4º Trigonometria - 200 Millas

“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad” COLEGIO PRIVADO

DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS 4°

Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : ALFREDO BUSTES CALLE Fecha : 08/03/04

Preuniversitario

TEMA : ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMA DE MEDIDAS ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Es aquel ángulo generado por la rotación de una semi – recta alrededor de un punto fijo (centro de giro).

Elementos OA: Lado Inicial A OB: Lado Final O: Vértice

O

II) ANG. NEGATIVO O

B

Unidad: radián (rad) 1 radián: Esa aquel ángulo central que determina sobre la circunferencia un arco (L) cuya longitud es igual al radio (r).

B

I).- ANG. POSITIVO

3).- SISTEMA RADIAL ó CIRCULAR

B

Sentido Antihorario

L=r Además: r 1 vuelta = 2 rad donde:  = 3, 1416  = 22/7

O

L

1 rad r

OBS.: g

1 vuelta = 360º = 400 =2 rad g

A

O

A

Sentido Horario

OBS. : Los ángulos trigonométricos son ilimitados.

ANGULO DE UNA VUELTA Es aquel ángulo generado por la rotación completa de una semi-recta.

½ vuelta = 180º = 200 = rad Luego:  rad = 180º g  rad = 200 g 9º = 10

FORMAS PRÁCTICAS DE CONVERSIÓN En general:

SISTEMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS 1).- SEXAGESIMAL ó INGLES 1 

1 vuelta 360

1º 1'  60

1' ' 

RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS

1vuelta =360º

En general: 1º = 60’

1' 60

S C R   K 180 200 

1’ = 60’’

Donde: S: Nº de grados sexagesimales C: Nº de grados centesimales R: Nº de radianes

1’ = 60’’ 1º = 3600’’

2).- CENTESIMAL ó FRANCÉS 1g 

1 vuelta 400

además: g

Angulo en el Ang. en el Sist. pedido   Sist. pedido Sist. dado Sist. dado

1 vuelta = 400

g

También:

S  180

R 

;

C  200

RELACIÓN PARTICULAR:

m

1 = 100 m s 1 = 100 g s 1 = 10000

S C  9 10

R 

Colegio Privado

2

DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS

PROBLEMAS RESUELTOS ( xx' ) ( xx' )' ( xx' )' ' x' x' x' Calcular : a + b +c

4).- Calcular el valor de :

1).- Si : a°b’c’’ <>

Solución : Se observa xx' 61 x'   61 x' x'

 rad  40 g 3 Q  rad  6 10 Solución : Pasando a grados

180   rad x  60  rad 3 9 * 40g x =36° 10 g

Entonces :

*

a°b’c’’ = 61°61’61’’ a°b’c’’ = 61°62’1’’ a°b’c’’ = 62°2’1’’ a + b + c = 65

*

2).- Hallar un ángulo en rad que cumple : C S   43 4 5

180   rad x =18° rad 10

En (Q) Q=

Solución : Se sabe S = 180k;

60   36  96 g  18   6 24 g

C = 200k ; R = k

Q=4

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

200 k 180 k   43 4 5

1).- Pasar :

86k = 43  = ½  R= 2

a) 450’ a grados sexagesimales b) 640” á minutos sexagesimales c) 720”a grados sexagesimales

3).- Hallar “x” en :

2).- Pasar :

g

x y°

a) 230 m a grados centesimales b) 480s a minutos centesimales c) 4600s a grados centesimales 3).- Pasar :

Si : x o y = 200 Solución : En la figura :

a) 240º a grados centesimales b) 620g a grados sexagesimales c) 2/5 rad a grados sexagesimales d) 330g a radianes 4).- Calcular:

xg

N

-y°

Si : x  o y = 200

a) 1

b) 2

360 g  270  216    / 10 rad

c) 3

d) 4

e) 1/3

xg – y° =180 9x -y = 180 10

9x – 10y = 1800 x + 10y = 200 x = 200

5).- Calcular un ángulo en radianes 2S+5C = 13, 6 a) /10 rad c) /1000 rad b) /40 rad

b) /100 rad d) /50 rad

Colegio Privado

3


6).- Calcular un ángulo en radianes si cinco veces la medida en centesimales menos cuatro veces la medida en sexagesimales todo multiplicado por la medida en radianes es igual a 2, 8 a) /5 rad d) /6 rad

b) /4 rad e) /100 rad

b) 20 e) 100

b) 4

c) 6

d) 8

g

b) 2

a) 1

b) 2

e) 5

d) 4

e) 5

x + 10y = 200 xg y°

16).- Hallar el número de radianes de un ángulo que verifica: R

a) /20 rad d) 20 rad

S  3

C 5

b)  rad e) 20 rad

c) /40 rad

17).- Reducir: E

2

a) 1

SC 5 (C  S)  C2  S 2 CS

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

2

C  x  y  2( x  y )

18).- Si:

1  8x  5y Calcular el valor de: E  y  x 2x  3 y b) 1

d) 4

c) 3

x rad 10

S  x  y  2( x  y  1)

a) 1/2

CR 2

14).- Si se cumple que: 2°62’ 63” = a°a’a” Hallar “a”

10).- Siendo “S” y “C” números convencionales para los cuales se cumple que: 2

SR 1  5 10

e) N.A.

Entonces el triángulo es: a) Equilátero b) Isósceles c) Rectángulo d) Rectángulo Isósceles e) Escaleno

2

1 6

c) 3

a) 200 b) 100 c) 205 d) 180 e) 150

9).- En un triángulo ABC, las medidas de los ángulos internos. Son:

A  9x ; B  10 x ; C 



15).- Hallar “x” en:

g

a) 2

2

2

c) 30

50  15  rad  8 10

T

 a) 

(C  S)  (C  S) P 20R

8).- Calcular :

R

c) /10 rad

7).- Reducir :

a) 10 d) 40

13).- Hallar la medida de un ángulo en radianes, si:

c) 2

d) 4

 9C     10  e) 1/4

11).- Calcular la medida de un ángulo en radianes si:

1/ 2 5

R   180   

3 10 10

Hallar: S+C a) 10/19 d) 10/17

b) 17/10 e) 19/10

c) 19/9

S + C = 95 a) / rad d) /4 rad

b) /2 rad e) /5 rad

c) /3 rad

12).- Calcular el valor de:

a) /20 rad d) 3/20 rad

g  rad  40 3 Q 2  rad  6 10

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

19).- Los ángulos de un cuadrilátero AMOR se miden en tres sistemas diferentes. El ángulo A mide 30°, el ángulo M mide 5/6 rad y el ángulo O mide 90g. Determinar la medida del ángulo R.

e) 5

b) 11/20 rad e) N.A.

c) /30 rad

20).- Al medir un ángulo en sentido antihorario, se observa que los números que resultan en los sistemas convencionales se relacionan del modo siguiente:

Colegio Privado

4


La suma del triple del mayor con el doble del intermedio es igual a la suma de 125 con 46 veces el deduplo del menor entre . De acuerdo a esto, determine la medida circular de dicho ángulo. a) /2 rad d) /5 rad

b) /3 rad e) /6 rad

c) /4 rad

21).- Halle el ángulo en radianes que cumple con la relación:

27).- Calcular: g

b) /6 rad e) /4 rad

a) 1, 674 d) 1, 764

0

1

'

s

1 1' '



1

b) 1, 564 e) 1; 456

c) 1, 754

28).- Simplificar: Q

c) /2 rad



1

C S   43 4 5 a) /5 rad d) /3 rad

m

1

E

a) 2

b) 1

C  S  20R 2S  C  160R

c) 1/2

d) 1/3

e) 3

29).- Si se cumple que: 22).- Halle el ángulo que cumple: C 6

a) 27° d) 33°



S C 181   C S R

S2 5

b) 30° e) 22°

Hallar R c) 25°

b) /2 rad e) 90rad.

a) 3/2 rad d) 90 rad

c)  rad

23) .- Reducir la expresión: 30).- Del gráfico, calcular: y/x

S  40R E 3 C  30R 10 a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

a) –6 b) 6 c) –1/6 d) 1/6 e) –3

x°

y’

g

x

24).- Reducir:

A a) 1/2

b) 2

5S  3C 2S  6C  60R c) 1

d) 3

CLAVES

e) 1, 5

25).- Hallar el valor de:

H a) 3

b) 4

1) 6)c 11)d 16)e 21)c 26)c

2) 7)b 12)d 17)e 22)a 27)d

3) 8)c 13)b 18)c 23)d 28)b

4)c 9)d 4)c 19)b 24) 29)e

CS CS 6 3 8 CS CS c) 5

d) 8

e) 9

26).- Si la diferencia de los cuadrados de las inversas de los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo es igual a K veces el cuadrado de la diferencia de dichas inversas Calcular el valor de “K” a) 10

b) 20

c) 19

d) 18

e) 9

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

200 MILLAS COL2004/4°pre/TRIG-01 06/03/04 J.P.B

5)b 10)c 15)a 20)c 25)d 30)b




Preuniversitario

TEMA : SISTEMA DE MEDIDAS SISTEMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS Luego:

1).- SEXAGESIMAL ó INGLES 1 

1' 

1' ' 

1 vuelta 360

1vuelta =360º

1º 60

1º = 60’

1' 60

1’ = 60’’

 rad = 180º  rad = 200g 9º

= 10g

FORMAS PRÁCTICAS DE CONVERSIÓN En general:

1’ = 60’’ 1º = 3600’’

Angulo en el Ang. en el Sist. pedido   Sist. pedido Sist. dado Sist. dado

2).- CENTESIMAL ó FRANCÉS 1g 

1 vuelta 400

1 vuelta = 400

g

RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS

además: g

m

En general:

1 = 100 m s 1 = 100 g s 1 = 10000

S C R   K 180 200 

3).- SISTEMA RADIAL ó CIRCULAR Unidad: radián (rad)

Donde: S: Nº de grados sexagesimales

1 Radián: Esa aquel ángulo central que determina sobre la circunferencia un arco (L) cuya longitud es igual al radio (r). L=r

C: Nº de grados centesimales R: Nº de radianes También:

Además: S  180

r 1 vuelta = 2 rad donde:  = 3, 1416  = 22/7

O

1 rad r

OBS.: 1 vuelta = 360º = 400g =2 rad ½ vuelta = 180º = 200g = rad

L

R 

;

C  200

RELACIÓN PARTICULAR: S C  9 10

R 

Colegio Privado

2


PROBLEMAS RESUELTOS 3).- Calcula el valor de “K” si: 9C

1).- Determina la medida circular del ángulo que cumple: S = 2xx

C = xx + 11

y

Solución : S C  9 10 x

90R



S

 K 10S

Solución : Se sabe : S = 180k; C=200k R = k Entonces : 180k

x

2x x  11  9 10

9 x 200k

 90  k  k 10x180k

20xx = 9xx + 99

2 = k

xx = 9

k=

Luego : S = 2xx = 2(9) = 18 R = 18 x

 180

4).- Calcula la suma del menor y mayor valor que puede tomar un ángulo, de modo que la expresión:

 R = /10

W  2  C  S  2 tome valores reales

2).- Un ángulo se puede expresar de la siguiente manera: a0b  a2a0 . Calcula la medida radial de su suplemento:

Solución :

g

Solución : ab  a2a0

20 R/  2  Rmin = g

x

g 10

g

Descomposición polinómica : 100a + b = (100a + 20a)

g 10

aob

2-

CS2  0

2 

CS2

4C–S -2 6 20 R/

b=8

R

Entonces :  3  = 108° x 180  5

Suplemento = -

3  2  5 5

 10

Luego :

a=1 b = 8a

0

Se sabe : C-S – 2  0 C-S  2

3 3  Rmax = 10 10

 Rmin + Rmax =

2 5

5).- Si : “S” representa la medida sexagesimal de un ángulo calcula su medida radial (R) que verifique : 360

R S2 S3 S 4 =S+ + + + ....  8 2 4

Solución :

