7) {P , Q}___ p( P , Q ) . 11. Упиши један од знакова ∈ , ∉ или ⊂ тако да искази буду тачни. 1) S _____ áα; 3) p( P , Q )_____ α; 5) Q _____ α; 7) p( S , T )_____ α;
2) 4) 6) 8)
{P,Q,R,S, T} _____ α; Q _____ p( S , R ) ; {P , Q } _____ α; R _____ p( P , Q ) .
12. Упиши један од знакова = или ≠ тако да искази буду тачни. 1) 3) 5) 7)
{ A, B } ∩ a _____ ∅; p( A, B ) ∩ a _____ ∅; p( A, B ) ∩ a ∩ b _____ ∅; p( A, B ) ∩ β _____ p( A, B )
2) { A, B } ∩ b _____ ∅; 4) p( A, B ) ∩ b _____ ∅; 6) p( A, B ) ∩ β _____{ A, B } ;
13. Дата је раван α и праве a и b тако да је a ⊂ α, b ⊂ α и a ∩ b ={O } . Одреди a ∩ b ∩ α, a∪α, α∩{O } .
14. Означи тачке и праве приказане на слици десно ако је a || b , a ∩ c = { A}, b ∩ c = {B } .
15. Дата је раван α и у њој праве a и b које се секу. Који су од исказа тачни? 1) Свака права равни α паралелна са a сече праву b. 2) Не постоји права равни α паралелна и са a и са b. 3) Свака права равни α сече праву a или праву b. 4) Постоји права равни α која сече и праву a и праву b. 16. Нацртај три различите праве a, b , c тако да је: 1) a ∩ b ∩ c ≠ ∅; 2) a ∩ b ≠ ∅ и aa|| c; 3) a ∩ b ≠ ∅, b ∩ c ≠ ∅, c ∩ a ≠ ∅, a ∩ b ∩ c = ∅.
42
17. Нека су a, b, c различите праве неке равни. Која од реченица је увек тачна? 1) Ако је a || b и b || c, онда је a || c. 2) Ако је a || b и b ∩ c ≠ ∅, онда је a || c. 3) Ако је a ∩ b ≠ ∅ и b ∩ c ≠ ∅, онда је a ∩ c ≠ ∅.
ПОЛУПРАВА И ДУЖ 1. На основу слике десно упиши један од знакова = или ≠ на предвиђена места тако да добијене формуле буду тачне. 1) Aa ∩ Bb ____ ∅; 2) Aa ∩ Cc ____ ∅; Cc ____ ∅; 3) Bb ∩ C ∩ Aa ____ ∅; 4) Oz A 5) Ox ∩ Oy ____ ∅; Oy____ ∅. 6) Bb ∩ O
2. Користећи се сликом лево одреди: 1) Oz ∩ Oy = ____; 2) Ox ∩ Bb = ____; 3) Ox ∩ p(O , B ) = _____; 4) Bb ∩ p( A, C ) = ____.
3. На основу слике десно, одреди: 1) Aa ∩ Bb = ____; 2) p(B , D ) ∩ Cc = ____; 3) Aa ∩ Dd = _____; 4) Dd ∩ p(B , C ) = ____ . 4. Нацртај полуправе Aa и Bb тако да је: 1) Aa ∩ Bb = ∅; 2) Aa ∩ Bb ={ A} ;
3) Aa ∩ Bb = Aa ;
4) Aa ∪ Bb = Aa .
5. Да ли су тачни следећи искази? 1) Пресек две различите праве може бити бесконачан скуп тачака. 2) Пресек две различите полуправе може бити бесконачан скуп тачака. 6. Нацртај две полуправе Aa и Bb чија је унија нека права. Који од исказа је тачан? 1) Aa ∩ Bb = ∅; 2) A ∈ Bb; 3) B ∈ Aa. 7. Колико различитих правих, а колико различитих дужи одређују тачкe A, B , C , D , E приказане на слици? 1) 2) 3)
43
8. На основу слике десно одреди: 1) АC ∩ BF 2) AD ∩ EEF 4) AB ∪ BC 3) FBB ∪ BE 6) (BC ∪ CD )∩ AB 5) ( AC ∪ BD ) ∩ EF 7) ( AB ∪ BC ) ∩ ( EF ∪ BF ) .
9. Поређај дате дужи по дужини почевши од најкраће. _____<_____<_____<_____.
10. Који од исказа су тачни? 1) Дуж AB је два пута дужа од дужи AC. 2) Дужи BC, DE и FG су међусобно подударне. 3) Дуж FG је дужа и од дужи AB и од дужи AC.
11. Конструктивно утврди која је од дужи AB и CD краћа (слика доле)?
12. Конструиши дуж чија је дужина једнака збиру дужина датих дужи AB, BC и DE.
13. Конструиши дуж чија је дужина једнака разлици дужина дужи CD и AB.
14. Дате су тачке A и S. Одреди тачку B тако да је S средиште дужи AB. Затим одреди тачку C такву да је A средиште дужи CB. Колико је пута дуж CB дужа од SB? 15. Дате су три колинеарне тачке A, B, C такве да је A − C − B , AB =10cm , CB = 6cm . Ако је S средиште дужи BC и T средиште дужи AB, одреди дужине дужи AC, AS, AT, BS, BT, CS, CT, TS.
44
16. Тачке P , Q , R , S су колинеарне, P − Q − R − S . Ако је PS = 48 mm, PR = 32mm, QS = 38 mm , одреди дужину дужи AB где је A средиште дужи PQ, а B средиште дужи RS.
ПОЛУРАВАН И ИЗЛОМЉЕНА ЛИНИЈА 1. У једној равни уочене су две полуравни pα, qβ и праве a, b, c (види слику). Који су од следећих исказа тачни: 1) pα ∩ qβ ≠ ∅; 2) c∩pα = ∅; 3) a∩b⊂pα; 4) b⊂pα; 5) c⊂qβ. 2. У једној равни уочене су две полуравни. Да ли је могуће да пресек те две полуравни буде празан скуп? Када? 3. Колико отворених а колико затворених изломљених линија одређују три задате неколинеарне тачке?
4. У равни су дате тачке A,B,C,D,E од којих никоје три не припадају једној правој. Различитим бојама нацртај изломљене линије ABDCE и ACBEDA. Која од њих има већу дужину?
5. Тачке A и B повезане су различитим путевима (види слику). Упореди дужине ових путева. Којом јединицом мере је најлакше мерити дужине путева?
6. Која је од изломљених линија приказаних на наредној слици најдужа?
45
7. Одреди мерни број дужине изломљене линије ABCDE, ако дуж IJ јединица мере.
8. Нека је d мерни број дужине криве линије приказане на слици; ако је дуж IJ јединица мере, тада је (заокружи слово испред тачног одговора): 1) d <15 , 2) 15 ≤ d < 25 , 3) 25 ≤ d
9. Приближно, у центиметрима, одреди дужине кривих линија приказаних на сликама.
МНОГОУГАО 1. У равни је дато пет тачака од којих никоје три нису колинеарне. Да ли има више дужи чији су крајеви неке две од ових тачака или троуглова чија су темена неке од њих три? 2. Обој пресек уочених троуглова.
3. Обој пресек уочених многоуглова.
46
4. Нацртај два троугла чији је пресек:
1) дуж;
2) тачка.
5. Нацртај троугао и полуправу тако да: 1) немају заједничких тачака, 2) имају једну заједничку тачку, 3) имају бесконачно много заједничких тачака. 6. Нацртај четвороугао и троугао, тако да им је:
1) пресек петоугао;
2) унија петоугао.
7. Одредити тачку X полуправе Ox тако да је дужина дужи OX једнака обиму троугла ABC.
8. Обој унутрашњост датог многоугла.
9. Који од многоуглова приказаних на наредној слици има највећи обим.
КОНВЕКСНОСТ 1. Заокружи слово испред тачног исказа. 1) Свака права је конвексан скуп тачака. 2) Не постоји неконвексан троугао. 3) Постоји полуправа која није конвексан скуп тачака. 4) Пресек два конвексна скупа тачака јесте конвексан скуп тачака. 5) Унија два конвексна скупа тачака јесте конвексан скуп тачака. 6) Пресек два неконвексна скупа тачака јесте неконвексан скуп. 7) Пресек конвексног и неконвексног скупа тачака јесте неконвексан скуп тачака. 2. Заокружи слова која се налазе испред конвексних скупова тачака.
3. Нацртај један конвексан и један неконвексан седмоугао.
47
КРУГ И КРУЖНИЦА 1. Изабери три тачке и означи их са O, A и B. Нацртај затим кружнице: k(O,2cm), k(O,OA) и k(O,AB). 2. Ако је дат круг K(O,5cm) и тачке P,Q,R тако да је OP=36mm, OQ=52mm, OR=50mm, испитај тачност тврђења: 1) P ∉K(O,5cm); 2) Q ∈K(O,5cm); 3) R ∈K(O,5cm). 3. Ако тачка O припада правој p, колика је дужина дужи која је пресек праве p и кружнице k(O,4cm)? 4. Нацртај кружницу k(O,5cm) и дуж OA дужине 3cm. 1) Која тачка кружнице је најближа тачки A и колико је одговарајуће растојање? 2) Која тачка кружнице је најудаљенија од тачке A и колико је одговарајуће растојање? 5. Најближа тачка кружнице k је 2cm удаљена од тачке A, док је најудаљенија тачка кружнице k од исте тачке удаљена 4cm. Одреди дужину полупречника те кружнице ако је тачка A у: 1) унутрашњој области кружнице k; 2) спољашњој области кружнице k. 6. Нацртај кружнице k(O1,2cm) и k(O2,5cm) тако да је O1O2 = 9cm . Одреди тачке P и Q тако да P ∈k(O1,2cm), Q ∈k(O2,5cm) и да је дуж PQ: 1) најдужа; 2) најкраћа. Колика је дужина дужи PQ у сваком од случајева? 7. Одреди све тачке дате кружнице које су на растојању 2cm од тачке A.
8. Одреди пресек кружница k(O1,2cm) и k(O2,5cm) ако је растојање између центара O1 и O2 једнако: 1) 8cm ; 2) 7cm; 3) 3cm ; 4) 1cm. У каквом су односу одговарајући кругови? 9. Колико је растојање између центара кружница k(O1,3cm) и k(O2,6cm) ако се оне додирују: 1) споља; 2) изнутра. 10. Нацртај кружницу која има центар у датој тачки O и додирује кружницу k(S,3cm) ако је: 1) O у унутрашњости дате кружнице; 2) O у спољашњости дате кружнице. 11. Заокружи слово испред тачне реченице. 1) Ако је пресек кругова K 1 и K 2 круг K 2 , онда је K 1 ⊂ K 2 . 2) Ако је пресек два круга једна тачка, онда се ови кругови додирују споља. 3) Ако је разлика два круга круг, онда су ти кругови дисјунктни. 4) Нека кружница може сећи неки круг у једној тачки. 12. Нацртај дуж AB, тако да је AB = 8cm . 1) Одреди све тачке које су удаљене 5cm и од тачке A и од тачке B. 2) Да ли постоји тачка која је удаљена 2cm и од тачке A и од тачке B? Образложи одговор. 13. Нацртај дуж OS = 5cm и круг K(O,2cm). Нацртај затим круг K(S,r) , најмањег могућег полупречника r, тако да је K(O,2cm)∩K(S,r) =K(O,2cm). Колики је полупречник r? 14. У колико највише тачака кружница може сећи неки конвексан четвороугао?
48
УГАОНА ЛИНИЈА И УГАО 1. На слици лево дате су четири тачке A,B,C,D и права p. 1) Да ли изломљена линија DAC сече праву p? 2) Да ли угаона линија ∠ DAC сече праву p? 3) Које од угаоних линија са теменом у тачки C чији краци садрже неке две од преосталих тачака секу праву p? 4) Да ли нека од изломљених линија одређених неким од датих тачака сече праву p? 2. А) Поред тачних једнакости упиши знак √, нетачне прецртај. 1) ∠xOy ∩∠uSv = AB 2) ∠xOz ∩∠uSv ={ A, C } 3) ∠xOy ∩∠ABC ={B , A} 4) ∠xOy ∩∠ABC ={B , C } Б) Одреди следеће пресеке: 1) ∠BSC ∩∠uSv = _______ 2) ∠xOz ∩∠xOy = _______ 3) ∠CAB ∩∠ACB = _______ 4) ∠uSv ∩∠ACB = _______ 4. Поред тачних тврђења упиши знак √, нетачне прецртај. 1) Тачка A припада конвексном углу xOy. 2) Тачка D не припада конвексном углу xOy. 3) Тачка B припада конвексном углу xOy. 4) Тачка B припада неконвексном углу xOy. 5) Тачка B припада угаоној линији ∠xOy. 6) Дуж OC припада конвексном углу xOy. 7) Дуж AD припада неконвексном углу xOy. 5. За сваку од датих угаоних линија (доцртавањем одговарајућег дела кружнице) графички представи захтев написан испод сваке од њих.
49
6. Обој пресеке углова приказаних на наредној слици.
7. Дате су три полуправе Оа, Оb и Oc. Које све конвексне углове можеш да уочиш на претходној слици?
8. Нацртај два угла тако да: 1) њихов пресек буде четвороугао; 2) њихов пресек буде конвексан угао; 3) њихова унија буде неконвексан угао; 4) њихова унија и њихов пресек буду конвексни углови, 5) њихов пресек буде полуправа која није крак једног од тих углова; 6) њихов пресек буде дуж; 7) њихов пресек буде једна тачка.
КРУЖНИ ЛУК И ТЕТИВА 1. Обој део круга који је садржан у централном углу одређеном одговарајућим луком.
2. На кружници k(O,5cm) дата је тачка P. Колико има тетива ове кружнице чија је једна крајња тачка P и чија је дужина 3cm? Конструиши их! 3. Тачка P припада кружници k(O,5cm). Одреди тачке A и B дате кружнице које су на растојању 3cm од тачке P. Означи централни угао кружнице који садржи тачку P и чији краци садрже тачке A и B, а затим и одговарајући кружни лук и одговарајућу тетиву.
50
УПОРЕЂИВАЊЕ УГЛОВА. НАДОВЕЗИВАЊЕ УГЛОВА 1. Конструиши полуправе A ' a, B ' b , C ' c тако да углови aA ' x , bB ' y , cC ' z буду подударни редом угловима α, β, γ троугла ABC.
2. Дата је дуж AB и угао α. Конструиши полуправе Aa и Bb, са исте стране праве p(A,B), тако да углови aAB и bBA буду подударни углу α.
3. Обележи дате углове, а затим поређаj ове углове почевши од најмањег.
____ < ____ < ____ < ____ 4. Који је највећи, а који најмањи од уочених углова α, β, γ, δ? Конструктивно упореди ове углове.
51
5. Конструиши угао који је: 1) једнак збиру углова α, β, γ; 2) дупло већи од угла β; 3) три пута већи од угла γ.
6. Ако су α, β, γ угови приказани на претходној слици, конструиши угао који је једнак: 1) α + γ – β; 2) α – β – γ. 7. Нацртај неки троугао, а затим конструктивно одреди збир његових унутрашњих углова. 8. Нацртај неки конвексан четвороугао, а затим конструктивно одреди збир његових унутрашњих углова.
ВРСТЕ УГЛОВА 1. Да ли је збир углова α и β прав угао? Зашто?
2. Дат је троугао ABC. Објасни како су нацртане дужи BD, DE, EF, FG, а затим допуни цртеж доцртавањем бар још шест нових дужи.
3. Која је од три неколинеарне тачке A,B,C најудаљенија од праве одређене осталим двема тачкама?
4. Одреди тачку C праве p тако да троугао ABC има прав угао код темена: 1) C; 2) B.
52
5. Конструисати темена C и D правоугаоника ABCD тако да теме C припада правој c.
6. Гледајући слику попуни празна места 1) Дуж AB је ________________ круга K ( S , r ) . 2) Дуж ST је ________________ круга K ( S , r ) . 3) Дужи AT и BT су ________________ круга K ( S , r ) . 4) Ox ∩ k ( S , r ) = ______ . 5) Oy ∩ k ( S , r ) = ______ . 6) Ox ∩ K ( S , r ) = ______ . 7) Oy ∩ K ( S , r ) = ______ . 8) Права на којој је полуправа Ox јесте ________________ кружнице k ( S , r ) . 9) Различитим бојама обој K ( S , r )\ xOy и xOy \ K ( S , r ) . 7. Нацртај кружницу k(O,3cm) и произвољно изабери тачку A на њој. Нацртај затим тангенту кружнице k(O,3cm) која садржи изабрану тачку A. 8. Нацртај кружницу полупречника 3cm и праву p тако да је растојање центра кружнице од праве p једнако 2cm . Нацртај затим све тангенте те кружнице које су паралелне правој p. 9. Нацртај три концентричне кружнице са центром у произвољно изабраној тачки O полупречника 2cm, 4cm,6cm. Нацртај, затим, по једну тангенту сваке од ових кружница и утврди однос сваке тангенте са преостале две кружнице. 10. У каквом односу се налазе дате кружнице? Какав је однос сваке од кружница са датим правама? 1)
2)
53
3)
4)
11. Дати су троуглови ABC, EFG и PQR. На предвиђена места упиши једну од речи оштар, прав или туп угао.
Углови троугла ABC: ABC је _________ угао, BCA је _________ угао, CAB је _________ угао. Углови троугла EFG: EFG је _________ угао, FGE је _________ угао, GEF је _________ угао. Углови троугла PQR: PQR је _________ угао, QRP је _________ угао, RPQ је _________ угао. 12. Можеш ли да нацрташ троугао: 1) чија су два унутрашња угла прави углови; 2) чија су два унутрашња угла тупи углови; 3) који има један прав и један туп унутрашњи угао? 13. 1) Колико највише унутрашњих тупих углова може имати троугао? 2) Колико највише унутрашњих правих углова може имати троугао? 3) Колико најмање унутрашњих оштрих углова може имати троугао? 14. Нацртај бар један четвороугао који има: 1) два тупа и два оштра угла; 2) један туп и три оштра угла. 15. На предвиђена места упиши речи оштар или туп, тако да добијене реченице буду тачне. 1) Збир правог и оштрог угла јесте ___________ угао. 2) Разлика правог и оштрог угла јесте ___________ угао. 3) Разлика тупог и правог угла јесте ___________ угао. 4) Разлика опруженог и тупог угла јесте ___________ угао.
54
16. Конструиши угао који је комплементан углу 3α, ако је α угао дат на слици десно. 17. Конструиши угао који је суплементан углу 2α, ако је α угао дат у претходном задатку.
МЕРЕЊЕ УГЛОВА 1. Колики угао заклапају мала и велика казаљка? 1) 2) 3)
4)
2. Нацртај малу и велику казаљку тако да оне заклапају угао од: 2) 180 ; 3) 90 ; 4) 60 . 1) 150 ; 1)
2)
3)
4)
3. Користећи грчка слова означи сваки од углова, а затим помоћу угломера одредити њихове мере. 2) 1)
Мера угла _____ је _____. 3)
Мера угла _____ је _____. 4)
Мера угла _____ је _____. 5)
Мера угла _____ је _____. 6)
Мера угла _____ је _____.
Мера угла _____ је _____.
55
4. Користећи угломер, нацртај угао чија је мера: 1) 55 , 2) 34 , 3) 135 ,
4) 300 .
5. Користећи угломер, нацртај углове: α = 100°, β = 62°, γ = 140°. Конструиши затим: α + β, γ – α, 2γ – 3β. Колика је мера сваког од конструисаних углова? 6. Упореди углове α и β ако је: 1) α = 22 , βâ = 2159'59'' ;
2) α = 22 , β = 2222' ;
3) α = 555',β = 21000'' ;
4) α = 4 12'12'', β = 4 11'44'' .
7. Користећи угломер нацртај угао чија је мера за 5 : 1) мања од мере угла α; 2) већа од мере угла α.
8. Ако је AOC = 90 и AOB, AOD, COD.
C = 31 одреди мере углова BOC
9. Одреди меру угла α.
10. Нацртај углове α и β тако да је 40°<α<50° и 90°<β<100°, па конструиши углове 2α+β и β–α.
11. Ако је α = 752'44'' , β = 27 18'39'' , γ =15 21'42'' , δ = 936'16'' , израчунај: 1) β + δ, 2) β + γ, 3) 2γ, 4) δ – α, 5) 3β – 2γ, 6) α + β + γ. 12. Израчунај збир и разлику углова α = 333' и β = 333'' . , одреди меру њему комплементног и меру њему суплементног угла. 13. Ако је α =1111'11''
14. Ако је α = 2020'20'' , колико је 3α? 15. Мера угла α је за 10 мања од мере њему суплементног угла. Одреди меру угла α. 16. Који угао је већи: онај који је комплементан углу α = 24 10' или онај који је суплементан углу α=124 13' ?
17. Одредити мере углова aOb и cOd, ако је bOc bOc = 57 , aOc = 96 , bOd =115 .
56
УГЛОВИ НА ТРАНСВЕРЗАЛИ 1. Две праве се секу тако да један од добијених углова има меру 10029'17'' . Израчунај мере свих добијених углова. 2. Две праве се секу тако да је један од добијених углова за 14 већи од другог. Израчунај мере свих добијених углова.
3. Одреди мере углова α, β, γ, δ ако знаш да је угао α осам пута мањи од збира остала три угла.
4. Праве p,q,s секу се у једној тачки, при чему је p ⊥ qq, док се праве p и s секу под углом чија је мера 7312' . Колика је мера оштрог угла α под којим се секу праве q и s?
5. Одреди збир α + β + γ + δ + ϕ.
6. Одредити мере свих углова које можеш да уочиш на слици. ABC = ____ , CBD = ____ , DBE = ____ FBI = ____ ,
IBA = ____ ,
BIK = ____
KIJ = ____ ,
BIF = ____ ,
BFI = ____
BFG = ____ , GFH = ____ , HFI = ____ .
7. Нацртај оштар угао aOb и у његовој области изабери тачку S. Нацртај затим угао са теменом у тачки S, крацима паралелним крацима угла aOb који је: 1) једнак углу aOb; 2) суплементан углу aOb.
57
8. Ако је p( A, B )|| p(C , D ) и p(B , C )|| p(D , A) , одреди мере свих углова које можеш да уочиш на слици лево.
9. Краци угла α и β су паралелни. Одреди мере ових углова ако знаш да је мера угла α три пута већа од мере угла β. 10. Ако су краци углова α и β паралелни, одреди мере ових углова ако знаш да је α – β = 30 .
58
ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИРЕШЕЊА ТАЧКА, ПРАВА, РАВАН 1. 1) A ∉ a;
2) A ∈ b;
3) B ∈ a;
4) B ∉ b;
2.
5) C ∈ a;
6) D ∈ b.
3.
4. 1) A − B − C тачно; 2) B − C − E нетачно; 3) E − C − A нетачно; 4) A − D − E нетачно; 5) A − B − F нетачно; 6) A − F − D нетачно. 5. 6. Постоји бесконачно много правих које садрже једну задату тачку. 7 1)
2)
3)
8. 1) Пресек правих a и b је тачка C. 2) Пресек правих b и c је тачка A. 3) Пресек правих a и c је тачка B. 4) Тачка D припада правој b и не припада правама a и c. 5) Тачка D је између тачака A и C. 6) Права одређена тачкама B и D сече праву a у тачки B, праву b у тачки D и праву c у тачки B. Преводи ових реченица на математички језик су: 1) a ∩ b = {C } ; 2) b ∩ c = { A} ; 3) a ∩ c = {B } ; 4) D ∈ b , D ∉ a, D ∉ c ; 5) A − D − C ; 6) p(B , D ) ∩ a = {B }, p(B , D ) ∩ b = {D }, p(B , D ) ∩ c = {B } . 9.
10. 1) P ∈ α; 2) Q ∈ α; 3) {P , Q}⊂ α; 4) p( P , Q )⊂ α; 5) P ∈ p( P , Q ) 6) Q ∈ p( P , Q ) ; 7) {P , Q}⊂ p( P , Q ) .
a ∩ b ∩ q =∅
11. 1) 3) 5) 8)
S ∈ α; 2) {P , Q , R , S , T } ⊂ α; p( P , Q )⊂ α; 4) Q ∉ p( S , R ) ; Q ∈ α; 6) {P , Q } ⊂ α; 7) p( S , T )⊂ α; R ∈ p( P , Q ) .
12. 1) { A, B }∩ a =∅; 2) { A, B }∩ b =∅; 3) p( A, B )∩ a ≠∅; 4) p( A, B )∩ b ≠∅; 5) p( A, B )∩ a ∩ b =∅; 6) p( A, B )∩ β ≠ { A, B } ; 7) p( A, B )∩ β = p( A, B ) 13. a ∩ b ∩ α = {O } , a ∪ α =α, α ∩ {O } = {O } .
59
14.
15. Сви искази су тачни. 16. 1)
2)
3)
17. Тачна је само реченица 1).
ПОЛУПРАВА И ДУЖ 1. 1) Aa ∩ Bb = ∅; 2) Aa ∩ Cc = ∅; 3) Bb ∩ Cc ≠ ∅; 4) Oz ∩ Aa = ∅; 5) Ox ∩ Oy ≠ ∅; 6) Bb ∩ Oy = ∅. 2. 1) Oz ∩ Oy = {O } ; 2) Ox ∩ Bb = {B } ; 3) Ox ∩ p(O , B ) = Ox ; 4) Bb ∩ p( A, C ) = ∅. 3. 1) Aa ∩ Bb = {B } ; 2) p(B , D ) ∩ Cc = {D } ; 3) Aa ∩ Dd = ∅; 4) Dd ∩ p(B , C ) = ∅. 4. 1)
2)
3)
4)
5. 1) Реченица „Пресек две различите праве може бити бесконачан скуп тачака.“ није тачна. 2) Реченица „Пресек две различите полуправе може бити бесконачан скуп тачака.“ јесте тачна. 6. Тачни искази су 2) и 3).
7. 1) Пет правих и десет дужи;
2) 8 правих и десет дужи;
3) десет правих и десет дужи.
8. 1) AC ∩ BF = {B } ; 2) AD ∩ EF = {B } ; 3) FB ∪ BE = FE ; 4) AB ∪ BC = AC ; 5) ( AC ∪ BD ) ∩ EF = AD ∩ EF = {B } ; 6) (BC ∪ CD )∩ AB = BD ∩ AB = {B } ; 7) ( AB ∪ BC ) ∩ ( EF ∪ BF ) = AC ∩ EF = {B } .
60
9. AB
10. Сви искази су тачни.
11. Краћа је дуж AB.
12.
Конструкција се изводи надовезивањем датих дужи: OX=AB, XY=BC, YZ=DE. Тада је OZ=AB+BC+DE.
13. XY = OY − OX = CD − AB
14. Дуж CB је четири пута дужа од дужи SB. 15. AC = AB − CB =10cm − 6cm = 4 cm AS = AC + CS = 4 cm + 3cm = 7cm
AT = BT = 5cm,
BS = CS = 3cm
CT = AT − AC = 5cm − 4 cm =1cm TS = AS − AT = 7cm − 5cm = 2cm
16. AB = 35mm .
ПОЛУРАВАН И ИЗЛОМЉЕНА ЛИНИЈА 1. Тачни искази су 1) и 5). 2. Могуће је. Наиме, пресек две полуравни које су у истој равни је празан ако су њихове граничне праве паралелне и посматраш полураван као на слици.
61
3. Три неколинеарне тачке одређују три отворене изломљене линије и само једну затворену изломљену линију. 4. Изломљена линија ACBEDA има већу дужину од изломљене линије ABDCE.
5. Сви приказани путеви који спајају тачке A и B су исте дужине. Наједноставније је дужине ових путева мерити узимањем за јединицу мере дужину дијагонале „квадратића“.
6. Најдужа је трећа (слева на десно) изломљена линија, затим прва изломљена линија, док је изломљена линија приказана у средини најкраћа. 7. Како је AB=3IJ, BC=4IJ, CD=2IJ и DE=5IJ, следи да је дужина изломљене линије ABCDE једнака 14 јединица мере. 8. Дужина d дате криве линије приближно је једнака дужини изломљене линије ABCDE приказане на слици. Како је дужина изломљене линије ABCDE једнака 18 јединица мере (поступити као у претходном задатку), тачан одговор је под б).
62
9. Да бисте приближно утврдили дужину неке криве линије потребно је најпре да нацртате изломљену линију која се што боље „поклапа“ са кривом, а затим да измерите дужину те изломљене линије. На наредној слици нацртане су изломљене линије које се скоро „поклапају” са датим кривим линијама. Наравно, увек постоје изломљене линије које се још боље „поклапају” са одговарајућом кривом!
МНОГОУГАО 1. Исти је број дужи и број троуглова које одређује пет тачака од којих никоје три нису колинеарне. И једних и других има по десет. 2.
3.
4. 1)
2)
63
5. Троугао ABC и полурава Xx немају заједничких тачака. Полуправа Yy и троугао ABC имају једну заједничку тачку Y. Полурава Zz и троугао ABC имају бесконачно много заједничких тачака.
6. 1)
2)
7. Тражену тачку одређујемо надовезивањем страница троугла.
8.
64
9. Директним мерењем или надовезивањем дужи (то јест страница многоугла) утврђујемо који од њих има највећи обим.
КОНВЕКСНОСТ 1. Тачни искази су 1), 2) и 4).
2. Конвексне фигуре су Б), В), Г), Д) и Ж).
3.
Конвексан седмоугао
Неконвексан седмоугао
КРУГ И КРУЖНИЦА 1.
2. Тачно је једино тврђење под 3). 3. Тетива по којој круг k (O , 4 cm) пресеца праву p је заправо пречник круга а његова дужина је 8cm.
4. Права p (O , A) сече кружницу k (O ,5cm) у двема тачкама B и C. Једна од ових тачака, која је са исте стране центра O као и тачка A, је уједно и тачка кружнице која је најближа тачки A. AC = OC − OA = 2cm . Друга, која је са оне стране центра са које није тачка A, је тачка кружнице која је најудаљенија од A. BA = BO + OA = 8cm .
5. 1) Ако је тачка A у унутрашњој области кружнице, онда је полупречник те кружнице 3cm. Треба приметити да је збир растојања тачке A од најближе и најудаљеније тачке кружнице једнак пречнику круга. 2) Ако је тачка A у спољашњој области кружнице, онда је полупречник те кружнице 1cm. Треба приметити да је разлика растојања тачке A од најудаљеније и најближе тачке кружнице једнака полупречнику круга.
65
6. 1) Ако је дуж PQ изабрана да буде најдужа, онда је њена дужина једнака 16cm (16cm = 2cm + 9cm + 5cm). 2) Ако је дуж PQ изабрана да буде најкраћа, онда је њена дужина једнака 2cm (2cm = 9cm – 2cm – 5cm). 7. Тражене тачке добијамо као пресечне тачке дате кружнце и кружнице k(A,2cm).
8. 1) Пресек кружница као и пресек кругова је празан; 2) Пресек кружница као и пресек кругова је једна тачка (кружнице се додирују споља); 3) Пресек кружница је једна тачка (кружнице се додирују изнутра), док је пресек кругова је круг мањег полупречника; 4) Пресек кружница је празан, док је пресек кругова круг мањег полупречника 9. 1) Ако се кружнице додирују споља, онда је растојање између центара једнако 9cm (9cm = 3cm + 6cm). 2) Ако се кружнице додирују изнутра, онда је растојање између центара једнако 3cm (3cm = 6cm – 3cm). 10. У оба случаја треба одредити тачку кружнице k ( S ,3cm) која је најближа тачки O, а затим конструисати кружницу са центром у тачки O која пролази кроз ту најближу тачку. 11. Тачне реченице су 2), 3) и 4). 12. 1) Тражене тачке представљају пресек кружница k ( A,5cm) и k (B ,5cm) . 2) Не постоји. Како је AB = 8cm , кружнице k ( A,2cm) и k (B ,2cm) се не секу. 13. Треба конструисати кружницу са центром у тачки S коју додирује кружница k(O,2cm) са унутрашње стране. 14. У осам тачака.
66
УГАОНА ЛИНИЈА И УГАО 1. 1) Изломљена линија DAC не сече праву p. 2) Угаона линија ∠DAC сече праву p. 3) Не постоји угаона линија са теменом у тачки C чији краци садрже неке две од преосталих тачака која сече праву p. 4) Такође, не постоји изломљена линија одрећена неким од датих тачака која сече праву p. 2. А) Тачне једнакости су под 2 и 4. Б) 1) ∠BSC ∩∠uSv =∠uSv =∠BSC 3) ∠CAB ∩∠ACB = AC ∪ {B }
2) ∠xOz ∩∠xOy = Ox 4) ∠uSv ∩∠ACB ={ A, B , C }
4. Тачна тврђења су 3), 4), 5) и 6). 5.
6.
7. Конвексни углови су aOb , bOc , cOa . 8. 1)
5)
2)
3)
6)
4)
7)
67
КРУЖНИ ЛУК И ТЕТИВА 1.
2 Има их две. Крајеви ове две тетиве су пресеци кружница k (O ,5cm) и k(P,3cm). 3.
k (O ,5cm)
УПОРЕЂИВАЊЕ УГЛОВА. НАДОВЕЗИВАЊЕ УГЛОВА. 1.
2. Примени поступак из претходног задатка. 3.
68
β < α < δ < γ.
4. Најмањи угао је γ, а највећи β. 5. 1)
6. 1)
7. Ма какав троугао да изабереш збир његових унутрашњих углова је опружен угао. 8. Ма какав четвороугао да изабереш збир његових унутрашњих углова је пун угао.
ВРСТЕ УГЛОВА 1. Јесте, јер је опружен угао збир два права угла. 2.
3. Нацртај праве p( A, B ), p(B , C ), p(C , A) , а затим из сваке од датих тачака нацртај нормалу на праву одређену са преостале две тачке. Пресеке нормала са правама означи на пример са P , Q , R и упреди дужине дужи AP , BQ , CR . 4. 1) Нацртај нормалу из тачке B на праву p.
2) Нацртај нормалу на праву p ( A, B ) у тачки B.
69
5. Теме C је пресек праве c и нормале на праву p ( A, B ) у тачки B. Теме D је пресек нормале на праву p ( A, B ) у тачки A и нормале на праву p (B , C ) у тачки C.
6. 1) Дуж AB је пречник круга K ( S , r ) . 2) Дуж ST је полупречник круга K ( S , r ) . 3) Дужи AT и BT су тетиве круга K ( S , r ) . 4) Ox ∩ k ( S , r ) = {T } . 5) Oy ∩ k ( S , r ) = { A, B } . 6) Ox ∩ K ( S , r ) = {T } . 7) Oy ∩ K ( S , r ) = AB . 8) Права на којој је полуправа Ox је тангента кружнице k ( S , r ) .
7. Тражена тангента је нормала на праву p(O,A) у тачки A. 8.
9. Свака тангента кружнице k(O,2cm) сече у двема тачкама обе кружнице k(O,4cm) и k(O,6cm). Свака тангента кружнице k(O,4cm) сече у двема тачкама кружницу k(O,6cm) док са кружницом k(O,2cm) нема заједничких тачака. Не постоји тангента кружнице k(O,6cm) која сече неку од кружница k(O,2cm) и k(O,4cm).
