Algebra 2do

Centro de extensión y proyección educativa x



MATEMÁTICA – 2DO SEC.

ASTERIA

n

 f(x)

x



n

 f(x)

Prof. Antonio FLORES VEGA

A l u m n o ( a ) : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - Al __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Sección: ____ - Grado: _____ – Sección:

2017 Si no eres parte de la solución, entonces eres parte del problema

“

”

1





ASTERIA

n

 f(x)

Si no eres parte de la solución, entonces eres parte del problema

“

”

2





ASTERIA

n

 f(x)



ÁLGEBRA  

1. Al expresarlas gráficamente las siguientes fracciones ¿Cuál representa la mayor área sombreada? a) 6/8 b) ¾ c) 9/12 d) 15 / 20 e) Todos representa igual 2.Al 2.Al graficarla en la recta numérica ¿Cuál de las sgtes fracciones está mas cerca al cero? a) ½ b) ¼ c) 2/20 d) 5/12 3.¿Cuál 3.¿Cuál de las sgtes fracciones es la menor? a) 7/12 b) 19/60 c) 13/30 d) 9/ 20 4.¿Cuál 4.¿Cuál de las sgtes fracciones es la mayor? a) 5/12 b)31/60 c) 17/30 d) 59/120 5.¿Cuál 5.¿Cuál fracción es irreductible? a) 111/37 b) 236/59 c) 7/133 d) N.A 6.Ordenar 6.Ordenar de mayor a menor las fracciones: a=3/7; b= 2/5; c=5/8; obteniendo: a) c;b;a b) b;c;a c) a;c;b d) c;a;b 7.Responde 7.Responde a cada cuestión dada  ¿Cuántos medios hay en 1 unidad? . . . . .

8.Cada 8.Cada enunciado dado expresarlo en fracciones:  ¿Qué parte del día es 6 horas? . .......  ¿Qué parte de la semana es 18 horas? . . .  ¿Qué parte del mes es 20 días? ........  ¿Qué parte del año es 4 meses? ........ 9.¿Cuántas 9.¿Cuántas fracciones irreductibles existen con denominador 24 y menores que 11/12? a) 10 b) 6 c) 7 d) 5 10. Si son las 7:30 a.m. ¿Qué parte del día ha transcurrido? a) 7/24 b) 5/16 c) 2/15 d) 5/12 11. Simplificar fracciones consiste en: a) Reducir la expresión a su mínima expresión b) Sumar fracciones c) Invertir fracciones d) Multiplicar extremos y medios 12. ¿Cuántas fracciones irreductibles con numerador 32 existen y que sean mayores que 4/3? a) 10 b) 12 c) 7 d) 11 13. Si 1/3 de la huerta está sembrada de fresas y ½ sembrada de maíz.


“

¿Cuántos tercios hay en 2 unidades? . . . . . ¿Cuántos cuartos hay en 3 unidades? . . . . . ¿Cuántos quintos hay en 4 unidades? . . . . .

”

3





ASTERIA

n

 f(x)

¿Qué parte de la huerta no está sembrada? a) 1/6 b) 1/2 c) 5/6 d) 2/5 14. ¿Cuánto le falta a 2/5 para ser igual a la diferencia de ¾ y 1/6? a)11/70 b) 11/12 c) 11/60 d) 1/24 15. ¿A cuánto es igual la raíz cuadrada de los 2/5 de la mitad de la tercera parte de número 60? a) 2 b) 1/2 c) 3 d) 4 16. ¿Qué fracción de 12/7 es los 2/15 del triple de 72/21? a) 2/7 b) 3/8 c) 1/6 d) 4/5 17. Si al numerador y denominador de la fracción 7/9 se le agrega 18, entonces la fracción. a)Disminuye en 5/27 c) aumenta en 4/27 b)Disminuye 4/27 d) aumenta en 5/27 18. Lalo pierde en un juego las 2/5 partes de las tap´s que tenia. Si le quedaron 15 tap´s, ¿Cuánto tenia inicialmente? a) 30 b) 25 c) 35 d) 45 19. Dalila dispone de 200 soles; invierte 1/5 en comprar lapiceros, 2/10 en comprar colores, 3/15 en comprar cuadernos. ¿En cuál de los artículos invertió más? a) Lapiceros b) colores c) cuadernos d) En todos gastó igual

20. ¿Cuántos litros de vino hay que añadir a un depósito que contiene 7 ¾ litros para que tenga 10 litros? a) 2 ¼ b) 2 ¾ c) 3 d) 3 ¼ 21. De mis ahorros perdí 2/9 y me quedan $210. ¿Cuánto es lo que perdí? a) $90 b) $60 c)$120 d) $180 22. Gaby le pregunta a Andrés por la hora y este le contesta que: Falta 1/8 del día para que llegue el día sábado. ¿Qué hora es? a) 9 am. b) 8pm c) 3 pm. d) 9pm. 23. Un comerciante dispone de 3600 soles y utiliza 3/5 para comprar manzanas, ¾ de lo que le queda para comprar mangos. ¿Cuánto de dinero le queda? a) 360 b) 300 c) 280 d)420 24. En un salón de clases sólo asistieron a un examen los 2/3 de los alumnos. Si los que faltaron son 13. ¿Cuántos alumnos alumnos hay en el salón? a) 36 b) 39 c) 42 d) 26 25. Gaby le pregunta a Andrés por la hora y este le contesta que: Falta 1/8 del día para que llegue el día sábado. ¿Qué hora es? a) 9 am. d) 9pm.


“

”

b) 8pm

c) 3 pm.