Colegio Privado

3


360

R S S2 S3 =S+ (S + + + ....)  2 4 2

R R S =S+ +360   2 R R R 180 =180 x 180    360

R=

3).- Simplifica: Q=

C  S  20R 2 S  C 160R

a) 2 d) 1/3

b) 1 e) 3

c) 1/2

4).-Halla la medida de un ángulo en radianes, si:

 180

R2  1 2 6

SR  1 5 10

a)  d) 4

6).- Calcula un ángulo en radianes, si :

CR 2

b) 2 e) 5

c) 3

6S + 5C = 1040 5).- Si se cumple:

Solución : Se sabe : S = 180

3°63’64’’ = a°a’a’’

R R ; C = 200  

Halla: a

Reemplazando : 6 x180

a) 1 d) 4

R R + 5x200 = 1040  

R =1040   R= 2

2

a2 b) 2 e) 5

c) 3

6).- Reduce la expresión:

2080

E=

C  S 2  C  S 2 C  S 2  C  S 2

a) 180/181 d) 9/10

b) 181/180 e) 181/90

c) 10/9

PROBLEMAS PROPUESTOS 1).- Calcula el mayor ángulo de un triángulo ABC, si: A =  x rad ; B = 9x° y C = 10xg 10 a) 36° d) 66°

b) 46° e) 90°

c) 56°

7).- Calcula : S R C R  180   200  E= S  C R 380  

a) 1 d) 1/3

b) 2 e) -1

c) 1/2

2).- Calcula el valor de: 8).- Si:

 rad  40 g 3 Q=  rad  6 10

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

 9C     10 

c) 3

51 / 2

3 10

  180 R  10  

Halla : S + C a) 10/19 d) 10/17

b) 17/10 e) 19/10

c) 19/9

Colegio Privado

4


9).- La diferencia entre la tercera parte del número de grados sexagesimales y la quinta parte del número de grados centesimales de un ángulo es 5. Calcula su medida radial. a) /3 d) /6

b) /4 e) /9

c) /5

15).- Si:

 C  a

a) /6 d) /3

b) /5 e) /2

2

 b  2a  2b





g

a) –2

3 10a 5b 2a  3b

b) –1

c) 0

16).- Sabiendo que: C>0 y S>0. Calcula : 9

 R

6S + 5C = 1040 b) /5 e) 

2

d) 1

e) 2

c) /4

11).- Calcula un ángulo en radianes

a) /4 d) /2

2

Halla : b2 a

10).- La suma del doble del número de grados sexagesimales con el número de grados centesimales de un ángulo es igual a 140 determina la medida circular de dicho ángulo:

2

S  a  b  2a  2b  2 

c) /3

3

5

C S  S C  1081

S

a) /10 d) /4

b) /20 e) /9

CLAVES 1)e 2)d 6)a 7)b 11)d 12)b 16)b

3)b 8)c 13)a

c) /15

12).- Calcula: A x B x B x C , si: 68 g  AB  BC '

a) 6

b) 12

c) 24

d) 30

e) 22

4)b 9)b 14)c

13).- Determina la medida circular de un ángulo, tal que si a la décima parte de su número de segundos sexagesimales le sumamos la mitad de su número de minutos centesimales resulta 18700. a) /4 d) /8

b) /5 e) /10

c) /6

14).- Halla un ángulo en radianes, si: S7  9C 7  18R 7  6 S 6  C 6  R 6      10 100 

a) /2 d) /5

b) /4 e) /9

c) /3


200 MILLAS COL2004/4°/TRIG-02 13/03/04 J.P.B

5)d 10)c 15)e




Preuniversitario

TEMA : ÁREAS CIRCULARES 1. DEFINICIÓN : Entiéndase por áreas circulares al área de un círculo, de un sector circular y de un trapecio circular. 1.1. ÁREA DEL CÍRCULO.(Ac) Se denomina círculo a la región sombreada en la figura. La distancia constante desde el centro a cualquier punto de la circunferencia se le denomina radio.

Entonces : Área de la corona circular

=

Área del circulo mayor

-

Área del círculo menor

Acc

=

R2

–

r2

 Acc = (R – r ) 2

2

Circunferencia Círculo

O R Luego :

1.1.2. Área del Sector circular Es aquella porción del círculo tal como se muestra en la región sombreada. En general : A

AC = R

2

R

S

L = 2R Donde :  Ac  L  R  O

O

: Área del círculo. : Longitud de la circunferencia. : Radio : Centro del círculo

rad

L = R

S=

R 2 2

L .R 2

S=

L2 2

L

S=

R B

Donde : L : Longitud de arco. R : Radio

1.1.1. Área de la Corona Circular (Acc) Es aquella región obtenida por la diferencia de las áreas de dos círculos, tal como se muestra en la figura. Donde :

R

O



: Ángulo central en radianes.

S : Área del sector circular. 1.1.3. Área del Trapecio circular Se denomina trapecio circular a la región sombreada en la figura. A

r

R : Radio del círculo mayor. r : Radio del círculo menor.

R O

D

rad

l AT.C .

r C R-r

B

L

Colegio Privado

2


3) Calcula “L” en :

En general :

72

(R 2  r 2 ) AT.C = 2

15°

L 72

(L  l )(R  r ) AT.C = 2

Solución :

Donde : AT.C : Área del trapecio circular L : Longitud del arco mayor. l : Longitud del arco menor  : Ángulo central en radianes.

PROBLEMAS RESUELTOS

Se sabe : L = R  = 15° x /180 = /12 Luego : L = /12 x 72

 L = 6 4) Calcula “” en :

1) Calcula el área sombreada :

3 

4

5

3

Solución: En la figura : Sx = S

Solución : Por propiedad : 54 = 3

2

- S

  = 1/3

2 x 2  22  x Sx = 2 4 2



5) Calcula el área del sector.

Sx = 2 - /2

2) En la figura, calcula : “L1 + L2 + L3”, si AO = OB = 18

O

12

A L2 L1 B 12

L3

15°

Solución : Lx R S= 2 12 x 6 S= 2

6 B

 S = 36

30° O

A

6

6

Solución : L1 = 15 x /180 x 12 = 

6) Calcula el área sombreada.

L2 = 60 x /180 x 18 = 6 L3 = 30 x /180 x 6 = 

 L 1 + L2 + L3 = 8

4

2

3 

9 3

4 2

Colegio Privado

3


a) m d) 4m

Solución : x9 =9  =1 Entonces : STC =

b) 2m e) 5m

c) 3m

6).- Halla la longitud del arco de un sector circular de ángulo central 45°, sabiendo que la longitud de la circunferencia es 600m. a) 75m b) 60m c) 120m d) 65m e) 80m

1(72  32 ) 2

 ST.C = 20

7).- En el gráfico mostrado. Halla la longitud del arco BC.

CUESTIONARIO 1).- Halla la longitud de un arco en un sector circular cuyo ángulo central mide 60° y el radio 12m. a) 2m b) 4m c) 6m d) 8m e) 12m

2m

2m

O 2m D

2).- En la figura, halla la longitud del arco BC, si AC=18m. B

B

3m A

a) 3m d) 6m

3m

C

b) 4m e) 8m

c) 5m

8).- En la figura, halla la longitud del arco BC si AE = 20m. 80° A

a) m d) 6m

C

O

b) 3m e) 8m

c) 5m

3).- Halla la longitud de una circunferencia si el ángulo central de 1rad subtiende un arco de longitud 6m. a) 12m b) 13m c) 14m d) 16m e) 19m 4).- En la figura, si 2OA = AD L  L1 Calcula : 2 L 2  L1 A

D

B



A

2 3

a) m d) 6m

L2 L2

L1  rad O

c) 3

5).- En el gráfico, halla la longitud del arco AB, si AC=6m.

A

O

c) 4m

9).- Halla : “” si L2 = 5L1

C

b) 2 e) 6

E

b) 2m e) 8m

B

a) 1 d) 4

4

O

D

L1

O

C

C

a) /3 d) /6

b) /4 e) /8

10).- Calcula : a) 3 b) 3/5 c) 8 d) 5 e) 5/3

O

c) /5

L1  L 2 L2  L3 L1

L2

L3

Colegio Privado

4


11).- De la figura , calcula “x” :

a) 2 d) 4

x

a) 2/5 b) 5/2 c) 1 d) 3 e) 6

b) 2,5 e) 4,5

c) 3

17).- Calcula el área del sector AOB. 1 Rad

O

2 x

12).- Calcula la longitud de la circunferencia inscrita si la longitud de los arcos AB y CD miden 2 y 5. D a)  A b) 2 c) 3 5 1Rad 2 O d) 4 e) 5 B

a) 20 b) 24 c) 12 d) 6 e) 18

8 6

O 8

B

18).- En la figura, calcula el área sombreada. A

b

C

13).- Calcula  si 2L1 = 3L2

a

L1

B

H

a) ba

b) ab

2

c)

L2

d)

Rad

a b

e)

O

a) /2 d) /5

b) /3 e) /6

c) /4

3

Rad

O

b a2

19).- Calcula el área sombreada. a) R 2 b) R R 2 2 2 d) 2R

e) 3

R

c)

4

2

A

R

B

O R

R2 2

20).- Calcula el área sombreada 3

xy 15).- Calcula : xy x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7

4

3

O y

16).- Halla “x” en los sectores mostrados: x

a) 48 b) 24 c) 12 d) 36 e) N.A.

1) b 6) a 11)d 16)e

4

5

3

2) c 7) c 12)c 17)b

CLAVES 3) a 8) b 13)c 18)c

4) b 9) d 14)b 19)e

3 5

2

O

ab 2 2

2

14).- En los sectores circulares mostrados, halla : . a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 4/3 e) 5/3

A

5


200 MILLAS

3 x

COL2004/4°/TRIG-03 17/04/04 J.P.B

5) b 10)b 15)e 20)b




Preuniversitario

TEMA : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES 1. OBJETIVOS

45°

a 2

1.1. Resolver problemas donde intervengan los ángulos notables. 1.2. Utilizar los casos generales en un problema gráfico. 1.3. Calcula los valores de las razones trigonométricas de dichos ángulos.

2. RESUMEN TEÓRICO

a/2 2

45°

45° a

a/2

2

53° 5a

74°

25a

3a

7a

16°

37°

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES

45°

a a

24a

4a

OTROS 2

60° 1

2

a 10

45°

a

1 30°

37/2

45°

3

3a

1 a 5

a 53° 5

25

3

2a

24

4 

7

16°

37°

R.T.

53°/2

74°

5a 2

82° a

8°

16°

30°

37°

45°

53°

Sen

60°

74°

7a

PROBLEMAS RESUELTOS

Cos Tg

1) Sabiendo que “” es agudo y además : tan=sen30°. Calcula : L = 4Sec2 + Cot

Ctg Sec Csc

Solución : CASOS GENERALES

2a 30°

Tan = Sen30°  Tan = ½ 5

60° a

1  2

a 3

con la ayuda del triángulo:

Colegio Privado

2


4) Del gráfico mostrado, calcula “Tan” 2

C

 5   2  L = 4. 5 2 L = 4  2  4 1    L = 7



2) Sabiendo que : Sen=Cos60°. Cos45°;  es agudo, calcula : L=

45° A

Cot   2

B

M

2

Solución :

C

Solución : 

1 2 2 Sen = .  Sen = . 2 2 4 4

45°

2

A

n



2

 14   2 L= L =   2   

 7

2

2

 L = 72  9

n

B

Como : AM = MB  AM = MB = n

I.

14

con la ayuda del triángulo:

M

II.

ABC : isósceles BC = AB = 2n

III.

MBC : Tan =



n 2n

Tan = ½

5) Del gráfico, calcula “Tan”

C

 L=3 3) Calcula “x” en la igualdad: A

x . Sen30° + Sec260° = 4x . Tan37° + Tan445° Solución :



37°

B C

M

Solución :

Con la ayuda de la tabla de los valores de las R.T. de los ángulos notables; tenemos:

3

x . Sen30° + Sec260° = 4x . Tan37° + Tan445°

A

2

x( ½ )+ (2)2 = 4x( ¾ ) + (1)4

3=

6x  x 5x 6  3=   x = 2 2 5

M

2

B

4

I.

x x + 4 = 3x + 1  4 – 1 = 3x 2 2



37°

ABC: notable  BC=3 ; AB=4

II. Como : AM = MB  AM=MB = 2 III.

MBC :

Tan = 3/2

Nota que en este problema optamos por asignar valores numéricos. Pero lo que no debe olvidar es que se parte de un valor numérico y de aquel se calculan los demás segmentos que guarden relación con el problema.

