ЗБИРКА ЗАДАТАКА
Математика за
Сања Милојевић Ненад Вуловић
разред основне школе
Сања Милојевић • Ненад Вуловић
Математика 7 Збирка задатака са решењима
Математика 7 Математика Збирка задатака са решењима друго издање
Аутори: Сања Милојевић, мр Ненад Вуловић Аутори: Сања Рецензенти: проф. Рецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички Природно-математички факултет у Крагујевцу проф. др Бранислав Поповић, Природно-математички Природно-математички факултет у Крагујевцу Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Стано Станојловић јловић“ у Крагујевцу
Графичко обликовање: „ T Total otal idea“, Нови Сад Обликовање корица: Милош корица: Милош Аризовић Лектура: Јована Лектура: Јована Ђокић
CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51 (075.2) (076)
Издавач: Издавачка кућа „Klett“ д.о.о. Издавач: Издавачка Светозара Ћоровића 15/IV, 15/IV, 11 000 Београд Teл.: T eл.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385 011/3348-385 offi
[email protected], www.klett.rs За издавача: Гордана издавача: Гордана Кнежевић-Орлић Уредник: А Уредник: Александар лександар Рајковић Штампа: Ротографика, Суботица Тираж: 10.000 примерака
МИЛОЈЕВИЋ, Сања, 1974– Математика 7: збирка задатака са решењима : [за 7. разред основне школе] / Сања Милојевић, Ненад Вуловић – 2. изд. Београд : Klett, 2010 (Суботица : Ротографика). – 160 стр. : граф. прикази, табеле ; 29 cm Тираж 10.000. ISBN 978-86-7762-184-1 (брош.) 1.Вуловић, Ненад, 1979– [аутор] COBISS.SR-ID 173759500
Министар просвете Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника у седмом разреду основног образовања и васпитања решењем број 650-02-00296/2009-06.
Забрањено је репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.
© Klett, 2010. ISBN 978-86-7762-184-1
ПРЕДГОВОР Ова збирка задатака део је уџбеничког комплета за седми разред издавачке куће Klett. Састоји се из седам целина у којима су задаци разврстани у складу са наставним јединицама и прате начин и динамику излагања у уџбенику. уџбенику. Свако поглавље почиње једноставним задацима којима се увежбавају основна знања за сваку област. Након оваквих задатака понуђени су и типови типов и задатака који су сложенији, а у некима је потребно искористити и знања из других области. На крају сваке целине је кратак тест у којем су, углавном, једноставни задаци за самосталну проверу основних знања из одговарајуће области. Свим ученицима, решаваоцима задатака, њиховим професорима, па и родитељима који могу и желе да помогну својој деци, желимо пуно успеха у раду.
Аутори
3
САДРЖАЈ РЕАЛНИ БРОЈЕВИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Квадрат рационалног броја . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Решавање једначине x 2 = a, a ≥ 0. Квадратни корен . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ирационални бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Скуп реалних бројева. Бројевна права . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Децимални запис реалног броја. Приближна вредност реалног броја . . . . 12 Основна својства рачунских операција у скупу реалних бројева . . . . . . . 13 Једнакост √ a2 = |a| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Тест – реални бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
..7 18 19 19 20 20 21 22 . 17
ПИТАГОРИНА ПИТ АГОРИНА ТЕОРЕМА ТЕОР ЕМА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Питагорина теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Примена Питагорине теореме на правоугаоник п равоугаоник. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Примена Питагорине теореме на квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Примена Питагорине теореме на једнакокраки троугао . . . . . . . . . . . . . 26 Примена Питагорине теореме на једнакостранични троугао . . . . . . . . . . 28 Примена Питагорине теореме на ромб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Примена Питагорине теореме на једнакокраки и правоугли трапез . . . . . 30 Правоугли троуглови чији су оштри углови 30° и 60°, односно по 45° . . . . 32 Примена Питагорине теореме у конструкцијама . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Обрт Питагорине теореме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Тест – Питагорина теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 37 37 38 38 39 40 40 41 42 44 36
ЦЕЛИ И РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Степен Степе н чији је изложилац природан број . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Множење и дељење степена једнаких основа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Степен Сте пен производа и количника. Степен степена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Алгебарски изрази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Полиноми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Сабирање полинома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Множење полинома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Квадрат бинома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Разлика квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Растављање на чиниоце . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Тест – степен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Тест – полиноми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45 68 69 69 70 71 72 73 74 76 77 66 67
МНОГОУГАО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Обнављање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 92 Број дијагонала многоугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 93 Збир углова многоугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 94 Обим и површина многоугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
95
Правилни многоуглови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
96
Обим и површина правилних прави лних многоуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
97
Конструкције неких правилних многоуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
99
Тест – многоугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
ЗАВИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ ВЕ ЛИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . 101 Провугли координатни систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 115 Растојање између две тачке у координатном систему . . . . . . . . . . . . . . . 102 115 График зависности међу величинама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
118
Директна пропорционалност. График зависности y = k · x , x R . . . . . . . . 105
120
Обрнута пропорционалност. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
122
Примена пропорционалности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
123
Тест – зависне величине и њихово графичко представљање . . . . . . . . . . . . . . . 114
КРУГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Обнављање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
141
Централни и периферијски угао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
141
Примена Питагорине теореме на круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
143
Обим круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
144
Дужина кружног лука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
145
Површина круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
146
Површина кружног прстена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
147
Површина кружног исечка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
148
Тест – круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
СЛИЧНОСТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Размера дужи. Пропорционалност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 156 Сличност троуглова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 158 Тест – сличност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5
КАКО ЋЕШ КОРИСТИТИ ЗБИРКУ ЗАДАТАКА �упутство за ученике� 26. Одреди моном
М тако да важи: 2 3 2 а) М · (3 х – 4 х + + 5) = 6 х – 8 х + 10 х ; 2 2 3 3 4 2 5 2 3 б) М · (2а b + 5ab – 7ab) = – 8а b – 20a b + 28a b ; 2 3 2 2 4 3 5 4 4 3 3 3 в) (–4аb c + 10ac – 3b c ) · М = 12а b c – 30a bc + 9a b c .
Већину задатака у седмом разреду ћеш радити у свесци. 18. Ако
Али и даље ћеш неке задатке решавати директно у збирци.
је n број страница многоугла, d број његових дијагонала које полазе из истог темена и S збир унутрашњих углова, попуни табелу: n
n
10
n
14 9
d n
5 720°
Sn
Слике често олакшавају решавање задатака. Размисли о свакој слици, а и тамо где нису нацртане, a користиле би, покушај сам да их скицираш.
1 080°
6cm
12cm
8cm
10cm
ТЕСТ � ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
Тестови су дати да провериш колико си научио одговарајућу област.
= 10cm. Површина тог 1. Дужина једне катете правоуглог троугла је а = 8cm, а хипотенузе c = троугла је: 2 а) 48cm ;
2
2
б) 24cm ;
2
в) 40cm ;
г) 80cm .
2. Птица стоји на врху металног стуба, чија је висина 12m. Ако метални сту б баца сенку
дужине 5m, колико је птица удаљена од своје сенке? а) 5m; б) 12m в) 13m; г) 17m. 3. Правоугаоник је уписан у круг
пречника 17cm. Ако је једна с траница тог правоугаоника 15cm, онда је његов обим: а) 64cm; б) 46cm; в) 40cm; г) 23cm.
ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛН ОСТ ОСТ.. ГРАФИК ГРА ФИК ЗАВИСНОС ТИ y = k , x ∈ R \ {0}
x
1.
Иза сваке области су дата решења или резултати.
6
х
6
2
3
1
4
12
у
2
6
4
12
3
1
2. k = = 5. 3. a) Не; 4. а)
б) Да и k = = 1 . 2
б)
х
2
1 2
1
6
3
12
х
4
1
2
1 2
16
8
у
3
12
6
1
2
1 2
у
2
8
4
16 16
1 2
1
РЕАЛНИ БРОЈЕВИ КВАДРАТ РАЦИОНАЛНОГ БРОЈА 1. Израчунај површину квадрата чија је дужина странице: а) 2cm; б) 10mm; в) 3,7cm; г) 4 dm; д) 3 1 cm. 5 7 2. Израчунај површину једнакокрако-правоуглог троугла чија је дужина катета (крака): а) 4cm; б) 9mm; в) 1,2cm; г) 2 dm. 3 3. Израчунај квадрате рационалних бројева: а) 4; б) –7; в) 1 ; г) – 7 ; 8 9
ђ) –8 1 . 3
д) –5,5;
4. Попуни дату табелу: а
–1
8
–2,1
5 9
–7 1 7
–0,02
2
а
5. Израчунај: 2
2
2
а) (–6) ;
б) 18 ;
г) ( 3 ) ; 10
2
в) (–0,8) ;
2
д) (–2 2 ) ; 9
ђ) (–0,04)2.
6. Заокружи слово испред тачних једнакости: 2
2
а) 6 ∙ 6 = 6 ;
б) –8 ∙ 8 = (–8) ;
г) 0 = 02;
д) –6,1 ∙ (–6,1) = (–6,1)2; 2
2 2 (–2) е) (– ) = ; 7 (–7)2
ж) (–а)2 = –а2;
2
в) – 2 ∙ (– 2 ) = ( 2 ) ; 3 3 3 2 2 ђ) (4 2 ) = (–4 2 ) ; 3 3 з) (–4 х )2 = –16 х 2.
7. Заокружи слово испред тачних неједнакости: а) (–4)2 < 42;
2
г) (–0,1) < ( 1 ) ; 10 2
б) 102 > 82; 2 2 4 2 д) – (– ) < ( ) ; 5 5
в) (–10)2 > (–8)2; ђ) (–0,05)2 > (–0,5)2.
8. У круг упиши одговарајући знак <, > или =: а) (–12) г) 0,4
2
0; 2
0,4 ;
2
б) 8
д) (–3,5)
в) (–
2
(–8) ; 2
2
–3,5 ;
3 7 )
ђ) ( 7 ) 10
2
2
– 499 ; –0,72.
9. Поређај бројеве по величини од најмањег до највећег: (–0,1) 2, 0,012, –12, –0,012, (–0,001)2, – (–0,1)2 и – (–0,01)2.
7
10. Израчунај вредност израза: а) (–5)2 + 52; б) (–5)2 – 52; 2 2 3 г) 1 – ( ) ; д) (1 – 3 )2; 4 4 2 2 2 3 е) –2 ∙ (–5) ; ж) 16 ∙ (–3 ) ; 4
в) (–5 – 5)2; ђ) – 1 ∙ 32; 9 з) –(–0,5)2 ∙ (–0,2)2.
11. Ако је а = – 1 , израчунај: 5 а) 5а2;
б) –25а2;
12. Израчунај вредност израза: а) (–1)2 + 12 – (–2)2 + 22; в) 22 – (–4)2 + 62 – (–8)2; д) –42 ∙ (–5) + 5 ∙ (–4)2; 13. Израчунај вредност израза: 2 1 1 а) 2 ∙ 2 – 2,5 + (–1 ) ; 2 2 в) –2 ∙ 52 + 22 ∙ 5 ∙ 0,7 ; 7 д) [–52 ∙ (0,2)2 + (–3)2] ∙ 1 ; 8 14. Израчунај вредност израза: 2 2 1 а) (–4 ) ∙ (– ) + 3 ∙ (3 – 6)2; 4 2 2 2 1 в) (–0,64 : 0,4) – 1 ∙ (– ) ; 3 5 2 2 2 1 2 1 д) (–7) – (– ) ∙ (– ) + 2 : (1 – ) . 2 3 2
в) – 1 а2; 2
г) (– 5 а)2. 3
б) (–1)2 + (–2)2 + (–3)2 + (–4)2; г) 102 – (–10)2 – (–102); ђ) 3 ∙ (–2)2 – 32 ∙ (–2).
б) –32 ∙ 5 – 5 ∙ 22 – (–1,5)2; г) –5 ∙ 22 + (–5)2 ∙ 2 – (–0,5)2; 2
2
ђ) 125 : (–5) – (– 1 ) ∙ 25 + ( 1 ) . 5 10 2
2
2
2 3 3 б) 2 – – ( 3 ) – (– 3 ) ; 4 4 4 4 2 2 г) 9 ∙ (– 1 ) – 8 : (– 2 ) + 1 ∙ (–32); 3 3 3
15. Користи особине степена, па на што једноставнији начин израчунај вредности из раза: 2 2 2 2 2 1 2 3 а) ( ∙ 7 ∙ 2) ; б) 4 ∙ 25 ; в) (– ) ∙ ( ) ; 2 3 2 2 2 2 2 2 77 99 1 7 3 г) 2 ; д) ( ∙ (–1 ) ; ђ) (– ) ∙ (– ) ∙ 32. ) 11 100 99 9 7 16. Ако су p и q рационални бројеви, запиши следеће изразе: а) збир квадрата бројева p и q; б) квадрат збира бројева p и q; в) квадрат разлике бројева p и q; г) разлика квадрата бројева p и q; д) квадрат количника бројева p и q; ђ) производ квадрата броја p и квадрата броја супротног броју q; е) количник квадрата броја q и троструког квадрата броја p ( p p ≠ 0).
8
17. Запиши следеће изразе, а затим израчунај њихове вредности за p = –2 и q = 1 : 5 а) збир квадрата бројева p и q; б) квадрат разлике бројева p и q; в) производ квадрата бројева p и q; г) од квадрата половине броја p одузми двоструки број q. и z ако ако је: 18. Израчунај збир квадрата бројева x , y и а) x = = –6, y = = 3, z = –9; б) x = = – 1 , y = = 0,6, z = = –3 3 . 2 4
19. Од разлике квадрата бројева –7 и 6 одузми квадрат збира бројева 5 и –9. 20. Квадрату производа бројева – 1 и –5 додај двоструки збир квадрата тих бројева. 2 21. Израчунај вредност израза 4а2 – 2а + 3 за: а) а = 5; б) а = – 1 ; 2
в) а = –0,4.
22. За а = – 1 израчунај вредност израза 5 а2 – 5 ∙ 12 . 5 a 2
2
= – 12 , израчунај вредност израза: 23. Ако је а = (– 1 ) , b = – (– 1 ) и c = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 а) a + b + c ; б) a – (b – c ); в) 2a2 – 4b2 – 8c 2; 2 2 b г) 6a – + b + c ; д) 1 ab – 3 ∙ 2 1 2 ; ђ) 16ab2c – – 32 ∙ (b2 + c 2). 2 4 2 4 a + c
24. Израчунај вредност израза: а) –ab2 + (–a)2b – (–a2) за a = 2 и b = –5; б) a2b – (–b)2a – (–a2) за a = –4 и b = 3; в) –(–a2)b2 – (–a)2 ∙ (–b)2 + a2b2 за a = –1 и b = 2.
РЕШАВАЊЕ ЈЕДНА ЈЕДНАЧИНЕ ЧИНЕ x 2 = a, a ≥ 0. КВАДР КВАД РАТНИ КОРЕН КОР ЕН 1. Одреди ненегативне бројеве чији је квадрат једнак: а) 0; б) 9; в) 1 ; г) 25 ; д) 0,81. 4 64 2. Одреди страницу квадрата чија је површина једнака: а) 4cm2; б) 36mm2; в) 16 m2; г) 0,49dm2. 25
9
3. Израчунај: а) √ 100 100;
√
е) 64 ; 49
б) √ 121 121;
в) √ 169 169;
г) √ 225 225;
д) √ 400 400;
√
з) √ 1,44 1,44;
и) √ 0,0009 0,0009;
ј) 5 4 ; 9
ж) 1 17 ; 64
4. Израчунај: а) 7 1 ; 9
√
д) 2√ 4 – 3 √ 9;
√ √
б) 6 1 ; 4 ђ) 2 1 + 1 9 ; 4 16
√
ђ)
√
в) √ 49 49 – √16;
√
к)
4 ; 25 3 . 7
г) √ 64 64 – √ 81 81;
е) √ 0,01 0,01 – √0,36 .
5. Израчунај: а) √ 9 + 16;
√
д) 4 – 2 1 ; 25
б) √ 100 100 – 36;
√
ђ) 1 + 9 ; 16
√ √
√ √
в) 1 + 11 ; 25 е) 10 – 3 3 ; 4
г) 5 – 1 23 ; 36 ж) 30 – 9 3 . 4
6. Реши једначине: а) x 2 = 1;
б) x 2 = 16;
д) x 2 = 0,04;
ђ) 2 x 2 = 50;
з) x 2 – 4= 5;
и) 5 x 2 + 3= 83;
л) 4 1 x 2 + 5= 9,5; 2
г) x 2 = 25 ; 36 е) 2 x 2 = 3 ; ж) 1 1 x 2 = 75; 3 8 3 ј) 70 – 6 x 2 = 46; к) 1 1 x 2 + 5= 6,2; 5 љ) 3 1 – 1 1 x 2 = 2 1 . 3 5 2 в) x 2 = 81;
7. Реши једначине: а) ( x x – – 1)2 = 25;
б) ( x x + + 4)2 = 49;
г) 3 ∙ ( x – – 3)2 = 5 1 ; 3
д) 1 ∙ ( 2 x + + 3)2 = 18 ; 2 5 25
+ 1 )2 = 9 ; в) ( x x + 2 16 ђ) 4 ∙ (5 x – – 2)2 = 1 3 . 7 4
8. Израчунај дијагоналу квадрата чија је површина 8cm 2. троугла чија је површина 18cm 2. 9. Израчунај катету (крак) једнакокрако-правоуглог троугла
10. Израчунај ивицу коцке чија је површина 150cm 2. 11. Ако се четвороструком квадрату неког броја дода број 5, добија се број 41. О ком броју је реч? 12. Производ броја 4 1 и квадрата неког броја је број 8. Одреди тај број. 2
10
13. Квадрат неког броја подељен бројем 2 1 је број 5 . Који је то број? 2 32
ИРАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ 1. Израчунај дужину странице квадрата ако је његова површина: а) 3cm2; б) 5cm2; в) 8cm2. Да ли су дужине страница ових квадрата рационални бројеви? 16; √ 8 + 8; 5 – √ 6; –√ 2∙ √ 8; 3,9} издвој подскуп рационалних и 2. Из скупа А = {–5; √ 5; –√ 7; √ 16 подскуп ирационалних бројева.
3. Докажи да су ирационални бројеви: а) √ 3; б) √ 5; в) √ 7;
д) √ 8 .
4. Докажи да следећи бројеви нису рационални: а) 1 + √ 2 ; б) 2 – √ 3; в) √ 2 + √ 5; г) 3√ 2 ; д) √ 3 + 4; ђ) 2√ 3 + 3√ 2 . 2 5. Ако су а и b ирационални бројеви, да ли су обавезно ирационални и бројеви: а) а + b; б) а – b; в) а ∙ b; г) а : b. За сва тврђења наведи примере. 6. Израчунај вредност израза, па утврди да ли је добијени број рационалан или ирационалан: а) √ 7 + √ 7; б) √ 7 + (–√ 7); в) √ 7 ∙ √ 7; г) √ 7 : √ 7. 7. Реши једначине и запиши да ли су решења рационални или ирационални бројеви: а) x 2 = 5; б) x 2 = 4 ; в) x 2 = 2 ; г) x 2 = 0,08; д) x 2 = 0,36. 25 49
СКУП РЕАЛНИХ РЕА ЛНИХ БРОЈЕВА. БРОЈЕВНА ПРАВА ПРАВА 1. Заокружи слова испред тачних (скуповних) једнакости: а) Q I = R; б) Q I = Q; в) Q I = I; г) R \ I = Q; д) Q I = Ø; ђ) I \ R = I. 2. На бројевној правој представи бројеве: –1; 4; 2 ; – 1 ; –3 1 и 5,7. 5 2 3 3. Поређај бројеве по величини од најмањег до највећег: а) 6, –√ 36 –6√ 16 66; 16, 36, 16, √ 16 б) 2; –3; –√ 16 3,5; 16; 22; √ 5; √ 22 в) –√ 5; –√ 9; –1,4; 1,73; 1,74; – √ 6,25 6,25 . √ 2; √ 3;
11
4. Упореди бројеве: а) √ 5 и – √ 5; б) – √ 2 и – √ 3;
в) –2√ 5 и –5;
г) 2√ 3 и 3√ 2.
5. Упореди бројеве: а) √ 25 25 и 25;
б) √ 7 и 7;
в)
√ 499 и 499 ;
г) √ 0,04 0,04 и 0,04.
Запиши када је √x < x , а када √x > x .
6. Покажи да је: а) 2,23 < √ 5 < 2,24;
б) 3,46 < 2 √ 3 < 3,47.
111. 7. Између којих суседних целих бројева се налази број √ 111
ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС РЕАЛНОГ БРОЈА. ПРИБЛИЖНА ВРЕДНОСТ РЕАЛНОГ БРОЈА 1. Из скупа А = {0,5; 0,6(78); 91,65...; 91,67; 66,(4); 66,43... } издвој подскуп рационалних и подскуп ирационалних бројева. 2. Одреди прве три децимале реалних бројева: а) √ 3; б) √ 6; в) √ 10 10. 3. Докажи да је 0,(3) = 1 . 3 4. Попуни дату табелу: број 2,82284 8422...... – √ 6 = –2, –2,44 4494 948. 8..... – √ 15 15 = –3,87298... √ 2 = 1,41423... √ 8 = 2,8 број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале
5. Користећи џепни калкулатор израчунај квадратни корен следећих бројева, па га заокругли на две децимале: а) 27; б) 44; в) 110; г) 876; д) 1 234; ђ) 3,9; е) 18,2; ж) 0,007. ка лкулатор израчунај: 6. Не користећи џепни калкулатор а) √ 1369 б) √ 24649 в) √ 532,2249 1369; 24649; 532,2249; г) √ 29,3764 д) √ 611,5729 ђ) √ 346,7044 29,3764; 611,5729; 346,7044.
12
7. Не користећи џепни калкулатор израчунај, па заокругли на две децимале: а) √ 444 б) √ 9876 в) √ 150,62 444; 9876; 150,62.
ОСНОВНА СВОЈСТВА РАЧУНСКИХ ОПЕРАЦИЈА У СКУПУ РЕАЛНИХ БРОЈЕВА 1. Израчунај вредност израза: а) 8 – √ 2 + 5; б) 7 – √ 2 – 2 + √ 2; г) 4 + √ 6 – √ 16 д) –7 ∙ √ 2 ∙ 4; 16; е) 2 ∙ √ 2 ∙ (– √ 25 25). 5
в) √ 8 – √ 3 + 5 – √ 8; ђ) –11 ∙ √ 5 ∙ √ 9;
2. Израчунај вредност израза: а) 5√ 2 – 3√ 2; б) √ 10 10 + 3√ 10 10 – 2√ 10 10; г) (√ 5 + 1 ) ∙ √ 5; д) –2√ 3 + 3√ 2 + 4√ 3; 5 е) (8 – √ 13 ж) (√ 15 13) : 8; 15 – 2 ) : (–10). 3
в) –3,9 + 2 √ 11 11 + 1,1 – 9 √ 11 11; ђ) √ 7 ∙ (2 – √ 7) + 2,7;
3. Рационалиши именилац (делилац) у следећим изразима: а) 1 ; б) 4 : √ 5; в) 10 ; г) 6 ; д) 7 ; 14 √ 3 √ 2 √ 6 √ 14 4. Израчунај вредност израза: а) √ 2 + 2 ; б) 5√ 5 + 5 ; √ 2 √ 5
в) 12√ 6 – 12 ; √ 6
ђ) 10 . √ 5
д) 21 + √ 7. √ 7
5. Израчунај вредности следећих израза користећи особине корена
√ ba = √ √ ab (а ≥ 0, b > 0):
√ a ∙ b = √a ∙ √b (а ≥ 0, b ≥ 0) и
а) √ 9 ∙ 25;
б) √ 16 16 ∙ 81;
√
е) 13 4 ; 9
ђ) 1 7 ; 9
√
в) √ 49 49 ∙ 36; ж) √ 0,04 0,04 ∙ 0,81;
√ √
√
4 ; д) 9 ; 25 49 з) 1 9 ∙ √ 1,96 1,96 . 16 г)
6. Израчунај: а) √ 9 ∙ 16 ∙ 49;
√
√
б) 0,25 ∙ 1 ∙ 121; 4
в) 3 1 ∙ 0,64 ∙ 1,44. 16
7. Растављањем на чиниоце, израчунај квадратне корене следећих бројева: а) 4 900; б) 2 025; в) 6 724; г) 176 400. 8. Покажи да је: а) √ 12 12 = 2 √ 3; г) √ 24 24 = 2 √ 6;
б) √ 18 18 = 3 √ 2; д) √ 45 45 = 3 √ 5;
9. Израчунај: а) (2 √ 3)2 + (3 √ 2)2;
б) (–2)2 + (–5 √ 5)2 + (3 √ 3)2;
в) √ 20 20 = 2 √ 5; ђ) √ 50 50 = 5 √ 2. в) (7 √ 2)2 – (6 √ 3)2 – (3 √ 5)2.
13
10. Упрости изразе („извуци“ испред корена највећи могући чинилац): а) √ 8; б) √ 27 в) √ 75 г) √ 48 д) √ 108 ђ) √ 200 27; 75; 48; 108; 200. 11. Који природни број је вредност израза: а) √ 2 ∙ √ 8; б) √ 3 ∙ √ 27 в) √ 2 ∙ √ 18 27; 18? 12. Запиши изразе у облику m√ n, где је m цео, а n природан број: а) √ 2 ∙ √ 10 б) 3√ 3 + √ 27 10 – 3√ 5; 27; в) 2√ 12 г) –2√ 75 12 – 3√ 27 27 + √ 48 48; 75 + 5√ 3 + 3√ 108 108; д) 4√ 2 – 3√ 50 ђ) 3√ 8 – 2√ 72 50 – 2√ 98 98; 72 + √ 200 200; е) 1 √ 20 ж) 5√ 45 20 – 1 √ 80 80 + 2 √ 45 45; 45 + 1 √ 80 80 – 2 √ 180 180 . 2 4 2 3 13. Израчунај вредност израза: а) 2 ∙ 9 + 1 ∙ √ 25 25; 25 2 3 в) 1 1 : 4 + 1 ∙ 1 2 ; 9 225 3 3 д) 3 ∙ √16 + 9 ∙ 4 – 6 ∙ 2 1 ; 9 4 4 е) 4 ∙ 1 9 – 3 ∙ 4 + 2 ∙ 2 1 ; 16 9 3 4 5 з) 1 ∙ √ 64 64 + 1 ∙ √ 16 16 – 10 ∙ √ 0,25 0,25; 4 2
√ √ √ √ √ √ √ √
14. Упрости изразе: а) √ 2 ∙ (√ 2 – √ 32 32); в) (√ 8 – √ 32 32 + √ 50 50) ∙ √ 2; д) (√ 48 48 – √ 27 27 + √ 3) ∙ √ 3; 45 + √ 80 80 – √180 . е) √ 45 √ 5
√ √
√
√
√ √
б) √ 3 ∙ (√ 12 12 – √ 3 + √ 75 75); г) √ 2 ∙ (√ 2 + √ 18 18 – √ 32 32); ђ) √ 5 ∙ (√ 5 – √ 20 20 + √ 125 125);
15. Покажи да су следећи бројеви рационални: а) √ 2 ∙ √ 50 б) √ 2 ∙ (√ 2 + √ 50 50; 50 – √ 18 18); 16. Израчунај вредност израза: а) √ 25 25 + 3 ∙ 1 – 5 ∙ 4 ; 9 25 в) 5 – 12 – 2 ; 3 √ 11 11 2 2 д) 1 – 7 – ( 1 ) + (–2 3 ) . 16 2 4
√
√
б) 4 1 : 4 + 1 1 ∙ 1 – 24 ; 9 25 3 2 г) 3 ∙ 1 7 – 1 ∙ √64 + 2 ∙ √0,04 ; 9 2 4 ђ) 2 ∙ √81 – 4 ∙ 25 + 6 ∙ 7 1 ; 36 9 3 ж) 2 ∙ 6 1 – 2 ∙ √0,04 + 1 ∙ √16; 4 5 4 и) 2 1 ∙ 36 – 0,5 ∙ √ 16 16 + 2 ∙ √ 144 144 25 2 3
√
√ √
12 – √75 – √48 . в) √ 12 √ 3
√
√ √
√
б) 5 4 – 4 + 2 ∙ 4 ; 9 9 9 2 г) (– 2 ) + 2 + 7 – 0,52; 9 3
√
ако је х = = 1 – 16 и y = = √ 0,36 0,36 ∙ 0,16 . 17. Израчунај вредност израза 1 1 x – 6 17 y ако 25 2 18 0,1 ∙ 3,6 израчунај: 18. За А = √ 32 + 42 и В = √ 0,1 а) А + В; б) А ∙ В; в) ( А А – В)2.
14
ЈЕДНАКОСТ √ a = |a| 2
1. Попуни дату табелу: 5
х
2 3
–2
– 4 5
0,4
–10,3
– √ 19 19
15 √ 15
2
х
√ x 2
| x x |
2. Израчунај: а) √ 16 16;
б) √ 4 ;
в) √ (–4) (–4) ;
2
2
√
2 4 г) (– ) ; 7
2
9) . д) (–√ 9)
3. Израчунај вредност израза:
√ √
а) 7 – √ (–6) (–6) ; в) 2 – √ (2 (2 – 3)2; 5
√
д) (3√ 3)2 – 2√ 32 + √ (–3) (–3)2;
√
2 1 (– 3 ) ; г) 2 ∙ 1 – 1 ∙ √ (–12) (–12)2; 4 3 ђ) 2 ∙ √ (–9) (–9)2 – 4 ∙ 25 + 6 ∙ 7 1 ; 36 9 3 ж) 1 1 ∙ 1 – 15 – 0,2 ∙ √ 25 25 + 3 ∙ √ (–16) (–16)2. 64 7 4
б) 2 + 3
2
е) 4 ∙ 1 9 – 3 ∙ 16 5
√
√
2 2 + 2 ∙ 2 1 ; – ( 3 ) 3 4
√
√
4. Израчунај вредност израза: а) √ (–1) (–1)2 – √ (–2) (–2)2 + √ (–3) (–3)2 – √ (–4) (–4)2;
√
2 1 4 3 2 2 в) ∙ √ (–6) (–6) + ∙ √ (–0,5) (–0,5) – (–3 ) ; 4 3 5 2 д) (√ 5) + 5 + √ (–5) (–5)2 – 2 ∙ 1 . 25
√ √
√
1 2 + 1 24 ; –5 ( 2 ) 25 г) √ 9 – √ (9) (9)2 + 9 ∙ 1 – √ (–9) (–9)2; 9 б) √ (–0,3) (–0,3)2 – 2 ∙
√
5. Израчунај вредност израза:
(√ (
)(
√ )
4 2 ∙ –2 1 2 – √ 121 – 0,81 – 1 1 ∙ 25 ; ( 25 ) ( 2 ) 121 : √ 0,81 36 5 2 2 б) √ 676 676 + 1 1 ∙ (– 4 ) : (– 2 ) ∙ 5 1 + √ 0,25 0,25 . 5 16 4 3 а)
√
)(
√
)
6. Израчунај вредност израза 1 ∙ √ a2 + 3 ∙ a2 – 1 a за а = –2. 2 4 6
15
7. За А =
√
3 – 1 2 – (5 )
а) А – В;
√
√
√
3 + 1 2 и В = 1 – 16 ∙ 5 4 израчунај: (5 ) 25 9 2 б) А ∙ В; в) ( А А + В) .
√
√
(–4)2 и В = 1 + 9 + 8. За А = 2 1 ∙ 1 + 11 – 1 ∙ √ (–4) 25 2 16 2 а) А2 – В2; б) ( А А + В)2.
9. Израчунај вредност израза: а) 2 ∙ √ (–0,7) (–0,7)2 – 5 : √ 6,25 6,25 – (–0,4)2; 7
√
(–5)2 израчунај: 3 2 – 2 ∙ √ (–5) – ( 4 ) 4
б) √ (–0,4) (–0,4)2 – 2 ∙ 12 – 1 1 ∙ 5 4
√
2 2. – ( 5 )
10. Израчунај вредност израза: 2 2 а) (√ 2 + √ 3) 3) – (√ 2 – √ 3) 3) ; 2 2 5) + (√ 5 – 2) ; б) (2 – √ 5) 2 2 10 – (3 – √ 10) 10) + (2 – 2√10) . в) √ 10 11. Реши једначине: а) √ x 2 = 5; б) √ x 2 = √ 7;
в) √ x 2 = 3 √ 2;
г) √ x 2 = х .
12. Реши једначине: а) √ ( x + 3)2 = 1; x +
б) √ ( x – 1)2 = 1 ; x – 2
13. Реши неједначине: а) √ x 2 < 2; б) √ x 2 ≥ 2 1 ; 2
16
в)
√
1 2 = 2 ; 2 x – – ( 3 ) 3
в) √ x 2 ≥ √ 7 + 1;
г) √ (5 (5 – x )2 = 5 – х .
г) √ ( x + 3)2 < 0. x +
ТЕСТ � РЕАЛНИ БРОЈЕВИ 1. Израчунај: 2 1 а) (–5 ) = ; 2 (Допиши шта недостаје.)
б) 5 ∙ (–2)2 + 5 ∙ (–32) =
.
2. Израчунај:
√
а) √ 0,09 ; б) 1 + 9 = 0,09 = 16 (Допиши шта недостаје.)
;
√
2 2 в) (– ) = 5
3. Решење једначине 1 х 2 = 16 је: 4 49 а) {– 8 , 8 }; б) 1 1 ; в) {– 2 , 2 }; 7 7 7 7 7 (Заокружи слово испред тачног одговора.)
.
г) {– 7 , 7 }. 8 8
4. Површина квадрата је 50cm 2. Дужина његове странице је: а) 25cm; б) 12,5cm; в) 5 √ 2cm; г) 7,05cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 25 – 7} издвој 5. Из скупа А = { 2 ; √ 5; 9,1(6); –7,35184...; √ 25 7 а) подскуп рационалних бројева В = { }
б) подскуп ирационалних бројева С = { (Допиши шта недостаје.)
6. Израчунај: а) √ 3 ∙ (√ 3 – √ 48 48 + √ 12 12) = (Допиши шта недостаје.)
;
}. б) 4√ 2 – √ 18 18 + √ 50 50 =
.
7. Користећи калкулатор израчунај квадратни корен броја 5, па га заокругли на: . а) две децимале: √ 5 ≈ ; б) четири децимале: √ 5 ≈ (Допиши шта недостаје.) 8. Вредност израза
је:
а) –5; б) 7; в) –17 (Заокружи слово испред тачног одговора.)
г) 19.
}
{
. ) б 6 3 2 , 2 ) б ; 4 2 , 2 ) а . 7 ; 2 – ) а . 6 ; . . . 4 8 1 5 3 , 7 – ; 5 . 8 ; 1 √ 6 ) б ; 3 √ = С
}
7 5 4 4 в в ; 1 ) б ; 3 , 0 ) а 2 – ) б ; 3 ) а . 1 = . 5 ; ) . 4 ; ) а . 3 ; ) . 2 ; 5 В 2 2 1 1 0
– 5 6 6 1 , 9 ; , 7 √ ; . . . 6 2
{
: а њ е ш е Р
17
РЕАЛНИ БРОЈЕВИ � РЕШЕЊА КВАДРАТ РАЦИОНАЛНОГ БРОЈА 1. а) а = 2cm, P = = 4cm2; = 16 dm2; г) а = 4 dm, P = 5 25 = 8cm2; 2. а = b = 4cm, P =
б) а = 10mm, P = = 100mm2; в) а = 3,7cm, P = = 13,69cm2; д) а = 3 1 cm, P = = 9 43 cm2. 7 49 б) а = b = 9mm, P = = 40,5mm2; = 2 dm2. в) а = b = 1,2cm, P = = 0,72cm2; г) а = b = 2 dm, P = 3 9 б) 49; в) 1 ; г) 49 ; д) 30,25; ђ) 69 4 . 3. a) 16; 64 81 9 4. 5 –7 1 а –1 8 –2,1 –0,02 9 7 25 51 1 0,0004 а2 1 64 4,41 81 49
5. а) 36;
б) 324;
6. а),
в),
г),
7. б),
в),
д).
8. а) >;
б) =;
ђ),
г) 9 ; 100 е).
г) >;
д) >;
в) 0,64; д), в) >;
д) 4 76 ; 81
ђ) 0,0016.
ђ) >.
9. –12 < –0,012 = –(–0,01)2 < –(–0,1)2 < (–0,001)2 < 0,012 < (–0,1)2 . 10. a) 50; б) 0; в) 100; г) 7 ; д) 1 ; ђ) –1; е) –100; ж) 225; з) –0,01. 16 16 б) –1; в) – 1 ; г) 1 . 11. а) 1 ; 5 50 9 б) 30; в) –40; г) 100; д) 160; 12. а) 2;
ђ) 30.
13. а) 1 ; 4
б) – 67,25;
в) – 48;
г) 29,75;
д) 1;
ђ) 4 1 . 100
14. а) 26;
б) –3 3 ; 16 б) 10 000;
в) 2 37 ; 75 в) 1;
г) –20;
д) 57 1 . 6 д) 1;
15. а) 49; 2
2
2
16. а) p + q ;
2
б) ( p p + q) ;
17. а) p + q = 4 1 ; 25
г) 49;
в) ( p p – q) ;
2
г) p – q ;
2
2
2
2
20. (– 1 ∙ (–5)) + 2 ∙ ((– 1 ) + (–5)2) = 56 3 . 2 2 4 21. а) 93; б) 5; в) 4,44.
18
2
2
2
д) p ; q
в) p ∙ q = 4 ; 25 18. а) x 2 + y 2 + z 2 = 126; б) x 2 + y 2 + z 2 = 14 269 . 400 2 2 2 19. ((–7) – 6 ) – (5 + (–9)) = –3. 2
б) ( p p – q) = 24 1 ; 5
2
ђ) 1.
( )
ђ) p2 ∙ (–q)2; 2
г) p – 2q = 3 .
( 2 )
5
2 е) q 2 . 3 p
22. –124,8.
1 , b = – 1 , c = = – 1 ; а) 3 ; б) 1 ; в) – 5 ; г) 7 ; д) – 6 1 ; ђ) – 4 1 . 4 4 4 16 16 8 32 32 16 24. а) – 66; б) 100; в) 4.
23. а =
2
РЕШАВАЊЕ ЈЕДНА ЈЕДНАЧИНЕ ЧИНЕ x = a, a ≥ 0. КВАДРАТНИ КОРЕН 1 ; г) 5 ; д) 0,9. 2 8 4 m; г) 0,7dm. 2. а) 2cm; б) 6mm; в) 5 1. а) 0; б) 3; в)
ђ) 2 ; 5 е) 8 = 1 1 ; ж) 9 = 1 1 ; з) 1,2; и) 0,03; ј) 7 = 2 1 ; к) 3 . 7 7 8 8 3 3 7 8 2 б) 5 = 2 1 ; в) 3; г) –1; д) –5; ђ) 2 3 ; е) –0,5. 4. а) = 2 ; 3 3 2 2 4 6 1 11 = 1 5 ; д) 7 = 1 2 ; ђ) 5 = 1 1 ; е) 5 = 2 1 ; ж) 9 = 4 1 . 5. а) 5; б) 8; в) = 1 ; г) 5 5 6 6 5 5 4 4 2 2 2 2 б) 4 и –4; в) 9 и –9; г) 5 и – 5 д) 0,2 и –0,2; ђ) 5 и –5; е) 3 и – 3 ; 6. а) 1 и –1; 6 6 4 4 ж) 7 1 и –7 1 ; з) 3 и –3; и) 4 и –4; ј) 2 и –2; к) 1 и –1; л) 1 и –1; љ) 5 и – 5 . 2 2 6 6 б) 3 и –11; в) 1 и –1 1 ; г) 4 1 и 1 2 ; д) –4 1 и –10 1 ; ђ) 3 и 1 . 7. а) 6 и –4; 4 4 3 3 2 2 4 20 = 4cm. 8. d = 9. a = b = 6cm. 10. a = 5cm. 2 = 3 или x = = –3. 11. 4 x + 5 = 41, x = 1 x 2 = 8, x = = 1 1 или x = = –1 1 . 12. 4 2 3 3 2 1 5 , x = = 5 или x = = – 5 . 13. x : 2 = 2 32 4 4 3. a) 10;
б) 11;
в) 13;
г) 15;
д) 20;
ИРАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ 1. а) a = √3cm;
{
б) a = √5cm;
}
в) a = 2 √2cm; Не.
{
}
2. АR = –5; √16; – √2 ∙ √8; 3,9 , АI = √5; – √7; – √8 + 8; 5 – √6 .
a и , и D(a, b) = 1, a b N и b 2 2 то је (√3)2 = a , односно 3 = a2 , па је a2 = 3b2. Онда је 3 | a2, па је 3 | a, то јест а = 3 р, р N . b b 2 2 2 2 Из a = 3b следи (3 р) = 3b , 9 р2 = 3b2, 3 р2 = b2, односно 3 | b2 то јест 3 | b. Kако 3 | a и 3 | b, за бројеве а и b важи D(a, b) 3, што је супротно прeтпоставци да је D(a, b) = 1. Значи √3 Q+; +
3. a) Ако претпоставимо супротно, да је √3 Q то јест да је √3 =
( )
19
б) види пример под а); в) види пример под а); г) Претпоставимо супротно, да је √ 8 Q+ и √ 8 = r , r Q+. Kako je √ 8 = 2√ 2 = r , to je √ 2 = r Q+, што је у супротности са √ 2 I . . Значи √ 8 I . 2 4. a) Претпоставимо супротно, да је 1 + √ 2 Q. Тада је 1 + √ 2 = r , r Q+, па онда и – 1 Q, што је у супротности са √ 2 I . . Значи 1 + √ 2 I ; √ 2 = r – б) види пример под а); в) Претпоставимо супротно, да је √ 2 + √ 5 Q, па је √ 2 + √ 5 = r , r Q, односно √ 5 = r – √ 2. 2 2 2 2 r Сада је (√ 5) = (r – – √ 2) , односно 5 = r – 2 r √ 2 + 2, па је √ 2 = – 3 Q, што је у 2r супротности са √ 2 I . . Значи √ 2 + √ 5 I ; г) Претпоставимо супротно, да је 3 √ 2 Q, то јест 3 √ 2 = r , r Q. Тада је √ 2 = r Q, што је 3 у супротности са √ 2 I. Значи 3 √ 2 I ; д) види претходни пример; ђ) види примере под в) и г).