70
10. 1) Кружнице k1 и k2 се свеку у двема тачкама. Праве a и b додирују (су тангенте) обе кружнице. 2) Кружнице k1 и k2 се додирују изнутра и имају једну заједничку тачку. Права a је тангента обе кружнице. 3) Кружнице k1 и k2 се додирују споља и имају једну заједничку тачку. Праве a, b и c су заједничке тангенте ових кружница. 4) Кружнице k1 и k2 немају заједничких тачака. Праве a, b, c и d су заједничке тангенте ових кружница. 11. Углови троугла ABC : ABC је оштар угао, BCA је прав угао, CAB је оштар угао. Углови троугла EFG : EFG је оштар угао, FGE је оштар угао, GEF је оштар угао. Углови троугла PQR : PQR је оштар угао, QRP је туп угао, RPQ је оштар угао. 12. Сваки троугао има бар два оштра угла! Немогуће је нацртати троуглове који би задовољавали било који од захтева задатка. 13. Највише један унутрашњи угао троугла може бити туп. Највише један унутрашњи угао троугла може бити прав. Сваки троугао има најмање два оштра угла. 14. 1.
2.
15. 1) Збир правог и оштрог угла је туп угао. 2) Разлика правог и оштрог угла је оштар угао. 3) Разлика тупог и правог угла је оштар угао. 4) Разлика опруженог и тупог угла је оштар угао. 16. Конструиши угао 3α а затим одузми овај угао од правог угла. 17. Конструиши угао 2α а затим одузми овај угао од опруженог угла.
МЕРЕЊЕ УГЛОВА 1. 1) 30 ; 2) 90 ; 3) 120 ; 4) 150 . 2. 1)
2)
3)
4)
71
3. 1)
2)
Мера угла α је 20 . Мера угла β је 65 . 3)
4)
Мера угла γ је 70 .
Мера угла δ је 110 .
5)
6)
Мера угла ψ је 170 .
Мера угла θ је 35 .
4. 1) Нацртај произвољну полуправу Ox, а затим постави угломер као на слици и означи тачку X. Угао XOx је угао чија је мера 55 . Аналогно се цртају остали углови.
5. α + β =162 , γ − α = 40 , 2γ − 3β = 280 −186 = 94 .
6. 1) α = 22 >β = 21 59'59'' ; 2) α = 22 <β = 2222' = 372' ; 3) α = 5 55' >β = 21000'' = 5 50' ; 4) α = 4 12'12'' > β = 4 11'44'' . 7. Помоћу угломера нацртај угао чија је мера 5 , а затим 1) од угла α одузми овај угао; 2) сабери угао α са овим углом. 8.
AOB = 90 − 31 = 59 , AOD =180 − 59 =121 , COD =180 − 31 =149 .
9. α = 90 −1930' = 7030'
11. 1) β + δ = 36 54'55'' , 2) β + γ = 42 40'21'' , 3) 2γ = 30 43'24'' , 4) δ − α =1 43'32'' , 5) 3β − 2γ = 5112'33'' , 6) α + β + γ = 50 33'5'' . 12. Како је α = 5 33', β = 5'33'' , следи да је α + β = 5 38'33'' и α − β= 5 27'27'' . 13. Угао комплементан углу α има меру 90 −1111'11'' = 78 48'49'' . Угао суплементан углу α има меру 180 −1111'11'' =168 48'49'' . . 14. 3α = 611'
72
15. α = 85 .
16. Ако је α1 угао комплементан углу α, онда је α1 = 90 − 24 10' = 6550' . Ако је α1 угао суплементан углу β, онда је β1 =180 −124 13' = 55 47' . Дакле α1 >β1. 17.
aOb = aOc− bOc = 96 − 57 = 39 .
cOd = bOd− bOc =115 − 57 = 58
УГЛОВИ НА ТРАНСВЕРЗАЛИ 1. Дате две праве образују четири угла од којих два имају меру 10029'17'' , а друга два меру 7930'43'' . 2. Дате две праве образују четири угла од којих два имају меру 83 , а друга два меру 97 .
3. Како је α + β + γ + δ = 360 и β + γ + δ = 8 α, онда је 9α = 360 , тј. α = 40 . Према томе γ= 40 , β = δ =140 . 4. α = 90 −7312' =16 48' 5.
6.
α + β + γ + δ + ϕ=180
8.
9. Из α + β =180 и α = 3β, следи да је α = 45 и β =135 .
10. Из α + β =180 и α − β = 30 , следи да је α =105 и β = 75 .
73
ДЕЉИВОСТ ДЕЉИВОСТ У N₀ 1. Одреди количник: а) 45 : 9 = ___ ;
б) 125 : 5 = ___ ;
в) 432 : 3 = ___ ;
г) 247 : 13 = ___ .
2. Одреди количник и остатак при дељењу: а) 72 : 5 = ____ ( ___ );
б) 91 : 4 = ____ ( ___ );
в) 259 : 10 = ____( ___ );
г) 11 110 : 11 = ____( ___ ).
3. Када природан број делиш са 5, које све бројеве можеш добити као остатак? 4. Ученици петог разреда једне школе кренули су на екскурзију. Ако у тој школи има 126 ученика петог разреда, да ли се могу распоредити у 3 аутобуса тако да у сваком аутобусу буде једнак број деце? 5. Из скупа A = {1,2,3, 4,5,6,15,20} издвој бројеве који су делиоци броја 30. 6. Напиши скуп свих делиоца броја: а) 25
D25 = { __, __, __ };
б) 24
D24 = { __, __, __, __, __, __, __, __ };
в) 34
D34 = { __, __, __, __ };
г) 45
D45 = { __, __, __, __, __, __ };
д) 60
D60 = { __, __, __, __ , __, __, __, __, __, __, __, __ }.
7. Напиши скуп свих садржалаца броја: а) 4:
S 4 = { __, __, __, __, __, __, ...};
б) 8:
S8 = { __, __, __, __, __, __, ...};
в) 35: S35 = { __, __, __, __, ...}. 8. Нађи највећи двоцифрени број који је садржалац броја:
а) 18;
б) 7.
9. Нађи најмањи троцифрени број који је садржалац броја:
а) 3;
б) 5.
10. Дат је скуп A = {16, 24, 35, 36, 72}. Издвој из скупа A све садржаоце броја 6. 11. Одреди све садржаоце броја 11 између 100 и 200. 12. Испитај тачност следећих тврђења: а) 10 | 1400; б) 8 | 60; в) 4 | 42; 13. Одреди елементе скупа A ако је:
{
}
а) A = x x ∈ N , x 12 ;
г) 5 | 75;
{
д) 21 | 105.
}
б) A = x x ∈ N , x 50 .
75
2
14. Дат је скуп A = {2, 5, 7} и B = {3, 11, 13}. Користећи таблицу, одреди све бројеве који имају само по један делилац и из скупа A и из скупа B. 15. Не израчунавајући збир, испитај да ли је: а) 48 + 192 дељиво са 2; в) 160 + 44 дељиво са 4;
5
7
3 11
77
13
б) 55 + 70 дељиво са 5; г) 210 + 130 + 460 дељиво са 10.
16. Не израчунавајући разлику, испитај да ли је: а) 99 – 44 дељиво са 11; б) 126 – 30 дељиво са 3;
в) 666 – 120 дељиво са 6.
17. Не израчунавајући производ испитај да ли је: а) 20 · 123 дељиво са 5; б) 44 · 295 дељиво са 4;
в) 123 · 21 · 18 дељиво са 2.
18. Испитај тачност следећих тврђења (без израчунавања): а) 7 | (49 + 77 – 35); б) 5 | (45 · 131 – 55); в) 2 | (16 · 25 + 31 · 90).
ДЕЉИВОСТ ДЕКАДНИМ ЈЕДИНИЦАМА И БРОЈЕВИМА 2, 5, 4, 25 1. Напиши пет троцифрених бројева који су дељиви са 10: ____, ____, ____, ____, ____ . 2. Напиши све бројеве између 3 000 и 4 000 који су дељиви са 100. 3. Из скупа D = {250, 1625, 5000, 700, 850, 302} издвој оне елементе који су: а) дељиви са 10; б) дељиви са 100. 4. Испитај тачност следећих тврђења и упиши Т за тачна, а за нетачна тврђења: а) 10 | 40 ; б) 100 | 5500 ; в) 10 | 5000 ; T г) 1000 | 5000 е) 10 | 430
; ;
д)1000 | 4300
;
ж) 100 | 7700
.
ђ) 100 | 550
;
5. Из скупа A = {15, 18, 31, 34, 125, 250} издвој парне бројеве. 6. Наведи бројеве четврте десетице који су дељиви са 2. 7. Напиши све двоцифрене бројеве који су дељиви са 2 и чији је збир цифара 7. 8. Наведи све троцифрене бројеве записане коришћењем једне цифре који су дељиви са 2. 9. Који су од следећих бројева дељиви са 2: 32, 48, 61, 250,
76
1234,
5252,
300003?
10. Испитај тачност следећих тврђења: а) 2 | 98; б) 2 | 69; в) 2 | 125; | | ђ) 2 (114 + 46); е) 2 (333 – 55);
г) 2 | 300; ж) 2 | 4 · 17;
д) 2 | 5 555; з) 2 | 74 · 31.
11. Уместо звездице стави одговарајућу цифру тако да добијени број буде дељив са 2: 52 * ;
34 * 6 ;
11*1;
43 * ;
*9876 .
12. Помоћу цифара 2, 3, 4 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 2, ако се цифре не могу понављати. 13. Помоћу цифара 0, 2, 5 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 2, ако се цифре могу понављати. 14. Који су од датих бројева дељиви са 5? 35; 60; 52; 130;
222;
1234;
12345.
15. Напиши пет троцифрених и пет четвороцифрених бројева дељивих са 5. 16. Испитај тачност следећих тврђења (без израчунавања): а) 5 | 65; б) 5 | 74; в) 5 | 320; | | д) 5 (91 + 444); ђ) 5 30 · 99; е) 5 | 11 · 170;
г) 5 | (45 + 260); ж) 5 | 17 · 24.
17. Уместо звездице стави одговарајућу цифру тако да број буде дељив са 5: а) 45 * ;
б) 4 * 5 ;
в) *45 ;
г) *54 ;
д) 54 * .
{
}
18. Одреди елементе скупа A ако је A = x x ∈ N , 5 x , 247 < x ≤ 290 .
19. Помоћу цифара 0, 1, 2 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 5. Цифре се могу понављати. 20. Ако се цифре не могу понављати, помоћу цифара 0, 1, 5, 9 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 5. 21. Одреди све: а) троцифрене, б) четвороцифрене бројеве дељиве са 5, чији је производ цифара 30. 22. Попуни таблицу: Број n
25
136
Двоцифрени завршетак броја n
25
36
850
1 234
65 432
565 656
23. Када је број дељив са 4? 24. Напиши пет двоцифрених и пет троцифрених бројева дељивих са 4.
77
25. Који су од наведених бројева дељиви са 4? 118; 324; 904; 1 234; 3 000;
8 760;
26. Испитај тачност следећих тврђења (без израчунавања): а) 4 | 96; б) 4 | 50; в) 4 | 336; д) 4 | 123 456; ђ) 4 | (32 + 124); е) 4 | (360 – 116);
777 770;
9 876.
д) 4 | 1 414; ж) 4 | 41 · 20.
27. Уместо звездице стави одговарајућу цифру тако да важи: а) 4 | 23 * ; б) 4 | 8 * 8 ; в) 4 | 13 * 2 ; г) 4 | *64 ;
д) 4 | *42 .
28. Помоћу цифара 0, 1, 2, 3, 4 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 4. Цифре се могу понављати. 29. Одреди најмањи и највећи троцифрени број дељив са 4. 30. Када је број дељив са 25? 31. Издвој из скупа D = {225, 850, 6 000, 535, 975, 98 765, 330} бројеве који су дељиви са 25. 32. Уместо звездице стави одговарајућу цифру тако да важи: а) 25 | 432 * ; б) 25 | 12 * 5 ; в) 25 | 1* 45 ; г) 25 | *75 . 33. Испитај тачност следећих тврђења (без израчунавања): а) 25 | 625; б) 25 | 12 345; г) 25 | (1 225 – 775); д) 25 | 16 · 35;
в) 25 | (775 + 850); ђ) 25 | 100 · 33.
ДЕЉИВОСТ БРОЈЕВИМА 3 И 9 1. Попуни таблицу: Број n
22
Збир цифара броја n
4
85
126
444
2. Када је број дељив са 3, а када са 9? 3. Напиши пет двоцифрених и пет троцифрених бројева дељивих: а) са 3 двоцифрени: ___, ___, ___, ___, ___ ; троцифрени: ___, ___, ___, ___, ___ ; б) са 9 двоцифрени: ___, ___, ___, ___, ___ ; троцифрени: ___, ___, ___, ___, ___ . 4. Подвуци бројеве дељиве са 3: 42, 56, 93, 141, 250,
78
222,
1234,
87 654.
98 765
300 000
5. Испитај тачност следећих тврђења: a) 3 | 33; б) 3 | 73; | д) 3 (45 + 12в); ђ) 3 | (411 – 29а);
в) 3 | 111; е) 3 | 27 · 50;
г) 3 | 400; ж) 3 | 19 · 444.
6. Уместо слова стави одговарајућу цифру тако да важи: а) 3 | 45a ; б) 3 | 2b2 ; в) 3 | c 311. 7. Одреди најмањи и највећи четвороцифрени број дељив са 3 код кога су све цифре различите. 8. Ако се цифре не могу понављати, од цифара 0, 2, 3, 4, 6 формирај све троцифрене бројеве дељиве са 3. 9. Ако се цифре могу понављати, од цифара 0, 3, 6 формирај све троцифрене бројеве дељиве са 3. 10. Из скупа D = {27, 99, 199, 252, 882, 4 545} издвој бројеве који су дељиви са 9. 11. Одреди најмањи и највећи четвороцифрени број дељив са 9 код кога су све цифре различите. 12. Испитај тачност следећих тврђења: а) 9 | 111; б) 9 | 333; | д) 9 18 000; ђ) 9 | (216 – 11е);
в) 9 | 567; е) 9 | (351 + 87в);
г) 9 | 1 234; ж) 9 | 999 · 100.
13. Уместо слова стави одговарајућу цифру тако да важи: б) 9 | 4b5 ; в) 9 | c 348 ; а) 9 | 41a ;
г) 9 | 97 x 0 .
{
}
14. Одреди елементе скупа B ако је B = x x ∈ N , 9 x , 95 < x <176 .
15. Помоћу цифара 0, 1, 2, 6, 7 напиши све троцифрене бројеве дељиве са 9. 16. Напиши два троцифрена броја која су дељива са 3, а нису дељива са 9. 17. Нађи најмањи шестоцифрени број дељив са 9, коме су све цифре различите. 18. Из скупа S = {12, 42, 54, 80, 306, 554, 2 007, 7 002} издвој оне бројеве који су дељиви: а) и са 2 и са 3; б) и са 2 и са 9. 19. Нађи највећи троцифрени број дељив са 6, коме су све цифре различите. 20. Подвуци бројеве који су дељиви и са 4 и са 9: 216; 414; 432; 576;
999.
21. Испитај тачност следећих тврђења: а) 15 | 555; б) 15 | 900; | г) 12 660; д) 12 | 333;
в) 15 | 1 341; ђ) 12 | 456.
79
22. Колико има природних бројева мањих од 500 који су дељиви и са 3 и са 4. 23. Колико има природних бројева мањих од 1 000 који нису дељиви ни са 3, ни са 4. 24. Испитај тачност следећих тврђења: а) 9 | 999...999; б) 4 | 222...222;
в) 5 | 555...555.
25. Уместо слова стави одговарајућу цифру тако да важи: а) 6 | 524a ; б) 6 | 3b84 ; в) 6 | 1c 7d .
100 238 345 384 432 850 1 275 3 410 3 456 4 560 30 000 321 000
Дељив са 100
Дељив са 36
Дељив са 25
Дељив са 15
Дељив са 12
Дељив са 10
Дељив са 9
Дељив са 6
Дељив са 5
Дељив са 4
Дељив са 3
Дељив са 2
26. Попуни таблицу:
да не
ПРОСТИ И СЛОЖЕНИ БРОЈЕВИ 1. Нађи све делиоце следећих бројева: 7, 19, 23, 37, 59. Колико делилаца има сваки од ових бројева? Како називамо те бројеве? __________________ 2. Помоћу Ератостеновог сита нађи све просте бројеве мање од 200. 1 21 41 61 81 101 121 141 161 181
2 22 42 62 82 102 122 142 162 182
3 23 43 63 83 103 123 143 163 183
4 24 44 64 84 104 124 144 164 184
5 25 45 65 85 105 125 145 165 185
6 26 46 66 86 106 126 146 166 186
7 27 47 67 87 107 127 147 167 187
8 28 48 68 88 108 128 148 168 188
9 29 49 69 89 109 129 149 169 189
10 30 50 70 90 110 130 150 170 190
11 31 51 71 91 111 131 151 171 191
12 32 52 72 92 112 132 152 172 192
13 33 53 73 93 113 133 153 173 193
14 34 54 74 94 114 134 154 174 194
15 35 55 75 95 115 135 155 175 195
16 36 56 76 96 116 136 156 176 196
17 37 57 77 97 117 137 157 177 197
18 38 58 78 98 118 138 158 178 198
19 39 59 79 99 119 139 159 179 199
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Прости бројеви мањи од 200 су:_________________________________________________ ____________________________________________________________________________.
80
3. Запиши све просте бројеве p такве да је : б) 30 < p ≤ 79 ; а) p <50 ; 4. Нађи све делиоце следећих бројева:
в) 51≤ p < 99 .
а) 10, D10 = { __, __, __, __ };
б) 15, D15 = { __, __, __, __ };
в) 16, D16 = { __, __, __, __, __ };
г) 20, D20 = { __, __, __, __, __, __ };
д) 34, D17 = { __, __, __, __ }. Како називамо бројеве који имају више од два делиоца? _______________________ 5. Напиши све сложене бројеве између 70 и 100. 6. Напиши пет простих и пет сложених бројева већих од 100. прости: ____, ____, ____, ____, ____ ; сложени: ____, ____, ____, ____, ____ . 7. Од цифара 1, 2, 5, 9 формирај све двоцифрене просте бројеве. 8. Напиши пет парова узајамно простих бројева: ___ и ___, ___ и ___, ___ и ___, ___ и ___,
___ и ___ .
9. Одреди скуп свих делилаца броја 36. Који су од тих делилаца прости, а који сложени бројеви? 10. Нађи просте делиоце броја 20. 11. Допуњујући шта недостаје, растави дате бројеве на просте чиниоце: а) 10 = 2 · __ ; б) 15 = 3 · __ ; в) 36 = 2 · __· __· __ ; г) 42 = __· __· __ . 12. Нађи најмањи сложен број који је производ три различита проста броја. 13. Раставићемо на просте чиниоце број 12. I начин
II начин
III начин
12
12 = 4 · 3 = 2 · 2 · 3 12 = 22 ⋅3
4 2
3
12 = 22 ⋅3
2
Растави на просте чиниоце (на сва три начина) следеће бројеве: а) 24, б) 30, в) 40, г) 55, д) 84, ђ) 96,
12 2 6 2 3 3 1 е) 120,
12 = 22 ⋅3
ж) 275.
14. Растави на просте чиниоце бројеве: а) 48, 60, 140, 27, 315, 81; б) 144, 169, 225, 216, 210, 256; в) 360, 400, 900, 1 188, 924, 1 170.
81
15. Растави на просте чиниоце бројеве, па одреди све делиоце броја: а) 26; б) 30; в) 102; г) 144. 16. Одреди најмањи број чији су сви прости чиниоци: а) 2, 3 и 5; б) 3, 5 и 11; в) 2, 5, 7 и 13. 17. Марко је на табли растављао број на просте чиниоце и на крају случајно избрисао тај број. На табли је остао само производ простих чинилаца тог броја 22 ⋅3⋅52 ⋅11. Који број је Марко растављао на просте чиниоце? 18. Одреди број који има следеће просте чиниоце: а) чинилац 2, чинилац 3 два пута, чинилац 5 три пута; б) чинилац 2 три пута, чинилац 3 два пута, чинилац 5 два пута. 19. Настави започети низ бројева: 4, 9, 25, 49, ____, ____, ____, ____ . 20. Нађи све сложене бројеве мање од 1 000 чији је прост чинилац само број 5. 21. Одреди најмањи природан број који помножен са 432 даје: 1) квадрат неког броја; 2) куб неког броја. Решење: 1) Број је квадрат неког броја, ако се сваки прост чинилац јавља паран број пута.Растављајући број 432 на просте чиниоце, можеш уочити да као чинилац недостаје најмање један број 3 да бисмо добили квадрат неког броја. 2) Број је куб неког броја, ако се сваки прост чинилац у њему јавља 3, 6, 9 ... пута. Можеш уочити да као чинилац недостаје најмање 2 · 2 = 4 да бисмо добили куб неког броја.
432 216 108 54 27 9 3 1
2 2 2 432 = 2 ·2 ·2 ·2 ·3 · 3 · 3 2 3 432 = 2 ·2 ·2 ·2 ·3 · 3 · 3 3 3
22. Производ два узастопна природна броја јесте: О којим бројевима је реч?
а) 72;
б) 240.
23. Производ три узастопна природна броја јесте: О којим бројевима је реч?
а) 210;
б) 720.
24. Производ цифара неког броја јесте 180. Одреди: 1) најмањи такав петоцифрени број; 2) најмањи такав четвороцифрени број. Решење: Како је 180 производ цифара, раставићемо 180 на просте чиниоце да бисмо видели које све цифре могу учествовати у запису тог броја. 1) Да би био најмањи могући број, гледано да прве цифре буду 1 ( 1 може увек бити чинилац јер не мења производ, 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 1). Како онда имамо шест цифара, а тражи се петоцифрени број, помножићемо две највеће, под условом да је њихов производ једноцифрен број, а то је 3 · 3 = 9. Слично, множи 2 · 2 = 4, па закључујемо да је најмањи такав број 11 459. 2) Слично, за четвороцифрени број множимо по два пара чинилаца, под условом да је њихов производ једноцифрен број, а то су 3 · 3 = 9 и 2 · 2 = 4, па је најмањи такав број 1 459. 25. Постоји ли природан број чији је производ цифара:
82
а) 52;
б) 198.
НАЈВЕЋИ ЗАЈЕДНИЧКИ ДЕЛИЛАЦ 1. а) Делиоци броја 14 су: б) Делиоци броја 18 су: в) Делиоци броја 24 су: г) Делиоци броја 60 су:
___, ___, ___, ___. ___, ___, ___, ___, ___, ___. ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___. ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___.
2. Нађи скуп свих делилаца броја 48 и скуп свих делилаца броја 60, па одреди пресек та два скупа. Који је број из пресека та два скупа највећи? Како називамо тај број? 3. Нађи скуп свих делилаца броја 30, скуп свих делилаца броја 42 и скуп свих делилаца броја 66, па одреди заједничке делиоце ових бројева. Који је највећи од свих заједничких делилаца? 4. Одреди заједничке делиоце за бројеве: а) 6 и 8; б) 5 и 10;
в) 8 и 12.
5. Одреди највећи заједнички делилац за бројеве: а) 3 и 10; б) 7 и 9; в) 12 и 13; Како се називају ти бројеви?
г) 25 и 26;
д) 15 и 44.
6. Који број је највећи заједнички делилац узајамно простих бројева? 7. Напиши по три пара бројева чији је највећи заједнички делилац број 1. 8. Растављањем на просте чиниоце бројеве 36 и 54 можеш одредити њихове заједничке делиоце и њихов највећи заједнички делилац. 36 = 2 · 2 · 3 · 3 54 = 2 · 3 · 3 · 3 D(36, 5г) = 2 · 3 · 3 = 18. Користећи овај поступак одреди највећи заједнички делилац бројева: а) 6 и 18; б) 48 и 72; в) 105 и 360; г) 180 и 280. 9. Тражењем заједничких простих чинилаца бројева 36 и 54 можеш одредити њихов највећи заједнички делилац. 36, 54, 2 18, 27, 3 6, 9, 3 2, 3
D(36, 54) = 2 · 3 · 3 = 18.
Користећи овај поступак, одреди највећи заједнички делилац бројева: а) 8 и 12; б) 6 и 9; в) 16 и 18; г) 56 и 72; д) 120 и 150; ђ) 72 и 180. 10. Одреди највећи заједнички делилац бројева (на оба начина): а) 12 и 18; б) 50 и 125; в) 70 и 90; г) 24, 60 и 96; д) 15, 75 и 225; ђ) 252, 546 и 630.
83
11. Одреди највећи заједнички делилац бројева: а) 32 и 56; б) 54 и 72; в) 132 и 420; д) 210, 336 и 462; ђ) 300, 525 и 645; е) 132, 462 и 726.
г) 280 и 960;
12. Користећи бројеве 2, 3, 5, 7, 11, 13, напиши по три пара бројева чији је највећи заједнички делилац број: а) 2; б) 10; в) 55. 13. Одреди највећи заједнички делилац бројева: а) 10 и 20; б) 8 и 16; в) 18 и 36; Ако a b , можеш закључити да је D(a, b ) = ____ .
г) 25 и 50.
14. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 189 и 441 без остатка? 15. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 235 и 391 да остатак при оба дељења буде 1? Решење: 234, 390, 2 Како је остатак при оба дељења 1, да остатак не би 117, 195, 3 постојао, оба броја ћемо умањити за 1, а затим за тако 39, 65, 13 добијене бројеве 234 и 390 тражимо највећи број којим 3, 5, се могу поделити ови бројеви без остатка, тј. њихов D (234,390 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 13 = 78 највећи заједнички делилац. 16. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 267 и 994 да остаци редом буду 3 и 4? 17. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 425, 1 770 и 1 393 тако да остаци буду редом 5, 6 и 7? 18. Одреди све вредности x за које је : а) D(x, 20) = 4, x ≤20 ;
б) D(9, x) = 9, x ≤ 45 .
19. У једном одељењу петог разреда има 12 дечака и 16 девојчица. У колико највише група их може поделити наставник, тако да у свакој групи буде једнак број девојчица и једнак број дечака? 20. Три канапа дужине 42m, 70m и 98m треба исећи на што веће делове једнаких дужина. Колика ће бити дужина сваког дела и колико таквих делова ће се добити из сваког канапа? 21. На Мајином рођендану њена мајка је послужила госте са 26 колача и 39 чаша сока. Колико гостију је имала Маја, ако је сваки гост добио једнак број колача и једнак број чаша сока?
84
22. За новогодишњу журку ученици су надували 60 црвених, 75 плавих и 105 жутих балона. У колико највише група могу поделити балоне, тако да у свакој групи буде једнак број балона исте боје? 23. Деда Милан је одлучио да своју велику њиву дужине 260m и ширине 80m издели на мање, једнаке њиве облика квадрата целобројних дужина. Која је највећа могућа дужина једне тако добијене њиве, и колико ће бити таквих њива? 24. Од 24 руже, 60 каранфила и 72 гербера направљен је највећи могући број једнаких букета. Колико ће бити таквих букета и колико ће коштати сваки букет ако је цена руже 40 динара, каранфила 5 динара и гербера 20 динара? 25. Посластичар је испекао кору за кремпиту правоугаоног облика дужине 66cm и ширине 42cm. Кору треба да исече на што веће једнаке парчиће у облику квадрата. Колика ће бити дужина сваког парчета? Колико ће парчића посластичар исећи? 26. Колаж папир је правоугаоног облика димензија 165mm x 210mm. Марко треба да га исече на што је могуће веће једнаке квадратиће. Колика је површина једног квадратића? Колико је квадратића исекао Марко? 27. У једној продавници треба направити новогодишње пакетиће за децу од 210 играчака, 315 чоколада и 420 кутија кекса. Колико је највише једнаких пакетића могуће направити и колико ће коштати сваки пакетић ако је цена једне играчке 100 динара, чоколаде 60 динара и кекса 20 динара? 28. На тренингу је било 225 дечака и 105 лопти. Подељени су на једнаке групе, тако да је свака група добила исти број лопти. Колико је било група и колико је свака група добила лопти? Колико решења има дати проблем?
ЗАЈЕДНИЧКИ САДРЖАЛАЦ И НАЈМАЊИ ЗАЈЕДНИЧКИ САДРЖАЛАЦ 1. а) Садржаоци броја 5 су: 5, 10, ____, ____, ____, ____, ____, … б) Садржаоци броја 8 су: 8, 16, ____, ____, ____, ____, ____, … в) Садржаоци броја 12 су: ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, … г) Садржаоци броја 23, мањи од 100 су: ____, ____, ____, ____ . 2. Садржаоци броја 6, мањи од 50 су: ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____ . Садржаоци броја 8, мањи од 50 су: ____, ____, ____, ____, ____, ____ . Заједнички садржаоци бројева 6 и 8, мањи од 50 су: ____, ____ . Најмањи заједнички садржалац бројева 6 и 8 је ____ . 3. а) Заједнички садржаоци бројева 3 и 5 су: 15, ____, ____, ____, ____, ____, … Најмањи заједнички садржалац бројева 3 и 5 је ____ . б) Заједнички садржаоци бројева 4 и 6 су: ____, ____, ____, ____, ____, … Најмањи заједнички садржалац бројева 4 и 6 је ____ . в) Заједнички садржаоци бројева 6 и 9 су: ____, ____, ____, ____, ____, … Најмањи заједнички садржалац бројева 6 и 9 је ____ .
85
4. Растављањем на просте чиниоце бројеве 6 и 10 можеш одредити њихов најмањи заједнички садржалац. 6=2·3 10 = 2 · 5 S(6, 10) = 2 · 3 · 5 = 30. Користећи овај поступак, одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве: а) 12 и 15; б) 8 и 10; в) 6 и 9; г) 18 и 24; д) 24 и 30; ђ) 12 и 60. 5. Тражењем свих простих чинилаца бројева 6 и 10 можеш одредити њихов најмањи заједнички садржалац. 6, 10, 2 3, 5, 3 S(6, 10) = 2 · 3 · 5 = 30. 1, 5, 5 1, 1 Користећи овај поступак, одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве: а) 10 и 15; б) 8 и 18; в) 12 и 20; г) 36 и 48; д) 24 и 30; ђ) 80 и 100. 6. Одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве (на два начина): а) 24 и 144; б) 40 и 112; в) 36 и 60; г) 6, 10 и 20; д) 10, 35 и 45; ђ) 24, 36 и 72. 7. Одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве: а) 60 и 75; б) 55 и 121; г) 24, 36 и 48; д) 24, 28 и 35; е) 45, 60 и 75; ж) 32, 40 и 56;
в) 72 и 90; ђ) 15, 18 и 21; 9) 28, 35 и 60.
8. Одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве: а) 5 и 6; б) 8 и 15; в) 9 и 10. Ако су бројеви a и b узајамно прости, можеш да уочиш да је S(a,b) = __ · __ . 9. Одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве: а) 3 и 12; б) 10 и 30; Ако a b , можеш да уочиш да је S(a,b) = __ .
в) 12 и 48.
10. Два брода полазе из исте луке на своја путовања; један сваких 25 дана, други сваких 35 дана. Ако крену на пут истовремено, после колико дана ће из полазне луке поново кренути истовремено? 11. Три тркача стартују истовремено на кружној стази. Први обиђе ту стазу за 10 минута, други за 12 минута, а трећи за 15 минута. После колико минута ће се сва три атлетичара заједно наћи поново на месту поласка?
86
12. Три аутомобила крећу истовремено са старта на кружној стази. Први аутомобил обиђе круг за 15 минута, други за 20 минута а трећи за 12 минута. Ако трка траје 2 сата и 30 минута, колико ће пута, не рачунајући старт, истовремено проћи кроз циљну равнину сва три аутомобила у току трке? 13. Два аутобуса полазе у 6 сати из исте станице. Један сваких 25 минута, други сваких 30 минута. Колико пута ће се ти аутобуси срести на почетној станици до 19 сати? 14. У једној улици дужине 3km на сваких 50m налази се светиљка, а на сваких 15m стабло. На самом почетку улице у линији су светиљка и стабло. Колико пута се та ситуација понавља у тој улици? 15. Обим предњег точка бицикла је 90cm, а обим задњег точка је 120cm. Колики најмањи пут треба да пређе бициклиста да би и предњи и задњи точак направили цео број обртаја? 16. Одреди најмањи природан број који се може поделити бројевима 120 и 144. 17. Нађи најмањи природан број који се може поделити бројевима 15, 40 и 54. 18. Одреди најмањи природан број који при дељењу са 64 и 72 даје остатак 3. Решење: Најмањи број који при дељењу и са 64 и са 72 нема остатак јесте најмањи заједнички садржалац тих бројева. S(64,72) = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3 = 576 Број који је за 3 већи од броја 576 при дељењу са 64 и 72 даје остатак 3, а то је број 579.
64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1, 1,
72, 36, 18, 9, 9, 9, 9, 3, 1,
2 2 2 2 2 2 3 3
19. Који је најмањи природан број који при дељењу са 42, 49 и 56 даје остатак 1. 20. Нађи x ако је: а) S (4, x ) =12 ; б) S ( x , 15) = 30 ; Колико има решења у сваком од случајева?
в) S (20, x , 5) = 20 .
21. Одреди најмањи број који при дељењу са 4 даје остатак 2, при дељењу са 5 даје остатак 3, а при дељењу са 6 даје остатак 4. 22. На столу су књиге које треба спаковати. Ако бисмо их паковали по 4, по 5 или по 6, сваки пут би остале по две књиге, а ако их пакујемо по 7, све ће бити спаковане. Колико најмање књига може бити на столу? 23. Који природан број a, 100 < a < 200 при дељењу са 2, 3, 4 и 5 даје остатак редом 1, 2, 3 и 4? 24. Одреди све троцифрене бројеве који при дељењу са 7 дају остатак 2, при дељењу са 9 дају остатак 4 и при дељењу са 12 дају остатак 7? 25. Нађи највећи четвороцифрени број који при дељењу са 3, 4, 5, 6, 7 даје остатак 2.
87
26. Реши укрштеницу: Водоравно: А: D(48, 7б). В: Највећи прост број шесте десетице. Г: Прости чиниоци броја 63. Д: Најмањи прост број. Ђ: Најмањи природан број. Е: S(22,26,14в). Усправно: А: Прости чиниоци броја 70. Б: Квадрат броја 7. Г: Сложен број чији су сви прости чиниоци 2, 7 и 23. Ђ: Производ четири двојке. Ж: Куб броја 2.