4





ASTERIA

n

 f(x)

1. La diferencia de los números: 0,43737….. y 0,21515……; es :

a) 1/9 d)4/9

b)2/9

c)3/9 e)5/9

2. Hallar el valor de:



0,3  0, 33  0, 333 333

a)0,9 b)1 c)9,9 d)0,3 e)0,4 1. El valor exacto de la siguiente operación es : (0,1232323...)(3,666......) 6,777.......

a) 2/3 d)1/45

b)1/15 c)1/5 e)3/5

1. Víctor, Juan, Dalila y Emilia hicieron un trabajo por el que les pagaron S/.125, si deben repartirse el dinero en partes iguales.¿Cuánto le toca a cada uno? a) S/.31,25 b)S/.31,50 c) S/.32,25 2. Pedro tiene S/. 5,60; Juan S/. 230 más que Pedro y Enrique S/. 1,20 más que Juan. ¿Cuánto tienen entre los tres? a) S/.22,60 b) S/.20,30 c) S/.23,50 3. El flete por enviar una encomienda cuesta S/. 0,80 el kilogramo. Si me cobran S/. 18,40 ¿Cuántos kilogramos tiene la encomienda? a) 23 b) 19 c) 13 d) 33

2. Calcular : E= 0,98 – 0,97 + 0,96 – 0,95 + …. – 0,01 a)0,48 b)0,49 c)0,50 d)0,51 e)0,52

4. Media docena de camisas cuestan 163,20. ¿Cuánto cuestan 4 camisas? a) S/.108,85 b) S/.54,40 c) S/.27,20

3. Al simplificar la expresión : E=

5. Una pelota cuesta S/. 23,30. ¿Cuánto recibiré de vuelto; si por una docena de pelotas pago S/. 300? a) S/.20,40 b) S/.30,40 c) S/.60,70

(0,5  0,6...  0,055...)

9 10

3,11....  2,066

Indicar la diferencia entre el denominador y el numerador del resultado. a)3 b)4 c)1 d)0 e)2

6. Un artefacto eléctrico cuesta S/. 530,70. ¿Cuánto me darán de vuelto si pago con 11 billetes de S/.50? a)S/.19,30 b) S/.19,40 c) S/.20,70


“

”

5





ASTERIA

n

 f(x)

carnicero no tiene cambio, va a la botica y resuelve su problema rápidamente, Después entrega entrega a la señora la carne y su vuelto. Luego de unos minutos el boticario va al puesto del carnicero y le dice que el billete que le había entregado era falso y por lo tanto exigía que le devolviera sus S/.10.00. El carnicero no tuvo más remedio que devolver el dinero ¿Cuánto perdió el carnicero? a) S/.10 b)S/.14.2 c)S/.5,80 d)S/.20

7. Compro 200 sobres de tarjetas a 48 soles el ciento. Se malogran 20 y los restantes los vendo a 5,10 la docena ¿Cuánto gané? a) S/. 28,50 b) S/. 22,80 c) S/. 1,90 8. Por dos docenas de rosas tuve que pagar S/. 31,20 ¿Cuánto tendría que reintegrar si dedeo llevar 5 rosas más? a) S/. 6,50 b) S/. 37,70 c) S/. 13 9. El número 0,00085 en notación científica se escribe como: a) 8,5x10-4 b)8,5x10-3 c)8,5x10-5 10. Un comerciante compró 100 bombones por S/. 85, vende la quinta parte a S/. 1,80 cada uno; la mitad de los restantes a S/. 1,20 y el resto a S/. 0,90. ¿Cuánto ganará? a) S/.35 b) S/.38 c) S/.20 d)S/.23 11. Un jardín de forma rectangular tiene 40,25m de ancho y 87,9m de largo. ¿Cuántos metros de alambre tiene que comprar el jardinero para cercarlo? a) 128,15 b) 98,08 c) 256,3 d)512,6 12. Halle: 0,0002 x 0,002 x 0,02 es: a)0,08x10-7 b)0,8x10-9 c)8x 109

14. Pamela gasta S/. 39 comprando duraznos, peras y manzanas. Los duraznos y las peras cuestan S/. 2.5 el kilo y las manzanas S/. 1,5. Si los duraznos y las peras costaran S/. 0,50 menos cada kilo. Pamela podría ahorrarse S/. 6. ¿Cuántos kilos de manzana compró?. a) 4 d) 7

c) 6

15. Una palta pesa los 2/3 de kg menos 2/3 de su peso. ¿Cuánto pesa la palta en kg? a) 1kg b)4/3kg d) 0,3kg

c) 0,4kg

16. Se compra 3 tarros de milo por 10 soles y se venden a 2 por 9 soles. ¿Cuántos tarros de milo se deben vender para ganar 2100?

13. Una señora compra en el mercado S/.4.20 de carne que paga con un billete de S/.10.00 como el

a) 100 d)1850


“

b) 5

”

b) 600

c)1800

6





ASTERIA

n

 f(x)

b.

  a      

 

POTENCIACIÓN

Sea: {a; b}  R  {m; n; p}  Z

1.

2.

a

m

a

.a

n

 a

m

a

n



a

; a0

 

4.

a.b

n



a .b

m p   a . b   

n

a Potencia con co n ex ponentes en cadena

c. Una potencia con exponentes en cadena, se reduce desde la parte superior. n m a

p

 m   3.  a    n

Potencia de potencia

p

mn

mn

mn

n

p

m n

a

w

p

T

w m a

=

T a

=

m.n.p

p

n (am )

d. [

n

]

=

m p

[ (a ) ]

n



 RADICACIÓN

a

I

=

m .n

p.n

. b

1)

n

ab

n

a.



n

;

b

 a; n

n

b



R

n

5.

n a  a  , b0    n  b  b

n

mn  a m     a , b0 p.n  bp  b  

Si n es par entonces a  0 2)

n

n

a b



n

a

n

; b  0 ,

b

Si n es par entonces a  0



b  0

n

a; b





R

b>0

Observaciones importantes: a. La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y división (teoremas 4 y 5)

m n p

3)



Si mnp > 0



b p c

m a

a

; m , n, p

R



a  0

4) m a n

x


“

mnp

a

”

y

z



x

mnp c

mn b .

y

.

z



mnp anp

x

.

7

ybp zc .





