TEMA: NUMERACIÓN OBJETIVOS Al finalizar el presente capítulo el alumno estará en la capacidad de: • Represent Representar ar los números naturales naturales en una determina determinada da base del sistema posicional de numeración. • Descom Descompon poner er polinó polinómic micame amente nte cualqu cualquier ier numera numerall de un sistem sistemaa posicional de numeración. • Realizar cambio de base. • Efectuar las operaciones elementales de la Aritmética
Prncpo!: • Del Or"en 0oda cifra de un numeral posee un determinado orden el cual empieza de uno ! se encuentra a la derec1a a izquierda. E"emplo: 3umeral: 6ugar 76ectura8 •
Concepto Es la parte de la Aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación lectura ! escritura de los números. Número Es el primero ! básico de los conceptos matemáticos ! nos permite cuantificar los ob"etos de la naturaleza.
+
%
)
(
$
(
4
5
4
%
$
(
)
%
+
← 2rden
De la Ba!e Es un numeral referencial que nos indica como debe agruparse las cantidades para formar las órdenes de un numeral en cierto sistema de numeración. E"emplo )( n → base 93os indica que se agrupará de 9n en 9n en dic1o sistema 6a base toma #alores enteros ! positi#os ma!ores o iguales que ( n ≥ ( o sea n ; <( ) % .........=
-
Numeral Es la representación simbólica o figurati#a del número.
-
E"emplo:
$% &' ( * $ + ', (( - ( ( * )
SISTEMA DE NUMERACIÓN Concepto Es un con"unto de reglas principios ! con#enios que se utilizan para representar ! e/presar a los llamados numerales Aritmética
7
Entonces la base mínima: n; ( 'eamos en forma grafica: representa el número $+ en base
2 sea que: $+ ; $($78 8
Aritmética
Otro e#emplo: e#emplo: representar el número $4 en base %
•
$( Duod Duodec ecim imaal .... .................. 57$ 57$8 8 7$$8 $$8 @on frecuencia se estila utilizar las siguientes letras parea denotar algunas cifras: γ ≡ ( Alfa α ≡ $ $ Kamma γ ≡ Epsilon ε ≡ $) eta β ≡ $$ $$ Delta δ ≡ $
De la! c$ra!: c$ra!: 6as cifras cumplen las siguientes condiciones >ertenecen a ? 7cifras ε ?8 @on menores que la base 7cifras n8 6a cifra má/ima es una unidad menor que la base cifra ; 7base B $8 0oman #alores enteros menores que la base. @i la base 9nC se pueden utilizar en las cifras $ ( ) ............. 7n * $8 má/ima cifra
• -
cifra significati#a cifra no significati#a •
-
Repre!entac%n &teral "e Numerale!: 3umeral de cifras de base 9n : abc7n8 3umeral de ) cifras de base 9n : abcd 7n8 ab : numeral de ( cifras: 7$ $$ $( ................ 5I 558 abc : numeral de cifras: 7$ $$ $( ........... 55I 5558 aaa : numeral de cifras iguales: 7$$$ ((( ........... 5558 $I ab : numeral de cifras que empiezan en $I. 7$I $I$$ $I$( .......8 a7 a + $87a + (8 3umeral de tres cifras consecuti#as. 7$(C )%+C %+4.....8
Prncpale! !!tema! "e numerac%n Ba!e ( ) % + 4 I 5 $ $$
Aritmética
S!tema "e Numerac%n inario o Dual 0emario Fuartenario Guinario @enario ! @e/anario Heptanario 2ctanario 3onario Deci Decim mal o Decup ecuplo lo Jnd Jndecim cimal
OBSERVACIONES: '( 6A >R,LERA F,MRA DE J3 3JLERA6 DEERN @ER @,K3,M,FA0,'A 7 D,MERE30E DE 8 D,MERE30E DE FER2 FER2 8 )( 02D2 AGJE662 GJE AGJE662 GJE E@0O E30RE >ARO30E@,@ E3 >ARO30E@,@ E3 E6 6JKAR DE 6A@ F,MRA@ RE>RE@E30A J3A DE E66A@ DE E66A@ *( @E DE32L,3A 3JLERA6 FA>,FPA A AGJE6 GJE 6EQD2 DE ,?GJ,ERDA A DEREFHA 2 ',FE'ER@A 2 ',FE'ER@A @E 6EE @E 6EE ,KJA6 ,KJA6. E EL>62 EL>62 : C )%)C 444: 4II4
C$ra! $ $ ( $ ( $ ( ) $ ( ........... % ........... + ........... 4 ...........C I .... .................. 5 .... .................. 5 7$8 $8
aa aba abba
CAMBIOS DE BASE EN +: Ca!o N, ': De base 9n a base $ e/isten tres métodos: Ruffini Descomposición polinómica 9
10
Aritmética
Otro e#emplo: e#emplo: representar el número $4 en base %
•
$( Duod Duodec ecim imaal .... .................. 57$ 57$8 8 7$$8 $$8 @on frecuencia se estila utilizar las siguientes letras parea denotar algunas cifras: γ ≡ ( Alfa α ≡ $ $ Kamma γ ≡ Epsilon ε ≡ $) eta β ≡ $$ $$ Delta δ ≡ $
De la! c$ra!: c$ra!: 6as cifras cumplen las siguientes condiciones >ertenecen a ? 7cifras ε ?8 @on menores que la base 7cifras n8 6a cifra má/ima es una unidad menor que la base cifra ; 7base B $8 0oman #alores enteros menores que la base. @i la base 9nC se pueden utilizar en las cifras $ ( ) ............. 7n * $8 má/ima cifra
• -
cifra significati#a cifra no significati#a •
-
Repre!entac%n &teral "e Numerale!: 3umeral de cifras de base 9n : abc7n8 3umeral de ) cifras de base 9n : abcd 7n8 ab : numeral de ( cifras: 7$ $$ $( ................ 5I 558 abc : numeral de cifras: 7$ $$ $( ........... 55I 5558 aaa : numeral de cifras iguales: 7$$$ ((( ........... 5558 $I ab : numeral de cifras que empiezan en $I. 7$I $I$$ $I$( .......8 a7 a + $87a + (8 3umeral de tres cifras consecuti#as. 7$(C )%+C %+4.....8
Prncpale! !!tema! "e numerac%n Ba!e ( ) % + 4 I 5 $ $$
Aritmética
S!tema "e Numerac%n inario o Dual 0emario Fuartenario Guinario @enario ! @e/anario Heptanario 2ctanario 3onario Deci Decim mal o Decup ecuplo lo Jnd Jndecim cimal
OBSERVACIONES: '( 6A >R,LERA F,MRA DE J3 3JLERA6 DEERN @ER @,K3,M,FA0,'A 7 D,MERE30E DE 8 D,MERE30E DE FER2 FER2 8 )( 02D2 AGJE662 GJE AGJE662 GJE E@0O E30RE >ARO30E@,@ E3 >ARO30E@,@ E3 E6 6JKAR DE 6A@ F,MRA@ RE>RE@E30A J3A DE E66A@ DE E66A@ *( @E DE32L,3A 3JLERA6 FA>,FPA A AGJE6 GJE 6EQD2 DE ,?GJ,ERDA A DEREFHA 2 ',FE'ER@A 2 ',FE'ER@A @E 6EE @E 6EE ,KJA6 ,KJA6. E EL>62 EL>62 : C )%)C 444: 4II4
C$ra! $ $ ( $ ( $ ( ) $ ( ........... % ........... + ........... 4 ...........C I .... .................. 5 .... .................. 5 7$8 $8
aa aba abba
CAMBIOS DE BASE EN +: Ca!o N, ': De base 9n a base $ e/isten tres métodos: Ruffini Descomposición polinómica 9
10
Aritmética
>ractico: sube ! ba"a. A( M Ru$$ Ru$$n n: E"emplo: Fon#ertir ($% 7+8 a base $
Re!oluc%n
; ()% - (I - ( ; (4% 2 sea que: %)(748 ; (4%
11
C( M( Pract Practco co:: Su-e Su-e . Ba#a Ba#a Fon#ertir ($%7+8 en base $ 2 sea que: ($%7+8 ; I
E"emplo Fon#ertir $(47I8 a base $.
2 sea que: ($%7+8; I Fon#ertir %)(748 en base $
2 sea que: $(47I8 ; I4 B( De!compo!c De!compo!c%n %n Poln%mca Poln%mca E"emplo: Fon#ertir ()7+8 a base $ Re!oluc%n ()7+8 ; . +( - ( . +$ - ) ; $I - $( - ) ; $() 2 sea que: ()7+8 ; $() E"emplo: Fon#ertir %)(748 a base $
2 sea que: ($%7+8; I Ca!o N, ): De la base $ a base 9n El único método es el de di#isiones sucesi#as E"emplo: Fon#ertir $() a base % Re!oluc%n
Re!oluc%n %)(748 ; % . 4 ( - ) . 4 - ( Aritmética
Aritmética
2sea $%(748 ; I+ 2.
