UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA DAVID TORRES SEXTO “A”
1. TEMA:
Métodos de interpolación 2. OBJETIVOS:
Objetivo General
Determinar el mejor método fácil y sencillo de interpolación
Objetivos Específicos
Identificar los métodos de interpolación
Establecer procedimiento de interpolación
Diferenciar los diferentes métodos de interpolación
3. INTRODUCCIÓN
Existen numerosos fenómenos en la naturaleza en donde observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones del ciclo de un fenómeno en situaciones que no se pueden medir de forma directa. Al revisar estos datos, podríamos preguntarnos si se podría usarse para estimar razonablemente, algunas predicciones de este tipo pueden obtenerse usando una función que ajuste los datos. Este es un tema llamado Interpolación. El problema de interpolación consiste en encontrar el valor de la función F(x), de la cual sólo se conocen algunos puntos, para un valor de x que se encuentre entre dos valores consecutivos conocidos. En pocas palabras podríamos podríamos decir que: “La interpolación consiste consiste en hallar un dato dentro de un intervalo
en el que conocemos los valores en los extremos”. Los métodos para determinar una función polinomial (función interpolante) que nos permita determinar el valor en un punto dado, son:
1. Interpolación lineal simple 2. Método de Lagrange 3. Método de Newton. Es importante aclarar que la interpolación se lleva a cabo a partir de datos exactos, obtenidos de una función o de un comportamiento periódico o de cifras exactas o valores bien conocidos. Cuando se cuenta con datos obtenidos de mediciones se requiere hacer un “ajuste de curvas” para obtener un valor. Desarrollo . Interpolación lineal Cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal
( ) Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0
() () () Donde f(a) y f (b) son valores conocidos de f(x) en x = a y x = b respectivamente. El error de la interpolación lineal se puede expresar en la forma:
() 12 ( )( ) ´´(), ≤ ≤ En la ecuación
depende de x pero está en algún lugar entre a y b. La ecuación (1) es una función
un poco difícil de manejar ya que no tenemos forma de evaluar a ξ exactamente. Sin embargo, es
posible analizar x(x) cuando f" (x) se aproxima mediante u na constante en a ≤x≤ b como se explica a continuación. Si f" es una función con poca variación, o si el intervalo [a, b] es pequeño, de forma que f" cambie un poco, podemos aproximar f" (ξ ) mediante f" (
entre a y b:
= (a + b)/2.
), donde es el punto medio
1.2. Formula de interpolación de Lagrange Cuando el polinomio que conviene para encontrar una interpolación es de 2º grado, la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide. Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por los puntos (x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2). Sean x0, x1, . . . , xn, (n+1) puntos distintos de R. Sean w0, w1, . . . , wn, (n + 1) valores reales
∀
arbitrarios. Entonces existe un único polinomio P(x) de grado ≤ n tal que P(xi) = wi , i = 0, 1, . . ., n. Al polinomio P(x) se le llama polinomio de interpolación de Lagrange de grado n en los nodos x0, . . . , xn. 145 La base dual, que denominaremos {l0, . . . , ln}, viene dada por:
[(x x0)...(x xi 1)(x xi 1)…(x xn)] () [(xi x0)...(xixi1)(xi xi 1)…(xixn)] Entonces:
() ∑ () =
El error de la fórmula de interpolación de Lagrange está dado por una formula análoga a la ecuación (2) para el caso de la interpolación lineal.
() () () () (+)(), ≤ ≤ Donde N+1 es el número de datos, (+) es la (N + 1)-ésima derivada de f(x) y )…( ) () ( )((1)! En la ecuación anterior, depende de x, pero satisface ≤ ≤ . Conviene observar que si f(x) es un polinomio de orden menor o igual que N, la (N + 1)-ésima derivada de g(x) se anula. Por lo tanto, el error también se anula. Si f(x) no es de este tipo, entonces tenemos la misma dificultad que
en el caso de la ecuación, puesto que depende de una x que no se conoce. Sin embargo, para un intervalo pequeño [a, b] en el que
(+) (ξ) se pueda aproximar mediante una constante
1.3. Método de interpolación hacia adelante y hacia atrás de Newton para puntos equidistantes. Vamos a cambiar la forma del polinomio de interpolación buscando una expresión más sencilla de calcular: a su vez salvo que gráficamente veamos cual podría ser la mejor elección para el grado del polinomio a ajustar tendremos el P ILN una vez que nos hayamos decidido. Esta situación se puede cambiar a través del uso del P INN7 Para eso vamos a presentar 2 formulas diferentes que permiten trabajar con mallas de datos equidistantes y también con colección de nodos a distancia variable que muchas veces son los problemas más frecuentes en el ajuste de datos. 1.3.1. Interpolación de Newton por diferencias hacia adelante Supongamos que las abscisas de los datos tiene igual separación con un tamaño de intervalo h y los puntos los vamos a notar como (xi, fi) Nos construimos una tabla de diferencias hacia adelante tal como aparece en la tabla que sigue:
Interpolación de Newton ∆fi = fi
Diferencia hacia adelante de orden 0
∆1fi = fi+1 − fi
Diferencia hacia adelante de orden 1
∆2fi = ∆fi+1 − ∆fi
Diferencia hacia adelante de orden 2
∆3fi = ∆2fi+1 − ∆2fi
...... ∆kfi = ∆k−1 fi+1 − ∆k−1fi
Diferencia hacia adelante de orden k
Vemos que nos podemos definir un operador de diferencia entre 2 datos consecutivos Precisamos ahora además de tener las diferencias calcular los coeficientes binomiales que están dados como siguen (s o) = 1; ( s 1 ) = s; ( s 2 ) = 1 2!s(s−1); . . . ( s n ) = 1 n! s(s−1)...(s−n+1)
donde s es una coordenada local definida por
−ℎ
y h es el intervalo uniforme de la malla
de puntos Ahora que tenemos definidos los coeficientes binomiales nos podemos armar la fórmula de interpolación de Newton que pasa por la malla de puntos
3 …
P N(x) P N( sh) ∑( ) ∆ =
4. CONCLUSIONES
Entre los métodos más sugeridos de interpolación encontramos el método de línea recta el de Lagrange y de Newton Ratshon
Mediante la interpolación lineal se estableció que es el mejor procedimiento más eficaz y simple de realizar la interpolación.
La interpolación como una herramienta matemática, es de mucha ayuda para encontrar un valor entre dos valores o a partir de una serie de puntos cualquiera, a partir de los cuales podemos encontrar una ecuación con la que podamos manejar como un valor verdadero
5. BIBLIOGRAFÍA
Steven C. Chapra, Métodos Numéricos para Ingenieros, 6ª ed., Mc Graw Hill.
Antonio Nieves Hurtado, Federico C. Domínguez Sánchez, Métodos Numéricos, 3ª ed., CESA.
Métodos numéricos aplicados a la ingeniería. Nieves, Domínguez. 3ra Edición.