5. а) не; √ 7 + (–√ 7); б) не; √ 7 – √ 7; в) не; √ 2 ∙ √ 8 = 4; г) не; √ 8 : √ 2 = 2. 6. а) 2√ 7 I ;
б) 0 Q; в) 7 Q; г) 1 Q. 7. a) √ 5, – √ 5 I ; б) 2 , – 2 Q; в) √ 2 , – √ 2 I ; 5 5 7 7
д) 3 , – 3 Q. 5 5
г) √ 2 , – √ 2 I ; 5 5
СКУП РЕАЛНИХ РЕА ЛНИХ БРОЈЕВА. БРОЈЕВНА ПРАВА ПРАВА 1. а), г), д). 2. –1
0
4
5,7
б) – √ 16 16 < – √ 36 36 < √ 16 16 < 6 < 66; 16 < –3 < 2 < √ 5 < 3,5 < √ 22 22; 3. a) –6 √ 16 в) – √ 9 < – √ 6,25 6,25 < – √ 5 < –1,4 < √ 2 < 1,73 < √ 3 < 1,74. б) – √ 2 > – √ 3; в) –2 √ 5 > –5; г) 2 √ 3 < 3 √ 2. 4. а) √ 5 > – √ 5; 5. a) √ 25 б) √ 7 < 7; в) 9 > 9 ; г) √ 0,04 25 < 25; 0,04 > 0,04; 49 49 < x за за х > > x за за х < Дакле, за ненегативне реалне бројеве x важи: √ x < > 1, a √ x > < 1. 2 6. a) Како је 2,23 = 4,9729 < 5 < 2,24 = 5,0176, то је 2,23 < √ 5 < 2,24; б) Како је 3,46 2 = 11,9716 < 12 < 3,47 2 = 12,0409, то је 3,46 < 2 √ 3 < 3,47. 111 < 11. 7. 10 < √ 111
√
ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС РЕАЛНОГ БРОЈА. ПРИБЛИЖНА ВРЕДНОСТ РЕАЛНОГ БРОЈА 1. АQ = {0,5; 0,6(78); 91,67; 66,(4) }, АI = {91,65...; 66,43... }. б) √ 6 ≈ 2,449; в) √ 10 10 ≈ 3,162. 2. a) √ 3 ≈ 1,732; = 0,3333..., то је 10 х = = 3,3333... и 10 х – – х = = 3,3333... – 0,33333.... Сада је 9 х = = 3, 3. Како је х = = 3 , то јест х = = 1 . односно х = 9 3
20
4.
√2 = 1,41423... √8 = 2,82842... – √6 = –2 –2,44948... – √15 = –3,87298...
број број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале 5. а) 5,20; 6. а) 37; 7. а) 21,07;
б) 6,63; б) 157; б) 99,38;
1
3
–2
–4
1,4
2,8
–2,4
–3,9
1,41
2,83
–2,45
–3,87
1,414
2,828
–2,449
–3,873
в) 10,49; в) 23,07; в) 12,27.
г) 29,60; г) 5,42;
д) 35,13; д) 24,73;
ђ) 1,97; ђ) 18,62.
е) 4,27;
ж) 0,08.
ОСНОВНА СВОЈСТ СВОЈСТВА ВА РАЧУНСКИХ РАЧУНСКИХ ОПЕР ОПЕРАЦИЈА АЦИЈА У СКУПУ РЕАЛНИХ БРОЈЕВА 1. а) 13 – √2;
в) 5 – √3;
б) 5;
2. а) 2√2;
д) 2√3 + 3√2;
г) √6;
в) –2,8 – 7√11;
ђ) –4,3 + 2√7;
е) 1 – √13 ; 8 д) √14 ; ђ) 2√5. 2
б) 4√5 ; 5 б) 6√5;
в) 5√2;
г) √6;
в) 10√6;
5. а) 15;
б) 36;
в) 42;
г) 4√7. г) 2 ; 5
6. а) 84;
ђ) –33√5;
б) 2√10;
√3 ; 3 4. а) 2√2; 3. а)
д) –28√2;
д) 3 ; 7
ђ) 1 1 ; 3
е) –2√2.
г) 5 + √5 ; 5 ж) – √15 + 1 . 10 15
е) 3 2 ; 3
ж) 0,18;
з) 1,75.
б) 2,75; в) 1,64.
7. а) √49 ∙ 100 = 7 ∙ 10 = 70;
в) √1681 ∙ 4 = 41 ∙ 2; 8. а) √12 = √4 ∙ 3 = √4 ∙ √3 = 2√3;
в) √20 = √4 ∙ 5 = √4 ∙ √5 = 2√5 ; д) √45 = √9 ∙ 5 = √9 ∙ √5 = 3√5 ; 9. а) 30; б) 156; в) –55. 10. а) 2√2; б) 3√3; в) 5√5; 11. а) 4; б) 9; в) 6. 12. а) – √5; б) 6 √3; в) – √3; 9 ; б) 6 4 ; в) 2 1 ; 13. а) 2 10 5 9 б) 18; в) 6; 14. а) –6; 15. а) 10 Q;
б) √9 ∙ 9 ∙ 25 = 3 ∙ 3 ∙ 5 = 45; г) √441 ∙ 4 ∙ 100 = 21 ∙ 2 ∙ 10 = 420. б) √18 = √9 ∙ 2 = √9 ∙ √2 = 3√2; г) √24 = √4 ∙ 6 = √4 ∙ √6 = 2√6 ; ђ) √50 = √25 ∙ 2 = √25 ∙ √2 = 5√2. г) 4√3;
д) 6√3;
ђ) 10√2.
г) 13 √3; д) –25 √2; ђ) 4 √2; е) 6 √5; ж) 13√5. г) –2 3 ; д) 0; ђ) 18 2 ; е) 0; ж) 1 3 ; з) –1; и) 9. 5 3 5 г) 0; д) 6; ђ) 20; е) 1. б) 6 Q; в) –7 Q.
21
11 ; г) 1 31 ; д) 8 1 . 16. а) 4; б) 3; в) 16 √ 11 33 36 16 = 3 и y = = 0,24, то је вредност датог израза – 23 . 17. Како је х = 5 30 18. Како је А = 5 и В = 0,6, то је: а) 5,6; б) 3; в) 19,36.
ЈЕДНАКОСТ √ a = |a| 2
1. 5
–2
х
25
4
√ x 2
5
2
| x x |
5
2
х 2
2 3 4 9 2 3 2 3
– 4 5 16 25 4 5 4 5
0,4
–10,3
15 √ 15
– √ 19 19
0,16
106,09
15
19
0,4
10,3
15 √ 15
19 √ 19
0,4
10,3
15 √ 15
19 √ 19
2. а) 4;
б) 4;
в) 4;
г) 4 ; 7
д) 3.
3. а) 1;
б) 1;
г) –3;
д) 24;
4. а) –2; 5. а) 100; 6. 4 1 . 3
б) –9,3; б) 18.
в) – 3 ; 5 в) –1,35;
г) –12;
д) 14,6.
ђ) 18 2 ; 3
е) 0;
ж) 12.
7. Како је А = –1 1 и В = 1 2 , то је: а) –2 3 ; б) –1 17 ; в) 1 . 5 5 5 25 25 8. Како је А = 1 и В = – 1 , то је: а) 3 ; б) 1 . 2 4 4 9. а) –1,96; б) –0,18. б) 2√ 5 – 4; в) 2√ 10 10 + 1. 10. а) 2√ 2; 11. а) 5, –5; б) √ 7, – √ 7; в) 3√ 2, –3√ 2; г) Решење је свако х R за које важи да је х ≥ ≥ 0. = –2 или x = –4; б) x = = 0,5 или x = 1,5; в) x = = 0,5 или x = = – 1 ; 12. а) x = 6 г) Решење је сваки реалан број x за за који важи x 5. 13. а) x (–2 ,2);
22
б) x < < –2,5 или x > 2,5;
> √ 7 + 1; в) x < < – √ 7– 1 или x >
г) Нема решења.
ПИТАГОРИНА ПИТ АГОРИНА ТЕОРЕМА ТЕ ОРЕМА ПИТАГОРИНА ПИТ АГОРИНА ТЕОРЕМА 1. Израчунај дужину хипотенузе с , а затим обим правоуглог троугла ако су дужине његових катета: а) а = 3cm, b = 4cm; б) а = 5cm, b = 12cm; в) а = 18cm, b = 24cm; г) а = 7cm,b = 24cm; д) а = 14cm, b = 48cm; ђ) а = 9 cm, b = 1 1 cm; 10 5 е) а = 0,6dm, b = 0,8dm; ж) а = 15cm, b = 2dm; з) а = 10cm, b = √ 3dm; и) а = √ 2cm, b = √ 5cm; ј) а = 3cm, b = √ 3cm; к) а = 3cm, b = 6cm. к атете и хипотенузе, а затим 2. Израчунај дужину непознате катете ако су дате дужине једне катете израчунај површину правоуглог троугла: а) а = 15cm, с = 17cm; б) b = 24cm, с = 26cm; в) b = 30cm, с = = 34cm; г) а = 21cm, с = 2,9dm; д) b = 3,5dm, с = 37cm; ђ) а = 4 2 cm, с = = 4 6 cm; 7 7 = √ 10 е) b = √ 5dm, с = 3dm; ж) b = √ 7cm, с = з) а = 2√ 2cm, с = = 2√ 7cm. 10cm;
3. Израчунај обим правоуглог троугла ако је дата дужина једне његове катете и његова површина: а) а = 6cm, Р = = 24cm2; б) b = 18cm, Р = = 216cm2; = √ 6cm2. в) b = 48cm, Р = = 3,36dm2; г) а = 1cm, Р = 4. Израчунај обим и површину правоуглог троугла ако је дужина једне катете а = 16cm и хипотенузе с = = 2dm. 5. Ако је дужина једне катете 2cm, а његова површина 4cm 2, израчунај обим тог троугла и полупречник описане кружнице. 6. Мердевине дужине 2,5m ослоњене су врхом на вертикални зид. Ако је растојање њиховог подножја од зида 70cm, до које висине зида досеже врх мердевина? 7. Фабрички димњак баца сенку дугу 240m. Ако је растојање од врха димњака до врха сенке 260m, колика је висина димњака? ду жина 12m је жицом причвршћен за земљу, на растојању 5m од 8. Врх бандере чија је дужина подножја бандере. Израчунај дужину жице.
9. Дрвена греда дужине 5m наслоњена је врхом в рхом на вертикални зид на растојању 4,8m од земље. Колико је подножје греде удаљено од зида? стубов а који држе циркуски шатор је 7,2m. Стубови су конопцима, који 10. Висина металних стубова су развучени до врха стубова, ст убова, причвршћени за земљу на растојању 5,4m од подножја стубова. Колика је дужина конопаца?
11. Софија је изашла из планинарског дома и одлучила да се прошета кроз шуму. Најпре је кренула на запад и прешла 800m, а затим је скренула надесно под углом од 90° и кренула на север. Када је прешла 600m, плашећи се да не закасни на ужину, одлучила је да се врати. Колико је дугачак најкраћи пут којим Софија може да се врати (на почетну тачку)?
23
12. Брод је кренуо из луке на југ и после пос ле пређених 48 наутичких миља* обалска стража је најавила невреме и брод је морао да промени правац кретања, па је кренуо на исток. Прешавши затим 14 наутичких миља морао је због олује да се врати у луку најкраћим путем. Колико наутичких миља је укупно прешао брод? *Наутичка миља је јединица за мерење дужине. Најчешће се употребљава у поморству. На било којој тачки земљине лопте једна наутичка миља одговара удаљености између суседних минута паралела, када се иде по меридијану. Једна наутичка миља једнака је 1 852m.
13. Дужина једне катете правоуглог троугла је 24cm, а дужина друге је 4 дужине прве 3 катете. Израчунај обим тог троугла. 14. Хипотенуза правоуглог троугла је 5cm, а једна катета је за 20% краћа од хипотенузе. Израчунај обим и површину тог троугла. 15. Једна катета правоуглог троугла износи 3 дужине друге катете. Ако је дужина 4 хипотенузе тог троугла 15cm, израчунај његов обим и површину. 16. Израчунај висину која одговара хипотенузи правоуглог троугла ако су дужине катета тог троугла 6cm и 8cm. 17. Дужина једне катете правоуглог троугла је 24cm, а дужина тежишне дужи која одговара хипотенузи је 13cm. Израчунај обим и површину тог троугла. 18. Дужина једне катете правоуглог троугла је 18cm, а дужина тежишне дужи која јој одговара је 15cm. Израчунај обим и површину тог троугла. 19. Дужина једне катете правоуглог троугла је 11cm, а дужина тежишне дужи која одговара другој катети је 6,1dm. Израчунај површину тог троугла. 20. На основу података са а) слике израчунај дужину дужи х :
б) 2
х
1
х
1
в)
г)
х
х
12
3
20
4 16
24
х
15
21. Израчунај обим и површину троугла АВС са са слике:
С
25
24
26
А
В
ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ НА ПРАВОУГАОНИК 1. Израчунај дужину дијагоналa правоугаоника ако су дужине његових страница: а) а = 15cm, b = 8cm; б) а = 7cm, b = 24cm; в) а = 4 4 cm, b = 3 3 cm; 5 5 г) а = 4,2cm, b = 5,6cm; д) а = 4,8cm, b = 1,4cm; ђ) а = 12cm, b = 6cm. 2. Израчунај дужину дијагонале правоугаоника ако је: а) дужина једне странице а = 12cm, а површина правоугаоника Р = = 108cm2; б) дужина једне странице b = 5cm, а обим правоугаоника О = 34cm; в) једна страница дужа од друге за 4cm, а обим правоугаоника О = 56cm; г) једна страница 3 дужине друге странице, а површина правоугаоника Р = = 48cm2. 4 3. Ако су дате дужине једне странице и дијагонале правоугаоника, израчунај обим и површину тог правоугаоника: а) а = 5cm, d = 13cm; б) b = 24cm, d = = 26cm; в) b = 21cm, d = 29cm; г) а = 8cm, d = = 4√ 5cm. 4. Одреди полупречник круга који је описан око правоугаоника ако су дужине страница правоугаоника: а) а = 18cm, b = 24cm; б) а = 12cm, b = 8cm. 5. Правоугаоник је уписан у круг полупречника 1dm. Ако је дужина једне с транице правоугаоника 12cm, израчунај обим и површину п овршину тог правоугаоника. 6. Израчунај површину фискултурне сале, која је у облику правоугаоника, ако је њена дужина 42m, а дужина дијагонале 58m. 7. Колико метара жице је потребно да се огради двориште (правоугаоног облика) чија је ширина 25m и дужина дијагонале 65m, ако су потребна три реда жице? ду жа од друге странице. Израчунај површину 8. Једна страница правоугаоника је два пута дужа тог правоугаоника ако је дужина његове дијагонале 10 √ 5cm. Ко лико су темена В и D удаљена 9. Дужине страница правоугаоника АВСD су 30mm и 40mm. Колико од дијагонале АС ?
25
уписаног у правоугаоник ABCD (види слику): 10. Израчунај обим и површину четвороугла KLMN уписаног а) б) D
M
4
C
2
L
N
2
2
А
4
4
K
B
M
D
3
C
1
1
N
L
1
A
1
K
3
B
ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ НА КВАДРАТ 1. Ако је а страница квадрата, а d дијагонала дијагонала квадрата, попуни дату табелу: а d
4cm
7m
6√2mm √ 2cm
14√2dm
10dm
2. Израчунај обим и површину квадрата ако је дужина његове дијагонале: а) d = = 5√ 2cm; б) d = = 2√ 2cm; в) d = 12m; г) d = = 15dm. И зрачунај дужину дијагонале тог квадрата. 3. Обим квадрата је 28cm. Израчунај
4. Површина квадрата је 81cm 2. Израчунај дужину дијагонале тог квадрата. средиште странице АВ квадрата АBCD и нека је дуж СЕ = = 5cm. 5. Нека је тачка Е средиште а) Израчунај обим и површину тог квадрата. б) Израчунај обим и површину троугла CDE . и F средишта и CD квадрата ABCD странице a = 8cm. средишта страница BC и 6. Нека су тачке Е и Израчунај обим и површину троугла AEF .
7. Квадрат и правоугаоник имају дијагонале једнаких дужина. Ако су дужине страница правоугаоника 7cm и 1cm, за колико се разликују њихове површине? 8. Ако се у квадрату странице а = 4√ 2cm дијагонала повећа за 2cm, за колико ће се повећати обим, а за колико површина тог квадрата?
ПРИМЕНА ПИТ ПИ ТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ НА ЈЕДНАКОКРАКИ ТРОУГАО 1. Израчунај крак једнакокраког троугла ако је дужина основице а = 36mm, а њој одговарајућа висина ha = 24mm. 2. Ако су дате дужине основице а = 1dm и крака b = 13cm једнакокраког троугла, израчунај дужину висине која одговара основици.
26
3. Израчунај дужину основице једнакокраког троугла ако је дужина крака b = 25cm, а дужина висине која одговара основици ha = 24сm. 4. Израчунај обим и површину једнакокраког троугла ако је дато ( а основица, b крак, ha висина која одговара основици): а) а = 8cm, b = 5cm; б) а = 18cm, ha = 12cm; в) b = 2,9cm, ha = 2,1cm; г) а = 62cm, ha = 2,4dm. 5. Израчунај површину једнакокраког троугла ако је: а) његов обим 50cm, а дужина крака 17cm; б) његов обим 12cm, а дужина основице 2cm. 11cm, а дужина 6. Израчунај обим једнакокраког троугла ако је његова површина 20 √ 11 висине која одговара основици ha = 2√ 11 11cm.
7. Обим једнакокраког троугла је 32cm, а крак му је за 2cm краћи од основице. Израчунај површину тог троугла. 8. Дужина основице једнакокраког троугла је 24cm, а њој одговарајућа висина je 16cm. Израчунај дужину висине која одговара краку. 9. Израчунај обим једнакокрако-правоуглог троугла ако је дужина његове катете (крака) 7cm. површи ну једнакокрако-правоуглог троугла троугла ако је дужина његове 10. Израчунај обим и површину хипотенузе (основице) 1dm.
11. Израчунај висину која одговара хипотенузи једнакокрако-правоуглог троугла ако је: а) дужина хипотенузе (основице) 6 √ 2cm; б) дужина катете (крака) 8cm. 12. На основу података са слике ( AD = 20cm, CD = 13cm, BD = 24cm) израчунај дужину дијагонале АС делтоида делтоида ABCD: D 20
13 24
A
C
B
13. Израчунај висину коју досежу двокрилне мердевине дужине 2,5m, ако су размакнуте на доњем крају 14dm. 14. Стаклена пирамида која се налази у Паризу испред музеја Лувр састављена је од 4 једнакокрака троугла дужине основица а = 36m и крака b = 30m. Колико m 2 стакла је било потребно да би се направила та пирамида?
27
15. Одреди висину мердевина на основу података са слике:
16. Одреди висину шатора на основу података са слике:
ПРИМЕНА ПИТ ПИ ТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ НА ЈЕДНАКОСТРАНИЧНИ ТРОУГАО 1. Одреди висину једнакостраничног троугла ако је дужина странице: а) а = 6cm; б) а = 1m; в) а = 2 √ 3cm; г) а = √ 15 15dm. в исинa: 2. Израчунај обим једнакостраничног троугла ако му је висинa: а) h = 3 √ 3cm; б) h = 8 √ 3cm; в) h = 6dm;
г) h = √ 15 15cm.
површина једнакостраничног троугла, 3. Ако је а дужина странице, h висинa, О обим, а Р површина попуни дату табелу: а
h
О
Р
4cm 3cm 24cm 9√3cm2
4. Израчунај површину једнакостраничног троугла ако је дата: а) дужина странице а = 2√ 3cm; б) висинa h = 9dm.
28
5. Ако је површина једнакостраничног троугла 4 √ 3cm2, израчунај његов обим. 6. Ако је обим једнакостраничног троугла 9√3cm, израчунај његову површину. и R полупречници уписане и описане 7. Узимајући у обзир задатак 3, рачунајући да су r и кружнице, попуни дату табелу: a
h
r
R
O
P
10cm 27cm 2√3cm 4√3cm
6cm 15√3cm2
8. Ако је код једнакостраничног троугла r ∙ ∙ R = 6, израчунај његов обим и површину. 9. Израчунај површину фигуре са слике (која се састоји од четири једнакостранична ј еднакостранична троугла и квадрата):
4
оби ме. Ако је дијагонала квадрата 10. Једнакостранични троугао и квадрат имају једнаке обиме. 6√ 2cm, израчунај површину троугла.
ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ ТЕО РЕМЕ НА РОМБ 1. Израчунај дужину странице ромба ако су дате дужине његових дијагонала: а) d 1 = 18cm, d 2 = 24cm; б) d 1 = 6cm, d 2 = 2√ 7cm. 2. Израчунај обим и површину ромба ако је дато ( а дужина странице, d 1 и d2 дужине дијагонала): а) d 1 = 2√ 2cm, d 2 = 2√ 7cm; б) а = 17cm, d 1 = 16cm; в) а = 29cm, d 2 = 42cm; г) а = 6cm, d 2 = 8cm.
29
3. Дужина странице ромба је 4cm, а дужина ду жина једне дијагонале 6,4cm. Израчунај површину и висину тог ромба. ду жина једне дијагонале 16dm. Израчунај 4. Дужина странице ромба је 10dm, а дужина полупречник кружнице која је уписана у тај ромб.
5. Површина ромба је 96cm 2, а дужина једне дијагонале је 16cm. Израчунај обим тог ромба. 6. Обим ромба је 10dm, а дужина једне дијагонале 4dm. Израчунај површину тог ромба и полупречник кружнице која је уписана у тај ромб. 7. Једна дијагонала ромба је два пута дужа дуж а од друге дијагонале. Колики је обим ромба ако је 2 његова површина 81cm ? 8. Дужина једне дијагонале ромба је 3 дужине друге дијагонале. Ако је његова површина 4 2 24cm , израчунај обим и висину тог ромба. 9. Одреди површину ромба ако се дужине његових дијагонала односе као 3 : 4, а обим тог ромба је 60cm.
ПРИМЕНА ПИТ ПИ ТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ НА ЈЕДНАКОКРАКИ И ПРАВОУГЛИ ТРАПЕЗ 1. Израчунај обим и површину једнакокраког трапеза ако је дато ( а дужина дуже основице, b дужина краће основице, c дужина дужина крака, h висинa): а) a = 22cm, b = 10cm, c = 10cm; б) a = 15cm, b = 9cm, h = 4cm; в) a = 14cm, c = = 13cm, h = 12cm; г) b = 22cm, c = = 10cm, h = 8cm. 2. Дужине основица једнакокраког трапеза су a = 20cm и b = 10cm, а обим је О = 56cm. Колика је површина тог трапеза? 3. Израчунај обим једнакокраког трапеза ако су дужине основица a = 26cm и b = 12cm, а површина Р = = 456cm2. 4. Једна основица једнакокраког трапеза је три пута дужа од друге основице, а дужина висине је h = 24cm. Ако је површина тог трапеза Р = = 336cm2, израчунај његов обим. 5. Попречни пресек канала има облик једнакокраког трапеза, чије су дужине основица a = 3m и b = 10m, а крака c = = 3,7m. Колика је дубина тог канала? 6. Дужине основица једнакокраког трапеза односе се као 5 : 2. Ако је дужина крака c = = 25cm, а обим О = 120cm, израчунај његову површину.
30
7. Ако је а дужа основица, b краћа основица, h висина и d дијагонала једнакокраког трапеза, попуни дату табелу: a
b
h
35cm
13cm
18cm
30cm
18cm
30cm 15cm
d
26cm 21cm
29cm
16cm
34cm
ду жине основица a = 21cm и 8. Израчунај дужину дијагонале једнакокраког трапеза ако су дужине b = 11cm, а крака c = = 13cm. = 10cm, 9. Одреди дужине основица једнакокраког трапеза ако је дужина крака c = дијагонале d = = 17cm и висине h = 8cm. = 4cm нормална је на крак дужине ду жине c = = 3cm. 10. Дијагонала једнакокраког трапеза дужине d = Израчунај: а) дужу основицу; б) висину; в) површину трапеза.
11. Дужине основица правоуглог трапеза су a = 15cm и b = 9cm, а краћи крак је h = 8cm. Израчунај: а) дужину дужег крака; б) дужине дијагонала. 12. Ако је а дужа основица, b краћа основица, h висина (краћи крак), с дужи крак, О обим и Р површина површина правоуглог трапеза, попуни дату табелу: a
b
h
37cm
30cm
24cm
24cm
15cm
24cm 13cm 9cm
c
O
P
41cm 36cm
39cm
35cm
37cm 30cm2
6cm
13. На равном хоризонталном плочнику, на међусобној удаљености од 12m, налазе се две бандере, чије су висине 5m и 10m. Колико је дугачка жица која је затегнута између врхова бандера? 14. Два круга полупречника r 1 = 4cm и r 2 = 1cm додирују се споља и истовремено додирују праву t у у тачкама Т 1 и Т 2 тим редом. Израчунај дужину дужи Т 1Т 2.
О1
О2 t Т 1
Т 2
31
15. Израчунај обим и површину правоуглог трапеза ако су дужине основица a = 14cm и b = 5cm, а дужина краће дијагонале d 1 = 13cm. дужина 16. Израчунај површину правоуглог трапеза ако је дато (а дужина дуже основице, с дужина дужег крака, h дужина краћег крака – висине, d 1 дужина краће дијагонале и d 2 дужина дуже дијагонале): а) a = 16cm, c = = 15cm, d 2 = 20cm; б) c = = 17cm, h = 8cm, d 1 = 10cm.
ПРАВОУГЛИ ТРОУГЛОВИ ЧИЈИ СУ ОШТРИ УГЛОВИ 30° И 60°, ОДНОСНО ПО 45° 1. Један оштар угао правоуглог троугла је 60°. Одреди дужине страница тог троугла ако је 6сm дугачка: а) његова хипотенуза; б) његова краћа катета; в) његова дужа катета. ви ди под углом од 60°. Ако је тачка А 2. Врх телефонског стуба се из тачке А на земљи види удаљена од подножја стуба 10m, колика је висина стуба? и 3. На основу података са слике израчунај дужине дужи x и ако је x + y = y ако = 8cm.
x y 30°
са слике. 4. Израчунај обим и површину троугла АВС са
C
5cm
A
30°
45°
B
5. Дијагонала правоугаоника образује са дужом страницом угао од 30°. Израчунај обим и површину тог правоугаоника ако је краћа страница дужине 3cm. 6. Дијагонале правоугаоника секу се под углом од 60°. Израчунај обим и површину правоугаоника ако је дужина: а) краће странице 3cm; б) дијагонале 10cm. 7. Израчунај површину једнакокраког троугла ако су краци дугачки по 4cm, а углови на основици по: а) 30°; б) 45°. 8. Израчунај обим и површину једнакокраког троугла ако је дужина основице 6cm, а углови на њој по: а) 30°; б) 45°.
32
9. Израчунај површину једнакокраког троугла троугла чији су краци дужине ду жине 5cm и образују угао од: а) 30°; б) 120°; в) 150°. 10. Оштар угао ромба је 60°, а дужина странице је 4cm. Израчунај површину тог ромба. 11. Туп угао ромба је 120°, а дужина висине 3 √ 3cm. Израчунај површину тог ромба. 12. Израчунај обим и површину ромба ако је његов оштар угао 60° и дужина: а) краће дијагонале 2cm; б) дуже дијагонале 8cm. 13. Ако је оштар угао ромба 45°, а дужина странице 10cm, колика је његова површина? ду жина висине 6cm, одреди обим и површину тог ромба. 14. Ако је туп угао ромба 135°, а дужина
15. Израчунај површину једнакокраког трапеза ако је дужина дуже основице 12cm, дужина крака 5cm, а углови на дужој основици: а) 60°; б) 30°. 16. Ако је код једнакокраког трапеза дужина краће основице 3cm, дужина крака 4 √ 2cm и оштри углови по 45°, израчунај површину тог трапеза. 17. Дужине основица једнакокраког трапеза су 6cm и 4cm, а углови на дужој основици су 45°. Израчунај обим и површину тог трапеза. ду жег крака је 6cm и дужина дуже ду же 18. У правоуглом трапезу туп угао је 150°, дужина дужег основице 8√ 3cm. Израчунај површину тог трапеза.
19. Ако је оштар угао у правоуглом трапезу 60°, дужина дужег крака 4cm и ду жина краће основице 2cm, израчунај површину тог трапеза. 20. Оштар угао правоуглог трапеза је 45°. Израчунај површину тог трапеза ако је дужина краће основице 3cm и дужина краћег крака 4cm. 21. Одреди површину паралелограма ако су дате дужине страница a и b и угао α који оне захватају: а) а = 6cm, b = 4cm, α = 60°; б) а = 5cm, b = 3,2cm, α = 30°; в) а = 3cm, b = √ 2cm, α = 45°; г) а = 5 √ 3cm, b = 2cm, α = 60°. 22. Одреди површину троугла ако су дате дужине страница a и b и угао γ који оне захватају: а) а = 20cm, b = 15cm, γ = 30°; б) а = 1cm, b = 2cm, γ = 45°; в) а = 8 √ 3cm, b = 10cm, γ = 60°; г) а = 2cm, b = √ 2cm, γ = 45°.
33
ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ У КОНСТРУКЦИЈАМА КОНСТ РУКЦИЈАМА 1. Конструиши број √ 3 користећи једнакости: 2
а) 3 = √ 2 + 1;
б) 3 = 22 – 12.
2. Конструиши број √ 8 користећи једнакости: а) 8 = 22 + 22; б) 8 = 32 – 12; 3. Конструиши бројеве: а) √ 5; б) √ 10 10; ђ) √ 26 е) √ 29 26; 29;
в) √ 13 13; ж) √ 34 34;
г) √ 17 17; з) √ 37 37;
д) √ 20 20; и) √ 40 40.
4. Конструиши бројеве: а) √ 7; б) √ 11 11; ђ) √ 24 е) √ 27 24; 27;
в) √ 12 12; ж) √ 32 32;
г) √ 15 15; з) √ 35 35;
д) √ 21 21; и) √ 45 45.
5. Користећи претходно, конструиши број √ 8 користећи једнакости: 2 2 2 2 2 2 2 а) 8 = √ 7 + 12; б) 8 = √ 6 + √ 2 ; в) 8 = √ 5 + √ 3 ; г) 8 = √ 10 10 – √ 2 . 6. Пронађи што је могуће више начина на које можеш конструисати бројеве: а) √ 6; б) √ 11 в) √ 12 г) √ 26 11; 12; 26. 7. Конструиши бројеве: а) 1 + √ 2; б) √ 3 + 2;
в) √ 2 + √ 5;
г) 2√ 3;
д) 4 + 3√ 3;
ђ) 2√ 5 – 3√ 2.
8. Конструиши и представи на бројевној правој дужи чији су мерни бројеви: а) –√ 10 б) –√ 7; в) √ 2 + √ 3; г) 5 – √ 5; д) 1 + √ 8; ђ) –√ 2 – √ 5. 10; 2 9. Конструиши квадрат чија је површина: а) 5cm2; б) 13cm2; в) 15cm2;
г) 27cm 2.
10. Конструиши квадрат чија је површина једнака збиру површина два квадрата чије су дужине страница 3cm и 5cm. 11. Конструиши квадрат чија је површина једнака разлици површина два квадрата чије су дужине страница 6cm и 4cm. 12. Конструиши квадрат два пута веће површине од површине квадрата чија је страница дужине 3cm. 13. Дата је дуж x . Конструиши дужи чије су дужине: а) √ 2 х ; б) √ 5 х . x
34
14. Дата су два квадрата A1B1C 1D1 и A2B2C 2D2. Конструиши квадрат чија је површина једнака: а) збиру површина датих квадрата; б) разлици површина датих квадрата.
D1
C 1
А1
15. Дат је квадрат ABCD. Конструиши квадрат чија је површина: а) два пута мања од површине датог квадрата; б) три пута већа од површине датог квадрата.
В1
D2
C 2
А 2
B2
D
А
C
В
ОБРТ ПИТ ПИ ТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ = p, правоугли и ако јесте, одреди теме правог угла ( MN = 1. Испитај да ли је троугао MNP правоугли = m, PM = n): NP = а) m = 10cm, n = 2√ 11 б) m = 12cm, n = 15cm, p = 18cm; 11cm, p = 12cm; в) m = 4cm, n = 4√ 5cm, p = 8cm; г) m = 1cm, n = 5cm, p = 2√ 6cm; д) m = 9cm, n = 10cm, p = 3 √ 17 ђ) m = 17cm, n = 15cm, p = 8cm. 17cm;
могу бити дужине ду жине страница неког троугла, а затим одреди којој врсти 2. Испитај да ли a, b, c могу троуглова (према угловима) припада ако је: а) а = 2cm, b = 3cm, c = 4cm; б) а = 2cm, b = 4cm, c = = 2√ 5cm; в) а = 1cm, b = 3cm, c = 9cm; г) а = 5cm, b = 9cm, c = = 12cm; = √ 5cm. д) а = 4,4cm, b = 5,5cm, c = 7cm; ђ) а = √ 2cm, b = √ 3cm, c =
35
ТЕСТ � ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 1. Дужина једне катете правоуглог троугла је а = 8cm, а хипотенузе c = = 10cm. Површина тог троугла је: а) 48cm2; б) 24cm2; в) 40cm2; г) 80cm2. 2. Птица стоји на врху металног стуба, чија је висина 12m. Ако метални стуб баца сенку дужине 5m, колико је птица удаљена од своје сенке? а) 5m; б) 12m в) 13m; г) 17m. 3. Правоугаоник је уписан у круг пречника 17cm. Ако је једна страница тог правоугаоника 15cm, онда је његов обим: а) 64cm; б) 46cm; в) 40cm; г) 23cm. 4. Дужина основице једнакокраког троугла је 12cm, а њој одговарајућа висина 8cm. Дужина висине која одговара краку је: а) 8cm; б) 4,8cm; в) 9,6cm; г) 10cm. 5. Висина једнакостраничног троугла је 2 √ 3cm. Површина тог троугла је: а) 4√ 3cm2; б) 12cm2; в) 8√ 3cm2; г) 6cm2. ду жина краће 6. Израчунај обим и површину ромба ако је његов оштар угао 60° и дужина дијагонале 6cm. O=
= P =
7. Дужине основица једнакокраког трапеза су a = 40mm и b = 24mm, а обим је 98mm. Површина тог трапеза је: а) 240mm2; б) 640mm2; в) 480mm2; г) 960mm2. 8. Конструиши квадрат чија је површина 17cm 2.
+ 1 = ) 7 1 ( т с о к а н д е ј и т с и р о К . 4 . 8 √ 2
2
2
; ) в . 7 ; m c 3 8 1 = P , m c 4 2 = в . 4 ; ) б в . 2 ; ) б . 6 ; ) а . 5 ; ) . 3 ; ) . 1 √ О 2
36
: а њ е ш е Р
ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА � РЕШЕЊА ПИТАГОРИНА ПИТ АГОРИНА ТЕОРЕМА = 5cm, O = 12cm; 1. а) с =
б) с = = 13cm, O = 30cm;
в) с = = 30cm, O = 72cm; г) с = = 25cm, O = 56cm; д) с = = 50cm, O = 112cm; ђ) с = = 1 1 cm, O = 3 3 cm; 2 5 е) с = = 1dm, O = 2,4dm; ж) с = = 25cm, O = 60cm; з) с = = 2dm, O = (3 + √ 3)dm; = √ 7cm, O = (√ 2 + √ 5 + √ 7) и) с = ј) с = = 2√ 3cm, O = (3 + 3√ 3)cm = 3(1 + √ 3) 7)cm; 3) cm; к) с = = 3√ 5cm, O = (9 + 3√ 5)cm = 3(3 + √ 5)cm. = 60cm2; б) а = 10cm, P = = 120cm2; в) а = 16cm, P = = 240cm2; 2. a) b = 8cm, P = г) b = 20cm, P = = 210cm2; д) а = 12cm, P = = 210cm2; ђ) b = 2 2 cm, P = = 4 44 cm2; 7 49 21 cm2; з) b = 2√ 5cm, P = = √ 5dm2; = √ 21 е) а = 2dm, P = ж) a = √ 3cm, P = = 2√ 10 10cm2. 2 3. а) b = 8cm, с = = 10cm, O = 24cm; б) а = 24cm, с = = 30cm, O = 72cm; в) а = 14cm, с = = 50cm, O = 112cm; г) b = 2√ 6cm, с = = 5cm, O = (6 + 2√ 6)cm. 2 = 96cm . 4. b = 12cm, O = 48cm, P = = √ 5cm. = 2√ 5cm, O = (6 + 2√ 5)cm; r = 5. b = 4cm, с = 6. 2,4m. 7. 100m. 8. 13m. 9. 1,4m. 10. 9m. 11. 1km. = 50 наутичких миља, О (укупан пут) = 112 наутичких миља. 12. c = = 40cm, O = 96cm. 13. b = 32cm, с = = 6cm2. 14. b = 4cm, а = 3cm, O = 12cm, P = 2 2 3 3 15. Из b = a добијамо a + ( a) = 152, а одатле 16 + 9 a2 = 225, a2 = 225 : 25 , a2 = 144 и 4 4 16 16 2 коначно a = 12cm. Сада је b = 9cm, O = 36cm и P = = 54cm . 2 = 10cm, P = = 24cm , hc = 4,8cm. 16. c = = 2t c добијамо c = = 26cm, а онда b = 10cm, O = 60cm и P = = 120cm2. 17. Из c = 2
= 6√ 13 = 108cm2. 13cm, O = (30 + 6√ 3)cm, P = 18. b = t a – a , b = 12cm, c = 2
2
2
( 2 )
19. ( b ) = t b2 – a2, b = 120cm, P = = 660cm2. 2 20. a) х = = √ 2; = √ 2; б) х = в) х = 13; г) х = = 9. 21. Примењујући два пута Питагорину теорему добијамо AB = 7 + 10 = 17, пa je O = 68 и P = 204.
ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ НА ПРАВОУГАОНИК 1. а) d = 17cm; б) d = 25cm; в) d = 6cm; г) d = 7cm; д) d = 5cm; ђ) d = = 6 √ 5cm. 2. а) b = 9cm; d = 15cm; б) а = 12cm; d = = 13cm; в) а = 12cm, b = 16cm; d = 20cm; г) а = 8cm b = 6cm; d = = 10cm. 2 = 60cm ; б) а = 10cm, O = 68cm, P = = 240cm2; 3. а) b = 12cm, O = 34cm, P = в) а = 20cm, O = 82cm, P = = 420cm2; г) b = 4cm, O = 24cm, P = = 32cm2. = 30cm, r = 15cm; б) d = = 4√ 13 = 2√ 13 13cm, r = 13cm. 4. а) d = 2 = 2r , d = = 20cm, a = 12cm, b = 16cm, O = 56cm, P = = 192cm . 5. d =
37
6. b = 40m, P = = 1680m2. 7. Како је a = 60m и O = 170m, то је потребно 3 ∙ 170m = 510m жице. 8. Из a = 2b добијамо (2b)2 + b2 = (10√ 5)2, односно 5b2 = 500, b = 10cm. Сада је a = 20cm и P = = 200cm2. = 50mm и нека је x тражено тражено растојање. Тада је P ∆ = a · b = d · x , а одатле 9. Како је d = 2 2 x = = 24mm. 10. а) Нека је KL = LM = MN = NK = x . Тада је x 2 = 42 + 22, односно x = = 2√ 5, па је O = 8√ 5 и P = = 16. = x и и KL = LM = y . Тада је x 2 = 12 + 12, односно x = = √ 2 и б) Нека је MN = NK = 2 2 2 = √ 10 y = 3 + 1 , односно y = = 4. 10. Сада је O = 2√ 2 + 2√ 10 10 и P =
ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ НА КВАДРАТ 1. а
4cm
7m
1cm
6√2mm
14dm
5√ 2 dm
d
4√ 2cm
7√ 2m
√ 2cm
12mm
14√2dm
10dm
= 25cm2; 2. а) а = 5cm, O = 20cm, P = в) а = 6√ 2m, O = 24√ 2m, P = = 72m2;
б) а = 2cm, O = 8cm, P = = 4cm2; = 225 dm2. г) а = 15√ 2 dm, O = 30√ 2dm, P = 2 2
= 7√ 2cm. 3. a = 7cm, d = = 9√ 2cm. 4. a = 9cm, d = 2
5. Из CE = a + a2 добијамо a = 2√ 5cm. Сада је: 2
( 2 )
a) O = 8√ 5cm, P = = 20cm2; б) O∆ = (10 + 2√ 5)cm, P ∆ = 10cm2. 6. Нека је АЕ = AF = x и и EF = y . Тада је x 2 = 82 + 42, x = = 4√ 5cm и y 2 = 42 + 42, y = = 4√ 2cm. 2 Сада је O = (4√ 2 + 8√ 5)cm и P = = 24cm . 7. Како је d p = 5√ 2cm и d k = d p = 5√ 2cm, то је ak = 5cm. Из P p = 7cm2 и P k = 25cm2 следи P k – P p = 18cm2. 8. Како је d = = 8cm, то је d 1 = 10cm и a1 = 5√ 2cm. Из O = 16√ 2cm и O1 = 20√ 2cm добијамо O1 – O = 4√ 2cm. Из P = = 32cm2 и P 1 = 50cm2 добијамо P 1 – P = = 18cm2.