E"emplo: Fon#ertir )$ a base ) 12
Halla el número I+ con#ertir a base $$ a tra#és de di#isiones sucesi#as.
E"emplo: con#ertir )$7+8 a base ) A0 13 14
B0 E"emplo: Fon#ertir % a base 5
6uego: )$7+8 ≡ $%$7)8 Ca!o N, /*: De base 9n a base 9m
RE@JLE3: D E A@E 9 3 A A@E 9 L > A@2 A: D23DE 9 3 A A@E 9$ > A@2 : D E A@E $ A A@E L 7D ,',@,23E@ @JFE@,'A@ 8
E"emplo: Fon#ertir $%(748 al sistema de numeración undecimal Re!oluc%n 1. Fon#ertir $%(748 a base $
PROPIEDAD 1UNDAMENTA&: Dado: Aritmética
abc 7n 8 = pqr 7m 8
Aritmética
@i: abc > pqr → n m @i: abc < pqr → n S m E"emplo 3T $: Hallar 9a @iendo: abc 7 ) 8 = (pr 7 4 8 Re!oluc%n
aS( ∧ a) ⇒ ( a ) → . a ; . E"emplo 3T (: Hallar 9m si ( 7m8 ; $(7)8 Re!oluc%n
( m ) → . m ; . E"emplo 3T : Hallar 9m
CONOCIMIENTOS COMP&EMENTARIOS '(Numeral "e c$ra! m23ma! 5 ; $ * $ 55 ; $ * $ ; $( B $ 555 ; $ * $ ; $ * $ 5555 ; $ * $ ; $) * $ . . . 555 ........ 5
U cifras
; $U * $
4I ; $I * $ ; I B $ 44I ; $I * $ ; I ( * $ 444I ; $I B $ ; I * $ . . . 444..... 44I
U cifras
; IU * $
$))7+8 ; (()7m8 Re!oluc%n
En general: .
7n − $87n − $8......... ..7n − $8 n U cifras
;nU *$ .
E"emplo: Hallar 93 )m+ ∴m ; % Aritmética
.......... + 3 ; ) ; ) * $ + cifras
Aritmética
Re!oluc%n ........ ; )+ B $ 3 ; ) + cifras
n - $ . ) ; %4 n - %( ; %4 . n ;% . E"emplo (: Hallar: U
3 ; )5+ * $ → 3 ; )5% )(Ba!e! Suce!4a!: $F n ; n - c 16 $b $c n ; n - b - c $a $b $c n ; n - a - b - c
$4 $( $ $% $(
En 5eneral: $a $b $c
$d
$ /n
; n - a - b - c - d - ........../
Ca!o:
$a $a $a 9U #eces
n
E"emplo $: Falcular n
$)
$)
$)
$)
$ #eces
7( Fon#ertir ($7)8 a base 4
)( Fon#ertir $)7I8 a base $
8( Fon#ertir )$$7%8 a base
*( Fon#ertir )( a base )
9( Fon#ertir $$7(8 a base $
6( Fon#ertir %() a base
( Fon#ertir ($78 a base
$)
n
n ; n - $ . )
$)
$) n
Aritmética
PROB&EMAS AP&ICATIVOS '( Fon#ertir (%7+8 a base $ ; %4
$ #eces Re!oluc%n:
Re!oluc%n V - 4 -( - - % - ( ; (% V - $5 ; (% . V ;+ .
; n - ; n - U .a n
U
n
Aritmética
'/(Hallar a - b - c si 7( Hallar 9n - p si ((7)8 ; nnp 7%8
17 18
'( Hallar
9m
- n si: 7m + $8( % n 4 es un número capicúa
8( Hallar 9n - p si: $%7+8 ; n (p 7)8
''(Hallar a - b - cC si $a bb 748 ; (%$(7c8
'6(Fon#ertir a base $. $$$$ .........$$ $D #eces
Rpta.
)( Hallar 9p - n si: > )n% C es un número ( capicúa Rpta. *( Hallar 9a - b - m si: (%7+8 ; a m b
9( Hallar 9n si: $7n8 ; $))7%8 Rpta. ( Hallar 9n si: (47n8 ; $+758
6( Hallar a - b - c si a bc 7%8 ; )4
')(@i se cumple: abc 7I8 ; $(+%7n8 Hallar a . b . c Rpta. '*(Falcular: 9a - b si: $ $ $
Rpta. Rpta. ;( Hallar 9/C si )$7/8 ; ()%7+8
19
'7(Hallar el #alor de 9n 9 si: ......... 7)8 ; $( Wn W #eces Rpta.
($ #eces
Rpta.
7(8
Rpta.
Rpta. Rpta.
;
Rpta.
Rpta.
PROB&EMAS PARA &A C&ASE
aaa 7+8
bc 4
$
%
;
'8(Falcular 9n si: $+
$+
$) #eces
; 5( $+
$+
n
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Aritmética
Aritmética
62@ 3,X2@ @23 F2L2 E6 FELE302 MRE@F2.
6(
02D2 62 GJE 6E@ FAE 6E@ DEA J3A ,L>RE@,Y3 ,3DE6E6E
<( S TE=E&
Hallar a - b - cC si: aaa 748 ; bc % A0 $% D0 $
B0 $$ E0 $5
A0 ( D0 $+
C0 $4
( Hallar el #alor de 9nC si
PROB&EMAS PARA &A CASA 20 '( @i el numeral es capicúa 1allar 9m-n
7m + $84 a 7n + (87( m 8
A0 $ D0 +
B0 E0 4
C0 )
)( Hallar 9a - b si se cumple: (+(748; a )b
7(
$(
Fon#ertir a base $ (( ......... ( % #eces
78
($ #eces
A0 () B0 I$ D0 (4 E0 ()
B0 E0 4
C0 )
..........
A0 $ D0 $4
B0 $ E0 ($
C0
%$A0 ( D0 4
$)
$)
$5 #eces Aritmética
$(
B0 E0 +
B0 (4 E0 I
21
C0 )
'/(Hallar 9a - n C si se cumple (+a 7n8 ; ($% 7I8
n C0 )
A0 I D0 $$
B0 5 E0 $(
C0 $
; $(
7)8
B0 % E0 5
C0 +
9( Falcular 9a - bC si:
*( Hallar 9a - n -b C si )4(7I8 ; +ab 7n8
A0 $+ D0 $$
C0 ()( A0 $ D0 %
@i: $(7)8 ; ab Hallar ab
; )+
$(
C0 $$
8( Hallar el #alor de 9n si 7n −( 8 #eces
A0 $ D0 +
$(
9.
B0 $ E0 4
;
$)
$)
C&AVES
'( D
8( D
)(
9(
*( F
( F
6( A
;(
+ Aritmética
7( F
'/( A
TEMA: SUMA O ADICIÓN
Or"en
22
DE1INICIÓN Dados dos números naturales a ! b se llama suma de a ! b ! se denota 7a - b8 al número natural @ tal que a - b ; @. @e denomina 9a"c%n a la operación que 1ace corresponder a ciertos pares de números naturales 7a b8 su suma a - b. E"emplo $: % - 4 ; $(
- %
- 5
;
sumandos
) $ ) $
$4
Re!oluc%n 6os sumandos son colocados en1forma #ertical efectuar la operación de 2 0 Orden ← para acuerdo al orden que ocupa sus cifras:
Aritmética
+ $ %
%748 )748 +748 $748
@uma
&A ADICIÓN EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN E"emplo $: Halle la suma de )%748C $+)748 ! )$+748
Sumandos
(
23
6uego se tiene que:
E"emplo (:
$
Proce"mento % - ) - + ; $% ; (.4 - $ ↓ queda se lle#a - + - $ - ( ; $( ; $.4 - % ↓ queda ) - $ - ) - $ ; $ ; $.4 - ↓ queda se lle#a
4
1
5(7)
1
6
4(7)
4
1
6(7)
+
PRINCIPA&ES SUMATORIAS '( @uma de los 9n primero números naturales n 7n + $8 . @ ; $ - ( - - ) - ......... - n ; . (
E"emplo: Hallar 9@ @ ; $ - ( - - .....................- (5 ; @ ; )%
(5 . D (
Aritmética
)(
@uma de los 9n primeros números impares (
+ $ . (
. @ ; $ - - % - ......... - A ; A
@ ; 7$58( @ ; +$
Fasos particulares @ ; $ - - % - ......... - 7(n B $8 → @ ; n( @; $ - - % - ZZZZZ - 7(n - $ → @ ; 7n- $8( E"emplo: Hallar 9@ 24
@ ; $ - - % - ... - ( ;
'( @i a - b - c ; $4 Hallar
@ ; $)) *(
@uma de los cuadrados de los 9n primeros números naturales consecuti#os @ ; $( - (( - ( - .............. - n( . @;
n 7n + $87(n + $8
+
@;
(D7(D + $87( . (D + $8 +
@;
(D . ($ . )$ +
Rpta.
Rpta.
Rpta. *( @i se cumple que: abca
+ Iabc + b 4c I = ()b (( − ccab
@uma de los 9n primeros cubos perfectos consecuti#os
Rpta.
