EJERCICIOS
USANDO VARIACION INSTANTANEA RESPECTO AL TIEMPO Y USANDO LAS DERIVADAS I- el radio de una esfera disminue disminue a ra!"n de #$m%se&' el radio de la (ase de un $ono re$)o' ins$ri)o en di$*a esfera' aumen)a a ra!"n de +$m%se&, Cal$ular la raide! $on .ue /ar0a el /olumen del $ono $uando $uando el radio de la esfera es de +1$m el radio de la (ase del $ono es de 2$m,
SOLUCION3
Volumen del $ono4/5 $ono4 r5 DR%d)4#$m%se&5
dr%d)4+$m%se&5 1
R −r + R 5 *4 √ R 2
2
(
radio de la esfera4R5
/4
3
d/%d)4 π 2 r ∗dr ( √ R R −r + R ) + r 3
d/%d)4
290 3
2
dt
2
1
2
π r h= π r 3
2
(
2
al)ura del $ono 4*5
R − r + R ) ( √ R 5 2
RdR rdr − dt dt R −r √ R 2
radio de la (ase del
2
+
2
)
dR ; dt
3
π ∗c m seg
II- La mane$illa de *orario de un *orario de un relo6 mide #$m la del minu)ero' 7$m, Cal$ular la /elo$idad $on .ue los e8)rem e8)remos os de las a&u6as se a$er$an en)re s0 a las )res *oras en un)o,
SOLUCION3
Dis)an$ia en)re los e8)remos e8)remos de las las mane$illas4d5 mane$illas4d5 radio del minu)ero4R5 radio del *orario4r5 9n&ulo del minu)ero4:5 9n&ulo del se&undero4;5
π
D:%d)4#
d;%d)4
6
∗rad
hora
d=#4R=#>r=#-#Rr$os?;-:@5
d=#4#1-+2$os?;-:@5
PARA LAS TRES ORAS3 ;4<%#rad5
:41rad5
d47 √ 5 cm 5 #dBd?d@%d)4+2sen?;-:@?d;%d)-d:%d)@5 /alores3 − 26
D?d@%d)4
π
3 √ 5
reemla!ando
cm
∗
hora
III- uno de los lados de un aralelo&ramo es)9 aumen)ando a ra!"n de +1$m%se& uno de los ada$en)es es)9 disminuendo a ra!"n de #&rados%se&, De)erminar $on .ue raide! es)a /ariando el 9rea del aralelo&ramo en el momen)o en .ue )ales ledos miden #,7m +,m rese$)i/amen)e el 9n&ulo $omrendido es de 21&rados,
Area4A5
SOLUCION3
lado inferior4a5 lado la)eral4(5 9n&ulo en)re a( 4:5
Da%d)4+1$m%se&5 A4a(sin?:@5
d:%d)4-#&rados%se&5 ENTONCES3
(4$ons)an)e5
dA da a∗cosθ∗dθ = b∗( ∗sinθ + ) dt dt dt
dA%d)41,+#$m=#%se&
IV- una is$ina )iene F1ies de an$*o' 71ies de lar&o' Fies de rofundidad en un e8)remo ies en el o)ro' siendo el fondo un lano in$linado, Si la is$ina es)a llen9ndose $on un $audal de 71ies=F%se&, A .ue /elo$idad se ele/ando el ni/el del a&ua $uando di$*o ni/el es Gies en el e8)remo m9s rofundoH
SOLUCION3
Volumen4 /5 v=
h −5 + h 2
d/%d)471
pie s seg
3
5
rofundidad4*5
∗40∗30 4+#11*-F1115
ENTONCES3 d/%d)4+#11Bd*%d)5 1
D*%d)4
30
∗ pies seg
V- una ared *a$e un 9n&ulo de #<%Frad $on el suelo, Una es$alera de F1ies de lon&i)ud' es)a re$ar&ada so(re la ared su ar)e suerior es)a res(alando a la raide! de ies%se&, ue )an r9ido es)9 $am(iando el 9rea del )rian&ulo formado or la es$alera' la ared el suelo $uando la es$alera *a$e un 9n&ulo de <%2rad $on el sueloH,
+er lado 4a5 9rea4A5
SOLUCION3
#do lado4(5
Da%d)4-ies%se&
?es$alera ared@4:5
1
b
A4
2
asin ( 180−160 ) =
∗
3
2
5
ab
4
ero3 F1=#4a=#>(=#-#a($os?+#1@4a=#>(=#>a(5 Si a4 :4<%F5 d(%d)4ies%se&5
(45
#da%d)>#d(%d)>(Bda%d)>aBd(%d)41 5
1 2
3
dA%d)4
4
(
b∗da a∗ db + dt dt
)
=
0∗ pie s
2
seg
VI- un de"si)o de forma de un $ono in/er)ido' )iene una al)ura de +1m una (ase de +1m de di9me)ro, Si el de"si)o es)a llen9ndose a ra!"n de #m=F%se&, A .uK /elo$idad se es)9 ele/ando el ni/el del a&ua $uando el ni/el se en$uen)ra a Fm de la ar)e suerior del de"si)oH,
SOLUCION3
3
Volumen4/5 x 5
=
v=
h
5
10
π
radio4r
r4*%#5
2
∗r ∗h 5 3 π
dv = dt
4
8
¿m
49
π seg
v=
π 12
3
h ;
∗
2
h ∗d h
∗
*4al)ura5
dv 2 m = dt seg
dt
5
ENTONCES3
d*%d)4
VII- un a(re/adero *ori!on)al )iene +#m de lar&o sus e8)remos son )rae!oides $on al)ura 7m' (ase menor 7m (ase maor de 2m, se /ier)e a&ua a ra!"n de m=F%min, Con .ue raide! $re$e el ni/el del a&ua $uando el a&ua )iene #m de rofundidadH, SOLUCION3 3
Volumen4/5 b− 4 1 = 2h 4
v=
b +4 2
*4al)ura5
dv 8 m = dt min
(4*%#>75
∗h∗12 5
/4F*=#>7*5
d/%d)4?2*>7@,d*%d)5 2
∗m d h 15 = dt min
VIII- un lado de un re$)9n&ulo es 84#1m aumen)a a una /elo$idad de m%se&' el o)ro lado de 4F1m disminue $on una /elo$idad de 7m%se&, Con .ue /elo$idad /ariara el er0me)ro el 9rea de di$*o re$)9n&uloH
SOLUCION3
D8%d)4m%se&5 d%d)4-7m%se& Per0me)ro45
4#8>#5
rea4a5
a485
ENTONCES3
d%d)4#d8%d)>#d%d)5
da%d)4,d8%d)>8,d%d)5
D%d)4#m%se&5
da%d)4+1-14G1m=#%se&
