MATEMÁTICA BÁSICA FACULTAD DE NEGOCIOS
UNIDAD IV: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL SESIÓN 13: APLICACIONES APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
1. Pedimos dinero en un banco y nos comprometemos a devolverlo todo a los 5 años. Nos dicen que
debemos devolverlo exactamente el doble que los que nos dieron. ¿Qué interés nos están pidiendo?
SOLUCIÓN: f ( x) C (a) x
C ( a)
( a) 5
5
2C , donde x es el número de años
2C
2,
a
5
2
1.1487
Respuesta: Esto quiere decir que nos están cobrando 0.1487 del valor de C o simplemente 14.87%
2. Un cliente pagó 22000 $ por un carro nuevo, suponiendo que el valor del carro se deprecia a una tasa de
20% al año. Dentro de un año el valor del carro será 80% de su valor actual, es decir dentro de un año su valor será 22000(0.80); dentro de dos años, su valor será 22000(0.80)(0.80), y así sucesivamente, por la tanto la fórmula para el valor del carro en cada año quedaría definido por:
venta(t )
t
22000 (0.80) ,
donde t es el tiempo en años. Determina el valor del carro dentro de 5 años.
SOLUCIÓN: venta(5) 22000 (0.80) 5 22000(0.32768) venta(5) venta(5) 7208 .96 Respuesta: Dentro de cinco años, el valor del carro será de 7208.96 dólares. dól ares.
3. En un país, las primas por seguro de salud se han
elevado a partir del año 2000. La figura muestra las primas por seguro de salud de 2000 a 2005; Suponiendo que las primas de seguro de salud continúan aumentando como en el pasado. Determina cuanto será la prima mensual en el año 2006.
SOLUCIÓN: f (t ) k a
x
Para el año 2000:
45.50
k a , entonces k = 45.50 0
Para el año 2005:
78.20 a
5
45.50a
1.72
5
1.11
Respuesta: El valor de la Prima de
Finalmente, para el año 2006
f (t )
45.501.11
6
seguros para el año 2006 será S/. 85.10
85.10
Página 1
4. La ecuación de oferta de un fabricante es P 28 ln 5
100 x
donde “x” es el número de unidades y
“p” es el precio por unidad. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 700 unidades?
SOLUCIÓN: X=700, entonces reemplazando en la función se tiene:
P 28 ln 5
700
28 ln 12 28 2.49 30.49
100
Respuesta: El precio para 700 unidades es de S/. 30,49 la unidad
5. Se sabe que la superficie cubierta por un nenúfar en un lago se duplica cada
día, creciendo gradualmente durante todo el día. Si en el momento de empezar el estudio el nenúfar ocupa una superficie de 1 m 2, ¿qué superficie ocupará dentro de 10 días? a) Haz una tabla que exprese este crecimiento b) Halla la función que relaciona las variables número de días y superficie ocupada. c) Representa gráficamente dicha función.
SOLUCIÓN: a) Haz una tabla que exprese este crecimiento Número de días transcurridos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Superficie en m2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
b) Halla la función que relaciona las variables número de días y superficie ocupada.
f ( x)
2 x , donde x es el número de días.
c) Gráfica de la función exponencial f ( x)
2 x
Página 2
6. El valor de reventa V (expresado en dólares) de un cierto tipo de equipo industrial ha sido encontrado
para comportarse de acuerdo con la función V=f(t)=100 000e a) ¿Cuál era el valor inicial de una pieza del equipo? b) ¿Cuál es el valor de reventa esperado después de 5 años?
-0,1t
, donde t está en años desde la compra.
SOLUCIÓN: a) Valor inicial significa t=0, entonces el valor inicial es:
V f (t )
100000 e
f (0)
V f (0)
V
V
0.1t
100000 e
0.1( 0 )
100000 e ( 0 )
100000
Respuesta: El valor inicial era $ 100 000
b) Valor de la reventa después de cinco años significa.
V f (5)
V
100000 e
0.1( 5 )
60653 .06597
Respuesta: El valor de reventa dentro de cinco años es $ 60653,07.
Página 3
7.
Suponga que se invierten 10000 $ a 5% de interés, en una cuenta que se capitaliza trimestralmente durante 6 años. Determina el saldo en la cuenta al cabo de 6 años.