ПРИМЕНА ПИТ ПИ ТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ НА ЈЕДНАКОКРАКИ ТРОУГАО 1. b = 30mm. 2. ha = 12cm. 3. a = 14cm. 2 =12cm ; б) b = 15cm, O = 48cm, P =108cm =108cm2; 4. a) ha = 3cm, O = 18cm, P =12cm в) а = 4cm, O = 9,8cm, P = = 4,2cm2; г) b = √ 1537 = 744cm2. 1537cm, O = (2 √ 1537 1537+ 62)cm, P = =120cm2; б) b = 5cm, ha = 2 √ 6cm, P =2 =2 √ 6cm2. 5. a) a = 16cm, ha = 15cm, P =120cm 6. a = 20cm, b = 12cm, O = 44cm. =48cm2. 7. a = 12cm, b = 10cm, ha = 8cm, P =48cm
38
8. Из b = 20cm и a · ha = b · hb добијамо hb = 19,2cm. 2 2
9. c = = 7√ 2cm, O = (14 + 7√ 2)cm. 10. a = √ 2 dm, O = (√ 2 + 1)dm, P = = 1 dm2. 2 4 = 6√ 2cm, a = 6cm, hc = 3√ 2cm или одмах hc = 1 c = = 3√ 2 јер је висина истовремено и 11. a) c = 2 тежишна дуж тог троугла; б) a = 8cm, c = = 8 √ 2cm, hc = 4√ 2cm. = 5cm, 12. Нека је AC BD = {O} и BO = OD = 12cm. Тада је OA = 16cm и OC = па је AC = = AO + OC = = 21cm. 13. a = 14dm, b = 25dm, ha = 24dm = 2,4m.
14. ha = 24m, P = = 4 ∙ a · h = 1728m2. 2 15. h = 4m. 16. h = 1,5m.
ПРИМЕНА ПИТ ПИ ТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ НА ЈЕДНАКОСТРАНИЧНИ ТРОУГАО б) h = √ 3 m; 2 2. a) a = 6cm, O = 18cm; в) a = 4√ 3dm, O = 12√ 3dm; 3.
1. a) h = 3√ 3cm;
г) h = 3√ 5 dm. 2 б) a = 16cm, O = 48cm; г) a = 2√ 5cm, O = 6√ 5cm.
в) h = 3cm;
а
h
О
Р
4cm
2√ 3cm
12cm
4√ 3cm2
2√ 3cm
3cm
6√ 3cm
3√ 3cm2
8cm
4√ 3cm
24cm
16√ 3cm2
6cm
3√ 3cm
18cm
9√3cm2
= 3 √ 3cm2; б) а = 6 √ 3cm, Р = = 27√ 3cm2. 4. а) Р = 5. a = 4cm, O = 12cm. 6. а = 3 √ 3cm, Р = = 27√ 3 cm2. 4 7. a
h
r 5√ 3 cm
10cm
5√ 3cm
9cm
9√ 3 cm 2
4cm
2√3cm
12cm
6√ 3cm
3 3√ 3 cm 2 2√ 3 cm 3 2 √ 3cm
12√ 3cm
18cm
2√ 15 15cm
3√ 5cm
R 10√ 3 cm
O
P
30cm
25√ 3cm2
3√ 3cm
27cm
81√ 3 cm2 4
3
4√ 3 cm 3 4√3cm
12cm
4√ 3cm2
36cm
36√ 3cm2
6cm
12cm
36 √ 3cm
108 √ 3cm2
√ 5cm
2√ 5cm
6√ 15 15cm
15√3cm2
39
8. Како је R = 2r , то је r ∙ ∙ 2r = = √ 3. Сада је a = 6, O = 18 и P = = 6, r 2 = 3 и r = = 9√ 3. 2 = P k k + 4P t t = a2 + 4 ∙ a √ 3 = 16 + 16√ 3. 9. P = 4 16√ 3cm2. 10. Лако добијамо ak = 6cm и Ok = 24cm. Сада је Ot = 24cm, па је at = 8cm и P t t =
ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ ТЕО РЕМЕ НА РОМБ 1. a) a = 15cm; б) a = 4cm. =2√ 14 б) d 2 = 30cm, O = 68cm, P = = 240cm2; 14cm2; 2. а) a = 3cm, O = 12cm, P =2 в) d 1 = 40cm, O = 116cm, P = = 840cm2; г) d 1 = 4√ 5cm, O = 24cm, P =16 =16√ 5cm2. 3. d 2 = 4,8cm, P =15,36cm =15,36cm2; h = 3,84cm. 4. d 2 = 12dm, P = = 96dm2; h = 9,6dm, r = = 4,8dm. 5. d 2 = 12cm, a = 10cm, O = 40cm. = 6dm2; h = 2,4dm, r = = 1,2dm. 6. a = 2,5dm, d 2 = 3dm, P = 7. d 2 = 9cm, d 1 = 18cm, a = 9√ 5 cm, O = 18√ 5cm. 2 8. d 2 = 8cm, d 1 = 6cm, a = 5cm, O = 20cm, h = 4,8cm. и d 2 = 4 x , онда је x = = 6cm. Тако је d 1 = 18cm, d 2 = 24cm и P = = 216cm2. 9. Ако је d 1 = 3 x и
ПРИМЕНА ПИТ ПИ ТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ НА ЈЕДНАКОКРАКИ И ПРАВОУГЛИ ТРАПЕЗ = 128cm2; б) с = = 5cm, O = 34cm, P = = 48cm2; 1. a) h = 8cm, O = 52cm, P = в) b = 4cm, O = 44cm, P = = 108cm2; г) а = 34cm, O = 76cm, P = = 224cm2. = 13cm, h = 12cm, P = = 180cm2. 2. c = = 25cm, O = 88cm. 3. h = 24cm, c = = 25cm, O = 78cm. 4. b = 7cm, a = 21cm, c = 5. h = 1,2m. = 10cm, a = 50cm, b = 20cm, h = 20cm и P = = 700cm2. 6. a = 5 x , b = 2 x , x = 7. a
b
h
d
35cm
13cm
18cm
30cm
30cm
18cm
10cm
26cm
30cm
10cm
21cm
29cm
45cm
15cm
16cm
34cm
= 20cm. 8. h = 12cm, d = 2
9. Из c = h + a – b добијамо а – b = 12cm, a из d 2 = h2 + a + b
( 2 2 ) Одавде је a = 21cm и b = 9cm. б) h = 2,4cm; в) b = 1,4cm, P = = 7,68cm2. 10. a) a = 5cm; б) d 1 = 17cm, d 2 = √ 145 145cm. 11. a) c = 10cm; 2
40
2
(
)
2
добијамо а + b = 30cm.
12. a
b
h
c
O
P
37cm
30cm
24cm
25cm
116cm
804cm 2
24cm
15cm
40cm
41cm
120cm
780cm 2
24cm
9cm
36cm
39cm
108cm
594cm 2
25cm
13cm
35cm
37cm
110cm
665cm 2
9cm
6cm
4cm
5cm
24cm
30cm 2
13. 13m. 14. Нека је T 1T 2 = h, c = = O1O2 = 4cm + 1cm = 5cm, a = O1T 1 = 4cm и b = O2T 2 = 1cm. Сада је h = 4cm, односно T 1T 2 = 4cm. = 15cm, O = 46cm, P = = 114cm2. 15. h = 12cm, c = = 138cm2; б) b = 6cm, a = 21cm, P = = 108cm2. 16. a) h = 12cm, b = 7cm, P =
ПРАВОУГЛИ ТРОУГЛОВИ ЧИЈИ СУ ОШТРИ УГЛОВИ 30° И 60°, ОДНОС ОДНОСНО НО ПО 45° √3 = 3√ 3cm; 1. a) b = c = 3cm, a = c √ 2 2 б) c = = 2b = 12cm, a = b√ 3 = 6 √ 3cm; = 2a√ 3 = 4 √ 3cm. в) b = a√ 3 = 2√ 3cm, c = 3 3 2. b = 10m, a = 10 √ 3m.
= 60°, BCD = 30°, 3. Како је ABC = DCA = 60° и AB = x + y + y = = 8cm, = AB = 4cm и x = = BC , то је BC = 2 2 x = = 2cm, а онда y = = 8cm – x , y = = 6cm.
4. Како је BCD = 45°, ACD = 60°, то је = CD√ 2 = 5√ 2cm, DB = CD = 5cm, BC = AC = = 2CD = 10cm, AD = CD√ 3 = 5√ 3cm и AB = AD + DB = (5√ 3 + 5)cm. Сада је O = AB + BC + CA = 5√ 3 + 5 + 5√ 2 + 10, O = (15 + 5√ 3 + 5√ 2)cm и 3) cm2. = AB ∙ CD , P = = 25 (1 + √ 3) P = 2 2
B
x D y 30°
C
A C
5cm
A
45°
30° D
B
= 2b = 6cm, a = b√ 3 = 3√ 3cm, O = (6 + 6√ 3)cm, P = = 9√ 3cm2. 5. d = = 6cm, a = 3√ 3cm, O = (6 + 6√ 3)cm, P = = 9√ 3cm2; 6. a) d = б) b = 5cm, a = 5√ 3cm, O = (10 + 10√ 3)cm, P = = 25√ 3cm2. 7. a) ha = 2cm, a = 4√ 3cm, P = = 4√ 3cm2; б) P = = 8cm2. 8. а) ha = √ 3cm, b = 2√ 3cm, O = (6 + 4√ 3)cm, P = = 3√ 3cm2; б) O = (6 + 6 √ 2)cm, P = = 9cm2.
41
= 25 cm2; 9. a) hb = 5 cm, P = 2 4 = 25√ 3 cm2; б) а = 5√ 3cm, ha = 5 cm, P = 2 4 = 25 cm2. в) hb = 5 cm, P = 2 4 = 8 √ 3cm2. 10. d 1 = 4cm, d 2 = 4√ 3cm, P = = 18 √ 3cm2. 11. a = 6cm, P = = 2√ 3cm2; 12. a) a = 2cm, d 2 = 2√ 3cm, O = 8cm, P = = 32√ 3 cm2. б) a = 8√ 3 cm, d 1 = 8√ 3 cm, O = 32√ 3 cm, P = 3 3 3 3 = 50√ 2cm2. 13. h = 5√ 2cm, P = = 36√ 2cm2. 14. a = 6√ 2cm, O = 24√ 2cm, P = = 95√ 3 cm2; 15. a) b = 7cm, h = 5√ 3 cm, P = 2 4 3) cm2. = 5(24 – 5√ 3) б) b = 12 – 5√ 3cm, h = 5 cm, P = 2 4 = 28cm2. 16. h = 4cm, a = 11cm, P = 17. x = = √ 2cm, O = (10 + 2 √ 2)cm, P = = 1cm, h = 1cm, c = = 5cm2. = 39√ 3 cm2. = 3√ 3cm, b = 5√ 3cm, P = 18. h = 3cm, x = 2 = 2cm, a = 4cm, h = 2√ 3cm, P = = 6√ 3cm2. 19. x = = 4cm, a = 7cm, h = 4cm, P = = 20cm2. 20. x = = 12 √ 3cm2; б) ha = 1,6cm, P = = 8cm2; 21. a) ha = 2 √ 3cm, P = в) ha = 1cm, P = = 3cm2; г) ha = √ 3cm, P = = 15cm2. = √ 2 cm2; = 75cm2; б) ha = √ 2cm, P = 22. а) ha = 7,5cm, P = 2 2 в) ha = 5 √ 3cm, P = = 60cm ; г) ha = 1cm, P = = 1cm2.
ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ У КОНСТРУКЦИЈАМА КОНСТ РУКЦИЈАМА 1. Упутство: а) Прво конструиши једнакокраки правоугли троугао са катетама дужине 1, а √ 2 ће бити дужина хипотенузе. хи потенузе. Сада конструиши троугао са катетама дужине 1 и √ 2. Хипотенуза тог троугла ће бити √ 3; б) Конструиши правоугли троугао са катетом дужине 1 и хипотенузом дужине 2. Дужина друге катете тог троугла ће бити √ 3.
2
1 1
2
2
3
1
2. а)
8
2 2
б) 3
8
1
42
3
1
3. Упутство. Користи једнакост: а) (√ 5)2 = 22 + 12; б) (√ 10 в) (√ 13 10)2 = 32 + 12; 13)2 = 32 + 22; г) (√ 17 ђ) (√ 26 17)2 = 42 + 12; д) (√ 20 20)2 = 42 + 22; 26 )2 = 52 + 12 ; е) (√ 29 з) (√ 37 29 )2 = 52 + 22 ; ж) (√ 34 34 )2 = 52 + 32; 37 )2 = 62 + 12 ; и) (√ 40 40 )2 = 62 + 22. 4. Упутство. Користи једнакост: а) (√ 7)2 = 42 – 32; б) (√ 11 в) (√ 12 11)2 = 62 – 52; 12)2 = 42 – 22; г) (√ 15 ђ) (√ 24 15)2 = 42 – 12; д) (√ 21 21)2 = 52 – 22; 24)2 = 52 – 12; е) (√ 27 з) (√ 35 27)2 = 62 – 32; ж) (√ 32 32)2 = 62 – 22; 35)2 = 62 – 12; и) (√ 45 45)2 = 72 – 22. 5. Поступи слично с лично као у 1. задатку. 6. а) На пример: (√ 6)2 = (√ 5)2 + 12 = 22 + (√ 2)2 = (√ 3)2 + (√ 3)2 (√ 6)2 = (√ 7)2 – 12 = (√ 8)2 – (√ 2)2 = 32 – (√ 3)2 = (√ 10 10)2 – 22 = ... Слично се раде и примери под б), в) и г). 7. а) Конструиши дуж чији је мерни број √ 2 (види 1. задатак), а затим на њу надовежи (продужи је за) дуж чији је мерни број једнак 1. Тако Тако се добија дуж чији је мерни број √ 2 + 1. Слично се раде и остали примери. 10, а затим ту дужину нанеси на бројевну праву 8. а) Конструиши дуж чији је мерни број √ 10 лево од координатног почетка. Слично се раде и остали примери. 9. а) Конструиши квадрат чија је страница √ 5cm (конструкција дужи √ 5 – види 3. задатак). Слично се раде и остали примери. 10. х 2 = 32 + 52, конструиши квадрат над страницом х ( ( х х је је хипотенуза правоуглог троугла чије су катете 3cm и 5cm). х је је једна катета правоуглог троугла 11. х 2 = 62 – 42, конструиши квадрат над страницом х ( ( х чија је друга катета 4cm и хипотенуза 6cm). = 2 ∙ 32 = 2 ∙ 9 = 18, то квадрат површине 18cm 2 конструишемо над хипотенузом 12. Како је Р = троугла чије су обе катете дужине 3cm. б) (√ 5 x )2 = 5 х 2 = 4 х 2 + х 2 = (2 х )2 + х 2. 13. а) (√ 2 x )2 = 2 х 2 = х 2 + х 2; 2 x
х
х
5x
х
2 х
14. а)
43
б)
15. Упутство. 2
2
2
2
2 2
4
4
2
2
= a , a = a + a = a + a . Конструиши квадрат над хипотенузом правоуглог а) Р =
( 2 ) ( 2 )
троугла чије су обе катете дужине a (два пута краће од странице с транице а датог квадрата); 2 б) Р = = 3а2 = 2а2 + а2 = (√ 2а)2 + а2. Конструиши квадрат над хипотенузом правоуглог троугла чије су катете √ 2а и а (а је страница датог квадрата, √ 2а његова хипотенуза).
ОБРТ ПИТ ПИ ТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ 1. а) Како је n < m < p и m2 + n2 = 102 + (2√ 11 = 90° и 11)2 = 100 + 44 = 144 = 122 = p2, то је MPN = ∆MNP је је правоугли; б) m < n < p и m2 + n2 = 122 + 152 = 144 + 225 = 369 ≠ 18 2 = p2, па ∆MNP није није правоугли; 2 2 2 2 2 2 је в) Како је m < p < n и m + p = 4 + 8 = 16 + 64 = 80 = (4√ 5) = n , то је MNP = = 90° и ∆MNP је правоугли; је г) Како је m < p < n и m2 + p2 = 12 + (2√ 6)2 = 1 + 24 = 25 = 52 = n2, то је MNP = = 90° и ∆MNP је правоугли; д) m < n < p , m2 + n2 = 92 + 102 = 181 ≠ (3√ 17 није правоугли; 17)2 = p2, па ∆MNP није 2 2 2 2 2 2 ђ) ) p < n
a + b; в) а, b, c не не могу бити странице с транице троугла јер је c > 2 2 2 г) a + b < c , оштроугли троугао; д) a2 + b2 > c 2, тупоугли троугао; ђ) a2 + b2 = c 2, правоугли троугао.
44
ЦЕЛИ И РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ ИЗР ИЗРАЗИ АЗИ СТЕПЕН ЧИЈИ ЈЕ ИЗЛОЖИЛАЦ ПРИРОДАН БРОЈ 1. Следеће производе бројева запиши у облику степена: а) 4 ∙ 4; б) 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5; в) –6 ∙ (–6) ∙ (–6) ∙ (–6); г) 4,7 ∙ 4,7 ∙ 4,7 ∙ 4,7 4,7 ∙ 4,7 ∙ 4,7; д) –2,5 ∙ (–2,5) ∙ (–2,5); ђ) 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ; е) –1 1 ∙ (–1 1 ) ∙ (–1 1 ) ∙ (–1 1 ) ∙ (–1 1 ); 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2. Следеће производе запиши у облику степена: а) x ∙ ∙ x ∙ ∙ x ∙ ∙ x ∙ ∙ x ∙ ∙ x ∙ ∙ x ; б) (– p) ∙ (– p) ∙ (– p) ∙ (– p) ∙ (– p); в) a ∙ a ∙ a; г) y ∙ ∙ y ∙ ∙ y ∙ ∙ y ; д) (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b); ђ) a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a . b
b
b
b
b
b
b
b
3. Следеће степене запиши у облику производа једнаких бројева (чинилаца): 6 3 3 4 5 2 7 1 3 а) 5 ; б) (1 ) ; в) √5 ; г) (–6) ; д) (–1,1) ; ђ) (–√ 7) ; е) (– ) . 5 4 Запиши скуп А чији су елементи основе свих степена и скуп В чији су елементи изложиоци свих степена овог задатка. 4. Следеће бројеве запиши у облику степена броја 10: а) 100; б) 10 000; в) 1 000 000. 5. Сваки од бројева запиши као степен одговарајућег простог броја: 8, 32, 27, 64, 125 и 343. 6. Запиши три степена којима је основа – 1 и три степена којима је изложилац 6. 7 Степене не запиши у облику производа једнаких чинилаца, па израчунај и зрачунај његову вредност: 7. Степе 6 9 8 3 а) 10 ; б) 1 ; в) (–1) ; г) 4 ; д) (–5)3; 2 3 4 4 3 3 6 2 ђ) 0,8 ; е) 1,1 ; ж) ( ) ; з) ( ) ; и) (– ) ; 5 7 3 5 ј) (–1 1 ) ; к) √25; л) (–√12)3. 4
8. Израчунај квадрат и куб сваког од бројева: 1; 0; –2,5; – 1 ; 2 9. Израчунај вредност степена: 4
4
3
4
а) 2 ;
б) (–2) ;
в) –2 ;
3 ђ) 5 ; 8 ј) 013;
3 е) – 5 ; 8 к) 12009;
ж) – 53 ; 8 л) (–1)102;
г) ( 5 ) ; 8 5 2 з) (1 ) ; 3 љ) (–1)2009;
6 ; – √ 3 и √ 8. 7 2
3
д) (– 5 ) ; 8 3 2 и) (–1 ) ; 3 м) (–√ 2)6.
10. Не израчунавајући вредност степена, на линији поред степена упиши слово „п“ ако је вредност степена позитиван и слово „н“ ако је вредност степена с тепена негативан број. 88 68 7 4 45 38 5 5 . а) 2 ; б) (–3) ; в) (–7) ; г) (–7) ; д) – (– ) ; ђ) – 8 8
45
11. Упореди вредности израза (бројева): 3 4 4 4 4 6 6 4 5 2 2 2 а) (–5) и 0; б) (– ) и 0; в) √5 и (–√5) ; г) (– ) и – ; д) 0,4 и (– ) . 3 3 3 5 12. Израчунај вредности следећих степена, па их поређај по величини од најмањег до највећег: 5 5 4 4 5 4 3 3 2 1 1 1 2 2 √ √ а) ( ) ; (– ) ; – ; б) 0,2 ; –0,2 ; (–0,2) ; в) ( ) ; –( ) ; – √ 2 ; – 24 . 2 2 2 3 3 3 3 13. Запиши у облику збира степена (производа степена): а) x · x + x · x · x ; б) a · a · a · a + b · b · b · c · c ; в) a · a · x · x · x + x · x · a · a · a . 14. Израчунај вредност израза: а) 53 + 22; г) 105 – 103 +106 – 1; е) –1100 +197 – (–1)88 + (–1)46;
б) –25 +24 – (–2)3; д) (7–5)4 – 82 – (6 – 9)3; ж) 22 – 25 : 8 + 243 : 33.
15. Израчунај вредност израза: 4 3 3 4 а) 4 – ( 1 ) ; б) ( 1 ) ∙ 9; в) ( 2 ) ∙ ( 5 ) ; 4 3 5 2 3 4 3 4 4 2 1 2 2 2 + + 23 ; д) ( ) + (–1 ) ; ђ) (– ) – 3 2 3 3 3 3 16. Израчунај вредност израза: 2 4 6 а) (√ 2) + (√2) – (√2) ; г)
;
2
4
3 4 г) ( 4 ) : (2 2 ) ; 6 3 3 3 4 2 1 5 – : . е) ( 3 ( 2 ) ) 3 ∙ 24
6
б) (–√ 3) + (√3) + (–√ 3) ;
д)
;
2
3
4
5
в) (√ 5) + (√5) – (√5) + (√5) ;
ђ)
= –3 и y = = 6: 17. Израчунај вредност израза за x = 4 3 3 5 4 3 а) x – y ; б) 2 ∙ y – x ; в) y : x ; г) xy – – x 5;
18. Ако је
в) (–1)6 + (–2)5 + (–3)4 + (–4)3; ђ) 2 ∙ 32 – 3 ∙ 23;
.
д) x 6 y 3 – y 5 x 4.
, упореди вредности за А и В и
и
израчунај: а) A + B; б) A3 – B2; в) ( A A + B)3 : ( A A – B)3.
МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ СТЕПЕНА ЈЕДНАКИХ ОСНОВА 1. Сваки од израза запиши у облику производа једнаких чинилаца, а затим запиши те производе у облику степена: 4 3 3 3 2 5 2 5 5 а) 5 ∙ 5 ; б) (–3) ∙ (–3) ; в) (–0,4) ∙ (–0,4) ; г) (2 ) ∙ (2 ) ; 9 9 6 д) ( 1 ) ∙ 1 ; ђ) x 3 x 5; е) (– y )4 (– y )2; ж) (a + b)2 (а + b)2. 2 2 ∙
46
∙
∙
2. Израчунај производе, запиши их у облику степена, па израчунај и те степене: 2 3 2 4 3 5 4 3 3 а) 3 3 ; б) (–2) (–2) ; в) –0,5 (–0,5) ; г) ( ) ∙ ( ) ; 4 4 ∙
∙
∙
3. Следеће производе запиши у облику степена: а) x 12 x 21; б) a4 a8; в) (–b)6 (–b)7; г) (–c )9 (–c )25; д) (1 + a)8 (1 + a)2; ђ) (2 x – – d )9 (2 x – – d )11. ∙
∙
∙
∙
∙
∙
4. Следеће производе запиши у облику степена: 7 5 3 2 3 2 6 5 4 7 3 3 3 3 8 8 8 а) 3 3 3 ; б) (–2) (–2) (–2) ; в) ( ) ∙ ( ) ∙ ( ) ; г) – ∙ (– ) ∙ (– ) ; 4 4 4 9 9 9 8 7 5 6 9 10 3 4 8 д) x ∙ x ∙ x ; ђ) (–a) ∙ (–a) ∙ (–a) ; е) (a – b) ∙ (a – b) ∙ (a – b) . ∙
∙
∙
∙
5. Чиниоце запиши у облику степена истих основа, па израчунај производе: а) 27 ∙ 32; б) 23 ∙ 32; в) 64 ∙ 128; г) 25 ∙ 625; д) 243 ∙ 81. с тепена са одговарајућим предзнаком: 6. Запиши у облику степена 3 4 6 а) 53 ∙ (–5)4; б) (– 1 ) ∙ ( 1 ) ∙ (– 1 ) ; в) –x 3 ∙ (–x 3) ∙ (–x )3; г) 0,82 ∙ (–0,8)2 ∙ (–0,8)3. 2 2 2 тако да добијеш тачне једнакости: 7. Одреди вредност непознате x тако 7 15 12 x а) 32 ∙ 3 x = 35; б) a x ∙ a5 = a6; в) (– 2 ) ∙ (– 2 ) = (– 2 ) ; г) 0,23 ∙ 0,25 ∙ 0,2 x = (– 1 ) . 3 3 3 5
8. Сваки количник запиши у облику разломка, где су именилац и бројилац дати као производ једнаких чинилаца, скрати одговарајуће чланове, а затим количник запиши у облику степена: 4 7 4 5 3 6 5 7 а) 2 : 2 ; б) (–0,8) : (–0,8) ; в) (– ) : (– 7 ); г) √ 2 : √ 2 ; 9 9 9. Дељеник и делилац запиши у облику степена истих основа, па израчунај: а) 243 : 32; б) 53 : 125; в) 2 401 : 49; г) 210 : 128; д) 7 776 : 216. 10. Упрости изразe: а) ( x x 5 ∙ x 9) : x 10; б) ( x x 12 : x 4) ∙ x 8; 18 13 д) x 5 : ( x x : x ); ђ) (b3 ∙ b7) ∙ (b8 : b6);
в) (a8 : a4) : a3; е) (k 22 : k 6) : (k 5 ∙ k 9);
г) x 4 ∙ ( x x 2 : x );); 12 7 30 27 ж) ( x x : x ) : ( x x : x ).
11. Упрости изразe: 11 а) c 9 ;
c 12 8 7 : ( x x x ) ∙ x ђ) ; x 10
10
8
y
е)
3
в) x ∙10 x ;
б) y ; 2
a ; a : (a6 ∙ a4) 11
12. Упрости изразe: а) x 9 : (– x )6;
x 15 13 5 : ( y y y ) ∙ y ж) 6 15 14 ; y ∙ ( y y : y )
б) –y 12 : (– y )10;
в)
15 г) x ; 8 x : x 15 7 3 : y : ( y y ∙ ∙ ( y y y з) 6 4 11 ))9 . ( y y ∙ y ) : ( y y : y )
x 15 ; x 6 ∙ (– x )8
г)
15
8
д) x 4 : x ; x ∙ x
(–a)11 . –a12 : (–a)10
47
13. Упрости сваки од израза, па израчунај и зрачунај његову вредност: 5 6 8 5 4 30 7 4 2 5 6 3 2 ∙ 2 3 : 3 128 ∙ 2 2 а) (5 : 5 ) : 5 ; б) 4 : (4 : 4 ); в) ; г) 9 7 ; д) ; ђ) 15 17 10 . 29 3 : 3 29 (2 ∙ 2 ) : 2 и зрачунај његову вредност: 14. Упрости сваки од израза, па израчунај 6 7 а) (–3) ∙53 ; б) (–3)
; в)
√
4 5 3 11 4 ; г) (–5) 15 ∙ (–5 ) 3∙ 5 ; д) √58; ђ) 2 :3 2 . 5 : (–5) 2
15. Покажи да вредност сваког од израза не зависи од променљиве n: 2n+1 4n+2 7n+6 12n+7 8n+7 n–1 n+2 3 ∙ 3 5 7 : 7 2 ∙ 2 а) ; б) 4n+5 3n–1 ; в) ; г) 3n–2 n–2 . 36n–2 5 ∙ 5 74n 2 : 2 тако да свака од једнакости буде тачна: 16. Одреди вредност непознате x тако x 2 5 3 x 11 а) 2 ∙ 2 = 2 ; б) 5 ∙ 5 = 5 ; в) 39 : 3 x = 34; г) 7 x : 78 = 79; д) 22 x ∙ 25 = 211; 2n–1 2n+8 6 5 x x +1 +1 16 n 6 1 ђ) 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3 ; е) ( ) ∙ (–1,2) ∙ 1,2 = (–1 ) . 5 5
17. Упрости изразе: 6 11 a a а) 4 ∙ 9 ; a a 7 6 ђ) a ∙6 b ∙5 c ; a ∙ b
14 5 b b б) 8 : 3 ; b b 4 3 7 е) a3 ∙ b7 ∙ c 2 ; a ∙ b ∙ c
5 10 8 8 5 c ∙ c d x ∙ y в) 12 ∙ c ; г) 10 ; д) 5 4 ; c d x ∙ y 8 4 11 30 14 ж) a ∙ b6 ; з) x 13 ∙ z 10 ∙ y 27 . b a y x z
18. Производ степена a8 и a6 подели њиховим количником. 19. Количник степена x 14 и x 11 помножи производом степена x 5 и x 2. 20. Одреди производ количника степена c 8 и c 5 и производа степена c 3 и c 4.
СТЕПЕН ПРОИЗВОДА И КОЛИЧНИКА. СТЕПЕН СТЕПЕНА 1. Производе запиши у облику степена производа, односно производа степена: а) xy · xy · xy ; б) 2 b ∙ 2 b ∙ 2 b ∙ 2 b ∙ 2 b; 3 3 3 3 3 в) 4 y ∙ ∙ 4 y ∙ ∙ 4 y ∙ ∙ 4 y ; г) ab · ab · ab · ab · ab · ab . 7 7 7 7 2. Степен производа запиши у облику производа одговарајућих степена чинилаца: 5 а) (3a)5; б) (4b)8; в) (ab)9; г) (3√ 2)6; д) ( 3 a) ; 4 4 11 7 8 ђ) (–8b) ; е) (–c √ з) (abc ) ; и) (2a√ 2)5. √3 ) ; ж) (5 xy ) ;
48
3. Дате производе степена запиши у облику степена с тепена производа: 3 3 4 4 4 4 а) 2 ∙ a ; б) 3 ∙ 2 ; в) (–5) ∙ 4 ; г) (–8)6 ∙ (–9)6; 7 5 ђ) x 4 ∙ a4; е) (– x )5 ∙ 25; ж) (–2a)7 ∙ (– 1 ) ; з) ( 3 ) ∙ (–2 x )5; 2 4
д) (0,2 x )8 ∙ (5 y )8; 5 5 и) ( 1 x ) ∙ (– 3 y ) . 3 4
√
√
4. Упрости изразе: 3
5
2
а) (ab) ∙ (ab) ;
б) (2 x ) ∙ (2 x ) ;
г) (–2ab)3 ∙ (–2ab)5;
д) (–0,1 xy )4 ∙ (–0,1 xy ););
5. Упрости изразе: а) a3 ∙ (ab)4; б) 33 ∙ (3a)2;
3 3 в) ( a) ∙ (1,5a)6; 2 3 4 1 1 ђ) ( a√ 12 12) ( a√ 12 12) . 2 2
6
8 3 7 в) ( xy xy ) ∙ x ∙ y ;
г) a5 ∙ (ab)2 ∙ b4;
3 д) x 8 ∙ y 7 ∙ ( xy xy ) .
6. Упрости изразе: 8 4 7 12 5 6 7 3 4 : ( ab ) (2 x ) (3 ab ) ( xy xy ) ( xy xy ) ∙ z ( a a ) ∙ ( ac ) . а) 7 ; б) ; в) ; г) 3 11 ; д) ; ђ) a 8 (3b)5 x ∙ y ( zx zx )4∙ y 7 (–a)5∙ c 3 7. Упрости изразе: 7 5 4 5 3 4 5 5 15 6 21 15 ∙ 3 14 ∙ 3 (2 ) 2 √ . а) 6 ; б) 4 2 ; в) 3 ; г) ; д) 6 7 ; ђ) √ 29 5 2 ∙ 3 15 54 21 ∙ 2 Степен н количника запиши у облику обли ку количника степена: 8. Степе 5 3 4 7 6 а) ( 3 ) ; б) (2 1 ) ; в) ( a ) ; г) ( a ) ; д) ( x ) ; 4 2 5 b y 6 3 5 4 6 е) (– 3 x ) ; ж) (– √ 7 y ) ; з) (– 3 ) ; и) ( abd ) ; ј) ( 3g ) ; 4 14 5c 3f √ 6 с тепена количника: 9. Запиши у облику степена 5 4 а) 25 ; б) 44 ; в) 245 : (–8)5; 3 2 8 3 3 4 x 2 ∙ a 16 x ђ) 8 ; е) 3 ; ж) ; y b 81
10. Израчунај: 4 4 а) ( 2 ) : ( 1 ) ; 3 3 г) (45 ∙ 55) : 155;
3 б) ((–3 1 ) ∙ 25) : 73; 2 8 8 8 д) 3 ∙ 2 8 ∙ 5 ∙ 0,58. 15
г) a7 : b7;
д) a9 : 39;
5 з) 25√ 5 ;
7 7 (– x ) ∙ a . и) 7 3 ∙ (–b)7
a
4
ђ) ( 2a ) ; 3 12 к) ( 0,5 ) . √ 2
9 в) 0,254 : 14 – ( 1 ) ∙ 39; 4 3
= – 1 и x = –12, израчунај вредност сваког од израза: 11. Ако је x · y = 3 y 3 4 4 3 3 3 3 4 4 1 1 1 y а) 3 x y ; б) 2 ∙ (– x ) ∙ y ; в) (2 x ) ∙ ( ) ; г) 2 x : ( ) ; д) – xy + + 5 : 12 . y y 9 x x
49
12. Упрости изразе: 3
3
а) ( xy ) ∙ z 2 ∙ ( 1 ) ∙ y 3; z
x
б)
;
в)
;
г)
.
13. Запиши у облику степена степена, то јест у облику ( am)n следеће изразе: 4 4 2 2 а) 23 ∙ 23 ∙ 23; б) (– 1 ) ∙ (– 1 ) ; в) (–0,1)7 ∙ (–0,1)7 ∙ (–0,1)7 ∙ (–0,1)7; г) ( 2 a) ∙ ( 2 a) . 2 2 3 3 с тепена одговарајуће основе, то јест у облику am следеће изразе: 14. Запиши у облику степена 4 6 а) (33)2; б) (45)7; в) (–22)8; г) (a2)3; д) (( 3 x ) ) ; ђ) ((0,2d )9)3. 5
15. Упрости израз: 3 5
2 6
2
а) (a2b)3; б) (2 x 3)6; в) ( a2 ) ; г) ( x 3 ) ; д) (–0,5a2b3)4; ђ) ( 5 p7 ) . b y 2q
16. Упрости израз: а) (a3 ∙ a4)4; б) (b3 ∙ b)5; ђ) x 9 : ( x x 3)3; е) ( x x 3)8 : ( x x 8)3; 2 2 2 2 2 ј) x 10 : (( x x ) ∙ ( x x ∙ ( x x ) )); 17. Упрости изразе: 2 3 5 7 8 4 2 : ( x x ) ∙ x a ∙ ( a a а) 8 3 2 ; б) 2 3 2 )6 ; x : ( x x ) (a ∙ a ) : a
в) (c 7 : c 2)3; ж) (( x x 7)5 : x 7) : x 5; 4 3 5 к) (( y y ) ) ; 2 4 5 10 2 (( y y ) ) : ( y y ) ; в) 7 3 ( y y : y )
г) (d 12 : d 9)2; з) ( x x 3 ∙ ( x x 2)7) : x 15; 3 4 5 л) (( y y ) ) ;
2 5 4 д) ( x x ) : x ; и) x 11 ∙ ( x x 20 : ( x x 4)5)101; 5 3 4 љ) (( y y ) ) .
3 2 6 5 : ( a b ) a . г) (ab5)2 ∙ a11
18. Изразе запиши у облику степена са основом 2: а) 163; б) 85; в) 44 ∙ 88; г) 2564 : 643; д) (1282 ∙ 644)3 : 5125. 19. Запиши изразе у облику степена са основом 2 3: 7 3 11 23 5 6 5 5 1 1 (4 : 8 ) ∙ 64 3 ∙ 162 ∙ 2 . а) 8 ; б) 16 ; в) 64 ∙ 12 ; г) 2 : 7 ; д) ; ђ) 2 2 4 615 20. Покажи да вредност израза не зависи од променљиве k . k 2k +1 +1 2n+3 k +2 +2 27 5 16 36 а) 3k ; б) k ; в) 8n+10 ; г) +6 . 3 25 2 (√6)4k +6 21. Одреди вредност променљиве n тако да добијеш тачна тврђења: а) 22 ∙ 2n = 23; б) an ∙ a6 = a10; в) x 5 ∙ x 7 = x n ∙ x 9; г) y 12 ∙ y 3 = y n : y ; n 3 5 д) ( z z ∙ z ) : z = 1; ђ) (37 : 35) ∙ 3n = (37 ∙ 35) : 3n; е) (d 11 : d n)2 = d 12; n 5 7 2 3 4 n 8 3 n 25 3 ( x x ∙ x ) : x ( a b ) · a · b = (ab)12. ж) ( x x ∙ x ) = x : x ; з) и) 2 3 2 = x ; 4 ( x x ∙ x ) ab
50
АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 : 2 1 + 1 1 ∙ 2 3 ; 4 2 6 4 в) (5 3 : 2 1 + 1 1 ) ∙ 2 3 ; 4 2 6 4
б) 5 3 : (2 1 + 1 1 ) ∙ 2 3 ; 4 2 6 4 г) 5 3 : (2 1 + 1 1 ∙ 2 3 ). 4 2 6 4
ако је: 3. Одреди бројевну вредност израза a ∙ b – c ако
а) a = –6, b = 3, c = –2; в) a = 0,5, b = –2,7, c = –3,41;
= 2 ; б) a = 2, b = – 5 , c = 6 3 = √ 5. г) a = –√ 2, b = √ 8, c =
4. Попуни дату табелу: а
b
–2 9 2 – 3 5 10 –4,3 7,7
c
a + b ∙ c
a ∙ c – – b
a ∙ (b – c )
(a – c ) ∙ (a + b)
b – a : c
8 – 1 4 –0,5
ал гебарска израза у којима учествује променљива х . 5. Запиши три произвољна алгебарска
6. Запиши пет произвољних алгебарских израза. 7. Одреди бројевну вредност алгебарског израза: а) а2 – 2а3 + 5 за а = 2; б) 1 а3 – а2 + 2а + 5 за а = –3; 3 в) аb2 + а2b + 4ab за а = 1 , b = –2; г) а5 – а4 + а3 – а2 + а за а = – 1; 2 д) 2 а3 – 3 b4 – 1 c 2 за а = 2, b = –2, c = = –4. 3 4 2 8. Израчунај вредност алгебарског израза: 2 2 а) 10a + 0,9 за а = 0,1; б) 4a2 + 3 + 1 за а = – 1; a a – 3 2 4 2 2 2 1 2 x + 3 x – 15 за х = = √ 3; в) (2 х + + 3) – 4 ∙ ( х х + 3 х ) за х = = 2 ; г) 2 4 x – 1 2 2 (4 a – 1) за а = –0,5. д) (a + 2) – 4
51
9. Одреди бројевну вредност алгебарског израза: 2 3 2 0,5 a b – ( ab ) + 1 за а = 0,1, b = 10; а) ab
б)
за x = = –√ 3, y = = –3, z = = 3.
ПОЛИНОМИ 1. Који су од следећих алгебарских израза полиноми: 2 3 3 2 2 2 x – 3 y а) аb + c ; б) a b c – – xy ; в) ; 5 2 – 2b + a ? д) x 3 – 2 x 2 + 3 x – 4; ђ) 3 zx ; е) 3c – 2 y 2ab2 + c
г) a + b ; c – d
2. Израчунај бројевну вредност полинома: а) 5а2 – 2а + 3 за а = –4; б) х 4 + 2 х 3 –3 х 2 – 4 х + + 5 за х = = –1. 3. Израчунај бројевну вредност полинома: за а = –1, b = –2, c = а) 2аb – 3bc + + 4ac за = 4; 2 2 2 2 + х y – хy + 5 х за за х = б) x y + = –1, y = = –1. 4. Међу датим изразима издвој мономе: б) b2;
а) a; 3 2
ђ) a b c ;
3
2
е) a + b + c ;
д) – 1 x 4; 2
в) 5;
г) 2c ;
ж) 1 ;
3 6 3 xy z . з) 10
xy
5. Напиши пет различитих монома. 6. За дате мономе одреди коефицијенте: в) 3 xy ; 7
б) –10b2;
а) 2a;
г) – 1 ; 2
д) ef 2g 5.
7. Одреди бројевну вредност монома: а) 5 х 2 за х = –10; 2
за х = г) –0,3 х у за = 5, у = –4;
б) –4а70 за а = 1;
в) 2 у 2009 за у = = –1; 3
3 2 5 a д) b c за а = –2, b = 3, c = = 8. 72
8. Међу датим мономима издвој пет група сличних монома: 5 x , – 1 y , –2 x , x 2 y , 4 xy , 4 xy 2, 2 2 2 3 2 – xy , x y , 12 y и и –19 xy . 8 9
52
9. Напиши четири пара сличних монома. 10. Напиши четири слична монома. 11. Запиши три различита бинома. 12. Од монома –2а и 3b састави и запиши све могуће биноме. Колико их има? и –4 запиши неколико бинома. 13. Од монома x 3, 2 x 2, 3 x и
14. Одреди бројевну вредност бинома: а) 2а2 – 3а за а = 7; б) х 1000 – х 1001 за х = 1;
в) х 1000 + х 1001 за х = = –1.