88
А
Б
В Г Д Е
Ђ Ж
РЕШЕЊА: ДЕЉИВОСТ 1. а) 5; б) 25; в) 144; г) 19. 2. а) 14 (2); б) 22 (3); в) 25 (9); г) 1010 (0). 3. 0, 1, 2, 3, 4. 4. 126 : 3 = 42, што значи да могу, и у сваком аутобусу ће бити по 42 ученика. 5. D3 ∩ A = {1, 2, 3, 5, 6, 15}. 6. а) D25 = {1, 5, 25}; б) D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 24}; в) D34 = {1, 2, 17, 34}; г) D45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45} д) D60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. 7. а) S 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24,…}; б) S8 = {8, 16, 24, 32, 40,…}; в) S35 = {35, 70, 105, 140,…}. 8. а) 90; б) 98. 9. а) 102; б) 100. 10. 24, 36, 72. 11. 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198. 12. а) тачно; б) нетачно; в) нетачно; г) тачно; д) тачно. 13. а) А = {1, 2, 3, 4, 6, 12}; б) А = {1, 2, 5, 10, 25, 50}. 14. 2 5 7 3 6 15 21 11 22 55 77 13 26 65 91 15. а) 2 48 и 2 192 , дакле 2 (48 +192) ; б) 5 55 и 5 70 , дакле 5 (55 +70) ; в) 4 160 и 4 44 , дакле 4 (160 + 44) ; г) 10 210 , 10 130 и 10 460 , дакле 10 (210 +130 + 460) . 16. а) 11 99 и 11 44 , дакле 11 (99 − 44) ; б) 3 126 и 3 30 , дакле 3 (126 − 30) ; в) 6 666 и 6 120 , дакле 6 (666 −120) . 17. а) 5 20 , дакле 5 20⋅123 ; б) 4 44 , дакле 4 44⋅295 ; в) 2 18 , дакле 2 123⋅21⋅18 . 18. а) 7 49 , 7 77 и 7 35 , дакле 7 (49 +77 − 35) ; б) 5 45 па 5 45⋅131 и 5 55 , дакле 5 (45⋅131− 55) ; в) Како 2 16 онда 2 16⋅25 и како 2 90 онда 2 31⋅90 , дакле 2 (16⋅25 + 31⋅90) .
ДЕЉИВОСТ ДЕКАДНИМ ЈЕДИНИЦАМА И БРОЈЕВИМА 2, 5, 4 И 25
1. На пример: 160, 220, 390, 810, 970. 2. 3100, 3200, 3300, 3400, 3500, 3600, 3700, 3800, 3900. 3. а) 250, 5000, 700, 850; б) 5000, 700. 4. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ⊥ ; ђ) ⊥ ; е) ; ж) . 5. 18, 34, 250. 6. 32, 34, 36, 38 и 40. 7. 16, 34, 52 и 70. 8. 222, 444, 666, 888. 9. 32, 48, 250, 1234, 5252. 10. а) Тачно; б) Нетачно; в) Нетачно; г) Тачно; д) Нетачно; ђ) Тачно; е) Тачно; ж) Тачно; з) Тачно. 11. а) * ∈ {0, 2, 4, 6, 8,}; б) * ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; в) ниједна цифра; г) * ∈ {0, 2, 4, 6, 8}; д) * ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 12. 234, 324, 342, 432, 13. 200, 202, 222, 250, 252, 500, 502, 520, 522, 550, 552. 14. 35, 60, 130, 12345. ⊥
89
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
15. На пример: 155, 170, 290, 315, 665 и 1230, 5505, 6000, 6075, 9600. 16. а) Тачно; б) Нетачно; в) Тачно; г) Тачно; д) Тачно; ђ) Тачно; е) Тачно; ж) Нетачно . 17. а) * ∈ {0, 5}; б) * ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; в) * ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; г) ниједна цифра; д) * ∈ {0, 5}. 18. А = {250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290}. 19. 100, 110, 120, 200, 210, 220. 20. 105, 150, 190, 195, 510, 590, 910, 950, 905, 915. 21. 30 =1⋅2⋅3⋅5 ; а) 165, 615, 235, 325; б) 1235, 1325, 2135, 2315, 3125, 3215, 1165, 1615, 6115. 22. Број n 25 136 850 1234 65432 565656 Двоцифрени завршетак броја n
25
36
50
34
32
56
23. Број је дељив са 4 када му је двоцифрени завршетак дељив са 4. 24. На пример: 20, 32, 40, 56, 64 и 136, 424, 496, 772, 880. 25. 324, 904, 3000, 8760, 9876. 26. а) Тачно; б) Нетачно; в) Тачно; г) Нетачно; д) Тачно; ђ) Тачно; е) Тачно; ж) Тачно . 27. а) * ∈ {2, 6}; б) * ∈ {0, 2, 4, 6, 8,}; в) * ∈ {1, 3, 5, 7, 9,}; г) * ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; д) ниједна цифра. 28. 100, 104, 112, 120, 124, 132, 140, 144, 200, 204, 212, 220, 224, 232, 240, 244, 300, 304, 312, 320, 324, 332, 340, 344, 400, 404, 412, 420, 424, 432, 440, 444. 29. 100 и 996. 30. Број је дељив са 25 када му је двоцифрени завршетак дељив са 25. 31. 225, 850, 6000, 975, 33000. 32. а) * ∈ { 5 }; б) * ∈ {2, 7}; в) ниједна цифра; г) * ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 33. а) Тачно; б) Нетачно; в) Тачно; г) Тачно; д) Нетачно; ђ) Тачно .
1.
ДЕЉИВОСТ БРОЈЕВИМА 3 И 9 Број n Збир цифара броја n
22 4
85
126
444
98765
300000
2. Број је дељив са 3 када му је збир цифара дељив са 3, а број је дељив са 9 када му је збир цифара дељив са 9. 3. На пример: а) 27, 39, 45, 63, 72 и 144, 183, 225, 345, 888; б) 27, 54, 63, 72, 90 и 252, 333, 414, 522, 774. 4. 42, 93, 141, 222, 87654. 5. а) Тачно; б) Нетачно; в) Тачно; г) Нетачно; д) Тачно; ђ) Тачно; е) Тачно; ж) Тачно . 6. а) a ∈ {0, 3, 6, 9}; б) b ∈ {2, 5, 8}; в) c ∈ {1, 4, 7}. 7. 1023 и 9876. 8. 204, 240, 402, 420, 234, 243, 324, 342, 423, 432, 306, 360, 603, 630, 246, 264, 426, 462, 624, 642. 9. 300, 303, 330, 333, 306, 360, 366, 600, 603, 630, 633, 606, 660, 666, 336, 363, 663, 636. 10. 27, 99, 252, 882, 4545. 11. 1026 и 9873. 12. а) Нетачно; б) Тачно; в) Тачно; г) Нетачно; д) Тачно; ђ) Тачно; е) Тачно; ж) Тачно . 13. а) a=4; б) b ∈ {0, 9}; в) c=3; г) x=2. 14. B = {99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171}. 15. 207, 270, 702, 720, 126, 162, 216, 261, 612, 621. 16. На пример: 57 и 78. 17. 102348. 18. а) 12, 42, 54, 306, 7002; б) 54, 306, 7002. 19. 984.
90
20. 216, 432, 576. 21. а) Тачно; б) Тачно; в) Нетачно; г) Тачно; д) Нетачно; ђ) Тачно. 22. 499 : 12 = 41 ( 7 ), 41 природан број дељив са 12, тo јест дељив и са 3 и са 4. 23. Како је 999 : 3 = 333, дакле 333 броја дељивих са 3, 999 : 4 = 249 ( 3 ), дакле 249 бројева дељивих са 4 и 999 : 12 = 83 ( 3 ), дакле 83 броја дељива са 12, то јест и са 3 и са 4. Помоћу Веновог дијаграма то се представља као на слици. Укупно 250 + 83 + 166 = 582 броја који су дељиви или са 3, или са 4 или са оба броја, што значи да има 999 – 582 = 417 бројева мањих од 1000 који нису дељиви ни са 3, ни са 4.
Дељив са 3
Дељив са 4
Дељив са 5
Дељив са 6
Дељив са 9
Дељив са 10
Дељив са 12
Дељив са 15
Дељив са 25
Дељив са 36
Дељив са 100
100 238 345 384 432 850 1275 3410 3456 4560 30000 321000
Дељив са 2
24. а) Тачно је да 9 999… 999 јер је 999… 999 = 9⋅111…111, па како 9 9 онда 9 9⋅111…111 то јест 9 999… 999 ; б) нетачно јер двоцифрени завршетак 22 није дељив са 4; в) Тачно је да 5 555…555 јер је последња цифра 5. 25. а) а=4; б) b ∈ {0, 3, 6, 9}; в) за d ∈ {0, 6} и c ∈ {1, 4, 7}, за d ∈ {2, 8} и c ∈ {2, 5, 8}, или за d=4 и c ∈ {0, 3, 6, 9}. 26.
да да не да да да не да да да да да
не не да да да не да не да да да да
да не не да да не не не да да да да
да не да не не да да да не да да да
не не не да да не не не да да да да
не не не не да не не не да не не не
да не не не не да не да не да да да
не не не да да не не не да да да да
не не да не не не да не не да да да
да не не не не да да не не не да да
не не не не да не не не да не не не
да не не не не не не не не не да да
ПРОСТИ И СЛОЖЕНИ БРОЈЕВИ
1. D7 = {1, 7}, D19 = {1, 19}, D23 = {1, 23}, D37 = {1, 37}, D59 = {1, 59}. Два. Прости бројеви. 2. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199. 3. а) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47; б) 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, в) 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. 4. а) D10 = {1, 2, 5, 10 }; б) D15 = {1, 3, 5, 15 }; в) D16 = {1, 2, 4, 8, 16 }; г) D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20 }; д) D34 = {1, 2, 17, 34 }. Сложени бројеви. 5. 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99. 6. На пример: прости: 101, 113, 127, 149, 163; сложени: 105, 110, 122, 144, 168. 7. 11, 19, 29 и 59. 8. На пример: 7 и 8, 15 и 16, 10 и 21, 18 и 25, 13 и 36. 9. D36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}; прости: 2, 3; сложени: 4, 6, 9, 12, 18, 36. 10. 2 и 5. 11. а) 10 = 2 · 5; б) 15 = 3 · 5; в) 36 = 2 · 2 · 3 · 3; г) 42 = 2 · 3 · 7. 12. 2 · 3 · 5 = 30. 13. а) 24 = 23 ⋅3 ; б) 30 = 2⋅3⋅5 ; в) 40 = 23 ⋅5 ; г) 55 = 5⋅11; д) 84 = 22 ⋅3⋅7 ; ђ) 96 = 25 ⋅3 ; е) 120 = 23 ⋅3⋅5 ; ж) 275 = 52 ⋅11.
91
14. а) 48 = 24 ⋅3 ; 60 = 22 ⋅3⋅5 ; 140 = 22 ⋅5⋅7 ; 27 = 33 ; 315 = 32 ⋅5⋅7 ; 81= 34 ; б) 144 = 24 ⋅32 ; 169 =132 ; 225 = 32 ⋅52 ; 210 = 2⋅3⋅5⋅7 ; 256 = 28 ; в) 360 = 23 ⋅32 ⋅5 ; 400 = 24 ⋅52 ; 900 = 22 ⋅32 ⋅52 ; 1188 = 22 ⋅33 ⋅11; 924 = 22 ⋅3⋅7⋅11; 1170 = 2⋅32 ⋅5⋅13 . 15. а) 26 = 2⋅13 , D26 = {1, 2, 13, 26}; б) 30 = 2⋅3⋅5 , D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}; в) 102 = 2⋅3⋅17 , D102 = {1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102}; г) 144 = 24 ⋅32 , D144 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144}. 16. а) 30; б) 165; в) 910. 17. 22 ⋅3⋅52 ⋅11= 3300 . 18. а) 2⋅32 ⋅53 = 2250 ; б) 23 ⋅32 ⋅52 =1800 . 19. 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361. 20. 5, 25, 125, 625. 22. а) Како је 72 = 2⋅2⋅2⋅3⋅3 = 8⋅9 , то су бројеви 8 и 9; б) како је 240 = 2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅5 =16⋅15 , то су бројеви 15 и 16. 23. а) Како је 210 = 2⋅3⋅5⋅7 = 6⋅5⋅7 , то су бројеви 5, 6 и 7; б) како је 720 = 2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅5 = (2⋅2⋅2)⋅(3⋅3)⋅(2⋅5)= 8⋅9⋅10 то су бројеви 8, 9 и 10. 25. а) Како је 52 = 2⋅2⋅13 , не, јер 13 није цифра; б) Како је 198 = 2⋅3⋅3⋅11, не, јер 11 није цифра.
НАЈВЕЋИ ЗАЈЕДНИЧКИ ДЕЛИЛАЦ
1. а) 1, 2, 7, 14; б) 1, 2, 3, 6, 9, 18; в) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. 2. D48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}, D60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}, D48 ∩ D60 = D48,60 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Највећи је број 12 и њега називамо највећи заједнички делилац бројева 48 и 60. 3. D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}, D66 = {1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}, D30,42,66 = {1, 2, 3, 6 }. Највећи је број 6. 4. а) D6,8 = {1, 2}; б) D5,10 = {1, 5}; в) D8,12 = {1, 2, 4}. 5. а) D (3, 10 )=1 ; б) D (7, 9 )=1; в) D (12, 13)=1 ; г) D (25, 26 )=1 ; д) D (15, 44 )=1. Узајамно прости бројеви. 6. Број 1. 7. На пример: 18 и 19, 30 и 49, 25 и 42. 8. а) 6 = 2⋅3 , 18 = 2⋅3⋅3 , D (6, 18 )= 2⋅3 = 6 ; б) 48 = 2⋅2⋅2⋅2⋅3 , 72 = 2⋅2⋅2⋅3⋅3 , D (48, 72)= 2⋅2⋅2⋅3 = 24 ; в) 105 = 3⋅5⋅7 , 360 = 2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅5 , D (105, 360 )= 3⋅5 =15 ; г) 180 = 2⋅2⋅3⋅3⋅5 , 280 = 2⋅2⋅2⋅5⋅7 , D (180, 280 )= 2⋅2⋅5 = 20 . 9. а) D (8, 12)= 4 ; б) D (6, 9 )= 3 ; в) D (16, 18 )= 2 ; г) D (56, 72)= 8 ; д) D (120, 150 )= 30 ; ђ) D (72, 180 )= 36 . 10. а) D (12, 18 )= 6 ; б) (50, 125)= 25 ; в) D (70, 90 )=10 ; г) D (24, 60, 96 )=12 ; д) D (15, 75, 225)=15 ; ђ) D (252, 546, 630 )= 42 . 11. а) D (32, 56 )= 8 ; б) D (54, 72)=18 ; в) D (132, 420 )=12 ; г) D (280, 960 )= 40 ; д) D (210, 336, 462)= 42 ; ђ) D (300, 525, 645)=15 ; е) D (132, 462, 726 )= 66 . 12. а) На пример: 6 и 14, 10 и 26, 66 и 70; б) 30 и 70, 70 и 110, 130 и 770; в) 55 и 110, 165 и 385, 110 и 1155. 13. а) 10; б) 8; в) 18; г) 25. D (a, b )= a . 14. Највећи број којим можеш поделити бројеве 189 и 441 без остатка јесте највећи заједнички делилац тих бројева, D (189, 441)= 63 . 117. решен 16. Тражимо D за бројеве 267 − 3 = 264 и 994 − 4 = 990 , D (264, 990 )= 66 .
92
17. Тражимо D за бројеве 425 − 5 = 420 , 1770 − 6 =1764 и 1393 −7 =1386 , D (420, 1764, 1386 )= 42 . 18. а) x ∈ {4, 8, 12, 16}; б) x ∈ {9, 18, 27, 36, 45}. 19. D (12, 16 )= 4 . 20. D (42, 70, 98 )=14 , дакле 14m биће дужина сваког дела. Од првог канапа ће се добити 42 : 14 = 3 дела, од другог 70 : 14 = 5 делова и од трећег 98 : 14 = 7 делова. 21. D (26, 39 )=13 , 13 гостију. 22. D (60, 75, 105)=15 , у 15 група. 23. D (260, 80 )= 20 , највећа могућа дужина њиве 20m ; 260 : 20 =13 , 80 : 20 = 4 , 13⋅4 = 52 такве њиве. 24. D (24, 60, 72)=12 , 12 букета, а сваки букет садржаће 24 : 12 = 2 руже, 60 : 12 = 5 каранфила и 72 : 12 = 6 гербера, а цена букета биће 2⋅40 + 5⋅5 + 6⋅20 = 225 динара. 25. D (66, 42)= 6cm , 66 : 6 =11 и 42 : 6 = 7 , па ће укупно бити 11⋅7 = 77 парчића. 26. D (165, 210 )=15mm , а 11⋅14 =154 квадратића. 27. D (210, 315, 420 )=105 пакетића, а цена сваког биће 2⋅100 + 3⋅60 + 4⋅20 = 460 динара. 28. Задатак има три решења јер бројеви 225 и 105 имају заједничке делиоце D225, 105 = {1, 3, 5, 15} (Број 1 не узимамо у обзир јер нема сврхе сврстати их у једну групу). 1) Могу се поделити у 15 група и тада ће у свакој групи бити по 15 дечака и свака ће група добити по 7 лопти; 2) могу се поделити у 5 група и тада ће у свакој групи бити по 45 дечака и свака ће група добити по 21 лопту; 3) могу се поделити у 3 групе и тада ће у свакој групи бити по 75 дечака и свака ће група добити по 35 лопти.
НАЈМАЊИ ЗАЈЕДНИЧКИ САДРЖАЛАЦ
1. а) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …; б) 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …; в) 12, 24, 36, 48, 60, 72, …; г) 23, 46, 69, 92. 2. Садржаоци броја 6 су 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48; садржаоци броја 8 су 8, 16, 24, 32, 40, 48; заједнички садржаоци бројева 6 и 8 су 24, 48; најмањи заједнички садржалац бројева 6 и 8 је 24. 3. а) 15, 30, 45, 60, 75, 90, …, најмањи је број 15; б) 12, 24, 36, 48, 60, ..., најмањи је број 12; в) 18, 36, 54, 72, 90, ..., најмањи је број 18. 4. а) S (12, 15)= 60 ; б) S (8, 10 )= 40 ; в) S (6, 9 )=18 ; г) S (18, 24 )= 72 ; д) S (24, 30 )=120 ; ђ) S (12, 60 )= 60 . 5. а) S (10, 15)= 30 ; б) S (8, 18 )= 72 ; в) S (12, 20 )= 60 ; г) S (36, 48 )=144 ; д) S (24, 30 )=120 ; ђ) S (80, 100 )= 400 . 6. а) S (24, 144 )=144 ; б) S (40, 112)= 560 ; в) S (36, 60 )=180 ; г) S (6, 10, 20 )= 60 ; д) S (10, 35, 45)= 630 ; ђ) S (24, 36, 72)= 72 . 7. а) S (60, 75)= 300 ; б) S (55, 121)= 605 ; в) S (72, 90 )= 360 ; г) S (24, 36, 48 )=144 ; д) S (24, 28, 35)= 840 ; ђ) S (15, 18, 21)= 630 ; е) S (45, 60, 75)= 900 ; ж) S (32, 40, 56 )=1120 ; з) S (28, 35, 60 )= 420 . 8. а) S (5, 6 )= 30 ; б) S (8, 15)=120 ; в) S (9, 10 )= 90 ; S (a, b )= a⋅b . 9. а) S (3, 12)=12 ; б) S (10, 30 )= 30 ; в) S (12, 48 )= 48 ; a b ⇒ S (a, b )= b . 10. Треба наћи најмањи заједнички садржалац за бројеве 25 и 35, S (25, 35)=175 дана. 11. S (10, 12, 15)= 60 минута.
93
12. S (15, 20, 12)= 60 минута је потребно да једном обиђе стазу, а како возе 2 сата и 30 минута, то јест, 150 минута, 2 пута ће проћи кроз циљну равнину сва три аутомобила у току трке. 13. S (25, 30 )=150 минута, а срешће се 5 пута. 14. S (50, 15)=150 метара, а ситуација ће се поновити 3000 : 150 = 20 пута. 15. S (90, 120 )= 360 cm . 16. S (120, 144 )= 720 . 17. S (15, 40, 54 )=1080 . 19. S (42, 49, 56 )=1176 , 1176 +1=1177 . 20. а) x ∈ {12, 6, 3}; б) x ∈ {30, 10, 6}; в) x ∈ {10, 4, 2, 1}. 21. Да је тај број за 2 већи, не би било остатка ни при дељењу са 4, ни са 5, ни са 6, и то би био најмањи заједнички садржалац тих бројева S (4, 5, 6 )= 60 , а тражени број је за 2 мањи 60 − 2 = 58 . 22. Тражимо најмањи заједнички садржалац за бројеве 4, 5 и 6, S (4, 5, 6 )= 60 . Број 60 увећамо за 2 (јер при дељењу са 4, 5, 6 остатак је 2) и проверимо да ли је тај број дељив са 7 (јер при дељењу са 7 нема остатка), 60 + 2 = 62 , 62 није дељиво са 7, па тражимо следећи заједнички садржалац и увећамо га за 2, 60⋅2 + 2 =120 + 2 =122 , али ни он није дељив са 7 па настављамо поступак; 60⋅3 + 2 =180 + 2 =182 и овај број је дељив са 7, па је 182 тражени број. 23. Пошто су остаци за 1 мањи од делиоца, најпре ћемо наћи најмањи заједнички садржалац за бројеве 2, 3, 4 и 5, па од њега одузети 1, S (2, 3, 4, 5)= 60 , 60 −1= 59 али број 59 није између 100 и 200, па тражимо следећи заједнички садржалац и умањујемо га за 1, 60⋅2 −1=120 −1=119 је тражени број и 60⋅3 −1=180 −1=179 такође је тражени број. 24. Сви остаци су за 5 мањи од делиоца, па као и у претходном примеру најпре ћемо наћи најмањи заједнички садржалац за бројеве 7, 9, и 12, па од њега одузети 5, S (7, 9, 12)= 252 , 252 − 5 = 247 , даље 252⋅2 − 5 = 504 − 5 = 499 , 252⋅3 − 5 = 756 − 5 = 751 . Дакле, тражени бројеви су 247, 499 и 751. 25. S (3, 4, 5, 6, 7)= 420 , 420 + 2 = 422 је троцифрен, а ми тражимо четвороцифрен, и то највећи, па најмањи заједнички садржалац морамо да помножимо са количником бројева 9999 (највећи четвороцифрени број) и 420, 9999 : 420 = 23 (остатак 339); 420⋅23 = 9660 , па је тражени број 9660 + 2 = 9662 . 26. А Б 2 4 В 5 9 Г 3 7 Д Ђ 2 1 Е Ж 2 8 6
94
РАЗЛОМЦИ I ДЕО ПОЈАМ РАЗЛОМКА 1. Испод слике упиши разломак који одговара обојеном делу.
2. Испод слике упиши разломак који одговара обојеном делу.
95
3. На слици обој део који одговара разломку испод слике.
2 3
3 5
7 8
11 6
3 10
11 4
4 7
10 3
4. Графички представи дате разломке.
1 4
96
4 5
5 9
9 10
3 2
9 4
4 3
11 6
5. Милица је поделила чоколаду на 5 једнаких делова. Она је узела 2 дела, а 1 део је дала Вуку. Који део чоколаде је добио свако од њих? Да ли је остало још чоколаде, и ако јесте, колико? 6. Напиши све разломке тако да им је бројилац из скупа B, B = { x x ∈ N , 2 < x <11} , а именилац је број 15. 7. Напиши све разломке тако да им је именилац из скупа I, I = { x x ∈ N , 13 ≥ x > 5} , а бројилац је број 4. 8. Разломке
1 2 4 9 12 24 напиши у облику количника. , , , , , 2 3 7 5 6 11
9. Количнике 3 : 4 , 4 : 3 , 7 : 8 , 9 : 17 , 45 : 7 , 44 : 11 напиши у облику разломака. 10. Одреди непознате бројеве: y 1 а) =1, б) = 7 , 4 n
в)
56 =7 , x
г)
m = 21 . 10
11. Израчунај: 1 3 2 11 15 а) броја 60 б) броја 80 в) броја.40 г) броја 100 д) броја 707. 3 4 5 10 7 12. Једно паковање садржи 30 бомбона. Колико бомбона има у 13. Ако је 14. Ако
1 1 2 7 паковања? , , , 2 5 3 10
1 траке дуга 10cm, колико је дуга цела трака? 2
3 одељења чине девојчице, којих има 15, колико ученика има у том одељењу? 5
15. Ако је Ана прочитала 35 страна књиге, која укупно има 175 страна. Који део књиге је она прочитала? 16. Ненад има 50 динара, а то је само петина новца која му треба да купи омиљени стрип. Колико му новца недостаје?
97
17. Дужник је исплатио
3 дуга, што износи 3150 динара. Колики је био дуг? 5
18. Марија је прочитала 17 страна књиге, и мама јој је рекла да ће у наредних 7 дана прочитати целу књигу ако настави да чита том брзином. Који део књиге је Ана прочитала првог дана? Колико страна има књига коју Ана чита? 19. Колико износи
3 1 броја m, ако је број m једнак броја 72. 4 2
ПРОШИРИВАЊЕ И СКРАЋИВАЊЕ РАЗЛОМАКА 1. Разломке
1 2 8 , и прошири са 3, 4 и 5. 7 5 13
а)
1 1⋅3 = = 7 7⋅
б)
2 = 5
1 1⋅ = = 7 7⋅
1 1⋅ = = 7 7⋅4
2⋅ = 5⋅
2 = 5
в) 8 = ⋅ = 13 ⋅
2⋅ = 5⋅
2 ⋅ = = 5 ⋅
8 ⋅ = = 13 ⋅
8 ⋅ = = 13 ⋅
2. Попуни празна места тако да наведене једнакости буду тачне. 3 75 7 28 9 108 = = = = = б) в) а) = 4 20 15 135 11 44 г)
19 152 = = 17 119
д)
43 172 = = 125 1000
16 64 = = 25 175
ђ)
3. Дате разломке прошири тако да им именилац буде број 100 . 4 4⋅ 1 1⋅ = = б) = а) = 5 5⋅ 100 4 4⋅25 100 в)
12 = 25
⋅ ⋅
=
100
г)
3 = 10
⋅ ⋅
=
100
1 2 3 5 4. Колико дванаестина је садржано у: , , , ? 2 3 4 6 Решење: Како је 5 1 6 2 3 = = = = 2 12 , 3 12 , 4 12 , 6 то је у бројевима
98
,
1 2 3 5 , , , редом садржано 6, ___, ___ и ___ дванаестина. 2 3 4 6
5. Дате разломке прошири тако да им бројилац буде број 60 . 1 1⋅60 60 3 ⋅ 60 4 4⋅ 60 = = = = а) = ; б) ; в) = ; 4 4⋅ 10 ⋅ 5 5⋅ 12 ⋅ 60 6 ⋅ 60 ⋅ 60 = = = = ; д) 6 = = ; ђ) 15 = . г) = 1 ⋅ 25 ⋅ 1 ⋅ 6. Дате разломке прошири тако да им именилац буде најмањи заједнички садржалац њихових именилаца. 1 1 1 ⋅ 1 1⋅ = = и = , (јер је S(2,3) = 6 ); а) и = 2 3 2 2⋅3 6 3 3⋅2 6 3 3 3 ⋅ 3 ⋅ = = = и = , (јер је S(4,5)= ); б) и 4 5 4 ⋅ 20 5 ⋅ 20 2 ⋅ 1 ⋅ 2 1 = = = и = , (јер је S(3, 4)= ); в) и 3 ⋅ 4 ⋅ 3 4 5 2 2 ⋅ 5 ⋅ = = = = и , (јер је ____________ ); г) и 6 11 11 ⋅ 6 ⋅ 7 7 7 ⋅ 7 ⋅ и и = , (јер је ____________ ); д) = = = 16 9 16 ⋅ 9 ⋅ 1 3 1 ⋅ 3 и , (јер је S(2, 4)= ); ђ) и = = 2 4 2 2⋅2 4 4 2 ⋅ 13 2 13 = и и = , (јер је ____________ ); е) 5 ⋅ 25 5 25 7 5 7 ⋅ 5 ⋅ ж) и и , (јер је S(9,12)= ); = = = = 9 12 9 9⋅ 4 36 12 12⋅3 36 1 3 1 ⋅ 3 ⋅ з) и и , (јер је ____________ ); = = = = 4 14 4 ⋅ 28 14 ⋅ 7 ⋅ 7 21 21 ⋅ = = и и , (јер је ____________ ). и) = = ⋅ 10 25 10 25 ⋅ 7. Дате разломке прошири тако да им именилац буде најмањи заједнички садржалац њихових именилаца. 1 1 1 3 2 5 2 3 11 5 1 17 б) , , в) , , г) , , . а) , , 4 7 14 6 4 32 2 3 5 9 8 15 8. Бројеве 0, 1, 2, 5, 8, 10 напиши у облику разломака чији именилац је 1. 9. Бројеве 1, 4, 6, 9, 11 напиши у облику разломака чији именилац је 3. 10. Бројеве 2, 6, 9, 18 напиши у облику разломака чији бројилац је 18.
99
11. Скрати разломак
120 са: 360
12. Сваки од разломака
а) 2;
б) 3;
в) 6;
6 18 54 144 скрати са: , , , 12 24 36 162
а) 2;
г) 120.
б) 3;
в) 6.
13. Изврши скраћивање разломака тако да добијеш несводљиве разломке. 6 6:3 4 4:2 75 : = = ; б) ; в) а) = = = = 15 15 : 10 10 : 2 135 : г)
16 = 36
: :
=
;
д)
69 = 96
: :
=
;
ђ)
108 = 405
: :
=
; .
14. Изврши скраћивање разломака тако да добијеш несводљиве разломке. 16 45 64 75 78 420 540 573 132 3300 , , , , , , , , , ; а) 20 105 160 225 324 560 1260 955 111111 5500 2⋅3 4⋅3 4⋅5 15⋅3 16⋅3 16⋅9 21⋅35 18⋅45 48⋅21 , , , , , , , , ; б) 4⋅5 8⋅9 3⋅6 11⋅10 27⋅8 15⋅8 25⋅28 25⋅51 49⋅22 2⋅3⋅5 4⋅3⋅12 35⋅18⋅24 12⋅81⋅15 48⋅26 66⋅72 , , , , , . в) 4⋅5⋅7 8⋅9⋅15 36⋅55⋅42 27⋅24⋅50 13⋅160⋅96 144⋅33⋅12 15. Попуни празна места тако да добијеш тачна тврђења. 3 ; = 1 12 1 б) = ; 3 12 3 в) = ; 6 2
21 ; = 3 1 2 ; = 3 21 15 ; = 40 8
а)
4=
16
3 15 ; = 8 18 3 ; = 30
16. Заокружи слово испред тачних тврђења. б) 16 = 4 ; в) 75 = 15 ; а) 8 = 4 ; 10 5 32 9 250 50 17. Допиши шта недостаје: 1 2 l; а) 2dl = l = 10 г) 2cm =
100
m=
m;
;
б) 15ml =
15
д) 3cm =
3
l= dm;
2
l;
6=
; 7 17 68 ; = 25 48 3 . = 64
г) 75 = 3 ; 250 10
в) 23ml =
23
ђ) 77dm =
д) 24 = 3 . 56 8
cl=
cl;
m=
m.
18. Који део часа представља: 3min, 5min, 10min, 12min, 45min, 60min, 80min и 195min? 19. Који део највећег шестоцифреног броја чини најмањи двоцифрени непаран број?
100
20. Који део производа, најмањег парног броја дељивог са 9 и највећег троцифреног броја дељивог са 3 чије су све цифре различите, чини збир броја 50 и најмањег сложеног броја?
21. Замени звездице цифрама тако да добијеш тачну једнакост 22. Одреди разломак једнак разломку
3* 2 = . 5* 3
7 код кога је збир бројиоца и имениоца једнак 140. 13
7 7⋅k 7 (разломак смо проширили бројем k). = 13 13⋅k 13 Онда је, по услову задатка 7⋅k + ⋅ =140 , односно ⋅k =140 . Из
Решење. За природан број k важи
последње једначине закључујемо да је k = Дакле, тражени разломак је
.
7⋅ ⋅
=
.
2 23. Одреди разломак једнак разломку такав да је: 1) збир бројиоца и имениоца 135, 3 2) разлика имениоца и бројиоца 12, 3) производ бројиоца и имениоца 1350.
24. Одреди природан број n и прост број p тако да важи
n 1 = . 2008 p
УПОРЕЂИВАЊЕ РАЗЛОМАКА 1. Упореди разломке: 2 4 7 a) ; , , 15 15 15 6 5 11 ; б) , , 23 23 23 45 39 7 в) ; , , 91 91 91 8 23 2 г) ; , , 15 15 15 106 17 88 д) . , , 147 147 147 2. Упореди разломке: 12 12 12 a) ; , , 17 23 101
2 4 7 < < , јер је 2 < 4 < 7 15 15 15 _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________
12 12 12 > > , јер је 17 < 23 <101 17 23 101
101
3 3 3 ; , , 7 27 37 25 25 25 ; в) , , 6 18 180 89 89 89 г) ; , , 105 15 51 1006 1006 1006 д) . , , 143 43 134
б)
_____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________
3. Упиши знак < или > тако да добијеш тачно тврђење. 3 7 2 4 ; б) ; а) 1 10 5 25 2 7 4 7 ; д) ; г) 7 8 11 15 14 29 12 9 е) ; ж) ; 15 36 35 28
5 3 31 ђ) 64 45 з) 52
33 ; 18 21 ; 45 25 . 36
4. Упиши знак <, > или = тако да добијеш тачно тврђење. 3 33 2 1 а) ; б) ; 4 44 13 5 18 5 34 35 г) ; д) ; 23 8 15 16 8 12 43 4343 е) ; ж) ; 153 1349 88 8888
17 9 31 ђ) 48 97 з) 99
153 ; 81 3 ; 5 74 . 77
в)
в)
5. Дате разломке поређај по величини у растућем поретку (од најмањег до највећег). 3 2 11 5 5 6 17 17 1 б) 1, , а) , , , , ; , , ; 4 3 12 6 8 5 14 35 2 3 15 5 15 7 7 5 13 11 3 в) , ; г) , , , , , , , . 7 24 12 18 24 3 4 12 6 2 Решење. 1) Разломке ћеш упоредити тако што ћеш их прво проширити тако да свима именилац , први разломак проширујеш са 6, други са ____, буде исти. Како је S(4,3,12,6,8)= трећи са ____, четврти са ____ и пети са ____ . Сада треба да упоредиш разломке 18 < < < 22 , . Како за њихове бројиоце важи 15 < , , , , 24 закључујеш да је 5 11 . < < < < 2) Разломке ћеш упоредити тако што ћеш их прво проширити тако да свима бројилац , први разломак проширујеш са ____, други са буде исти. Како је S(1,6,17,17,1)= 17, трећи са ____, четврти са ____ и пети са ____. Сада треба да упоредиш разломке 102 . Како за њихове имениоце важи 84 < , , , , < < < 210 , 85 закључујеш да је 35
102
<
<
<
<
.
4 5 6. Вукашин и Александар читају исту књигу. Вукашин је прочитао , а Александар 9 12 књиге. Ко је прочитао више? 2 3 свог времена употребио за учење, а за тренирање тениса. Чему је Новак 7 8 посветио више времена?
7. Новак је
2 5 8. Три радника су радила исти посао. Првом је било потребно сата, другом сата, а 3 6 8 трећем сата. Ко је од њих најбрже обавио посао? 9 7 2 33 9. Из три једнака бурета је истекло редом од укупне количине воде. У ком бурету , , 20 5 50 је остало највише воде? 10. Наброј све разломке чији именилац је: а који су мањи од 1.
а) 2;
б) 3;
в) 5;
г) 11;
д) 15,
11. Наброј све разломке чији именилац је: а који су већи од 3, а мањи од 4.