SOLUCIÓN:
r A p1 n 100
n ( t )
5 A 10000 1 4100 A 10000 1 0.0125
4 ( 6)
24
10000 1.0125 10000 1.347351 24
A
A
A
13473.51
Respuesta: Después de 6 años, los 10000 dólares originales habrán crecido a casi 13743.51$.
8. ¿Durante cuánto tiempo debes mantener 10000 euros en un banco, a una tasa del 6,1 % anual, si quieres
duplicar tú capital?: a) A interés compuesto anual.
b) Si los intereses se abonan mensualmente.
SOLUCIÓN: C 0
2C 0
10000
,
n
1,
r
6.1 C 0 1 ( 1 )( 100 )
6.1
(1)( t )
1.061(t ) ln( 2) t ln 1.061 2
t
11.7 Años.
Respuesta: Para duplicar el capital de 10000 euros, se requiere de mantener durante 11.7 años.
9. Uno de los factores que influye negativamente al turismo en Paracas es la alteración del ecosistema. En
el año 2000 la Unión Internacional para la conservación de la Naturaleza (UICN) dio la alerta respecto a que el pingüino de Humbolt estaba en riesgo de extinción. El gobierno peruano y organismos internacionales han puesto en marcha un proyecto con la duración de 20 años que busca, además de prolongar la existencia de esta especie, promover el turismo de la zona. Ahora, sin depredadores y con abastecimiento abundante de alimentos, se espera que la población N crezca exponencialmente de acuerdo con la siguiente función
N
f (t )
5 000e 0.047t
Donde: t: número de años desde el inicio del programa de protección 0 t 20 a) ¿Cuántos pingüinos hubo en 2012? b) ¿En qué año la población será 11 700 pingüinos?
SOLUCIÓN: Página 4
a) Hasta el año 2012 han transcurrido 12 años desde el año 2012, entonces la población es:
N f (t )
5 000 e 0.047(12)
8788.446071
Respuesta: en el año 2012 hubo 8788 pingüinos aproximadamente. b) Ahora calcularemos t.
11700 117
50
e
5 000e 0.047(t )
0.047 ( t )
117 0.047t 50 1000 117 ln t 18.08831764 47 50 ln
Respuesta: En el año 2018 se tendrá una población de 11 700 pingüinos.
10. En la siguiente figura se ilustra el crecimiento relativo en el número de médicos en EE.UU por una
población de 100 000 habitantes. El número de médicos por una población de 100 000 habitantes se estima por medio de una función de crecimiento exponencial. Usando los datos de 1955 (144 médicos) y 1970 (162 médicos):
a) Determina la función de estimación exponencial y=f(t), donde y es igual al número de médicos por 100 000 habitantes y t representa los años transcurridos desde 1950. b) ¿Cuántos médicos tendrán en el año 2015?
c) ¿En cuánto tiempo habrá 400 médicos?
SOLUCIÓN: a) Sea la función exponencial
f (t )
ke r (t )
Usando los datos se tiene: -
Año 1955 significa que t=5, entonces f (5)=144 médicos.
144 ke5r ... (1) -
Año 1970 significa que t=25, entonces f (25)=162 médicos
126 ke 25r ... (2)
Página 5
Dividiendo (2) entre (1) se tiene: ke
162
25 r
144
ke
9
e
5 r
20 r
8 9 20
e
r
8
... (3)
De (1) se tiene: 144 e
5 r
k ... (4)
Reemplazando (3) y (4) en la función inicial se tiene la función buscada:
f (t )
f (t )
144 e
5 r r (t )
e
144 e r
t 5
9 f (t ) 144 20 8
t 5
Respuesta:
b) El número de médicos en el año 2015 será:
9 f (65) 144 20 8 9 f (65) 144 8
65 5
3
104976
f (65)
f (65)
512
205.03125
Respuesta: Para el año 2015, el número de médicos por cada 100 000 habitantes será de 205 aproximadamente, en los EE.UU.
c) El cálculo del tiempo para 400 médico por cada 100 000 habitantes en EE.UU.