15. Одреди бројевну вредност бинома: а) 5а + 4b за а = 8, b = –7; за x = = 1 , y = б) 20 x 2 – 5 xy за = –10; 2 в) а3b2c – – 2ab2c 3 за а = –3, b = 5, c = = 2. 16. Од монома 1 , а, –2а2, 3а4 запиши неколико тринома. 2 17. Одреди бројевну вредност тринома: за x = 3; а) x 3 + 2 x 2 – 3 x за б) y 50 + y 100 – y 150 за y = 1;
в) z 99 – z 100 – z 101 за z = = –1.
18. Одреди бројевну вредност тринома: за x = а) x 3 + 3 xy – – 5 y за = –2, y = 6; б) ab2 – 3ac 2 + 5bc за а = 8, b = –3, c = = –4. 19. Запиши формуле помоћу којих израчунавамо обим геометријске фигуре, а затим закључи да ли је то моном, бином, трином или полином. Геометријска фигура Квадрат
Обим 4а
моном
Правоугаоник Троугао Једнакостранични троугао Једнакокраки троугао Ромб Паралелограм Трапез
Једнакокраки трапез
53
САБИРАЊЕ ПОЛИНОМА 1. Израчунај збир монома: а) 2а + 3а;
б) 9b – 7b;
в) 3ab – 6ab;
д) 2 y 2 – 5 y 2; 7 7
ђ) 13,5abc – – 6,8abc ;
е) – 3 ax + + 5 ax ; 4 6
г) 1 x + + 4 x ; 2 ж) 2 3 x 2 y – – x 2 y ; 5
з) –2,8ab2c 3 + 7 2 ab2c 3. 5
2. Упрости изразе: а) а + 2а + 3а; г) 5ab – (–2ab) –9ab; е) 9 x + + (–4 x ) – (2 x – – 12 x ););
б) 2b + 4b – 5b; д) 2 abc + + 1 abc – (– 1 abc ); 3 4 6 ж) (5 yz – – 9 yz ) – (2 yz + + 4 yz ).).
в) 5c – – 7c + + 12c – – 10c ; ђ)4 xyz – – (2 xyz – – 1 xyz ); 2
3. Одреди супротан моном монома М ако је: а) M = 5 x ;
б) M = –2аb;
в) M = 0,7 xyz 2;
ако је: 4. Одреди супротан бином бинома Р ако 2 = mn – 6a; а) Р = = 2а + b; б) Р = = 4 x – – 5 y ; в) Р =
г) M = –5 2 p3q2r . 3 г) Р = = –5,5 xy + + 2 y 2.
5. Одреди супротан полином полинома Р ако ако је: а) Р = = 2а; б) Р = = –3b; в) Р = = 5 x 2 + 4 x ; г) Р = = 3 x 2 – 2 x + + 1; 2 2 2 2 2 2 д) Р = = 8аb + 9ab – 6a b; ђ) Р = = –7 y x – 8 yz + + 9 xy – 10 x y . 6. Који су од датих полинома сређени: А = 2а – 3b, B = 5 x 2 – 3 x + + 1, C = = 2 y – – 3 y 2 + 4 y, D = 4a + ab + 5b и E = = 5 x 2 – 2 x 2 y 2 + 6 x 2 y 2 – 3 y 2? 7. Одреди степен монома: а) 8а2; б) –4 х 5; в) ab; г) xy 2; д) xy xy 2 z 3. (Када моном има једну променљиву, његов степен је одређен степеном те променљиве, а када има више променљивих, његов степен одређујемо тако што сабирамо степене тих променљивих). 8. Одреди степен бинома: а) x 2 – 4 x ;
б) b + 1 ; 2
в) c 4 – c 3;
+ y 2; г) x 2 y +
д) x 2 y 3 z 4 + x 4 y 4.
9. Среди полиноме, па им одреди степен: а) 5а – 3а + 4; б) 4 x x + + x – – 7 – 3; 2 2 в) 5b – 7b + 4b – 2 + 8b; г) –2a + 5a + b – 4a – 7b; 2 2 д) y – 2 y – – y – 2 y +3; ђ) 15a – (6a + 4a); е) (3 xy + + 5 y ) – (2 x + + 5 xy );); ж) (5 x + + 3 y – – 6) – ( x x – – 7) + (–5 y + + 4 x );); 3 2 3 2 з) 9a + 5a – 6a + 2a – 1 + 6a + 12a .
54
10. Среди полином Р , па одреди њему супротан полином –Р : = x 3 – 2 x 2 + 3 x 2 – 6 x – а) Р = – 2 x + 1; б) Р = = 3a2b2 + 5a2b – 2ab + 8a2b – 7ab + 4ab2; в) Р = = (5abс – – 7ab) – (3aс + + 5ab – 2abс );); г) Р = = (–11a5 – 9a3 + a – 1) – (a2 + 4а3 – 5a5). Упореди степен сваког полинома са степеном њему супротног полинома. Шта закључујеш? 11. Одреди збир полинома и степен збира полинома А и В ако је: а) А = 2а – 3 и В = 3а + 7; б) А = 4а2 + 8 и В = 2а – 9; в) А = 5а2 + 6а + 7 и В = –2а2 + а; г) А = –2а3 + 3а2 + 5а – 2 и В = 2а3 – 7а2 + 2а + 9. 12. Среди полиноме А и В, па одреди њихов збир ако је А = 5 x 2 – 3 x – и – 7 x 2 + 2 + 6 x и 2 2 2 В = 4 x – 2 x + 5 x – – 6 + 2 x – 5 x + + 18. 13. За дате полиноме A и В напиши њихову разлику А – В у сређеном облику ако је: а) А = 3 x + + 2 и В = 2 x + 3; б) А = –5 x + + 4 и В = 2 x 2 – 7; в) А = 2 x 2 – 3 x – – 4 и В = 2 x 2 – 1; г) А = x 3 – 2 x 2 + 3 x – – 4 и В = 5 x 3 – 6 x 2 – 7 x + + 8. Одреди степен полинома А – В. + 1, В = 4 у – – 2 и С = = –5 у + + 3, напиши сређени облик полинома: 14. Ако је А = 3 у + а) А + В + С ; б) А + В – С ; в) А – В + С ; г) А – В – С . Одреди степен добијених полинома. + 1, В = –2 x 2 – 2 x + + 1 и С = = 4 – 3 x + + 8 x 2, напиши сређени облик полинома: 15. Ако је А = 5 x 2 – 4 x + а) А + В + С ; б) C – – A + B; в) В + А – С ; г) А – (В + С );); д) C – – ( A A + B); ђ) В – ( А А + С ).). и С = = 9 x 4 – 7 x 3 + 3 x . Запиши у 16. Дати су полиноми А = 2 x 5 – 3 x 3 + 2 x , В = 5 x 5 + 2 x 4 – 7 x и сређеном облику полиноме: а) А + В + С ; б) А – В – С ; в) – А – (В – С );); г) ( А А – С ) – (В + С );); а затим одреди њихове степене.
17. Од полинома А = –3abc + + 4аb –5c одузми одузми полином В = –9abc + + 3ab + 8c , па добијеној разлици додај полином С = = –2abc – – 6ab + 3c . 18. Од збира бинома 2а – 3 и 5а + 2 одузми збир бинома –2а – 1 и 4а + 1. + 4 у и и 2 у – – 5 х одузми одузми разлику бинома 7 х – – 2 у и и 4 х – – 4 у . 19. Од разлике бинома 3 х +
20. Од тринома 5а2 – 3а + 1 одузми збир бинома 10а + 2 и 2а2 – 7а. 2 21. Покажи да вредност израза 3 х 2 + 5 х – – 2 – (2 х 2 + х ) – ( х х + 4 х – – 6) не зависи од х .
– 2у – 6 – (7 х – – 3 у ) – (8 + у – – 6 х ) не зависи од у . 22. Покажи да вредност израза 5 х –
23. Среди полином 3а3 – 2а2 + 2а + 1 – (3а3 – 2а2 + 5а + 6), па израчунај његову вредност за а = 7. 24. Среди полином –4а2 – (2а2 – 7а + 8) – (4а + 1), па израчунај његову вредност за а = –1.
55
25. Среди полином 5 ху – – 2 х 2 – 7 + 3 у 2 – (9 у 2 – 3 ху + + 6 – х 2), па израчунај његову вредност за х = = –2 и у = = 1. ако за њега важи да је: 26. Одреди полином Р ако 2 а) Р + + 2 x – 3 x + + 1 = 7 x 2 – 2 x + 3; б) Р – – ( x x 2 + 7 x + + 3) = x 2 – 2 x – – 1; 2 2 в) 3 x – 4 x + + 5 – Р = = 2 x – 9.
27. Одреди полином Р и његов степен ако је: а) 3 x 2 – 6 x + + 5 + Р = = 7 x 2 + 2 x – 3; б) 6 x 2 + 4 x – – 2 – Р = = 6 x 2 – 7 х + + 3. 28. Један сабирак је а2 + аb – b2, a збир 2а2 – аb – 5b2. Одреди други сабирак. 29. Збир три узастопна природна броја је 186. Одреди те бројеве. 30. Збир четири узастопна парна броја је 84. О којим бројевима је реч? 31. Збир четири броја од којих је сваки за три већи од претходног је 158. Одреди те бројеве. + 1, b = 6 х – – 2 и c = = 2 х + + 5, где је х R и х > 3 . 32. Дужине страница неког троугла су а = 4 х + 4 a) Одреди обим тог троугла; б) Израчунај обим тог троугла за х = = 3. бројевни израз 3 х + + 1 – 2 х + + 5 има вредност 13? 33. За коју вредност променљиве х бројевни
34. Реши једначине: а) 2 х + + 3 х – – 4 х + + 5 х = 18; б) 3 х – – (5 – 4 х ) = 2; в) 2 х – – 7 – (3 х + + 1) = –2; г) 10 х – – (7 – 3 х ) – 14 = 5; д) (4 х – – 3) – (7 – 2 х ) = 2; ђ) 4 х – – (2 х + + 5) – (4 – 3 х ) = –9; е) 4 – х – – (– 4 – (2 х – 3)) = 11; ж) 3,2 + 0,4 х – – (2,7 х – – 4) – 0,2 х = = 4,8; з) 3 x – – ( 1 + 5 x ) – ( 2 x – – 1 ) = 5 . 4 2 6 3 4 12 за коју троугао са страницама х + + 4, 2 х + + 3 и 3 х + + 1 има 35. Одреди вредност променљиве х за обим једнак обиму квадрата странице х + + 3.
МНОЖЕЊЕ ПОЛИНОМА 1. Одреди производ монома А и В ако је: а) А = 5а, В = 3;
б) А = –2b, В = 4b;
г) А = –7аbc , В = 2 a2b; 7
д) А = 0,6а3bc 2, В = 2,2a2b3c 4.
в) А = 5а2, В = 1 a; 5
монома ако је: 2. Одреди производ А ∙ В ∙ С монома а) А = –2, В = 3 х , С = = 4 х 2; в) А = –2 ху 2, В = 8 хуz , С = = –3 х 3z;
56
= 2 y ; б) А = 3 y 3, В = – 2 y 2, С = 4 3 5 = 15 xy 2 z 4. г) А = 4 x yz , В = – 3 x 5 y 3 z , C = 9 5 16
3. Одреди А2 и А3 ако је: а) А = 3ab;
б) А = –2ab2c 3;
в) А = – 3 a4bс 2. 4
б) (–5 хy 2 z 3)2;
3 в) (– 1 a2b3c 5) ; 2
4. Одреди: а) (2 х 2 у )3;
5. Упрости изразе: а) 9а2 · (– 1 b3); 3 г) –7 xy 2 z 3 · (–2 xz ) · 2 y 2 z 5; 7
6. Упрости изразе: а) 5 х · · (–2 у ) + 3 ху ; в) 2 х 2 · (– 1 y 2) – 1 ху · · 8 ху ; 2 2
б) –4а · (–а)2 · (–а2); 2
д) ( 1 ab2) · 6a2b5; 3
г) (3 x 5 y 3 z 2)4.
в) 12а2 · (–2а3) · (–а)3; 3 ђ) (– 1 ab2c 4) · (8a3b2c )2. 2
б) –8 х 2 у – – 2 ху · · 4 х ; г) 3 х 2 · (–2 х 2) – х 3 · 4 х – – 5 х · · (–7 х 3).
7. Одреди производ полинома Р и и монома М ако је: а) Р = = 2 х + + 3, М = 4 х ; б) Р = = 3 p – 2q, М = –2 p2; в) Р = = 2a – 3b + 5c , М = 5abc ;
г) Р = = –4ab + 16ac – – 8bc , М = 1 bc . 2
8. Помножи и среди добијене полиноме: а) ( х х 4 – 2 х 2 – х ) · (–7 х 2); б) –3abc · · (2ab – 4abc + + 6a2b3c 4); в) – 2 xy 2 · (14 x 2 – 7 xy + + 21 xy 3); г) (2 x 3 y 3 – x 2 y 2 – 3 xy ) · 9 x 2 y 3; 7 д) 4 xy · · (– 3 x 2 y 4 + 1 x 4 y 8 + 9 x 8 y 6); ђ) (2 1 a3b2c – – 0,75a3bc 3 + 3ab2c 3) ∙ 1 1 ab2c 3. 8 4 16 4 3 Одреди степен сваког од добијених полинома. 9. Среди полиноме и одреди њихов степен: а) 5 х 3 + 2 х · · ( х 2 – 3); + у ) · 3 у – в) (–2 х + – 4 х · · (5 х – – 2 у );); 2 д) х · (2 х – – 7) – х · · (5 х + + 4 х 2) + 7 · ( х х 3 – х );); е) 3 х · · (–3 х 3 + 2 х 2 + 9 х – – 1) + 7 х 2 · ( х 2 – 2 х + + 1).
б) (2 х – – 3 у ) · 5 х + + 12 ху ; 2 2 г) 2 · ( х х + у ) – 3 х · · ( х – – у ) + 6 х 2; ђ) 4 х 2 · (3 х 2 – 7 х + + 1) – 2 х · · (5 х 2 + 4 х – – 3);
10. Дати су полиноми А = 2а 2 – 3а + 7, В = –а2 и С = и = 9а2 – 5а + 4. Одреди полином 4 А – 3ВС и утврди његов степен. 11. Провери тачност једнакости: ( а2 – 3а + 2) · (–3а2) – (2а + 3а2 – 2а3) · 2а = а4 + 3а3 – 10а2. 12. Одреди производ бинома: а) х + + 2 и 2 х – 1; в) 4 х 2 + 1 и 3 х – 7;
б) 3 х + + 5 и 2 – 4 х ; г) 2а – 3b и 3a + 2b.
57
13. Одреди производ полинома А и В ако је: и В = 2 х + + у ; а) А = 5 х – – 3 у и б) А = а2 + 5а и В = 4а – 1; в) А = 3а – 5 и В = 4а2 + а – 3; г) А = –2а2 + 3а – 1 и В = 5а2 + 4а; д) А = а – b и В = а2 + аb + b2; ђ) А = а2 – аb + b2 и В = а + b; е) А = x – – 1 и В = x 3 + x 2 + x + 1; ж) А = x 3 – x 2 + x – – 1 и В = x + + 1. 14. Упрости изразе: а) а2 · (а + 2) + (2а2 – 1) · (3 – 2а); в) (8 х + + 5) · (–2 х – – 1) + (4 х – – 3) · (4 х + 3); 2 д) (2 х – – 5 х ) · (2 – 3 х ) – (4 х + + 3 х 2) · (1 – 2 х );); 15. Упрости изразе: а) х 2 · ( х х – – 1) · (2 х – 1);
б) ( х х – – 2) · ( х х + + 1) + (2 х + + 3) · ( х х – – 4); г) ( х х + + 3) · (2 х – – 1) + (3 х + + 1) · ( х – – 2); 2 ђ) (2 х + + 3 х ) · (4 – х ) – (4 – 2 х ) · ( х х 2 –1).
б) (5 х 2 – 4) · (3 х – – 2) · (6 х + + 1) · х 3.
= 3 – 4а, одреди и среди полиноме: 16. Ако је А = 2а + 3, В = а2 – 4 и С = а) А · В · С ; б) А · В – С ; в) А + В · С ; г) А · С – В · С . + 5, C = = –4 x 2 – 5 x + + 1. Одреди: 17. Дати су полиноми: A = x 2 + 1, B = –4 x + a) A − B + C ; б) A − C − B; в) C − A ∙ B; г) B ∙ ( A − C ).). Утврди који је степен сваког од добијених полинома. по линома.
18. Упрости изразе: а) (3а2 + 2а – 6) · (2а2 – 4а + 7) – 5а · (4а4 – 3а3 + 2а2 –а + 10); б) 10b4 – 3b3 · (b2 + 2b – 1) + (b – 1) · (b + 5). – 6) · (5 – 2 х + + 3 х 2) – 6 х · · ( х 2 – 4 х + + 4) – 2 х 2 + 2 х не не зависи од 19. Покажи да вредност израза (2 х – х .
20. Покажи да вредност израза 2 а · (15а – 11b) – (b – 3a) · (4b – 10a) + 4b2 – 7 не зависи од а и b. 21. Биному 2 х 2 + 4 х додај додај производ бинома 3 х – – 1 и 5 – 4 х . 22. Од тринома 3а2 – 2а + 1 одузми производ бинома 2а + 3 и 3а – 9. и х + + у додај – у и додај производ монома 2 ху и и тринома х 2 + ху – – у 2. 23. Производу бинома х –
– 3 у одузми одузми разлику тих бинома. 24. Од производа бинома ху 2 + 1 и 2 х –
25. Производу збира и разлике монома 2а и 3b додај разлику квадрата тих монома. 26. Одреди моном М тако да важи: а) М · (3 х 2 – 4 х + + 5) = 6 х 3 – 8 х 2 + 10 х ; б) М · (2а2b2 + 5ab3 – 7ab) = – 8а3b4 – 20a2b5 + 28a2b3; в) (–4аb2c 3 + 10ac 2 – 3b2c ) · М = 12а4b3c 5 – 30a4bc 4 + 9a3b3c 3. полином 2 х 2 – 2 х · · ( х х – – 2) – 3 има вредност 9? 27. За коју вредност променљиве х полином
58
28. Реши једначине: а) 3 х – – 2 · (5 – 4 х ) = 12; в) 5 · ( х – – 2) – 7 х + 4 = –4; д) (3 х – – 1) (2 х + + 5) – 6 х 2 = 8;
б) х 2 + ( х х – – 1) · 2 х – – 3 х · · ( х + + 2) = 16; г) ( х х – – 5) · ( х – – 2) – ( х х – – 1) · ( х + + 4) = 14; 2 ђ) (2 х – – 3) · (2 х + + 1) – 4 х = 1.
29. Упрости израз, па израчунај његову вредност: а) (а3 – 5а + 4) · (а – 5) – а4 за а = 3; б) (а3 – 3) · (а + 3) · (а + 1) за а = –1; в) (b – 2) · (b + 3) – (b + 1) · (b – 3) за b = 2; г) 6с 4 – 3с 3 · (с 2 + 2с – – 1) + (с + + 4) · (с – – 2) за с = = –2; д) (2 х – – у ) · (3 у + + 4) – ( ху ху + + 2) · (–3 ху ) за х = = –5, у = = 2; 2 + у ) за х = = 1 . ђ) 10 ху · · (–3 х 2 + 5 ху – – 2 у 2) – ( х х у – – 2 ху 2) · (2 х + = –3, у = 3
КВАДР КВАД РАТ БИНОМА БИН ОМА 1. Заокружи једнакости које су тачне за свако х : а) (3 х + + 1)2 = 9 х 2 – 3 х + 1; б) (3 х + + 1)2 = 9 х 2 + 6 х + + 1; 2 2 2 2 в) (3 х + + 1) = 9 х + 1; г) (3 х + + 1) = 9 х + 3 х + + 1; 2 2 2 2 д) (3 х – – 1) = 9 х – 6 х – 1; ђ) (3 х – – 1) = 9 х – 3 х + + 1; 2 2 2 2 е) (3 х – – 1) = 9 х – 6 х + 1; ж) (3 х – – 1) = 9 х – 1. ако је: 2. Одреди квадрат бинома Р ако = х + 3; а) Р = б) Р = = 2 х + 5; = х – 1; г) Р = д) Р = = 3 х – 4;
в) Р = = 5 х + + 1; ђ) Р = = 9 х – – 8.
3. Одреди квадрат бинома: а) 2а + 3b;
б) 5 х – – 3 у ;
+ у ; в) 4 х +
г) 1 + a; 2
д) 1 x – y ; 2
ђ) 6ab + 5;
е) 4abc – 3;
ж) 3 x 2 – 7 y .
4. Одреди: 2 а) (1 1 – 2 x ) ; 2 + √ 5 y )2; г) (√ 3 x + е) (√ 2a – √ 8b)2;
2 б) (–2a – 1 x ) ; 2 д) (0,5а – 0,3b)2;
ж) (–3a – 7) ∙ (–7 – 3a);
в) (–0,2а – 5а2)2; ђ) (0,1 – 5a3)2; з) (– 1 a + 2) ∙ (2 – 1 a). 2 2
5. Дате триноме запиши као квадрате бинома: а) 1 – 10 х + + 25 х 2; г) 1 x 4 – 1 x 2 yz + + 1 y 2 z 2; 25 5 4
б) 49а2 + 28аb + 4b2; д) 3 x 2 +18 xy +27 +27 y 2.
в) 9a2b2 + 3ab + 1 ; 4
59
6. Упиши у квадрате одговарајуће мономе тако да једнакост буде тачна: 2 2 1 = + х + + + а) ( + ; б) ( – 11b) = 64a2 – ; ) 2 2 2 2 + в) ( – 2 xy ) = – хy + ; г) ( + ) = + 13 cd + + 19 d . 7. Упрости изразе: а) (5 х – – 2)2 – 5 х ∙ ∙ (5 х + 2); г) (2а + 5)2 + (3а – 1) ∙ (–2а); 8. Упрости изразе: а) (7 х + + 5)2 – (9 х + + 11) (4 х – 3); 2 в) (3 х – – 2 y ) – (2 x – – 3 y )2 – 2 x (–3 (–3 х );); 2 2 д) 2a (2а – 1) + (а – 2a ) ∙ (–6a); е) (а – b)2 – a2 – (а + b)2 + 2ab – b2;
+ у )2 + ( х б) ( х х + х – – у )2; д) (3 х + + 5) ∙ (2 – х ) – (4 х – – 1)2;
в) (а – 2)2 + (а + 2)2; ђ) (3b + 8)2 – (2b – 7)2.
б) (2 х – – 3)2 – (3 х – – 2) (2 x + + 3) + 12 x ; 2 г) 5 (а – 2) + 2a (а – 2) – 4 (а + 2); ђ) 3 (3b – 4)2 – 15 (3b + 2)2 + 17; ж) 5 (5 – 3а)2 – 11 (1 – 3a) – 45a2 + 7.
– 3 y )2 – (2 x – – y ) ∙ (8 x – – 9 y ),), па израчунај његову вредност за x = = –1,5 и 9. Упрости израз (4 x – y = = 0,2. 10. Упрости израз (3 x – – 9 y ) ∙ (6 x – – y ) – (5 x – – 3 y )2, па израчунај његову вредност за x = = – 1 и 7 1 y = . 9
11. Покажи да је бројевна вредност израза рационалан број: а) (√ 5 + 4)2 + (4 – √ 5)2; б) (√ 2 – 12)2 – (6 – √ 8)2. – 7 додај квадрат бинома 2 х – – 4. 12. Триному 2 х 2 + 5 х – – 1 одузми квадрат бинома х – – 6. 13. Од полинома 4 х 3 – 3 х 2 + 2 х – – 9 одузми квадрат бинома 2 х + + 7. 14. Од квадрата бинома 5 х –
15. Од квадрата збира монома 5 а и 8b одузми квадрат разлике тих монома. + 1 одузми квадрат бинома 4 x – – 1. Одреди бројевну вредност 16. Од полинома 16 x 2 – 11 x + добијеног полинома за x = = –4. + 8 одузми квадрат бинома 3 x – – 4. Одреди бројевну вредност 17. Од полинома 9 x 2 – 23 x + добијеног полинома за x = = 2 009.
18. Користећи квадрат бинома израчунај: а) 1012; б) 982; в) 1062; 19. Реши једначине: 2 а) ( х х + + 5)2 – ( х х – 4 х + 1) = 6; в) (2 х – – 1)2 – (2 х + + 3) (2 х – 4) = 5;
60
г) 952;
д) 892;
ђ) 1122.
б) (3 х – – 2) (3 х + + 4) – (3 х – – 5)2 = 3; г) (4 х – – 2)2 – (4 х – – 3)2 = – 21.
20. Дати су полиноми A = 2 x – – 3 и B = 3 – 4 x . Одреди: 2 a) A · B; б) A – B ; в) A2 – 2 ∙ B. + 1, В = 2 х – – 3 и С = = 2 – х , одреди и среди полиноме: 21. Ако је А = 3 х + 2 2 2 2 а) А + В + С ; б) А – В2 + А ∙ С ; в) ( А А + С )2 – В2; г) (В – С )2 + А2; д) ( А А – В)2 – (В – С )2. + 1, а једна страница х – – 2. За коју вредност х је је друга 22. Дијагонала правоугаоника је х + страница тог правоугаоника 9cm?
23. Ако је а = 3 х – – 1, b = 4 x +3 +3 и c = = 5 x + + 2, за коју вредност х дужи дужи a, b и c могу могу бити странице правоуглог троугла (с је је хипотенуза). 24. Израчунај обим и површину правоуглог троугла ако је дужина једне катете 24cm, а хипотенуза је за 16cm дужа ду жа од друге катете. 25. Израчунај обим и површину правоуглог троугла ако је дужина једне катете 12cm, а друга катета је за 4cm краћа од хипотенузе. 26. Дужина једне странице правоугаоника је 15cm, а друга је за 9cm краћа од д ијагонале тог правоугаоника. Одреди обим и површину тог правоугаоника. 27. Дужина једне катете правоуглог троугла је 18cm, а збир дужина друге катете и хипотенузе је 54cm. Одреди површину тог троугла. 28. Телефонски стуб који је био висине 25m преломљен је услед невремена и врхом додирује земљу на удаљености 5m од подножја. На којој висини је преломљен стуб? 29. Странице два квадрата се разликују за 2cm, а њихове површине за 40cm 2. Одреди дужине страница тих квадрата. 30. Израчунај површину ромба ако је дужина његовог обима 60cm, а збир дужина дијагонала 42cm.
РАЗЛИКА КВАДРАТА 1. Разлику квадрата запиши у облику производа: а) х 2 – 9; б) 25 х 2 – 16; г) c 2 – 3; д) a2b2– 36;
в) 4а2 – 49b2; ђ) –4 у 2 + 1 . 4
А – В)( А А + В) = А2 – В2: 2. Трансформиши производ користећи једнакост ( А а) (2 – х ) (2 + х );); б) (а – 10) (а + 10); в) (– b + 4а) (4а + b); + y ) (10 x – г) (3а – 8b) (3а + 8b); д) (10 x + – y );); ђ) (c 2 + 1) (c 2 – 1); е) (0,7а – 2b) (2b + 0,7а); ж) ( 3 a – 1)( 3 + 1); з) ( 4 x + – 5 y ). + 5 y )( 4 x – 4 4 9 8 9 8
61
2 2 3. Трансформиши производ користећи једнакост ( А А – В)( А А + В) = А – В : а) (4аb – 3c ) (4аb + 3c );); б) (5 xyz + + 2abc ) (5 xyz – – 2abc );); в) (1,2mn – 2,5 pq) (1,2mn + 2,5 pq); г) ( 9 a2b – 5 c ) ( 9 a2b + 5 c ); 10 11 10 11 2 2 + y ) (2 x + + y );); д) (–2 x + ђ) ( x x – 9) ( x x + 9); 2 2 2 2 е) (a – 16b ) (a + 16b ); ж) (а – 5) (а + 5) (a2 + 25); 2 з) (12 – b2) (b2 + 12); и) ( z z – – 1) ( z z + + 1) ( z z + 1) .
из рачунај: 4. Користећи разлику квадрата израчунај: 2 2 а) 91 – 9 ; б) 262 – 242; г) 1752 – 252;
д) 5,32 – 4,32;
5. Израчунај: 2 а) 99 – 1 ; 49 2 2 19 – 81 г) 2 ; 41 – 212
6 ; 2 13 – 472 2 2 8,12 – 1,88 д) ; 40,62 – 9,42
в) 872 – 772; 2 2 ђ) (7 3 ) – (2 1 ) . 4 4 2 2 в) 452 – 252 ; 57 – 43 2 2 2,7 – 17,3 . ђ) 2 2,3 – 12,32
б)
6. У квадрате упиши моном тако да добијеш тачну једнакост: а) (а – в) (2а –
) (а + )(
) = – 36; + 3b) = 4a – 2
б) (5 – ;
) (5 + г) ( – 1 y ) ( 4
) = +
– х 2;
) = 169 x – 4
.
7. Дати производ трансформиши у разлику квадрата, па израчунај: а) 102 ∙ 98; б) 1 005 ∙ 995; в) 55 ∙ 45; г) 24 ∙ 16; д) 81 ∙ 79; ђ) 49 ∙ 31; е) 5,1 ∙ 4,9; ж) 1,01 ∙ 0,99. 8. Упрости изразе: а) (а – 1) (а + 1) + 5а (2а – 1); б) (6а – 5) (6а + 5) + (2а + 1) (5 – 18а); в) (3 х + + 7 у ) (2 у – 9 х ) – (4 х – – 3 у ) (4 х + + 3 у );); г) 4 ∙ (а – 5) (а + 5) – (2а – 3) (2а + 3); д) 9 ∙ (5 – 4 х ) (5 + 4 х ) – 4 ∙ (3 х + + 7) (3 х – – 7) + 27 х . 9. Реши једначине: а) ( x x + + 3) ( x x – – 3) – ( x x 2 – 4 x ) = 9; в) (3 x – – 2)(3 x + + 2) – (3 x – – 5)2 = 1; д) (2 – y ) (2 + y ) – (6 y – – y 2) = 4;
б) (2 + y )(2 )(2 – y ) – (2 y – – 1) + y 2 = 5; г) (2 x – – 3)(2 x + + 3) – (4 x 2 – 5 x + + 1) = 15; 2 ђ) ( x x – – 2)( x x + + 2) – ( x x + + 3) = –1.
10. Реши једначине: a) ( x x + + 2)2 – ( x x – – 3) ( x x + 3) = 1; б) (2 x – – 1)2 – (2 x + + 3) (2 x – – 3) = 2; 2 2 в) (2 x + + 1) (2 x – – 1) – (2 x – – 3) = 2; г) (4 x + + 7) – (4 x – – 3) (4 x + + 3) = 114; 2 д) (3 x – – 5)² – (2 x + + 3) – 5 ∙ ( x x – – 2) ( х х + + 2)= –132. = a + 2b, Q = a + b, R = a – b. Одреди Q ∙ R – P 2. 11. Дати су полиноми P =
с у то бројеви? 12. Разлика квадрата два узастопна природна броја је 43. Који су
62
13. Разлика квадрата два узастопна парна природна броја је 68. О којим бројевима је реч? 14. Производ два узастопна непарна природна броја је 143. Који су то бројеви? – 5 и b = 2 х + + 5. Ако је површина тог 15. Дужине страница правоугаоника су а = 2 х – 2 правоугаоника 119cm , одреди његов обим.
16. Докажи да је разлика квадрата два узастопна природна броја увек непаран број. 17. Докажи да је разлика квадрата два узастопна непарна броја дељива са 8. 18. Упрости изразе: а) (3 x – 5)(3 x + + 5) + 3 x 2 ∙ (5 x – 2); в) (2 x – – 3)2 – (3 x + + 2)(3 x – 2); 2 1 1 1 д) 4 ∙ ( y – – x )( y + – x ) ; + x ) – 9 ∙ ( y – 2 2 3
б) (5 x + + 11)(2 x – – 1) – (3 x + + 4)( 3 x – – 4); 2 г) (5 x + + 2) – (2 x – – 5)(2 x + + 5); 2 ђ) 4 ∙ ( 1 + 2 x ) – 9 ∙ ( 1 x + + 1)( 1 x – – 1). 2 3 3
19. Упрости изразе, па израчунај њихове вредности: а) ( р р – 2)2 – ( р р – 3)2 + ( р р – 4) ( р р + 4) за р = –1; 2 б) (q + 4) – (q + 2) (q – 2) – (q – 6)2 за q = 2. 20. Израчунај: а)
;
б)
.
21. Израчунај А2 ако је А =
.
РАСТАВЉАЊЕ НА ЧИНИОЦЕ 1. Издвој заједнички чинилац испред заграде: а) 3 x – – 3 y ; б) 12a + 12b; 2 г) ab – b ; д) –7a2 + 21a;
в) 5 xy – – 15 yz ; ђ) 10ab2 – 5b3.
трансформиши у производ, па реши једначину Р = = 0: 2. Дати полином Р трансформиши 2 2 2 а) х – 7 х ; б) 2 х + 8 х ; в) 12 х – – 2 х ; 2 2 3 г) х + 10 х ; д) 3 х – 6 х ; ђ) 4 х + 12 х 2.
3. Реши једначине: а) 7 х 2 – 14 х = 0; г) 4 х – – 3 х 2 = 0; 4. Растави на чиниоце: а) 2ab + 2bc + + 2ac ; 5 3 в) x + x – x ;
б) 25 х 2 + 100 х = 0; д) 3 х – – 5 х 2 = 0;
в) 2 х 2 – 5 х = = 0; 3 ђ) 6 х – 8 х 2 = 0.
б) 12a – 20b + 16ab; г) 10a2 – 15a + 35a3.
63
5. Растави на чиниоце: а) 10 x 2 – 6 y 2 – 8 xy ; в) 4a3b2c + + 10a2b + 20ab2c 3;
б) a5 + a4 – a3 + a2; г) 9 x 3 y 2 – 18 x 2 y + 12 x 2 y 3.
растави на чиниоце груписањем чланова: 6. Полином Р растави + у );); = ах + + ау + + bх + + bу ; а) Р = = 2 х + + 2 у + + 3 ( х х + б) Р = 2 3 2 = x – x + x – в) Р = = 4a + 4b + a + ab; г) Р = – 1; 2 2 = x – 6 x + + xy – = x y + 3 xy + д) Р = – 6 y ; ђ) Р = + 2 x + + 6.
7. Растави на чиниоце разлику квадрата: а) 9 – х 2; б) а2 – 25; в) х 2 – 4 у 2; д) 4а2 – 9b 2; ђ) 49 x 2 – 9 y 2; е) 64 x 2 – 1; 8. Растави на чиниоце разлику квадрата: a) 16a2b2 – 49c 2; б) x 2 – 9 y 4; 2 д) x – 1; ђ) 1 x 2 – 16 y 2; 36 9 25 з) 0,81 х 2 у 2 – 0,25 z 2; и) 6 1 a2 – 5 4 b2. 4 9 9. Растави на чиниоце: а) a4 – b4; б) 1 – c 4; д) 5а2 – 5; ђ) a2b – b; 10. Растави на чиниоце: а) 5a2b2 – 45a 2; д) 8a – 8a 3;
в) 121m2 – 144n2; е) 81 – 4 x 2; 121 25
в) х 4 – 16; е) 7a – 7ax 2;
г) 16a4b2 – 25c 2d 2; ж) 0,09а2 – 0,25 у 2;
г) 16а4 – 81b4; ж) ах 2 – 9а;
б) ap2 – aq 2; ђ) 8ax 2 – 50ay 2;
в) m4 – m 2; е) a3bc – abc 3;
г) 12а2 – 3; ж) 27а3 – 3ab2.
б) 2r 4 – 32s4;
в) 3a6b2 – 3a2b6;
г) 5 x 7 y 2 – 80 x 3 y 6.
12. Растави на чиниоце: а) ( х х – – 1)2 – 9;
б) ( х х + + 1)2 – 16;
в) ( х х + + 2)2 – х 2;
г) ( х х + + 2)2 – ( х х – – 1)2.
13. Реши једначине: а) x 2 – 9 = 0; г) 81 у 2 – 1 = 0;
б) x 2 – 25 = 0; д) 4 x 2 = 49;
в) 16 – x 2 = 0; ђ) 36 у 2 – 121 = 0.
14. Реши једначине: а) 1 x 2 = 7; 7 г) 16 x 2 – 3 = 0;
б) 3 x 2 = 4 4 3 2 д) 4 x – 5 = 0;
в) x 2 – 15 = 0;
15. Реши једначине: а) 5 x 2 = 12; г) ( х х + + 1)2 – 25 = 0;
б) 8 х 2 – 1 = 0; д) ( х х + + 3)2 – х 2 = 0;
в) ( х х – – 1)2 – 4 = 0; ђ) (2 х + + 1)2 – ( х х – – 2)2 = 0.
11. Растави на чиниоце: а) 16 x 4 – k 4; 81
64
г) 16а2 – 1; ж) с 2 – 81d 2.
ђ) 2 у 2 = 9.
16. Реши једначине: а) 2 x 2 – 32 = 0; г) х 3 – 49 х = 0;
б) 8 x 2 – 200 = 0; д) 49 х – 4 x 3 = 0;
в) 45 x 2 – 20 = 0; ђ) 27 х – – 48 х 3 = 0.
17. Дати трином трансформиши у квадрат бинома: + у 2; а) х 2 + 2 ху + б) х 2 + 6 х + 9; г) у 2 + 2 у + 1; д) 9а2 + 6а + 1; е) 16 х 2 + 8 х + 1; ж) b2 + 16 + 8b;
в) а2 + 8а + 16; ђ) 1 + 10m + 25m2; з) 49 + х 2 + 14 х .
18. Растави на чиниоце: а) х 2 – 12 х + 36; г) 36 – 96а + 64a2; е) a2 – a + 0,25;
в) 81а2 – 36аb + 4b2; ђ) 0,01b2 – bc + + 25c 2; з) 25a2 – 40ab + 16b2.
б) a2 – 14a + 49; д) 49а2 – 42а + 9; ж) 16 x 2 – 24 xy + + 9 y 2;
19. Растави на чиниоце: а) 0,25 х 2 y 2 – 0,1 хy + 0,01; 2
г) a + 8ab + 16b2; 81
9
20. Растави на чиниоце: а) 3 х 2 + 6 х + 3; г) x 4 – 2 x 2 + 1; е) –11 – 66а2 – 99а4; и) 27 х 3 – 90 х 2 + 75 х ; 21. Реши једначине: а) х 2 + 10 х + + 25 = 0; 2 г) a + 4a + 4 = 0; е) 36 – 96 х + + 64 х 2 = 0;
б) 0,09a2 + 0,12ab + 0,04b2;
в) 1 – x + + x 2; 4
д) c 4 – 8c 2 + 16;
ђ) c 4 – 2c 2d 2 + d 4.
б) x 3 + 12 x 2 + 36 x ; д) 100a2 + 600a2b2 + 900b2; ж) –5 у 2 + 20 у – 20; ј) 242а2 х + + 308ах + 98 х ; б) y 2 – 6 y + 9 = 0; д) 1 – 8 х + + 16 х 2 = 0; ж) 8 х 2 + 16 х + 8 = 0;
в) 5 х 2 – 30 х + + 45; 2 2 ђ) 2a b – 12abc + + 18c 2; з) 5 х 3 у 2 + 10 х 2 у + 5 х ; к) 5b3 – 60b2 + 180b. в) х 2 – 12 х + + 36 = 0; 2 ђ) 4 х + 20 х + + 25 = 0; 2 з) 27а + 18а + 3 = 0.
22. Дати израз трансформиши у квадрат бинома, па израчунај његову вредност: а) 892 + 2 ∙ 89 ∙ 11 + 112; б) 372 + 2 ∙ 37 ∙ 13 + 132; в) 1232 – 2 ∙ 123 ∙ 43 + 432; г) 392 – 2 ∙ 39 ∙ 14 + 142. 23. Испитај тачност једнакости: + b2) + (2b – x ) ( x + b2) = bx ( ( x а) ( x x – – 2b) ( x x 2 – 5bx + x 2 – 6bx + x – – 2b); 2 2 2 2 2 б) (a – 3c ) (2a – 7ac – – c ) – (3c – – a) (c + 7ac – – a ) = a (a – 3c ).). 24. Ако су у троуглу АВС странице и c = = х 2 + у 2, х > > у , докажи да је тај троугао странице а = х 2 – у 2, b = 2 xy и правоугли.
65
ТЕСТ � СТЕПЕН 1. Четврти степен броја – 1 једнак је: 2 а) – 1 ; б) – 1 ; в) 1 ; г) 1 ; д) 2. 8 16 16 8 3 2 – 0,23 је: 2. Вредност израза 5 а) – 92 ; б) 7 ; в) 4 ; г) 199 ; д) 23 . 125 125 5 125 15
3. Вредност израза x 8 · x 2 је: а) x 4; б) x 6; в) x 10; г) x 16; д) x 64. 4. Производ (–a)5 ∙ (–a)7 ∙ (–a)12 записан у облику степена једнак је: а) –a420; б) –a24; в) a24; г) ((–a)12)12; д) a420. 18 x 3 ∙ x ) једнака је: 5. Вредност израза x :5( x x ∙ x 9 а) x 2; б) x ; в) –1; г) 0; д) 1.
6. Производ степена (–a)5 и –a4 подели њиховим количником. Вредност добијеног израза је: а) a8; б) –a8; в) a9; г) –a9; д) a19. 3
7. Вредност израза (–2 ab)3 ∙ ( 2a ) је: 9
6
а) –64a ; б) –64a ;
b в) –36a6;
8. Вредност израза а)
г) 64a6; д) 36a9. је:
4 ; б) 9 ; в) 9 ; г) 27 ; д) 27 . 4 4 4 4 4 3 4 3 4 4
3a b
ab
ab
ab
ab
4n+3 9. Вредност израза 22n+1 је: 4 а) 1; б) 2; в) 4; г) 5; д) 16. 8 7 11 32 ∙ 216 ∙ 9 је: 10. Вредност израза (210 ∙ 37)6 а) 1; б) 3; в) 6; г) 36; д) 27 ∙ 310.