Colegio Privado

3


6) En la figura AD=4DC; calcula “Tan”

5).- Simplifica :

C

1  Ctg30 . Ctg60 Ctg30  Ctg30  Ctg60 2

30°

a) 

A

Solución:

a) 30° b) 45° c) 60° d) 37° e) 53°

C 30° 2 

A

60° 1

B

DBC : notable DB=1; BC = 3 ;DC=2

I.

II. Como : AD = 4DC  AD=8 III.

ABC :

3 9

Tan =

1).- Calcula : 1-Cos60°-2Sen230° b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

2).- Simplificar : 1  Tan 2 60  1  Ctg2 45 

a) 4

b) 2



1 Cos60 

c) 6

d) ½

e) 4

Tan60   Tan30 

b)

37°

7).- Calcula “x” en : a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

3+

3 /3

c) 1

5 37°

d) 2

e) 3

(Tan37° + Ctg53°)Csc30°

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 10

6

 135°

4 2

9).- En la figura. Halla : E = Tan + Tan2 +Tan3 a) 22 b) 22/3 c) 23/3 d) 10 e) 15





 25

a) 1/2 b) 1/3 c) 2 d) 3/2 e) 3/4

c) 3/2

55

°

45° 53° 2a

b) 9/16

x

30°

10).- Calcula “Tan” en la figura:

4).- Calcula :

a) 9/4

73

60°

8

1  Tan60 xTan 30  3

 14

3).- Simplifica :

a)

2

8).- En la figura. Calcula “3Cot”

CUESTIONARIO

a) 0

3

d)

10

3

D

8

c) 2

6).- Calcula la medida de “” en la figura

B

D

b) ½

3

d) 4/9

e) 3/4

a

e)3

Colegio Privado

4


16).- Calcula “Tg” del gráfico. (AM = MD)

11).- Si: Sensec = 1

C

Halla el valor de: a) 1/7 b) 2/7 c) 3/7 d) 4/7 e) 6/7

  Tan  Cot Tan.Tan  2   3 

a) 2 3 d) 1/2

b) 3 2 e) 1

c)

3

B 135°

6

2 2

45° D

45°

37° 

18).- Del gráfico halla : “Tg”, si DC = 2AD A

C

13).- Calcula “x” a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

B

a) 1/8 b) 1/4 c) 3/8 d) 1/2 e) 5/8

82°

7



53° A

x

D

A

D

b)

2

d) 7 6

e)

6

c) 4 3

15).- Siendo ABC triángulo equilátero. Halla: Tg 3 3

b)

3 4

c)

3 5

d)

3 6

e)

3 7

a)

3

b)

3 2

e)

D 2 C

C

20).- Calcula “Tan” en la figura.

2 2 1 d) 2

5



45°

37°

c)

B

A

B



a) 1/3 b) 3/4 c) 4/3 d) 2/3 e) 3/2

Sec  .Tag  .Ctg  3 4 6 Tg  .Sec  .Ctg  3 4 4

a) 0

C

19).- Calcula Tg de acuerdo al gráfico.

14).- Simplifica

a)

° 37° M

17).- Calcula: “Tg” del gráfico. a) 1 b) 2 c) 2/7 d) 3/7 e) 4/7

12).- En la figura, calcula: Q = TanA + TanC a) 15/23 b) 20/17 c) 13/19 d) 17/20 e) 19/13

A



30°

3

1

2

1) a 6) b 11)c 16)e

2) a 7) b 12)d 17)e

CLAVES 3) b 4) a 8) c 9) b 13)b 14)b 18)c 19)c


200 MILLAS COL2004/4°/TRIG-04CR 17/06/04 J.P.B

5) d 10)d 15)d 20)b



Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : Alfredo Bustes Calle Fecha: 28/06/04

Pre-Universitario

TEMA : RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

I.- DEFINICIÓN: Consiste en determinar los lados desconocidos de un triángulo rectángulo en términos de un lado y ángulo conocido. II.- PROCEDIMIENTOS: 1.- Se forma una fracción donde en el numerador se coloca el lado por conocer y en el denominador se coloca el lado conocido. 2.- A continuación se identifica que razón trigonométríca del ángulo conocido le corresponde a la fracción formada. 3.- Finalmente se despeja el lado por conocer. Ejemplo: En la figura calcula “X” e “Y” en términos de “m” y “”.

m

x

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Calcula el área del triángulo ABC. B 10

10

A

C

Solución: 10  10  Sen37 S= 2 3 S = 50 5 S = 30 2.- Calcula , x en: B



x y

Solución: x *  Sen m x = mSen *

37°

y  Cos α m y = mCos

III.- ÁREA DEL TRIÁNGULO En todo triángulo se cumple que el área es igual al producto de dos lados multiplicado por el seno del ángulo comprendido por dichos lados y todo dividido entre dos. En general: B ab Senθ S= 2 c a Donde: S : Área del  A C triángulo b



 D

A

m

Solución: Por resolución de s BC = Sen  BC = mSen m x = Sen  x = BCSen BC x=mSenSen

3.- Calcula: tan

 9

16

C

Colegio Privado

2


5.- Del gráfico, halla “BC” en función de “m”, “” y “”. B C 

Solución:  H  9

16

En la figura: H tan = ... (I) 16 9 tan = ... (II) H (I) x (II) H 9 2 Tan  = x 16 H 3 Tan = 4



A

m

D

Solución:

B

x 

mtan 

A

4.- En la figura: tan θ Halla: tan α

m

D

Trabajando por partes: BD  tan α  BD = mtan i. ) ADB: m x  cot β ii. ) DBC: BD x  cot β m tanα



2

 2

6 x = mtan.cot

Solución: 

6.- En un triángulo ABC (B = 90°), se sabe que: BC = n  mCAB = , ¿Cuál es su área? Solución: Graficando el problema: C



2Cos 2Cos

 

2 6Cos

6 6Sen

n S Luego: Tan = Tan =

Tan θ  Tan α

C

6Senα 10Cos α 3 Tan 5 3  5

A



B ncot

AB  cot α  AB = ncot n AB.BC n cot α.n  ii.) S  2 2 i.)

S 

n2 cot α 2

Colegio Privado

3


CUESTIONARIO

6).- En la figura, halla “x”

1).- Halla , x en: m

a

x







 x

a) msencsc b) mcossec c) mtgtg d) m(tg+tg) e) N.A.

a) atgtg c) a(cot+cot) e) N.A.

b) a(cot-cot) d) asensen

7).- Calcula “x” si: Cot-Cot=4

2).- Halla, x en: 

5  a) msentg c) m





x

x b) msensen d) 1/m e) N.A.

a) 10 d) 25

3).- Halla “x”:

b) 20 e) N.A.

c) 15

8).- Del gráfico, halla “”, si: a = 2b b



a

m



 x a) mseccsc c) mtg e) N.A.

b) msencos d) mcot

a) 45° d) 75

b) 30° e) N.A.

c) 60°

9).- Calcula, Tan 4).- Halla: “x + y” m

y

x

 m a) m(sen+cos) c) mtg e) N.A.

b) mseccsc d) mcot

a) 2/3 d) 9/4

B

c) 4/9

C F

A a b) asensen d) asec

b) 3/2 e) N.A.

x

 a) atgsec c) atg

9

10).- Del gráfico. Calcula: “cot - tan”

5).- Calcula “x” en la figura 



4

a) 1 e) N.A.

d)

 D b) 2

2

e) N.A.

E c) 3

Colegio Privado

4


11).- Si: cos α 

16).- Calcula AC si la región sombreada es un cuadrado de lado “” B

5 , calcula “R” 18 C 10

a) 5

R



A b) 10

A

c) 18

d) 36

e) N.A.

12).- En el gráfico siguiente. Halla “x” si Tan = 0,75 7

a) (1+sec+cos) c)  (1+tg+Ctg) e)  (1+ tg+csc)

C

b)  (1+sec+csc) d)  (1+tg+sec)

17).- De la figura calcula: E = 3(ctgx+ctgy)

2

4



B

O

3



2

x a) 0,75 d) 1,5

b) 1 e) 1,75

c) 1,25

13).- Halla: 2cos  2

a) 4 b

b) 6

b) a+b/b e) a/b

20 b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

19).- Calcula “x” en:

R 

a) Rcsc(1+ctg) c) R(1+sec)ctg e) R(1+tg)sec

m 

B



b) Rsec(1+tg) d) R(1+csc)tg

 N D 3 b) k tg  2 2 d) k tg 



x a) msensen c) mtantan e) N.A.

15).- Calcula DN en términos de k y  B

a) k tg 2 c) k tg 





A



e) 12

x

a) 2

A

d) 10

c) a+b/2a

14).- Calcula AB en términos R y  C

O

c) 8

18).- Calcula “x” en: Si: Cot-Cot=5

a  a) a+b/a d) a+b/2b

y

x

CLAVES 1) a 5) a 9) a 13) a 17) d

C

e) k tg  2

2) a 6) b 10) a 14) c 18) b

b) mcoscos d) msecsec

3) a 7) b 11) c 15) b 19) a

4) a 8) a 12) b 16) c

COL2004/4°Pre/TRIG-05 22/06/04 V.A.A



Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : Alfredo Bustes Calle Fecha: 28/06/04

PRE-UNIVERSITARIO

TEMA : ÁNGULOS VERTICALES Solución:

I.- DEFINICIÓN: Son aquellos ángulos representados en el plano vertical.

En la figura:

Torre

II.- CLASIFICACIÓN: 1.- ÁNGULO DE ELVACIÓN: ES aquel ángulo formado por la línea horizontal y la visual. La visual es una línea imaginaria que parte del observador hacia el objeto y que esta por encima de la línea horizontal.

60° 8 30° 60° 30°

edificio

H

8 3 24

24

OBJETO

60° 8 3

H = 32 Áng. de elevación OBSERVADOR

L. Horizontal

2.- ÁNGULO DE DEPRESIÓN: Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la visual. La visual es una línea imaginaria que parte del observador hacia el objeto y que esta por debajo de la línea horizontal. OBSERVADOR

2.- Una persona de 1.20m de estatura observa los puntos A y B con ángulos de depresión y elevación que miden 45° y 37° respectivamente. Calcula la altura del edificio. Solución: Graficando: B 53°

L. Horizontal

0,9

Áng. de depresión 37° 45°

1,2 1,2

1,2 OBJETO

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- De un edificio de 24m de altura se divisa una torre con un ángulo de elevación de 30° y la base de la torre con un ángulo de depresión de 60° . Halla la altura de la torre.

1,2

AB = 2,1

A

Colegio Privado

2


3.- Desde un punto en tierra ubicado a 4m de un poste, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37°. ¿Cuál es la altura del poste? A

Solución:

6.- Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación “”. Nos acercamos una distancia igual al doble de la altura del edificio y el ángulo de elevación es ahora “”. Calcula: L = cot - cot. Solución:

x P

37°

4

B

Como el triángulo rectángulo formado es notable (37° y 53°), además: PB = 4m Piden : AB = x x = 3m

h 

 1

ra

2

da

m

2h 4.- Un niño de 1,5m de estatura divisa una piedra en el suelo con un ángulo de depresión de 37°. ¿A qué distancia del niño se encuentra la piedra? Solución: 37° 1,5m 37° x Como se forma un triángulo rectángulo notable, decimos: 1,5 = 3a  a = 0,5 (proporción ya conocida) x = 4a = 4(0,5)  x = 2m

5.- Desde lo alto de un poste se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión “” (cot = 4). Si el objeto se halla a 20m del poste, ¿qué altura tiene el poste? Solución:



Del gráfico: 2h  m cot α  h m cot β  h piden : L = cot - cot 2h  m m  L= h h 2h  L2 L= h

CUESTIONARIO 1).- Desde lo alto de un faro de 58m de altura se observa un buque con un ángulo de depresión de 30°. ¿A qué distancia se encuentra el buque del faro? a) 58

b) 58 3

c) 60

d) 29 3

e) 60 3

x  20 En el triángulo rectángulo formado: 20 20 cot α  4 x x 20  x  5m x= 4

2).- Desde un helicóptero que vuela a 600m sobre el nivel del mar se miden los ángulos de depresión de dos buques que forman con el helicóptero un plano vertical, estando además a un mismo lado de él, obteniéndose 37° y 53°. Calcula la distancia entre los buques. a) 400 d) 450

b) 300 e) 500

c) 350

Colegio Privado

3


3).- Calcula la estatura de la persona en términos de m, H y . 

