Interpolación. MÉTODO DIRECTO. En muchas ocasiones, una función y f x está definida a valores discretos x0 , y0 , x1 , y1 ,......, xn1, yn1 , xn , yn ; y el objetivo es encontrar el valor de y dado un valor de x. Para resolver este problema, se puede utilizar una función continua f x que sea evaluada en los n 1 datos. Este proceso es conocido como interpolación. Si x esta fuera del rango de x de los datos, entonces, en lugar de interpolación hablamos de extrapolación.
y f(x) (x3, y3) (x1, y1)
(x2, y2) (xo, yo) x Figura 1 Interpolación de datos discretos
Pero que clase función f x debemos escoger? Por lo general se escoge un polinomio debido a que los polinomios son de fácil análisis, evaluación, diferenciación e integración con relación a otras opciones como las series trigonométricas o exponenciales. Cuando interpolamos polinomios lo que buscamos es un polinomio de orden n que pase a través de los n 1 puntos. Uno de los métodos de interpolación es el método directo. MÉTODO DIRECTO Dados n 1 datos, el método directo nos permite ajustar un polinomio de orden siguiente: y a 0 a1 x ............... a n x n
Donde: a 0 , a1 ,........., a n son n 1 constantes reales.
n como el
Como tenemos n 1 valores de y que corresponden con n 1 valores de x , entonces podemos escribir n 1 ecuaciones. Las incógnitas son las n 1 constantes a 0 , a1 ,........., a n que se encuentran al resolver las n 1 ecuaciones lineales simultáneas. Pero no es necesario utilizar todos los datos, se puede escoger ciertos datos y escoger el orden del polinomio a ajustar. EJEMPLO 1 La velocidad de asenso de un cohete está dada en función del tiempo, en la siguiente tabla: Tabla 1 Velocidad como función del tiempo. v (t ) (m/s) t (s) 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67
1.- Determinar velocidad a segundos método directo interpolación y polinomio de (interpolación
el valor de la t 16
utilizando el de ajustar un primer orden lineal).
SOLUCION Cuando se polinomio de Figura 2 Grafica de velocidad vs. Tiempo. de primer llamada interpolación lineal), la velocidad se expresa como: v t a 0 a1t
trata de un interpolación orden (también
y
x1 , y1
f1 x
x0 , y0 x Figura 3 Interpolación Lineal. Como el objetivo es encontrar la velocidad cuando t 16 , ajustando un polinomio de primer orden, necesitamos dos datos que estén cercanos a 16 y que encierren a dicho valor 16. Analizando la tabla de datos encontramos que tales valores son t 0 15 y t1 20 . Entonces: t 0 15, v t 0 362.78
t1 20, v t1 517.35 Reemplazando:
v15 a 0 a1 15 362.78 v 20 a 0 a1 20 517.35
Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que escrito en forma matricial se expresa: 1 15 a 0 362.78 1 20 a 517.35 1 La solución del sistema nos proporciona: a0 100.93
a1 30.914
Con lo cual:
v t a 0 a1t 100.93 30.914t , 15 t 20
Cuando t 16 ,
v 16 100.92 30.914 16 393.7 m/s
EJEMPLO 2 La velocidad de asenso de un cohete está dada en función del tiempo en la siguiente tabla: Tabla 2 Velocidad como función del tiempo.
t (s)
v (t ) (m/s)
0 10 15 20 22.5 30
0 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67
1.- Determinar el valor de la velocidad a t 16 segundos utilizando el método directo de interpolación y ajustar un polinomio de segundo orden (también llamada interpolación cuadrática). SOLUCION Para el caso de un polinomio de segundo orden (también llamada interpolación cuadrática), la velocidad está dada por: v t a 0 a1t a 2 t 2
y
x1 , y1
x2 , y 2
f2 x
x0 , y 0 x Figura 4 Interpolación cuadrática. Para ajustar un polinomio de segundo orden a los datos de velocidad al tiempo t 16 , necesitamos escoger tres datos que estén cercanos a t 16 y que también encierren a t 16 . Estos puntos son t 0 10, t1 15, and t 2 20 . Entonces:
t 0 10, v t 0 227.04
t1 15, v t1 362.78 t 2 20, v t 2 517.35 Con lo que obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: v10 a 0 a1 10 a 2 10 227.04 2
v15 a 0 a1 15 a 2 15 362.78 2
v 20 a 0 a1 20 a 2 20 517.35 2
Si el sistema anterior lo expresamos en forma matricial, tenemos: 1 10 100 a 0 227.04 1 15 225 a 362.78 1 1 20 400 a 2 517.35 La solución es:
a0 12.05
a1 17.733 a2 0.3766
Reemplazando valores:
v t 12.05 17.733t 0.3766t 2 , 10 t 20
Para t 16 ,
v16 12.05 17.73316 0.376616
2
392.19 m/s
El error absoluto relativo aproximado a obtenido entre los resultados de los polinomios ajustados de primer y segundo orden es: a
392.19 393.70 100 392.19
0.38410%
EJEMPLO 3 La velocidad de asenso de un cohete está dada en función del tiempo en la siguiente tabla: Tabla 3 Velocidad como función del tiempo.
t (s) 0 10 15 20 22.5
v (t )
(m/s) 0 227.04 362.78 517.35 602.97
30
901.67
1.- Determinar el valor de la velocidad al tiempo t 16 segundos utilizando el método directo de interpolación y ajustar un polinomio de tercer orden (también llamada interpolación cúbica). 2.- Encontrar el error absoluto relativo aproximado a obtenido entre los resultados de los polinomios ajustados de segundo y tercer orden. 3.- Utilizando el polinomio de tercer orden ajustado en el primer inciso, encontrar la distancia cubierta por el cohete desde t 11s a t 16 s . 4.- Utilizando el polinomio de tercer orden ajustado en el primer inciso, encontrar la aceleración del cohete al tiempo t 16 s .