. 9 ; ) г . 8 ; ) б . 7 ; ) а . 6 ; ) д . 5 ; ) . ) в . 0 1 ; ) б в . 4 ; ) в . 3 ; ) г . 2 ; ) в . 1
66
: а њ е ш е Р
ТЕСТ � ПОЛИНОМИ 1. Бројевна вредност алгебарског израза 2 х 3 + 5 х 2 – 3 х – – 6 за х = = –2 је: а) –4; б) 4; в) –8; г) –36. + 1 и В = –5 х 2 + 7 х + + 1. 2. Одреди збир и разлику полинома А и В ако је А = 2 х 2 – 6 х + А + В = А – В =
3. Производ полинома А = 4 у – – 3 и В = у 2 + 2 у – – 5 је: 3 2 3 2 а) 4 у + 5 у – 26 у + 15; б) 4 у + 11 у – 14 у + 15;
в) 4 у 3 + 5 у 2 + 14 у – – 15.
ду жа од друге 4. Дужина једне катете правоуглог троугла је 8cm, а хипотенуза је за 4cm дужа катете. Површина тог троугла је: а) 96cm2; б) 48cm2; в) 32cm2; г) 24 cm2.
5. Вредност израза (3√ 5 – 6) (3√ 5+ 6) је: а) –21; б) 9; в) 21;
г) –9 .
– 2)2 – (5 х – – 4) (5 х + + 4) = 0 је: 6. Решење једначине (5 х – а) х = 1; б) х = –1; в) х = 0;
г) х = = 5.
7. Разлика квадрата два узастопна непарна природна броја је 32. О којим бројевима је реч? Одговор:
8. Растави изразе на чиниоце: 1) 15а2 – 35а = 2) 4 у 2 – 28 у + 49 = 3) 0,01 p2 – 64 q2 = 81
; ; .
9 9 . 8 . ) q 8 + p 1 , 0 ( ) q 8 – p 1 , 0 ( ) 3 ; ) 7 – у 2 ( ) 2 ; ) 7 – а 3 ( а 5 ) 1 2
; 9 и 7 3 1 – х 7 = В – А , 2 + 3 – = В + А . 7 ; ) а . 6 ; ) б . 5 ; ) г . 4 ; ) а . 3 ; х . 2 ; ) б . 1 х + х 2
: а њ е ш е Р
2
67
ЦЕЛИ И РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ А ЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ ИЗР АЗИ � РЕШЕЊА РЕ ШЕЊА СТЕПЕН ЧИЈИ ЈЕ ИЗЛОЖИЛАЦ ПРИРОДАН БРОЈ 5
2
5
1. а) 4 ; б) 5 ;
4 2 в) (–6) ; г) 4,7 ; д) (–2,5) ; ђ) ( ) ; е) (–1 1 ) ; 3 2
2. а) x 7; б) (– p)5; в) a3;
4
6
г) y 4;
3
8
д) (a + b)3; ђ) ( a ) . b
б) 1 1 ∙ (1 1 ) ∙ (1 1 ) ∙ (1 1 ) ∙ (1 1 ) ∙ (1 1 ); в) √ 5 ∙ √ 5 ∙ √ 5 ∙ √ 5; 5 5 5 5 5 5 г)–6 ∙ (–6) ∙ (–6) ∙ (–6) ∙ (–6); д) –1,1 ∙ (–1,1); ђ) –√ 7 ∙ (–√ 7) ∙ (–√ 7) ∙ (–√ 7) ∙ (–√ 7) ∙ (–√ 7) ∙ (–√ 7); е) – 3 ∙ (– 3 ) ∙ (– 3 ). 4 4 4 A = {–6; –√ 7; –1,1; – 3 ; 1 1 ; √ 5; 5; 5}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. 4 5 б) 104; в) 106. 4. а) 102; 32 = 25, 27 = 33, 64 = 26, 125 = 53, 343 = 73. 5. 8 = 23, 2 3 4 6 6 6 1 1 1 4 6. На пример: (– ) , (– ) , (– ) и 3 , (–√ 5) , ( ) . 7 7 7 7 7. а) 1 000 000; б) 1; в) 1; г) 64; д) –125; ђ) 0,4096; е) 1,331; ж) 9 ; з) 216 ; 25 343 и) 16 ; ј) –3 53 ; к) 4√ 2; л)–12√ 12 12. 81 1024 8. Квадрати и кубови су редом: 1 и – 1 ; 36 и 216 ; 3 и – 3√ 3 ; 1 и 1; 0 и 0; 6,25 и –15,625; 8 и 8√ 8. 4 8 49 343 4 8 б) 16; в) –16; г) 125 ; д) – 125 ; ђ) 125 ; е) – 125 ; ж) – 5 ; 9. а) 16; 512 512 8 8 512 з) 12 209 ; и) –4 17 ; ј) 0; к) 1; л) 1; љ) –1; м) 8. 243 27 10. а) п; б) п; в) н; г) п; д) н; ђ) н. 3 4 4 4 6 4 6 4 5 2 2 2 11. а) (–5) > 0; б) (– ) < 0; в) √ 5 = (–√ 5) ; г) (– ) > – ; д) 0,4 = (– ) . 3 3 3 5 5 5 5 12. а) 1 ; – 1 ; – 1 па је – 1 < (– 1 ) < ( 1 ) ; 32 32 2 2 2 2 4 4 4 3 3 2 2 2 2 2 √ √ √ б) 0,008; –0,008; 0,04, па је –0,2 < 0,2 < (–0,2) ; в) – < – ( ) < – 4 < ( ) . 3 3 3 3 13. а) x 2 + x 3; б) a4 + b3 ∙ c 2; в) a2 ∙ x 3+ x 2 a3. 14. а) 129; б) –8; в) –14; г) 1 098 999; д) –21; ђ) –6; е) 0; ж) 27. 15. а) 3 255 ; б) 1 ; в) 2 1 ; г) 3 ; д) 5 155 ; ђ) 2 76 ; е) 1. 256 3 2 512 432 81 16. а) –2; б) 39; в) 20(√ 5 – 1); г) 10; д) 8; ђ) 4. 17. а) –135; б) 675; в) –48; г) 225; д) –472 392. 18. A = 1 , B = 1 и A > B. а) 3 ; б) 1 ; в) 27. 2 4 4 16
3. а) 5 ∙ 5 ∙ 5;
68
МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ СТЕПЕНА ЈЕДНАКИХ ОСНОВА в) (–0,4) ; г) (2 5 )7; 9
7 1 д) ( ) ; 2
2. а) 36 = 729;
б) 28 = 256;
в) –0,55 = –0,03125;
3. а) x 33;
б) a12;
4. а) 313;
б) 214;
в) – b13; 15 3 в) ( ) ; 4 б) 28;
4
5
1. а) 5 ;
7
б) (–3) ;
5. а) 35;
13
7. а) x = 3; 8. а) 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 22; 2∙2∙2 5 9. а) 3 : 32 = 33; б) x 16; 10. а) x 4; б) y 9; 11. а) c 2; б) –y 2; 12. а) x 3; 13. а) 5; б) 42 = 16;
в) – x 9;
ж) (a + b)4.
5
г) ( 3 ) = 243 ; 4 1024 ђ) (2 x – – d )20. е) (a – b)15. д) 39.
г) –0,87.
в) x = 8; г) x = = 4. 3 3 б) –0,8; в) – ( 7 ) ; г) √ 2 ; 9 2 б) 1; в) 7 ; г) 23; д) 62. в) a; г) x 5; д) 1; ђ) b12; е) k 2; ж) x 2. в) x ; г) x 8; д) x 2; ђ) x ; е) a; ж) 1; з) y 2. в) x ; г) a9. в) 22 = 4; г) 3; д) 22 = 4; ђ) 28 = 256. б) 1 ; в) 9 ; г) 1; д) 625; ђ) 4. 2 4 б) 52 = 25; в) 1; г) 2. в) x = 5; г) x = 17; д) x = 3; ђ) x = 5; е) n = 3. 5 в) c 4; г) 12 ; д) x 3 ∙ y ; ђ) abc ; е) a ∙ c ж) a2b3; з) xyz 3. 4 ;
14. а) –6 561; 15. а) 35 = 243; 16. а) x = 3; б) x = 8; 17. а) a4;
е)(– y)6;
г) c 34; д) (1 + a)10; 6 8 г) ( ) ; д) x 20; ђ) –a25; 9 в) 213; г) 56;
б) – ( 1 ) ; 2 б) x = 1;
6. а) 57;
ђ) x 8;
б) b4;
d
b
18. (a8 ∙ a6) : (a8 : a6) = a12. x 14 : x 11) ∙ ( x x 5 ∙ x 2) = x 10. 19. ( x 20. (c 8 : c 5) ∙ (c 3 ∙ c 4) = c 10.
СТЕПЕН ПРОИЗВОДА И КОЛИЧНИКА. СТЕПЕН СТЕПЕНА 5 4 xy )3; б) ( 2 b) ; в) ( 4 y ) ; г) (ab)6. 1. а) ( xy 3 7
5
5
2. а) 3 ∙ a ; ђ) 84 ∙ b4;
3. а) (2a)3; 4
ђ) ( xa xa) ;
8
8
9
б) 4 ∙ b ; 11
е) –c 11 ∙ √ 3 ; б) 64;
9
е) (–2 x ) ;
4. а) a8b8;
б) 256 x 8;
5. а) a7b4;
б) 243a2;
6
в) a ∙ b ;
г) 3 ∙ √ 2 ;
ж) 57 ∙ x 7 ∙ y 7;
з) a8 ∙ b8 ∙ c 8;
в) 204; 5
6
г) 726; 7
ж) (–a) ; в) 38 227 ∙ a9; 512 11 15 в) x y ;
з) (–
3 x 5; 2 )
г) 256a8b8; г) a7b6;
5 3 д) ( ) ∙ a5; 4 5 и) 25 ∙ a5 ∙ √ 2 .
8 д) ( xy xy ) ; 5 1 и) (– xy ) . 2 1 д) – ∙ x 5 · y 5; 100 000 11 10 д) x y .
ђ) 27a7√ 3.
69
8
4
6. а) ab ;
7 2
б) 2 x ;
в) 9a b ;
г) x y ;
7 7 7 15 3 ∙ 5 7. а) 6 = 6 = 5 ∙ 3 7 = 10 935; 5 5
5 6 б) 4 2 = 2 ∙ 3 3 = 54; 2 ∙ 3 1 = 1 ; д) 3 ∙ 72 ∙ 23 1176
г) 5 ∙ 38 = 32 805;
8. а) 243 ; 1024 6 729 x е) ; 4096 5 2 9. а) ( ) ; 3 8
ђ) ( x ) ; y
4 7 б) 125 ; в) a ; г) a7 ; 8 625 b 3 4 4 4 243 a 7 √ y ж) – ; з) – и) b d ; 5; 392 3125c 81f 4 4
б) 2 ;
г) a ; b 5 з) √ 5 ; a
( ) ( )
в) (–3) ; 3
е) ( 2a ) ; b
4
ж) ( 2 x ) ; 3
б) –4;
в) 0;
11. а) – 1 ; 9
б) 2 ; 27
в) 244;
6
7
5
10. а) 16;
12. а) y ; z
2 x ∙ ∙ z д) 2 ; y
9
8
г) 1024 ; 243 г) 2 ; 81
a; в) 20480 4
б) a4 ; b
b
13. а) (2 ) ;
в) ((–0,1) ) ;
2 2 2 г) (( a) ) . 3
14. а) 36;
б) 435;
в) 216;
г) a6;
15 в) a10 ;
2 г) x 6 ;
7 4
4 4 4 4 21 3 ∙ 7 3 ∙ 7 в) 3 = 3 3 = 3 =57 78 ; 15 3 ∙ 5 5 125
ђ) 23 = 8. 6 д) x 6 ;
4 ђ) 16a ; 81 к) 118 . 2
y 6 27 g ј) ;
8
9 a д) ;
( 3 ) и) ( xa ) . 3b 7
д) 1. д) 767 . 1728
г) 6 xy 6.
б) ((– 1 ) ) ; 2
3 3
4 2
ђ) –a3c .
24
д) ( 3 x ) ; 5
ђ) (0,2d )27.
6 12 8 12 д) a b ђ) 56 p42 . b y 2q 16 16. а) a28; б) b20; в) c 15; г) d 6; д) x 6; ђ) 1; е) 1; ж) x 23; з) x 2; и) x 11; ј) 1; к) y 60; л) y 60; љ) y 60. б) a11; в) y 2; г) b2. 17. а) x 9; б) 215; в) 232; г) 214; д) 269. 18. а) 212; 11 23 11 4 23 3 5 3 8 3 6 3 4 3 3 3 ∙ 162 ∙ 2 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 = 29 = (23)3 = 19. а) (2 ) ; б) (2 ) ; в) (2 ) ; г) (2 ) ; д) (2 ) ; ђ) 15 15 15 6 3 ∙ 2 4 k + +2 2 4 k + +8 8 k 3 k 3k k +2 +2 (√6 ) = √ 6 = √ 62 = 6. 20. а) 273k = (33)k = 33k = 1; б) 5; в) 4; г) 364k +6 +6 = 4k +6 +6 4k +6 +6 3 3 3 √ 6 √ 6 √ 6 в) n = 3; г) n = 16; д) n = 2; 21. а) n = 1; б) n = 4; ђ) n = 5; е) n = 5; ж) n = 2; з) n = 1; и) n = 8.
15. а) a6b3;
б) 64 x 18;
АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ
70
1. На пример: 1) 9 – 3 : (–1); 2) 5 + 1 1 – 2 ∙ 3 ; 3) 2 ∙ 1 + 4 2 : (–1 1 ); 7 4 4 3 3 4) (3 1 + 2 2 ) ∙ (–7 3 + 4 1 ); 5) 2 2 – (13 3 – 5,75) : 0,8. 3 5 8 4 3 4 2. а) 5 61 ; б) 4 5 ; в) 9 8 ; г) 1 1 . 120 16 15 137
3. a) –16; б) –2 1 ; 3 4.
в) 2,06; г) –4 – √ 5.
а
b
c
a + b ∙ c
a ∙ c – – b
a ∙ (b – c )
(a – c ) ∙ (a + b)
–2
9
8
70
–25
–2
–70
– 1 4 –0,5
19 40 –8,15
1 5 –5,55
– 1 50 –35,26
13 200 –12,92
2 – 3 5 10 –4,3 7,7
2) 9 – 8 x + + 7 x 2 – 6 x 3; 5. На пример: 1) 7 x – 2; 6. На пример: 1) 5а – b; 2) 2ab + bc ; 2 4) 3 x + + 7 xy – – 21 y ; 5) 5a3b2c – – 4a2b + 3a –2. в) –2 1 ; г) –5; д) –14 2 . 7. a) –7; б) –19; 2 3 в) 9; г) 6; д) 0. 8. а) 10; б) –3 б) –6. 9. а) 5;
b – a : c
9 1 4 1 3 10 –0,9
3) (5 x – – 2) ∙ (3 x 4 – 6 x 2 + 1). 3) (2a + 3) ∙ (7a2 + 2a – 1);
ПОЛИНОМИ 1. а) да; б) да; в) да; г) не; д) да; ђ) не; е) не. б) 5. 2. a) 91; б) –4. 3. а) 12; 4. Мономи су под а), б), в), г), д), ђ) и з). 5 3 4 2 2 1 5,5 a b c . 5) 5. На пример: 1) –7; 2) x ; 3) 2ab; 4) –4 x y z ; 3 2 б) –10; в) 3 ; г) – 1 ; д) 1. 6. а) 2; 7 2 в) – 2 ; г) 30; д) –40. 7. a) 500; б) –4; 3 и 2 x 2 y ; и –2 x ; – 1 y и и 12 y ; 4 xy и – 3 xy ; x 2 y и 4 xy 2 и –19 xy 2. 8. 5 x и 2 8 9 и –3abc ; 4) 2 x 5 у 2 и – 5 x 5 у 2. 9. На пример: 1) 2а и 8а; 2) –0,6b и 2 1 b; 3) abc и 2 5 2 10. На пример: 9 ху , – ху , –11 ху и 2 3 ху . 7 + 4 у . 11. На пример: х + 4; 2 х – 5,3 и –3 х + 12. Можемо да направимо 4 различита бинома: –2 а + 3b, –2а – 3b, 2а + 3b и 2а – 3b. – (–4). 13. На пример: х 3 + 2 х 2; х 3 – 3 х ; 2 х 2 – 4 и 3 х – б) 0; в) 0. 14. а) 77; б) 30; в) –150. 15. а) 12; 16. На пример: 1 + а – 2а2; 1 + а + 3а4 и а – 2а2 – 3а4. 2 2 17. а) 36; б) 1; в) –1.
71
18. а) –74; б) –252. 19. Геометријска фигура Квадрат
Обим 4а
моном
Правоугаоник
2a + 2b
бином
Троугао
a + b + c
трином
3a
моном
a + 2b
бином
4a
моном
2 a + 2b
бином
a + b + c + d
полином
a + b + 2c
трином
Једнакостранични троугао
Једнакокраки троугао Ромб Паралелограм Трапез
Једнакокраки трапез
САБИРАЊЕ ПОЛИНОМА 1. а) 5a; б) 2b; в) –3ab; г) 4 1 x ; д) – 3 y 2; ђ) 6,7abc ; е) 1 ax ; ж) 1 3 x 2 y ; з) 4,6ab2c 3. 2 7 12 5 2. а) 6a; б) b; в) 0; г) –2ab; д) 1 1 abc ; ђ) 2 1 xyz ; е) 15 x ; ж) –10 yz . 12 2 3. а) –5 x ; б) 2аb; в) –0,7 xyz 2; г) 5 2 p3q2r . 3 2 + 5 y ; в) –mn + 6a; г) 5,5 xy – – 2 y 2. 4. а) –2а – b; б) –4 x + б) 3b; в) –5 x 2 – 4 x ; г) –3 x 2 + 2 x – – 1; 5. а) –2а; 2 2 2 2 2 2 д) –8аb – 9ab + 6a b; ђ) 7 y x + 8 yz – – 9 xy + 10 x y . 6. Сређени су А, В и D. 7. a) n = 2; б) n = 5; в) n = 2; г) n = 3; д) n = 6. 8. а) n = 2; б) n = 1; в) n = 4; г) n = 3; д) n = 9. б) 5 х – – 10, n = 1; в) 9b2 + b – 2, n = 2; 9. а) 2а + 4, n = 1; г) –а – 6b, n = 1; д) –4 y + + 3, n = 1; ђ) 5а, n = 1; е) –2 ху – – 2 х + + 5 у , n = 2; ж) 8 х – – 2 у + + 1, n = 1; з) 11а3 + 17а2 – 1, n = 3. = x 3 + x 2 – 8 x + + 1; –Р = = – x 3 – x 2 +8 x – – 1; 10. а) Р = 2 2 2 2 2 2 б) Р = = 3a b + 13a b + 4ab – 9ab; –Р = = –3a b – 13a2b – 4ab2– 9ab ; в) Р = = 7abс – – 12ab – 3aс ; –Р = = –7abс + + 12ab + 3aс ; 5 3 2 5 г) Р = = –6a – 13a – a + а – 1; –Р = = 6a + 13a3 + a2 – а + 1. Полином Р и и њему супротан полином –Р су су истог степена. б) А + В = 4а2 + 2а – 1, n = 2 ; 11. а) А + В = 5а + 4, n = 1; в) А + В = 3а2 + 7а + 7, n = 2; г) А + В = – 4а2 + 7а + 7, n = 2. + 2, В = 4 х 2 + 12, А + В = 2 х 2 + 3 х + + 14. 12. А = –2 х 2 + 3 х + 2 – 1, n = 1; б) А – В = –2 х – 5 х + + 11, n = 2; 13. а) А – В = х – 3 2 в) А – В = – 3 х – – 3, n = 1; г) А – В = –4 х + 4 х + 10а – 12, n = 3. + 2, n = 1; б) 12 у – – 4, n = 1; в) –6 у + + 6, n = 1; г) 4 у , n = 1. 14. а) 2 у + 2 2 2 2 – 4. 15. a) 11 х – 9 х + 6; б) х – х + 4; в) –5 х – 3 х – 2; г) – х + х – 4; д) 5 х 2 + 3 х + 2; ђ) –15 х 2 + 5 х –
72
16. а) 7 х 5 + 11 х 4 – 10 х 3 – 2 х , n = 5; б) –3 х 5 – 11 х 4 + 4 х 3 + 6 х , n = 5; в) –7 х 5 + 7 х 4 – 4 х 3 + 8 х , n = 5; г) –3 х 5 – 20 х 4 + 11 х 3 + 3 х , n = 5. = 4abc – – 5ab –10c . 17. А – В + С = 18. 2a –3 + 5a + 2 – (–2a – 1 + 4a + 1) = 5a – 1. + 4 y ) – (2 y – – 5 x ) – ((7 x – – 2 y ) – (4 x – – 4 y )) )) = 5 x . 19. (3 x + 2 2 2 20. 5a – 3a + 1 – (10a + 2 + 2a – 7a) = 3a – 6a – 1. 21. 4. – 14. 22. 4 x – 23. Вредност полинома –3a – 5 за а = 7 је –3 ∙ 7 – 5 = –26. (–1)2 + 3 ∙ (–1) – 9 = –18. 24. Вредност полинома –6а2 + 3а – 9 за а = –1 је –6 ∙ (–1) 25. Вредност полинома – х 2 + 8 хy – – 6 y 2 – 13 за х = = –2 и у = = 1 је 2 2 –(–2) + 8 ∙ (–2) ∙ 1 – 6 ∙ 1 – 13 = –39. = х 2 – 4 х + = 5 х 2 + х + 2; б) P = = 2 х 2 + 5 х + 2; в) P = + 14. 26. a) P = 2 = 4 х + 8 х – – 8, n = 2; б) P = = 11 х – – 5, n = 1. 27. a) P = 2 2 = a – 2ab – 4b . 28. P = 29. Из n + (n + 1) + (n + 2) = 186 добијамо n = 61. Тражени природни бројеви су 61, 62 и 63. 30. 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 84, n = 9. Тражени бројеви су 18, 20, 22 и 24. 31. n + (n + 3) + (n + 6) + (n + 9) = 158, n = 35. Тражени бројеви су 35, 38, 41 и 44. 32. a) O = 12 x + 4; б) 40. = 7. 33. х = 34. а) х = 3; б) х = 1; в) х = –6; г) х = 2; д) х = = 2; ђ) х = 0; е) х = 6; ж) х = 0,96; з) х = = – 8 . 9 35. Како је x + + 4 + 2 x + + 3 + 3 x +1 +1 = 4 ∙ ( x + 3), то је x = = 2.
МНОЖЕЊЕ ПОЛИНОМА 1. а) 15a; 2. а) –24 х 3;
б) –8b2; б) – 1 у 6; 5
в) a3; в) 48 x 5 y 3 z 2;
г) –2a3b2c ; г) – 1 x 7 y 6 z 6. 4
д) 1,32a5b4c 6.
3. а) А2 = 9a2b2; А3 = 27a3b3; б) А2 = 4a2b4c 6; А3 = –8a3b6c 9; в) А2 = 9 a8b2с 4; А3 = – 27 a12b3с 6. 16 64 4. а) 8 x 6 y 3; б) 25 x 2 y 4 z 6; в) – 1 a6b9c 15; г) 81 x 20 y 12 z 8. 8 5. а) –3a2b3; б) 4а5; в) 24а8; г) 4 x 2 y 4 z 9; д) 2 a4b9; ђ) –8a9b10c 14. 3 6. а) –7 xy ; б) –16 x 2 y ; в) –5 x 2 y 2; г) 25 x 4. + 3) ∙ 4 x = = 8 x 2 + 12 x ; б) P ∙ ∙ M = (3 p – 2q) ∙ (–2 p2)= –6 p3 + 4 p2q; 7. а) P ∙ ∙ M = (2 x + в) P ∙ ∙ M = (2a – 3b + 5c ) ∙ 5abc = = 10a2bc – – 15ab2c + + 25abc 2; г) P ∙ ∙ M = (–4ab + 16ac – – 8bc ) ∙ 1 bc = = –2ab2c + + 8abc 2 – 4b2c 2. 2 6 4 3 б) –6a2b2c + + 12a2b2c 2 – 18a3b4c 5, n = 12; 8. а) –7 х + 14 х +7 х , n = 6; в) –4 х 3 у 2 + 2 х 2 у 3 – 6 х 2 у 5, n = 7; г) 18 х 5 у 6 – 9 х 4 у 5 – 27 х 3 у 4, n = 11; д) –1 1 х 3 у 5 + х 5 у 9 + 2 1 х 9 у 7, n = 16; ђ) 3a4b4c 4 – a4b3c 6 + 4a2b4c 6, n = 13. 2 4
73
9. а) 7 х 3– 6 х , n = 3; б) 10 х 2 – 3 ху , n = 2; в) –20 х 2 + 2 ху + 3 у 2, n = 2; г) 5 х 2 + 3 ху + 2 у 2, n = 2; д) 5 х 3 – 12 х 2 – 7 х , n = 3; ђ) 12 х 4 – 38 х 3 – 4 х 2 + 6 х , n = 4; е) –2 х 4 – 8 х 3 + 34 х 2 – 3 х , n = 4. 10. 27а4 – 15а3 + 20а2 – 12а + 28, n = 4. 11. Тачно. г) 6a2 – 5ab –6b2. 12. а) 2 х 2 + 3 х – 2; б) –12 х 2 – 14 х + 10; в) 12 х 3 – 28 х 2 + 3 х – 7; –3 у 2; б) 4а3 + 19а2 – 5а; в) 12а3 – 17а2 – 14а + 15; г) –10а4 + 7а3 + 7а2 – 4а; 13. а) 10 х 2 – ху –3 д) а3 – b3; ђ) а3 + b3; е) x 4 – 1; ж) x 4 – 1. в) –18 x – – 14; 14. а) –3а3 + 8а2 + 2а – 3; б) 3 x 2 – 6 x – 14; 2 3 2 3 г) 5 x – 5; д) 21 x – 11 x ; ђ) – х + 6 х 2 + 6 х + + 4. 4 3 2 7 6 5 4 б) 90 х – 45 х – 82 х + 36 х + 8 х 3. 15. а) 2 х – 3 х + х ; 16. а) –8а4 – 6а3 + 41а2 + 24а – 36; б) 2а3 + 3а2 – 4а – 15; в) –4а3 + 3а2 + 18а – 9; г) 4а3 – 11а2 – 22а + 21. – 3, n = 2; б) 5 x 2 + 9 x – – 5, n = 2; 17. а) –3 x 2 – x – 3 2 3 в) 4 x – 9 x – x – – 4, n = 3; г) –20 x + 5 x 2 + 25 x , n = 3. б) –3b5 + 4b4 + 3b3 + b2 + 4b – 5. 18. а) –20а5 + 21а4 – 18а3 + 6а2 – 12а – 42; 19. –30. 20. –7. – 5. 21. –10 х 2 + 23 х – 2 22. 3а – 2а + 1 – (2а + 3)(3а – 9) = –3а2 + 7а + 28. + у ) + 2 ху ∙ ∙ ( х х – – у )( )( х х + х 2 + ху – – у 2) = х 2 – у 2 + 2 х 3 у + 2 х 2 у 2 – 2 ху 3. 23. ( х 2 2 24. ( ху ху + 1)(2 х – – 3 у ) – ( ху ху + 1 – (2 х – – 3 у )) )) = 2 х 2 у 2 – 3 ху 3 – ху 2 + 4 х – 6 у – – 1. 2 2 2 2 25. (2а + 3b) (2а – 3b) + (2а) – (3b) = 8а – 18b . 26. а) M = 2 x ; б) M = –4ab2; в) M = –3a3bc 2. = 3. 27. х = = –1. 28. а) х = 2; б) х = –2; в) х = –1; г) х = 0; д) х = 1; ђ) х = 3 2 29. а) –5а – 5а + 29а – 20, за а = 3 вредност полинома је –113; б) а5 + 4а4 + 3а3 – 3а2 – 12а – 9, за а = –1 вредност полинома је 0; в) 3b – 3, за b = 2 вредност полинома је 3; г) –3c 5 + 3c 3 + c 2 + 2c – – 8 , за c = = –2 вредност полинома је 64; 2 2 2 д) 3 х у + 12 ху + + 8 х – 3 у – 4 y , за х = = –5 и у = = 2 вредност полинома је 120; = 1 вредност полинома је 343. ђ) –32 х 3 у + 53 х 2 у 2 – 18 ху 3 , за х = = –3 и у = 3
КВАДР КВАД РАТ БИНОМА БИН ОМА в) Нетачно; 1. а) Нетачно; б) Тачно; д) Нетачно; ђ) Нетачно; е) Тачно; б) 4 x 2 + 20 x + 25; 2. а) x 2 + 6 x + 9; г) x 2 – 2 x + 1; д) 9 x 2 – 24 x + 16;
3. а) 4а2 + 12аb + 9b2; + y 2; д) 1 x 2 – xy + 4
74
г) Нетачно; ж) Нетачно. в) 25 x 2 + 10 x + + 1; 2 ђ) 81 x – 144 x + + 64.
б) 25 x 2 – 30 xy + + 9 y 2;
+ y 2; в) 16 x 2 + 8 xy +
г) 1 + a + a2; 4
ђ) 36a2b2 + 60ab + 25;
е) 16a2b2c 2 – 24abc + 9;
ж) 9 x 4 – 42 x 2 y + + 49 y 2.
+ 4 x 2; 4. а) 9 – 6 x + 4 г) 3 x 2 + 2√ 15 + 5 y 2; 15 xy + е) 2a2 – 8ab + 8b2;
+ 1 x 2; б) 4a2 + 2ax + 4 2 д) 0,25a – 0,3ab + 0,09b2;
ж) 9a2 + 42a + 49; 2
2
5. а) (1 – 5 х ) ;
2
б) (7а + 2b) ;
в) (3аb + 1 ) ; 2
в) 0,04a2 + 2a3 + 25a4; ђ) 0,01 – a3 + 25a6; з) 4 – 2a + 1 а2. 4 2 2 1 1 г) ( x – yz ) ; д) (√ 3 x + + 3√ 3 y )2. 5 2
2
+ x 2; б) (8a – 11b)2 = 64a2 – 176ab + 121b2; 6. а) ( 1 + x ) = 1 + х + 2 4 2 2 2 2 1 1 1 1 + d ) = 1 c 2 + 1 cd + + 1 d 2. в) ( – 2 xy ) = – хy + + 4 x y ; г) ( c + 4 16 2 3 4 3 9 2 2 2 б) 2 x + 2 y ; в) 2а + 8; 7. а) –30 х + 4; 2 2 г) –2а + 22а + 25; д) –19 x + 9 x + 9; ђ) 5b2 + 76b + 15. 8. а) 13 x 2 + 53 х + 58; б) –2 x 2 – 5 х + 15; в) 11 x 2 – 5 y 2; г) 7а2 – 28а + 12; д) 20а3 – 14а2 + 2а; ђ) –108b2 – 252b + 5; е) –а2 – 2аb – b2; ж) –117а + 121. = –1,5 и y = = 0,2 вредност израза је –0,6. 9. 2 xy , за х = = 1 вредност израза је 2 . = – 1 и y = 10. –7 x 2 – 27 xy , за х = 7 9 7 б) 102. 11. а) 42; 2 – 7 + (2 х – – 4)2 = 6 x 2 – 11 х + + 9. 12. 2 x + 5 х – 3 2 2 3 – 1 – ( х х – – 6) = 4 x – 4 x 2 + 14 x – – 37. 13. 4 x – 3 x + 2 x – 2 2 2 – 9) – (2 х + + 7) = 21 x – 118 х + + 32. 14. (5 х – 2 2 15. (5а + 8b) – (5а – 8b) = 160ab. + 1 – (4 x – – 1)2 = –3 x , за х = = –4 вредност полинома је 12. 16. 16 x 2 – 11 x + 2 2 17. 9 x – 23 x + + 8 – (3 x – – 4) = x – 8, за х = = 2 009 вредност полинома је 2 001. 2 2 2 18. a) 101 = (100 + 1) = 100 + 2 ∙ 100 ∙ 1 + 12 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201; б) 982 = (100 – 2)2 = 1002 – 2 ∙ 100 ∙ 2 + 22 = 10 000 – 400 + 4 = 9 604; в) 1062 = (100 + 6)2 = 1002 + 2 ∙ 100 ∙ 6 + 62 = 10 000 + 1 200 + 36 = 11 236; г) 952 = (100 – 5)2 = 1002 – 2 ∙ 100 ∙ 5 + 52 = 10 000 – 1 000 + 25 = 9 025; д) 892 = (100 – 11)2 = 1002 – 2 ∙ 100 ∙ 11 + 112 = 10 000 – 2 200 + 121 = 7 921; ђ) 1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 ∙ 100 ∙ 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544. = –1 2 ; б) х = 1; в) х = 4; г) х = = –2. 19. а) х = 7 + 3. 20. а) –8 x 2 + 18 х – 9; б) –16 x 2 + 26 х – 12; в) 4 x 2 – 4 х + 2 2 в) 24 x ; г) 18 x 2 – 24 х + 26; д) –8 x 2 + 38 х – – 9. 21. а) 14 x – 10 х + 14; б) 2 x + 23 х – 6; 2 2 2 2 2 х + + 1) = ( х х – – 2) + 81, x = = 14. 22. d = a + b , ( х 2 2 2 2 2 23. c = a + b , (5 х + + 2) = (3 х – – 1) + (4 х + + 3)2, x = = 3. 2 2 2 24. Из a = 24, c = b + 16 и c = a + b добијамо (b + 16)2 = 242 + b2, односно b = 10cm и c = = 26cm, 2 па је O = 60cm и P = = 120cm . 2 – 4, c = a2 + b2, c 2 = 122 + (c – – 4)2, c = = 20cm, b = 16cm, O = 48cm, P = = 96cm2. 25. a = 12, b = c – – 9, d 2 = a2 + b2, d 2 = 152 + (d – – 9)2, d = = 17cm, b = 8cm, O = 46cm, P = = 120cm2. 26. a = 15, b = d – = 54, b = 54 – c , c 2 = a2 + b2, c 2 = 182 + (54 – c )2, c = = 30cm, b = 24cm, P = = 216cm2. 27. a = 18, b + c = = 25, c = 25 – a, c 2 = a2 + b2, (25 – a)2 = a2 + 52, a = 12m. 28. b = 5, a + c = 29. a1 – a2 = 2, a1 = a2 + 2, P 1 – P 2 = 40, a12 – a22 = 40, (a2 + 2)2 – a22 = 40, a2 = 9cm, a1 = 11cm.
75
30. Како је O = 4a, односно 60 = 4 a, па је a= 15cm. Примењујући Питагорину теорему 2 2 d d 1 1 + a = добијамо да је 4a2 = d 12 + d 22, 4 ∙ 152 = d 12 + d 22, 900 = d 12 + d 22. Додајући левој
2
( 2 ) ( 2 )
и десној страни једнакости 2 d 1d 2 добићемо 900 + 2 d 1d 2= d 12 + d 22 + 2d 1d 2,2, односно 900 + 2d 1d 2 = (d 1 + d 2)2, а како је d 1 + d 2 = 42, то је 900 + 2 d 1d 2 = 422, односно d 1d 2 = 432. Из = d 1 ∙ d 1 добијамо да је Р = Р = = 216cm2. 2
РАЗЛИКА КВАДРАТА х – – 3)( х х + 3); 1. а) ( х
в) (2а – 7b)(2a + 7b); + √ 3); д) (ab – 6)(ab + 6); ђ) ( 1 – 2 y )( г) (c – – √ 3)(c + )( 1 + 2 y ).). 2 2 б) а2 – 100; в) 16а2 – b2; г) 9а2 – 64b2; д) 100 x 2 – y 2; 2. а) 4 – х 2; ђ) c 4 – 1; е) 0,49а2 – 4b2; ж) 9 а2 – 1; з) 16 x 2 – 25 y 2. 16 81 64 3. а) 16а2b2 – 9c 2; б) 25 x 2 y 2 z 2 – 4a2b2c 2; в) 1,44m2n2 – 6,25 p2q2; г) 81 а4b2 – 25 c 2; 100 121 2 2 4 4 4 4 2 д) y – 4 x ; ђ) x – 81; е) а – 256b ; ж) а – 625; з) 144 – b ; и) z 4 – 1. б) (26 – 24)(26 + 24) = 2 ∙ 50 = 100; 4. а) (91 – 9)(91 + 9) = 82 ∙ 100 = 8 200; в) (87 – 77)(87 77)(87 + 77) = 10 ∙ 164 = 1 640; г) (175 – 25)(175 + 25) = 150 ∙ 200 = 30 000; д) (5,3 – 4,3)(5,3 + 4,3) = 1 ∙ 9,6 = 9,6; ђ) (7 3 – 2 1 )(7 3 + 2 1 ) = 5 1 ∙ 10 = 55. 4 4 4 4 2 5. а) 200; б) – 1 ; в) 1; г) –5; д) 1 ; ђ) 2. 340 25 2 б) (5 – х ) (5 + х ) = 25 – х 2; 6. а) (а – 6) (а + 6) = а – 36; в) (2а – 3b) (2а + 3b) = 4a2 – 9b2; г) ( 3 х 2 – 1 y ) ( 3 х 2 + 1 y ) = 9 x 4 – 1 у 2. 4 4 4 4 16 16 2 2 7. а) (100 + 2)(100 – 2) = 100 – 2 = 10 000 – 4 = 9 996; б) (1 000 + 5)(1 000 – 5) = 1 000 2 – 52 = 1 000 000 – 25 = 999 975; в) (50 + 5)(50 – 5) = 502 – 52 = 2500 – 25 = 2 475; г) (20 + 4)(20 – 4) = 20 2 – 42 = 400 – 16 = 384; д) (80 + 1)(80 – 1) = 802 – 12 = 6 400 – 1 = 6 399; ђ) (40 + 9)(40 – 9) = 402 – 92 = 1 600 – 81 = 1 519; е) (5 + 0,1)(5 – 0,1) = 52 – 0,12 = 25 – 0,01 = 24,99; ж) (1 + 0,01)(1 – 0,01) = 1 2 – 0,012 = 1 – 0,0001 = 0,9999. + 23 y 2; г) –91; д) –180 x 2 + 27 х + + 421. 8. а) 11а2 – 5а – 1; б) –8а – 20; в) –43 x 2 – 57 xy + б) у = 0; в) х = 1; г) х = 5; д) у = 0; ђ) х = = –2. 9. а) х = 4,5; б) х = 2; в) х = 1; г) х = 1; д) х = = 4. 10. а) х = –3; 2 11. –4ab – 5b . 12. (n + 1)2 – n2 = 43, n = 21; Тражени бројеви су 21 и 22. 13. (2n + 2)2 – (2n)2 = 68, n = 8; Тражени бројеви су 16 и 18. 14. (2n – 1) (2n + 1) = 143, (2 n)2 – 1 = 143, 4n2 = 144, n2 = 36, n = 6; Тражени бројеви су 11 и 13. – 5)(2 x + + 5), добијамо 119 = 4 x 2 –25, односно x 2 = 36, па је 15. Из P = a · b , односно 119 = (2 x – x = = 6. Сада је a = 7cm и b = 17cm, па је O = 48cm.
76
б) (5 х – – 4)(5 х + 4);
16. (n + 1)2 – n2 = n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1, а број облика 2n + 1 је увек непаран број за n N . 17. (2n + 1)2 – (2n – 1)2 = 4n2 + 4n + 1 – 4n2 + 4n – 1 = 8n, а број 8n је дељив са 8. 18. а) 15 x 3 + 3 х 2 – 25; б) x 2 + 17 х + 5; в) –5 x 2 – 12 х + + 13; 2 2 2 2 г) 21 x + 20 х + 29; д) –2 x + 6 xy – – 5 y ; ђ) 15 x + 8 х + + 10. 2 2 19. а) р + 2 р – 21; за р = –1 је –22; б) –q + 20q – 16; за q = 2 је 20. 20. a) 1; б) 2. 21. 2.
