С Млојвћ ·Нн Вуловћ
·
ма икаб Збирка задатака са решењима
Математика б Збирка задатака са решењима треће издање
Аутори: Сања Милојевић, Ненад Вуловић Реценэенти: роф. др Радосав Ђорђевић, Природоматематички факултет у Крагујевцу Милица Вајукић, професор математике, OW "Дрика Павловић у Београду Зорица Станковић, професор математике, OW "Мома Станоловић у Краујевцу
Графичко обликовање Totaldea", Нови Сад Обликовање корица: Милош Аризовић Прелом: Игор Болта Лектура: Јована Ђокић
bl
Издавач: Издавачка кућа Кiett" д.о.о. Светозара Ћоовића 15/IV, 000 Београд Тел.: 011/ЗЗ48-З84, факс 01/3348385 ofce@klettrs, www.kett.s
За иэдавача и эдавача:: Гордаа КежевићОрлић Главни уредник: Александар Рајковић Уредник: проф. др Браислав Поповић Руководилац пројекта: Алексадар Рајковић Штампа: Маргоарт, Беорад Тираж: 15.000 примерака
CIP Каталогизација у публика цији
Народна библиотека Србие, Београд 37.0б:51 (075.2) (07б) МИЛОЈЕВИЋ, Сања 1974-
Математика б : збирка задатака са решењима:: [за б разред осовне школе] 1 решењима Сања Милојевић, Ненад Вуловић- З. изд Беорад: lett, 201 (Беорад: Мароарт). стр раф при кази, табеле; 30 cm 152 стр -
Тираж 15000 SBN 978-8б7762582
1 Вуловић, Неад, 1979 аутор] COBSSSRD 8237671 8237671б б
Министар просвете Републике Србије одобрио е издавање и употребу овог уџбеника у шестом разреду основно образовања и васитања решењем број 650-0200078/200-06. Заб За брањено рањено ј је е репрод репродуковањ ауто уковање торско рског дела или његових е, дистри дистрибуциа об ја ово ог ау уо јављивањ вљивање ореба реба ов е, рерад рерада а и ли друга у делов дел р оваа у би ком об б ило ком оби иму ост сту ком о об му и или о уку ку,, ук љ блику без ук ључ ање е у еле учују ујући ел ек онском ћи ф фо оок око увањ оир ирањ ање е, ша ш амп мпањ ање е или ув исмене дозволе и з давача давача Наведее радње редсављају кршење ауторских права
© Кet 20. ISBN 978 86776 86776258 2582 2
Математика б Збирка задатака са решењима треће издање
Аутори: Сања Милојевић, Ненад Вуловић Реценэенти: роф. др Радосав Ђорђевић, Природоматематички факултет у Крагујевцу Милица Вајукић, професор математике, OW "Дрика Павловић у Београду Зорица Станковић, професор математике, OW "Мома Станоловић у Краујевцу
Графичко обликовање Totaldea", Нови Сад Обликовање корица: Милош Аризовић Прелом: Игор Болта Лектура: Јована Ђокић
bl
Издавач: Издавачка кућа Кiett" д.о.о. Светозара Ћоовића 15/IV, 000 Београд Тел.: 011/ЗЗ48-З84, факс 01/3348385 ofce@klettrs, www.kett.s
За иэдавача и эдавача:: Гордаа КежевићОрлић Главни уредник: Александар Рајковић Уредник: проф. др Браислав Поповић Руководилац пројекта: Алексадар Рајковић Штампа: Маргоарт, Беорад Тираж: 15.000 примерака
CIP Каталогизација у публика цији
Народна библиотека Србие, Београд 37.0б:51 (075.2) (07б) МИЛОЈЕВИЋ, Сања 1974-
Математика б : збирка задатака са решењима:: [за б разред осовне школе] 1 решењима Сања Милојевић, Ненад Вуловић- З. изд Беорад: lett, 201 (Беорад: Мароарт). стр раф при кази, табеле; 30 cm 152 стр -
Тираж 15000 SBN 978-8б7762582
1 Вуловић, Неад, 1979 аутор] COBSSSRD 8237671 8237671б б
Министар просвете Републике Србије одобрио е издавање и употребу овог уџбеника у шестом разреду основно образовања и васитања решењем број 650-0200078/200-06. Заб За брањено рањено ј је е репрод репродуковањ ауто уковање торско рског дела или његових е, дистри дистрибуциа об ја ово ог ау уо јављивањ вљивање ореба реба ов е, рерад рерада а и ли друга у делов дел р оваа у би ком об б ило ком оби иму ост сту ком о об му и или о уку ку,, ук љ блику без ук ључ ање е у еле учују ујући ел ек онском ћи ф фо оок око увањ оир ирањ ање е, ша ш амп мпањ ање е или ув исмене дозволе и з давача давача Наведее радње редсављају кршење ауторских права
© Кet 20. ISBN 978 86776 86776258 2582 2
ПРЕДГОВОР Ова збирка задатака је део уџбеничког комплета за шести разред издавачке куће KLETT. Састоји се из пет целина у којима су задаци разврстани у складу са наставним јединицама и прате начин и динамику излагања у уџбенику. На почетку свако поглавља дати су најједноставнији задаци који би требало да омогуће репродукцију основних знања и вештина Тако ће баш сваки ученик са успехом почети да решава задатке из, надамо се, сваког поглавља Очекујемо да ће почетни успех изазове све тежих задатака претворити у нове успехе а крају сваке целине налази се кратак тест Намера нам је била да понудимо ученицима могућност да сами провере у којој мери су савладали одоварајућу целину. Свим ученицима, решаваоцима задатака, њиховим професорима, па и родитељима који желе и могу да помогну својој деци, желимо пуно успеха у раду. Аутори
з
САДРЖАЈ Цели бројеви
................................................... 7 27 Скуп целих бројева ..................................... 7 27 Бројевна права ........................................ 7 27 Супротан број......................................... 8 27 Апсолуна вредост броја .............................. .. 8 28 Поређење целих бројева ................................ 1О 28 Сабирање целих бројева ................................ 1О 29 дузимање целих бројева ............................... 11 ЗО Својсва сабирања .................................... 14 ЗО Једначине .......................................... 15 З1 Неједачие...................................... .. . 1 З1 Множење целих бројева ................................ 17 З2 Дељење целих бројева ................................. 20 ЗЗ Својсва множења..................................... 22 З4 Једначие и неједначине . ............................... 2З Тес - сабирање и одузимање у Z . . 25 Тес - множење и дељење у Z .. . 26 .
.
.
Троугао
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
З5
54 Појам и неке врсе роуглова ........................... .. З5 54 Углови троугла ....................................... З 56 дос сраница и углова троугла .......................... З9 57 сновне неједнакости за странице роугла.... ................ 41 58 сновне и једносавне консрукције лењиром и шесаром......... 42 58 Конструкције неких углова ............................... 4З Подударнос роуглова ................................. 4З 59 59 Савови подударноси роуглова .......................... 44 59 Страница-угао-сраница ............................ 44 59 Угаостраница-угао................................ 45 60 Сраницастраницасраница......................... 45 Страница-сраница-угао ............................ 46 60 60 Примена савова подударноси ........................... 47 62 Консрукција троуглова ................................. 49 Значајне ачке роугла.................................. 50 З Ценар описане кружице ........................... 50 З Ценар уписане кружице ........................... 51 64 1 Висине роугла и ороценар ......................... 51 65 ежишне дужи и ежише ............................ 52 66 ест - роугао ................................................5З
4
Рационални бројеви.
67
92 Скуп рационалних бројева 67 92 Предсављање рационалних бројева на бројевној правој. 68 93 Супротан бројАпсолуна вренос раионалног броја . . 68 Поређење рационалних бројева 69 94 94 Децимални запис рационално броја .... .. . ... 70 95 Сабирање рационалних бројева 71 96 Оузимање рационалних бројева 72 97 Сабирање и одузимање бројева у децималном запису . 73 98 Својсва сабирања рационалних бројева . 75 Једначине са сабирањем и одузимањем 76 98 99 Неједнаине са сабирањем и одузимањем 77 1 ОО Множење раионалних бројева 78 101 Својсва множења рационалних бројева . 80 Дељење рационалних бројева 82 102 103 Једначине 84 104 Неједначине 86 Процени 88 105 Тес- сабирање и одузимање у Q .. . ...90 Тест множење и дељење у Q . ... . ..91
Четвороугао 107 119 Појам четвороула 07 19 ,Углови чевороугла . 07 Паралелорам 09 20 Праiюуаоник ромб и квадра 11 122 Паралелорами и симерије 112 123 124 Консрукије паралелограма . 12 127 Трапез 14 130 Делоид.. 116 Тес четвороуао 117
Површиа четвороуглова и троуглова .. . ..... ...131
145 Појам површине ... . 31 овршина правоугаоника 33 48 Површина паралелорама 135 49 150 Површина роула 137 151 Површина р�пеза 40 152 овршиа четвороугла . 43 44 Тес- површине ·
5
К А КО ЋЕШ КОРИС Т ТИ ОВУ ЗБИР К З А ДАТ А К А (упутство за ученике}
Као и рани је, и у ово ј збирци задат ака смо с е порудили да у чење и веж бање мат емат ике не предст авља велики роблем. 5.
У гл авном на очет ку сваке нас авне теме предви ђено је да се на одоговара јућа места у збирци у пишу ачни одг овори.
Цели бројви између -7 и 4 су:�������_ и.
4 Допуни реченице:
Према уг ловима, троугове д еимо
и ако су сва три унурашња угла
.Т роуг ао је ошра. Т роуао је упоуги роугао је равоуг ли ако
Т абеле које су д ат е реба да
Поуи табелу
попу ниш и тачне одговоре упишеш
на за то предвиђена места.
29.
Попуни д ате пирамие ако за
важи а+ Ь =с:
Пирамиде и маг ичне квадрат е т ако ђе решавај у збирци.
16.
У односу на пеи разред, већи број задаака ћеш сада решава и у школско ј или свесци за вежбање
Површина правоугаониа је 2cm• Једна њег ова траница је днака е друге страние. 3
О дре ди обим тог правоуг аоника.
21. Разлику бројева и -55 (умањиац је 55 увећај за ихов збир.
У великом бро ју задатака, уз текст задат ка, даа је и слика са ко је т реба да изведеш одговара ју ће закљу чке. 29 Изаунај површине датх фгуа:
олио роуло је одрено дим чкм : а
р
г s
.R
/
в т
Е
о
·т
N
На крају сваке еме, поред еса који ће т и ослу ж ии да сам себе провериш како си савладао т ему, даа су дет аљна у пу т ства и решења зада ака ко ји су у њо ј постављени.
ЦЕЛИ БРОЈЕВИ- РЕШЕЊА СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 18={5,,}С5--7,0,-З5 2 а) тачо; тано ) ао г тано д) нтано з
6)
ђ тао.
Желимо ти много успеха!
6
ЦЕЛИ БРЈЕВИ СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА
{
Дат је скуп А = 5 7
}·
9 18 -35; Нађи поскупове В и С овог скупа ако
скупу В припаају прирони бројеви, а скупу С цели бројеви.
2 Испитај тачнос слеећих врђења: б) Z=Z- u z+; а) + =N ) N cZ д) N 0=Z 3 Попуни остаак табеле корисећи симболе \: 8 о
Е
z
z
N
55
,5 4 Напиши пет узасопн1х елх бројева тако а су: б) три неа тивна а) сви негативни; 5. Цели бројеви између 7 и су:-----_ и. б Неативни цели бројеви већи о 7 су: и 7 Колико целих бројева је између:
б) о и 1
а) -З и З;
в) и 8
БРОЈЕВНА ПРАВА Нацрај бројевну праву и на њој означи ачке:
О, 8,
5 и 7.
2 На бројевној правој уцртане су тачке А, В С D и Е Којим целим бројевима ооварају ове тачке ако је јеинична уж cm?
1
1
D
Е
3 На бројевној правој ате су ачке А(5) и В7. Колико јеиничних ужи има између ачака А
и
В?
7
4
Колико је растојање између тачака 5(-З) и Р(2) на бројевној правој ако је јединична дуж те бројевне праве Зсm?
5 Ако је растојање између тачака М() и N(11) на бројевној правој 8cm, колика је дужина
јединичне дужи?
6
На бројевној правој дата је тачка (2). Одреди координату тачке В, коју ћемо добити када тачку померимо за 4 јединичне дужи улево, и координату тачке С, коју ћемо добити када тачку померимо за б јединичних дужи удесно
7 За колико јединичних дужи треба померити тачку (З) да би после померања дошла у
тачку:
8
а) В(8) ;
б) С(-7)?
На бројевној правој дате су тачке 5(З) и (2) Нађи тачку В, која је симетрична тачки у односу на тачку 5
9 Одреди координату средишта 5 дужи В ако је (7) и В() 1 О. У 9h измерена температура у неким градовима у рбији: Беорад 4°, Крагујевац 7°,
Краљево 2°, Ниш 7° Који град је у 9h био најтоплији, а који најхладнији?
11 У
1Oh на Златибору је измерена температура 9°, а у Ужицу бос Колика је била температурна разлика у 1 Oh између та два места?
12 У једном граду, прво јануара у бh температура је износила 8°
У 1 Oh температура је била за 7° виа, а у 1Зh за јо з ос виа. Колика је била температура у том раду у 1 Зh?
СУПРОТАН БРОЈ 1 а) Броју је супротан број ; в) Броју 1 је супротан број ;
б) Броју З је супротан број; г) Броју 222 је супротан број_
2 Попуни табелу:
3
аведи пет парова супротних бројева: и;_ и_ и; и; и
АПСОЛУТНА ВРЕДОС РОЈ А 1 Одреди апсолутне вредности бројева: 8, -б 2, 2 �
8
Испитај тачност следећих тврђења: а) 1Ol=1Ol; б)1O= 1O; г) 1Ol 1; д) 1O=-'1Ol;
9, , 21, б 14 в) l1Ol=1; ђ) l10=10.
QБроје ви 1 и -1 имају апсолутну вреднос 1 реднос: а) 1 6 7 б) О
О
О.
в 4. Реши једначие:
;
в)
З;
;
в) l x l= 5 ; s Нађи све целе бројеве за које је l x l 5 . � Попуни табелу: б) x= 22 ;
а) l x= 8 ;-
5 0
l x l
=
l17.
<
х
7. Израчуна ј:
Нађи бројеве који имају апсолуу
а) 1 5 1 -l - 51 ;
в) al al.
б) l - 8 - 8 1 ;
а) -1O ll -5 ;
в) l -1O - 5 ;
б),l1O 5;
г) 1O -5 .
Израчунај: б) 2 5 +l -1O I - - З I ;
а) l 1 7+l - 5 + -З I;
в) I5 0 I I18I_17I; 14 l 7+ 9 1 �Израчунај: а) l 5 5:5; в) 1 4 · - 5 ; б) l - 9 · 4 ; г 7 7: 7 11 Израчуај: а) 154 +l 9 ; б) l 26:l1 Зl+11; 3 4 l 6 4:1 6. в) l 7 0 38; Ако је = 6 4 Ь= 4 и = 7 израчуна ј вреднос израза: а) a+lbl lc; б) a l+l b l -l c l ; в) lal:b+c; l al lbl·lcl.
в)lal+bllcl; � � ;: 1
-1 2 l l ;
�
и с= - 5 израч = �; израза с �
•
г a+lbl+lcl
14 Попуи абеле: а)
9
18
- 6
4 4 1 3
- а
2 5
-( а)
lal
б)
1 6
4
5
20
1
9
lal lal+ 4 lal-1
9
ПОРЕЂЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1 Дае бројеве поређа ј по величини од најмањег до највећег:
а) -7, -19, -З, -8, -20 и 4; б) 9, -8, З, О,-5, 4 и 0; в) 17, 4,2, l-7, 8, -б и 5.
2 Поређа ј по величини апсолутне вредности бројева:17,
14,-5, О,11, 9, - и
З Упиши у квадраиће један од знакова <, > или =ако да добије ачно врђење:
б) 1 О-з; д) -8 4;
а) 8-5;
г) l-5 D 1;
в) 4 (4) ђ) 15 15
4. Одреди све целе бројеве х за које важи: а) б< х< О; б) О� х� 5; д) x г) 7 <х� 1; l � б.
в) 2 <х< б;
САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА
Qабери целе бројеве: а)-5+(4);
З Израчунај збир:
а) ) 18+27; б) )-48+8З; в) 1)7+(З5);
Г Израчунај збир: а) б++(-7); в) 4+7+(-5); д) -З+2+8;
5 Израчунај:
)15+4;
в) 15+(4)
г) 5+4
б) -б+(-9);
в) б+(б);
г) -7+(-(-7))
) 1З+(-5); ) 9+б7; )28+(107);
З)1б+22; З)-52+(-З8); З)-18З+1б;
4)19+(-25); 4)-98+(-87); 4) З7+(-5З)
б) -5 + 4 + (-З); г) -7+( б)+(12); ђ) -5+(1)+(-7)
а) -+(2)+( З) +( 4); в) -14+()+(-З)+(б); д) З+(1б)+(-4)+(-8)+(5); е) [8+ (4)] + [-55+(-З9).
10
б) 1+2+(З)+4+(-5); 4+(З5)+(-3)+(11); ђ) 1б+4+(-17)+8+(-б);
б
Поnни табел: х
у
z
-2
-3
-1
-7
18
-1
-13
21
46
19
36
42
39
152
191
7. 3бир бројева-2 и- 8
y+z
x+y+z
'
дода ј збир бројева-17 и ЗЗ, па израчнај вредос израза.
Попи абеле: +16
б)
а) +
9
x+z
х+у
8
25
62
-14
9
19
17
-ЗЗ
-21
-7
Попи дате шеме: а)
б)
+8
+4
+(-17)
+(-З8)
+14
+(-92)
ОДУЗИМАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА
Gзрачај дае разлике цели бројева: а)-8- З; 2
б) 8- З;
8- -3;
Израчнај разлик: 2) З 12 ; а) 1) 12- З; 2) 2 (5); б) 1)-2- 5; 1)-18- 25; '2) 14 18;
(�
г -8 (3)
З) 12- 12; З) 4- ( 9) ; 3)-18 5; -
4)12-(-12); 4)14- (-8); 4) 4- (-12)
11
2- 8- З;
12- 17- 15;
+2-1.
)-З+14+19; 4 Израчуна ј вредност израза:
в)-7+(-6)- 9(8)+ ; б) 0- 9+87+6- 5; 8- З+4- 3- 7+11- 1 +8
а) 1- 2+З- 4+5; \ (14- (8 9))+ 5;
S Израчунај вреднос израза:
а) 27- 12+(З5-18) (12+З)- (18- 5); в) З4- 40 (27 З2)+(З8 41) (29 +З5);
·
б)- (З7- 14) (12- 8)+ (1 З 7) (15- З); - (29- 14)+(8 15)- (17- 24- З+14)
опуни дате шеме: а) З8
+5
-9
-2З
+26
+12
б)
7 Доврши опуњавање абеле:
а)
9 18
-ЗЗ
-1 4
б)
12
-З7
- 42
29
29 -18
66 8. Ако је а=-1О, а) а++; г -а-; 9
-17
=
4 и = - 5, израчунај: б) а- ; в) -а+Ь+; д) а+-; ђ) -а+-
Попуни абелу: а
12
а+Ь
17 6 3
-7
28
-З1
19 15
а-Ь
lal-lb
1. Израчунај а Ь-(-с + d ако је: а) а= 17, Ь = -2,с= 5, d= -2 б) а= -9, Ь = 8,с= -9, d= -22 11 Израчунајl a l- b ако је а= -25 +(9 - 16) и Ь=(-8 - 5) - а. 12 Ако је а=(7- 23 -(5 -9)) и Ь = 14 +(11 - 19) +(-33), израчунај вреднот израза (аЬ )(l a l-l b l) 13 Израчунај вреднот израза а) -(-9) +(-11) +(2 4); б) -17- [19 -(75 - 63) + 12]-(-7- 5); в) [29 -(18 + 15) + 19]- [70 +(-17- 71)]; г) -1О- {-20 - -30(40 50) 60} 14 Поређа ј по величини од најмањег до највећег вредноти бројевних израза а, Ь, с ако је а=х+ (уz), Ь = x-yl-z и с= хy +zlз х= -15 -(-7), у= 19 +хz=11 у 15 Упореди по аполутној вредноти изразе , В и С ако је = х (х+ у B= 1 -l1 -lx-yl+zi,C=z -(1 -z) и кojex3,y =1,z=7 16 Од броја 27одузми збир бројева 44 и -56 17 3биру бројева -29 и 14 дода ј број -9 18 Збир бројеа -46 и 15 умањи за разлику бројева 37и -33(умањеник је 37) 19 Разлици бројева23 и 27(умањилац је 27) дода ј збир бројева 14 и5 20 Од збира бројева -125 и 59 одузми њихову разлику(умањеник је -125) 21 Разлику бројева 66 и -55(умањилац је -55) увећај за њихов збир. 22 Разлици бројева -29 и -76(умањеник је -29) додај аполутну вреднот њиховог збира 23 Разлици бројева 18 и -54(умањеник је 18) дода ј разлику бројева -7и 91(умањилац је 91), затим тај збир умањи за збир бојева 25 и -9. 24 На Милошевом рачуну у банци уплати 5 500 динара?
је 7650 динара Колико ће бити ново тање када
25 Петар је имао на рачуну у банци 5 400 динара Колико ће бити ново тање на његовом рачуну ако је подигао из банке 1О 000 динара? 26 Милан је имао на рачуну у банци 2 300 динара. Најпре је подигао 3 000 динара, а затим још 5 000 динара Поле тоа на рачун му је уплаћен изно од 1О 000 динара Колико ада Милан има новца на рачуну?
13
27
На Копаонику је у бh измерена температура -18°С. После Зh температура је порала за 7°С, а за наредна Зh још 12°( али је до 1h емпература опала за 4°С. Колика је измерена емпераура у 1h?
28
Надморска висина дна мора је 1 8бm а подморница је 20m изнад дна мора. На којој надморској виини је подморница?
29
опуни дае пирамиде ако за
важи а +Ь =с:
СВОЈСТВА САБИРАЊА 1
Ипиа ј ачно ледећих једнакоси: а) 7+З= З+7); в) 2+4))+9)= 2+ 4)+ -9));
б) 1+ 4) =4+1); г) 7+б+)) =7+б)+)
2
Применом закона комуаивнои и аоцијативности израчунај: а) -7+1+(З); б) 19+4)+2; ЗЗ+10)+бб+). в) 12+З+8)+17;
3
Израчунај
израза користећи војва сабирања: а) 24+(-17) б) 9+1б+9+1б); 1О+1+12)+3+О; в) 12З+99)+2З)+47); д) 9+4+11)+4)+ЗО; ђ) -21+(-18)+(20)+19+ 18.
4.
Израчуна ј збир свих целих бројев чија је апсолуна вреднос мања од 20.
5 Упии
у квадаиће један од знакова <, > или =тако да добијеш ачно врђење: б) 42+42 D 5 +б; а) 17)+9) D 9)+17); З4+1б+З4 D -1ОО+1+О). в) 7 27 D 9+9);
б
14
опуни табелу, па упореди последње две колоне х
у
z
12
19
8
7
З1
-1б
4
1
б
б
12
ЗЗ
х+у
y+z
х+ у)+z
х+y+z)
ЈЕДНАЧИНЕ 1
2
3
Реши једначине: а) 8+х= 10; г)х+(5)= 9;
б)22х 19; д)25+х З;
в)х- =11; ђ 2х=5
Реши једначине: а)х (9) 2; г) 1-х= 1;
б)4+х=22; д)х 1= 22;
в)х+ 15=1; ђ -7 Х= 14.
Реши једначине: а)х+ 1 000= 999; г) 1 000+х ;
б) 2 008+х= 2 008; д) 5х0+ 15;
в)2 008х 1; ђ 8=х 11.
4
Реши једначинух+ = 5 , где је решење једначине = 9
5.
Реши једначину lbl-х= 9, где је Ь решење једначине 12 Ь
=-
5.
Реши једначине:
7
8
9
а)(9 17 +х4; в) 1 5 19 х=6;
б)х (7+(5))=12; г)(4 11)+х= 1 411 1
Реши једначине а)(х 55) 5=1 ; в) 25(9х) 2;
б) (х+ 8)= 8; г)21(х 4)= 6
Реши једначине: а)2(22 ) 20; в)5+(5+с)=5;
б) 12(15+ Ь)= ; г) d 4)(4)= 4.
Који број треба одузети од4 да би е добио број 9?
1О
Ком броју треба додати број 12 да би е добио број11?
11 Ако е од неког броја одузме број З5, добиће е бој24 О ком броју је реч? 12 Замилили мо неки број, додали о му разлику бројева и (7 је умањеник) и
добили мо број 4. Који број мо замилили?
) и 1б, где је 1б умањилац, да би е добио
13 Од ког броја треба одузети разлику бројева 4
збир бројева2� и 4?
14 За колико треба умањити збир броева9 и 9 да би е добио збир бројева 94 и84? 1
Који број треба одузети од збира бројева 66 и59 да би е добила разлика ти бројева, где је 66 умањеник?
1
Када од броја 5 одузмемо неки број увећан за , добићемо број 19 О ком броју је реч?
5
17 Ако број -28 увећамо за неки број, па од тог збира одузмемо број -2. О ком броју је реч?
-9, добићемо број
18 Каа број 7 умањимо за неки број па од те разлике одузмемо збир бројева-25 и 4, добићемо број супротан броју О ком броју је реч? 19 Стање на Петровом рачуну у банци је -б З50 динара Да би добио кредитну картицу
стање на рачуну мора а буде +5 000 динара. Колико новца етар мора да уплати да би добио кредитну картицу? 20 Реши једначине:
б)x- 2 = 7
а)lxl+ 2 = 7 21 Реши једначине
а)x + (4) =5; в)x - 4 = 7
lxl 7 -2
в) 7 -lxl 2
=
=
б)x+ 9 =4 ; г x + 2 =б
22 Реши једначине:
а) 9 -lxl 2 (-4); в) (-2 +З)+lx + Зl
-
б
-
(-);
б)lxl- ( - 4) =9 +б; гlx 5 (8 + (-З5)) -9 + 8 =
НЕЈДНАЧИНЕ 1 а) Цели бројеви који се налазе између б и су:_ и_
б) ели бројеви који се налазе између 9 и -2 су:_ и_ в) Цели бројеви који се налазе између З и 5 су:_ и_
2 Напиши целе бројеве који су решења неједначине:
а) -б<х< -;
б)-2<х<8;
3 Реши неједначине:
а) -4 +х> 2;
б) х- 7� 4;
г) x l<б .
в) 7>х> 7 в) 5 х> .
4 Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој:
а) х+ (-8) <9; г) -х<-2
б) +х -4; д) З +х� -5;
в) х- (-4) > 4 ђ) 9 - х б
5 Реши нејеначине и решења прикажи на бројевној правој:
а) 2- 4 +х> З в) б- (-8) <х- З;
б) х- (7)� 2+ (-5); (- + 2) х -З+4
б. Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој: а) -4 (х З)� ; б) ( -х)+ З� б ;
в)- 25- (4 +х)>22
16
г) (х+ (7)) <4
1 Одреди заједничка решења неједначина:
а)х+ З<-(15) и 2-х< 4;
б)х-(-5)�З их+(-2)< 2.
8
Израчунај збир цели бројева који су заједничка решења неједначинах- 4<- 2 и 11+х>-17.
9.
Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој: а) lxl< 7 б) lxl- 2 2; в)8- lxl�4; г) li+ ЗЗ-(-З).
О
2
3
Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој: а) lx 1< 5; б) lx+ Зl 7; в) 1- xl+ 5 8; г) lx+ 4- З< З. Израчунај збир сви цели бројевах за које је lx- Зl< 4 Реши неједначине: а) -6-(х- 9) �-2- З;
б) -1-(-2-(х+ З))>-4;
в)-5-(-1)(-х) >-+ 9(1)
.
Које бројеве можеш додати броју 2 да добијеш број већи од ?
4 Од који бројева можеш одузети број-З да добијеш број који није већи од-24? 5
Које бројеве можеш одузети од броја 11 да добијеш број мањи од -З?
Које бројеве можеш додати разлици бројева 77 и-67( умањеник је 77) да добијеш број који је већи од збира ти бројева?
7
Које бројеве можеш одузети од збира бројева-11 и-12 да добијеш број који није већи од разлике броје·в а4 и-З( умањилац је-З)?
8 Температура у граду је С. Клизалиште може да ради на температури мањој од -4°С. За
колико степени треба да падне температура да би клизалиште могло да ради?
МНОЖЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА
Користећи(2)+(-2)+(2)+(-2)+(-2) 5 (-2) -1, напиши следеће збирове у облику производа, па и израчунај: а) 9+ 9+ 9; б) 4+ 4+ 4+ 4+ 4; в)(5)+(5)+(-5}+(5)+(-5)+(-5)+(5)+(5); г)(7)+(7)+ (-7)+(7)+(7)+(-7)+(7)(-7)+(7)+(7)
2
Испитај тачност следећи тврђења: а) 7 (З)<; б)(-10) (9)<; в) 9 999 (-9) >; г)-12З 4 >
=
·
=
·
17
З.
4
5
6
Израчунај производе: а)8·З; б)8(-З);
в)(-8)З;
г)(-8)·(-З).
Израчунај производе: а)5 З; б) (25) З; ђ) 12 8; д) (б (7;
в) 9 (2); е) (4) (-8);
г)5 (-8); ж) (1О) (4)
Израчунај: а) 1 (-2);
в)5 ·б;
б) -З. 4;
Израчунај производе: а)1) 987; б)1) 1 111. 1; в)1) 500 1; г)) 4 545 ·1;
г) 7 (-8);
2) 987 (1 ); 2 1 11 1); 2) 500. (-1); 2) 4 545 (1 );
д) 9 1 о
З) 987О; З) 1 111 О; З) 500 О; З)4 545 О
7 Упиши у квадратић један од знакова>,< или= тако да тврђења буду тачна:
б) 4 5 4 · (5); г) б 9 7 (-8)
а) 7 (-З) 4 ( 9; в) -18 2 D 7 ·5; 8 Доврши
·
попуњавање табеле: 4Х
х
-ЗХ негативан
позитиван негативан негативан
позитиван 9
Попуни табелу:
1 О
11
18
а
ь
с
2
з
9
8
7
10
-8
- 5
4
- 25
2
Израчунај производе: а)1О ·1О 1О); в) 1О1О 1О);
аЬ
Q·C
б)1 О· (1 О) · 1О); г) 1О О) :1О)
Који знак ће имати производ ако множимо: а)5 негативних бројева; б)1О негативних бројева; в) 9 9 негативних бројева и позитиван број; г)50 негативних бројева и50 позитивних бројева; д)15 негативних бројева и 15 позитивних бројева
ЬС
а·Ь·
12 Израчунај: а) (15 9)·б; в) (15+9)·(б);
б) (15 +9) (б); (15 9)·(б)
13 Израчунај вредност израза: а) (З7+14)· (2 б); в) (21 19)· (14+7
) (15+21)·(4 9); (8 9)· (1О 11)
14 Израчунај вредност израза: а) 5·З+(1)· (2); в) З· (2) + 1)·(5); д) 10 (10 ) 10 0 ·1;
) 1 (2) (З)·(4); 1·(1) 12· (5); ђ) 4 (15) о (7
15 Израчунај вредност израза: а) 10 ·З+1)·(б)+ (5)·7 в) 4 (4) 7 ·9+(2)·(б);
) 1 (4)+(9) 8 (8). 5; 1 б· (2) б·(б) 2·4
·
·
16 Дат је скуп А={х 1 х
Е
Z, 44 <х: 44} Одреди производ свих елемената скупа А
17 Дат је скуп В= {х 1 х
Z
lx : ЗЗ} Одреди производ свих елемената скупа В.
18 Ако је х=х· х попуни табелу:
х
8
2
2
5
12
0
19 Број 25 је квадрат бројева 5 и 5 Такође је:
а) број 4 квадрат бројева _ и _
б) број 49 квадрат бројева_ и _
в) број 81 квадрат бројева_ и _
број 1ОО квадрат бројева_ и_
20 Израчунај: а) 9+(9) г (8) (5)+З;
) (2) 2; д) 2 (б) + (4) - (1)•
21 Израчунај вредност израза (х+у) - х·у ако је: а) х=4, у=7 и =12; ) х=9, у=11 и =З; в) х 15, у 5 и z=20 22 Израчуна ј вредност израза а) х·(х+у, за х 4 и у 22; б) (х у)·(х у), за х=5 и у 11; в) х·у З·(х+у), за х - 8 и у б 23 Ако је т=5, n б и р=7, израчунај вредност израза:. ) (т n)·(т+р; а) т·nт р; n· р- т·n·(n р. в) т·n+т·n·р;
9
(-б+4)(З), В=-1(-2) ·(-З) и С (-З)- 45 израчуна ј вредност израза: ) (А- В) (АВ+С. а)А В- В С;
2 ЗаА=
25
Броеве А В и С поређај по величини од намањег до навеће ако е А (12+б)(-7), В= -22- б (-9+9) и С= (-2- З 4) (-9+5)- (5)•
26
Израчуна вредност израза: а) 9+(-8+7+б) (-5)- 4(-З); ) 25- [б 9 . (-5)+( 7- 12)1]; в) 1ОО- {[15- 9 ( 11- 14)] ( 18 19)}; ) {[2+(З) ( 9 12)]( О- 20)} ( 4- б) ·
27
Разлику ројева -19 и 5 (-19 је умањеник) помножи са З
28
Производу ројева-12 и 11 додај рој-7
29
Израчуна производ зира ројева бЗ и 54 и роја 7
30
Зр роева-З и 24 помножи њиховом разликом, ако е 24 умањилац.
3
д производа роева-1О и 7 одузми производ роева-14 и-2
32 За
колико се разликују производ ројева 24 и б и количник роева 55 и 1?
33
Израчуна ј количник ако је дељеник зир роева 84 и б8, а делилац апсолутна вредност роа 1б.
3
Производ три цела роја је 42, а производ намање и навеће од њих е 14 Кои су то роеви? Колико решења има задатак?
ДЕЉЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1.
Испита ачност следећих тврђења: а)-9 999 :9<0; )729 :(З)>О; в) 575(-5)>О; )-З 45б (-9) О.
2
Израчунај количнике: а) 5б:8; )5б :8;
в) 5б :( 8);
)-5б(-8)
Израчуна количнике ) 27 :(-З); а)-24 :б; ђ)81 :(9); д) -4515;
в) 55 1; е) З4(17);
)-28 (7); ж)-Зб :4
3
4
20
Израчуна: а) О15; ) О(-24);
) 5 :1; д)-24 : 1;
в) 15 :(-1); ђ)-24:(1).
а)78:78;
5.
чу на ј: Из ра
б
Попуни табеле:
б)78:(-78);
ь
а·Ь
а:Ь
-З
15 -90
бО
5 10 12
б)-4:(-25 +17); (-1З - 29):(7).
Израчунај вреднос израза: а)9:(-1)+4 :7 ; в)22:(-1)- 28:( 4) ; д)-4 ·(-З)+20:(-4);
б)-8:(4)- 48: 8; -50:5 +ЗО: (б); ђ) -5б :7 +8 . (4)
-
а) х + у;
3
4 -З
-б
у= -5, израчунај: б) l x l - у ;
в)- (х · у;
у:х.
б) -12 :4 +120:20 ; 7 - (-2):(-З)+ -5(З).
зрачунај вредност израза: а)29 12 :(З) б·( З); в)-1О б :(-2)+4 ·5 ; д)(2 . +8:(2)):(2)+1 .
б)-20+2 (-)- (З +4 :(-2)); б +ЗЗ:(-1)- 9 (-5);
4 Израчунај вредност израза:
а)-19- (З 2 4 5 :(-1)+)+19 ;
а= -2, Ь = 4, с= -5, израчунај:
а)-5 +ЗЬ1О ; в) аЬ + Ьс- ас;
-13
х:у.