8).- Desde un punto, ubicado a 36m de la base de un poste, se observa la parte superior de este con un ángulo de elevación de 37°. ¿Cuánto se tendrá que avanzar para que el nuevo ángulo de elevación tenga una tangente igual a 0,9?

x a) 2

b) H - mtan

c) H - mcot

d) H + mcot

e) N.A. 4).- Determina la altura de un árbol si se tiene que el ángulo de elevación con el que se observa su parte superior, disminuye de 53° a 37°, cuando el observador recorre 14m. a) 12

b) 24

d) 36

e) 40

c) 30

5).- Una persona colocada a orillas de un río ve el extremo superior de un árbol, plantado sobre la rivera opuesta, bajo un ángulo de elevación de 60°, si se aleja 40m el ángulo de elevación es 30°. ¿Cuál es el ancho del río? a) 10 b) 15

c) 20

d) 25

b) 7

c) 9

d) 11

e) 13

7).- Un mono que se encuentra sobre un árbol es observado desde un punto del suelo con un ángulo de elevación “” y la copa del árbol es observada desde el mismo punto a 12m, de distancia y con un ángulo de elevación “2”, halla “tg” si la distancia que tendrá que subir el mono para llegar a la copa del árbol es de 5m. a) 5/13 d) 13/12

b) 5/12 e) N.A.

d) 8

e) 10

a)

2

b)

d)

3 /3

e) N.A.

2 /2

c)

3

10).- Desde la base y la parte superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 60° y 30° respectivamente, si la torre mide 24m. Entonces la altura del edificio es: a) 30 d) 36

b) 32 e) 38

c) 34

11).- Una persona de 2m de estatura observa la base de un poste de luz con ángulo de depresión de 30° y la parte superior con un ángulo de elevación de 60°. Calcula la altura del poste.

e) 30

6).- Una persona de 1,75m de altura observa un árbol con un ángulo de depresión de 30° su base y con un ángulo de elevación de 60° su parte superior. Halla la altura del árbol. a) 5

c) 6

9).- Desde cierto punto del cuelo se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación “” y desde el punto medio de la distancia que separa el pie de la torre y dicho punto, la elevación angular es 90° - . Calcula tg.

m a) H + mtan

b) 4

c) 12/5

a) 4m

b) 6m

d) 8m

e) 6 3

c) 4 3

12).- Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 15°, acercándose 36m hacia el edificio el nuevo ángulo de elevación es el doble del anterior. Calcula la altura del edificio. a) 6 3 m

b) 12m

d) 12 3 m

e) 24m

c) 18m

13).- Una antena de radio está sobre la azotea de un edificio. Desde un punto a 12m de distancia de la base del edificio los ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior son 53° y 37°

Colegio Privado

4


respectivamente. Calcula la altura de la antena. a) 6m d) 9m

b) 7m e) 10m

c) 8m

14).- Una persona ubicada a 36m del pie de una torre, observa su parte mas alta con un ángulo de elevación cuya tangente es 7/12 que distancia en la misma dirección debe alejarse con respecto del punto anterior para que la tangente del nuevo ángulo de elevación sea 1/4 a) 12m b) 21m c) 36m d) 48m e) 84m 15).- Un avión vuela en línea horizontal paralela al suelo, en un cierto instante el piloto observa en tierra una ciudad, con un ángulo de depresión de 37° y luego de recorrer 42Km en dirección a la ciudad lo observa nuevamente pero ahora con un ángulo de depresión de 53°. Calcula la altura que vuela el avión. a) 42Km d) 72Km

b) 50Km e) 96Km

c) 60Km

16).- Desde la parte inferior del quinto piso de un edificio se observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación de 37° y desde la parte superior del primer piso se observa con un ángulo de elevación de 45° determina la altura de la torre, si los observadores están separados 3m. a) 11m d) 18m

b) 13m e) 19m

19).- desde un punto en el suelo se observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación “”, desde la mitad de la distancia que separa el punto de la torre se observa nuevamente la parte más alta de la torre con ángulo de elevación que es el complemento del anterior. Calcula cot. a)

2

b) 2 2

d)

2 /4

e) N.A.

c)

20).- Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de elevación de 30°, al avanzar 10m. El ángulo de elevación se duplica. Halla la altura del faro a) 5m

b) 3m

d) 5 3 m

e) N.A.

CLAVES 1) b 2) c 5) c 6) b 9) b 10) d 13) b 14) d 17) b 18) c

3) b 7) b 11) d 15) d 19) a

c) 9,66m

4) b 8) c 12) c 16) b 20) d

c) 16m

17).- Desde la parte superior e inferior de un muro se observa la parte superior de otro muro con ángulo de elevación de 37° y 45° respectivamente. Si el muro más alto mide 48m, entonces la altura del otro muro es: a) 8m d) 24m

b) 12m e) 32m

c) 16m

18).- Desde lo alto de una cima de observa un obstáculo con un ángulo de depresión de 60°, si dicho obstáculo dista 20 3 m de pie de la cima. Calcula la altura de la cima. a) 20m

b) 20 3 m

d) 60 3

e) 40m

c) 60m

2 /2


200 MILLAS COL2004/4°Pre/TRIG-06 25/06/04 V.A.A



Alumno(a) :....................................................................... Semana : 12 Profesor (a) : Alfredo Bustes Calle Fecha : 27/08/04

Preuniversitario

TEMA : PLANO COORDENADO 1. DEFINICIÓN Es aquel sistema conformado por dos perpendiculares entre sí. El punto de corte recibe el nombre de de coordenadas. Además el plano dividido en cuatro regiones; cada uno cuales se denomina cuadrante.

rectas

3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

origen queda de los

y B(x2; y2) d

y

IIC - - - - -

+ + + +

IIIC -

IC

A(x1; y1)

x



+++++

x

En general :

IVC

d(A, B) =

x : Eje de abscisas y : Eje de ordenadas

2. UBICACIÓN DE UN PUNTO Un punto queda localizado en el plano; cuando se conocen los valores que le corresponden a la proyección del punto sobre cada uno de los ejes. En el gráfico :

( x 2  x1 )2  ( y 2  y1 )2

4. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO B(x2; y2)

Y M(x; y)

P(x1; y1)

y1

y1

A(x1; y1)

y1

O

X

x1

X=

x1  x 2 2

y=

y1  y 2 2

x1

Donde :  x1, y1: componentes de P. El punto es : P(x1; y1)  x1 : abscisa  y1 : ordenada OP : radio vector  Se cumple :

En general :

2

2

r = x1 + y1

2

Colegio Privado

2


5. PROPIEDAD DEL BARICENTRO

Solución : Por distancia entre 2 puntos :

B(x2; y2)

G(x; y)

A(x1; y1)



AC



AB =

2  7)2  (5  9)2  41



BC =

7  3)2  (9  4)2  125  5 5

P=

3

P=

3

2  3)2  (5  4)2  26

=

C(x3 ; y3)

Donde : G  Baricentro En general : X=

x1  x 2  x 3 3

y=

y1  y 2  y 3 3

26 x

26 x

41 x

41  8 x

5 5 5

P=3

27

3).- Si dos vértices de un triángulo son A(-4; 6) y B(-3; 8). Halla la suma de las coordenadas del tercer vértice sabiendo que las medianas de dicho triángulo se intersectan en el punto P(2; 6). Solución : Dato : A(-4; 6) , B(-3; 8) , C(x; y)  P(2; 6)  Baricentro

PROBLEMAS RESUELTOS 1).- La distancia entre los puntos (2, 1) y (5, 4) es K 6 . Calcula “k”. Solución :

Se sabe : ( 4)  ( 3)  x =2 3

x = 13

68y 6 3

y=4

Dato : (2; 1) y (5; 4) Se sabe que la distancia entre los puntos : d=

(5  2)2  ( 4  1)2

x + y = 17 4).- De la figura, halla “a” si AB//MN.

d = 18

B(1; 8)

Por dato : k 6 = 18 k=

18 6

k=

3

M(4; 6)

A (-2; a)

2).- Dados los puntos : A(2; 5) , B(7; 9) y C(-3; 4) Halla : P  3 AC 26  AB 41  8

DC 5

C(7; 4) N(5/2; 3)

Solución : Por el punto medio de un segmento : a4 3 2

a+4=6

 a=2

Colegio Privado

3


5).- ¿Qué punto está más alejado del origen? a) A(1; 2) b) B(3; -1) c) C(2; 3) d) D(4; 0) e) E(-3; 4)

Solución: y

A(-1; 3)

y

Solución : E

B(2; 5)

5 3

4 C

3 2

A 4

1

3

4 D

2

-3

-1

x

d(A;

-1

B

Hallando el radio-vector de cada punto: rA =

12  22  5

rB =

32  (1)2  10

rC =

22  32  13

rD =

42  02  16

rE =

(3)2  42  25

B)

x

2

-1

C(4; -1)

(1  2)2  (3  5)2

=

d(A; B) =

9  4  13

d(B; C) =

( 4  2)2  (1  5)2

d(B; C) =

(4  36)  40

d(A; C) =

(1  4)2  (3  (1))2

d(A; C) =

41

 El lado mayor mide

41

 El punto más alejado es “E” 6).- ¿Cuál es el mayor lado de un triángulo cuyos vértices son : A(-1; 3), B(2; 5) y C(4; -1)?

CUESTIONARIO I. Escribe (V) o (F) según corresponda :  Sean los puntos A(x1; y1) ; B(x2; y2) y C(x3; y3) entonces : 2

1. La distancia entre A y B es d(A; B) = (x2 – x1) + (y2 – y1)

2

 x2  x3 y2  y3 ; 2 3 

2. Las coordenadas del punto medio del segmento BC son M 

  

x1  x 2  x 3 y y y ; y 1 2 3 3 3  x1  x 2 y1  y 2  4. Las coordenadas del punto medio del segmento AB son M  ;  2 2  

3. Las coordenadas del baricentro del triángulo ABC son: x 

5. La distancia entre los puntos B y C es : d(B, C) =

( x 3  x 2 )2  ( y 3  y 2 )2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Colegio Privado

4


II. Completa en los espacios vacíos: 1.

El sistema .............................. está dividido en .............. cuadrantes.

2.

En el par (x; y ) la ........................... componente es la abscisa del punto.

3.

En

el

par

(x;

y)

la

segunda

.............................

es

la.................................................................. 4.

La

distancia

del

origen

de

coordenada

al

punto

P(x;

y)

se

denomina

:

....................................

III. Subraya la alternativa correcta : 1).- Halla la distancia entre los puntos (-1; 2) y (3; -1) a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

c) 5

2).- Halla la distancia entre los puntos :

b) 5 5

d) 8 5

e) N.A.

a) A(2; 6) y B(4; 8) b) M(-1; -5) y N(-7; 9)

6).- Calcula las coordenadas del punto P en el segmento : A(-1; 4) ; B(3; 8) / AP  PB

(-4; -8) y (2; 4) a) 3 5

5).- Calcula las coordenadas del punto medio de los segmentos :

c) 6 5

a) (2; 2) c) (1; 4)

b) (1; 6) d) (6; 1)

7).- Calcula las coordenadas del punto P en el segmento. 3).- Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo. A(-2; -1) ; B(5; 4) ; C(0; -2) a) (1; 1) d) (1; 4)

b) (1; 1/3) e) N.A.

c) (3; 1)

4).- Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo : M(1; 4); N(11; 5); P(3; -6) a) (5; 1) c) (3; 21) e) N.A.

b) (1; 5) d) (1; 4)

M(0; 7) y N(6; 1) / MP  2PN a) (4; 3) c) (5; 3)

b) (3; 4) d) (3; 5)

e) N.A.