а) 4;
б) 6;
в) 8;
г) 13;
д) 16,
12. Напиши 6 разломака који су већи од
3 4 , а мањи од . 5 5
13. Нађи природне бројеве који су решења следећих неједначина: 1 n 5 2 8 4 2 k 1 2) < < 3) > > 1) < < 3 12 4 3 18 6 5 m 7
4)
4 30 12 < < . 9 l 17
Решење. Да би одредио тражене бројеве, разломке проширујеш тако да им или имениоци или бројиоци буду једнаки. n 1) Како је S(3,12, 4) =12 , проширивањем датих разломака добијаш . Дакле, < < 12 12 12 < n < , то јест n ∈ { , , , , , , , , , } . 14. Одреди све просте бројеве p за које је тачна неједнакост 15. Ако је b = a + 5 , a, b ∈ N , шта је веће
12 1 4 < < . 67 p 3
a b или ? 12 8
16. Одреди елементе скупова: ⎧a ⎧b a ⎫ 5 ⎫ A =⎨ a ∈ N0 , <1⎬ и B =⎨ b ∈ N , ≥1⎬ , као и A ∩ B , A ∪ B , A \ B . 5 ⎭ b ⎭ ⎩5 ⎩5
103
САБИРАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ ИМЕНИЛАЦА 1. Сабери разломке: 3 1 3 +1 а) + = = 5 5 5 7 1 ; г) + = 6 6
2 4 2+4 + = = 9 9 7 17 д) ; + = 18 18
;
б)
2. Сабери разломке: 1 5 3 1+ 5 + 3 а) + + = = 2 2 2 2 13 3 7 ; в) + + = 10 10 10 2 5 6 4 д) + + + = 16 16 16 16 3. Представи разломке
;
;
;
3 4 + = 10 10 11 15 ђ) + = 23 23
в)
2 3 1 2 + 3 +1 + + = = 7 7 7 7 1 10 г) + + = ; 4 4 4 21 14 48 1 ђ) + + + = 25 25 25 25
; .
б)
;
.
5 7 7 9 11 , , , и на више начина као збирове два разломка 8 10 4 5 9
једнаких именилаца. 4. Израчунај: 2 3 2 ; а) 1+ = + = 3 3 3 3 7 7 в) 3 + = + = 10 10 2 д) 5 + = + = 11
; ;
1 1 б) 3 + = ; + = 4 4 4 19 г) 4 + = + = 100 14 ђ) 11+ = + = 25
; .
5. Дате разломке представи као збир природног броја и разломка. 9 2⋅4 1 5 3 а) = + ; б) = ; + = + = + =1+ 4 4 4 1 3 3 3 17 27 ; г) ; в) = + = + = + = + 10 5 34 101 ; ђ) . д) = + = + = + = + 7 37
104
ВРСТЕ РАЗЛОМАКА. МЕШОВИТИ БРОЈЕВИ 1. Напиши све праве разломке са имениоцем: а) 2; б) 3; в) 4;
г) 5;
д) 10;
ђ) 12.
2. Напиши све праве разломке са имениоцем 100, чији су бројиоци: а) дељиви бројем 7; б) дељиви бројем 11; в) дељиви бројем 29. 3. Из скупа: ⎧ 1 3 5 7 18 354 56 ⎫ ⎬, , , , а) ⎨ , , , ⎩ 2 2 4 12 23 38 1167 ⎭
⎧4 17 18 131 707 ⎫ ⎬ , , , б) ⎨ , 2, 1, ⎩5 8 7 64 7007 ⎭
издвој подскуп који чине прави разломци, а неправе разломке представи у облику мешовитог броја. 4. Дати су скупови A = {1, 3, 5} и B = {2, 4, 6, 7} . Напиши све праве разломке чији бројиоци припадају скупу А, а имениоци скупу B. 5. Напиши све разломке: 1) мање од 1, 2) веће или једнаке 1, чији су бројиоци и имениоци елементи скупа S = {1, 2, 4, 5, 7, 11} . 6. Попуни празна места тако да добијеш тачне једнакости. 28 25 а) 1= ; б) 1= ; в) 2 = ; г) ; = 4 ; д) 5= 3 10 4 7. Неправе разломке
74
ђ)
=2 .
5 9 17 27 34 101 , , , , , представи у облику мешовитог броја. 3 4 10 5 7 37
1 7 19 2 14 a , 5 , 11 представи у облику . 8. Мешовите бројеве 12 , 3 , 3 , 4 25 b 3 4 10 100 11 ⎧9−n n+6 n 3 9 ⎫ ⎬ , садржи , , , , 9. Одреди све природне бројеве n за које скуп S, S =⎨ ⎩ 8 10 5 6 − n 8 + n ⎭ само праве разломке.
ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС РАЗЛОМАКА 1. Дате разломке преведи у децимални запис: 3 5 3 а) =; =; 1 =; 10 10 10 2 51 3 б) =; =; 1 =; 100 100 100 7 47 789 в) =; =; =; 1000 1000 1000
2 =; 10 25 4 =; 100 205 1 =; 1000 3
23 =; 10 304 =; 100 34 2 =; 100
59 =; 10 509 =; 100 9076 =. 1000
105
2. Одговарајућим проширивањем дате разломке преведи у децимални запис: 1 1 3 6 3 1 а) = _____ ; = _____ ; = _____ ; = _____ ; 1 = _____ ; 13 = _____ ; 2 5 2 5 5 2 3 5 3 19 67 304 б) = _____ ; = _____ ; = _____ ; 4 = _____ ; = _____ ; = _____ ; 4 4 50 50 20 25 407 117 7 9 303 734 в) = _____ ; = _____ ; = _____ ; = _____ ; = _____ ; = _____ . 500 200 8 125 250 125 a , или мешовит број. b 2, 4 ; 101,2 ; 2,25 ; 31,04 ; 23,035 ; 1,004 ; 6,036 .
3. Дате децималне записе преведи у запис а) 0,7 ; б) 0,11; в) 0,999 ;
1,5 ; 45,05 ; 5,505 ;
4. Разломке: 1 2 5 4 12 56 106 6543 7 4 10 25 б) ; в) 3 , 2 , 10 , 1 . а) , , , ; , , , 3 3 6 7 11 15 45 28 9 21 13 39 запиши у децималном запису и за сваки одреди одговарајући период. 5. Децималне записе: а) 0,(3) ; 1,(1) ; a преведи у запис . b 6. Децималне записе: а) 0,0(6) ; 1,10(1) ; a преведи у запис . b
б) 8,(45) ; 10,(21) ;
в) 33,(786) ; 404,(044) ;
б) 0,0(45) ; 121,012(21)
в) 33,0(786) ; 404,0(044) ;
7. Наведене мере изрази у метрима: 7dm , 24dm , 26cm , 108cm ,
2mm ,
10101mm ,
1km 5dm 3cm 6mm .
ПОРЕЂЕЊЕ РАЗЛОМАКА ДАТИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. Упиши у а) 0,2 2. Упиши у а) 0,02
106
знак < или > тако да добијеш тачно тврђење. 0,5 ;
б) 0,02
0,05 ;
в) 0,002
0,005 .
знак < или > тако да добијеш тачно тврђење. 0,2 ;
б) 0,3
0,03 ;
в) 0,06
0,006 .
3. Упиши у
< или > тако да добијеш тачно тврђење. 0,04 ;
а) 0,05 4. Упиши у
б) 2,786
2,785 ;
в) 99, 4562
99, 4568 .
< или > тако да добијеш тачно тврђење. 0,307 ;
а) 0,298
б) 10,583
10,62 ;
в) 0,043
0,2 .
5. Дати су скупови: ⎧1 2 5 4⎫ ⎧ 3 55 103 6543⎫ ⎧ 7 3 13 29 ⎫ ⎬ , C =⎨3 , 3 , 10 , 10 ⎬. A =⎨ , , , ⎬ , B =⎨ , , , ⎩2 5 6 7 ⎭ ⎩ 5 8 25 125 ⎭ ⎩ 10 20 50 1800 ⎭ a Разломке који припадају истом скупу (A, B или C) запиши на исти начин (у облику или у b децималном запису), а затим их поређај у растућем поретку. 6. Дате разломке поређај по величини у опадајућем поретку (од највећег до најмањег). a) 0, 4 ; 4,04 ; 4, 4 ; 0, 44 ; 40, 4 ; 0, 404 ; б) 0,11; 1,1; 1,001; 0,011; 0,1001; 10,01. 7. Упиши у а)
1 4
<, > или = тако да добијеш тачно тврђење. 0,2 ; 3 ; 25
г) 0,127 8. Упиши у
б)
1 6
0,16 ;
д) 10,583
в)
2 10 ; 3
1 8
0,125 ;
ђ) 0, 45
6 . 13
<, > или = тако да добијеш тачно тврђење.
1 а) m 40cm ; 4 1 г) дана 8 сати; 3
1 1 в) kg 1,6dl; l 6 8 3 д) године 7,5 месеци. 4
б)
125g ;
ПРИБЛИЖНА ВРЕДНОСТ БРОЈА 1. Попуни таблицу дати број
0,7257
55,555...
8,5238
100,00199
645,39645
број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале
107
2. У супермаркету продају се паковања од по 5 чоколада и једно такво паковање кошта 335,99 динара. Колика је онда цена једне чоколаде из тог паковања заокружена на две децимале? 3. Цена паковања јабука од 3kg је 199,9 динара. Јанко жели да купи само 1kg и договорио се са продавачицом да рачун заокруже на цео број динара. Ко је од њих двоје при том на малом губитку? 4. Попуни таблицу 2 3
дати број
8 15
9 22
132 35
77 108
број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале
БРОЈЕВНА ПОЛУПРАВА 1. На датој бројевној полуправој представи разломке
0
3 7 4 1 4 , 2, , , 1 и 2 . 5 4 3 2 15
1
2
2. Назначеним тачкама на датој бројевној полуправој придружи одговарајуће разломке, па их затим напиши у растућем поретку (поредак прочитај са бројевне полуправе).
0
2
3. Прикажи на бројевној полуправој решења неједначина: 1 9 3 1 4 5 а) < x < ; б) ≤ y < 3 ; в) < z ≤ ; 2 4 5 6 5 4
1 г) 2,9 ≥ a ≥ . 3
Решење: а)
0
108
1 2
1
2
9 4
3
4. Напиши неједначину која одговара назначеном скупу на датој полуправој. а)
2 3
0
221 5
1
3
4
б)
0
3 8
1
2
1
2
3
3
3 5
в)
0
4 5
2
17 3 12
г)
0
1
1
7 12
2
2
4 15
Решење:
⎛2⎞ 2 а) Због пуног кружића код тачке A⎜ ⎟ важи ≤ x , а због празног кружића код тачке ⎝3⎠ 3 ⎛ 1⎞ 1 2 1 B⎜2 ⎟, важи x < 2 . Дакле, тражена неједначина је ≤ x < 2 . ⎝ 5⎠ 5 3 5 ⎛ 1⎞ 5. На бројевној полуправој дата је тачка A⎜ ⎟. Одреди положај тачака B, C и D, ако се тачка ⎝4⎠ 3 5 7 B налази десно од тачке A, тачка C налази десно од тачке B, а тачка D се налази 4 4 4 лево од тачке C.
0 A( 1 ) 4
109
РАЗЛОМЦИ I ДЕО РЕШЕЊА ПОЈАМ РАЗЛОМКА 1 , 2 4 2. , 3
1.
1 3 2 5 5 4 11 7 1 1 1 3 , , , , , , , , , , , . 3 4 5 6 8 9 15 10 3 2 4 5 13 5 11 29 23 4 11 7 1 1 1 3 , , , , , , , , , , , . 8 2 6 12 10 9 15 10 3 2 4 5
3.
2 3
3 5
7 8
11 6
3 10
11 4
4 7
10 3
4.
1 4
4 5
5 9
9 10
3 2
9 4
4 3
11 6
111
5. Милица је добила
2 1 2 , Вук , док је неподељено остало те чоколаде. 5 5 5
3 4 10 , ,..., 15 15 15 4 4 4 7. , ,..., 6 7 13 1 2 4 9 12 24 8. =1: 2, = 2 : 3, = 4 : 7, = 9 : 5, =12 : 6 = 2, = 24 : 11. 2 3 7 5 6 11 3 4 7 9 45 44 . 9. 3 : 4 = , 4 : 3 = ,7 : 8 = ,9 : 17 = , 45 : 7 = , 4 = 44 : 11= 4 3 8 17 7 11 10. n =1, y = 28 , x = 8 , m = 210
6.
11. а) 60 : 3 = 20 ; б) (80 : 4)⋅3 = 60 ; в) (40 : 5)⋅2 =16 ; г) (100 : 10)⋅11=110 ; д) (707 : 7)⋅15 =1515 . 1 1 2 7 редом садрже 15,6,20,21 бомбону. , , , 2 5 3 10 13. Цела трака има две (једнаке) половине, па је њена дужина 2⋅10 = 20 cm.
12. Дати делови
14. Једна петина одељења је 15 : 3 = 5 ученика, па у том одељењу има 5⋅5 = 25 ученика. 15. Како је 175 : 35 = 5 , Ана је прочитала
1 књиге. 5
4 16. Ненад има петину потребног новца, па му недостају потребне суме новца, односно 5 треба му још 4⋅50 = 200 динара. 17. Једна петина дуга је 3150 : 3 =1050 динара, па је укупан дуг 5⋅1050 = 5250 динара. 18. Читајући 17 страна на дан, Ани би требало 1+7 = 8 дана да прочита књигу. Дакле, Ана 1 је првог дана прочитала књиге, која има 8⋅17 =136 страна. 8 3 19. Ако је број m половина броја 72, онда је m=36, а броја m су једнаке броју (36 : 4 )⋅3 = 27 . 4
ПРОШИРИВАЊЕ И СКРАЋИВАЊЕ РАЗЛОМАКА 1 1⋅4 4 2 2⋅4 8 1 1⋅3 3 1 1⋅5 5 2 2⋅3 6 = = , б) = = = , = = , = = , = , 7 7⋅3 21 7 7⋅5 35 5 5⋅3 15 7 7⋅4 28 5 5⋅4 20 2 2⋅5 10 8 8⋅3 24 8 8⋅4 32 8 8⋅5 40 = = , в) = = , = = , = = . 5 5⋅5 25 13 13⋅3 39 13 13⋅4 52 13 13⋅5 65 3 15 75 7 28 63 9 108 36 2. а) = = , б) , в) = = = = , 4 20 100 15 60 135 11 132 44 19 133 152 43 344 172 16 64 112 г) , д) , ђ) = = = = = = 17 119 136 125 1000 500 25 100 175 1 1⋅25 25 4 4⋅20 80 12 12⋅4 48 3 3⋅10 30 3. а) = , б) = , в) = , г) = . = = = = 4 4⋅25 100 5 5⋅20 100 25 25⋅4 100 10 10⋅10 100 1. а)
112
4. Како је 1 6 2 8 3 9 5 10 = , = , = , = , 2 12 3 12 4 12 6 12 1 2 3 5 то је у бројевима , , , редом садржано 6 , 8 , 9 и 10 дванаестина. 2 3 4 6 1 1⋅60 60 3 3⋅20 60 4 4⋅15 60 ; б) ; в) = 5. а) = = = = = ; 4 4⋅60 240 10 10⋅20 200 5 5⋅15 75 г)
12 12⋅5 60 ; = = 25 25⋅5 125
6. а)
6 6⋅10 60 д) 6 = = = ; 1 1⋅10 10
1 1⋅3 3 1 1⋅2 2 = = и = = , 2 2⋅3 6 3 3⋅2 6
ђ) 15 =
15 15⋅4 60 = = . 1 1⋅4 4
(јер је S(2,3) = 6 );
б)
3 3⋅5 15 3 3⋅4 12 и = = = = , 4 4⋅5 20 5 5⋅4 20
(јер је S(4,5) = 20 );
в)
2 2⋅4 8 1 1⋅3 3 и = = = = , 3 3⋅4 12 4 4⋅3 12
(јер је S(3, 4) =12 );
г)
5 5⋅11 55 2 2⋅6 12 и = = = = , 6 6⋅11 66 11 11⋅6 66
д)
7 7⋅9 63 7 7⋅16 112 и = , = = = 16 16⋅9 144 9 9⋅16 144
ђ)
1 1⋅2 2 3 = = и , 2 2⋅2 4 4
е)
13 2 2⋅5 10 и = = , 25 5 5⋅5 25
ж)
7 7⋅4 28 5 5⋅3 15 и = = = = , 9 9⋅4 36 12 12⋅3 36
(јер је S(9,12) = 36 );
з)
1 1⋅7 7 3 3⋅2 6 и = = = = , 4 4⋅7 28 14 14⋅2 28
(јер је S(4,14) = 28 );
и)
7 7⋅5 35 21 21⋅2 42 и = = = = , 10 10⋅5 50 25 25⋅2 50
7. а) в)
1 15 1 10 1 6 = , = , = ; 2 30 3 30 5 30
(јер је S(6,11) = 66 ); (јер је S(16,9) =144 );
(јер је S(2, 4) = 4 ); (јер је S(5,25) = 25 );
б)
(јер је S(10,25) = 50 ).
3 21 2 8 5 10 = , = , = ; 4 28 7 28 14 28
2 80 3 135 11 264 ; = , = , = 9 360 8 360 15 360
г)
5 80 1 24 17 51 = , = , = . 6 96 4 96 32 96
0 1 2 5 8 10 8. 0 = ,1= ,2 = ,5 = ,8 = ,10 = . 1 1 1 1 1 1 3 12 18 27 33 9. 1= , 4 = ,6 = ,9 = ,11= . 3 3 3 3 3 10. 2 =
18 18 18 18 ,6 = ,9 = ,18 = . 9 3 2 1
113
11. а)
120 60 = 360 180
б)
120 40 = 360 120
в)
120 20 = 360 60
г)
120 1 = . 360 3
6 3 18 9 54 27 144 72 = , = , = , = 12 6 24 12 36 18 162 81 6 2 18 6 54 18 144 48 б) = , = , = , = 12 4 24 8 36 12 162 54 6 1 18 3 54 9 144 24 в) = , = , = , = 12 2 24 4 36 6 162 27
12. a)
4 4:2 2 = = 10 10 : 2 5 16 16 : 4 4 г) = = 36 36 : 4 9
6 6:3 2 = = 15 15 : 3 5 69 69 : 3 23 д) = = 96 96 : 3 32
13. а)
75 75 : 15 5 = = 135 135 : 15 9 108 108 : 27 4 ђ) = = 405 405 : 27 15
б)
в)
16 4 45 3 64 2 75 1 78 13 420 3 540 3 573 3 = , = , = , = , = , = , = , = , 20 5 105 7 160 5 225 3 324 54 560 4 1260 7 955 5 132 4 3300 3 , = = 111111 3367 5500 5 2⋅3 3 4⋅3 1 4⋅5 10 15⋅3 9 16⋅3 2 16⋅9 6 21⋅35 21 б) = , = , = , = , = , = , = , 4⋅5 10 8⋅9 6 3⋅6 9 11⋅10 22 27⋅8 9 15⋅8 5 25⋅28 20 18⋅45 54 48⋅21 72 = , = 25⋅51 85 49⋅22 77 2⋅3⋅5 3 4⋅3⋅12 2 35⋅18⋅24 2 12⋅81⋅15 9 48⋅26 1 в) , = , = , = , = , = 4⋅5⋅7 14 8⋅9⋅15 15 36⋅55⋅42 11 27⋅24⋅50 20 13⋅160⋅96 160 66⋅72 1 = 144⋅33⋅12 12
14. а)
3 36 = , 1 12 1 4 б) = , 3 12 3 1 в) = , 6 2
15. а)
21 7 = , 3 1 2 14 = , 3 21 15 3 = , 40 8
16 , 4 3 15 , = 8 40 18 3 = , 30 5
4=
42 7 17 68 ; = 25 100 48 3 = . 64 4
6=
16. Тачна су тврђења под а), в) и г). 2 1 17. а) 2 dl = l = l 10 5 2 1 m= m г) 2 cm = 100 50
15 3 l= l 100 20 3 д) 3 cm = dm 10 б) 15 ml =
23 3 в) 23 ml = cl = 2 cl 100 10 77 7 ђ) 77 dm = m = 7 m. 10 10
1 1 1 1 3 1 18. 3 min = h,5min = h, 10 min = h, 12 min = h, 45 min = h, 60 min =1h, 80 min =1 h 20 12 6 5 4 3 1 и 195 min = 3 h. 4
114
19. Најмањи двоцифрен непаран број је 11, а највећи шестоцифрени број је 999999 . Дакле, 11 1 најмањи двоцифрен непаран број је део највећег шестоцифреног броја. = 999999 90909 50 + 4 1 1 , збир броја 50 и најмањег сложеног броја је део производа = 18⋅987 329 329 најмањег парног броја дељивог са 9 и највећег троцифреног броја дељивог са 3 чије
20. Како је
су све цифре различите. 21.
2 2⋅17 34 2 2⋅18 36 2 2⋅19 38 или = или = = = = = . 3 3⋅17 51 3 3⋅18 54 3 3⋅19 57
7 7⋅k 7 (разломак проширили смо бројем k). Онда = 13 13⋅k 13 је, по услову задатка 7⋅k +13⋅k =140 , односно 20⋅k =140 . Из последње једначине 7⋅7 49 закључујемо да је k = 7 . Дакле, тражени разломак је = . 13⋅7 91 54 24 30 , б) , в) . 23. а) 81 36 45 24. Како је 2008 = 2⋅2⋅2⋅251, закључујемо да је p = 2, n =1004 или p = 251, n = 8
22. За природан број k важи
УПОРЕЂИВАЊЕ РАЗЛОМАКА 5 6 11 2 4 7 45 39 7 23 8 2 17 88 106 < < ; б) < < ; в) > > ; г) > > ; д) < < 15 15 15 91 91 91 15 15 15 147 147 147 23 23 23 12 12 12 3 3 3 25 25 25 2. а) ; б) > > ; в) ; > > > > 17 23 101 7 27 37 6 18 180 89 89 89 1006 1006 1006 . г) < < ; д) < < 105 51 15 143 134 43 3 7 2 4 5 33 б) > в) < 3. а) > 1 10 5 25 3 18 2 7 4 7 31 21 г) < д) ђ) < > 7 8 11 15 64 45 14 29 12 9 45 25 е) ж) з) > > > 15 36 35 28 52 36 4. Упиши знак < , > или = тако да добијеш тачно тврђење. 3 33 2 1 17 153 а) = б) в) < = 4 44 13 5 9 81 18 5 34 35 31 3 г) д) ђ) > > > 23 8 15 16 48 5 8 12 43 4343 97 74 е) ж) з) > = > 153 1349 88 8888 99 77 1. а)
115
5. а) Разломке ћеш упоредити на тај начин што ћеш их прво проширити тако да свима именилац буде исти. Како је S(4,3,12,6,8) = 24 , први разломак проширујеш са 6 , други са 8 , трећи са 2 , четврти са 4 и пети са 3 . Сада треба да упоредиш разломке 18 16 22 20 15 , , , , . Како за њихове бројиоце важи 15 <16 <18 < 20 < 22 , закључујеш да 24 24 24 24 24 5 2 3 5 11 је < < < < . 8 3 4 6 12 б) Разломке ћеш упоредити на тај начин што ћеш их прво проширити тако да свима бројилац буде исти. Како је S(1,6,17,17,1) =102 , први разломак проширујеш са 102 , други са 17 , трећи са 6 , четврти са 6 и пети са 102 . Сада треба да упоредиш разломке 102 102 102 102 102 . Како за њихове имениоце важи 84 < 85 <102 < 204 < 210 , , , , , 102 85 84 210 204 17 1 6 17 закључујеш да је < <1< < . 35 2 5 14 3 105 15 105 5 105 15 105 7 105 , закључујемо да је = , = , = , = , = 7 245 24 168 12 252 18 126 24 360 7 5 3 15 15 < < < < ; 24 12 7 24 18
в) Како је
г) Како је
7 28 5 15 13 11 22 3 18 13 5 3 11 7 = , = , , = , = , закључујемо да је < < < < . 3 12 4 12 12 6 12 2 12 12 4 2 6 3
4 4 16 5 5 15 проширујемо са 4 , = , а разломак са 3 , = . 9 9 36 12 12 36 5 4 Пошто је 15 <16 , закључујемо да је < , тј. да је Вукашин прочитао више. 12 9
6. Како је S(9,12) = 36 , разломак
7. Како је
3 2 > , Новак је више времена посветио тенису. 8 7
2 1 5 1 за мањи од једног целог, разломак за мањи од једног 3 3 6 6 8 1 1 1 1 8 5 2 целог, а за мањи 1. Како је < < , закључујемо да је > > , тј. да је најбржи 9 9 9 6 3 9 6 3
8. Уочимо да је разломак
био први радник. 9. Највише воде је остало у првом бурету. 10. а)
0 1 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 10 0 1 14 , ; б) , , ; в) , , , , ; г) , ,..., ; д) , ,..., . 2 2 3 3 3 5 5 5 5 5 11 11 11 15 15 15
11. а)
13 14 15 19 23 25 31 , , ; б) ,..., ; в) ,..., ; 4 4 4 6 6 8 8
12. То су, на пример, разломци
116
г)
40 51 49 63 ,..., ; д) ,..., . 13 13 16 16
22 23 24 25 26 27 , , , , , . 35 35 35 35 35 35
13. а) Како је S(3,12, 4) =12 , проширивањем датих разломака добијаш
4 n 15 < < . Дакле, 12 12 12
4 < n <15 , то јест n ∈ {5,6,7,8,9,10,11,12,13,14} . б) m ∈ {15,16,17,18,19}
в) k ∈ {4,5,6,7,8,9,10,11}
14. Проширивањем добијамо да је
г) l ∈ {43, 44,...,72} .
12 12 12 < < , одакле следи p ∈ {2,3,5} . 67 12⋅ p 9
a+ 5 2⋅a 3⋅(a + 5) a и , односно разломке и . На основу 8 24 8 12 a b 3a +15 > 2a , закључујемо да је < . 12 8
15. Треба да упоредиш разломке
⎧ 1 2 3 4⎫ ⎧ 4 3 2 1⎫ ⎧1 2 3 4⎫ ⎧ 1 2 3 4 ⎫ 16. A =⎨0, , , , ⎬ , B =⎨1, , , , ⎬ , A ∩ B =⎨ , , , ⎬ , A ∪ B =⎨0, , , , ,1⎬ , A \ B = {0} . ⎩ 5 5 5 5⎭ ⎩ 5 5 5 5⎭ ⎩5 5 5 5 ⎭ ⎩ 5 5 5 5 ⎭
САБИРАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ ИМЕНИЛАЦА 3 1 3 +1 4 + = = ; 5 5 5 5 7 1 8 4 г) + = = ; 6 6 6 3
1. а)
2 4 2+4 6 2 + = = = ; 9 9 9 9 3 7 17 24 4 д) + = = ; 18 18 18 3
б)
1 5 3 1+ 5 + 3 9 + + = = ; 2 2 2 2 2 13 3 7 23 в) + + = ; 10 10 10 10 2 5 6 4 17 д) + + + = ; 16 16 16 16 16
2. а)
3.
5 1 4 2 3 0 5 = + = + = + ; 8 8 8 8 8 8 8 9 2 7 5 3 3 = + = + =1+ ; 5 5 5 5 5 5
3 4 7 + = ; 10 10 10 11 15 26 ђ) + = . 23 23 23 в)
2 3 1 2 + 3 +1 6 + + = = ; 7 7 7 7 7 7 1 10 18 9 г) + + = = ; 4 4 4 4 2 21 14 48 1 84 ђ) + + + = . 25 25 25 25 25 б)
7 1 6 2 5 3 4 7 1 6 4 3 3 = + = + = + ; = + = + =1+ ; 10 10 10 10 10 10 10 4 4 4 4 4 4 11 5 6 9 2 2 = + = + =1+ . 9 9 9 9 9 9
2 3 2 5 1 12 1 13 7 30 7 37 4. а) 1+ = + = ; б) 3 + = + = ; в) 3 + = + = ; 3 3 3 3 4 4 4 4 10 10 10 10 19 400 19 419 2 55 2 57 14 275 14 289 г) 4 + ; д) 5 + = + = ; ђ) 11+ = . = + = + = 100 100 100 100 11 11 11 11 25 25 25 25 5 3 2 2 9 2⋅4 1 2 1 1 17 10 7 7 = + =1+ ; б) = + = + = 2 + ; в) = + =1+ ; 3 3 3 3 4 4 4 1 4 4 10 10 10 10 27 5⋅5 2 2 34 7⋅4 6 6 101 2⋅37 27 27 г) = + = 5 + ; д) = + = 4 + ; ђ) = + =2+ . 5 5 5 5 7 7 7 7 37 37 37 37
5. а)
117
ВРСТЕ РАЗЛОМАКА. МЕШОВИТИ БРОЈЕВИ 1. а)
0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 9 0 1 11 ђ) , ,..., . , б) , , в) , , , г) , , , , д) , ,..., 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 10 10 10 12 12 12
2. а)
0 7 14 98 , , , ,..., 100 100 100 100
б)
0 11 22 99 , , , ,..., 100 100 100 100
в)
0 29 58 87 . , , , 100 100 100 100
1 5 1 354 12 6 ⎧ 1 7 18 56 ⎫ 3 3. а) ⎨ , , , =9 =9 ; ⎬ , =1 , =1 , 2 4 4 38 38 19 ⎩ 2 12 23 1167 ⎭ 2 17 1 18 4 131 3 ⎧ 4 707 ⎫ б) ⎨ , =2 . ⎬ , 2,1, = 2 , = 2 , 8 8 7 7 64 64 ⎩ 5 7007 ⎭ 4.
1 1 1 1 3 3 3 5 5 , , , , , , , , 2 4 6 7 4 6 7 6 7 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 5 5 7 , , , , , , , , , , , , , , 2 4 5 7 11 4 5 7 11 5 7 11 7 11 11 11 11 11 11 11 11 7 7 7 7 7 5 5 5 5 4 4 4 2 2 1 б) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1 2 4 5 7 11 1 2 4 5 7 1 2 4 5 1 2 4 1 2 1
5. а)
6. а) 1= 7.
3 3
5 2 =1 , 3 3
2 5 8. 1 = , 3 3
б) 1=
10 10
9 1 =2 , 4 4 1 13 3 = , 4 4
в) 2 =
8 4
17 7 =1 , 10 10 3
7 37 = , 10 10
г)
28 =4 7
27 2 =5 , 5 5 4
д) 5 =
25 5
34 6 =4 , 7 7
19 419 , = 100 100
5
ђ)
74 =2 . 37
101 27 =2 37 37
2 57 = , 11 11
14 289 . 11 = 25 25
9. Ако скуп S садржи само праве разломке, онда за n важи 0 ≤ 9 − n < 8,0 ≤ n + 6 <10,0 ≤ n < 5,6 − n > 3,8 + n > 9 , односно 1< n ≤ 9, n < 4, 0 ≤ n < 5, n < 3, n >1, одакле добијамо да је једино решење n= 2 .
ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС РАЗЛОМАКА 3 5 3 2 23 59 = 0,3 ; = 0,5 ; 1 =1,3 ; 3 = 3,2 ; = 2,3 ; = 5,9 ; 10 10 10 10 10 10 2 51 3 25 304 509 б) = 0,02 ; = 0,51; 1 =1,03 ; 4 = 4,25 ; = 3,04 ; = 5,09 ; 100 100 100 100 100 100 7 47 789 205 34 9076 в) = 0,007 ; = 0,047 ; = 0,789 ; 1 =1,205 ; 2 = 2,34 ; = 9,076 . 1000 1000 1000 1000 100 1000
1. а)
118
1 5 1 2 3 15 = = 0,5 ; = = 0,2 ; = =1,5 ; 2 10 5 10 2 10 6 12 3 6 1 5 = =1,2 ; 1 =1 =1,6 ; 13 =13 =13,5 ; 5 10 5 10 2 10 3 6 19 38 67 335 б) = = 0,06 ; 4 = 4 = 4,38 ; = = 3,35 ; 50 100 50 100 20 100 304 1216 3 75 5 125 = =12,16 ; = = 0,75 ; = =1,25 ; 25 100 4 100 4 100 407 814 303 1212 117 585 в) = = 0,814 , = =1,212 ; = = 0,585 ; 500 1000 250 1000 200 1000 9 72 734 5872 7 875 = = 0,072 , = = 5,872 ; = = 0,875 . 125 1000 125 1000 8 1000
2. а)
7 5 1 4 2 2 1 ; 1,5 =1 =1 ; 2, 4 = 2 = 2 ; 101,2 =101 =101 ; 10 10 2 10 5 10 5 11 5 1 25 1 4 1 б) 0,11= ; 45,05 = 45 = 45 ; 2,25 = 2 = 2 ; 31,04 = 31 = 31 ; 100 100 20 100 4 100 25 999 505 101 35 7 в) 0,999 = ; 5,505 = 5 ; 23,035 = 23 ; =5 = 23 1000 1000 200 1000 200 4 1 36 9 ; 6,036 = 6 . 1,004 =1 =1 =6 1000 250 1000 250
3. а) 0,7 =
1 2 5 4 = 0,(3) ; = 0,(6) ; = 0,8 (3) ; = 0,(571428) ; 3 3 6 7 12 56 106 6543 б) =1, ( 09 ) ; = 3,7(3) ; = 2,3(5) ; = 233,67(857142) ; 11 15 45 28 7 4 10 25 в) 3 = 3,(7) ; 2 = 2, (190476 ) ; 10 =10,(769230) ; 1 =1, ( 675) . 9 21 13 39
4. а)
1 5. а) 0,(3) = ; 3
1 5 б) 8,(45) = 8 ; 1,(1) =1 ; 9 11 262 44 в) 33,(786) = 33 ; 404,(044) = 404 . 333 999
5 ; 110 131 22 в) 33,0(786) = 33 ; 404,0(044) = 404 . 1665 4995
6. а) 0,0(6) =
1 ; 15
1,10(1) =1
91 ; 900
10,(21) =10
б) 0,0(45) =
7 ; 33
121,012(21) =121
7. 7 dm = 0,7 m, 24 dm = 2, 4 m, 26 cm = 0,26 m, 108 cm =1,08 m, 10101 mm =10,101 m, 1km 5dm 3cm 6mm =1000,536 m.
101 ; 8250
2mm = 0,002 m,
119
ПОРЕЂЕЊЕ РАЗЛОМАКА ДАТИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. а) 0,2 < 0,5 ;
б) 0,02 < 0,05 ;
в) 0,002 < 0,005 .
2. а) 0,02 < 0,2 ;
б) 0,3 > 0,03 ;
в) 0,06 > 0,006 .
3. а) 0,05 > 0,04 ;
б) 2,786 > 2,785 ;
4. а) 0,298 < 0,307 ;
в) 99, 4562 < 99, 4568 . в) 0,043 < 0,2 .