ASTERIA

n

 f(x)

OBSERVACIÓN: Del Teorema anterior, si las bases x, y z son iguales, se concluye a una forma práctica de reducir, veamos: m a n

4.1)

p

xb

x

xc



m a n b p c

4.2)

x : x : x

3) m

a:

m

a:

m

a : ....

m

a:

m

n



a

n

1

m 1

    

m np ( an  b )p  c

n radicales

x



m

Si “n” es par

TEOREMAS DE CONVERGENCIA

mnp ( an b)p  c

x

1)

5) Valor principal de una raíz.

n

x

n

x

n

x ...



n 1

; x  R, n

x

R – {0; –1}



n

A

n

o

A ; si A R



n N (n





2)

2) Luego:

2n

a

2n

a ; si a  0  a   a; si a  0

2n 1 2n1

COROLARIO:

a

x:

n

x:

n

x :...



ab

x

ac

b 

Si a.b es par  x  R

x

x

; x



R,

–1} n R – {0; –

 

En ambos teoremas: n  N

3) 1 + x + x2 + x3 + … =

COROLARIO:

n 1



n  2 sólo

en el caso de que “n” sea un número par el radicando “x” deberá ser positivo.

a



n

c

x  0



x x

4)

TEOREMAS ADICIONALES

x

1 1 x

; 0 < x < 1

 x

x

x



x 

0 < x < e;

e = 2,7182….

1)

m

m

a

m

a

m

a .....

m

a

m

n

a



n

1



m 1

Ejercicios de Aplicación



    

n radicales

1. Resuelve o simplifica según sea el caso:

2) m

m

a:

m

a:

m

a : ....

m

a:



m

n

a

n

1

m 1

b)

− −

c)

(-7)-3. (-7)6. (-7)-1

a)

    

n radicales

Si “n” es impar

d) Si no eres parte de la solución, entonces eres parte del problema

“

”

 

a.a2.a3a4……a10 8





ASTERIA

n

 f(x)

√ 7. √ 70−9−9 {7   }     √3√3  2−  −  −  −  = 2−  4−−−

e)

8. Efectuar:

f)

a)4x e)12

g)

i)

b)2

c)8

d)4

a)1

b)12/43

a)1 b)1/2 c)1/8 d)1/4 e)1/5

b)2

6. Reducir: a)1

b)2

c)8

e)5

e)4

c)16

d)

√



bb)5 )5 c)18

d)15

e)20

12. Reducir: a)4

b)3

c)2

d)6

e)25

 = +  = ++++

13. Si : xx = 2; hallar el valor de: d)4

.(−) c)8

d)3

   +  = −    . 8   = 9.

a)2

  −  = 125

a)1

c)5

a)12 b)14 e)20

4. Calcular el valor de:

5. Reducir:

b)2


c)8/7 d)4/9

.+ 

d)10x

   √   √ √ 


a)1

10. Efectuar:

e)5

− − −    =    

√ 

c)

 =  ++

2. Calcular el valor de: a)1

b)6x

9. Simplificar:

h)

d)4

e)5

a)10 e)5

[33/  778/]//

b)1

c)2

d)5

e)8

14. Reducir: a)1

7. Simplificar:

b)2

15. Reducir:

a)1 b)2 c)8 d)4 e)5

a)x


“

√ √ ...  √√  0, 

”

c)30

d)4

e)5

d)x2

e)1

    .  ( )  = 

b)y7 c)xy

9





ASTERIA

n

 f(x)

a)12 b)14 c)16 d)8 e)19

PRÁCTICA DE REFORZAMIENTO REFORZAMIENTO

1. Reducir: E = (-2)2 – (-1)2 + (-22)2 + (-2)3 – (-1)5 a)12

b)2

c)5

d)3

− −    =   

e)4

b)22/9

c)6

 =  ++ a) 12

a)1

b)2

4. Efectuar: a)1

b)x2

5. Simplificar: a)1

b)2

d)3

√ .√√ √ .. √  c)x

++ c)5

e)4

d)x3/4

e)4

d)4/9

c)3

d)a-2

7. Indique el exponente de reducir:

= a)3

8.

 .() 

“x2 “,

e)1/49

a)7

12. Si N

b)6

M



d)1,5

e)1,2

 ++

4 

3



c) 19

d)18

d)a2

3

3

4

4

4

;

5.......... ...

M N

3

a) luego de

3

5 5 5 5 5.......... ..

5 5 5

Calcular:

5

5

e).

6

b)

5 5

c)

6

5 5

d)

4

5 5

5

13. Al efectuar:



     2√ 2

A



3

3

3

B



5

5. 5.

6

3 .......... ...... 12

5.

20

;

5 ......

Dar la suma de las cifras de: B – A a) 2 b) 5 c) 7 d) 16 e) N.A.


“

e)15

e)12

b)4 c)5 d)6 e)2

  Reducir:

d)18

c) 0,6

R=

. . −.  b)2

b)0,1

11. Resolver:

6. Indique el exponente final de “a”, luego de reducir: a7. a)1



a)0

c)5

c)13

   0, 0 ,  +0,  M =  +

d) 7/9 e)8

3. Hallar el valor de:

964 

b)14

10. Simplificar:

2. Simplificar: a) 4


”

10





ASTERIA

n

 f(x)

2

Son aquellas ecuaciones que presentan a la incógnita en el exponente de algún término de la ecuación. Para resolverlas se emplea la teoría de exponentes y se fundamenta en lo siguiente:

x 1

.2

3x 3x  5

a) 4 b) 6

deben ser iguales”

Esto significa que:



c) 8

5

2

d) 2

e) 10

3. Hallar “x” en: 125

x 3

“Si dos potencias de igual base son

iguales, entonces sus exponentes también

5x 9

.2



a) –10 b) –9

2x 1

25

c) –2

d) –11 e) –12

4.Resolver: 4. Resolver:

Si : ax = an , entonces :x = n

xa = na , entonces : x = n

4 x

3

6 x

.9 .9

10 x

.2 .27

a) 4 b) 5

c) 6



4 x

81

d) 7

e) 8

5.Resolver: 5. Resolver: Por ejemplo:

1.