8).- Calcula las coordenadas del punto P en el segmento : A(-3; 2) ; B(4; 9) / 3AP  4PB a) (6; 1) c) (1; 7)

b) (1; 6) d) (7; 1)

e) N.A.

9).- Calcula las coordenadas del punto P en el segmento. A(-1; -4) ; B(7; 4) / 5AP  3PB

Colegio Privado

5


a) (2; -1) c) (2; 1)

b) (1; -2) d) (1; 1)

15).- Si dos vértices de un triángulo son A(-4; 6) y B(-3; 8). Halla la suma de las coordenadas del tercer vértice sabiendo que las medianas de dicho triángulo se intersectan en el punto P(2; 6)

e) N.A.

10).- La distancia entre los puntos (2; 1)

y a) 16 d) 14

(5; 4) es k 6 . Calcula “k” : a)

b) 1

2

d) 1/2

e)

c)

c) 18

3

5

16).- Si “O” es el centro de la circunferencia. Halla dicho centro.

11).- La distancia entre los puntos (2; -1) y (5;-5) es la misma que entre los puntos (-3; 0) y (x; 3). Halla los valores de “x”. a) –7 d) 4

b) 15 e) 17

b) 1 e) {-7; 1}

c) 5

P(4; 11)

a) (3; 5) b) (0; 8) c) (1; 1) d) (3; 2) e) (2; 3) N

3a M 2a

(-1; 6)

0

12).- Calcula la coordenada del vértice “C” en el paralelogramo ABCD. a) (6 ; 4) b) (5 ; 5) c) (6 ; 5) d) (5 ; 4) e) (3 ; 5)

B(2; 3)

C

D(3; 1)

R(5; -4)

17).- De la figura calcula “a”; si AB//MN a) 0 b) 1 B(1; 8) c) 2 d) -2 M(4; 6) e) -4

A

13).- Dados los puntos M(2 ; 2) y N(5; -2). Halla en el eje de abscisas un punto P de modo que el ángulo MPN sea recto. a) (0; 3) d) (0; 5)

b) (0; 6) e) (0; 9)

A(2; 5); B(7; 9); C(-3; 4) Halla : 3

AC 26  AB 41 

N(5/2 ; 3)

c) (0 ; 1)

14).- Dados los puntos :

P=

A(-2; a)

8 BC

CLAVES 1) c

2) c

3) b

4) a

5) --

6) b

7) a

8) b

9) a

10)c

11)e

12)d

13)b

14)c

15)e

16)d

17)c

5 a) 1 d) ½

b) 2 e) 1/3

C(7 ; 4)

c) 3 DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

200 MILLAS COL2004/TRIG-07 24/08/04 J.P.B



Alumno(a) :................................................................... Semana 13 Profesor (a) : Alfredo Bustes Calle Fecha: 06/09/04

Preuniversitario

TEMA : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MAGNITUD

1.- ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL RT () = R.T. () Es un ángulo trigonométrico cuyo vértice es el origen de coordenadas, cuyo lado inicial (L.I.) coincide con el semieje de las abcisas y cuyo lado final (L.F.) nos indica el cuadrante al cual pertenece. También se le denomina ángulo en posición estándar o en posición canónica. Ejemplos:

 L.I.

k.n° Entero

3.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO ESTÁNDAR CUALQUIERA Se define razón trigonométrica de un ángulo estándar a la relación o cociente que se establece entre la abscisa (x), ordenada (y) y radio vector (r) de un punto que pertenece al lado final del ángulo. Y

L.F.

P(x,y) r y

L.F.

 L.I. 

 y : Ángulos en posición normal   IIIC y   IIC (estándar)

o

x

X

: ángulo estándar cualquiera x: abscisa y: ordenada r: radio vector (r  x 2 , y 2 , r  0)

2.- ÁNGULOS COTERMINALES Son ángulos en posición normal que tienen el mismo lado final.





4.- ÁNGULOS CUADRANTALES Son aquellos ángulos en posición normal, cuyo lado final coincide con cualquier de los 4 semi-ejes coordenados. Los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante. 90°

180°

0° (360°)

 -  = 360°K = 2K 270°

Colegio Privado

2


x = -1 y= 3

Ángulo Cuadrantal = 90°K = k/2 Donde :

5.- RELACIONES DE LOS ÁNGULOS CUADRANTALES 90°

Sen

0

Cos

1

Tan

0

Cot

N

Sec Csc

6.-

180°

270°

360°

1

0

-1

0

0

-1

0

1

N

0

N

0

0

N

0

N

1

N

-1

N

1

N

1

N

-1

N

SIGNOS DE LAS TRIGONOMÉTRICAS

RAZONES

I

II

III

Sen

+

+

-

-

Cos

+

-

-

+

Tan

+

-

+

-

Cot

+

-

+

-

Sec

+

-

-

+

Csc

+

+

-

-

IV

 y  x  K = sen.cos =      r  r 

 3  1    K =     10   10  3 K= 10 K = -0,3

2.- Si el punto Q(-3; -4) pertenece al lado final del ángulo canónico “”. Calcula: E = sec+tan Solución: Graficando tenemos: y  -3 x

-4 Q(-3; -4)

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Si el punto P(-1, 3) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “”; calcula : K = sen.cos. Solución: y 3 P(-1;3)

 -1

x2  y 2

 r = 10 piden:

K = número entero

0°

r=

x = -3 r= y = -4 r=5

x2  y 2

nos piden:

r y  x x 5 4 5 4    E= 3 3 3 3 5  4 E= 3 1 E =  3 E = sec+tan =

3.- Sabiendo que: sen =  x

calcula: S = sec - tan

3 ;   IVC, 5

Colegio Privado

3


Solución: En este tipo de problemas se puede proceder así: Como: 3 y y = -3 sen =  r=5 5 r Luego: 2 2 2 2 2 2 r =x +y x =r –y 2 x = 25 – 9 = 16  x = 4 x = -4 (no lo toma:   IVC)

5.- Sabiendo que: cos = -0,8;   IIC Calcula: E = csc + cot Solución: Aplicando el caso anterior:

Graficando; reconocemos el punto del lado final de “”, luego podemos ubicar el punto (4; -3) así: Entonces: S = sec-tan r y =  x x

y 4 x

 5 -3

(4; -3)

5

S = 5  3  5  3 4

4

4

3

 4

S=2

4.- Sabiendo que: tan = 0,5;   IIIC, Calcula: C = sen.cos

6.- Señala el signo de: E=

Solución: Otra forma de resolver estos problemas, es decir conocida una R.T. calculamos cualquier otra; es con la ayuda de un triángulo rectángulo, pero teniendo muy en cuenta el cuadrante al cual pertenece el ángulo considerado. Así en el ejercicio: tan = 0,5 =

8 10 4 C.A. cos =  5 H como: IIC: 5 csc = + 3 4 cot =  3 entonces: 5 4 5  4  E=  3 3 3 1 E= 3 cos = -0,8 =

sen100. cos 200 tan140

Solución: Identificando los cuadrantes: y Sen Csc (+)

Positivas todas

Tan (+) Cot

Cos (+) Sec

5 1 C.O.  tan β   10 2 C.A.

x

5 1 

100°  II C  sen100°: (+)

2 luego, no olvide que:  IIIC: sen =  cos  = 

1

200°  IIIC  cos200°: (-)

5

140°  II C  tan140°: (-)

2 5

 1  2  2     entonces: C =   5  5  5  C = 0,4

luego: (  )( ) ( ) E   E = (+) ( ) ( )

Colegio Privado

4


CUESTIONARIO 5).- Calcula el valor de :

1).- Calcula el cos en la figura : a)

10 10

b)

10 5

c)

10 9

d)

10

E = 3sen90° + 5cos + 2tan2

y

a) –1 d) 2

b) –2 e) 3

c) -3

 x

6).- Calcula el valor de : E = cos(sen) + sec(tan0°) (1; -3)

e) N.A.

a) 1 d) –2 2).- Calcula : sec - tan

b) 2 e) 3

c) 0

7).- Calcula : y

a) -1

T = cos1°cos2°cos3°. ....cos180°

(-3; 4)

b) –1/3 c) -3



d) 1

x

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

0

e) N.A.

8).- Si : tan = 2,4. Halla : “sen” además cos < 0

3).- Calcula : “cot” ; si sen = 1/3 y   II C

b)

2 2 c) 5

d) - 2

b)  12 13

c) 12 13

e) N.A.

9).- Indica el signo de :

2 2 3

a) -2 2

a)  5 13 5 d) 13

P = sen140° - tan330° - cos250° e) N.A.

4).- Indica el signo de : Q = sen220° tan250° cos150°

a) (+) c) (+) ó (-)

b) (-) d) faltan datos

10).- Si : cos = 40 y   IV C 41 Halla : E = csc + cot

a) (+) d) faltan datos

b) (-)

c) (+) ó (-) a) –9 d) 1/9

b) – 1/9 e) N.A.

c) 9

Colegio Privado

5


11).- En la figura, calcula :

15).- En que cuadrante se cumple :

P = sec + tan a) IC d) IVC

y

a) - 10 b)

Sen > 0

(-3; 1)

5  10  3 3

e)

 10  1 3

b) IIC e) I y IIC

c) IIIC



c) - 10 +1 d)

y tan < 0

x 0

16).- Calcula : E = 2Tan+3Sen 3 +2Sec2 - Cos180° 2 b) –2 e) N.A.

a) 0 d) –3

c) 3

12).- En qué cuadrante se cumple :

Sen .

3

Tan  < 0 17).- Evalúa :

a) IC d) IVC

b) IIC e) N.A.

c) IIIC 2 90  2ab sec   b 2 csc270 Q = a sen 2 a cos0  ab tan   b 2 sec180

13).- En qué cuadrante se cumple :

Cos .

3

Sen < 0

Calcula :

Sen Cos Tan  Cot    | Sen | | Cos | | Tan  | | Cot |

a) –1 d) –4

b) –2 e) -5

a) 0

b) a  b ab

d) a b

e) N.A.

c) a  b ab

18).- En la figura halla : tan y

c) -3

(2a, a+6)

(a, a+1)

14).- Indica el signo de :



x

Q = csc329 cot118 sec 271 sen119

a) (+) d) (+) o (-)

b) (-) e) N.A.

c) (+) y (-)

a) 3/4

b) 4/3

d) 4/4

e) 5/4

c) 3/5

Colegio Privado

6


19).- En la figura, halla : tan a) 2/3 (-2, 5) b) 3/2 c) 1 d) ½ e) N.A.

y

(6, 1) 

x

20).- Si : (cos)

5Cos

= 27/125 y

tan<0

Calcula : M = 6sec + 5sen

a) 2 d) 8

b) 4 e) 0

c) 6

CLAVES 1) a

2) b

3) a

4) a

5) b

6) b

7) a

8) b

9) a

10)b

11)e

12)b

13)b

14)a

15)b

16)a

17)c

18)e

19)b

20)c





Alumno(a) :....................................................................... Profesor (a) : Alfredo Bustes Calle Fecha: 13/09/04

Pre-Universitario

TEMA : IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1° Tema N° IX

2° Contenido N° 9.1 ; 9.2

3° Semana N° : 16 y 17

I. DEFINICIÓN Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una cierta variable; las cuales se verifican para todo valor de la variable, que no indetermina a la razón trigonométrica existente en la igualdad.