РАСТАВЉАЊЕ НА ЧИНИОЦЕ 2 х – у );); б) 12(а + b); в) 5 y ( х х – 3 z );); г) b(a – b); д) 7a(–a + 3); ђ) 5b (2a – b). 1. а) 3( х х – 7) = 0, х = = 0 или х = 7; б) 2 x ( х х + 4) = 0, х = = 0 или х = = –4; 2. а) x ( х в) 2 x (6 (6 – х ) = 0, х = = 0 или х = 6; г) x ( х х + 10) = 0, х = 0 или х = = –10; 2 д) 3 x ( х х – 2) = 0, х = = 0 или х = 2; ђ) 4 x ( х х + 3) = 0, х = = 0 или х = = –3. = 5 ; = 0 или х = 2; б) х = = 0 или х = –4; в) х = = 0 или х = 3. а) х = 2 = 4 ; = 3 ; = 4 . г) х = = 0 или х = д) х = = 0 или х = ђ) х = = 0 или х = 3 5 3 4 2 2 x + x – 1); г) 5a(2a – 3 + 7a ). 4. а) 2(ab + bc + ac );); б) 4(3a – 5b + 4ab); в) x ( x б) a2(a3 + a2 – a + 1); 5. а) 2(5 x 2 – 3 y 2 – 4 xy );); в) 2ab(2a2bc + + 5a + 10bc 3); г) 3 x 2 y (3 (3 xy – – 6 + 4 y 2). х + у );); б) (а + b)( х + х + у );); в) (4 + а)(а + b); 6. а) 5( х + 2 г) ( х х + 1)( х х – – 1); д) ( х + х + у )( )( х х – 6); ђ) ( ху ху + 2)( х + х + 3). )(3 + х );); б) (а – 5)(а + 5); в) ( х х – – 2 у )( )( х х + + 2 у );); 7. а) (3 – х )(3 г) (4а – 1)(4a + 1); д) (2а – 3b)(2a + 3b); ђ) (7 x –3 –3 y )(7 )(7 x + + 3 y );); е) (8 x – – 1)(8 x + 1); ж) (c – – 9d )( )(c + + 9d ).). 8. а) (4аb – 7c )(4 )(4ab + 7c );); б) ( x x – – 3 y 2)( x x + + 3 y 2); в) (11m – 12n)(11m + 12n); + 4 y ); г) (4а2b – 5cd )(4 )(4a2b + 5cd );); д) ( x – 1)( x + 1); ђ) ( 1 x – – 4 y )( 1 x + 6 6 3 5 3 5 е) ( 9 – 2 x )( 9 + 2 x ); ж) (0,3а – 0,5 y )(0,3 )(0,3a + 0,5 y );); 11 5 11 5 з) (0,9 xy – – 0,5 z )(0,9 )(0,9 xy + + 0,5 z );); и) ( 5 а – 7 b)( 5 a + 7 b). 2 3 2 3 2 б) (1 – c )(1 )(1 + c )(1 )(1 + c 2); в) ( x x – 2)( x x + 2)( x x + 4); 9. а) (a – b)(a + b)(a2 + b2); г) (2a – 3b)(2a + 3b)(4a2 + 9b2); д) 5(a – 1)(a + 1); ђ) b(a – 1)(a + 1); е) 7a(1 – x )(1 )(1 + x );); ж) a( x x – 3)( x x + 3). 2 б) a( p p – q)( p p + q); в) m2(m – 1)(m + 1); 10. а) 5a (b – 3)(b + 3); г) 3(2a – 1)(2a + 1); д) 8a(1 – a)(1 + a); ђ) 2a(2 x – 5 y )(2 )(2 x + 5 y );); е) abc (a – c )( )(a + c );); ж) 3a(3a – b)(3a + b). 11. а) ( 2 x – k )( 2 x + k )( 4 x 2 + k 2); б) 2(r – 2s)(r + 2s)(r 2 + 4s2); 3 3 9 2 2 2 в) 3a b (a – b)(a + b)(a + b2); г) 5 x 3 y 2 ( x x – 2 y )( )( x x + 2 y )( )( x x 2 + 4 y 2). x – 4)( x x + 2); б) ( x x – 3)( x x + 5); в) 4( x x + 1); г) 3(2 x + 1). 12. а) ( x
77
13. а) ( x x – 3)( x x + 3) = 0; х = = 3 или х = –3; в) (4 – х )(4 )(4 + х ) = 0, х = = 4 или х = –4;
б) ( x x – 5)( x x + 5) = 0, х = = 5 или х = = –5; = 1 или у = г) (9 у – 1)(9 у + 1) = 0; у = = – 1 ; 9 9 = 11 или у = ђ) (6 у – 11)(6 у + 11) = 0; у = = – 11 . 6 6
= 7 или х = д) (2 x – 7)(2 x + 7) = 0; х = = – 7 ; 2 2 = 4 или х = = √ 15 = 7 или х = –7; б) х = = – 4 ; в) х = = –√ 15 15 или х = 15; 14. а) х = 3 3 = √ 3 или х = = √ 5 или х = = 3√2 или х = г) х = = – √ 3 ; д) х = = – √ 5 ; ђ) х = = – 3√2 . 4 4 2 2 2 2 = 2√15 или х = = √ 2 или х = = – 2√15 ; б) х = = – √ 2 ; в) х = = 3 или х = = –1; 15. а) х = 5 5 4 4 = 1 . г) х = = 4 или х = –6; д) х = = – 3 ; ђ) х = = –3 или х = 2 3 = 2 или х = = 4 или х = –4; б) х = = 5 или х = –5; в) х = = – 2 ; 16. а) х = 3 3 = 7 или х = г) х = = 0 или х = = 7 или х = –7; д) х = = 0 или х = = – 7 ; 2 2 = 3 или х = ђ) х = = 0 или х = = – 3 . 4 4 2 2 + у ) ; х + б) ( х х + + 3) ; в) (а + 4)2; г) ( у у + + 1)2; д) (3а + 1)2; 17. а) ( х ђ) (1 + 5m)2; е) (4 х + + 1)2; ж) (b + 4)2; з) (7 + x )2. 18. а) ( х х – – 6)2; б) (a – 7)2; в) (9а – 2b)2; г) (6 – 8a)2; д) (7а – 3)2; ђ) (0,1b – 5c )2; е) (a – 0,5)2; ж) (4 x – – 3 y )2; з) (5a – 4b)2. – 0,1)2; б) (0,3a + 0,2b)2; в) ( 1 – x )2; 19. а) (0,5 хy – 2
г) ( a + 4b)2; 9 х + + 1)2; 20. а) 3( х д) 100(а + 3b)2; з) 5 x ( xy xy + + 1)2;
б) x ( х х + + 6)2; ђ) 2(ab – 3c )2; и) 3 x (3 (3 x – – 5)2;
21. а) х = –5;
б) у = 3;
д) (c 2 – 4)2 = (c – 2)2 (c + 2)2;
+ d )2. ђ) (c 2 – d 2)2 = (c – – d )2 (c +
в) 5( x x – – 3)2; е) –11 (1 + 3a2)2; ј) 2 x (11 (11a + 7)2;
г) ( x x + + 1)2( x x – – 1)2; ж) –5( y y – – 2)2; к) 5b(b – 6)2. = 1 ; в) х = 6; г) а = –2; д) х = 4 ж) х = –1; з) а = – 1 . 3 б) (37 + 13)2 = 502 = 2 500; г) (39 – 14)2 = 252 = 625.
= 3 ; ђ) х = = – 5 ; е) х = 2 4 22. а) (89 + 11) 2 = 1002 = 10 000; в) (123 – 43)2 = 802 = 6 400; б) Тачно. 23. а) Тачно; 24. Проверићемо да ли важи Питагорина теорема, то јест да ли је c 2 = a2 + b2. Према томе 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 ( х х + у ) = ( х х – у ) + (2 ху ) , односно х + 2 х у + у = х – 2 х у + у + 4 х у и коначно 4 2 2 4 4 2 2 4 х + 2 х у + у = х + 2 х у + у , што је тачна једнакост. Значи, важи Питагорина теорема, па је ∆ АВС правоугли. правоугли.
78
МНОГОУГАО ОБНАВЉАЊЕ фиг ура за коју кажемо да је многоугао: 1. Обој унутрашњост сваке од фигура
2. Обој унутрашњост конвексних многоуглова:
3. Нацртај два многоугла са по 5 страница, један конвексан, а један неконвексан. 4. Нацртај произвољан петоугао ABCDE и и напиши парове његових суседних страница. и х. 5. Нацрај произвољан шестоугао ABCDEF , a затим и све његове дијагонале. Наведи их.
6. На слици је приказан петоугао ABCDE , који дијагонала BD разлаже на правоугаоник (страница а = 2√ 3cm и b = 4cm) и једнакостранични троугао (странице а = 2√ 3cm). а) Одреди све углове овог петоугла; б) Нацртај све дијагонале тог петоугла и израчунај из рачунај њихове дужине. D
E
а А
b
C
B
БРОЈ ДИЈАГОНАЛА МНОГОУГЛА МНОГОУГЛА 1. Нацртај произвољан петоугао и произвољан осмоугао. Нацртај све дијагонале из једног темена петоугла, односно осмоугла. За колико се број дијагонала које полазе из једног темена многоугла (петоугла (петоугла и осмоугла) разликује од броја страница? 2. Израчунај број дијагонала многоугла које полазе из једног темена многоугла ако тај многоугао има n страница ако је: а) n = 4; б) n = 5; в) n = 6; г) n = 8; д) n = 13; ђ) n = 40.
79
3. Колико страница има многоугао код кога се из једног темена може повући d дијагонала: дијагонала: а) d = 2; б) d = 5; в) d = 12; г) d = 20; д) d = 25; ђ) d = = 27? 4. Израчунај број свих дијагонала многоугла ако тај многоугао има n страница: а) n = 5; б) n = 6; в) n = 8; г) n = 13; д) n = 20; ђ) n = 23. 5. Попуни дату табелу ако је n број страница многоугла, d n број његових дијагонала које се могу повући из једног темена и Dn укупан број дијагонала: n
4
7
10
12
15
33
d n Dn
6. Одреди укупан број дијагонала многоугла ако се из једног темена тог многоугла може повући: а) 5 дијагонала; б) 8 дијагонала; в) 10 дијагонала. 7. Колико има страница многоугао чији је укупан број дијагонала: а) 20; б) 35; в) 65; г) 230? 8. Попуни дату табелу ако је n број страница многоугла, d n број његових дијагонала које се могу повући из једног темена и Dn укупан број дијагонала: n d n Dn
11
28 10
30 5
90
9. Да ли постоји многоугао чији је укупан број дијагонала 64? Образложи одговор. 10. Одреди многоугао чији је укупан број дијагонала: а) 3 пута већи од броја његових страница; б) 6 пута већи од броја његових страница. 11. Код ког многоугла је укупан број његових дијагонала: а) 5 пута; б) 10 пута већи од броја дијагонала које се могу повући из једног темена? 12. Колико темена има многоугао код кога је укупан број дијагонала једнак броју његових страница? 13. Збир укупног броја дијагонала и броја страница једног многоугла је 45. Одреди број темена тог многоугла. 14. Колико страница има многоугао ако је збир броја дијагонала које полазе из једног темена и укупног броја дијагонала 33?
80
15. Израчунај број дијагонала многоугла код кога је однос броја дијагонала и броја страница 9 : 2.
16. Број страница многоугла је за 63 мањи од броја дијагонала. Колико темена има тај многоугао? 17. Ако је Dn број свих дијагонала многоугла са n страницом, докажи да је: а) D12 = 2D9; б) D8 = 4D5; в) 4D14 = 7D11. 18. Када се број страница многоугла повећа за 3, онда се број дијагонала повећа за 33. Који многоугао има ту особину? 19. Колико дужи је одређено са 6 тачака, од којих никоје три нису колинеарне? Увери се да је број тих дужи једнак збиру броја дијагонала и броја страница шестоугла. шестоугла. 20. Колико правих је одређено са 10 тачака, од којих никоје три нису колинеарне? 21. Колико двочланих подскупова има скуп од 50 елемената? 22. На кружници је уочен известан број тачака. Спајајући сваке две уочене тачке добијено је 45 тетива. а) Колико страница има многоугао одређен уоченим тачкама? б) Колико дијагонала има многоугао одређен уоченим уоченим тачкама?
ЗБИР УГЛОВА МНОГОУГЛА 1. Многоугао је дијагоналама из једног темена разложен на троуглове. На колико троуглова је разложен тај многоугао многоугао ако је то: а) петоугао; б) шестоугао; в) осмоугао; г) десетоуг десетоугао; ао; д) дванаестоугао; ђ) седамнаестоугао. 2. Израчунај збир унутрашњих углова: а) петоугла; б) шестоугла; г) десетоуг десетоугла; ла; д) дванаестоугла;
в) осмоугла; ђ) седамнаестоугла.
3. Одреди број страница многоугла ако је збир његових унутрашњих углова: а) 360°; б) 540°; в) 1 440°; г) 1 620°; д) 1 800°; ђ) 2 340°. 4. Може ли збир унутрашњих углова неког многоугла бити: а) 600°; б) 3 420°; в) 2 020°. 5. Постоји ли осмоугао чији су спољашњи углови 115°, 53°, 26°, 18°, 48°, 39°, 32° и 29°? 6. Да ли углови од 120°, 142°, 133°, 115°, 162° и 128° могу бити унутрашњи углови неког шестоугла?
81
7. Познато је пет унутрашњих углова шестоугла: 85°, 164°, 118°, 99° и 132°. Одреди меру шестог угла. 8. Седмоугао има један угао од 165°, други угао од 145°, два права угла и два угла од по 150°. Колика је мера седмог угла? 9. У петоуглу су два унутрашња угла једнака. Одреди њихове мере ако с у преостала три угла 100°, 110° и 120°. 10. Да ли осмоугао може имати четири права унутрашња угла? десетоугао? 11. Колико највише правих унутрашњих углова може имати петоугао? А десетоугао?
12. Нацртај конвексан петоугао са три права угла, а затим и конвексан десетоугао са три права угла. 13. Колико страница има многоугао ако је збир његових унутрашњих углова три пута већи од збира спољашњих углова? 14. Колико страница има многоугао ако је збир његових спољашњих углова з а 1 080° мањи од збира унутрашњих углова? многоугла код кога се збир унутрашњих и збир спољашњих 15. Израчунај број дијагонала многоугла углова разликују за 540°. код кога се из једног темена може повући: 16. Колики је збир унутрашњих углова многоугла код а) 5 дијагонала; б) 13 дијагонала.
17. Одреди број дијагонала оног многоугла код кога је збир унутрашњих углова једнак збиру спољашњих углова. 18. Ако је n број страница многоугла, d n број његових дијагонала које полазе из истог темена и Sn збир унутрашњих углова, попуни табелу: n d n Sn
10
14 9
5 720°
1 080°
неког,, сваки следећи с ледећи за 20° већи 19. Израчунај унутрашње углове петоугла ако је почев од неког од претходног.
20. У четвороуглу је угао α = 60°, угао β = 3 α, а угао γ је за 10° већи од угла δ. Одреди 2 углове тог четвороугла. 21. У четвороуглу је угао α два пута већи од угла β, угао γ износи 80% угла α, а угао δ је за 30° већи од угла α. Одреди углове тог четвороугла. 22. Ако многоугао има четири пута више дијагонала него страница, колико пута је збир унутрашњих углова већи од збира спољашњих углова?
82
ОБИМ И ПОВРШИНА МНОГО МН ОГОУГЛА УГЛА 1. Израчунај обим многоугла ако су дужине његових страница 23mm, 83mm, 4cm, 6cm, 37mm, 45mm, 25mm. 2. Израчунај обим шестоугла ако је најкраћа страница 3cm, а остале странице су дуже редом за по 5mm. 3. Одреди дужине страница петоугла ако се оне од најкраће до најдуже редом разликују за по 1cm, а обим тог петоугла је 20cm. 4. Квадрат и једнакостранични троугао имају једнаке странице а = 12cm. За колико треба смањити страницу тог квадрата да би обим новодобијеног квадрата био једнак обиму тог троугла? 5. Ако се свака од две наспрамне странице квадрата увећа за по 5cm, а друге две смање за по 2cm, добије се правоугаоник чији је обим 34cm. Израчунај страницу тог квадрата и његову површину. 6. Квадрат странице а = 12cm има обим једнак обиму једнакостраничног троугла. За колико је површина тог квадрата већа од површине тог једнакостраничног једнакостраничног троугла? 7. Израчунај обим и површину шестоугла ABCDEF са са слике:
E
6
D
6 F
6
60° 6
6 0° 150° А
150° 6
C
6
B
8. Свака страница једнакостраничног троугла АВС је је уједно и основица једнакокраког троугла конструисаног са спољашње стране. Ако је дужина сваке од страница троугла ABC једнака једнака 8cm, а висине сваког од једнакокраких троуглова које одговарају основицама по ha = 3cm, одреди обим и површину шестоугла ADBECF .
9. На страницама квадрата ABCD странице 4cm изабране су тачке E , F , G, H , I , J , K , L као на слици. Израчунај обим и површину осмоугла EFGHIJKL. На слици су дати мерни бројеви дужи мерених центиметрима.
83
10. На страницама квадрата ABCD странице 30cm изабране су тачке E , F , G, H , I , J , K , L као на слици. Израчунај обим и површину осмоугла EFGHIJKL. На слици су дати мерни бројеви дужи мерених метрима.
11. На страницама једнакостраничног троугла ABC изабране су тачке D, E , F , G, H , I као као на слици. Израчунај обим и површину шестоугла DEFGHI . На слици су дати мерни бројеви дужи мерених центиметрима.
ПРАВИЛНИ МНОГОУГЛОВИ 1. Попуни дате реченице: а) Правилни троугао је б) Правилни четвороугао је 2. Израчунај унутрашње углове правилног: а) петоугла; б) шестоугла; г) десетоуг десетоугла; ла; д) дванаестоугла;
троугао; . в) осмоугла; ђ) петнаестоугла.
3. Израчунај спољашње углове правилног многоугла који има n страница за: а) n = 8; б) n = 10; в) n = 20. д ијагонала правилног многоугла чији је 4. Одреди број страница, унутрашњи угао и број дијагонала збир унутрашњих углова: а) 1 260°; б) 1 440°.
5. Колико страница има правилан многоугао чији унутрашњи углови имају по: а) 135°; б) 144°; в) 150°; г) 160°? 6. Постоји ли правилан многоугао чији унутрашњи углови имају по: а) 155°; б) 165°? 7. Одреди број темена правилног многоугла ако његов спољашњи угао има: а) 45°; б) 30°; в) 9°. 8. Један спољашњи угао правилног многоугла је 20°. Израчунај збир унутрашњих углова тог многоугла.
84
9. Колико страница има правилни многоугао ако је један његов спољашњи угао једнак: а) 1 ; б) 1 ; в) 2 ; 2 3 7 једног његовог унутрашњег угла? 10. Унутрашњи угао правилног многоугла је четири пута већи од спољашњег угла. Израчунај збир унутрашњих углова тог многоугла. 11. Спољашњи угао правилног многоугла је три пута мањи од унутрашњег угла. Израчунај број дијагонала тог многоугла. прави лан многоугао код кога кога је унутрашњи угао шест пута већи од 12. Да ли постоји правилан спољашњег угла?
13. Израчунај унутрашњи угао правилног многоугла код кога је укупан број дијагонала четири пута већи од броја дијагонала које полазе из једног темена. 14. Колико оса симетрије има правилан: а) четвороугао; б) петоугао; г) петнаестоугао; д) двадесетоугао;
в) шестоугао; ђ) педесетоуг педесетоугао? ао?
15. Одреди све углове карактеристичног троугла правилног: а) четвороугла; б) шестоугла; в) дванаестоугла; г) петнаестоугла. 16. Израчунај централни угао правилног многоугла ако је збир унутрашњих углова тог многоугла 1 800°. 17. Одреди број темена правилног многоугла чији је централни угао 30°. 18. Одреди број страница правилног многоугла код кога је: а) збир унутрашњих углова 2 160°; б) број дијагонала које полазе из једног темена 18; в) спољашњи угао 11°15’; г) унутрашњи угао 162°; д) централни угао 24°; ђ) број дијагонала 65. 19. Израчунај збир унутрашњих углова, унутрашњи угао, спољашњи угао, централни угао и укупан број дијагонала правилног многоугла, ако се из једног темена тог многоугла може повући 9 дијагонала. 20. Израчунај број дијагонала који се може повући из једног темена, укупан број дијагонала, унутрашњи угао, спољашњи угао и централни угао правилног м ногоугла, ако је збир унутрашњих углова тог многоугла 1 440°. 21. Симетрале двеју суседних страница правилног многоугла секу се под углом од 20°. Колико страница има тај многоугао? 22. Симетрале два суседна угла правилног многоугла секу се под углом од 15°. Колико темена има тај многоугао?
85
23. Симетрала странице и симетрала унутрашњег налеглог угла правилног многоугла секу се под углом од 10°. Израчунај збир унутрашњих углова тог многоугла. 24. Израчунај дужине дијагонала правилног шестоугла ако је дужина његове странице а = 4cm.
ОБИМ И ПОВРШИНА ПР ПРАВИЛНИХ АВИЛНИХ МНОГО МНОГОУГЛОВА УГЛОВА 1. Ако је а дужина странице правилног многоугла, n број страница и О обим тог многоугла, попуни дату табелу: n
4
6
а
3,5
4
О
8
12 6
34
54
2,5 36
25
2. Израчунај површину квадрата ако је: а) страница а = 3,2cm; б) обим О = 16cm; в) дијагонала d = = 4cm; г) полупречник уписане кружнице r = = 2,5cm; д) полупречник описане кружнице R = 5√ 2cm. 3. Израчунај површину једнакостраничног троугла ако је: а) страница а = 4cm; б) обим О = 18cm; в) висина h = 5√ 3cm; г) полупречник уписане кружнице r = = 2√ 3cm; д) полупречник описане кружнице R = 8√ 3cm. 4. Израчунај површину правилног шестоугла ако је: а) страница а = 3cm; б) обим О = 12cm; в) полупречник уписане кружнице r = = 3√ 3cm; г) полупречник описане кружнице R = 4cm; д) дужа дијагонала d 1 = 10cm; ђ) краћа дијагонала d 2 = 8√ 3cm. 5. Правилан петоугао и правилан десетоугао имају једнаке обиме по 60cm. а) За колико је страница десетоугла краћа од странице петоугла? б) Колико пута је страница с траница петоугла дужа од странице десетоугла? десетоугао ао имају једнаке странице дужине 5cm. 6. Правилан шестоугао и правилан десетоуг За колико треба смањити сваку од страница с траница десетоугла десетоугла да би обим новодобијеног правилног десетоугла био једнак обиму шестоугла? шес тоугла?
86
десетоугао ао имају једнаке странице дужине 10cm. 7. Правилан шестоугао и правилан десетоуг За колико треба повећати сваку од страница шестоугла шес тоугла да би обим новодобијеног правилног шестоугла био једнак обиму десетоугла?
8. Израчунај обим правилног многоугла ако је дужина ду жина његове странице а = 3cm, а збир унутрашњих углова тог многоугла 1 080°. 9. Обим правилног многоугла је 35cm. Израчунај дужину странице тог многоугла ако је број његових дијагонала 35. 10. Дужина странице правилног шестоугла је 6cm. Израчунај његов обим, површину и полупречнике описане и уписане кружнице. 11. Обим правилног шестоугла је 24cm. Израчунај његову површину. 12. Површина правилног шестоугла је 96 √ 3cm2. Израчунај његов обим. Израчунај обим и површину површи ну 13. У круг полупречника 5cm уписан је правилни шестоугао. Израчунај тог шестоугла.
14. У правилни шестоугао уписана је кружница пречника 2 √ 3cm. Израчунај обим и површину тог шестоугла. 15. Израчунај површину правилног многоугла чији је обим 48cm, а збир унутрашњих углова 720°. 16. Збир спољашњих углова правилног многоугла је за 360° мањи од збира његових унутрашњих углова. Израчунај обим тог многоугла ако је његова површина 54 √ 3cm2. 17. Спољашњи угао правилног многоугла је два пута мањи од суседног унутрашњег угла. Израчунај површину тог многоугла ако је његов обим 24cm. 18. Израчунај површину правилног дванаестоугла ако је полупречник описане кружнице око дванаестоугла 6cm. 19. Израчунај површину правилног осмоугла ако је пречник описане кружнице око осмоугла 10cm. 20. Најкраћа дијагонала правилног осмоугла има дужину 8 √ 2cm. Израчунај површину тог осмоугла. 21. Израчунај површину правилног многоугла код којег је полупречник оп исаног круга 5cm, а спољашњи угао пет пута пу та мањи од унутрашњег угла. 22. У круг полупречника 6cm уписан је квадрат и правилни шестоугао. Одреди однос површина ова два многоугла. 23. Правилни четвороугао странице а = 12cm има обим једнак обиму правилног шестоугла. За колико је површина шестоугла већа од површине четвороугла? 24. Правилни троугао и правилни шестоугао имају једнак обим и он износи 18cm. Одреди однос површине тог шестоугла и површине тог троугла?
87
25. Израчунај обим и површину правилног шестоугла ABCDEF ако ако је обим троугла АСЕ једнак једнак 18 √ 3cm.
E
D
F
C
B
A
26. Над страницама квадрата ABCD конструисани су једнакостранични троуглови као на слици. Израчунај обим и површину осмоугла AEBFCGDH . На слици су дати мерни бројеви дужи мерених центиметрима.
1
27. Над сваком страницом једнакостраничног троугла АВС конструисани конструисани су квадрати као на слици. Израчунај обим и површину шестоугла DEFGHI . На слици су дати мерни бројеви дужи мерених центиметрима.
C
A
2)dm 28. На страницама квадрата ABCD странице (2 + √ 2) изабране су тачке E , F , G, H , I , J , K , L тако да је осмоугао EFGHIJKL правилан. Израчунај површину тог осмоугла.
88
B
29. Над сваком страницом a = 2cm правилног шестоугла АВСDEF конструисани конструисани су једнакокрако-правоугли једнакокрако-правоуг ли троуглови као на слици. Израчунај обим и површину добијене фигуре. На слици су дати мерни бројеви дужи мерених центиметрима.
шес тоугла странице а и његовог осенченог дела 30. Одреди однос површина правилног шестоугла (види слику):
КОНСТРУКЦИЈЕЕ НЕКИХ ПР КОНСТРУКЦИЈ ПРАВИЛНИХ АВИЛНИХ МНОГО МНОГОУГЛОВА УГЛОВА 1. Конструиши једнакостранични троугао ако је дата дужина странице а = 5cm. 2. Конструиши квадрат ако је дужина његове странице а = 4cm. 3. Конструиши правилан шестоугао ако је: а) дужина странице а = 4cm; б) полупречник описане кружнице R = 5cm; в) полупречник уписане кружнице r = = 3cm; г) дужа дијагонала d 1 = 6cm; д) краћа дијагонала d 2 = 5cm.
89
4. Конструиши правилан шестоугао уписан у круг пречника 10cm. 5. Конструиши правилан шестоугао који је oписан око круга пречника 8cm. 6. Конструиши правилан осмоугао ако је: а) дужина странице а = 4cm; б) полупречник описане кружнице R = 5cm; в) полупречник уписане кружнице r = = 3cm; г) најдужа дијагонала d 1 = 12cm; д) најкраћа дијагонала d 2 = 6cm. 7. Конструиши правилан дванаестоугао ако је: а) дужина странице а = 2cm; б) полупречник описане кружнице R = 4cm; в) полупречник уписане кружнице r = = 3,5cm; г) најдужа дијагонала d 1 = 12cm; д) најкраћа дијагонала d 2 = 5cm. 8. Конструиши правилан многоугао код кога је збир унутрашњих углова 720°, а полупречник уписане кружнице r = = 4cm. 9. Конструиши правилан многоугао код кога је збир унутрашњих углова 180°, а полупречник описане кружнице R = 5cm. 10. Конструиши правилан многоугао код кога је укупан број дијагонала 20, а дужина странице а = 3cm. по лупречник уписаног круга 5cm, а 11. Конструиши правилан многоугао код кога је полупречник унутрашњи угао пет пута већи од централног угла.
90
ТЕСТ � МНОГОУГАО 1. Број свих дијагонала у десетоуг десетоуглу лу је: а) 10; б) 35; в) 45;
г) 70 .
2. Из једног темена многоугла може се повући 9 дијагонала. Збир унутрашњих углова тог многоугла је: а) 720°; б) 1 440°; в) 1 620°; г) 1 800°. с у мере преостала четири угла 90°, 100°, 3. У шестоуглу су два унутрашња угла једнака. Ако су 110° и 120°, одреди меру једног од једнаких углова. Одговор:
4. Збир унутрашњих углова правилног многоугла је 1 080°. Мера унутрашњег угла тог многоугла је: а) 108°; б) 120°; в) 144°; г) 135°. 5. Одреди све унутрашње углове карактеристичног троугла правилног петнаестоугла. Одговор:
6. Површина правилног шестоугла је 24 √ 3cm2. Обим тог шестоугла је: а) 24√ 3cm; б) 24cm; в) 36cm; г) 36√ 3cm. 7. Који део правилног шестоугла заузима осенчени троугао? а) 1 ; б) 1 в) 1 ; г) 2 . 4 3 2 3
8. Конструиши правилан осмоугао ако је полупречник описане кружнице 6cm.
. 6 ; ° . 5 ; ) г . 4 ; ° . 3 ; ) г . 2 ; ) б . 1 . ) в . 7 ; ) б 4 2 , ° 8 7 , ° 8 7 0 5 1
: а њ е ш е Р
91
МНОГОУГАО ОБНАВЉАЊЕ 1.
2.
3. На пример:
конвексан
неконвексан
4. Свако теме одређује један пар суседних страница. Парови и CD, CD и DE , DE и и EA, EA и AB. суседних страница су: AB и BC , BC и
D
C
E
А
5. Шестоугао има девет дијагонала, и то: и DF . AC , AD, AE , BD, BE , BF , CE , CF и
E
B
D
C
F
А
B
6. a) EAB = 90°, ABC = 90° + 60° = 150°, BCD = 60°, CDE = = 60° + 90° = 150°, DEA = 90°; 2 2 2 = d , и како је d = a + b , то је d = 2√ 7cm, па је AD = BE = б) BD = a = 2√ 3cm, AD = BE = = 2√ 7cm. = CE = = d v, FC = = b + h = b + a√ 3 = 7cm, E Слично и AC = D 2 2 2 2 = CE = 2√ 13 d v = ( a ) + FC = 52, d v = 2√ 13 13cm, AC = 13cm. 2 F а C А
92
b
B
БРОЈ ДИЈАГОНАЛА МНОГОУГЛА МНОГОУГЛА 1.
d 5 = 2, 5 – 2 = 3,
d 8 = 5, 8 – 5 = 3
Дакле, број дијагонала из једног темена многоугла многоугла је мањи за 3 од броја његових страница. = 37. 2. a) d = 1; б) d = 2; в) d = 3; г) d = 5; д) d = 10; ђ) d = 3. а) n = 5; б) n = 8; в) n = 15; г) n = 23; д) n = 28; ђ) n = 30. 4. а) D = 5; б) D = 9; в) D = 20; г) D = 65; д) D = 170; ђ) D = 230. 5. n 4 7 10 12 15 33 d n
1
4
7
9
12
30
Dn
2
14
35
54
90
495
6. а) Тај многоугао има n = 8 темена, па је D = 20; б) n = 11, D = 44; в) n = 13, D = 65. 7. а) Како је D = 20 и n ∙ (n – 3) = 20, то је n ∙ (n – 3) = 40. Сада из n ∙ (n – 3) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 8 ∙ 5 2 закључујемо да је n = 8; б) n = 10; в) n = 13; г) n = 23. 8. n 11 13 5 28 15 33 d n
8
10
2
25
12
30
Dn
44
65
5
350
90
495
9. Не. Сви чиниоци броја 64 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 су парни бројеви, а како је D = n ∙ (n – 3) , то су 2 бар два чиниоца броја дијагонала ( n и n – 3) различите парности. 10. а) Из D = 3n добијамо n ∙ (n – 3) = 3n, n – 3 = 6 и коначно n = 9; б) n = 15. 2 11. а) Како је D = 5d , то је n ∙ (n – 3) = 5 ∙ (n – 3), односно n = 10; б) n = 20. 2 12. Из D = n добијамо n ∙ (n – 3) = n, n – 3 = 2 и коначно n = 5. 2 13. Како је D + n = 45, то је n ∙ (n – 3) + n = 45. Сређивањем добијамо n(n – 1) = 90 2 (производ 2 узастопна броја је 90), па је n(n – 1) = 10 ∙ 9, n = 10.
93
14. Из D + d = 33 добијамо n ∙ (n – 3) + (n – 3) = 33, n (n – 3) + 2(n –3) = 33, (n – 3) (n + 2) = 33, 2 2 2 (n – 3)(n + 2) = 66, (n – 3)(n + 2) = 6 ∙ 11, n – 3 = 6, па је n = 9. 15. Како је D : n = 9 : 2, то је 2 D = 9n. Сада је 2 ∙ n ∙ (n – 3) = 9n, па је n – 3 = 9, односно 2 n = 12 и D = 54. 2 16. Из D – n = 63 добијамо n ∙ (n – 3) – n = 63, n – 3n – 2n = 63, то јест n (n – 5) = 126, а то 2 2 значи да је n(n – 5) = 14 ∙ 9, односно n = 14. 17. a) Како је D12 = 54, D9 = 27 и 54 = 2 ∙ 27, то је D12 = 2D9; б) D8 = 20, D5 = 5 и 20 = 4 ∙ 5, па је D8 = 4D5; в) D14 = 77, D11 = 44 и 4 ∙ 77 = 7 ∙ 44, па је 4D14 = 7D11. 18. Како је n1 = n + 3 и D1 = D + 33, то је D1 = n1 ∙ (n1 – 3) , односно D + 33 = (n + 3) ∙ (n + 3 – 3) . 2 2 Сада је n ∙ (n – 3) + 33 = (n + 3) ∙ n , односно 6n = 66, n = 11. 2 2 19. Ми бирамо 2 од 6 тачака. Прво узимамо једну од 6, а затим једну од 5 преосталих. Како је дуж AB иста као и BA (2 тачке одређују једну дуж), то је укупан број дужи које одређује 6 тачака једнак 6 ∙ (6 – 1) = 15. С друге стране, D6 = 9, па је D + n = 9 + 6 = 15. 2 20. Слично као у 1. задатку: 10 ∙ (10 – 1) = 45. 2 21. Слично као у 1. задатку: 50 ∙ (50 – 1) = 1 225. 2 22. Како је n ∙ (n – 1) = 45 и n (n – 1) = 90, то је n (n – 1) = 10 ∙ 9, односно n = 10. 2 а) Уочене тачке одређују један десетоугао. б) Тај Тај десетоугао има 45 – 10 = 35 дијагонала.
ЗБИР УГЛОВА МНОГОУГЛА 1. а) 3; б) 4; в) 6; г) 8; д) 10; ђ) 15. 2. а) Sn = 540°; б) Sn = 720°; в) Sn = 1 080°; г) Sn = 1 440°; д) Sn = 1 800°; ђ) Sn = 2 700°. б) n = 5; в) n = 10; г) n = 11; д) n = 12; ђ) n = 15. 3. а) n = 4; б) Да, n = 21; в) Не, јер 2 020 : 180 N . 4. а) Не, јер 600 : 180 N ; би ло ком многоуглу је 360°). 5. Да, јер им је збир 360° (збир спољашњих углова у било уну трашњих углова у шестоуглу је 720°. 6. Не могу, јер им је збир 800°, а збир унутрашњих 7. α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 = 720°, α6 = 720° – (α1 + α2 + α3 + α4 + α5), α6 = 122°. 8. α7 = 110°.
94
9. α1 = α2 =105°. 10. Не. Ако су четири унутрашња угла права, онда су и четири одговарајућа спољашња угла права. Тада Тада би збир само та четири спољашња угла био 360°, а збир свих св их спољашњих углова осмоугла је 360°. 11. Највише по три права угла могу имати и конвексан петоугао и конвексан десетоугао. 13. Sn = 3 ∙ 360° = 1 080°, n = 8. 14. 360° = Sn – 1 080°, Sn = 1 440°, n = 10. 15. Sn – 360° = 540°, Sn = 900°, n = 7, Dn = 14. 16. a) n = 8, Sn = 1 080°; б) n = 16, Sn = 2 520°. 17. Sn = 360°, n = 4, Dn = 2. 18. n 10 12 6 9 14 8 d n 7 9 3 5 11 5 Sn
1 440°
1 800°
720°
1 260 °
2 160 °
1 080°
19. Из α1 = х , α2 = х + + 20°, α3 = х + + 40°, α4 = х + + 60°, α5 = х + + 80° и S5 = 540°, односно = 340°, то јест х = = 68°. Сада је α1 = 68°, α2 = 88°, α1 + α2 + α3 + α4 + α5 = 540°, добијамо 5 х = α3 = 108°, α4 = 128° и α5 = 148°. 20. Како је β = 90°, γ = δ + 10°, S4 = 360°, то јест α + β + γ + δ = 360°, добијамо 60° + 90° + δ + 10° + δ = 360° и онда 2δ = 200°, односно δ = 100° и γ = 110°. 21. Како је α = 2β, γ = 80%α = 80 α = 4 α = 4 ∙ 2β = 8 β и δ = α + 30° = 2β + 30°, то из 100 5 5 5 8 β + 2β + 30° = 360°. Сада је β = 50°, а онда и α + β + γ + δ = 360° добијамо 2β + β + 5 α = 100°, γ = 80° и δ = 130°. 22. Из D = 4n добијамо n = 11, па је Sn = 1620°. Како је 1 620° : 360° = 4,5, то је збир унутрашњих углова 4,5 пута већи од збира спољашњих углова.
ОБИМ И ПОВРШИНА МНОГО МН ОГОУГЛА УГЛА 1. О = 313mm. 2. a1 = 3cm, a2 = 3,5cm, a3 = 4cm, a4 = 4,5cm, a5 = 5cm, a6 = 5,5cm, O = 25,5cm. + 1, a3 = x + + 2, a4 = x + + 3 и a5 = x + + 4 добијамо 5 x + + 10 = 20, то јест x = = 2cm, па 3. Из a1 = x , a2 = x + је a1 = 2cm, a2 = 3cm, a3 = 4cm, a4 = 5cm и a5 = 6cm. 4. Како је O3 = 36cm, то је обим новодобијеног квадрата O4 = 36cm, а његова страница a4 = 36 : 4 = 9cm. То То значи да странице почетног квадрата треба смањити за по 12cm – 9cm = 3cm. 5. Како је ap = a + 5, bp = a – 2 и Op = 2ap + 2bp, то је 34 = 2 ∙ (a + 5) + 2 ∙ (a – 2), односно 34 = 2a + 10 + 2a – 4 и 4a = 28. Сада је a = 7cm и P = = 49cm2. 6. Како је O4 = O3 = 48cm, то је a3 = 16cm. Сада је P 4 = 144cm2, P 3 = 64√ 3cm2 и 2 P 4 – P 3 = (144 – 64√ 3)cm . 2 2 2 2 a 6 3 √ 7. O6 = 36cm, P 6 = P k k + 2P т = a + 2 = 6 + 2 √ 3 = 36 + 18√ 3 = 18(2 + √ 3)cm2. 4 4
95
2
8. Како је b = a + ha2, то је b = 5cm, па је O = 6b = 30cm. Даље је 2
( 2 )
2 a = P 1 + 3 ∙ P 2 = √ 3 + 3 ∙ a ∙ ha = 16√ 3 + 36, односно P = P = = 4(4√ 3 + 9)cm2.
4 2 = √ 2cm, то је O = 4 ∙ 2 + 4 ∙ x , односно O = 4(2 + √ 2)cm 9. Како је a = 4cm, FG = x , x 2 = 12 + 12 и x = и P = = P k – 4P т = 42 – 4 ∙ 1 ∙ 1 = 16 – 2 = 14, односно P = = 14cm2. 2 = x , где је x 2 = 122 + 52, односно 10. Из EF = GH = IJ = KL = 30 – (12 + 5) = 13m и FG = HI = JK = LE = = P k – 4P т = 302 – 4 ∙ 12 ∙ 5 = 900 – 120 = 780, x = = 13m, добијамо O = 8 ∙ 13 = 104m. Даље је P = 2 2 односно P = = 780m . = EF = = FG = GH = = HI = = ID = 2cm, то је O = 6 ∙ 2cm = 12cm и 11. Како је DE = 2 2 2 2 a a 6 2 3 3 √ √ 1 √ 3 = P 1 – 3 ∙ P 2 = = P = – 3 ∙ – 3 ∙ √ 3 = 6√ 3cm2. 4 4 4 4
ПРАВИЛНИ МНОГОУГЛОВИ 1. а) Правилни троугао је jeднакостранични троугао; б) Правилни четвороугао је квадрат. квадрат. б) S6 = 720°, α = 120°; в) S8 = 1 080°, α = 135°; 2. а) S5 = 540°, α = 108°; г) S10 = 1 440°, α = 144°; д) S12 = 1 800°, α = 150°; ђ) S15 = 2 340°, α = 156°. 3. а) β = 45°; б) β = 36°; в) β = 18°. 4. а) n = 9, D = 27; α = 140° б) n = 10, D = 35, α = 144° б) n = 10; в) n = 12; г) n = 18. 5. а) n = 8; 6. а) Не, јер је β = 25° и 360 : 25 N ; б) Да, β = 15°, n = 24. б) n = 12; в) n = 40. 7. а) n = 8; 8. n = 18, S18 = 2 880°. 9. а) Из β = 1 α, α + β = 180°, α + 1 α = 180° добијамо α = 120° и β = 60°, па је n = 6; 2 2 б) Из β = 1 α, α + β = 180°, α + 1 α = 180° добијамо α = 135° и β = 45°, па је n = 8; 3 3 в) Из β = 2 α, α + β = 180°, α + 2 α = 180° добијамо α = 140° и β = 40°, па је n = 9. 7 7 10. Из α = 4β, α + β = 180° и 5β = 180° добијамо β = 36° и n = 10, па је S10 = 1 440°. 11. Из β = 1 α добијамо α = 135°, β = 45° и n = 8, па је D = 20. 3 12. Да. α = 6β, α + β = 180°, 7 β = 180°, β = 180° , n = 14. 7 13. n = 8, α = 135°. 14. а) 4; б) 5; в) 6; г) 15; д) 20; ђ) 50. 15. Ако са ϕ означимо централни, а са α унутрашњи угао многоугла, онда је а) ϕ = 360° = 360° = 90°, α = 90°, α = 45°; б) ϕ = 60°, α = 60°; n 4 2 2 в) ϕ = 30°, α = 75°; 2
96
г) ϕ = 24°, α = 78°. 2
16. n = 12, ϕ = 30°. 17. n = 12. 18. а) n = 14; б) n = 21; в) n = 32; г) n = 20; д) n = 15; ђ) n = 13. 19. n = 12, Sn = 1 800°, α = 150°, β = 30°, ϕ = 30°, D = 54. = 7, D = 35, α = 144°, β = 36°, ϕ = 36°. 20. n = 10, d = 21. Ако је α унутрашњи угао многоугла и δ угао под којим се те симетрале секу, онда је α + δ + 90° + 90° = 360°, односно α = 160°, ϕ = 20°, n = 18.
22. α = 165°, спољашњи угао је ϕ = 15°, па је n = 24. 23. α = 80°, спољашњи угао је ϕ = 20°, па је n = 18, а онда S18 = 2 880°. 2 24. d v = 2a = 8cm, d m = a√ 3 = 4√ 3cm.