б) 10,583 < 10,62 ;
⎧105 84 175 120 ⎫ 2 1 4 5 ⎬, < < < ; 5. A =⎨ , , , ⎩ 210 210 210 210 ⎭ 5 2 7 6 3 103 55 6543 ; < < B = {0,6; 6,875; 4,12; 52,344} , < 5 25 8 125 ⎧ 1260 270 3 7 29 13 468 29 ⎫ ⎬ , 3 < 3 <10 <10 . C =⎨3 ,3 ,10 ,10 ⎩ 1800 1800 20 10 1800 50 1800 1800 ⎭ 6. а) 40, 4 > 4, 4 > 4,04 > 0, 44 > 0, 404 > 0, 4 ; б)10,01>1,1>1,001> 0,11> 0,1001> 0,011 . 7. а)
1 1 1 3 2 6 ; д) 10,583 < 10 ; ђ) 0, 45 < . > 0,2 ; б) > 0,16 ; в) = 0,125 ; г) 0,127 > 4 6 8 25 3 13
8. Упиши у
< , > или = тако да добијеш тачно тврђење.
1 < 1 m 40 cm; б) l > 1,6 dl; 4 6 3 д) године > 7,5 месеци. 4
а)
в)
1 1 kg = 125 g; г) дана = 8 сати; 8 3
ПРИБЛИЖНА ВРЕДНОСТ БРОЈА 1. дати број број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале
120
0,7257
55,555...
8,5238
100,00199
645,39645
1
56
9
100
645
0,73
55,6
8,5
100,0
645, 4
0,72
55,56
8,52
100,00
645, 40
0,726
55,556
8,524
100,002
645,396
2. 335,99 : 5 = 67,198 ≈ 67,20 3. Како је 199,9 : 3 = 66,6... ≈ 67 , на малом губитку je Јанко. 4. 2 3
8 15
9 22
132 35
77 108
1
1
0
4
1
0,7
0,5
0, 4
3,8
0,7
0,67
0,53
0, 41
3,77
0,71
0,667
0,533
0, 409
3,771
0,713
дати број број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале
БРОЈЕВНА ПОЛУПРАВА 1. 3 5
0
4 3
1
1
1 2
7 4
2
2
4 15
2
2
1 4
2.
1 2
0
2 3 3 4
1
7 6
17 12
1 2 3 7 17 1 < < <1< < < 2 . 2 3 4 6 12 4 3. б)
0
3 5
1
2
331 6
4
121
в)
4 5
0
1
5 4
2
г)
1 3
0
4. б)
1
2
3 3 4 17 < x ≤ 3 ; в) < x < 2 ; 8 5 5 20
2,93 3
4
7 7 г) 1 ≤ x ≤ 2 . 12 15
5.
0
122
A(
1 1 ) D( ) 4 2
B(1)
C(2
1 ) 4
РАЗЛОМЦИ - II ДЕО САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ ИМЕНИЛАЦА 1. Допуни шта недостаје: 2 3 а) + = ; 7 7 7 3 4 7 г) + = =1 ; 5 5 5 3 9 7 е) + + + = 16 16 16 16 2. Израчунај: 1 а) + 5 ; 3 3 1 5 д) 8 + 3 +1 ; 8 8 8 3. Попуни таблице: а) 2 + 6 1 6 3 6 4 6
4 2 6 + = ; 9 9 5 2 3 д) + + = ; 11 11 11 11
4 11 + = ; 15 15 15 1 3 6 ђ) + + = =1 7 7 7
б)
=1
в)
.
1 1 3 б) 5 + 5 ; в) 11 + ; 5 11 11 4 2 4 1 1 3 ђ) 4 + 8 + 9 ; е) 2 + 3 + ; 9 9 9 5 5 5
б) 5 6
;
2 5 г) 3 + 4 ; 9 9 3 7 12 11 ж) 5 + 2 + + 4 . 20 20 20 20
в) +
2
4
7
1 5 1 6 9 7 8 20 3
1 8
+ 3
1
3 8
5 8
2 8
2 7 8
4. Нађи збир свих правих разломака са имениоцем 6. 1 2 5. Марко је првог дана на излету препешачио 4 km , а другог дана 6 km . Колико је 5 5 километара Марко укупно препешачио на излету? 6. Допуни шта недостаје: а)
7 1 − = ; 10 10 10
7. Израчунај: 18 14 а) − ; 25 25
б)
б)
11 5 − = 12 12
11 ⎛ 3 5⎞ −⎜ + ⎟; 14 ⎝ 14 14 ⎠
;
в)
13 5 − = = ; 15 15 15 3
⎛2 3⎞ 4 в) ⎜ + ⎟− ; ⎝7 7⎠ 7
г)
г)
20
−
7 2 1 = = . 20 20
17 7 5 − − . 18 18 18
123
8. Допуни шта недостаје: 2 а) 5 − 4 = __ ; 5 5 9. Израчунај: 5 3 а) 12 − 3 ; 8 8 10. Израчунај: 1 а) 2 − ; 2
4 4 б) 9 − 4 = __ ; 9
3 2 б) 8 − 2 ; 5 5
1 б) 4 − ; 4
1 3 б) 4 − 3 ; 4 4 9 21 ђ) 13 − 8 ; 50 50
12. Попуни таблице: а)
б)
7 8 3
2
1 3
7 8
1
5 9
1 1 г) 7 − 3 = __ . 2 2
;
5 1 в) 20 − 20 . 7 7
2 в) 8 − ; 3
11. Одузми: 1 2 а) 3 − 2 ; 3 3 8 11 д) 12 − 3 ; 15 15
2 1 в) 8 − 5 = __ 3 3
6 г) 6 − 3 ; 7
3 д) 8 − 6 ; 8
2 ђ) 10 − 5 . 5
5 7 в) 9 − 2 ; 8 8 1 89 е) 1 − ; 99 99
2 3 г) 6 − 3 ; 5 5 1 13 ж) 5 − . 17 17
в) 5 7 6 12 7 2 5 7
1 1 7
4
4 7
3
3 7
2 8
6
5
2 8
5 8
4
13. Уместо x стави одговарајући број тако да једнакост буде тачна: 5 x 9 11 8 19 23 x 19 б) + = ; в) а) + = ; − = ; 12 12 12 21 21 x 25 25 25 x 3 6 3 x 7 4 x 8 д) 2 +10 =12 ; ђ) + = . г) 2 −1 =1 ; 10 10 10 8 8 8 9 9 9 14. Уместо x стави одговарајући број тако да једнакост буде тачна: x 7 6 x 3 2 x б) − = ; в) 2 + = 3 ; а) + =1 ; 15 15 13 13 13 9 9 5 1 x 11 5 x 16 8 4 8 д) ђ) 2 + x = 8 . г) + + = ; + = − ; 10 10 10 10 17 17 17 17 9 9
124
15. Израчунај: ⎛3 8⎞ ⎛ 4 2⎞ а) ⎜ + ⎟+⎜ − ⎟ ⎝5 5⎠ ⎝ 5 5⎠ ⎛ 1 2⎞ ⎛ 2 1⎞ в) ⎜5 + 3 ⎟+⎜ 4 − 2 ⎟ ⎝ 3 3⎠ ⎝ 3 3⎠
⎛5 3⎞ ⎛1 9⎞ б) ⎜ − ⎟+⎜ + ⎟ ⎝ 16 16 ⎠ ⎝ 16 16 ⎠ ⎛ 1 3⎞ 2 г) ⎜2 +7 ⎟− 6 . ⎝ 5 5⎠ 5
16. Израчунај: 2 1 4 а) 5 + 3 − 2 5 5 5 7 9 11 в) 6 −1 + 5 12 12 12
2 ⎛ 1 5⎞ б) 12 −⎜3 +1 ⎟ 9 ⎝ 9 9⎠ 3 17 9 г) 21 − 9 − 5 . 20 20 20
17. Израчунај: ⎛ 4 2⎞ а) 15 −⎜ 4 + 2 ⎟ ⎝ 9 9⎠ ⎛ 3 4⎞ ⎛ 1 5⎞ в) ⎜3 + 4 ⎟−⎜7 − 5 ⎟ ⎝ 7 7⎠ ⎝ 7 7⎠
5 ⎛ 1 7⎞ 3 б) 12 −⎜ 4 + 3 ⎟+ 5 8 ⎝ 8 8⎠ 8 ⎛ 5⎞ ⎛ 3 10 ⎞ г) ⎜5 − ⎟+⎜10 − 5 ⎟. ⎝ 11⎠ ⎝ 11 11 ⎠
18. Израчунај обим троугла чије странице имају дужине 5
1 3 7 cm , 6 cm и 7 cm . 10 10 10
3 1 19. Један продавац је продао 12 метара штофа, а други 18 метара штофа. Колико је више 5 5 штофа продао други продавац? Колико су штофа укупно продали? 3 1 20. Бициклиста је првог дана прешао 15 km , а другог дана за 2 km мање него првог 8 8 дана. Колико километара је прешао бициклиста за два дана?
САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА РАЗЛИЧИТИХ ИМЕНИЛАЦА 1. Допуни шта недостаје: 2 1 5 а) + = + = ; 5 4 20 20 20 1 3 в) + = + = ; 5 4 20 20 7 3 д) + = + = 10 20 2. Израчунај: 4 1 а) + ; 9 3 3 3 5 д) + + ; 8 4 6
;
5 3 + ; 6 4 9 3 ђ) + ; 20 4
б)
2 1 4 ; + = + = 5 2 10 10 10 2 1 г) + = ; + = 9 6 18 18 5 3 ђ) + = + = = __ 6 8 б)
2 5 + ; 3 8 1 8 3 е) + + . 3 15 5
в)
г)
.
1 2 + ; 2 3
125
3. Израчунај: 2 2 а) 1 + 4 ; 5 7 3 5 г) 2 +7 ; 4 6
1 5 б) 5 + 3 ; 2 12 4 7 д) 9 + 2 ; 5 8
4. Попуни таблицу: а) +
4 3 +5 ; 15 10 5 11 ђ) 4 +12 . 8 12
в) 3
б) 2 5
3 7
1 2
+
3 8 2 3 1 4 5. Израчунај: 1 1 а) 11 + 3 ; 11 3 5 11 г) 7 + 3 ; 12 15
5 12
3
5 6
5
1 2
2 15 4 9 4 6 5
8
5 1 бб) 6 + 2 ; 6 2 5 7 д) 14 + 3 ; 6 15
6. Израчунај: 2 4 1 а) 3 +7 + 8 ; 5 7 2
5 7 в) 5 + 2 ; 9 12 13 11 ђ) 2 +19 . 18 12
3 5 3 б) 2 +7 + 8 ; 4 6 8
1 1 1 в) 1 + 3 + 5 . 2 3 5
7. Допуни дату шему:
8. Допуни шта недостаје: 1 2 5 а) − = − ; = 2 5 10 10 10 7 2 ; в) − = − = 8 3 24 3 1 ; д) − = − = 4 6
126
5 1 5 ; _ = − = 6 2 6 6 11 2 г) ; − = − = 20 5 20 6 1 ђ) − = . − = 7 2 б)
9. Израчунај: 5 3 а) − ; 6 8 5 4 г) − ; 7 21 10. Израчунај: 3 1 а) 5 − 3 ; 7 4 1 5 г) 14 − 3 ; 2 7
7 2 − ; 8 3 11 2 д) − ; 18 9
9 13 − ; 10 15 4 1 ђ) − . 15 6
1 3 б) 12 − 8 ; 5 4 2 3 д) 8 −7 ; 3 4
2 7 в) 9 − 5 ; 3 8 1 4 ђ) 12 − 2 . 2 5
б)
11. Израчунај: 1 3 2 а) 2 + 4 − 3 ; 2 4 3 1 ⎛ 3 7⎞ г) 9 −⎜3 + 4 ⎟; 6 ⎝ 10 12 ⎠ 12. Попуни дату шему:
в)
⎛ 1 5⎞ 4 в) ⎜ 8 − 2 ⎟+ 5 ; ⎝ 2 6⎠ 5 ⎛ 7 7⎞ 7 ђ) ⎜ 9 − 2 ⎟− 5 . ⎝ 9 12 ⎠ 18
2 4 1 б) 9 + 8 −7 ; 3 5 4 3 ⎛ 1 5⎞ д) 12 −⎜ 8 − 4 ⎟; 4 ⎝ 6 8⎠ а)
б) 1 8 1 4
3
4 8 1 15 7 4 20
4 9
1 5 3 4 2 3
2
13. Израчунај вредност израза: ⎛ 1 2⎞ ⎛ 3 1⎞ а) ⎜7 − 4 ⎟−⎜10 − 9 ⎟; ⎝ 8 5⎠ ⎝ 5 2⎠
⎛ 4 1⎞ ⎛ 2 2⎞ б) ⎜ 4 + 8 ⎟−⎜5 − 2 ⎟. ⎝ 7 2⎠ ⎝ 3 3⎠
14. Израчунај вредност израза: ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 8⎞ а) ⎜ 8 − 6 ⎟+⎜ 6 − 3 ⎟; ⎝ 7 2⎠ ⎝ 3 21⎠
⎛ 1 3⎞ ⎛ 2 1⎞ б) ⎜ 9 + 6 ⎟+⎜7 − 4 ⎟. ⎝ 2 4⎠ ⎝ 5 4⎠
15. Израчунај вредност израза: ⎛ 3 5⎞ ⎛ 1 1⎞ а) ⎜27 +14 ⎟+⎜18 −12 ⎟; ⎝ 5 6⎠ ⎝ 3 2⎠
⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 5⎞ б) ⎜18 − 5 ⎟+⎜ 4 − 2 ⎟. ⎝ 7 2⎠ ⎝ 3 21⎠
16. Број 12 умањи за збир бројева 4
2 1 и1 . 5 4
127
17. Број 5
2 5 2 увећај за разлику бројева 6 и 3 . 5 6 3
18. Броју 7
7 4 додај разлику бројева 9 и 6 . 10 15
19. Од броја 20
17 3 5 одузми збир бројева 10 и8 . 20 10 8
20. Збиру бројева 10
2 2 2 1 и 1 додај разлику бројева 8 и 4 . 5 5 5 4
21. Разлици бројева 6
1 4 1 2 и 5 додај збир бројева 4 и 2 . 6 5 4 3
22. Од збира бројева 5 23. Разлици бројева 3
3 7 5 1 и 12 одузми разлику бројева 3 и 2 . 4 9 6 3
1 11 3 5 и додај разлику бројева 7 и . 8 12 4 6
2 1 24. Израчунај збир четири броја од којих је први 4 , а сваки следећи је за 2 већи од 5 3 његовог претходника. 1 3 7 25. Одреди обим троугла ако су његове странице 4 cm , 6 cm и 8 cm . 2 5 10 3 9 7 26. Обим троугла је 20 cm . Ако су дужине двеју страница 6 cm и 7 cm , одреди 4 20 10 дужину треће странице. 4 1 2 27. Обим троугла је 20 cm . Ако је једна страница 7 cm , друга за 1 cm краћа од прве, 5 2 5 колика је дужина треће странице? 1 3 28. Израчунај обим правоугаоника чија је дужина 8 m , а ширина је за 1 m краћа од 2 4 дужине. 29. Шта је веће: збир бројева 2
3 7 1 7 и 5 или разлика бројева 14 и 5 ? 4 8 2 8
2 1 4 30. Ако је a=18 , b= 6 , c = 2 израчунај: 3 4 5 б) a − b + c ; в) a − b − c ; a) a + b + c ; ⎛ 3 1⎞ 1 2 31. Ако је a =12 −⎜ 8 −1 ⎟, b= 4 − 3 израчунај a + b . ⎝ 4 2⎠ 5 5
128
г) a −(b + c ) .
5 новца који је понео на екскурзију и остало му је још 700 динара. 12 Колико новца је Марко понео на екскурзију?
32. Марко је потрошио
33. Жељка је прочитала
4 књиге и остало јој је да прочита још 50 страница. Колико 9
страница има књига? 7 укупне количине јагода и остало му је још 40kg јагода. Колико је 15 било килограма јагода у продавници?
34. Трговац је продао
7 3 , а затим од укупне 20 8 количине. Који део од укупне количине је деда Милош морао да врати кући?
35. Деда Милош ја продавао кромпир на пијаци. Прво је продао
36. Бициклиста је за три сата прешао одређену стазу, али тако што је у току првог сата 9 4 прешао , а у току другог укупног пута. Који део пута је прешао у току трећег сата? 20 15 1 1 37. Аутомобилиста је првог сата прешао пута, другог сата пута више него првог, а 9 12 1 трећег сата укупног пута. Колико му је још остало да пређе? 4 4 38. Ученик је прочитао књигу за три дана. Првог дана је прочитао књиге, а другог дана 15 3 за више него првог. Који део књиге је прочитао трећег дана? 10 4 Решење: Први дан: , 15 4 3 8 9 17 други дан: + = + = , 15 10 30 30 30 ⎛ 4 17 ⎞ ⎛ 8 17 ⎞ 25 5 1 трећи дан: 1−⎜ + ⎟=1−⎜ + ⎟=1− =1− = . ⎝ 15 30 ⎠ ⎝ 30 30 ⎠ 30 6 6 7 39. Радник је један посао урадио за три дана. Првог дана је урадио посла, а другог дана 12 3 за мање од првог. Који део посла треба да уради трећег дана? 8 1 3 40. Једна улица је асфалтирана за три дана. Првог дана је асфалтирана km , другог дана km 20 5 1 више него првог дана, а трећег km мање него другог дана. Колика је дужина улице? 20
129
7 41. Камен бачен у бунар падне у воду за три секунде. Прве секунде пређе 4 m а у свакој 10 4 следећој за 9 m више него у претходној секунди. Израчунај дубину бунара. 5 42. До базена воде две цеви. Одреди који део базена је напуњен за 1 сат ако: 1 1 1) прва цев за 1 сат напуни базена, а друга цев за 1 сат напуни базена; 4 9 5 5 2) прва цев за 1 сат напуни базена, а друга цев за 1 сат испразни базена. 6 8 43. Базен се једном славином напуни за 8 сати, а другом се испразни за 12 сати. Који део базена је напуњен за 1 сат ако су истовремено отворене обе славине? За које време ће се базен напунити до врха ако су отворене обе славине? Решење: 1 Како се базен једном славином напуни за 8 сати, за 1 сат напуни се базена. Друга 8 1 славина испразни базен за 12 сати, а за 1 сат се испразни базена. 12 Ако су отворене обе славине истовремено, прва га пуни, а друга празни, па ће за 1 сат 1 1 3 2 1 бити напуњена − = − = базена, што значи да ће се базен напунити до врха 8 12 24 24 24 за 24 сата. 44. Базен пуне две цеви: једна за 6 сати, а друга за 4 сата. Трећа цев га празни за 12 сати. Који део базена је напуњен за 1 сат ако су истовремено отворене све три цеви? 45. Бојан опере очев аутомобил за 21 минут. Бојан и његов брат Воја заједно оперу ауто за 14 минута. За које време би Воја сам опрао очев аутомобил? 46. Један радник заврши неки посао за 12 часова, а други заврши исти посао за 15 часова. За које би време тај посао био завршен ако би радили заједно? 47. Један посао два радника могу да заврше за 15 дана. Ако један радник исти посао може да заврши за 20 дана, за колико би дана исти посао урадио други радник сам? 5 48. Дечак претрчи стазу дужине 500m за 2 минута, а девојчици је за исту стазу потребно 6 1 минута више. За колико минута девојчица претрчи ту стазу? Колико времена јој је 4 потребно да пређе стазу од 1500m? 3 1 пута. Када пређе још 15km, остаће му још пута до половине 8 10 пута. Колика је дужина целог пута?
49. Бициклиста је прешао
1 3 50. Ако се из једног бурета преспе у друго 12 литра воде, а у треће 15 , онда у сваком 2 4 1 бурету има по 124 литра воде. Колико је било воде у сваком бурету пре пресипања? 2
130
САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА 1. Допуни шта недостаје:
2. Израчунај: а) 19, 4 +13,9 ; г) 22,22 +11,1; е) 0,54 + 31,178 ;
б) 5,8 +12,31 ; д) 7,6 + 215,67 ; ж) 1,9876 + 2007,01;
в) 23 +16,5 ; ђ) 395, 486 + 4,58 ; з) 105, 4 + 31,023 .
3. Попуни таблицу: а)
б) +
1
3
6
+
0,32
4,4
0,4
11,3
0,183
13,45
4. Сабери: а) 2,3 + 5,9 + 8,1+ 0,7 ; г) 0,372 + 9, 49 +17 + 56,2 ;
2,6
7,91 3,199
б) 4, 4 + 35,82 + 0,276 ; в) 126,8 +73,72 + 8,357 ; д) 4,23 + 3,004 + 0,0038 .
5. Допуни шта недостаје:
131
6. Израчунај: а) 55,5 − 22,2 ; г) 16,87 −15,87 ; е) 107,79 −103,79 ; и) 10 − 4,989 ; л) 23,341−13,341;
б) 9, 4 −7,3 ; д) 3, 4 −1,29 ; ж) 88,852 − 4,69 ; ј) 5 − 3,027 ; љ) 24,24 − 24,239 ;
7. Попуни таблицу: а)
в) ђ) з) к) м)
б)
4,8
8,4
6,39
12,31
7,11
6,38
9,19
3,82
3,1
8. Израчунај: a) 24,08 − 8,792 + 0,97 ; v) (38, 45 − 27,35)− 8, 45 ; d) (6,25 − 2,3)+(5,7 − 4,87) ;
b) 2,17 +16,9 − 8, 483 ; g) 542,3 + (600 − 541,3 ); đ) (6,8 − 2,25)+(4,35 −1,8 ) .
9. Ако је a = 7,24 ; b = 3,6 ; c = 0,379 израчунај: б) a − c + b в) a + c − b а) a + b + c 10. Израчунај: а) 56,24 −[27,11−(43,76 − 27,11)] ; в) 555 −[308, 45 −(80 −76,54 )]; д) 21,8 −(2,007 +15,5)+(2,65 −1,999 ) . 11. Израчунај у децималном запису: 5 б) 4 + 6,21 ; а) 0,6 +1, 4 ; 8 7 4 д) 5,12 − 4 ; ђ) 7 − 0,5 ; 20 5 12. Израчунај у разломку: 3 а) 8,32 + 9 ; 20 3 г) 5,5 − 3 ; 4
132
45,67 −18,2 ; 36,1− 0,189 ; 6,6 − 5,99 ; 3,78 −1,396 ; 7,19 − 0,004 .
4) a −(b + c ) .
б) 132 −[27,27 +(52,75 + 0,2)]; г) (18,7 − 9,006 )+(194,508 −112,71) ;
3 в) 5 − 3,51; 4 1 е) 5 − 0,5 ; 2
4 б) 2 − 0,5 ; 5 5 1 д) 3,5 + − . 8 2
1 г) 6 − 4,515 ; 2 3 ж) 8,8 − 3 . 4 1 в) 9 − 0,5 ; 2
13. Допуни дату шему:
14. Израчунај : 1 3 а) 0,125 + − 0,25 + − 0,3 4 10 15. Израчунај : ⎛ ⎞ 1⎞ ⎛ 2 а) ⎜ 6,9 −1 ⎟+⎜2 + 3,25⎟ ⎝ ⎠ 2⎠ ⎝ 5
⎛ 7 1⎞ б) 30 −⎜ 8 + 2,8 + 6 ⎟ ⎝ 9 15 ⎠
⎛ 4⎞ ⎛ 1⎞ б) ⎜15,8 − ⎟−⎜ 8,75 + ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 2⎠
⎛1 ⎞ 1 1 в) ⎜ + 6,75⎟+ 3 −7 ⎝2 ⎠ 4 25
16. Ако је aa = 7,6 − 4,54 и b = 3,12 +1,9 израчунај a + b . 17. Ако је a =15,06 + 4,9 и b = 7,5 − 2,84 израчунај a − b . 18. На пошту су допремљена 4 пакета по 23,7kg , 13,25kg , 0,874kg и 2,396kg. Колика је тежина свих пакета заједно? 19. Са једне њиве је пожњевено 5,25t пшенице, са друге 9,18t и са треће 3,42t пшенице. Колико је укупно тона пожњевено за све три њиве? 20. Израчунај обим троугла ако су странице a= 4,7 , b = a + 0,9 , а страница c = b +1,9 . 21. Првог дана продато је 44,58m штофа, другог за 14,75m мање, а трећег 18,4m више него другог дана. Колико је продато штофа за три дана? 22. Броју 19,4 додај разлику бројева 52,17 и 44,444. 23. Од броја 25 одузми збир бројева 4,44 и 19,19. 24. Збиру бројева 7,6 и 18,15 додај разлику бројева 24,3 и 14,57. 25. Од разлике бројева 105,16 и 19,1 одузми збир бројева 52,4 и 14,16. 26. Збиру бројева 9,4 и 4
3 7 додај разлику бројева 5 и 2,25. 8 20
133
27. За колико је збир бројева 11
3 7 и 2,25 већи од разлике бројева 15,1 и 10 ? 4 10
28. Маја је у пекари купила кроасан са виршлом за 42 динaрa, питу са вишњама за 28,5 динара и јогурт за 8,35 динара. Колики кусур треба да јој врати продавац ако му је она дала 100 динара? 29. У првој корпи је 10,125kg грожђа, а у другој 9,45kg. Ако се из прве корпе извади 4,8kg, а у другу дода 1,55kg, колико грожђа ће бити у свакој корпи после премештања? 30. Планинар је првог сата прешао 34,4km, другог сата за 2,25km више него првог, а трећег 8,64km мање него другог. Колико је километара прешао за три сата? 31. Разгледајући Париз са Ајфелове куле, Милану је испао двоглед и пао на земљу за четири секунде. У првој секунди двоглед је прешао 4,9m а у свакој следећој за 9,8m више него у претходној секунди. Са које висине је Милан разгледао Париз? 32. Мајка је својим ћеркама поделила џепарац за ужину. Најмлађа ћерка је добила 26,5 динара, средња ћерка за 8,3 динара више од најмлађе, а најстарија је добила као прве две заједно. Колико новца је мајка укупно дала својим ћеркама? 33. Носивост лифта је 300kg. Ако су у лифт ушле две девојчице, једна тежине 40kg и друга која је 1,5kg лакша од ње, и бака, тежине 65,5kg, која носи торбу са пијаце тежине 8,75kg, колико још килограма може да прими лифт? 34. Попуни дате пирамиде ако за a)
c a
b
важи a + b = c :
б)
в) 12,4
3,6
5,11
4,84
7,35
2,14
17,66 4,95
134
7,8 0,75
СВОЈСТВА САБИРАЊА РАЗЛОМАКА 1. Попуни празне квадратиће тако да једнакости буду тачне: 1 3 3 2 3 2 а) + = + ; б) 2 + = +2 ; 7 5 5 9 4 9 ⎛ 3 4⎞ 6 1 1 в) 13,3 +1 =1 + ; г) ⎜3 + 4 ⎟+ 5 = ⎝ 8 9 ⎠ 11 2 2
⎛ 4 6⎞ +⎜ 4 + 5 ⎟. ⎝ 9 11⎠
2. Попуни таблице и упореди последње две колоне: а) a
b
3 7 7 8 9
3 4 1 4 6
4,11
7,3
2
a +b
b +a
a +(b + c )
(a + b )+ c
1
б) a
b
c
2 3 1 2 4
5 6 1 3 6
8 9 1 4 8
6,6
0, 4
2,15
3. Користећи својства сабирања израчунај: 1 2 1 5 3 4 1 б) 5 + 8 + 4 +1 ; а) 4 + 2 − ; 2 3 2 9 4 9 4 2 5 в) 2,75 +7,6 + 3,25 + 4, 4 ; г) 3,9 + 5 + 8,6 + 2 . 3 6 4. Упрости изразе: а) 2 x + 0,3 + 4 x + 2,6 ; 5. Ако је a + b = 2,5 израчунај: а) a + b + 0,7 ; в) a +(12, 41+ b ) ;
1 1 б) 3 + 3a + 4 + 4 a . 2 3
б) a − 0,9 + b ; г) (8,765 + a )+(b − 3,17) .
135
ЈЕДНАЧИНЕ 1. Доврши започето решавање једначина: 1 2 а) x + = 2 3 2 1 x= − 3 2 x= x=
6
−
3 5 в) x − = 8 12 5 3 x= + 12 8 3
x=
24
x=
6
Провера:
+
24
1 1 1 3 4 2 + = + = = 6 2 6 6 6 3
Провера:
19 3 19 9 10 5 − = − = = 24 8 24 24 24 12
г) 6,19 − x = 2,9 x = ____− 2,9 x = ____ Провера: 6,19 − 3,29 = 2,9 .
б) 3, 4 + x =15,2 x =15,2 − ____ x = ____ Провера: 3, 4 +11,8 =15,2
2. Попуни празна поља таблице одговарајућим децималним бројевима:
+
5,93
4,32
3,14 8,11
2,66
19,4 15,45
7,8
13,5 5
7,11
0,5
3. Попуни празна поља таблице одговарајућим разломцима: 1 2
+ 3
1 3
3 8
4
136
3 4
6
5 12
3 10
1 3 3
5 9 5 4 18
1
7 20
3 5
0 7
8 15
4. Реши једначине: 2 5 а) + x = ; 7 9
3 1 б) x + = 2 ; 5 2
5. Реши једначине: 2 1 а) 15 − x = 3 ; 9 6
1 3 б) 5 − x = 2 ; 6 4
5 5 в) 1 + x = 3 . 12 6
в) x − 2
3 2 =5 ; 10 5
5 1 г) a− 6 =10 . 6 2
6. Реши једначине: а) x + 3,7 = 9,8 ;
б) 17,32 + x = 31,14 ;
в) x − 5, 4 =1,25 ;
г) x − 3,9 = 6,17 ;
д) 4,2 − x = 3,35 ;
ђ) 7,98 − x = 3,31;
е) 5,19 + y =16,31;
ж) x − 0,19 = 2,91.
7. Реши једначине: 2 а) x − 3,5 = ; 3 1 г) x + 3 = 7,9 ; 4
1 б) 11,3 − a = 5 ; 2
1 в) 8 − m = 5,6 ; 2
2 д) 3,3 + x =10 ; 5
5 ђ) x − 4,8 = 5 . 6
8. Реши једначине: 5 ⎛ 2⎞ 5 а) 10 −⎜ x − 4 ⎟= 8 ; 8 ⎝ 5 ⎠ 12
⎛ 7 ⎞ 2 б) ⎜5 − a ⎟+ 2 = 3 ; ⎝ 10 ⎠ 5
⎛ 1⎞ 2 5 в) ⎜ x + 2 ⎟− 2 = 6 ; ⎝ 2⎠ 5 6
3 ⎛ 1⎞ 3 г) 2 +⎜ x − 4 ⎟= 8 ; 4 ⎝ 2⎠ 8
2 ⎛ 5⎞ 1 д) 5 −⎜ x − 3 ⎟=1 ; 5 ⎝ 12 ⎠ 6
⎛ 1⎞ 4 1 ђ) ⎜ x − 3 ⎟+ 5 = 7 . ⎝ 10 ⎠ 15 12
9. Реши једначине: а) ( y − 2,2)+ 3
3 =10 ; 10
5 б) (8,2 − x )+ 5 = 6 ; 8 ⎛ 11 ⎞ 2 г) ⎜ x +12 ⎟− 4,5 =11 . ⎝ 18 ⎠ 3
5 3 в) 8 −( x + 2,2)= 5 ; 6 4 10. Који број треба додати броју 3
3 4 да би се добио број 14 ? 5 15
11. Који број треба одузети од броја 10
7 5 да би се добио број 1 ? 12 18
137
12. Ком броју треба додати 2
1 4 3 да би се добио збир бројева 4 и 6 ? 2 5 10
13. Који број треба додати разлици бројева 3
1 1 1 и 2 да би се добио број 6 ? 5 4 6
3 3 1 14. За колико треба повећати израз 10 + 5 − 2 да се добије 15? 5 8 2 5 7 9 15. Који број треба одузети од збира бројева 5 и 10 да би се добио збир бројева 3 и 6 9 10 2 2 ? 3 3 4 16. Ако неки број саберемо са 1 , па тај збир одузмемо од броја 12, добићемо 4 . Који је 4 9 то број? 3 km мање него првог дана. 4 Ако је укупна дужина пута 150km, колико још километара треба да пређе?
17. Бициклиста је првог дана прешао 52,5km, а другог дана 10
18. Ана, Бојана и Виолета су укупно убрале 224kg малина. Ана је убрала 73,6kg, а Бојана за 3 5 kg више од Ане. Колико је килограма убрала Виолета? 5 1 1 19. Два молера су за један дан окречила зграде. Ако је један окречио зграде, колико 15 20 је окречио други молер?
НЕЈЕДНАЧИНЕ 1. Доврши започето решавање неједначина: 2 7 а) x + > 5 10 7 x> − 10 5 4 − x> 10 x>
0
138
1 3 б) 3 + x ≤ 6 2 4 x≤6 x≤6
4 4
−3 −3
4
x ≤ __
10
1
0
1
2
3
г) x − 4,7 ≥ 0,8
2 5 в) x − 2 < 4 3 6 x <4
6
x < __ x <6
6
+2
x ≥ 0,8 + 4, __
2
+2
x ≥ __, __ 6
6
x <7
0
5
10
0
5
10
2. Доврши започето решавање неједначина: 1 2 а) 8 − x ≤ 6 4 3 1 x ≥8 − __ x ≥8
12
x ≥7
5 3 б) 12 − x > 5 8 4 x <12
3
−6
x < __
−6
x < __
8 8
−5
4
− __
8
− __
x < __
x ≥ __
0
8
1
2
0
3. Одреди решења неједначина у скупу природних бројева: 3 3 5 б) 5 + x <10 ; а) x < 9 ; 7 8 6 1 7 7 5 д) 6 − x >1 . г) 2 + x > 7 ; 2 9 12 18
5
10
2 1 в) x −7 < 2 ; 9 4
4. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: 3 3 1 1 б) x + 3 < 5 ; в) 8 − x > 4 ; а) 5 − x > 3 ; 4 5 2 4 7 5 1 3 3 1 г) 12 + x <15 ; д) y −1 > 4 ; ђ) 6 − x ≤ 2 ; 12 6 2 4 10 2 3 3 1 4 3 е) x − 5 <10 ; ж) 8 − x ≥ 3 ; з) x + 3 ≤ 7 . 5 4 2 5 10
139
5. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: а) x +1,2 > 3,7 ; б) x + 4,39 ≤ 8,39 ; в) 3,82 + x <11,32 ; д) 6,7 − x <1, 4 ; ђ) x − 5, 45 < 2,55 . г) x − 4, 45 ≥ 2,15 ; 6. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: 1 1 3 а) x − 4,5 ≥ 6 ; б) y − 0,5 > 2 ; в) 3,5 + x ≥ 7 ; 4 5 4 1 1 4 д) x − 2,5 > 3 ; ђ) 3,3 + x ≤ 7 . г) 4 − x < 0,75 ; 5 2 5 7. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: ⎛ 3⎞ 4 4 2 2 а) 3 + x > 5 + 6 ; б) 10 −⎜ x +1 ⎟≤ 5 ; ⎝ 4⎠ 9 5 3 5 ⎛ 1⎞ 1 1 3 в) ⎜ x + 4 ⎟− 2 ≥12 ; г) 6 −(4,5 − x )≤ 3 . ⎝ 4⎠ 2 2 4 8. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: ⎛ 1⎞ 3 1 1 а) (5,5 + x )−7 > 3 ; б) 10,6 −⎜ x − 2 ⎟< 5 ; ⎝ 2 ⎠ 10 4 2 ⎛ 1 ⎞ 1 1 г) 9,8 −⎜3 − y ⎟≥10 . в) (10 − y )+1 < 8,8 ; ⎝ 2 ⎠ 4 2 ⎛ 3 ⎞ 3 3 9. За које је вредности x израз ⎜ 4 + x ⎟+1 мањи од 10 . ⎝ 5 ⎠ 4 10 ⎧ 3 1 ⎫ 10. Из скупа A =⎨0,25; ; 2 ; 8⎬ издвој елементе који припадају скупу решења неједначине ⎩ 9 5 ⎭ 4 ⎛ 8⎞ 1 4 −⎜ x − ⎟> 4 . 5 ⎝ 15 ⎠ 3 11. Које бројеве можеш додати броју 5 12. Које бројеве можеш одузети од 12
7 1 тако да збир буде мањи од 8 ? 9 6
5 2 тако да добијена разлика не буде мања од 2 ? 8 3
13. Од којих бројева можеш одузети збир бројева 2,9 и 6,17 тако да добијена разлика буде већа од 4,23? 7 4 одузмеш неки број увећан за 3,3 добијеш број који је већи од 4 . 12 5 Одреди скуп таквих бројева.