SOLUCION 1.- Determinar el valor de la velocidad al tiempo t 16 segundos utilizando el método directo de interpolación y ajustar un polinomio de tercer orden (también llamada interpolación cúbica). El polinomio de tercer orden para la velocidad esta dado por: v t a 0 a1t a 2 t 2 a3 t 3
y
x3 , y3
x1, y1 f 3 x
x0 , y0
x Figura 5 Interpolación cúbica. Como el objetivo es encontrar la velocidad al tiempo t 16 utilizando un polinomio de tercer orden, debemos utilizar los cuatro datos cercanos a t 16 y que también encierren a t 16 . Estos puntos son t 0 10, t1 15, t 2 20 y t 3 22.5
Con lo que tenemos: t 0 10, v t 0 227.04
t1 15, t 2 20,
v t1 362.78 v t 2 517.35
t 3 22.5, v t 3 602.97 Esto produce el siguiente sistema de ecuaciones:
v10 a 0 a1 10 a 2 10 a3 10 227.04 2
3
v15 a 0 a1 15 a 2 15 a3 15 362.78 2
3
v 20 a 0 a1 20 a 2 20 a3 20 517.35 2
3
v 22.5 a 0 a1 22.5 a 2 22.5 a3 22.5 602.97 2
3
El sistema anterior escrito en forma matricial: 100 1000 a 0 1 10 227.04 1 15 362.78 225 3375 a1 1 20 517.35 400 8000 a 2 1 22.5 506.25 11391 a3 602.97 La solución del sistema es: a 0 4.2540
a1 21.266 a 2 0.13204 a3 0.0054347
Reemplazando:
v t a 0 a1t a 2 t 2 a3 t 3 4.2540 21.266t 0.13204t 2 0.0054347t 3 ,
10 t 22.5
v16 4.2540 21.26616 0.1320416 0.005434716 392.06 m/s 2
3
2.- El error absoluto relativo aproximado a obtenido para v(16) entre los resultados de los polinomios ajustados de segundo y tercer orden es: a
392.06 392.19 100 392.06
0.033269%
3.- Utilizando el polinomio de tercer orden ajustado en el primer inciso, encontrar la distancia cubierta por el cohete desde t 11s a t 16 s , para el efecto calculamos: v t 4.2540 21.266t 0.13204t 2 0.0054347t 3 , 10 t 22.5
Note que el polinomio es válido entre t 10 y t 22.5 y además incluye los limites de integración de t 11 y t 16 . 16
s 16 s 11 v t dt 11 16
( 4.2540 21.266t 0.13204t 2 0.0054347t 3 ) dt 11
t2 t3 t4 = 4.2540t 21.266 0.13204 0.0054347 2 3 4
1605 m
16
11
4.- Utilizando el polinomio de tercer orden ajustado en el primer inciso, encontrar la aceleración del cohete al tiempo t 16 s . La aceleración al tiempo t 16 está dada por: a 16
d v t dt
t 16
Lo que corresponde a la derivada del polinomio:
v t 4.2540 21.266t 0.13204t 2 0.0054347t 3 , 10 t 22.5 d a t v t dt d 4.2540 21.266t 0.13204t 2 0.0054347t 3 dt 21.266 0.26408t 0.016304t 2 , 10 t 22.5
a16 21.266 0.2640816 0.01630416 29.665 m/s 2
2
TAREA METODO DIRECTO DE INTERPOLACION. APLICACION EN INGENIERIA.
La geometría de un elemento cam esta dada en la siguiente figura. Se necesita ajustar una curva a través de los siete pares de datos que se presentan en la siguiente tabla para fabricar el elemento:
4
3
5
2
6 y 7
1 x
Figura 1 Esquema grafico del elemento a fabricarse. Tabla 1 Geometría del elemento. Punto x (pulg. y (pulg. ) ) 1 2.20 0.00 2 1.28 0.88 3 0.66 1.14 4 0.00 1.20 5 –0.60 1.04 6 –1.04 0.60 7 –1.20 0.00 Si la cam sigue una línea recta desde x 1.28 a x 0.66 , cual será el valor de y cuando x 1.10 utilizando el método directo de interpolación y un polinomio de primer orden? Si la cam sigue una curva cuadrática desde x 2.20 a x 1.28 y hasta x 0.66 , cual es el valor de y cuando x 1.10 utilizando el método directo de interpolación y un polinomio de Segundo orden? Encontrar el error absoluto relativo aproximado a obtenido para los resultados de los polinomios ajustados de primero y segundo orden. Ajuste un polinomio de sexto orden utilizando todos los puntos de la tabla mediante el método directo de interpolación.