Израчунај вредност израза: а) 45:(-9 + -8 : -2; в) 5 - (8)·(-4)+ З2 :(-1 б);
15 Ако је
аЬ
05
Ако је х= -2 и у= (-4), израчунај: а)х + у ; б) lx- Y ; в) х· у;
Ако је х=- (-5)и
2
-12
а ·Ь
б)са 5 да би добио 75? са 7 да би добио -З?
зрачунај: а)З5 :(5 -2); в)(71 17):(-18);
О
ь
-52
а)са 1Ода би добио -70? в)са -12 да би добио -84?
9
а
-55
7 Који број треба да помножиш:
8.
г -78:78.
б)
а)
а б
в)-78:(-78);
·
б)-17 (22 :(- )+5 ·(-З)- 2) б)7 а 1ОЬ+О ; 4: а а (2)- с Ь.
а= 11, Ь = -З и с 5 израчунај: а) аЬ - З ас+ 4 ас ;
б За
21
17.
Израчуна ј вредност зраза: а) ЗЗ: З - {ЗЗ ·З - 52: (-2)-(27: 9 -18 2)]}; б) 5З - 84- {25 0: (5)- [-З 9: (-1З)(2 5 -ЗО·(-4))]}; в) -1б+ З2 1б+ {17 - 22+8 (5· 4 - 8З)]- б }; г) 28- 48- {1О- 5 · [ 24+ 9·(- 11+ 1З)- 28}(-З).
8
Попу дате прамде ако за
важ аЬ=с:
.
9
Израчуна колчк збра бројева бЗ 47 броа 1б
20. Прозвод бројева 18 и 2 умањ за кочнк бројева 125 5 21. Колчку бројева 80 5 (-80 је дљенк) додај прозвод бројева 1б 8 22. Од колчнка бројева -42 б (б је деац) одузм прозвод броева -1З 9 23. Од прозвода броева -11 З одузм колчнк броева -З2 8 . 24. Израчуа вредост зраза: а) 2а -lb а: З l · (2) ако је а=15: (-З)- (-5+ 9: (-2) Ь=а ; б) 4·(Зm-2n)- 5 (4m- Зп)ако је т=-2 n=-1 ; в)- (-4х+ (-8+ (5х - 1)- Зх))- (9+х) ако је х=-2
СВОЈСТВА МНОЖЕЊА 1.
Испа тачнос једакост: а) 9·8=8· (9; в) 9 (8+(-7)) -9 8+ (9 (-7); =
·
б) 9 (8 . (-7))= (9 8) (-7); г) б·(-5)+б 4=б· (-5 + 4)
2. Попун дате табее, па упоред последње две кооне:
а)
в)
22
а
ь
-12
аЬ
б)
а
ь
с
4
-З
8
4
- 7
-17
9
8
- 7
22
- З
-2
-З
- 4
- 8
12
-1
5
Ь·а
а
с
-1
5
15
4
-9
7
-2
- З
-4
а· Ь+с)
а Ьс)
аЬ+а·с
(а Ьс
з К ористећи својства множења израчунај:
а)2·19(-5); г)(14)·(-4)·(З)·(-25);
б)-5 2 (2); д)125 (7)·(-4) (-2)
в)20 ·(-7)·5 (13);
4 Примени дистрибутивност и упроси дате изразе:
б)7Ь- 4Ь+8Ь; г)12Ь- Ь- 19Ь+ЗЬ
а)5- З; в)-4 +(-4Ь);
5 Израчунај вредност израза примењујући дистрибуивност:
а)7 2+7 (-1З); в)-127 + (-12) ·4 - (-12) 5 ;
б)-4 +8 ·- ·; г)-9 (5)- 11 (-5)+1 О(5)
б слободи се заграда у датим изразима:
а)2·(Зх- 4); в)(-1З+15Ь)4 ;
б)-7 (5+ 9); г)(12+5- ЗЬ)(-1 О)
ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ 1 Реши једначине у скупу цели бројева:
а)5х=З5 ; г)9 х= З; е)х:(-7)=З ; и)40 :х=-8 ;
б)-9х=27 ; д)х: 4 =7 ; ж)х:(-5)=-5 ; ј)-55 :х=11 ;
2 Реши једначине у скупу цели бројева: а) - х- 17 = ; б)-8 х+8 = 80 ;
г)-19+З х 8 ; е)-8 +7 х -57 ;
д)-7 +5 х=-42; ж)-7 х - 1 =-- 9;
в) х=-48 ; ђ) х:9=-2; з)-1:х=-2; к)-З9:х=- 1 3
в)5 ·х+9=-; ђ) -12+5 х=-42; з) х+З2= 18 - О.
З Производ З ·х краће пишеш и овако: Зх Реши једначине у скупу цели бројева:
а)(Зх- 4):11 =-2;
б)21 ·(4 - х)=-42;
в)(-20х- 50)2=100
Реши једначину -З+х=-5 за =-2 5 Реши једна чине:
а)Зх+4х=-49; в)21х- 12х+ 11х -1 ОО; д)7х+ =8х 9;
б)5х- 14х=27 ; г)4х- 9х+=-29; ђ) х- 1 ОО =9х- 1
б Којим бројем треа помножити број -З5 да би се добио број 70? 7. Којим бројем треба поделити број З5 да би се добио број 7? 8 Када трострукој вредности неког броја додаш / добићеш -З Који је то број?
23
9
Када од петосруке вредности неког броја одузмеш 12, добићеш-72. Који је о број?
О. Ако двоструку вреднос неког броја умањиш за 16, па добијену разлику
поделиш са 4,
добићеш број-6 О ком броју је реч? Реши једначине: а) l5x= 10; в) 2x+5= 11;
б) 4x· (З)-З; г) 4x 2 = 22.
2 Збир ри узасопна цела броја је-714 Који су о бројеви? 3 Збир пе узiопних целих бројева је-1
Који су о бројеви?
Провери који од бројева из скупа А= {-1 , З, 7,-2,-8} могу бити решења неједначине -5·Х> З5.
4
24
5
Реши неједначине у скупу целих бројева и решења прикажи на бројевној правој а) 5 < 5; б) : 4> 2; в)-З � 9; г)-6 12; д) : (-З)> 1; ђ)-17·< З4.
б
Реши неједначине у скупу целих бројева и решења прикажи на бројевној правој: а) 2+З < 1; б) 19- З � 7; в) 1- З � 1 ; г)7- 1 �-15; д)-7+5�42; ђ)-8+7�-57.
7
Реши неједначине у скупу целих бројева и решења прикажи на бројевној правој: а) (8- З) 2 �-5; б)-40 (7+5)>-1 600.
8
Нађи заједничка решења неједначина у скупу целих бројева: а) 2 +1> 19 и 2 1 < 21; б)-З+> З и 4 12 � 8; в)-7 < 2+З< 5.
9
Реши неједначине: а) З·< 15;
б) 5·x < 20;
в) x 2 � 1 5.
20
Одреди вредноси променљиве за које је израз 7- (2- 5) мањи од производа бројва -11 и 5.
2
Одреди вредности променљиве за које је израз 15- (З+8) већи од количника бројева З5 и 7 (7 је делила ц).
ТЕС- САБИРАЊЕ ОДУЗМАЊЕ У Z 1 Поређај од најмањег до највећег целе бројеве из скупа А={-7, 12, О, З, -З, 4, 2, -5, 5,-1}.
О 1 ·� ' S
- f -1
2 Нацртај бројевну праву и на њој одреди тачке А(З) и В() Колико је растојање између тачака А и В?
'1
- ь
- s 1
б) З;
а) -З;
в)-9;
(Заокружи слово испред тачног одговора.)
3 Израчунај и напиши одговарајући резултат: - t
1
г)17- 15= у
в)15-19=�
б)27+11=ь·
�
4 Израчунај BI- 10-2 +-l 6, па заокружи слово испред тачног одговора:
@
б)-1О;
в) 28;
г) 26.
5 ко је =2, Ь=З и =-4, онда је вредност израза -а- (-Ь) +: а) 1; (-З. в) З; б)-1; (Заокружи слово испред тачног одговора)
б. На Петровом рачуну у банци стање је-2 770 динара Клико ће бити ново стање а његовом рачуну ако избанке подигне З 500 динара? 270 динара;
а
б) 7ЗО динара;
в)-730 динара;
(Заокружи слово испред тачног одговора)
- ( ) +8 ' ; + �
7 Решење једначине-44- (х+8)=7 је: а) х =4З;
б) х=4З;
в) х=-45;
@ х=-59.
(Заокружи слово испред тачног одговора.)
Решење неједначине17- х19 је: а) х> 2;
® х �2;
в)х-2;
г) 270 динара.
г) х-З
{� з 5 ., - х; :" ' s х э
.
(Заокружи слово испред тачног одговора.)
"У
-1 < 1 /:(е ?
>-·
�=
:(е 9 :(е ·s п (Ј р 8 gL 9 z (е € :6=8 Z L S t О tv 'L '9 в
·v
25
ТЕСТ- МНОЖЕЊЕ 1.
) 1З4= ;
в) -11 (б)=_.
Израчунај и напиши одговарајући резулта: а) 72 :( -8) ;
3
ДЕЉЕЊЕ У Z
Израчунај и напиши одговарајући резулта: а) 9·(-7)=_;
2
И
в) -З9:(-З)=
) 121 :11=_;
Вредос израза -4 + (-2) ·б - 4 :(-) је: а) -27;
) -5;
г) -25.
в) -З;
(Заокружи слово испред ачог одговора) 4
Ако је =2 и Ь=-З, вредост израза 4 - 2Ь- ЗЬ је: а) -З2;
) -20;
в) 1б;
г) 4
(Заокружи слово испред ачог одговора) 5 Ако од количника ројева -2 и б, где је 42 деље ик,
одузмеш производ ројева -1З и 9
доићеш рој: а) -124;
) 11О;
в) 11О;
г) 124.
(Заокружи слово испред ачног одговора) 6
Решење једачине (-2х + 1) :5=З је: а) х = -7;
) Х=-8;
в) х=8;
г) х 7
(Заокружи слово испред тачног одговора.) 7
Решење неједачие бх� -18 је: а) х < З;
) х З;
в) х� З;
г ) х > З.
(Заокружи слово испред тачог одговора.) 8
Када од пеоструке вредности еког роја одузмеш рој 12, доићеш рој -72 Тај рој је: а) х -бО;
) х-12;
в) х=12;
(Заокружи слово испред тачног одговора.)
26
г) х бО.
ЦЕЛИ БРОЈЕВИ- РЕШЕЊА СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1 в= {5, 29, 18} с {5, 2, 7, о, 29, 18,З5} 2 а) тачно; б) нетачно; в) тачно; г) тачно; 3 N z-
д) нетачно ђ) тачно. z
8
Е
Е
-1
Е
о
Е
Е
55
Е
Е
- 14
Е
2,5
а) На пример: -8, -7, -б, -5, -4; s -б, -5,4, -З, -2,, о, 1, 2,з. 6 -б, -5, -4, -З, -2, -1. 7. а) 5; б) О; в) 1
б) -З, -2, - 1, О 1
БРОЈЕВНА ПРАВА �
1 -7
-1
о
2
5
8
2 А( 5), (-2), С(-1 ), (2) и f(4) з. 12 4 5 јединичних дужи, 5 Зm 15c 5 Измеу тачака М и N има 1б јединичних дужи 8cm: 1б 0,5cm б (-б); С(4) 7 а) 5 јединичнх дужи удесно; б) 1О јединичних дужи улево 8 (8) (-1) 10 Најтоплији је био Крагујевац, а најхладнији Ни ш. 12 2°С 11 15° ·
СУПРОТАН БРОЈ 1.
а) -5;
б) З; в) - 1ОО; г) 222.
3 На пример: 8 и 8; 1 и 1; 1О и 1О; 7З и -7З; -999 и 999.
АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ БРОЈА 1 8, б, 2, 19, о 2 1' б, 14
. а) тачно; б) нетачно; 2 а) б и 1б; б) З и -З;
в) нетачно; г) тачно; д) тачно; ђ) нетачно. З. 1 в) 7 и 7; г 50 и 50 4 а) х 8 или х 8; б) х 22 или х -22; в) х 5 или х5; г х= 17 или х= -17. s х
Е
{-4, -З,2, - 1 О, 1' 2, З, 4}
27
8 8
-40
З2
40
З2
9 9
7 а) 5- 5 = О; б) О; в) О 8 а) О- 5 = 5; б) О- 55; в) О- 5 = 5; г) 1О 5 = 5 9 а) 25; б) З2; в) 15; г) 1 О. а) 1; б) З; в) 70; г) 11
.а) 9; б) ; в) 4; г) ЗО .а) 75; б) 1; в) 2З; г) З 3.а) ; б) 1; в) 25; г) З5 .а) -18 9 а 18 -а -9 -( а) 9 -8 18 9 lal б)
а
-1б
al a+4 lal -
20
4 4 8
15
з
1
44 44
-б
44
-13
25 -25 25
44
1З
25
5 5 9 4
20 20 24 19
1 1 5
9 9 1 8
-б
13
о
ПОРЕЂЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1 а)-20<-9<-4<-8<-7<-З;
б)-18<-5< О< З< 4< 9 < 20;
в) 2<-<-4< 5< l -7<8< 17 .IO< 1I< I 5I < 9I< I 1< 4I< 17I< 22 3.а}-8<-5; б) 11>-З; в}-4<-(-4); г) 8> 4; ђ} l -55 5< 11; д) l.а) х {-5,-4,-З, 2, ; б) х Е { 0, 1, 2, З, 4, 5; в) х {-, О, , 2, З, 4, 5; г х {-, 5,-4, З, 2,-1, О, 1; д) х Е {-,-5, -4,-З, -2, , О, 1, 2, З, 4, 5,
САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА .а)-19; б) -1; в) 11; г) 9 .а) З; б) -15; в) О; г) О 3.а) 1) 45; 2) -2; З) ; 4) -44; б) 1) З5; 2) 9; З) 90; 4) -85; в) ) -2; 2)-1З5; З) ЗЗ; 4) 19 .а) 1; б) 4; в) -2; г -25; д) 7; ђ)-З4 5 а) -1О; б)-З; в) -45; г) -2ЗО; д) -5; ђ)-7; е)-217 б
х
у
z
х+у
x+z
y+z
x+y+z
-2
-З
-5
З
-4
-б
-7
18 -21 -З 152
1 -1 4 42 91
1
-8
-З4
зз
17 1з
1 152
17 25 З4З
10 12 25
-1 19 -З9 7-8
28
ЗО4
б)
8. а)
+1б
+
-8
25
-14
-б2
9
1
З4
-5
19
З5
17
9
42
з
-ЗЗ
-17
-21
-29
4
-З5
7
9
9. а)
б)
4б
-
+8
+4
+(-17)
+(-З8)
+4
+(-92)
ОДУЗИМАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА .а) -11; б) 5; в) 1; г) 5 .а) 1) �2) -15;З) 4) 0; б) 1) -7;2) З,З) 1З;4) - в) 1) -4З;2) -4;З) -2З;4) 1 3 а) 9; б) 9; в) О; г -20; д) ЗО; ђ -4З; е 19; ж 8 4 а) З; б) З; в) -1З; г) О; д) б 5 а) 4; б) -ЗЗ; в) 8; г -26 б. а)
б)
-З8
+15
-9
2З
+2
+12
7. а)
б)
19
ЗЗ
-14
18
-З7
15
-4
29
10
б2
4З
- бб
8. а) 9
-ЗЗ
-85
- 54
-52
2
-42
8З
29
-18
72
З7
7
11; б) 9; в) 9; г 11; д) ; ђ 19
а+Ь
Ь
lal-lbl
7
9
Зб
2
-2
15
9
-21
9
1З
7
-20
-6
б
28
З
-З
59
-З
29
1 О. а) Зб; ) -4. 11=З2, Ь9, a- Ь 1 =З 12, Ь=-55,( - Ь)-(!Н bl) О З а) 4; ) -24; в) ЗЗ; г) 50 1х-8, у=, z=-22, =25, Ь=4, с=-9, с< < Ь. s. А-4, в=9, с=-15, IA4, B9, IC I=15, AI < IB < C I. З9. 7-24 1-0. 4. 8 1З2. 52 3-42. 2 50. -4 бОО. 64 зоо 7зс - б5m.
СВОЈСТВА САБИРАЊА 1а) тачно; ) тачно; в) тачно; г) тачно. а) ; ) Зб; в) О; г) -. 3а) -; ) О; в) -4б; г) 2; д) О; ђ) -22 9+(-8)+()+.+8+9= а)(- )+( 9)=(9)+( ); ) - 42+42< 5+б; в) --2< 59+(-59); г) З4+б+З4 > -ОО++(-О) y + z х z у х+у х+(y+z) (х+ у)+z 2
-19
8
-
-
З
-б
24
5
8
8
-4
-15
б
-19
9
-95
-95
б
2
-ЗЗ
8
-2
5
-5
чигледно је (х+ у)+ zх+(у+ z).
ЈЕДНАЧИНЕ а)х=8; )хЗ; в)х=4; )х-4; д)х=22; ђ)х=З а)х=; )х8; в)хб; г)х=О; д)хЗ9; ђ)х=-2 3а)х=-1; )х40б; в)х -2009; г)х000; д)х=О; ђ)х4 -б,х=.
30
5 .Ь =7, х=-2
.а) х =4; б) х =-1О; в) х=20; г) х=4 1. а) х =50; б) х=О; в) х=28; г) х=2З 8.а) =44; б) Ь=З4; в) =5; г) d=4 9 . х =-13 11. х =
1З. х =-8
1.х=2З . х=4 .х=20 .х=З
1. х=8 1. х=2 1.х =24 19. х= З50 .а) lxl =5,х=5 или х=5; б) lxl =, х или х= ; в) x =5, х=5 или х=5; ) x =5, х=5 или х=5 .а) х= или х= ; б) х=5 или х=5; в) х= или х=З; ) х=4 или х=8 .а) х=7 или х=7; б) х=4 или х=4; в) х= или х=7; ) х=50 или х=40
НЕЈЕДНАЧИНЕ 1.а) -5, 4,З,2,; б) 8,7,,5, 4,З; в) 2,,0, ,2,З,4 .а) 5, 4,З,2; б) ,О,,2,З,4,5,,7; в) ,5, 4,З,2,,О,,2,З,4,5,; г) 5, 4,З,2,,О,,2,З,4,5 .а) х> ; б) х : З; в) х< .а) х<; б) х�7; в) х> 8; г) х> З; д) х8; ђ) хЗ .а) х> ; б) хО; в) х> 5; г) хО .а) х�; б) х�2; в) х<7; ) х<4 .а) 2 <х<2; б) 8 х<4 .<х< 2, (5) +( 4)+(З)+(2)+()+0+=4 9 . а) 7 <х<7; б) 4 х4; в) 4 х4; г) З хЗ 1.а) 4<х<; б) 0 х4; в) 2 х4; г) 0<х<2 11.<х<7,0++2+З+4+5+=2 1. а) х8; б) х> 8; в) х> 5 1. Бројеве који су већи од 8 ,па решење можеш записати: х> 8 1.д бројева који нису већи од О,па решење записујеш овако: х О 1. х> 4 1. х> З4 1.х�22 1.За више од °С
МНОЖЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1.а) 27; б) 20; в) 40; г) 70 .а) тачно; б) нетачно; в) тачно; г) етачно .а) 24; б) 24; в) -24; г) 24 4 .а) 15; б) -75; в) 8; г) 40; д) 42; ђ ; е) З2; ж) 40 .а) 2; б) 2; в) ЗО; г) 5; д) 0 .а) ) 87; 2) 87; З) О; б) ) ; 2) ; З) О; в) ) 500; 2) 500; З) О; г) ) 4 545; 2) 4 545; З) О а) 7 ·(З)> 4 (); б) 4 5=4 (5); в) 8 (2) > 7 5; ) > 7 (8)
31
8
.
х
4·Х
-3Х
позитиван
позитиван
негативан
неативан
негативан
позитиван
неативан
негативан
позитиван
негативан
негативан
позитиван
а
с
а·Ь
Ьс
аЬ·с
1
2
з
-2
з
-б
-б
-9
7
-72
бЗ
56
504
0
5
0
50
40
-400
4
25
2
00
50
-200
О. а)- 000;; ) 000; в) 000; г)1 000. а); б в); г)+; д . а)Зб; )Зб; в)44; г)44 а)92; )-ЗО; в)-4; г) 2. а)7; )- в)-; г)59; д -200; ) 60. а)59; )-2; в)-67; г)44 о о
х
4
64
4
25
44
а)2 и2; )7 и7; в)9 и9; )10 и-0. а)162; ) в)9; )4; д 64. а); )59; в)275 а)72; )96; в)42. а)65; )З2; в)240; г)З4. А=б, В=6, С=1; а)-102; )564 А=42, В=З, С=-79, С< В< А а)22; )29; в)142; ) 420 72 8З9 63. 35 9 39. х у z =42, х· z=4, у=42 : (-4)=З. ко је х најмањи, а z највећи рој, могћа решења с х-1, z=14 или х=2, z=7.
ДЕЉЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА а)тачно; )тано; в)нетачно; а)7; )7; в)7; )7 а)4; )9; в)5; г)4; д 3;
32
)нетачно. ђ) 9;
е)2;
ж 9
б)15; б)-1;
4 .а)О; s.а)1; .
6
в)15 г)О в)1 г)1.
ђ) 2 .
д)2
а
ь
а·Ь
а:Ь
а
ь
а·Ь
а:Ь
б
3
18
2
12
4
8
3
-15
5
-75
3
8
3
5
-б
90
10
900
9
55
11
б05
5
бО
12
720
5
52
3
с
а· (Ь·с )
(а·Ьс
4
-9б 504 24 бО
-9б 504
2б (или 2б) 2 (или 2)
а)7
)15; в)7 г)9 8 .а)-5; )8 в)З г б. а)17 )-4; в)5 г)15 д)7 ђ) 0. О. а)8 ) б в) 8 З а)1О; )20 в)75 г)З. а)1 )9; в)-4 г)18. 3а)51 )33 в) 1 1б д)О. 4а)б б)2. а)72 )10 в)З8 г) 2 6а)11 )87. а)81 )2б в)27 г)1б.
1 б1 112 11о 31З9 4а)а= З, Ь= З, вредност израза 2
)9;
в)1б.
СВОЈСТВА МНОЖЕЊА а)ачно 2 .а) а
)ачно
12 7 22 в)
аЬ
4
48 11 б б 72
17 З 8
-9
в)ачно
ачно. б) Ь·а
а 9
8 8
7
-2
3
-4
12
-1
5
48
З
11 б б 72
а
с
а· (Ь+с
а·Ь+а·с
1
5 -9
20 8
20
4
15 7
2
З
-4
4
14
-
-24 -б О
-8
33
3.а) -190; б) 120; в) 9 1ОО; г) 4 200; д) -7 000 .а) 2; б) -ЗЬ; в) -4( + Ь); г) -1ОЬ 5.а) -77; б) -12; в) -72; ) 0 6.а) х Ву; б) -З - З; в) -2 + ОЬ; ) 120 0 ЗОЬ
ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕАЧИНЕ .а) х=7; б) х=-З; в) х=8; г) х=-4; д) х=28; ђ) х=-18; е) х=-21; ж х=2; з х=8; и х=; ј) х=-; к) х=З .а) х=-1О; б) х=11; в) х=-; г) х 9; д) х -7; ђ) х=-; е) х=-7; ж х=2; з х=1О 3.а) х=-б; б) х=1; в) х=- .х=-11 5.а) х 7; б) х=З; в) х=; г) х=7; д) х=-8; ђ) х=-ЗЗ .х2 .х=- .х=-З .х=-12 .х=-4 .а) х=2 или х=2; б) х=З или х=-З; в) х=З или х=-8; ) х=б или х=- .2З9,-2З8,2З7 3.4,З,-2,-1,о. .1о, -8 5.а) х<-1; б) х>-8; в) х�-З; ) х$-2; д) х<-З; ђ) х>2 6.а) х<-1; б) Х$4; ) Х$-З; Г) Х�2; Д) Х$7; ђ) Х$-7 .а) х$; ) х> .а) 9 <х<11, х=1О; б) 1 $х<З, х Е {1,2}; в) - <х<1,х {-4,З,-2,-1,0} .а) - <х<; б) 4 <х<4; в) ЗО $х$ЗО .х<-12 .у <
34
ТРОУГАО ПОЈАМ И НЕКЕ ВРТЕ ТРОУГЛОВА 1 Допуни речеице:
Т емена троугла морају бити три тачке роугао који одређују ачке . Страница АВ се обележава са _ страница са а, а А В и С обележавамо са са Ь Угао САВ се обележава са_, уао са у, а угао са /. страница _
_
2 Доврши обележавање темена, страница и углова троугла на уобичајени начин:
в)
б)
а)
г)
А
Б
С
З Колико различитих троуглова је записано у низу: а) МВС �ВАС �ВСА �СВА; б) �SAR �PAS �TAS �RAS MPS �SAT
1 4 Запиши све троулове који се могу уочити на слици: 2) З) 1)
3 4
А
А
v
о Е
v
а) Издвој све троуглове са слике З) чија је једна страница дуж ТА б) Наброј све троуглове са слике 4 чије је једно теме тачка V в) На сликама 1) и 4 уочи и наброј све наспрамне странице темену А троуглова чије је једно теме та чка А Колик -о троуглова је одређено датим тачкама:
а)
б)
.
R
/
о
р ·т
г)
в)
А R
5 N Е
о т· N
R
N
б. Колико различитих троуглова је одређеЕ са а) четири б) пет; в) шест тачака, ако не
постоје три тачке које су колинеаре (икоје три е рипадају једној правој)
5
7 Колико троуглова је одређено са пет тачака ако су а) три; б) четири од тих тачака
колинеарне? 8. На три паралелне праве дато је редом 5, 1О и 15 тачака тако да када са сваке од
паралелних правих одаберемо по једну (било коју) тачку, помоћу њих увек можемо формирати троугао (оне су неколинеарне). Колико се таквих троуглова може формирати? 9 Допуни реченице:
Ако су у троуглу све странице различите, називамо а < Ј ' r Р/ Ако су две странице троула једнаке дужине, називамо а тог троугла, док је трећа троугао, а једнаке странице називају се д страница о о тог троула. Троугао чије су све странице једнаке дужине назива се 1 Једнакостраничне троуглове обој плавом, разностране зеленом, краке једнакокраких
троуглова црвеном, а основице жутом бојом
11 Израчуна ј обим троугла чије су странице 2cm, 4cm и 5cm
0:1
�ь
(:
" � С 0- z 'о 12 Израчуна ј обим једнакокраког троугла ако је:
а) крак 6Acm, а основица 1cm;
'
б) основица 4,1с, а крак за ,3cm дужи од основице.
13 Израчуна ј обим једнакостраничног троугла чија је страница 2,2cm. 4 Обим троул је 22cm Ако су дужине две странице 9,5cm и 4,2cm, израчунај трећу 5 Обим једнакокрако троула је 7Acm Израчуна ј странице троугла ако је:
а) крак 2,1cm;
б) основица 2,cm
б Израчуна ј страницу једнакостранично троугла ако је обим то троула 4Jcm
УГЛОВИ ТРОУГЛА Нацртај два различита троугла. Конструктивно (преношењем углова) сабери углове ова
два троугла. Шта з9кључујеш о збировима њихових углова? 2 Да ли постоји троугао чији су углови:
а) 50°, 60° и 70°;
б) 33°, 2 и 136°; о
в) 82°, 33° и 64°;
) ', 74°57' и 05°2?
3 Одреди трећи угао троугла ако су мере преостала два угла:
36
а) 32° и 75°;
б) 60° и 60°;
в) 90° и 45°;
г) 53° и 73°26;
д) 3°37" и 28°54
4. Допуни реченице: Према угловима, троуглове делимо на .Троугао је отра роугао је тупоули ако
и ако су сва три унутрашња угла
Троугао је правоуг ли ако
s Два угла троугла су: а)15° и 73°;
б)24° и 52°; в)34° и 56° Којој врсти (према угловима)припадају ови троуглови?
б Нацртај један:
а)оштроули; б)тупоугли; Какви су њихови спољашњи углови?
в)правоули троуао
-
7 Да ли постоји троуга чији су спољашњи углови: а)113, 27 и 40; в)120, 135 и 105;
б)157, 12о и 82; г)11137', 7744" и 17122'16" ?
8 Одреди трећи с а)173И2;
2 4 v(?&
ГЩ роугла ако су мре два његова спољашња угла:
б)02И
в)8347' и 1225
001
8: �
9 Одреди спољашње углове троуглако�су мере два унутрашња угла тог троугла: а)2о и 73; б)1о и 174; в)3827' и 8255'; г )45°29' 44" и 90°24" ;
д)36° и 81°48".
11 Да ли два спољашња угла троугла могу да буду права? А оштра? 12 Мере углова троугла су три узастопна природна броја Одреди те углове 1З Одреди унутрашње и спољашње углове троуглова са слике: а)
в)
б)
в
в
)
с
Y-j
_Ву
в
rSJ . 1- д
1
с
so- 17
С
О
�d
у 1 Г t 75 /\ f0 -
: "7�1t
в
Ј/"
·.
14. Упиши знак+ у одговарајућу колону ако троугао на основу дато услова може да буде
ошроугли, правоугли или упоугли. Пази, некад ћеш ставии и три плуса за један услов. оштроугли правоугли тупоугли Сви унутрашњи углови су оштри Једа спољашњи уао је прав. Два унурашња угла су ошра. Сви спољашњи улови су тупи едан унурашњи угао је већи од збира друа два. Разлика два унурашња угла је 90°. Спољашњи угао је једнак суседном уурашњем Унутрашњи уао је већи од суседно спољашњег Спољањи уао је два пута мањи од унурашње
15. Можеш ли сечењем (покушај самосално са моделом фигуре од папира) да од:
а) произвољног роугла добијеш два правоугла; б) упоулог роугла добијеш два оштроула роугла; в) оштроуло троула добијеш један правоули и један ошроугли троугао; ) квадраа добијеш три правоугла роугла; д)правоуаоника добијеш један правоугли, један ошроугли и један упоугли троугао?
16.
Израчуај углове троула ако је а) један угао за 17° већи од другог, а за 35° мањи од рећег б) један уао два пута већи од другог, а ри пута мањи од трећег
17. Израчуна ј спољашње углове троугла ако је а)= 2 = - ; 2 з
б)2= =2 7
9
18. Израчуај унурашње и спољашње углове роугла ако
је а) збир два унурашња угла роугла 42°, а једа од их углова 63°; б) = 163° и = 52° Којој врси (према угловима) припада тај троугао? в) збир два спољашња угла роула 287° а њихова разлика 27°; г) збир два унурашња угла 5°, а један од њих чеири пуа већи од другог; д) разлика два угла роугла 48° а један од њих ри пуа већи од друог
9 Из темена С повучена је нормала на страницу АВ, која са сраницом АС гради угао од 27°. Ако је 48°, израчуна ј углове ог роугла.
20 Израчуај остале уурашње и спољашње углове правоуглог роугла ако је
а) један унурашњи уао 39°; б) један спољашњи угао °
2 У правоуглом роуглу АВС (< С = 90°) повучена је нормаа из темена правог угла на сраницу АВ коју сече у ачки О Покажи да роуглови АВС, АСО и ВСО имају једнаке
углове.
22 едан оштар угао правоуглог роугла је ри пуа већи од другог
троугла
38
Израчунај улове ог
23 Разлика два оштра угла правоуглог троугла је 22°. Израчунај улове тог троугла. 2 Израчунај угао који граде симетрале унутрашњег и спољашњег угла код истог темена произвољног троугла.
25 Израчунај углове које граде: а) симетрале спољашњих тупих углова правоулог троугла; б) симетрале оштрих углова правоуглог троугла
26 Да ли симерале два унурашња угла могу да образују прав угао? 27 Ако је АО симетрала угла а, израчуна ј све углове троугла АВС: а) б) А А
28 Израчунај углове правоуглог троугла ако симетрала оштрог угла са наспрамном катетом гради угао од 61°
9 У правоуглом троуглу, симетрале правог угла и једног од отрих углова, на пример а граде угао од 1о. Израчунај спољашње уг лове тог троугла
30 Покажи да је један од углова који граде симетрале углова а и r·једнак gao+ l 2
3 У унутрашњости троугла АВС дата је тачка М Покажи да је < АМВ > АСВ
ОДНОС СТРАНИЦА И УГЛОВА ТРОУЛА 1 Нека су а, r и у унутрањи углови троугла АВС, а а, r1 и у одговарајући спољашњи углови Упореди дужине страница троугла АВС ако је а) а= зо, r= 45°; б) а= 60, у= 5о; в) rl= 1о, у= 4о; г) 147°, r= 88°; д) r= 20, у= во; ђ) а= gao, yl= 135°; е) = 120, r= 60• .
Упореди углове троугла ако су дужине његових страница: а) = Зm, Ь= 5cm _ и с= 6cm; б) = 7cm, Ь= 4cm и с= 5cm; в) = 2,3cm, Ь = 4,1cm и с= 1,9cm. Упореди величне углова и страница троугла ако је: а) а= 72 , r= 31о; б) а= 143 , у97° 4. Која страница троугла АВС је најдужа ако је: а) угао у туп; б) а+ r 83°; в) угао оштар; г) а+ r= ggo и а+ у= 118°; д) угао који граде симетрале углова r и у једнак 136°?
39
5. Угао на основици једнакокраког троугла је ° Израчунај све углове ог роугла. 6 Један угао једнакокраког троугла је ° Одреди остале унутрашње и спољашње углове
и упореди дужине основице и крака тог троула 7 Уутрањи угао једнакокраког троугла је ° Израчуна ј остале унутрашње углове и
уореди дужине основице и крака о роугла. при врху једнакокраког роугла је четири пута већи од угла на основици Израчунај тог троугла. 9 Величина половине угла на основици једнакокраког троугла једнака је етини угла при
врху Одреди углове овог троугла О Израчунај углове једнакокраког троугла ако:
а) је спољањи угао на основици ри пута већи од угла ри врху; б) угао између нормале из врха ог роугла на основицу и симерале једног од углова на основици износи ° Угао ри врху једнакокраког троугла је ° Одреди угао који граде симетрале углова
на основици тог роугла. 1 Симетрале углова на основици једнакокраког троугла граде угао од ° Израчунај
величину угла ри врху ог роугла и упореди дужине основице и крака 13 Нормале повучене из емена на основици једнакокраког роугла на његове краке граде угао од б ° Упореди дужине основице и крака ог троугла 4 Која је најдужа страница правоуглог роугла? Зашо?
)
унутрашње и пољање углове једнакокраког равоуглог троугла 16 Оштар угао равоуглог троугла је а= ° Уореди дужине катете тог троугла 17 У равоуглом троуглу са правим уг лом у емену С: а) угао а је три ута већи од угла f б) угао а је два ута мањи од угла у
Уореди странице овог троугла 18 Уореди странице роугла ако су сва три сољања угла једнака. 9 ореди странице троугла ако је у= °, а= cm и Ь = cm 20 Да је квадрат ABCD ад страницама квадрата конструисани су једнакостранични троуглови ВСЕ DF и OAG тако да са квадратом имају само заједничку страницу. Одреди
углове роугла: а) АВЕ; б) BFG;
40
в) EFG
21 Одреди углове троула АВС ако је: а) АВ= ВМ= МС и < ВАС= 20°; б) АО= ОС= СЕ= ЕВ и < ОСЕ= З ; в) АВ= ВО ОА= ОС о
с
А
с
с
А
О
Е
В
22 Симетрала крака ВС једнакокраког роугла АВС сече крак ВС у тачк D крак АС у тачки Е, а продужетак основице АВ у тачки F. Одреди углове роугла АВС ако је < CB = З0°. 23 Дат је роугао АВС Угао који граде нормала из темена С на страницу АВ (СО) и симетрала угла у (СЕ) је 15°. Израчунај углове троугла АВС ако је СЕ= ЕВ 24 Нека је В подножје нормале из ачке А на праву а Покажи да је дужина дужи АВ најкраће растојање од тачке А до неке ачке на правој а ·
ОСНОВНЕ ЕЈЕДАКОСТИ ЗА СТРАНИЦЕ ТРОУГЛА 1 Да л посоји троугао чије су сранице:
а) Зсm, 4cm и сm; в) 7,8cm, 4,cm и 11,9cm;
б) З,2сm, 4,1 cm и 5,2cm; ) 2cm, Scm и сm?
