17 de julio del 2018
Campus de la UNA
CURSOS BASICOS
San Lorenzo - Paraguay
–
CALCULO 2
Prof. Ing. Cesar Ramón Sanabria Segovia |Prof. Ing. Bernardita Rodríguez de Nagy| Ing. Carlos Marcelo Vera
Calculo 2 – 2do Semestre – Año 2018 Ejercitario para el 2do Taller
1.
Calcular
Siendo T el dominio del primer octante delimitado por las superficies
1, =1.
2. Representar los campos vectoriales
=
=, =−
. Hallar la
divergencia y el rotacional de cada uno de ellos y explicar el significado físico de los resultados obtenidos. 3. Sea S la porción superior de una esfera que corta al plano circunferencia
=1 ,, = , −, (∇⃗ ×)∙ . Sea
=0
en la
. Evaluar
Si S está orientada en el sentido de la normal exterior. 4. Efectuando el cambio de variables
= ,= ,= ,, = Ω = , =2 2 =1, =4 =, =5 = sin, ∇⃗ ∙ ,∇⃗(∇⃗ ∙) ∇⃗ ×
Calcular la integral triple de la función
sobre la región
primer octante limitada por los paraboloides cilindros
5. Dado el campo vectorial:
del
, los
,
hallar:
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6. Evaluar
∬ ∙ ,, = =1 =±1 ≤1 =±1 , donde
del cilindro
y S es la superficie
, acotado por los planos
porciones
cuando
e incluyendo las
.
7. Calcular
= =1 ≥0 =2−3, ∇⃗ ∙ ,∇⃗(∇⃗ ∙) ∇⃗ × =1 ∭
Siendo V el volumen exterior a la hoja superior del cono cilindro
, con
e interior al
.
8. Dado el campo vectorial:
9. Si V es el volumen del elipsoide
hallar:
, calcular
10.Hallar
Si
| | √ =,, ℝ: ≤2,0≤≤√ } =sin cos√ , ∇⃗ ,∇⃗ ∙ ,∇⃗ ∙(∇⃗ ) , ⃗∇(∇⃗ ∙) ,∇⃗ × ,∇⃗ ×(∇⃗ ) 11.Dado el campo vectorial:
hallar:
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12.Determinar el centro de masa, y las inercias
6,
,
=,= , =2
de la región entre
situada a la derecha del eje OY, con función de densidad
13.Calcular:
Siendo T el tronco de cono de vértice en el origen y base en el plano
=4,
delimitada
−2=0 =2− , =2, ∇⃗, ∇⃗ ∙, ∇⃗ ×, ∇⃗ ∙(∇⃗) ⃗∇(∇⃗ ∙) = cos2 − ≤0, −4≥0 >>0 =3
por la circunferencia
.
14.Siendo
hallar:
15.Hallar las coordenadas del centro de gravedad y la inercia polar, del área limitada por un lazo de la curva
16.Hallar el volumen del solido determinado por las condiciones
17.Dado el campo escalar
, calcular su gradiente, la divergencia
del gradiente y el rotacional del gradiente. 18.Hallar
Siendo D el primer octante de una esfera de centro en el origen del coordenadas, y radio unitario.
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19.Una placa de espesor uniforme e tiene la forma de la región limitada por la función
=sin
y el eje OX cuando varía entre
0≤≤
. Sabiendo que la
densidad superficial de la placa varía de forma proporcional a la distancia al eje OX, determinar la masa y el centro de masa de la placa. 20.Si
=35 ∇⃗, ∇⃗ ∙(∇⃗) ⃗∇ ×(∇⃗) 1,1,0 0.6; 0.8; 0 determinar
derivada direccional en el punto valor unitario
. ¿Cuál sería su
según la dirección determinada por el
?
21.Calcular la integral triple
4 9 36 4 9 36 =36 =9 ,, = √ ++ =2−3 ∇⃗, ∇⃗ ∙(∇⃗) ⃗∇ ×(∇⃗) 1,0,−3 −0.6; 0; 0.8
Siendo V el interior del elipsoide
22.Calcular la masa de la superficie de espesor despreciable que tiene forma de la porción del paraboloide
por encima del plano
, siendo la
densidad superficial es 23.Si
determinar
derivada direccional en el punto valor unitario
. ¿Cuál sería su
según la dirección determinada por el
?
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24.Halar el momento de inercia del solido limitado por las superficies, con función
,, =0 =0 =0 = , , , , = = , , , =√ , = = < =0 =9 =3 , , , , = =0 ≥0 ≥0 ≥0
de densidad
a.
b.
c.
, respecto al eje indicado:
25.Determinar el volumen comprendido entre los planos coordenados y los cilindros
4 9 =36, 4 9 =36 =3 =4, .
26.Hallar el área de la porción del cono plano xoy e interior al cilindro
situada por encima del
proyectando el área
a. Sobre el plano xoy b. Sobre el plano yoz
27.Calcular el rotacional de donde
=
es el vector de posición.
28.Hallar en coordenadas cilíndricas el volumen interior a
=0 2=. y bajo
=4 =1−cos
29.Hallar el área de la superficie encima del del cardioide
=16
que esta sobre
que esta situada directamente
.
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=4 = , ≥0 =4cos =0 =/4 =2cos
30.Calcular el área de la superficie de la esfera dentro de la porción del cono
31.Hallar el volumen interior al cilindro esfera
=16
contenida
limitado superiormente por la
e inferiormente por el plano
coordenadas cilíndricas)
32.Hallar el volumen limitado por el cono
(el sistema está en
y la esfera
,
siendo el ángulo formado por el radio vector con el eje OZ 33.Hallar el volumen del solido cuya ecuación en coordenadas esféricas está definida como:
≤
0≤≤3sin5 sin4 , 0≤≤2 ,0≤ ∮ ∙ = 2; 3−4; 0
34.Evaluar la integral de línea
, con
alrededor de las siguientes curvas cerradas:
a.