( @i: ab + c )a = ///a Falcular: a - b - c - / Rpta.
( n n + . @ ; $ - ( - - ........ - n ; 7 $8 .
(
E"emplo: Hallar @ @ ; $ - ( - - ............ -
Aritmética
9( @i: (-)-+ - I - .... - (m ; ++)( Hallar 9m Rpta.
calcular: a -b - c(
$5 . 7$5 + $8 (
25
= abcd $% $%abcd + )I4(4I
@ ; (I4
@;
8( Hallar : 9a - b - c - dC si
abc + cab + bca
)( @i: %b 5 + c +a + a 4c = $c (+ Hallar a / c - b
.
E"emplo: Hallar 9@ @ ; $( - (( - ( - ....... - ((
6(
PROB&EMAS PARA &A C&ASE
(
( + $ (
$5
6( Falcular: @ @ ; $ - ( - - .................. - 44
;( @i: A ; $ - ( - - ......... - % ; $ - - % .... - )5 Hallar A -
(
Rpta.
Rpta.
Aritmética
D >A&A> ?A& ?D IN ?R UMI
7( Falcular. @ @ ; $ - ) - 5 - $+ - ...... - $ Rpta.
Rpta.
''(Falcular: 26 $ - I - (4 - ..... - I
'6(@umar: (%+7I8 - +%4%7I8 - 4+%7I8
Rpta.
PROB&EMAS PARA &A CASA '( @i: / - ! - z ; $) 1allar: A0 $)%) D0 $)))
'7(Hallar: +$+748 - $(%748 - ())$748
Rpta.
Rpta.
'*(@abiendo que: a - b - c ; $( Además: ab + bc ; 45 Hallar: a( - b( - c(
7(
/!z + !z/ + z/!
Rpta.
')(@i: ab + bca ; $ Hallar a . b . c
Rpta.
'/(@i: a )/ + 4ba = 5/ 5 Falcular: 9a - b - /
B0 $%%) E0 $%))
C0 $%%%
a4)b + c4 a + %ba( = bba+I
Falcule: @ ; a - b - c A0 $ D0 $(
B0 $ E0 ((
B0 $$ E0 $)
C0 $
A0 $+ B0 )+( C0 )II D0 %$ E0 ()
C0 5
Rpta. *( Falcule: a . b . cC si se sabe que: a - b - c ; $) ! además: ab + ca ; $(% E6 H2LRE E@ J3A L,RADAC E6 RE@02 E@ @Y62 FAR3E. >ER2 A6 'ERDADERA L,RADA E@ 6A GJE 'E A6 AL,K2. M J3DE 0J FJER>2 E30ER2 E3 0J L,RADA 'E0E HAF,A 6A ',@,Y3 'E0E HAF,A 6A ',@,Y3....
Aritmética
A0 $( D0 $
27
8( @i: > ; $ - ( - ..... - I A ; ( - ) - + - ....... - I Hallar > - A
)( @i:
'8(@umar: (4$758 - $%%758 - )(+I758
Falcular: a - b - c aba = aa + bb - ))
A0 5 D0 %) 6(
@i:
B0 $(I E0 $
C0 $%
a I + %b 5 + +)c
;
9( Hallar > si > ; $ - ) - 5 - ......- 5 A0 555% B0 5+)% C0 5)%% D0 )55% E0 )5)% ( @umar: ()$7%8 - $$(7%8 - ))7%8 Aritmética
$+%5 Hallar: a - b - c A0 $ D0 $
B0 $$ E0 $)
A0 $$)7%8 C0 $(7%8 E0 ))7%8
C0 $(
LE >REKJ30A@ [GJO E@ D,2@\ 32 @O GJO DEF,R0EC 62 GJE @, >JED2 AM,RLAR E@ GJE
B0 )7%8 D0 $((7%8
@,EL>RE @ERN LJFH2 LN@ DE 62 GJE 6A 3A0JRA6E?A HJLA3A >JEDE 2MREFER0E.
1 RANCISCO J ARAMI&&O
;( Hallar 9@ 28 @ ; %$7+8 - $$ 7+8 - 7+8
'/(@i: a$a + a(a + aa + ..... + a5a
TEMA: SUSTRACCIÓN
=
1allar: / - (! - z - )a
A0 $(%7+8 B0 $)%7+8 C0 ((%7+8 D0 )$)7+8 E0 ($%7+8
A0 + D0 I
B0 4 E0 5
C0 )
Dados los ( números llamados minuendo ! sustraendo la operación sustracción 1ace corresponder un tercer número llamado diferencia tal que sumado con el sustraendo da como resultado el minuendo. Es decir:
C&AVES
'(
8( F
)( D
9( F
*( D
(
6( D
;( F
7( A
'/( D
. L * @ ; D → L ; @ - D .
0érminos: 9L es el minuendo 9@ es el sustraendo 9D es la diferencia E"emplo: En base $: +% * (4I ((4 Fifra de las unidades * Fifra de las decenas $ - % * I ; 4 $ * $ * 4; ( Fifra de las centenas * Fifra de las millares
Aritmética
Aritmética
(*(;
%*;(
En base 4: %(4 * (+)4 (%4 Fifra de $er. 2rden : 4 - ( * ) Fifra de (do. 2rden : 4 - ( * + ; 29 30 Fifra de er. 2rden : ) * ( ; ( Prope"a"e!: @ea el número
abc 7a S c8
@e cumple:
@i abc − cba = /!z . !; 5 . . / - z; 5 .
0ambién:
. a *c ; /- $ .
E"emplos de aplicación: '(
)(
m = 5 ∧ ( + n = 5 @i: abc − cba = (mn → a − c = . q = 5 ∧ p + + = 5 @i: abc − cba = pq+ → a − c = p + $
Es lo falta a un número para ser a una unidad del orden inmediato superior su cifra de ma!or orden. @ea 3 un número de V cifras se cumple: . FA738 ; $U * 3 . E"emplo: FA7)8 ; $( * ) ; %4 FA 7+)I8 ; $ * +)I ; %( FA7 ab 8 ; $ B ab FA7 abc 8 ; $ B abc FA 7 abcd 8 ; $ B abcd Mto"o Pr2ctco: A la primera cifra significati#a de menor orden se le resta de $ ! a las 31 cifras que están a su izquierda se le resta 5. E"emplo 5 5 5 5 5 $ FA 7) ( I % 48 ; %+4 $) 5 5 5 $ FA7 a b I 8 ;
75 − a8+75 − b8(
5 5 $ FA a b a ;
75 − a875 − b87$D − a8
COMP&EMENTO ARITM@TICO:
Aritmética
Aritmética
@,
3J3FA AA3D23A@ 62 GJE E@ ,L>2R0A30E >ARA 0, @, 0E ,L>2R0A 0A302 GJE E@0N@ D,@>JE@02 A 6JFHAR >ARA 20E3ER62 0E A@EKJR2 GJE 0J ',DA E@0ARN 66E3A DE O&,02. @ERN J3A ',DA DJRA >2RGJE 6A E&FE6E3F,A 32 E@ MNF,6 >ER2 'A6DRN 6A >E3A.
6( Hallar la suma de cifras de 9R si: R ; III ....... II %% ......... % − )I cifras
( cifras
;( Falcular la diferencia obtenida en una resta si se sabe que el minuendo es el triple de ésta ! el sustraendo $)(. Rpta.
Rpta.
R( B AC
7( 6a suma de los tres términos de suma sustracción es $)%. si el sustraendo es el cuádruplo de la diferencia. Hallar la diferencia.
PROB&EMAS PARA &A C&ASE 32 1.
Hallar abc − cba
/ =
/!
Rpta. )( Falcular 9a * c en:
!C
si
8( @i: ab − ba ; + ! además. a - b ; ; $$. Falcular: 7 ab 8( Rpta. 9( Hallar: 7n B m8 @i:
abc = cba + /!)
abc = cba + mn7m + $8
Rpta.
Rpta.
*( Efectuar (%$7+8 * )$7+8 Rpta.
Aritmética
( En una resta los tres términos suman I). El minuendo es: Rpta.
'/(@i: FA7 ab 8; ) ab . Falcular 9a-b Rpta.
Rpta. ''(@i abc
se
=
sabe
que:
cba + /!I C abc + cba ;
$4+. Hallar 7a - b - c8 Rpta.
')(Jn número de tres cifras es tal que al restarle el doble de su FA. Resulta (I. Entonces la suma de sus cifras de decenas ! centenas es: Rpta. '*(@i: FA 7cba8 + abc = /%!z . Falcular 7/ - ! - z8
'7(Falcular: FA 7a8 - FA7aa8 - FA7aaa8 - .....33 ( aaa .....aa )
FA
D cifras
. @i 2> * >2 ;
ma Rpta. '8(Halle la diferencia de los siguientes números )(7%8 ! $)7%8 Rpta. '9(Falcular la diferencia de %( 748 Aritmética
! ()748
Rpta.
3.