2 роцени дужину треће странице троугла ако су дужине преосале две странице:
а) 4cm и сm
б) З,4сm и 7,2cm;
в) 8cm и 8cm;
г) 1cm и З,9сm.
3 Да ли постоји једнакокраки троугао чији су основица а и крак Ь дужине а) а 4cm и Ь = Scm; б) а Scm и Ь= 2cm; ' а 7,6cm и Ь = З,8сm? 4. Две странице троула су 7cm и Зсm. Одреди све могуће вредноси за меру у
цениметрима дужине треће странице троугла ако је она: а) природан број; б) непаран природан број; в) паран природан број.
5 Зоран има пе шапова чије су дужине Sc, 7cm, 1 Ocm, 17cm и 20cm. Колико различитих троулова се може саставити од ових штапова? б У коим раницама може бити дужина (процени дужину): а) основице једнао крако троугла ако је крак дужине Scm; б) крака једнакокраког роула ако је дужина основице 4,9cm? 7 Странице једнакокраког роугла су а) 15cm и 7cm; Која страница је крак, а која основица ог троула?
б) 1Зсm и 15cm;
в) 1m и 20dm.
41
8 Две странице роугла су 1 Ocm и
16cm а трећа страница једнака је половини једне од Одреди дужину треће странице.
датих страни
9. Дужине сраница роугла изражене у
цениметрима су природни бројеви а његов обим је 7cm Одреди све могуће вредности за дужине страница то троугла
Дужине сраница једнакокрако троугла изражене у ценимерима су природни
бројеви Колико таквих роуглова посоји ако је њихов обим: а) 8cm; б) 9cm; в) 2 008cm; ) 009cm
'
Покажи а је свака сраница троула мања од полуобима тог роула.
Обим роула је SScm. У којим раницама може да буде дужина једне странице тог
роугла? 3
Покажи да је збир било које две странице троула већи од полуобима тог роугла.
4
На сраници АВ роула АВС даа је произвољна а чка М Покажи да је дужина дужи СМ мања од полуобима ово троугла.
5 У унурашњоси роула АВС даа је тачка О Докажи да је збир расојања ачке О од темена роугла АВС већи од полуобима овог троугла 6 Да ли постоји троугао у коме је сраница Ь два пуа дужа од сранице
,
а страница с два
пуа дужа од странице Ь?
ОСНОВНЕ И ЈЕДНОСТАВНЕ КОНСТРУКЦИЈЕ ЛЕЊИРОМ И ШЕСТАРОМ
Консруиши две кружнице полупречника Зсm и 4cm тако да а) немају заједничкИх тачака; б) имају 1 заједничку ачку; в) имају 2 заједничке тачке.
Даа је права
и ачка А, која је ван ње. Консруиши а) праву Ь нормалну на праву , која садржи ачку А; б) праву с паралелну правој , која садржи а чку А
3 Даа је права и на њој тачка А садржи ачку А
42
Консруиши праву Ь, која је нормална на праву
и
4
Нацра ј произвољну праву . Консруиши праву Ь, која је паралелна правој и налази с на расојању Зсm од ње Колико аквих правих посоји?
5
Нацрта ј две произвољне дужи па их сабери преносећи их на произвољну полуправу Оа
б
Нацрта ј произвољан троуао АВС Надовезивањем страница овог троугла одреди дуж чија је дужина једнака обиму троугла АВС
7
Консруиши уао једнак даом улу а ако је угао а: а) оштар;
б) туп;
в) прав.
в Дат је оштар угао и туп угао�· Конструиши угао а) +�
б) �-;
в) 2�-
9, Дата је дуж АВ = 4cm. Подели ову дуж на 2, а затим на 4 једнака дела о. Нацрта ј произвољну дуж АВ. Коструиши дуж СО такву да је СО= lАв 4 11 Гусар Жиле је закопао благо. На мапи је уцртао З острва (ацртај З произвољне неколинеаре тачке) де је благо закопано ако је једнако удаљено од сва три острва? 1 Дат је туп угао Подели овај угао а два а затим на четири једнака дела 3 Нацрта ј произвољан троугао АВС. Конструиши симетрале углова и у
КОНСТРУКЦИЈЕ НКИХ УГЛОВА Конструиши угао од а) 60°; б) 120; в) за; г) 90°; д) 150°; ђ 45°; е) 1З5°; ж) 15; з) 75°; и) 105°; ј) 165°. 2 Конструиши угао од а) 22°ЗО'; б) 67°ЗО'; д) 7°ЗО'; ђ) 52°ЗО';
в) 112°ЗО'; е) 2°ЗО';
3 Коструиши угао од а) 240°; б) 270°; в) 225°;
г) ЗЗ7°ЗО';
г) 157°ЗО'; ж) 127°ЗО';
д) 12З45';
з) 172°30'.
ђ 1З°45:
4 Угломером нацртај угао од 1 З2°. Користећи тај угао конструиши угао од а) 16°ЗО'; б) зз; в) 115ЗО'; г) 99°.
ПОДУДАРНОСТРОУГЛОВА Направи од картона фигуре и резањем утврди да ли добијаш подударе троуглове ако а) произвоља једнакокраки троугао изрежеш по правој која је нормална а основицу и садржи врх тог троугла; б) произвоља правоугли троугао разрежеш по правој која је нормала а хипотенузу и садржи теме правог угла; в) квадрат странице 4cm изрежеш по једној од дијагонала; г) правоугаоник страница 4cm и Зсm изрежеш по једој од дијагонала
r.
2 Резањем подели а) правоугаоник станица 5cm и 6cm на 8 подударних троуглова; б) квадрат странице cm а З2 подударна троугла З Када пресликаш троугао осном симетријом да ли као слику добјаш подударан троугао? Нацрта ј на папиру произвољан троугао затим нацрта ј једу праву и у односу а њу троугао симетрича почетном па резањем провери оно што си тврдио на почетку
43
4.
Нацртај произвољан троу гао, па а пресликај осном симетријом, ако је оса симерије: а) произвољна права која садржи само једно теме роула; б) права која садржи једну страницу троугла; в) права која са роулом нема ниједну заједничку а ку. Изрежи добијене троуглове и преклапањем утврди да ли су подударни.
5 Троулови АВС
'R су подударни Запиши који парови углова и који парови страница су
једнаки (еднаким бројем црица су обележене једнаке странице): в) б) а) м
p�R
А
м
А
в
А с м
в
р
с
СТАВОВИ ПОДУДАРНОСИ ТРОУГЛОВА Страница-угао-страица 1. По саву подударноси, који краће записујемо У, два роугла су подудар на ако
�
2 Докажи да су троулови са слике подударни и запиши који елементи тро углова су
једнаки: б)
А
4
Р
Зсm
Зсm
в
О
С
22mm
'
в)
г)
с
в в к
в
р
сm
з докажи а су ијагонале:
а) кварата; б) правоугаоика
јеаке.
4 да је квара АВСО Тачке М, N, Р и Q су среишта сраница АВ, ВС СО и ОА.
а) Докажи а је MBQ = ЬВАN б) Докажи а су сви роулови AQ, BN, CPN и OQP међусобо оуари
@ На симетрали ула хОу аа је произвољна ачка А, а а краци ма тачке В и С такве а је В =ОС. Докажи а је АВ АС
Угао-страница-угао б. По ставу поуарости, који краће записујемо У ва троугла су поуара ако
7 Докажи а с роулови са слике оуари и заиши који елемеи роулова су јеаки:
в)
б)
а) А
в к
в
А
с
s!P Зсm
о
о
т
а се ијаонале: t квараа б) равоуаоника полове 9 Ако је јеа уао у равоуглом роулу 30° окажи а је катеа аспрам ог угла ва уа
мања о хиотеузе равоуло роула з роизвоље ачке А симетрале угла а овучене су ормале а краке овог ула, које их секу у ачкама В и С. Докажи а је В =АС
Стрница- страница-страница 11 о саву оуароси, који краће заисујемо ва роугла су оуара ако
45
12. Докажи да су троуглови са слике подударни и запиши који елементи троуглова су једнаки:
а)
в)
б) в
О Е 13. Дате су четири тачке А, В, , О Ако је АВ=В=О=ОА,
докажи да е МВО =
ЬВО
14. На кружници са центром у тачки одабране су тачке А, В и такве да е АВ=В Докажи да је ЬАВ ЬВ 15. Докажи да дуж која спаја теме право ула и средину хипотенузе у еднакокраком правоуглом
троуглу дели та троугао на два подударна такође еднакокрака правоула троугла.
Страница-страица-угао 16. По ставу подударности који краће записуемо ССУ два троула су поду дарна ако
17. Докажи да су троулови са слике подударни и запиши који
б)
а)
елементи троуглова су једнаки в) А
в
Зсm Т
4cm
1cm
R А
L
с
4cm
Е
в
М
18. Докажи да нормала повучена из врха еднакокраког троула на основицу дели ту
основицу на два еднака дела 19. На тетиву кружнице повучена је нормала из центра кружнице Докажи да нормала дел
тетиву на два једнака дела. 20. У правоуглом троуглу АВ е < АВ 9° АВ Ocm, В Scm, а у правоулом троуглу PQR је < PRQ 9°, PQ= 1 Ocm и < RPQ 3° Докажи да е МВ ЬPQR
46
ПРИМЕНА СТАВОВА ПОДУДАРНОСТИ 1 Применом сваког од четири става подударности докажи да дијагонл дели квадрат на
дв подударна троугла.
2 Дужи АВ и СО се секу у тачки Р, која их полови окажи да је АС=ВО и АО=ВС.
{ Докажи да је свака тачка на симетрали дужи АВ подеднако удаљен од крајева те дуж и 4 Н кружници са центром у тачки О дате су редом тачке А, В, С и О, такве да је АВ=СО
Докжи да је МС дВО.
s. Н крцима оштро ул хОу дте су тчке А и В (А на једном, а В н друом крку) у којим
су конструисане нормале на одговарјуће краке Ако је А који те нормале одсецају н друом крку једнки
=
В, докажи да су делови
б ко два троула имају једнаке углове, да ли су они подударни? Објасни, наведи пример 7 Н страницама АВ и АС троул АВС дате су тачке Е и О такве да је АЕ=АО и
Докажи да је АВ=АС и ЕС=ВО.
8 Докжи да дужи које спајају средишт страница првоуглог тоугла деле тај троуго на
четири подударна троугла 9 Д ли су дв правоула троула подударна ако су им хипотенузе једнаке? Д ли су два једнакокрака троугла подударна ако су им краци једнки?
д Дв једнакокрака троугла имају једнке:
) основице и улове при врху; б) крак и угао на основици Докжи д су ови троулови подударни
- На краке једнакокрако троула повучене су нормле из темена А и В на основици Те нормале секу одговарајуће крке у тачкам О и Е. Докажи да је АО=ВЕ и АЕ=ВО.
да симетрла угла при врху једнакокрако троула дели тај троуао на два троула 4 Н крацима АС и ВС једнакокрако трула АВС дате су тчке О и Е ткве да је АО=ВЕ. ко се дужи АЕ и ВО секу у тачки О докажи да је МО = дВЕ. 5 Н правој која садржи основицу АВ једнакокраког троула АВС дате су тачке и N ткве
д важи - А В,� В N и А=BN. окажи да је МС дВСN и дСВ дСNА
1 б Два једнакокрака троула АВС и АВО имају заједничку основицу Докажи да је СО = дВСО ако су тачке С и 0:
) са различите стране основице б) са исте стране основице
17 ·Докжи да су средишта страница једнкостраничног троул темена једнакостранично
троугла
47
18. Над страницама једнакостраничног троугла АВС конструисана су три једнакостранична троула АВО ВСЕ и CAF До Докажи кажи да је троуао OEF једнакостраничан. 19. Тачке М и N су средишта страница ВС и АО правоугаоника АВСО Докажи да је МО
=
ЬВNС
20. Докажи да су средишта страница квадрата темена ново квадрата. суседних страница правоуаон правоуаоника ика 21. Докажи да су дужи чији су крајеви средине суседних међусобно једнаке 22. Дат је: а) квадрат АВСО; б) павоуаоник АВСО. Кроз пресечну тачку дијаонаа дијаонаа повучена је права р, која сече странице АВ и СО у тачкама М и N Докажи да је tNO = ЬМВ tCN = ЬАМ MBN = ЬСОМ MNO = ЬСМВ и MN = tCN с с
о
В
А
F
слика ика уз задата к 23 23
слика уз задатак 24
слика уз задатак 25
докажи да је MEF 23. Ако је АС= ВС= 7cm и - АОС АОС= = - ВОС (види слику), докажи
Ако је ВС= СЕ= 12cm и улови СВ
=
: ВАС, -
=
ЬВЕF
докажи да је ВСЕ и - СОЕ прави (види слику), докажи
ЬОЕС
докажи кажи 25. Дате су тачке А В С и О као на слици Ако је О= С и А = В до а) АС= ВО б) Ако је Р пресечна тач тачка дужи АС и ВО докажи да је РО = ЬВРС; в) Какви су троуглови СОР и АВР? троуглова, ва, према страницама, припада припада троуао коме су а) две; б) три 26. Којој врсти троугло средње линије једнаке дужине?
@дреди дужине средњих линија троула коме су странице а= Зсm, Ь= 75cm и
с
8,4cm
28. Одреди обим троугла коме су средње линије дужина Зсm, 4cm и сm 29. Одреди обим једнакостранично троула чија средња линија има дужину 3,4cm 30. Основица једнакокраког троула има дужину 2cm, а дуж која спаја средишта основице L крака 3,2cm. Одреди обим то троула.
48
3 Катета правоуглог троугла је 4cm, а угао наспрам ње је з. Одреди дужину хипотенуе
@ Хипотенуа правоуглог троугла је 15cm Одреди дужину катете која са хипоенуо ради угао од 60•
33 Дуж која спаја врх једнакокраког роугла са средином средином основице је два пута краћа од
крака тог троула. Ирачунај углове овог једнакокраког троугла
КОНСТРУКЦИЈА ТРОУГЛОВА Конструиши троугао АВС ако је:
4,5cm, 4,5cm, Зсm, � �45°; а) = 5cm, Ь 2cm, 6; б) в) Ь6cm, ,5dm, 75°; 75°; г) Ь= 4cm, = Зсm, �+ �+1З5° 2 Конструиши једнакокраки троугао АВС чији је крак 4cm, а угао при врху 5° З Конструиши правоугли троугао чије су катете З,5сm и 4,Зсm. 4 Конструиши једнакокраки правоугли троугао ако је катета
тог роугла 5,Зсm
5 Конструиши троугао АВС ако је:
а) 7cm, 7cm, � � З°, З°, 45°; 45°; в) Ь Ь4cm, 22з � �12;
б) 4,5cm, 4,5cm, = 75°, �з; г) 5cm, 5cm, � � 82з 15°.
б Конструиши правоугли троугао АВС, са правим угло у темену С ако је:
а) ВС ВС4cm, 4cm, � �15°;
б) Ь5cm, �= 67°З';
в) АВ АВ 7cm, 6
7 Конструиши једнакокраки правоугли троугао ако је дужина хипотенуе 6,5cm 8. Конструиши једнакокраки троугао ако је: ·
а) основица 7cm, 7cm, а угао на основици 52З; б) основица 6,7cm, а угао при врху 15°
9 Конструиши троугао чије су странице 2,5cm, 6cm и 5cm О Конструиши једнакостранични троугао странице 4cm. Конструиши једнакокраки троугао чија је основица Зсm, а крак 5cm. 12
3
Конструиши троугао АВС ако је: а) АВ АВ5,1 5,1cm, cm, СВЗ,2сm, 75°; в) ЬЗсm, 7, 7,cm, cm, 12
АС 7cm, � �45°; б) А/= 4cm, АС7cm,
Конструиши правоугли троугао са правим углом у темену С ако је дужина хипотенуе 6cm, а катете 4cm
49
14 Кнтруиши труг А к је: б) ) Ь = 5cm, = Зm, а= зао; в) бим тругл 1 Ocm, а= 75°, � = 45°.
а+
с= 9cm, а= 60°, � = 75°;
1 cm и а 45° 15 Кнтруиши труг АС к је с= 5cm, Ь- а = 1cm 6 Кнтруиши тру к у дужине редњих линиј тг трул 2cm, 1,6cm и 2,4cm 7 Дте у три неклинерне тчке Кнтруиши тру кме у те дте тчке редишт трниц
тчк А и вн ње тчк В Кнтруиши једнккрки труг АС к је: 8 Н првј р дт је тч б) прв р прлелн трници С ) прв р иметрије т тругл; 19 Дт је прв а и тчк А вн ње Кнтруиши једнктрнични труг АС к је прв а иметрије тг тругл
ЗНАЧАЈНЕ ТАЧКЕ ТРОУГЛА
Центар описане кружнице 1 иметрле две трнице трул еку е у тчки А Дкжи д и иметрл треће трнице држи тчку А 2 Д ли је з кнтрукцију центр пине кружнице птребн кнтруити иметрле ве три трнице? Зшт?
тупугли и труг Кнтруиши пин пинуу кружницу вк З Нцртј једн ) штругли; б) тупугл д вих труглв Где е нлзи центр пине кружнице унутр или вн тругл? Шт мжеш д зкључиш? првуглг тругл? Клик иметрл трниц је 4 Где е нлзи центр пине кружнице првуглг птребн д кнтруишеш д би дре дреди ди центр пине кружнице кружнице првугл-г г тругл? 5 Изрчунј дужину хиптенузе првуглг тругл к је плупречник пине кружнице тг тругл ) З,2m; б) 4cm б. У првуглм труглу АС (
пине кружнице к једнккр једнккркг кг тругл АС АС А нвиц нвиц) ) 8 Тчк О је центр пине Дкжи д је МОС ЬОС Д ли е тчк О нлзи н иметрли угл АС? Зшт? 9 Кнтруиши тру чије у трнице 5cm, 2cm и 4cm, зтим пиши кружницу к тг тругл
50
10. Конструиши правоугли троугао АВС ако је дужина једне катее 4cm, а полупречник
описане кружнице Зсm. 11. Конструиши једнакокраки троугао АВС ако је полупречник описане кружнице Зсm и: а) крак 5cm; б) основица 2cm. 12. Конструиши роугао ако је
а=4cm, Ь =5cm, а полупречник описане кружнице Зсm.
13. Дате су тачке А и О Конструиши једнакосраничан роугао АВС ако је О центар описане
кружнице ог троула.
Центар уписа не кружнице 14. Нацрај један а) ошроугли;
б) упоугли;
в) правоули троуао. Консруиши за сваки троуао ценар уписане кружнице Да ли се ценар уписане кружнице налази увек унутар троугла?
15. Докажи да се центар уписане кружнице једнакокраког троугла налази на симетрали основице. 1 б. У троуглу АВС је = 4о и �во. Под којим углом се види свака од страница троугла из центра уписане кружнице? 17. Из тачке О, енра уписане кружнице троугла АВС, повучене су нормале на странице АВ ВС, СА и секу их у тачкама Р Q и R Докажи да је: а) дОВР= дОВQ; б) дОQС дОRС; в) дОРА= дОRА 18. У правоуглом троуглу АВС са r је означена дужина полупречника уписане кружнице, а са
а+ Ь - R 2 19. Конструиши једнакокраки роуао АВС ако је основица бсm, а полупречник уписане кружнице 2cm. R дужина полупречника описане кружнице. Докажи да је r
=
Висине троугла и ортоцентар 20. Нацртај један: а) оштроугли;
б) тупоугли троугао. Конструиши ороцентар за сваки
троугао. Да ли се ортоцентар налазинутар или ван троугла? 21 . Нацртај правоули троугао и консруиши њеов ороцентар. Г де се налази ортоцентар
правоуло роугла? 22. Висина једнакокраког троула која одгоара основици је Зсm Одреди дужину крака ако
је угао при врху
20•
23. Конструиши троугао АВС ако је
a)h Зсm b=5cm 7cm· в) hь=5cm, 45°, у= 67° З ; д) h= 2cm, °, �=зо с
1
1
1
'
7° с=4cm h =4cm г) h =бсm hЬ= 5cm' у=зо·
б) а
1
1
1
51
4 Конструиши правоугли троугао АВ ако је висина која одговара хипотенузи Зсm, а дужина једне катете 4cm.
5 Конструиши једнакокраки троугао чија је основица бсm а висина која одговара кра ку З,Scm.
6 Конструиши једнакостранични троугао чија је висина Scm. 7 Дате су три неколинеарне тачке А В и Н. Конструиши троугао АВ ако је Н ортоцентар тог троугла.
Тежишне дужи и тежиште 8 Нацрта ј један: а) оштроугли;
) правоугли; Конструиши тежиште ових троуглова.
в) тупоугли троугао.
9 аокружи слово испред назива значајних тачака троугла а) средишта страница; ) темена троугла; в) центар описане кружнице; г) унутрашњи углови троугла; д) средња линија; ђ) тежиште; е) странице; ж) центар уписане кружнице; з) ортоцентар; и) полупречник уписане кружнице.
30 У ком троуглу су све значајне тачке тог троугла у његовој унутрашњости? 3 У ком односу тежиште дели тежишне дужи? 3 Растојање од тежишта троугла АВ до средине странице а је 2,1 cm. Израчунај дужину тежишне дужи ta 33 Растојање од тежишта троугла АВ до темена В је 4,4cm. Израчунај дужину тежишне дужи t b 34 Докажи да је зир дужина тежишних дужи троугла већи од полуоима тог троугла. 35 Конструиши троугао АВ ако је: а) Ь = бсm tь= Scm с= 7cm· ) hс= Зсm tс= 4cm с= 7cm В hа = 4cm, tа= бсm, °; Г tа = бсm, t ь= 7,5cm, С= 7Cm.
f
f
1
1
36 Конструиши једнакокраки троугао ија је основица 4cm, а крак бсm и у њему конструиши све значајне тачке. Шта примећујеш?
37 Конструиши једнакостранини троугао чија је страница дужине Scm и у њему конструиши све значајне таке. Шта примећујеш?
52
ТЕСТ- ТРОУГАО 1 У гао на основици једнакокраког троугла је З5° Угао при врху овог троугла је:
а) З5°; � 145°; в) 27°; г) 7°; д) 110°. (Заокружи слово испред тачног одговора)
2 Две странице троула су а= 4cm и Ь
бсm За трећу страницу троугла важи: а) 4cm <с< бсm; ) 2cm <с< 10cm; в) с< 10cm; г) 2cm <с< бсm; д) 4cm <с< 10cm (Заокружи слово испред тачног одговора) =
З У ао под којим се секу симетрала правог угла и симетрала спољашњег тупог угла код
једнакокрако правоугло троугла је: а) 67°ЗО'; ) 45°; в) 90°; г) 112°ЗО'; д) 22°ЗО (Заокружи слово испред тачног одговора.) 4. По ставу СУС, два троугла су подударна ако су им једнаке:
а) по две странице и углови наспрам већих страница; ) по две странице и њима захваћени углови; в) по две странице и један угао; г) по две странице и углови наспрам мањих страница; д) два унутрашња и један спољашњи угао (Заокружи слово испред тачног одовора) 5 Два правоугла троула су подударна ако су им подударне:
а) две странице; ) катета и један унутрашњи угао; в) два унутрашња угла; г) катета и хиотенуза; д) сва три унутрашња угла. (Заокружи слово испред тачног одговора.) б Шта од наведеног не представља значајну тачку троугла?
а) тежиште; ) центар описане кружнице; в) теме;· г) центар уписане кружнице; д) ортоцентар (Заокружи слово испред тачног одговора) 7 Дужине средњих линија троугла су 2,1 cm, Зсm и 2,7cm. им тог троугла је:
а) 7,8cm; ) б,Зсm; в) 9cm; г) 8,1с; д) 15,6cm (Заокружи слово испред тачно одговора) 8 Растојање тежишта троугла АВС од средишта странице а је Зсm Дужина тежишне дужи t0je:
а) 9cm; ) бсm; в) Зсm; г) 2cm; д) 4,5cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 9 Угао при врху једнакокрако трогла је 120°. Ако је висина која одговара основици бсm,
онда је дужина крака: а) 12cm; ) бсm; - в) Зсm; г) 9cm; д) 4cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
·(е 'б �(е s �r L �(а g �(Ј �(9 · �( Е �(9 z �( :vcmd
53
ТРОУГАО- РЕШЕЊА ПОЈАМ И НЕКЕ ВРСТЕ ТРОУГЛОВА 1 Неколинеарне; МВС ВС АС а; АСВ АВС 2 а) б) в А
в) с
г )
с
а А
Ь
с
3 а)1; б)З 4 1)МВЕ, дЕС 2)МО, MOR, MRE, MR, МОЕ, МЕ З)дТСЕ, дСЕV, дVЕА, МЕТ, дСТV, MTV, дТАС, дVАС 4)д05/, дIR, дLAR, дSVL, дRV, MRO, дV/R, дLOR а)MTV, дТАС, МЕТ б)дSVL, дRV, д VIR в) ЕВ, LR, RO
5.а)10; б)1; в)9; )17 .а)4; б)10; в)20 б) б. 7. а)9; 8.Са прве две праве можеш да одабереш укупно · 1 = 0 парова тачака За свак од ових парова можеш да одабереш било коју од 1 таака са треће праве, па је укупан број троулова 0 1 70 9 Разностран; једнакокраки; краци; основица; једнакостраничан 1
�
�
11 О 11cm 12 а) О= 2З,tm; б) О= 14,9cm 13 О = б ,сm' 14 ,Зсm 1 а)Дужина основице е З,2сm; б)дужина крака је 2,6cm 16 4,9cm
УГЛОВИ ТРОУГА 1 Збир улова троула је опружен уао 2 а)постои; б)не постоји; в)не постоји; )постоји 3 а)7З; б)60°; в)4°; ) ЗЗ4'; д)1З°'2З " ; 4 Оштроуле, павоуле, тупоуле; оштроули; е један унутрашњ у ао туп; је један
унуташњи уао прав 5.а)тупоул; б)тупоули; в)правоул .а)сви су тупи; б)један је ошта р; а два су упа; в)један је прав, а два су тупа 7 а)не постој; б)посоји; в)посто ји; г)посто ј. 8.а)12; б)110; в)1З1; )99°492З:
54
59°, 07°, 94°; б 79°, 6°, 75°; в 4озз , 97°5, 2°22; г З4°З06", 89°5936", З5°З08"; д 44°, 98°592", 7°48". О. )�= 26°, у= 76°, а = 02°, у = 04°; б а= 72°8, у= 25°52, � = 98°, у =54°8. в) а=84° 2б51' =15З9' ' у = 10°51 '·' г 89°9" у 4З48 а З2°599"' � = 90°484 ". 9
Ако су дв спољшњ угл прв, онд су и
дв унутршњ угл прв, што је немогуће Ако су дв спољшњ угл оштр, онд су дв унутршњ угл туп, што је ткође немогуће. 2 Ознчи нјмњи од тих углов с х. Мере тих углов су онд х , х+ и х+2, п је х+ (х+)+(х+2)= 80°, одкле изрчун вш мере улов троугл од 59°, 60° и б ° З а) х+2х+Зх= 80°, одкле је х= зо и а= З0°, �= 90°, у= 60°, а = 50°, � = 90°, у = 20°. б 5°+?+ В= 80°, одкле је = о и а= 5°, �= 77°, у= 88°, а =65°, � = ОЗ, у = 92°. в х+х+5Г=80°, одкле је х= 4о и а= 57°, �= 4°, у= 82°, а= З, � = З9°, у = 98°.
а= 80°- 1 З5°= 45° = 80° З0°= 50° у= 85° а = З5 = ЗQо1 у= 95° д а=80°- Зо+02°)= 47°, �= 80°- (47°+82°)= 5°, у= 82°, а =ЗЗ, � = 29°, у = 98°. Г)
4
оштроугли првоугли Сви унутршњи углови су оштри
тупоули
+
Једн спољшњи уго је прв
+
Дв унутршњ угл су оштр
+
Сви спољшњи углови су тупи
+
+
+
Једн унутршњи уго је већи од збир друг дв
+
Рзлик дв унутршњ угл је 90°.
+
Спољшњи уго је једнк суседном унутршњем
+
Унутршњи уго је већи од суседног спољшњег
+
Спољшњи уго је дв пут мњи од унутршњег
+
5
може;
б не мое;
в не мое; г мое; д мое 6 а=�+7, а=у- З5° Сд је а+ (а- 7°)+ (а+ З5°)= 80°, п је а= 54°, �= З7°, у= 89°. б а=� 2, а=у : З. Сд је а++ За= 80°, п је а = 40°, � = 0°, у= 20°. ·
2 · 7 )�= la, у= а, одкле е а= 40°, �= 60°, у= 80° и а= 40°, � = 20° и у = о 2 б а= 70°, �= 20°, у= 90°, а= 0°, � = 1 60° и у = 90°. 8 а= 6З, �= 79°, у= З8°, а = 7°, � = 0°, у = 42°; б а= 28°, � = З5, у= 7°, а = 52°, � = 45°, у = бЗо тупоугли троуго; в а= 2З, �= 50°, у= 07°, а = 57°, � = З0°, у = 7З; г а= 92°, �= 2З, у= 65°, а= 88°, � = 57°, у = 5°; д а= 7°, �= 24°, у= 84°, а = 08°, � = 56°, у = 96°. 9 а= 6З, у= 69°. 20 а= З9°, �= 5°, у= 90°, а = 4°, � = 29°, у = 90°; б а= 69°, �= 2°, у= 90°, а = °, � = 59°, у = 90°.
55
21 Сва три троугла имају по један прав угао АСВ= АОС=ВОС=90°. Како је САВ=САО=а и ВСО=90°-�=а, то су одговарајући углови ових троуглова једнаки. 22 а= З·� и а+�= 90°, па је а= 22°З', �= 67°З' и у= 90°. 23 а-�= 22° и а+�= 90°, па је а= 56°, � = З4° и у= 90° 24 Угао који формира симетрала угла а са страницом је Угао који формира симетрала 2 спољашњег угла код темеа А са истом страницом је 180о а = 90°-Дакле, угао 2 2 између симетрала је+ 90°= 90°. 2 2 25 Мере спољашњих тупих углова су 180°-а и 180° �·Ако се симетрале секу у тачки О, тада су два угла троугла АВО једнака 90°- и 90°-, Трећи угао овог троугла је један 2 2 од тражених углова и његова мера је 180°-(90°-)- (90°-_) = а+ = 45°. Други 2 2 2 тражени угао је 135°; б) 1З5° и 45°. 26 Ако симетрале углова а и � образују прав угао, тада је 180°-�- i= 90°, одакле 2 2 добијаш да је а+ �= 180°, што је емогуће 27 а) � = 56°, АОВ= 9З, ВАО= 180°-(56°+ 93°) = З1°, а= 2·ВАО= 62°, у= 62°; б) ВАО= 2х, АОС је спољашњи угао троугла АВО, па је 5х = 109°, то јест х= 21°48' Дакле, � = 65°24', а= 8°12', у= 2°24' 28 Половина угла чија је симетрала повучена је 180° (90°+ 61 °) = 29°, а цео угао је 58°. Дакле, оштри углови су 58° и З2° 29+ 45°+ 100°= 180°, а= 0°, � = 20°, а = 10°, � = 160°. 2 30 Како је а+�= 180°-у, мера траженог угла је
180° - �- = 180°- а+ = 180°-90°+ _= 90° +l. 2 2 2 2 2 31 Означи пресечну тачку праве СМ и дужи АВ са О. АМО је спољашњи угао троугла АМС, па је АМО=< АСМ+САМ и АМО>АСМ. Аналогно је и ВМО>ВСМ. Сада је АМВ=АМО+ВМО>АСМ+ВСМ= АСВ.
ОДНОС СТРАНИЦА И УГЛОВА РОУГЛА 1 а) у> �>а, па је с> Ь>; б) � >а>у, па је Ь> > с; в) �>а>у, па је Ь> а>с; г) �>у>а, па је Ь> с>; д) у=а> �, па је с=> Ь; ђ) а> �=у, па је > Ь= с; е) а= � =у, па је = Ь = с; 2 а) у> �>а; б) а>у> �; в) � >а>у. 3 а) у>а> �, па је с>> Ь; б) у> �>а, па је с> Ь > а. 4 а) с; б) угао у је туп, па је с ајдужа страница; в) а је туп, па је а најдужа страница;
г) а=З°, �= 62° и у= 8°, па је с најдужа страница; д) 180° = 1З6о, �+у= 88°, а= 92°, па је а најдужа страница 5 Како је троугао једнакокраки, углови на основици су једнаки и мере су им 82о. Мера трећег угла је 80°-2 82°= 16° 6 Угао на осовици е може бити 105° јер би збир два угла на основици био 21о, што је немогуће Дакле, угао од 105° је угао при врху Како су уг лови на основици једнаки, углови овог троугла су 3°З', 3°30', 105°. Основица је дужа од крака ·
56
7 Означимо са а основицу, а са Ь крак једнакокраког троугла. i) Ако је уао при врху 55°, тада су углови на основици 62°30' и Ь>а ii) Ако је угао на основици 55°, тада је угао при врху 70° и а> Ь 8 у=4, ++4180°, =З0° Углови су З0°, зо, 120°. 9 _=l, то јест у= � ++ � =180°, =40°, у=100° 2 2 5 2 1О. а) Зу Спољашњи угао једнак је збиру два несуседна унутрашња угла, па је + уЗ, одакле је =2у =72°, уЗ6°
б)_+ 90°+59°=180°, =62°, у=56°
2
11 у122°, =29° Угао који граде симетрале углова на основици је 180°- _- =151° 2 2 12 =З1°, у= 118°, а> Ь 13 Троугао кога формирају основица и нормале има углове од 90°- , 90°- и 119° Одатле је =59°ЗО', у=61°, а>Ь 14 Хипотенуза јер се налази наспрам највећег, право, угла 1S =45°, =45°, у=90°, =1З5°, = З5°, у =90° 16 =6З, Ь>а 17 а) З, +=90°, 67°ЗО', 22°ЗО', с>а> Ь; б) =45°, =45°, с>а=Ь 18 Ако су спољашњи углови једнаки, онда су и сви унутрашњи улови једнаки, па је а=Ь=с 19 Како је у=97° туп уао, страница наспрам њега је највећа страница троугла, па је с>Ь>а 20 а) АВЕ АВС + СВЕ150° МВЕ је једнакокраки, па је ВАЕ= ВЕА =15° Дакле, углови су 150°, 15°, 15°; б) BFG= BGF= FBG=60°; в) FGE= FG=45°, GF=90° 21 а) ВА= ВА=20°, АВ= 40°, ВС=160°, ВС СВ10°, па је 20°, =150°, у10°; б) СЕ СЕ75°, АС = СЕВ=105°, АС = СА= ЕСВ= ЕВС=З7о ЗО', па је =З7°ЗО', у=105°; в) АВС= ВА= АВ=60°, АС=120°, АС СА=З0°, па је 90°, =60°, у=З0° 22 COF BOF=90°, CFO BFO15°, OBF=75°, па је ==75°, у=З0° Дакле, углови траженог троугла су 75°, 75°, З0° 23 СЕ=75°, ЕВС = ЕСВ=З7°ЗО', АС=22°ЗО', СА =67°ЗО', па је =67°ЗО', =З7°ЗО', у=75° 24 Означимо са С било коју тачку праве а. Тада је троуао АВС правоугли са хипотенузом АС Ма како одабрали тачку С, дуж АС ће увек бити већа од дужи АВ јер је она хипотенуза правоуглог троугла, која је увек најдужа страница тог троула.
ОСНОВНЕ НЕЈЕДНАКОСТИ ЗА СТРАНИЦЕ ТРОУГЛА 1 а) постоји; б) постоји; в) не постоји; г) не постоји 2 а) 2cm < а < 1Ocm; б) З,8сm < а 10,6cm; в) а < 16cm; г) 2,9cm < а < 14,9cm 3 а) постоји; б) не Fюстоји; в) не постоји 4 а) 5cm, 6cm, 7cm, 8cm, 9cm; б) 5cm, 7cm, 9cm; в) 6cm, 8cm S 4 различита троугла. 6 а) а 1Ocm; б) Ь> 7,45cm; 7 а) крак- 15cm, основица 7cm; б) било које од датих дужина могу бити дужине основице и крака; в) основица 1m, крак 20dm
57
Половине датих страница су 5cm и 8cm. Како прва не испуњава неједнакост за странице троугла, то је дужина треће странице 8cm. 9 1 cm, Зсm, Зсm и Зсm, 2cm 2cm. б) 2; в) 501; г) 502 0 а) 1; 8
Q, Аналогно показујемо за остале две странице.