3

Si : 3x+5 = 312, entonces x + 5 = 12 X = 12 – 5

4

x 3

6.Resolver: 6. Resolver: 3x 1 2

2

Si: (x - 6)2678 = 32678 X – 6 = 3 X=3+6


x 2 3

a) 2 b) 4

. 2

3 2x 5

. 2

c) 5

d) 6

x 1 

1

e) 8


1. Calcular “x” en: 4x  2

5

c) –1



d) 0

25

9

3

x



3

e) 5 a) 2 b) 3


“

4


2

2. Hallar “x” en:



x 5 2

a) 1/2 b) 7/2 c) 12/7 d) 1/7 e) 8

X=9

a) 1 b) 2

3

a) 3/13 b) 7/12 c) 1/3 d) 10/3 e) 1/9

X=7 2.



2x 5 16

”

c) ½

d) 9/2 e) 2/3 11





ASTERIA

n

 f(x)

9. Hallar “x” en:

 2x  2  2   

15. Resuelva:

x4 2

c) 3

a) d) 2

d) 4

e) 5

3



x

x

x.

a) 1 b) 0

x

c) –1

   

2

x



a) 0 b) 4

d) 2

e) 1/8

 1     3 

 2   5

2

x

3

x 1

d) 1

1

7



d) 2

5

5

 4      216  11 

2

n2

x

5

x4



363

. c) 3 e) 5

c) 0,3 e) 0,03

5

x

5



2

a) 9 d) 1

b) 3

c) 2

e) 0

e) 3 

19. 08. Calcule x x , si “x” es solución de la ecuación:

8

2 81x

d) –3/2 e) -1/2

2

5x

3

Hallar “x”: 16

14. Luego de resolver

x3

3

b) 0,2

18. 07.

a) 2/3 b) –2/3 c) 3/2

x 2

b) 2

a) 0,1 d) 0,01

e) 19

13. Resolver: 2x 1.4x  2

n2

32

 16

1

=

27

a)

.

Se obtiene que “n” es:

d)

b)

2 3


”

1 3

c)

2 4

e)

b) impar c) primo e) fraccionario a) 3

3

3

09. Resolver:

“

3



2 4

c) 7

c) 6 e) 3

0,003m 0,3(0,2) .0,1(0,4)

a) ½ b) 3/2 c) 2/3

a) Par d) entero

e indique

17. Determine el valor de “m”, en:

12. Calcular “x” en: 3

3



x

b) 1

3

a) 1 d) 4

x 1

x 1

3

Dar como respuesta

6  4

11. Hallar “x” en: 3

3

3

16. Calcular “x” en:

10. Hallar “” en:

  

3

3x

 216

a) 1 b) 2

3

8

27



n



16

b) 4

4



2



2

3

1





c) 9

4

d) 16

4

e) 27 12





ASTERIA

n

 f(x)

MIEMBROS DE UNA ECUACION

Al relacionar cantidades mediante el signo igual podemos distinguir tres situaciones: igualdades, identidades y ecuaciones.

IGUALDAD.- Es la expresión de la equivalencia de dos cantidades numéricas o literales. Ejemplo: a) 7 + 4 = 11 b) x + 6x = 7x IDENTIDAD.- Es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de la variable (cantidad desconocida). Ejemplos: Consideremos la identidad 12 + x = 12 + x y asignemos distintos valores a la variable x.

El procedimiento para encontrar el valor que satisface dicha igualdad se llama resolución de la ecuación.

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Llamada también ecuación lineal Forma General: ax+ b = 0

ECUACION : Es una igualdad en la que hay una o mas cantidades literales desconocidas llamadas incógnitas. Ejemplos:

Donde: a y b : parámetros x : incognita

a) 12 + x = 20

Despejamos:

b) 3x + 5y = 6

Las incógnitas, en general, se representan por las letras minúsculas: x; y ; z ; w; etc.

El grado de una ecuación con una incógnita está determinado por el mayor exponente de dicha incógnita. Ecuación Numérica: Es aquella en que la única letra es la incógnita. Ejemplo: 6x – 13 = 4x + 7 Ecuación Literal: Es aquella en que hay una o más letras además de la incógnita. Ejemplo: 2ax + x = 7x + 8a 2x

b a

COMO RESOLVER UNA ECUACION DE PRIMER GRADO

Para esto aplicamos el siguiente procedimiento: 1.

Suprimimos signos de colección o agrupación.

2.

Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.

3.

Hacemos transposición de términos, escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la ecuación.

Las ecuaciones pueden ser de coeficientes enteros y de coeficientes fraccionarios.


“

x= -

; a  0

”

13





ASTERIA

n

 f(x)

4.

Volvemos a semejantes.

reducir

términos

8 - (-3x + 2) = -( -1+2x) + 15 a) 1

5.

b) 2

d) 4

e) -1

Despejamos la incógnita. 07) Calcular “x" ; en: -5 + 4x + 10 – 6x = -7x + 8 + 4x – 10

Ejemplo: 1.- Resolver la siguiente ecuación:

a) {-6} d) {4}

7x – (2x –6) = (x+1) – (3x+2)

b) {3} e) {- 5}

PASO 1.- Suprimimos signos de colección: 7x – 2x + 6 = x + 1 – 3x – 2

a) - 1 d) 4

PASO 2.- Reducimos términos semejantes en cada miembro: 5x+6 = –-2x-1

09) Resolver:

PASO 3.- Por transposición de términos: 5x + 2x = –6 –1

x = –7/7

2x

04)

x + 5(-3 + x) = - 3(-x + 5) +2(x + 2)

05)

4x – 3(-x – 1) + 4 = -2(x + 1)

x 

3

3

x

2

3 



4

11x

10

a) -1 b) -2



20

c) 2

d) 3

e) -4

11) La solución de: 3

4x 

4



x 5

a) 7/8 d) 2/13



7 8



x 5

b) 13/32 e) 1/4

c) 13/2

12) Resolver la ecuación: 2x 

02) 9x – 10 - 5x + 12 = x + 6 – 3x + 10 3x + 2 - (-1 – x) = - ( - x – 3) + 2x + 4



5

Resolver cada una de las ecuaciones siguientes:

03)

c) - 3

10) Resolver la ecuación:

Respuesta: x = –1

01) 7x + 5 – 2x = 8 + 4x - 2

b) - 2 e) 2

a) 1/24 b) -24 -24 c) 12 d) -1/24 e) 24

PASO 4.- Volvemos a reducir términos semejantes En cada miembro: 7x = –7 PASO 5.- Despejamos “x”

c) {-7}

08) Resolver e indicar el valor de "x". 5(x + 8) – 20 = -13 - 4(2x – 5)

Solución:

2

1 (3 x  )  3 2 3 3 2

a) 1 d) 2/3 13) 4

( x  2) 2) 

a) 4 b) -3


”

b) 1/2 e) 1/4

c) -1/3

Resolver: 3

06) Resolver la ecuación:

“

c) 3

2 3

( x  1)

c) 5

1

 

d) -1

e) -2 14





ASTERIA

n

 f(x)

d) 14

e) 18

14) Resolver la ecuación: 10  x



3

a) 1

5  3x



2

b) 2

5.19 5. 19 – 15(3x + 1) = 36 – 6(5x – 3) – 5(x + 7)

2 x  15

c) 3

d) 4

e) 5

15) Resolver e indicar el valor de x. x 3

x 

2

x 



6

a) 5 b) 3

d) 2

b) ½ e) 3/4

c) 1/3

6.(13x 6. (13x – 4)(x + 2) = (3x + 1)(5x – 3) 3 ) – (2x 2 + 5)

x 1

c) 1

a) -3/2 d) 1/8

e) -4

a) 1 d) -2

b) 0 e) ½

c) -1


TAREA DOMICILIARIA

x x

1. Resolver la ecuación: 3x

1

4

2x 



3

2

a) -11 d) -13

x 

1

8

b) 9 e) 15

0



2

a) 3 d) -1

x 3



1 5



1 2



c) 10

b) 1 e) 2/3

1 3

5x

5 

x

b) 3,5 e) 2



x 5

c) 1/3

3.Después 3. Después de vender los 3/4 de una pieza de tela quedan 30m. ¿Cuál era la longitud inicial de la tela? a) 140m b) 10m c) 100m d) 120m e) 310m 4.El 4. El triple de un número excede en 48 al tercio del mismo número. Hallar el número. a) 15 b) 16 c) 17



8

7x 

1

x

a) 20 d) 35

2

c) 4,5





4

2

b) 15

c) 30 e) 40

b) -24

c) -30 e) 24

9.Resolver: 9. Resolver: x 3



a) -20 d) 40

2

x 

4

10. 3(x + 1) + 2(x + 3) = 5(x + 1) + 2(x + 2) a) 0 d) 3


“

2


2.Resolver: 2. Resolver: 

2



a) 7,5 d) 2,5

x

x



x 

”

b) 1

c) 2 e) 4

15





ASTERIA

n

 f(x)

La longitud de un puente

1. Hallar la edad de Katia, si sabemos que al restarle 12 años obtenemos el triple de dicha edad disminuida en 48 años.

si el cuádruple de ella disminuida en 80 metros

La edad de Katia

equivale

si al restarle

al triple de dicha longitud

12 años

disminuida

obtenemos el triple de dicha edad disminuida en 48

2. ¿Cuál es el número, cuyo doble disminuido en 200 nos da el mismo número aumentado en 300? ¿Cuál es el número? Cuyo doble Disminuido en 200 Nos da El mismo número aumentado en 300?

en 70 metros 4. Hallar la edad de Juan, si sabemos que al multiplicarla por 5 y añadirle 14, para luego a dicha suma dividirla entre 4, obtendremos finalmente 21 años. Hallar la edad de Juan al multiplicar por 5 y añadirle 14 la suma dividirla entre 14 obtenemos 21 años 5. Hallar un número, tal que ocho veces el mismo disminuido en 20 equivale a su séxtuplo aumentado en 140. Hallar un número tal que 8 veces el mismo disminuido en 20 equivale

3. Hallar la longitud de un puente. Si sabemos que el cuádruple de dicha longitud disminuida en 80 metros es equivalente al triple de dicha longitud disminuida en 70 metros.

a su séxtuplo aumentado en 140


“

”

16





ASTERIA

n

 f(x)


1. Hace 8 años Carmen era 8 años menor que Catalina. Si actualmente sus edades suman 48 años, ¿cuál será la edad de Carmen dentro de 18 años? a) 20 b) 18 c) 38 d) 46 e) 32 2. Dentro de 3 años las edades de Jaime y Lilian sumarán 62 años. Si cuando Lilian nació Jaime tenía 4 años, ¿Cuál es la edad actual de Lilian? a) 22 años b) 28 años c) 32 años d) 26 años e) 30 años 3. Entre Carolina, Carlos y Fernando tienen S/.600. Si entre Carlos y Femando le dieran S/. 100 a Carolina, ésta tendría la misma cantidad que los dos varones juntos. ¿Cuánto tenía la damita inicialmente? a) S/.150 b) S/.200 c) S/300 d) S/.250 e) S/. 125 4. La suma de las edades de César y Oscar es 48 años. Si la edad de César es el triple que la de Oscar, ¿cuál es la edad actual de éste último? a) 11 años b) 13 años c) 12 años d) 15 años e) 10 años 5. En dos depósitos hay 72 chocolates. Si lo que hay en uno es el quíntuplo de lo que hay en el otro: ¿Cuántos chocolates hay en el depósito que más tiene? a) 50 b) 48 c) 72 d) 65 e) 60 6. Un televisor y una radio grabadora cuestan S/.1000. Si el televisor cuesta el cuádruplo de lo que cuesta la radio grabadora, ¿cuánto cuesta el televisor? a) S/.600 d) S/.700