Rpta. '6(Hallar el número de la forma /!! C si su FA es de la forma 7 / + $87/87/ + $8 . Hallar: / . ! Rpta.
'(Hallar FA de: 4)I ($I 758 %$+ %$748
6(
5 IPS> R OSE & EE
PROB&EMAS PARA &A CASA 7(
abc − cba = 7m87n + $8
A0 I D0 +
2.
B0 4 E0 $
C0 5
Efectuar: )+(748 * $(%748 A0 ))+(748 B0 )+(748 C0))+)748 D0 ))+%748 E0 ))++748
Aritmética
6a suma de los tres términos de una sustracción es 4(. @i el sustraendo es el triple de la diferencia. Hallar la diferencia. A0 $4 D0 I
B0 $$ E0 (
;
A0 4( D0 I+
A0 $ D0 (
A0 $($7+8 B0 ()7+8 C0 $))7+8 D0 %)7+8 E0 $(7+8
'/(Hallar cumple
; 5)4 Hallar : 9a - b - c - d a%b − cId
B0 ($ E0 (
C0 (
si le que: 35 >]A − A]> = 6RF . Dar como respuesta la suma de cifras de resultado A0 $) D0 ((
C0 5
8( @i: ab − ba ; ! además: a - b ; $. Falcular: a * (b
C0 ($
C0 I$
;( @abiendo que:
A0 () D0 $5
B0 $) E0 (%
( Hallar el FA de )%7+8
() cifras
B0 4% E0 4
C0 I
a - b
((( 4$ − 4$4$ ....... ((( ..... D cifras
B0 + E0 $
9( @i: FA7 ab 8 ; ab . Falcular
Hallar la suma de cifras de 9G G
FJA6GJ,ER F2@A GJE 'A6KA 6A >E3A HAFER@E ,E3 'A6E 6A >E3A HAFER6A DE@>AF,2.
34
Efectuar: 4)+7I8 * ()%+7I8 A0 )4+7I8 B0 )++7I8 C0)+47I8 D0 )%%7I8 E0 )%+7I8
Rpta.
'( Hallar 9m - n si:
A0 % D0 4
6RF + FR6
B0 $I E0 (
C0 $+
C&AVES
Aritmética
'( A
8( D
)( D
9( E
*( A
( A
6( A
;(
7( F
'/(
L : multiplica ndo factor m : multiplica dor >: producto 3otas: '(
D>02. DE >J6,FAF,23E@ “Robert Letourneau”
'.6.E..
)(
@i:
abc . 4 ; .......... + → c ; I
*(
@i:
abc . ) ; .......... ( → c ;
6(
TEMA: MU&TIP&ICACIÓN 36
Es una operación binaria donde dados dos elementos L ! m llamados multiplicando ! multiplicador se le 1ace corresponder un tercer elemento > llamado producto. 2rigen:
L + L + L + ......... + L = > m #eces
. L . m; > . Donde:
@i se multiplica: ( ) ^ +% $($% → $er producto parcial $)%I → (do producto parcial $%45% → >roducto >arcial
@e cumple: 7_ impar8 7.... %8 ; ..... % 7_ par8 7... %8 ; ....... 7( @e cumple: ....... n7n - $8 ; ....... ( ........ +
I
PROB&EMAS PARA &A C&ASE
'( Hallar el multiplicando de una multiplicación sabiendo que el multiplicador es +( ! que la suma del multiplicando ! el producto es (). Rpta.
37
6( En una multiplicación si el multiplicando disminu!e en $( unidades entonces el producto disminu!e en $+I. calcular el multiplicador. Dar la suma de cifras Rpta.
Aritmética
Aritmética
)( @i al multiplicando se le incrementa en una unidad ! se #uel#e a 1acer la multiplicación se obser#a que el producto total se incrementa en (% unidades. Hallar la suma de las cifras del producto total inicial si se sabe que la suma de éste más el multiplicando original es )(. Rpta. *( @i al multiplicador de una multiplicación se le aumenta en la cifra de decenas siendo el multiplicando (I. [En cuánto aumenta el producto original \ Rpta.
producto. 7( @i: ..........d ; ....)$5( Hallar: d - e - f
e f
.
Rpta. 8( @abiendo que: mnp . a ; ($) b . mnp ; )$( C mnp . c ; ++ 1allarC mnp C abc
Aritmética
Rpta.
'*( @i
;( 6a suma de términos de una multiplicación es $(%. @e triplica el multiplicando ! se #uel#e a realizar la operación la nue#a suma de términos es )5. Halle el multiplicador
9( El producto de números consecuti#os es igual a #eces su suma. Halle el número ma!or
')( @i: . abc ; (bc $
Hallar: b - a - c - a
. $ ; Z.45)5
'6( Hallar
el resultado de multiplicar a bc . I sabiendo que dic1a operación la suma de dos productos parciales es 4)$)
Rpta.
Rpta. '/(Al multiplicar 3 / 45 se cometió el error de colocar los productos parciales uno deba"o del otro obteniéndose como resultado %()I. 1alle la suma de cifras de 3
'7(Hallar el multiplicando de una multiplicación sabiendo que el multiplicador es +( ! que la suma del multiplicando ! el producto total es I4. Rpta.
Rpta.
''(@i: abcd . +5 ; .....bcd I Hallar: a - b - c - d Rpta.
.....abc
Rpta.
Rpta.
Rpta. ( @i a uno de los factores de una 38 multiplicación se le agregara 4 unidades el producto aumentaría en % ! si en #ez de 1acer esto al otro factor se le restara $+ unidades el producto disminuiría en ). Halle la suma de cifras del
4
Rpta.
PROB&EMAS PARA &A CASA '( @i:
abcd
A0 D0 4
. 555( ; ......... +%4I B0 ) E0 %
C0 +
6(
39
@i al multiplicando se le incrementa en una unidad ! se #uel#e 1acer la multiplicación se obser#a que el producto total se incrementa en $4 unidades. Hallar la suma de las Aritmética
)( El producto de números enteros consecuti#os es igual a % #eces el segundo. Falcular la suma de ellas A0 $I D0 )
B0 $4 E0 $5
C0 ($
*( Hallar el multiplicando de una multiplicación sabiendo que el multiplicador es ( ! que la suma del multiplicando ! el producto total es $I+. A0 $$ D0 %$
B0 + E0 $+
C0 )(
D>02. DE >J6,FAF,23E@ “Robert Letourneau”
cifras del producto total inicial si se sabe que la suma de éste más el multiplicando original es )( A0 5 D0
Aritmética
B0 $
C0
%$E0 ($
'/(
( Hallar: a - b - c ......... abc / 4 ; ...... %)I$ A0 $+ D0 ((
B0 $I E0 (+
El producto de números pares es $5(. si cada número se reduce a su mitad. [Fuál es el nue#o producto\ A0 I$ B0 () D0 )I E0 5+
C0 (
C0 )%
C&AVES
nm × 4()
A0 ( D0 $I
B0 ($ E0 $4
C0 ((
8( El producto de números enteros consecuti#os es igual a () #eces el segundo. B0 $ E0 $$)
9( Al multiplicar 3 . ( se cometió el ;( @i se cumple: ; ............ 4% 40 error de colocar los productos parciales uno deba"o de otro Hallar: a - b - c obteniéndose como resultado )%. indicar como respuesta la suma de A0 $% B0 $ cifras de 3. D0 $( E0 $ A0 I
C0 5
7( @abiendo que: 4() . m ; ($4( n . 4() ; $))I Hallar la suma de cifras de este producto:
A0 5 D0 $(
'.6.E..
B0 ( E0 I
D0 $4
C0 $ abc
/ 45
C0 5
'(
8( F
)( D
9( F
*( D
(
6( D
;( F
7( A
'/( D
TEMA: DIVISIÓN Es una operación binaria que consiste en que dados dos enteros el primero llamado di#idendo ! el segundo llamado di#isor encontrar un tercero llamado cociente. . D ÷ d ; q . D ; d . q Aritmética
D4!%n Entera: Es un caso particular de la di#isión en la que el di#idendo di#isor ! cociente son número enterosC en este caso se recurre a un cuarto términos llamado residuo.
puede ser: 1. E3acta 7residuo ; 8 E"emplo: En general
2.
a0
4142
-0
D d r q
r : re!"uo
)% 5 %
→
)% ; 57%8
D d q
→
D ; dq
Ine3acta 7residuo S 8 >or defecto E"emplo: +4 5 → +4 ; 5748 - ) ) 4 En general D d → . D ; dq - r . C d ∈ ? r q Donde: r d q : cociente por defecto r : residuo por defecto E"emplo:
Aritmética
>or e/ceso
% I D d re qe
En general:
D : di#idendo d : di#isorC d ≠ q : cociente
Donde: re d qe : cociente por e/ceso re : residuo por e/ceso Prope"a"e! "e la "4!%n ne3acta '( qe ; q - $ )( rma/ ; d * $ *( r -re ; d Alterac%n "e la "4!%n por multplcac%n E"emplo: D . +4 5 d. ($ (4 ) 4 $( 4 / En general @i:
→
+4 ; 57I8 * %
D d r q
→
Dn rn
dn q
PROB&EMAS PARA &A C&ASE '( 6uego de di#idir 5)4 entre su
F.A. Hallar la suma del residuo por defecto el cociente por e/ceso ! el di#isor Rpta.