а<Ь+с, 2а<а+Ь+с, 2а<О, а<
2 Свака
2
страница је мања од полуобима троугла, па страница мора бити мања од 27,5cm
Q
З
а+Ь > с, 2(а+Ь > а+Ь+с, 2(а+Ь > О, а+Ь >
4
СМ<СА+АМ, СМ<СВ+ВМ, 2СМ <СА +СВ+АМ+ВМ, 2СМ <СА+СВ+АВ, СМ<
2
Q
2 S АО+ВО >АВ, ВО+СО >ВС, АО+СО >АС, 2(АО+ВО+СО) >АВ+ВС+АС, АО+ВО+СО >
Q.
2 6 Тражени троугао не постоји јер су дужине страница а, Ь=2а, с=4а и не важи 4а- 2а<а
ОСНОВНЕ И ЈЕДНОСТАВН КОНСТРУКЦИЈЕ ЛЊИРОМ И ШСТАРОМ Нека је k7(07 Зсm) и k}02 4cm) а) дуж Ор2 > 7cm; б) дуж Ор2=7cm; в) дуж ор2<7cm 2 а) Конструкција нормале Ь из дате тачке А на дату праву а (детаљније у уџбенику за V разред); б) Конструкциа праве с паралелне правој а кроз дату тачку А (детаљније у уџбенику за Vl разред). З Конструкција нормале Ь кроз тачку А на дату праву а, ако тачка А припада правој а (детаљније у уџбенику за V разред) 4 Две праве 5-8 Конструкције су дате детаљно у збирци за V разред 9 Конструкцијом симетрале дужи АВ поделићеш дуж АВ на два једнака дела Затим сваки добијени део делиш на два дела такође конструкцијом симетрала тих делова дужи О. Као у претходном примеру, подели ш дуж на четири једнака дела, а затим издвоји ш З таква дела која ће представљати дуж С. Обележи три неколинеарне тачке са А, В и С Конструиши симетрале дужи АВ, ВС и СА (довољно је конструисати симетрале две дужи од три) У пресеку симетрала ових дужи биће закопан благо. 2 Конструкцијом симетрале угла а поделићеш угао а на два једнака дела Затим сваки добијени део делиш на два дела, такође конструкцијом симетрала тих делова угла
�
КОНСТРУКЦИЈЕ ЕКИХ УГ ЛОВА 120°=2 . б0°; в) зо=б0°: 2; г) 90°=б0°+зо; д) 150°=2 б+зо; ђ) 45°=90°: 2; е) 135°=90°+ 45°; ж) 15°=зо: 2; з) 75°=б0°+15°; и) 05°=90°+15°; ј) 1б5°=180°- 15° 2 а) 22°З'=45°: 2; б) б7°З'=1З5°: 2; в) 112°З'=90°+22°З'; г) 57оЗ'=1З5о+22°З'; д) 7°З'=15°: 2; ђ) 52°З'=бо- 7°З'; е) 82°З'=90° 7°З'; ж) 127оЗ'=120°+7°З' ; з) 172°З'=180°- 7°З'. З а) 240°=4 б0° или 240°=180°+б0°; б) 270°=180°+90°; в) 225°=80°+45°; г) ЗЗ7°З'=Збо- 22°З'; д) 12З45'=120°+7оЗ': 2; ђ) 1З8°45'=(270°+7°З'): 2. 4 а) 1бЗ'=(б5° 1З2°): 2; б) ззо=(1З2°: 2): 2; в) 115°З'=1З2°- 1боЗ'; г) ggo=ззо . З б)
·
58
ПОДУДАРНОСТТРОУГЛОВА а) да б) не; в) да; г) да. 2 а) Резањем правоугаоника по дијагоналама и дужима које спајају седине насправних страница добијамо осам подударних троуглова б) Најпре поделимо квадрат на мање квадате страница 2cm (1 мањих квадрата) а затим сваки од тих квадрата поделимо по једној од дијагонала З Д а. 4 Подудани су 5 а) АВ= РМ, АС=PR, ВС= MR, <ВАС=< MPR, < АСВ=
СТАВОВИ ПОДУДАРНОСТ И ТРОУГОВА Страница-угао-страница Имају једнаке по две странице и њима захваћене углове 2 а) АВ=PQ (Зсm) < АВС=
BC�6PQR; б) АВ=КМ (2cm)
а) АВ= АВ,
2
5 В и С: А= А, < АВ=< АС (
је В�С, а онда је АВ=АС.
<
2
), В =С (услов задатка) па на основу СУС
Угао-страница-угао Имају једнаку по једну страницу и једнаке углове који належу на ту станицу 7 а) <ВАЕ=<СОЕ (1 5°), АЕ=ОЕ (сm) < АЕВ=<ОЕС (унакрсни) па је на основу става УСУ
б
ЕВ�60ЕС б) < АВО=<СОВ (45°), ВО=08, < АОВ=<СВО (20) па на основу става УСУ је ВО�6СОВ; в)
59
а) МВО и ЬСО: < ОАВ=< ОС (углови са паралелним крацима), АВ=С (а), - ОВА=< ОС (углови са паралелним крацима), па је на основу става УСУ МВО�ЬСО,а онда је АО=ОС и ВО= О Дакле, дијагонале се полове; б) Као у примеру под а) 9 Нека је прав уао код темена С и - САВ=30°. Продужимо страницу ВС преко темена С и нека је ачка Е таква да је - САЕ=з о и ачке В и Е нису са исте сране тачке С Сада је < САВ=- САЕ 30° - АСВ=- АСЕ 90° АС=АС,па је (УСУ) МСВ�МСЕ а онда је СВ=СЕ Троуао АВЕ је једнакостраничан, па је АВ=ВЕ,то јест АВ=2СВ
8
МВО и МСО: - АОВ=- АОС (),АО= АО,- ОАВ=< ОАС 90°- �, па је на основу става 2 2 (УСУ) МВО�МСО,а онда и АВ=АС
1О
Страница-страница-страница 11
Имају једнаке све ри странице 12 а) В=В, АВ =С 4cm А=СВ (?с), па је на основу сава ССС МВ� ЬСВ; б) АВ=Е 5cm АС=С r ВС=ЕС r2 па је на основу става ССС МВС�ЬЕС; в) В=В, АВ=С (а=Зсm), А=СВ (а=Зсm), а онда (ССС) је МВ�ЬСВ. 13 В=В, АВ=ВС (услов задатка), А= С (услов задатка), а онда (ССС) је МВ� ЬВС. 14 АВ=ВС (услов задака), ОВ=ОВ,ОА=ОС r па је (ССС) ЬОАВ�ЬОВС
АС=ВС (услов задатка), СС'=СС',А=В ( АВ ), па је (ССС) МСС'�ЬВСС'. Како је 2 - А=- В=45° СС АВ,о је - АС'С=- ВС=90° а онда су троуглови АСС' и ВС
1S.
једнакокраки правоугли
Страницастраница-угао 1 б
Имају једнаке по две странице и једнаке улове наспрам веће странице. 17 а) TR=LK 4cm RS=К Зет - TSR=- LMK 85° па је на основу става ССУ Ь TRS� ЬLК; б) АВ=Е 5cm ВС=ЕС 4cm - АСВ=- СЕ 90° па је на основу става ССУ МСВ�ЬСЕ; в) АВ=Е 2cm), АС=ЕС 1 cm - АСВ=- ЕС (унакрсни), па је (ССУ) МСВ� ЬЕС 18 Нека је CD нормала повучена из врха једнакокраког роугла на основицу Сада за МС и ЬВС је: С=С,АС=ВС (краци једнакокраког троула), - АС=- ВС 90° па је (ССУ) МС�ЬВС,а онда А=В_ 19 Нека је АВ еива, ачка О центар кружнице, тачка С пресек теиве АВ и нормале из центра кружнице МСО и ЬВСО је СО=СО,АО=ВО r < АСО=< ВСО 90° па је на основу става (ССУ) МОС�ЬВОС и онда је АС=ВС
RPQ=30° => QR= PQ =5cm АВ=PQ 1 Ocm ВС=QR 5cm - АСВ=- PRQ (90° па је н� 2 основу става (ССУ) МВС�ЬPQR.
20 -
ПРИМЕНА СТАВОВА ПОДУДАРНОСТИ 1
60
осмара јмо троулове АВС и А С. а) АВ=С=а,ВС= А=а,- АВС=- АС =90° па је (СУС) МВС �МС; б) 4 АС=- АСВ (углови са паралелним краци ма), < АС=- САВ (улови са паралелним крацима), АС=АС,па је (УСУ) МВС �МС; в) АС= АС,АВ=С=а,СВ=А=а па је (ССС) МВС�МС; д) - АВС=- АС =90° А=ВС=а,АС=АС,па је (ССУ) МВС �МС
2 АР=РВ СР=РО < АРО =<ВРС (унакрсни), па је (СУС) МРО� ЬВРС и онда АО=ВС. Слично
АР=РВ СР=РО < АРС=<ВРО (унакрсни), па је (СУС) МРС� ЬВРО и онда АС=ВО. З. Означимо са 5 пресечну тачку дужи АВ и симетрале и одаберимо на симетрали произвољну тачку Р Сада је А5= 5В 5Р= 5Р
Нису На пример, два једнакостранична троугла страница 2cm и Зсm имају једнаке углове, а нису подударни 7 Како је АЕ=АО <ОАВ=<ЕАС < АЕС=< АОВ то је (УСУ) МЕС МОВ а онда и 6
АВ=АС ЕС=ВО 8 Доказ у књизи за произвољан троугао. 9 Нису Оштри улови могу бити произвољни 1О Нису Угао при врху може бити произвољан. 11 а) Ако су једнаки углови при врху, онда су и углови на основици једнаки На основу
става (УСУ) доказујемо подударност; б) Ако су једнаки углови на основици, онда су једнаки и углови при врху. На основи става (СУС) или (УСУ) доказујемо подударност 12 < АВЕ= 180°- (< ВАЕ+ 90° = 180°- (< АВО+ 90° =<ВАО <ВАЕ=< АВО АВ= АВ па је (УСУ) МВЕ ЬВАО а онда и АО=ВЕ АЕ=ВО 13 Нека је 5 пресечна тачка симетрале и основице АВ АС=ВС < АВ=< СВА < АС5=<ВС5 па је (УСУ) МС5 ЬВС5 14 АО=ВЕ АВ= АВ < ВАО=< АВЕ па је (СУС) МВО ЬВАЕ а онда је < АОВ=<ВЕА <ВАЕ=< АВО Из <ВАЕ=< АВО је <АО <ВЕ. Сада је < АО <ВЕ <АО=<ВЕ АО=ВЕ па је (УСУ) МО ЬВЕ. 15 А=NB АС=ВС < АС=< NBC (спољашњи углови на основици), па је (СУС) МС ЬВСN а онда < АС=< BNC С=NC Из <АС=< BNC С=NC В=А+ АВ=NB+ АВ=NA следи (СУС) ЬСВ ЬСNА 16 а) АС=ВС АО=ВО < САО=< САВ+ <ВАО=<СВА+ < АВО=<СВО па је (СУС) МСО ЬВСО. б) АС=ВС АО=ВО < САО=<ВАО- <САВ=< АВО- < СВА=<СВО па је (СУС) МСО ЬВСО 17 Нека су Р Q и R средишта страница АВ ВС и СА. PQ QR и RP су средње линије троугла Како су све странице једнаких дужина и све средње линије су једнаких дужина, а је троуао PQR једнакостраничан. 18 Странице троугла АВС су средње линије троула OEF (< ECF =< FAO=< ОВЕ= 80°. Како су све средње линије једнаке, то су и све странице троугла OEF једнаке, па је и троугао једнакостраничан 19 Користећи став С доказујеш да је MNB ЬВА = ЬОNС = ЬСО. Одавде је А=О= BN=CN. Сада је А=BN О=N АО=ВС па је онда (ССС) МОЬВNС. 0 Нека су Р Q R 5 средишта страница АВ ВС СО ОА Троуглови PBQ QCR R05 5АР су подударни једнакокраки правоугли троуглови (једнаке по две сранице дужине! и 2 прав угао захваћен њима) Како је сваки оштар угао ових правоуглих троуглова °, сви углови четвороугла PQR5 су прави, па је четвороугао квадрат. =
=
61
2 Нека су Р, Q R 5 средишта страница АВ, ВС, СО, ОА. Из подударноси троуглова PBQ QCR
RPS SAP (сви троуглови имају по једну страницу дужине _, једну страницу дужине _ и
2 2 прав угао захваћен њима) следи да су тражене странице једнаке. 22 а)�ВМ=�ODN (углови са паралелним кра цима),�ВМ=�ON (унакрсни), В= О, па је УСУ ION = МВ, а онда је и N= ВМ. налоно је IOCN = IOAM одакле је АМ= CN. Како је АО= СВ (а) N= ВМ,� A ' N=�СВМ= gao, то је СУС ND ICMB па је AN= СМ. налоно је МО = ICNB и онда је МО= NB. Како је AN= СМ, NB МО, АВСО, то је ССС BN ICM. Како је MN= MN АМ= CN AN= СМ, то је ССС NM = ICMN. 23 АС= ВС (7cm), СОСО,� АОС=�ВОС, па је ССУ ОС IBC а онда и АО= ВО. Из АО= ВО, ОЕDE � ADE�BDE следи СУС ОЕ IBDE па онда и�АЕО=�ВЕО, АЕ= ВЕ ада из АЕВЕ,� AEF�BEF EF= EF следи СУС EF IBEF. 24 � АСВ50 �ЕСО= 4о �СЕО50• СВ= ЕС,� АСВ=�СЕО 50 � АВС=�ECD 40 па је УСУ СВ = ОЕС 2 а) О= С, А= В,� АС=�ВО, па је СУС С е IBO а онда је и АС= ВО, �АС=�ВО,�СА�ODB; б) Из�СА=�ОВ следи�ВСА=�АОВ,�АС=�ВО, АО= А- 0= В- С= ВС, па је УСУ РО = IBPC; в) Из подударности под б) имамо да су роуглови СОР и АВР једнакокраки 26 а) једнакокраки; б) једнакосранични. 28 26cm 27 1 ,5cm; З,75сm; 4,2cm. 29 2a,4cm 3 8cm 32 7,5cm 30 14,8cm 33 зо зо 120• =
КОНСТРУКЦИЈЕ ТРОУГЛОВА а) значимо теме угла у са С На једном краку ула нанећемо страницу СВ= а а на другом сраницу СА= Ь, чиме добијамо сва темена роугла. налогно конструишемо троуглове уз услове б) и в) У делу ) а 18о- (р+ ) 45°, што је аналогно условима в). 2 На краке угла при врху нанећемо дужину крака троугла из темена угла, чиме добијамо темена на основици тражено троугЛ. З. На краке правог угла, из темена, нанећемо краке роула, чиме добијамо сва темена 4 налогно претходном задатку, уз услов да су краци једнаке дужине од 5,Зсm а) На страници ВС= а нанећемо у емену В угао р, а у емену С угао у У пресеку кракова ова два угла налазимо треће теме троугла. б а) На страници ВС у темену С нанећемо прав угао, а у емену В угао р. У пресеку кракова
ових углова налазимо треће теме троугла. в) Како је познат штар угао а правоуглог
роугла, израчунаћемо угао р. На сраници АВ у темену А нанећемо угао а, а у темену В угао р У пресеку кракова ових углова налазимо треће теме троугла 7. Како су код једнакокраког правоуглог троула оштри улови по 45°, у теменима на хипотенузи нанећемо углове по 45°. У пресеку кракова ових уг лова добијамо теме право ·
уг ла.
8 а) У еменима дате сранице (основице) нанећемо углове на основици. У пресеку кракова ових углова добијамо треће теме троула б) Како је дат угао при врху, израчунаћемо угао на основици, након чега се консрукција своди на део под а) 9 Из једног темена странице дужине 2,5cm описаћемо кружницу полупречника сm, а из друог темена описаћемо кружницу полупречника 5cm У пресеку ових кружница добијамо треће теме троугла.
62
Аналогно задатку 9, сраница из чи јих темена описуемо кружнице, као и полупречници кружница кое описуемо су дужине cm Из емена основице описаћемо кружнице чии су полупречници једнаки краковма роула пресеку их кружница е треће еме а) На срании ВС у емену С нанећемо уао у Из емена В описаћемо кружницу полупречника АВ пресеку кружнице и крака угла у налазимо реће еме роула. 3 едном темену каете консруисаћемо прав угао, а из другог темена описаћемо кружницу полупречника еднаког дужини хипотенузе У пресеку крака правог угла и кружнице налазимо реће еме троугла. 4 а) темену А сранице АС= Ь нанећемо угао а Из емена С описаћемо кружницу полупречника а Како ће пресек кружнице и крака ула а бии две ачке, задаак ће имаи два решења, у зависноси од тога коу пресечну тачку узмемо за теме В б) На правој АВ одредимо тачку Е такву да е АВЕ и АЕа+ с. Троуао ЕСВ е еднакокраки са углом на основици једнаким i, Како е тачка В врх еднакокраког 2 роугла ЕСВ налазиће се на симерали основице овог роугла Дакле, роугао АВС консруишемо тако што на дужи АЕ а с у темену А пренесемо уао а, а у емену /
Е пренесемо угао _ пресеку кракова ова два угла налази се еме С пресеку 2 симерале сранице ЕС и сранице АЕ налазимо и реће еме В троугла. в) еменима дужи Е чија е дужина еднака обиму роула нанећемо углове _ и _ 2 2 пресеку кракова ових углова налазимо еме С роугла. пресеку симерала страница С и ЕС и странице Е налазимо преосала емена роула. 5 Нека је ачка на сраници АС таква да е А Ь- а Троуао АВ можемо консруисаи јер су познае две сранице и угао захваћен њима. Троуао ВС је еднакокраки ер су му две сранице ВС и С дужине а Треће еме С троугла АВС налазимо у пресеку симерале сранице В и праве А б Како су дае средње линије роугла, странице су два пуа дуже од њих, па се конструкциа ради као у задатку 9 7 Спајањем средиша сраница добиамо средње линие раженог троула, па се консрукциом паралела тим линиама добиа ражени роугао. 8 а) Тачку В пресликамо у односу на праву р и добиамо треће теме роугла; б) Кроз ачку В конструишемо праву паралелну правој р Из ачке А консруисаћемо кружницу полупречника АВ пресеку праве кроз тачку В и кружнице добиамо реће еме роугла Тачку А пресликаћемо у односу на праву а и добиамо друго еме троугла В На а начин добили смо дужину странице еднакосранично троугла, па се конструкциа изводи као у задаку 1 О
ЗНАЧАЈЕ ТАЧКЕ ТРОУГЛА
Центар описане кружнице . Означимо емена троугла са Р Q и R Нека се симерале сраница PQ и QR секу у ачки А Како ачка А припада симерали сранице PQ, о е РАQA Како А припада и симерали странице QR, то е QA RA акле, РАQARA, о јес РАRA, па ачка А припада и симерали сранице PR. =
63
2 Довољно је конструисати симетрале две странице јер ће симетрала треће странице
садржати пресечну тачку прве две симетрале. 3 У оштроуглом троуглу, центар описане кружнице је увек унутар троугла. У тупоуглом троуглу центар описане кружнице је увек ван троугла 4 Центар описане кружнице правоуглог троугла налази се на средини хипотенузе Довољно је конструисати једну симетралу странице. 5 а) cm; б) cm 6 а) 4ОСА=4ОАС=а=° � =Зо б) = ° � = 7. На кружници изабрати три произвољне различите тачке и конструисати центар описане кружнице за троугао чија су темена три одабране тачке 8 ОА =ОВ R) ОС= ОС АС=ВС (краци), па је (ССС) МОС 1ВОС а онда и 4 АСО 4ВСО па се тачка О налази на симетрали угла АСВ 1О Нека је О центар описане кружнице троугла АВС и крак АС дужине cm Можемо конструисати троугао АСО јер знамо све три његове странице (крак и две странице дужине R). Из тачке О конструисаћемо кружницу полупречника једнаког са полупречником описане кружнице. У пресеку кружнице и праве ОА налазимо тачку В 11 Нека је О центар описане кружице а) Можемо конструисати троугао АОС јер су нам познате све три његове странице (крак и две странице једнаке полупречнику описане кружнице). Такође, можемо конструисати и троугао ВОС јер су нам такође познате све три странице. Конструкцијом ова два троугла долазимо до темена траженог троугла б) Можемо конструисати троугао АВО јер су нам познате све три странице (основица и две странице једнаке полупречнику описане кружнице). Центар О и теме С налазе се на симетрали основице Дакле, конструисаћемо симетралу основице АВ а затим из тачк О описати кружницу полупречника једнаког полупречнику описане кружнице. У пресеку симетрале и кружнице добијамо треће теме троула 12 Нека је О центар описане кружице. Најпре можемо конструисати троугао ВСО јер су нам познате све три странице, а затим и троугао АСО чије су нам, такође, све три странице познате. Конструкцијом троугла АСО добијамо и треће теме троугла АВС 13 Опишимо кружницу k(O, ОА Права АО је оса симетрије једнакостраничног троугла АВС Она дакле дели угао ВАС на два подударна дела Како је 4ВАС=ао то је 4ВАО=зао Дакле, на правој АО у тачки А конструисаћемо угао од зао и у пресеку крака угла и кружнице добијамо теме В Како нам је сада позната страница АВ једнакостраничног троугла, из темена В ћемо описати кружницу полупречника АВ а у пресеку ове кружнице са кружницом k добијамо треће теме троугла. ·
Центар уписане кружнице 14 Центар уписане кружнице налази се увек унутар троугла 15 Означимо пресечну тачку симетрале угла при врху и основице са Е ЕС � lBEC
АС=ВС СЕ=СЕ 4АСЕ=4ВСЕ па је и АЕ=ВЕ Дакле, и тачка Е и тачка С припада симетрали основице, то јест симетрала угла при врху поклапа-се са симетралом основице Како је центар уписане кружнице на симетрали угла при врху, припадаћ е и симетрали основице 16 у=а0• Означимо са S центар уписане кружнице. Угао под којим се види страница а је < BSC Угао под којим се види страница Ь је < ASC, а угао под којим се види страница с је < ASB
64
Сада је < BSC= а-
(f -) =ао 4ASC=Зао +
< ASB= ао
17 а) Како је < ОВР= < OBQ (i) и < ОРВ= < OQB=90° то је < РОВ=< QOB а како је . 2 ОВ ОВ, ОР= OQ (), то је СУС [ОВР = [OBQ; Аналогно доказујемо б) и в). 18 значимо са S центар уписане кружнице и са Р Q R пресечне тачке нормала из S на странице С, В, ВС. У задатку 17 смо показали да е [SBR = [SBQ MSQ = MSP и [PSC = [RSC па је СР=CR Р= AQ BQ=BR Како је четвороугао CPSR квадрат, то е СР=CR= Такође је и Р+BR = AQ +BQ==2R Како је =CR + RB и Ь=Р+РС, то е +Ь CR +RB +Р+ РС=2r+ 2R, одакле следи тврђење 19 значимо центар уписане кружнице са 5, а средиште основице В са Е. Најпре конструишемо правоугли троугао ASE чије су нам катете познате Конструкцијом овог троугла добили смо < SAE који е једнак половини угла на основици, а самим тим нам е познат и цео угао на основици Дакле, конструкциа се своди на већ урађену конструкцију еднакокраког троула код кога нам је позната основица и углови а основици =
Висине троугла и ортоцентар Код оштроугло троугла ортоцентар је унутар, а код тупоуглог ван троугла. 1 У темену правог угла сm Нека су 1, В1, С1 подножја висина из темена , В, С на странице ВС, С и В а) Прво конструишемо правоули троугао СС1 код кога су нам познате хипотенуза и една катета Затим из темена опишемо кружницу полупречника . У _ресеку кружнице и праве С добијамо треће теме троула (како имамо две пресечне тачке, можемо конструисати два различита троугла) б) Прво конструишемо правоугли троугао СС код кога су нам познати катета и два налегла угла Из темена опишемо кружницу полупречника У ресеку кружнице и праве С1 добијамо треће теме троугла в) Конструкцијом правоуглог троугла ВВ код кога су нам познаи катета и два налегла угла, добијамо темена и В Треће теме С добијамо конструкцијом троугла В1С код кога су нам, такође, познати катета и два налегла угла г) Прво конструишемо троугао С код кога у нам познати катета и два налегла угла. Теме В добијамо у пресеку праве С и праве коју конструишемо тако да је паралелна са правом С и на растојању hь од ње. д) Најпре конструишемо троугао В1 код кога су нам познати катет и·дв налегла угла Након тога, на страници В, у темену , конструишемо угао а. Теме С налази се у пресеку крака угла а и праве В• 4 Нека је катета С= Зсm, теме правог угла С и подножје висине на хипотенузу из овог темена С• Напре конструишемо правоугли троугао СС1, код кога су нам познате хипотенуза и една катета У темену С странице С конструисаћемо прав угао. Треће теме В траженог троугла налази се у пресеку крака правог угла и праве С• 5 значимо подноже висине на крак са В Најпре конструишемо правоугли троугао ВВ1 код кога нам је поната хипотенуза (основица В) и један крак (висина ВВ) У пресеку симетрале хипотенузе овог троугла и праве В1 добијамо теме С троугла С. 6 значимо подножје висине овог троугла из темена са • Најпре конструишемо троугао В1 код кога нам је позната страница 1 и на њој два налегла угла (прав и угао од 30° Теме С можемо конструисати тако да је В - 1 С и В1= С 7 Треће теме С троугла С добијамо у пресеку нормале из темена В на праву и нормале из темена на праву.
65
Тежишне дужи и тежиште 29 в), ђ), ж), з).
30 У оштроуглом роуглу 312: 32 t = б,Зсm a 33 tь= б,бсm 34 Нека је А средише странице ВС Уочимо роуглове АСА и АВА • ажи t a > Ьt >с- ,
одакле ·Ј е 2t
> Ь+с а. налогно Ј е 2tь > а+с Ь и 2t >а+ Ь- с ко саеремо
2 последње ри неједнакости, имамо да је 2 t a + tь+ Џ >О, одакле следи тврђење задатка 35 ека су А, В, С средиша страница ВС, АС и АВ а) Најпре консруишемо роуао ВВА чије су нам сранице познате На правој АВ консруишемо ачку С ако да је А - В- С и АВ= ВС ) Нека је Р подножје висине из емена С на праву АВ. Најпре консруишемо правоугли троугао СРС чију каету и хипотенузу знамо Затим у тачки С конструишемо кружницу полупречника _ У пресеку кружнице и праве РС доијамо темена А и В 2 в) Нека је Е подножје висине из темена А на праву ВС Најпре конструишемо правоугли троугао АЕА чију катету и хипотенузу знамо Затим конструишемо правоугли троугао АВЕ код кога су нам познаи катета АЕ и два налегла ула � ВАЕ= 60°) Конструкцијом ово троугла одредили смо ачку В На правој ВЕ конструисаћемо ачку С ако да је В- А С и ВА АС г) Означимо са Т еиште роугла Најпре конструишемо троугао АВ Т код кога су нам а
а
с
·
познате све странице (с,
ta,
Џ На правој ВТ конструисаћемо тачку В акву да је
В- Т - В и В Т= 2Т В• На правој АТ конструисаћемо тачку А такву да је А- Т - А и АТ = 2Т А У пресеку правих АВ и ВА налази се теме С 36 ве значајне ачке се налазе на симетрали основице 37ве знач�не ачке се поклап�
66
РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ СКУП РАЦИОНАЛХ БРОЈЕВА 1
Из скупа
издво Ј· подскуп l4'- 2 ''4 - 2''О Ј2' 15'- R
а)природних бројева; в)ненегативих рациоалних бројева;
б)целих бројева; )неативних рационалних бројева.
2 Запиши три негатива рационална броја чији је имеилац З Запиши три негативна рационална броја чији је бројилац 1 2
- , -4 ,и- у стандардном облику 20 -2 7 -9 4 -3 5 Запиши бројеве З, , О,-2,-4 у виду разломка на три начиа
4 Запиши рационалне бројеве:
-9234 - 1 111 и -18 018 као целе бро Ј·еве. Запиши рационалне бро Јеве: 144 162 3 27 -18 11 8 1
l, 1 , _ тако да им бројилац буде неативан број
7. Напиши рационалне бројеве-2, 1, _,-
1
1
5
4 -3
8 Запиши све рационалне бројеве које је моуће"саставити помоћу бројева а)1,-2; б)-2, , - 6; в)4, О, 3 9 Запиши три позитивна рационална броја којима је збир бројиоца и имениоца једнак
а)8;
в)-20
б)-15;
1 О Запиши три позитивна рационална броја којима је разлика имениоца и бројиоца једнака б)О; в)-З; )-14 а)1О; 1 Запиши три неативна рационална броја којима је производ бројиоца и имениоца
а)-8;
б)-15;
в)-4
12 Запиши следеће скупове набрајањем њихових елемената
}
}
lxT,x- 1 >7 .
lxEZ,4
З Запиши следећи скуп набрајањем њеових елемената А= 14 Стави један од знакова Е,�
a)5_Q+;
+ Q;
б)
{ а_+ а1 Е Z,-<2.
тако да добијена тврђења буду тачна в}-
)ОQ+;
д) 21
_
z
15 а Веновом дијаграму десно упиши бројеве
6 7 4 4 20 припада назначеном скупу
1 11 -тако 15 да сваки бро Ј 1 -3 .
о
67
1 . Која од следећих тврђења су тачна? а) Z с 0; б) z Е 0; в) N с 0; г) N U = 0;
д) 0+ U о- 0; ђ) 0\ о- N0 ?
ПРЕДСТАВЉАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА НА БОЈЕВОЈ ПРАОЈ
2 1, 1. На бројевој правој Uединича дуж2 cm) представи бројеве2 ,-З ,-
2 ,-Ј 2 4 1 1 1 з 14 1 · . . правоЈ ('Јединична дужcm . 2'244 н а броЈеВОЈ 4 ) представи брЈеве , одреди све тачке између-1 иО чији је З Ако је на бројевној правој јединична дуж сm именилац број З •
9 7 1 7 1 . . в оЈ п ра во. н а б роЈе 5 m ) п редс та ви б р Јеве, 1 ,- Јед ини чн а ду жc , ,- ,- •
2 5 5 1 1 5 5 дреди дужину дужи која припада бројевној правој и чије су крајње тачке: а) О и_71 О и 294 О и _7 О- и 2 12 1 2 - з и3 5, - 2 и ,5 1 и 4 б) 4 и 4 ,4 - s 9 . дреди тачку која је средиште дужи која припада бројевној правој и чије су крајње тачке 1 г ) -4 и _. д) и2 · в) 5 4- · б) и2 о а)- и и 5 5 з ' з' ' 2 4' ·
_
'
СУПОТА БОЈ. АПСОЛУТНА ВЕДНОСТ РАЦИОАЛОГ БРОЈА
1 1 , l, О 1, 1 1. дреди супротан број свако од следећих рационалних бројева ,- з 4 2 5 1 з
З 7 и21 7 4 1, ,- 5 1 О з 4 З7 и 5 дреди апсолутне вредности броЈева, 4 з 7 4 57 2 З дреди негативан рационални број чија је апсолутна вредност а) 2, б) 1 1 , в) З 1 З 1 З дреди рационалне бројеве који имају апсолутну вредност а) l7 б) _. ђ) з2в г) о,· д)2 б 5 в ) 1 2 9 -
68
-.
Попуни табеле:
2 -1 з 4 1 4
1 2
-
х -х
-х
-(-х)
lxl
+
+
6 Да ли су тачне једнакости: а)
2 - -1 з з
- 2 1
xl 1 2
lxl 1
4 ) - 4 (+з=
б)-
2) 2, ( -- з
в) -
- 4) 4 ; (S
2 2З - 1 ·, б) (б) · - 25 ·, 5
а)
--t )-
(
+
.
1-+1 );
-
- 5
7 Израчунај вредност израза:
д)
2 - 2
х
г) -
-1 ? ( )=4 4
=
1 1 зl 1 ( 2) 4 ' з 5 з 5 2'
в) З ·-
ђ)
+-
1 : ( + ) +
а
г)- 9-
:
+
+
7 · 8 -
- i ·
8. Које вредности из скупа Q може имати променљива да једнакост буде тачна: б) -а= la; а) в) г)
а lal
9 Ако је
1 Ь-1 1, одреди: а-2 2 2 и
аа а) lal lb;
б)
+
а (а)?
а lbl
1О Дате бројеве поређај у низ по апсолутној вредности, од најмањег до највећег: J . а) б)_ .5 4' 2' ' ' з' 4
·- 1
. 1·- 2-
ПОРЕЂЕЊ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА 1 Скрати разломке:
8 - 2211,- 241б ,- З2 в - З 5 J 44 49' Зб' Збо 2 Одреди вредност променљиве а тако да разломци буду једнаки: 2= _ . . в) Ј 48 . г) 2_ д) _= 1 ђ) - 44 _, З ' а Зб' 2б а ' 7 28' а 14' - 24 б б)
а)
а)
б)
=
2 0
ви један од знакова < или >тако да тврђења буду тачна:
з� _
7- 7' 5
�
. -�
11
- 5'
4 Стави један од знакова 5 5 2 2.
_\
_
11' . 9
_l -1 9
12
- З
7 и - 2 12
9-
9
или >тако да тврђења буду тачна: 9 9 . 2 -1 _ и - 7 _ зl ·- 4_ 9 з з _ ,
8'' , 4
1
1З
· 69
тави један од знакова <, > или =ако да врђења буду ачна: 2
-4
1 -
1
5
-
1
7
_
з
_
2 б
2
9
_
�/ и -2 _
7 11 (
апиши ри: а) цела броја мања од- ; б) рационална броја мања од\ •
� (змеђу којих узастопних целих бројева се налази: а) Ј;
, а� реди све целе бро јеве ко ји су између: а) -Л и- l; •
-
2
2З
а већа од-_ ,
5
4
15
5
б)- J
4
177 ?
в)
7
б) 4 2 и- Л
4
5
ређај по величини од најмањег до највећег следеће бројеве: 2 '-2; в)- З ' '- 5 '- ' 5 '- 7 )-1' 1 '-1 1 ' ; б) 2 ,- 2 ' з' '-1 3 4 4 З З 2 4 2 8 2 u u На бројевној правој одабрано је шес разлииих ачака којима су придружени рационални бројеви са имениоцем б. Ако је најмања координаа- а највећа- б б одреди преосале.
Одреди рационалан број са имениоцем 4 који је мањи од-�' а већи од 2З
2З
Одреди све целе бројеве
m
1 З б) - m- < 2 .