II. CLASIFICACIÓN 1. IDENTIDADES RECÍPROCAS 2. IDENTIDADES T. POR DIVISIÓN

1 Senx.Cscx=1;   n  , n Z  Cscx= Senx

Tanx =

Senx  ;  x(2n+1) ; nZ Cosx 2

 1 ,nZ Secx= 2 Cosx

Cotx =

Cosx ;  x  n; nZ Senx

Cosx.Secx=1;x(2n+1)

Tanx.Cotx = 1; xn

 1 , nZ  Cotx= 2 Tanx

3. IDENTIDADES T. PITAGÓRICAS 2

2

Sen x = 1-Cos x Sen x + Cos x = 1;  x  R 2

2

2

2

Cos x =1-Sen x 2

2

Sec x-Tan x=1 Tan x+1 = Sec x;  x(2n+1) 2

2

 , n R 2 2

2

Tan x = Sec x - 1 2

2

Csc x-Cot x = 1 Cot x+1 =Csc x;  x  n, nR 2

2

2

2

Cot x = Csc x-1

Los problemas que se presenten , son de tipo demostración; simplificación, condicionales y eliminación de variables; pero lo más importante es el manejo adecuado de las igualdades ya conocidas, para obtener la solución del problema.

Observación : Verso de x : Ver x = 1- Cosx Coverso de x : Cov x = 1- Senx Exsecante de x : Ex secx = Secx-1

Colegio Privado

2


PROBLEMAS RESUELTOS

Reduciendo : L = senx . cosx – cosx . senx

1) Demuestra que : 2 Tan x . Cosx . Cscx = Tanx

 L=0

Solución : En este problema, la idea es reducir el miembro dela igualdad más complicado y obtener un resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios más utilizados, es el de colocar la expresión a reducir, en términos de senos y/o cosenos; y para ello es bueno recordar:

1 1 Cscx = ; Secx = Senx Cosx

3) Reduce: L = (secx - cosx) (cscx – senx) Solución : Pasando a senos y cosenos:  1  1  L=   cos x   senx  cos x senx   

operando : 2  2   1  cos x  1  sen x  L =  ;  cos x  senx    

Senx Cosx Tanx= ; Cotx= Cosx Senx En el problema :

pero :

2

2

2

2

2

1- cos x = sen x

Tan x . Cosx . Cscx = Tanx ; nota que : 1- sen x = cos x reemplazando :

2

2

Tan x =

sen x 2

cos x 2

sen x 2

. Cosx .

cos x

2 2 L = sen x . cos x   L = senx.cosx cos x senx

1 = tanx senx

Reduciendo :

senx = tanx  cos x  

 tanx = tanx

tan x

4) Simplifica : L =  sec x  senx  cot x  csc x  cos x  Solución : Vamos a colocar toda la expresión en términos de senos y cosenos; así :  1  senx    cos x L =  sec x  senx  cot x   cos x .  1  cos x  senx  csc x  cos x   senx 

2) Simplifica : 2

2

L = tanx . cos x - cotx . sen x Solución : Vamos a colocar la expresión términos de senos y cosenos; así : 2

2

L = tanx . cos x – cotx . sen x L = senx . cos2 x  cos x .sen2 x cos x senx

en Operando y ordenando :

 1  senx. cos x  cos x L=   1  cos x.senx  senx 

  . cos x  senx  

Colegio Privado

3


Reduciendo :

En la expresión :

 1    cos x senx cos x L =  cos x . L= . 1   sen x cos x senx    senx 

sen x  cos x 2

2

L=

 cos x

senx  cos x

sen x  cos xsen x  cos x  cos x 2

L=

2

2

2

2

2

senx  cos x

 L=1 2

2

Pero : sen x + cos x = 1

5) Reduce : L = (secx + tanx –1) (secx – tanx+1) Solución : Si bien , el pasar a senos y cosenos, es un criterio muy generalizador; no siempre es necesario tales cambios; sino también al manejar las otras razones trigonométricas siempre que tengan relación. En el problema, por ejemplo : L = (secx + tanx-1) (secx-tanx+1)

Luego : L = sen x  cos x - cosx senx  cos x 2

2

Nota que : 2 2 sen x-cos x = (senx + cosx)(senx-cosx) L=

(senx  cos x )(senx  cos x )  cos x senx  cos x

Reduciendo . L = senx + cosx – cosx

operando : 2

 L = senx

L = sec x –secx . tanx + secx + tanx . secx 2

– tan x + tanx – secx + tanx – 1

CUESTIONARIO

2tanx

reduciendo : 2

2

L = sec x - tan x + 2tanx – 1 = 1 + 2tanx –1 1

 L = 2tanx

1).- Demuestra las siguientes identidades trigonométricas: 4 4 2 2 a) sen x + cos x = 1 - 2.sen x.cos x 6

6

2

2

b) sen x + xcos x = 1 - 3.sen x.cos x c) tanx + cotx = secx.cscx 2

6) Reduce : L=

Sen4x  Cos4x  Cosx Senx  Cosx

Solución : En muchos problemas; el uso de los productos notables es necesario para simplificar expresiones; siendo estos casos, importante, la adaptación de las propiedades algebraicas a la expresión trigonométrica a analizar. En el problema, tenemos : 4 4 L = sen x  cos x - cos x ; nota que : senx  cos x 2

2

a – b = (a + b) (a – b)

2

2

2

d) sec x + csc x = sec x.csc x 2

e) (1 + senx + cosx) = 2.(1+senx).(1+cosx) 2).- Halla “n” para que se cumpla la siguiente identidad trigonométrica: 2 2 (senx + cosx) - (senx - cosx) = n.senx.cosx a) 1

b) 2

c) 4

d) –1

e) -4

3).- Calcula el valor de “n” que hace que se verifique la siguiente identidad trigonométrica: 1  cos x cscx + n.cotx  senx a) –1 b) 1 c) 0 d) 2 e) -2

Colegio Privado

4


4).- Calcula “n” de tal manera que se cumpla: (senx + cosx).(tanx + cotx) = n + cscx

13).- Reduce: P=(tanx+cotx).(senx+cosx+1).(senx+cosx-1) b) –1

a) 0 a) senx d) cscx

b) secx e) tanx

b) –2

d) –1

c) 2

6).- Simplifica:

B a) 1

 1  senx 

1  senx 1  cos x

b) 2

c) 3

d) ½

b) cscx e) N.A.

c) –1

b) 1





b) 1

c) 2

10).- Reduce la trigonométrica:

d) 3 siguiente

 

a) 0 e) 1/3

b) 1

 

e) -2

e) N.A. expresión

c) –1

16).- Reduce:

e) -2

 





d) 2

e) -2



P = sen6 x  cos6 x  1 sec 2 x  csc2 x a) –3 b) 3

9).- Simplifica : 2 2 2 2 E = tan x + cot x + 2 - sec x.csc x a) 0

b) 1

cos2 x  sec 2 x c) 2 d) –1

2

c) cosx

d) 2

a) 0

sen2 x  tan2 x

15).- Simplifica: F = 1  sen2 x 1  1  cos2 x 1  1  csc2 x 1  1  sec2 x 1

8).- Simplifica: H=16(sen6x+cos6x)-24(sen4x+cos4x)+10(sen2x+cos2x) a) 0

D

e) 1

7).- Reduce la expresión: Q = secx - tanx.senx a) senx d) secx

e) 2

14).- Reduce la expresión:

5).- Reduce: 2 2 2 2 A = (1- cos x).(1+cot x)+(1-sen x).(1+tan x) a) 0

d) –2

c) 1

c) cosx

c) –2

d) 2



e) 1

17).- Calcula: Z = (tan50°+csc40°).(cot40°-sec50°) b) –1

a) 1

c) 0

d) 2

e) -2

18).- Si: cosx + secx = 4 : 2 2 Calcula: E = cos x + sec x a) 18 b) 16 2

c) 14

d) 12

e) 10

2

19).- Si: sec x + csc x = 100: Halla: J = tanx + cotx a) 0.01 d) 10

b) 0,1 e) 100

c) 1

R= sec x  tan x. sec 2 x  tan x. sec 2 x  1 2

2

0° < x < 90° a) secx d) 0

b) tanx e) N.A.

c) 1

11).- Si los catetos de un triángulo rectángulo son : ( 3senx + 4cosx ) y (4senx - 3cosx) respectivamente, luego la hipotenusa será igual a: a) 5 b) 5senx.cosx c) 5senx d) 5cosx e) N.A. 12).- Simplifica: a) senx d) secx

csc x  senx sec x  cos x b) cosx c) cscx e) ctgx

K=

3

20).- Si: (1 + cosx).(1 - cosx) = n Halla: K = (senx - 1).(senx + 1) a) n d) 1-n

b) –n e) n-1

c) 1+n

CLAVES 1) -

2) c

3) a

4) b

5) c

6) b

7) c

8) d

9) a

10) c

11) a

12) e

13) e

14) d

15) d

16) a

17) b

18) c

19) d

20) e

COL2004/4°Pre/TRIG-09 10/09/04 V.A.A




Preuniversitario

TEMA : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS Semana N° 18 y 19

Tema N° X

Contenido N° 10.1-10.2

I. DEFINICIÓN

Cot+Cot+Cot=CotCotCot

Es aquel ángulo conformado ya sea por la suma ó la diferencia de dos ó más ángulos. Ejemplos :

PROBLEMAS RESUELTOS

 

x=++ y = 45° - 20°

Observación :  Sen(x+y)  Senx + Seny  Tan - Tan  Tan(-)

II. FÓRMULAS BÁSICAS Para la suma ó la diferencia de dos ángulos (x  y)

1) Simplifica : Sen(60  x )  Sen(60  x ) L= Cosx Solución : En la expresión; desarrollando cada término del numerador : L=

Sen(60  x )  Sen(60  x ) Cosx

L = Sen60.Cosx  Senx.Cos60  Sen60.Cosx  Senx.Cos60 Cosx

1) Sen(x  y) = Senx Cosy  Seny Cosx

Simplificando:

2) Cos(x  y) = Cosx Cosy  Senx Seny

L = 2Sen60.Cosx Cosx  3   L = 2Sen60°=2    2 

3) Tan(x  y) =

III.

Tanx  Tany 1  TanxTany

PROPIEDADES



L=

3

1) Tgx+Tgy+Tgx Tgy Tg(x+y)=Tg(x + y) 2

2

2) Sen(x+y)Sen(x-y)=Sen x-Sen y 3)

Cos( x  y ) =Tgx  Tgy Cosx Cosy

4)

Cos( x  y ) =Cotx Coty-1 Senx Seny

Además :  Si :  +  +  = n ó 180°n (nZ)

2) Determina el valor de : L = Sen3x.Cos2x  Sen2x.Cos3x Sen4x.Cosx  Senx.Cos4x Solución : Recuerda que : Sen.Cos+Sen.Cos=Sen(+ ) Luego; si : =3x   =2x Sen3x.Cos2x+Sen2x.Cos3x=Sen(3x+2x) = Sen5x

Tg +Tg+Tg=TgTgTg CotCot+CotCot+CotCot=1  Si : ++=(2n+1)/2 ó (2n+1)90° TgTg+TgTg+TgTg =1

En la expresión : L = Sen3x.Cos2x  Sen2x.Cos3x Sen4x.Cosx  Senx.Cos4x

Colegio Privado

2


Senx . Cos Senx  L = Tanx  Cos . Cosx Cosx 5) Calcula el valor de “Cos8°”

L = Sen5 x  L=1 Sen5 x 3) Calcula el valor de “Sen75°”

L=

Solución : En este caso, descomponemos “75°” como la suma de dos ángulos conocidos, por ejemplo : Sen75° = Sen(45°+30°)

Solución : Descomponemos 8° ángulos conocidos :

usando

dos

8° = 45° - 37° Esto es : Cos8° = Cos(45°-37°) Cos8° = Cos45°.Cos37°+Sen45°.Sen37°

desarrollando :

Reemplazando valores conocidos : Sen75° = Sen45°.Cos30°+Sen30°.Cos45° Reemplazando valores notables:

2 . 3  1. 2 2 2 2 2

Sen75°=

 Sen75° =

Cos8° =

2 4 2 3 .  . 2 5 2 5

7 2 10

 Cos8° =

6 2 4

como sugerencia; triángulo :

no

olvides

este

82°

Sugerencia, no olvides el siguiente triángulo :

5

2 1

75°

8° 7

4

6 2

6) Simplifica : L =

15°

6 2

Solución : En estos casos; lo ideal es desarrollar la fórmula :