+4 5
D ; dqe * re d∈?-
→
43
7( Al efectuar una di#isión entera por defecto ! por e/ceso se obser#ó que el residuo por defecto el residuo por e/ceso el cociente por defecto ! el Aritmética
)( 6a suma de ( números es +$$
su cociente ( ! su residuo el ma!or posible. Hallar la diferencia de los números.
di#isor en ese orden eran números pares consecuti#os. Hallar el di#idendo. Rpta.
Rpta. *( En una di#isión el di#idendo es
)54 el residuo por defecto ( ! el residuo por e/ceso 5. Hallar el cociente. Rpta.
6( Hallar el di#idendo sabiendo que el residuo por defecto ! por e/ceso son ( ! % respecti#amente ! el cociente por e/ceso es ). dar como respuesta la suma de sus cifras. Rpta. ( 6a suma de dos números es 44 $)C el cociente que resulta de di#idir dic1os números es (4 ! el residuo el ma!or posible. Hallar la suma de las cifras del di#isor Rpta. Aritmética
8( En una di#isión ine/acta el cociente es %. pero si al di#idendo el di#isor ! al residuo se triplican. Falcular el nue#o cociente Rpta. 9( Al di#idir el ma!or número de cifras diferentes con ) se obtiene un residuo el cual por su #alor se denomina Rpta. ')(En una di#isión ine/acta el residuo por defecto es $% ! el residuo por e/ceso es 5. si el cociente por defecto es $( calcular el di#idendo Rpta.
;( En una di#isión ine/acta el residuo por defecto es la quinta parte del residuo má/imo. @i el residuo por e/ceso es ((% 1allar el di#isor
'*(El di#idendo de una cierta di#isión es %%. @i el cociente ! el residuo son iguales ! el di#isor es el doble del cociente. [Fuál es el di#isor\ Rpta.
Rpta. '/(6a suma de los ) términos de un di#isión es el cociente es I ! el residuo es (. calcular el di#isor
'6(El di#idendo en una di#isión ine/acta es (4$ el di#isor es el triple del cociente ! el residuo es mínimo. Hallar el #alor del di#isor. Rpta.
Rpta. ''(En una di#isión ine/acta el di#isor es $) el residuo es má/imo ! el cociente la séptima parte de di#isor. Hallar la suma de cifras del di#idendo
'7(En un di#isión ine/acta el di#isor es el F. A. del cociente ! el residuo es la mitad del cociente @i el residuo es mínimo. Hallar el di#idendo Rpta.
Rpta.
PROB&EMAS PARA &A CASA '( 6uego de di#isor I) entre su F.A. 1allar la suma del residuo por defecto e/ceso ! cociente por e/ceso A0 (
B0 $5
C0 )
%$6(
45
Al efectuar una di#isión entera por defecto ! por e/ceso se obser#ó que el residuo por defecto el residuo por e/ceso el cociente por defecto ! el Aritmética
D0 $+
E0 $+(
di#isor en ese orden eran números consecuti#os que #an de en . Hallar el di#idendo
)( 6a suma de dos números es 4$5 si cociente $ ! su residuo el ma!or posible. Hallar la diferencia de los números. A0 +( D0 4$5
B0 +4$ E0 4+4
C0 )I
*( Hallar el #alor del di#idendo si: Rd ; )C r e ; 4C qe ; A0 (( D0
B0 () E0 $)
A0 $%( D0 $I+
B0 $++ E0 (
C0 $4)
7( En un di#isión ine/acta el cociente es 4 pero si al di#idendo di#isor ! al residuo se multiplica por I. Falcular el nue#o cociente A0 $ D0 I
C0 (+
B0 ) E0 5
C0 4
32 'A]A@ DE6A30E DE L, 32 0E @EKJ,RO 3, LE @,KA@ 32 0E KJ,AROC @262 FAL,3A A L, 6AD2 ] @EAL2@ AL,K2@. E( < ITE
8( Es una di#isión ine/acta el 46 residuo por defecto es la octa#a parte del residuo má/imo. @i el residuo por e/ceso es $) 1allar el di#isor A0 $%$ Aritmética
B0 $%
C0 $+
;(
El di#idendo de una cierta di#isión es $$$. @i el cociente es el doble del residuo ! el di#isor el triple del cociente. [Fuál es el di#isor\ A0 D0 ((
B0 4 E0 (%
C0 $I
D0 $4$
E0 $I$
9( En una di#isión ine/acta el di#isor es el residuo es má/imo ! el cociente la séptima parte del di#isor. Hallar la suma de cifras del di#idendo. A0 $ D0 ((
B0 $( E0 $
( 6a suma de los ) términos de una di#isión es ($ el cociente es 4 ! el residuo es . calcular el di#isor. A0 D0 (%
B0 (I E0 ((
C0 (4
C0 $4
C&AVES '/(Hallar dos números enteros sabiendo que su suma es $% ! que el cociente de su di#isión es $4 siendo su residuo la tercera parte del di#isor. Dar como respuesta la diferencia de los dos números A0 (I% D0 (45
B0 (4+ E0 (45
C0 (I%
'( D
8(
)( A
9( D
*( F
( D
6( D
;( F
7( F
'/( E
TEMA: RE&ACIONES BINARIAS 47
PAR ORDENADO Fon"unto de dos elementos ! denotado por 7aC b8 siendo 9a la $era componente ! 9b la segunda componente. Teorema
Aritmética
Dos pares ordenados son iguales si ! sólo si sus respecti#as componentes son iguales. Así tenemos: . 7aC b8 ; 7cC b8 ⇔ a ; c ∧ b ; d .
*(
3otación: A / A ; A(
5ra$ca "e un pro"ucto Carte!ano @ea: A ; <$C (C = ∧ ;
ATENCIÓN
7aC b8 ≠ 7bC a8
E"emplo: @i los pares ordenados 7m - $C 58 74C n - (8 son iguales 1allar 9m - n
Re!oluc%n A / ; <$C (C = .
⇒
A / ; <7$C a8 7$C b8 7(C a87(C a87Ca87Cb8=
Re!oluc%n 7(m - $C 58 ; 74C n - (8 ⇔ (m - $ ; 4 ∧ 5 ; n - ( m; n;4 ∴ m - n ; $ PRODUCTO CARTESIANO @ean los con"untos no #acíos A ! se llama producto cartesiano de A con denotado por A ( al con"unto de pares ordenados tal que la primera componente pertenece al con"unto A ! la segunda componente pertenece al con"unto . Así: A / <7aC b8`a ε A ∧ b ε = E"emplo: A ; 7 %48 C ; <( = Hallar A / ! /A Re!oluc%n
A / <7C (8 7C 8 7%C (8 7%C 8 74C (8 74C 8= / A <7(C 8 7(C %8 7(C 48 7C 8 7C %8 7C 48= 2bser#amos que: A/ ≠ /A 7no es conmutati#o8 48 Prope"a"e! '( El número de elementos de A / es igual al producto del número de elementos de A por el número de elemento de . n7A / 8 ⇔ n7A8 / n78 )( @i: A / ; / A ⇔ A ; Aritmética
RE&ACIONES Jna idea de relación es:
49
@ean los con"untos: A ; <6imaC ogotaC Lonte#ideo= ; erúC Jrugua!= ] la regla de correspondencia: 9........ E! captal "e ((((((((((( Entonces podemos establecer el siguiente esquema Aritmética
: Fon"unto de llegada ⇒
2tra manera de escribir el esquema anterior es con >ares ordenados 76imaC >erú8 7ogotáC Folombia8 7Lonte#ideoC Jrugua!8
Jna relación es una correspondencia entre dos con"untos que asocia elementos de un con"unto con algún elemento de otro con"unto. @i tenemos los con"untos no #acíos A ! la relación R de A en la podemos obtener como un subcon"unto de producto Fartesiano. Así tenemos: . R ; <7/C !8 ε A / ` / ε A ∧ / ε = . En la relación R de A en denotado por R: A → . es el con"unto de partida ! el con"unto de llegada sus elementos / e ! se llaman pre imagen e imagen respecti#amente ! R se encarga de la correspondencia entre ellos. Así: / R ! dice que 9/ se relaciona con 9! mediante R se puede reemplazar por: SC ;C ≤ es el doble de etc. E"emplo: Dados los con"untos: A ; < + (= ; <) 4= Hallar: A/; R$ ; <7/C !8= ε A / ` / != R( ; <7aC b8 ε A / ` a - b es par= R ; <7m n8 ε A / ` m . n es múltiplo de = Re!oluc%n A / ; <7C )8 7C 48 7+C )8 7+C 48 7(C )8 7(C 48= 50 R$ ; <7 )8 7C 48 7(C )8 7(C 48= R( ; <7(C )8 7+C )8 7C 48= R ; <7 )8C 7C 48 7+C )8 7+C 48= Notac%n: R : A → : donde A : Fon"unto de partida Aritmética
DOMINIO > RAN5O DE UNA RE&ACIÓN Domno Es el con"unto cu!os elementos son todos los primeros componentes de los pares ordenados de la relación. Rano Es el con"unto cu!os elementos son todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación. En toda relación 1a!: a0 Jn con"unto de partida -0 Jn con"unto de llegada c0 Jna regla de correspondencia E"emplo: Dados los con"untos A ; <4 5 $$= C ; <) 4 $(= @e define la relación R$ de la siguiente manera: R$ ; <7/C !8 ε A . ` / != Hallar su dominio ! rango de R$ Re!oluc%n A . ; <74C )8 74C 48 74C $(8 75C )875C 48 75C $(8 7$$C )8 7$$C 487$$C $(8= 6uego se escoge los pares ordenados que cumplan con la condición / ! 7la $ra componente sea menor que la (da componente8 Así tenemos: R$ ; <74C $(8 75 $(8C 7$$C $(8= 6uego Dominio de R$ ; Dom7R$8 ; <4 5 $$= Rango de R$ ; Rang7R$8 ; <$(= RE&ACIÓN BINARIA Dados los con"untos A ! decimos que R es una relación de A en si es 51 un subcon"unto del producto cartesiano A / Notac%n:
R: A → ⇔ R ⊂ A / Donde R: A → si lee: 9R es una relación de A en Aritmética
R ⊂ A / C se lee 9R esta incluido en A / o 9R es un subcon"unto de A / E"emplo: Dado: A ; <$ ( = ∧ ; <$ (= Hallar: R ; <7/C !8 ε A / ` / ≥ (= Re!oluc%n A / ; <7$C $8 7$C (8 7(C $8 7(C (8 7C $8 7C (8=
R
6uego: R ; ; <7(C $8 7(C (8 7C $8 7C (8= PROPIEDADES DE &AS RE&ACIONES DE1INIDAS EN UN CONJUNTO A continuación #eamos tres propiedades mu! importantes en las relaciones definidas en un con"unto. '(
Re!oluc%n R$ ! R son refle/i#a pues todos sus elementos del con"unto 9A están relacionados consigo mismo. R( ni es refle/i#o porque no 1a! 7))8 el elemento ) del con"unto A no esta relacionado consigo mismo.