акве да је: а) 2 < !: 5;
2
2
5
ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС РАЦИОНАЛНОГ БРОЈА Преведи рационалне бројеве у децимални запис: а) Д _ � _ З9 _2 _ ·б) 52б _ б 5З -З
5 72З 5 942
_
11
1о 1 о 1о 1о 1оо 1оо 1оо 1о 1о о Именилац рационално броја прошири до декадне јединице а заим га запиши у децималном запису: 1
1
1
1
1
в)
1
1
а) 2 ; б)- _1 в)- Ј. г) 2 _. д) -5 ђ) 137. е)- 154 ; ж) 5
4
25
8
20
50
125
1О. 25
Преведи рационалне бројеве у децимални запис: , а) l б)- Ј в)- г) _ д)- ЗЗ ђ) 2 е) б _, ж) _ 1б 5 4 2 5 20 бО 8 Децималне бројеве запиши у облику несводљивог разломка: а) З,25; б) 0,5; в) ,2; г) 4, 25; д) 2,24; ђ) 0,00025, е) 4,875. Одреди супроан број сваког од рационалних бројева: 1 ,25;З,28; 5,З4; б,27 и 5,55. Одреди апсолу ну вреднос сваког од следећих рационалних бројева: 0,5;4,52; -7 , ; 5,З ; 9,74 и б,З5 - 12
70
Одреди рационалне бројеве који имају апсолутну вредност:а) 0,8; б) З,725; в)-2,1. 8 Израчуна ј вредност израза: а) 44,4l22,2; б)-(-З,4)- 1,1; в) З,2- (1- + 1+0,9; -(-2,8)+ З,5+ +1 ); д) Н+7,4)+t+,75IЗ,25I; ђ) ( 2,52-IЗ,59I) 1,4)- ((4,58)--0,82I) 9 Упореди бројеве: а) 2,14_2,4; б)З,12 З,2; в)-5,121,45; д)-12,2 4 5' ђ)-З,З-З,1З; е)-1 _-1,0005; , 0 Запиши три:а) цела броја већа од 8,4З75; б)рационална броја већа од -7,5 Између којих узасопних целих бројева се налази:а) ,; б)-З,; в) 1,1? Поређа ј по асолутној вредности (од најмање до највеће) бројеве:2,15;-,28;-2,З и-1З 3 Поређај од најмањег до највећег бројеве:-12,2;-2,22; 2,2;-2,12;-2,2; 2,2 и1,22 1 4 Преведи рационалне бројеве у децимални заис:а)- 1 ; б) в) 9 ; г)-2 18 5 Запиши рационалне бројеве у облику _: а)-,(З); б)-2,(15); в)-,2(7). q 6 Заокругли на две децимале бројеве:-2,З515; 5, 175; -22,З95241и0,(7) 7 Бројеве- 59 ,14 наиши у децималном запису и заокругли их на хиљадие. 7
г)
г)-8,22_-5,22;
1
ж) -
2;
-
з
-0 ЗЗ.
l, _] 29
САБИРАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА
5 5 8 Израчунај : а) б) г) + + + f 1 1З 1З ; д)-2+2. Израчуна Ј· а) - + 1 , б) 4 8 , 7 5 З Израчунај : а) д) 7+ б) + + + ; � 7 10 . 15 зрачунај:а) +- ; б)- + ; в) +(1 З4 ; - +2; д) +1 . зрачуна Ј· :а) 2 1 + 4 , б) 2 9 + (-З _) , в) 4 +2 г)-5+З , д) 1 1 + -5 24
l + 2
г)
_.
�зрачунај:а) (- +( -
·
+(- +
в)(7 +(- 9 +( 4 +2
71
7 Попуни табеле:
а)
+ - 2 11з
2 - з з 4
2
4 - З5 1 (рачунај вредност ираа а) а+ Ь ако је а= 15 и Ь = 15 ;
б) 1 -2 б5 + - з + + 1 + -1 - 4 б = = +
+ = = =
1 б) (+ (-Ь)) + (-а) ако је а = 1 и Ь =- .
_
9.
=
_
з
4
дредиА+Вако јеА =( -1 +
О Ирачунај бир бројева -5 и L. з б Ирачунај бир свих рационалних бројева облика _, где је
7
а)-5 <а: 2;
б)- 4 <а: З.
2 6 и _ додај бир њихових апсолутних вредности, па ирачуна ј 4 8 б вредност добијеног ираа. 3 Ирачунај бир свих раличитих рационалних бројева чији су именилац и бројилац међусобно раличити и уимају вредности и скупа {4 1,-2} Збиру бројева-
ОДУЗИМАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА 1 7; д) 4- 5 З ; ђ) 2 2. 1 б) 2_ - 1 в) . г) З Израчуна Ј·: а) _- ' 7 5 з з 4 4' 5 5' в в ·
Израчунај: а) ( - ; б)-1 +( - в)-_2 ) г)-2( 1 . з ( - Ј в)- J ј г) -2 - _. д)- - _. З. рачунаЈ· а) J-_ б) 5 - 6 24' 24 б 21 14 5 15 З' -( l ; г) 8 -( - 6 в) 1 4 Ирачунај а) - (-f; б) 1-( 10 5 15 20 -( -з 1 ; г) 1 (-1 7 в)а) 2 _- _; з 5
2.
;
·
З
10
72
1
_
.
1
- 1) 1 б) 2 1 - _. в)-�- (-] - -1 l. а) - _ 1 . ·
2
4
з
5
15
8
15 +2 - 2· 7 б) (-+5 2б 2 5 )) 7 13 ) ( 13 ) ) (( ( ИзрачунаЈ:а) 5 З· в)-7+ - + . з 24 з 8 24 8 9 2 З ako је 2] умањеник зрачунај:а) збир бројева- и l; б) разлику бројева 2] и- 7 2 8 4 8 Сасави израз и израчунај његову вредност 1 а) од збира бројева- и _ одузми ; 13 б) разлици бројева-� и 2 _ где је 2 _ умањилацl дода ј-З l 4 ; 9 1 1 и З 1 одузми њихову разлику ( умањеник је- в) од збира бројева 4 4 ); и- . ) разлику бројева З и J ( умањеник је З) одузми од збира бројева 4 7 5 5 •
1
о је а = Ь =] и с= израчуна ј вредност израза 4 2 а) аЬ + с; б) а Ь) с; в) а Ь)-(с-Ь).
1 О. А
-
1 На бројевној правој је дато ет тачака
ако да је разлика изеђу координаd сваке две суседне ачке�. Ако је највећа координаа 1 одреди осале четири координае 7 1 Поуни квадрате тако да збирови у свим врстама и колонама буду међусобно једнаки 4 2 1" 7 1 2 -1 - - 4 4 2 1З - 4 Да ли ће збирови о врстама и колонама бити једнаки и ако од свако броја одузмеш - 1 ? 4 1 и 2 1? 13 За колико је разлика бројева- и већа од збира бројева -8 2 5 2 САБИРАЊЕ И ОДУ3ИМАЊЕ БРОЈЕВА У ДЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ
Израчунај а) 1207+ 15З; б) 117+ З594; в) 10175 42; г) ЗОI 1 - 1525; д) 2- 1649. 2.
зрачунај: а) 2+ ( - 4 1);
б)-З 15+ (-25З); в)З759+ (-1298); )-84995+ (-1005) 73
З
4
Израчунај: а 15,97+(-7,84);
б11,35 + 13,635;
Израчунај: а 5,32+6,12+(4,6); б-3,2+(1,68 + 5); в(-4,023 + 3,22)+( 2,13+(-3,827)) све раци а- l+0,25; 4
(
алне бројеве у децималом запису, па израчунај:
1 +(2,13); б 8
(
д) 7,14+
(
7
Израчуај: а 53(25,6);
8
Израчунај: а34 56,12;
1 + 6,25+ _ +(2,25); 4 ( (-1 l; 20 2 4 + (-о,25+ (-о,5+�)) .
в -3,7+ ђ) 1
Q Израчунај: а 23- 75,25;
9
5+(5,63).
в-1 325,99 +2 542,01;
б 14,2 24,1;
в 426,295 732,75;
б-35,35(77,1);
б)-23,42 34,2;
7,125 53.
в 23,12(-23,21);
в-5,76- 1,456;
г) 8,43-(-6,34);
1,01-(-0,002)
д 0,26-(-3,54).
Израчунај вредности израза:
(
) 0,7
б)( 1,3+(-2,6))-(-4 1,6);
(( f о,З15) ( О,94 4,11))) ; д) (0,26+(
2 1 О.
(
(
- 2,4- -2,3+ 7 -3,14 . 10
)
+1
Одреди вредост израза:
а аЬ ако је а=2,4 иЬ= l; б(( а -b) а)+(Ь(а-Ь)) ако је а _ иЬ 0,2. 2
1
Попуни табелу помоћу правила: а)
б)
74
5
)
2. Израчунај вредност израза:
б) од збира бројева -З,9 и -8,2, одузми број ,1; а) збир бројева -З,5 и 4,8; в) разлику бројева-_ и 0,105, где је -0,105умањилац, одузми од збира тих бројева. 2 4
З Стојанов рачу у банци је у миусу за
З 49 7 ,29 диара. Стоја је на рачун уплатио 2 48З уплатио 2 48З
динара Колико је Стојан у миусу након уплате?
. Запиши два егативна и два позитивна децимала броја. Одреди збир сва четири броја
и збир и разлику најмање и највећег записаог броја
СВОЈСТВА САБИРАЊА РАЦИОНАЛНХ РАЦИОНАЛНХ БР ОЈЕВА . Попуни следеће табеле
а 1,2 -2,З - 5
с 1 4 1 - 8 -1,5
ь
5 0,005 2,4
а -З,25 - 4
ь
1 4 -3,8
+ а Ь
(а+Ь+ с
+ Ь с
+ а (Ь+с
+ Ь а
+ Ь с
+ с Ь
+ а Ь
с -5, 7 7 5 0,2
2. Користи својства комутативности и асоцијативности за сабирање и израчунај:
1+-1 1)+l. а) - 2 2 4' + 1,44; г) 0,5б 2,4
2+ 1 5+ 1 1 - 2 б д) 4 (-2,001 (-2,001 (- ,999;
1 )1 l+О + 7 (- 2 5 5 + З5,11+ (-9,42+ ђ) 21,08 5,З9
в)
·
1
З Не рачунајући вредност израза стави један од знакова <, > или =тако да тврђење буде та' но
1 б) + (_) _ + _·1 в) -1 + О + _ + -_ 1· 5 7 7 7 7 2 2 8 9 4 4 б 9 2 2'' 1) - )_ L ) -l + ) 1 д) _ 1 _ г) _ + 10 10 з 5 2 11 2 11 б 5 б
а) _ +
·
1
4. Ако је
+ израчуна ј ј вредност вред ност израза а Ь =- , , израчуна
a (-t )b ; ;
а(+ Ь ) ; ; б а
в)
(а - 1 75
Ь=-2 б 1 изрчунј вредност Изрз: ) - (Ь - 1 + · в) ) Ь2 + ; б) +
5 Ако је
Ь= _l 5 допиши бројев ко д добијеш чну једнкос: 1 б) (+ )Ь= -1 в) Ь_)=0�7; ) (а- _ )Ь= , 2 Ь_ )= 1. г) ( ) Ь-0,4)=О; -0,4)=О; д) (-1) б Ако је
ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ
1 решење једнчине: -1 8 1. ) х 1=-2· б) - х= о в) х-2=- 29 · г) -х 2 4 = 8 2 8 -хl 4 0 4 2 Реши једнчине 2-5): 1 ; д) 4 З З= 5 2-Ь 1= - ; l 75; г) 2,4-а 2,4-а= = 2 у = 1 в) _= 0 75; ) х 2-Ь . з 2 4 з 5 5 з. 14 17 · д) х( 1=- 3) х 45 =-21 ) t0 4= 4=-1 -125· .в)- 7з х= 25 г)=t 2 4 з б 5 ; )f-0,41=-7 1; г) 10 5 =f-7,4. =)f-0,41 =-7 0 0 2; в)d- 0 a)d- 12 5)= l 7а=-1 05; 05 ; в)-З�2-у= -З�2-у=-2 -2 +; г) =- -а 5 ) 2 - у= З ; б) 0 7а=-1 -а . Провери д ли је
z-
б Реши једнчине:
1 7 б)-х- 1 з =-2 2; -х 2,4 = 9
)
в)
б )= 1. 7�12--х)=б 7 7 2; г) 5
7 Реши једнчине:
1( 2 1= = б) 45ь = 2 4· в) (х 1 ( 7 14 5 4 9 з 2 б 1· 1+ )= 2 l (а-о - -5 2= 2 2 4 4+ =б г ) 2 8 8- х х)-5 2 4 4 ( 2 25· ђ) . +1з д) З_ 7 2 8 2 4
)
z
z
4 t =- 0�75;75; ж )б А-( б у)- 1 + �б x f f =t +( l -l x e ) ( 4 8 Реши једнчине: )
1= З 1; IYI(-2 4 з
б)
1; 1=-0�25; в) 2 IYI=-1_ 4 Y 2 б 5 4
-( k - + + = 1 7 2 ; ђ ) ( % % - yl 1 9 Кд непознти број сберемо с добијмо број . Одреди непозни број. 8 4 г ) у 1 - = 3 3 75; �75;
76
д)
О Који број треба умањити за
О ,З да би се добио број једнак број једнак збиру бројева З,2 и ? 8 1 ових 5 иб добићемо разлику ових
Ако непозаи број одузмемо од збира бројева
1, б б умањиац. Одреди непознаи број
бројева, где је
1 и 0,2 (умањиац је 0,2 0,2,, l9 одузмемо разлику бројева 2- з
2 Ако од збира бројева а и-
добићемо аритметичку средиу три најмања разлиита природна броја Одреди број а
) има вредност 1,25 . . + ((kk 0,55 4 Када се разика бројева 4 и 5 одузме од збира бројева 2 5 15 (умањеик је 4 ) 15 и k k
3 Одреди вредност промељи промељиве ве за коју израз-
_. , добија се збир бројева З и
з
n.
Одреди број n.
НЕЈЕДАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУ3ИМАЊЕМ 1 Замеом бројева
- 21 ; 1l;5 2; 2; 0,25;2,14 у неједачини одреди који од датих бројева З; - 8 0,25;2,14
припадају скупу решења неједначине:
1
З '
4
г) з
в) k 45 � о 5 5
< _. +l б) у
а) х>- ·
4 '
'
'
'
1 0
< d
- 1 4. s> s д) -о' 8
1 0'
'
(2б: б: з 4 . . б) у О 5 ; 5 . . в) 2 1< О б+ . д д)) З З 5 < 1- 4 г) 1 - 1 1 - (р - 1 ) 1- . а) ' б' з 2 10 ' ' 12 б' 4 з' з) 1 в< 14· б) Ь> + 5+с d З 2 7 5 ; ) 0 3 . а) а +- 0 7 -1 · г) 1 7- ' 12 2 2 з 8 1х 4 4 . . 5 . . г7 5 · · б) ( 5) з в) х 4 5 7 - 5 - 15 - 4 . а) х О 1 2< 2 Реши неједначину и решења прикажи н бројевној правој правој - х+- >
-z
5
1
1
5.
) 1О а
7
5 2
1 . . б
р � - 7
б)
1
1
.
· · < < х х -
8
�
q
14'
б
4· З З q> 4 7 5
5
9 . 5 2 ) 5 2 r � 8 в
1> 5- 4 - t 1-
2 5 1 1 . . ,4;; б) 25- г х х 1 7+ >5 7+ 4 ) 2 З- , · в) 1О.; х+ 7 х+ 2, б б>1 ,4 4 92 ( х< 6 а)х ' б з 18 12 9 8: 7 Реши неједначине (78: З в 1 9 4 у ) б 1 8 б)1 5 2+( з 4+у 57 З< З 1 1 < 5 у 7 50 � 2- а) З 27 . 5 20 З 15 з ђ _ 8y)+J )> l з 15 2 2 5 д (4 25+у 12 5)> 5 . . -
1
1
20
1
1
1
·
1
l ; 2l l 2 lx>
б25)> 1 . 8 + (lx- 2, б25) 1 д) _ 1а ) 1> 4 l . . Одреди најве и цео број који задовољава неједначину 2 ) 2 5 з 8. а)
7
б)
x � 4,42;
в)
lx>-2,5 5 ;
г) x xll � - 5 ;
10
Реши неједначину ( 1 +х+0, )5 -+1,2 )5 - (з - <З + ако је решење 1 1 =- 5 · Једначине ( a11+(1 З-б .
11
бројеве можеш сабрати са-1 } тако да добијеш број мањи од 3,2?
Које бројеве можеш одузети од збира бројева 5 Ј и З тако да добијеш број не 12 мањи од 1? 3 Од ког броја можеш одузети збир бројева 0, 52 и-2,4 да добијеш број већи од њиове разлике, де је 0, 25 умањеник?
12
где је l За који број можеш умањити разлику бројева _ умањилац, тако да з з 5 и J 1? добијеш број не већи од збира бројева 4 ,2 2з и- 5 5 Марко је прво јутра измерио температуру ваздуа. У подне је била виша за 7,2°С него ујутру, а увече за 5,ЗС нижа него у поднеСледеће јутра, Марко је измерио да је температура за З,9С нижа него претодне вечериАко је термометар друго јутра показивао мање од-2,С, колика је могла да буде температура првог јутра?
14
МНОЖЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА
Израчунај: ђ) 2 · З8З ; е) З 70 ·1 а) З· б) ·8; в) ; ) · д) · 2 Израчуај: а) 5 4); б)7·З; в)- -7); г)1 5)+З20; д) 22 ·-7) 3 Запиши у облику производа и израчунај 1
Израчунај 4-8): а)4·(З; в)8· ; д)- ·-8); ђ)-18·(- 172 5 1 5 а)- · ; б)- 2·( - в)-1 ( l г) _(� д)-2 . (-1 . ђ)-� Л з з 7 1 ' 4 ' 12 21 ' 8 8 4 7' 12 ' и) е)8 5 (-1 8 ' ж)-1 J 1 5 _ 1' з) 1 5· 4 ·(- _ З ·(- о ·( � 75 1 б) l (1 l)- в) +2 . г) 1 1 2 1 - 2 ( - ; д)- 2+ б. а) 2·+ з 4 ' 8 9 12' 5 5 4' 9 10 5 4 з 4
78
, б) ( - (- , в) (- + 1 з1 · . -5 Ј а) - 4 · (- 5 1 J , 1 б 11 з 29 15 9 8 б 5 8 а) ( _ + (-4 1 б) 1 (-4 2 2 в) ( 1 1 . (1 1 ( 2 2 з з 10 5 з з б , 21 14 1 . l 1 . 2 1 1 , д) (2 (2 + _ ( 7 _ 1 2 1 . З 1 1 . _ + _ 12 з з 8 б з 4 2 5 4 1о 15 б 2 4 20 9. Израчунај вредост израза за = -1 и Ь : З5 4 а) · Ь; б) Ь- ; в) 5)Ь; · Ь. l О Од производа бројева и одузми број- 5 21 7 1 Израчунај производ збира и разлике бројева 1 и -2 (умањеик је 2) з 4 з
7
_
_
_ _
.
_
_
=
_
_
Производ бројева� зз 1 б и 15 одузми од производа бројева -1 8 и. 13 Ако је умањилац збир бројева и - , а умањеик производ ових бројева, израуна ј 9 б разлику. 4 Израчунај: а) З,5 1; б) 5,2· 1 000; в) 1· ,7; 2,З4,8; д) , 0,9; ђ 5,51З1,15. S Запиши у облику производа и израчунај: а) -2,3 -2,З) + -2,З); б) 0,04 -0,04) + 0,04) + -0,04); в) 8,8 -8,8). б Попуи абелу: 10 000 100 000 1 000 10 100 -5,9З -1,50 1 -,З7 17 Израчунај 17-20): а) -З,· 1; б) -4,ЗЗ· -1 000); в) 5,101 -1); г) 1 -0,55); д) 1 000 -0,54З); ђ 9,2 20; е) 40 (б22 ж -80· -4,1); з) 2,85· -45); и) 2З 4,45; ј) 25-З,24). 8 а) б 2З,8; б) ,4 -З,5); в) -З,125 4,8); г) -4,14 З,25); д) ,25-0,8); ђ -0,07-0,91); е) -0,54 -1,75); ж -0,01· ,4; з) 5,2-0,001 ); и) -,45-2,08). 2
·
�
79
f· а) 2,4+ З ·( ,8 );
6 5,4( 0,65) ·( Џ;
в) 5,7 (· 0,3)+ 2,41 ; г) 2 3, + (4,2) ·(3, 05).
20. а)( З 1 4 05)· 8 5 З 1 9; б) 9+ 4 2 ·( 2 8 З З) 4 8 ; в) 1 94+ 1 2 94 ·( З); з з 4 1 5+ 25 l. ђ) l- о 2) · ·ј- 2) · г)- 1 2 4 8 · д) з 8 2 4 5 1 · 1 1 ) · 1 · ж ( 2 ( е) 1 7 1 8 48 1 2)) · ] О 2З ·( 4 9 + З 1 5 2 8 4 з) 72+ 2 4 ·(( _·О 4 · О 02) _. 1 0 5 5 1 , израчуна ј: 2 Ако јеа= 0, 8 иЬ 2 4 з 4· Ь. а)(а+Ь· ; б)( а-Ь ·Ь в) 2а·Ь )а Ь- Ь ·(а+Ь д)В ·а- 3 22 Израчуна ј збир ако је први сабира к производ бројева 2 5 и 1 2 а други сабира к број који се добија када се од ] одузме 0,75 4 1 броја1 4, а умањеник збир бројева 1 _ и_, Израчунај разлику 23 Умањилац је 1 4 21 1 разлике тих бројева, где је2 75 24 Напиши производ збира бројева 2 75 З 2 7 умањеик па израчуна ј вредност ако добијеног израза ·
1
1 производа бројева 0 З75 и 25 Умањилац је2 збира бројева-1 и0 , а умањеник 5 10 4 4.Израчуа ј вредос тако добијео израза. 1 преходног 26 Израчуај збр 4 броја ако је најмањи од њих 8 а сваки следећи је 4 бр�а а сваки следећи је за2 27 Израчуај производ пет бројева ако је највећи од њих 1 2 З мањи од преходно. СВОЈСТВА МНОЖЕЊА РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА Попуни абелу: аЬ+ас а (Ь+с а с а ·Ь Ь·а Ь+с 1 1 0 5 4 2 з 1 0 З75 2_ 9 2 З 0 05 З,1 а·С
80
2
Објасни како знаш да су тачне наведене једнакости и без рачунања: 2 5 5 - 2 · б) 0 54 (-41) 8 (- З75) =-0 З75· - 8 · а)- ·= =4 (- 54) · в)- 9 5 14 14 5 9 ) . -4 2 . о 25 4 о25· д) (-1 5 о 125) . =-15 125
( ( )) 5
11
3
4
5
)
1
11
(
5
)
9
9
Не рачунајући вредност израза, упиши бројеве тако да добиеш тачне једнакости 7 = 11 1·' б) 09· - 4 = 4 · в)-5 · = 48·(-5 )· а) 27 1 1 27 47 1 "6 1 =4 1 ·5 1 · 1 ; д) (- 0,54(-З,1) ) · -0,54·(З,1·(-10,2)) г) ·5 _
( ) ( ) (
)
)
_
Применом својстава комуаивности и асоцијаивности, израчунај 5 · б) · 4 - · 1 8 ·· 5 - 1· в) 2 5(-7 З7) ( 0 4). ) а)-· 4· -1 15 9 16 7 9 5 4
)
)
)
Користећи својство дистрибутивности множења према сабирању, израчунај: 2 ' ' з 2 2 2 · 1· + ·(-025) а) б)- 025 ' ' 5 5 5 5 1 + 2 _. ) 2 - в) J _1 _. _1 _1 . - 5 2 15 2 2 15 7 9" 7 7 9 . д) . ђ)-9З,28 . 0,24 0,24 11,02 + 4,З 0,24 ;
( . + -
6
)
11 · - 55 · Ако је Ь =-1 , израчунај а) 1 · 1 Ь ; б)- Ь 20 11 9 9 1 2 2 · -2· 1 . в) 5 Ь 2
7
1 , израчуна ј вредност израза Ако јеЬ =5 4 а) 4··Ь ; б) в) ·(-0,8·Ь) ; ) Ь 2 ; д) - · · Ь· 2
( ( ))
(
8
9
(t )( (
2 ;-З ; 1 ;1 5 ; - 2 ;1 0,4 ;Одреди реципрочне вредности броЈева �; 5,25 ; 2З о 7 9 4 Да ли постоји број који је једнак својој реципрочној вредности? Да ли за сваки број можеш да одредиш њеову реципрочну вредност?
1
(
( _
(
(
)
-1 l· -1 - и В= 2- 1 · 4 5- l·(-4) . Одреди Дати су изрази =· 17 9 5 24 15 4 производ њихових реципрочних вредности. 1
81
1
ДЕЉЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА
З 1 � , г) ,. д) _ . З . )- 4 :-2 ; б) · . в) зрачунаЈ:а , 5 з 1о 15 9 23 2 7 4 1 2 Израчунај: а) З2 :(2); б)15:З; в)18:(); г)55:(5); д) 1 :(1); ђ)11 11 :(11) 3 Израчунај ( З): 8 :( 4); д)2 1 :З; 8; г) а) з ( З); б)- 51 : (2); в) : 21 4 ђ)2 2 (20) 5 4 а) + ; б) : ; в) :(-�; ) :; д) : 17 0; ђ) :9 ; е) : 158 ; ж :1 З 4 ; з) З : ; и) : 7 t; л) 1l: _. љ)9 :2; м)12 : Ј 2 :J к)О 1- ' 5 З5' 7 7' З2 1 ' 7 )8: 5 1 : l 1 б) 2 1 +2 в) +l 7 2 г) - : 5 а) 4 8 ' 4 4 12 5 20 19 ' 9 15' з ) : 7 1·б) 8 2· 5 5 4 + 4з ) : З5:18 8в) 7 -1 1 б а) 10 8 4 8 2' 11 5 1 9 ' 2 з 2 9 9 2 5 21 г) 5 д)� 7. Одреди вредости двојих разломака:а) б) 45 15 ' 8 21 7 4 4 5 8 Шта је веће: а) 9 2з или : 9 з ' б)_ 7 : J 21 или J_ 2 7 ' в) 8 - 2'5 или l5 2:l8 14 ) ? l5 0 18 ( Ь) :; 9 Ако је= , Ь и =1 , израуај:а) Ь; б) Ь; в) ; д) :(Ь ) ) 1О Дељеик је број а делилац збир бројева l и 4 Израчуна ј колиник 27 ' 9 1 11 Делила ц је број 2- , а дељеик разлика бројева З и 8 , де је З умањеик 2 12 4 2 Израуај колиик 1 и •
-
Зб
- 4
-
·
=
8
Збир бројева 8
З.
2и2 5
10
1 иЗ Количник бројева -1 2
4
5
умањи за количник истих бројева, где је 2
l8 ( дељеник је
Израчунај: а) 24:1О; б) 19,5:1ОО; в) 2,З4: 000;
1 1 - ) умањи за 2
10
делилац.
1 збир броева 5 _и З 18 4
г) З1,2:; д) 17,29:0,5; ђ) З4,4:0,025
Попуни табелу: 10
1 000
100
10 000
-З,4
15,027 О,З14 6
Израчуна ј ( 119): а)5,4:З; б) 11,7:9; в)З,О:();
г)4,08: (25); д) 1,704:18; ђ) 0,05: (1).
7
а)З2:1,; б) 27: (0,9); в) 2З,7:(0,5); г) З,105: (0,2); д)4,З5:( 0,25) ђ) 2З,7:О,12; е) 0,02: (1,З); ж 0,0015: (0,004); з)41,57:7,7; и) 2З,З : (О,ОЗ7)
8
а) 8,798:4,15 17,З7; б) 1З9,897: (19,9)+1ОО,ООЗ; в)1 914:14,5+904,З95
9
а) З,З: ( О, 1З 0,9З); б) (З,27+11 ,08): (5,5· 0,2); в) (28,749 821,4)· ( З42:(З,42)).
0
Количник 5,25:О,15 умањи за 4.
Петострукој вредности збира бројева _ и 1,295 додај количник2,8:0,4. 8
Трећину збира бројева
77 и 2,42 умањи за половину количника 9,9924:О,ЗЗ. 25
3
1 и 0,8 одузми од количника О,З5:0,5. Производ бројева З 4
4
Подели збир бројева2,З1 и 1,2 са њиховим производом.
5
д броја1
6
дреди аритметичку средину бројева: 1 ' з ' 5' б)1 5 ,2 з , 1 7 , 1 7 а) 6
одузми реципрочну вреднос количника З,5: (
и;
27.
Израчуна ј:а)
в)0,25; 4,81;З,17;7,2; З,49
5 8 2 ; ' 2 ; б) ; в) 1 4 З,71,З.О,5 2+З з З2 5
5 1 1+
1 З 5
).
- 8' 4·
г)
з 5,4:О,О
( 152 12,5 ):25 83
28 Израчунај
: 194 : 194 ; б) 175 : 1,2 : в) : +1 +: +: Израчуна ј вреднос т израза 1 +( 2,125 +1 ·R., б) .(4 Jа) З - 15 5 _) 121 : 40 -1 ·1 25,· 1 З9 · ( в)�+( _· { 1 +О ) г)�·1 - + - 2 1 1 ,· , , 21 15 8 12 12 72 1 2 ·J) :_- О 75 ( - _. ђ)б 25 - (( 1 J- 4 12 1 1 - 1 З11 :- О 2З); д) (( 1 18 1 14 :( 2 75 ( 1 8 +l е) ( 1 ( 2 - 5 2 11 :1 ,5) а)
29
з
зз
з
з
,
з
18
15
19
,
з
4
,
,
,
25
з
14
,
,
о
ЈЕДНАЧИН 1 Провери да ли е _l решење едачие
4 а) х·= ; б)1 у=1 в) : = ; г)4,5 =; д) 0,4 · = З ; 10 ђ)=: 9 12 а Реши едачие {29): в) 17З ·х=1 ; г)х·{0,5)= ; д) 2,1=0,2 х а) х·1 =1 f б)х·( = в)у:{,З1)=1,1; г)у:4,5)=9; )у = б)у( 1 д) 0,9 =у:( 7 t 1 а=7,,· в)14,4 ·а= 9,, г)5 : а= а) _:а=., б) 2 , 4 1 1 2 д) 0,1=2,4 :а q
р
r
2
4.
з
Sa)b·( 2=1 б)З1,8 9Ь= в)1,1 7Ь= ,О84; г)О,25=Ь 1 а) d :( 4 _ +2 ; б){1+0,75):d=З,7; в)d·( � +l= 187 = 8 г)d· (З З =42 ( 2770 ; д) 1,02 : = - : 1ЗО + d; ђ)1,92 :d= 4 б7 ) . 4 l4 ) 25 . ( 2(g 1, . 14 +25 ( 1 =_14 + з) d(
б
З8
,
з
з
е
.
d=- 1 З з
84
з
7
ж) d .
з
-1
з-з
1
=-10,5 +
29
,
+
= в) х · 1 : 172 (З,2 4,4) : 0, 1 . з = '. б) 4 4 1 = ; в) 1 у ОЗ75 • а) 2 1 И и 4 2 1 = ) · г)О ,7 6 ) +у· (3 9 а) (+ ·k + : = 1 ; б) · ( : З + 2 =· 1 , добијамо производ l. Одреди непознати Ако непознати број помножимо са 1 4 8 а)
-
б) (0,4
=
-
:
.
.
-
број
непознати Када непознаи брј поделимо са 25 1б , добијамо количник 1 _.Одреди број
и ,2 да би се добила разлика Који број треба помножити са збиром бројева 8 бројева9,З и ,, где је9,З умањеник?
1 Ь : 2 одреди Ь ако је а= _ Из израза 2з · а+ : 1 _ 0,8 и с 4 з
-
с· ( 1 f) =
4 Зоран је умесо да подели неки број са 1 тај број сабрао саи добио
1 Који би резулта Зоран добио да није погрешио? резултат- з
1 , добијамо двоструку 1 одузмемо - Ако од четвороструке вредности израза � 4 1 8 вредност збира 0,8 и5,2 Одреди
.
х одузмемо од разлике -, 0,025, добијамо Ако троструку вредност израза _1 · 90 50 број0, 1 Одреди . Здравко купује у продавници Продавачици је дао новчаницу од 500 динара Када је 1 kg банана, река је она откуцала 2,Зkg јабука, по цени од 8 динара за килограм, и З 4 Здравку да му недостаје још З8 динара и 1 пара Колико кошта килограм банана? Марији је прошле године просечна плата за годину дана била 2 182 динара Целе године Марија је мсечно трошила 24 500 динара. Када је на крају године од остатка новца хтела да купи два пара скија, једне себи а друге сестри, недосајало јој је још З 000,1 динара Колико кошта један пар скија?
85
9
Одреди сва решења једначина:
a)
-+·х)=о;
(t · x +
б)(О,5 х-0,7)·
в) (2- _. х)· (- l: х + _)= О.
7 4 г) ll= ;
9
з
д ): (
;
ђ)-0,2 : =0,0;
з) 7 · + 1 + 16 з З5 -0,45+ -х+2 х: 18 = и) 24 х - = ; ј) 7 - - х 12 ж)-
: (x+
з
=-
-
( 152 :х + ) =О;
=
е)2 + ll4 = 1 ;
=+;
1
НЕЈЕДНАЧИНЕ
Реши неједначине и решења представи на бројевној правој: 1 < . б ) х< в) 24 · х_. г ) х:1 <_, д )х:З,21 >0,7; а)х·-
2 4 5 ђ) х: _, 55
15
З5
21
5
З5
1 , - _, , -1 } припадау скупу решења неједначине: Кои бројеви из скупа М= {2, З, - з 2 4 а)-2х<1; б) _ х>2; в)х:(-1,5)>-1; г)х:(-2 ) <-,З75; д)<х: ? 4 7 9 з 3 Реши неједначине и решења представи на бројевној правој (З-5): а)2<-8; б)-8>40; в)-З- 21; д):З <2; г):(-5)5; ђ):(-4)>-6. 2.
а) х. · _ >-1
б ) х:24 <-25 ; в) х:(-4,4)<0,75; 21' 1з ) < 7 . г) х:(- L -4 J. д)х : (- 2 9 7 26 6 Реши неједначине (6-9): а)З 4 >-2; б)З - 7 <52; в)6 - 1 >-17; г):2 - 9 <-17; д)-1З :(З)>11. 5.
11
з 2 + 1 1 ; з з 1 б)- 2 + 1 1 в)2 а) < -1 · > · з 14 б 4 5 2 4 4 7 1 1 -5 _ :4 г) 8 4 2 8 1
86
· а-
1 1 8. а) Ь: 2 - _ >- 1 . б) Ь: 1 2 + : 1 2.
(
з
)
2 1
1 4
з
4
5
Ь: <з 5· в)� в 15
1
г)· 2 875 Ь: _ 2 9 з +х:· < в)( 4·х 10):82 8; 9а) 7·(2х5)>21 ; г) (( 2·х З) 8) 2 З ; д)(х : 2З):(4) 5 >7; 9 2 5 · о5 .х) 1 - 25 > ђ) ( 4 з 7 -
На бројевној правој предсави скуп реења еједачиа: · б)2 4 << З2 a)-l
1.
1 < 2·х< 2; б)2,4 > З·х>7,2; в}1з < 2 ·х+< Реши неједначине:а)-1 5 5 5
12.
За које вредности променљиве вредос ираа · 2није већи од -? З5 70
Брако је амислио еки број . Када га је поможио са _и добијеом проиводу додао 9 2з добио је број не већи од а већи од J. Који број је Бранко могао да амисли?' 9 4 1 4 Одреди све негативе целе бројеве који су решење неједначине ь: + З 2) .l �- 2 8 з 4 З
1
Одреди ајмањи ео број који је реење неједначие (l х2: L·2 : 1 l . 4 з 9 з 5 З· + 4 ако да је вреднос ираа мања од 5 6 Одреди вредости промељиве у ирау 2 17. Аритметичка средина три ела егаива броја је већа од 4 Ако су два броја 7 и З 2 које вредности може уеи трећи број? 5
Реши еједачине: а) :х< О; г)-:х> 2;
18.
е) : 2 +О 25х >_. 9 27 5
б)З :х> О; д) 4 2:х>2 ; ж)
20 ,4х
>- 4 ;
1 в)5 :х>- 1 ;
4 ђ) 2:(Зх+ 1)<; 2 <- 1 з) · 1 2 3 х 2 з
ПРОЦЕНТИ Представи проценте у децималном запсу и у облику (Da,b) Ь а) 1% З% 10% 25% 40% 50% 75% 80% б) 125% 150% 200% 240% 250% з 5% З75% 425%.