b) S/.800 e) S/.400

c) S/.200

7. En aquella época yo tenía por edad, la cuarta parte de la tuya y tú tenías 21 años más que yo. Si esto ocurrió en 1985: ¿Qué edad tendrás en 1995?. a) 28 b) 30 c) 32 d) 38 e) 36 8. Liz tiene S/.436 y Blanca S/.244. Al ir ambas de compras y gastar la misma cantidad cada una, a Blanca le queda la cuarta parte de lo que le queda a Liz. ¿Cuáles la cantidad que gastó cada una? a) S/.150 b) S/.100 c) S/. 120 d) S/.160 e) S/. 180 9. Fernando y Patricia reciben de propina S/.39 y S/.23 respectivamente. Si en una tienda gastan en golosinas la misma cantidad de dinero cada uno, lo que le queda a Femando es el triple de lo que le queda a Patricia. ¿Cuánto gastaron los dos juntos? a) S/.15 b) S/.10 c) S/.12 d) S/.30 e) S/.20 10.Moisés 10. Moisés y María tienen S/.50 y S/.2 respectivamente. Ambos acuerdan que semanalmente ahorrarán S/.2. ¿Al cabo de cuántas semanas lo que tiene María es la quinta parte de lo que tiene Moisés? a) 2 b) 5 c)6 d) 4 e) 8 11.Entre 11. Entre dos personas reúnen 200 soles; pero el dinero de uno de ellos excede al dinero del otro en 60 soles; calcular: ¿Cuánto tiene cada uno? (Dar como respuesta la mayor de las cantidades) a) 70 b) 130 c) 40 d) 160 e) 120 12.Cuando 12. Cuando Juan nació, su padre tenía 28 años; ahora las edades de ambos suman 58 años ¿Cuántos años tendrá el hijo dentro de 6 años? a) 20 b) 42 c) 15 d) 21 e) 24


“

”

17





ASTERIA

n

 f(x)

NOCIÓNES PREVIAS SUJETOS: Son SUJETOS: Son los protagonistas del problema, a quienes corresponden las edades y que intervienen en el problema. TIEMPOS: TIEMPOS: Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente y futuro) y todo depende de su correcta interpretación. interpretación . EDAD: EDAD: Representa el tiempo de vida de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones. TIPOS: Con un solo Sujeto: 1. Dentro de 20 años tendré 3 veces la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tuve hace 3 años? a) 28 b) 35 c) 26 d) 22 e) 25 Con Varios Sujetos: 2. Hace 4 años la edad de Andrea era el cuádruple de la edad de Juan, pero dentro de 5 años será el triple. Hallar la suma de las edades actuales. a)76 b)22 c)98 d)88 e)53 Ejercicios de Aplicación 3. La edad de David es el doble de la edad de Roberto; quien es 3 años mayor que Sergio, si

5. Un padre tiene 48 años y su hijo 18; ¿dentro de cuántos años el padre tendrá el doble de la edad de su hijo? a)6 b)8 c)10 d)12 e)14 6. De aquí a 15 años, Sara tendrá cuatro veces la edad que tiene ahora. ¿Cuántos años tiene? a)2 b)3 c)4 d)5 e)8 7. La edad de Diana dentro de 8 años será 20 años. ¿Qué edad tiene actualmente? a)12 b)13 c)14 d)15 e)16 8. La edad de Nátaly hace 5 años era de 12 años. ¿Qué edad tiene actualmente? a)12 b)14 c)15 d)17 e)18 9. Un padre tiene 50 años y su hijo 10 años. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que la edad del padre sea el triple de la del hijo? a)8 b)9 c)10 d)11 d)11 e)12 10. Las edades de un padre y su hijo son 42 y 12 años respectivamente. ¿Hace cuántos años la edad del hijo era la cuarta parte de la edad del padre? a)1 b)2 c)3 d)4 e)6 11. Dentro de cuántos años la edad del padre será 3 veces la edad del hijo, si el padre tiene 42 años y el hijo 12 años. a)2 c)3 c)4 d)5 e)6 12. Dentro de 5 años tendré el doble de años de lo que tenía hace 4 años. Hallar mi edad actual. a)12 b)13 c)15 d)16 e)18

Sergio tiene “4a” años. ¿Cuál es la edad de

David? a)8 b)8 a + 6

c)7

d)2 a

e)5 a

4. La edad de Vanesa es el doble de la edad de Manolito, pero hace 5 años era el triple. Halla la suma de sus edades actuales. a)20

b)22 c)25 d)30

e)40

13. La suma de las edades actuales de Ana y María es 65 años, y dentro de 10 años, la edad de María será los 5/12 de la de Ana. ¿Cuál es la edad de Ana? a)15 b)25 c)35 d)50 e)60 14. Una señora tuvo a los 24 años dos hijos mellizos, hoy las edades de los tres suman 57 años. ¿Qué edad tienen los mellizos? a)10 b)11 c)12 d)13 e)15


“

”

18





ASTERIA

n

 f(x)

Grados: Definición: Un monomio algebraico, es aquel cuyos exponentes de sus variables son números naturales. Ejemplos: las siguientes expresiones son monomios: Ojo: las variables de todo Monomio están escritas Dentro de estos paréntesis

a)Grado a) Grado Absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes de sus variables. b)Grado b)Grado Relativo (G.R.): Está dado por el exponente de la variable referida. Ejemplo: P( x, x,y, y,z) z ) 7 2x 4 y 5 z 2 G.A.: 4+ 5 +2 = 11 G.R.(x) = 4 G.R.(y) = 5 G.R.(z) = 2 Problemas Resueltos: Ejemplo 1

Partes de un monomio:

Si: M(x,y) = 24x3y2 , hallar M(2 , -1) Solución:

Todo monomio posee las siguientes partes:

Hacemos: x = 2 ; y = -1 M(2 , -1) = 24(2)3(-1)2  M(2 , -1) = 24(8)(1)  M(2 , -1) = 192 ……… Respuesta 

Ejemplo 2: El monomio:

3x a

Valor numérico Consiste en reemplazar las variables de un monomio por números determinados. Así, se obtendrán un resultado, denominado VALOR NUMÉRICO.

y

es de GR(x) = 8 y G.R. (y) = 3 Entonces “a+b” vale:

Solución:

Ejemplo: P(x) = 6x + 7 , hallar P(-2)

Si: G.R. (y) = 3  b – 3 = 3 b=6 Ahora, Como: GR(x) = 8  a+b-5 = 8  a+6-5 = 8  a = 7

Solución: Reemplazamos: x = 4 P(-2) = 6(-2) + 7 P(-2) = -12 + 7 P(-2) = -5 …………… Respuesta




“

b 5 b 3

”



a + b = 13 ……… Respuesta 19





ASTERIA

n

 f(x)

a) 17 b) 13

c) 11 d) 18

e) 12

Ejemplo 3: 4. En el siguiente monomio: Hallar el valor de “n” para que el grado del

siguiente monomio: P( x; y) y) 2 3 xn 4 y 8 , sea igual 23. Solución: Si el monomio es de grado 23 entonces, su G.A. es 23 Entonces: la suma de los exponentes de sus variables es 23 n + 4 + 8 = 23

 

n = 11 …… Respuesta Respuesta

M(x,y) = -3x4y5z6 ; dar: GR(x) + GR(y) a) 11 d) 10

b) 9 e) N.A.