Prope"a" re$le34a. @e dice que en una relación es refle/i#a cuando cada elemento del con"unto dado está relacionado consigo mismo. Notac%n R es Refle/i#a en A si ∀ a ε A aRa dic1o de otra manera una relación es refle/i#a en A cuando en su diagrama de flec1as todos los elementos de A tiene un lazo como el que se indica: E"emplo: ∴ Gué relación definida en A A ; <$ ( )= es refle/i#a R$ ; <7$C$8 7(C(8 7C )8 7C8 7)C )8 7$C )8 7$C (8= R( ; <7$ 87$C$87$C(8 7(C (8 7C 8 7$C )8= R ; <7$C$8 7(C (87C8 7)C)8= R$
52
)(
Prope"a" Smtrca Jna relación es simétrica cuando cada #ez que a está relacionado en - entonces b está relacionado con a. Notac%n R es simétrica en A si ∀ a ∈ AC b ε A a R b → b R a E"emplo: @ea el con"unto A ; <$ ( = ! R ; <7/C !8 ε A . A ` / - ! es par= Re!oluc%n A . A ; <7$C $8C 7$C (8C 7$C 8 7(C $8C 7(C (8C 7(C 8 7C $8C 7C (8C 7C8=
53
6os marcados son los que cumplen la condición luego R es: R ; <7$C $8 7$C8 7(C(87C$8 7C 8= R( Aritmética
Aritmética
@i es transiti#a *(
Prope"a" Tran!t4a Jna relación es transiti#a si cada #ez que a esta relacionado con - ! - esta relacionado con c entonces a está relacionado con c. Notac%n: R transiti#a en A si ∀ a ∀b ∀ c ε A a R b ∧ b R c → a R c
∴ R es una relación de equi#alencia
7(
Relac%n In4er!a 6a relación in#ersa de una relación dada es aquella que recorre el camino in#erso de la relación considerada. 'eamosC @ea: A ; <$ % 4= ∧ ; <( )= ] la relación: R ; <7$ )8 7%C (8 74C 8= Entonces la relación in#ersa de R que se denota por RB$ es: RB$ ; <7)C $8 7(C %8 7C 48= Es decir mientras que: R ⊂ A / se cumple que: RB$ ⊂ / A
8(
1unc%n Es una relación f definida de A en denotada por f: A → es una función si ! sólo si a un elemento / ε A le corresponde un único elemento ! ε a tra#és de f En general:
E"emplo: @i A ; <$ ( = ! la relación R se define así: R ; <7/C !8 ε A( ` / - ! ; >ar= Re!oluc%n R ; <7$C $8 7$C 8 7(C (8 7C $8 7C 8=
. f ; <7/C !8 ε A . ` ! ; f7/8= . 6(
54
Relac%n "e Eu4alenca Jna relación de equi#alencia si cumple las propiedades refle/i#a simétrica ! transiti#a E"emplo: A ; <% + 4= ! R es una relación definida de la siguiente manera: R ; <7/C !8 ε A( ` / - ! es par= Re!oluc%n R ; <7%C %8 7%C48 7+C +8 74C 48 74C%8= @i es Refle/i#a @i es @imétrica
Aritmética
Donde: A ; Fon"unto de partida ; Fon"unto de llegada ] ; f7/8; Regla de correspondencia Además ! ; ,mágenesC #ariable dependien te / ; >re B imágenes #ariable independiente D7f8 ; dominio de la función ó con"unto de todas las pre imágenes R7f8 ; Rango de la función ó con"unto de todas las imágenes
55
Aritmética
OBSERVACIONES:
@ , E6 D7 M8 ; A 7 F23J302 DE >AR0,DA8 E3023FE@ 6A MJ3F,Y3 REF,E E6 32LRE DE A>6,FAF,Y3 . 6JEK2 02DA AP&ICACIÓN E@ J3A MJ3F,Y3 >ER2 02DA MJ3F,Y3 E@ J3A A>6,FAF,Y3.
E"ercicio $: Dado A ; <$C C %C 4= ∧ ; <(C )C +C 5 $C $(= Hallar: a0 f : A → tal que: ! ; / - $ -0 D7f8 ! R7f8 c0 D,AKRALA @AK,0A6 "0 [es una aplicación\
"0 3o es aplicación pues: . D7f8 ≠ A .
Re!oluc%n a0 3
. F $G30 F 3 H '
$ % 4
! ; f7$8 ; $ - $ ; ( ! ; f78 ; - $ ; ) ! ; f7%8 ; % - $ ; + ! ; f748 ; 4 - $ ; I∉
Pare! Or"ena"o! 7$C (8 7C )8 7%C +8
6uego: . M ; <7$C (8 7C )8 7%C +8= . -0 D7f8 ; <$C C %= R7f8 ; <(C )C += c0
E"ercicio (: Dados ;
56
b) D7f8 ;
R7f8; <C $C )= c0 57 Aritmética
Aritmética
. Kraf7f 8 ; <>7/C !8 ∈ R / R ` ! ; f 7/8= . Gue generalmente se representa en el >lano Fartesiano el con"unto de partida en el e"e las abscisas ! el con"unto de llegada en el e"e de las 2rdenadas
"0 @í es una aplicación pues:
. D7f8 ; A .
E"ercicio $: @ea la función f: R / R definida por: f ; <7/C !8` ! ; / - (= Hallar: a0 gráfica -0 Dominio ! Rango Re!oluc%n a0 0abulando:
5RA1ICA DE UNA 1UNCIÓN @i: f : A → es una función el grafico de fC que se denota por 5ra$7f 8 es el con"unto:
3
B( B$ $
. Kraf7f 8 ; <>7/C !8 ∈ A / ` ! ; f7/8= . Es decir la gráfica de una función de A en es un con"unto de puntos que se determina en el gráfico del producto Fartesiano A /
E"emplo: @i: A ;
. F $ G30 F 3 H )
! ; f 7*(8 ; *( - ( ; ! ; f 7*$8 ; *$ - ( ; $ ! ; f 78 ; - ( ; ( ! ; f 7$8 ; $ - ( ;
•Kraficando:
] la función f : A → C definido por: . f ; <7aC 8 7bC (8 7cC )87dC $8= . @u gráfica será:
• •
D7f8;
@i: f es una función real es decir f : R / R El gráfico de f es:
D7f8 ;
59 Aritmética
Aritmética
@ea la función f : R → definida por: f ; <7/C !8 ` ! ; /(= Hallar: a0 Kráfica -0 Dominio ! Rango Re!oluc%n a0 . F $ G30 F 3)
3
B( B$ $ (
! ; f 7*(8 ; 7*(8( ; ) ! ; f 7*$8 ; 7*$8 ( ; $ ! ; f 78 ; 78( ; ! ; f 7$8 ; 7$8 ( ; $ ! ; f 7$8 ; 7(8( ; )
De las siguientes relaciones mostradas son funciones , ,, ,,C no son funciones ,' ' ', E"emplo $: [Fuáles de las siguientes relaciones representa una función\ R$ ; <7$C (8 7$C )8 7C (87%C )8= R(; <7$C (87C (8 7%C (8= R ;<7C (8 7$C (8 7C )8= R) ; <7%C (8 7%C)8 7C(8 7$C )8 7%C 48= Re!oluc%n Representamos cada relación mediante un diagrama sagital:
-0
>orque del elemento $ del dominio sale más de una flec1a.