=
1:
2 Следеће бројеве заз у процентма:
3З 217 З1 512 917 1' 1' 1' 1' 1' г) 1 з 2 з 1 7 8 79 в) 1 1 2'4'5'1' 20' 25' 50' 21 . е) _ Ј 12 1. д) 1 025 06 02 З25 85 1 75 2 15 ђ) _1 8 1 40 1 125 500 з 12 11 1 б а)
9 13 З9 50 71 99 1' 1' 1 ' 1' 1' 1 '
б
а) 50% од броева 42 18 7 259
1
б) ЗО% од броева 250 11 l; ;
4 12 155 в) 74% од броева 128 1 З1 520 ; г) 215% од броева 92 4З 1 З7 86
4 Бро: а) 1 ;
б) 8
в) 1З;
г) 72
д) З12 ђ) е 5% неко броа. Који е то бро?
8
5 У једно школи од 720 ученика 45% су дечац. Колко дечака, а колико девочца иде у ту школу? У парку е засађено 525 лала и ружа. Ако руже чне 44% од укупно броа саднца, колико е засађено лала? 7 Марко је од сво недељног џепарца одвоио З5% новца да би купио чоколаду. Ако е Марков недељн џепарац 500 динара, колико кошта чоколада? Кошуља кошта 1 250 динаа. Колика је цена кошуље након снижења од 6%? 9 Жика је аутомобилску гуму платио 2 З70 динара. Када е после два месеца дошао у исту продавницу да купи ош едну гуму, вдео је да е поскупела за 7% Колка е сада њена цена? О Маа е на распродаи купила блузу и платла је 1 152 динара. Ако е на распродаи цена блузе снижена за З%, колико е блуза коштала пре распродае? Након поскупљења од 18% књиа кошта 29441 динар. Колка је била цена књге пре поскупљења?
1
2 Контролну вежбу из математике е радило 24 ученика. Шест ученика е оцењено одлично, 8 врло добро, 4 добро, а остали су довољни. Изрази у процентма колико ученика је добило коу оцену.
88
колаче Тесо је замесила са 200g брашна, 40g шећера, 1OO 1OOg млека и 13 Бака Мара прави колаче 20g маслаца Колико процената брашна, а колико шећера има у есту? ако сада 14 Ђачка торба кошта 1 50 динара Колико проената је појефиила орба ако коша: а) 058 динара; б) 989 динара;
в) 885,5 динара?
es. Секција за пуеве је прошле године асфалтирала 500km пуева пуева За колико процената више је асфалирано ове године ако је асфалирано: а) 550km пуева; б) 625km пуева; в) 695km путева?
К олика је цена 16 После снижења од 13%, цена кишобрана јеје за 26 динара нижа Колика кишобрана после снижења?
17 У школу данас није дошло укупно 30 ученика Ако је о 2,4% од укупно броја ученика колико деце похађа ову школу? школу?
1 Цена претплате за кабловску елевизију јеје повећана за 7%, о јес за 88,4 динара Колика је била ена преплае пре поскупљења а колика је после поскупљења? поскупљења? масе Колико је свежих шљива потребно за 23,4k g с. Шљиве при сушењу убе 64% своје масе сувих сув их шљива?
20 Првог сепембра патике су коштале 2 200 динара Пенаестог сепембра су поскуеле за 15%, а ЗО септембра септембра су појефтиниле за 15% Да ли су паике јефтиније 1 или 30. септембра и за колико?
21
'
Тања је уштедела З 540 динара Потрошила је 30% ушеђевине, а заим је своју своју ушеђевину повећала за 30% Колика је сада Тањина ушеђевина?
22 Бензин кошта 92,5 динара Прво је поскупео за 2%, а заим за још 6% Колико после оба поскупљења реба да се плаи 1О 1О лиара бензина? добио је број 23 Сава је замислио један број Када га је умањио за 25%, а затим за још 22%, добио 468 Који бро је Сава замислио?
24 Паковање чаша кошта 250 динара Власник продавнице је снизио цену чаша чаша за 20% За колико процената треба повећаи цену да би била иса ис а као пре снижења?
25 Број 400 је повећан за 25% За колико процената ћеш умањити нови број да би поново добио број 400?
26 Странице правоуаоника су 5cm и 4cm Ако се већа страница повећа за 20%, а мања за 25%, за колико проценаа ће се повећаи бим и површина правоуаоника? друге две смањене за 10% Коју L7 Две наспрамне страница квадрата су повећане за 0%, а друге фигуру смо добили? Како и за колико процената су се променили обим и површина површина нове фиуре у односу на квадра?
89
ТЕСТ ТЕСТ САБ САБИРА ИРАЊЕ ЊЕ И ОДУЗ ОДУЗИМА ИМАЊЕ ЊЕ У Q Заокруж Заокружии слово испред записа рационалн г б оја-0,15: 15 а )- а )- 5 . б)- ; в ) 1 г ) 1 . д д ) ) 15 100 10 0'
w·
-1, -1,
5 5
20
@
<
2. Апсолутна вредност броја-1 броја-1 2 је: 5 а)О; а) О; б)-1 б) -1 2; г) не потоји; д) д)- - l. 5 5 (Заокружи слово тачног одговора)
�/ 10 з
1 ; 1 ;-0,2 ;- . величини( од најмањег до највећег) највећег) следеће бројеве:- 3 Поређај по величини( 2 4 1 1 02· 1 l_ 1 · -02 1 _l02· 1 1 · 1 _l г) l· - а)- -02·· в)-02 в)-02- 2' 4' '' ' 4' 2' '' '' 2'' 4' 4' 2' '' · (Заокружи слово испред тачног одговора.) V ) � ( 4 Вредност израза- + је: -т' l � б )_ .
в) о , ,·
1 · г ) )-1 -1
д)_ _.
7' ' 7 (Заокружи слово испред тачног одговора)
L је : - '
н ос т и зр а за- 2 _ 1 5. Вр ед едн
-
fо
10 1 д)-1 1 а) З . г)-1 -1 4 в)1 1 г) 15' 10' 2' 2' 5 (Заокружи слово испред тачног одговора) 5 5
:
·
б Вредност израза(5, израза(5,З2 + 1 ,5- (4,18 1 8 - 5,2) 2 ) је је а)-7, а) -7,84 ; б) б)5, 5, 8 ; в) в)-4, -4, 8 8 4 ; г)-1З, 2 ; 2 (Заокружи слово испред тачног одговора
,�о )? - � V � Ћ < 1_ 1
1 ) 2 З,О5 је: 7 Вредност израза4, израза4, ((((11 2 2 , 4 10 4 а)1 а) 1 ,2 ; б) б)-7, -7,З; в)-1 в)-1 ,; г)8 ; д)1 , (Заокружи слово испред тачног одговора ) ) 1 ј е: 8 Решење једначине( једначине( х _ + З=1 е: 1 , , в)х 2 1 г) 1 а)х= _ б) г)х х д)х=5 б)х х 2 ' 2 2' ' (Заокружи слово испред тачног тачног одговора) 9 Решење неједначинеЗ, неједначинеЗ,5 + {-2,)<-х-, )<-х-,2 је а)х>7,1 ; б)х>0, 1 ; в)х< в)х<-7, -7,1 ; г)х>7 г)х>7,,1 ; д)х< д)х<7, 7,1 (Заокружи слово испред тачног одговора)
·а · е ·s е ·l t g
:vc3m3d 90
:(g ·s
е ·v :(Ј · Е а ·z
:(g · L
ТЕСТ ТЕ СТ- МН МНОЖ ОЖЕЊ ЕЊЕЕ И ДЕЉЕЊ У Q 1 Вредност израза - · је:
5 1б 1 ; д) l. i' г) _ а) З2' ) ) _. в) 75 1б З 8 о (Заокружи слово испред ачног одговора) -
.
(1,2) 1,2) је: 2 Вредност производа2,4 (
а)З,б; ) 2,88; в) 2; ) 2,8; д) 2,б. а)З,б; (Заокружи слово испред тачно одговора.)
1 б 2 - а аза в ост израз дно · је: . ре дн з з 5
1 · в) _. г) - 2. а) ' б)1 ' ' '
1 5
д)-1. д)
5 15 5 5 (Заокружи слово испред ачног одговора)
4 Вредно Вредност ст израза (15,225 15,225 : 0,75 0,7) · 1,5 1,5 1,5 је:
а) О; ) ЗЗ; в) 47,05; г)ЗО,9 ; д) д)ЗО ЗО (Заокружи слово испред тачно одговора.)
S Резулат који доијаш када количник количник ]:
(2 41 ) одузмеш од прои производа звода ројева ројева 2 и i је: 5 2
8 1 . в) б5 . ) . д) а) о ) д) . 9 з б з 150 (Заокружи слово испред ачног одговора.) 1
1
= 2,5 је: б. Реење једначине ·х + з б
1 г)х ; д)х · в)х =5. =2 =2 = )х = =1 а)х 9 5 З 2 (Заокружи слово испред тачног одовора.)
з 5 7 . 1 х < < е: е: ) . ешење не . едначине ( 10 б 2 12 1. а)> х _; )< х 2; в) в)х < х г)> х 2; д) д)х х > 5 5 2 (Заокружи слово испред ачног одговора)
7р
8 После поскупљења од 1б% б% , , паике кошају 2 4Зб динара Цена патика пре поскупљења
ила је: а) 2 825,7б динара; ) ЗЗб динара; динара; в) 2 772 динара; ) 2 1ОО динара; д) З89 ,7б динара. (Заокружи слово испред тачно одговора)
'(Ј s :(Ј :( 9 :(е :(g 1 :(t 'Е :(g ·z :( L vc3m3d 91
РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ РЕШЕЊА СКУП РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА 1.
2
3.
1} {l''' о R ' О R -R } 4 в ) а ){ 4, 1 2 2 } , · б ){ 4'' ' 2 5 ' 2 4 На пример:- 5 1 _ 5 и -L5 з
'
- } г) {-2 ' -_ ' з · з 2
и -R . Н а п ри м е р :-R - 7 5
7
1
13
1 _ . z_и _. 9 4 2 0 з 2 20 = 2 5 O=== 2 =- ==_Ји J З= 5 7 1 2 4 ' 2 4 5 ' 2 4 7 ' 4= 1=-Ј= З2 8 8 , 5 4,- З4 2,-0 и 100 1 - З и - 4 2 . 1 - 1 З 5 - 4 1 · б) З - 5 - 5 - 2'1 и 1 в) 4 и 1. 8. а)- 2,- и 1, ' 2 ' 5 ' 5 2 1 . б) l и -7 · в). и - 1 9 . 9. а ) - l и 2 б - 11 14 8 - 9 - 17 1 7 5 - 2 1 . б )_ - 2 . в) 1 - 2 - 8 ; З 7 ' - 4 '- 11 · 3 .) а з - 1 8 2 5 3 ' '- 11' 7 ' 1'- 2' ?' 5 '
з
1
1
0
з
1
з б б' з
1
1
' з
з -О 4 '
1
О
. -5 1 5 З 1, , 1} ; б) В={, ,2, 1, 2 } , О, 12 а)А{ 1,-2,1 з з 13 +1 Вредност и које променљ и в а може и м ат и су - 4,- З,- 2,- 1, 1и 2 .ко је =- 4,ад а је 4+1 З з з 2 1 { ' 2' 4' З' 2' } - (- 4) 4 а) 5 +; б)+ Q; в)- -; г) о� +; д)- 2 з 1 z т ачо; б)неачо; в)т ач но; 6 а)неа . чно; д)неачно; ђ еачно .
11
2 .1 б) - _ · в) - 4 , 2 , - 1 . а) 8 4 - 1 1 1 _ 2 4 з
5
з
4
З
но ст и з а доб и Ј амо А= - 2 - - - О . - Зам ено м св и х вр ед
Е
Е
ПРЕДСТАВЉАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА НА БРОЈЕВНОЈ ПРАВОЈ
- 14 4 92
-З - 2 1 2
о
5 2
2 .
1
_.
о
4
4
5. а)
1 · _. 2 ._. 2- 1
7 з 7 1 · б) 1 а) ' ' 2
о
б) R- = з
1 2
4
5
4
+
З 1_. + _ + 9 б 2 0 0
2
з
2
_
1' д) г - 1 в
9 5 · в) -'
·
5
- 7 0
-
-1 10
з
З
1 0
СУПРОТАН БРОЈ. АСОЛУТНА ВРЕДНОС РАЦИОНАЛНОГ БРОА 1 · -1 1 1 о· зЛ. - 1 · - з'
4' 2' 5'' 1 7'
11·
з,4 1, 5, 1 з,0 . ,4, З 7.7 . 2 . 1 4 з 7 4 5 7 · б) -1 1 · в) - З 4. З. а)- 9 1 3' 1 3' з и 7 з б) -5 4 и 5 4 в) 1 б5 и б 5 г О ; 4 а) 7
д) -
и ;
ђ) Не постоји такав бро.
5 Попуни табеле
1 1 - х 1 ( х 1 lxl + 1 1
з 1 4 1 4 з - 1 4 4
2
х
5 2
5 5 1 5
1 -4 5 1 4 5 -4 5 1 5 5
( _) _
Све једнакости су нетачне На пример: а) + 7. а) 2
б) 2
- 1- 1+ 1 ·
2
1
в) 2-
·
-
+
г) 1 1Л.' бО
д)
=
- - 1 5 з з 5 2 1 2- х 5 з 5 з 1 2 lx 5 з з 5 1 1 з x + 1 12 з_ б б 0 10 и -4 , а еднакост не важи. з з З з х
1 б б
-
1
t;
1 ·
1'
93
ђ) 1 : ( 1-+ 1) : -i1 = : ( t) + = : 190 _ 55 З5 55 з = 4 9 42 18 42 бЗ 8 а) Е Q+ u {О}; б) о u {О}; в) = О; г) Е Q. 9 а) 4; б) 1 1 ; 5 ; б) 1-4 17 1Оа)4; 3 2, З .'5б .,-,.-
т=
.
ПОРЕЂЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА 1 - 2 -4; 1 в)- 5 - 1 2 1 .а)7З '72 31 ; б)-2, , 3 , 3,5 2 а) Из = следи= па Ј· е = б· б) = 9· в) = 104 г) = -; д) = 2; ђ) = 11 з 9 9 9 3> < -�< _ > _ 1 > З 2 > 2 7 7' 5 5' 11 11 9 9 ' 12 12' 9 9 > 2 _< > З]< З] 4< 1 7_> 9_ . _ < _ _1 2�< 2R s з < l4 2- 15 < 7 1з =-б 2> з з 7 15 2З 9 2 з и -1 7 6 На пример: а) 1, 2 и б; б 5,5 7. а) Прво одреди први мањи и први већи број од који је дељив са З.чигедно је з < Jз < _ па је J између бројева 2 и З; б) 4 и З; в) 2б и 25. 8 а) дреди све цее бројеве између бројиоца тих разломака који су дељиви са њиховим имениоцем: з <-�<-<з з _ з <- L. з ражени броеви су 5 4 и З б) иједа ео број. 9 а) 4 f 1 f 1, f; б) 2 , -, 1 , , , З; в)- , , 7 , 5 , 12 12 +· 1 0 -1-- б5 2з 1 -- 1 11значи бројилац траженог броја са х. Тада је-2З _<4 <- , 24 2Зх 20 1 па е-<-<-ражени разомак е- 4 12 а) т {5, б, 7, , 9, 1О}; б) т {1, О, 1, 2, З, 4, 5, б}. -
7
8
1
б
9
_
з
•
22
15
4
5
15
19
1З
19
з
-
2З
92
92
92
ДЕЦИМАЛНИЗАПИСРАЦИОНАЛНОГБРОЈА
1 а) 2,1; 0,5; З,9, 2,З; б) 5,2б; б1,5З; З,О9; в) 0,572З; 5,0942; 0,0011. 2 а) 0,4; б) = 0,75,· в)= 0,48,· г) 2 З75 = 2,З75, д) 5 = 51 15 оо 1о 1оо 1оо 1 000 2З2 = 12З2· ж) 4 = 0004. = - е)74· ђ) 274 1 000 1 000 1 94
3
а О,З75; б-0,75; 0,4; -4,25; д) 2,75; ђ -2,8; е б,4; ж 12,05.
1 . _. г ЗЗ - 5б. ђ 1 а Ј в е З9 . б 2 8 4 5 8 4 000 5 1,25; З,28; 5,З4; -б,217; 5,55 б 0,5; 4,52; 7,11; 5З1; 9,741; б,З5 б З,725 или З,725; не постоје таки броеи. 7 а-0,8 или 0,8; 8. а 44,4- - 22,2 44,4- 22,2 22,2; б 2,24; 1,8; 7,05; д) -(+7,04) (f б,75) -IЗ,25I 7,04 + (0,5 + б,75)-З,25 11,04; ђ 7,77 8,22< 5,22; 9 а 2,14< 2,4; б З,12 З,ОО2; -5,12< 1,45; 1 < 10005 ж 1 < -О,ЗЗ ђ-З З< -З 13 · е-1 д) -12 12 < -4 _. з 2 5 91 71 5 10. а) 8-7 -4 · б. 2 2 2 а - и О; б-4 и-З; 12 и 11 2-1,28; 2,15; 2,З; -1З 3 -12,2; -12,12; -11,22;-2,22; -2,2; 2,12; 2,2 1 4 а= О,(З); б-0,8(З); -0,(1; г-2,2(7) з 4 •
_
1
+
_
=
+
>
1
1
15" а) -з ;
б)- 71 ; з з
в)-
274
225
.
-2,З5;-5,18;-22,40;-0,78 7-19,бб7; 0,241;-2,214
б
САБИРАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА 1.
а l , б _' в-1 '. г 1·' д) -2 2.
7 11 5 з 7 б 1 5 ; 11 -2 w 1 д) 5 2. а) u' 24 8 б 1 1 - 9 5 -5; 1 д) -б з · 3 а и 1 1 б) 4 . а)-2 ·, , в)- _. 1 г 1 l. 1 д) i ·
б
5•
б
б
8
Зб
40
1 1 2З 7 а з _.' б)-1 )-2 ; )-1 з : д)- з г в : 12 24 48
б-1 -4 а- _ ' ' 14 12
б
1
7.
а)
б
5 + 1 = -2 1 -2 б з + + + 5 1 41 + -1 б1 = -2 12 = = = 1 + 5 = -4_ 12 1 б
з + - 21 з2 4 1 5 2 2 -1 з1 -1 12 б з 1 2 41 1 ]4 2 1 1 2 8 -З 1 З 7 -2 З 5 10 1 5 20 1. 8. а) + Ь = ; б(+ (Ь +(-) = 15 1 4 7 з 9А= 24 =- 5 А 24 + В=-4 4 1 .- = + з б 2 .а) - +- + + +О+ + =-1; б) ' (§ 48 + _) б + (1- 48 1 + 1 б 1) =1 24 + _ 24 =з 1 и . в и тражени роЈе в и суњихо б ир .е-4 а в 4 1 1 4 -4 2 -4
О.
б
13 с
.
4
1
1
2
-4
з
ОДУЗИМАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА
г) -4 f д 1 ; ђ) -11 з 1 ) - 5 · 2. а ) 1; б) -7 ; в ) б l г 1 б) - 5 ) 1 а ) -1 l. ) З д- в з 48 8 21 4 а) 1; б 2 ; в) 1 ) 2, 17 1о б . в ) -З 2 5 а) -1 б - 5l 10 Зб ззl г ) з _, 20 а )(- 1 52 - ) -(- + = ( + =- ; б) в ) -1 _ 24 , 7 a ) -1 ; б1 в) -1 12 а)
3.
·
1
б в - ;
1
5.
·
6.
-2;
а ) - 27 + 2 =З _ 14.
1 = 29 . б) 2 ]-(-1 _
4 8 1 =_. б(- 2 2 + з l =-б . 9 а)1 + 1з б 78 4 Зб з 1З =з в)(+ з -(- зf =б )4t+ 5 8.
8
1
96
10.
а)-2
12'
б) 1
1 11. 1 _ 1-
7'
7'
-
12'
1 в)- . з
l.
7' 7
12 з 11 -1 1 - 1 -З з 12 4 2 1 з 7 7 5 -1 -2 -1 - 2 " 4 12 б 4 4 1 1З 7 -4 -1 2 -З з 12 4 4 3бирови у врстама и колонама ће и после одузимања бии једнаки. 1 + 2 1 з Л. з 2 15 5 2 з 4 1 - 2 1
-
-_-lв
САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊ БРОЈЕВА У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ б) 20,211; в) 97,49; г) 14,85; д) 0,351 2. а)-6,1; б)-5,68; в)-16,7З9; -86 З. а) 8,13; б) 2,285; в) 1 216,02; г) -0,63 4. а)-З,8; б) О,12; в)-2,5 5 а)-0,5; б)-2,005; в)-5,6; г) 9; д)-7,5; ђ 1,1875 а)-52,25; б)-9,9; в) ЗО6,455; г) -45,875 7 а) 27,4; б) 41,75; в) 0,09; г) -1,008 8 а)-90,12; б)-57,62; в)-7,216; г) 14,77; д) З,8 9 а)-0,2; б) 4,З; в)-1О; г) 5; д)-6,8 10 а) а Ь -0,9; б) а-lb)-а+ (Ь-а Ь -0,4. 11 а) б)
1 а) 27,З7;
12
б)(-З,9 + (-8,2))-(1,1) =-11; +(-0,105) � -(-0,105) =0,21
а)-З,5 + 4,8 1,З;
(
в) -
)
)
.
13 -З 497,29 + 2 48З -1 014,29. Након уплае, Соан е у минусу 1 014,29 динара.
97
СВОЈСТВА САБИРАЊА РАЦИОНАЛНИХ БР ОЈЕВА 1.
а 1,2 2,З
ь
5 0,005 2,4
з
5
а З,25 з
с 1 - 4 1 - 8 1,5 с 5,75 0,2
ь
1 4 З,8
а+Ь
(а+Ь)+с
Ь+с
а+ (Ь+с)
б,2 2,295 З
б,45 2,42
5,25 0,12 З,9
б,45 2,42 4,5
4,5
а+Ь -З
Ь+ а
Ь+с
З 4,55
5,5 4
с+Ь 5,5 4
4,55 4 1 1 1 = _ . в) . _ + (l + 1- б 2. а) ( + (1 +l= _ . ) 2 2 2 4 4' б з з б' 10' г)(0,5б+2,4)+ 1,44 = (2,4 + 0,5б)+ 1,44 2,4 + (0,5б + 1,44)=2,4 + 2 = 4,4; д)О; ђ) 1О 1 ° 3 а + > + + јер је > +; ) + ) < + ( ; в) 1 + =0,5+ - 7 ; ' 1 + _l _L < +_ + д) + 1 _ 1 + г)_ б + l 2 11 2 11 б' 5 з 10 10 з 5 1 +Ь _- 1 = ) _ + 1 = 1 '· в) _' г) _ - 1 =1 1 4 а а - з 4 12' 2 12 з з з з з 4 4 5 1 = 2 1 1 +1 1 -_. б)2 1 +l= : ' в)(-2 Sa) - (b- 1 г) З 12 з б з б' б 2 з б 12 4 ' г)1· д)-1 _. в) 1 б. а) . б)1 10' 10' 10' 5 _
ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ
није; )није; в)јете; г)јете. 1 б)у=1. в)z =1 15· г)а=О 2 д)ЬО 9 2. а) х=- 12' б 1 д)х= 1 t 1,б5; в) х 2 Л г) t =7 ) 3 а) х=-1 _ о 1 14' 2 4 4 а d Ј. )fб,б1; в)d 1 ; г)f= З 11 6 з5 15 1 ; б)а=1,75; в)у=-1; г)а=З 5 а у 1 8 12 а
·
1
1
1
1
·
1
98
1
б а)х= 1
2 8 · 45
= 1 3 б ) х=_ . в )х 4 8 ·
1 0
б )Ь =
7. а)z=2;
в ) х= 1
;
1 . г х =-
5
2 г) х=-1 �З ; д)z= -
.
у 8Ј. 8 з зо 8 а)у 5 илиу= 5 б у= 1 илиу= 1 ! ђ) а = З_. е) х= 52 ж
12
решења
12
12
12
в )IY _ lZ 1п а је дн ач и а н ем а
20 г у= З+ илиу= 5 д)у= илиу= 1 f; ђ у= 1
1 а Ј ех= 1 1 9. х+_ = 8 4 8 1п а ех=2 ! . хО З=З 2 + 8 4
=
илиу= З
0
. 1
+(1 �) х=1
1
( +(-
1. 2
( 1 )lп ајех=З
а
1 3
з k О 5)+ 4 = 1 25 п а Ј еk=2l 1 1 = З+ п а је = 4 ( ј)) 42- 1 5 з 5 1 5 1 5 +
n
-
НЕЈЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИАЊЕМ 1 1 б)З2 в)свибројеви ниједанброј д)З 1 2l 025214 а)- 8 2 5 2 8 1 1 . 2 а ) х>- � б)у� 1 в)z > l г q > д)р З 1 2 з 4 2 1 б)Ь >_ в)с2 d � 3 а) <5 8 з 1 б) х< 1 в)х�; х2 . 4 а) х 2 2 з 5 1 б)q < з. з 1· г t > 5. а )р� З- ) � З - в 4 5 4 1 0 5 2 1 б а)х< 1 2 б) х<1 в)х� З - ; г х<1 2 з б)у< -1; в)у� 1 _ ) У� д)У <1 5 ђ > 7 а)у� 2 0 1 8 1 2 б)4, 4 2х: 4, 42 в)сваки рацио налаброј је решење 8 а) х> 2 или х<2 _l 1 нема рацио налног броја који је решење д)х> 1 или х< 4 4 r
.·
99
9 а -2 зо па је =-З. 1О. Из а= 2 з1 заменом добијаш х 1 . 11 Значи,-1 1 1+х З,2,одакле је х 1 4 , зо 12 Значи,(-5 1 2 + З ) -х� 1 ,одакле је х:-2l. 4 13 Значи, х- 0,52 +-2,4)) > 0,52--2,4), одакле је х> 1 ,04. 1 , одакле Ј е х� 1 14 Значи, (Л_ Х.$ l +(-2 2 +(- О з 5 з 4 5 15 У подне температура је била х+ 7,2 сепена Целзијуса, увече (х+ 7,2) 5,З, а следе ћег
јутра ((х+ 7,2)-5,З)-З,9 < -2,, одакле је х -О,. Дакле, температура је била нижа од -О, степени Целзијуса. МНОЖЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА
о·, г) 8 ,· д) 4 ,· ђ) 2 ,· е) 7 1 а) 2 2; 2 б) 2 в) , 5 7 З5 9 з 21 2 а) 20; б) 21; в) 42; г) 1 ОЗ5; д)-20. з б) 2 4 з -1 1 в) 4· - 9)2 =- 98 г) З 5 )=- 7 3 а) З· 51 = 5 В 8. =
4 а)-З f б)-1 +; в)-; г) О; д) 1 +;
ђ) 1 О+
в) 1; д) 4t; ђ) 1 21 ; е) 5+ ; ж)5; з); и) 115 . б а)-1; б) _l; зо д)- зо 1 0 г) 1 4 в)- а)1; б) 1 21 ; в); г) 1 +· 5 ; б) 1; в) +; ) 1 д)- а) 8 1 2 1 · г) 1 . в)-1 б) 1 9 а) 10' 20' 2' 1 . (- )-( - )= · ( ( -2 t))·( - ( 2t ) )=- 4 Sa
40
11. -
100
+
. -1 l J-_ J - 8 зз 1б 15 2 ( ( = 3 (14 а)З5,б; )5 200; в)б,; )1,04; д)0,054; ђ) б,ЗЗ995. а)З (-2,З)=б,9; )4 (-0,04)= -0,1б; в)2 (-8,8)=-1,б 6 10 000 0 100 000 -5 9ЗО -59 зоо 59З -5,9З -59,З -15 ОбО 15,0б -150,б 1 50б -,50б -О,ОЗ З, -О,ООЗ -З7 -О,З7 =
-
100 000 -59З 000 -50 бОО -З0
7а)Зб0; )4 ЗЗО; в)-51,0; г)-5,5; д)5 4ЗО; ђ) 184; е) 248,8; ж)ЗЗ2,8; з)-128,25; и)02,З5; ј)81. а)-2З,5б; )-4,9; в)15; )1З,455; д)-1; ђ) О,ОбЗ; е)0,945; ж)0,00б4; з)-0,0052; и)1З,4б а)-З; )б,18; в)0,; )-1О,б9. ж)-З,85; з)-,б4 а)1,б; )5; в)-18,б2; )З,2; д)2; ђ) f; е)1 21 ; в) 1 ; )-5 ; д)2, а)-1 29 ; )-З s З2 80 -2,5 12 + (- -0,5 = -З1 +· (-4) =1 3 (- 14 21 б 42 24. (-2,5 (-З t (-2,5- (-З т= -2 4 ·(О З5 (-4))- _ 5 · (-1 10 (О 5) = 200 . 1 =- 1 =-2, трећи рој је -2 · и четврти рој је 6 Први рој је 8, друи рој је -8 4 2 4 1
1
·
- + = Дакле, ражени зир је -8 + (-2) + (- t + (- f =1О . 1 - 1 и-L (- · (- L) = љ 27 Т ражени ро Ј ' еви су l 2 а производ Ј е l. б 2 б б 2 б 288 б 2 б 2 1
1
1
1
СВОЈСТВА МНОЖЕЊА РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА а
-0,5 1
з
2,З
4 -О,З5 -0,05
с
Ь+с
аЬ
Ь·а
1 -1 2 2 9 З,1
1 1 4 2_ 2 -З,15
- 8 1 8 о,15
8 8 О,15
аС з
4 22 2 ,1з
аЬ+ас а (Ь )
5 8 149 2б ,245
5 8 49 2б ,245
101
Применом својстава асоцијативности и комутативности а множење директно следе дате једнакости 7 1 3а) 7 ; )-О,б9; ) -1 0,2. в)4 ,б8 ; ) г ; д 1 ; в) 7,З 7; ) 4а)2 ) з з 18 1 1 1 · ) + _ 1 = _. 5.а г д)_. ђ 24 )_ _ + _ - _ )-0 25· в)
;
5
б.а)-1
5
з
5 9
=
·
з
)0, 7;
;
l ( з
5
2
1 1 2З ЗО·1 8 '
з
з
)
5
' '
5
7'
б'
1 5
в )З,З.
1 ·, в 1 б} -1 )4
7а) 21 ; 2
5
1. } г 1 д )-
·
·
2
з
1 2 1 · _
_
5
1 7
2
2
21
рој Онема реципрочну 9. Б ројеви 1и 1су једнаки својој реципрочној вредности Б вредност
l
l,
1 О А 1и В= 5 па је тражени проивод 1 з
ДЕЉЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА д) 2 2а)1 б; )5; в)З; )1 г ОЗ; д)1 0 ; ђ 1 00 5 2 2 д) з ђ 3•а) ) 1 в) 1 ) 48 · а)1
+;
)1 г
)1
9
а)
4.
-
_ . 1 5 J. ) в б) 12 15
·
1
;
)1 г
4'
2. 9
д)1
49
З ; љ З1 и) 1 ; ј)9 к)9; л) 15 0 4 7 в) 7 з 1 5·а) 2; г б ) ; ; 5 7 20 · 1 44 ба)-1 ; ) 2; в)З з } з . в) 1 } 1 д)1 13 а } 1 ' '
5
7
9а )- _.
)
з
11.
102
(
(
б : -1 2 7 5 -8 з 12
1 8
з
14
) 24З. ) г � д)2 39. в 24З 15 б 25 1 25
) ,. +) 2 1 +
:
4 ==
з
е)2,·
м) б; н)З
1 > 11 1 ) б< 1 1 в)2 5 21 8
8а) J >- 27 з'
1 о. -
;
1 · ђ -1
.
ж) -4,·
з )1 2,·
·
(
12. 8
3
+
2
1 10
) (
8
:2
1 10
)=
(1 12 : з l8 - (5 18 з 14 )
-2
З 1О
.
= 1 д
З 4 а) 2,4; б) 195; в) 0002З4; г 52; д ЗЗ458; ђ 1 З 5
1 000 10 000 100 10 ОIООЗ4 ОIОООЗ4 ОIОЗ4 З,4 ОIЗ4 001502 0,001502 01502 15,02 1502 ОIООЗ14 ОIОООЗ14 ОIООООЗ14 ОIОЗ14 ОIЗ14 б. а)-18; б)1З; в) 051; г)01З2; З,428; ђ ОIООЗ5 7а)20; б}ЗО; в) 452; г)15525; 1,4; ђ 195; е 0�02; ж) ОIЗ5; з 5,41; и ЗО. а)1525; б) 929З; в) 2З95. 9 а) 42; б)�1; в) З5 (-525: 015) (4) З1 5 1295 (28: 0,4} =ЗIЗ5 1 242 1 ( 99924: оЗЗ) =15З з 25 2 3(о�з5: ol5) з · о�8 =з�з 185 4 (-2З1 12): (2З1 12) 42 1 251 -1 l. 5 з�5:
(
(
( ( �)
-
=
( + ( : З f 1
6а)
б)
в)0,44
=
7а) 1 б) _. в)-З _. г 1 2 з 2З 11 5 а)З _. б)-1 в)_ 128 2 а) З; б) в)1; г 2 ; О; ђ З
+
е 5
ЈЕДНАЧИНЕ а) јесте; б) ние; в) није; г јесте; јесе; ђ ие х=1О а) х - ; б) х1; в) х2 ; г х= 1
; б) 1 б)
3а) у 4 а) а
у 1; а=
в) у=941; г у= 40
; у=
5 ; в) а =15; г а =8; а= 15 18
.
103
5 .а) Ь =2, б) Ь = 26 575·
1
з
1
5
5 в) Ь =-
·
1
г) Ь = -
2
= 2 1 б) d = 4 1· в) d =-4 г) d = 5 ] ж) d 26 _. з) d =1 1 1 ; б)х= в)х= 7.а)х=- 2 з 4 . 8.а) у= - ; б у=в) у 1 ; ) у 1 1 6 з 1. 9 а) k = б) k = 5 б а) d
·
29
1
21
4
д) d =l. ђ d = 4 ; е) d= 1; 5 50
1
1· 2- 5
15
'
1 =l, онда јех=2 0.Како јех (1
з 8 4 .Како јех: ( - _ =-1 J, ода јех= 16 .Како је х(- + 0,625) =-9,З--0,675, ода је х З 4 · 1 заменом добијаш Ь = 1 и с= З 3. Из = 5 16 2 1 , па јех= Да ије порешио, Зора би добио 1 4 х(-_ ) = ( 15 з 15 15 15 4 5 .4· (- З · x-f )( )= 2 · 0,8 + -5 ,2)). О дав де јех=11 1 6 б (-О З - О 025 З (- х- =-0 1 Одавде Ј. ех=- 20 7. 500- ( 2,З 87З·х) =З8,1 Килограм бааа ко шта 10 4 диара 8. 2 25 618,З 2-24 500 2х-З 000,16 Један ар кија кошта 8 21О диара 1 или х= 6· )х=l илих=] илих=· б) х= 1 илих_ в) х= 1 9.а)х1 5 5 З 6 з 5 5 1 и лих= - 1 д) � = илих= ; ђ нема решења; е)х= 2 илих=-2 ; ж)х 1 9 5 2
1
90
2 0
50
1
1
1
=1
з)х= 1
и лих=- З
и)х= 2
ј)х=
.