5. En el siguiente monomio: P(x,y,a) = -5x6y7b6a5z6 Hallar la suma de sus grados relativos. a) 18 b) 19



1. Hallar el grado absoluto de los siguientes monomios: a) P(x,y) = x7y13 b) P(x,y) = x4y71

1 

2

e) 12

; z 1 

a) 1/9 d) 9

b) 3 e) 3

c) 3/2

7. Si: P(x,y) = 6x2y6 , determinar el valor de: E = P(1;1) + P(2;1)

c) P(x,y) = 52x9y11 d) P(x,y,z) = a2b3x4y5z6

c) 11 d) 13

6. Hallar el V.N. de: M = xyz ; sabiendo que: x 3;y

PRÁCTICA DE AULA

c) 13

a) 24 b) 8

c) 6

d) 30

e) 12

e) P(x,y) = (x3)4(y5)6 2. Hallar el GR(x) y el GR(y) en cada caso: a) b) c) d) e)

P(x,y) = x9y6 P(x,y) = x10y12 P(x,y) = 42y6x11 P(x,y) = a2b3x4y6 P(x,y,z) = ((x4)3)5.(y6)

8. Hallar el grado de: 7 2x 3y 5z 5 a) 12

e) 11

 Q  

3

x  2

  

4

 .  

3

x  4

2

  

3 5 6 7 x y z . Hallar: 2

GR(x) + GR(y) + GR(z)

a) 42


“

d) 13

9. Hallar el grado de:

3. En el siguiente monomio: P( x, y, z)  

b) 8 c) 10

”

b) 44

c) 46

d) 48 e) 50 20





ASTERIA

n

 f(x)

10.Hallar 10. Hallar el coeficiente del siguiente monomio:

A (x,y)

P(x,y) = 3b2x2yb –2 ; sabiendo: GR(y) = 3 a) -15 b) 75 c) -75

2

d) -125 e) -55

5 9

B(x,y)

7

11. Hallar “a” si el grado de:

b) 7

c) 5

d) 8

b) 108 e) 114

e) 4

a) 1

3 a b b 2 x y ; GR( x ) 2 



a) 240 d) 120



2 m 3 n 2 a b ; GR(a) 7

a) 17 d) 22

8 ; GR( y ) 10 



6 ; GR(b)

a) 2

e) 5

c) 8

d) 9

e) 10

c) 15

x2

m

.y3

n

xm

b) 4 c) 3

d) 14

e) 6

19.Al 19. Al reducir la expresión x



11

x

c) 21

M   3x 3 xm  3 ya  2m

2

3

3

3

.x

2

2

2

.x

3

Resulta un monomio de grado........... a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 8

20.El 20. El grado absoluto del monomio: Q( x; y; y; z) z) 2x3 ya 1z2 Es 8 hallar el valor de “a”

16.Dados 16. Dados los monomios:

a) 2 b) 3


“

d) 4

Sabiendo que su grado absoluto es 3.

c) 100

b) 20 e) 25

b) 12 e) 6

b) 7

M(x;y)

15.Hallar 15. Hallar el valor de “a” si: GR(x) = 4 ; GA = 30 a) 18 d) 20

c) 3

18.Calcular 18. Calcular el valor de “n” del monomio:

b) 90 e) 180



b) 2

a) 6

c) 110

14. Hallar “m + n”, si en el siguiente monomio: 

y

17.Hallar 17. Hallar el valor de “n” para que el grado del siguiente monomio: P( x; y) y) 5xn 1y4 sea igual 12.

13. Calcular “a.b”, si en el siguiente monomio: 

11 11 2 a

G.A., determinar el valor de “b”

12.Calcular 12. Calcular el coeficiente del siguiente monomio: P(x) = 3a2(a + 1)xa – 2 ; sabiendo que es de primer grado. a) 106 d) 112

x 2b

5

Se sabe que ambos poseen el mismo

P(x,y) = 2x2ay3 ; es 15. a) 6

x a 3 y 3b

”

c) 4

d) 5

e) 6 21





ASTERIA

n

 f(x)

G.R.(x) = 4 (Mayor exponente de x) G.R.(y) = 7 (Mayor exponente de y)

Definición: Es la unión de dos o más monomios mediante signos de sumas y restas. Ejemplos: P(x) = 6x7 + 8x5 + 11x2 + 12x – 3

EJEMPLO 1: Dado el polinomio: P(m,n)= 4

1

7

2m n

9

12

m

2

Valor numérico

10

mn

5

Calcular: 3G.R.(m) - 2G.R.(n)

Al igual que en el capítulo anterior, consiste en reemplazar las variables por números indicados.

Solución:

Ejemplo:

mayor exponente para “m” es 12 , P ( x )

5 x

2

Del polinomio se puede distinguir que el entonces su GR(m) es 12. Del mismo modo en el polinomio se puede notar que el máximo valor de los

Hallar: P(0); P(1); P(-1); P(y+1)

exponentes de “n” es 10, entonces el

P(0) = 5(0) + 2 = 2

GR(n) es 10

P(1) = 5(1) + 2 = 7

Piden: 3G.R.(m) – 2G.R.(n) 3 ( 12) – 2 (10) = 36 – 20 (Respuesta)

= 16

EJEMPLO 2: Si: 1 M(x;y) = x2 y2 3

1

P(-1) = 5(-1) + 2 = -3 P(y + 1) = 5(y + 1) + 2 = 5y + 7

GRADOS Grado Absoluto (G.A.): Está dado por el Mayor de los grados de sus términos. Grado Relativo (G.R.): Está dado por el Mayor de los exponentes de la variable referida. Ejemplo: P(x,y) = 5x2y7 - 3x4y2 + 4x2y2 9°

6°

4°

27

x3 y3

4

Hallar M(1;-3) Solución: Reemplazando: x = 1 ; y = - 3 M(1;-3) =

1 3

(1)2 ( 3)2

Luego el grado absoluto (G.A.) del polinomio es 9.