= −232
b. 35.Sea
. Calcule la circulación de
sobre una
circunferencia C en el plano xy con centro en el origen y radio igual a 2, si C se recorre en la dirección positiva.
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36.Teniendo que
= 4−32 −2 ∮ ∙ ⃗ = ∇ = cos 2sin−4 3 2 . Demuestre que
a. es independiente de la curva C que une dos puntos dados b. Determine la función
tal que
37.Demuestre que
es un
campo de fuerzas conservativo, además calcule la función potencial para F, y el trabajo
realizado
al
llevar
un
objeto
del
punto
0, 1, −1 /2, −1, 2 ∬ ∙ =2− 2=6 =4 = −22 2 2=6 ∬ ∙ =1,=1,=1 =4 3. ∬ ∙ = =4 =4−2 =4, =1 , =4 =− =0,=0,=0,22=8 .
38.Evaluar
para cada uno de los casos siguientes
a.
y S es la superficie del plano
, en el
primer octante, cortado por el plano
b.
y S es la superficie del plano
, en el primer octante.
39.Evalue
sobre:
a. La superficie S del cubo unitario acotado por los planos coordenados y los planos
;
b. La superficie de una esfera de radio a y con su centro en el origen.
40.Suponga que
Evalue
sobre toda la
superficie de la región por arriba del plano xoy acotada por el cono y el plano
41.Verifique el teorema de divergencia para
tomada sobre
la región limitada por
42.Verifique el teorema de Stokes para superficie de la región acotada por
donde S es la , en
la que no está incluida el plano xoz.
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Calculo 2 – 2do Semestre – Año 2018 Ejercitario para el 2do Taller
43.Con ayuda del teorema de Green evaluar,
∮ 34 2−3
,
donde C es una circunferencia de radio igual a dos, con centro en el origen del plano xoy y que se recorre en sentido positivo. 44.Determinar el área entre las rectas, por medio de una integral doble
=7, 3=0, 2− =5,2−3= 0 =4−2 , =4− −
45.Determinar el volumen comprendido por las superficies
a. Por medio de una integral doble b. Por medio de una integral triple, con ayuda de coordenadas cilíndricas o esféricas de acuerdo a la conveniencia. 46.Determinar el área de la superficie de la porción de esfera en el interior del cilindro
−2−8=0
=81
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Calculo 2 – 2do Semestre – Año 2018 Ejercitario para el 2do Taller Contenido a ser evaluado en el taller.
2. DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES VECTORIALES. 2.1. Funciones vectoriales de dos variables. 2.2. Derivadas parciales de un vector. 2.3. Diferencial de una función vectorial de dos variables. 2.4. Superficie en el espacio tridimensional 2.5. Ecuación vectorial de una superficie en el espacio. Superficie Paramétrica 2.6. Vector Normal a una superficie. 2.7. Elemento de área y vector elemento de área. Componentes cartesianas del vector elemento de área 3. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES 3.1 Campos Escalares. Definición 3.2 Gradiente de un Campo Escalar. Interpretación Geométrica. Derivada Direccional. 3.3 Superficies equipotenciales. Gradiente y vector normal a la superficie equipotencial 3.4 Plano tangente y recta normal a una superficie. 3.5 Campos vectoriales. Definición 3.6 Divergencia de un Campo Vectorial. Interpretación Física 3.7 Rotacional de un Campo Vectorial. Interpretación Física 3.8 Laplaciano de un campo escalar. 3.9 Operador nabla en coordenadas rectangulares. Propiedades. Operador Laplaciano delta. 3.10 Campos Conservativos. Función Potencial 3.11 Operador nabla en coordenadas curvilíneas 4. INTEGRALES MÚLTIPLES. 4.1 Integrales dobles en coordenadas cartesianas 4.2 Dominio de definición 4.3 Cálculo de la integral doble. 4.4 Integrales dobles en coordenadas polares. 4.5 Dominio de definición. 4.6 Cambio de variables en una integral doble. 4.7 Jacobiano de integración.
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Calculo 2 – 2do Semestre – Año 2018 Ejercitario para el 2do Taller 4.8 Aplicaciones de las integrales dobles al cálculo de: Áreas planas, Volúmenes, Masas, Centroides, Momentos de Inercias de superficies planas 4.9 Cálculo de áreas de superficies. Área de superficie paramétrica 4.10 Integral triple. 4.11 Dominio de definición 4.12 Cálculos de integrales triples. 4.13 Cambio de orden de integración. 4.14 Coordenadas Cilíndricas y Esféricas. Diferencial de vol umen. 4.15 Cambio de variable en una integral triple. 4.16 Jacobiano de integración 4.17 Aplicaciones de las integrales triples al cálculo de: Volúmenes, Masas, Centroides, Momentos de Inercias de cuerpos. 5. INTEGRALES CURVILÍNEAS Y DE SUPERFICIE 5.1 Integral curvilínea. 5.2 Integral de línea de campos escalares. 5.3 Calculo de la Integral de línea. Aplicaciones 5.4 Integral de Línea de campos vectoriales. 5.5 Calculo de la Integral de línea. Trabajo. 5.6 Campos Vectoriales conservativos. Función Potencial. 5.7 Independencia del camino. Trabajo en un campo conservativo 5.8 Teorema de Green 5.9 Aplicación del Teorema de Green. Trabajo
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