НЕЈЕДНАЧИНЕ
1; а)х< 1
1 ; в)х 1 1 ; г)х<; д) х> 2,24 7; ђх� , б)х< 1 з 2 9 25 11 1 , l, О1 1}; г) {З}; д) {З} .а) {0, З}; б) ви бројеви; в) -2,-
2 4 з 3 а) <-4 ; б) <-5 ; в) � 7; г) <-6; д) -25 ; ђ < 24 . 1 ; д у 1 1 4 а) у> - l; б у� - ; в) у< l; ) у � 5 4 з 4 5 2
104
9
· '
1 б) х<О,; в) х>-З,З; г) х 18; д)х>- 1 ; г)р<1; д)р< .а)р>2; б)р>З; в)р<1 1 г)а; J. 7.а)а <1 l; б)а;- _ в)< 8 зо 8 15 4' 1 б)ь; -2 в)Ь >5 г)Ь: 4 4 .а)Ь <1 , ' 4 18 15 2 1 ; г) х� -З; д) х<18; ђ) х<-5; е) х< в) х� 29 9. а)х<1; б) х<24 з 2 18 .а)- <х<1; б)-2,4 <х<0,8; в),5 <х<5 5 1 .Како је ·а- 2 : - ' то је а � -1 0 З5 8 : _ о је Банко могао да замисли бој не мањи од l, а 3 . Како је J <х + з 4 9 9 4 мањи од 2 .З, -2, 1 5 З .а >-2 1 , одакле је х>4, па ећи бој може бии З, 2 или -1 7.( + (2)х): З >-4 з 1 <х<1; .а)х<О; б)х<О; в)х<4 или х>О; г)З <х<О; д)х<О или х>2,1; ђ) 5 а)х>- з
( L)
з
е)22,4 <х< 1 ,; ж) х<О или >5; з)l <х<З 4 ПРОЦЕНТИ 1, 12 , .а) б) 2, 1 1 10 5 .Следеће бојеве изази у оценима а)9%, 1 З%, З9%, 50%, 1%, 99%; б)1ЗЗ%, 21%, З11%, 512%, 91%; в)0,4%; 2,1%; 1О,1%; 51,З% 5%; г)50%, 5%, 40%, З10%, З5%, З2%, 158%; д)1ОО%; 25%; О%; 20%; З25%; 850%; 15%; 200%; 150%; ђ)12,5%, ,5%, 2,4%, 40,2%; е),%, 41,%, 2,З%, 1 21,6% 1 42=2150%·18= 1 18=9'8'5'12'95' б)ЗО% 250=_250=5' 3 .а)50% 42= ' 1 оо 2 2 9 1 ; в)9,42; 9,94; З84,8; 1 ; г)19,8; 9,245; 2,15; З З,З; ; 8 40 8 5 1 .а)х5%=х005= Ј О, одакле је х=200; б)1О; в)20; г)1 440; д)24; ђ)12 2 5 Дечака има 20 ·45%=З24, а девојчица 20 55%=З9 . Ако ужа има 44%, онда лала има 5% ЗнаЧи, засађено је 525 5% =294 л але 7.околада кошта 500 З5%=15 динаа . Након снижења од %, цена коуље је 94% очетне цене, то јест 1 250 94% =1 15 динаа
+, f,
·
Сада:а цена је 107% почетне цене, то јест 2 37007%=2 535,9 динара. 1. Ако је цена снижена за 36%, садашња цена је 64% почетне. Значи, х· 64%= 52, па је блуза коштала 800 динара. 11 х18%=294,4. Цена књиге пре поскупљења је 249,5 динара. 12 Одличних- 25%, врло добрих 33,33%, добрих- 6,67%, довољних- 25% 13 Укупна маса теста је 360g. Брашна има 55,56%, а шећеrа 1,11% 9
14
а) Из х1 50=1 058 динара добијаш да је х=�=92%
100 Дакле, торба је појефтинила за 8%; б) 4%; в) 23% б) 25%; в) 39% 15 а) 0% 16 3% цене кишобрана је 26 динара. Значи, х 3%=26, па је цена кишобрана пре снижења била 200 динара, а после снижења 200-26 динара, односно 74 динара. 17 1 250 ученика. 18 Пре поскупљења- 520 динара, а после поскупљења 608,4 динара. 19 65kg свежих шљива. 20 1 септембра- 2 200 динара. 5. септембра 2 530 динара. 30 септембра 2 150,5 динара. Дакле, патике су јефтиније 30 септембра, за 49,5 динара. 21 Када је потрошила 30%, имала је 2 478 динара. Сада има 221,4 динара. 22 Након првог поскупљења, литар кошта 94,35 динара, а након другог поскупљења, 00,0 динара. Дакле, О литара кошта 000,1 динара. 23 (х· 75%) 78%=468 Сава је замислио број 800 24 После снижења од 20%, цена чаша је 200 динара. Како је х200=250, онда је х=25% Дакле, цену чаша треба повећати за 25%. 25 За 20% 26 Обим правоугаоника пре промене страница је 8cm, а површина 20cm• Након промене обим је 22cm, а површина 30cm Обим се повећао за 22,22%, а површина за 50%. 27 Добили смо правоугаоник. Означи страницу квадрата са а Дужа страница правоугаоника је 0%а=Ј а, а краћа 90%а=_ а Обим правоугаоника је 4 а, о о 99 а површина а=99%а Дакле, обим је остао непромењен, а површина се 100 смањила за 1%. -
106
ЧЕТВОРОУГАО
ПОЈАМ ЧЕТВОРОУГЛА 1 Нацртај произвољан четвороугао и обележи његова темена, странице и углове. 2 На слици је дат роизвољан четвороугао АСО
с
Допуни дате реченице: а) Страници А суседне странице су б) Наспрамна страница страници АО је в) Углу р суседни углови су г) Углови а и у су А
в
З Нека је у равни дато пет тачака А, В, С, О и Е од којих нико је три нису међусобно
колинеарне Колико четвороуглова је одређено овим тачкама? Наведи их 4 Допуни дате реченице:
а) Сваки четвороугао има дијагонале б) У сваком четвороуглу збир унутрашњих углова је в) У сваком четвороуглу збир спољашњих углова је
УГЛОВИ ЕТВОРОУГЛА 1 Провери да ли дати углови могу бити унутрашњи углови конвексног четвороугла: а) 79°, 85°, 42° и 154°; б) 60°, 99°, з о и 119°; в) 100°, 82°, 44° и 44° г) 55° з : 88°, 78° ' и З8°. 2 Углови четвороугла су
р= 74°, у= 6Зо и 8= З8° Израчуна ј четврти угао а тог четвороугла
и сваком од ових углова одреди одговарајући спољашњи угао З Одреди непознате унутрашње углове четвороугла ако је дато:
а) унутрашњи углови а 59°, р= 72° и спољашњи угао 8 9Зо; б) унутрашњи угао р 44° и спољашњи углови а = 7° и у = 52°; в) унутрашњи угао а= 14°, а остала три су једнака; г) унутрашњи углови се редом разликују за З2о; д) а 2у, а друга два наспрамна угла су права; ђ) унутрашњи углови су једнаки а, 2, 4а, 5 е) унутрашњи углови су једнаки а, р= З а, у= р+ 70° и 8=а+ 50°
4 Нацртај четвороугао који има:
а) два права угла;
б) три права угла
5. Дијагонала АС дели четвороугао АСО на два једнакостранична троугла Израчуна ј углове
тог четвороугла
107
б Дијагонала АС дели
улове а и у на < ВАС З2о и < САО з односно < ВСА 58°и
7 �Дијагонала
ВО дели чевороуао АВСО на два једнакокрака роугла АВО и ВСО, ако да је АВ ВО и ВС= СО. Ако је а5 и у140 одреди углове и 8 четвороугла АВСО.
о
Дијагонала АС дели
четвороугао АВСО на два једнакокрака роугла, тако да им је АС заједничка основица. На основу података са слике израчунај све улове четвороула.
в
9.
Продужеци сраница АО и ВС чевороула АВСО секу се у тачки Е, тако да је троугао АВЕ једнакокрак и равоугли. Ако је < ВСО= 112° одреди улове четвороула АВСО.
Продужеци сраница АО и ВС четвороула АВСО секу се у тачки Е, тако да је троугао ОСЕ једнакокраки (ОС= СЕ). На основу података са слике одреди улове четвороула АВСО.
1 О
А
F 11
Израчуна ј углове четвороугла АВСО (види слику) ако су роулови АЕО и ABF једнакокраки (АЕЕО и AFFB
А
108
Е
ПАРАЛЕЛОГРАМ Међу нацртаним четвороугловима издвој параелораме:
2 Нацра ј паралелограм и обележи му сранице и улове. 3 Корисећи подударнос роулова докажи
а) да су наспрамне странице паралелорама једнаке б) да су наспрамни улови паралелорама једнаки 4 Допуни дае реченице
а) Суседни улови паралелорама су б) Наспрамни улови паралелорама су 5 Израчуна ј осале улове паралелорама ако је један уао б) 126°; а) 0°; в) : о
6 Ако је један спољашњи уао паралеорама °, одреди остале спољашње и све
унурашње улове то паралелорама. 7 Да ли улови од ° и ° моу бии два унутрашња ула паралелорама? 8. Одреди улове паралелорама ако је а) збир два унурашња ула 0°;
б) један унурашњи уао два пуа већи од друо; в) један унурашњи уао већи од друо за ° 9 Израчунај улове паралелорама ако се два њеова суседна ула разликују за ° 1 О Висина параелорама АВС повуче на из емена образује са сраницом А уао од 0° Одреди унурашње улове о паралелорама
109
Одреди унутрашње углове паралелорама ако је: а) један спољашњи угао три пута већи од њему суседно унутрашње угла; б) један спољашњи угао за З мањи од њему суседно унутрашње угла в) спољашњи уао паралелорама једнак l њему суседно унурашњег угла.
2 Дијаонала АС паралелограма АВСО образује са страницама АВ и АО улове од З 1 о и ° Израчунај унутрање улове паралелорама АВСО
3 Колико паралелограма уочаваш на слици?
4 Из темена О паралелограма АВСО повучене су висине на странице АВ и ВС Ако је уао између тих висина °, израчуна ј углове паралелорама 5 Заокружи слова испред тачних тврђења: а) Дијаонале паралелограма су једнаке б) Дијаонале паралелорама се полове в) Наспрамне странице паралелограма су једнаке и паралелне ) Наспрамни улови паралело рама су суплементни. б. Симетрала унутрашњег оштро ула ВАО паралелорама АВСО сече страницу СО у тачки Е, тако да је ОЕ Scm и ЕС cm На ђи дужине страница паралелограма =
7 Израчунај обим паралелограма ако је дужина једна страница cm а дужина дру е три пута мања од ње 8 Израчунај дужине страница паралелорама ако је једна дужа од друге за cm а обим тог паралелограма је cm 9 У паралелограму АВСО повуци дијагоналу АС Докажи да су темена В и О једнако удаљена од дијаонале АС 20 Нацртај произвољну кружницу k и повуци два произвољна пречника Докажи да крајње тачке тих пречника одређују темена правоуаоника 2 Симетрале наспрамних улова паралелограма су паралелне Докажи 22 Пресечне тачке симетрала унутрашњих улова паралелорама АВСО образују четвороугао EFGH Докажи да је четвороугао EFGH такође паралелорам. 23 У троулу АВС нацртана је тежишна дуж АА1. Продужи ту тежишну дуж за њену дужину (АА ОА) па спој тачку О са теменима В и С троугла Докажи да је добијени четвороугао АВОС паралелограм
по
ПРАВОУГАОНИК, РОМБ И КВАДРАТ 1 Симетрала угла код темена А правоуаоника ABCD дели страницу С на одсечке од Зсm и
4cm. Израчунај обим о правоуаоика 2 Средиша сраица правоугаоника су темена ромба До кажи З Израчунај унутрашње углове ромба ако је:
1) један унутрашњи угао 45°; 2 један спољашњи угао 45° 4 Ако је краћа дијаоала ромба једнака страии ромба, одреди улове ог ромба. 5 Висина ромба, повучена из темена тупог угла, образује са једном сраниом угао ОД 30°
Одреди углове ромба б. Докажи да дијаонале ромба полове његове улове 7 Дијагонала ромба образује са страницом уао од 3° Одреди улове о ромба 8 Докажи да су средишта сраица ромба емеа правоугаоника 9 Израчунај углове ромба ако је страниа ромба два ута већа од његове висине 1 Из теме на тупог угла ромба коструисане су висие Ако је уао између их висиа 0°,
израчуај углове ромба
1 њему суседног унурашњег угла Одреди уао који 11 Спољашњи угао ромба једнак је - 5 граде висина и дијагонала повучене из исог емена
12 Попуни дате абеле (за тачан одговор упиши+, а за нетачан -)
дијагонале
паралелограм
правоугаоник
ромб
квадра
правоуаоник
ромб
квадра
полове се једнаке су узајамно нормалне
кружница
паралелограм
се може описаи се може уписати
111
ПАРАЛЕЛОГРАМИ И СИМЕТРИЈЕ 1 Попуни дату табелу (упиши колико оса симетрије има четвороугао):
паралелорам
правоуаоник
квадрат
ромб
оса симетрије в 2 Дату дуж АВ пресли кај централном симетријом у односу на дату тачку О А в 3. Дати троуао АВС пресликај
централном симетријом у односу на дату тачку О
А
•
о
4 Произвољан четвороуао АВС пресли кај централном симетријом у односу на теме С то
четвороула. 5 Нацртај паралелорам АВС, па а централном симетријом пресли кај у односу на тачку
пресека дијаонала. б Наброј неке еометријске фиуре које су централносиметричне.
КОНСРУКЦИЕ ПАРАЛЕЛОГРАМА 1 Конструиши паралелорам АВС ако је дато а) АВ= сm, А= cm, < А = °; б) АВ= сm, ВС= cm и дијаонала АС= 8cm; в) АВ= сm, ВС= cm, В= 0°; ) АВ= сm, А= cm, а, = 0° 2 Конструиши паралелорам ABCD ако је дато: а) АС= 8cm, ВС= cm, АСВ= за; б) АВ= 7cm, АС= 8cm, < В= °; в) АС= 8cm, В= с и уао између дијаонала 7°
112
3 Конструиши паралелограм АВСО ако је дато: а) АС= 9cm, ВО= 6cm, АВ = 7cm; б) АВ= 7cm <А = 60° h = Зсm· в) АВ= 7cm, ВС= 4, hь = 6cm.
'
а
,
4 Консруиши квадра ако је дао: а) сраница = 4cm;
б) дијагонала d = 6cm.
5 Конструиши квадрат ако је њеов обим 22cm б Конструиши квадрат ако је дата тачка пресека дијаонала и једно теме квадрата. 7 Конструиши правоуаоник ако су дае њеове странице: а) = 7cm, Ь = Зсm; б) 4,8cm, Ь = 2,3cm. 8. Конструиши правоуаоник ако је дато: а) страница = Scm и дијаонала d 6cm; б) дијаонала d= 8cm и уао између дијаонале и дуже странице 30°; в) дијаонала d= 6cm и уао између дијаонала 1 05°; ) страница = Scm и уао између дијаонала 60°
9 Конструиши правоугаоник ако је дао: а) сраница = Scm и збир дијаонале и друе сранице Ь + d = 9cm; б) дијаонала d= 8cm и збир сраница + Ь = 105cm.
О Конструиши правоуаоник ако је њеов обим 22cm а једна страница је дужа од друе за Зсm
Површина правоуаоника је Р= 24cm, а једна сраница = 6cm. Консруиши тај правоугаоник
Конструиши ромб АВСО ако је дато: а) сраница АВ= 6cm, угао = 60°; б) страница АВ= 4cm, угао = 135°; в) страница АВ= 5cm, дијаонала АС= 8cm; ) страница АВ = 4cm, дијаонала ВО= 4cm.
3 Консруиши ромб ако је дато: а) дијаонале d, = 6cm и d2 4cm; б) страница = 5cm и висина h = Зсm; в) дијагонала d, = 8Em и уао = 75°; 4 Конструиши ромб ако је дато: а) страница = 6cm и полупречник уписа не кружнице r= 2cm; б) полупречник уписане кружнице r= Зсm и уао = 60°; в) дијаонала d, = 9cm и висина h = 4cm; ) сраница = 5,5cm и збир дијаонала d, + d2 = 14cm
113
ТРАПЕЗ 1 На датој слици обој трапезе црвеном бојом.
2 ацрај:
а) трапез; б) једнакокраки трапез; в) правоугли трапез, па обележи његова темена странице и углове З Израчунај углове трапеза (гледај слику)
б)
а)
4 Израчунај углове једнакокраких трапеза (гледај слику)
а)
б)
в)
а
а S Израчунај углове правоуглих трапеза (гледај слику) а)
б)
в)
а
б. Продужеци кракова једнакокрако трапеза образују угао ОД 80° Одреди углове тог
трапеза 7 Продужеци кракова правоуглог трапеза образују угао од 50° Одреди углове тог трапеза
114
8 Симетрала оштрог угла једнакокраког траеза нормална је на насрамни крак Израчуна ј
уг лове тог траеза 9 Симетрале углова на основици једнакокраког траеза секу се под углом од °
Израчунај углове трапеза. О Дијагонала једнакокраког трапеза образује са страницама углове од ° и ° Одреди
углове тог трапеза. 1 Дијагонала једнакокраког траеза образује са већом основицом угао од ° Ако су
мања основица и крак једнаки, одреди углове тог трапеза 2 Одреди углове једнакокраког трапеза ако је збир два унутрашња угла: б) ° а) °; 3 Одреди углове једнакокраког трапеза ако је збир три унутрашња угла ° 4 Симетрала оштрог угла једнакокраког траеза образује са другом основицом уао од ° Одреди углове тог траеза 5 Израчунај средњу лиију траеза ако су осовице: а) а= cm Ь = cm; б) а= ,cm, Ь = ,cm б. Израчуна ј неознату основицу ако је дато: а) основица а= 6cm и средња линија т= cm; б) основица Ь = cm и средња линија т= 6cm 7 Дијагонала трапеза дели средњу лиију трапеза на одсечке од cm и cm Одреди
основице тог трапеза 8 Дијагонала једнакокраког трапеза дели средњу линију трапеза на одсечке од cm и ,cm Ако је как тог трапеза cm, израчуај обим трапеза 19 Конструиши трапез АВС ако је дато а) АВ= cm, А= cm, ВС cm, = 6°; б) АВ= 6cm, А= cm, = °, � = 6°; в) АВ= cm, А= cm, В= 6cm, С= cm; г) АВ= cm, ВС= cm, А= 6cm, АС= cm; д) АВ= cm, АС= cm, = 6°, � = ° 20 Конструиши трапез-ако је дато: а) основице а= 6cm и Ь = cm, угао = 6° и висина h = cm; б) основица а= 6cm, крак с= cm, угао = ° и висина h = cm; в) основица а= cm, краци с= cm и d = cm и висина h = cm; г) основица а= cm, углови = ° и� = ° и висина h = cm
115
Конструиши једакокраки трапез ако је дато: а) осовица а=cm крак с=cm угао =°; б) осовица а=6cm крак с cm и дијагоала =cm; в) осовица Ь =cm крак с cm угао у=0°; г) осовица Ь =cm крак с cm и дијаоала =6cm; Конструиши једнакокраки трапез ако је дато: а) осовице а=8cm и Ь =cm и крак с=cm; б) осовица а=8cm дијагонала =cm и висина h =cm; в) збир осовица а+ Ь = Ocm крак с=cm и дијагоала =cm 3 Коструиши правоугли трапез ако је дато: а) осовице а=6cm и Ь= cm и висиа h =cm; б) основица а=6cm крак с cm и висиа h cm; в) осовица а=6cm крак с=cm и угао�= 60°; г) висина h =cm крак с=cm и краћа дијаоала =6cm 4 Коструиши правоугли трапез ако је дато: а) осовица Ь =cm висиа h =cm и угао у 0°; б) осовице а=6cm и Ь =cm и дужа дијагоала 2 =cm; в) осовица а=6cm крак с=cm и краћа дијагоала 1 =cm; г) разлика основица а- Ь =cm висиа h =cm и краћа дијагоала d7 =cm
ДЕЛ ТО ИД Одреди остале углове делтоида АВСО (АВ=АО, СВ=СО) ако су: а) углови између једаких страица 6° и 8° б) углови < ВАО=° < АВС = ° Колико највише делтоид може имати: а) оштрих углова; б) тупих углова? 3 Наспрами улови делтоида су 6° и ° Израчуај друа два ула делтоида. 4 Коструиши делтоид АВСО (АВ=АО=а, СВ СО=Ь, АС=1 ВО=2 < ВАО=, < АВС =�) ако је дато: а) а=cm Ь =cm и 1 =cm· б) а=cm Ь =cm и� = 0°; в) а=cm =cm и = 0°
5. Коструиши делтоид АВСО (АВ=АО=а, СВ= СО=Ь, АС=1 ВО=2 < ВАО=, < АВС =�) ако је дато: а) d1 =6cm 2 =cm и а=cm, б) 1 =cm d 2 =cm и =° в) d7 8cm =0° и� =°
16
ТЕСТ- ЧЕТВОРОУГАО 1 Ако је унутрашњи угао четвороула а= 65°, а спољашњи �1 = 107° и у, = 39°, онда је унутрашњи угао б тог четвороугла: б)65о; в)81°; а)73°; г)141° (Заокружи слово испред тачног одовора.)
2 Један уао паралеограма е 75° Збир два унутрашња угла то паралелорама е: а)230°;
б)220°;
в)21 о;
)200° (Заокружи слово испред тачног одговора)
3 Збир два унутрашња угла ромба е 76°. Један спољашњи угао тог ромба има: а) 104°; б)38°; в)76°; г)142° (Заокружи слово испред тачног одовора)
4. Наспрамни уови трапеза су 56° и 111° Остали улови трапеза су: а)56° и 111 о; б)124° и 69°; в)48° и 131; г)156° и 34° (Заокружи слово испред тачног одговора)
5 Дијаонале правоугаоника секу се под улом од 48°. Углови које диаоале образуу са страницама правоуаоика су: б)42° и 48°; а)24° и 66°; (Заокружи слово испред тачног одговора)
Збир два наспрамна унутрашња угла делтоида је 200°, а трећи има 90° Збир два суседа ула тог делтоида може имати: � 160� б)170� а)180� (Заокружи сово испред тачног одговора)
7 Конструиши ромб чиа е страица = 5cm и висина h
=
Зсm
7
8. Конструиши једнакокраки трапез ако је дато:
9 Конструиши детоид ако су дате странице симетрије d1 = 8cm
бсm, а = 75° и d б,Scm.
Зсm и Ь 7cm и дијагонала која је оса
'9 '9 ·(е
:vc3m3d ll8
·
s
�(9
·
v
�( Ј 'Е
�(8 ·z
�(8 • L
ЧЕТВОРОУГАО- РЕШЕЊА ПОЈАМ ЧЕТВОРОУГЛА 1.
с
2 а) ВС А;
б ВС;
в) а у;
З АВС, АВСЕ, АВЕ, АСЕ, ВСЕ; 4 а)
2;
б З6о;
г) наспрамн.
5 четвороуглова
в) З60•
УГЛОВИ ЧЕТВОРОУГЛА 79° + В5о+ 42+ 154°=З60,да; б не; в) не; г) да 2 аЗ6о- 275° В5°, а 95°, � 16о,у 117°, =42°. З а) В7°,уЗ6о- 21Во 142°; б а=6З0,у12В0, 125°; в) з� З6о 114°, з�246°,�В2°; а42°,�74°,у 6°,1ЗВо; д) �9о,а12о,у=6о; ђ азо,�60,у120,=150; е) а= зо,�90,у160,во
1. а)
4.
а)
б)
5 а12о,�60,у 2о,=60 б а62°,�9о,увво,=120 7 < АВ50, < АВво,< ВС< ВС2о,�во+ 2о= 1о,5о+ 2о70
8154°,< АС< СА= 13°,< АСВ57°,�1Во- 114°66°, ау57° + 13°70 9 а�45°,у= 12°,= 15В0 1 О аВ5°,�=45, < ЕС=< ЕС5о,у Во во 1о и Во- 5о1зо 11. < АЕ=
119
ПААЛЕЛОГАМ
2
3.
МВО, ICOB ВО=ВО < АВО = < СОВ (углои са паралелним крацима) < ВОА= < ОВС (улои са паралелним крацима) МВО = COB, па онда а) АВ=СО АО=ВС; б а=у
а) суплементни; б једнаки а) б
4 S а=у= 40°, р=8= 140°; а=у= 126°, р=8= 54°; б а =у = 1З5°, а=у= 45°, р=8=1З5°, =8 = 45° 42° 7 7 42°+ 7 7 10° 7 8 а+ у= 150°, а=у, а= 75°, у= 75°, р=8= 105°;
Р,
) а=у= 51°25: р=8= 12З5�
Не могу ер и а) б р= 2а, а р= 10°, а=у= 60°, р=8= 120°; ) р=а З2°, а р=10°, а=у= 74°, р=8=106°
9 р- а= 4, а р= 10°, а= у= 66°, р=8= 114° 1 о. 8= 90° 20°= 110°, р= 110°, а=у= 70° а =За, а а= 10°, 4а= 10°, а= 45°, р= 1З5°;
а) б а = а- З6°, а + а=10°, а- З6° а= 10°, 2а= 216°, а= 1ов, р= 72°; в) а=2 а, а а= 10°, _ а= 10°, а= 0°, р= 100°
4 4 12 а= З 1+ 51= 2°, у= 2°, р=8= 9• 13 1о. 14 р=З60°- (90° 90°+ 40°) = 140°,8= 140°, а=у= 40° S
120
б и ).
УСУ
=>
а=Scm а= Scm 2cm 2cm= =7cm
16.
с
А
АВ=СО (а
В
Према ставу УС је MBF =
дСОЕ, а онда је BF =DE =DE
20.
Посмарамо МВ и дСО
А=С (r) В
В= О В О (r (r))
Ј
< АВ=< СО (унакрсни)
СУС, па је МВ = дСО и
АВ=СО
Слично се показује да је АО= АО= ВС, ВС, па следи да је чевороугао АВСО паралелограм. Угао а је спољашњи угао МВ, па је < АВ=< ВА=' угао � је спољашњи угао МО, па је
2 < АО=< ОА =. Даље је < ОАВ=< АВ < АО =� _ =90° Uep је а + � = 180°) 2 2 2 Паралелограм коме је један ј едан угао прав је правоугаоник.
21.
< ОАЕ=< ВАЕ=< АЕО
А 22.
)
Из преходног задатка sa 1 s1, sp паралелограм.
11 s8 закључујемо да је добијени чевороугао
А
23.
в
с
Како је ВА=АС и АА А АО, О, видиш да се дијагонале чевороугла ABCD полове па је ај чевороугао паралелограм.
2
ПРАВОУГАОНИК, РОМБ И КВАДРАТ 45° ОЕА = 3cm+ 4cm 4cm 7cm и<ОАЕ ОАЕ Видиш да је = ко је АО =ОЕ = 3cm, онда је = 20cm, а ако је ј е АО= ОЕ ОЕ 4cm, онда је = 22cm.
чигледно је МЕН = tEBF = tFCG = tGOH, па је НЕ EF FG GH леди да је EFGH ромб.
3 а) 4.
= 45°, �=5°; о
6) 1 = 45°, =5°, =5°,�= �= 45° с
Из d = закључујеш да је МО једнакостраничан па је па је = 60°, �20° 5.
6.
Посматрај МС и МОС Како је АС АС, А А АО и С= ОС=, то је МС = МОС ( ) ада ада је <АС< ОАС (
и<СА и< СА ОСА
дијагонала
АСполови угао лично се показује и да дијагонала АСполови дијагона ла Ополови уао �· 8
Како је Е средиште А и F средиште С, то је EF Како је средња линија МС,па МС,па је EF АС и EF = АС лично, HG је средња линија МСО,па МСО,па је HG АС и HG АС/2 Како је EF HG и EF =HG, то је EFHG паралелорам
Даље је FEB (80°- �) : 290°�/2, 90°�/2,< < НЕА НЕА (80° ) :2 =90° /2 и како к ако је + +� �80°, то је
122
9.
УМЕО је а= 2h, па је = за и р= 150°. 10.
У четвороуглу EBFO је 90° + 90° + 70° + р= Зб0° а је Р= 1о и = 70° 11.
1 р= 180° Како је Р, = - Р и Р+ Р, = 80° доијаш р+ 5 5 _р= 80° а је р= 150° и = З0° Даље је < ВЕО= 90° 5 < ЕОВ = � 75° а је < ОВЕ= 180° (90° + 75°) = 15°. 2 =
12.
дијгонле
паралелорам
правоуаоник
ромб
квадрат
+
+ +
+
+ + +
полове се једнаке с у
+
узајамно нормалне
кужниц се може описати
аралелограм
се може уписати
-
+
ромб
+
равоугаоник
рат адр квад
+ +
ПААЛЛГАИ И СИТИЈ
1.
паралелорам
правоугаоник
ромб
квадрат
о
2
2
4
оса симетрије 2.
в 1 1 1 1 1 1
А --- -- ----- 1.----- А' ,Q 1 1 1 1
В
123
А
4.
D
5
б Паралелограм, ромб, правоуаоник, квадрат, круг.
КОНСТРУКЦИЈЕ ПАРАЛЕЛОГРАМА 1 а Конструиши lBD (СУС): страница АВ < А, страница АО Тачка С се добија допуном
lBD до паралелорама; б Конструиши lBC (ССС): страница АВ, страница ВС, дијагонала АС Така D се добија допуном lBC до паралелорама; в Конструиши lBC (СУС): страница АВ, < В, страница ВС Тачка О се добија допуном lBC до паралелорама; Из а1 = 20° је а 60° па као у примеру под а.
124
2 а) Конструиши МВС (СУС дијагонала АС, < АСВ страница В. Тачка О се добија допуном МВС до паралелорама; б) Конструиши МВС (ССУ страница АВ, дијагонаа АС, < В. ачка О се добија допуном МВС до параелограма; в) Нека је тачка пресек дијагонала, дијаонале паралелорама се полове Конструиши tBCO (СУС дуж С (половина дијаонале АС), < СВ (угао између дијагонала), дуж В (половина дијаонале ВО). Продужи дужи С и В преко тачке и пренеси поовине дијаонала да добијеш тачке А и О 3 а) Нека је тачка пресек дијагонала, дијаонале паралелограма се полове Конструиши МВ (ССС сраница АВ, дуж А (половина дијагонале АС), дуж В (половина дијагонае ВО). родужи дужи А и В преко тачке и пренеси половине дијагонаа тако да добијеш тачке С и О; б) Нека је тачка Е подножје висине из теме на О на страницу АВ Конструиши МЕО (УСУ висина ЕО=ha < АЕО=9ао < ЕОА=9ао- 9ао бао =зао Продужи дуж АЕ преко тачке Е и нанеси страницу АВ. ачка С се добија допуном МВО до паралеограма; в) Нека је тачка Е подножје висине hь из темена В на страницу АО Конструиши МВЕ (ССУ висина ЕВhь станица АВ < ВЕА9а0• родужи дуж АЕ преко тачке Е и нанеси страницу АО (АО=ВС). Тачка С се добија до пуном МВО до паралелограма 4 а) Конструиши МВС (СУС страница АВ=, < В= 9ао страница ВС. ачка О се добија допуном МВС до квадрата; б) Како су дијагонае квадрата једнаке, полове се и узајамно нормалне, конструиши једну дијагонау, на пример, АСd, затим симетралу дужи АС. а симетралу нанеси и са једне и са друге стране половину дијаонале d ако добијаш тачке В и О. 5 =22cm, =22: 4S,Scm, па даље као 4 под а) 6 Нека је тачка пресек дијаонала и нека је дато теме А. Дуж А је поовина дијагонае квадрата па се дијагонала може добити када продужиш дуж А=_ преко тачке за
_, а затим као 4. задатак под б).
2
2
7. а) Конструиши МВС (СУС страница АВ=, < В=9ао страница ВС= Ь Тачка О се добија допуном МВС до правоуаоника; б) као пример под а). 8 а) Конструиши МВС (ССУ страница АВ =, дијагонала АС d, < В9а0• ачка О се добија допуном МВС до правоугаоника; б) Конструиши МВС (УСУ дијагонала АС=d, < ВАС=зао < АСВ6а0• Тачка О се добија допуном МВС до правоугаоника; в) Дијаонае правоугаоника су једнаке и полове се Нека је тачка пресек дијагонала. Конструиши МВ (СУС дуж А (половина дијагонале АС=d), < АВ1 so дуж В (половина дијагонале ВО Продужи дужи А и В преко тачке и пренеси половине дијагонала тако да добијеш тачке С и О; ) Дијагонале павоуаоника су једнаке и полове се. Нека је тачка пресек дијагонала. МВ је једнакокрки, < ВА
125
9. а) d
б)
Конструиши МВЕ СУС: страница АВ=, < В 90°, ВЕ= Ь+. Како је МСЕ једнакокраки АССЕ () симетрала основице АЕ садржи врх овог троугла, та чку С, па ћемо тачку С добити у пресеку дужи ВЕ и симетрале дужи АЕ Та чка О се добија допуном МВС до правоугаоника;
ВЕС је једнакокрако правоугли ВЕ=ВС (Ь), па је < ВЕС=45° Конструиши МЕС ССУ: дуж АЕ+ Ь, АС=
01
·
126
г)
tBE O је је днакокрако
.
АЕ=
правоугли јер је ВО= ОЕ
(
и
а је < ВЕО=45°. Конс т руиши МВЕ (ССУ): уж
d, +d2
, АВ=
а,
<
ВЕ А=45°. У пресеку симет ра ле
2 дужи ВЕ и дужи АЕ биће тачка О. Проужи дужи АО и ВО преко тачке О и прееси половие иагонала а добијеш тачке С и О.
ТРАПЕЗ 1
2
а)
б)
в) о
ь
с
3 а)
а+8 =180°, 8 = 180°- 72°=108°, �+у=180°, у=180° 49°=1З1 ; б) а=З7°, у=99° в) а=55°, �=З0°, у=150°. 4 а) а=5З, �=5З, у=27°, 8 =127°; б) а= �=67°, у= 8 =Зо; в) 8 =За, а+ 8 =80°, а+За=180°, 4а=180°, а=45°, �=45°, у= 8 =З5° 5 а) а= 8 =90°, �=З8°, у=42°; б) а= 65°, 8 =115°, �=у=90°; в) а+а+80°=180°, а=50°, �=а+ 80°=1З0° у= 8 = 90°. 6.
Е
Како је 2а+80°=80°, то је а=50° и �=1З0°.
127
7.
