Interpolación Polinomial Mg. Hermes Pantoja Carhuavilca Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingenieria Industrial
Métodos Computaciona Computacionales les
Agenda Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y aproximación Teoria
Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde
Vandermonde
Lagrange
Newton
Lagrange
Interpolacion Interpol acion de Newton
Newton Interpolacion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas Análisis de error
Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Interpolación Interpolación Polinomial
Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Dado un conjunto de datos conocidos
Introducción
(x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), . . . , (x N N , y N N )
3
Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación
buscamos una función f : R → R que satisfaga
Teoria
Vandermonde
f ( f (x i i ) = y i i ,
i = 0, . . . , N
Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Interpolación Interpolación Polinomial
Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Dado un conjunto de datos conocidos
Introducción
(x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), . . . , (x N N , y N N )
3
Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación
buscamos una función f : R → R que satisfaga
Teoria
Vandermonde
f ( f (x i i ) = y i i ,
i = 0, . . . , N
Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas
f es una función interpolante o interpolador
Diferencias Finitas
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Interpolación Interpolación Polinomial
Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Dado un conjunto de datos conocidos
Introducción
(x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), . . . , (x N N , y N N )
3
Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación
buscamos una función f : R → R que satisfaga
Teoria
Vandermonde
f ( f (x i i ) = y i i ,
i = 0, . . . , N
Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas
f es una función interpolante o interpolador El interpolador f puede ser
Diferencias Finitas
Análisis de error
polinomio spline Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Aplicaciones Interpolación Polinomial
Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Trazado de curvas a través de un conjunto discreto de datos.
Introducción Introducción 4
Determinar valores ”intermedios ” de una tabla de datos.
Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde Lagrange
Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.
Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Evaluar de manera fácil una función matemática.
Reemplazar una función complicada por una simple.
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Introducción Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Funciones utilizadas como interpoladores
Introducción
Polinomios Funciones trigonométricos Funciones Funciones exponenciales exponenciales Funciones Funciones racionales racionales
Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f ( f (x i i ) = y i i ) Interpolación presenta problemas cuando los datos están sujetos a errores significativos.
Introducción Aplicaciones 5
Interpolación Interpolación y aproximación Teoria
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Introducción Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones 6
Interpolación Interpolación y aproximación Teoria
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Teorema de Aproximación de Weierstrass Interpolación Polinomial
Teorema Sea f : [a , b ] → R continua. Para todo > 0, existe un polinomio P (x ) x ) definido sobre [a , b ] tal que:
Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción
|f ( f (x ) − P (x ) x )| <
Aplicaciones
∀ x ∈ [a , b ]
Interpolación y Interpolación aproximación 7
Teoria
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Teorema Si x 0 , x 1 , . . . , x N N son números reales distintos, entonces para N + 1 valores arbitrarios y 0 , y 1 , . . . , y N N existe un único polinomio P N N de grado a lo sumo N tal que P N i = 0, . . . , N N (x i i ) = y i i , Observaciones
El teorema generaliza:”Por generaliza:”Por 2 puntos distintos del plano pasa una y sólo una línea recta (polinomio de grado 1)” x x . . . x N N Dado una tabla de datos 0 1 y 0 y 1 . . . y N N existe uno y sólo un polinomio P N N de grado ≤ N tal que P N N (x i i ) = y i i . Aunque el polinomio es único, existen diversas formas de expresarlo y diferentes algoritmos para determinarlos.
Polinomio interpolador Interpolación Polinomial
Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Asumimos un conjunto de puntos discretos {x 0 , x 1 , . . . , x N N } con los valores correspondientes {f ( f (x 0 ), f ( f (x 1 ), . . . , f ( f (x N N )} Construimos una función f ( f (x ) x ) que pasa por (x i i , f ( f (x i i )) por medio de la aproximación f ( f (x ) x ) ≈ P N x ) = N (x )
Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación 9
Teoria
Vandermonde Lagrange
N
Introducción
a k x ) k φk (x )
i =0
P N x ) es el polinomio interpolante. N (x )
φk (x ) x ) son polinomios conocidos a priori y forman una
Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
base.
a k k son coeficientes por determinar.
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Interpolación de Vandermonde Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones
Consideremos como bases los monomios φk (x ) x ) = x k , k = 0, . . . , N Para la base dada obtenemos la representación N P N x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a N N (x ) N x donde a 0 , a 1 , . . . , a N N son constantes a determinar.
Interpolación y Interpolación aproximación Teoria 10
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
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Interpolación de Vandermonde Interpolación Polinomial
Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar x i i en f ( f (x ) x ) se pueden expresar matricialmente como
1 1 .. .
x 0 x 1 .. .
