SOLUCIONARIO TERCERA P.C. DE MATEMÁTICA III Rodney López Loja
1
Evalue x − y − x d x d y Ω
,
Ω
SOLUCI ÓN : :
= (x , y )/)/ |x | + y ≤ 2
x − y − x d x d y = y − 2x d x d y + y d x d y R 1 R 2 Ω
D on on d e R 1 (x , y )/ y x , R 2 (x , y )/x y B a sa sa n d on on o s e n e l g r a f i c o . ., (1) R 1 y 2x d x d y R 3 (2 y x )d x d y R 4 (x 2 y )d x d y .., R 2 y d x d y R 5 ( y )d x d y R 6 ( y )d x d y D i vi v i d i en en d o a (1) e n r e g i on on e s s im i m pl pl e s − 1 x +2 0 x +2 −2 −2−x ( y 2x )d y d x −1 x ( y 2x )d y d x R 4 ( y 2x )d x d y
=
>
=
>
− − − = + = + − − − 2/3 2−x ( y − 2x )d y d x = 8 +3+ 4 = 113 = − + + 3 9 18 (2x − y )d x d y = 2/3 2x (2x − y )d y d x + 1 2−x (2x − y )d y d x = 40 + 52x = 1 R 3 x 0 2/3 x 81 81 9 D i vi v i d i en en d o a (2) e n r e g i on on e s s im i m pl pl e s ( y )d y d x = 1 x ( y )d y d x + 2 2−x ( y )d y d x = 1 + 1 = 1 R 5 (− y )d y d x =000 x (− y )d1 y d0 x + 2 0 (− y 6)d y6d x =3 1 + 4 = 7 0 x −2 −2/3 −2−x R 6 3 3 E nt nt on on ce s e l val al or or d e l a i nt n t eg e g r al al e s = x − y − x d x d y = 80 I = 9
Ω
2
Ev E v al a l ue ue x 2
e
+
2x
la y 2
s i g ui u i en e n t e i nt n t eg e g r al al
dxdy ;
Ω
d ob ob l e : x 2
= x , y
+
y 2
≤
4x
SOLUCI ÓN : :
− ≤ 2
* Sea la región θ ≤ 2 ; 0≤
al l o p as as am am o s a c oo oo r de d e na na d as a s p ol ol ar a r e s , donde : : ; l a c u al r ≤ 4co s θ ; d x d y = r d r d θ
Ω
1
∗La
i nt eg r al
− 4co s θ e 2
2
e n c oor de nad as
r
2co s θ r d r d θ
0
=
2 e 2
pol ar es
no s q ue da :
+ 1
U se i nt eg r al es d obl es p ar a c al cul ar el vol umen d el s ó lido acot ad o por un hex aed r o d e c ar a s r eg i one s t r i ang ul ar es equi l at er as d e l ad o l .
3
SOLUCI ÓN : Se z
t i ene
= −2
d oce
2x
+
f i g ur a s
3 −2 2x + V = 12 0 0 3l 6
3
i g ual es :
6l 3
6l 3 dydx
= l 6 2
V
2
4
Use coor denad as pol ar es par a ev al uar el ar ea l a r eg ion acot ad a por l as cur v as r eg ul ar es : ς1 : b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 y ς2 : a 2 x 2 b 2 y 2 a 2 b 2
+
=
+
SOLUCI ÓN : x 1 ab a 2 +b 2 Li mi t es d e l a r eg i on 0 x x 1 0 y a b a 2 x 2
=
d e i nt eg r aci on :
≤ ≤ ≤ ≤ − a −x x = S = A dydx 8 0 0 x A b 2 2 − − x d x 8 = 0 a a x A ab b 8 = 2 arcsin a +b A = 4ab arctan b a 1
b a
2
2
2
2
1
∴
3
=
de
Se a l a par t e d e una bol a d e r ad i o "a " r emov id a por una bar r ena ci l í nd r i c a d e d i á m e t r o "a " cu yo l ad o p asa por el cent r o d e l a es f er a . a ) B o s q u e j e . b ) Ob se r v ar q ue cons t a d e c ua tr o ped azos congruentes . Hal le el vol umen de uno d e est os ped azos .