14. Када од броја 10
2 15. Када разлику неког броја и броја 0,6 сабереш са 4 , добићеш број који није већи од 3 4 9 . Одреди скуп таквих бројева. 15
140
РАЗЛОМЦИ II ДЕО РЕШЕЊА САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА 2 3 5 4 2 6 4 7 11 3 4 7 2 5 2 3 10 + = ; б) + = ; в) + = ; г) + = =1 ; д) + + = ; 7 7 7 9 9 9 15 15 15 5 5 5 5 11 11 11 11 1 3 6 10 3 5 3 9 7 24 8 ђ) + + = =1 ; е) + + + = =1 . 7 7 7 7 7 16 16 16 16 16 16 1 1 4 7 1 1 13 2. а) 5 ; б) 10 ; в) 11 ; г) 7 ; д) 13 ; ђ) 22 ; е) 6 ; ж) 12 . 3 5 11 9 8 9 20 3. а) б) в) 2 5 1 3 5 + + 2 4 7 + 1 6 6 8 8 8 1 1 3 1 1 1 2 3 5 7 5 1 3 7 10 3 3 4 3 5 6 6 5 5 5 8 8 8 8 3 5 2 1 1 1 1 1 3 5 2 1 6 8 13 13 2 3 2 6 6 6 9 9 9 9 8 8 8 4 3 7 7 7 7 7 2 4 1 1 1 8 10 12 15 2 1 6 6 20 20 20 20 8 8 8 1. а)
1 2 3 4 5 15 3 1 + + + + = =2 =2 . 6 6 6 6 6 6 6 2 3 5. 10 km . 5 7 1 6 11 5 6 13 8 5 1 9 7 2 1 6. а) − = ; б) − = ; в) − = = ; г) − = = . 10 10 10 12 12 12 15 15 15 3 20 20 20 10 4 3 1 5 7. а) ; б) ; в) ; г) . 25 14 7 18 2 2 4 4 2 1 1 1 1 8. а) 5 − 4 =1 ; б) 9 − 4 = 5 ; в) 8 − 5 = 3 ; г) 7 − 3 = 4 . 5 5 9 9 3 3 3 2 2 2 1 1 4 9. а) 9 = 9 ; б) 6 ; в) . 8 4 5 7 1 3 1 1 5 3 10. а) 1 ; б) 3 ; в) 7 ; г) 2 ; д) 1 ; ђ) 4 . 2 4 3 7 8 5 2 2 1 6 3 4 12 4 38 19 11 1 5 11. а) ; б) = ; в) 6 = 6 ; г) 2 ; д) 8 = 8 ; ђ) 4 = 4 ; е) = ; ж) 4 . 3 4 2 8 4 5 15 5 50 25 99 9 17 12. а) б) в) 4.
7 8 3
1 3 2 4 3 2 5 3 2 3 2
7 8 1 6 8 1 7 8 1 2 8
5 9 4 5 9 4 6 9 4 1 9 1
5 7 6 12 7 2 5 7 6
1 1 7 4 5 7 5 11 7 1 4 7
4 7 1 2 7 2 8 7 5 7
4
3 7 2 3 7 3 9 7 6 1 7 3
2 2 8 2 5 8 3 3 8 8
3 8 5 8 8 5 5 8 2
4
13. а) x = 4 ; б) x = 21; в) x = 4 ; г) x = 9 ; д) x = 4 ; ђ) x = 4 .
141
4 14. а) x = 8 ; б) x = 3 ; в) x = 7 ; г) x = 5 ; д) x = 3 ; ђ) x = 6 . 9 3 3 1 2 15. а) 2 ; б) ; в) 11 ; г) 3 . 5 4 3 5 4 5 3 17 16. а) 5 ; б) 7 ; в) 10 ; г) 5 . 5 9 4 20 1 4 10 17. а) 8 ; б) 10; в) 6 ; г) 8 . 3 7 11 1 18. 19 . 10 3 4 19. Други је продао 5 m штофа више од првог, а укупно су продали 30 m штофа. 5 5 5 20. 28 km . 8
САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА РАЗЛИЧИТИХ ИМЕНИЛАЦА 2 1 8 5 13 2 1 4 5 9 1 3 4 15 19 + = + = ; б) + = + = ; в) + = + = ; 5 4 20 20 20 5 2 10 10 10 5 4 20 20 20 2 1 4 3 7 7 3 14 3 17 5 3 20 9 29 5 г) + = + = ; д) + = + = ; ђ) + = + = =1 . 9 6 18 18 18 10 20 20 20 20 6 8 24 24 24 24 7 7 7 1 23 1 7 2. а) ; б) 1 ; в) 1 ; г) 1 ; д) 1 ; ђ) 1 ; е) 1 . 9 12 24 6 24 5 15 24 11 17 7 27 13 3. а) 5 ; б) 8 ; в) 8 ; г) 10 ; д) 12 ; ђ) 17 . 35 12 30 12 40 24 4. а) б) 2 3 1 5 5 1 + + 3 5 5 7 2 12 6 2 3 31 45 7 2 11 29 19 8 8 11 13 8 40 56 8 15 20 30 30 4 2 1 2 1 31 5 17 1 1 1 4 5 9 3 15 21 6 36 18 18 1 13 19 3 4 13 19 3 6 7 10 12 4 20 28 4 5 60 30 10 1. а)
14 ; 33 33 6. а) 19 ; 70 7. 5. а) 14
142
1 5 3 б) 9 ; в) 8 ; г) 11 ; 3 36 20 23 1 б) 18 ; в) 10 . 24 30
д) 18
3 ; 10
ђ) 22
23 . 36
1 2 5 4 1 5 1 5 3 2 б) − = − = ; в) − = − = ; 2 5 10 10 10 6 2 6 6 6 11 2 11 8 3 3 1 9 2 7 д) − = − = ; ђ) г) − = − = ; 20 5 20 20 20 4 6 12 12 12 11 5 1 11 7 1 9. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ђ) . 24 24 30 21 18 10 5 9 19 11 11 б) 3 ; в) 3 ; г) 10 ; д) ; 10. а) 2 ; 28 20 24 14 12 7 13 7 17 5 б) 11 ; в) 11 ; г) 1 ; д) 9 ; 11. а) 3 ; 12 60 15 60 24 12. а) б) 8. а)
1 8 1 4 1 3 15 4 3 9
49 1 120 8 1 15 7 4 20 131 4 180
4 1 5 3 4 2 3
2
5 1 13. а) 1 ; б) 10 . 8 14 31 2 ; б) 19 . 14. а) 4 42 5 4 37 15. а) 48 ; б) 14 . 15 42 ⎛ 2 1⎞ 7 16. 12 −⎜ 4 +1 ⎟= 6 . ⎝ 5 4 ⎠ 20 2 ⎛ 5 2 ⎞ 17 17. 5 +⎜ 6 − 3 ⎟= 8 . 5 ⎝ 6 3 ⎠ 30 7 ⎛ 4⎞ 13 18. 7 +⎜ 9 − 6 ⎟=10 . 10 ⎝ 15 ⎠ 30 37 19 19. 1 . 20. 16 . 40 20 3 4 25. 19 cm . 24. 31 . 5 5 3 7 1 7 29. 2 + 5 =14 − 5 . 4 8 2 8 43 13 37 37 30. а) 27 ; б) 15 ; в) 9 ; г) 9 . 60 60 60 60
7 2 21 16 5 − = − = ; 8 3 24 24 24 6 1 12 7 5 − = − = . 7 2 14 14 14
7 . 10 29 ђ) 1 . 36 ђ) 9
3 8 23 1 40 1 8 1 24 3
17 . 60 3 26. 6 cm . 5 21. 7
1 . 36 1 27. 7 cm . 5 22. 17
1 23. 9 . 8 1 28. 30 m . 2
143
11 . 20 5 12 − 5 7 1 32. 1− = му је остало, а то је 700 динара, па закључујемо је 100 динара, = 12 12 12 12 31. 5
што значи да је понео 1200 динара. 4 5 1 33. 1− = је остало, а то је 50 страница, књиге има 10 страница, а цела књига има 90 9 9 9 страница. 7 8 1 је остало, а то је 40kg јагода, од укупне количине је 5kg , а укупна = 15 15 15 количина јагода је 75kg .
34. 1−
⎛ 7 3 ⎞ 11 35. 1−⎜ + ⎟= укупне количине. ⎝ 20 8 ⎠ 40 ⎛9 4 ⎞ 17 36. 1−⎜ + ⎟= ⎝ 20 15 ⎠ 60 ⎡ 1 ⎛1 1 ⎞ 1⎤ 4 37. 1−⎢ +⎜ + ⎟+ ⎥= ⎣ 9 ⎝ 9 12 ⎠ 4 ⎦ 9 ⎡ 7 ⎛ 7 3 ⎞⎤ 5 39. 1−⎢ +⎜ − ⎟⎥= ⎣ 12 ⎝ 12 8 ⎠⎦ 24 1 ⎛1 3 ⎞ ⎛1 3 1 ⎞ 17 40. +⎜ + ⎟+⎜ + − ⎟= km = 850 m 5 ⎝ 5 20 ⎠ ⎝ 5 20 20 ⎠ 20 7 ⎛ 7 8 ⎞ ⎡⎛ 7 8⎞ 8⎤ 1 41. 4 +⎜ 4 + 9 ⎟+⎢⎜ 4 + 9 ⎟+ 9 ⎥= 43 m 10 ⎝ 10 10 ⎠ ⎣⎝ 10 10 ⎠ 10 ⎦ 2 1 1 13 5 5 5 42. а) + = ; б) − = . 4 9 36 6 8 24 1 1 1 1 44. + − = 6 4 12 3 1 1 1 45. − = , што значи да би Воја сам опрао ауто за 42 минута. 14 21 42 1 1 9 60 20 2 46. посла се заврши за 1 сат, а цео посао би се завршио за + = = = 6 сати, 12 15 60 9 3 3 тј. 6 сати и 40 минута. 1 1 1 посла за 1 дан, а цео посао за 60 дана. − = 15 20 60 5 1 1 3 1 48. 2 + = 3 минута, а за 1500 m потребно јој је 9 = 9 минута. 6 4 12 12 4 ⎛ 3 1 1⎞ 1 пута је 15 km , а цео пут је 15⋅40 = 600 km . 49. 1−⎜ + + ⎟= ⎝ 8 10 2 ⎠ 40 1 1 3 3 1 1 1 3 3 50. I буре: 124 +12 +15 =152 l ; II буре: 124 −12 =112 l ; III буре: 124 −15 =108 l . 2 2 4 4 2 2 2 4 4 47.
144
САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА 1. а) 9,5; б) 17,3; в) 4,14; г) 13,7; д) 12,42; ђ) 127,61. 2. а) 33,3; б) 18,11; в) 39,5; г) 33,32; д) 223,27; ђ) 400,066; е) 31,718; ж) 2008,9976; з) 136,423. 3. а) б) + 1 3 6 + 2,6 7,91 3,199 0,32
1,32
3,32
6,32
4,4
7
12,31
7,599
0,4
1,4
3,4
6,4
11,3
13,9
19,21 14,499
0,183
1,183
3,183
6,183
13,45
16,05
21,36 16,649
4. а) 17; б) 40,496; в) 208,877; г) 83,062; д) 7,2378. 5. а) 5,6; б) 2,7; в) 2,38; г) 0,55; д) 6,88; ђ) 4,63. 6. а) 33,3; б) 2,1; в) 27,47; г) 1; д) 2,11; ђ) 35,911; е) 4; ж) 84,162; з) 0,61; и) 5,011; ј) 1,973; к) 2,384; л) 10; љ) 0,001; м) 7,186. 7. а) б) 4,8
1,6
8,4
5,28
6,39
3,19
12,31
9,19
7,11
3,91
6,38
3,26
3,82
0,62
6,22
3,1
8. а) 16,258; б) 10,587; в) 2,65; г) 601; д) 4,78; ђ) 7,1. 9. а) 11,219; б) 10,461; в) 4,019; г) 3,261. 10. а) 45,78; б) 51,78; в) 250,01; г) 91,492; д) 4,944. 11. а) 2; б) 10,835; в) 2,24; г) 1,985; д) 0,77; ђ) 7,3; е) 5; ж) 5,05. 47 3 3 5 ; б) 2 ; в) 9 ; г) 1 ; д) 3 . 12. а) 17 10 4 8 100 13.
1 16 ; б) 12 . 8 45 15. а) 11,05; б) 5,75; в) 3,46. 16. 8,08. 17. 15,3. 18. 40,22kg.
14. а)
145
19. 17,85t.
20. 17,8cm.
21. 122,64m.
22. 27,126.
24. 35,48.
25. 19,5.
7 16. 16 . 8
3 27. 9 = 9,6 . 5
23. 1,37.
28. 100 −(42 + 28,5 + 8,35)= 21,15 динара 29. I корпа: 10,125 − 4,8 = 5,325 kg ; II корпа: 9, 45 +1,55 =11kg . 30. 34, 4 +(34, 4 + 2,25)+[(34, 4 + 2,25)− 8,64 ]= 99,06 km . 31. 4,9 +(4,9 + 9,8 )+(4,9 + 9,8 + 9,8 )+(4,9 + 9,8 + 9,8 + 9,8 )= 78, 4 m . 32. 26,5 +(26,5 + 8,3)+[26,5 +(26,5 + 8,3)]=122,6 динара. 34. 300 −[40 +(40 −1,5)+(65,5 + 8,75)]=147,25 kg . 35.
а)
18,66 8,71 9,95 3,6 5,11 4,84
б)
в) 21,89 9,49 12,4 7,35 2,14 10,26
52,38 31,12 21,26 17,66 13,46 7,8 4,95 12,71 0,75 7,05
СВОЈСТВА САБИРАЊА РАЗЛОМАКА 1. а) 2.
1 3 3 ; б) ; в) 13,3 ; г) 3 . 7 4 8 а)
б)
a 3 2 7 7 8 9 4,11 a 2 3 1 2 4 6,6
b 3 1 4 1 4 6 7,3 b 5 6 1 3 6 0, 4
c 8 9 1 4 8 2,15
a + b = b + a ; a +(b + c )= (a + b )+ c
2 3. а) 6 ; б) 20; в) 18; г) 21. 3 5 4. а) 6x + 2,9 ; б) 7a +7 . 6 5. а) 3,2; б) 1,6; в) 14,91; г) 8,095.
146
a +b 5 4 28 17 12 18 11, 41
b +a 5 4 28 17 12 18 11, 41
a +(b + c ) 7 2 18 13 9 24 9,15
(a + b )+ c 7 18 13 9 24 9,15 2
ЈЕДНАЧИНЕ 1 19 1. а) ; б) 11,8; в) ; г) 3,29. 6 24 2. + 5,93 3,79
3,95
2,66
10,56
4,32
10,25
8,11
7,46
19,4
15,45
16,74
8,84
1,87
7,8
5,66
5,01
13,5
9,55
10,84
2,94
1,86
7,79
5,65
5
11,06
7,11
8,4
0,5
3. + 1 3 4 7 5 3 4 4
1
3
4. а) x =
3,14
2 3
5 7 15 5 6 12
9
1 2 5 3 6 3 8 10 1 5 4
0 1 3 4 7 5 3 4 4 3
5 7 1 9 20 29 5 5 3 4 4 60 6 18 3 2 1 3 3 2 5 45 4 53 59 8 8 8 7 60 180 15
3 5 7 1 30 3
0 5
17 60
17 9 5 ; б) x =1 ; в) x = 2 . 10 12 63
5. а) x =12
1 5 1 ; б) x = 2 ; г) ax =17 . 3 18 12
6. а) x = 6,1; б) x =13,82 ; в) x = 6,65 ; г) x =10,07 ; д) x = 0,85 ; ђ) x = 4,67 ; е) y =11,12 ; ж) x = 3,1 . 1 4 9 13 1 19 7. а) x = 4 ; б) a = 5 ; в) m = 2 ; г) x = 4 ; д) x = 7 ; ђ) x =10 . 6 10 30 5 10 20 8. а) x = 6
73 1 11 1 13 11 ; б) a = 5 ; в) x = 6 ; г) x =10 ; д) x = 7 ; ђ) x = 4 . 8 120 10 15 20 12
9. а) x = 8,9 ; б) x = 7
33 53 5 ; в) x = ; г) x = 3 . 40 60 9
2 10. x =10 . 3 11. x = 9
11 . 36
3 12. x = 8 . 5 13. x = 5
13 . 60
147
21 . 40 2 15. x =10 . 45 ⎛ 29 3⎞ 4 16. 12 −⎜ x +1 ⎟= 4 , x = 5 . ⎝ 36 4⎠ 9 17. 52,5 +(52,5 −10,75)+ x =150 , x = 55,75 . Бициклиста треба да пређе још 55,75 км. 14. x =1
18. 73,6 +(73,6 + 5,6 )+ x = 224 , x = 71,2 . Виолета је убрала 71,2 кг малина. 1 1 1 +x = , x = . 20 15 60 131. нацртати
19.
НЕЈЕДНАЧИНЕ 3 1 1 ; б) x ≤ 3 ; в) x < 7 ; г) x ≥ 5,5 . 10 4 2 7 7 2. а) x ≥1 ; б) x < 6 . 12 8 3. а) x ∈ {1, 2, … , 9}; б) x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}; в) x ∈ {8, 9}; г) x ∈ {6, 7, 8, …}; д) x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. 1. а) x >
2 1 1 1 1 4 3 1 1 4. а) x <1 ; б) x <1 ; в) x < 4 ; г) x < 3 ; д) y > 6 ; ђ) x ≥ 3 ; е) x <15 ; ж) x ≤ 5 ; з) x ≤ 3 . 5 4 4 4 4 5 5 4 2 5. а) x > 2,5 ; б) x ≤ 4 ; в) x < 7,5 ; г) x > 6,6 ; д) x > 5,3 ; ђ) x < 8 . 3 7 1 3 7 1 6. а) x ≥10 ; б) y > 2 ; в) x ≥ 4 ; г) x > 3 ; д) x > 5 ; ђ) x ≤ 4 . 4 10 4 10 4 2 4 29 1 3 7. а) x > 8 ; б) x ≥ 2 ; в) x ≥10 ; г) x ≤1 . 15 36 4 4 1 4 7 19 8. а) x > 5 ; б) x > 7 ; в) y > 2 ; г) y ≥ 3 . 4 5 10 20 19 9. x < 3 . 20 ⎧ 3⎫ 10. x <1, ⎨0,25, ⎬ . ⎩ 9⎭ 7 11. x < 2 . 18 23 12. x ≤ 9 . 24 13. x >13,3 . 29 . 60 1 15. x ≤ 5 . 5 14. x < 2
148
РАЗЛОМЦИ III ДЕО МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ПРИРОДНИМ БРОЈЕМ 1. Допиши шта недостаје: 1 1 1 1 1 1 1 1 1⋅7 ; а) + + + + + + = ⋅7 = = 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ⋅ б) + + + + + + + + + + = ⋅ = = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 ⋅ в) + + + + + + + = ⋅ = = = . 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
;
2. Попуни празна места тако да добијеш тачне исказе: 1 1⋅3 3 3⋅ а) ⋅3 = ; б) ⋅5 = = = = = 2 2 4 4 10⋅ 7 ⋅ ; г) ⋅6 = в) 10⋅ = = = = = 7 3 3 3 ⋅ ; д) 5⋅1 = 5⋅ = = = 4 4 5 ⋅ . ђ) 2 ⋅10 = ⋅ = = = = 6 6 3 3. Допиши шта недостаје: 1 1 1 а) : 2 = ; = 3 3⋅ 14 в) ; : 5= = 9 ⋅ 3 д) 3 : 8 = : 8= 10 ⋅ .
=
4. Допиши шта недостаје: 4 4: 1 а) : 4 = ; = 7 7 2 : в) 2 : 8 = : 8= = 7 7 5. Израчунај: 1 а) ⋅2 ; 5 7 г) : 10 ; 3 6. Шта је веће:
5 5 : 9= = 6 ⋅ 49 г) : 3= = 11 ⋅ 3 ђ) 6 : 4 = : 4= 7 б)
;
18 : : 3= 10 10 3 г) 6 : 5 = : 7 б)
;
1 :2; 5 2 д) 3 : 18 ; 17 б)
= =
4
;
;
; =
; =
⋅
=
.
; :
=
=
.
7 в) 10⋅ ; 3 2 ђ) 18⋅3 . 17
3 5 од 340 или од 400? 4 8
149
МНОЖЕЊЕ РАЗЛОМАКА 1. Попуни дате таблице, као што је започето: x⋅y
1 3
1 4
1 5
x:y
3
300
300
100
420
420
108
21
3 5
4
5
108
2. Попуни празна места тако да добијеш тачне исказе: 1 6 6 6 1 1 1 1 а) ⋅ = : 3 = ; б) ⋅ = : 7 = ; = = 7 13 13 ⋅ 7 3 7 7⋅3 1 1 21 1 21 35 1 35 в) ; г) 5 ⋅ = ⋅ = : = ⋅ = : = 4 20 4 20 4 ⋅ 27 8 27 1 5 1 65 д) ⋅5 = ⋅ = . : = = = 4 12 4 12 ⋅ 3. Допиши шта недостаје: 3 5 3⋅5 а) ⋅ = ; = 4 11 4⋅11 17 3 ⋅3 в) ⋅ = ; = 8 5 ⋅5 5 6 5 19 ⋅ д) ⋅1 = ⋅ = 6 13 6 13 ⋅
=
=
2 4 2⋅ б) ⋅ = ; = 3 9 3⋅ 4 11 4⋅ г) ⋅ = ; = 9 7 ⋅7 1 2 ⋅ ; ђ) 2 ⋅3 = ⋅ = 2 7 2 7 ⋅
4. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе: 3 2 2 5 15 3 а) ⋅ ; б) ⋅ ; в) ⋅ ; 4 5 7 6 8 5 5 1 5 8 3 1 д) ⋅1 ; ђ) 3 ⋅ ; е) 2 ⋅3 ; 7 13 7 13 4 5 5. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе: 8 5 25 27 35 33 а) ⋅ ; б) в) ⋅ ; ⋅ ; 15 12 36 40 22 65 3 14 8 19 3 5 ђ) ⋅1 ; е) 3 ⋅3 ; д) 3 ⋅ ; 4 25 51 100 14 9
150
=
=
=
3 11 ⋅ ; 22 7 2 4 ж) 4 ⋅1 . 7 15
г)
39 105 ; ⋅ 60 26 1 9 ж) 4 ⋅12 . 91 100 г)
;
.
6. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе: 42 15 5 102 20 27 б) ; а) ⋅ ⋅ ; ⋅ ⋅ 75 32 28 225 37 255
в)
35 32 39 ⋅ ⋅ . 18 65 12
7. Израчунај: 3 ⎛3 2⎞ а) 3 ⋅⎜ + ⎟; 4 ⎝5 3⎠
б)
8. Упореди следеће производе: 4 5 1 1 а) ⋅ и ⋅ ; 9 21 3 5 9. Шта је веће:
3⎛ 7 3⎞ ⋅⎜ 4 − ⎟; 8 ⎝ 15 10 ⎠
⎛ 17 1 ⎞⎛ 7 3 ⎞ в) ⎜ −1 ⎟⎜ ⋅ 2 − ⎟. ⎝9 6 ⎠⎝ 10 5 ⎠
1 5 3 7 б) 3 ⋅ и 2 ⋅ ; 4 3 5 15
1 1 1 1 в) 4 ⋅4 и 8 ⋅2 . 2 3 2 5
5 4 7 6 од 2 или од 1 ? 8 9 9 7
10. Докажи да је производ бројева
1 1 и једнак разлици тих бројева. 2 3
3 5 11. Шта је мање, и за колико: производ или разлика бројева 2 и ? 8 6 5 4 12. Шта је веће, и за колико: збир или производ бројева 3 и 2 ? 7 5 4 3 3 m, 3 m и 2 m, колика је запремина собе? Колико 5 4 5 квадратних метара ламината треба купити за под те собе?
13. Ако су димензије собе 4
14. Ако килограм јабука кошта 55 динара, колико треба платити за 1800 грама?
ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА 1. Одреди реципрочне вредности следећих бројева: 1 1 1 1 2 33 9 137 , , ; в) , , , ; а) 1, 4, 10, 101; б) , 2 16 105 997 5 67 7 24 2. Допиши шта недостаје: 1 ; а) 1: 11= 2 1 2 ⋅ : = ⋅7 = = 3 7 3 2 1 1 ђ) 2 : = : = ⋅ 9 4 4
г)
3 4 = б) 1: = 4 = =
; ⋅
=
1 13 9 1 г) 1 , 2 , 10 , 22 . 4 15 10 22
7 в) 1: = 6 13 1 13 ⋅ д) : = ⋅ = 5 9 5
=
;
; =
=
;
.
151
3. Допиши шта недостаје: 2 3 2 5 ⋅ 7 6 7 13 ⋅ = = = а) : = ⋅ = ; б) : = ⋅ = 7 5 7 3 ⋅ 11 13 ⋅ 11 4 5 ⋅1 5 3 5⋅1 : = ⋅ = = = в) ; г) : = ⋅ = ; 15 5 15 3⋅ 8 2 3 ⋅ 5 6 ⋅ ; д) 2 : = ⋅ = = = 8 7 8 6 ⋅ 5 1 ⋅2 : = ⋅ = = ђ) 1 : 5 = . 6 4 4 ⋅ 4. Израчунај количнике: 4 2 а) : ; 5 3 45 18 д) : ; 8 25
7 6 : ; 10 15 36 27 ђ) ; : 69 23
б)
12 8 ; : 25 33 7 7 е) 3 : ; 10 25
5. Одреди вредност следећих двојних разломака: 1 11 63 а) 3 ; б) 15 ; в) 77 ; 72 4 3 21 17 10 6. Израчунај: 3 ⎛3 2⎞ а) :⎜ + ⎟; 4 ⎝7 3⎠
⎛ 7 7⎞ 7 б) ⎜2 −1 ⎟: ; ⎝ 15 10 ⎠ 6
7. Докажи да је количник бројева 5
56 21 ; : 121 22 85 12 ж) :1 . 91 39
в)
г)
г)
5 . 30 13 ⎛ 7 1 ⎞⎛ 8 2⎞ в) ⎜3 −1 ⎟⎜ : 1 + 2 ⎟. ⎝ 9 6 ⎠⎝ 10 5⎠
2 1 6 и 14 једнак првог броја. 3 6 85
8. Шта је веће: 2 4 2 4 а) ⋅ или : ; 7 5 7 5
2 7 2 7 б) ⋅ или : ; 7 5 7 5
2 2 2 2 в) 1 ⋅3 или 1 : 3 . 3 5 3 5
9. Упореди следеће количнике: 4 5 1 4 а) : и : ; 9 17 2 19
1 5 1 3 б) 3 : и 3 : ; 5 4 6 2
3 2 5 8 в) 4 : 2 и 6 : 3 . 4 3 6 9
10. Који број треба помножити са 3
3 1 да би добијени производ био 1 ? 10 2
3 11. Украсну траку Маша је поделила на два дела. Један део је целе траке, а други је дуг 5 1 18 cm . Колико је била дуга цела трака? 2 12. Ако је Никола 750g јагода платио 135 динара, колика је цена јагода?
152
;
СВОЈСТВА МНОЖЕЊА И ДЕЉЕЊА РАЗЛОМАКА 1. Користећи асоцијативност и комутативност за множење разломака, израчунај производе: 11 22 75 3 2 8 ⎛ 7 15 ⎞ 16 3 ⎛ 11 4 ⎞ а) ⋅⎜ ⋅ ⎟; б) ⎜ ⋅ ⎟⋅ ; в) г) 2 ⋅ ⋅ . ⋅ ⋅ ; 45 89 33 16 5 35 ⎝ 8 17 ⎠ 49 4 ⎝ 17 3 ⎠ 2. Израчунај: 6 ⎛ 7 15 ⎞ а) :⎜ ⋅ ⎟; 13 ⎝ 26 28 ⎠
⎛ 6 7 ⎞ 15 б) ⎜ : ⎟⋅ ; ⎝ 13 26 ⎠ 28
⎛ 16 22 ⎞ 55 в) ⎜ : ⎟: ; ⎝ 45 27 ⎠ 72
г)
16 ⎛ 22 55 ⎞ :⎜ : ⎟. 45 ⎝ 27 72 ⎠
3. Користећи дистрибутивност множења у односу на сабирање, израчунај следеће бројевне изразе: ⎛7 13 16 29 13 3 16 14 22 15 ⎛ 1 1 ⎞ 7 ⎞ 15 а) ⋅⎜1 +1 ⎟; б) ⎜ − ⎟⋅3 ; в) ⋅2 + 3 ⋅ ; г) 1 ⋅2 + ⋅ . ⎝ 12 15 ⎠ 28 19 45 45 19 11 25 11 25 2 ⎝ 5 3⎠ 4. Израчунај: 1 2 2 1 5 2 а) ⋅ + ⋅ + ⋅ ; 6 5 5 3 6 5 3 3 1 3 3 1 в) 3 ⋅ − ⋅ − ⋅1 ; 4 7 4 7 7 2
⎛ 3 5 1 2⎞ 7 б) ⎜15 + 4 +1 +14 ⎟⋅ ; ⎝ 4 7 4 7⎠ 4 ⎛ 13 1 2 ⎞ 17 г) ⎜ 6 + 2 −1 ⎟: . ⎝ 18 2 3 ⎠ 45
5. Како се мења производ два броја ако се: 4 а) један чинилац помножи са , а други остане непромењен; 5 5 б) један чинилац помножи са , а други остане непромењен; 4 1 в) један чинилац помножи са , а други са 2 ; 2 5 4 г) један чинилац помножи са , а други са ; 4 5 7 7 д) један чинилац помножи са , а други са ; 8 6 9 4 , а други са . ђ) један чинилац помножи са 14 3 6. Како се мења количник два броја ако се: 2 а) дељеник помножи са , а делилац остане непромењен; 3 3 б) дељеник помножи са , а делилац остане непромењен; 2 3 в) дељеник и делилац помноже са ; 7 5 4 г) дељеник помножи са , а делилац подели са 1 ; 9 5 5 4 д) дељеник подели са , а делилац помножи са 1 ; 9 5
153
5 4 , а делилац помножи са 1 ; 9 5 5 4 е) дељеник подели са , а делилац подели са 1 ; 9 5 3 1 ж) дељеник помножи са , а делилац помножи са . 11 4
ђ) дељеник помножи са
МНОЖЕЊЕ РАЗЛОМАКА ЗАПИСАНИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. Попуни таблицу како је започето: ⋅
10
0,56943278
5,6943278
100
1000
10000
100000
12,004563 0,000019804 67,2
6720
95,003 2. Попуни таблицу како је започето: ⋅
0,067
0,67
0,2
6,7
67
13, 4
1,7
34,57 50,019 3. Израчунај: а) 5⋅0,5 ; д) 3, 4⋅5,88 ;
б) 0,77⋅8 ; ђ) 56,89⋅8,9 ;
в) 0,6⋅0,9 ; е) 3,098⋅1,01 ;
г) 1,7⋅0, 4 ; ж) 0,0071⋅4005,2 .
4. Израчунај производе и заокругли их на 2 децимале: 1 7 б) 4 ⋅8,33 ; в) (3, 42 + 0,766)⋅0,8 ; а) 0,3⋅ ; 4 20 ⎛ ⎛ 3 ⎞⎛ 9⎞ 13 ⎞ д)⎜ 0,67 +13 ⎟⋅0,97 ; ђ) ⎜10 −7,87⎟⎜ г) 1,1⋅(0,904 − 0,094) ; ⋅ 0,066 + ⎟. ⎝ ⎝ 4 ⎠⎝ 25 ⎠ 125 ⎠ 5. Упореди следеће производе: а) 5,6⋅0,02 и 0,25⋅0, 4 ;
154
б) 0,8⋅4,08 и 0,7⋅4,67 ;
в) 3,88⋅0,36 и 9,7⋅0,144 .
6. Димитрије је купио 2,5kg кајсија по цени од 74,9 динара по килограму и 1,75kg јабука по цени од 49,9 динара по килограму. Колико је укупно платио то воће? 7. Спортска дворана има димензије 51,5m, 20,8m и 6,44m. Колико клима уређаја треба купити за ту дворану ако један покрива простор од 100m3 ? 8. Пешак се креће брзином од 4,5km/h. Колико колометара ће прећи за 2 сата и 15 минута?
ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ЗАПИСАНИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. Попуни таблицу како је започето: :
10
100
1000
10000
639732,54 1987,06 15,001 7,5
0,0075
0,03 2. Попуни таблицу како је започето: :
0,087
0,87
8,7
87
0,87 1,74
19,227
0,221
263,61 3. Израчунај: а) 0,77 : 9 ;
б) 0,76 : 0,3 ;
в) 9,7 : 0, 44 ;
г) 0,0058 : 0,25 ;
д) 6,09 : 0,0609 .
155
4. Израчунај количнике и заокругли их на 2 децимале: 3 11 б) 6, 4 : 44 ; а) 1 : 0,008 ; 5 125 1 д) 5,2 : (3 + 2,6) ; г) (16,8 + 0,7) : 0,025 ; 4
в) 7,2 : (3,65 − 2,6) ; 1 ђ) (1 − 0,7) : 2, 4 . 2
5. Упореди следеће количнике: а) 0,0505 : 0,05 и 123,25 : 120,75 ; б) 1,326 : 0,5 и 0,7 : 0,307 ; в) 7,6836 : 1,14 и 2,359 : 0,35 . 6. Шта је веће, и за колико: количник бројева 0,2727 и 2,7 или разлика бројева 0,2727 и 0,1727 ? 7. Попуни дате шеме. У ком случају је производ мањи од чинилаца? Зашто? 1)
2) 80
0,013
1,22
0,22 5,7
8,45
8. Попуни „пирамиде” поштујући правило да је производ два суседна поља уписан у поље изнад та два поља. 0,06655 12,1
2,25 0,11
1,5 2
3,1
1,1
9. Површина правоугаоног дворишта је 3,7485a, а ширина тог дворишта је 15,3m . Колико плетене жице треба купити да би се то двориште оградило? 10. Површина правоугаоног дворишта је 3,1104a, а дужина тог дворишта је 21,6m. Колико вертикалних делова има у огради тог дворишта ако је растојање између свака два таква дела 0,2m ? 11. Којом брзином треба да вози тракториста да би 45,5km прешао за 1 сат и 24минута?