>orque de cada elemento del dominio sale sólo una flec1a.
>orque de cada elemento del dominio sale sólo una flec1a.
>orque del elemento % del dominio sale más de una flec1a.
D7f8 ;
RECONOCIENDO SI UNA RE&ACIÓN ES UNA 1UNCIÓN 'eamos: @ean los siguientes diagramas que representan relaciones de A en .
⇒
6uego: En un diagrama sagital una relación es función cuando de cada punto del dominio sale sólo una flec1a
60 Aritmética
Aritmética 61
PROB&EMAS PARA &A C&ASE '( Hallar la relación in#ersa 7RB$8 en R$ ; <7)C %8 7(C 48 7$C 8= R( ; <7( %8 74C 8 7$C I8 7(C 58= Rpta. )( Dados los con"untos: A ;
8( Dados los con"untos ' ; <$( $I ( ()= L ; <+ 4 I 5 $ $$ $(= Hallar la relación R ; <7/C !8 ε ' / L ` ! ; /`(= a0 R ; <7$(C +87$IC 48 7()C $$8= -0 R ; <7$IC 587(C $87()C $(8 7$(I8= c0 R ; <7$(C +87$IC 487()C $8= "0 R ; <7$(C +87$IC 58 7(C $8 7()C $(8= e0 R ; <7+C $(8 75 $I8 7$C (8 7$(C ()8=
( Dados el con"unto L ; <$C (C = indicar la relación que es simétrica en L. a0 -0 c0 "0 e0
<7$C$87$C(87$C87C$8= <7C(87(C87C$8= <7$C 87$C (87$C$8= <7$C(87(C$87C8= <7C(8 7(C87$8=
Rpta.
;( El siguiente diagrama de flec1as muestra la relación R entre los elementos de A
Rpta. ''( En la siguiente función 1allar el #alor de a - b f ; <7+C$Ba874Cb-$87+C(874C)8= Rpta. ')( Hallar 9a - b si f es una función M ; <7$(C a-(8 7IC (b * 8 7IC58 7$(C(+8= Rpta. '*( @ea la función f: R → R definida por: f ; <7/C !8 ` ! ; / - $= Hallar : a8 Kráfica b8 Dominio ! Rango
Rpta.
9( Dado: A ; <(C C )= indica la relación que es refle/i#a a A
'/( En la siguiente función 1allar 9a M ; <7C I87C a8 7)C %8=
Rpta. Larque la alternati#a que indique las propiedades de esta relación
a0 <7(C87C (8 7)C 8 7C )8 7)C )8= -0 <7(C87(C(87C87)C)87)C8= c0 <7(C(87C87)C87C )87)C(8= "0 <7(C)87(C87C(87)C(87(C(8= e0 <7(C87C87)C)8=
a0 -0 c0 "0 e0
Rpta.
Rpta.
@imétrica Refle/i#a 0ransiti#a Refle/i#a ! simétrica Refle/i#a ! transiti#a
'6( @ea: A ; <$ ( )= ; < ) % += f ; <7/C !8 ε A / ` ! ; (/= Hallar: a8 gráfica b8 dominio ! rango Rpta. '7( Kráfica la funciónC f7/8 ; / - % [Gué gráfica te resultó\ Rpta. Aritmética 63
PROB&EMAS PARA &A CASA '( Dados los con"untos: A ; <$C C += ; <(C )C 4= F ; <C )C %C += Fuántos elementos tendrá 7A B 8 / 7 * F8 A0 $ D0
B0 % E0 4
C0 +
)( Dados los con"untos: A ; <(C )C += ; <$C (C = @e tiene una relación 9R de 9A en 9 R ; <7(C $8 7(C (8 7(C a8 7)C $8 7)C b8 7)C 8= @in ningún par ordenado de 9R está repetido 1allar 9a - b A0 ) D0 4
B0 % E0 I
C0 +
*( @i: 9f es una funciónC 1allar: a - b f ; <7(C874CI874Ca*487(Cb*$8= A0 $ D0
%$64
Aritmética
B0 $) E0 (4
C0 $$
6( Dados los con"untos: A ; <$C (C C )= ;<)C %C 4C I= [Fuál de los siguientes con"untos son relaciones de 9A en 9\ R$ ; <7$C %87(C 487( I 8= R( ; <7( %87(C I87)C )8= R ; <7C %87)C (87)C I8= A0 solo R$ C0 R$ ! R( E0 R( ! R
B0 solo R( D0 R$ ! R
9( @ea el con"untoC: A ; <(C C )C %C IC $= ! la relación R ; <7aC b8 ∈ A / A ` a - b ; $(= Hallar la intersección del dominio ! el rango de la relación 7DomR ∩ RanR8 A0 <(= D0 <$=
7( Hallar la suma de los elementos del dominio de la relación 9R de 9A en 9A A ; <)C % +C 4C IC 5= ; <7aC b8 ∈ A / A ` b ; a - (= A0 $+ D0 ($
B0 $I E0 ((
C0 $5
8( Hallar /9 e 9! para que se cumpla: 7/ - 4 !8 ; 7$(C / - $8
7C %8=
R
A0
B0
R$ ; <7$C B487(C B48
R( ; <7C B48 7 B8 7(C %8= C0 R ; <7$C %8 7(C B8 7(C B48= D0 R) ; <7(C B%87(C B48 7(C B8= E0 R% ; <7(C87%C$87%CB 48=
C0
;( El siguiente diagrama sagital representa a una función de A en . Hallar 7a - b8
E0
B0
→
B0 <()= C0 <()I= E0 <()I$=
( De las siguientes relaciones indicar la que es función A0
'/(@ea la función fC R definida por: f ; <7/C !8 ` ! ; (/ - $=
D0
A0 % ! + B0 ! + C0 % ! ) D0 % ! 4 E0 ) ! +
Aritmética
A0 $( D0 %
B0 $$ E0 (
C0 $
65
TEMA: PRO5RESIONES: ARITM@TICA > 5EOM@TRICA C&AVES
66
PRO5RESIÓN ARITM@TICA Es aquella sucesión de términos que se caracteriza por ser cualquier termino de ella aumentando una cantidad constante llamada razón 7r8
'( F
8( A
)(
9( E
*( A
( A
6( F
;( D
7( E
'/(
Representación ÷a$ . a( . a . .............. an ÷ a$ . a$ - r . a$ - (r ........ . a$ - 7n B $8% Elemento! "e P(A( ,nicio de la >.A an término enésimo a' primer término r razón de la >.A ( separación de términos@n @uma de n primeros términos C&ASES DE P(A De acuerdo a la razón: @i r S >. A. Freciente @i r >. A Decreciente Prope"a"e! '( Falculo de la razón: @ea ÷ a$ . a( . a . ................ . a n
Aritmética
Aritmética
r ; a * a$ En general: . r ; an * an * $ .
a$% ; - 7$% B $8 . a$% ; )%
)( En total >.A la suma de los términos equidistante de los e/tremos son iguales.
>or tanto: ac ;
)% + → ac ; () (
7( @uma de una >. A
a + a . n (
@n ; *( >ara 1allar un término enésimo último cualquiera . an ; a$ - 7n B $8 . r . E"emplo: Hallar el $%a#o termino: . % . 4 . 5 ............... Re!oluc%n Jsemos: an ; a$ - 7n * $8r del e"ercicio a$ ; C n ; $%C r ; ( Reemplazando a$% ; a$ - 7$% B $8 . r a$% ; - 7$)8 . ( a$% ; $ 6( 0érminos central de una >. A
n
$
E"emplo: Hallar 9@
+ I + .......... + ) ++ . @; ( $4 tér min os 67 68
a + ( . $4 (
@$4 ;
n
Hallar a$4 ; \ a$4 ; ( - 7$4 B $8 . ( a$4 ; ( - $+ . ( → a$4 ; ) 6uego:
. ac ;
a n
+ a
$
(
.
E/iste cuando 9n es impar E"emplo: Hallar el término central
) + ( . $4 @$4 ; ( @$4 ; $I . $4 @$4 ; + Además: @i n es impar Entonces @n ; ac . n
. + . 5 . $( ..........