ОБИМ И ПОВРШИНА ПР ПРАВИЛНИХ АВИЛНИХ МНОГО МНОГОУГЛОВА УГЛОВА 1. n
4
6
8
9
12
10
а
3,5
4
4,25dm
6
3cm
2,5
О
14cm
24cm
34
54
36
25
б) а = 4cm, Р = = 16cm2; в) а = 2√ 2cm, Р = = 8cm2; 2. а) Р = = 10,24cm 2; г) а = 5cm, Р = = 25cm2; д) d = = 10√ 2cm, а = 10cm, Р = = 100cm2. 3. a) Р = = 4√ 3cm2; б) а = 6cm, Р = = 9√ 3cm2; в) а = 10cm, Р = = 25√ 3cm2; г) а = 12cm, Р = = 36√ 3cm2; д) а = 24cm, Р = = 144√ 3cm2. = 27√ 3 cm2; б) а = 2cm, Р = = 6√ 3cm2; в) а = 6cm, Р = = 54√ 3cm2; 4. a) Р = 2 = 75√ 3 cm2; ђ) а = 8cm, Р = г) а = 4cm, Р = = 24√ 3cm2; д) а = 5cm, Р = = 96√ 3cm2. 2 5. а) Из О5 = 60cm добијамо а5 = 60 : 5 = 12cm. Слично а10 = 6cm, па је а5 – а10 = 6cm, то јест а10 је за 6cm краћа од а10. б) Како је а5 : а10 = 2, то је а5 2 пута дужа од а10. 6. Како је а6 = 5cm и О6 = 30cm, то је обим новодобијеног десетоугла О10 = 30cm. Сада је његова страница а10 = 3cm, па је она краћа за 5cm – 3cm = 2cm од првобитне. 7. а6 = а10 = 10cm, О10 = 100cm, О' 6 = 100cm, а' 6 = 100 = 50 = 16 2 cm, па сваку од страница 6 3 3 треба повећати за 16 2 cm – 10cm = 6 2 cm. 3 3 8. Како је n = 8, то је О = 24cm. 9. Како је n = 10, то је а = 3,5cm. = 54√ 3cm2, R = 6cm и r = = 3√ 3cm. 10. О = 36cm, Р =
97
11. Како је a = 4cm, то је Р = = 24√ 3cm2. 12. Прво добијемо да је a = 8cm, па је онда O = 48cm. = 75√ 3 cm2. 13. r o = 5cm, a = 5cm, O = 30cm и Р = 2 = 6√ 3cm2. 14. r u = √ 3cm, a = 2cm, O = 12cm и Р = = 96√ 3cm2. 15. Како је n = 6, то је а = 8cm и Р = 16. Sn = 360° + 360° = 720°, n = 6, а = 6cm, O = 36cm. = 24√ 3cm2. 17. Из β = α и α + β = 180° добијамо β = 60° и α = 120°. Сада је n = 6, а = 4cm и Р = 2 O = AO = 3cm и P т = AO ∙ AC = 9cm2. 18. Како је ϕ = 30°, то за ∆ ABO важи AC = 2 2 Сада је P 1212 = 12 ∙ P т = 108cm2. 30°
C А
В
= AO√ 2 = 5√ 2 cm и 19. Како је r o = 5cm и ϕ = 45°, то за ∆ ABO важи AC = 2 2 2 2 P т = AO ∙ AC = 25√ 2 cm . Сада је P 8 = 8 ∙ P т = 50√ 2cm . 2 4
O
45°
C А
= AO√ 2 = 8√ 2cm, = 2ϕ = 90°, то је АC = 20. Како је ϕ = 45°, AOC = па је AO = 8cm, то јест r o = 8cm. Како је AO = CO = r и и = a, то је ABCO делтоид. Сада је AB = BC = P 8 = 4 ∙ P d = 4 ∙ AC ∙ OB = 4 ∙ 8 ∙ 8√ 2 = 128√ 2cm2. 2 2
В
O
45°
45°
C A
21. Из α = 5β и α + β = 180° добијамо 5 β + β = 180°, односно β = 30°. Сада је n = 12 и ϕ = 30°, па је AOC = = 2ϕ = 60°, те је ∆ ACO једнакостраничан и = r = 5cm. Како је AO = CO = r и и AB = BC = = a, то је АС = ABCO делтоид, па је AC ∙ OB = 6 ∙ 5 ∙ 5 = 75cm2. P 12 12 = 6 ∙ P d = 6 ∙ 2 2
B O
30°
30°
C A
B
22. Како је а4 = 6√ 2cm и а6 = 6cm, то је P 4 = 72cm2 и P 6 = 54√ 3cm2. Сада је P 4 : P 6 = 4 : 3√ 3. 23. Како је О4 = О6 и О4 = 48cm, то је О6 = 48cm и а6 = 8cm. Сада је P 4 = 144cm2, P 6 = 96√ 3cm2 и 2 P 6 – P 4 = (96√ 3 – 144)cm . 24. а3 = 6cm, а6 = 3cm, P 3 = 9√ 3cm2, P 6 = 27√ 3 cm2, P 6 : P 3 = 3 : 2. 2 = 54√ 3cm2. 25. а3 = 6√ 3cm, d m = а3 = 6√ 3cm, а6 = 6cm, O = 36cm, P =
98
2 a = P к + 4 ∙ P т = а + 4 ∙ √ 3 = (1 + √ 3)cm2. 26. Како је а = 1cm, то је O = 8cm и P = 2
4 = FG = HI = = a = 2cm и нека је EF = = GH = = ID = x . У ∆EFB је 27. Како је DE = EBF = 360° – (60° + 90° + 90°) = 120°, а онда и BEF = BFE = 30°. Сада је висина која 2
одговара основици једнака h = a = 1cm и x = а2 – h2, односно x = = 2√ 3cm. Даље је
( 2 ) 2 O = 3a + 3 x = = 6 + 6√ 3, O = 6(1 + √ 3)cm и 2 P = = 4P т + 3P к = 4 a √ 3 + 3а2 = 4√ 3 + 12 = 4(3 + √ 3)cm2. 4
28. Како је a8 + 2 a8 = a8(1 + √ 2) и 2 + √ 2 = √ 2(1 + √ 2), то је a8 = √ 2dm. Сада је O = 8√ 2dm и √ 2 2 P = = (2 + √ 2) − 2 = 4(1 + √ 2)dm2. 29. Како је AG = GB = BH = HC = CI = ID = DJ = JE = EK = KF = FL = LA = √ 2cm, то је O = 12√ 2cm и P = = 6(1 + √ 3)cm2. 2 6 a √ 3 , а површина неосенченог дела је једнака површини 2 једнакостранична 30. a) P 6 = 4 троугла странице а. Како је P 6 једнака површини 6 таквих троуглова, то је P 6 : P s = 3 : 2; б) P 6 : P s = 3 : 1; в) P 6 : P s = 3 : 2; г) P 6 : P s = 2 : 1; д) P 6 : P s = 6 : 5; ђ) P s = P' 6 =
=
=
=
, P 6 : P s = 4 : 3.
КОНСТРУКЦИЈЕЕ НЕКИХ ПР КОНСТРУКЦИЈ ПРАВИЛНИХ АВИЛНИХ МНОГО МНОГОУГЛОВА УГЛОВА 1. Нацртајмо најпре дуж АВ = 5cm која представља једну страницу с траницу траженог троугла АВС. Опишимо кружницу чији је центар тачка А, а полупречник 5cm. Опишимо још једну кружницу истог полупречника чији је центар тачка В. У пресеку ове две кружнице је треће теме једнакостраничног троугла АВС . 2. Конструишимо најпре прав угао и нека је теме угла једно теме, на пример А, квадрата АВСD који конструишемо. Из тачке А опишимо кружницу полупречника 4cm. У пресеку п ресеку кружнице и кракова правог угла добили смо темена В и D. Теме С добијамо у пресеку кружница чији су полупречници 4cm, а центри су с у им у тачкама В и D. шес тоугла R = a, то прво цртамо кружницу k (O, 4cm). Из 3. а) Како је код правилног шестоугла произвољне тачке А k описујемо описујемо део кружнице k 1( А А, 4cm) и одређујемо друго теме B. и F шестоугла; Понављајући поступак одређујемо темена C , D, E и шестоугла; б) R = a = 5cm и даље као пример под a); в) Карактеристичан троугао је једнакостранични троугао висине h = r = = 3cm. Конструиши тај троугао, а затим допуни до шестоугла, као у примеру под а); г) d 1 = 2R, R = a = 3cm и даље као у примеру под а); д) d 2 = 2r , па је r = 2,5cm и даље као у примеру под в). 4. 2R = 10cm, R = a = 5cm, па даље као 3. задатак под а). = 8cm, r = 4cm, па даље као 3. задатак под в). 5. 2r =
99
6. Упутство. Израчунај углове карактеристичног троугла ( ϕ = 45°, α = 135°, α = 67° 30'). 2 а) Конструиши карактеристичан троугао (∆ АВО је једнакокраки троугао чија је основица а = 4cm и углови на њој α = 67°30'). Затим опиши кружницу k (O, OA). Из тачке В наноси 2 на кружницу дужину странице а и добићеш темена осмоугла; б) Конструиши карактеристичан троугао (∆ АВО је једнакокраки троугао чији су краци b = R = 4cm и угao између њих ϕ = 45°). Затим опиши кружницу k (O, OA). Из тачке В наноси на кружницу дужину странице а = АВ и добићеш темена осмоугла; в) Конструиши карактеристичан троугао (∆ АВО је једнакокраки троугао чија је висина која одговара основици ha = r = = 3cm и углови на њој f = 22°30' и прав угао). Затим као 2 пример под а); г) d 1 = 2R, R = 6cm; као у примеру под б); = α = 135°, АВ = ВС , па је САВ = АСВ = 22°30'. Конструиши ∆ АВС д) У ∆ АВС је АВС = (једнакокраки троугао чија је основица АC = = 6cm и углови на њој 22°30’), затим конструиши карактеристичан троугао АВО, даље као под а). O
45°
45°
C A
B
7. Упутство: израчунај углове карактеристичног троугла ( ϕ = 30°, α = 150°, α = 75°). 2 Конструкција слично као у 6. задатку. = 4cm, конструиши као 3. задатак зад атак под в). 8. n = 6, r = АО = ВО = R = 5cm, ϕ = 120°). 9. n = 3, R = 5cm, конструиши карактеристичан троугао АВО ( АО Затим допуни до једнакостраничног троугла АВС . 10. n = 8, а = 3cm, конструиши као 6. задатак зад атак под а). 11. ϕ = 30°, α = 150°, n = 12, r = = 5cm. Конструиши карактеристичан троугао АВО (∆ АВО је једнакокраки троугао чија је висина која која одговара основици ha = r = = 5cm и углови на њој f = 15° и прав угао). Затим допуни до дванаестоугла. 2
100
ЗАВИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ ВЕ ЛИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО ГР АФИЧКО ПРЕДС П РЕДСТ ТАВЉАЊЕ ПРАВОУГЛИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ 1. Представи на бројевној правој бројеве: 4; –2; 3 1 ; –1,7 и √ 5, а затим нађи њима 2 симетричне тачке у односу на нулу. 2. Одреди координате тачака са слике: 3. Нацртај координатни систем и у њему одреди тачке: M(2, –3), N (–2, (–2, 2), P (–3 1 ,0), 2 Q(–5, 1 3 ), K (– 1 , – 5 ), L(0, √ 2). 4 2 2
при падају тачке R(5, –2), S(–4, –1), T (9, (9, 19) и V (–13, (–13, 13) без цртања 4. Одреди ком квадранту припадају тачака у координатном систему.
5. Одреди координате тачке А која има исту ординату као тачка В(16, –6) и исту апсцису као тачка С (1, (1, –1). њ ему тачке А(5, 3) и В(–6, 1). Колико је тачка А удаљена од 6. Нацртај координатни систем и у њему х осе, осе, а колико тачка В од y осе? осе?
7. У координатном систему одреди тачку S(3, 5), а затим тачку која је симетрична тачки S у односу на: а) х осу; б) y осу; в) координатни почетак. (2, 5) су темена троугла. Нацртај троугао АВС у у координатном 8. Тачке А(3, 1), В(4, 3) и С (2, систему, па одреди темена троугла А1В1С 1, који је симетричан троуглу АВС у у односу на х осу. осу.
9. Тачки А(3, 4) је симетрична тачка: а) А1(3, –4) у односу на х осу; осу; б) А2(–3, 4) у односу на y осу; в) А3(–3, –4) у односу на координатни почетак. Слично, без цртања тачака у координатном систему сис тему,, одреди координате тачака симетричних тачкама B(9, 2), C (–1, (–1, 1), D(5, –2) и E (–6, (–6, –3) у односу на: а) х осу; б) y осу; в) координатни почетак. (7, 5) и D(3, 5) су темена квадрата. Без цртања тачака у 10. Тачке А(3, 1), В(7, 1), С (7, координатном систему, одреди координате тачака A1B1C 1D1 које представљају темена квадрата симетричног квадрату ABCD у односу на y осу. осу. 11.
За тачке А(3, 2), B(–2, 1), C (– (–√ 2, –3) и D(18, –42) одговори да ли су лево или десно од y-осе и горе или доле у односу на x -осу. -осу.
101
РАСТОЈАЊЕ ИЗМЕЂУ ДВЕ ТАЧКЕ У КООРДИНАТНОМ СИСТЕМУ 1. Одреди координате крајњих тачака дужи које су дате у координатном систему, а затим одреди и дужину сваке од датих дужи.
2. Дате су дужи: а) АВ, при чему је А(1, 2) и В(1, –1); б) CD, при чему је C (–1, (–1, 3) и D(6, 3); в) EF , E (–2 1 , –10) и F (–2 1 , –3); г) GH , G(–5 2 , 3 1 ) и H (1 2 , 3 1 ). 2 2 3 4 3 4 Утврди којој оси је паралелна свака од тих дужи, а затим одреди њихове дужине. 3. Израчунај површину троугла ако су дате координате његових темена: а) А(2, 0), В(0, 5), С (0, (0, 0); б) А(2, 0), В(5, 0), С (5, (5, 6); в) А(–4, –4), В(–4, 1), С (–2, (–2, 1); г) А(–6, 0), В(–2, 0), С (–3, (–3, –4); д) А(2, –1), В(2, –7), С (4, (4, –4); ђ) А(2, 2), В(5, 2), С (7,4). (7,4). 4. У координатном систему нацртај тачке А и В, а затим одреди дужину дужи АВ ако је: а) А(2, 3), В(5, 7); б) А(2, 1), В(10, 7); в) А(–10, 9), В(2, 4); г) А(–11, –8), В(1, –1); д) А(–8, 5), В(7, –3); ђ) А(2, –3), В(3, –2). 5. Одреди растојање тачке М од координатног почетка ако је: а) М(5, –12); б) М(–4, 2). 6. Растојање тачке М од координатног почетка је 13. Одреди ординату тачке М ако је њена апсциса 12. 7. Тачка М је на растојању 17 од координатног почетка. Одреди апсцису тачке М ако је њена ордината –8. ако су дате координате његових темена: 8. Израчунај обим троугла АВС ако а) А(6, 0), В(0, 8), С (0, (0, 0); б) А(4, 5), В(7, 9), С (7, (7, 5); в) А(–7, 2), В(–1, 2), С (–4, (–4, 6); г) А(1, –9), В(1, –1), С (–2, (–2, –5).
102
9. Израчунај обим и површину троугла АВС (види (види слику):
10. У координатном систему дата је тачка А(–3, 2). Одреди координате тачака А1, А2 и А3 које су симетричне тачки А у односу на х осу осу и y осу, осу, односно координатни почетак. Израчунај обим и површину површи ну добијеног четвороугла АА1 А2 А3. (6, 4) су темена правоугаоника. Нађи четврто теме 11. Тачке А(–2, –2), В(6, –2) и С (6, правоугаоника. Израчунај дужину дијагонале тог правоугаоника.
12. У координатном систему нацртај тачке А(–2, 2) и В(1, 2). Конструиши квадрат ABCD и D. Колико решења има задатак? странице AB и одреди координате тачака C и 13. Дуж АС је је дијагонала квадрата. Ако су с у дате координате тачака А(–3, 4) и С (3, (3, 4), одреди: а) координате друга два темена квадрата; б) обим и површину квадрата. (4, 3) и D(1, 3) су темена неког четвороугла. 14. Тачке А(1, 0), В(8, 0), С (4, а) Који је то четвороугао? б) Израчунај обим и површину тог четвороугла.
15. Осенчи део координатног система коме припадају тачке чије су апсцисе између 1 и 5, а ординате између –2 и 1. 16. Осенчи део координатног система у ком за з а координате свих тачака важи: а) –1 < x < < 1, –1 < y < 1; б) x < < 3, –3 < y < < –1; в) | x | < 4, y < 2; г) x > > 3, y < < –1.
ГРАФИК ГР АФИК ЗАВИСНОСТИ ЗАВИСНОС ТИ МЕЂУ ВЕЛИЧИНАМА 1. Попуни дате табеле: а) х –2 х + + 1
–3
–2
б) –1
0
1
2
3
х
–9 –2,5
0
0,2
8
| х | – 3
2. Представи у координатном систему зависне величине х и и y , где је х {1, 2, 3, 4, 5, 6}, а y је два пута већи број од х . 3. Представи у координатном систему зависност броја предмета од разреда (I–VIII) основне школе који ученици похађају.
103
4. У табели су дате промене температуре ваздуха у Београду у току дана од 0h до 16h. Нацртај график промене температуре у току тог дана до 16h. Време (h)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
Температура (°С) –2 –2 –3 –5 –5 –6 –6 –6 –2 0
2
3
5
7
6
6
4
5. Дат је график укупне количине падавина по месецима на територији Крагујевца.
а) У ком месецу је било највише, а у ком најмање падавина и колико? б) Колика је била количина падавина у септембру? в) У ком месецу је измерена количина падавина од 40mm? * Количина падавина се изражава у литрима по метру квадратном или милиметрима, 1l / m2 = 1mm (На пример: ако се 1l воде проспе на m 2, добиће се слој воде од 1mm.)
6. Дата је табела која прати пораст телесне тежине детета, рођеног са 3,2kg, у првих 12 месеци живота. Нацртај график који представља промену телесне тежине детета по месецима. месец
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
тежина (kg)
3,6
4,1
4,5
5,1
5,6
6
6,6
7,1
7,5
8
8,4
8,9
7. Камила се кроз пустињу креће брзином од 8km/h. Изрази зависност пређеног пута камиле од времена и нацртај график те зависности. 8. Иван је кренуо на планинарење. За прва три сата прешао је 10km, па се један сат одмарао. Следећа два сата прешао је 5km и опет се одмарао један сат. За наредних сат времена је прешао још 4km и стигао до планинарског дома. а) Нацртај график којим представљамо дужину пута пу та који је Иван прешао у зависности од времена. б) Колико километара је Иван био удаљен од почетне тачке пет сати од поласка? в) У ком периоду је Иван ишао иш ао најбрже и којом брзином? с траница. 9. Нацртај график зависности обима квадрата од дужине страница.
104
10. Изрази зависност странице с транице квадрата од његове дијагонале, попуни табелу зависности за d {2, 3√ 2, 5} и нацртај график којим је представљена та зависност.
11. Страница и висина једнакостраничног троугла су зависне величине. Најпре изрази зависност висине од странице, а затим зависност странице од висине. дужина краће дијагонале правилног шестоугла, изрази дужину дуже дијагонале 12. Ако је d дужина шестоугла преко краће и нацртај график те зависности.
ДИРЕКТНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ. ГРАФИК ГР АФИК ЗАВИСНОСТИ ЗАВИСНОС ТИ y = k ∙ x, x R 1. 0
х
1
2
3
4
7
10
y
и y су Величине х и су директно пропорционалне. Ако је коефицијент пропорционалности k = = 3, попуни дату табелу: и y су су директно пропорционалне. Одреди коефицијент пропорционалности 2. Величине х и ако је зависност величина дата табелом: а) б) х 0 1 2 5 10 х 0 1 2 4 y 0 2 4 10 20 y 0 0,5 1 2 и y датe датe у табели директнo пропорционалнe: 3. Испитај да ли су вредности две величине x и а) б) х 2 1 0 4 х 6 4 0 2 y
8
4
0
16
y
3
2
1
1
директно пропорционалне величине, одреди коефицијент пропорционалности, и y директно 4. Ако су х и попуни дате табеле, запиши зависност величина формулом и нацртај њен график: а) б) 1 х 3 6 2 х 9 2 2 1 y 8 6 3 y 4 1 2
5. Нацртај график зависности директне пропорционалности: а) y = = 2 x , x ≥ 0; б) y = = 3 x , x ≥ 0; в) y = = 4 x , x ≥ 0; = 1 x , x ≥ 0; = 3 x , x ≥ 0; = 5 x , x ≥ 0; д) y = ђ) y = е) y = 3 4 2
г) y = = 5 x , x ≥ 0; ж) y = = 3 1 x , x ≥ 0. 3
6. Одреди коефицијент директне пропорционалности величина чијем графику припада тачка: а) А(2, 10); б) В(4, 1); в) С (3, (3, 7). зави сност пређеног пута 7. Неко тело се креће равномерном брзином од 12km/h. Изрази зависност од времена и нацртај график те зависности.
105
8. Маша сваког дана прочита 15 странa књиге. Представи графички зависност броја прочитаних страна од броја дана. 9. У фабрици аутомобила се сваког дана склопи 250 аутомобила. Да ли је зависност укупне количине склопљених аутомобила од броја дана директна пропорционалност? Колики је коефицијент пропорционалности? с транице ромба су директно пропорционалне величине. Нацртај 10. Обим и дужина странице график те директне пропорционалности (обима од с транице ромба).
11. Обим и страница правилног шестоугла су директно пропорционалне величине. Одреди коефицијент пропорционалности. 12. Испитај које су од следећих величина директно пропорционалне и за директно пропорционалне величине одреди коефицијент пропорционалности: а) Обим једнакостраничног троугла и његова страница; б) Обим квадрата и његова страница; в) Површина квадрата и његова страница; г) Дијагонала квадрата и његова страница; д) Површина коцке и њена ивица; ђ) Полупречник уписане кружнице једнакостраничног троугла и његова страница; е) Висина једнакостраничног троугла и његова страница; ж) Обим круга и његов полупречник; з) Површина круга и његов полупречник; и) Краћа дијагонала правилног шестоугла и његова страница; ј) Површина правилног шестоугла и његова страница. с уме новца y који који треба 13. За 5kg јагода плаћено је 325 динара. Одреди зависност суме издвојити за х kg kg јагода. Колики је коефицијент пропорционалности? Нацртај график зависности.
14. Један молер за три сата окречи 8m 2 зида. а) Колико ће окречити ако ради осам сати? б) Колико времена му је потребно да окречи 34m 2 зида? в) Нацртај график зависности окречене површине од времена. ј е дат график зависности дужине истезања опруге од силе којом се делује на 15. На слици је опругу. У ком случају опруга даје мањи отпор?
106
16. Ако је основица једнакокраког троугла а = 6,5cm, изрази зависност обима од крака троугла. Да ли су у овом случају обим и крак директно пропорционалне величине? 17. Страница ромба је а = 3,5cm. Изрази зависност површине од висине ромба. Да ли су у овом случају површина и висина ромба директно пропорционалне величине? 18. Запиши зависност величина (облика y = k · x ) која одговара нацртаном графику:
х , 3 ), тако да оне припадају графику 19. Одреди непознате координате тачака А(8, y ) и В( х 2 3 = х . зависности y = 4
облик у y = k · x ):): 20. Одреди кроз које квадранте пролазе графици зависности (у облику а) y = = 6 x , x R; б) y = = –5 x , x R; в) y = = – 7 x , x R; г) y = = 4 3 x , x R. 2 7
21. Одреди параметар р тако да график зависности припада првом и трећем квадранту: а) y = = ( р р + 2) x x ; б) y = = (3 – р) x x ; в) y = = (2 р – 4) x x . 22. Одреди параметар m тако да график зависности припада другом и четвртом квадранту: а) y = = (3m + 2) x x ; б) y = = (5 – 2m) x x . = 1 x , а затим нацртај график симетричан нацртаном 23. Нацртај график зависности y = 2 графику у односу на х осу. осу. Одреди зависност величина новодобијеног новодобијеног графика.
= – 4 x , а затим нацртај график симетричан нацртаном 24. Нацртај график зависности y = 3 графику у односу на y осу. осу.
ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ и у су су обрнуто пропорционалне са коефицијентом пропорционалности 1. Величине х и k = = 12 то јест x · y = = 12. Попуни дату табелу: х
6
2
3
1
4
12
у
107
2. Величине х и и у су су обрнуто пропорционалне. Одреди коефицијент обрнуте обрну те пропорционалности ако је зависност величина дата табелом: х
1
2,5
10
5
6,25
у
5
2
0,5
1
0,8
3. Испитај да ли су величине дате табелом обрнуто прпорционалне: х
2
4
1 2
8
х
2
4
3
у
4
2
8
1
у
1 4
1 8
1 6
2 3 3 4
и у обрнуто обрнуто пропорционалне величине, одреди коефицијент обрнуте 4*. Ако су х и пропорционалности, попуни дате табеле и нацртај график зависности: а) б) х 2 0,5 1 12 х 4 2 0,5 16
у
6
1
2
у
8
4
1
5*. Нацртај график зависности (обрнуте пропорционалности): = 10 , х > 0; = 4 , х > 0; = 5 , х > 0; а) у = б) у = в) у = x x 2 x = 10 , х > 0; = 1 , х > 0. г) у = д) х · · у = 12, х > 0; ђ) х · · у = 3 x 2 6. Одреди коефицијент обрнуте пропорционалности ако графику те зависности припада тачка: а) А(4, 1); б) В(6, 3); в) С (3, 1 ); г) D(2, 50). 6 7. Површина правоугаоника је 20cm 2. Изрази зависност дужине правоугаоника ( а) од ширине (b). 8. Троугао има површину од 12cm2. Одреди зависност висине троугла (ha) од дужине странице (а) троугла. 9. Површина ромба је 24cm 2. Изрази зависност једне дијагонале од друге. 10. Мотоциклиста треба да пређе пут од 60km. Изрази зависност времена које је потребно да пређе пут од брзине брзи не којом се креће. 11. Фабричка преса мора да делује силом од 500N. Одреди зависност убрзања ( а) од масе тела (m) којим се делује. 12. Одреди које су величине директно, а које обрнуто пропорционалне: а) Суседне странице правоугаоника сталне површине Р ; б) Површина троугла и његова висина ако је одговарајућа страница сталне ду жине; в) Укупна цена плаћеног воћа и количина купљеног воћа; г) Пређени пут и брзина при равномерном кретању; д) Брзина равномерног кретања тела и време потребно да се пређе пут од 20km.
108
* Задаци означени звездицом односе се на цртање графика обрнуте пропорционалности, што није предвиђено Програмом.
13*. Нацртај графике следећих зависности: = 3 , х R \ {0}; а) у = б) у = = – 3 , х R \ {0}; x
x
= 1 , х R \ {0}; в) у = 2 x
г) у = = – 1 , х R \ {0}; 2 x
ПРИМEНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТИ 1. Провери да ли су тачне пропорције: а) 3 : 2 = 9 : 6; б) 18 : 24 = 3 : 4; 2. Израчунај непознати члан следећих пропорција: а) 1 = x ; б) –3 : (–7) = 15 : х ; 2 12 д) 5 1 : х = 3,3 : 9,7; ђ) 5 : ( х – 4) = 95 : 44; 2
в) 9 : 11 = 11 : 9.
в) х : 4,2 = –5 : 7,5;
+ 2 = 5 ; г) x + 7 21
е) х : : ( х х + + 1) = 8 : 10.
3. Прва три члана пропорције су 5, 11 и 55. Одреди четврти члан пропорције. за које су бројевне вредности израза х + + 8 и 2 х – – 6 директно пропорционалне 4. Одреди х за бројевима 8 и 5. за које су бројевне вредности израза 4 х – – 9 и 3 х + + 1 обрнуто пропорционалне 5. Одреди х за бројевима 25 и 23. ≠ 0), докажи да је: 6. Ако је a = c (а, b, c , d ≠ b а) c + a = d+b в) a + 2c = b + 2d
d a = b a = b
c (b + d ≠ 0); d c (b + 2d ≠ 0); d
б) c – a = a = c (b ≠ d ););
d–b b d г) 4a – 3c = a = c (4b – 3d ≠ ≠ 0). 4b – 3d b d
м еста на карти 3,7cm, 7. Карта је рађена у размери 1 : 200 000. Ако је растојање између два места колико је растојање у природи?
8. Растојање између Крагујевца и Краљева је 45km, а између Крагујевца и Београда 92km (ваздушном линијом). Колика су ова растојања на карти која је рађена у размери 1 : 100 000? 9. За 6kg кромпира плаћено је 138 динара. Колико динара треба платити 15kg кромпира? 10. Од 3kg брашна добије се 28 ђеврека. Колико брашна је потребно за 140 ђеврека? 11. Инжењер на службеном путу за 4 дана проведених у иностранству добије 448 евра. Колико новца ће добити ако у иностранству и ностранству проведе 6 дана? изг уби 0,2kg од своје телесне тежине. Колико је 12. Возач формуле 1 за 10 минута трке изгуби трајала трка ако је на крају трке изгубио 2,1kg?
109
13. Бициклиста пређе 9km за 15 минута. За које време ће прећи пут од 12 600m? 14. Од 80kg печурака сушењем се добије 15kg. Колико се килограма сувих печурака добије од 120kg свежих? д ана би школу окречило 5 радника? 15. Три радника окрече школу за 10 дана. За колико дана
16. Ако се воз креће брзином од 80km/h, прећи ће предвиђени пут за 2 сата и 30 минута. Којом брзином треба да се креће воз да д а би стигао на време до крајњег одредишта ако је у старту било кашњење од 30 минута? 17. У подруму је вино које треба флаширати. Ако је за то вино потребно 36 боца од 0,75l, колико боца од 1l је потребно за исту количину вина? 18. Базен напуне 2 једнаке славине за 18 сати. Колико је времена потребно да 3 такве славине напуне базен? 19. Зидар заврши неки посао за 12 дана ако ради 10 сати дневно. За колико дана ће завршити исти посао ако ради 8 сати дневно? 75W.. Колико је потребно 20. За осветљење учионице потребно је укључити 24 сијалице од 75W сијалица од 100W за осветљење те просторије?
21. За транспорт грађевинског материјала на градилиште потребно је 15 камиона носивости од 3 тоне. Колико камиона носивости од 5 тона би требало ангажовати за исту количину материјала? 22. Број 22 подели на два сабирка који су у размери 5 : 6. 23. У једном одељењу има 28 ученика. Ако се број дечака и број девојчица односи као 3 : 4, колико у том одељењу има дечака, а колико девојчица? 24. Два комплементна угла су у размери 2 : 7. Одреди мере тих углова. 25. Обим правоугаоника је 30cm. Одреди његове странице ако се оне односе као 4 : 1. његових страница ако су оне у размери 2 : 5 : 6. 26. Обим троугла је 26cm. Одреди дужине његових њи хове мере. 27. Унутрашњи углови троугла односе се као 2 : 3 : 5. Одреди њихове
28. Један угао троугла је 40°, а друга два се односе као 1 : 3. Одреди њихове мере. 29. Спољашњи углови троугла односе се као 3 : 4 : 5. Одреди меру најмањег унутрашњег угла тог троугла. 30. Четири друга треба да поделе 154 сличице у размери 2 : 3 : 4 : 5. Колико сличица ће добити свако од њих? 31. Унутрашњи углови петоугла односе се као 4 : 5 : 6 : 7 : 8. Одреди њихове мере.
110
32. Кружница је тачкама А, В и С подељена подељена у рaзмери 2 : 3 : 7. а) Израчунај централне углове одговарајућих кружних лукова. б) Израчунај унутрашње углове троугла АВС . п оделе зараду од 19 800 динара. Како да поделе зараду ако је 33. Два радника треба да поделе један радио 4, а други 5 дана?
34. Неки посао 16 радника заврши за 15 дана, радећи 9 сати дневно. За колико дана би био завршен исти посао ако 18 радника ради 8 сати дневно? 35. Неки посао 15 радника заврши за 24 дана, радећи 8 сати дневно. Колико би радника требало да раде исти посао да би завршили за 12 дана, а да при том раде 12 сати дневно? Коли ко ће коштати хаљина ако: 36. Цена хаљине је 3 200 динара. Колико а) појефтини за 30%; б) поскупи за 15%? ди нара. Колико процената износи 37. Цена 1kg бомбона повећана је са 280 на 350 динара. поскупљење?
38. Ако је цена џемпера снижена са 2 400 динара на 1 560 динара, израчунај колико процената износи снижење. 39. После поскупљења од 20% цена бензина је 90 динара. Колика је била цена бензина пре поскупљења? 40. Од 30 ученика једног одељења, 80% их је пошло на екскурзију. Колико ученика тог одељења није пошло на екскурзију? одељењу, на екскурзију је пошло 28 ученика. Изрази Из рази у процентима број 41. Од 35 ученика у одељењу, ученика који нису пошли.
42. Од 125 страна књиге које је ученик планирао да прочита, прочитао је 80%. Колико је још страна остало да прочита? 43. Колико је коштала књига ако после снижења од 20% њена (садашња) цена износи 1 988 динара? 44. После поскупљења од 16% цена џемпера је 1 740 динара. Колика је била цена џемпера пре поскупљења? 45. Цена кошуље је повећана са 1 600 на 1 800 динара. ди нара. За колико процената је поскупела кошуља? 46. Ако се у 3,6l воде сипа 9d l боје за кречење, колико процената боје садржи тај раствор? 47. На општинском такмичењу из математике 14 ученика седмог разреда је решило све задатке тачно. Три Три задатка је решило 32% ученика, а 12% ученика је решило један задатак. Колико је ученика седмог разреда учествовало на такмичењу? такмичењу?
111
48. Правоугаоно школско двориште има дужину 80 метара и ширину 48 метара. Ако би се дужина повећала за 15%, а ширина за 25%, за колико процената би се повећала површина дворишта? 49. За колико се процената промени производ нека два броја ако се један чинил ац повећа за 10%, а други смањи за 20%? 50. Столњак у облику правоугаоника при прању се скупља за 3% по дужини и за 2% по ширини. За колико процената се смањила површина столњака после прања? 51. Школа има 550 девојчица и 500 дечака. Верску наставу похађа 70% девојчица и 75% дечака. Колико процената ученика те школе похађа верску наставу? 52. Цена рукавица у току јесени је била 450 динара. У зимском периоду је повећана на 500 динара, а у пролеће је снижена на првобитну цену. а) Израчунај проценат повећања цене. б) Израчунај проценат снижења цене. 53. Цена књиге је повећана за 20%, а затим за још 8% од нове цене. Колика је садашња цена књиге ако је пре првог поскупљења била 750 динара? 54. Цена књиге је снижена за 20%, а затим за још 10%. Колика је садашња цена књиге ако је пре првог појефтињења била 760 динара? 55. Од 950 ученика једне школе, 40% је постигло одличан успех на крају школске године, а од њих је 15% са свим петицама. Колико ученика има све петице? 56. Пријемни испит у једној школи полагало је 150 ученика. Положило их је 90%, а од њих 20% има максималан број поена. Колико ученика има максималан број поена? 57. Ако трговац продаје 1kg лешника по 520 динара, зарађује 4%. Колико би процената износила зарада ако би 1kg лешника продавао по 525 динара? 58. Ако је трећина укупне количине робе продата са зарадом од 10%, а половина са губитком од 15%, са колико процената зараде треба продати преостали део робе па да не буде ни губитка ни добитка? 59. У подруму је било 100kg кромпира који садржи 96% воде. Стајањем кромпир губи воду, па је сада количина воде у њему 95%. Колико сада има кромпира у подруму? 60. Свеже шљиве садрже 85% воде, а суве шљиве 25%. Колико сувих шљива се може добити од 85kg свежих? 61. Свеже печурке садрже 81% воде, а суве печурке 5% воде. Колико свежих печурака је потребно да би се добило 5kg сувих?
112
62. Једна чоколада је појефтинила за 10%, а затим за још 5% и сада је њена цена 171 динар. Колика је била цена те чоколаде после првог појефтињења? Колика је била првобитна цена те чоколаде? 63. Зимске рукавице су прво поскупеле за 8%, а затим за још 25%. Садашња цена (после два поскупљења) тих рукавица је 1 080 динара. Колика је била цена тих рукавица после првог поскупљења? Колика је била првобитна цена тих рукавица? 64. Једна врста кошуља је, због лоше продаје, појефтинила за 10%. Како је продаја кренула боље, продавац је тој врсти кошуља повећао цену за 10%. На измаку сезоне продавац је одлучио да смањи цену за 20% и сада их продаје по цени од 2 376 динара (по комаду). Колика је била првобитна п рвобитна (пре првог појефтињења) цена једне кошуље те врсте? Коли ко се јабука може купити 65. За извесну количину новца може да се купи 75kg јабука. Колико (за ту количину новца) ако се цена јабука по килограму: а) повећа за 25%; б) смањи за 25%?
66. Управа компаније је утврдила да је у самопослузи „Горња варош“ у марту месецу продато робе за 12 000 000 динара. На основу стања на тржишту, управа је направила план да се у тој самопослузи сваког месеца повећа продаја (у односу на претходни месец за) за 1%. Колико је робе планирано п ланирано да се прода у самопослузи “Горња “Горња варош” у мају, а колико у јуну месецу исте године? Колико повећање продаје (у динарима) је било у априлу, а колико у јуну у односу на претходни месец?
113
ТЕСТ � ЗАВИСНЕ ЗАВ ИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО ГР АФИЧКО ПРЕДС П РЕДСТ ТАВЉАЊЕ осе? 1. Колико је тачка А(–3, 2) удаљена од у осе? а) 3; б) –3; в) 2; г) –2.
2. У координатном систему су дате тачке А(2, 5) и В(6, 2). Дужина дужи АВ је: а) 5; б) 10; в) √ 113 г) 25. 113; 3. Израчунај обим и површину троугла АВС са са слике. Одговор: О =
, P = =
4. Зависност дуже дијагонале правилног шестоугла од његове странице описује формула: = 1 a; = a√ 3; а) d = б) d = a; в) d = г) d = = 2a√ 3. 2 2 = –3 х , х R. 5. Која од тачака не припада графику зависности у = а) А(2, –6); б) B(–3, 9) ; в) C (–2, (–2, –5); г) D(4, –12) .
6. Четири радника окрече зграду за 18 дана. Шест радника (са истим радним временом) би зграду окречило за: а) 6 дана; б) 9 дана; в) 12 дана; г) 27 дана. 7. Унутрашњи углови троугла односе се као 3 : 4 : 5. Најмањи од његових углова има: а) 15°; б) 20°; в) 30°; г) 45°. 8. После снижења од 10% цена књиге је 288 динара. Пре снижења књига је коштала: а) 259,2 динара; б)298 динара; в) 320 динара; г) 2 880 динара.
. 4 ; 6 = . 3 ; ) а . 2 ; ) а . 1 . ) в . 8 ; ) г . 7 ; ) в . 6 ; ) в . 5 ; ) б Р , 2 1 = О
114
: а њ е ш е Р
ЗАВИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ ВЕ ЛИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО ГР АФИЧКО ПРЕДСТ ПРЕДС ТАВЉАЊЕ � РЕШЕЊА РЕШЕ ЊА 1.
5
5
(–1, –1), D(–6, 2), E (–3, (–3, 0), F (–2, (–2, –5), G(3, 3) и H (0, (0, 4). 2. A(2, 1), B(1, –4), C (–1, 3.
у I и V у у II квадранту. 4. Тачка R је у IV, S у III, T у 5. A(1, –6). 6. d A = 3, d B = 6.
б) S2(–3, 5); в) S3(–3, –5). 7. a) S1(3, –5); 8. А1(3, –1), В1(4, –3), С 1(2, –5). (Слика десно) 9. а) В1(9, –2), С 1(–1, –1), D 1(5, 2), Е 1 1(–6, 3); б) В2(–9, 2), С 2(1, 1), D 2(–5, –2), Е 2 2(6, –3); в) В3(–9, –2), С 3(1, –1), D 3(–5, 2), Е 3 3(6, 3). 10. А1(–3, 1), В1(–7, 1), С 1(–7, 5), D 1(–3, 5). -осе и горе у односу на x -осу. -осу. 11. А је десно од y -осе B је лево од y -осе -осе и горе у односу на x -осу. -осу. C је је лево од y -осе -осе и доле у односу на x -осу. -осу. D је десно од y -осе -осе и доле у односу на x -осу. -осу.
РАСТОЈАЊЕ ИЗМЕЂУ ДВЕ ТАЧКЕ У КООРДИНАТНОМ СИСТЕМУ 1. А(1, 0), В(4, 0) и АВ = 3; G(–4, –1), H (–4, (–4, –3) и GH = = 2; 2. a) AB || y , AB = 3;
C (0, (0, –3), D(0, –4) и CD = 1; M(–1, 3,5), N (5, (5, 3,5) и MN = = 6.