156
БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ 1. Израчунај вредност израза: ⎞ 1 ⎛3 1 3 а) 3 ⋅⎜ + 6,6 ⎟; б) 3 ⋅ + 6,6 ; ⎠ 3 ⎝5 3 5 ⎛ 2 ⎞ 2 д) 15,6⋅⎜1 −1,607⎟; ђ) 15,6⋅1 −1,607 ; ⎝ 3 ⎠ 3
⎛ 3 ⎞7 3 7 в) ⎜ 4 + 0,37⎟⋅ ; г) 4 + 0,37⋅ ; ⎝ 4 ⎠8 4 8 ⎛ 3 ⎞ 3 е) ⎜ 4 − 3,83⎟⋅0, 44 ; ж) 4 − 3,83⋅0, 44 . ⎝ 10 ⎠ 10
2. Израчунај вредност израза и резултате заокружи на две и на четири децимале: ⎞ ⎛ 3 ⎞ 1 ⎛3 1 3 3 а) 3 :⎜ + 6,6 ⎟; б) 3 : + 6,6 ; в) ⎜ 4 − 3,83⎟: 0, 44 ; г) 10 − 3,83 : 0, 44 . ⎠ ⎝ 10 ⎠ 3 ⎝5 3 5 10 3. Израчунај вредност израза: ⎛1 ⎞⎛ 2 ⎞ а) ⎜ − 0, 4 ⎟⎜ ⋅ + 0, 4 ⎟; ⎝2 ⎠⎝ 5 ⎠ ⎛ 2 ⎞ в) 3,5 + 3 :⎜5 − 3,9 ⎟; ⎝ 3 ⎠
⎛ 2 ⎞⎛ 4⎞ б) ⎜ 4 − 2 ⎟⎜ : 3 −1 ⎟; ⎝ 5 ⎠⎝ 5⎠ ⎛ 1 3 ⎞ г)⎜5 ⋅ + 2,2⎟: 0,8 − 0,133 . ⎝ 3 4 ⎠
4. Израчунај вредност израза: 3 ⎛ 2 1⎞ 5 7 а) 1 :⎜ + ⎟+ : ; б) 2 1 ⋅0,8 − 1 : 1 +1, 4 : 0,8 ; в) 12, 4⋅0,21+ 3,2⋅10 − 0,15⋅4 ; 4 ⎝ 5 2 ⎠ 6 11 4 10 4 1 3 1 3⎛ 1⎞ д) 2 : − ⋅1 ⋅⎜ 0,75 + ⎟; г) 8 : 0,2 −18,06 : 0,7 +7,5 : 0,05 ; 4 4 4 5⎝ 4⎠ 3 4 + 0,08⋅25 0,75⋅8 1 0,64 : 0,8 3 ђ) е) 7 ; ж) 4,5 − : ; : . 3 2 9 0, 4⋅5 4 0,2 ⋅ 20 5 2 −3 ⋅ 7 9 14 5. Сваки од бројева 6 ,
4 7 1 5 , , 1 , 2 и 0,99 представи као збир два једнака сабирака. 5 11 3 7
6. Сваки од бројева 10 ,
5 4 5 , , 2 и 0,68 представи као збир пет једнаких сабирака. 11 5 7
7. Израчунај a⋅b⋅c ако је: 5 1 а) a = , b = 0,8, c =1 ; 6 5
3 5 б) a =1 , b = 0,5, c = ; 4 8
1 в) a = , b = 0,9, c = 6,7 . 3
8. Израчунај бројевну вредност израза 3a +7b ако је: 1 2 7 3 5 а) a = , b = ; б) a = 3 , b = 2 ; в) a =1 , b = 6,3 ; 5 7 8 4 9
г) a = 0,09, b = 90,08 .
157
1 1 9. Израчунај бројевну вредност израза 6 m − 3 n ако је: 5 9 5 9 23 1 а) m = , n = б) m = 3 , n = 2 в) m =1,27, n = 0,09 7 14 24 4 5 10. Израчунај бројевну вредност израза 96,9 : x − 2 y ако је: 7 1 7 3 б) x = 5, y = 0,77 в) x = 0,12, y = 5 а) x = , y = 3 19 5 ⎛ 1 ⎞ 28 35 11. Израчунај бројевну вредност израза ⎜1 a − b ⎟: a ако је a = , b = . ⎝ 3 ⎠ 37 111 ⎞ 2 ⎛1 6 1 12. Израчунај бројевну вредност израза 5 a +⎜ b − 0,3a ⎟: c ако је a = , b = 7,8 и c =1 . ⎠ 3 ⎝4 25 4 13. Израчунај
⎛ 3 1 2 1 1 6⎞ a : b ако је a =1+ 3 : 1 − ⋅1 и b =⎜2 − 2 ⋅ ⎟: 4 . ⎝ 5 5 5 4 3 7⎠ 10
⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ 2 1 1 14. Израчунај вредности израза A =⎜1 + 3,6 ⎟: 0.25 − ⋅1,5 , B =1 + 3,6 :⎜ 0.25 − ⋅1,5⎟, ⎝ ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 5 5 ⎛ 2 1⎞ 2 1 C =1 + 3,6 : 0.25 − ⋅1,5 и D =⎜1 + 3,6 : 0.25 − ⎟⋅1,5 , па их упореди. ⎝ 5 5⎠ 5 5 ⎛2 ⎞ 5 2 5 15. Израчунај вредности израза A =⎜ +1,6 ⎟: 0,5 − 0,2⋅ , B = +1,6 : 0,5 − 0,2⋅ и ⎝5 ⎠ 4 5 4 ⎛2 ⎞5 C =⎜ +1,6 : 0,5 − 0,2⎟⋅ , па их упореди. ⎝5 ⎠4 16. Од производа бројева 5
3 и 1,25 одузми њихову разлику. 5
17. Збир бројева 15,85 и 2
7 подели њиховом разликом. 20
18. Разлику бројева 3,75 и
3 подели њиховим збиром. 4
19. Од производа бројева 3,82 и 5 одузми количник бројева 2,25 и 20. За колико је производ бројева 3
158
5 . 21
3 5 и мањи од њиховог количника? 8 6
21. Одреди број који је: 1 1 1) за 3 већи од 4 3 4 3) пет пута мањи од 3 22. Израчунај разлику
3 1 броја 1 4 3 1 2 4) од броја 15. 3 5 2)
1 3
5 2 опруженог угла и правог угла. 6 3
2 23. Израчунај обим правоугаоника ABCD површине 24cm2 , ако је AB = 2 cm. 5 4 24. У једном одељењу петог разреда има 35 ученика. Дечаци чине одељења. Колико има 7 девојчица у том одељењу? 25. Бака је Владу послала у продавницу да купи 2,5l млека, векну хлеба од 800g и 250g маргарина. Дала му је 250 динара и рекла да за остатак купи чоколаду. Ако литар млека стаје 31,3 динара, килограм хлеба 25 динара, а 125g маргарина 44,2 динара, да ли ће Влада моћи да купи своју омиљену чоколаду од 56,2 динара? 2 26. У књижари је било 1200 књига. Продавац је прве недеље продао књига, а следеће 5 1 недеље преосталих. Колико је књига после тога остало у књижари? 3 1 5 27. Из магацина у коме је било 16 t шећера, једног дана је продато укупне количине, 4 13 4 а другог дана остатка. Колико је шећера остало? 5 1 1 каде, а само врућом каде. Ако су обе 12 18 славине отворене, који део каде се напуни за 6 минута? Ако се после 2 минута пуњења 1 отвори сливник, кроз који у минуту истекне воде која стаје у каду када је она пуна, 24 да ли ће се после 10 минута када прелити?
28. За 1 минут само хладном водом се напуни
29. Иван се бави атлетиком и најбоље резултате постиже у тркама на кратке стазе. На једном од својих тренинга прво је 50m истрчао за 9s. Тим временом није био задовољан 1 и други пут је успео да време скрати за , док га је у трећем покушају умор савладао и 6 13 постигао је време које је другог резултата. За колико је последњи резултат слабији 10 од првог? 30. Никола скупља маркице. Прве године је скупио 72 маркице, а друге године за трећину више маркица, док се треће године укупан број маркица увећао за две трећине. Колико маркица има Никола после те три године?
159
1 2 књиге, другог дана остатка књиге, а трећег дана 4 5 је прочитавши последњих 36 страна завршила читање. Колико страна има књига коју је Марија читала?
31. Марија је првог дана прочитала
32. Попуни дате шеме: 1)
2) 82
97,2 26
3,53
9,16
2,1
ЈЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ 1. Доврши започето решавање једначина: а)
б) 0,73⋅ x =1,241
2 8 ⋅x = 9 15 8 2 x= : 15 9 x= x=
⋅
x =1,241: x= 9
: 73
x=
12
x= Провера: _____________________ 2. Доврши започето решавање једначина: а)
6 8 x : =2 7 27 8 6 x =2 ⋅ 27 7 x=
27
⋅
Провера: _____________________
б)
0,567 : x = 31,5 x = 0,567 : x=
: 315
x= 7
x= x= Провера: _____________________
160
Провера: _____________________
3. Попуни празна поља одговарајућим разломцима. ⋅
2 3
:
0,04
3 7
0,073
9,6 16 1 21
7 18
0,704
0
5,61
0 16 1 35
4. Реши једначине: 7 а) ⋅ x = 2,1; 20
0
0
3 б) 0,5⋅ x + = 3,76 ; 5 1 3⎛ 7⎞ д) + ⋅⎜3⋅ x − ⎟= 2 ; 2 4⎝ 15 ⎠
2 г) 1 ⋅( x −1,5)= 7,5 ; 3 5. Реши једначине: 1 11 а) 9 : x = 2 ; 2 12 3 ⎛ 4 2⎞ 5 г) 8 :⎜1 ⋅ x −1 ⎟= 2 ; 4 ⎝ 11 3⎠ 8
3 2 б) 5 : x = 2 ; 5 15 7 1 д) x : 1 + 5,5 = 9 ; 25 4
5 7 − x ⋅1 = 2,75 ; 12 9 ⎛3 1⎞ ђ) 2,7⋅⎜ ⋅ x −1 ⎟= 0 . ⎝5 4⎠
в) 5
⎛ 1⎞ 3 в) ⎜ x + ⎟: 2,5 =1 ; ⎝ 4⎠ 7 5 7 ђ) 5 −1 : x = 2,75 . 12 9
1 3 7 6. За коју вредност а израз 2 a+ 3 узима вредност 6 ? 3 4 24 7. За коју вредност m израз
4⎛ 2 5 ⎞ 2 ⋅⎜16 − m⎟+ 0,35 : 0,25 узима вредност 8 ? 9⎝ 7 4 ⎠ 5
8. Којим бројем треба: 1) помножити; 2) поделити; 2 разлику бројева 4 и 3,5 да се добије количник истих бројева. 3 9. Милица је замислила један број, па га је увећала 2,5 пута. Затим је од тако добијеног производа одузела 9,8 и добила 7,7 . Који број је Милица замислила? 1 10. Одреди број који помножен збиром бројева 0,75 и 1 даје двадесети део броја 17 . 14 11. Који број треба поделити збиром бројева 0,5 и
3 5 да количник буде 4 ? 14 11
161
12. Којим бројем треба поделити разлику бројева 4 и
4 1 да би количник био + 0,2 ? 15 7
13. Цена килограм јагода је 128,25 динара, а трешања 85,5 динара. Ако је Марина купила 800g јагода више него трешања, а рачун је износио 530,1 динар, колико трешања је купила Марина? 14. Ненад је прво пешачио 3 сата и 20 минута, а затим је 2,25 сата возио бицикл, и тако прешао 44,75km. Брзина којом се кретао док је возио бицикл за 5km/h је већа од оне када је пешачио. На основу ових података одреди обе брзине којима се Ненад кретао. 15. Отац је 25 година старији од ћерке, а ћеркине године чине
2 очевих година. Колико 7
свако од њих има година? 16. Јанко и Јована имају заједно 51 бомбону. Ако је
2 3 Јованиних бомбона исто што и 3 4
Јанкових, колико бомбона има свако од њих? 4 17. Александар, Јелена и Борис имају укупно 3000 динара. Када Александар потроши 9 6 свог новца, Јелена свог дела, а Борис 500 динара остану им једнаке суме. Колико 11 новца је имао свако од њих? 18. Именилац једног разломка је за 9 већи од бројиоца истог разломка. Ако се бројиоцу 2 тог разломка дода број 2, а имениоцу одузме број 2, добија се разломак . Који је то 3 разломак? 19. Бројилац једног разломка је за 2 мањи од имениоца истог разломка. Када се од 1 1 10 . бројиоца одузме разломак , а имениоцу дода разломак , добија се разломак 2 4 21 Који је то разломак? 1 књига са прве полице 5 пребаци на другу, на њој ће бити 5 књига мање него на првој полици. Колико је било
20. На првој полици има 2 пута више књига него на другој. Када се
књига на свакој од ове две полице?
162
НЕJЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ 1. Доврши започето решавање неједначина: б) x ⋅ 31,5 ≥ 56,7
2 13 ⋅x < 3 18 13 x< : 18 3 3 x< ⋅ 18
а)
x<
x ≥ 56,7 : ____ x ≥ 567 : ____ x ≥ _____
12
x<
0 в)
1
0
3 x⋅10,5 − ≤1,5 5 3 x⋅10,5 ≤1,5 + 5 x⋅10,5 ≤1,5 + 0,6
2,8⋅( x +1) > 4
г)
x +1>
: 10,5
x≤
: 105
3
2 2 3
:
x +1> :
x⋅10,5 ≤ x≤
1
x+ > ⋅ 3 14 5 x+ > 3 x > −1
x≤
x>
0
1
0
1
2
2. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: 1 3 1 а) 0, 4⋅ x < 3 б) x⋅3 ≥ 3 2 4 8 2 1 2 7 77 в) 8,25 − 4 ⋅ x >1 г) ⋅ x + ⋅0,8 > 3 4 9 8 90 3⎛ 2 ⎞ 11 8 ⎛ 1 1 ⎞ 1 7 д) ⋅⎜ x − ⎟≤ ђ) ⋅⎜2 +1 ⋅ x ⎟+1 ≤1 4⎝ 3 ⎠ 20 101 ⎝ 3 2 ⎠ 4 12
163
3. Доврши започето решавање неједначина: 3 1 x : <4 7 12 1 3 x <4 ⋅ 12
а)
x<
12
x<
⋅
5 ≥ 4,9 28 5 x ≥ 4,9⋅
б) x :
x≥
7 x<
;
0
1
2
x≥
3
5 1 в) 1 : x ≤ 3 14 6 x≥ x≥ x≥
14 14
: ⋅
1 6
1 4 15
x <1,7 : x<
: 10 15 15 x< ⋅ ;
x≥
;
0
1
x<
0
1 д) x : 2,5 − > 0, 45 4 1 x : 2,5 > 0, 45 +
1
2 5 1 7 2,1: (4, 4 − x ) ≤ ⋅ 5 7 2,1: ( − x )≤
ђ) 2,1: (4, 4 − x ) ≤ 0,5⋅1
x:
> 0, 45 + 0,25
x:
>
x>
0
г) 1,7 : x > 2
:3
6 6
⋅ 10 28
− x ≥ 2,1:
⋅2,5
−x≥
x>
: 0,7
4, 4 − x ≥ ;
x ≤ 4, 4 −
0
164
1
2
3
0
1
x≤
2
4. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: 1 3 3 1 37 б) 4,2 : x ≥ ; в) x : 0,875 − > ; а) x : 2 <1 ; 3 14 5 3 105 ⎛2 ⎞ 2 ⎛ 4 ⎞ 7 11 2 19 г) 1 + 5,2 : x ≤ 6 ; д) ⎜1 − x ⎟: ≤ ; ђ) 8,9 :⎜ + 3⋅ x ⎟< 3 . ⎝ 17 ⎠ 5 ⎝ 9 ⎠ 11 36 9 45 5. Опиши скуп бројева који: 2 а) помножени са 0,3 дају производ већи од 1 ; 3 3 1 б) подељени са дају количник који није мањи од ; 5 4 6 в) чија је трострука реципрочна вредност мања од . 7 6. За које је вредности променљиве а: 1 4 3 а) производ 1 ⋅a⋅ мањи од разлике бројева 1 и 0,6; 2 9 4 5 3 б) збир + a већи од производа бројева 2,2 и 1,8; 6 4 1 2 в) количник израза 3,5a − и 0,75 за више од 1,2 већи од количника бројева 0,5 и 1 ? 3 3 7. Ана жели мајци за рођендан да поклони букет ружа и парфем. Цена парфема је 1344,75 динара, украсног папира 45,8 динара, а једне руже 50 динара. Када је сазнала ове цене, Ана је закључила да може да купи највише 7 ружа. Колико новца има Ана ако је најмања новчаница коју има од 100 динара? 8. Мајка је послала Јована да купи: 1l млека, 1 хлеб, 4 јогурта од 2dl и килограм и по јабука. Ако су цене поменутих артикала изражене у динарима: млеко - 58,70, хлеб - 25,00, јогурт (2dl) - 8,50, јабике (1 kg) - 67,00, колико најмање (целих) динара треба да да мајка Јовану да би он имао довољно новца да поред наведених намирница сестри и себи купи по сладолед чија је цена 90,00 динара?
АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА 1. Израчунај аритметичке средине бројева: 1 а) 1 и 2,3 5 1 1 + 2,3 1,2 + a= 5 , aa = , 2 2
aa=
,
a=
165
1 4 и1 , 3 5
б) 0,3 ,
0,3 + a= в) 10
+1 3
4 5
,
aa =
+ + 30
7 5 и 9 12
,
a= 4)
1 3 3 , 3 , , 6 и 1,75 2 7 4
+
10 a=
+3
+
+6 +
+3
+
+ 6 +1
a= +
a=
a= +
a=
a=
a=
a=
a= __
a= __
+
+
+
2. Нина је прочитала књигу за пет дана читајући дневно 48, 53, 39, 57 и 33 стране. Колико страна има књига и колико је страна просечно на дан читала Нина? 3. Бициклиста је првог сата прешао 13,1km, другог 15,3km, а трећег 12,4km. Којом се просечном брзином кретао бициклиста? 4. Забележене максималне дневне температуре у току једне недеље маја дате су у следећој таблици: понедељак
уторак
среда
четвртак
петак
субота
недеља
20°C
21,5°C
25,6°C
27,4°C
23°C
24,1°C
25,7°C
Колика је у просеку била максимална дневна температура те недеље? 5. Израчунај просечну оцену из математике у одељењу које има 30 ученика ако 6 ученика има одличну оцену, 8 врло добру, 9 добру, 4 довољну, а остали имају слабу оцену. 6. Аритметичка средина непознатог броја и
3 је 1,75. Који је то број? 4
2 1 , а тачки B број 2 . Који број одговара тачки S ако је та тачка 3 2 средиште дужи AB? Нацртај одговарајућу бројевну полуправу.
7. Тачки A одговара број
166
4 1 8. Тачки M одговара број 3 , а тачки S број 4 . Који број одговара тачки N ако је тачка S 5 2 средиште дужи MN? Нацртај одговарајућу бројевну полуправу. 5 1 9. Тачки C одговара број 1 , а тачки S број 1 . Који број одговара тачки D ако је тачка S 6 3 средиште дужи CD? Нацртај одговарајућу бројевну полуправу. 10. Никола има три оцене из математике и каже да му је просек оцена 4. Које оцене има Никола? Опиши све могућности.
РАЗМЕРА 1. Израчунај размере бројева: а) 12 и 3; б) 4 и 16; 12 ________________ 12 : 3 = = = 3 1
в) 18 и 27;
г) 5,5 и 110;
________________
________________
11 2 и ; 13 7 11 2 11 : = ⋅ 13 7 13
д) 3,5 и 0,21;
ђ)
3,5 : 0,21= 350 : 21=
350
=
е) 2 =
1 1 и5 . 3 7
__________________________
2. Испитаj да ли су следеће размере једнаке: а) 24 : 36 и 14 : 21 Како је 24 : 36= б) 3,7 : 2,5 и
24
=
2
и 14 : 21=
21
=
3
дате размере су једнаке.
3 2 : 7 5
Како је 3,7 : 2,5 =
2,5
=
37
=
и
3 2 3 : = ⋅ 7 5 7
=
дате размере ______ једнаке.
3 4 2 3 в) 1 : и 1 : 3 5 4 7 Како је _____________________ и _____________________ дате размере ______ једнаке. г) 4,1: 0,07 и 14,35 : 0,245 Како је _____________________ и _____________________ дате размере ______ једнаке. 3. У ком односу су површине и обими две собе ако су димензије једне 3,4m и 4,6m, а друге 4,2m и 4,4m?
167
4. Ако је географска карта нацртана у размери: а) 1: 5000 , б) 1: 100000 колику раздаљину представља дуж од 5,6cm? Којом дужином је на истој карти предстaвљено растојање од 5km? 5. Подели дуж AB дужине 9cm у размери: а) 1: 1; б) 1: 3 ;
в) 2 : 1 ;
г) 7 : 2 .
6. Јана и Немања треба да поделе 3500 динара тако да се њихови делови односе као 4 : 3 . Које суме ће добити свако од њих? 7. За припрему сока користе се сируп и вода у односу 1: 5 . Ако у бокал сипаш 75ml сирупа, колико воде треба да додаш? Колико литара сoка ће се добити од 350ml сирупа? 8. Реши једначине: а) x : 3 = 7 : 11;
б) 3, 4 : x =1,5 : 2,7 ;
1 3 2 в) x : = 3 : 1 . 2 5 7
ПРОЦЕНТИ 1. Израчунај:
а)20% од 100;
б) 20% од 10;
2. Израчунај:
а)25% од 80;
б) 20% од 100;
3. Израчунај:
а) 30 % од 100;
б) 5 % од 270 ;
в) 20% од 1000; в) 50% од 40;
г) 20% од 5. г) 80% од 25.
в) 43,2 % од 12,5;
г) 115 % од 123 .
4. У одељењу од 32 ученика 25 % су одлични ученици, а 56,25 % су девојчице. Колико има одличних ученика, а колико девојчица са одличним успехом у том одељењу? 5. У одељењу од 32 ученика 25 % су одлични ученици, а од њих 37,5 % су девојчице. Колико има одличних ученика, а колико девојчица у том одељењу? 6. Одреди број чијих 45 % умањено за 0,34 износи
1 . 5
4 сабрано са 25 % броја r једнако 1. 5 8. Цена фудбалске лопте је 875 динара. Колико ће коштати та лопта на акцији снижења од 15 %? 7. Одреди број r ако је 35 % броја 1
9. После поскупљења од 20 % цена повратне аутобуске карте Крагујевац-Београд је 660 динара. За колико динара је поскупела карта? 10. После поскупљења од 20 %, па појефтињења од 20 %, како се променила цена артикла? Да ли је он сада скупљи, јефтинији или му је цена иста као првобитна? 11. После појефтињења од 10 %, па поскупљења од 10 %, како се променила цена артикла? Да ли је он сада скупљи, јефтинији или му је цена иста као првобитна?
168
РАЗЛОМЦИ III ДЕО РЕШЕЊА МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ПРИРОДНИМ БРОЈЕМ 1 1 1 1 1 1 1 1 1⋅7 7 + + + + + + = ⋅7 = = ; 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3⋅11 1 б) + + + + + + + + + + = ⋅11= =8 ; 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8⋅3 24 в) + + + + + + + = 8⋅ = = =12 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1. а)
1 1⋅3 3 1 2. а) ⋅3 = = =1 ; 2 2 2 2 4 10⋅4 40 5 в) 10⋅ = = =5 ; 7 7 7 7 3 7 5⋅7 35 3 д) 5⋅1 = 5⋅ = = =8 ; 4 4 4 4 4 1 1 1 : 2= = ; 3 3⋅2 6 14 14 14 в) : 5= = ; 9 9⋅5 45 3 33 33 33 д) 3 : 8 = : 8 = = ; 10 10 10⋅8 80
3. а)
4 4:4 1 : 4= = ; 7 7 7 2 16 16 : 8 2 в) 2 : 8 = : 8 = = ; 7 7 7 7
4. а)
5. а)
2 ; 5
б)
1 ; 10
3 3⋅5 15 3 ⋅5 = = =3 ; 4 4 4 4 7 7⋅6 7⋅2 г) ⋅6 = = =14 ; 3 3 1 5 17 17⋅10 17⋅5 85 1 ђ) 2 ⋅10 = ⋅10 = = = = 28 . 6 6 6 3 3 3 б)
5 5 5 : 9= = ; 6 6⋅9 54 49 49 49 16 г) : 3= = =1 ; 11 11⋅3 33 33 3 45 45 45 17 = =1 . ђ) 6 : 4 = : 4 = 7 7 7⋅4 28 28
б)
18 18 : 3 6 1 : 3= = =1 ; 5 5 5 5 3 45 45 : 5 9 2 г) 6 : 5 = : 5 = = =1 . 7 7 7 7 7 б)
1 в) 23 ; 3
г)
7 ; 30
53 ; 306
д)
ђ) 56
2 . 17
3 5 ⋅340 = 255 , а ⋅400 = 250 . 4 8
6. Веће су три четвртине од 340, него пет осмина од 400, јер је
МНОЖЕЊЕ РАЗЛОМАКА 1. x⋅y
1 3
1 4
1 5
x:y
3
4
5
300
100
75
60
300
100
75
60
420
140
105
84
420
140
105
84
108
36
27
3 5
108
36
27
21
21
3 5
169
1 1 1 1 1 2. а) ⋅ = : 3 = = ; 7 3 7 7⋅3 21
1 6 6 6 6 б) ⋅ = : 7 = = ; 7 13 13 13⋅7 91
в)
35 1 35 35 35 ; ⋅ = : 8= = 27 8 27 27⋅8 216
1 1 21 1 21 21 21 г) 5 ⋅ = ⋅ = : 20 = = ; 4 20 4 20 4 4⋅20 80
д)
1 5 1 65 65 65 65 17 ⋅5 = ⋅ = : 4 = = =1 . 4 12 4 12 12 12⋅4 48 48
3. а)
3 5 3⋅5 15 ⋅ = = ; 4 11 4⋅11 44
2 4 2⋅4 8 б) ⋅ = = ; 3 9 3⋅9 27
г)
4 11 4⋅11 44 ⋅ = = ; 9 7 9⋅7 63
д)
4. а) г)
в)
5 6 5 19 95 17 ⋅1 = ⋅ = =1 ; 6 13 6 13 78 78
1 2 5 23 115 3 ђ) 2 ⋅3 = ⋅ = =8 . 2 7 2 7 14 14
3 2 3 1 3 ⋅ = ⋅ = ; 4 5 2 5 10
2 5 1 5 5 б) ⋅ = ⋅ = ; 7 6 7 3 21
3 11 3 1 3 ⋅ = ⋅ = ; 22 7 2 7 14
5 1 5 14 5 2 10 д) ⋅1 = ⋅ = ⋅ = ; 7 13 7 13 1 13 13
5 8 26 8 2 8 16 2 ђ) 3 ⋅ = ⋅ = ⋅ = = 2 ; 7 13 7 13 7 1 7 7
17 3 17⋅3 51 11 ⋅ = = =1 ; 8 5 8⋅5 40 40
в)
15 3 3 3 9 1 ⋅ = ⋅ = =1 ; 8 5 8 1 8 8
2 4 30 19 2 19 38 3 е) 4 ⋅1 = ⋅ = ⋅ = = 5 ; 7 15 7 15 7 1 7 7
3 1 11 16 11 4 44 4 ж) 2 ⋅3 = ⋅ = ⋅ = = 8 . 4 5 4 5 1 5 5 5 5. а)
8 5 2 1 2 ⋅ = ⋅ = ; 15 12 3 3 9
б)
25 27 5 3 15 ⋅ = ⋅ = ; 36 40 4 8 32
в)
35 33 7 3 21 ⋅ = ⋅ = ; 22 65 2 13 26
г)
39 105 3 7 21 5 ⋅ = ⋅ = =2 ; 60 26 4 2 8 8
3 14 15 14 3 7 21 1 д) 3 ⋅ = ⋅ = ⋅ = = 2 ; 4 25 4 25 2 5 10 10
ђ)
8 19 8 119 2 7 14 ⋅1 = ⋅ = ⋅ = ; 51 100 51 100 3 25 75
е) 3
ж) 4 6. а) в)
3 5 45 32 5 16 80 3 ⋅3 = ⋅ = ⋅ = =11 ; 14 9 14 9 7 1 7 7
1 9 365 1209 73 93 6789 69 . ⋅12 = ⋅ = ⋅ = = 48 91 100 91 100 7 20 140 140
42 15 5 3 1 1 3 ; ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 75 32 28 1 32 2 64
б)
102 20 27 2 4 3 24 ; ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 225 37 255 5 37 5 925
35 32 39 7 4 1 28 1 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =3 . 18 65 12 9 1 1 9 9
3 ⎛ 3 2 ⎞ 15 19 19 3 7. а) 3 ⋅⎜ + ⎟= ⋅ = = 4 ; 4 ⎝ 5 3 ⎠ 4 15 4 4
б)
3⎛ 7 3 ⎞ 3 125 25 9 ⋅⎜ 4 − ⎟= ⋅ = =1 ; 8 ⎝ 15 10 ⎠ 8 30 16 16
⎛ 17 1 ⎞⎛ 7 3 ⎞ 13 21 91 31 ⋅ 2 − ⎟= ⋅ = =1 . в) ⎜ −1 ⎟⎜ ⎝9 6 ⎠⎝ 10 5 ⎠ 18 10 60 60 8. а)
170
4 5 1 1 ⋅ > ⋅ ; 9 21 3 5
1 5 3 7 б) 3 ⋅ > 2 ⋅ ; 4 3 5 15
1 1 1 1 в) 4 ⋅4 > 8 ⋅2 . 2 3 2 5
9. Како је
5 4 55 7 6 13 42 5 4 7 6 ⋅2 = , а ⋅1 = = , закључујеш да је од 2 веће од од 1 . 8 9 36 9 7 9 36 8 9 9 7
1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 1 10. Како је ⋅ = и − = − = , следи да је ⋅ = − . 2 3 6 2 3 6 6 6 2 3 2 3 3 5 95 3 5 74 3 5 11. Како је 2 ⋅ = , а 2 − = , закључујеш да је производ бројева 2 и већи од 8 6 48 8 6 48 8 6 95 74 21 7 њихове разлике за − = = . 48 48 48 16 12. Већи је производ тих бројева за 3
31 . 35
4 13. Запремина собе је 46 m3, а за под треба купити 18 m2 ламината. 5 800 4 14. Прво треба да уочиш да је 1800 g =1 kg =1 kg, па стога 1800 грама треба платити 1000 5 4 55⋅1 = 99 динара. 5
ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА 1 1 1 1 1. а) =1 , , , ; 1 4 10 101 4 15 100 22 г) , , , . 5 43 109 485
б) 2 , 16 , 105 , 997 ;
в)
5 1 67 1 7 24 ; =2 , =2 , , 2 2 33 33 9 137
1 3 4 1 7 6 2 1 2 2⋅7 14 2 ; б) 1: = =1 ; в) 1: = ; г) : = ⋅7 = = =4 ; 11 4 3 3 6 7 3 7 3 3 3 3 13 1 13 13⋅9 117 2 2 1 20 1 20 20⋅4 80 8 ђ) 2 : = : = ⋅4 = д) : = ⋅9 = = = 23 ; = =8 . 5 9 5 5 5 5 9 4 9 4 9 9 9 9
2. а) 1: 11=
2 3 2 5 2⋅5 10 : = ⋅ = = ; 7 5 7 3 7⋅3 21 11 4 11 5 11⋅1 11 в) : = ⋅ = = ; 15 5 15 4 3⋅4 12 5 6 21 7 7⋅7 49 1 д) 2 : = ⋅ = = =3 ; 8 7 8 6 8⋅2 16 16
3. а)
б)
7 6 7 13 7⋅13 91 25 : = ⋅ = = =1 ; 11 13 11 6 11⋅6 66 66 5 3 5 2 5⋅1 5 г) : = ⋅ = = ; 8 2 8 3 4⋅3 12 5 1 11 21 11 4 11⋅2 22 ђ) 1 : 5 = : = ⋅ = = . 6 4 6 4 6 21 3⋅21 63
4. Израчунај количнике: 1 а) 1 ; 5
3 б) 1 ; 4
в) 1
49 ; 50
г)
16 ; 33
д) 7
13 ; 16
ђ)
4 ; 9
13
3 ; 14
ж)
5 . 7
171
5 5. а) 1 ; 12 6. а)
4 б) 2 ; 9
63 92
б)
в)
21 ; 88
23 35
в)
г) 2
1 . 6
235 378
2 1 17 6 2 6 2 6 17 2 2 7. Како је 5 : 14 = ⋅ = и ⋅5 = ⋅ = , следи да је количник бројева 5 и 3 6 3 85 5 85 3 85 3 5 3 1 6 првог броја. 14 једнак 6 85 8. а) Како је
4 <1 (када неки број a множиш бројем мањим од 1, добијаш производ који је 5
мањи од a, док када број a делиш бројем који је мањи од 1, добијаш количник који је 2 4 2 4 већи од a), закључујеш да је ⋅ < : . 7 5 7 5 2 7 2 7 7 2 2 2 2 2 б) ⋅ > : (јер је >1) в) 1 ⋅3 > 1 : 3 (јер је 3 >1 ) 7 5 7 5 5 3 5 3 5 5 9. а) Како је
4 1 5 4 4 5 1 4 < , > , не рачунајући количнике закључујемо да је : < : . 9 2 17 19 9 17 2 19
1 1 5 3 1 5 1 3 б) Како је 3 > 3 , а < , не рачунајући количнике закључујемо да је 3 : > 3 : . 5 6 4 2 5 4 6 2 3 2 19 3 57 25 5 8 41 9 41 3 123 53 25 53 в) Како је 4 : 2 = ⋅ = =1 , а 6 : 3 = ⋅ = ⋅ = =1 и > 4 3 4 8 32 32 6 9 6 35 2 35 70 70 32 70 3 2 5 8 закључујемо да је 4 : 2 > 6 : 3 . 4 3 6 9 10.
5 11
1 11. 46 cm 4
12. 180 динара
СВОЈСТВА МНОЖЕЊА И ДЕЉЕЊА РАЗЛОМАКА 11 ; 17
б)
30 ; 119
в)
110 ; 801
г)
1 . 5
1 2. а) 3 ; 5
б)
45 ; 49
в)
1728 ; 3025
г)
1 . 3
3. а) 19 ;
б)
33 ; 80
в) 4
1. а)
4. а)
172
8 ; 15
б) 63 ;
в)
2 ; 19
6 ; 7
г) 4
12 . 25
г) 20.