$% tér min os
Re!oluc%n ac ; Aritmética
a n
OBSERVACIÓN: E 3 6A >RAF0,FA >ARA RE>RE@E30AR A J3A >.A
a $ . a ( . a . ZZ.. . a n
÷
+ (
tenemos que 1allar an
@E J0,6,?A 6A @,KJ,E30E M2RLA:
a $ a ( a . ZZZ a n
÷
Aritmética
F2L2 'ERN@ @E REEL>6A?A 6A F2LA >2R E6 >J302
PRO5RESIÓN 5EOM@TRICA Es una sucesión de términos en la cual un término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón 7q8 Representación: t$: t(: t: t): ........: tn t$: tq: t(q(: t$ q: ........: tn . qnB $
$ $ $ ........ I$ (4 5
Re!oluc%n Halando la razón: • $ (4 $
q;
OBSERVACIÓN: RE@J60A LJ] ,3F2L2D2 0RAAAR F23 02D2@ 62@ @QL262@ GJE RE>RE@E30A A J3 >.K >2R 62 0A302 J0,6,?AREL2@ A E@0A @JFE@,Y3 3JLOR,FA .
Elemento! "e la P5( inicio de la >K. t$ primer término 7t$ ≠ 8 : separación de términos q razón geométrica 7q ≠ 8 tn términos enésimo @n suma de 9n primeros términos >n producto de los 9n primeros términos
. tn ; t$ . qnB $ .
E"emplo: Hallar 5no término en
=
I$ (4
→ q ;
I$ •
Falculando el t5 $ . 5 −$ I$ $ tg ; ) . I → tg ; )
tg ; 69 70
∴
tg ; I$
*( En total >K. El producto de los términos equidistantes de los e/tremos es igual
Cla!e! "e P5 @i q S $ → >K es creciente @i q $ → >K es Decreciente @i q → >K es 2scilante Prope"a"e! '( Falculo de la razón 7q8 @ea la >K t$: t(: t: ........... : tn t t ( t = .......... ... = n ; ⇒ q ; t ( t n −$ t $
6( 0ermino central de una >K. . 0 c ; t $ . t n
. n → impar
Fuando el número el términos 7n8 es impar E"emplo: Hallar el término central
)( Falculo del termino enésimo de un >K. Aritmética
Aritmética
+
$( ............ .
$% tér min os
$ 7$D − $8 . () −$ $ %5D)I . @$ ; () (
@$ ;
Re!oluc%n 0 c ; . t
%$@$ ;
Hallando t$%: t$% ; . ($% * $ t$% ; . ($)
@$ ; $($ % 8( >roducto términos de una >K.
Reemplazando tc ; . . ( $) ; ( . ($) ; ( . ($) 4 ; . (4 ; . $(I ∴ . tc ; I) . 7( @uma de una >K de un término
. >n ; @i: n → impar
t$ 7 qn − $8 . q −$
$ $ $ C C C .......... ....... () I$ (4
71
Hallándose la suma de términos
.
. >n ; tcn .
$) tér min os
Re!oluc%n Hallamos la razón $
q;
( $
=
+) (
→ q ; (
+)
$D tér min os
$ I$ q; ⇒ q ; $ ()
n
$ $ $ ......... $(I +) (
72
E"emplo: @umar:
Re!oluc%n Hallándose la razón:
⇒
t$ . tn
E"emplo: Hallar el producto de términos de:
. @n ;
Aritmética
(5%() ()
Hallando t$). $ . ( $) −$ $(I ($ t$); 4 → t$) ; (+ (
t$) ;
A1ora:
Aritmética
$ . (+ $(I
>$) ;
4
$
>$) ;
(
OBSERVACIÓN: > ARA HA66AR J3 0ORL,32 FJA6GJ,ERA @E >JEDE A>6,FAR 6A@ @,KJ,E30E M2RLJ6A@ KE3ERA6E@ . E 3 J3A >A: E 3 J3A >K
.(
4
+
. a / ; a ! - 7/ B !8 . r .
. 0 /; t ! . q .
4
$ $ >$) ; . → . >$) ; $(I (
9( Suma &mte: @uma de todos los términos de una >K. ,limitada decreciente se obtiene así: @6im ;
t $ C $ − q
@i *$ q $
E"emplo: Falcular @;
$ $ $ $ + + + + ........... ) I $+ (
Re!oluc%n: Hallando la razón $ $+ q; $ I
$ t$ ; )
q;
t $ reemplazamos $ − q $ $ $/( ) ) = = @; $ $ $/) $− ( (
Fomo @ ;
∴
Aritmética
@;
$ (
I $+
⇒
q;
$ ( 73
PROB&EMAS PARA &A C&ASE 74 '(
@e sabe que en una >.A el término que ocupa el lugar $( es ! que la razón es (. 1allar el primer término de la progresión
7( @e sabe que en una >.A el término que ocupa el lugar $% es %5 ! el término que ocupa 4 es $)4. 1allar la razón de la progresión 71acer por ( métodos8 Aritmética
Rpta.
Rpta.
)( Falcular el término que ocupa el lugar $% es la >.A $ I $% (( .................... Rpta.
6.
Dado: t ; 4( ! q ; >.K. obtener el tI
$ en una (
Rpta.
*( En una >K. El término que ocupa el quinto lugar es + ! la razón es (. 1allar el primer término de la progresión
9( @e desea saber el número de múltiplos de + que 1a! entre 4 ! )5.
término que ocupa el lugar ) es * ! que la razón es %. @e desea saber el #alor del no#eno término de la progresión Rpta. '/(Falcular el producto de los + primeros términos de la >K. $ 5 ...............................
$ $ ) ...................... )
$ $ $ ................. $+ I )
Rpta.
Rpta. ( Hallar el termino de lugar $% de la progresión geométrica $ $ C $DDDD $DDD
')(Hallar la suma de las ( primeros términos de la >A 75 $ $ (C + $C $)C .................... C C C......... $DD
$D
Rpta. ;( @e sabe que en una >.A el Aritmética
Rpta.
'6(Jna >K. 0iene como primer termino igual a $ ! razón igual a (. 1allar la suma de sus $( términos Rpta.
''(Falculemos la suma de los % primeros términos de la >K.
6( Falcular el término () de la >K.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
'*([Fuántos términos 1a! que tener en la >A. $ + $$ ....... para que la suma sea %)\
'8(2btener la suma de una >K. 76 ,limitada de razón (` ! cu!o primer término #ale + Rpta. '9(Hallar el término de lugar +
'7(Hallar @: @ ; ( - ) -
) ) + + .......... % (%
Rpta. ';(En una >K el primer término #ale ! la razón #ale ( 1allar el termino de lugar $ Rpta. )/(Jna >.A tiene )$ términos ! su Aritmética
de la >A. % 4 5 C C C .............. ) ) ) )
termino central #ale $$. [Fuánto #ale la suma de los )$ términos\ Rpta.
Rpta.
A0 )( D0 *
%$'(Hallar el octa#o termino de la >K $ ( ) I .............
A0 $ D0 $$(
0 E3EL2@ 6A ',R0JD GJE A 'EFE@ E@ DEMEF02 DE 6A KE3ER2@,DAD E3 E6 L2LE302 DE6 0R,J3M2 @,3 DAR32@ FJE30A DE GJE AGJE6 GJE HA @,D2 >R2',@,23A6LE30E ,30ER>RE0A 6A KE3ER2@,DAD F2L2 DE,6,DAD ] A>R2'EFHARN 6A @,0JAF,Y3 >ARA ,3'ER0,R6A.
A0 (++4 D0 (%+
PROB&EMAS PARA &A CASA
Aritmética
B0 E0 5
C0 )4
C0 5
B0 $4 E0 $
%$C0 $$$
6( En una >A. 0iene $(4 términos ! su término central #ale ($. [Fuánto #ale la suma de los $(4 términos\
P AB&O M ACERA
A0 ( D0 +I
B0 B(4 E0 %4
*( @e desea saber el número de múltiplos de ) que 1a! entre %$ ! )5+
Rpta.
'( Hallar el término de lugar (+ de la >A. B4 B $ ..................
)( 2btener el término a)+ en una >.A sabiendo que: a (% ; $% ! r ; B(
77
7( 0res números consecuti#os están en >A. de razón igual a +. si la suma de estos números es $)$. Hallar el FA del ma!or número
B0 (+I E0 (I)
B0 (% E0 $5%
B0 )4 E0 %5
C0 )$
8( El séptimo término de una >K. 'ale () ! la razón C 1allar el $er termino A0 D0 $`5
B0 $` E0 $`(
C0 $`+
9( En un >K se sabe que a $% ; %$% ! a$ ; ( 1allar la razón de la progresión A0 )% D0 +
B0 5 E0
C0 55
C0 (4)
( @abiendo que a$ ; 4 ! r ; 1allar la suma de los diez 78 primeros términos de una progresión geométrica A0 $( D0 )%
A0 % D0 %)
C0 $
'/(Falcular el #alor de 9@ @
;
$ $ $ $ + + + + .......... 5 (4 I$
A0 $ D0 $`I
B0 $`( E0 (
C0 $`)
Aritmética