9 400 144 20 8 400 144
9 20 8
t 5
t 5
Página 6
25 9
9 20 8
t 5
9 25 20 t 5 8 9
ln
25 9 t 5 9 ln 20 8 ln
25 9 5 173.48 t 5 9 ln 20 8 ln
t
178
Respuesta: En el año 2128 aproximadamente se tendrá 400 médicos por cada 100 000 habitantes. 11. Con cada día que pasa, un nuevo empleado realiza con más eficiencia su trabajo; en forma tal que, si se producen “y” unidades al día, entonces después de “t” días de haber iniciado en el puesto se tiene que
y = 80 Be −kt donde k es una constante positiva. El empleado produce inicialmente 20 unidades, y 50 unidades después de haber trabajado 10 días. Encuentre: a) El valor de la constante (tomar dos decimales). b) El número de días para que el trabajador produzca 70 unidades diarias.
SOLUCIÓN: a) El valor de la constante. Tomando los datos que el empleado produce: -
Inicialmente 20 unidades.
y
20 B
-
80 Be
80
k ( 0 )
B
60
Después de haber trabajado 10 días el empleado produce 50 unidades.
50 80 60e 10k 60e 10k 80 50
e
1
10 k
10 k
e
10k
k
2
2
30
1
2 ln 2
ln 2
10
Respuesta: El valor de la constante a tomar es 0.07. Página 7
b) El número de días que produce 70 unidades diarias es:
70
60e e e
80 60e
0.07t
0.07t
80
0.07t
6
0.07t
70
1
1
6
0.07t ln( 6) 100 ln( 6)
25.59656384 7 Respuesta: En 26 días el trabajador tendrá una producción diaria de 70 unidades. t
12. Los biólogos han determinado que cuando se dispone de suficiente espacio y nutrientes, el número de
bacterias en un cultivo crece exponencialmente. Suponga que inicialmente hay 2000 bacterias en cierto cultivo y que 20 minutos después hay 6000 bacterias. a) Determina la función exponencial. b) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de una hora? c) ¿En cuánto tiempo la población será de 18 000 bacterias?
SOLUCIÓN: a) La función exponencial es de la forma
f (t )
2000 e kt
Donde: - “t” es el tiempo transcurrido en minutos. - “k” constante de la tasa de crecimiento. - f ( t ) es la población de las bacterias en el instante “ t” minutos transcurridos. Por dato, se tiene que después de 20 minutos la población es de 6000. Entonces reemplazando estos valores en la función se tiene: 6000 3
e
2000 e
20 k
1
3
20
20 k
e
k
Por lo tanto, la función queda definida como sigue: 1 f (t ) 2000 e 2000 e 20
t
kt
f (t ) 2000 e
Respuesta
t 20
b) Calculo del número de bacterias en una hora (t=60 min)
f (t ) 2000 3
60
2000 33 54000
20
Respuesta: Al cabo de una hora habrá 54000 bacterias. c) Calculo del tiempo cuando hay una población de 18 000 bacterias.
18000 2000 3
t 20
Página 8
3 t 32 3 20 t
20
9
t
2 t
20 40
Respuesta: Transcurrido 40 minuto, la población será de 18 0000 bacterias. 13. La fórmula para calcular la cantidad de dinero, A, que se gasta en publicidad de ciertos juguetes es A
350 650 Ln(n) , en donde n es el número esperado de juguetes que se venderán.
a) Si la compañía desea vender 2200 juguetes. ¿Cuánto dinero gastará en publicidad? b) ¿Cuántos juguetes puede vender si destina 6000 $ a la publicidad?
SOLUCIÓN: a) Si la compañía desea vender 2200 juguetes. ¿Cuánto dinero gastará en publicidad? 350 650 Ln(2200) A 350 650(7.6962126 )
A
A
5352 .54
Respuesta: La compañía gastará 5532.54 dólares en publicidad. b) ¿Cuántos juguetes puede vender si destina $6000 a la publicidad? 6000 350 650 Ln(n) 5650 650 Ln(n)
5650 650 Ln(n) e
8.69231
n
Ln(n)
8.69231 n
5967
Respuesta: Si se destinan 6000 dólares en publicidad, la compañía puede esperar vender alrededor de 5957 juguetes.
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