“AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU” UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA
2da Práctica Cai!cada CURSO: PROFESOR: ALUMNO" CÓDIGO"
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS CUEVA PACHECO Ronald castillo mejia !"#"!$!%
2#$%&II
SECCIÓN"
&'( &'(
2
ÍNDICE
Enunciado del Problema............................................................................. 3
Solución...................................................................................................... 4
Grados de Libertad Nodales....................................................................... 5
Vector Carga............................................................................................... 6
Matri de !igide........................................................................................ "
Ecuación de !igide # Condición de Contorno........................................... $
Es%ueros # !esultados.............................................................................. &
'iagrama de (lu)o....................................................................................... *+
,so de Matlab............................................................................................. **
Conclusiones--------------------------. *4
3
SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA 'TRACCION SIMPLE( PRO)LEMA" Se tiene )na *laca t+ian,)la+ c)-o es*eso+ es constante. t/"$!mm. se *ide calc)la+ los es%)e+0os en cada elemento 1nito - la +eacci2n en el a*o-o3 Hace+ )n *+o,+ama *a+a &n( elementos 1nitos - l)e,o +esol4e+ el *+o5lema tomando )n 4alo+ ente+o *a+a n. tomando en c)enta )n a)mento de tem*e+at)+a de 6!7C3
30000N
Considerar:
PA t 9es*eso+
/ #! 8N / "$! mm
E
/ #3!;"!$ N
=
/ 63!,+>%
/ ?6.@$;"! > N
4
El *eso se+B /Vol;=/?!!3$ N SOLUCIÓN" $* MODELADO DEL CUERPO REAL Se conside+a+an t+es elementos 1nitos3 Pa+a %acilita+ los cBlc)los los elementos 1nitos tend+Bn lon,it)d de !!. @!! - !!mm3 = los es*eso+es lo calc)lamos tomando el *)nto medio de cada elemento 1nito:
b1
=
b2
=
(1000 + 500) 2
= 750 mm
( 500 + 500 / 3)
b3
=
2 500 / 3 2
=333.333 mm
= 83.333 mm
Entonces. el modelado del c)e+*o se+Da el si,)iente:
= las B+eas se calc)lan de la si,)iente +elaci2n:
5
NO'OS
'L
e 9"
9
"
" #
# @
" #
# @
" #
le
Ae
9mm
9mm
!! @!! !!
""$!! $!!!! "$!!
A1 = b1 x t
C)ad+o de conecti4idad:
2* GRADOS DE LI)ERTAD NODALES 'V+ct,r D+-.a/a0i+1t,( A t+a4s del ,+a1co se m)est+an los ,+ados de li5e+tad nodales ,lo5ales:
L)e,o el 4ecto+ de des*la0amiento se+B: 0 Q 2 Q∫ = [ mm] Q3 Q 4
6
'onde G"/ ! *)es la *laca esta em*ot+ada - los demBs des*la0amientos son inc2,nitas )e tend+Bn )e se+ calc)ladas3 * VECTOR CARGA
Anali0ando las %)e+0as en cada elemento 1nito:
Entonces. el 4ecto+ ca+,a se e;*+esa+Da de la si,)iente mane+a
$* MATRI3 DE RIGIDE3 A contin)aci2n *asamos a calc)la+ la mat+i0 de Ri,ide0 lo5al. )e estB dete+minada *o+ la si,)iente ec)aci2n:
7
1 − 1 AE − 1 1 K i ∫ = l 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 AE 0 1 − 1 + l 2 0 − 1 1 0 0 0
AE 0 − 0 l 0 0
3
0 0 0 0
0 0 0 0 1 −1 0 −1 1 0 0
0
Reem*la0ando *a+a los 4alo+es calc)lados - )tili0ando la ta5la de conecti4idad o5tenemos:
1 − 1 112500 x3 x105 − 1 1 K i ∫ = 0 0 600 1 0 0
0 12500 x3 x105 0 + 0 200 3 0
0 0 0 0 0
0 0
0
0 0
0
0 0 0
50000 x3 x10 + 400
5
0 0 0 0 1 − 1 0 − 1 1 0 0 0 2
0 0 0 0
0 1 −1 0 −1 1
Finalmente: 0 0 562.5 − 562.5 − 562.5 937.5 − 375 0 N K i ∫ = 105 x 0 − 375 562.5 − 187.5 mm 0 0 − 187.5 187.5
2* ECUACIONES DE RIGIDE3 4 CONDICIONES DE CONTORNO La ec)aci2n de +i,ide0 estB dete+minada *o+ la si,)iente ec)aci2n:
8
F i
= K i ∫ Q∫