1 x N N
x 02 x 12
... ...
x 0N x 1N
.. .. . . . N 2 . . . x N x N
a 0 a 1 .. . a N N
⇐⇒ Va=f
=
f ( f (x 0 ) f ( f (x 1 ) .. . f ( f (x N N )
Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria 11
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
V es la matriz de Vandermonde y
det (V) =
Análisis de error
(x j − x i i ) =0
0≤i < j ≤N
.
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Ejemplo Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones
Ejemplo Determine el polinomio de grado 2 que interpola los tres dados (−2, −27 27)), (0, −1), (1, 0)
Interpolación y Interpolación aproximación Teoria 12
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton
Solución
Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
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Interpolación Polinomial
El polinomio está dado por P 2 (x ) x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2
Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Para este caso el sistema está dado por
Introducción Introducción
1 −2 4 1 0 0 1 1 1
La solución está dada por P 2 (x ) x ) = −1 + 5x − 4x 2
a 0 a 1 a 2
=
−27 −1 0
−1 5 −4
T
y
Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria 13
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
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Interpolación de Lagrange Interpolación Polinomial
Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Como base tomamos los polinomios básicos de Lagrange definidos por
Introducción Introducción
(x − x 0 )(x )(x − x 1 ) · · · (x − x k k −1 )(x )(x − x k k +1 ) · · · (x − x N N ) Lk (x ) x ) = (x k k − x 0 )(x )(x k k − x 1 ) · · · (x k k − x k k −1 )(x )(x k k − x k k +1 ) · · · (x k k − x N N )
Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
N
=
i = 0 i = k
(x − x i i ) (x k k − x i i )
Vandermonde 14
Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Propiedades
Análisis de error
Lk es un polinomio de grado N 1 si k = j Lk (x j ) = 0 si k = j
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Interpolación Polinomial
El polinomio de interpolación de Lagrange está dado por
Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
P N f (x 0 )L0 + f ( f (x 1 )L1 + . . . + f ( f (x N N (x ) = f ( N )LN
Introducción Introducción Aplicaciones
n
=
Interpolación y Interpolación aproximación
f ( f (x k x ) k )LN (x )
Teoria
k =0
El polinomio de interpolación de Lagrange es de grado ≤ N y pasa por los N + 1 puntos (x 0 , f ( f (x 0 )), . . . , (x N f (x N N , f ( N ))
Vandermonde 15
Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
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Interpolación de Lagrange Interpolación Polinomial
Ejemplo Dado los siguientes puntos x 0 0.5 1 y 1 0.8 0.5 hallar los polinomios básicos de lagrange y el polinomio interpolante. Solución:
L0 (x ) = L1 (x ) = L2 (x ) =
Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde 16
Lagrange Newton
(x − x 1 )(x )(x − x 2 ) (x 0 − x 1 )(x )(x 0 − x 2 ) (x − x 0 )(x )(x − x 2 ) (x 1 − x 0 )(x )(x 1 − x 2 ) (x − x 0 )(x )(x − x 1 ) (x 2 − x 0 )(x )(x 2 − x 1 )
= = =
(x − 0.5)(x )(x − 1) (0 − 0.5)(0 )(0 − 1) (x − 0)(x )(x − 1) (0.5 − 0)(0 )(0.5 − 1) (x − 0)(x )(x − 0.5) (1 − 0)(1 )(1 − 0.5)
Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
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Interpolación de Lagrange Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Polinomios Basicos de Lagrange:
Introducción Introducción
2
L0 (x ) = 2x − 3x + 1 L1 (x ) = −4x 2 + 4x L2 (x ) = 2x 2 − x Polinomio de Lagrange:
Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde 17
P 2 (x ) = y 0 ∗ L0 + y 1 ∗ L1 + y 2 ∗ L2 = 1(2x 2 − 3x + 1) + 0.8(−4x 2 + 4x ) + 0.5(2x 2 − x ) x ) = −0.2x 2 − 0.3x + 1
Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
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Ejemplo
1 Determine el polinomio de lagrange para f ( f (x ) = en los x puntos x 0 = 2, x 1 = 2.25, x 2 = 4 y utilícelo para aproximar f ( f (3) Solución:
(x − 2.5)(x )(x − 4) L0 (x ) = = x 2 − 6.5x + 10 (2 − 2.5)(2 )(2 − 4) (x − 2)(x )(x − 4) 4 32 L1 (x ) = = − x 2 + 8x − (2.5 − 2)(2 )(2.5 − 4) 3 3 (x − 2)(x )(x − 2.5) 1 2 4.5 5 L2 (x ) = = x − x + (4 − 2)(4 )(4 − 2.5) 3 3 3 P (x ) = f ( f (2)L0 (x ) x ) + f ( f (2.5)L1 (x ) x ) + f ( f (4)L2 (x ) x ) = 0.05 05x x 2 − 0.425 425x x + 1.15 −→ f ( f (3) ≈ P (3) = 0, 325
Observación Interpolación Polinomial
El método de Lagrange tiene un inconveniente y es que la forma obtenida es mala para operar: para sumarlo con otra función, para derivar, integrar, etc. Por lo que la respuesta es sólo formal y hay que realizar mucho cálculo para obtener la expresión final en la forma a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n . De hecho hay otro inconveniente, más sutil que el anterior. Es natural que en el contexto de mediciones y experimentos que nombrámos en la introducción del tema se incorporen nuevos datos. ¿Qué ocurre si nos dan otro dato más (x n+1 , f ( f (x n+1 ))? ))? A través de esta vía ¡hay que construir todos los polinomios de Lagrange de nuevo! (lo realizado antes es trabajo inútil). Ambos motivos nos conducen a replantear el problema por otra vía más eficiente.
Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde 19
Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
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Interpolación de Newton Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Con el fin de reducir la complejidad computacional hacemos el siguiente cambio de base
Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación
k −1
φk (x ) x ) =
Teoria
(x − x i i )
Vandermonde
i =0
Ahora f ( f (x ) es aproximada por
Lagrange Newton 20
Interpolacion Interpolacion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
P n (x ) = a 0 + a 1 (x − x 0 ) + a 2 (x − x 0 )(x )(x − x 1 ) + · · ·
Análisis de error
. . . a n (x − x 0 )(x )(x − x 1 ) · · · (x − x n−1 )
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Diferencias Divididas Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Diferencias Divididas
Introducción
La k-ésima diferencia dividida
Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación
f [ f [x i i , x i i +1 , . . . , x i i +k −1 , x i i +k ] = f [ f [x i i +1 , x i i +2 , . . . , x i i +k ] − f [ f [x i i , x i i +1 , . . . , x i i +k −1 ] x i i +k − x i i
Teoria
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton
Los coeficientes son a k f [x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x k k = f [ k ] y
21
P n (x ) x ) = f [ f [x 0 ] +
Diferencias Finitas
Análisis de error
n
Diferencias Divididas
f [ f [x 0 , x 1 , . . . , x k ](x − x 0 ) · · · (x − x k k ](x k −1 )
k =1
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Tabla de diferencias divididas Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton 22
Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
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Diferencia Dividida de Newton Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Implementación en MATLAB
Introducción Introducción
function function F=divideddiffer F=divideddifference(x,f ence(x,f) )
Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación
n=length(x)-1; F=zeros(n+1,n+1); F(:,1)=f(:); for for i=1:n i=1:n for for j=1: j=1:i i F(i+1,j+1)=(F(i+1,j)-F(i,j))/(x(i+1)-x(i-j+1)); end end
23
Teoria
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
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Ejemplo Interpolación Polinomial
Ejemplo Dado los siguientes puntos x 0 0.5 1 y 1 0.8 0.5 hallar el polinomio interpolante de Newton.
Introducción
Solución:
Vandermonde
Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton 24
Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
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Interpolación Polinomial
Obtenemos el polinomio de interpolación:
Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación
P 2 (x ) x ) = f ( f (x 0 ) + f [ f [x 0 , x 1 ](x ](x − x 0 ) + f [ f [x 0 , x 1 , x 2 ](x ](x − x 0 )(x )(x − x 1 )
Teoria
Vandermonde
P 2 (x ) x ) = 1 − 0.4(x − 0) − 0.2(x − 0)(x )(x − 0.5)
Lagrange
P 2 (x ) x ) = −0.2x 2 − 0.3x + 1
Newton Interpolacion Interpol acion de Newton 25
Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
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Ejemplo Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Use diferencias divididas para encontrar el polinomio de interpolación que pasa por los puntos (0, 1), (2, 5) y (4, 17 17))
Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton 26
Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
p (x ) = 1 + 2x + x (x − 2) = 1 + x 2 Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Ejercicio Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación
Ejercicio Añada el punto (3, 16 16)) a los puntos anteriores y encuentre el polinomio interpolante.
Teoria
Vandermonde Lagrange
Solución:
Newton
3
2
P (x ) = −2x + 13 13x x − 16 16x x + 1
Interpolacion Interpol acion de Newton 27
Diferencias Divididas Diferencias Finitas
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Diferencias Finitas Interpolación Polinomial
Se define para un conjunto de puntos (x 0 , f 0 ); (x (x 1 , f 1 ); . . . ; (x (x n , f n ), igualmente espaciados para x ; x ; es decir, x i i +1 − x i i = h; para i = 0, 1, . . . , n − 1.
Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción
Diferencia Finita hacia adelante o progresiva
Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación
Diferencia finita de primer orden
Teoria
Vandermonde
∆f k k = f k k +1 − f k k
Lagrange Newton
Diferencia finita de segundo orden
Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas
2
∆ f k k = ∆f k k +1 − ∆f k k
28
Diferencias Finitas
Análisis de error
Diferencia finita de orden n n−1 n−1 ∆n f k f k f k k = ∆ k +1 − ∆ k
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Tabla de Diferencias Finitas Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas 29
Diferencias Finitas
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Diferencias Finitas Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Progresivas
Introducción
Se debe hallar una relación entre las diferencias finitas y divididas ∆k f 0 f [ f [x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x k k ] = k !hk Reemplazando en el polinomio basado en diferencias divididas se tiene:
Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas
2
∆f 0 ∆ f 0 P n (x ) x ) = f 0 + (x − x 0 ) + (x − x 0 )(x )(x − x 1 ) + . . . 1 2 1!h 2!h
30
Diferencias Finitas
Análisis de error
∆n f 0 + (x − x 0 ) . . . (x − x n−1 ) n n!h Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Diferencias Finitas Interpolación Polinomial
Teniendo en cuenta que los intervalos se tomarán igualmente espaciados (h (h = x i i +1 − x i i ) para x , x , y haciendo el cambio de x − x 0 variable s = h
Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde
s (s − 1) 2 s (s − 1)(s )(s − 2) 3 P n (s ) = f 0 + s ∆f 0 + ∆ f 0 + ∆ f 0 + . . . 2! 3!
Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas
s (s − 1) . . . (s − n + 1) n ... + ∆ f 0 n! n
= f 0 +
k =1
31
Diferencias Finitas
Análisis de error
s k ∆ f 0 k Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Error de Interpolación Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción
Teorema Sea f ∈ C n+1 [a , b ] y p el polinomio de grado ≤ n que inte interpo rpola la a f en los los n + 1 puntos x 0 , x 1 , . . . , x n del intervalo [a , b ]. Para cada x ∈ [a , b ] existe un ξ = ξ (x ) ∈ a , b tal que n 1 f ( f (x ) − p (x ) = f (n+1) (ξ ) (x − x i i ) (n + 1)! i =0
Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas 32
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Ejemplo Estime el error cometido al aproximar la función f ( f (x ) x ) = sin( sin(x ) por medio del polinomio de grado nueve que interpola a f en diez puntos del intervalo [0, 1] Solución
La cota de error está dado por n 1 (10) f ( f (x ) − p (x ) x ) = f (ξ ) (x − x i i ) 10!! 10 i =0
Por otra parte: [f (10) (ξ ) = − sin ξ −→ |f (10) (ξ )| ≤ 1 y x ∈ [0, 1] −→ i n=0 (x − x i i ) ≤ 1 Luego 1 |f ( f (x ) x ) − p (x )| ≤ ≤ 2.8 × 10−7 10!! 10
Ejemplo Interpolación Polinomial
Se desea tabular la función f ( f (x ) = cos (x ) x )e x definida en [−π, π ] mediante puntos equiespaciados. ¿ Cúantos puntos son necesarios para que al interpolar linealmente entre dos valores consecutivos el error entre la función y el interpolante no supere a 0.5.
Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación
Solución:
Teoria
f (ξ ) M h2 f (x ) x ) − P 1 (x ) x )| = (x − x 0 )(x )(x − x 1 ) ≤ < 0.5 |f ( 2! 2 4 x 0 + x 1 Tomando como caso critico x = y 2 M = máxξ∈[−π,π ] |f (ξ )| Dado que: f (x ) x ) = −2sin( 2sin(x ) x )e x Entonces: M = 2e π , por lo tanto h < 0.2940 2π N > ⇒ N = 22 h
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas 34
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Ejemplo Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Encuentre una cota superior para la diferencia en x = 0.25 y x = 0.75 entre f ( f (x ) x ) = e x y el polinomio de interpolación en los puntos −1; −0.5; 0; 0.5; 1.
Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación
Solución:
Teoria
Con cinco puntos el polinomio de interpolación será de grado menor o igual a cuatro, P 4 (x ) x ).
Vandermonde Lagrange Newton
De la fórmula de error de interpolación se obtiene
Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas
|(x + 1)(x )(x + 0.5)x ( x (x − 0.5)(x )(x − 1)| (5) f ( f (x ) x )−P 4 (x ) = f (ξ ) 5!