5. а) Ако чиниоце означиш са a и b, а производ са P ( P = a⋅b ), тада је нови производ једнак 4 4 P1 = ab = P , тј. мањи је за четвртину производа P. 5 5 5 б) Нови производ је једнак P2 = P , тј. већи је за четвртину производа P. 4 1 в) Нови производ је једнак P3 = a⋅2b = P , тј. једнак је производу P. 2 5 4 г) Нови производ је једнак P4 = a⋅ b = P , тј. једнак је производу P. 4 5 7 7 49 1 д) Нови производ је једнак P5 = a⋅ b = P =1 P , тј. већи је за четрдесет осми део 8 6 48 48 производа P. ђ) Нови производ је једнак P6 =
9 4 6 a⋅ b = P , тј. мањи је за седмину производа P. 14 3 7
a 6. а) Ако дељеник означиш са a, делилац са b, а количник са Q ( Q = a : b = ), тада је нови b 2 a 2 a 2 количник једнак Q1 = 3 = ⋅ = Q , тј. мањи је за трећину количника Q. b 3 b 3 3 a 3 a 3 б) Нови количник је једнак Q2 = 2 = ⋅ = Q , тј. већи је за половину количника Q. b 2 b 2 3 a a в) Нови количник је једнак Q3 = 7 = = Q , тј. једнак је количнику Q. 3 b b 7 5 5 a a a г) Нови количник је једнак Q4 = 9 = 9 = = Q , тј. једнак је количнику Q. 4 5 b b :1 b⋅ 5 9 5 9 a⋅ 9 = 5 = a = Q , тј. једнак је количнику Q. д) Нови количник је једнак Q5 = 4 9 b 1 ⋅b ⋅b 5 5 a:
5 5 a⋅ 25 a 25 ђ) Нови количник је једнак Q6 = 9 = 9 = ⋅ = Q , тј. мањи је за педесет шест 4 9 81 b 81 b⋅1 b⋅ 5 5 a⋅
осамдесет првих делова количника Q.
173
5 9 a⋅ 9 = 5 = 81⋅ a = 81 Q , тј. већи је за педесет шест е) Нови количник је једнак Q7 = 4 5 25 b 25 b :1 b⋅ 5 9 двадесет петих делова количника Q. a:
3 12 a 12 ж) Нови количник је једнак Q8 = 11 = ⋅ = Q , тј. већи је за један једанаести део 1 11 b 11 b⋅ 4 количника Q. a⋅
МНОЖЕЊЕ РАЗЛОМАКА ЗАПИСАНИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. ⋅
10
100
1000
10000
100000
0,56943278
5,6943278
56,943278
569, 43278
5694,3278
56943,278
12,004563
120,04563
1200, 4563
12004,563
120045,63
1200456,3
0,000019804
0,00019804
0,0019804
0,019804
0,19804
1,9804
67,2
672
6720
67200
672000
6720000
95,003
950,03
9500,3
95003
950030
9500300
2. ⋅
0,067
0,67
6,7
67
0,2
0,0134
0,134
1,34
13, 4
1,7
0,1139
1,139
11,39
113,9
34,57
2,31619
23,1619
231,619
2316,19
50,019
3,351273
33,51273
335,1273
3351,273
3. а) 2,5 ; д) 19,992 ; 4. а) 0,075 ≈ 0,08 ;
б) 6,16 ;
в) 0,54 ;
г) 0,68 ;
ђ) 506,321;
e) 3,12898 ;
ж) 28, 43692 .
б) 36,2355 ≈ 36,24 ; в) 3,3488 ≈ 3,35 ;
г) 0,891≈ 0,89 ;
д)13,6091≈ 13,61; ђ) 0, 4896 ≈ 0, 49 . 5. а) 5,6⋅0,02 > 0,25⋅0, 4 ; б) 0,8⋅4,08 < 0,7⋅4,67 ; 6. 274,575 динара.
174
в) 3,88⋅0,36 = 9,7⋅0,144 .
7. Треба купити 69 клима уређаја. 8. 10,125 km.
ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ЗАПИСАНИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. :
10
100
1000
10000
639732,54
63973,254
6397,3254
639,73254
63,973254
1987,06
198,706
19,8706
1,98706
0,198706
15,001
1,5001
0,15001
0,015001
0,0015001
7,5
0,75
0,075
0,0075
0,00075
0,03
0,003
0,0003
0,00003
0,000003
:
0,087
0,87
8,7
87
0,87
10
1
0,1
0,01
1,74
20
2
0,2
0,02
19,227
221
22,1
2,21
0,221
263,61
3030
303
30,3
3,03
2.
3. а) 0,08(5);
в) 22,0 ( 45) ;
б) 2,5(3) ;
г) 0,0232 ;
д) 100 .
4. Израчунај количнике и заокругли их на 2 децимале: а) 200 = 200,00 ; г) 700=700,00;
б) 0,1451... ≈ 0,15 ; д) 0,888... ≈ 0,89 ;
в) 6,857... ≈ 6,86 ; ђ) 0,333... ≈ 0,3 .
5. а) 0,0505 : 0,05 < 123,25 : 120,75 ; в) 7,6836 : 1,14 = 2,359 : 0,35 .
б) 1,326 : 0,5 > 0,7 : 0,307 ;
6. Количник бројева 0,2727 и 2,7 је за 0,001 већи од разлике бројева 0,2727 и 0,1727 . 7.
1)
2) 100
80
0,01
0,013
1,22
0,976
0,22
0,286
7,125
5,7
6,5
8,45
175
8. 20,925 2,25 1,5 2
0,06655
9,3 1,5
0,75
0,0055 6,2
2
0,05 3,1
0,5
12,1
0,11 0,1
110 1,1
100
9. 79,6 m. 10. 360 . 11. 32,5 km/h.
БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ 1. а) 24 ; 2327 д) ; 2500
б) 8,6 ;
в) 4, 48 ;
г) 5,07375 ;
ђ) 24,393 ;
е) 0,2068 ;
ж) 2,6148 .
2. а) 0, 463... ≈ 0, 46 ; 3. а)
2 ; 25
4. а) 3
1 б) 1 ; 3
б) 12,155... ≈ 12,16 ; в) 5
21 ; 106
в) 1,068... ≈ 1,07 ;
г) 1,595... ≈ 1,60 .
г) 7,617.
16 3 ; б) 3 ; в) 34,004 ; г)164,2 ; д) 2,6 ; ђ) 12 ; 63 20
е) 18 ;
ж) 4
1 . 6
4 2 2 7 7 7 = + ; = + ; 5 5 5 11 22 22 1 2 2 5 5 5 0,99 = 0, 495 + 0, 495 . 1 = + ; 2 =1 +1 ; 3 3 3 7 14 14 5 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 6. 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = + + + + = + + + + 11 11 11 11 11 11 5 25 25 25 25 25 5 19 19 19 19 19 0,68 = 0,136 + 0,136 + 0,136 + 0,136 + 0,136 2 = + + + + 7 35 35 35 35 35 35 в) 2,01 7. а) 0,8 б) 64 3 5 8. а) 6 б) 25 в) 49,725 г) 630,83 5 36 3 23 9. а) 2 б) 17 в) 7,594 7 24 10. а) 289,7 б) 17,29 в) 792,3 5. 6 = 3 + 3 ;
11.
176
11 12
12. 2 13. 2
539 625
14. Како је A =19,95 , B =19, 4 , C=15,75, D=23,65, следи да је C < B < A < D . 15. Како је A=3,75, B = 3,35 , C = 4,25 , следи да је B < A < C . 13 20 47 17. 1 135 2 18. 3 19. 9,65 16. 2
3 5 19 и мањи је од њиховог количника за 1 . 8 6 80 2 б) 1 в) г) 2 3
20. Производ бројева 3 21. а) 7
7 12
22. 90 0 23. 24,8cm 24. 15 25. Како је 250 −(2,5⋅31,3 + 0,8⋅25 + 2⋅44,2) = 73,35 > 56,2 , Влада може да купи чоколаду. 26. 480 27. 2t 5 каде. Ако се после 2 минута 6 пуњења отвори сливник, после 10 минута када ће преливати.
28. Ако су обе славине отворене за 6 минута се напуни
29. Последњи резултат је за 75 стотинки слабији од првог. 30. 156 31. 80 32. Попуни дате шеме. a) 82
б) 123
128,4
11 15
20,6
26
9,16
13,74
19,14
13
129,6
97,2
96,87
11 75
3,86
3,53
2,8
2,1
1,77
5
177
JЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ 1.
а)
Провера: 2.
а)
б) 0,73⋅ x =1,241
2 8 ⋅x = 9 15 8 2 x= : 15 9 8 9 x= ⋅ 15 2 12 x= 5 2 x =2 5
x =1,241: 0,73 x =124,1: 73 x =1,7
Провера: 0,73⋅1,7 =1,241
2 12 8 ⋅ = 9 5 15
Провера: 1 3.
x = 0,567 : 31,5 x = 5,67 : 315 x = 0,018 Провера: 0,567 : 0,018 = 31,5
61 6 124 7 62 8 : = ⋅ = =2 63 7 63 6 27 27
7 18
0
0
0
0
0
0
0
0
5,61
3,74
16 1 35
0
0
0
0
0
4. а) x = 6 ;
2 3
9 37 16 1 21
20 77 219 7700 5 33
⋅ 219 2000 7 12
0,073
0 0 0
1 в) x =1 ; 2 5 б) x = 2 ; 8
б) x = 6,32 ;
9 ; 35 2 г) x = 3 ; д) x = 4,8 ; 3 1 3 7 5 6. 2 a+ 3 = 6 ; a=1 . 3 4 24 56
5. а) x = 3
178
0,567 : x = 31,5
б)
6 8 x : =2 7 27 8 6 x =2 ⋅ 27 7 62 6 x= ⋅ 27 7 124 x= 63 61 x =1 63
: 3 7 72 185
г) x = 6 ; 9 ; 28 2 ђ) x = . 3 в) x = 3
0,04 5 7 27 9 37
10
д) x =
1,6
37 ; 45
9,6 5 112 3 74
ђ) x = 2
1 . 12
3 4⎛ 2 5 ⎞ 2 ⋅⎜16 − m⎟+ 0,35 : 0,25 = 8 ; m= . 7 9⎝ 7 4 ⎠ 5 1 7 б) x = . 8. а) x =1 ; 7 8 9. 2,5⋅ x − 9,8 = 7,7 ; x = 7 . ⎛ 1⎞ 1 7 10. x⋅⎜ 0,75 +1 ⎟= ⋅17 ; x = . ⎝ 14 ⎠ 20 15 ⎛ 3⎞ 5 2 11. x :⎜ 0,5 + ⎟= 4 ; x = 3 . ⎝ 14 ⎠ 11 11 ⎛ 4⎞ 1 8 12. ⎜ 4 − ⎟: x = + 0,2 ; x =10 . ⎝ ⎠ 15 7 9 7.
13. Ако са x означиш број килограма купљених трешања, задатку одговара следећа једначина ( x + 0,8 )⋅128,25 + x ⋅85,5 = 530,1, чије решење је x = 2. Дакле, Марина је купила 2kg трешања. 14. Ако са x означиш брзину (број километара по једном сату) којом се Ненад кретао када је 1 пешачио, задатку одговара следећа једначина 3 ⋅ x +( x + 5)⋅2,25 = 24,65 , чије решење је 3 x = 6. Дакле, Ненад је пешачио брзином од 6km/h, док је бицикл возио брзином од 11km/h. 2 15. Ако са x означиш ћеркине године, задатку одговара следећа једначина ⋅( x + 25) = x , 7 чије решење је x = 10. Дакле, ћерка има 10 година, а отац 35 година. 16. Ако са x означиш колико Јована има бомбона, задатку одговара следећа једначина 2 3 ⋅ x = ⋅(51− x ) , чије решење је x = 27. Дакле, Јована има 27, а Јанко има 24 бомбоне. 3 4 17. Ако са x, y, z означиш суме које имају Александар, Јелена и Борис, тим редом, тада услове 5 5 задатка записујеш са следећим једначинама x + y + z = 3000 и x = y = z − 500 . 9 11 9 11 На основу последњег добијаш да је x = ( z − 500 ) и y = ( z − 500 ) . Када то примениш 5 5 9 11 из прве једначине, добијаш ( z − 500 ) + ( z − 500 ) + z = 3000 , одакле је z =1000 , 5 5 x = 900 , y =1100 .
18. Нека је a бројилац траженог разломка. Тада је, по услову задатка, именилац једнак a+ 9 , и важи
a +2 2 2 2 2 = . Одакле добијамо да је a + 2 = ⋅(a +7) , односно, a + 2 = ⋅a + ⋅7 . (a + 9)− 2 3 3 3 3
2 14 2 1 14 8 Дакле, a + 2 = ⋅a + . Како је a = a + a и = 2 + , закључујемо да је 3 3 3 3 3 3 2 1 2 8 1 8 8 1 8 ⋅a + 2 + ⋅a = ⋅a + 2 + , односно ⋅a = . Дакле, a= : = 8 . Тражени разломак је . 3 3 3 3 3 3 3 3 17
179
19. Ако именилац тог разломка означиш са b, задатку одговара једначина 3 чије решење је b = 5. Дакле, тражени разломак је . 5
1 2 = 10 , 1 21 b+ 4
(b − 2) −
20. Ако са x означиш број књига на другој полици, задатку одговара једначина 1 1 2⋅ x − ⋅2⋅ x = x + ⋅2⋅ x + 5 , чије решење је x = 25. Дакле, на првој полици је 50, а на 5 5 другој 25 књига.
НЕJЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ 1.
2 13 ⋅x < 3 18 13 2 x< : 18 3 13 3 x< ⋅ 18 2 13 x< 12 1 x <1 12
а)
б) x⋅31,5 ≥ 56,7 x ≥ 56,7 : 31,5 x ≥ 567 : 315 x ≥ 1,8
1 11 12
0
0
3 x⋅10,5 − ≤1,5 5 3 x⋅10,5 ≤1,5 + 5 x⋅10,5 ≤1,5 + 0,6
в)
2,8⋅( x +1) > 4
г)
x ≤ 2,1: 10,5 x ≤ 21: 105
x ≤ 0,2
180
0,2
1,8 2 2 3
2 x +1> 4 : 2,8 3 14 14 x +1> : 3 5 14 5 x +1> ⋅ 3 14 5 x +1> 3 5 x > −1 3 2 x> 3
x⋅10,5 ≤ 2,1
0
1
1
0
2 3
1
2
5 б) x ≥ ; 6
2. а) x < 8,75 ; 3.
3 1 x : <4 7 12 1 3 x <4 ⋅ 12 7 49 3 x< ⋅ 12 7 7 x< ; 4
а)
0
1
1 1 в) 1 : x ≤ 3 14 6 5 1 x ≥1 : 3 14 6 19 19 x≥ : 14 6 19 6 x≥ ⋅ ; 14 19
0
3 7
1 в) x <1 ; 2
г) x >
7 ; 10
6 д) x ≤1 ; 15 5 ≥ 4,9 28 5 x ≥ 4,9⋅ 28 49 5 x≥ ⋅ 10 28 7 x≥ 8
б) x :
x <1
1
3 4
3 2 4
3
x≥
4 15 4 x <1,7 : 2 15 17 34 x< : 10 15 17 15 x< ⋅ ; 10 34
6 3 = 14 7
1
3 4
3 4
1
ђ) 2,1: (4, 4 − x ) ≤ 0,5⋅1
2 5
1 7 2,1: (4, 4 − x ) ≤ ⋅ 2 5 7 2,1: (4, 4 − x ) ≤ 10 7 4, 4 − x ≥ 2,1: 10 4, 4 − x ≥ 2,1: 0,7 4, 4 − x ≥ 3 x ≤ 4, 4 − 3 x ≤1, 4
x > 0,7⋅2,5 x >1,75
1,75 2
x<
0
x : 2,5 > 0,7
1
7 1 8
0
г) 1,7 : x > 2
1 д) x : 2,5 − > 0, 45 4 1 x : 2,5 > 0, 45 + 4 x : 2,5 > 0, 45 + 0,25
0
1 ђ) x ≤1 . 4
0
1
1,4
2
181
5 4. а) x < 2 ; 6
б) x ≤ 7 ;
3 в) x > ; 5 5 ђ) x > . 6
1 д) x ≥1 ; 4 2 5 3 1 3 5. а) 0,3⋅ x >1 ; x > 5 ; б) x : ≥ ; x ≥ ; 3 9 5 4 20 6. За које вредности променљиве a је: г) x ≥1;
1 6 1 в) 3⋅ < ; x > 3 . x 7 2
1 4 3 29 5 3 38 б) + ⋅a > 2,2⋅1,8 ; a> 4 ; а) 1 ⋅a⋅ <1 − 0,6 ; a<1 ; 2 9 4 40 6 4 225 ⎛ 1⎞ 2 5 в) ⎜3,5⋅a − ⎟: 0,75 −1,2 > 0,5 : 1 ; a> . ⎝ 3⎠ 3 12 7. Најмања новчаница коју Ана има јесте она од 100 динара, а како су све веће новчанице дељиве са 100, закључујемо да Ана поседује цео број стотина динара, и означимо са x ( x ∈ N ) тај број стотина. Тада задатку одговарају неједнакости 7⋅50 ≤100⋅ x −(1354,75 + 45,8) < 8⋅50 , одакле добијаш да је 1750,55 ≤100 x <1800,55 , односно x = 18. Дакле, Ана има 1800 динара. 8. Нека је x сума новца коју је мајка дала Јовану. Тада треба да решиш једначину x −(58,7 + 25 + 4⋅8,5 +1,5⋅67) > 2⋅90 . Дакле, мајка треба да да Јовану бар 399 динара.
АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА 1 1 + 2,3 1. а) a = 5 2 1 4 0,3 + +1 3 5 б) a = 3 7 5 и 9 12 7 5 10 + a = 9 12 2 388 15 + 36 36 a= 2 403 a= 36 2 403 a= 72 43 a= 5 72
в) 10
182
a=
1,2 + 2,3 3,5 a=1,75 a= 2 2 9 +10 + 54 73 30 a= a= 3 90 г)
1 3 3 , 3 , , 6 и 1,75 2 7 4 1 3 3 + 3 + + 6 +1,75 7 4 a= 2 5 1 24 3 6 7 + + + + 2 7 4 1 4 a= 5 14 96 21 168 49 + + + + a = 28 28 28 28 28 5 87 a= 35 17 a= 2 35
2. Књига има 230 страна, а Нина је читала у просеку 46 страница на дан. 3. 13,6km/h 4. 23,9 C 1 5. 3 3 3 x+ 4 =1,75 ; 6. 2
x = 2,75
7 7. Тачки S одговара број 1 . 12 1 8. Тачки N одговара број 5 . 5 5 9. Тачки D одговара број 6 10. Збир три Николине оцене из математике мора бити 3⋅4 =12 , па Николине оцене чине један од скупова: {2,5,5}, {3, 4,5}, {4, 4, 4} .
РАЗМЕРА 12 4 4 1 18 2 б) 4 : 16 = = в) 18 : 27 = = = =4 3 1 16 4 27 3 1 2 11 2 25 1 1 49 г) 5,5 : 110 = д) 3,5 : 0,21=16 ђ) е) 2 : 5 = : =2 20 3 13 7 26 3 7 108 24 2 14 2 2. а) Како је 24 : 36 = = и 14 : 21= = , дате размере су једнаке. 36 3 21 3 3,7 37 12 3 2 3 5 15 1 = =1 и : = ⋅ = =1 , дате размере нису једнаке. б) Како је 3,7 : 2,5 = 2,5 25 25 7 5 7 2 14 14 1. а) 12 : 3 =
3 4 7 7 49 1 2 3 5 5 25 7 в) Како је 1 : = ⋅ = = 3 и 1 : = ⋅ = = 2 , дате размере нису једнаке. 4 7 4 4 16 18 3 5 3 3 9 9 410 410 г) Како је 4,1: 0,07 = и 14,35 : 0,245 = , дате размере су једнаке. 7 7 391 40 3. P1 : P2 = ; O1 : O2 = . 462 43 4. а) 280m, 1m;
б) 5,6km, 5cm.
5. Подели дуж AB дужине 9cm у размери: а) 4,5cm и 4,5cm;
б) 2,25cm и 6,75cm;
в) 6cm и 3cm;
г) 7cm и 2cm.
183
6. Јана ће добити 2000, а Немања 1500 динара. 7. У бокал треба додати 375ml воде, а од 2,1l сока. 10 8. а) x =1 ; 11
б) x = 6,12 ;
2 в) x =1 . 5
ПРОЦЕНТИ 1. а) 20
б) 2
в) 200
г) 1
2. а) 20
б) 20
в) 20
г) 20
3. а) 30
б) 13,5
в) 5,4
г) 141,45
4. У том одељењу има 8 одличних ученика и 18 девојчица. 5. У том одељењу има 8 одличних ученика, а од њих 3 су девојчице. 1 6. 0, 45⋅ x − 0,34 = ; 5
x =1,2
4 7. 0,35⋅1 + 0,25⋅r =1; r =1, 48 5 8. 743,75 динара 9. Ако са c означиш цену карте пре поскупљења, онда важи 1,2⋅c = 660 . Дакле, цена карте је била 550 динара, тј. карта је поскупела 110 динара. 10. Ако са c означиш првобитну цену артикла, добијаш да је нова цена једнака 1,2⋅c ⋅0,8 = 0,96⋅c , тј. производ је сада јефтинији. 11. Ако са c означиш првобитну цену артикла, добијаш да је нова цена једнака 0,9⋅c ⋅1,1= 0,99⋅c , тј. производ је сада јефтинији.
184
ОСНА СИМЕТРИЈА
1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву.
2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на праву p.
3. Ево како су Милица и Јана конструисале тачку А1 која је осносиметрична тачки A у односу на праву s. Миличина конструкција је приказана на слици лево, а Јанина на слици десно.
Ево како су оне описале своје конструкције. Допиши шта недостаје. Милица: ‘’Најпре сам конструисала лук k1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са P и ___. Затим сам конструисала лукове k2 и k3 кружница истог полупречника чији су
185
центри тачке ___ и Q. Тачку пресека ових лукова означила сам са N. Праву p( A, N ) означила сам са n. Права n је нормала на праву ___ из тачке A. Пресечну тачку правих s и n означила сам са ___. Најзад, конструисала сам лук k 4 кружнице чији је центар тачка S и полупречник дуж ___. Тражена тачка A1 је пресечна тачка лука k 4 и праве ___.’’ Јана: ‘’Најпре сам конструисала лук l1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са M и ___. Затим сам конструисала лукове l2 и l3 кружница чији су центри редом тачке ___ и N и полупречници дужи MA и NA . Једна тачка пресека ових лукова јесте тачка ___, а друга је тражена тачка A1 .’’ Обе конструкције су исправне! Која је једноставнија? 3. Дате су три неколинеарне тачке A, B , C . За сваку од њих конструиши тачку симетричну у односу на праву одређену преосталим двема тачкама.
4. Нађи слике полуправих Aa , Bb , Cc при осној симетрији у односу на праву s.
5. Нађи слику угла на праву s.
xOy при осној симетрији у односу
6. Нађи слику отворене изломљене линије ABCDE при осној симетрији у односу на праву s.
186
7. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на праву p. 1) 2)
8. Нацртај туп угао xOy и на краку Ox изабери тачку S различиту од O. Нацртај затим нормалу s на крак Ox и конструиши угао x1O1y1. осносиметричан углу xOy у односу на праву s. Одреди пресек угаоних линија xOy и x1O1y1 и обоји пресек углова xOy и x1O1y1. 9. Нацртај троугао ABC пресликај га осном симетријом у односу на праву p(B , C ) . 10. Нацртај конвексан четвороугао ABCD а затим га пресликај осном симетријом у односу на праву p( A, C ) . 11. Нацртај троугао ABC и нормалу n из тачке A на праву p(B , C ) . Пресликај троугао ABC осном симетријом у односу на праву n. 12. Нацртај кружницу k(O,2cm) и праву s која је: 1) не сече; 2) додирује; 3) сече. Пресликај ову кружницу осном симетријом у односу на праву s. 13. Нацртај троугао ABC и праву s која сече странице AB и BC. Пресликај троугао осном симетријом у односу на праву s. 14. Осном симетријом у односу на праву s тачка A се пресликава у тачку B. Нека је S пресек праве s и дужи AB и нека је C произвољна тачка праве s различита од S. Осном симетријом у односу на праву s: 1) слика дужи AC јесте дуж _____; 2) слика дужи AB јесте дуж _____; 3) слика дужи AS јесте дуж _____; 4) слика дужи CS јесте дуж _____; 5) слика угла ACS јесте угао _____; 6) слика угла ASC јесте угао _____; 7) слика угла CAS јесте угао _____.
187
ОСНА СИМЕТРИЧНОСТ 1. 1) Колико оса симетрије има полуправа? 2) Колико оса симетрије има права? 3) Колико оса симетрије има затворена изломљена линија приказана на наредној слици? Нацртај их!
4) Колико оса симетрије има следећа фигура? Нацртај их!
2. Која од датих слова су осносиметрична? Колико оса симетрије има свако од слова? Наведи још нека ћирилична и нека латинична слова која су осносиметрична.
3. Нацртај све осе симетрија следећих фигура.
4. Нацртај бар један троугао који је осносиметричан. 5. Нацртај бар један четвороугао који је осносиметричан. 6. Нацртај дуж AB = 5cm. Да ли су фигуре K(A,2cm)∩K(B,4cm) и K(A,2cm)∪K(B,4cm) осносиметричне? Колико оса симетрије имају ове фигуре? 7. Да ли је полуправа осносиметрична фигура? Да ли је полураван осносиметрична фигура? 8. Дат је квадрат ABCD. Тачке P , Q , R , S су, тим редом, средишта страница AB , BC , CD , DA . На одговарајућа места упиши шта је потребно. а) Осе симетрије квадрата су: p( A, C ), p( P , R ), p(__, __), p(__, __) . б) Тачка O је средиште дужи: AC, PR, ____, ____ . в) Тачне су једнакости: OA = OB = ____ = ____ AC = ____
188
OP = OQ = ____ = ____
AB = BC = PR = ____ = ____ = ____ .
СИМЕТРАЛА ДУЖИ 1. Нацртај неку дуж и подели је на осам једнаких делова? 2. Конструиши дуж чија је дужина једнака
3 дужине дужи коју си произвољно изабрао. 4
3. Изабери две тачке А и B. Конструиши праву p, тако да се тачка A пресликава у тачку B при осној симетрији у односу на праву p. 4. Одреди тачку праве p која је подједнако удаљена од тачака A и B.
5. Одреди тачке дате кружнице које су подједнако удаљенe од тачака A и B. 1) 2)
6. Изабери три неколинеарне тачке и означи их са O, A, B. Конструиши затим кружницу са центром у тачки O тако да постоји тачно једна тачка те кружнице која је подједнако удаљена од тачака A и B. 7. Дати су троугао ABC и тачка B’. Пресликај дати троугао осном симетријом ако знаш да је при тој симетрији слика тачке B тачка B’.
8. Одреди тачку која је подједнако удаљена од тачака A и B и чије је растојање од тачке T једнако 3cm. Колико има таквих тачака? 9. Треба конструисати нормалу на праву p из тачке A која не припада овој правој. Како је Лазар поступио, приказано је на слици лево, а како је Милош, на слици десно.
189
10. У равни је дата права t и тачка T која јој припада. Конструиши све кружнице полупречника 3cm које додирују праву t у тачки T. 11. Конструиши квадрат ABCD ако су дати теме A и права p којој припадају темена B и D.
12. Конструиши квадрат ABCD ако су дата његова темена A и C.
13. Нацртај неки троугао и конструиши симетрале његових страница. Шта запажаш? 14. Дате су три неколинеарне тачке. Нађи тачку која је подједнако удаљена од ових тачака. 15. Нацртај троугао и одреди средишта сваке од његових страница. Нацртај затим дужи које спајају теме са средиштем наспрамне странице. Шта запажаш?
16. Нађи центар кружнице приказане на слици десно.
17. У равни је дата права t, тачка T која јој припада и тачка A која не припада овој правој. Конструиши кружницу која садржи тачку A и праву t додирује у тачки T.
СИМЕТРАЛА УГЛА 1. Нацртај неки туп угао и подели га на на осам једнаких делова. 2. Конструиши (без употребе угломера) угао чија је мера: а) 45 ; б) 2230 ’ ; в) 1115 ’ ; г) 135 ; д) 225 ; ђ) 315 . 3. Одреди тачке дате кружнице које су подједнако удаљена од кракова угла xOy.
190
4. Нацртај круг и конструиши централни угао који је једнак шеснаестини пуног угла.
5. Дат је оштар угао xOy и на његовом краку Ox тачка A. Одреди тачку угла xOy која је подједнако удаљена од тачке A и крака Oy.
6. Дат је угао xOy и на краку Ox тачка P. Конструиши кружницу која додирује краке угла и садржи тачку P. 7. Нацртај два упоредна угла и конструиши њихове симетрале. Под којим углом се секу симетрале два упоредна угла? 8. Нацртај два комплементна угла са заједничким краком и конструиши њихове симетрале. Под којим углом се секу симетрале два комплементна угла са заједничким краком? 9. Нацртај две паралелне праве и једну њихову трансверзалу. Конструиши кружницу која додирује све три праве. Колико таквих кружница можеш конструисати? 10. Нацртај неки троугао и конструиши симетрале његових унутрашњих углова. Шта запажаш?
191
ОСНА СИМЕТРИЈА РЕШЕЊА
1. Осно симетричне фигуре приказане су на сликама под а) и В). 2.
3. Милица: ‘’Најпре сам конструисала лук k1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са P и Q. Затим сам конструисала лукове k2 и k3 кружница истог полупречника чији су центри тачке P и Q. Тачку пресека ових лукова означила сам са N. Праву p(A,N) означила сам са n. Права n је нормала на праву s из тачке A. Пресечну тачку правих s и n означила сам са S. Најзад, конструисала сам лук k4 кружнице чији је центар тачка S и полупречник дуж SA. Тражена тачка A1 је пресечна тачка лука k4 и праве n.’’ Јана: ‘’Најпре сам конструисала лук I1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са M и N. Затим сам конструисала лукове I2 и I3 кружница чији су центри редом тачке M и N и полупречници дужи MA и NA. Једна тачка пресека ових лукова је тачка A, а друга је тражена тачка A1.’’ 3.
4.
193
5. Нека је X произвољна тачка на краку Ox и Y тачка пресека крака Oy и праве s. Ако су O ' и X ' слике редом тачака O и X при осној симетрији у односу на праву s, онда је угао x’Oy’ слика угла xOy при тој осној симетрији. 6.
7. 1)
2)
8.
9.
∠xOy ∩∠x1O1 y1 = OO1 14. 1) слика дужи 3) слика дужи 5) слика угла 7) слика угла
194
AC је дуж BC; 2) слика дужи AB је дуж AB; AS је дуж SB; 4) слика дужи CS је дуж CS; ACS је угао BCS ; 6) слика угла ASC је угао CAS је угао CBS .
BSC ;
ОСНА СИМЕТРИЧНОСТ 1. 1) Полуправа има једну осу симетрије. То је права на којој се она налази. 2) Права има бесконачно много оса симетрије. Поред те праве осе симетрије су и све праве које су нормалне на њу. 3) Приказана фигура има две осе симетрије. 4) Фигура има четири осе симетрије.
2.
3. Унутар сваке фигуре уписан је број њених оса симетрије.
4. Ево три осносиметрична троугла.
5. Ево два осносиметрична четвороугла.
6. И пресек K ( A,2cm) ∩ K (B , 4 cm) и унија K ( A,2cm) ∪ K (B , 4 cm) су осносиметричне фигуре и имају по једну осу симетрије – праву која спаја центре ових кружница.
195
7. Полуправа је осносиметрична фигура и има само једну осу симетрије – праву на којој се налази. Полураван је осносиметрична фигура и има бесконачно много оса симетрије; свака права нормална на граничну праву те полуравни је њена оса симетрије. 8. 1) Осе симетрије квадрата су: p( A, C ), p( P , R ), p(B , D ), p(Q , S ) . 2) Тачка O је средиште дужи: AC, PR, BD, QS.. 3) Тачне су једнакости: OA = OB = OC = OD , OP = OQ = OR = OS , AC = BD , AB = BC = PR = CD = DA = QS .
СИМЕТРАЛА ДУЖИ 1. Дуж најпре поделити на два једнака дела. Затим, сваку половину дужи поделити на пола. Најзад, добијене четвртине дужи поново поделити на пола. 2.
3. Права p, коју треба конструисати, је симетрала дужи AB . 4. Тачка праве p која је подједнако удаљена од тачака A и B је пресек праве p и симетрале дужи AB . 5. Тачке које треба одредити су тачке пресека кружнице и симетрале дужи AB . У првом случају (а) постоје две такве тачке, док у другом (б) такве тачке не постоје. 6. Треба конструисати кружницу са цетром у тачки O која додирује симетралу дужи AB . 7. Троугао ABC треба пресликати осном симетријом у односу на симетралу дужи BB ' . 8. Тражене тачке су тачке пресека симетрале дужи AB и кружнице k (T ,3cm) . 9. Правилније је поступио Милош. Лазар је нацртао нормалу, док ју је Милош конструисао! 10. На нормали праве t у T треба одредити тачке O1 и O2 које су на растојању 3cm од T . Кружнице k (O1 ,3cm) и k (O2 ,3cm) су тражене кружнице. 11. Тачка C је симетрична тачки A у односу на праву p. Темена B и D припадају правој p и кружници чији је пречник дуж AC. 12. Конструиши најпре симетралу дужи AC и означи на пример са O средиште ове дужи. Темена B и D припадају конструисаној симетрали и кружници k (O , OA) . 13. Симетрале страница троугла секу се у једној тачки. 14. Тражена тачка је пресечна тачка симетрала дужи које су одређена двема од ове три тачке. 15. Дужи које си нацртао секу се у једној тачки.
196
16. Нацртај две тетиве које нису на паралелним правама. Симетрале ових тетива секу се у центру кружнице. 17. Нацртај нормалу n на праву t у тачки T. Пресечна тачка O симетрале дужи AT и праве n је центар тражене кружнице. Тражена кружница је k (O , OT ) .
СИМЕТРАЛА УГЛА 1. Угао најпре треба поделити на два једнака дела. Затим, сваку половину угла треба поделити на пола. Најзад, добијене четвртине угла треба поново поделити на пола. 2. Угао чија је мера 45 је половина правог угла; дакле, прав угао треба поделити на два половина угла од једнака дела. Угао од 2230' је половина угла од 45 , док је угао 1115' 22 30' . Угао чија је мера 135 можеш конструисати као збир правог угла и угла од 45 или као разлику опруженог угла и угла од 45 . Угао од 225 је збир опруженог угла и угла од 45 . Угао од 315 је разлика пуног угла и угла од 45 . 3. Тражене тачке су пресечне тачке дате кружнице и симетрале угла xOy. 4. Тражени централни угао има меру 2230' . 5. Тражена тачка је пресек нормале на крак Ox у тачки A и симетрале угла xOy . 6. Центар O тражене кружнице је пресек нормале на крак Ox у тачки P и симетрале угла xOy , док је њен полупречник дуж OP . 7. Симетрале два упоредна угла су међусобно нормалне. 8. Симетрале две комплементна угла са заједничким краком секу се под углом од 45 . 9. Постоје две такве кружнице.
10. Симетрале унутрашњих углова троугла секу се у једној тачки.
197