Lo )e con n)est+os 4alo+es calc)lados tenemos: 0 0 0 562.5 − 562.5 − 29697351 .3 + R1 − 562.5 937.5 − 375 0 Q 16533433 .5 5 2 =10 x 0 − 375 562.5 − 187.5 Q3 9900882.9 0 Q 3300098.1 0 187 . 5 187 . 5 − 4
Pa+a o5tene+ los des*la0amientos tomamos la si,)iente s)5mat+i0:
16533433.5 9900882.9 =10 3300098.1
5
937.5 − 375 0 Q Q x − 375 562.5 − 187.5 0 − 187.5 187.5 Q
2
3
4
Resol4iendo este sistema de ec)aciones o5tenemos: Q2 = 0.5286118 mm Q3 = 0.8806379 mm Q4 = 1.0566432 mm
= *a+a o5tene+ la +eacci2n en el em*ot+amiento t2manos la si,)iente s)5mat+i0:
[ − 29697351.3 + R1] =10 x[ 562.5 − 562.5 5
0
0 Q 0] Q Q
2
3
4
Resol4iendo o5tenemos: R1= − 37061.45 N
* ESFUER3OS Pa+a calc)la+ los 4alo+es de los es%)e+0os *o+ elemento. a*licamos la si,)iente ec)aci2n:
9
= o5tenemos lo si,)iente: R1 = − 37061.45 N σ 1
= 0.3059
σ 2
= 0.01957
σ
0.00795
3
=
N mm 2
N mm 2 N mm 2
5* RESULTADOS
Finalmente. los +es)ltados son most+ados en la si,)iente ta5la:
6* DIAGRAMA DE FLU7O
I NI CI O
I NGRESO DEDATOS CONSTANTES:E,f ,t VECTORES:L,A,P
CALCULO DE VECTORES
10
EA L − EA L 0 0 1
1
−
1
1
1
EA
2
2
EA L
1
EA
+
1
L
−
0
1
−
L
EA
2
EA
2
3
3
L
0
EA
−
0
2
L
+
EA
2
2
L
0
2
−
L
EA
3
3
L
EA 3
L EA 3
L
3
3
8/
CALCULO 'E LOS 'ESPLAJAMIENTOS = REACCIKN F i
= K i ∫ Q∫
I MPRESI ÓN DE RESULTADOS
R1 , Q 2 , Q3 , Q 4 , σ 1 , σ 2 , σ 3
FI N
%* USO DEL PROGRAMA DE MATLA) SCRIPT E=input('Ingrese módulo de young [N/mm2]: '); pe=input('Ingrese densidad [kg/mm]: '); !d=input('Ingrese !oe"i!iente de dilata!ión [#/$%]: '); &t=input('ltura de la pla!a [mm]: '); t=input('ase de la pla!a [mm]: '); at=input('Espesor de la pla!a [mm]: '); !p=input('*alor de la !arga puntual [N]: '); &p=input('+osi!ión de la !arga puntual (,=-.ase) [mm]: '); t0=input('*aria!ión de temperatura [1]: ');
11
ne=input('Ingrese nmero de elementos "initos: '); eu=!eil(ne/2);3elementos "initos en!ima de la !arga puntual ed=ne4!eil(ne/2);3elementos "initos dea5o de la !arga puntual "= 6eros(#7ne8#);30e!tor de "uer6as a= 6eros(#7ne);30e!tor 9ue !ontiene las reas de !ada e" l= 6eros(#7ne);30e!tor 9ue !ontiene las longitudes de !ada e" k= 6eros(ne8#7ne8#);3matri6 de rigide6 9= 6eros(#7ne8#);30e!tor despla6amiento s= 6eros(#7ne);30e!tor 9ue !ontiene los es"uer6os para los 'ne' e" "or i=#:eu3!al!ulo de geometria de los primeros 'eu' e" &au,#=((i4#)<((&t4&p)/eu)<t)/&t; &au,2=(i<((&t4&p)/eu)<t)/&t;3estas son las ases del 'i'simo e" 3y es resultado de la seme5an6a de tri>ngulos a(i)=((&au,#8&au,2)/2)
12
"or end
i=#:ne k(i7i)=k(i7i)8E
3apli!arB el en"o9ue de elimina!iCn para este prolema7 pues sólo &ay # 3!ondi!iCn de !ontorno 9(ne8#)=- (Altimo nodo) sD7 la !olumna y "ila 3'ne8#'sima de la matri6 de rigide6 sern eliminadas o siguiente ser 3eliminar los elementos 'ne'simos del 0e!tor de "uer6a y despla6amiento7 3y deido a 9ue 9(ne8#)=-7 sus 0alores no sern a"e!tados uego los 3elementos eliminados los reutili6ar para !al!ular la rea!!ión en el 3apoyo (este !l!ulo ir primero para no de"inir ms 0ariales) kau,=k(ne8#7:);30e!tor au,iliar para el !l!ulo de la rea!!ión "au,="(ne8#);3elemento 9ue se ne!esita para el !l!ulo de la rea!!ión 9au,=9;30e!tor au,iliar k(:7ne8#)=[];3elimino "ila 'ne8#'sima k(ne8#7:)=[];3elimino !olumna 'ne8#'simo "(ne8#)=[];3elimino elemento 'ne8#'simo 9au,(ne8#)=[];3elimino elemento 'ne8#'simo 9au,=(kF(4#))<"';3!al!ulo de 0e!tor despla6amiento gloal =[9au,'7-]; r,n="au,4(kau,<9');3!l!ulo de la rea!!ión en el apoyo "or i=#:ne s(#7i)=(E/l(i))<[4#7#]<[9(i);9(i8#)]4(E
13
"print"('El es"uer6o del e" 3d es: 3"e4 N mm4 2Gn'7i7s(i)<#-F); end
CONCLUSIONES •
Se com*+)e5a )e el e%ecto de la tem*e+at)+a no a%ecta el +es)ltado de la +eacci2n en el em*ot+amiento. el 4alo+ calc)lado de la +eacci2n %)e #?!"3@$ N - calc)lado *o+ e)ili5+io +es)ltados