ℜ
5
ℜ
ℜ
SOLUCI ÓN :
Bosquejando
ℜ:
H al l and o e l v ol ume n d e un p ed azo : Li mi t e s d e i n te g r ac ion : 2 ( a )2 En el pl ano "x y " l a r eg i ó n d e i nt eg r aci on e s : x 2 y a 2) 2 Se t omar a l a r eg i on posi t iv a d el pl ano " x y " T r an s f or m and o a c oor d en ad a s p ol a re s l a r e g i ón d e i nt eg r aci on con : x r cos θ ; y r sin θ a 2 ; se t i ene que r a sin θ
+ −
=
x r J (r ;θ) = y r
x = θ y = r θ
+
=
E nt onc es l os 0 r a sin θ 0 θ π2
l i mi t e s d e
E v al uand o e a 3 V 18 (3π 4)
i nt eg r and o c on
≤ ≤ ≤ ≤ 0 ≤ z ≤ a 2 − r 2 π2 a sin θ a 2 − r 2r d r d θ V = 0 0 32 a sin θ π2 − 1 2 2 V = 0 3 (a − r ) d θ 0 =
=
i n te g r ac i on
e n c oor d en ad as
r es pe ct o a θ se
−
4
t i ene :
p ol ar e s son :
Use i nt eg r al es d obl es en c oor d enad as r ec t an gul ar e s p ar a c al cul ar el vol umen d el s ó l i do ac ot ad o por l a s sup er f i ci es 4z 1 x 2 4 y 2 4z x 2 4 y 2 1 S 1 : y S 2 :
6
= − −
= +
−
SOLUCI ÓN : Al bo sque j ar l a g r á f i ca de l a su pe r f i ci e S ac ot ad a po r l as su per f i ci e s S 1 y S 2 notam por l a super f i ci e S e s d os vece s el vol umen encer r ad o por l as super f i ci es S 1 y el pl P or l o t an to an al i z ar e mo s e l v ol ume n e nc er r a do p or e st a s su pe r f i c ie s , m ul t i p l i c an do p o ob te ne r e l v al or d el v ol ume n q ue ne ce si t a mo s h al l ar. V D ϕ(x ; y )d y d x 2
=
2
2
= 1 −x −4 y
D ebi do al an á l i si s an te r i or p od emo s d ec i r q ue n ue st r a f unc i ó n ϕ(x ; y ) e s la r eq 4 v ol u me n s ol i c i t a d o . Lue go el d omi ni o D d e d icha f unci ó n , v iene a ser l a super f i ci e acot ad a por S 1 cuan 0 (o t ambi én S 2 cuando z 0) 2 2 1−x 1−x N ot amo s p ar a e st a su pe r f i c ie p l an a : y x [ 1;1] 2 ; 2 E nt onc es p od emo s c al c ul ar e l v ol ume n p ed i do .
=
→−
1−x 2 2
1 2 = −1 −
V
= −11
V
2 2
=
V
2
2
− π2
= 16π
El
7
∧
→−
1−x 2 −4 y 2 4 dydx
− 12 x 2 3 (1−x 2 ) 2 d x 6
H ac i end o π V
x sin θ
=
→
cos4 θ 6 d θ
→
vol umen
d x cos θd θ
=
= π8
V d el
s ó l id o acot ad o por
S 1
y
S 2
e s π8 u 2 (u ni d a d e s c u ad r a d a s )
Expr ese por i nt eg r al es d obl es el vol umen d el s ó lido acot ado por el t r onco d e ci li nd ro ci r cul ar r ec to. Las l ong i t ud es d e l asg ener at r i ce s d el t r onco son a y b (a b ), y l a l ong i tud d el r ad i o d e l a base es
>
SOLUCI ÓN : E l vol umen acot ad o por
el
t ronco
d e ci li nd ro
5
ci r cul ar
r ec to
se
R .
pued e c al cul ar
por
la
D ϕ( x ; y )d y d x
E n to nc e s p r oc ed e r em os a e nc on t r ar u na f u nc i ó n ϕ(x ; y ) cu yo d omi ni o se e nc ue nt re e n e l se a l a su pe r f i ci e su pe r ior d el t r onco d e c il i nd r o c ir cul ar r ec to . Si ubi camos l a base i n f er i or d el ci li nd ro sobr e el pl ano X Y d e maner a que el cent ro or i g e n d e c oor d en ad as , y adem á s que sobr e l os punt os (R ; 0) y ( R ; 0) en el pl ano X Y b y a r es pe ct i vame nt e . Lue g o p od emo s d ed uc i r un a f un ci ón ϕ(x ; y ) que cumpl a el ant er i or an á l i s i s . ϕ(x R ; y 0) b ϕ(x R ; y 0) a D e e st a m ane ra t ambi én podemos d educi r que en el cent ro de l a base i n f er ior del t r
−
= = = =− = =