M(1;-3)

Además:

Respuesta


“

2

”

=

3

2 27 2

1

(1)3 ( 3)3 1 4

=

4

21 4

.

22





ASTERIA

n

 f(x)

d) 11 e) 12 6. Cuál es el grado absoluto de:

PRÁCTICA DE AULA 1. Hallar el G.A. en cada caso:

P(x; y) = 3x6y2 + 2x5y3 - 8x4y2 + 9y9 7x2y2

a) P(x,y) = x7+y9+ 2x10+3y11 a) 4

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

b) P(x,y) = x3y4 + x2y6 - x7y9 c)

7. Hallar el valor de “a” si, el siguiente polinomio tiene como suma de coeficientes 20.

P(x,y) = x7y13 + x3y12

d) P(x,y) = (x4y6)2 + x2y13 P(x) = 2x5 + (a - 3)x3 + 3x4 – 4 2. Hallar el GR(x) y el GR(y) en cada caso: a) 21 b) 22 a) P(x,y) = x3y5 + x2y6 + y8x2 + x11y7 + y2 b) P(x,y) = x4y6 + x4y10 + y8 + x2y5 + xy11

Cuando: x = a) 5



e) 18

a) 1/2

3

;y= c) 7

3

;z=

d) 6

4

4

e) 11

x2  x

Hallar: M 

P(x;y) = 5x4z10 + 2xy7z2 – 7x6y3z12

2

b) 9

9. P(x) (x )

3. Dado el polinomio:

P(0)



P(1)

P(2)

b) 3/2

c) 2/3

d) 1/3

e)

Hallar el GR(x)+GR(y)+GR(z)+GA

1/6

a) 22 b) 28

10.¿Cuál 10. ¿Cuál es el mínimo valor que puede

c) 46

d) 64

e) 33

tomar “n”, si en el polinomio: P(x,y) = 7 x4 yn 6 5x3 yn 2

4. Si se tiene el polinomio: A(x) = 3xa+3y4 + 5xa+1y5 + axay7 Donde el GR(x) = 5. ¿Hallar la suma de coeficientes del polinomio? a) 8 d) 12

b) 10 e) NA

c) 8+a

5. Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio: P(x,y) = 2x2y + 3xy2 + 7y2 – 4x2 a) 8

b) 9

4

xy4

Se cumple que: G.R.(y) = 4 ? a) 0

b) 4

c) 2

d) -2

e) -4

11.Hallar 11. Hallar la suma de coeficientes de P(x), si el polinomio: P(x) =

3mx

m

x

m 2

x

m 4

Es de grado 7.

c) 10


“

d) 24

8. Hallar el valor de “M”. M = x2 + y3 + z4

c) P(x,y) = 2x3 + 5y9 + x3y11 + 2y3 + 11x2y4 + x8y2 d) T(x,y) = xy2 + xy6 + x5y9

c) 23

”

23





ASTERIA

n

 f(x)

a) 7 b) 3 c) 9 d) 8 e) NA 12.Calcular 12. Calcular “a”, si en el polinomio:

a) 2 b) 3 c) 5 6. Si: Q(x) = x + 3 y Calcule: b – a

P(x,y)= 5x3 y 4 7xa 3 y8 2xa 1y11

a) –5

b) 1

se cumple que: G.R.(x)=8 a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

4

1

7

9

12

m

2

b) 22

c) 7

d) 1

e) 8

a) 1

b) 2

P(x)=

b) 25 e) 5

c) 3

d) 4

e) 5

9. Encontrar la suma de los coeficientes si el polinomio:

Calcular: B(26;5) a) 15 d) 4

e) 4

Tenga: GA = 28 y GR(y) = 2

( x  2)2  (y  2)2



c) 2/3 d) 3

5

2. Dada la expresión algebraica: B(x;y)

. Hallar: f ( f (3) )

2n  5 m n 4 3m 2n 2n1 m  n 2 x3m  2n y y x

10

mn

Calcular: G.R.(m) + G.R.(n) a) 12

1

d) 0 e) 3

8. Calcular (n-m) para que el polinomio: P(x;y)=

1. Dado el polinomio: 2m n

x

2



a) 1/3 b) 10/3

PRÁCTICA DOMICILIARIA

P(m,n)=

c) 2

2x

7. Si: f(x) =

d) 7 e) 4 Q(a) = b

a 1

ax



a2

2ax

a 4

 3ax

Tiene grado 7.

c) 35

a) 11 b) 18

3. Dado P(x) = 2x2 – 3x + m Además P(5) = 78, calcular “m” a) 23 b) 33 c) 43 d) 53 e) 63

c) 15 d) 12 e) 10

10. Si: P(xy) = x2 – 2y Calcule P(3;4) + P(5;10) a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

4. Sabiendo que: P

 x



100

x



Calcular: P(0 ) a) 5 b) 6

4x



c) 7

98

P(1)



5x  2



d) 8

5. Sabiendo que : P( x) Q( x)





11. Si:

a) 1/2 d) 16

e) -12 

x 1

;

b) 12 e) 18

c) 7/2

12. Si: P(x) = 2x – 3 , Q(x) = x2 – 3 Halle el valor de P(Q(2)) + Q(P(3))

x2

a) 1

Calcular: “Q(P(2))” Si no eres parte de la solución, entonces eres parte del problema

“

x3

Calcule P(5) + P(9)

P( 1)

3x 1

P(x) 

”

b) 10

c) 14 24





ASTERIA

n

 f(x)

d) 8

e) 5


“

”

25

Algebra 2do

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