8
9
0
Из АО= СО следи � ОАС ОСА 38°, � + 2 38° 180°, � 104° и а 76°. ·
2 а) 2а 70°, а· 35°, � 45°; б) 2� 200°, � 100°, а 80° 3 2а + 2� 360°, 235° + � 360°, � 125°, а 55°. 4 Како је� ВАЕ� ОЕА (углови са паралелним крацима) и �= 32°, то је а= 64°, а онда је � 116° 2
5 а) т= 5,5cm; б) 7,1cm. 16. а) Ь= 4cm; б) а 9cm
А
8
Како је ES средња линија МСО, то је ES ОС/2, односно ОС= 2 ES, па је ОС 4cm; Слично, FS је средња линија МВС, па је FS АВ/2, АВ= 2FS, односно АВ 8cm Из т 6,5cm добијаш да је а Ь= 13cm, а како је а+ Ь + 2с видиш да је 13 + 2 4 21cm
9 а) Конструиши МВО (СУС): страница АВ угао а, страница АО Конструиши праву р, паралелну са АВ, кроз тачку О. У пресеку праве р и кружнице k(B, ВС) је тачка С
128
(задатак има два решења); б) Конструиши МВО (СУС) страница АВ, угао а, страница АО. Затим конструиши праву р, паралелну са АВ, кроз тачку О У пресеку праве р и другог крака угла � биће тачка С; в) Конструиши МВО (ССС) страница АВ, страница АО, дијагонала ВО Кроз тачку О конструиши праву р, паралелну са АВ На праву р нанеси дуж СО да добијеш тачку С; г) Конструиши МВС (ССС) страница АВ, страница ВС, дијагонала АС Кроз тачку С конструиши праву р, паралелну са АВ У пресеку праве р и кружнице k(A, АО) биће тачка О; д) Конструиши МВС (ССУ) страница АВ дијагонала АС, угао· Кроз тачку С конструиши праву р, паралелну са АВ У пресеку праве р и другог крака угла а биће тачка О
20.а) Нека је ака Е подножје висине рапеза из аке О на страницу АВ Консруиши МЕО (УСУ: висина ОЕ= < ОЕА 90° < АОЕ 90°- = 30° Продужи дуж АЕ преко таке Е и нанеси сраницу АВ Консруиши праву р паралелну са АВ кроз тачку о а праву р нанеси дуж СО=Ь да добијеш таку С; б) Нека је ака Е подноже висине рапеза из аке С на сраницу АВ Консруиши tEBC (ССУ: висина СЕ= сраница ВС= с, < СЕВ 90° Продужи дуж ВЕ преко ачке Е и нанеси сраницу АВа да добиеш таку А Консруиши праву р паралелну са АВ кроз аку У пресеку праве р и друо крака угла биће ачка О; в) ека е ака Е подножје висине трапеза из аке О на страницу АВ Конструиши МЕО (ССУ: висина ОЕ= сраница АО= d < ОЕА90° Продужи дуж АЕ преко таке Е и нанеси сраницу АВа Кроз таку О конструиши праву р паралелну са АВ У пресеку праве р и кружнице k(B с) биће тачка С; ) ека е така Е подноже висине рапеза из таке О на сраницу АВ Консруиши МЕО (УСУ: висина ОЕ h < ОЕА 90° < АОЕ= 90° = 15° Продужи дуж АЕ преко аке Е и нанеси сраницу АВ=а Консруиши праву р паралелну са АВ кроз аку О У пресеку праве р и друо крака ула биће така С 21.а) Конструиши МВО (СУС: сраница АВа < ВАО страница АОс и заим МВС (СУС: сраница АВа < АВС= страница ВС с; б) Консруиши МВО (ССС: страница АВ=а дијаонала ВО= d страница АОс и заим МВС (ССС: сраница АВа дијаонала АС d, страница ВС= в) Конструиши МСО (СУС: страница ОС=Ь < СОАу сраница АО с и заим tBCO (СУС: сраница ОС=Ь < ОСВ=у сраница ВС= с; ) Консруиши МСО (ССС: сраница ОС Ь диагонала АС= d страница АО а зам и tBCO (ССС: сраница ОСЬ диаонала ВО=d сраница ВС= с
А
аЬ
Е
В
Конструиши МЕО (ССС: сраница АЕ=а Ь страница АО с, страница ЕО= с. Продужи дуж АЕ преко ачке Е и нанеси сраницу АВа tOEB допуни до паралелограма
б) Нека је а ка Е подножје висине трапеза из аке О на страницу АВ Консруиши tEBO (ССУ: висина ОЕ= дијаонала ВО= d < ОЕВ 90° родужи дуж ВЕ преко таке Е и нанеси сраницу АВ=а Консруиши праву р паралелну са АВ кроз таку О У пресеку праве р и кружнице k(A АС=d биће ач ка С в)
А
1 а
В
Ь
.·
Е
Консруиши МЕС (ССС: страница АЕа+ Ь дијаонала АС= d сраница ЕСd. У пресеку дужи АЕ и кружнице k(C СВ= биће тачка В tBEC допуни до паралелорама
129
23
) Конструиши МВО (СУС): стрниц АВ=а < ВАО= 90° висин АО= . Конструиши уго = 90° и н други крк тог угл ннеси дуж СО= ; б) Конструиши МВО (СУС): стрниц АВа, В. а <ВАО= 90° висин АО Конструиши= 90° у пресеку другог крк тог угл и кружнице k(B, ВС= с биће тчк С; в) Конструиши МВС (СУС): стрниц АВ=а, < АВС�'стрниц ВС= с Конструиши зтим уго = 90° и прву , прлелну с АВ, кроз тчку С У пресеку другог крк угл� и прве р биће тчк О; г) Конструиши МСО (ССУ): висин АО= дијгонл АС= d1 < АОС= 90°. Конструиши прву , прлелну с СО, кроз тчку А У пресеку прве и кружнице k(C ВС= с биће тчк В 24 ) Конструиши МСО (СУС): висин АО h < АОС 90° стрниц ОС . Конструиши прву , прлелну с СО, кроз тчку А У пресеку прве и другог крк угл биће тчк В; б) Конструиши МВО (ССУ): стрниц АВ=а, дијгонл ВО= d2 < ВАО= 90° Конструиши прву , прлелну с АВ, кроз тчку О У пресеку прве и кружнице k(O, ОС= ) биће тчк С; в) Конструиши МВС (ССС): стрниц АВа, дијгонл АС d стрниц ВС= с Конструиши прву , прлелну с АВ, кроз тчку С и уго 90° У пресеку прве и другог крк угл биће тчк О; г) Нек је тчк Е подножје висине трпез из тчке С н стрницу АВ Конструиши iEBC (СУС): стрниц ЕВ=а- , < ВЕС= 90° висин СЕ У пресеку прве којој припд дуж ЕВ и кружнице k(C, АС d1 биће тчк А МЕС допуни до првоугоник
ДЕЛТОИД 1 ) = 64° = 78°�= 109°; б) = 52°�== 123° 62°. 2 ) З б) З 3 65° = 11З�== 91° 4 ) Конструиши МВС (ССС): дијгонл АС= d стрниц АВ=а стрниц ВС зтим и МСО (ССС): дијгонл АС= d1 стрниц АО=а, стрниц СО= б) Конструиши МВС (СУС): стрниц АВ=а, уго < АВС�'стрниц ВС= Ь, зтим и МСО (СУС): стрниц АО= а, уго
в) Конструиши МВС (СУС): дијгонл АС= d' уго < ВАС стрниц АВ=а, зтим 2 МСО (СУС): дијгонл АС= d уго < ОАС= 'стрниц АО=а
2
S ) Конструиши МВО (ССС): дијгонл ВО d2 стрниц АВ=а, стрни АО=а У пресеку симетрле дужи ВО и кружнице k(A, АС= d биће тчк С; б) идиш д је < АВО= < АОВ= (180°- ) : 2= 22оз Конструиши МВО (УСУ): уго < АВО= 22з дијгонл ВО= d2 уго < АОВ= 22з У пресеку симетрле дуж и ВО и кружнице k(A, АС= d биће тчк С; в) Кко је _ = 180° +� = 45° = 90° конструиши МВС (УСУ): уго < ВАС= ' 2
(2
)
2
дијгонл АС= d уго < АСВ l зтим и МСО (СУС): уго < ОАС= 'дијгонл АС= d 1, уго < АСО= l 2
130
2
2
ПОВРШИНА ЧЕТВОРУГ ЛВА
ИТРОУГЛОВА ПОЈАМ ПОВРШИНЕ Допуни шта недостаје: а) Sm dm cm = mm; б) 6dm = m = cm = m; в) 7cm = m = dm = mm
. Допуни шта недостаје а) 1 Om = dm cm = mm; б) 500dm а ha = m = cm = mm; в 2 а = ha = m = dm = _ cm mm• =
3 Обој црвеном бојом геометријске фигуре чија је површина 8 једиица мере, а плавом бојом геометријске фигуре чија је површина јединица мере.
• Јединица мере
4 На квадратној мрежи предсављене су две фигуре и одговарајућа јединица мере Одреди површине тих геометријских фигура. а)
•
.
·
б)
� '
•
131
5.
На квадрат но ј мрежи нацр т а 4 различи те г еомери јске фи уре површине: а) б јединица мере
б) 1 б јединица мере
На прво ј слици су представљени правоуг аоник и паралелограм једнаких површина. За дру га два правоуг аоника нацрт ај: а) троу гао; б) трапез; ј�днаких површина.
6
7.
132
Нацрт а ј произвољан паралелограм, па за тим нацрт а ј правоу гаоник ко ји има једну за једничку с траницу са тим паралелограмом и површину једнаку површини т ог паралелограма.
8.
Нацр тај произвољан паралелограм , па затим нацр тај троуао еднаке површине као нацртани паралелограм и а)тако да имају исту по једну висину, б)тако да имају исту по једну страницу.
9 ацртај произвољан троугао, па а трансформии у:
а)паралелорам; б)трапез једнаке поврине са нацртаним троуглом и заједничком висином са тим троулом. 1 О На квадратној мрежи одреди јединицу мере за поврину, па нацрта ј бар 4 различита правоугаоника поврине 4 јединице мере 11 На квадратној мрежи дат је ромб Нацртај правоугаоник чије су дужин� страница
једнаке са дијаоналама ромба Покажи да је поврина правоуаоника два пута већа од површине ромба.
ПОВРШИНА ПРАВОУГАОНИКА 1 Израчунај површину правоуаоника ако су дужине његових страница: а)а= 5cm, Ь = cm; б)а= 7cm, Ь = cm; в)а б - cm, Ь 4
=
З l cm 5
2. Попуни табелу: а
б
5 8
80
133
3
Израчунај обим и површину правоугаоника ако му је једна страница 15cm, а друга: а) за сm краћа од прве;
б) 2 дужине рве странице. 5
4 Деда Бранко има њиву дужине 70m и ширине З2m Колика је површина његове њиве у
арима? 5
Ако је површина иве 7,5ha, а ширина SOm, колика је дужина те њиве?
6
Израчунај обим правоугаоника чија је овршина 1dm, а једна страница 2dm
7
Израчунај површину равоугаоника чији је обим Scm, а странице се разликују за 4cm
8.
9
Израчуна ј поврину правоугаоника чиј и је обим 44cm, а једна страница износи l друге странице. Наведи дужине страница бар три равоугаоника чија је овршина ЗОсm•
О
Израчунај дужину лепљиве траке намотану на котур, чија је овршина m, ако је ширина траке cm Колико m апира се утрои за једну збирку задатака од 00 страна ако су димензије једног листа 21cm и ЗОсm?
12
На фудбалском терену дужине 105m и ширине 55m треба осејати траву. Колико семена за траву треба купити ако је за 1m потребно 1Og семена?
3
Колико боје је потребно за кречење плафона учионице димензија 8m и 15m ако се за 1Om утрои O,Skg боје?
14
Колико дашчица паркета површине 80cm је потребно за аркетирае пода учионице димензија 8m и 13m?
15
Колико плочица облика правоугаоника димензија 15cm и 1Ocm је потребно за оплочавање пода купатила димензија 4,5m и Зm?
16
друге странице. Површина равоугаоника је 1cm Једна његова страница једнака је З дреди обим тог правоугаоника.
17 Једна
учионица је дуга 1m, ирока S,Sm и висока З,Sm. Колико је боје потребно за ено кречење ако се са 1kg боје може окречити 5m зида? (Занемарити отворе за врата и прозоре и кречи се све осим пода)
�
9
134
Израчунај обим правоугаоника ако се дужине његових страница односе као 1 : 2, а површина је 18cm Израчуна ј површину равоугаоника ако се дужине његових страница односе као :З, а обим му је 60cm.
20. Око огледала димензије 1 ,5m и ,бm треа поставити рам ш ирине 5cm. Колика ће ити
површина дрвеног рама?
21. олико килограма оје је потрено за ојење уутрашњих страна азена који је дуг 20m, широк 12m и дуок 1 ,8m ако се са 1 kg фаре може офарати 24 m• 22. Израчунај оим и површину квадрата чија је сраица:
а) 4cm;
) 12cm;
в) 7,8cm;
1 cm г) 5- 5
23. Израчунај површину квадрата чији је оим
а) 28cm;
) 85,2cm
24. Израчунај оим квадраа ако му је површина:
а) 100cm;
) 25cm;
в) б4сm
25. Оим квадрата једнак је оиму правоугаоника са сраницама 8cm и 1 Ocm Израчуна ј
разлику њихових површиа 26. Сранице правоугаоника су 6cm и бсm Одреди дужину сранице квадрата оји има
оим једнак оиму дато правоугаоника За колико се разликују површине доијеног квадрата и датог правоуаоника? 27. вадрат и правоуаоник имају једаке оиме, по 32cm Ако се сраице правоугаоика
разликују за 2cm, одреди за колико се разликују њихове површие? <
28. Око школе основе олика квадраа и оима 46m изграђена је саза ширине 1 ,5m
олика је површина стазе? 29. олико плочи ца олика квадрата са сраицом 20cm је потрено за поплочавање пода
кухиње димензија 6,5m и 3,5m?
(ва квадрата имају страице дужине сm и 4cm Одреди дужиу страице квадрата чија је површина једнака зиру површиа ова два дата квадраа
ПОВРШИНА ПАРАЛЕЛОГРАМА 1. Упореди површине паралелограма на даој квадраној мрежи змери и упореди дужине
сраица тих паралелограма
135
2 Правоугаоник, страница а= 8cm и Ь = Scm, трансформиши у паралелорам (који није правоугаоник), страница а 8cm и Ь = Scm. Измери висину паралелорама која одовара страници а. Израчунај површину добијеног паралелорама. Колика је површина добијено паралелорама у односу на површину датог правоуаоника?
3 Израчуна ј површину паралелограма ако је: а) страница а 12cm, висина h0 7cm;
б) страница Ь = 6,7cm, висина ь= 9,2cm.
4 Нацртај произвољан паралелорам на квадратној мрежи, па затим нацртај нови паралелограм једнаке површине, а да му је једна страница два пута дужа од једне странице првог паралелорама. Шта можеш закључити мерећи висине које одговарају тим страницама?
S Ако је површина паралелорама 72cm, а страница а= 9cm, израчуна ј висину која одовара страници а
б Странице паралелорама су 12cm и 8cm Растојање између две паралелне странице је сm Колико је растојање између друе две паралелне странице?
7 Ако су странице паралелограма а 1Ocm, Ь = 15cm, а висина која одовара страници а је 9cm, колика је висина која одговара страници Ь?
8. Нађи растојање између страница паралелограма чије су дужине 18cm, ако је површина то паралелограма 90cm•
9 Површина паралелограма је 60cm, а дужине странице су
а=
12cm и Ь = 7,5cm. Израчуна ј
висине то паралелорама.
О Висине паралелорама су 8,5cm и 4,25cm. Ако је површина тог паралелограма 51cm, израчунај дужине страница то паралелорама
Висина паралелограма је два пута мања од одоварајуће странице. Ако је површина то паралелограма 32cm, нађи дужину те странице и њој одговарајуће висине
2 Израчуна ј површину паралелорама чије су странице а сm и Ь = 4cm, а оштар уао ° 3 Ако је обим паралелограма 42cm, а дужине страница се односе као 4 : З и оштар угао °, израчунај површину тог паралелорама 4 Правоуаоник и паралелорам имају једнаке дужине страница Израчунај улове паралелограма ако је њеова површина два пута мања од површине правоугаоника
5 Израчуна ј површину ромба ако је: а) страница а= 11 cm и висина h = S,Scm б) страница а 8,7cm и висина h = 3,9cm б Површина ром ба је 70cm, а висина Scm Израчуна ј обим то ромба 7 Обим ромба је 60cm, а висина сm Израчунај површину тог ромба
18.
Израчунај површину ромба ако је његов обим Зсm, а расојање између наспрамних страница је два пута мање од дужине странице.
19.
Обим ромба је 34cm, а површина 17cm2• Одреди његову висину
20.
Израчуна ј обим и површину ромба странице а= сm, ако је ошта р уао ромба 30°.
21. У сваку собу хотела реба поставити огледала у облику ромба, сранице
40cm и висине h = 5cm. Колико m2 огледала је поребно да би се направила оледала за цео хоел, који има60 соба ако при резању оледала отпадне - материјала? 5
а
22. У травнатом парку дужине Зm и ш ирине
6m (види слику) асфалираа је саза дужине m која је широка ,5m. Колико је m2 асфалтирано, а колико m2 је остало под травом?
ПОВРШИНА ТРОУГЛА 1. Одреди површине троулова датих на квадратној мрежи са даом јединицом мере:
2.
Одреди пвршину осенчених делова еометријских фиура са слике:
5
L
/
137
З. Израчунај површину троугла ако је: а) страница а 1сm и висина a 9cm; б) страница Ь 8,5cm и висина ь = 4,4cm; в) страница 6,8cm и висина c 1З,Зсm 4 Површина троугла је 102cm, а страница а 12cm. Израчунај висину која одговара страници а .
5 овршина троугла је 90cm, а висина 15cm. Одреди дужину странице б овршина троугла је 28cm• Ако је једна његова страница а 7cm и висина ь 2cm, израчунај висину a која одговара страници а и дужину странице Ь 7 У троуглу АВС, страница а 1 Ocm, висина a сm и 15cm. Одреди дужину странице 8 Обим троугла је Зсm, а странице се редом разликују за 2cm. Висина која одговара најдужој страници је Scm Израчунај површину тог троугла
9 Страница троугла је три пута већа од одговарајуће висине. Ако је површина тог троугла 96cm, израчунај дужину те странице.
О Висина троугла је пет пута већа од одговарајуће странице. Одреди површину тог троугла ако је збир те висине и одговарајуће странице Зсm
Ако су странице троугла а 15cm, Ь 14cm и 1Зсm, а висина ь 12cm, израчунај висине које одговарају страницама а и
2 Израчунај обим троугла ако је једна његова страница а 8cm, а висине тог троугла су hQ 1O,Scm, ь сm и с 7,5cm. 3 Теме паралелограма удаљено је од једне дијагонале Зсm Израчунај површину паралелограма ако је дужина те дијагонале 7cm
4 Израчунај површину троугла ако је размера једне странице и њој одговарајуће висине 4 : З, а страница је за Зсm дужа од висине.
5 Израчунај површину правоуглог троугла ако су дате дужине његових катета а) а 9cm, Ь 14cm; б) а 7,6cm, Ь S,Scm. б Израчунај површину правоуглог троугла ако су дате дужина хипотенузе и њој одговарајућа висина: а) с= 19cm, 8cm;
б) 12,5cm, ,сm.
7 Израчунај површину једнакокраког правоуглог троугла чија је катета дужине 9,8cm. 8 овршина правоуглог троугла је 97,5cm, а једна катета је дужине 7,8cm. Одреди дужину друге катете
138
1. Површина правоуглог троугла је 42,5cm, а хипотенуза је дужине 12,5cm Одреди висину која одговара хипотенузи
20. Катете правоуглог троугла су дужине 24cm и 7cm а хипотенуза 25cm Израчунај висину која одговара хипотенузи
21. Једна катета правоуглог троугла је дужине бсm, хипотенуза 1Ocm, а висина која одговара хипотенузи 4,8cm Израчунај оим то троугла
22. Израчуна ј површину правоуглог троугла ако је дата висина која одговара хипотенузи hc = Scm и тежишна дуж која одговара хипотенузи tc = бсm. 23. Основица једнакокрако троула је дужине 8cm, а његова површина 12cm• Израчунај оим тог троугла ако је висина која одговара кра ку дужине 4,8cm
4 Основица једнакокрако троула је 12cm, а краци су Ocm Ако је висина која одговара основици ha= 8cm, израчунај висину која одговара краку 25. Оим једнакокраког троула је 18cm, а дужина крака је б,Scm Висина која одговара основици је дужине бсm Одреди површину тог троугла
26. Оим једнакокраког троула је 32cm Крак је за 2cm краћи од основице, а висина која одговара основици је 8cm Израчуна ј поврину то троугла
27. Израчуна ј површину једнакокраког троула ако је дужина његовог крака 2cm, а уао при врху 30°
28. Израчунај површину једнакокраког троугла ако је висина која одговара краку 8cm, а угао на основици 75°.
2. Израчуна ј површине датих фигура: 2
4 8
4 2
9 б
139
30.
Израчунај површине осенчених делова квадрата дужине странице ) а) б) в)
2
2 4 31.
4 cm:
4
4
4
Нацртај квадрат ABCD странице сm. Тачке Е и F су редом средишта страница АВ и ВС квадрата ABCD Израчунај површину троула CEF
ПОВРШИНА ТРАПЕЗА 1.
На сликама је показано како од датог трапеза резањем и поновним спајањем можемо добити троуао који има површину једнаку површини почетно трапеза
На сличан начин од дато трапеза направи а) правоуаоник једнаке површине као почетни трапез;
б) паралелорам једнаке површине као почетни трапез
140
2
Израчунај површину трапеза ако су дае дужине основица и висине: а) а= 1Ocm, Ь = бсm, h 5cm; ) а= 9,2cm, Ь = 5,8cm, h = 4,2cm.
З
Површина трапеза је 56cm, а основице су 12cm и 4cm. Израчунај висину то трапеза.
4 Дужа основица трапеза је дужине
4cm, а висина 5,5cm. Ако је површина о рапеза 49,5cm, израчунај његову краћу основицу
5
а=
Израчунај средњу линију трапеза ако су дате основице: а) а= 54mm, Ь = 48mm; ) а= 16,4cm, Ь = 6,8cm.
б. Ако је једна основица рапеза 17,8cm, а средња линија 2,5cm, одреди другу основицу
трапеза 7
Израчуна површину трапеза ако су дате средња линиа и висина трапеза: а) т= 9cm, h = 6,5cm; ) т= 7,25cm, h 6,4cm =
8 Одреди висину трапеза ако је средња линија тог трапеза 1 Ocm, а површина 19 cm• 9
Површина трапеза је 36cm, а висина Зсm Израчуна основице то трапеза ако је једна основица три пута дужа од друге
1О
Површина трапеза је 49cm, једна основица дужине висину ог трапеза
а=
8cm, а друа Ь = ] а. Одреди 4
11 Дужине основица правоуло рапеза су 18cm и 8cm, а нормални крак је дужине Scm
Израчунај површину ог рапеза. 2
Израчунај површину правоуглог рапеза чије су основице 6cm и бсm, а оштар угао 45°
1З У правоуло рапезу дужина веће основице је 9cm, а висина бсm Ако е уп уао 135°,
одреди површину о трапеза 14 Основице еднакокрако рапеза су i 5cm и 5cm, а ошри улови 30° Ако је оим ово
трапеза 40cm, израчуна њеову површину.
141
У једнакокраком трапезу већа основица је дужине 6cm висина 5cm, а оштри углви су 45°. Израчунај површину тог трапеза.
Површина трапеза једнака је површини паралелограма Основице трапеза су 8cm и 4cm Ако су им висине једнаке, израчунај дужину странице паралелограма која одговара тој висини
На основу података са слике израчунај површину трапеза: а) б)
в)
40
7
Гледај слике, па израчуна површине осенчених фигура: а) б)
2
2
б
8 9
Гледај слике, па израчунај површине осенчених фигура: 1
а)
в)
б)
5
д)
4
f1f 4
5
г)
142
б
ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА 1 Израчунај површиу четвороугла чије су дијагоале међусобо ормале ако су дужие дијагоала: а) d = cm, d2 = cm;
б) d = ,cm, d2 ,cm
Ако су дужие дијаоала делтоида d = ,cm и d = 0,cm, израчуа ј њеоу поршиу. 3. Поршиа делтоида је 0cm, а дужиа једе дијагоале је d cm Израчуај дужиу друге дијагоале
4 Дечак је апраио змаја у облику делтоида. Ако су дужие летица које спајају аспрама темеа о делтоида cm и 0cm, колико је папира морао да уроши за праљење о змаја?
5 Одреди дужие дијаоала делоида ако је једна дијагоала четири пута дужа од друе, а поршиа тог делоида је cm• б Израчуа ј поршиу ромба ако су дужие његоих дијаоала а) d = сm, d cm; б) d = ,6cm, d = , cm 7 Израчуај поршиу ромба код кога је једа дијагоала ри пуа дужа од друге а збир дужиа дијагоала је 0cm 8 Поршиа ромба је 0cm, а дужина једе дијаоале је 0cm Колика је дужиа друге дијагоале
9 Израчуај поршину кадраа ако је дужиа а) дијаонале d= сm; б) полупречика описае кружие r Scm 1 О Кадра и ром б имају једаке поршие. Ако је дијагоала кадраа cm, а једа дијаоала ромба сm, одреди дужиу друге дијаоале ромба. 11 Дијаоале ромба су cm и сm, а исиа ромба је ,6cm Израчуа ј обим тог ромба 1 Страниа ромба је 0cm, ошар угао 0° и једа дијаоала сm Израчуа ј дужиу друе дијаоале ромба
143
ТЕСТ- ПОВРШИНЕ 1. Површина квадрата чији је обим ЗОсm је: а) 64cm; в) 42,25cm; б) 56,25cm; (Заокружи слово испред тачног одговора.)
2 Колико боје је потребно за кречењ плафона учионице димензије S,Sm и 8m ако се за 1m утроши ОО грама боје? а) 440g; б) 44kg; в) 4kg; (Заокружи слово испред тачног одговора)
г) 44kg
З Површина паралелограма је 20cm• Растојање између страница паралелограма чије су дужине 15cm је: а) 6cm; б) 4cm; в) 8cm; (Заокружи слово испред тач ог одговора)
б) 45cm
4 Једна страница троугла је а= 6cm, а висине тог троугла су ha 2cm, hь 6cm и hc = 5cm бим тог троула је: =
а) 59,4cm; б) 29,7cm; в) 42,6cm; (Заокружи слово испред тачног одговора)
г) 52cm
S сновице једнакокраког трапеза су Ocm и сm, а оштри углови 45° Површина тог трапеза је: а) 32cm; б) 40cm; в) 6cm; (Заокружи слово испред тачног одговора)
б Дијагонале ромба су сm и 8cm, а висина 4,8cm бим тог ромбё је: а) 20cm; б) 32cm; в) 6cm; (Заокружи слово испред тачног одговора)
г) 28cm
.
7 Дијагонале делтоида су сm и 8cm Површина тог делтоида је: а) 4cm; б) 24cm; в) 48cm; (Заокружи слово испред тачног одговора)
г) 28cm
8 бим еднакокраког трапеза чија је краћа основица једнака краку, а један унутрашњи угао је 60, је ЗОсm Површина тог трапеза је: а) два пута б) три пута в) четири пута г) пет пута већа од површине једнакостраничног троугла странице сm (Заокружи слово испред тачног одговора)
'(9
·
в
=v'3m3d 14
�(9 ' �(е ·g �(8 · s �(е �(8 Е �(9 z (9 • L
ПОВРШИНЕ ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУЛОВА- РЕШЕЊА ПОЈАМ ПОВРШИНЕ
а 5m
50dm 500cm 5 OOOmm; б 26dm 2,6m 260cm 2 OOmm ) 7cm 0,07m 0,7dm 70mm.
=
2 а 1 Om 1
000dm 1 ОО 000cm 1 О 000 000mm; б 500dm 0,05а 0,0005ha 5m 50 000cm 5 000 000mm; в) 2а 0,02a 200m 20 000dm 2 000 000cm 200 000 000mm•
з.
Јединица мере 4 а 53; 5 а
�
б 36.
145
1
," ',
/
,
,
1 ,' � , 1 ---- 1 1 1 " 1
ПОВРШИНА ПРАВОУГАОНИКА 1 а) 0сm2; б) З74 cm2; в) 1 cm2 2 о ь 4 90 15 18 9 Зб 80 10 8 З. а) Ь=9cm, О 48cm, Р 1З5сm2; б) Ь=сm, О=4cm, Р 90cm2• 4 Р=40m2 ,4а. 5 Р=7,5ha 75 000m2, 1 500m Ь=0,5dm, О 5dm. 7 О=5сm, Ь 4cm, О Ь, 5=·(Ь 4) Ь, 5=Ь + 8 + Ь, 5 4Ь + 8, Ь=1cm, =1сm, Р=19cm2• 8 =_ь о= Ь, 44 . ь Ь, 44=ь + Ь, 44=lь Ь=1cm, 1Ocm, Р 10cm2• 9 На пример:=1cm, Ь=Зсm; cm, Ь 15cm; =Зсm, Ь 1Ocm. О Р=m2= 000cm2, Ь=З OOOcm Зm _ Р=1 З=З cm2, 00 стр ана је 1 лисва, па Р=1 Р=1·З=З 000cm2 ,Зm2• 2 Р=5 775m2, 5 775 1=57 750g=57,75kg 3 Р=10m2, (10:1) 0,5=1·0,5=kg бје 4 Р=104m2=1 040 000cm2, 1 040 000:80=1З 000 дашчица 5 Р =15 1=150cm2, Pk=4,5·З=1З,5m2=1З5 000cm2, 1З5 000:150=900 л чица. 1 Ь Ь1 1=- 1 Ь2 Ь2=З Ь=сm, =cm, О=1сm 1 Ь Р= Ь 1=- 6 =- •
з
1
,
7 Р=1·5,5 + 1 З,5 + 5,5·З,5=188,5m2, 188,5:5 7,54kg бје 8 Р=18cm2, :Ь=1:, Ь , 8cm, Ь=1сm, О 48cm 9 :Ь=:З, :Ь=2 1 =2ь Ь=18cm, 1cm, Р=1сm2• 20 Р= (150 1)5 + ·5= 00cm2=0,m2• 2 Р=0 1 ·0 1,8 1 1,8=З55,m2, З55,:4 14,8kg бје 22 а) О=1сm, Р 1сm2; б) О=48cm, Р=144cm2; в) О З1,cm, Р=0,84сm2; г) О 20_cm, Р= 5 5 23 а) = 7cm, Р 49cm2; б) =1,Зсm, Р=45З,9сm2 ·
48
24. а) а= 1Ocm О= 0cm; б) а=5cm О= 20cm; в) а=8cm О= З2сm. 25. ОР=З6сm k= З6сm ak= 9cmPk= 81cm Р= 80cm Pk- Р=1 cm• 26. о р=cm ok= cm ak=11cm pk=121cm р= 96cm pk- р=25cm 27. o=о = З2сm a= 8cm а =ь + 2cm ь = 7cm а = 9cm p=6cm 6Зсm р
р
р
р
р
р
Pk- =1cm 28. аЗ65m = · р= р Ь р= (З65+ 15) · 15=228m 29. = 65 З5= 2275m= 227 500cm = 20 20 00cm Како је 227 500: 0056875 потребно је најмање 569 плочица 30. а= Зсm а = cm 3=+ а3 =а + а а/=З + а3 =25 a3=5cm. ·
а
ПОВРШИНА ПАРАЛЕЛОГРАМА
= 3=З6 а= а а3 Ь Ь Ь3 алиh,=h =h• 2.МогућеЈе даЈеh=сm и ондаР р=a·h=З2сm =ab=0cmP > р. З. а) =8cm б) =616cm 4Ако је а=2а онда јеh 2h 5.h8cm 6. Ако је растојање између дужих страница 6cm онда је = а ha= 72cm па је =Ь ·hь и hь=9cm а ако је растојање између краћих страница 6cm онда је сличноhь= cm 7. = 90cmhь= 6cm. 8.h=5cm 9.ha= 5cmhь=8cm. О а=6cm Ь=12cm а= 2h = а h З2= 2h ·h h=16h=cm а 8cm. 12. = ЗQо Па јеhа=Ј ДНСh = 2cm =12cm 2 <
<
pr
pr
.
а 2
·
И
а
а аЬЗ а Ь=_, а=Ь Ь= 9cm а=12cm =зао=h=l з з 2 ,h= 5cm = 5cm 4а =а ра1Ь =Ь ра' ра= 2 2 ра' а Ь =2а ра ·hа Ь =2hа =0° 15. а) 605cm; б) сm 16. а=1cm О= 56cm а=15cmP=90cm 18. а= 9cmh= 5cm = 05cm а85cmh=2cm 20. Како је =° то јеhа=! односноh =сm а ондаЈе = 18cm О= 2cm 2 21. едно оледало има површину =0 . 25=1 000cm=1m а укупна површина огледала у свим с�бама је =601=6m Значи потребно је _х= 6m х 75m 5 22. Асфалирано је =22 ·15=ЗЗm а под травом је остало =З6 . 16-ЗЗ5Зm pr
pr
pr
pr
pr
pr
pr
а
149
ПОВРШИНА ТРОУГЛА 1.а) 8; б) 24; в) ; г) 2; д) 24; ђ) 4; е) 4 . а) 2; б) 2,5; в) 9; г) 3. а) Р=72cm; б)Р 8,7cm; в) Р=45,22cm• . hа= 7cm . с= 2cm б ha=8cm Ь 28cm .Р= зm с4cm .Како је х, Ь х+2cm с= х+4cm и О+Ь +с одноно З х+ х+2+х+4 то је З=З х+ и хcm Сада је cm, Ь 2cm и с4cm и како је h5cm то је Р=З5m З h h СадаЈ е З h 92, h 4па је h одноно 9 .КакоЈ·е З hа , оЈ·еР=- а а а а а, 2 2 ha=8cm и = 24cm О. Како је ha =5 о је ha+=з одноно 5+=з,па и з добијамо 5cm и hа25cm, а одале иР25m 2 cm 1.Р=84cm hа= ,2cm hс= 2 З .Р42cm Ь 4cm с=,2cm ОЗЗ,2m 3. Половинаповршинепаралелограма је троугао а траницом од 7cm и одговарајућом 7З2m виином од Зm,па јеРр2Pr2 2 .КакоЈ·е :hа=4:З одноно = _hа и =hа+З, оЈе!hаhа+З hа 9cm и 2cm з з па јеР=54cm а) Р=Зm; б)Р2,9cm 6 а) Р7m; б)Р4,25cm Р482cm• Ь 25cm h,8m • 0Р=84cm hс=72m 1Р=24cm Ь 8cm, О24cm =2tс= 2cmPЗcm 3 ha=Зm, Ь 5cm О8cm hь 9,m 5cm,Р 5cm 6 И Ь +2 и О=+2Ь добијамо да је З2Ь +2+2Ь З2ЗЬ +2, Ь = cm и =2cm, па јеР48cm И =з акључујемо да је hь=, hь=mпа јеР=Зm• 2 Слично као упреодном адатку 75° и з,па је hь_ Ь2 hь , Ь m, а онда 2 јеР=4m а)P=Р =а Ь 94З; 2=З б) РfРр+2 Р4+2 - 1 2 2 2=2 в) P=Pk+4 P 22+4 - 2
150
Р =Рk - 2 ·Р = 4·4-2 ·12 ·2 ·2 12 ·1
30 • а f
t
Р ,= P k 2 ·Р 1 = 4·4-2 ··2 ·4 = 8; 1 ·2 ·2) = б· ·2 ·4 + в) Рf= Рk-(2 ·Р +Р = 4·4-(2 · 2 2
б
Р ,= P k- (2 ·Р +Р)= 4·4-(2 ·+·2·4 + 2 ·2) = 4. 1 1 31 Р 1 =Р Еве Р ЕвF = ·З·б-2·З·З= 4,5cm • г
ПВШИНА ТАП3А
t
а)
1 1
б)
1
1
Р= З1,5сm•
Р= h=
40cm; б а 7cm. 3 4 Ь 4cm. 51mm; б 5. а 6 Ь 7,2 cm 58,5cm; б 7 а 19,1cm 8
т= т= 11,бсm. = Р 4б,4сm Р h а Ь h Зб = ЗЬ +Ь З1 Ь = бсm а= 18cm 9 а= ЗЬ Р= + 2 2 0 Ь = бсm, h= 7cm. 1 Р= б5сm Како је р= 45°, то је h=а Ь, односно h= 10cm, па је Р= 11Ocm 13 Из у= З5° добијамо р= 45°, а је h =а- Ь, односно Ь Зсm Дакле, Р Збсm 14 Из О=а+ Ь с, 40 = 15 + 5 + 2 с добијамо с= 1Ocm. Како је а= З0°, о је h _ 2 односно h= 5cm, а је Р= 50cm 1
1
·
5
15 Из =45° добијмо д је Ь=а- 2 , п је Ь=бсm и Р=55cm• 16 Р1=Р , 1= = , Р1=бh=Р , а=бсm P 17 =Ь=8cm, Р=80cm;
Р=40cm2; б а= 3cm, в) из = бОо добијмо а Ь =L,односно а Ь=·С, п је а=бОсm и Р=850cm•
8 . 8=8; 18 Кко је а =8, о је Р= б+ =0 б Р=P k- Р1=б б
3= 3 5+3 4Р=554 ,5=0; б Р= · Рt= 1 t = 4 = 1 в) Рf=4 Р t=4 г Рf=Р t=б 1 + 4 4)=б Pt) = 4 4( д Рf=Рk(Pt+
19 • )Р=Р k f
ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА 1 Р= 0cm; Р= 9,98cm• 3. d=5cm 4 Р=450cm•
б Р=59,9cm
d d 4d d добиЈ·мо 8= 1 односно 4 d =3б1 п Ј е d2 =91 d=Зсm и d= cm 6 Р=9бсm; б Р= 7,84cm 7 Кко је d =3d и d +d=0, то је 3d+d=0, 4d=0, d=5cm и d= 5cm Сд је Р=37,5cm 8 d=8cm Р=50cm б r=5cm, d=2r= Ocm, 9 Р= 8cm; S Из d =4 d и Р=
1О
Ј
d d . P k=Р, Кко Је односно dd = , то је d=9cm
Ј
d d , Р=9бсm и Р=а добијмо а= Ocm и О= 40cm 1 Кко је =30°, то је h =!ДНН = Ocm, п је р=а , р=00cm и d = 5m 11 Из Р=
152
Ј