b ϕ(x 0; y 0) a + 2 E nt onc es l a f u nc i ó n ϕ(x ; y ) vi ene a ser : b −a a +b ϕ(x ; y ) p ar a un t ronco d e ci li nd ro ci r cul ar r ec to cu yo cent ro d e l a base i n 2R x 2 Por l o t ant o, p od emo s c al cul ar e l v ol ume n p ed id o e n e l p robl em a : b −a a +b V D 2R x 2 dydx Si nue st ro domi ni o vi ene a ser l a r eg i ó n ci rcul ar x 2 y 2 R 2 ubi cad a en el pl ano X Y
=
= =
=
+
=
+
y R 2 Luego :
→−
+ =
− x 2; 2
2 R
− x 2
∧
x
→ [−R ; R ]
2
= −R R − R R −−x x b 2−R a x + a +2 b d y dx R V = −R b 2−R a x + a +2 b 2 R 2 − x 2 d x R V = −R (a + b ) R 2 − x 2 d x ⇒ d x = R cos θd θ x = R sin θ V = (a + b ) − R cos θR cos θd θ V = (a + b ) R 2 π2 V
2
2
π
2
π
2
Finalmente , el 2 2 b ) πR 2 u 8
vol umen
D emue s t r e
SOLUCI ÓN Sea l a r eg i ó n
s ó l id o acot ad o por
el
t ronco
d e ci li nd ro
ci r cul ar
t r i ang ul ar
con
−+
≤ 1/4, d ond e
D
es
la
r eg i ó n
d e i nt eg r aci ó n :
Tenemos que: m≤ f x ; y ≤ M , ∨ (x ; y ) ∈ D , entonces : m ( Ar e a (D )) ≤ D f (x ; y )d A ≤ M ( Ar e a (D )).......................................(1) E nt onc es h al l amo s l os m í ni mos y m á xi mos absol ut os de f en l a r eg i ó n D . 1 Nos d amos cuent a que f ( x ; y ) = y −x +3 no posee m á xi mos o m í ni mo s l oc al e s p ue s : ∂ f ∂ f ∂x , ∂ y 0,
r ec to
es
q ue :
d A D y x 3
1/6 ≤
d el
r ec ur r i mo s al
an á l i si s de
l as
g r á f i ca :
1. P r i m e r o , l a r ect a y = x −→ f (x ; y ) = 13 2. Ahora , e n l a r ect a x = 1 (0 ≤ y ≤ 1) −→ f ( y ) = 3−1 x ∧ f (x ; y ) = (3−1x )2 < 0 (decreciente ) m íni mo en y = 1 −→ f (x ; y ) = 13 m áxi mo en y = 0 −→ f (x ; y ) = 12 6
v é r t i c e s
3. Ahora , e n l a r ect a y = 0 (0 ≤ x ≤ 1) −→ f ( y ) = y +1 2 ∧ f (x ; y ) = − ( y +12)2 > 0 (creciente ) m íni mo en y = 1 −→ f (x ; y ) = 13 m áxi mo en y = 0 −→ f (x ; y ) = 12 D e l o que concl ui mos que m = 13 y M = 12 ....................(2) 1 1− x d y d x = 0.....................................................(3) el Ar ea : 0 1 (2) y (3) en (1) no s q ue d a : 1 6
≤
q ue
9
d A D y x 3
−+
≤ 14
e nunc i ad o.
d emue st r a e l
D emue s t r e
q ue :
d A D y x 3
1/6 ≤
−+
≤ 1/4, d ond e
D
es
la
r eg i ó n
t r i ang ul ar
con
SOLUCIÓN Sea la región de integración:
Tenemos que: m≤ f x ; y ≤ M , ∨ (x ; y ) ∈ D , entonces : m ( Ar e a (D )) ≤ D f (x ; y )d A ≤ M ( Ar e a (D )).......................................(1) E nt onc es h al l amo s l os m í ni mos y m á xi mos absol ut os de f en l a r eg i ó n D . 1 Nos d amos cuent a que f ( x ; y ) = y −x +3 no posee m á xi mos o m í ni mo s l oc al e s p ue s : ∂ f ∂ f ∂x , ∂ y 0,
r ec ur r i mo s al
an á l i si s de
l as
g r á f i ca :
1. P r i m e r o , l a r ect a y = x −→ f (x ; y ) = 13 2. Ahora , e n l a r ect a x = 1 (0 ≤ y ≤ 1) −→ f ( y ) = 3−1 x ∧ f (x ; y ) = (3−1x )2 < 0 (decreciente ) m íni mo en y = 1 −→ f (x ; y ) = 13 m áxi mo en y = 0 −→ f (x ; y ) = 12 3. Ahora , e n l a r ect a y = 0 (0 ≤ x ≤ 1) −→ f ( y ) = y +1 2 ∧ f (x ; y ) = − ( y +12)2 > 0 (creciente ) m íni mo en y = 1 −→ f (x ; y ) = 13 m áxi mo en y = 0 −→ f (x ; y ) = 12 D e l o que concl ui mos que m = 13 y M = 12 ....................(2) 1 1− x d y d x = 0.....................................................(3) el Ar ea : 0 1 (2) y (3) en (1) no s q ue d a : 7
v é r t i c e s
1 6
≤ D y −dx A +3 ≤ 14
q ue
d emue st r a e l
e nunc i ad o.
8