б) CD || x , CD = 7;
|| y , EF = 7; в) EF ||
E (–6, (–6, 2), F (–2, (–2, 2) и EF = = 4;
|| x , GH = г) GH || = 7 1 . 3
115
= a · b = 5; је правоугли, а = 2, b = 5 и P = 3. a) ∆ АВС је 2 = a · b = 9; б) ∆ АВС је је правоугли, а = 3, b = 6 и P = 2 = a · b = 5; в) ∆ АВС је је правоугли, а = 5, b = 2 и P = 2 = a · ha = 8; г) ∆ АВС је је разнострани и оштроугли, а = 4, ha = 4 и P = 2 = a · ha = 6; д) ∆ АВС је је једнакокраки, а = 6, ha = 2 и P = 2 = a · ha = 3. ђ) ∆ АВС је је тупоугли, а = 3, ha = 2 и P = 2 2 2 2 x В – x А) + ( y y В – y А) = (5 – 2)2 + (7 – 3) 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25, то је АВ = 5; 4. а) Како је АВ = ( x б) АВ = 10; в) АВ = 13; г) АВ = √ 193 ђ) АВ = √ 2. 193; д) АВ = 17; а) б)
116
в)
г)
д)
ђ)
5. а) ОМ = 13; б) ОМ = 2√ 5. 6. Како је 132 – 122 = 25, то је y M = 5 или y M = –5. 7. х M = 15 или х M = –15. = 6, ВС = = 8 и АВ2 = АС 2 + ВС 2, АВ = √ 62 + 82 = √ 100 100, АВ = 10 је О = 24; 8. а) Из АС = 2 2 б) АС = = 3, ВС = = 4, АВ = √ 3 + 4 = √ 9 + 16 = √ 25 25, АВ = 5, О = 12; 2 2 =ВС = = √ 3 + 4 = √ 9 + 16 = √ 25 в) АВ = 6, АС = 25 = 5, О = 16; 2 2 =ВС = = √ 3 + 4 = √ 9 + 16 = √ 25 г) АВ = 8, АС = 25 = 5, О = 18. = а = 3, АС = b = 4 и АВ = c , где је c 2 = b2 + a2, c = = 5, добијамо O = a + b + c , 9. а) Како је ВС = = a · b , односно P = односно O = 12 и P = = 6; 2 2
= ВС = = b, b = a + ha 2, b = 5, O = 18, P = = a · ha = 12; б) АВ = а = 8, ha = 3, АС = 2
( 2 )
2
= а = 4, ha = 6, АВ = АС = = b, b = 2 √ 10 в) ВС = =12. 10, O = 4(1 + √ 10 10), P =12. 10. Како је А1(–3, –2), А2(3, 2) и А3(3, –2), то је четвороугао АА1 А2 А3 правоугаоник чије су странице a = 6, b = 4. Сада је O = 20 и P = = 24. = √ a2 + b2, односно d = = 10. 11. Како је D(–2, 4), то је a = 8 и b = 6, а онда је d = 12. Видиш да је a = 3 и да задатак з адатак има 2 решења: С 1(1, –1), D1(–2, –1) и С 2(1, 5), D2(–2, 5).
п а је B(0, 1), D(0, 7); 13. а) Дијагонале квадрата се полове и узајамно су нормалне, па б) Сада је d = = 6, а = 3√ 2, O = 12√ 2 и P = = 18. = 5, O = 18 и P = = 15. 14. а) Правоугли трапез; б) a = 7, b = 3, h = 3, c = 15.
16.
а)
б)
в)
г)
117
ГРАФИК ГР АФИК ЗАВИСНОСТИ ЗАВИСНОС ТИ МЕЂУ ВЕЛИЧИНАМА 1. a)
б)
2.
х
–3
–2
–1
0
1
2
3
–2 х + + 1
7
5
3
1
–1
–3
–5
х
–9
| х | – 3
6
–2 1 2 – 1 2
0 –3
3.
1 5 –2 4 5
8 5
Број предмета
Разред
4. Представи у координатном систему тачке са координатама (0, –2), (1, –2), (2, –3) и тако даље до (16, 4), па их споји изломљеном линијом. август у најмање 10mm; 5. а) У октобру највише 80mm, у августу б) 30mm; в) у јануару јануару,, марту и јуну. 6.
118
7. Пређени пут је s = v · t , па је s = 8t .
8. a) Слика десно; б) 12,5km; в) Између 7 и 8 сати и то брзином v = = 4km/h.
10.
2
d
√ 2
a
a = √ 2 d ,
9. O = 4a.
3√ 2
5
3
5√ 2 2
12.
d m
3
3√ 3
d v
2√ 3
6
d v v = 2√ 3 d m,
3
2
11. Зависност h од a се описује са h = √ 3 a, а зависност a од h са a = 2√ 3 h. 2 3
119
ДИРЕКТНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ. ГРАФИК ГР АФИК ЗАВИСНОСТИ ЗАВИСНОС ТИ y = k ∙ x, x R 1. х
0
1
2
3
4
7
10
y
0
3
6
9
12
21
30
= 1 . б) k = 2 б) не.
2. a) k = 2; 3. а) да, k = 4; 4.
120
а) y = = 3 x , к = 3 х
9
2 2 3
2
y
27
8
6
1 2 1 1 2
1 3
= 2 x , к = = 2 б) y = 3 3 1 х 3 6 1 2
2
y
4
1
2 1 1 3
5. а)
б)
в)
г)
д)
ђ)
е)
ж)
3 4 1 2
6. а) k = 5;
= 1 ; б) k = 4
7. s = 12t .
= 7 . в) k = 3
8.
9. Да, k = = 250.
10. О = 4а. 8 7 6 5 4 3 2 1
= 6. 11. О = 6а, k = 12. а) О = 3а, k = 3; = а2, нису директно пропорционалне; в) Р = д) Р = = 6а2, нису директно пропорционалне;
б) О = 4а, k = = 4; = √ 2a, k = = √ 2; г) d = = √ 3 ; ђ) r u = √ 3 a, k = 6 6
= √ 3 ; е) h = √ 3 a, k = ж) О = 2πr , k = = 2π; 2 2 = r 2π, нису директно пропорционалне; = √ 3a, k = = √ 3; з) Р = и) d = 2 = 3a √ 3 , нису директно пропорционалне. ј) Р = 2 и k = с таје 65 динара. Значи, y = = 65 x и = 65. 13. Како је за 5kg дато 325 динара, то 1kg стаје 14. a) Ако за 3 сата окречи 8m 2, онда за 1 сат кречи 8 m2. Значи, за 8 сати ће окречити 64 m2; 3 3 б) За 34m2 му је потребно 12 3 h. 4 в) Слика десно.
15. У другом. 16. О = 6,5 + 2b; Не. = 3,5h; Да. 17. P = 18. а) y = = x ;
б) y = = – x ;
в) y = = 3 x ;
г) y = = – 1 x . 4
19. А(8, 6), В(2, 3 ). 2 20. а) I и III; б) II и IV; в) II и IV; г) I и III. 21. а) р + 2 > 0, p > –2; б) p < 3; в) p > 2. 22. a) 3m + 2 < 0, m < – 2 ; б) m > 5 . 3 2
121
= – 1 x . 23. y = 2
24.
ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ 1.
х
6
2
3
1
4
12
у
2
6
4
12
3
1
= 5. 2. k =
3. a) Не; 4. а)
5. а)
122
= 1 . б) Да и k = 2
б)
х
2
1 2
1
6
3
12
х
4
1
2
1 2
16
8
у
3
12
6
1
2
1 2
у
2
8
4
16
1 2
1
б)
в)
г)
д)
6. а) k = 4; 7. а = 20 . b
ђ)
= 100. = 1 ; г) k = в) k = 2 8. ha = 24 . 9. d 2 = 48 .
б) k = 18;
a
12. a) Обрнуто пропорционалне; в) Директно пропорционалне; д) Обрнуто пропорционалне. 13. а)
а)
d 1
= 60 . 10. t = v
= m ∙ a, a = 500 . 11. F = m
б) Директно пропорционалне; г) Директно пропорционалне; б)
б)
ПРИМEНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТИ 1. а) Тачно; б) Тачно;
в) Нетачно.
= – 1 ; д) х = = 16 1 ; ђ) х = = 6 6 ; е) х = = 4. 2. а) х = 6; б) х = 35; в) х = –2,8; г) х = 3 6 19 = 121. 3. 5 : 11 = 55 : х , х = х + + 8) : (2 х – – 6) = 8 : 5, х = = 8. 4. ( х 5. (4 х – – 9) : (3 х + + 1) = 23 : 25, х = = 8.
123
= kd , па је c + a = kd + kb = k (d + b) = k . Како је и 6. а) Нека је a = c = k . Тада је а = kb и c = b
d
d+b
d+b
d+b
c + a = k , закључујемо да је c + a = a = c ; d+b d+b b d
б) Слично као под а); = kd , па је a + 2c = kb + 2kd = k (b + 2d ) = k . Како је и в) Нека је a = c = k . Тада је а = kb и c = b d b + 2d b + 2d b + 2d a + 2c = k , закључујемо да је a + 2c = a = c ; b + 2d b + 2d b d г) Слично као под в). добијамо да је растојање у природи х = = 740 000cm = 7,4km. 7. Из 1 : 200 000 = 3,7 : х добијамо 8. Из 1 : 100 000 = х : : 45km, односно 1 : 100 000 = х : : 4 500 000cm, добијамо да је растојање на карти између Крагујевца и Краљева 45cm. Слично растојање на карти између Крагујевца и Београда је 92cm. 9. 6kg 138дин 15 : 6 = х : : 138, х = = 345 динара. 15kg х дин дин 10. 3kg 28 ђеврека х : : 3 = 140 : 28, х = = 15 килограма. х kg 140 ђеврека 11. 672 евра. 12. 105 минута. 13. 21 минут. 14. 22,5 килограма. 15. 3 радника 10 дана х : : 10 = 3 : 5, х = = 6 дана. 5 радника х дана дана 16. 150 минута 80 km/h х : : 80 = 150 : 120, х = = 100 km/h. 120 минута х km/h km/h 17. 27 боца. 18. 12 сати. 19. 15 дана. 20. 18 сијалица. 21. 9 камиона. и y = + у = = 5 : 6 следи х = = 5k и = 6k . Из х + = 22 следи 5k + + 6k = = 22, 11k = = 22, односно k = = 2, 22. Из х : : у = па је х = = 10 и y = = 12. 23. Из х : : у = и y = + у = = 3 : 4 следи х = = 3k и = 4k . Сада из х + = 28 добијамо 3k + + 4k = = 28, односно k = = 4, па је х = = 12 и y = = 16. и β = 7k . Из α + β = 90° и 2k + + 7k = = 90° добијамо k = = 10°, 24. Из α : β = 2 : 7 следи α = 2k и односно α = 20° и β = 70°. + 2k = = 30 и k = = 3, то је a = 12cm и b = 3cm. 25. Како је а : b = 4 : 1, a = 4k , b = k , 2a + 2b = 30, 8k + и c = = 2 : 5 : 6 следи a = 2k , b = 5k и = 6k . Сада из a + b + c = = 26 и 2k + + 5k + + 6k = = 26 26. Из а : b : c = добијамо 13k = = 26, односно k = = 2, па је a = 4cm, b = 10cm и c = = 12cm. и γ = 5k . Сада је α + β + γ = 180° и 27. Из α : β : γ = 2 : 3 : 5 следи α = 2k , β = 3k и 2k + + 3k + + 5k = = 180°, па је k = = 18°, а онда је α = 36°, β = 54° и γ = 90°.
124
28. α : β = 1 : 3, α = 35° и β = 105°. и γ1 = 5k . Сада је α1 + β1 + γ1 = 360°, односно 29. Из α1 : β1 : γ1 = 3 : 4 : 5 следи α1 = 3k , β1 = 4k и 3k + + 4k + + 5k = = 360°, па је k = = 30°. Спољашњи углови тог троугла су α1 = 90°, β1 = 120° и уну трашњи угао γ = 30°. γ1 = 150°, па је најмањи унутрашњи + d = = 2 : 3 : 4 : 5, a = 2k , b = 3k , c = = 4k , d = = 5k , a + b + c + = 154, 30. а : b : c : : d = 2k + + 3k + + 4k + + 5k = = 154, k = = 11, a = 22, b = 33, c = = 44, d = = 55. 31. Sn = (n – 2) ∙ 180°, Sn = 540°, α1 : α2 : α3 : α4 : α5 = 4 : 5 : 6 : 7 : 8, α1 = 4k , α2 = 5k , α3 = 6k , α4 = 7k , = 540°, k = = 18°, α1 = 72°, α2 = 90°, α3 = 108°, α4 = 126°, α5 = 8k , α1 + α2 + α3 + α4 + α5 = 540°, 30k = α5 = 144°. = 360°, k = = 30°, α1 = 60°, 32. а) α1 : α2 : α3 = 2 : 3 : 7, α1 = 2k , α2 = 3k , α3 = 7k , α1 + α2 + α3 = 360°, 12k = α2 = 90°, α3 = 210°; б) β1 = 30°, β2 = 45°, β3 = 105°. + у = = 4 : 5, х = = 4k , y = = 5k ; х + = 19 800, 4 k + + 5k = = 19 800, k = = 2 200, х = = 8 800, y = = 11 000. 33. х : : у = Дакле, један радник ће добити 8 800, а други 11 000. 34. I начин: 16 радника 15 ∙ 9 = 135 сати 8 х : : 135 135 = 16 : 18 8 х ∙ ∙ 18 = 135 ∙ 16 18 радника х ∙ ∙ 8 = 8 х сати сати х = = 15 дана II начин: Укупан брoј радних сати када тај посао ради 16 радника је 15 ∙ 9 ∙ 16 = 2 160 сати и биће једнак броју сати када тај посао ради 18 радника 8 сати дневно за х дана. дана. Дакле, 18 ∙ 8 ∙ х = = 2 160, па је х = = 15, то јест они би тај посао завршили такође за 15 дана. = 20 (радника). 35. Слично као 34. задатак, 15 ∙ 24 ∙ 8 = 12 ∙ 12 ∙ х , па је х = = 2 240 динара; 36. а) х : : 3 200 = 70 : 100, х = б) х : : 3 200 = 115 : 100, х = = 3 680 динара. ди нара 25%, па је поскупљење 25%. 37. Како је 280 динара 100%, то је 70 динара 38. Снижење је 35%. јес т цена пре поскупљења, 75 39. Како је 90 динара 120% првобитне цене, то је 100%, то јест динара (јер је (90 : 120) ∙ 100 = 75). 40. (20% ) 6 ученика. ил и 20% (јер је 35 : 7 = 100 : 20). 41. На екскурзију није пошло 7 ученика или 42. (20%) 25 страна. 43. 1 988 динара је 80%, а 100% је 2 485 динара. динара је 100%, х = = 1 500 динара. 44. 1 740 динара је 116%, х динара = 12,5%. 45. 1 600 динара је 100%, 200 динара је х %, х = %, х = = 20%. 46. 3,6 + 0,9 = 4,5 литара је 100%, 0,9 литара је х %, ученика је 100%, х = = 25 ученика. 47. 14 ученика је 100% – (32% + 12%) = 56%, х ученика 2 2 2 = 3 840m , a1 = 92m, b1 = 60m, P 1 = 5 520m , P 1 – P = = 1 680m , 3 840m2 je 100%, 1 680m 2 je 48. P = x %, %, x = = 43,75%, то јест површина је повећана за 43,75%. 49. P = = x ∙ ∙ y , x 1 = 1,1 x , y 1 = 0,8 y , P 1 = x 1 ∙ y 1, P 1 = 1,1 x ∙ 0,8 y = = = 0,88 x y y = = 0,88P , P – – P 1 = P – – 0,88P = je x %, 0,12P , P je je 100%, 0,12 P je %, x = = 12%, то јест производ п роизвод се на тај начин смањује за 12%. = a ∙ b, a1 = 0,97a, b1 = 0,98b, P 1 = a1 ∙ b1, P 1 = 0,97a ∙ 0,98b = 0,9506ab = 0,9506P , то је 50. Како је P = je x %, P – – P 1 = P – – 0,9506P = = 0,0494 P. P je je 100%, а 0,0494 P je %, то јест x = = 4,94%. Значи, површина столњака је мања за 4,94%. 51. Верску наставу похађа 385 девојчица и 375 дечака, што је укупно 760 ученика. Школа има 1 050 ученика, што је 100%, а 760 ученика је х %, %, то јест ≈ 72,38%.
125
52. а) 450 динара је 100%, 50 динара је х %, %, х ≈ ≈ 11,11%, то јест поскупеле су за приближно 11,11%; б) 500 динара је 100%, 50 динара је х %, %, х = = 10%, то јест појефтиниле су за 10%. динара је 120 %, па је х = = 900 динара. Код 53. Код првог повећања 750 динара је 100%, х динара другог повећања 900 динара је 100%, х динара динара је 108 %, па је коначно х = = 972 динара. динара је 80 %, па је х = = 608 динара. Код 54. Код првог снижења 760 динара је 100%, х динара другог снижења 608 динара је 100%, х динара динара је 90 %, па је х = = 547,2 динара. ученика је 40%, х = = 380 је број одличних ученика. Сада, 380 55. 950 ученика је 100%, х ученика ученика је 100%, х ученика ученика је 15%, х = = 57 је број ученика са свим петицама. испит, 27 ученика има 56. Слично као 55. задатак; 135 ученика је положило пријемни испит, максималан број поена. 57. 520 динара је 104%, па ако је х динара динара 100%, онда је х = = 500 динара. 500 динара је 100%, а 25 динара је х %, %, па је х = = 5%, то јест зарада је сада 5%. = 1 добијамо 1 ∙ 110% + 1 ∙ 58. Из 1 ∙ (100% + 10%) + 1 ∙ (100% – 15%) + (1 – 1 – 1 ) ∙ х = 3 2 3 2 3 2 85% + 1 ∙ х = = 1, односно 1 ∙ 1,1 + 1 ∙ 0,85 + 1 ∙ х = = 1, па је х = = 1,25, то јест 6 3 2 6 х = = 125% = 100% + 25%, што значи да преостали део робе треба продати са 25% зараде. 59. Количина воде варира, али количина суве материје је константна, што ћемо искористити за решавање задатка. Најпре je 100kg = 100%, а суве материје су 100% – 96% = 4%, односно 4kg. После стајања, 4kg је 100% – 95% = 5%, а онда је 100% тачно 80kg кромпира. шљи ва 85kg је 100%, а суве материје су 60. Слично као 59. задатак. Код свежих шљива 100% – 85% = 15%, односно 12,75kg. Суве материје код сувих шљива су 12,75kg, што је 100% – 25% = 75%, па је 100% сада 17kg. 61. Слично као 59. задатак. Код сувих печурака 5kg је 100%, а суве материје су 100% –5% = 95%, односно 4,75kg. Суве материје код свежих печурака су 4,75kg, што је 100% – 81% = 19%, а 100% је 25kg. би ла 180 динара, а њена првобитна цена је 62. После првог појефтињења цена чоколаде је била била 200 динара. 63. После првог поскупљења цена рукавице је била 864 динара, а њихова првобитна цена је била 800 динара. 64. Првобитна цена кошуље (пре првог појефтињења) је 3 000 динара. 65. а) 60kg; б)100kg. 66. У мају је планирано да се прода п рода робе за 12 241 200 динара, а у јуну ј уну за 12 363 612 динара. У априлу је продато робе за 120 000 динара више виш е него у марту, а у јуну за 122 412 динара него у мају.
126
КРУГ ОБНАВЉАЊЕ 1. Допуни реченице: Геометријски објекат који чине све тачке једне равни које су на растојању r од од дате тачке . О те равни назива се и обележава се са Геометријски објекат који чине назива се круг. A, 3cm). 2. Нацртај (конструиши) кружницу k ( A A, 2cm) k 2(B, 3cm) тако да кружнице: 3. Конструиши кружнице k 1( A а) немају заједничких тачака, б) имају једну заједничку тачку тачку,, в) имају две заједничке тачке. Каква су растојања центара ових кружница у односу на збир полупречника ове две кружнице?
4. Пречник круга је за 4cm дужи од његовог полупречника. Колики је пречник тог круга? 5. Колико заједничких тачака могу имати права и кружница? 4cm и 3cm додирују се: се: а) споља; б) изнутра. Израчунај 6. Две кружнице полупречника 4cm растојање између центара ових кружница.
7. У колико највише тачака кружница може да сече конвексан: а) петоугао; б) седмоугао? 8. Нацртај две произвољне тачке А и В. Конструиши кружницу тако да јој је: а) тачка А центар, а тачка В на кружници; б) дуж АВ пречник. 9. Конструиши кружницу k (O, 25mm) и на њој изабери тачку А. Конструиши све тачке на кружници које су од тачке А удаљене 4cm. Колико тачака је конструисано? 10. Нацртај произвољну праву p и тачку А ван ње. Конструиши кружницу која додирује праву p, а центар јој је тачка А. 11. Страница правилног многоугла је a = 6cm. Израчунај полупречник описане и уписане кружнице тог многоугла ако је он: а) троугао; б) четвороугао; в) шестоугао.
ЦЕНТРАЛНИ И ПЕРИФЕРИЈСКИ ПЕРИФ ЕРИЈСКИ УГ УГАО АО 1. На слици су назначени један периферијски и један централни угао. Црвеном бојом обој још три периферијска, а плавом још три централна угла које уочаваш на слици.
127
2. Нацртај кружницу k (O,3cm) и на њој одабери две произвољне произв ољне тачке А и В. Над мањим луком који одређују тачке А и В нацртај централни угао и три периферијска угла. Измери ове углове угломером. Шта закључујеш? зак ључујеш? 3. Допуни реченицу: Централни угао је
од периферијског угла над истим луком.
4. Одреди мере назначених углова α или β са слика. а) б)
58
15°
72°
г)
в)
д)
ђ) 73°
108°
108°
5. Одреди централни и периферијски угао круга над истом тетивом, ако је периферијски угао за 44° мањи од централног угла. 6. Збир централног и периферијског угла угла над истом тетивом је: а) 78°; б) 100°. Израчунај Израчунај мере тих углова. 7. У кружницу је уписан: а) једнакостранични троугао; б) квадрат; в) правилан шестоугао; г) правилан осмоугао; д) правилан дванаестоугао. Израчунај периферијски и централни угао над страницом сваког од датих многоуглова. 8. Дуж АВ је тетива централног угла чија је мера 68°34’. Под којим углом се види ова тетива из тачке С која која припада кружници? 9. Полупречник круга је 4cm. Одреди дужину тетиве која одговара периферијском углу чија је мера 90°. 10. У четвороуглу АВСD је α = 48° и β = 107°. Одреди све углове овог четвороугла ако се око њега може описати кружница. 11. Нацртај произвољан: а) оштроугли троугао АВС ; б) тупоугли троугао АВС са са тупим углом у темену В. На страницама АВ и ВС конструиши конструиши све тачке из којих се дуж АС види види под правим углом. Колико таквих тачака има у првом, а колико у другом случају?
128
12. Израчунај мере назначених углова са слике. сли ке.
70°
118°
33°
A, 4cm) и подели је на: 13. Нацртај кружницу k ( A
а) 3;
б) 4;
в) 6;
г) 8 једнаких делова.
14. Одреди централни и периферијски угао над мањим луком одређен тетивом која дели кружницу на два дела који се односе као: а) 1 : 1; б) 1 : 2; в) 3 : 1; г) 5 : 3; д) 7 : 1. 15. Тачке А и В деле кружницу у односу 2 : 7. Одреди углове под којима се тетива АВ види из центра кружнице и било које тачке мањег лука. 16. Конструиши правоугли троугао ако је дужина висине која одговара хипотенузи 3cm и дужина тежишне дужи која одговара хипотенузи 4cm. је описана кружница. Централни углови над страницама с траницама a, b и c су су 93°, 17. Око троугла АВС је 162° и 105°. Израчунај унутрашње углове тог троугла.
18. Троугао АВС је је уписан у кружницу са центром у тачки О. Ако је ОВА = 32°, израчунај унутрашње углове троугла АВС .
ВОС = 106° и
ви де његове катете из 19. Један угао правоуглог троугла је 25°. Одреди углове под којим се виде центра описане кружнице.
20. Угао између дијагонале и дуже странице правоугаоника је 33°. Под којим углом се виде краће, а под којим углом дуже странице правоугаоника из центра описане кружнице? 21. У круг је уписан: а) једнакостраничан троугао; в) квадрат; в) правилан шестоугао. У суседним теменима А и В конструисане су тангент тангентее круга. Израчунај величину угла који образују ове тангенте тангенте.. Конс труиши тангенте овог круга које садрже 22. Нацртај круг K (О, 3cm) и тачку А ван њега. Конструиши тачку А.
23. Нацртај произвољну кружницу, без обележавања његовог центра, и на њој произвољну тачку А. Конструиши центар те кружнице и њену тангенту у тачки А. тангентее ове 24. Нацртај кружницу K (О, 2,5cm) и тачку S такву да је ОS = 6cm. Конструиши тангент кружнице које садрже тачку S. Означи додирне тачке кружнице и тангенти са А и В. Докажи да је SА = SВ.
129
25. Из тачке А на круг K (O, 4cm) конструисане су тангент и Q. тангентее које додирују круг у тачкама P и Ако је AP = 6cm, израчунај обим и површину четвороугла APOQ.
ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ ТЕО РЕМЕ НА КРУГ 1. Тетива АВ круга K (O, 5cm) удаљена је од центра тог круга 3cm. Израчунај дужину тетиве АВ. 2. У кругу полупречника 10cm дужина једне тетиве је 16cm. Колико је та тетива удаљена од центра круга? 3. Тетива АВ круга и полупречници који спајају центар са њеним крајњим тачкама одређују једнакостранични троугао. Израчунај Израчунај полупречник круга круга ако је тетива удаљена од од центра круга 3√ 3cm. C
4. Израчунај полупречник круга, угао β и дужину тетиве АВ круга са слике ако је удаљеност тетиве од центра круга 6cm и: а) α = 30°; б) α = 45°; в) α = 60°; 6cm
А
5. Централни угао над тетивом АВ је прав. Израчунај полупречник круга ако је тетива АВ удаљена 4cm од његовог центра.
B
6. Дужина тетиве круга K (O, r ) je 12cm. Одреди полупречник овог круга ако је периферијски угао над овом тетивом 45°. 7. Две кружнице, свака са полупречником 9cm, секу се у тачкама А и В. Ако је удаљеност центара тих кружница 9√ 2cm, израчунај дужину тетиве АВ и угао под којим се она види из центра једне од кружница. од центра круга K (O, 4cm) је 5cm. Одреди дужину тангентних дужи из 8. Удаљеност тачке P од тачке P на на круг K .
9. Тачка А је удаљена 8cm од центра круга K . Ако је дужина тангентних дужи из тачке А на круг K једнака једнака 6cm, одреди полупречник круга K . 10. Дужина тангентне дужи из тачке С на на круг K (O, 5cm) je 2 √ 6cm. Израчунај дужину тетиве круга која спаја тачке додира круга и тангенти из тачке С . 11. Тетива АВ круга К (O, 6cm) је дужине 96mm. Израчунај дужину тангентних тужи ТА и ТВ овог круга ако је Т пресечна тачка тангенти круга у тачкама А и В кружнице. и D, тако да је четвороугао ADBC се секу у тачкама C и 12. Тангенте из тачака А и В на круг K се конвексан. Докажи да су збирови наспрамних с траница четвороугла АDBC једнаки. једнаки.
130
хипотенуза и r полупречник уписане кружнице правоуглог троугла, 13. Ако су a и b катете, c хипотенуза = a + b – c . докажи да је 2r =
14. Катете правоуглог троугла су 6cm и 8cm. Израчунај полупречник уписане кружнице троугла.
ОБИМ КРУГА 1. Пронађи пет предмета у својој околини који су у облика круга. Користећи канап измери њихов обим, а затим на лењиру или метру измери дужину канапа који представља обим. Након тога измери пречник предмета чије си обиме мерио. Израчунај количник обима и пречника кругова. Добијене резултате упиши у доњу табелу. табелу. Шта закључујеш? зак ључујеш? Обим Пречник Количник
2. Израчунај обим круга чији је полупречник: а) 2cm; б) 4,3cm; в) 2 √ 2cm; г) 3 dm. 4 3. Израчунај обим круга чији је пречник: а) 7cm; б) 1,2cm; в) 6 √ 3cm; г) 2 1 dm. 3 4. Израчунаj обим круга ако је његов пречник (узети π ≈ 22 ): a) 2,5dm; б) 4mm. 7 5. Израчунаj обим круга ако је његов полупречник (узети (уз ети π ≈): a) 7cm; б) 3 1 m. 2 6. Израчунај полупречник круга ако је обим круга: а) 4 π m; б) π cm; в) 11 π cm. 4 (уз ети π ≈3,14): 7. Израчунаj полупречник круга ако је његов обим (узети а) 6,28cm; б) 12,56cm; в) 31,4m; г) 1dm. м ањег круга 16 πcm, израчунај 8. Полупречници два круга се разликују за 4cm. Ако је обим мањег обим већег круга. по лупречник 2a од круга чији је полупречник 5 а? 9. За колико је мањи обим круга чији је полупречник
10. За колико се разликују обими два круга ако: а) им се полупречници разликују за 3cm; б) је полупречник једног три пута мањи м ањи од полупречника другог круга? 11. Марко се спрема за крос. На кружној стази вежба свакога дана тако што претрчи 23 пута ову стазу. Ако је пречник стазе 49 метара, колики пут Марко претрчи у току једног тренинга (узети π ≈ 22 )? 7 12. Буре је ојачано са металним тракама на три места. Колико метара ове траке је потребно ако је пречник бурета 0,6m (узети π ≈ 3,14)?
131
13. Зоран је купио пса и у дворишту је оградио кружни део травњака са 5 редова жице. а) Колико му је жице потребно ако је пречник ограђеног дела 3m? б) Израчунај полупречник ограђеног дела травњака ако је за ограђивање употребио 62,8m жице. М арко прешао бициклом ако се 14. Точак на бициклу има полупречник 30cm. Колики пут је Марко точак окренуо 597 пута? с у дужине 4cm и 6cm 15. Колики пут пређе врх мале, а колики врх велике казаљке сата чије су од поднева до поноћи једног дана?
16. У квадрат странице 12cm је уписана и (око њега) описана кружница. Израчунај обиме ових кружница. 17. Обим круга: а) уписаног у квадрат; б) описаног око квадрата је 26π cm. Израчунај обим и површину тог квадрата. 18. Дужина дијагонале квадрата је 16cm. Израчунај дужину делова те дијагонале који су изван круга уписаног у квадрат. 19. Израчунај обим уписане и описане кружнице око квадрата ако је: а) обима квадрата 8cm; б) површина квадрата 8cm2. Колико пута је обим описане опи сане кружнице већи од обима уписане кружнице? 20. Израчунај обим кружнице описаног око правоугаоника чије су странице 6cm и 8cm. 21. Обим круга описаног око правоугаоника је 26 πdm. Израчунај површину тог правоугаоника ако се његове странице односе као 5 : 12. 22. Катете правоуглог троугла су 12cm и 16cm. Израчунај обим описаног круга овог троугла. 23. У правоуглом троуглу је: а) a = 3cm и α = 30°; б) b = 4,2cm и β = 60°; в) a = 4 1 cm и β = 45°. 2 Израчунај обим описаног круга око овог троугла.
24. Обим описаног круга правоуглог троугла је 13 πcm. Израчунај обим уписаног круга овог троугла ако је једна катета 5cm. су нормалне и дужина PQ = 26cm, PR = 24cm. Израчунај обим 25. Тетиве PQ и PR круга K су круга K .
26. Израчунај обиме уписане и описане кружнице једнакостраничног троугла ако је: а) страница троугла 7cm; б) висина троугла 2√ 3cm; в) полупречник описане кружнице 4 √ 3cm. 27. Израчунај површину једнакостраничног троугла ако је обим уписане кружнице овог троугла √ 3cm.
132
28. Обими уписане и описане кружнице једнакостраничног троугла разликују се за √ 3πcm. Израчунај обим и површину тог троугла. 29. Страница правилног шестоугла је 4cm. Израчунај обиме уписане и описане кружнице. 30. Површина правилног шестоугла је 6 √ 3cm2. Израчунај обим уписане кружнице шестоугла. Из рачунај површину ромба и обим уписане 31. Дијагонале ромба су 2,4dm и 1dm. Израчунај кружнице ромба.
32. У кругу K (O, 3cm) нацртана су четири круга чији су центри на пречнику АВ круга и који се додирују као на слици. Пречник круга K је једнак збиру пречника четири мања круга. круга. Одреди збир обима та четири (мања) круга.
K
A
33. Израчунај обиме следећих фигура. а) б)
B
в)
2cm 4cm
5cm 5cm 6cm
в)
г)
д)
2cm 2cm
2cm
2cm
2cm
1cm 2cm
1cm
1cm 1cm
1cm
133
ДУЖИНА КРУЖНОГ ЛУКА = 6cm, коме одговара централни угао од: 1. Израчунај дужину кружног лука, полупречника r = а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 105°; д) 240°.
2. Израчунај полупречник кружнице ако кружном луку те кружнице дужине 5 πcm 3 одговара централни угао од 75°. 3. Полупречник кружнице је 8cm. Израчунај централни угао над кружним луком дужине: а) 2πcm; б) 2 2 πcm; в) 5 πcm; г) 5πcm. 3 3 4. Лук дужине πcm из центра тог круга види се под углом од 45°. Одреди полупречник круга. 5. Колики пут пређе врх казаљке сата дужине 4cm за: а) 1min; б) 7min; в) 48min? 6. Око квадрата ABCD странице 5cm описана је кружница. Израчунај дужину мањег кружног лука над страницом AD. 7. Странице правоугаоника су дужине 2 √ 3cm и 2√ 6cm. Израчунај дужину краћег лука над краћом страницом кружнице описане око тог правоугаоника ако је један од углова који одређују дијагонале 150°. 8. Око једнакостраничног троугла АВС , странице 6cm, описана је кружница. Израчунај дужину већег кружног лука те кружнице над страницом ВС . 9. Око правилног шестоугла описана је кружница полупречника 7cm. Израчунај дужину дужег кружног лука над краћом дијагоналом тог шестоугла. 10. Пречник круга АВ је дужине 16cm. Из тачке А конструисана је једна тетива круга која је једнака полупречнику круга. Означимо је са АС . Израчунај дужину мањег лука над тетивом ВС . 11. Израчунај дужину испрекидане линије ако су фигуре око којих су с у оне нацртане: а) квадрат; б) правоугаоник; в) правилан шестоугао; г) једнакостранични троугао.
12cm
10cm
134
6cm
8cm
12. Израчунај обиме осенчених фигура а) б)
70° 4cm 8cm
в)
105° 6cm
3
3 cm
ПОВРШИНА КРУГА 1. Израчунај површину круга ако је његов полупречник: а) 5cm; б) 4,2m; в) 2 √ 3dm. 2. Израчунај површину круга ако је његов пречник: а) 18cm; б) 5cm; в) 7 √ 6m. 3. Обим круга је 22πcm. Израчунај површину тог круга. 4. Површина круга је: а) 64 πcm2; б) 1,44πdm2; в) 32πmm2; г) 12πcm2; д) πm2. Израчунај његов обим. 5. Мерни број обима круга једнак је мерном броју површине тог круга. Израчунај његов пречник. 6. Израчунај обим круга чија је површина: а) за 13πcm2 већа од површине круга полупречника 6cm; б) једнака збиру површина кругова полупречника 24cm и 10cm. 7. Како се односе обими квадрата ако се њихове површине односе као 4 : 25? Како се односе обими кругова ако се њихове површине односе као 4 : 25? 8. Страница квадрата је 8cm. Израчунај површину круга у који је уписан тај квадрат. И зрачунај обим и површину уписаног круга у тај квадрат. 9. Обим квадрата је 16cm. Израчунај
10. Израчунај обим и површину квадрата ако је 81 πcm2 површина: а) уписаног круга; б) описаног круга. 11. Дијагонала квадрата је 14cm. Израчунај разлику површина описаног и уписаног круга тог квадрата. 12. Обим кружнице око које је описан квадрат је 24 πcm. Да ли је мања и за колико разлика површина описаног круга и тог квадрата или тог квадрата и у њему уписаног круга (узети π ≈ 3,14). 13cm. Израчунај обим и површину круга описаног 13. Странице правоугаоника су 6cm и √ 13 око тог правоугаоника.
135
14. Једна страница правоугаоника је 80cm, а површина круга описаног око њега је 25 πdm2. Израчунај обим и површину тог правоугаоника. 15. Правоугаоник је једном дијагоналом подељен на два правоугла троугла. Упореди обиме и површине описаних кругова око свака од ова два троугла и обим и површину круга описаног око тог правоугаоника. пу та већа 16. Обим правоугаоника је 12 √ 5cm. Ако је једна страница тог правоугаоника два пута од друге, израчунај површину круга који је описан око њега. правоугаоника су 4cm и 8cm. За колико се разликују површина круга 17. Странице правоугаоника описаног око тог правоугаоника и површина круга описаног око квадрата чија је површина једнака површини датог правоугаоника?
18. Катете правоуглог троугла су 0,2dm и √ 5cm. Израчунај обим и површину круга који је описан око овог троугла. 19. Површина описаног круга правоуглог троугла је 6,25 πcm2, а једна катета 3cm. Израчунај дужину хипотенузине висине. 20. Површина описаног круга око једнакокрако-правоуглог троугла је 16 πcm2. Израчунај површину тог троугла. 21. Катета правоуглог троугла је 2cm, а угао: а) наспрам ње је 30°; б) на њу налегли је 30°. Израчунај површину описаног круга око тог троугла. круг. Израчунај површине 22. У једнакостранични троугао је уписан и око њега је описан круг. тих кругова ако је: а) полупречник уписаног круга 3 √ 3dm; б) обим троугла 12cm; в) површина троугла 0,25√ 3m2.
23. У круг је уписан једнакостранични троугао странице 15cm. Израчунај површину тог круга. 24. Израчунај површине описаног и уписаног круга око и у правилном шестоуглу ако је: а) страница шестоугла 3cm; б) дужа дијагонала шестоугла 8mm; в) краћа дијагонала шестоугла 2 √ 3dm; г) површина шестоугла 3√ 3 m2. 2 25. Површина уписаног круга правилног шестоугла је 3 πcm2. Израчунај површину описаног круга. 26. Обим описане кружнице правилног шестоугла је 1,2 πdm. Израчунај површину уписаног круга тог шестоугла. 27. Дијагонала ромба је 10cm, а страница 7cm. Израчунај обим и површину уписаног круга у тај ромб. 28. Површина круга уписаног у ромб је 9 πcm2. Ако је један угао ромба 60°, израчунај његове дијагонале и страницу с траницу..
136
29. У фигуру странице a = 6cm је уписан круг, а у круг је уписана слична таква фигура. Израчунај површину уписане фигуре ако је она: а) квадрат; б) једнакостранични троугао; в) правилан шестоугао. с лике ако је полупречник највећих 30. Израчунај обим и површину осенчених фигура са слике кругова (полукругова) 4cm. а) б) в)
с лике ако су сви правоугаоници са 31. Израчунај обим и површину осенчених фигура са слике слике подударни и ако је површина сваког од тих правоугаоника 32cm2. а) б) в)
32. Израчунај обим и површину осенчених фигура са слике с лике ако је страница сваког од датих квадрата 8cm. а) б) в) г) д)
ђ)
е)
ж)
137
ПОВРШИНА КРУЖНОГ ПРСТЕНА по лупречнике: 1. Два концентрична круга имају полупречнике: а) 1cm и 2cm; б) 0,1m и 1,5dm; в) √ 2cm и √ 3cm; г) 4 dm и 0,1m. 5 Израчунај површину кружног прстена прс тена који ови кругови одређују. одређују.
2. Обими два концентрична круга су 34,54cm, односно 53,38cm. Израчунај површину прстена који оне формирају (узети π ≈ 3,14). 3. Површина кружног прстена је 48 πcm2. Ако је полупречник мањег круга кружног прстена 4cm, израчунај обим и површину већег круга. в ећег круга кружног прстена 4. Површина кружног прстена је 45 πcm2. Ако је полупречник већег 9cm, израчунај обим и површину мањег круга.
5. Разлика полупречника два круга који формирају кружни прстен је 7cm, а њихов збир је 17cm. Израчунај површину прстена. 6. Збир обима кругова који чине кружни прстен је 20 πcm. Ако се полупречници кругова разликују за 2cm, израчунај површину прстена. 7. Око безена облика круга постављене су плочице које формирају стазу ширине 1m. Ако је пречник базена 8m, израчунај површину које покривају плочице. 8. Пречник саобраћајног знака је 80cm. Овај знак је оивичен црвеном бојом ширине 5cm. Израчунај површину коју заузима црвена боја на знаку. 9. Израчунај површину кружног прстена који формирају уписан и описан круг: а) једнакостраничног троугла; б) квадрата; в) правилног шестоугла; ако је страница фигуре 6cm. 10. Површина кружног прстена који формирају описани и уписани круг једнакостраничног троугла је πcm2. Израчунај површину тог троугла. 11. Полупречник мањег круга кружног прстена је 3cm, а полупречник већег круга је 8cm. Израчунај полупречник трећег концентричног круга који ће делити кружни прстен на два дела једнаких површина.
ПОВРШИНА КРУЖНОГ ИСЕЧКА 1. Дат је круг полупречника 24cm. Израчунај површину кружног исечка тог круга коме одговара централни угао од: а) 20°; б) 30°; в) 75°; г) 105°; д) 210°; ђ) 300°. 2. Површина кружног исечка коме одговара централни угао од 75° је 40 πcm2. Израчунај 3 полупречник одговарајућег круга. 3. Површина кружног исечка круга K (O, 5cm) je 10 πcm2. Израчунај централни угао овог исечка.
138
4. Кружни лук над централним углом од 15° је дужине 0,5 πcm. Израчунај површину кружног исечка одређеног овим луком. 5. Израчунај дужину кружног лука одређеног кружним исечком полупречника 10cm, чија је површина 15 πcm2. 2 A, 5cm), коме одговара централни угао од 108°, има исту 6. Кружни исечак круга K 1( A површину као и кружни исечак круга K 2(В, r ),), коме одговара централни угао од 75°. Израчунај полупречник круга K 2.
7. Дуж АВ = 12cm ротира око тачке А за угао од 120°. Израчунај површину коју та дуж одређује током ротације и дужину пута који пређе тачка В. с лике ако су сви назначени троуглови 8. Израчунај обим и површину осенчених фигура са слике једнакостранични и имају страницу дужине 6cm. а) б) в) г)
д)
ђ)
е)
с лике ако су сви назначени 9. Израчунај обим и површину осенчених фигура са слике шестоуглови правилни и имају страницу дужине ду жине 12cm. а) б) в)
139