35
Diferencias Finitas
Análisis de error
donde −1 ≤ ξ ≤ 1 Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Interpolación Polinomial
La quinta derivada de e x en ξ es f (5) (ξ ) = e ξ
Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Como e x es una función creciente su máximo lo obtiene en el extremo derecho del intervalo, |f (5) (x ) x )| ≤ e 1 en [−1, 1]
Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
La fórmula de error queda
Vandermonde Lagrange
(x + 1)(x )(x + 0.5)x ( x (x − 0.5)(x )(x − 1) f ( f (x ) x ) − P 4 (x ) x ) ≤ e 5!
Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas 36
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Interpolación Polinomial
Mg. Hermes Hermes Así que en x = 0.25 el error de interpolación está Pantoja C. acotado por 1.25 × 0.75 × 0.25 × 0.25 × 0.75 Introducción 0.25 |e − P 4 (0.25 25))| ≤ e 120 ≈ 0.000995 Y en x = 0.75 el error queda acotado por Vandermonde . . . . . 1 75 × 1 25 × 0 75 × 0 25 × 0 25 |e 0.75 − P 4 (0.75 75))| ≤ e Lagrange 120 Newton ≈ 0.002323 el cúal es más grande. Introducción Aplicaciones
Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
37
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Error de Interpolación para Newton Interpolación Polinomial Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Teorema Sea f ∈ C n+1 [a , b ] y p el polinomio de grado ≤ n que inte interpo rpola la a f en los los n + 1 puntos x 0 , x 1 , . . . , x n del intervalo [a , b ]. Entonces
Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde Lagrange
n
f ( f (x ) x ) − p (x ) x ) = f [ f [x 0 , x 1 , . . . , x n , x ]
(x − x i i )
Newton Interpolacion Interpol acion de Newton
i =0
Diferencias Divididas Diferencias Finitas 38
Se suele aproximar el error considerando x = x n+1 , es decir, se requiere un punto adicional.
Análisis de error
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Ejemplo Dada la siguiente tabla de datos
Hallar el polinomio cuadrático interpolante de Newton.
Interpolar para x = 0.17
Hallar el error cometido.
Solución Interpolación Polinomial
P 2 (x ) x ) = f 0 + f [ f [x 0 , x 1 ](x ](x − x 0 ) + f [ f [x 0 , x 1 .x 2 ](x ](x − x 0 )(x )(x − x 1 ) Reemplazando:
Mg. Hermes Hermes Pantoja C. Introducción Introducción
P 2 (x ) x ) = 0.748125−0.10044 10044((x −0.1)+0 )+0.00655 00655((x −0.1)(x )(x −0.2)
Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
P 2 (0.17 17)) = 0.741080445 Podemos aproximar el error de la siguiente forma
Vandermonde Lagrange Newton
e n (x ) x ) = f [ f [x 0 , x 1 , . . . , x n+1 ](x ](x − x 0 )(x )(x − x 1 ) . . . (x − x n )
Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas
e 2 (x ) x ) = f [ f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ](x ](x − x 0 )(x )(x − x 1 )(x )(x − x 2 )
40
Análisis de error
e 2 (0.17 17)) = 0.2193 ∗ (0.17 − 0.1) ∗ (0.17 − 0.2) ∗ (0.17 − 0.4) e 2 (0.17 17)) = 1.0592 × 10−4 Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Observaciones
Interpolación Polinomial
Si P interpola a f en los n + 1 puntos x 0 , x 1 , . . . , x n n 1 ...(∗) f ( f (x ) x ) − P (x ) x ) = f (n+1) (ξ ) (x − x i i ) (n + 1)! i =0 con ξ ∈ [x 0 , x n ]. ξ es desconocido y (∗) sólo es útil si la derivada está acotada Si |f (n+1) (x ) x )| < M y h = máx{x i i +1 − x i i ; i = 0, 1, . . . , n},
Mg. Hermes Hermes Pantoja C.
Mhn+1 máxx ∈[x 0 ,x n ] |f ( f (x ) x ) − P (x )| ≤ (n + 1)! El error disminuye a medida que n crece y h disminuye, solo si |f n+1 (x ) x )| está acotada. Aumentar el grado del polinomio no garantiza una mejor aproximación (puede aparecer oscilaciones entre los puntos de interpolación).
Introducción Introducción Aplicaciones Interpolación y Interpolación aproximación Teoria
Vandermonde Lagrange Newton Interpolacion Interpol acion de Newton Diferencias Divididas Diferencias Finitas 41
Análisis de error
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