,A-LTA((EI/0E/IERA
F
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTAT PREFACULTATIVO IVO – GESTIÓN II / 2007
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
I
ÁREA: MATEMÁTICA
FECHA: 29.10.2007
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 100 MINUTOS ***************************************************************************************************************************************************
PRIMERA PARTE : Encierre en un circulo la respuesta correcta. Cada una de las 5 preguntas tiene un valor valor de 8 % .
1. El valor de x de a) 3
x
3
=3
x
b)
c) 1
3
3
d)
e) ninguno
3
2. El valor de x de la ecuación (log 2 8 x) 2 + (log 2 16 x) 2 = 5 es a) 1!8" 1!16
b) 1!#" 1!32
c) 1!#" 1!16
d) 1!#" 1!8
e) ninguno
3. $i el tr&ino cuarto de progresión arit&tica es ' el tr&ino noveno es 6" entonces la ra*ón es a) 3
4. $i
b) 1!3
tg ( #5+ − x)
a) 15
c) 3
= #" entonces el valor
b) 2,
R
d) 2
e) ninguno
tg 2 x es
= −8
c) 12
d) 25
e) ninguno
5. La suma de tres números de una progresión geomtri!a es 2"# e$ produ!to de$ trmino medio por $os e%tremos es igua$ 1&'. E$ segundo trmino es: a) 8
b) #
c) 16
d) 1!8
e) ninguno
PARTE ()*. -esuelva los siguientes proble&as &ostrando el esue&a "planteo de /or&ulas resultado en /or&a detallada .
1 . Reso$+er e$ sistema: tgx + ctgy
=8 8 ctgx + tgx = 0
(1) ( 2)
2. -esolver el siste&a
x = 8 y
log 2 ( xy ) − log 2 2 log x
= #log
y
(1) ( 2)
3. a su&a de tres n&eros en progresión geo&trica es 0," si se &ultiplican los los dos extre&os por #" el inter&edio por 5" los productos estn en progresión arit&tica
$olución $egundo 4arcial
1.
x
3
x
= 3 = (31 ! 3 ) = (31 ! 3 ) 3
-espuesta d)
3
( 31 ! 3 ) 3
→x=3
3
3
+ ( log 2 16 x ) 2 = 5 → ( log 2 8 x ) 2 + (1 + log 2 8 x ) 2 = 5 → → log 22 8 x + log 2 8 x − 2 = , → log 2 8 x = 1 ∨ log 2 8 x = −2 log 2 8 x = 1 → 8 x = 2 → x = 1 ! # log 2 8 x = −2 → 8 x = 1 ! # → x = 1 ! 32
2. ( log 2 8 x )
2
-espueta b) 1!#" 1!32 3. a# a'
= a1 + 3r = ' = a1 + 8r = −6
( −) (+)
5r = −15 → r = −3
-espuesta c) 3 #. plicando el concepto de la su&a de arcos las de/iniciones de identidad se obtiene tg (#5+ − x)
tg 2 x
=
=
tg #5+ −tgx
1 + tg #5+.tgx
2tgx
=
1 − tg 2 x
=
1 − tgx 1 + tgx
= # ⇒ 1 − tgx = # + tgx ⇒ tgx = −3 ! 5
2( −3 ! 5) 1 − ( −3 ! 5)( −3 ! 5)
=
− 6!5
= − 15
16 ! 25
8
-espuesta -8(15!8) 15 a 2 ( a1 + a 3 ) = 16, " a1 + a2 + a3 = 28 5. 4.7. a1 " a2 " a3 a2 ( 28 − a2 ) = 16, → (a2 − 8)(a2 − 2,) = , → a2 = 8 ∨ a2 = 2, -espuesta a) 8
$olución de la parte de desarrollo 1. a ecuación (1) se puede expresar co&o senx
cos x
+
cos y seny
=8→
senx. seny + cos x cos y
cos x. seny
= 8 → cos( x − y) = 8 cos x. seny
ora" la ecuación (2) se expresa co&o cos x senx
+
seny
cos y
=
8 0
→
cos x cos y + senxseny senx cos y
cos( x − y )
= 8 cos xseny 0 cos( x − y ) = 8 senx cos y 8 cos( x − y )
=
8 0
→ cos( x − y) =
8 0
senx cos y
(3) (#)
= 8[ senx cos y + cos xseny] = 8 sen( x + y) → cos( x − y ) = sen( x + y )
π − ( x − y ) = , → 2 cos( y + π ) sen( x − π ) = , → 2 # # π π π → cos( y + ) = , ∨ sen( x − ) = , → x = y = " o bien
sen( x + y ) − sen
#
y
= 2k π +
π
#
#
" x
= mπ +
π
#
2. El siste&a de ecuaciones log 2 xy − log 2 2log x
x y
= #log
y
=8
(1) ( 2)
#
[ log x + log y ] 2 − [ log x − log y ] 2 = 8 [ log x + log y + log x − log y ][ log x + log y − log x + log y ] = 8 → → # log x. log y = 8 → log x. log y = 2 2 log = 2 2 log → log x = 2 log y x
y
uego" co&binando la ecuación (1) con la ecuación (2) log2 y y
y
= 1 → log y = ±1 → y = 1,±1 → y = 1, ∨ y =
= 1, → log x = 2 → x = 1,,
=
1 1,
→ log x = −2 → x = a
3. $ea la 4.7
r
"
a"
1 1,
1 1,,
ar
por la condición del proble&a
1 + r + r 2 + a + ar = 0, → a = 0, r r
a
a " r
$ea 4.. #
5a"
#ar
a = #ar − 5a → 5 − # = #r − 5 → #r 2 − 1,r + # = , → r = 2 ∨ r = 1 r 2 r 1 + 2 + # = 0, → a = 2, r = 2 → a 2 1 + 1 ! 2 + 1 ! # = 0, → a = #, r = 1 ! 2 → a 1 ! 2
5a − #
4.7 4.7.
÷
÷
2,"
#,"
#,"
2,"
8,"
1,"
,A-LTA((EI/0E/IERA
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN II / 2007
SOLUCIÓN DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL
ÁREA: MATEMÁTICA
F I
FECHA: 17.09.2007
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS ***************************************************************************************************************************************************