4) Reduce : L=

Sen(  x )  Sen.Cosx Cos(  x )  Sen.Senx

L=

Solución : Vamos a desarrollar conocidos; así : L=

Sen(  ) - Tan Cos . Cos

los

términos

Sen(  x )  Sen.Cosx Cos(  x )  Sen.Senx

Sen.Cos  Sen.Cos - Tan Cos.Cos

Luego, la fracción la desdoblamos en homogéneas así : L=

Sen.Cos Sen.Cos  -Tan Cos.Cos Cos.Cos

Reduciendo : L = Sen.Cosx  Senx.Cos  Sen.Cosx Cos.Cosx  Sen.Senx  Sen.Senx Reduciendo :

Sen L = Sen  - Tan Cos Cos  L = Tan + Tan - Tan

Colegio Privado

3


L = Tan

a) 1/9 d) 3/9

b) 2/9 e) 5/9

c) 4/9

CUESTIONARIO 9).- Reduce : sen(  y ) sen( y  ) sen(  )   cos  cos  cos  cos y cos y cos 

1).- Calcula el valor de : a) sen15° b) cos15°

a) tg tg tgy

b) ctg ctg ctgy

2).- Calcula el valor de : d) –1

c) 1

e) 0

a) tan16° b) cot8°

Sen( x  y )  Sen( x  y ) 3).- Reduce : P = Cos( x  y )  Cosx( x  y ) a) Tanx c) Cotx e) 1

b) Tany d) Coty

Q = Secx Secy [ (cos(x + y) + cos(x – y) ] b) 2 e) -1 6

6

a) 11/16 c) 12/13 e) 1/4

b) 13/16 d) 15/17

c) 3

7).- Si :  +  = 150° reduce : 2

2

(sen+cos) + (cos + sen)

d)

b) 2

3

c) 3

e) 2 3

8).- Si : cos(+45°) = Calcula : sen . cos

2 . 6

b) 2 e) 5

c) 3

13).- Calcula : cos 35 sen10  cos10

tan x  tan y tan x  tan y  tan(x  y ) tan(x  y ) b) 2 e) 5

a) 1

c) 3

12).- Si :  +  = 45°, calcula : 1 + (1 + tg) (1 + tg) a) 1 d) 4

6).- Calcula :

a) 1 d) 4

11).- Calcula : tg50  tg40 tg10 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

c) 1/6

c) 3

5).- Calcula : E = sen /12 + cos /12

Q=

b) –1 e) 5/6

a) 1 d) – 1/6

4).- Calcula :

a) 1 d) –2

10).- Si tg tg = 3/2 y coscos = 1/3 Halla : cos (+)

a) 1

b)

2

d) 2 2

e)

2 /4

c)

2 /2

14).- Si  y  son ángulos del tercer y cuarto cuadrante respectivamente y sen = 3/5 y cos=3/5. Calcula : cos ( - ) b) –1 e) 1

a) 0 d) 24/25

c) –24/25

4  tg2  y tg(+) = 6 1  4tg2  calcula : tg(-)

15).- Si : tg  = 2

Colegio Privado

4


a) 24 d) 3/2

b) 1/24 e) 1

c) 2/3 20).- Calcula :

16).- Reduce : E=

3 tg 20° +

tg  tg tg  tg  tg(  ) tg(  )

a) 0 d) –1

b) 1 e) -2

3 tg40° + 3tg20° - tg40°

a) 3 d) 1

c) 2

b) 3 3 e) 6

c) 3

21).- Del gráfico calcula : Tg 17).- Si : 3sen = 2sen(+2). a

2a

3a

Calcula : tg( + ) ctg b) –5 e) 1

a) 5 d) – 1/5

c) 1/5 °

18).- Reduce : M=

a) 4/13 d) ½

sen(a  30)  cos(60  a) sen(a  60)  sen(a  60)

a)

2

b) 1

d)

6

e) -1

19).- Si : tg(2A + 3B) = 3

6a

c)

b) 6/13 e) 3/4

c) 2/3

3

y CLAVES

tg(3A + 2B) = -2 Halla : tg(A – B) a) 1 d) 1/7

b) –1 e) – 1/7

c) 7

1) --

2) --

3) a

4) b

5) b

6) b

7) c

8) c

9) e

10)d

11)b

12)c

13)c

14)c

15)c

16)c

17)a

18)c

19)a

20)c

21)a






Preuniversitario

TEMA : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Semana N° 23

Tema N° XI

Contenido N° 11.2

P = 1 - 2(2Senx.Cosx)

I.- EN GENERAL: 1.- Sen2x = 2Senx.Cosx 2 2 2.- Cos2x = Cos x – Sen x

2

2

P = 1-2Sen 2x P = cos4x

2

2.1.- Cos2x = 1- 2Sen x 2 2.2.- Cos2x = 2Cos x – 1 FÓRMULAS DE DEGRADACIÓN 2 2 a.- 2Sen x = 1-Cos x 2 2 b.- 2Cos x = 1+Cos x 3.- Tan2x =

2Tanx

b.- Cos2x =

Solución: Factorizando “2Senx.Cosx” 2 2 P = 2Senx.Cosx (Sen x + Cos x) P = Sen2x

1  Tan 2 x

II.- OTRA FORMA DE EXPRESAR EL “SEN2X” Y “COS2X” a.- Sen2x =

3.- Reduce: 3 3 P = 2Sen x.Cosx + 2Senx.Cos x

4.- Reduce:

2Tanx

Q=

1  Tan x 2

1  Tan 2 x 1  Tan x

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Calcula

Q=

Q= E = Sen15°.Sen75°

2Senx(Senx  Cosx) 2Cosx(Cosx  Senx )

Solución: Tan21° = Tan(37° - 16°)

Solución: Agrupando en forma conveniente. 2

P = 1 - 8Cos x(1 - Cos x) P = 1 - 8Cos x.Sen x

2Cos2 x  2Senx.Cosx

5.- Calcula: Tan21°

2.- Reduce: 2 4 P = 1 - 8Cos x + 8Cos x

2

2Sen 2 x  2Senx.Cosx

Q = Tanx

Solución: 2E = 2Sen15°.Cos15° 2E = Sen30° 1 2E = 2 1 E= 4

2

1  Cos2x  Sen2x 1  Cos2x  Sen2x

Solución: Por degradación:

2

2

(1)

3 7  Tan 37  Tan16  4 24 Tan21° = 3 7 1  Tan 37.Tan16 1 . 4 24 44 Tan21° = 117

Colegio Privado

2


6.- Calcula: 4 4 E = Cos 15° - Sen 15° Solución: Por diferencia de cuadrados 2 2 2 2 E=(Cos 15°+Sen 15°)(Cos 15°-Sen 15°) (1)

a) 1

b) 0

d) 2

e) 3

5).- Si : x =  , calcula : 2

Cos2(15°)

B

E = Cos30° E=

3 2

CUESTIONARIO

b) 1/2

d) –1/2

e) 0

c) -2

6).- Reduce :

K=(Cos  - Sen ) + (2Sen Cos) 4

Tg2x Sen2x  Cosx

a) 2

1).- Simplifica : 4

c) 4

2

P  1  Cos2  1  Cos2

2

a) Cos2 b) Sen2 c) Tg2 d) Sec2 e) 1

2 Tg

 2

1  Tg2

 2

a) 2Tg b) Tg2 c) 0 d) 2Tg e) 2Tg2

2).- Calcula : P

Cos4x 1 8Sen 2 x Cos2 x

7).- Calcula : a) 1 b) Senx c) Cos2x d) 2 e) Cosx

Q = Cos20° Cos40° Cos80° a) 1/2

b) 1/4

d) 1/16

e) 1

8).- Reduce :

3).- Simplifica :  1  Tg2    B  2   1  Tg  

2

a) Cero

b) 1

d) 3

e) 1/2

 2 Tg      2   1  Tg  

2

c) 2

E  2  2  2  2  2Cos16 

a) Sen b) 2Sen c) 2Cos

4).- Calcula : R

(Sec2 1)Tg Tg2

d) Cos e) 2

c) 1/8

Colegio Privado

3


9).- Si : x=18°45’

a) Senx

Halla: P=Cos  Sen  - Sen  Cos 3

3

b) Cosx c) 1

a)

2 6 16

b)

6 2 16

c)

2 6 10

d) Tgx e) 0

14).- Si : Tgx – Tg2x = a 2

d) 1/2 e)

2

a) a 2 d) 4a

2 3

2

2

b) 2a 2 e) 3a

c) a /2

15).- Si x = 90°

10).- Halla : T

2

Halla : M=Tg xSec 2x

(1 Cos2) . 1 Cos2 Sen2 2

Calcula : B 

a) Sen b) Cos

Tg2x Sen2x  Cosx

a) 2

b) 1/2

d) –1/2

e) 0

c) -2

c) Tg 16).- Reduce : 16Sen Cos Cos2Cos4 Cos8

d) Ctg e) Sec

a) Sen8 b) Cos8 11).- Reduce : E

c) Sen16

2(1 Cos2)  2(1 Cos2) Sen  Cos

a) 1

b) 2

d) 3

e) 1/2

d) Cos16 c) 4

e) Sen32

17).- Simplifica : 2SenCos + 2Sen Cos 3

12).- Simplifica : E 

1  Sen4A  Cos4A 1  Sen4A  Cos4A

a) Ctg2A

b) CtgA

d) Tg2A

e) 1

c) TgA

3

a) Cos2 b) Sen2 c) Sen4 d) Cos4 e) Sen

13).- Reduce : P  Sen2x 

2

Sen 2x Senx SenxCosx  Cosx  Tgx Senx

18).- Si : Tg + Ctg = n. a) n

b) 2n

d) 1/n

e) 2/n

Halla : sen2 c) n/2

Colegio Privado

4


19).- Halla : “x” a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 15

5 ° °

4 x

20).- Halla : Sen4 si : Tg =3

a) 25/24 b) –24/25 c) –12/25 d) 7/25 e) –7/25

CLAVES 1) e

2) a

3) b

4) a

5) c

6) c

7) c

8) b

9) a

10) b

11) b

12) d

13) e

14) a

15) c

16) c

17) b

18) e

19) d

20) b


200 MILLAS COL2004/4°Pre/GEOM-11 20/10/04 VAA




Preuniversitario

TEMA : RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD Semana N° 24

Tema N° XIII

Contenido N° 13.1 ; 13.2

Solución :

I. PRINCIPALES ECUACIONES En general las principales ecuaciones que nos permiten Calcula las R.T del ángulo mitad son: x

1) Sen     2 



x

2) Cos     2

1  Cosx 2

1  Cosx 2

Por las equivalencias: E = (Csc45°+Cot45°-1) (Csc30° + Cot30°-2) E = ( 2 + 1 – 1) (2 +

 E=

3

- 2)

6

2) Reduce : Q = Cscx + Csc2x + Csc4x + Cot4x

x

3) Tan     2

1  Cosx 2

Solución : Por propiedad : Q = Cscx + Csc2x + Csc4x + Cot4x

NOTA : El signo () depende del cuadrante en el cual se encuentra el ángulo mitad y de la R.T que la está afectando.

II. EQUIVALENCIAS IMPORTANTES x

1) Tan   = Cscx - Cotx 2

Cot2x Q = Cscx +

Q = Cscx + Cotx

 Q = Cot x/2

3) Si : Cscx + Cotx = Cos Halla :





 Sen 2  2 Tan x  Sec  2 2

Csc2 x

x

2) Cot   = Cscx + Cotx 2

Csc2x + Cot2x Cotx

Solución: En el dato : Cot x/2 = Cos  Tan x/2 = Sec

PROBLEMAS RESUELTOS 1) Calcula :

Reemplazando : 1  Cot 2 x / 2  Sen 2  1  Cos2   Sen 2   Sec  Sec  2 2

E = (Cot22,5°-1) (Cot15° - 2)



Csc2 x / 2  Sen 2  = Tan x / 2  Sec  2

1

Colegio Privado

2


4) Si : Senx + Cosx =

CUESTIONARIO

2;xIC

Calcula : Cot x/2

I) Escribe (V) si es verdadero o (F) si es falso:

Solución : En el dato al cuadrado Sen2x + Cos2x + 2Senx + Cosx = 2 (1) + Sen2x = 2 Sen2x = 1 2x = 90 x = 45

a) Csc  + Cot = Tan /2

( F)

b) Csc - Cot = Tan /2

( V)

c) Si : 180° < x < 270  x/2  IIC

( V)

d) Si : 270°< x < 360  x/2  IIIC

( F)

2

e) Sen x/2 = 2

Entonces : Cot 45/2 = Csc 45° + Cot45°

 Cot x/2 =

2 +1

f) Cos x =

1 Cosx 2

( V)

1 Cosx 2

( V)

g) Cot2 + Csc2 = Cot

( V)

h) Tan15° = 2 =

( V)

3

5) Calcula : E=

Cot x / 2  otx  (Cscx  Cotx ) Cotx

Solución : Desarrollando E=

Cscx  Cotx  (Cscx  Cotx ) Cotx

E=

2Cotx Cotx

II) Subraya la alternativa correcta 1).- Reduce : A = Ctg a) 1 d) Cos b/2

b (Csb – Ctgb) 2

b) Tg b/2 e) Sec b/2

 E=2 2).- Calcula el valor : Tg /8 a)

6) Reduce :

2 -1

b)

c) 2 - 2 E = Tan

c) Tg b

x 2 x + 2Sen Cotx 2 2

Solución :

e)

2 +1

d) 2 +

2

2 /4

3).- Si : 3/2 < x < 2x y Cosx = 1/9 . Calcula:

E = Cscx – Cotx + (1 – Cosx) Cotx E = Cscx – Cotx + Cotx – CosxCotx 2

E=

1 Cos x  Senx Senx

E=

1  Cos 2 x Sen 2 x  Senx Senx

 E = Senx

Csc x/2 a) 1,0 d) 1,5

b) 1,2 e) 1,6

c) 1,4

4).- Siendo Cos = 0,28 y Sen < 0. Calcula el valor de : “Cos /2” a) 3/5 d) –4/5

b) –3/5 e) N.A.

c) 4/5

Colegio Privado

3


5).- Siendo : Cos = ¼ donde   <0, /2> Calcula el valor de : W=

3 Sen/2 +

a) 2 d) 4

10).- Reduce la siguiente expresión :  2  1  Tg    4   E  2  1  Tg    4 

5 Cos/2

b) 2 e) 1

c) 2 2

a) Sen2 d) Ctg2

b) Cos2 e) 2Tg

c) Tg2

6).- Al simplificar la expresión : A=

2Tgx / 2 Ctg x / 2

a) 1 d) –1



2Ctgx

, se obtiene :

b) 2 e) –½

7).- Siendo :

11).- Determina “k” de modo que /4 sea raíz de la ecuación : 3 x

c) 4/2

  3x   3 2  4

Tg

2

 Tg

x k 2

a) 3 2 - 4

b) 3 2 -6

d) 4 2 -6

e) 4 2 +6

c) 6 2 -2

Tg 

Calcula el valor de Sen3x a) 3/5 d) –4/5

b) 4/5 e) 1

c) –3/5

H = (Csc2 + Csc4 + Csc8 + Ctg8) Tg

8).- Dada la relación : Sen + Cos =

2

b) 2 e) 1/4

b) Tg  e) ½ 2

a) 1 d) 2

c) Ctg

3

 2 Calcula : Ctg    2 8

a) 1 d) 4

12).- Halla el valor de :

13).- Simplifica la expresión siguiente : c) 1/2

E =Tg + 2Tg2 + 4Ctg4 a) Ctg d) 4Csc4

b) 2Ctg2 e) 4Ctg4

c) Ctg2

9).- De la relación :

2Ctg=

a)



12  d) 4

14).- En un triángulo ABC se cumple que :

  Ctg  Tg 8 8   Tg . Ctg 8 8

b)

obtener el valor de “”

2

SenB SenC = Cos A/2 que tipo de triángulo es:



9  e) 3

c)

 6

a) Isósceles c) Equilátero

b) Rectángulo d) a y b

e) a y c

Colegio Privado

4


15).- Siendo : Cos A =

17).- Indica el valor de :

x yz

; CosB

y xz

; Cos C 

z xy

Determina el valor de : B= Tg

2

A

+ Tg

2

a) 1 d) 3

x

Senx =

d) 

a b

2

b) 1,5 e) 3

c) 2

c) 2

sabiendo que :

2ab 2

a b

2

b)  b a

a) 1 d) 2,5

B 2 C + Tg 2 2

b) ½ e) 4

16).- Calcula : Tg

a) 

2

4   4  3  4  5  4  7    Cos    Cos   W  Cos    Cos  8  8   8   8 

b a

c) 

a b

e) 1

CLAVES 01) a

02) a

03) d

04) d

05) c

06) b

07) d

08)

09) d

10) a

11) d

12) a

13) a

14) a

15) e

16)

17)






Preuniversitario

TEMA : RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE Semana N° 24

1) Principales Ecuaciones :

Tema N° XIII

Contenido N° 13.1 ; 13.2

2).- Calcula : K = Sen10°Sen50°Sen70

3

a)

Sen3x = 3Senx – 4Sen x

b)

Cos3x = 4Cos x – 3Cosx

c)

Tan3x =

Solución : Multiplicando por 4 4k = 4Sen10Sen50Sen70 4k = Sen30° = ½

3

3Tanx - Tan 3 x 1 - 3Tan 2 x

 k=1/8

2) Otra forma de expresar : a) Sen3x = Sen2x (2Cos2x + 1)

Sen3x Cos3x  n Senx Cosx

b) Cos3x = Cosx(2Cos2x – 1)  2Cos2x  1   c) Tan3x =Tanx   2Cos2x  1 

Solución :

3) Equivalencias Importantes : a)

4Senx Sen(60 – x) Sen(60+x) = Sen3x

b)

4CosxCos(60-x)Cos(60+x) = Cos3x

c)

TanxTan(60° - x) Tan(60°+x)=Tan3x

PROBLEMAS RESUELTOS

2

2

6 – 4 (Sen x + Cos x) = n (1) n=2

3

3Senx  4Sen x  Sen x Cos3 x  ( 4Cos3 x  3Cosx)

3Senx (1  Sen 2 x ) E= 3Cos(1  Cos2 x ) Senx Cos2 x Cosx  Cosx Sen 2 x Senx

E = Cotx

Senx (3  4Sen 2 x ) cos x( 4Cos2 x  3)  n Senx Cosx

Solución :

3

E=

Sen3x Cos3x  n Senx Cosx

4).- Simplifica : E = (Cos3x+ 2Cosx) (Sen3x – 2Senx)

1).- Simplifica : Sen3x  Sen 3 x E= Cos3 x  Co3x Solución :

E=

3).- Halla “n” para que la expresión sea una identidad.

3

3

E=(4Cos x-3Cosx+2Cosx)(3Senx–4Sen x– 2Senx) 3

3

E = (4Cos x – Cosx) (Senx – 4Sen x) 2

2

E =CosxSenx(3-4Sen x)(4Cos x – 3) 2 E = Sen3xCos3x 2

 E = 0,5Sen6x

Colegio Privado

2


5).- Si: Tanx =

4).- Simplifica :

1 ; Calcula : Tan3x 11

Solución:

Tan3x =

3Tanx  Tan 3 x 1  3Tan 2 x

1 1  3   11  121  1 1  3. 121

1 (362) . 11 121 Tan3x = 118 121 181 Tan3x = 649

E=

3

d)

6  2 4

a) –1 d) ½

b) 0 e) –1/2

c) 1

6).- Si : Sen3=3Tan, Sen0. Halla. E = (4Cos ) (3+Cos) 3

b) –1 e) 2

a) 1 d) –2

-1

c) 0

7).- Halla “n” para que la expresión sea una identidad :

Sen3x Cos3x  n Senx Cosx 5 1 c) 4

5  2

a) 0 d) 3

4

b) 1 e) 4

c) 2

e) 3/4 8).- Halla : 3

2).- Evalúa : 4Sen18°Cos36° a) 1 d) 3

2

2

1).- Calcula : Sen18° b)

3

c) –Cot 6°

aCsc =3-4Sen  2 bSec = 4Cos -3

CUESTIONARIO

4

b) –Cot 5° 3 e) Cot 6° 2

Solución: 4E = 4Cos20°.Cos40°.Cos80° 4E = Cos60° 1 4E = 2 1 E= 8

5 1

2

a) –Cot 4° 3 d) Cot 5°

5).- Calcula : a + b a partir de :

6).- Halla el valor de: E = Cos20°.Cos40°.Cos80°

a)

Cos18  3Sen84 Cos72  3Sen6

M = Tg3x-

b) 2 e) 1/3

c) 1/2 a) 0 d) Ctgx

3Tgx  Tg x 2

1  3Tg x

b) 1 e) -1

c) Tgx

3).- Calcula : 3

E=

a) 3 d) 2

3 2 3 5

9Sen40  12Sen 40

9).- Si Tg = 2. Halla : 11Tg3

3

6Cos40  8Cos 40

b) 3

3 4

e) 3 3

c) 2

3 3

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Colegio Privado

3


10).- Simplifica : K=

Sen3x  3Senx 16).- Reduce : 3

Cos3x  3Cosx

Sen3ACosA Sen2A Cos3A

a) SenA d) 2SenA

b) CosA e) 2CosA

c) TgA

a) Tgx d) –Ctgx

b) Ctgx e) Secx

c) -Tgx

3

17).- Reduce : M =4Cos x - 6Cos 2

11).- Si : 4CtgA =

3  Tg A 2

a) 0 d) Cos3x

1  3Tg A

Halla :Ctg3A a) 4 d) – ¼

b) ¼ e) -4

b) Sen2x e) –2Cos 3x/2

c) 1

2

x 3 2

c) Cosx

3

18).- Simplifica :

Sen3x  Sen x 3

Cos x  Cos3x

12).- Calcula : J = Cos20° Cos40°Cos80° a) ½ d) 1/8

b) ¼ e) 1/10

c) 1/6

13).- Calcula : K = Sen10°Sen50°Sen70° a) ½ d) 1/8

b) ¼ e) 1/10

6 

2 4

d) 2- 3

b) Secx e) Senx

3

Cos   Cos3 Cos

b)

6  2

e)

6 2 4

c) 2+ 3

c) Cscx

19).- Simplifica :

c) 1/6

14).- Calcula : L=4Sen5°Sen55°Sen65° a)

a) Cotx d) Tanx

a) Cos d) 3

3



b) Sen e) 0

Sen   Sen3 Sen

c) 1

20).- Si : Tan(+15°) = 2/3, calcula “Tan3” 46 9 55 d) 37

a) -

b)

46 9

c)

55 37

e) N.A.

15).- Simplifica: M = 4Sen

x 3

 x Sen  3

  x Sen   3

  





2

8 2 27

21).- Si : Sen   x   3 3 

Se obtiene :

Calcula : Sen3x

a) Senx

b) 2Senx

d) 3Senx

e)

Senx 4

c)

Senx 3

a)

8 2 27

b) -

d)

19 2 27

e) N.A

c) -

19 2 27

Colegio Privado

4


22).- Simplifica : 3

CLAVES

3

P = Cos3xCos x - Sen3xSen x

a)

1 3Cos4x 4

b)

c) Cos4x

1 3Cos4x 4

d) 3Cos4x

e) N.A.

23).- En la figura :

Calcula :

1) a

2) a

3) a

4) c

5) c

6) a

7) c

8) a

9) b

10) a

11) b

12) d

13) d

14) e

15) a

16) a

17) d

18) a

19) d

20) c

21) d

22) a

23) d

AO 2  . OC 3

OB OD

A

D



3 O

B

2 C

a) 3 d) 11

b) 6 e) 13

c) 9


200 MILLAS COL2004/4°Pre/TRIG-13 12/11/04 J.P.B

4º Trigonometria - 200 Millas

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